„Dunkle Materie – gibt es sie oder vielleicht doch nicht ?“

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Jan van der Lip
am 24. Mai 2012
„Dunkle Materie – gibt es sie oder vielleicht doch nicht ?“
Fast wie abgesprochen erscheinen in „Sterne und Weltraum“(6 / 2012) S. 14 'Dunkle Materie
in Bedrängnis' und in „Spektrum der Wissenschaft“(6 / 2012) unter „Neues Fenster zum Kosmos – Astroteilchenphysik in Deutschland“ S. 8-9 'Die Jagd nach der Dunklen Materie' zwei
für mich bemerkenswerte Aufsätze über die 'Dunkle Materie' , für mich bemerkenswert, da
ich nach der kürzlichen Fertigstellung meiner Biographie über den Tübinger Physiker
Gottfried Möllenstedt „Sport, Physik und Optimismus – Gottfried Möllenstedt“ (ISBN 978-3938295-54-0) und der nachfolgenden Korrespondenz mit dem Medienverlag mich als Physikund Astronomielehrer am Gymnasium (Studium in Marburg und Berlin: Physik, Mathematik,
Chemie; Diplomarbeit an der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt Berlin PTB;
Quereinsteiger in den Schuldienst des Landes Baden-Württemberg 1973; seit 2005 mit 65 im
Ruhestand) wieder der Astronomie zuwendete und plötzlich eine Idee zur 'Dunklen Materie'
hatte, welche mich elektrisierte. Ich begann Anfang April 2012 mit ihrer Umsetzung, wobei
zwar nicht schwere aber viele Rechnungen zu bewältigen waren, die sich über 33 DIN-A4Seiten hinzogen. Leider hatte mein programmierbarer TI-Rechner seinen Geist aufgegeben,
und so mußte ich mit dem Taschenrechner vorlieb nehmen, was ich für diese Idee aber gerne
in Kauf nahm. Nach meiner Hypothese ist die 'Dunkle Materie' ebenso wenig existent wie
früher der Äther und bin nun gespannt, wie sich die Dinge weiterentwickeln werden.
Der wesentliche Gang der Rechnungen ist aus den folgenden Zeilen nachvollziehbar. Die
Grundidee ist, daß es die sog. 'Dunkle Materie' nicht gibt, wofür ein stichhaltiger und unten
nachlesbarer Beweis geliefert wird. Nach dieser 'Dunklen Materie' suchen Astronomen seit
rund 100 Jahren ! Als man nämlich herausgefunden hatte, daß die Spiralnebel nicht
Bestandteile unserer Milchstraße sind, und als man gelernt hatte, aus den Spektren der Sterne
mittels Doppler-Effekt und ihrer Bewegung im Raum ihre Geschwindigkeiten um die Zentren
der Galaxien zu messen, machte man die seltsame Beobachtung, daß für die weiter außen
liegenden Sterne größere Geschwindigkeiten bestimmt wurden, als man nach dem zu
erwartenden „r-1/2 – Gesetz“ gefordert hatte (welches ja hervorragend auf die Planeten unseres
Sonnensystems paßt). Diese Beobachtung wurde bei vielen Galaxien bestätigt und man
glaubte, für dieses Phänomen eine 'Dunkle Materie' verantwortlich machen zu können, über
deren Natur aber immer wieder spekuliert wurde (s.u.).
Während im angesprochenen SuW-Artikel überwiegend die beobachtende Astronomie zu dem
Schluß kommt, daß aus den bisherigen Messungen nicht auf die Existenz der 'Dunklen
Materie' geschlossen werden könne, wird im Spektrum-Artikel hervorgehoben, welcher
enorme auch finanzielle Aufwand von verschiedenen Forschergruppen betrieben wird, um
künftig der 'Dunklen Materie' habhaft zu werden.
