Nichtstandard-Analysis und deren Anwendung im
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NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Nichtstandard-Analysis und deren Anwendung im Mathematikunterricht Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Barbara Wieczorek Friedrich-Schiller-Universität Jena 19. Januar 2010 Gruppenarbeit Fazit Übersicht NichtstandardAnalysis B. Wieczorek 1 Einführung 2 Das hyperrelle Zahlensystem Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung 3 Rechenoperationen Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit 4 Anwendung 5 Erfahrungen in der Praxis 6 Gruppenarbeit 7 Fazit Fazit Übersicht NichtstandardAnalysis B. Wieczorek 1 Einführung 2 Das hyperrelle Zahlensystem Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung 3 Rechenoperationen Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit 4 Anwendung 5 Erfahrungen in der Praxis 6 Gruppenarbeit 7 Fazit Fazit Historisches NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen • Schon in der Antike: Versuche, unendlich kleine Einheiten begrifflich und gedanklich zu erfassen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Historisches NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen • Schon in der Antike: Versuche, unendlich kleine Einheiten begrifflich und gedanklich zu erfassen • Demokrit: Vergleich der Flächen eines durchgeschnittenen Kegels Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Historisches NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen • Schon in der Antike: Versuche, unendlich kleine Einheiten begrifflich und gedanklich zu erfassen • Demokrit: Vergleich der Flächen eines durchgeschnittenen Kegels • Chrysipp hierzu: Die Flächen sind weder gleich noch ungleich. Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Historisches NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem • L’Hospital: Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Historisches NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem • L’Hospital: Rechenoperationen Anwendung Grant that two quantities, whose difference is an infinitely small quantity, may be taken (or used) indifferently for each other: or (which is the same thing) that a quantity, which is increased or decreased only by an infinitely small quantity, may be considered as remaining the same. Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Historisches NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Bernoulli: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Historisches NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Bernoulli: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Eine Größe, die vermindert oder vermehrt wird um eine unendlich kleinere Größe, wird weder vermindert noch vermehrt. Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Historisches NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Bernoulli: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Eine Größe, die vermindert oder vermehrt wird um eine unendlich kleinere Größe, wird weder vermindert noch vermehrt. Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit • Leibniz: Fazit Historisches NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Bernoulli: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Eine Größe, die vermindert oder vermehrt wird um eine unendlich kleinere Größe, wird weder vermindert noch vermehrt. Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit • Leibniz: It will be sufficient if, when we speak of infinitely great ..., or of infinitely small quantities... it is understood that we mean quantities that are indefinitely great or indefinitely small... Fazit Einführung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Einführung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen • Grundgedanke: Verwendung unendlich kleiner und unendlich großer Zahlen anstelle von Grenzwerten Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Einführung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen • Grundgedanke: Verwendung unendlich kleiner und unendlich großer Zahlen anstelle von Grenzwerten • Begriffe wie Ableitung und Integral sind ohne Betrachtung von Grenzwertbildungen möglich Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Einführung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen • Grundgedanke: Verwendung unendlich kleiner und unendlich großer Zahlen anstelle von Grenzwerten • Begriffe wie Ableitung und Integral sind ohne Betrachtung von Grenzwertbildungen möglich • Erste mathematische Fundierung durch Abraham Robinson in den 1960er Jahren Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Die reellen Zahlen NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Für die reellen Zahlen gilt das archimedische Axiom: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Die reellen Zahlen NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Für die reellen Zahlen gilt das archimedische Axiom: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Zu jeder positiven reellen Zahl a gibt es eine ganze Zahl n mit na > 1. Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Die reellen Zahlen NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Für die reellen Zahlen gilt das archimedische Axiom: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Zu jeder positiven reellen Zahl a gibt es eine ganze Zahl n mit na > 1. • Anschaulich: Durch endliche Vergrößerung wird der Abstand einer beliebigen reellen Zahl zur Null jede fest vorgegebene Schranke überschreiten. Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Die reellen Zahlen NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Für die reellen Zahlen gilt das archimedische Axiom: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Zu jeder positiven reellen Zahl a gibt es eine ganze Zahl n mit na > 1. • Anschaulich: Durch endliche Vergrößerung wird der Abstand einer beliebigen reellen Zahl zur Null jede fest vorgegebene Schranke überschreiten. • In der Nichtstandardanalysis wird eine Zahlenmenge verwendet, in der das archimedische Axiom nicht gilt. Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Die reellen Zahlen NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Für die reellen Zahlen gilt das archimedische Axiom: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Zu jeder positiven reellen Zahl a gibt es eine ganze Zahl n mit na > 1. • Anschaulich: Durch endliche Vergrößerung wird der Abstand einer beliebigen reellen Zahl zur Null jede fest vorgegebene Schranke überschreiten. • In der Nichtstandardanalysis wird eine Zahlenmenge verwendet, in der das archimedische Axiom nicht gilt. • Die reellen Zahlen werden hierbei erweitert. Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Übersicht NichtstandardAnalysis B. Wieczorek 1 Einführung 2 Das hyperrelle Zahlensystem Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung 3 Rechenoperationen Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit 4 Anwendung 5 Erfahrungen in der Praxis 6 Gruppenarbeit 7 Fazit Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Die Nichtstandardanalysis rechnet mit den sogenannten hyperrellen Zahlen, bezeichnet mit R∗ . Es gilt: Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Die Nichtstandardanalysis rechnet mit den sogenannten hyperrellen Zahlen, bezeichnet mit R∗ . Es gilt: • Axiom I: Jede reelle Zahl ist eine hyperrelle Zahl. Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Die Nichtstandardanalysis rechnet mit den sogenannten hyperrellen Zahlen, bezeichnet mit R∗ . Es gilt: • Axiom I: Jede reelle Zahl ist eine hyperrelle Zahl. • Axiom der Infinitesimalzahlen: Es gibt hyperrelle Zahlen α, α 6= 0, so dass für jede positive reelle Zahl a gilt −a < α < a. Eine solche hyperreelle Zahl heißt eine Infinitesimalzahl. Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen unendlich benachbart, wenn x − y eine Infinitesimalzahl ist. Schreibweise: x ≈ y . Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen unendlich benachbart, wenn x − y eine Infinitesimalzahl ist. Schreibweise: x ≈ y . • Eine hyperrelle Zahl x heißt endlich, wenn es eine reelle Zahl a gibt, so dass −a < x < a. Andernfalls heißt x unendlich. Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen unendlich benachbart, wenn x − y eine Infinitesimalzahl ist. Schreibweise: x ≈ y . • Eine hyperrelle Zahl x heißt endlich, wenn es eine reelle Zahl a gibt, so dass −a < x < a. Andernfalls heißt x unendlich. • auf R∗ sind die Operationen + und · erklärt. Hierbei gilt: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Zwei hyperreelle Zahlen x, y heißen unendlich benachbart, wenn x − y eine Infinitesimalzahl ist. Schreibweise: x ≈ y . • Eine hyperrelle Zahl x heißt endlich, wenn es eine reelle Zahl a gibt, so dass −a < x < a. Andernfalls heißt x unendlich. • auf R∗ sind die Operationen + und · erklärt. Hierbei gilt: Übereinstimmung mit den Operationen · und + im Reellen. Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Wurzelaxiom: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Wurzelaxiom: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Für jede positive hyperreelle Zahl a und jede positive ganze Zahl n gibt es eine positive hyperrelle Zahl b mit √ bn = a. Schreibweise: b = n a. Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Wurzelaxiom: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Für jede positive hyperreelle Zahl a und jede positive ganze Zahl n gibt es eine positive hyperrelle Zahl b mit √ bn = a. Schreibweise: b = n a. • Standardanteil-Axiom: Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Wurzelaxiom: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Für jede positive hyperreelle Zahl a und jede positive ganze Zahl n gibt es eine positive hyperrelle Zahl b mit √ bn = a. Schreibweise: b = n a. • Standardanteil-Axiom: Für jede endliche hyperreelle Zahl x gibt es genau eine reelle Zahl a mit x ≈ a; a heißt der Standardanteil von x. Schreibweise: a = st(x). Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem • Funktionsaxiom: Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem • Funktionsaxiom: Rechenoperationen Anwendung Jede reelle Funktion f von einer oder mehreren Variablen hat ein Gegenstück ∗ f in der hyperrellen Welt. Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem • Funktionsaxiom: Rechenoperationen Anwendung Jede reelle Funktion f von einer oder mehreren Variablen hat ein Gegenstück ∗ f in der hyperrellen Welt. Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit • Übertragungsaxiom: Fazit Das hyperreelle Zahlensystem NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem • Funktionsaxiom: Rechenoperationen Anwendung Jede reelle Funktion f von einer oder mehreren Variablen hat ein Gegenstück ∗ f in der hyperrellen Welt. Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit • Übertragungsaxiom: Jede Eigenschaft, welche im reellen Zahlsystem in der üblichen mathematischen Sprache formuliert werden kann, gilt auch im hyperreellen System. Fazit Übersicht NichtstandardAnalysis B. Wieczorek 1 Einführung 2 Das hyperrelle Zahlensystem Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung 3 Rechenoperationen Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit 4 Anwendung 5 Erfahrungen in der Praxis 6 Gruppenarbeit 7 Fazit Fazit Addition und Subtraktion (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Addition und Subtraktion (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung α+β Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Addition und Subtraktion (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung α+β infinitesimal Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Addition und Subtraktion (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung α+β α + b oder b + α infinitesimal Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Addition und Subtraktion (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung α+β α + b oder b + α infinitesimal endlich, nicht infinitesimal Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Addition und Subtraktion (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung α+β α + b oder b + α α + B oder B + α infinitesimal endlich, nicht infinitesimal Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Addition und Subtraktion (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung α+β α + b oder b + α α + B oder B + α infinitesimal endlich, nicht infinitesimal unendlich Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Addition und Subtraktion (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung α+β α + b oder b + α α + B oder B + α α−β infinitesimal endlich, nicht infinitesimal unendlich Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Addition und Subtraktion (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung α+β α + b oder b + α α + B oder B + α infinitesimal endlich, nicht infinitesimal unendlich α−β infinitesimal Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Addition und Subtraktion (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung α+β α + b oder b + α α + B oder B + α infinitesimal endlich, nicht infinitesimal unendlich α−β α − B oder B − α infinitesimal Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Addition und Subtraktion (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung α+β α + b oder b + α α + B oder B + α infinitesimal endlich, nicht infinitesimal unendlich α−β α − B oder B − α infinitesimal unendlich Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Addition und Subtraktion (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung α+β α + b oder b + α α + B oder B + α infinitesimal endlich, nicht infinitesimal unendlich α−β α − B oder B − α A−B infinitesimal unendlich Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Addition und Subtraktion (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowei A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung α+β α + b oder b + α α + B oder B + α infinitesimal endlich, nicht infinitesimal unendlich α−β α − B oder B − α A−B infinitesimal unendlich infinitesimal, endlich oder unendlich Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Multiplikation und Division (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Multiplikation und Division (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt α·β Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Multiplikation und Division (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt α·β infinitesimal Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Multiplikation und Division (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt α·β α · b oder b · α infinitesimal Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Multiplikation und Division (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt α·β α · b oder b · α infinitesimal infinitesimal Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Multiplikation und Division (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt α·β α · b oder b · α A·B infinitesimal infinitesimal Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Multiplikation und Division (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt α·β α · b oder b · α A·B infinitesimal infinitesimal unendlich Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Multiplikation und Division (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt α·β α · b oder b · α A·B α/β infinitesimal infinitesimal unendlich Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Multiplikation und Division (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt α·β α · b oder b · α A·B infinitesimal infinitesimal unendlich α/β infinitesimal, endlich oder unendlich Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Multiplikation und Division (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt α·β α · b oder b · α A·B infinitesimal infinitesimal unendlich α/β a/B infinitesimal, endlich oder unendlich Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Multiplikation und Division (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt α·β α · b oder b · α A·B infinitesimal infinitesimal unendlich α/β a/B infinitesimal, endlich oder unendlich infinitesimal Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Multiplikation und Division (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt α·β α · b oder b · α A·B infinitesimal infinitesimal unendlich α/β a/B B/a infinitesimal, endlich oder unendlich infinitesimal Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Multiplikation und Division (exemplarisch) NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Seien α, β Infinitesimalzahlen, a, b endlich und nicht infinitesimal sowie A, B unendliche Hyperzahlen. Dann gilt α·β α · b oder b · α A·B infinitesimal infinitesimal unendlich α/β a/B B/a infinitesimal, endlich oder unendlich infinitesimal