Nichtstandard-Analysis und deren Anwendung im

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NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Nichtstandard-Analysis und deren Anwendung
im Mathematikunterricht
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Barbara Wieczorek
Friedrich-Schiller-Universität Jena
19. Januar 2010
Gruppenarbeit
Fazit
Übersicht
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
1 Einführung
2 Das hyperrelle Zahlensystem
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
3 Rechenoperationen
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
4 Anwendung
5 Erfahrungen in der Praxis
6 Gruppenarbeit
7 Fazit
Fazit
Übersicht
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
1 Einführung
2 Das hyperrelle Zahlensystem
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
3 Rechenoperationen
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
4 Anwendung
5 Erfahrungen in der Praxis
6 Gruppenarbeit
7 Fazit
Fazit
Historisches
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
• Schon in der Antike: Versuche, unendlich kleine
Einheiten begrifflich und gedanklich zu erfassen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Historisches
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
• Schon in der Antike: Versuche, unendlich kleine
Einheiten begrifflich und gedanklich zu erfassen
• Demokrit: Vergleich der Flächen eines
durchgeschnittenen Kegels
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Historisches
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
• Schon in der Antike: Versuche, unendlich kleine
Einheiten begrifflich und gedanklich zu erfassen
• Demokrit: Vergleich der Flächen eines
durchgeschnittenen Kegels
• Chrysipp hierzu:
Die Flächen sind weder gleich noch ungleich.
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Historisches
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
• L’Hospital:
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Historisches
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
• L’Hospital:
Rechenoperationen
Anwendung
Grant that two quantities, whose difference is an
infinitely small quantity, may be taken (or used)
indifferently for each other: or (which is the same thing)
that a quantity, which is increased or decreased only by
an infinitely small quantity, may be considered as
remaining the same.
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Historisches
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Bernoulli:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Historisches
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Bernoulli:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Eine Größe, die vermindert oder vermehrt wird um eine
unendlich kleinere Größe, wird weder vermindert noch
vermehrt.
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Historisches
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Bernoulli:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Eine Größe, die vermindert oder vermehrt wird um eine
unendlich kleinere Größe, wird weder vermindert noch
vermehrt.
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
• Leibniz:
Fazit
Historisches
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Bernoulli:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Eine Größe, die vermindert oder vermehrt wird um eine
unendlich kleinere Größe, wird weder vermindert noch
vermehrt.
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
• Leibniz:
It will be sufficient if, when we speak of infinitely great
..., or of infinitely small quantities... it is understood
that we mean quantities that are indefinitely great or
indefinitely small...
Fazit
Einführung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Einführung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
• Grundgedanke: Verwendung unendlich kleiner und
unendlich großer Zahlen anstelle von Grenzwerten
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Einführung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
• Grundgedanke: Verwendung unendlich kleiner und
unendlich großer Zahlen anstelle von Grenzwerten
• Begriffe wie Ableitung und Integral sind ohne
Betrachtung von Grenzwertbildungen möglich
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Einführung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
• Grundgedanke: Verwendung unendlich kleiner und
unendlich großer Zahlen anstelle von Grenzwerten
• Begriffe wie Ableitung und Integral sind ohne
Betrachtung von Grenzwertbildungen möglich
• Erste mathematische Fundierung durch Abraham
Robinson in den 1960er Jahren
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Die reellen Zahlen
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Für die reellen Zahlen gilt das archimedische Axiom:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Die reellen Zahlen
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Für die reellen Zahlen gilt das archimedische Axiom:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Zu jeder positiven reellen Zahl a gibt es eine ganze Zahl
n mit na > 1.
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Die reellen Zahlen
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Für die reellen Zahlen gilt das archimedische Axiom:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Zu jeder positiven reellen Zahl a gibt es eine ganze Zahl
n mit na > 1.
• Anschaulich: Durch endliche Vergrößerung wird der
Abstand einer beliebigen reellen Zahl zur Null jede fest
vorgegebene Schranke überschreiten.
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Die reellen Zahlen
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Für die reellen Zahlen gilt das archimedische Axiom:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Zu jeder positiven reellen Zahl a gibt es eine ganze Zahl
n mit na > 1.
• Anschaulich: Durch endliche Vergrößerung wird der
Abstand einer beliebigen reellen Zahl zur Null jede fest
vorgegebene Schranke überschreiten.
• In der Nichtstandardanalysis wird eine Zahlenmenge
verwendet, in der das archimedische Axiom nicht gilt.
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Die reellen Zahlen
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Für die reellen Zahlen gilt das archimedische Axiom:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Zu jeder positiven reellen Zahl a gibt es eine ganze Zahl
n mit na > 1.
• Anschaulich: Durch endliche Vergrößerung wird der
Abstand einer beliebigen reellen Zahl zur Null jede fest
vorgegebene Schranke überschreiten.