Wie man auf das Konstrukt der 'Dunklen Materie' genauer gekommen ist, soll an dieser Stelle
nicht erläutert werden, sondern es werde auf den 7 Seiten langen Artikel 'Dunkle Materie' in
(http://de.wikipedia.org/wiki/Dunkle_Materie) verwiesen, oder wo der Autor wiederholt und
noch öfter an folgendem Satz hängen geblieben ist, den man in „Meyers Handbuch Weltall“
2
(7. Auflage von J. Krautter, E. Sedlmayr, K. Schaifers und G. Traving) findet, und der sich
auf die Abbildung auf Seite 484 bezieht, wo die Rotationskurven von 25 Galaxien abgebildet
sind :
„Dieses Verhalten ist insofern überraschend, als nach der gerade formulierten Gleichgewichtsbedingung (Zentrifugalkraft = Massenanziehung) zu erwarten wäre, daß die Rotationsgeschwindigkeiten mit r-1/2 abfallen (r ist der Abstand eines Sterns vom Galaxienzentrum),
wenn die Bahnen den wesentlichen Teil der Masse der Galaxie umschließen. Aus dem
Verhalten der gemessenen Rotationsgeschwindigkeiten, die nahezu konstant bleiben (Anm: in
etwa, mit Modulationen), muß daher gefolgert werden, daß auch in diesen äußeren Bereichen
der Galaxien immer noch große Massenanteile außerhalb der jeweiligen Umlaufbahnen liegen
… Erklärungsversuche, die aber zur Zeit noch reine Spekulation sind, reichen von kühlen
Zwergsternen, planetenartigen Körpern, über niederenergetische Neutrinos bis hin zu
Schwarzen Löchern und exotischen (noch unbekannten)Teilchen.“
Natürlich habe ich mir als zwar astronomisch Interessierter aber doch als Laie über diesen
Satz auch immer wieder einmal Gedanken gemacht, und Anfang April 2012 kam mir dann aus
heiterem Himmel eine Idee, die ich „Fragmentierungs-Modell“ nennen möchte, was
ich auf den folgenden Seiten näher erklären möchte.
„Kann uns das „Fragmentierungs-Modell“ einer Galaxis im Verständnis
derselben und in Bezug auf die 'Dunkle Materie' weiterbringen ?“
Wie alle Modelle so lebt auch dieses von der Vereinfachung, und wenn sich herausstellen
sollte, daß dieses zweidimensionale Modell die betrachtete Natur halbwegs vernünftig
wiedergibt, d.h. eine gute Näherung an die Natur ist, dann kann man das Modell ja verfeinern.
Als Voraussetzung für das „Fragmentierungs-Modell“ (es wird weiter unten auf S. 5 definiert) werden nur die Aussagen benötigt :
erstens :
zweitens :
alle Massen in einer Galaxie und die Galaxie selbst werden als Massenpunkte
betrachtet
es gelten einzig das Newton'sche Gravitationsgesetz und die Zentrifugalkraft
Als Behauptung gelte : die „Dunkle Materie“ ist zur Erklärung der Abweichung von den
erwarteten Rotationskurven nach dem „Fragmentierungs-Modell“ wahrscheinlich nicht
notwendig !
Als Beweis diene das Folgende :
A.) Zunächst betrachte man als Einstieg unser Sonnensystem : die Bewegung der Planeten
um das Zentralgestirn die Sonne (eigentlich das Baryzentrum) wird beschrieben durch das
Newton'sche Gravitationsgesetz :
Gl. (1)
FG = γ · ( m · M ) / r 2
ist die Gravitationskraft auf die Probenmasse m ,
3
welche sehr klein gegen die Zentralmasse M sein soll ( also m « M ) , um
die sich m auf einer Kreisbahn mit dem Radius r mit konstanter Bahngeschwindigkeit v bewegt.
Gl. (2)
γ = 6,672 · 10-11 m3 / (kg · s2 ) ist die Newton'sche Gravitationskonstante, die
im Vergleich mit anderen Naturkonstanten (wie etwa der Lichtgeschwindigkeit
c im Vakuum) bis heute nur mit einer relativ geringen Genauigkeit gemessen
werden kann.
Gl. (3)
Die Geschwindigkeit v ist im allgemeinen eine gerichtete Größe also ein
Vektor, der seine Richtung ändern kann. Die Bahngeschwindigkeit eines mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Massenpunktes im Abstand
r zum Drehzentrum hat ebenfalls einen konstanten Betrag , und zwischen
beiden Größen besteht die Beziehung :
v=r· ω=r·(2·π·f)= r·(2·π)/T
f bezeichnet hierbei die Umlauffrequenz und T die Umlaufdauer.
