Vorkenntnisse von Schulanfängern zu Zahlen Entwicklung der

Vorkenntnisse von Schulanfängern zu Zahlen
Entwicklung der Zählkompetenz
Peanosches Axiomensystem
PI
P II
P III
P IV
PV
Null ist eine natürliche Zahl.
Jede natürliche Zahl n hat genau einen
Nachfolger n´.
Null ist nicht Nachfolger einer natürlichen
Zahl.
Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens
einer natürlichen Zahl.
Jede Menge M von natürlichen Zahlen, die
die Zahl Null und mit jeder natürlichen Zahl n
auch deren Nachfolger n´ enthält, umfasst
alle natürlichen Zahlen.
Ein Gespräch zwischen zwei Kindern
A:
B:
A:
B:
A:
B:
A:
B:
Sag mal, in wie vielen Tagen hast du eigentlich Geburtstag?
Es dauert noch 4 Tage, dann werde ich endlich 7 Jahre.
Hast du schon die Gäste eingeladen?
Ja, Mama hat mir erlaubt, dass 6 Kinder kommen dürfen.
Aber als erstes habe ich meine Oma Hanni eingeladen.
Hast ihr wohl ´ne Karte geschrieben?
Nein, ich telefoniere lieber, weil Oma Hanni so eine tolle
Nummer hat: 252525.
Die kann man sich ja wirklich leicht merken.
Weißt du, was noch ganz toll ist? Ich kann immer sagen, wie
alt meine Oma ist. Sie ist nämlich 60 Jahre älter als ich, also
muss ich nur 60 + 7 rechnen und schon weiß ich, wie alt
meine Oma ist.
Zahlaspekte
Kardinalzahlaspekt (Wie viele?)
Zahlen beschreiben die Mächtigkeit von Mengen, also die
Anzahl der Elemente
Beispiele:
In der Schale liegen 5 Äpfel.
Gib mir bitte 3 Murmeln.
In meiner Federtasche habe ich 8 Buntstifte.
Ordinalzahlaspekt
a) Zählzahl
Folge der natürlichen Zahlen, die beim Zählen durchlaufen
wird (durch Zählzahlen wird auch Reihenfolge beschrieben)
Beispiele:
Das ist das Haus mit der Nummer 15.
Im Buch bin ich auf Seite 24.
b) Ordnungszahl (An welcher Stelle?)
gibt den Rangplatz eines Elementes in einer geordneten
Reihe an
Beispiele:
Er ist 4. beim Laufen geworden.
Die fünfte Perle der Kette ist rot.
Maßzahl (Wie lang?, Wie schwer? ...)
Zahlen sind Maßzahlen in Größenangaben
Beispiele:
Der Zug fährt 3 Stunden 15 Minuten.
Eine Tafel Schokolade wiegt 100 g.
Operatoren (Wie oft?)
Zahlen beschreiben die Vielfachheit einer Handlung oder
eines Vorgangs
Beispiele:
Ich war diese Woche 3 Mal an der Uni.
Ich war 5 Mal Sieger der Schulmeisterschaften.
Rechenzahlaspekt
a) algebraischer Aspekt
Zahlen werden zum Rechnen (auf der Grundlage
algebraischer Gesetze) genutzt
Beispiel:
3 + 4 = 4 + 3 (Kommutativität - algebraisches Gesetz)
b) algorithmischer Aspekt
mit Zahlen kann man nach eindeutig bestimmten Folgen von
Handlungen (Algorithmen) rechnen
Beispiel:
423
+ 257
Relationaler Zahlaspekt (neu)
Zahlen werden als Relationen ausgefasst (durch
Zahlbeziehungen)
Beispiele:
5 liegt zwischen 2 und 7
18 liegt vor 20
Codierungsaspekt
Zahlen dienen dazu, Dinge zu benennen und zu
unterscheiden
Beispiele:
Postleitzahlen
Telefonnummern
Bestimmen Sie die Zahlaspekte zu den unterstrichenen
Angaben.
Familie Meier wohnt in der dritten
Etage eines Mehrfamilienhauses.
Zu ihrer Wohnung gehören fünf
Zimmer. Das Wohnzimmer ist das
größte Zimmer mit einer Länge
von 5,80 m und einer Breite von
6,20 m. Jedes der zwei Kinder
muss das Zimmer wöchentlich
zwei Mal saugen.
Zur Familie Meier gehören fünf
Personen. Das zweitgeborene
Kind ist eine Tochter, das erste
und das dritte Kind sind jeweils
Söhne. Der kleinste Sohn ist zwar
zwei Jahre jünger als die Tochter,
jedoch 18 cm größer als sie. Er ist
1,87 m groß. Bei den Meiers gibt
es also fünf Mal im Jahr ein
Geburtstagsfest.