• In der Nichtstandardanalysis wird eine Zahlenmenge
verwendet, in der das archimedische Axiom nicht gilt.
• Die reellen Zahlen werden hierbei erweitert.
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Übersicht
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
1 Einführung
2 Das hyperrelle Zahlensystem
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
3 Rechenoperationen
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
4 Anwendung
5 Erfahrungen in der Praxis
6 Gruppenarbeit
7 Fazit
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Die Nichtstandardanalysis rechnet mit den sogenannten
hyperrellen Zahlen, bezeichnet mit R∗ . Es gilt:
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Die Nichtstandardanalysis rechnet mit den sogenannten
hyperrellen Zahlen, bezeichnet mit R∗ . Es gilt:
• Axiom I: Jede reelle Zahl ist eine hyperrelle Zahl.
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Die Nichtstandardanalysis rechnet mit den sogenannten
hyperrellen Zahlen, bezeichnet mit R∗ . Es gilt:
• Axiom I: Jede reelle Zahl ist eine hyperrelle Zahl.
• Axiom der Infinitesimalzahlen: Es gibt hyperrelle Zahlen
α, α 6= 0, so dass für jede positive reelle Zahl a gilt
−a < α < a. Eine solche hyperreelle Zahl heißt eine
Infinitesimalzahl.
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen unendlich
benachbart, wenn x − y eine Infinitesimalzahl ist.
Schreibweise: x ≈ y .
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen unendlich
benachbart, wenn x − y eine Infinitesimalzahl ist.
Schreibweise: x ≈ y .
• Eine hyperrelle Zahl x heißt endlich, wenn es eine reelle
Zahl a gibt, so dass −a < x < a. Andernfalls heißt x
unendlich.
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen unendlich
benachbart, wenn x − y eine Infinitesimalzahl ist.
Schreibweise: x ≈ y .
• Eine hyperrelle Zahl x heißt endlich, wenn es eine reelle
Zahl a gibt, so dass −a < x < a. Andernfalls heißt x
unendlich.
• auf R∗ sind die Operationen + und · erklärt. Hierbei gilt:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen unendlich
benachbart, wenn x − y eine Infinitesimalzahl ist.
Schreibweise: x ≈ y .
• Eine hyperrelle Zahl x heißt endlich, wenn es eine reelle
Zahl a gibt, so dass −a < x < a. Andernfalls heißt x
unendlich.
• auf R∗ sind die Operationen + und · erklärt. Hierbei gilt:
Übereinstimmung mit den Operationen · und + im
Reellen.
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Wurzelaxiom:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Wurzelaxiom:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Für jede positive hyperreelle Zahl a und jede positive
ganze Zahl n gibt es eine positive hyperrelle Zahl b mit
√
bn = a. Schreibweise: b = n a.
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Wurzelaxiom:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Für jede positive hyperreelle Zahl a und jede positive
ganze Zahl n gibt es eine positive hyperrelle Zahl b mit
√
bn = a. Schreibweise: b = n a.
• Standardanteil-Axiom:
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Wurzelaxiom:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Für jede positive hyperreelle Zahl a und jede positive
ganze Zahl n gibt es eine positive hyperrelle Zahl b mit
√
bn = a. Schreibweise: b = n a.
• Standardanteil-Axiom:
Für jede endliche hyperreelle Zahl x gibt es genau eine
reelle Zahl a mit x ≈ a; a heißt der Standardanteil
von x. Schreibweise: a = st(x).
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
• Funktionsaxiom:
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
• Funktionsaxiom:
Rechenoperationen
Anwendung
Jede reelle Funktion f von einer oder mehreren
Variablen hat ein Gegenstück ∗ f in der hyperrellen Welt.
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
• Funktionsaxiom:
Rechenoperationen
Anwendung
Jede reelle Funktion f von einer oder mehreren
Variablen hat ein Gegenstück ∗ f in der hyperrellen Welt.
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
• Übertragungsaxiom:
Fazit
Das hyperreelle Zahlensystem
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
• Funktionsaxiom:
Rechenoperationen
Anwendung
Jede reelle Funktion f von einer oder mehreren
Variablen hat ein Gegenstück ∗ f in der hyperrellen Welt.
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
• Übertragungsaxiom:
Jede Eigenschaft, welche im reellen Zahlsystem in der
üblichen mathematischen Sprache formuliert werden
kann, gilt auch im hyperreellen System.