Gl.(4)
Nach dem Prinzip von actio und reactio bewegen sich beim Umlauf von m
um M beide Massen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt S. Wegen der
obigen Randbedingung m « M fällt der Mittelpunkt von M praktisch mit S
zusammen, so daß M keine 'Pendelbewegung' um S ausführt. Unter diesen
Voraussetzungen muß der auf m wirkenden (auf M gerichteten) Gravitationskraft (Zentripetalkraft) in jedem ihrer Bahnpunkte durch die radial nach außen
wirkende Zentrifugalkraft Fz* das Gleichgewicht gehalten werden mit :
Fz* = m · v2 / r = m · r · ω2 = m · r · ( ( 2 · π ) / T )2
aus Gl.(1) und Gl.(4) folgt also :
Gl.(5)
FG = γ · ( m · M ) / r2 = Fz* = m · v2 / r = m · r · ω2 = m · r · ( ( 2 · π ) / T )2
nebenbei das dritte Kepler'sche Gesetz : T2/r3 = 4 · π2/ ( γ · M) oder
wenn man Gl.(5) nach der Bahngeschwindigkeit v auflöst :
Gl.(6)
v = v(r) = √(γ·M) · 1/√r = (γ·M)1/2 · r-1/2 = (konst.)· r-1/2 = k · r-1/2
wenn man in diese Gleichung die oben genannte Gravitationskonstante γ Gl.
(2) und für die Sonnenmasse MS = 1,989 · 1030 kg einsetzt, so erhält man für
die Konstante k = 1,1520 · 1010 m3/2 · 1/s und mit der Gl.(6) beispielsweise für
die Planeten in unserem Sonnensystem ihre bekannten Bahngeschwindigkeiten
v als Funktion ihres Sonnenabstandes r , also v = v ( r ) :
dies führt zur Tabelle 1 und zur (Abb. 1)
Tabelle 1
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Planet
r
v
Merkur
57,9 · 109
m
47,875 · 103 m/s
Venus
108,2 · 109
m
35,021 · 103 m/s
Erde
149,6 · 109
m
29,784 · 103 m/s
Mars
227,9 · 109
m
24,131 · 103 m/s
Jupiter
778,3 · 109
m
13,058 · 103 m/s
Saturn
1427 · 109
m
9,6435 · 103 m/s
Uranus
2870 · 109
m
6,7999 · 103 m/s
Neptun
4496 · 109
m
5,4329 · 103 m/s
( Pluto )
5900 · 109
m
4,7426 · 103 m/s
(Abb. 1) Die Geschwindigkeit v(r) der Planeten als Funktion des Sonnenabstandes r
5
Eine größere Gravitationskraft FG in Sonnennähe erfordert hiernach also eine größere
Geschwindigkeit v, mit der sich m um M bewegen muß, um eine stabile Kreisbahn zu
bilden !
Der Abfall der Bahngeschwindigkeit v mit dem Sonnenabstand r folgt also der einfachen
mathematischen Funktion : v = v(r) ~ r-1/2
Sollte man deshalb in Analogie hierzu nicht für die Sterne, welche sich um das Zentrum
unserer Milchstraße oder um das Zentrum anderer Galaxien bewegen, eine gleiche
Abhängigkeit v = v(r) ~ r-1/2 erwarten ? Die Beobachtung zeigt jedoch, wie oben schon
erwähnt, eine starke Abweichung von diesem einfachen „r-1/2 - Gesetz“ bzw. von obiger
Kurve.
B.)
Jetzt werde als Zentralmasse die zehnfache Masse genommen also : M* = 10 · M ;
und m und M* werden (wie zuvor schon m und M) wieder als Punktmassen betrachtet; das
führt zur :
Gl.(7)
Gl.(7)
v = v(r) = √(γ·10·M) · 1/√r = (γ·M)1/2·10+1/2 · r-1/2 = (konst.)·10+1/2·r-1/2 =
v = v(r) = k ·10+1/2· r-1/2
Nehmen wir künftig nun eine „Normentfernung“ von r = 5 R , wobei R beliebig sein kann.
