Skript zur Vorlesung Fluidmechanik - Prof. Dr.
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Skript zur Vorlesung Fluidmechanik Prof. Dr.-Ing. Peter R. Hakenesch Version 2.1 i ___________________________________________________________________ Inhalt 1 Einleitung ........................................................................................................... 1 1.1 Allgemeines .............................................................................................................. 1 1.2 Historische Entwicklung ............................................................................................ 2 1.3 CFD als Entwurfswerkzeug ...................................................................................... 2 1.4 Strömungssimulation in Windkanälen....................................................................... 5 1.5 Gliederung der Fluidmechanik .................................................................................. 6 1.6 Begriffsdefinitionen ................................................................................................... 7 1.6.1 Fluid .................................................................................................................... 7 1.6.2 Stationäre und instationäre Strömung, quasistationäre Strömung ..................... 7 1.6.3 Stromlinie und Bahnkurve ................................................................................... 7 1.6.4 Stromfaden und Stromröhre ............................................................................... 8 1.6.5 Ideale und Reale Fluide ...................................................................................... 8 1.7 Klassifizierung von Strömungen ............................................................................... 9 1.7.1 Einteilung von Strömungen als Funktion der Reibung ........................................ 9 1.7.2 Einteilung von Strömungen als Funktion der Kompressibilität .......................... 10 1.7.3 Einteilung von Strömungen als Funktion der Machzahl .................................... 11 1.7.4 Zusammenfassung der einzelnen Geschwindigkeitsbereiche .......................... 17 1.8 Einteilung der Fluide nach Fließverhalten .............................................................. 17 2 Hydrostatik ........................................................................................................18 2.1 Grundlagen ............................................................................................................. 18 2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase ............................... 18 2.1.2 Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten ................................................. 19 2.1.3 Druckeinheiten .................................................................................................. 20 2.1.4 Hydrostatischer Druck ...................................................................................... 20 2.1.5 Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon...................................................... 21 2.1.6 Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren) ............................................. 22 2.1.7 Saugwirkung ..................................................................................................... 24 2.1.8 Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes) ................................................... 26 2.1.9 Oberflächenspannung und Kapillarwirkung ...................................................... 28 2.1.10 Viskosität ....................................................................................................... 34 2.2 Druckmessung ........................................................................................................ 37 2.2.1 Druckbegriffe .................................................................................................... 37 2.2.2 Druckmessung in einem Kessel mittels U-Rohr Manometer ............................ 38 2.2.3 Berücksichtigung des hydrostatischen Drucks in einem Kessel ....................... 39 2.2.4 Differenzdruckmessung .................................................................................... 39 2.2.5 Berücksichtigung des Temperatureinflusses .................................................... 40 2.2.6 Berücksichtigung der Luftfeuchte ..................................................................... 40 2.2.7 Drucksonden..................................................................................................... 41 2.2.8 Schrägrohrmanometer ...................................................................................... 41 2.3 Druckkräfte auf Begrenzungsflächen ..................................................................... 43 2.3.1 Druckkraft auf eine ebene, horizontale Fläche ................................................. 43 2.3.2 Druckkraft auf eine geneigte Fläche ................................................................. 43 2.3.3 Druckkräfte auf gekrümmte Begrenzungsflächen ............................................. 45 2.3.3.1 Einfach gekrümmte (abwickelbare) Flächen ................................................. 45 2.3.3.2 Beliebig gekrümmte (nicht abwickelbare) Flächen ........................................ 47 2.3.4 Stabilität ............................................................................................................ 48 2.3.4.1 Stabilität schwebender Körper ...................................................................... 48 2.3.4.2 Stabilität schwimmender Körper ................................................................... 49 2.4 Fluide unter Beschleunigung .................................................................................. 51 2.4.1 Niveauflächen ................................................................................................... 51 2.4.2 Gleichförmig horizontal beschleunigter Behälter .............................................. 51 2.4.3 Rotierende Flüssigkeiten .................................................................................. 51 ii ___________________________________________________________________ 3 Aerostatik ..........................................................................................................56 3.1 Atmosphäre der Erde ............................................................................................. 56 3.1.1 Die Erdatmosphäre als Wärmekraftmaschine .................................................. 56 3.1.2 Aufbau der Erdatmosphäre............................................................................... 57 3.2 Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe ............................................................ 59 3.2.1 Luftdruck ........................................................................................................... 59 3.2.2 Kräftegleichgewicht an einem Volumenelement ............................................... 59 3.3 Internationale Standardatmosphäre (ISA) .............................................................. 62 3.3.1 Temperaturverteilung der Standardatmosphäre ............................................... 62 3.3.2 Definitionen der Höhe ....................................................................................... 65 4 Strömung von Fluiden .....................................................................................70 4.1 Grundbegriffe .......................................................................................................... 70 4.1.1 Allgemeine Beschreibung des Strömungsfeldes .............................................. 70 4.1.2 Stationäre und instationäre Strömungen .......................................................... 70 4.1.3 Bahnlinie und Stromlinie ................................................................................... 71 4.1.4 Stromröhre, Stromfaden, Stromfläche .............................................................. 72 4.2 Kontinuitätsgleichung ............................................................................................. 73 4.3 Energieerhaltungssatz ............................................................................................ 74 4.3.1 Satz von Bernoulli ............................................................................................. 74 4.3.2 Euler-Gleichung ................................................................................................ 80 4.3.3 Verlustfreie Rohrströmung - Anwendung der Bernoulli-Gleichung ................... 82 4.3.4 Ausfluss aus Gefäßen und Behältern - verlustfrei ............................................ 84 4.3.5 Ausfluss aus Gefäßen und Behältern unter Überdruck - verlustfrei ................. 84 4.3.6 Ausfluss aus Behältern mit scharfkantigen Öffnungen ..................................... 86 4.3.7 Ausfluss aus Behältern in ruhendes Wasser .................................................... 86 4.3.8 Ausströmen von Fluiden aus Behältern in die Atmosphäre .............................. 87 4.3.9 Verlustbehaftetes Ausfließen aus einem Behälter ............................................ 88 4.4 Strömung mit Energietransport ............................................................................... 89 4.4.1 Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten ........................ 89 4.4.2 Turbine.............................................................................................................. 92 4.4.3 Pumpe und Gebläse ......................................................................................... 93 4.5 Modellgesetze ........................................................................................................ 94 4.5.1 Simulationsproblematik..................................................................................... 94 4.5.2 Kennzahlen ....................................................................................................... 94 4.5.3 Reynoldszahl .................................................................................................... 96 4.6 Grenzschichttheorie ................................................................................................ 