Fazit
Übersicht
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
1 Einführung
2 Das hyperrelle Zahlensystem
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
3 Rechenoperationen
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
4 Anwendung
5 Erfahrungen in der Praxis
6 Gruppenarbeit
7 Fazit
Fazit
Addition und Subtraktion (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Addition und Subtraktion (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
α+β
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Addition und Subtraktion (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
α+β
infinitesimal
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Addition und Subtraktion (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
α+β
α + b oder b + α
infinitesimal
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Addition und Subtraktion (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
α+β
α + b oder b + α
infinitesimal
endlich, nicht infinitesimal
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Addition und Subtraktion (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
α+β
α + b oder b + α
α + B oder B + α
infinitesimal
endlich, nicht infinitesimal
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Addition und Subtraktion (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
α+β
α + b oder b + α
α + B oder B + α
infinitesimal
endlich, nicht infinitesimal
unendlich
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Addition und Subtraktion (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
α+β
α + b oder b + α
α + B oder B + α
α−β
infinitesimal
endlich, nicht infinitesimal
unendlich
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Addition und Subtraktion (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
α+β
α + b oder b + α
α + B oder B + α
infinitesimal
endlich, nicht infinitesimal
unendlich
α−β
infinitesimal
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Addition und Subtraktion (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
α+β
α + b oder b + α
α + B oder B + α
infinitesimal
endlich, nicht infinitesimal
unendlich
α−β
α − B oder B − α
infinitesimal
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Addition und Subtraktion (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
α+β
α + b oder b + α
α + B oder B + α
infinitesimal
endlich, nicht infinitesimal
unendlich
α−β
α − B oder B − α
infinitesimal
unendlich
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Addition und Subtraktion (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
α+β
α + b oder b + α
α + B oder B + α
infinitesimal
endlich, nicht infinitesimal
unendlich
α−β
α − B oder B − α
A−B
infinitesimal
unendlich
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Addition und Subtraktion (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
α+β
α + b oder b + α
α + B oder B + α
infinitesimal
endlich, nicht infinitesimal
unendlich
α−β
α − B oder B − α
A−B
infinitesimal
unendlich
infinitesimal, endlich oder unendlich
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Multiplikation und Division (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Multiplikation und Division (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
α·β
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Multiplikation und Division (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
α·β
infinitesimal
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Multiplikation und Division (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
α·β
α · b oder b · α
infinitesimal
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Multiplikation und Division (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
α·β
α · b oder b · α
infinitesimal
infinitesimal
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Multiplikation und Division (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
α·β
α · b oder b · α
A·B
infinitesimal
infinitesimal
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Multiplikation und Division (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
α·β
α · b oder b · α
A·B
infinitesimal
infinitesimal
unendlich
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Multiplikation und Division (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
α·β
α · b oder b · α
A·B
α/β
infinitesimal
infinitesimal
unendlich
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Multiplikation und Division (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
α·β
α · b oder b · α
A·B
infinitesimal
infinitesimal
unendlich
α/β
infinitesimal, endlich oder unendlich
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Multiplikation und Division (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
α·β
α · b oder b · α
A·B
infinitesimal
infinitesimal
unendlich
α/β
a/B
infinitesimal, endlich oder unendlich
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Multiplikation und Division (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
α·β
α · b oder b · α
A·B
infinitesimal
infinitesimal
unendlich
α/β
a/B
infinitesimal, endlich oder unendlich
infinitesimal
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Multiplikation und Division (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
α·β
α · b oder b · α
A·B
infinitesimal
infinitesimal
unendlich
α/β
a/B
B/a
infinitesimal, endlich oder unendlich
infinitesimal
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Multiplikation und Division (exemplarisch)
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht
infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt
α·β
α · b oder b · α
A·B
infinitesimal
infinitesimal
unendlich
α/β
a/B
B/a
infinitesimal, endlich oder unendlich
infinitesimal
unendlich
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Übersicht
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
1 Einführung
2 Das hyperrelle Zahlensystem
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
3 Rechenoperationen
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
4 Anwendung
5 Erfahrungen in der Praxis
6 Gruppenarbeit
7 Fazit
Fazit
Stetigkeit
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Klassische ε-δ-Definition der Stetigkeit von f im Punkte
a:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
NichtstandardAnalysis
Stetigkeit
B. Wieczorek
Einführung
• Klassische ε-δ-Definition der Stetigkeit von f im Punkte
a:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
∀ε ∃δ ∀x : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
NichtstandardAnalysis
Stetigkeit
B. Wieczorek
Einführung
• Klassische ε-δ-Definition der Stetigkeit von f im Punkte
a:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
∀ε ∃δ ∀x : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
• Nichtstandard-Version:
Gruppenarbeit
Fazit
NichtstandardAnalysis
Stetigkeit
B. Wieczorek
Einführung
• Klassische ε-δ-Definition der Stetigkeit von f im Punkte
a:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
∀ε ∃δ ∀x : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
• Nichtstandard-Version:
f stetig in a := ∀x∗
∈∗
Fazit
R∗ :
x∗ ≈ a ⇒ f (x∗ ) ≈ f (a)
NichtstandardAnalysis
Stetigkeit
B. Wieczorek
Einführung
• Klassische ε-δ-Definition der Stetigkeit von f im Punkte
a:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
∀ε ∃δ ∀x : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
• Nichtstandard-Version:
f stetig in a := ∀x∗
∈∗
Fazit
R∗ :
x∗ ≈ a ⇒ f (x∗ ) ≈ f (a)
Anschaulich: Eine unendlich kleine Abänderung der
Variablen bewirkt höchstens eine unendlich kleine
Abänderung der Funktion selbst.