Die Gravitationkraft der Zentralmasse M* = 10 M auf die Probemasse m im Abstand der
Normentfernung von r = 5 R beträgt dann :
Gl.(8)
FGres = γ · ( m · 10 M ) / r2 = (10/52) · ((γ · m · M ) / R2)
= 4,0000 · 10-1 · ((γ · m · M ) / R2)
↑
--------------
Nun kommt die Definition bzw. das „Fragmentierungs-Modell“ ins Spiel : man nehme von
den 10 Massen im Zentrum 9 Massen weg und verteile sie auf 12 Plätzen alle im gleichen
Abstand R so, daß sie wegen der einfacheren Rechnung die Plätze der ganzen Stunden auf der
Uhr einnehmen. Mit anderen Worten : auf jedem „Stundenplatz“ befindet sich nun die Masse
9 M / 12 = 0,75 M wie in der (Abb.2) dargestellt ist :
6
(Abb.2)
„Fragmentierungs-Modell“ mit der Zentralmasse M und 12 Teilmassen
von je 0,75 M im konstanten Abstand R von der Zentralmasse
Diese Konstruktion wurde aus Symmetriegründen gewählt, so daß im Prinzip mit dem
Taschenrechner gerechnet werden kann, denn es werden nur der Kosinussatz (gegeben sind in
einem Dreieck zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, dann läßt sich mit diesen Größen
die Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite berechnen) und der Sinussatz verwendet
(welcher in einem Dreieck zwei Seiten und den Sinus ihrer gegenüberliegenden Winkel
zueinander ins Verhältnis setzt). Diese Anordnung mit 13 Massen geht für sehr große
Entfernungen kräftemäßig in die der einzelnen Zentralmasse mit M* = 10 M über !
Wegen der Symmetrie ist die Gravitationskraft der Masse m 7 an Punkt 7 auf m betragsmäßig ebenso groß wie diejenige der Masse m 5 an Punkt 5 auf m, und da Kräfte gerichtete
Größen sind, muß man für die Resultierende F res 7,5 aus beiden Kräften die Vektorsumme
bilden, welche gravitativ auf m einwirkt. Um dieses Ziel zu erreichen, bestimmt man
zunächst den Abstand r7 zwischen m und m7 bzw. m5 also r7 = r5 mit dem Kosinussatz :
Gl.(9) r72 = R2 + (5 · R)2 - 2· 5 R · R · cos (1 · 300) → r7 = r5 = 4,16410 · R
Hiermit erhält die gravitative Kraft von m7 bzw. von m5 auf m den Wert :
Gl.(10)
F7 = F5 = ((γ · m· M)/R2) · (0,75/(4,16410)2) = 4,32532 · 10-2 ((γ· m· M)/R2)
um die resultierende Kraft von m7 und m5 auf m berechnen zu können, benötigt man
den Winkel δ7 zwischen den Massen M , m und m7 , der sich wiederum mit dem
Kosinussatz bestimmen läßt :
R2 = r72 + (5 · R)2 – 2 · r7 · 5 · R · cos δ7 → cos δ7 = (r72 + (5 · R)2- R2)/(2 r7·5R)
7
Gl.(11)
R kürzt sich hier heraus → δ7 = 6,896370
mit dem Sinussatz kann man nun in das Kraftdreieck gehen, um die resultierende Kraft
Fres 7, 5 zu berechnen
Fres 7, 5 / sin (1800 - 2·δ7 ) = F7 / sin δ7
Gl.(12)
Fres 7, 5 = 1,98553 · F7 = 8,58806 · 10-2 ((γ · m· M)/R2)
Mit denselben Gleichungen Gl.(9) bis Gl.(12) bestimmt man die restlichen Kräfte von den
Massen m8,m4 ; den Massen m9,m3 ; den Massen m10,m2; den Massen m11,m1 und
schließlich auch noch die Kräfte von den Massen m6 und m12 und zu guter Letzt auch noch
die Kraft der Zentralmasse M auf die Probemasse m im Abstand R. Insgesamt sind also 8
Gravitationskräfte von 13 Teilmassen auf die Probemasse m zu addieren, und man erhält für
die Resultierende aller dieser Kräfte
Gl.(13)
FGres = 4,1147 · 10-1 · ((γ · m · M ) / R2)
↑
ein Radius
Vergleicht man diesen Wert mit dem Ergebnis in Gl.(8), so erzeugen die „verteilten
Massen“ im Ergebnis Gl.(13) eine größere Gravitationskraft auf die Probemasse m im
gleichen Abstand R , und damit muß zwingend im gleichen Abstand R die Probemasse
m eine größere Geschwindigkeit v haben, um auf einer stabilen Kreisbahn zu bleiben !