unendlich Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Übersicht NichtstandardAnalysis B. Wieczorek 1 Einführung 2 Das hyperrelle Zahlensystem Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung 3 Rechenoperationen Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit 4 Anwendung 5 Erfahrungen in der Praxis 6 Gruppenarbeit 7 Fazit Fazit Stetigkeit NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Klassische ε-δ-Definition der Stetigkeit von f im Punkte a: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit NichtstandardAnalysis Stetigkeit B. Wieczorek Einführung • Klassische ε-δ-Definition der Stetigkeit von f im Punkte a: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen ∀ε ∃δ ∀x : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit NichtstandardAnalysis Stetigkeit B. Wieczorek Einführung • Klassische ε-δ-Definition der Stetigkeit von f im Punkte a: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen ∀ε ∃δ ∀x : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε Anwendung Erfahrungen in der Praxis • Nichtstandard-Version: Gruppenarbeit Fazit NichtstandardAnalysis Stetigkeit B. Wieczorek Einführung • Klassische ε-δ-Definition der Stetigkeit von f im Punkte a: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen ∀ε ∃δ ∀x : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit • Nichtstandard-Version: f stetig in a := ∀x∗ ∈∗ Fazit R∗ : x∗ ≈ a ⇒ f (x∗ ) ≈ f (a) NichtstandardAnalysis Stetigkeit B. Wieczorek Einführung • Klassische ε-δ-Definition der Stetigkeit von f im Punkte a: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen ∀ε ∃δ ∀x : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit • Nichtstandard-Version: f stetig in a := ∀x∗ ∈∗ Fazit R∗ : x∗ ≈ a ⇒ f (x∗ ) ≈ f (a) Anschaulich: Eine unendlich kleine Abänderung der Variablen bewirkt höchstens eine unendlich kleine Abänderung der Funktion selbst. NichtstandardAnalysis Beispiel B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Betrachte die Funktion: Rechenoperationen f (x) := 1, x = 0 0, sonst Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit NichtstandardAnalysis Beispiel B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Betrachte die Funktion: Rechenoperationen f (x) := 1, x = 0 0, sonst Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Sei nun α ≈ 0, aber α 6= 0. Dann gilt: Fazit NichtstandardAnalysis Beispiel B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Betrachte die Funktion: Rechenoperationen f (x) := 1, x = 0 0, sonst Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Sei nun α ≈ 0, aber α 6= 0. Dann gilt: f (α) = 0 und somit gilt nicht Fazit NichtstandardAnalysis Beispiel B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Betrachte die Funktion: Rechenoperationen f (x) := 1, x = 0 0, sonst Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Sei nun α ≈ 0, aber α 6= 0. Dann gilt: f (α) = 0 und somit gilt nicht f (α) ≈ f (0) Fazit NichtstandardAnalysis Beispiel B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Betrachte die Funktion: Rechenoperationen f (x) := 1, x = 0 0, sonst Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Sei nun α ≈ 0, aber α 6= 0. Dann gilt: f (α) = 0 und somit gilt nicht f (α) ≈ f (0) Damit ist f im Punkt 0 nicht stetig. Fazit Differenzierbarkeit NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Klassische Definition der Ableitung von f im Punkte x: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit NichtstandardAnalysis Differenzierbarkeit B. Wieczorek Einführung • Klassische Definition der Ableitung von f im Punkte x: f (x + h) − f (x) h h→0 f 0 (x) = lim (im Falle der Existenz des Limies) Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit NichtstandardAnalysis Differenzierbarkeit B. Wieczorek Einführung • Klassische Definition der Ableitung von f im Punkte x: f (x + h) − f (x) h h→0 f 0 (x) = lim (im Falle der Existenz des Limies) Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit • Nichtstandard-Definition: Fazit NichtstandardAnalysis Differenzierbarkeit B. Wieczorek Einführung • Klassische Definition der Ableitung von f im Punkte x: f (x + h) − f (x) h h→0 f 0 (x) = lim (im Falle der Existenz des Limies) Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit • Nichtstandard-Definition: f ist diff’bar in x mit Ableitung f 0 (x): ∀|h∗ | << 1 : f (x + h∗ ) − f (x) ≈ f 0 (x) h∗ mit eindeutigem f 0 (x). Fazit Differenzierbarkeit - Beispiele NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen • f (x) = x 2 Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Differenzierbarkeit - Beispiele NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen • f (x) = x 2 Sei |h| << 1; dann gilt: Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit NichtstandardAnalysis Differenzierbarkeit - Beispiele B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen • f (x) = x 2 Anwendung Erfahrungen in der Praxis Sei |h| << 1; dann gilt: Gruppenarbeit f 0 (x) ≈ (x + h)2 h − x2 = 2x + h Fazit NichtstandardAnalysis Differenzierbarkeit - Beispiele B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen • f (x) = x 2 Anwendung Erfahrungen in der Praxis Sei |h| << 1; dann gilt: Gruppenarbeit f 0 (x) ≈ (x + h)2 h − x2 = 2x + h ≈ 2x Fazit NichtstandardAnalysis Integrierbarkeit B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Das Integral Rb Anwendung f (x)dx existiert und hat den Wert F ∈ R, a wenn f stetig und wenn für alle h ≈ 0 und ψ >> 1 mit ψ P h · ψ = b − a gilt f (a + k · h) · h ≈ F . k=0 Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Integrierbarkeit NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Beispiel: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Integrierbarkeit NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Beispiel: R1 0 xdx Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Integrierbarkeit NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Beispiel: R1 xdx 0 Es gilt: ψ X k=0 Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung 1 1 2 f (0 + k · h) · h = (0 + + + ... + 1) ψ ψ ψ Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit NichtstandardAnalysis Integrierbarkeit B. Wieczorek Einführung Beispiel: R1 Das hyperrelle Zahlensystem xdx 0 Rechenoperationen Es gilt: ψ X k=0 Anwendung 1 1 2 f (0 + k · h) · h = (0 + + + ... + 1) ψ ψ ψ 1 1 ψ(ψ + 1) = 2 (1 + ...