NichtstandardAnalysis
Beispiel
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Betrachte die Funktion:
Rechenoperationen
f (x) :=
1, x = 0
0, sonst
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
NichtstandardAnalysis
Beispiel
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Betrachte die Funktion:
Rechenoperationen
f (x) :=
1, x = 0
0, sonst
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Sei nun α ≈ 0, aber α 6= 0. Dann gilt:
Fazit
NichtstandardAnalysis
Beispiel
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Betrachte die Funktion:
Rechenoperationen
f (x) :=
1, x = 0
0, sonst
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Sei nun α ≈ 0, aber α 6= 0. Dann gilt:
f (α) = 0 und somit gilt nicht
Fazit
NichtstandardAnalysis
Beispiel
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Betrachte die Funktion:
Rechenoperationen
f (x) :=
1, x = 0
0, sonst
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Sei nun α ≈ 0, aber α 6= 0. Dann gilt:
f (α) = 0 und somit gilt nicht f (α) ≈ f (0)
Fazit
NichtstandardAnalysis
Beispiel
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Betrachte die Funktion:
Rechenoperationen
f (x) :=
1, x = 0
0, sonst
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Sei nun α ≈ 0, aber α 6= 0. Dann gilt:
f (α) = 0 und somit gilt nicht f (α) ≈ f (0)
Damit ist f im Punkt 0 nicht stetig.
Fazit
Differenzierbarkeit
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Klassische Definition der Ableitung von f im Punkte x:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
NichtstandardAnalysis
Differenzierbarkeit
B. Wieczorek
Einführung
• Klassische Definition der Ableitung von f im Punkte x:
f (x + h) − f (x)
h
h→0
f 0 (x) = lim
(im Falle der Existenz des Limies)
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
NichtstandardAnalysis
Differenzierbarkeit
B. Wieczorek
Einführung
• Klassische Definition der Ableitung von f im Punkte x:
f (x + h) − f (x)
h
h→0
f 0 (x) = lim
(im Falle der Existenz des Limies)
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
• Nichtstandard-Definition:
Fazit
NichtstandardAnalysis
Differenzierbarkeit
B. Wieczorek
Einführung
• Klassische Definition der Ableitung von f im Punkte x:
f (x + h) − f (x)
h
h→0
f 0 (x) = lim
(im Falle der Existenz des Limies)
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
• Nichtstandard-Definition:
f ist diff’bar in x mit Ableitung f 0 (x):
∀|h∗ | << 1 :
f (x + h∗ ) − f (x)
≈ f 0 (x)
h∗
mit eindeutigem f 0 (x).
Fazit
Differenzierbarkeit - Beispiele
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
• f (x) = x 2
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Differenzierbarkeit - Beispiele
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
• f (x) = x 2
Sei |h| << 1; dann gilt:
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
NichtstandardAnalysis
Differenzierbarkeit - Beispiele
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
• f (x) = x 2
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Sei |h| << 1; dann gilt:
Gruppenarbeit
f 0 (x) ≈
(x +
h)2
h
−
x2
= 2x + h
Fazit
NichtstandardAnalysis
Differenzierbarkeit - Beispiele
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
• f (x) = x 2
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Sei |h| << 1; dann gilt:
Gruppenarbeit
f 0 (x) ≈
(x +
h)2
h
−
x2
= 2x + h ≈ 2x
Fazit
NichtstandardAnalysis
Integrierbarkeit
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Das Integral
Rb
Anwendung
f (x)dx existiert und hat den Wert F ∈ R,
a
wenn f stetig und wenn für alle h ≈ 0 und ψ >> 1 mit
ψ
P
h · ψ = b − a gilt
f (a + k · h) · h ≈ F .