Es soll hier nicht der Weg weiter verfolgt werden, was geschieht, wenn man den Abstand der
Probemasse m im „Fragmentierungs-Modell“ immer weiter vergrößert. Das Gravitationsgesetz verlangt, daß die resultierende Kraft auf m dann mit 1/r2 abnehmen muß.
-------------Im Folgenden soll die Fragmentierung weitergetrieben werden : M verbleibt wieder im
Zentrum und 9M werden jetzt gleichmäßig auf die beiden Kreisradien R und 2 R verteilt,
so daß jeder Massenpunkt die Masse m = 9M/24 = 0,375 M erhält. Unter Einhaltung der
obigen Rechenvorschriften Gl.(9) bis Gl.(12) erhält man für die Resultierende aller 25
Gravitationskräfte (durch Symmetrie reduziert auf 15) auf die Probemasse m die
Gl.(14)
FGres = 4,3106 · 10-1 · ((γ · m · M ) / R2)
↑
zwei Radien
d.h. die resultierende Gravitationskraft auf m ist noch größer geworden, und mit diesem
Resultat muß die Geschwindigkeit v wie oben ebenfalls größer geworden sein !
-------------Die Fragmentierung werde fortgesetzt : M verbleibt wieder im Zentrum und 9M werden jetzt
gleichmäßig auf die drei Kreisradien R , 2 R und 3 R verteilt, so daß jeder von den 36
Massenpunkten auf den drei Kreisen die Masse m = 9 M / 36 = 0,25 M erhält. Unter
Einhaltung der obigen Rechenvorschriften Gl.(9) bis Gl.(12) erhält man für die Resultierende
aller 37 Gravitationskräfte (durch Symmetrie reduziert auf 22) auf die Probemasse m die
8
Gl.(15)
FGres = 4,7139 · 10-1 · ((γ · m · M ) / R2)
↑
drei Radien
d.h. die resultierende Gravitationskraft auf m ist wieder größer geworden, und mit diesem
Resultat muß die Geschwindigkeit v wie oben ebenfalls weiter steigen !
-------------Nun noch eine letzte Fragmentierung : M verbleibt wieder im Zentrum und 9M werden jetzt
gleichmäßig auf die vier Kreisradien R , 2 R, 3 R und 4 R verteilt, so daß jeder von den 48
Massenpunkten auf den vier Kreisen die Masse m = 9 M / 48 = 0,1875 M erhält. Unter
Einhaltung der obigen Rechenvorschriften Gl.(9) bis Gl.(12) erhält man für die Resultierende
aller 49 Gravitationskräfte (durch Symmetrie reduziert auf 29) auf die Probemasse m die
Gl.(16)
FGres = 6,1845 · 10-1 · ((γ · m · M ) / R2)
↑
vier Radien
d.h. die resultierende Gravitationskraft auf m ist weiter gestiegen, und mit diesem Resultat
muß die Geschwindigkeit v wie oben noch größer geworden sein !
-------------Wenn man in den Gleichungen Gl.(8) und Gl.(13) bis Gl.(16) die Koeffizienten der Kraft von
((γ · m · M ) / R 2) linear über R aufträgt (Abb. 3) , so erhält man eine überlineare Kurve,
welche die Kraftzunahme bei steigender Fragmentierung wiedergibt ! Es ließen sich hieraus
auch Zwischenwerte interpolieren. Die Gesamtmasse bei allen vier durchgeführten
Fragmentierungen ist immer die gleiche geblieben nämlich 10 M , die Geschwindigkeit einer
umlaufenden Probemasse m hängt aber nach dem Vorstehenden empfindlich von der
homogenen (in der Realität : inhomogen) Verteilung der Restmassen von 9 M ab, wie sich
aus der unteren (Abb. 3) deutlich ablesen läßt !
Mit anderen Worten : das vorgestellte „Fragmentierungs-Modell“ (es läßt sich
natürlich wie alle Modelle verbessern) beweist, daß bei gleicher Gesamtmasse die
Verteilung der Sternmassen in der Galaxienscheibe eine größere
Geschwindigkeit der umlaufenden Sterne erfordert, als wenn man die
Gesamtmasse der Galaxie in einem Punkt konzentriert und hiermit die
Umlaufgeschwindigkeit berechnet ! Im Nachhinein ist dieses Ergebnis sogar
verständlich und plausibel.