98 4.6.1 Grenzschicht ..................................................................................................... 98 4.6.2 Verdrängungsdicke * der Grenzschicht .......................................................... 98 4.6.3 Grenzschicht an der längs angeströmten ebenen Platte .................................. 99 4.6.4 Transition ........................................................................................................ 101 4.7 Widerstand von Körpern ....................................................................................... 104 4.7.1 Formen des Widerstands................................................................................ 104 4.7.2 Reibungswiderstand ....................................................................................... 105 4.7.3 Druckwiderstand ............................................................................................. 108 4.7.4 Induzierter Widerstand.................................................................................... 115 4.7.5 Interferenzwiderstand ..................................................................................... 118 4.7.6 Gesamtwiderstand .......................................................................................... 119 4.8 Kugelumströmung ................................................................................................ 122 4.8.1 Ideale reibungsfreie Umströmung der Kugel (Potentialströmung) .................. 122 4.8.2 Reibungsbehaftete Umströmung der Kugel .................................................... 122 4.9 Zylinderumströmung ............................................................................................. 127 4.9.1 Ideale reibungsfreie Strömung (Potentialströmung) ....................................... 127 4.9.2 Reibungsbehaftete Umströmung eines Zylinders ........................................... 127 iii ___________________________________________________________________ 4.10 Rohrströmung ....................................................................................................... 129 4.10.1 Laminare Rohrströmung ............................................................................. 129 4.10.2 Turbulente Rohrströmung ........................................................................... 129 4.10.3 Rohrreibungswiderstand ............................................................................. 130 4.10.4 Rohrreibungszahl ..................................................................................... 131 4.11 Widerstandsbeiwert für zusätzliche Einbauten in Rohren .................................... 134 4.11.1 Widerstand infolge von Ablösung................................................................ 134 4.11.2 Querschnittserweiterung (Diffusor) ............................................................. 135 4.11.3 Querschnittsverengung (Düse) ................................................................... 138 4.11.4 Durchflussmessung mit genormten Drosselgeräten (DIN EN ISO 5167).... 140 4.11.5 Krümmer - Richtungsänderung ................................................................... 141 4.11.6 Eintrittsverluste............................................................................................ 142 4.11.7 Verlustziffern von Formstücken und Einbauten (Zusammenfassung) ...... 143 5 Impulssatz .......................................................................................................147 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 6 Newton’sche Axiome ............................................................................................ 147 Stromröhre und Stromfaden ................................................................................. 148 Impuls ................................................................................................................... 148 Stationäre Fadenströmung durch einen raumfesten Kontrollraum ....................... 149 Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum ..................................................................... 150 Unterscheidung von drei Klassen von Anwendungsfällen .................................... 151 Impulssatz für mehrere Ein- und Austrittsflächen ................................................. 152 Anwendungsprinzip des Impulssatzes.................................................................. 153 Drallsatz ..........................................................................................................157 6.1 6.2 Drallerhaltung bzw. Drehimpulserhaltung ............................................................. 157 Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen ....................................... 163 iv ___________________________________________________________________ Nomenklatur Lateinische Bezeichnungen A [m²] Fläche a [m/s²] Beschleunigung a [m/s] Schallgeschwindigkeit c [m/s] Geschwindigkeit [-] Druckbeiwert cp cp [J/kgK] spez. Wärme bei konst. Druck cv [J/kgK] spez. Wärme bei konst. Volumen D [1/s] Schergefälle F [N] Kraft, Schub Fr [-] Froude-Zahl Ec [-] Eckert-Zahl Eu [-] Euler-Zahl Fo [-] Fourier-Zahl g [m/s²] Gravitationskonstante H [m] Höhe, Förderhöhe h [m] Höhe H [J] Enthalpie h [J/kg] spez. Enthalpie Flächenträgheitsmoment I [m4] I [Ns] Impuls I [N] Impulsstrom Kn [-] Knudsen-Zahl k [m] Rauigkeit L [Nms] Drall L [Nm] Drallstrom l [m] Länge M [-] Machzahl M [-] Metazentrum M [Nm] Moment m [kg] Masse m [kg/s] Massestrom n [-] Lastvielfaches n [-] Polytropenexponent P [W] Leistung Pe [-] Péclet-Zahl Pr [-] Prandtl-Zahl p [Pa] Druck Q [J] Wärme q [J/kg] spez. Wärme Q [J/m²] Wärmestrom q [W/m²] spez. Wärmestrom R [J/kgK] spez. Gaskonstante (Luft: RLuft = 287,05 J/kgK) Re [-] Reynoldzahl r [m] Radius S [-] Strouhalzahl S [J/K] Entropie s [J/K kg] spez. Entropie T [K] Temperatur T [s] Umlaufzeit v ___________________________________________________________________ Tu t T U U u u, v, w V V v W W w We Y x, y, z [-] [s] [s] [J] [m] [J/kg] [m/s] [m³] [m/s] [m³/kg] [N] [J] [J/kg] [-] [m²/s²] [m] Turbulenzgrad Zeit Umlaufzeit innere Energie Umfang spez. innere Energie Geschwindigkeiten in x, y, z-Richtung Volumen Geschwindigkeit spezifisches Volumen Widerstand Arbeit spez. Arbeit Weber-Zahl spez. Förderarbeit Ortskoordinaten Griechische Bezeichnungen [rad, Grad] Anstellwinkel K [-] Kontraktionszahll [rad, Grad] Schiebewinkel [m³/kgs²] Gravitationskonstante, Erde = 6,6710-11 [m] Grenzschichtdicke [-] Expansionszahl [-] Wirkungsgrad [%] Relative Luftfeuchte [-] Verustziffer [-] Isentropenexponent [-] Kraftmaßstabsfaktor [m] mittlere freie Weglänge [W/mK] Wärmeleitfähigkeit [-] Längenmaßstabsfaktor [-] Rohrreibungszahl [-] Ausflusskoeffizient [Pas] dynamische Viskosität [m²/s] kinematischen Viskosität [-] Zeitmaßstabsfaktor [-] Kreiszahl [-] Druckverhältnis [kg/m³] Dichte 4 [W/m²K ] Stefan-Boltzmann-Konstante, = 5,669710-8 [N/m] Kapillarspannung [Pa] Schubspannung [rad] Winkelgeschwindigkeit [-] Verlustbeiwert vi ___________________________________________________________________ Indizes 0 0 Diss d F f K M O p R S s t V W Größe auf die ungestörte Strömung bezogen Größe auf Meeresniveau bezogen Totalgröße dissipiert Dampf Fluid feucht Körper Modell Original Druck Reibung Flächenschwerpunkt isentrope Zustandsänderung Totalgröße trocken Verlust Wand Symbole Nabla-Operator Laplace-Operator proportional Fluidmechanik Einleitung 1 ___________________________________________________________________ 1 Einleitung 1.1 Allgemeines Fluidmechanik ist die Wissenschaft von den Gesetzen der Bewegung und des Kräftegleichgewichtes der ruhenden und bewegten Flüssigkeiten (Hydrodynamik) und Gase (Thermodynamik, Gasdynamik, Aerodynamik). Sie ist ein Teilgebiet der Technischen Mechanik und somit Teil der angewandten Physik. Die genaue Bezeichnung dieser Wissenschaft lautet Mechanik flüssiger Körper oder Fluidmechanik, wobei unter dem Begriff "flüssiger Körper" dünnflüssige, tropfbare Flüssigkeiten und Gase zu verstehen sind. Da im Deutschen ein Oberbegriff für tropfbare Flüssigkeiten und Gase fehlt, hat man dafür nach DIN 5492 den Begriff "Fluid" bzw. “Fluide“ vorgeschlagen. Im Englischen wird die Bezeichnung "fluid" als Oberbegriff für Flüssigkeiten und Gase, also ein nichtfestes Kontinuum, verwendet. Der Begriff "Strömungsmechanik", wird aus historischen Gründen sehr häufig parallel verwendet, umfasst jedoch streng genommen nicht die Wissenschaft von den Gesetzmäßigkeiten ruhender Flüssigkeiten und Gase, d.h. der Hydrostatik bzw. Aerostatik. Verglichen mit der Massenpunktdynamik, die oft schon gute Einblicke in reale Vorgänge gibt, ist die Strömungslehre wesentlich komplexer. Das Momentanbild einer Planetenbewegung lässt sich z.B. durch die Koordinaten des Schwerpunktes S, dessen Geschwindigkeit w und Beschleunigung a darstellen oder durch das 3. Gesetz von Kepler: Gl. 1-1: r 3 mS const . 3,36 1018 m 3 s 2 T 2 4 2 Das Momentanbild der Umströmung eines Körpers hingegen erfordert die Kenntnis der Geschwindigkeiten und Drücke nicht eines einzigen Massepunktes, sondern theoretisch unendlich vieler Punkte im Raum, aus denen das Druck- und Geschwindigkeitsfeld bestimmt wird. Abb. 1-1: Zum Vergleich Massenpunktdynamik – Fluidmechanik Das Versuchswesen nimmt in der Fluidmechanik eine weit wichtigere Rolle ein als in der Festkörpermechanik. In der Fluidmechanik stehen meist nicht so sehr die bewegten Teilchen als vielmehr die ruhenden oder gleichförmig bewegten umströmten Körper im Mittelpunkt des Interesses, z.B. Landfahrzeuge oder Luftfahrzeuge. Allerdings gewinnen numerische, also computergestützte Verfahren (CFD computational fluid dynamics) zunehmend an Bedeutung. Simulation im Windkanal wird mehr und mehr durch Computer-Simulationen ergänzt. Fluidmechanik Einleitung 2 ___________________________________________________________________ 1.2 Historische Entwicklung Bis zum 17. Jahrhundert war die Strömungsmechanik durch eine ausschließlich experimentelle Arbeitsweise gekennzeichnet. Im 17.