k=0
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Integrierbarkeit
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Beispiel:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Integrierbarkeit
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Beispiel:
R1
0
xdx
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Integrierbarkeit
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Beispiel:
R1
xdx
0
Es gilt:
ψ
X
k=0
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
1
1
2
f (0 + k · h) · h = (0 + + + ... + 1)
ψ
ψ ψ
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
NichtstandardAnalysis
Integrierbarkeit
B. Wieczorek
Einführung
Beispiel:
R1
Das hyperrelle
Zahlensystem
xdx
0
Rechenoperationen
Es gilt:
ψ
X
k=0
Anwendung
1
1
2
f (0 + k · h) · h = (0 + + + ... + 1)
ψ
ψ ψ
1
1 ψ(ψ + 1)
= 2 (1 + ...ψ) = 2
ψ
ψ
2
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
NichtstandardAnalysis
Integrierbarkeit
B. Wieczorek
Einführung
Beispiel:
R1
Das hyperrelle
Zahlensystem
xdx
0
Rechenoperationen
Es gilt:
ψ
X
k=0
Anwendung
1
1
2
f (0 + k · h) · h = (0 + + + ... + 1)
ψ
ψ ψ
1
1 ψ(ψ + 1)
= 2 (1 + ...ψ) = 2
ψ
ψ
2
1
1
= +
2 2ψ
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
NichtstandardAnalysis
Integrierbarkeit
B. Wieczorek
Einführung
Beispiel:
R1
Das hyperrelle
Zahlensystem
xdx
0
Rechenoperationen
Es gilt:
ψ
X
k=0
Anwendung
1
1
2
f (0 + k · h) · h = (0 + + + ... + 1)
ψ
ψ ψ
1
1 ψ(ψ + 1)
= 2 (1 + ...ψ) = 2
ψ
ψ
2
1
1
1
= +
≈
2 2ψ
2
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Übersicht
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
1 Einführung
2 Das hyperrelle Zahlensystem
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
3 Rechenoperationen
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
4 Anwendung
5 Erfahrungen in der Praxis
6 Gruppenarbeit
7 Fazit
Fazit
Unterrichtsversuch von Kathleen Sullivan
1972-1974
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Rahmenbedingungen:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Unterrichtsversuch von Kathleen Sullivan
1972-1974
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Rahmenbedingungen:
• Schüler: fünf Kurse in fünf unterschiedlichen Schulen im
Gebiet Chicago-Milwaukee
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Unterrichtsversuch von Kathleen Sullivan
1972-1974
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Rahmenbedingungen:
• Schüler: fünf Kurse in fünf unterschiedlichen Schulen im
Gebiet Chicago-Milwaukee
• Davon: vier kleine Privatschulen, eine öffentliche high
school mit Schülern der ”upper middle class”
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Unterrichtsversuch von Kathleen Sullivan
1972-1974
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Rahmenbedingungen:
• Schüler: fünf Kurse in fünf unterschiedlichen Schulen im
Gebiet Chicago-Milwaukee
• Davon: vier kleine Privatschulen, eine öffentliche high
school mit Schülern der ”upper middle class”
• an drei von fünf Schulen: Kurse mit mathematisch
überdurchschnittlich befähigten Schülern; restliche zwei:
einziger Calculus-Kurs an jeweiliger Schule
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Unterrichtsversuch von Kathleen Sullivan
1972-1974
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Rahmenbedingungen:
• Schüler: fünf Kurse in fünf unterschiedlichen Schulen im
Gebiet Chicago-Milwaukee
• Davon: vier kleine Privatschulen, eine öffentliche high
school mit Schülern der ”upper middle class”
• an drei von fünf Schulen: Kurse mit mathematisch
überdurchschnittlich befähigten Schülern; restliche zwei:
einziger Calculus-Kurs an jeweiliger Schule
⇒ Generell: Schüler des Versuchs nicht repräsentativ für
durchschnittliche Schüler, sondern eher
überdurchschnittliches Begabungs- und Förderungsniveau
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Rahmenbedingungen
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Lehrkräfte: Bereits mehrjährige Erfahrung im
Unterrichten der entsprechenden Inhalte nach der
Standard-Methode
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Rahmenbedingungen
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Lehrkräfte: Bereits mehrjährige Erfahrung im
Unterrichten der entsprechenden Inhalte nach der
Standard-Methode
• Zeitlicher Ablauf:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Rahmenbedingungen
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Lehrkräfte: Bereits mehrjährige Erfahrung im
Unterrichten der entsprechenden Inhalte nach der
Standard-Methode
• Zeitlicher Ablauf:
• Im Schuljahr 1972-73: Unterrichten eines Kurses nach
Standard-Methode (Control Group)
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Rahmenbedingungen
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Lehrkräfte: Bereits mehrjährige Erfahrung im
Unterrichten der entsprechenden Inhalte nach der
Standard-Methode
• Zeitlicher Ablauf:
• Im Schuljahr 1972-73: Unterrichten eines Kurses nach
Standard-Methode (Control Group)
• Im Schuljahr 1973-74: Unterrichten eines Kurses nach
Nichtstandard-Methode (Experimental Group)
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Rahmenbedingungen
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
• Lehrkräfte: Bereits mehrjährige Erfahrung im
Unterrichten der entsprechenden Inhalte nach der
Standard-Methode
• Zeitlicher Ablauf:
• Im Schuljahr 1972-73: Unterrichten eines Kurses nach
Standard-Methode (Control Group)
• Im Schuljahr 1973-74: Unterrichten eines Kurses nach
Nichtstandard-Methode (Experimental Group)