ψ) = 2 ψ ψ 2 Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit NichtstandardAnalysis Integrierbarkeit B. Wieczorek Einführung Beispiel: R1 Das hyperrelle Zahlensystem xdx 0 Rechenoperationen Es gilt: ψ X k=0 Anwendung 1 1 2 f (0 + k · h) · h = (0 + + + ... + 1) ψ ψ ψ 1 1 ψ(ψ + 1) = 2 (1 + ...ψ) = 2 ψ ψ 2 1 1 = + 2 2ψ Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit NichtstandardAnalysis Integrierbarkeit B. Wieczorek Einführung Beispiel: R1 Das hyperrelle Zahlensystem xdx 0 Rechenoperationen Es gilt: ψ X k=0 Anwendung 1 1 2 f (0 + k · h) · h = (0 + + + ... + 1) ψ ψ ψ 1 1 ψ(ψ + 1) = 2 (1 + ...ψ) = 2 ψ ψ 2 1 1 1 = + ≈ 2 2ψ 2 Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Übersicht NichtstandardAnalysis B. Wieczorek 1 Einführung 2 Das hyperrelle Zahlensystem Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung 3 Rechenoperationen Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit 4 Anwendung 5 Erfahrungen in der Praxis 6 Gruppenarbeit 7 Fazit Fazit Unterrichtsversuch von Kathleen Sullivan 1972-1974 NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Rahmenbedingungen: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Unterrichtsversuch von Kathleen Sullivan 1972-1974 NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Rahmenbedingungen: • Schüler: fünf Kurse in fünf unterschiedlichen Schulen im Gebiet Chicago-Milwaukee Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Unterrichtsversuch von Kathleen Sullivan 1972-1974 NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Rahmenbedingungen: • Schüler: fünf Kurse in fünf unterschiedlichen Schulen im Gebiet Chicago-Milwaukee • Davon: vier kleine Privatschulen, eine öffentliche high school mit Schülern der ”upper middle class” Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Unterrichtsversuch von Kathleen Sullivan 1972-1974 NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Rahmenbedingungen: • Schüler: fünf Kurse in fünf unterschiedlichen Schulen im Gebiet Chicago-Milwaukee • Davon: vier kleine Privatschulen, eine öffentliche high school mit Schülern der ”upper middle class” • an drei von fünf Schulen: Kurse mit mathematisch überdurchschnittlich befähigten Schülern; restliche zwei: einziger Calculus-Kurs an jeweiliger Schule Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Unterrichtsversuch von Kathleen Sullivan 1972-1974 NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Rahmenbedingungen: • Schüler: fünf Kurse in fünf unterschiedlichen Schulen im Gebiet Chicago-Milwaukee • Davon: vier kleine Privatschulen, eine öffentliche high school mit Schülern der ”upper middle class” • an drei von fünf Schulen: Kurse mit mathematisch überdurchschnittlich befähigten Schülern; restliche zwei: einziger Calculus-Kurs an jeweiliger Schule ⇒ Generell: Schüler des Versuchs nicht repräsentativ für durchschnittliche Schüler, sondern eher überdurchschnittliches Begabungs- und Förderungsniveau Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Rahmenbedingungen NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Lehrkräfte: Bereits mehrjährige Erfahrung im Unterrichten der entsprechenden Inhalte nach der Standard-Methode Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Rahmenbedingungen NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Lehrkräfte: Bereits mehrjährige Erfahrung im Unterrichten der entsprechenden Inhalte nach der Standard-Methode • Zeitlicher Ablauf: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Rahmenbedingungen NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Lehrkräfte: Bereits mehrjährige Erfahrung im Unterrichten der entsprechenden Inhalte nach der Standard-Methode • Zeitlicher Ablauf: • Im Schuljahr 1972-73: Unterrichten eines Kurses nach Standard-Methode (Control Group) Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Rahmenbedingungen NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Lehrkräfte: Bereits mehrjährige Erfahrung im Unterrichten der entsprechenden Inhalte nach der Standard-Methode • Zeitlicher Ablauf: • Im Schuljahr 1972-73: Unterrichten eines Kurses nach Standard-Methode (Control Group) • Im Schuljahr 1973-74: Unterrichten eines Kurses nach Nichtstandard-Methode (Experimental Group) Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Rahmenbedingungen NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung • Lehrkräfte: Bereits mehrjährige Erfahrung im Unterrichten der entsprechenden Inhalte nach der Standard-Methode • Zeitlicher Ablauf: • Im Schuljahr 1972-73: Unterrichten eines Kurses nach Standard-Methode (Control Group) • Im Schuljahr 1973-74: Unterrichten eines Kurses nach Nichtstandard-Methode (Experimental Group) • Schülergruppen hierbei vergleichbar hinisichtlich mathematischer Fähigkeiten Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Resultate NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Durchführung eines Tests am Ende der