- 18. Jahrhundert setzte die Entwicklung der theoretischen Strömungsmechanik ein und erst seit ca. 1960, mit der Verfügbarkeit der ersten leistungsfähigen elektronischen Rechner begann die Entwicklung der numerischen Strömungsmechanik. Die drei Elemente Experiment, Theorie und CFD sind jedoch nicht als isolierte, getrennt einzusetzende Werkzeuge zu verstehen, sondern als sich gegenseitig ergänzende Verfahren. Wobei jedes einzelne Verfahren unterschiedliche Stärken und Schwächen aufweist. Somit kann CFD als Bindeglied zwischen theoretischen und experimentellen Verfahren eingestuft werden. Theorie Experiment CFD Abb. 1-2: CFD als Bindeglied zwischen Experiment und Theorie Das Hauptaugenmerk für viele Anwendungen liegt in der Regel in der Ermittlung der Druckverteilung an der Oberfläche des umströmten Körpers und den daraus resultierenden Kräften und Momenten auf den Körper. Diese sind erforderlich zur Bestimmung der Auslegungslasten für die Struktur und der Bestimmung der aerodynamischen Parameter, z.B. Auftrieb und Widerstand. Die Bedeutung der Fluidmechanik zeigt sich z.B. in der Vorausberechnung der Antriebsleistung für Fahrzeuge Auslegung von Pumpen- und Kompressorleistungen für in Rohrleitungen transportierte Fluide im Maschinenbau und in der Verfahrenstechnik Bereitstellung der Grundlagen für den Entwurf von Gleitlagern, Strömungsmaschinen (Kreiselpumpen, Ventilatoren, Kompressoren, Dampf-, Gas- und Wasserturbinen) Dazu ist es jedoch häufig erforderlich das gesamte, den Körper beeinflussende Strömungsfeld zu kennen. Hier bieten sich neben einer reinen theoretischen Analyse oder einfachen Handbuchmethoden, unterschiedliche Vorgehensweisen an. Entweder die Durchführung von Modellversuchen im Wind- oder Wasserkanal oder eine numerische Analyse mit Hilfe von CFD-Methoden. Die Durchführung von Flug- oder Fahrversuchen ist naturgemäß erst in späteren Phasen des Entwicklungsprozesses möglich. 1.3 CFD als Entwurfswerkzeug Seit ca. 1970 wird CFD erfolgreich zur Berechnung zweidimensionaler Strömungen, z.B. bei Profilen eingesetzt. Als effizientes Entwurfswerkzeug zur Berechnung dreidimensionaler Strömungen entwickelte sich CFD seit ca. 1990. In Abb. 1-3 ist die Druckverteilung an der Oberfläche eines Flugzeugs in Form von Isobaren, d.h. Linien gleichen Drucks, dargestellt. Fluidmechanik Einleitung 3 ___________________________________________________________________ Abb. 1-3: Eulerrechnung zur cp –Verteilung an einer F20 (M = 0,95, = 8°), [ 1] Üblicherweise wird hierbei nicht der statische Druck pW an der Wand, sondern die dimensionslose Form des Druckbeiwerts cp verwendet. Gl. 1-2: cp pW p 2 c 2 Durch CFD-Verfahren lassen sich nicht nur die Strömungsverhältnisse an der Oberfläche des Körpers bestimmen, sondern es erfolgt eine Berechnung des gesamten Strömungsfeldes in der Umgebung des Körpers. Somit lassen sich auch Wirbelstrukturen im Nahfeld des umströmten Körpers darstellen. Für die Flügelschnitte a-f sind in Abb. 1-4 Vergleiche zwischen den Ergebnissen aus numerischer Berechnung und experimentellen Ergebnissen aus dem Windkanal aufgetragen. Fluidmechanik Einleitung 4 ___________________________________________________________________ Abb. 1-4: Darstellung der Isobaren (cp-Verteilung), [ 1] Fluidmechanik Einleitung 5 ___________________________________________________________________ 1.4 Strömungssimulation in Windkanälen Bei der Entwicklung von Fluggeräten ist man bereits in einer sehr frühen Phase des Entwurfsprozesses auf eine möglichst genaue mathematische Beschreibung des aerodynamischen und flugmechanischen Verhaltens des Flugzeugs angewiesen. Dies ist erforderlich sowohl zur Überprüfung der projektierten Flugleistungen als auch zur Auslegung des Flugreglers. Trotz der zunehmenden Bedeutung von numerischen Entwurfswerkzeugen (CFD), stellt der experimentelle Ansatz, d.h. die Erstellung eines aerodynamischen Modells auf der Basis von Windkanaldaten, noch das grundlegende Entwurfswerkzeug dar. In der Regel ist es jedoch nicht möglich ein Flugzeug über seinen gesamten Geschwindigkeitsbereich in Originalgröße unter echten Flugbedingungen zu testen. Lediglich im Niedergeschwindigkeitsbereich existieren einige Versuchsanlagen, die über eine entsprechend große Messstrecke verfügen um Flugzeuge im Originalmaßstab untersuchen zu können, z.B. NASA AMES 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal mit einer maximalen Strömungsgeschwindigkeit von 100 kts bzw. 51 m/s oder NASA AMES 40 x 80 ft mit einer maximalen Strömungsgeschwindigkeit von 300 kts bzw. 153 m/s. Abb. 1-5: NASA Ames 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal Aufgrund des mit der Geschwindigkeit quadratisch zunehmenden Energiebedarfs zur Aufrechterhaltung einer kontinuierlichen Umströmung des zu untersuchenden Körpers, werden Windkanaluntersuchungen daher häufig an geometrisch ähnlichen, jedoch maßstäblich verkleinerten Modellen durchgeführt. Dabei spielt es prinzipiell keine Rolle ob das Modell sich durch die ruhende Luft bewegt oder ob ein Fluid sich um ein ruhendes Modell bewegt. Der erforderliche Energieaufwand zur Simulation einer transsonischen Strömung (0,8 < M < 1,2) wird an dem in Abb. 1-6 dargestellten Windkanalmodell eines Kampfflugzeugs im Maßstab 1:15 deutlich. Die während des Versuchs kontinuierlich durchströmte Messstrecke des Windkanals beträgt 2,4 m x 2,4 m. Zur Gewährleistung dieser Versuchsbedingungen ist jedoch ein Leistungsbedarf von 70 MW abzudecken. Allein aus Kostengründen sind Versuchsanlagen, die die Simulation von Strömungsfeldern um Luftfahrzeuge in Originalgröße ermöglichen würden, in diesem Geschwindigkeitsbereich kaum zu realisieren. Fluidmechanik Einleitung 6 ___________________________________________________________________ Abb. 1-6: 1.5 Eurofighter-Modell (Maßstab 1:15), TWT CALSPAN Buffalo NY, USA Gliederung der Fluidmechanik Fehler! Rheologie Fluidmechanik Hydromechanik Hydrostatik Hydrodynamik Mechanik der Gase Hydraulik Aerostatik Aerodynamik inkompressibel Unterschall Gasdynamik kompressibel transsonisch Hyperschall Abb. 1-7: Überschall Verdünnte Gase Gliederung der Fluidmechanik (Rheologie: Wissenschaft der nicht-NEWTONschen Fluide z.B. Zahnpasta, flüssiger Beton) Fluidmechanik Einleitung 7 ___________________________________________________________________ 1.6 Begriffsdefinitionen 1.6.1 Fluid Im Gegensatz zum Festkörper verformt sich ein Fluid unter dem Einfluss einer Schubspannung ständig weiter. Abb. 1-8: Verformung eines Fluids zu unterschiedlichen Zeitpunkten t0, t1 und t2 Weitere Annahme: verteilt Kontinuumshypothese, d.h. Masse ist stetig über das Volumen 1.6.2 Stationäre und instationäre Strömung, quasistationäre Strömung Zustandsgrößen im Strömungsfeld (Geschwindigkeit, Druck, Dichte, Temperatur) bleiben über den betrachteten Zeitraum konstant (stationär) oder können sich zeitlich ändern (instationär). In Abhängigkeit von dem Beobachtungssystem können instationäre Systeme in stationäre Systeme überführt werden, die Verwendung eines mit dem Körper mitbewegtes Beobachtungssystem nimmt die Strömung als stationär war, z.B. flugzeugfestes Koordinatensystem. Sehr langsam ablaufende Veränderungen werden als quasistationär bezeichnet. 1.6.3 Stromlinie und Bahnkurve Abb. 1-9: Stromlinie und Bahnkurve, [ 13] Fluidmechanik Einleitung 8 ___________________________________________________________________ Die Bahnkurve beschreibt die Flugbahn, d.h. die Kurve auf der sich ein einziges Fluidteilchen bewegt. Optisch lässt sich die Bahnkurve z.B. durch die (farbliche) Markierung des zu beobachteten Teilchens und die Beobachtung über einen längeren Zeitraum t-2 < t < t2 vermessen. Die Stromlinie stellt eine Momentaufnahme des gesamten Strömungsfeldes dar. Optisch lässt sich die Stromlinie durch die (farbliche) Markierung mehrerer Teilchen und die Beobachtung über einen sehr kurzen Zeitraum vermessen, z.B. durch die photographische Aufnahme des Strömungsfeldes mit einem einzigen Photo, jedoch einer Belichtungszeit, die so gewählt wird, dass alle Teilchen einen sehr kurzen, aber dennoch sichtbaren Weg zurücklegen. Dieser zurückgelegte Weg erscheint aufgrund der endlichen Belichtungszeit als Strich auf der Aufnahme, der wiederum dem Geschwindigkeitsvektor der markierten Teilchen entspricht. Die Stromlinie ist somit die Kurve in einem Strömungsfeld, die zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 mit der Richtung der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmt, d.h. die Geschwindigkeitsvektoren der zu einer Stromlinie gehörenden Fluidteilchen bilden die Tangenten der Stromlinie. 1.6.4 Stromfaden und Stromröhre Abb. 1-10: Stromfaden und Stromröhre Stromfaden: Gesamtheit aller Stromlinien, die durch die Fläche A1 verlaufen Stromröhre: Gesamtheit aller Stromlinien, die durch eine geschlossene Kurve K verlaufen 1.6.5 Ideale und Reale Fluide Ein Ideales Fluid wird durch zwei Eigenschaften gekennzeichnet: - Inkompressibilität, d.h. die Dichte ist an jeder Stelle gleich - Reibungsfreiheit, d.h. es erfolgt keine Umwandlung mechanischer Energie durch Reibung in Wärme (vgl. auch Potentialströmung) Bei realen Fluiden treten infolge der Reibung Schubspannungen in Strömungsrichtung auf, es erfolgt eine Umwandlung mechanischer Energie in Wärme, d.h. es wird Reibungs- Fluidmechanik Einleitung 9 ___________________________________________________________________ arbeit verrichtet. Dies führt zur Ausbildung einer sog. Grenzschicht in Wandnähe fester Körper und Ablösungen der Grenzschicht im Nachlaufbereich. 1.7 Klassifizierung von Strömungen Strömungen lassen sich nach unterschiedlichen Kriterien klassifizieren - Unterscheidung entsprechend der Körpergeometrie, d.h. in zwei- oder dreidimensionale Strömungen - Unterscheidung nach der Stärke des Kompressibilitätseinflusses d.h. entsprechend der Anström-Machzahl - Reibungseffekte (Viskosität). 