Notieren Sie eine Sachsituation,
in der eine Zahl/ Zahlen als
Ordnungszahl(en) vorkommt(en).
Notieren Sie eine Sachsituation,
in der eine Zahl/ Zahlen als
Rechenzahl(en) vorkommt(en).
Entwicklung der Zählfähigkeit in Verbindung mit der
Zahlvorstellung
(in Anlehnung an Hasemann u.a.)
Phase 1 – verbales Zählen
Zahlwortreihe wird wie ein Gedicht aufgesagt (einszweidrei), Zahlwörter werden nicht
zum Zählen eingesetzt (ohne kardinale Bedeutung)
Phase 2 – asynchrones Zählen
Zahlwörter werden jetzt zum Zählen eingesetzt, aber es werden oft Objekte vergessen
oder der Zählprozess abgebrochen
Phase 3 – Ordnen der Objekte während des Zählens
Kinder ordnen die Objekte während des Zählens wegschieben, anders hinlegen
Phase 4 – resultatives Zählen
Kinder wissen, dass sie beim Zählen mit der eins anfangen müssen, dass jedes
Element nur einmal gezählt wird und dass die letztgenannte Zahl die Anzahl angibt
Phase 5 – abkürzendes Zählen
Kinder können mit den Objekten der Mengen Strukturen bilden (z.B. Würfelbilder), sie
können auch in Schritten (z.B. Zweierschritten) zählen und einfache Rechnungen
zählend lösen
Zählprinzipien (1)
Eins-zu-Eins-Zuordnung:
jedem zu zählenden Element darf nur genau ein Zahlwort
zugeordnet werden
Prinzip der stabilen Ordnung:
Liste der Zahlwörter hat eine feste Ordnung
Kardinalprinzip:
die zuletzt benutzte Zahl im Abzählprozess gibt die Anzahl an
Zählprinzipien (2)
Abstraktionsprinzip:
beliebige Elemente können zu einer Menge zusammengefasst
und gezählt werden (3 rote Äpfel und 4 grüne Äpfel können
gezählt werden als 7 Äpfel)
egal, ob ich 4 Äpfel in der Reihe oder „auf einen Haufen“ auf
den Tisch lege –es sind immer 4, also gleich viele
Prinzip der beliebigen Reihenfolge:
wie die Elemente gezählt werden, ist für das Zählergebnis
unerheblich
Übung
zum Zahlenbuch 1, S. 13
Bestimmen Sie, ob es sich bei der Aufgabenstellung um eine
Übung zur Zahlauffassung oder Zahldarstellung handelt.
Wie viele Äpfel siehst du?
Lege so viele Stäbchen wie du Birnen siehst.
Zeige die Bilder, auf denen du mehr als 7 Dinge siehst.
Wie viele Ziffernkarten siehst du auf der Seite?
Lege so viele Plättchen, wie du Tomaten siehst.
Diagnostische Verfahren zur Bestimmung
des Lernstandes von Kindern
schriftlichen Aufgaben/ „Tests“
normierte Tests (z.B. DRT, OTZ)
lernzielorientierte Aufgabensammlungen
Beobachtungen
offene Aufgaben
Interviews/ Methode des lauten Denkens
Ergebnisse des Testes
(nach Grassmann u.a.)
Aufgabe:
Schülerleistung
Lehrererwartung
Streuwerte:
A1
99%
97%
A2
96%
74%
A3
68%
55%
A4
84%
81%
min: 71 %
min: 10 %
min: 60 %
A5
54%
46%
A6
34%
36%
max: 100 % max: 100 % max: 95 %
Rückwärtszählen und Ziffernkenntnis wurden von Lehrern
unterschätzt
Ergebnisse des Testes
reale Leistungen der Kinder und Erwartungen der Lehrer
differierten - tendenziell werden die Kenntnisse, die die Kinder
in die Schule mitbringen, eher unterschätzt
Folge für die Unterrichtsgestaltung???
mehr als 20 % der Kinder haben alle Aufgaben richtig gelöst,
d.h. sie bewältigen am Schulanfang schon Anforderungen, die
erst nach einem halben Jahr Unterrichtsinhalt sind
es wurden keine Unterschiede zwischen Jungen und
Mädchen festgestellt
Ergebnisse des Testes
es wurde eine enorme Heterogenität auf verschiedenen
Ebenen festgestellt:
Unterschiede zwischen einzelnen Kindern in einer Klasse
Unterschiede zwischen den Klassen an einer Schule
Unterschiede zwischen Schulen
in jeder Klasse müssen die Vorkenntnisse jedes
Kindes detailliert ermittelt werden