• Schülergruppen hierbei vergleichbar hinisichtlich
mathematischer Fähigkeiten
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Resultate
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Durchführung eines Tests am Ende der Unterrichtseinheiten
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Resultate
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Durchführung eines Tests am Ende der Unterrichtseinheiten
Auswertung:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Resultate
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Durchführung eines Tests am Ende der Unterrichtseinheiten
Auswertung:
Bearbeitung von Aufgabe 3: Beweis für Grenzwerte einer
unstetigen Funktion an Unstetigkeitsstelle
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Resultate
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Durchführung eines Tests am Ende der Unterrichtseinheiten
Auswertung:
Bearbeitung von Aufgabe 3: Beweis für Grenzwerte einer
unstetigen Funktion an Unstetigkeitsstelle
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Unterschiede:
Fazit
Resultate
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Durchführung eines Tests am Ende der Unterrichtseinheiten
Auswertung:
Bearbeitung von Aufgabe 3: Beweis für Grenzwerte einer
unstetigen Funktion an Unstetigkeitsstelle
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Unterschiede:
• Control Group: ca. ein Drittel der Schüler versucht die
Aufgabe nicht
Fazit
Resultate
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Durchführung eines Tests am Ende der Unterrichtseinheiten
Auswertung:
Bearbeitung von Aufgabe 3: Beweis für Grenzwerte einer
unstetigen Funktion an Unstetigkeitsstelle
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Unterschiede:
• Control Group: ca. ein Drittel der Schüler versucht die
Aufgabe nicht
• Experimental Group: ca. 6 Prozent versuchen die
Aufgabe nicht
Fazit
NichtstandardAnalysis
Resultate
B. Wieczorek
Einführung
Tabelle 1: Student Responses to Question 3
did not attempt
Standard arguments
satisfactory proof
correct statements
falling short of proof
(e.g., one is only
concerned with x 6= 2)
Nonstandard arguments
satisfactory proof
incorrect arguments
Control Group
(68 students)
Experimental Group
(68 students)
22
4
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
2
Fazit
15
14
25
2
NichtstandardAnalysis
Resultate
B. Wieczorek
Einführung
Generelle Bereitschaft zum Lösen von Aufgaben auf
gesamten Test bezogen
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Tabelle 2: Number of students attempting a solution
Defining basic
concepts
Computing limits
Producing proofs
Applying basic
concepts
Control Group
(68 students)
Experimental Group
(68 students)
48
49
18
52
68
45
60
60
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Kritische Einschätzung zum Schülertest
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Probleme
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Kritische Einschätzung zum Schülertest
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Probleme
• Tabelle 1 greift Aufgabe mit größtem Unterschied
heraus; keine Angaben zur Bearbeitung der restlichen
Aufgaben
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Kritische Einschätzung zum Schülertest
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Probleme
• Tabelle 1 greift Aufgabe mit größtem Unterschied
heraus; keine Angaben zur Bearbeitung der restlichen
Aufgaben
• Keine Erklärung der Unterschiede in Tabelle 2 (z.B. evtl.
intensiveres Erläutern und Üben von Beweismethoden
im Nichtstandard-Fall?)
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Kritische Einschätzung zum Schülertest
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Probleme
• Tabelle 1 greift Aufgabe mit größtem Unterschied
heraus; keine Angaben zur Bearbeitung der restlichen
Aufgaben
• Keine Erklärung der Unterschiede in Tabelle 2 (z.B. evtl.
intensiveres Erläutern und Üben von Beweismethoden
im Nichtstandard-Fall?)
• Schülerschaft generell nicht repräsentativ
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Lehrerbefragung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Teil 1: Verständnis des Konzeptes der Nichtstandard-Analysis
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Lehrerbefragung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Teil 1: Verständnis des Konzeptes der Nichtstandard-Analysis
Rechenoperationen
Anwendung
• Generelle Einschätzung: Unproblematisch, Beantwortung
der Fragen positiv hinsichtlich des Einsatzes von
Nichtstandard-Analysis
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Lehrerbefragung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Teil 1: Verständnis des Konzeptes der Nichtstandard-Analysis
Rechenoperationen
Anwendung
• Generelle Einschätzung: Unproblematisch, Beantwortung
der Fragen positiv hinsichtlich des Einsatzes von
Nichtstandard-Analysis
• Problem: keine vergleichende Gegenüberstellung beider
Konzepte; lediglich Frage nach ”Benachteiligung durch
Behandlung des NSt.-Konzeptes”
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Lehrerbefragung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Teil 2: Vergleich der beiden Konzepte
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Lehrerbefragung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Teil 2: Vergleich der beiden Konzepte
Vorteile der Nichtstandard-Analysis
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Lehrerbefragung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Teil 2: Vergleich der beiden Konzepte