1.7.1 Einteilung von Strömungen als Funktion der Reibung Ein wesentliches Merkmal von realen Strömungen besteht darin, dass infolge der freien Bewegung der Moleküle Masse, Impuls und Energie von einem Ort zu einem anderen Ort im Fluid transportiert werden können. Diese Molekularbewegung ist die physikalische Ursache für die sog. Transportvorgänge, d.h. Massestrom, Reibung und Wärmeübertragung. Reale, mit Reibungseffekten behaftete Strömungen werden als reibungsbehaftet oder viskos bezeichnet. Strömungen, bei denen der Einfluss der Transportphänomene als gering betrachtet werden kann, werden als reibungsfrei bezeichnet. Die Unterschiede zwischen reibungsfreier und reibungsbehafteter Strömung lassen sich am Beispiel unterschiedlicher Geschwindigkeitsprofile in der Grenzschicht darstellen Reibungsfreie Strömung Die Geschwindigkeit entspricht auch direkt an der Wand noch der Geschwindigkeit der freien Anströmung c Reibungsbehaftete Strömung Die Geschwindigkeit nimmt an der Wand den Wert Null an (Haftungsbedingung). c Abb. 1-11: c Geschwindigkeitsprofile in reibungsfreier und reibungsbehafteter Strömung Für praktische Anwendungen lässt sich für viele Bereiche das Strömungsfeld in einen reibungsbehafteten Anteil in der Nähe der Körperoberfläche (Grenzschicht) und in einen reibungsfreien Anteil außerhalb der Grenzschicht aufteilen. Für schlanke Körper oder Profile, die bei kleinen Anstellwinkeln angeströmt werden, lassen sich durch diese Vereinfachung Stromlinien und Druckverteilungen relativ gut berechnen. Fluidmechanik Einleitung 10 ___________________________________________________________________ reibungsfreie Außenströmung Abb. 1-12: reibungsbehaftete Grenzschicht Reibungsbehaftete Grenzschicht, reibungsfreie Außenströmung Ablösung bei reibungsbehafteter Strömung Wird der Anstellwinkel des in Abb. 1-12 skizzierten Profils erhöht, so kann bei Überschreiten eines Grenzwinkels die Strömung der Kontur nicht mehr weiter folgen und die Grenzschicht löst an der Oberseite des Profils ab und es bildet sich hinter der Ablösestelle ein Ablöseoder Totwassergebiet. Solch ein abgelöstes Strömungsgebiet lässt sich nicht mehr als reibungsfreie Strömung vereinfachen. Eine ähnliche Situation liegt z.B. hinter einem quer angeströmten Zylinder vor. Strömungsablösung Strömungsablösung Totwassergebiet Abb. 1-13: Strömungsablösung bei Kugel und Zylinder Strömungsablösung 1.7.2 Einteilung von Strömungen als Funktion der Kompressibilität Strömungen für die die Dichte als konstant angenommen werden kann, z.B. Flüssigkeiten, werden als inkompressibel bezeichnet, Strömungen mit einer veränderlichen Dichte, z.B. Gase, werden als kompressibel bezeichnet. Die Annahme einer konstanten Dichte für Flüssigkeiten stellt lediglich eine (gute) Näherung dar, dies führt jedoch zu einer starken Vereinfachung in der Berechnung der Strömungsparameter. Obwohl Luft in der Realität ein kompressibles Fluid darstellt, kann ohne nennenswerten Fehler bei kleineren Geschwindigkeiten, d.h. bis ca. M = 0,3 die Annahme einer konstanten Dichte getroffen werden. In Bodennähe (H = 0) entspricht dies einer Fluggeschwindigkeit von ca. c = 100 m/s bzw. 360 km/h, also dem Geschwindigkeitsbereich von Segelflugzeugen oder kleineren einmotorigen Sportflugzeugen. Unter der Annahme der Inkompressibilität können die Strömungsbedingungen entlang einer Stromlinie somit mittels der Bernoulli-Gleichung ermittelt werden. Gl. 1-3: 1 p c 2 const. 2 Fluidmechanik Einleitung 11 ___________________________________________________________________ Für kompressible Strömungen liefert diese einfache Gleichung jedoch keine brauchbaren Ergebnisse mehr. Definition der Kompressibilität Wird der Druck p an einem Volumenelement v um den Betrag dp erhöht, so wird das Volumenelement v um den Betrag dv komprimiert. Die Kompressibilität wird beschrieben durch Gl. 1-4: 1 dv v dp Die Kompressibilität stellt eine Stoffgröße dar und beträgt z.B. für Wasser T = 510-10 m²/N und für Luft T = 510-5 m²/N bei p = 1 bar. Mit dem spezifischen Volumen v Gl. 1-5: v V 1 m ergibt sich für die Kompressibilität Gl. 1-6: 1 d dp d.h. eine Änderung des Drucks dp bewirkt in Abhängigkeit von der Größe der Kompressibilität eine Änderung der Dichte d Gl. 1-7: d dp Als Unterscheidungskriterium zwischen kompressibler und inkompressibler Strömung ist es üblich eine relative Dichteänderung von d 0.05 anzusetzen. 1.7.3 Einteilung von Strömungen als Funktion der Machzahl Stromlinien kennzeichnen die Tangenten an die lokalen Geschwindigkeitsvektoren im Strömungsfeld. Jedem Punkt in dem Strömungsfeld können die Größen Druck p, Temperatur T, Dichte und Geschwindigkeit V zugeordnet werden. Zusätzlich kann jedem Punkt noch die lokale Schallgeschwindigkeit c zugeordnet werden. Somit ergibt sich analog zur Definition der Machzahl M der freien Anströmung, also die Strömungsgeschwindigkeit c bezogen auf die Schallgeschwindigkeit a Gl. 1-8: M c a die Definition der lokalen Machzahl M im Strömungsfeld Gl. 1-9: M c a Unterschallströmung Die reine Unterschallströmung ist dadurch gekennzeichnet, dass im gesamten Strömungsfeld für die lokale Machzahl M 1 gilt. Ein wichtiges Kriterium der reinen Unterschallströmung besteht darin, dass sich Druckänderungen auch entgegen der Strömungsrichtung ausbreiten können. Fluidmechanik Einleitung 12 ___________________________________________________________________ Transsonische Strömung Bei einem transsonischen Strömungsfeld können Unterschall- (M < 1) und lokale Überschallströmung (M 1) im betrachteten Strömungsgebiet gleichzeitig auftreten, z.B. infolge von Übergeschwindigkeiten am Tragflügel bei einer freien Anströmmachzahl von M 1. Die Grenze für das erste Auftreten von Überschallgebieten ist abhängig von den verwendeten Profilen und liegt bei heute üblichen Transsonikprofilen bei ca. M = 0,8, kann jedoch bei entsprechend dicken Profilen bereits bei M = 0,65 liegen. Während die Beschleunigung vom Unterschall zum Überschall in einem stetigen Prozess verläuft, erfolgt die Verzögerung vom Überschall zurück zum Unterschall in einem unstetigen Prozess, gekennzeichnet durch einen Verdichtungsstoß. Kennzeichen eines transsonischen Strömungsgebiets ist somit das gleichzeitige Vorliegen von Unterschall- als auch Überschallgebieten, z.B. hinter einem abgelösten Stoß an der Profilnase. Generell wird der Machzahlbereich 0,8 M 1,2 als Transsonikbereich bezeichnet. Abb. 1-14: Verdichtungsstöße und kritische Machzahl an einem Profil, [ 5], [ 8] Bedeutung der kritischen Machzahl als kennzeichnende Größe der Kompressibilität Infolge des lokalen Auftretens von Überschallgebieten bilden sich lokale Verdichtungsstöße, die stromabwärts zu stoß-induzierten Ablösungen, verbunden mit einer starken Zunahme des Druck- bzw. Formwiderstands führen. Abb. 1-15: Widerstandsanstieg bei Überschreiten der kritischen Machzahl, [ 2] Fluidmechanik Einleitung 13 ___________________________________________________________________ Abb. 1-16: Schlierenaufnahme eines Projektils: Ernst Mach 1888, [ 14] Überschallströmung Das Kennzeichen der reinen Überschallströmung besteht darin, dass im gesamten Strömungsfeld für die lokale Machzahl M 1 gilt. Ein weiteres wichtiges Kriterium der reinen Überschallströmung besteht darin, dass sich Druckänderungen nicht mehr entgegen der Strömungsrichtung, sondern nur noch stromabwärts auswirken können. Abb. 1-17: Mach’scher Kegel in einer Überschallströmung, [ 5], [ 8] Hyperschallströmung Auch für den Übergang von der Überschall- zur Hyperschallströmung existiert keine scharf definierte Grenze. Eingebürgert hat sich eine Machzahl der freien Anströmung von M 4,5 5. Charakteristische Eigenschaften einer Hyperschallströmung sind die eng an der Körperoberfläche anliegen Stöße und die infolge der starken Temperaturerhöhung hinter dem Verdichtungsstoß auftretenden chemischen Prozesse, d.h. Dissoziation mit späterer Rekombination sowie die Bildung von Plasma. In diesem Geschwindigkeitsbereich lässt sich die Annahme, Luft als ideales Gas zu betrachten, nicht länger aufrechterhalten. sin 1 M Fluidmechanik Einleitung 14 ___________________________________________________________________ Abb. 1-18: Verdichtungsstoß an einer Rampe bei M = 36 Abb. 1-19: Modell des Raumtransporters Sänger mit Oberstufe Horus, H2K DLR Köln Bedingt durch das hohe Temperaturniveau treten in Hyperschallströmungen zwei Gruppen von chemisch-physikalischen Phänomen auf. Zum einen werden mit zunehmender Temperatur die inneren Freiheitsgrade der Moleküle angeregt, Dissoziations- und Ionisationseffekte treten auf und zum anderen kommt es zu chemischen Wechselwirkungen zwischen der Grenzschicht und der Oberfläche des Flugkörpers. Die Katalyzität der Oberfläche bildet bei wiederverwendbaren Systemen, z.B. Space Shuttle, eine schwer zu quantifizierende Größe, da sich die Katalyzität des Thermalschutzsystems mit zunehmender Anzahl der Flüge erhöht. Abb. 1-20: Space Shuttle (Rockwell) und chemische Reaktion beim Wiedereintritt, [ 9] Fluidmechanik Einleitung 15 ___________________________________________________________________ Die Abweichung des Verhaltens von Luft vom dem Verhalten eines idealen Gases, das sich im chemischen Gleichgewicht befindet ist in Abb. 1-21 dargestellt. Berechnet wurden die Staupunkttemperaturen bei unterschiedlichen Wiedereintrittsgeschwindigkeiten in einer Höhe von H = 52 km. Abb. 1-21: Staupunkttemperaturen und chemische Reaktionen von Luft, [ 3] ideales Gas: p v R T Abb. 1-22: Verhalten von Luft im Vergleich zu dem Verhalten des idealen Gases: Fluidmechanik Einleitung 16 ___________________________________________________________________ Strömung verdünnter Gase Alle bisherigen Betrachtungen gingen von der Strömung als Kontinuum aus. Insbesondere in großer Höhe, d.h. ab ca. 70 km, lässt sich diese Annahme nicht länger aufrechterhalten. Die Strömung stellt sich als freie Molekülströmung dar, die dadurch gekennzeichnet ist, dass aufgrund der geringen Dichte fast keine Kollisionen mehr zwischen den einzelnen Molekülen stattfinden. Kontinuumströmung Bei einer Kontinuumströmung sind noch genügend Molekülkollisionen möglich um alle chemischen Reaktionen nach einem Verdichtungsstoß wieder in ein Gleichgewicht zu bringen. Sinkt die Anzahl der Kollisionen unter eine kritische Grenze, so befindet sich die Strömung in einem chemischen Nicht-Gleichgewicht. Zur Unterscheidung der unterschiedlichen Strömungsbereiche bei der Betrachtung verdünnter Gase, lässt sich die Knudsen-Zahl Kn einführen, die das Verhältnis der mittleren freien Weglänge der Moleküle zu einer charakteristischen Länge lref des umströmten Körpers beschreibt. Die mittlere freie Weglänge ergibt sich zu Gl. 1-10: m 2 k T und die Knudsenzahl Kn Gl. 1-11: Kn lref In Abhängigkeit von der Knudsen-Zahl lassen sich bei verdünnten Gasen drei unterschiedliche Strömungsbereiche unterscheiden: - Kn 10-2 : Es liegt eine Kontinuumströmung vor. - 10-2 