Unterrichtseinheiten Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Resultate NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Durchführung eines Tests am Ende der Unterrichtseinheiten Auswertung: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Resultate NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Durchführung eines Tests am Ende der Unterrichtseinheiten Auswertung: Bearbeitung von Aufgabe 3: Beweis für Grenzwerte einer unstetigen Funktion an Unstetigkeitsstelle Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Resultate NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Durchführung eines Tests am Ende der Unterrichtseinheiten Auswertung: Bearbeitung von Aufgabe 3: Beweis für Grenzwerte einer unstetigen Funktion an Unstetigkeitsstelle Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Unterschiede: Fazit Resultate NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Durchführung eines Tests am Ende der Unterrichtseinheiten Auswertung: Bearbeitung von Aufgabe 3: Beweis für Grenzwerte einer unstetigen Funktion an Unstetigkeitsstelle Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Unterschiede: • Control Group: ca. ein Drittel der Schüler versucht die Aufgabe nicht Fazit Resultate NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Durchführung eines Tests am Ende der Unterrichtseinheiten Auswertung: Bearbeitung von Aufgabe 3: Beweis für Grenzwerte einer unstetigen Funktion an Unstetigkeitsstelle Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Unterschiede: • Control Group: ca. ein Drittel der Schüler versucht die Aufgabe nicht • Experimental Group: ca. 6 Prozent versuchen die Aufgabe nicht Fazit NichtstandardAnalysis Resultate B. Wieczorek Einführung Tabelle 1: Student Responses to Question 3 did not attempt Standard arguments satisfactory proof correct statements falling short of proof (e.g., one is only concerned with x 6= 2) Nonstandard arguments satisfactory proof incorrect arguments Control Group (68 students) Experimental Group (68 students) 22 4 Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit 2 Fazit 15 14 25 2 NichtstandardAnalysis Resultate B. Wieczorek Einführung Generelle Bereitschaft zum Lösen von Aufgaben auf gesamten Test bezogen Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Tabelle 2: Number of students attempting a solution Defining basic concepts Computing limits Producing proofs Applying basic concepts Control Group (68 students) Experimental Group (68 students) 48 49 18 52 68 45 60 60 Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Kritische Einschätzung zum Schülertest NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Probleme Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Kritische Einschätzung zum Schülertest NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Probleme • Tabelle 1 greift Aufgabe mit größtem Unterschied heraus; keine Angaben zur Bearbeitung der restlichen Aufgaben Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Kritische Einschätzung zum Schülertest NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Probleme • Tabelle 1 greift Aufgabe mit größtem Unterschied heraus; keine Angaben zur Bearbeitung der restlichen Aufgaben • Keine Erklärung der Unterschiede in Tabelle 2 (z.B. evtl. intensiveres Erläutern und Üben von Beweismethoden im Nichtstandard-Fall?) Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Kritische Einschätzung zum Schülertest NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Probleme • Tabelle 1 greift Aufgabe mit größtem Unterschied heraus; keine Angaben zur Bearbeitung der restlichen Aufgaben • Keine Erklärung der Unterschiede in Tabelle 2 (z.B. evtl. intensiveres Erläutern und Üben von Beweismethoden im Nichtstandard-Fall?) • Schülerschaft generell nicht repräsentativ Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Lehrerbefragung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Teil 1: Verständnis des Konzeptes der Nichtstandard-Analysis Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Lehrerbefragung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Teil 1: Verständnis des Konzeptes der Nichtstandard-Analysis Rechenoperationen Anwendung • Generelle Einschätzung: Unproblematisch, Beantwortung der Fragen positiv hinsichtlich des Einsatzes von Nichtstandard-Analysis Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Lehrerbefragung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Teil 1: Verständnis des Konzeptes der Nichtstandard-Analysis Rechenoperationen Anwendung • Generelle Einschätzung: Unproblematisch, Beantwortung der Fragen positiv hinsichtlich des Einsatzes von Nichtstandard-Analysis • Problem: keine vergleichende Gegenüberstellung beider Konzepte; lediglich Frage nach ”Benachteiligung durch Behandlung des NSt.-Konzeptes” Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Lehrerbefragung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Teil 2: Vergleich der beiden Konzepte Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Lehrerbefragung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Teil 2: Vergleich der beiden Konzepte Vorteile der Nichtstandard-Analysis Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Lehrerbefragung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Teil 2: Vergleich der beiden Konzepte Vorteile der Nichtstandard-Analysis • leichteres Erlernen der grundlegenden Konzepte Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Lehrerbefragung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Teil 2: Vergleich der beiden Konzepte Vorteile der Nichtstandard-Analysis • leichteres Erlernen der grundlegenden