Vorteile der Nichtstandard-Analysis
• leichteres Erlernen der grundlegenden Konzepte
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Lehrerbefragung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Teil 2: Vergleich der beiden Konzepte
Vorteile der Nichtstandard-Analysis
• leichteres Erlernen der grundlegenden Konzepte
• Beweise leichter zu erklären und näher an der Intuition
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Kritische Einschätzung zur Lehrerbefragung,
Gesamteinschätzung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Lehrerfragebogen
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Kritische Einschätzung zur Lehrerbefragung,
Gesamteinschätzung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Lehrerfragebogen
Rechenoperationen
Anwendung
• Lehrerantworten eher gefühlsmäßige Einschätzung als
belegbares Resultat
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Kritische Einschätzung zur Lehrerbefragung,
Gesamteinschätzung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Lehrerfragebogen
Rechenoperationen
Anwendung
• Lehrerantworten eher gefühlsmäßige Einschätzung als
belegbares Resultat
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
• Hintergrundwissen der Lehrer beeinflusst möglicherweise
Einschätzung, Schüler würden u.U. anders empfinden
Fazit
Kritische Einschätzung zur Lehrerbefragung,
Gesamteinschätzung
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Lehrerfragebogen
Rechenoperationen
Anwendung
• Lehrerantworten eher gefühlsmäßige Einschätzung als
belegbares Resultat
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
• Hintergrundwissen der Lehrer beeinflusst möglicherweise
Einschätzung, Schüler würden u.U. anders empfinden
Gesamteinschätzung: Interessante Denkanstöße, die zu
weiteren Studien anregen, um Thesen zu untermauern oder
zu widerlegen
Fazit
Übersicht
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
1 Einführung
2 Das hyperrelle Zahlensystem
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
3 Rechenoperationen
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
4 Anwendung
5 Erfahrungen in der Praxis
6 Gruppenarbeit
7 Fazit
Fazit
Fragen zur Diskussion
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Welche Kompetenzen werden durch die Arbeit mit
Nichtstandard-Analysis geschult?
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Fragen zur Diskussion
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Welche Kompetenzen werden durch die Arbeit mit
Nichtstandard-Analysis geschult?
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Welche Schwierigkeiten können auftreten?
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Fragen zur Diskussion
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Welche Kompetenzen werden durch die Arbeit mit
Nichtstandard-Analysis geschult?
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Welche Schwierigkeiten können auftreten?
Welche Schwierigkeiten werden im Vergleich zur
gebräuchlichen Vorgehensweise (Grenzwertbildung)
vermieden?
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Fragen zur Diskussion
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Welche Kompetenzen werden durch die Arbeit mit
Nichtstandard-Analysis geschult?
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Welche Schwierigkeiten können auftreten?
Welche Schwierigkeiten werden im Vergleich zur
gebräuchlichen Vorgehensweise (Grenzwertbildung)
vermieden?
Wann sind welche Inhalte von der NSA für den Unterricht
geeignet bzw. nicht geeignet?
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Fragen zur Diskussion
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Welche Kompetenzen werden durch die Arbeit mit
Nichtstandard-Analysis geschult?
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Welche Schwierigkeiten können auftreten?
Welche Schwierigkeiten werden im Vergleich zur
gebräuchlichen Vorgehensweise (Grenzwertbildung)
vermieden?
Wann sind welche Inhalte von der NSA für den Unterricht
geeignet bzw. nicht geeignet?
Wie könnte das ggf. behandelt werden?
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Ergebnisse der Diskussion
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Kompetenzen:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Ergebnisse der Diskussion
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Kompetenzen:
• in hohem Maße geschult:
mit symbolischen, formalen und technischen Elementen
der Mathematik umgehen.
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Ergebnisse der Diskussion
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Kompetenzen:
• in hohem Maße geschult:
mit symbolischen, formalen und technischen Elementen
der Mathematik umgehen.
• Probleme mathematisch lösen durch Übergang zu
neuem Zahlensystem ⇒ Flexibilität im Denken
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Ergebnisse der Diskussion
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Kompetenzen:
• in hohem Maße geschult:
mit symbolischen, formalen und technischen Elementen
der Mathematik umgehen.
• Probleme mathematisch lösen durch Übergang zu
neuem Zahlensystem ⇒ Flexibilität im Denken
• mathematische Darstellungen verwenden:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Ergebnisse der Diskussion
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Kompetenzen:
• in hohem Maße geschult:
mit symbolischen, formalen und technischen Elementen
der Mathematik umgehen.