Kn 5: Die Strömung beginnt vom Kontinuumsverhalten abzuweichen, d.h. Stoßwellen weisen eine endliche Dicke auf und in der Grenzschicht kommt es zu Gleitströmungen, d.h. ähnlich wie im theoretisch reibungsfreien Fall, wird an der Wand die Geschwindigkeit in der Grenzschicht nicht zu Null. Stoßwelle und Grenzschicht fallen zusammen. - Kn 5: Es liegt eine freie Molekülströmung, es kommt kaum noch zu Molekülkollisionen, Stoßwellen und Grenzschichten sind nicht mehr eindeutig definiert. Fluidmechanik Einleitung 17 ___________________________________________________________________ 1.7.4 Zusammenfassung der einzelnen Geschwindigkeitsbereiche Unterschall Transsonikbereich Transsonikbereich Überschall Hyperschall Abb. 1-23: 1.8 Stromlinien und Mach-Linien als Funktion der Machzahl Einteilung der Fluide nach Fließverhalten c c dc const. dz dc const. dz Das Ziehen einer Platte mit konstanter Geschwindigkeit c über ein Fluid in einem konstanten Abstand z zur Wand erfordert eine Zugkraft F, die ein Maß für die Verschiebbarkeit der Fluidteilchen gegeneinander darstellt. Der Proportionalitätsfaktor wird als dynamische Viskosität bezeichnet. Scherspannung Gl. 1-12: dc dz Scherkraft Gl. 1-13: ´ dc dz Abb. 1-24: F A dc dz Unterscheidung von Fluiden nach Fließverhalten Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 18 ___________________________________________________________________ 2 Hydrostatik 2.1 Grundlagen 2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase Zustandsgrößen beschreiben den thermodynamischen Zustand eines Stoffes, z.B. durch Druck p, Temperatur T und Dichte bzw. spez. Volumen v 1 . Thermodynamische Zustandsgrößen für Reinstoffe, (z.B. H2O) können in Abhängigkeit von zwei Zustandsgrößen beschrieben werden, z.B. durch v v p, T , T T p, v und p pv, T . Im thermodynamischen Gleichgewicht können nicht beliebig viele Phasen gleichzeitig vorliegen. Für Fluide (Flüssigkeiten und Gase) sind zwei Zustandsgrößen zur Bestimmung des Gleichgewichtszustands entsprechend der Gibbs'sche Phasenregel ausreichend Gl. 2-1: f K 2 P f K P Anzahl der Freiheitsgrade Anzahl der Systemkomponenten Anzahl der Phasen Zustandsgrößen sind über Zustandsgleichungen miteinander gekoppelt, z.B. über die Zustandsgleichung des idealen Gases (ideale Gasgleichung) Gl. 2-2: p v R T bzw. über die kalorischen Zustandsgleichungen Gl. 2-3: Gl. 2-4: Abb. 2-1: cp cv dh dT du dT p const . v const . Zustandsdiagramm eines generischen Stoffes Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 19 ___________________________________________________________________ 2.1.2 Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten Generell ist die Dichte ist eine Funktion von Druck und Temperatur, d.h. es gilt p, T , dies gilt für alle Stoffe, d.h. Gase als auch Flüssigkeiten und Festkörper. Definition der Kompressibilität Betrachtet man ein kleines Volumenelement v, so wirkt an allen Seiten der Druck p. Wird der Druck p um den Betrag dp erhöht, so wird das Volumenelement v um den Betrag dv komprimiert. Die Kompressibilität wird beschrieben durch 1 dv v dp Gl. 2-5: In Abhängigkeit von der bei der Kompression über die Systemgrenze übertragenen Wärmemenge ändert sich jedoch die Gastemperatur. Unter der Annahme einer Kompression bei konstanter Temperatur, lässt sich die isotherme Kompressibilität definieren als 1 v T v p T Gl. 2-6: Nimmt man jedoch einen Kompressionsprozeß an, bei dem keine Wärme über die Systemgrenze übertragen wird (adiabate Zustandsänderung) und bei dem Reibungseffekte vernachlässigt werden (isentrope Zustandsänderung), so lässt sich die isentrope Kompressibilität definieren als Gl. 2-7: 1 v s v p s Die Kompressibilität stellt eine Stoffgröße dar und beträgt z.B. für Wasser T = 510-10 m²/N und für Luft T = 510-5 m²/N bei p = 1 bar. Mit der Definition des spezifischen Volumens v Gl. 2-8: v 1 ergibt sich für die Kompressibilität Gl. 2-9: 1 d dp d.h. eine Änderung des Drucks dp bewirkt in Abhängigkeit von der Größe der Kompressibilität eine Änderung der Dichte d Gl. 2-10: d dp Als Unterscheidungskriterium zwischen kompressibler und inkompressibler Strömung ist es üblich eine relative Dichteänderung von d 0.05 anzusetzen. Strömungen, für die die Dichte als konstant angenommen werden kann, z.B. Flüssigkeiten, werden als inkompressibel bezeichnet und bilden den Schwerpunkt der Vorlesung Fluidmechanik bzw. technische Strömungsmechanik. Strömungen mit einer veränderlichen Dichte, z.B. Gase, werden als kompressibel bezeichnet und werden hier nicht eingehend behandelt. Eine ausführliche Diskussion dichteveränderlicher Fluide findet sich jedoch in der Vorlesung Aerodynamik, unter dem Kapitel Gasdynamik. Wie später noch gezeigt wird, führt die Annahme einer konstanten Dichte zu einer starken Vereinfachung in der Berechnung der Strömungsparameter. Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 20 ___________________________________________________________________ Vereinfachung für Gase Obwohl Luft in der Realität ein kompressibles Fluid darstellt, kann ohne nennenswerten Fehler bei kleineren Geschwindigkeiten, d.h. bis ca. M = 0,3 die Annahme = const. getroffen werden. In Bodennähe (H = 0, p = 1013 hPa) entspricht dies einer Strömungsgeschwindigkeit bzw. Fluggeschwindigkeit von ca. c = 100 m/s bzw. 360 km/h, also dem Geschwindigkeitsbereich von schnellen Landfahrzeugen, Segelflugzeugen oder kleineren einmotorigen Sportflugzeugen. Unter der Annahme einer konstanten Dichte können die Strömungsbedingungen entlang einer Stromlinie somit mittels der Bernoulli-Gleichung ermittelt werden: Gl. 2-11: p 1 c 2 const. 2 Für kompressible Strömungen liefert diese einfache Gleichung jedoch keine brauchbaren Ergebnisse mehr 2.1.3 Druckeinheiten Generell sind für Drücke die Einheit Pa zu verwenden, insbesondere in der Meteorologie ist jedoch die Einheit hPa = 100 Pa üblich, da dies der älteren Bezeichnung mbar entspricht. Einheit Pa = N/m² hPa = mbar MPa bar atm mm Wassersäule = mm WS mm Quecksilber = mm Hg = Torr (760 mmHg = 1 atm) psi = lb/in² (1 in = 25.4 mm) psf = lb/ft² (1 ft = 12 in = 0,3048 m) Tab. 2-1: Multiplikationsfaktor 1 102 106 105 1,01325105 9,80665 133,32 SI - Einheit Pa Pa Pa Pa Pa Pa Pa 6894,757 47,88 = 6894,757/144 Pa Pa Druckeinheiten 2.1.4 Hydrostatischer Druck Druck ist eine ungerichtete Größe, d.h. das Druckfeld stellt ein Skalarfeld dar. Im Gegensatz zu einem Vektorfeld, z.B. einem Geschwindigkeitsfeld. Die resultierende Druckkraft wirkt immer senkrecht auf die Oberfläche. FG Abb. 2-2: Kräftebilanz an einer Flüssigkeitssäule Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 21 ___________________________________________________________________ Für das Kräftegleichgewicht an einer Flüssigkeitssäule in z-Richtung gilt: Gl. 2-12: FD ,o FG FD ,u 0 Gl. 2-13: p0 A h A g p A 0 Gl. 2-14: p0 h g p 0 Für den statischen Druck p in der Tiefe h folgt für = const.: Gl. 2-15: p p0 h g Dies ist das sog. hydrostatische bzw. fluidstatische Grundgesetz _________________________________________________________________________ Üb. 2-1: Berechnung des Drucks am Boden in einem nach oben offenen, mit Wasser gefüllten Behälters T = 12 °C (Wassertemperatur h = 10 m (Füllhöhe) = 1 bar (Luftdruck) p0 _________________________________________________________________________ geg.: 2.1.5 Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon Gemäß dem fluidstatischen Grundgesetz p p0 h g bestimmt sich der Druck über die Höhe h der darüber befindlichen Flüssigkeitssäule Kraft auf den Boden eines Gefäßes wird ausschließlich von der Höhe der darüber befindlichen Flüssigkeitssäule und nicht von der Form des Gefäßes bestimmt Gleiche Grundfläche A bedeutet gleiche Kraft F, d.h. F p A Abb. 2-3: Pascal’sches Paradoxon Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 22 ___________________________________________________________________ 2.1.6 Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren) Für ein System aus verbundenen Gefäßen oder Röhren folgt aus der Gleichgewichtsbedingung der Kräfte in z-Richtung: Ist das System mit einer Flüssigkeit gleicher Dichte befüllt, so befinden sich die Oberflächen auf gleicher Höhe Ist das System mit zwei sich nicht mischenden Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte gefüllt, so ergeben sich unterschiedliche Spiegelhöhen z1 und z2 Abb. 2-4: Kommunizierende Gefäße Die Druckbilanz auf der linken Seite (1-1) ergibt Gl. 2-16: p1 pb h1 1 g h0 2 g Für die rechte Seite (2-2) folgt Gl. 2-17: p2 pb h2 2 g h0 2 g wegen p1 p2 folgt daraus Gl. 2-18: pb h1 1 g h0 2 g pb h2 2 g h0 2 g Gl. 2-19: h2 1 h1 2 Für ein System, das mit einer Flüssigkeit gleicher Dichte befüllt ist, d.h. Gl. 2-20: h1 h2 1 2 folgt daraus Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 23 ___________________________________________________________________ Aus dem Prinzip der kommunizierenden Gefäße lässt sich das Arbeitsprinzip einer hydraulischen Presse ableiten Abb. 2-5: Hydraulische Presse Die Kräftebilanz am Kolben (1) ergibt Gl. 2-21: p1 A1 p0 A1 F1 p1 p 0 F1 A1 p 2 p0 F2 A2 Die Kräftebilanz am Kolben (2) ergibt Gl. 2-22: p2 A2 p0 A2 F2 mit dem hydrostatisches Grundgesetz p2 p1 g z1 z 2 g h folgt F2 F p0 1 g h A2 A1 Gl. 2-23: p0 Gl. 2-24: F2 F1 g h A2 A1 Aufgrund der hohen Drücke in Hydrauliksystemen kann der hydrostatische Druckanteil g h häufig vernachlässigt werden. _________________________________________________________________________ Üb. 2-2: Hydraulische Presse mit reibungs- und gewichtsfreien Kolben Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 24 ___________________________________________________________________ 1. 2. 