9
(Abb. 3)
Kraft-Koeffizient in Abhängigkeit vom Abstand R
Aus :
Gl.(17)
FGres = Koeff. · ((γ · m · M ) / R2)
↑
oder zusammen mit Gl.(4) :
Gl.(18)
v = ( FGres · R/m )1/2 = ( Koeff. · (γ · M / R) )1/2
↑
ergibt sich die Geschwindigkeit v Gl.(18) der umlaufenden Probemasse m, welche
empfindlich vom oben vorgestellten Koeffizienten abhängt und damit von der Verteilung der
Massen in der Galaxienscheibe innerhalb der Bahn von m . Dies scheint von der Astronomie
bislang nicht hinreichend berücksichtigt worden zu sein, weshalb eine nicht existente 'Dunkle
Materie' postuliert wurde. - An dieser Stelle würde gewiß auch noch von Interesse sein, wie
sich das beschriebene „Fragmentierungs-Modell“ bezüglich der (Abb. 3) auswirken würde,
wenn man es auf die Radien 5 R und 6 R oder auf noch größere Abstände ausdehnen würde,
oder bei welchem Abstand der Koeffizient wirklich wieder abnimmt; aber der große
Rechnungsaufwand ist sinnvoller Weise besser in astronomischen Rechenzentren aufgehoben,
denn der Taschenrechner würde hierbei immer unökonomischer.
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In letzter Konsequenz hat es den Anschein, daß man auf die mysteriöse Dunkle Materie
verzichten kann, wenn es erlaubt ist, aus der Struktur der Rotationskurven der Galaxien
auf die Stern-Verteilung in der Galaxienscheibe zu schließen. Möglicherweise darf man
auf exotische Erklärungsversuche verzichten und sich bei diesen Rotationskurven in erster
Näherung allein auf die Gravitationskraft und die Zentrifugalkraft beschränken ! - Nach
der bisherigen Vorstellung macht die 'Dunkle Materie' etwa 23 % der Gesamtmasse des
Universums aus. Letztlich bedeutet die obige Ableitung auch, daß man die Hypothese, mit
der diese 23 % Masse für die 'Dunkle Materie' gefordert werden, einer gewissenhaften
Überprüfung unterziehen muß; unter Umständen ist diese Hypothese sogar falsch. - Als
weitere Konsequenz müßte man sich überlegen, ob man nicht die Gesamtmasse einer Galaxie
nach der bisherigen Methode vielleicht immer als etwas zu groß bestimmt hätte.
Sicherlich ist nicht die gesamte Materieverteilung in den zur Verfügung stehenden, heute
beobachtbaren Spektralbereichen für die gesamte Galaxie abbildbar, so daß hier weiterer
Forschungsbedarf besteht. Wir wissen aber mittlerweile, daß das Zentrum unserer Milchstraße
ein supermassives Schwarzes Loch enthält aufgrund der Bewegung zentrumnaher Sterne, und
dies berechtigt uns zu der Annahme, daß es in unserer eigenen Galaxie auch noch sehr viele
„normale“ Schwarze Löcher gibt, die dringend in ihrer Häufigkeit möglichst alle aufzuspüren
sind und welche empfindlich die eigene Rotationskurve beeinflussen, wie aus obiger
Darstellung ableitbar ist.
Wissenschaft besteht nun einmal darin, daß verschiedene Arbeitsmodelle in Konkurrenz
zueinander treten und sich häufig diejenigen durchsetzen, welche mit der geringsten Anzahl
von Grundannahmen oder Parametern für die Erklärung naturwissenschaftlicher Phänomene
auskommen. - Wie alle Hypothesen muß auch die vorgelegte Hypothese des
„Fragmentierungs-Modells“ sich erst einmal bewähren und den „Härtetest“ bestehen;
persönlich glaube ich jedoch, daß die bisher postulierte „Dunkle Materie“ vom gleichen
Kaliber ist wie früher der „Äther“ und man mit dem „Fragmentierungs-Modell“ erfolgreich
weiterarbeiten kann.
Jan van der Lip
Wolfsbühl 25
88 271Wilhelmsdorf
am
24.5.2012