Operations Research Kurs 00852: Optimierung in
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Operations Research Kurs 00852: Optimierung in Graphen Aufgabensammlung Aufgabe B0307 Gegeben sei ein (3x4)-Spielbrett mit einer vereinfachten Gebirgslandschaft. Jedes Feld ist mit einer Bewertungszahl versehen, die vereinfacht als Höhenniveau interpretiert werden kann. Das Startfeld befindet sich links oben auf dem Niveau 5, und der Zielpunkt ist rechts unten auf Niveau 5. Die Felder seien zeilenweise von links nach rechts mit Buchstaben A bis L bezeichnet. 5 6 2 10 8 10 8 4 9 7 11 5 Die Bewegung (der Spielzug) kann dabei nur waagerecht oder senkrecht um jeweils ein 2 Feld erfolgen. Geht man von Feld x zum Feld y, so wird dieser Zug mit (x – y) bewertet. Ziel ist es, den Weg vom Startfeld A zum Zielpunkt L zu finden, der mit dem geringsten Gesamtaufwand verbunden ist. a) Vervollständigen Sie den im Lösungsschema angegebenen Graphen; zeichnen Sie dazu die Kanten ein und notieren Sie jeweils die zugehörige Bewertung. A B C D E F G H I J K L b) Begründen Sie, warum der Ford-Algorithmus zur Lösung der gestellten Aufgabe verwendet werden kann. c) Lösen Sie das Problem mit dem Ford-Algorithmus, und tragen Sie die Iterationen vollständig in das vorgegebene Schema ein. Besonders auf die Menge M ist zu achten; sie ist für den Algorithmus von zentraler Bedeutung, da durch ihre Elemente die nächsten zu untersuchenden Knoten bestimmt werden. Datum: 04.06.2013 Seite 1 2013 FernUniversität in Hagen Operations Research Kurs 00852: Optimierung in Graphen Aufgabensammlung Lösungshinweise a) Ein Spielzug kann nur waagerecht oder senkrecht um jeweils ein Feld erfolgen. 2 Geht man von Feld x zum Feld y, so wird dieser Zug mit (x – y) bewertet. Bewegt man sich somit beispielsweise von B nach C, so wird die Kante BC mit (2 – 6)2 = 16 bewertet. A 1 B 9 E C 16 4 1 I 16 F J D 36 36 4 G 16 16 K H 1 9 9 4 64 36 L b) Gesucht ist der kürzeste Weg von einem Startknoten (hier: A) zu einem Endknoten (hier: L) in einem Netzwerk N = [V, E; c] mit ganzzahliger Gewichtsfunktion c. Das Netzwerk enthält keine Zyklen negativer Länge. c) Der Algorithmus von Ford mit S(j) durch N(j) ersetzt liefert folgende Ergebnisse: Iteration Knoten j A B C D E F G H I J K L M 1 dj qj Anmerkung 0 Setze dA = 0, da A Startknoten 1 A Setze dB = cAB 9 A Setze dE = cAE B,E Datum: 04.06.2013 Seite 2 2013 FernUniversität in Hagen Operations Research Kurs 00852: Optimierung in Graphen Iteration Knoten j 1 dj 2.1 qj A B C D E F G H I J K L M 0 1 A 9 A B,E Iteration Knoten j 1 A B C D E F G H I J K L M Iteration Knoten j A B C D E F G H I J K L M dj dj qj 0 1 A 17 B C ist nach dem 1. IS von A aus über B „erreichbar“ 9 A 13 E F ist nach dem 1. IS von A aus über E „erreichbar“ 10 E I ist nach dem 1. IS von A aus über E „erreichbar“ C,F,I 2.1 qj Anmerkung dj 2.2 qj dj qj 0 1 A 9 A B,E 0 1 A 17 B 9 A 13 E 10 E C,F,I 0 1 A 17 B 81 C 9 A 13 E 17 F 10 E 14 I D,G,J 1 2.1 dj qj 0 1 A 17 B 9 A 13 E 10 E C,F,I 2.2 dj qj 0 1 A 17 B 81 C 9 A 13 E 17 F 10 E 14 I D,G,J dj Aufgabensammlung qj 0 1 A 9 A B,E 2.3 dj qj 0 1 A 17 B 81 C 9 A 13 E 17 F 33 G 10 E 14 I 26 G H,K Datum: 04.06.2013 Seite 3 2013 FernUniversität in Hagen Operations Research Kurs 00852: Optimierung in Graphen Iteration Knoten j A B C D E F G H I J K L M 1 dj qj 0 1 A 9 A B,E 2.1 dj qj 0 1 A 17 B 9 A 13 E 10 E C,F,I 2.2 dj qj 0 1 A 17 B 81 C 9 A 13 E 17 F 10 E 14 I D,G,J 2.3 dj qj 0 1 A 17 B 81 C 9 A 13 E 17 F 33 G 10 E 14 I 26 G H,K Aufgabensammlung 2.4 dj qj 0 1 A 17 B 69 H 9 A 13 E 17 F 33 G 10 E 14 I 26 G 34 H D,L Im Iterationsschritt 2.5 erhalten wir M = Ø, das Verfahren bricht also ab. Knoten j dj qj A B C D E F G H I J K L 0 1 17 69 9 13 17 33 10 14 26 34 A B H A E F G E I G H Anmerkung 5. Vorgängerknoten von E ist Startknoten A 4. Vorgängerknoten von F ist E 3. Vorgängerknoten von G ist F 2. Vorgängerknoten von H ist G 1. Vorgängerknoten von L ist H Damit ergibt sich von A nach L der kürzeste Weg <A,E,F,G,H,L> mit Weglänge 34. Datum: 04.06.2013 Seite 4 2013 FernUniversität in Hagen