3. Welche Kraft F1 ist am Kolben (1) aufzuwenden, um die Masse m = 2000 kg mit dem Kolben (2) anzuheben? Wie groß ist der Druck p2 am Boden des Kolben (2) Wie groß ist der Fehler bei Anwendung der Näherungslösung? _________________________________________________________________________ 2.1.7 Saugwirkung Das Arbeitsprinzip einer Saugpumpe leitet sich aus dem fluidstatischen Grundgesetz p p0 h g und dem Prinzip kommunizierender Röhren ab Abb. 2-6: Saugpumpe Druckbilanz in der Ansaugstrecke (1-1) Gl. 2-25: p1 pS ,abs H S h g Druckbilanz für die offene Seite (2-2) Gl. 2-26: p2 pb h g wegen p1 p2 folgt Gl. 2-27: pS ,abs H S g pb Daraus ergibt sich für die Ansaughöhe Gl. 2-28: HS pb pS ,abs pS ,u g g Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 25 ___________________________________________________________________ Maximale Ansaughöhe Die maximale Ansaughöhe wird begrenzt durch den Dampfdruck der angesaugten Flüssigkeit. Bei Unterschreiten des temperaturabhängigen Dampfdrucks geht die angesaugte Flüssigkeit von der flüssigen in die gasförmige Phase über. Der erzielbare Saugdruck pS,abs, der die maximale Ansaughöhe definiert, wird also begrenzt von dem Dampfdruck pDa der Flüssigkeit und dem herrschenden Luftdruck pb . Abb. 2-7: Dampfdruckkurve HDa = f(T) von Wasser Die Bedingung zur Erzielung der maximalen Ansaughöhe lautet: Saugdruck > Dampfdruck, d.h. pS ,abs pDa Die maximale, theoretische Ansaughöhe ergibt sich bei pS ,abs p Da Gl. 2-29: H S ,th pb pDa p p b Da H b H Da g g g Die tatsächliche Ansaughöhe HS liegt jedoch immer etwas unter der theoretisch maximalen Höhe HS,th d.h. H S H S ,th Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 26 ___________________________________________________________________ Üb. 2-3: Berechnung der Ansaughöhe einer Pumpe Temperatur T [°C] 0 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tab. 2-2: Dichte [kg/m³] 999,8 1000,0 999,6 998,2 995,6 992,2 988,0 983,2 977,7 971,3 965,3 958,3 Dampfdruck pDa [bar] 0,006 0,009 0,012 0,024 0,042 0,074 0,123 0,198 0,311 0,473 0,700 1,013 Dampfdruckhöhe HDa [mWS] 0,06 0,09 0,12 0,24 0,43 0,75 1,25 2,02 3,17 4,82 7,14 10,33 Dampfdruckkurve HDa = f(T) von Wasser Temperatur Luftdruck T = 20°C pb 1 bar = 105 Pa _________________________________________________________________________ 2.1.8 Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes) Erstes dokumentiertes historisches Beispiel für ein zerstörungsfreies Prüfverfahren: Überprüfung des Goldanteils in der Krone des König Hieron II von Syrakus ? Abb. 2-8: Archimedes (285 – 212 BC) Die scheinbare Gewichtsreduzierung eines in ein Fluid eingetauchten Körpers wird als statischer Auftrieb bezeichnet. Die Ursache besteht in der Druckdifferenz an Ober- und Unterseite des eingetauchten Körpers. Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 27 ___________________________________________________________________ Abb. 2-9: Statischer Auftrieb Die Kräftebilanz in horizontaler Richtung ergibt Null, da die Drücke in gleicher Tiefe identisch sind. Die Kräftebilanz in vertikaler Richtung auf die Projektionsfläche dA eines zylindrischen Elements ergibt Gl. 2-30: dF1 p0 z 1 F g dA (Oberseite) Gl. 2-31: dF2 p0 z 2 F g dA (Unterseite) Die Auftriebskraftkraft dFA lautet Gl. 2-32: dFA dF2 dF1 z2 z1 F g dA Die Gewichtskraft des Körpers dFK lautet Gl. 2-33: dFK z2 z1 K g dA Der archimedische Auftrieb ergibt sich aus der Integration der Kräfte dFA über das gesamte Körpervolumen VF Gl. 2-34: FA g F dVF g F VF VF Resultierende Gesamtkraft = Gewicht des verdrängten Fluids - Gewicht des Körpers Gl. 2-35: dF dFA dFK F g z2 z1 dA K g z2 z1 dA g dmF dmK dV F dV K Die Integration der Kräfte dF über das gesamte Körpervolumen V ergibt Gl. 2-36: ! F g F dVF K dVK g F VF K VK g mF mK 0 VF VK Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 28 ___________________________________________________________________ Üb. 2-4: Um wieviel steigt der Meeresspiegel, wenn das arktische Eis abtaut? geg.: Eis 920 kg m 3 Meerwasser 1025 kg m3 _________________________________________________________________________ 2.1.9 Oberflächenspannung und Kapillarwirkung 2.1.9.1 Teilchenkräfte Teilchenkräfte bilden den Sammelbegriff für Masseanziehungskräfte bei Molekülen und Atomen. Festkörper bilden eine Gitterstruktur mit sehr großen Molekularkräften. Fluide weisen im Gegensatz zu Festkörpern keine Gitterstruktur auf, wodurch die Molekularkräfte deutlich geringer sind als bei Festkörpern. Dies führt zu einer leichteren Verschiebbarkeit der Teilchen innerhalb von Fluiden im Vergleich zu Festkörpern. Teilchenkräfte bestimmen die Form der freien Oberfläche eines Fluids. Unterschieden wird zwischen Kohäsionskräften, d.h. Kräfte zwischen gleichartigen Teilchen in der gleichen Phase und Adhäsionskräften, d.h. Kräfte zwischen verschiedenartigen Teilchen in unterschiedlichen Phasen. 2.1.9.2 Begriffsdefinitionen Adhäsion: Wirkung zwischen fester/fester und fester/flüssiger Phase Adsorption: Wirkung zwischen fester/gasförmiger Phase; es erfolgt eine Anlagerung von Gasen oder Dämpfen an der Oberfläche fester Körper Absorption: Aufnahme von Gasen oder Dämpfen in Flüssigkeiten oder Feststoffen Mit dem Begriff der Absorption eng verbunden ist das Henry-Gesetz1 , welches besagt: Die in Flüssigkeiten gelöste Gasmenge nimmt mit steigendem Druck und/oder sinkender Temperatur zu. Dieser Zusammenhang lässt sich häufig bei lang anhaltenden Hochtemperaturperioden im Sommer an Gewässern beobachten, wenn infolge der ansteigenden Wassertemperatur der Sauerstoffgehalt im Wasser abnimmt und dadurch ein Fischsterben ausgelöst wird. 1 engl. Physiker u. Chemiker (1774 - 1836) Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 29 ___________________________________________________________________ 2.1.9.3 Grenzflächenspannung H2O Hg Randwinkel <90°: Adhäsion > Kohäsion (Wasser/Glas) Randwinkel >90°: Kohäsion > Adhäsion (Quecksilber/Glas) Abb. 2-10: Grenzflächenkräfte Teilchenkräfte treten an den Trennflächen verschiedener Stoffe oder Phasen in Erscheinung und bilden sog. Grenzflächenkräfte. Moleküle in der Grenzschicht erfahren durch Kohäsionskräfte eine resultierende Kraft F nach innen und die Grenzfläche wirkt wie eine dünne Membran (Bsp. Wasserläufer; Eigengewicht ist kleiner als die Oberflächenspannung) Benetzungsformen - Gas/Gas: Keine Grenzflächen infolge Durchmischung, keine Grenzflächenkräfte - Gas/Flüssigkeit: Kohäsionskräfte der Flüssigkeit sind dominierend, Kapillarspannung - Gas/Festkörper: Festkörper bestimmt alleine durch seine Form die Grenzfläche - Flüssigkeit/Festkörper: (1) Kohäsion > Adhäsion (Randwinkel >90°) nichtbenetzendes Fluid (hydrophob), zusammengezogene, kugelförmige Oberfläche (2) Kohäsion < Adhäsion (Randwinkel <90°) benetzendes Fluid (hydrophil) - Flüssigkeit/Flüssigkeit: Verhalten ähnlich dem von Gasen, keine Grenzflächen Abb. 2-11: Benetzungsformen als Funktion des Randwinkels Oberflächenaktive Substanzen Die Oberflächenspannung kann durch unterschiedliche Faktoren beeinflusst werden, wie etwa Verunreinigungen oder waschaktive Substanzen, die zu einer starken Reduzierung der Oberflächenspannung führen. Ebenso bilden Alkohole und Fettsäuren durch hydrophile (COOH-Gruppe) und hydrophobe (CH3-Gruppe) Anteile eine monomolekulare Schicht zwischen Wasser- und Luftmolekülen welche die Oberflächenspannung reduziert. Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 30 ___________________________________________________________________ Tropfengröße und Dosierung Insbesondere bei medizinischen Anwendungen wird häufig eine mittlere Tröpfchengröße zur Dosierung von Medikamenten verwendet. Die Tropfengröße selbst wird durch Dichte und Oberflächenspannung der Fluide bestimmt. Zur Bestimmung der Tropfengröße können unterschiedliche Verfahren, wie z.B. Stalagmometer, Kapillar- oder Ringmethode verwendet werden. 2.1.9.4 Kapillarität Grenzflächenspannung bzw. Kapillarspannung Die intermolekularen Anziehungskräfte heben sich, mit Ausnahme einer dünnen Schicht (<10-9 m) an der freien Oberfläche, im Inneren des Fluids auf. Daraus resultiert ein Spannungszustand an der Oberfläche und die freie Oberfläche versucht einen Minimalwert anzunehmen um den Spannungszustand zu minimieren. Der Krümmungsdruck pK wird definiert durch Abb. 2-12: Gl. 2-37: pK Gl. 2-38: 1 1 dF dA rK 1 rK 2 Kraft N ! Länge m Krümmungsdruck Einfluss der Oberflächenform auf den Krümmungsdruck pK rK 1 rK 2 Ebene Oberfläche: Gl. 2-39: pK 0 Kugelkalottenförmige Oberfläche: Gl. 2-40: pK 2 rK Zylinderförmige Oberfläche: Gl. 2-41: pK rK 1 rK 2 rK rK rK 1 rzyl rK , rK 2 Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 31 ___________________________________________________________________ Kapillarwirkung Abb. 2-13: Kapillarwirkung Kapillaraszension (z.B. Wasser im Glasrohr) Die Steighöhe eines Fluids in einem Rohr ergibt sich aus Kräftegleichgewicht zwischen Adhäsionskräften und dem Gewicht der angehobenen Flüssigkeit. Kapillardepression (z.B. Quecksilber im Glasrohr) Der abgesenkte Spiegel ergibt sich aus Kräftegleichgewicht zwischen Adhäsionskräften und dem Gewicht der abgesenkten Flüssigkeit Stoffpaarung Randwinkel W [grd] Wasser oder Äthylalkohol/Glas 0 Alkohol/Plexiglas < 10 Wasser/Plexiglas 80 Quecksilber/Glas 140 Wasser/Lotusblatt 160 Tab. 2-3: Randwinkel für unterschiedliche Materialpaarungen Der Zusammenhang zwischen Randwinkel und Krümmungsradius ergibt sich aus Gl. 2-42: rK R cos W Anhebung bzw. Absenkung zK ergibt sich aus dem Krümmungsdruck pK Gl. 2-43: pK z K F g Anhebung bzw. Absenkung zK Gl. 2-44: zK 2 4 cos W F g rK D F g Gewichtskraft = Kapillarkraft Gl. 2-45: D2 z F g D 4 mittlere Anhebung bzw. Absenkung z D = Rohrdurchmesser Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 32 ___________________________________________________________________ Gl. 2-46: z 4 D F g Fluide (T = 20°C) Luft - Quecksilber Wasser Ethanol Ethylether Öl Wasser Quecksilber Öl Ethanol Tab. 2-4: [N/m] 0,470 0,073 0,025 0,016 0,028 0,380 0,020 0,002 Kapillarspannungen Abb. 2-14: Mittler Kapillarsteighöhen z 2.1.9.5 Bestimmung der Oberflächenspannung Tropfenmethode (Stalagmometer) Fließt eine Flüssigkeit langsam aus einer Kapillare bilden sich bei konstanter Temperatur Tropfen gleicher Größe. Die Oberflächenspannung ist der Dichte der Flüssigkeit direkt und der Anzahl n der Tropfen umgekehrt proportional. Ein Stalagmometer besitzt zwischen zwei Eichmarken ein bestimmtes Volumen. Die Kalibrierung des Geräts erfolgt anhand einer Flüssigkeit mit bekannter Oberflächenspannung (z. B. Wasser). Abb. 2-15: Stalagmometer _________________________________________________________________________ Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 33 ___________________________________________________________________ Üb. 2-5: Bestimmung der Oberflächenspannung von 2-Methylpropanol Aus einem Stalagmometer flossen bei T = 20°C n = 405 Tropfen 2-Methylpropanol aus. Die Dichte der Flüssigkeit betrug ρ = 0,9477 g/cm3. Wie groß ist ihre Oberflächenspannung , wenn mit dem gleichen Gerät n(H2O) = 137 Tropfen Wasser von 20°C gezählt wurden? _________________________________________________________________________ Kapillarmethode Für eine Glaskapillare mit dem Radius r, in der eine Flüssigkeit aufsteigt gilt: Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule = Tragkraft durch die Oberflächenspannung Abb. 2-16: Gl. 2-47: r 2 h g 2 r Gl. 2-48: r h g N m 1 2 Kapillarmethode _________________________________________________________________________ Üb. 2-6: Bestimmung der Oberflächenspannung von Wasser bei 18°C Berechnung des Radius r der Kapillare mittels einer eingewogenen Quecksilbersäule geg.: T = 18°C (Temperatur) = 1,297 g (Einwaage an Quecksilber in der Kapillare) mHg lHg = 5,40 cm (Fadenlänge des Quecksilbers in der Kapillare) Hg = 13,595 g/cm3 = 13,95103 kg/m³ (Dichte) 19,85 mm (Mittelwert für die Höhe der Wassersäule) hH2O = _________________________________________________________________________ Ring- oder Bügelmethode Ein Aluminiumring mit einer scharfen Schneide wird über drei Fäden an einem Kraftmesser befestigt. Beim Herausziehen aus dem Fluid hebt die Schneide eine dünne ringförmige Flüssigkeitsschicht aus der Wasseroberfläche. Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 34 ___________________________________________________________________ Messwerte = F1 F2 = r = Gewichtskraft des Ringes in Luft Gewichtskraft vor dem Abreißen Radius des Ringes Oberflächenspannung σ Gl. 2-49: Abb. 2-17: F2 F1 2 r 2 Ringmethode Der Faktor 2 in Gl. 2-49 im Nenner ergibt sich aus der Kapillarspannung an den Berührungslinien oben am Ringrand/Flüssigkeit und unten an Flüssigkeit/Flüssigkeit. _________________________________________________________________________ Üb. 2-7: Bestimmung der Oberflächenspannung von H2O mittels Ringmethode T m F2 d = = = = 25°C 4,910 g 7,51210-2 N 60 mm (Masse des Ringes) (Zugkraft vor dem Abreißen) (Durchmesser des Ringes) _________________________________________________________________________ 2.1.10 Viskosität Definition nach DIN 1342 Eigenschaft fließfähigen Systems bei der Verformung eine mechanische Spannung aufzunehmen, die von der Verformungsgeschwindigkeit abhängt, bzw. Schub- oder Tangentialspannung ist die Ursache für die im Fluid hervorgerufene Verformungsgeschwindigkeit. Viskosität ist eine Stoffgröße und stellt ein Maß für die Verschiebbarkeit der Fluidteilchen gegeneinander dar. Newton'sches Fluidreibungsgesetz Herleitung über Plattenzugversuch: Zwischen ruhender und bewegter Wandfläche bildet sich ein Geschwindigkeitsgefälle, das bei kleinen Schichtdicken linearisiert werden kann. Gl. 2-50: F A dcx dz Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 35 ___________________________________________________________________ Tangentialspannung (auch: Scher- oder Schubspannung) Abb. 2-18: Plattenzugversuch Die Scherkraft F bezogen auf die Plattenfläche A ergibt Tangentialspannung Gl. 2-51: F dc x A dz Der Gradient D dc x dz wird auch als Schergefälle bezeichnet. Reibungsverhalten verschiedener Fluide Abb. 2-19: Reibungsverhalten verschiedener Fluide Newton'sche Fluide Bezeichnung für alle Fluide, die sich entsprechend dem Newton'schen Fluidreibungsgesetz verhalten, d.h. einen konstanten Proportionalitätsfaktor (= dynamische Viskosität) aufweisen. Fluide mit dilatantem (= dehnbarem) Verhalten Die Scherspannung, d.h. Viskosität steigt progressiv mit wachsendem Schergeschwindigkeitsgefälle, z.B. bei Klebstoffen oder nassem Sand. Bei geringen Schergeschwindigkeiten wirkt das Wasser im Sand als Gleitmittel, bei einer Erhöhung der Geschwindigkeit reißt der Wasserschmierfilm ab und Sand reibt gegen Sand, wodurch die Scherspannung ansteigt. Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 36 ___________________________________________________________________ Pseudoplastisches (strukturviskoses) Verhalten Die Scherspannung steigt degressiv mit wachsender Schergeschwindigkeit, z.B. in Schmelzen, Dispersionen mit länglichen Partikeln, die zuerst ineinander verhakt sind und sich mit zunehmender Scherbewegung ausrichten, wodurch der Widerstand nachlässt. Plastisches Verhalten (Bingham-Fluide) Bis zum Erreichen eines Schwellwertes entspricht das Verhalten dem eines Festkörpers, bei Überschreiten der charakteristischen Scherspannung beginnt der Stoff, ähnlich einem Newton'schen Fluid zu fließen, z.B. Honig, Wachs, Teer, Fette. Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 37 ___________________________________________________________________ 2.2 Druckmessung 2.2.1 Druckbegriffe Abb. 2-20: Druckdefinitionen Die Zustandsgröße Druck ist immer auf ein Referenzniveau bzw. auf einen Referenzdruck bezogen. In Abhängigkeit von dem verwendeten Bezugsniveau lassen sich unterschiedliche Drücke definieren. Absolutdruck pabs gegenüber Vakuum Gl. 2-52: pabs p pVakuum 0 Relativdruck prel, d.h. Druck gegenüber dem Luftdruck p0 , Überdruck oder Unterdruck Gl. 2-53: pG ,rel pabs p0 f h f g Überdruck (hf > 0), Flüssigkeitssäule wird im Manometer nach oben gedrückt Unterdruck (hf < 0), Flüssigkeitssäule wird im Manometer nach unten gedrückt Differenzdruck p, Differenz zwischen zwei Drücken p1 und p2 Gl. 2-54: p p1 p2 Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 38 ___________________________________________________________________ 2.2.2 Druckmessung in einem Kessel mittels U-Rohr Manometer Bestimmung des Kesseldrucks pG in der Höhe der Anschlussstelle Kräftegleichgewicht im Rohr: Gl. 2-55: pG G hg g p0 f h f g Gl. 2-56: pG p0 f h f g G hg g bei G f gilt Gl. 2-57: Abb. 2-21: pG p0 f h f g U-Rohr Manometer Die Messergebnisse werden nur geringfügig durch die Kapillarität im Rohr beeinflusst, sofern der Rohrdurchmesser des Manometers entsprechend groß gewählt wird. _________________________________________________________________________ Üb. 2-8: Einfluss der Kapillarität in einem Quecksilber U-Rohr Manometer D W T Hg/H20 Hg/Luft = = = = = 6 mm 140 grd 20°C 0,380 N/m 0,470 N/m (Rohrinnendurchmesser) (Randwinkel Hg/Glas) (Temperatur) (Grenzflächenspannung) (Grenzflächenspannung) _________________________________________________________________________ Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 39 ___________________________________________________________________ 2.2.3 Berücksichtigung des hydrostatischen Drucks in einem Kessel Die Änderung des hydrostatischen Drucks ist in der Regel bei Gasen über die Behälterhöhe vernachlässigbar. Der Druck im Kessel kann näherungsweise über die Höhe als konstant angenommen werden. Dies gilt jedoch nicht für Flüssigkeiten. Abb. 2-22: Hydrostatischer Druck in einem Kessel Druck im Kessel auf der Höhe hx p x pL f x g Gl. 2-58: Druckgleichgewicht im Manometer bei h2 Gl. 2-59: p x f y g p0 Hg h g Gl. 2-60: p x p0 Hg h g f y g 2.2.4 Differenzdruckmessung Die Druckdifferenz p p1 p2 ergibt sich aus der Druckgleichgewicht bei A-A f Hg Abb. 2-23: Differenzdruckmessung Gl. 2-61: p1 f g h1 p2 f g h2 Hg g h Gl. 2-62: p1 p2 f g h2 h1 Hg g h Gl. 2-63: p Hg f g h Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 40 ___________________________________________________________________ Bei geringen Geschwindigkeiten (M < 0,3) kann bei Gasen die Dichte gegenüber der Flüssigkeit im Manometer vernachlässigt werden, d.h. Gl. 2-63 vereinfacht sich zu: p Hg g h Gl. 2-64: Hierbei wird implizit die Annahme getroffen, dass im Rohr eine quasi-eindimensionale Strömung vorliegt, d.h. die Strömungsparameter ändern sich hauptsächlich in und nicht quer zur Strömungsrichtung. Der Wanddruck pw entspricht dem statischen Druck in der Strömung. 2.2.5 Berücksichtigung des Temperatureinflusses Die temperaturbedingte Volumenänderung der Flüssigkeit im Manometer, z.B. Quecksilber ist bei Druckmessungen zu berücksichtigen. T°C kg/m³ Tab. 2-5: 0 13595 10 13570 20 13546 30 13521 Dichte von Quecksilber als Funktion der Temperatur Länge der Quecksilbersäule bei T = 0°C L0 LT 1 1,81 10 4 T Gl. 2-65: LT [mm Hg] Länge bei Raumtemperatur T [°C] Näherungsbeziehung zur Temperaturkorrektur der Quecksilbersäule L0 LT Gl. 2-66: T 8 2.2.6 Berücksichtigung der Luftfeuchte Ab einer relativen Luftfeuchte von > 50% ist der Einfluss der Feuchte auf die spezifische Gaskonstante R, die in die Berechnung der Luftdichte eingeht zu berücksichtigen, d.h. der Wert der spezifischen Gaskonstante von trockener Luft Rt ist entsprechend Gl. 2-68 zu korrigieren, wobei Rf die um die relative Luftfeuchte korrigierte spezifische Gaskonstante von Luft darstellt. p Rf T Gl. 2-67: Gl. 2-68: Rf Rt pd Rt 1 1 p Rd 287 ,05 1 0,3773 p d p mit Rt 287 ,05 J kg K Rd 461 J kg K spez. Gaskonstante von trockener Luft spez. Gaskonstante von Wasserdampf relative Luftfeuchte pd p Sättigungsdampfdruck von Wasser in Luft Luftdruck Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 41 ___________________________________________________________________ Der Sättigungsdampfdruck von Wasser in Luft pd kann für die vorliegende Temperatur T entweder einer Dampftafel entnommen oder über die Magnus2-Formel berechnet werden. pd 611,213 e Gl. 2-69: 2.2.7 17 ,5043T 241,2 T Pa , T [°C] Lufttemperatur Drucksonden Abb. 2-24: Drucksonden Wanddruckmessung Statische Drucksonde pWand pK pstatisch pWand p F h g pstatisch p pstatisch p F h g Pitot-Sonde, Prandtl-Rohr pstatisch p pPitot ptotal pt p pdyn Bei inkompressiblen Strömungen lässt sich aus dem dynamischen Druck pdyn, d.h. der Differenz aus Totaldruck pt und statischem Druck p p dyn pt p q Gl. 2-70: 2 c2 die Strömungsgeschwindigkeit c bestimmen c Gl. 2-71: 2.2.8 2 pt p 2 g F h Schrägrohrmanometer Weiterentwicklung des U-Rohr Manometers, Neigung des Messschenkels führt zu einer Aufweitung der Skala, entsprechend sin, maßgebend ist lediglich die Differenz h in den Spiegelhöhen. Gl. 2-72: Abb. 2-25: 2 Schrägrohrmanometer H. G, Magnus (1802-1870), dt. Physiker und Chemiker p1 p2 M h g M l sin g Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 42 ___________________________________________________________________ Üb. 2-9: Geschwindigkeitsmessung mittels Schrägrohrmanometer und Prandtl-Rohr Ein Schrägrohrmanometer ist an ein Prandtl-Rohr in der Messstrecke eines Windkanals angeschlossen. Abgelesene Werte am Schrägrohrmanometer: l = 100 mm (Länge der aufgestiegenen Messflüssigkeit) M = 800 kg/m³ (Dichte der Messflüssigkeit, Alkohol) = 30 grad (Neigungswinkel des Manometers) Tageswerte im Labor: p = ..720 mm Hg T = 24°C = ....70 % (Luftdruck) (Lufttemperatur) (relative Feuchte) Berechnen Sie für diese Bedingungen die Strömungsgeschwindigkeit in der Messstrecke des Windkanals, wenn sich die Druckdifferenz am Manometer entsprechend Abb. 2-25 aus p1 (Gesamtdruck) und p2 (statischer Druck) ergibt. _________________________________________________________________________ Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 43 ___________________________________________________________________ 2.3 Druckkräfte auf Begrenzungsflächen Abb. 2-26: Druckkräfte auf Begrenzungsflächen, [ 10] Betrachtet wird im Folgenden ein Behälter, der bis zur Höhe H mit einem Fluid der Dichte gefüllt ist und an dessen Oberflächen und Außenseiten der Umgebungsdruck po herrscht. 