Konzepte • Beweise leichter zu erklären und näher an der Intuition Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Kritische Einschätzung zur Lehrerbefragung, Gesamteinschätzung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Lehrerfragebogen Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Kritische Einschätzung zur Lehrerbefragung, Gesamteinschätzung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Lehrerfragebogen Rechenoperationen Anwendung • Lehrerantworten eher gefühlsmäßige Einschätzung als belegbares Resultat Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Kritische Einschätzung zur Lehrerbefragung, Gesamteinschätzung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Lehrerfragebogen Rechenoperationen Anwendung • Lehrerantworten eher gefühlsmäßige Einschätzung als belegbares Resultat Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit • Hintergrundwissen der Lehrer beeinflusst möglicherweise Einschätzung, Schüler würden u.U. anders empfinden Fazit Kritische Einschätzung zur Lehrerbefragung, Gesamteinschätzung NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Lehrerfragebogen Rechenoperationen Anwendung • Lehrerantworten eher gefühlsmäßige Einschätzung als belegbares Resultat Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit • Hintergrundwissen der Lehrer beeinflusst möglicherweise Einschätzung, Schüler würden u.U. anders empfinden Gesamteinschätzung: Interessante Denkanstöße, die zu weiteren Studien anregen, um Thesen zu untermauern oder zu widerlegen Fazit Übersicht NichtstandardAnalysis B. Wieczorek 1 Einführung 2 Das hyperrelle Zahlensystem Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung 3 Rechenoperationen Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit 4 Anwendung 5 Erfahrungen in der Praxis 6 Gruppenarbeit 7 Fazit Fazit Fragen zur Diskussion NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Welche Kompetenzen werden durch die Arbeit mit Nichtstandard-Analysis geschult? Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Fragen zur Diskussion NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Welche Kompetenzen werden durch die Arbeit mit Nichtstandard-Analysis geschult? Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Welche Schwierigkeiten können auftreten? Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Fragen zur Diskussion NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Welche Kompetenzen werden durch die Arbeit mit Nichtstandard-Analysis geschult? Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Welche Schwierigkeiten können auftreten? Welche Schwierigkeiten werden im Vergleich zur gebräuchlichen Vorgehensweise (Grenzwertbildung) vermieden? Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Fragen zur Diskussion NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Welche Kompetenzen werden durch die Arbeit mit Nichtstandard-Analysis geschult? Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Welche Schwierigkeiten können auftreten? Welche Schwierigkeiten werden im Vergleich zur gebräuchlichen Vorgehensweise (Grenzwertbildung) vermieden? Wann sind welche Inhalte von der NSA für den Unterricht geeignet bzw. nicht geeignet? Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Fragen zur Diskussion NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Welche Kompetenzen werden durch die Arbeit mit Nichtstandard-Analysis geschult? Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Welche Schwierigkeiten können auftreten? Welche Schwierigkeiten werden im Vergleich zur gebräuchlichen Vorgehensweise (Grenzwertbildung) vermieden? Wann sind welche Inhalte von der NSA für den Unterricht geeignet bzw. nicht geeignet? Wie könnte das ggf. behandelt werden? Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Ergebnisse der Diskussion NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Kompetenzen: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Ergebnisse der Diskussion NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Kompetenzen: • in hohem Maße geschult: mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen. Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Ergebnisse der Diskussion NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Kompetenzen: • in hohem Maße geschult: mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen. • Probleme mathematisch lösen durch Übergang zu neuem Zahlensystem ⇒ Flexibilität im Denken Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Ergebnisse der Diskussion NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Kompetenzen: • in hohem Maße geschult: mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen. • Probleme mathematisch lösen durch Übergang zu neuem Zahlensystem ⇒ Flexibilität im Denken • mathematische Darstellungen verwenden: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Ergebnisse der Diskussion NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Kompetenzen: • in hohem Maße geschult: mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen. • Probleme mathematisch lösen durch Übergang zu neuem Zahlensystem ⇒ Flexibilität im Denken • mathematische Darstellungen verwenden: Schreibweise unter Umständen weniger fehleranfällig als Notation mit ”lim” vor jedem Term (bei letzterem Gefahr des Vergessens) Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Ergebnisse der Diskussion NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Hauptsächliche Schwierigkeiten: • Hohes Abstraktionsniveau Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Ergebnisse der Diskussion NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Hauptsächliche