• Probleme mathematisch lösen durch Übergang zu
neuem Zahlensystem ⇒ Flexibilität im Denken
• mathematische Darstellungen verwenden:
Schreibweise unter Umständen weniger fehleranfällig als
Notation mit ”lim” vor jedem Term (bei letzterem
Gefahr des Vergessens)
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Ergebnisse der Diskussion
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Hauptsächliche Schwierigkeiten:
• Hohes Abstraktionsniveau
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Ergebnisse der Diskussion
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Hauptsächliche Schwierigkeiten:
• Hohes Abstraktionsniveau
• Anschaulichkeit:
Problem der Veranschaulichung von ”unendlich kleinem”
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Ergebnisse der Diskussion
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Hauptsächliche Schwierigkeiten:
• Hohes Abstraktionsniveau
• Anschaulichkeit:
Problem der Veranschaulichung von ”unendlich kleinem”
• kurzer Abstand zwischen Einführung eines neuen
Zahlensystems und dem rechnerischen Umgang damit
schwierig
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Eignung und Behandlung der Inhalte
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Grundsätzlich geeignet:
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Eignung und Behandlung der Inhalte
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Grundsätzlich geeignet:
• Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Eignung und Behandlung der Inhalte
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Grundsätzlich geeignet:
Einführung
• Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit
Das hyperrelle
Zahlensystem
• z. B. beispielhafte Beweise für Ableitungsregeln und
Rechenoperationen
Integrationsregeln
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Eignung und Behandlung der Inhalte
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Grundsätzlich geeignet:
Einführung
• Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit
Das hyperrelle
Zahlensystem
• z. B. beispielhafte Beweise für Ableitungsregeln und
Rechenoperationen
Integrationsregeln
Ungeeignet und nicht erforderlich:
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Eignung und Behandlung der Inhalte
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Grundsätzlich geeignet:
Einführung
• Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit
Das hyperrelle
Zahlensystem
• z. B. beispielhafte Beweise für Ableitungsregeln und
Rechenoperationen
Integrationsregeln
Ungeeignet und nicht erforderlich:
• Behandlung des Axiomensystems
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Eignung und Behandlung der Inhalte
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Grundsätzlich geeignet:
Einführung
• Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit
Das hyperrelle
Zahlensystem
• z. B. beispielhafte Beweise für Ableitungsregeln und
Rechenoperationen
Integrationsregeln
Ungeeignet und nicht erforderlich:
• Behandlung des Axiomensystems
• Herleitung sämtlicher verwendeter Formeln, etwa zur
Differentiation und Integration (analog zur
Standard-Analysis)
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Eignung und Behandlung der Inhalte
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Grundsätzlich geeignet:
Einführung
• Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit
Das hyperrelle
Zahlensystem
• z. B. beispielhafte Beweise für Ableitungsregeln und
Rechenoperationen
Integrationsregeln
Ungeeignet und nicht erforderlich:
• Behandlung des Axiomensystems
• Herleitung sämtlicher verwendeter Formeln, etwa zur
Differentiation und Integration (analog zur
Standard-Analysis)
Zielgruppe: Vorrangig Schüler höherer Jahrgangsstufen,
intuitive Herangehensweise möglicherweise auch bei jüngeren
Schülern möglich
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Übersicht
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
1 Einführung
2 Das hyperrelle Zahlensystem
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
3 Rechenoperationen
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
4 Anwendung
5 Erfahrungen in der Praxis
6 Gruppenarbeit
7 Fazit
Fazit
Fazit
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Vergleich der Herangehensweisen:
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Fazit
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Vergleich der Herangehensweisen:
• Nichtstandardanalysis benötigt Grenzwertbegriff nicht
explizit
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Fazit
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Vergleich der Herangehensweisen:
• Nichtstandardanalysis benötigt Grenzwertbegriff nicht
explizit
• Die Einführung des hyperreellen Zahlensystems
beinhaltet einen hohen Grad an Abstraktion
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
Fazit
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Vergleich der Herangehensweisen:
• Nichtstandardanalysis benötigt Grenzwertbegriff nicht
explizit
• Die Einführung des hyperreellen Zahlensystems
beinhaltet einen hohen Grad an Abstraktion
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
• Einsetzbar unter Umständen bei Schülern, die die
komplexen Zahlen kennen
Fazit
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Vergleich der Herangehensweisen:
• Nichtstandardanalysis benötigt Grenzwertbegriff nicht
explizit
• Die Einführung des hyperreellen Zahlensystems
beinhaltet einen hohen Grad an Abstraktion
Das hyperrelle
Zahlensystem
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
Fazit
• Einsetzbar unter Umständen bei Schülern, die die
komplexen Zahlen kennen
• Haltung der Mitstudenten in der Diskussion:
aufgeschlossen und kritisch abwägend, Tendenz eher
zum Zweifel an Einsetzbarkeit in der Praxis
Literatur
NichtstandardAnalysis
B. Wieczorek
Einführung
Das hyperrelle
Zahlensystem
[1] Laugwitz, D. und Schnitzspan, W. (Hrsg.): Der
Mathematikunterricht. Jahrgang 29, Heft 4, Aug./83,
Klett-Verlag.
Rechenoperationen
Anwendung
Erfahrungen in
der Praxis
Gruppenarbeit
[2] Sullivan, K.: The teaching of elementary calculus
using the nonstandard analysis approach. The American
Mathematical Monthly, Vol. 83, No. 5 (May, 1976), pp.
370-375.
Fazit
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