Schwierigkeiten: • Hohes Abstraktionsniveau • Anschaulichkeit: Problem der Veranschaulichung von ”unendlich kleinem” Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Ergebnisse der Diskussion NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Hauptsächliche Schwierigkeiten: • Hohes Abstraktionsniveau • Anschaulichkeit: Problem der Veranschaulichung von ”unendlich kleinem” • kurzer Abstand zwischen Einführung eines neuen Zahlensystems und dem rechnerischen Umgang damit schwierig Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Eignung und Behandlung der Inhalte NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Grundsätzlich geeignet: Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Eignung und Behandlung der Inhalte NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Grundsätzlich geeignet: • Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Eignung und Behandlung der Inhalte NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Grundsätzlich geeignet: Einführung • Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit Das hyperrelle Zahlensystem • z. B. beispielhafte Beweise für Ableitungsregeln und Rechenoperationen Integrationsregeln Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Eignung und Behandlung der Inhalte NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Grundsätzlich geeignet: Einführung • Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit Das hyperrelle Zahlensystem • z. B. beispielhafte Beweise für Ableitungsregeln und Rechenoperationen Integrationsregeln Ungeeignet und nicht erforderlich: Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Eignung und Behandlung der Inhalte NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Grundsätzlich geeignet: Einführung • Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit Das hyperrelle Zahlensystem • z. B. beispielhafte Beweise für Ableitungsregeln und Rechenoperationen Integrationsregeln Ungeeignet und nicht erforderlich: • Behandlung des Axiomensystems Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Eignung und Behandlung der Inhalte NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Grundsätzlich geeignet: Einführung • Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit Das hyperrelle Zahlensystem • z. B. beispielhafte Beweise für Ableitungsregeln und Rechenoperationen Integrationsregeln Ungeeignet und nicht erforderlich: • Behandlung des Axiomensystems • Herleitung sämtlicher verwendeter Formeln, etwa zur Differentiation und Integration (analog zur Standard-Analysis) Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Eignung und Behandlung der Inhalte NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Grundsätzlich geeignet: Einführung • Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit Das hyperrelle Zahlensystem • z. B. beispielhafte Beweise für Ableitungsregeln und Rechenoperationen Integrationsregeln Ungeeignet und nicht erforderlich: • Behandlung des Axiomensystems • Herleitung sämtlicher verwendeter Formeln, etwa zur Differentiation und Integration (analog zur Standard-Analysis) Zielgruppe: Vorrangig Schüler höherer Jahrgangsstufen, intuitive Herangehensweise möglicherweise auch bei jüngeren Schülern möglich Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Übersicht NichtstandardAnalysis B. Wieczorek 1 Einführung 2 Das hyperrelle Zahlensystem Einführung Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung 3 Rechenoperationen Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit 4 Anwendung 5 Erfahrungen in der Praxis 6 Gruppenarbeit 7 Fazit Fazit Fazit NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Vergleich der Herangehensweisen: Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Fazit NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Vergleich der Herangehensweisen: • Nichtstandardanalysis benötigt Grenzwertbegriff nicht explizit Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Fazit NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Vergleich der Herangehensweisen: • Nichtstandardanalysis benötigt Grenzwertbegriff nicht explizit • Die Einführung des hyperreellen Zahlensystems beinhaltet einen hohen Grad an Abstraktion Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit Fazit NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Vergleich der Herangehensweisen: • Nichtstandardanalysis benötigt Grenzwertbegriff nicht explizit • Die Einführung des hyperreellen Zahlensystems beinhaltet einen hohen Grad an Abstraktion Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit • Einsetzbar unter Umständen bei Schülern, die die komplexen Zahlen kennen Fazit NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Vergleich der Herangehensweisen: • Nichtstandardanalysis benötigt Grenzwertbegriff nicht explizit • Die Einführung des hyperreellen Zahlensystems beinhaltet einen hohen Grad an Abstraktion Das hyperrelle Zahlensystem Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit Fazit • Einsetzbar unter Umständen bei Schülern, die die komplexen Zahlen kennen • Haltung der Mitstudenten in der Diskussion: aufgeschlossen und kritisch abwägend, Tendenz eher zum Zweifel an Einsetzbarkeit in der Praxis Literatur NichtstandardAnalysis B. Wieczorek Einführung Das hyperrelle Zahlensystem [1] Laugwitz, D. und Schnitzspan, W. (Hrsg.): Der Mathematikunterricht. Jahrgang 29, Heft 4, Aug./83, Klett-Verlag. Rechenoperationen Anwendung Erfahrungen in der Praxis Gruppenarbeit [2] Sullivan, K.: The teaching of elementary calculus using the nonstandard analysis approach. The American Mathematical Monthly, Vol. 83, No. 5 (May, 1976), pp. 370-375. Fazit