2.3.1 Druckkraft auf eine ebene, horizontale Fläche Die Druckkraft auf die Bodenplatte ergibt sich aus der Bilanz aus hydrostatischem Druck und Umgebungsdruck. Gl. 2-73: 2.3.2 FB Fi Fa g H A Druckkraft auf eine geneigte Fläche Hydrostatische Kraft dF auf ein Flächenelement dA in der Tiefe h, mit h y cos Gl. 2-74: Gl. 2-75: dF h ph p0 dA p0 g y cos p0 dA g y cos dA h F g cos y dA A Schwerpunktsabstand yS der Fläche A bezogen auf die x-Achse Gl. 2-76: yS 1 y dA A A Resultierende Druckkraft auf die geneigte Fläche A Gl. 2-77: F g cos yS A Mit der Tiefe hS des Flächenschwerpunkts S Gl. 2-78: hS cos yS Gl. 2-79: F g cos yS A g hS A phS p0 A Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 44 ___________________________________________________________________ Die resultierende Kraft auf die Fläche A ergibt sich aus dem hydrostatischen Druck der im Flächenschwerpunkt S herrscht Gl. 2-80: p hS p 0 g hS Druckpunkt D Mit Ausnahme einer horizontalen, ebenen Fläche verteilt sich der Druck nicht konstant über die Fläche A. Dies hat zur Folge, dass der Kraftangriffspunkt oder Druckpunkt, nicht im Flächenschwerpunkt liegt. Die Druckpunktkoordinate yD ergibt sich aus dem Momentengleichgewicht bezüglich der x-Achse. Gl. 2-81: F yD y dF A g cos y dA g cos y y A 2 dA A dF Ix Ix: Flächenträgheitsmoment der Fläche A in Bezug auf die x-Achse Der Abstand yD des Druckpunktes D von der Flüssigkeitsoberfläche ergibt sich aus Gl. 2-77 eingesetzt in Gl. 2-81. Gl. 2-82: g cos yS A yD g cos I x 2 Mit dem Steiner‘schen Satz I x I Sx yS A , wobei ISx das Flächenträgheitsmoment der Fläche A in Bezug auf eine Achse durch den Flächenschwerpunkt S, parallel zur x-Achse beschreibt, ergibt sich für die Koordinate yD des Druckpunktes D 2 Gl. 2-83: yD I Sx yS A I Sx yS yS A yS A Abstand e zwischen Flächenschwerpunkt S und Druckpunkt D der Fläche A (in y-Richtung) Gl. 2-84: e yD yS I Sx 0 yS A Druckpunkt liegt immer tiefer als der Schwerpunkt Momentengleichgewicht bezüglich y-Achse liefert Druckpunktkoordinate xD Gl. 2-85: F xD x dF A g cos y dA g cos x y dA x A xD A dF I xy Ixy: Zentrifugalmoment der Fläche A in Bezug auf x,y-System Hat die belastete Fläche A eine Symmetrieachse parallel zur y-Richtung, so liegt der Druckpunkt D auf dieser Symmetrieachse im Abstand e unter dem Schwerpunkt S Sonderfall: Senkrechte ebene Fläche Kraft auf die senkrechte Wand Gl. 2-86: F g hS A Abstand Druckpunkt zu Flächenschwerpunkt 0, y h I xy yS A Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 45 ___________________________________________________________________ e hD hS Gl. 2-87: I Sx hS A Allgemein gilt: Druckkräfte auf geneigte oder senkrechte Flächen sind unabhängig vom absoluten Flüssigkeitsvolumen, lediglich die Füllhöhe ist maßgebend (vgl. hydrostatisches Paradoxon). _________________________________________________________________________ Üb. 2-10: Kraft auf eine Absperrklappe geg.: hS1 D H B = = = = = = ges. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Kraft F1 auf die Absperrklappe? Lage des Kraftangriffspunktes von F1? Drehmoment der Klappe bezüglich x-x? Klappenlagerung bei x-x oder y-y? Kraft F2 auf die linke Wand? Lage des Kraftangriffspunktes von F2? 5m 1m 30 grad 103 [kg/m³ 7m 10 [m _________________________________________________________________________ 2.3.3 Druckkräfte auf gekrümmte Begrenzungsflächen 2.3.3.1 Einfach gekrümmte (abwickelbare) Flächen Abb. 2-27: Druckkräfte auf abwickelbare Flächen, [ 10] Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 46 ___________________________________________________________________ Hydrostatische Kraft dF am Element dA Gl. 2-88: dF g h dA Gl. 2-89: dFx g h dA sin g h dAx Gl. 2-90: dFh g h dA cos g h dAh Die Druckbelastung ergibt sich aus der Projektion des belasteten Flächenelements senkrecht zur betrachteten Kraftrichtung. Horizontale Kraftkomponente Fx für die durch die Kurve 1-2-3-4 beschriebene Fläche Gl. 2-91: hSx: Fx g h dA x Ax g hSx Ax p hSx p0 Ax Abstand des Flächenschwerpunktes Sx der Projektionsfläche Ax zur Oberfläche Die Projektionsfläche Ax ergibt sich aus der Projektion von 1-2 zu 1'-2', horizontale Druckkräfte von 2-3 heben sich gegen 3-4 auf und liefern keinen Beitrag. Das Momentengleichgewicht an Ax ergibt den Angriffspunkt Dx der Kraft Fx : Gl. 2-92: ISy: ex hDx hSx I Sy hSx Ax Axiales Flächenträgheitsmoment der Fläche Ax bezüglich einer zur y-Achse parallelen Achse durch den Schwerpunkt Sx der Projektionsfläche Ax Vertikale Kraftkomponente Fh für die durch die Kurve 1-2-3-4 beschriebene Fläche entspricht der Gewichtskraft des über der Kurve 1-2-3-4 befindlichen (realen oder fiktiven) Fluidvolumens, unabhängig davon ob sich in dem Volumen Verdrängungskörper (Kurve 5-67-8) befinden oder nicht, ergibt sich die vertikale Kraftkomponente Fh zu Gl. 2-93: Fh g h dA h Ah g V Da die Gewichtskraft des Fluidvolumens V im Masseschwerpunkt SF angreift, verläuft die vertikale Kraftkomponente Fh durch den Schwerpunkt SF des oberhalb der bedrückten Fläche liegenden Volumens. Die Gesamtkraft F ergibt sich aus horizontaler und vertikaler Komponente Fx, und Fh Gl. 2-94: F Fx Fh , F arctan 2 2 Fx Fh Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 47 ___________________________________________________________________ Aufdruckkraft Fh' Abb. 2-28: Aufdruckkraft auf einen eingetauchten Körper, [ 10] Das Flächenelement dA' wird in der Tiefe h durch die Druckkraft dF' belastet. Die vertikale Komponente dFh' ergibt sich aus der Höhe der Flüssigkeitssäule über der belasteten Fläche dAh' Gl. 2-95: dFh dF cos g h d A cos g dV dAh Die Aufdruckkraft Fh' senkrecht nach oben ergibt sich aus der Gewichtskraft des fiktiven Volumens V' über der belasteten Fläche 9-10. Die Wirkungslinie verläuft durch den Masseschwerpunkt SF'. Gl. 2-96: Fh g V 2.3.3.2 Beliebig gekrümmte (nicht abwickelbare) Flächen Abb. 2-29: Druckkräfte auf beliebig gekrümmte Flächen, [ 10] Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 48 ___________________________________________________________________ Die Druckbelastung einer beliebig gekrümmten Fläche lässt sich durch Projektion der gekrümmten Flächen in die h-y-Ebene bzw. h-x-Ebene auf ein ebenes Problem zurückführen und die Projektionsflächen werden analog zu einer senkrechten Wand behandelt. Horizontale Kraftkomponenten Fx, Fy Die Kraft auf die senkrechte Wand ergibt sich aus dem hydrostatischen Druck im Flächenschwerpunkt multipliziert mit der Projektionsfläche Ax bzw. Ay. Fx g hSx Ax und Gl. 2-97: h dA Fy g hSy Ay Gl. 2-98: hSx Gl. 2-99: ex Gl. 2-100 y Dx Ax Ax I Sy hSx Ax I yh hSx Ax h dA y x und hSy und ey und y Dy Ay Ay I Sx hSy Ay I xh hSy Ay Vertikale Kraftkomponente Fh Kraft ergibt sich aus dem realen oder fiktiven Fluidvolumen V zwischen der Fläche und der Fluidoberfläche. Wirkungslinie der Gewichtskraft Fh verläuft durch den Masseschwerpunkt SF des Volumens V Gl. 2-101: 2.3.4 Fh g V Stabilität 2.3.4.1 Stabilität schwebender Körper FG > FA: FG = FA: FG < FA: SK SF Abtauchen Schwimmen Auftauchen Masseschwerpunkt des Körpers Masseschwerpunkt des verdrängten Fluids Abb. 2-30: Stabilität eines schwebenden Körpers Die Linie, die durch den Masseschwerpunkt des Körpers SK und durch den Masseschwerpunkt des verdrängten Fluids SF führt, wird als Schwimmachse bezeichnet. Ein stabiles Gleichgewicht erfordert, dass SK unterhalb von SF liegt. Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 49 ___________________________________________________________________ 2.3.4.2 Stabilität schwimmender Körper Ausgangslage FG FA Gewichtskraft des Körpers, greift im Körperschwerpunkt SK an Gewichtskraft des verdrängten Fluids, greift im Schwerpunkt SF des verdrängten Fluids an Abb. 2-31: Schwimmender Körper - Ausgangslage Auslenkung aus der Gleichgewichtslage Abb. 2-32: Schwimmender Körper - Auslenkung aus der Gleichgewichtslage Wird der schwimmende Körper aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, so verbleibt der Körperschwerpunkt SK auf seiner Position. Das Volumen des verdrängten Fluids VF bleibt gleich, ändert aber seine Form, wodurch sich der Schwerpunkt des verdrängten Volumens von SF auf SF' verschiebt. Die in den beiden Schwerpunkten angreifenden Kräfte FA und FG liegen nun nicht mehr auf der gleichen Wirkungslinie. In dem in Abb. 2-32 skizzierten Beispiel bildet sich ein aufrichtendes Moment. Der Schnittpunkt von Schwimmachse und Auftriebskraft FA wird als Metazentrum M bezeichnet. Die sog. metazentrische Höhe hM beschreibt den Abstand des Metazentrums von dem Körperschwerpunkt SK Gl. 2-102: hM I0 e VF Wobei I0 das Trägheitsmoment der Schwimmfläche darstellt. Stabilitätsbedingung Ein eigenstabiles Verhalten, d.h. ein selbständiges Zurückkehren in die Ausgangslage nach einer Auslenkung infolge einer Störung, z.B. Welle, wird durch die metazentrische Höhe hM definiert. hm 0 , instabil: hm 0, a 0 stabil: hm 0, a 0 , indifferent: Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 50 ___________________________________________________________________ Stabilitätsverhalten verschiedener Schiffstypen Abb. 2-33: Stabilität unterschiedlicher Schiffstypen in Abhängigkeit von Beladung, [ 10] Aufrichtender Hebelarm a über Krängungswinkel 1 2 3 4 5 6 Seenotrettungskreuzer, 23m Seenotrettungsboot, 8,3m Patrouillenboot, 38m Motoryacht 4a 100% Vorräte 4b 25% Vorräte Containerschiff, 1100 Container zu 14t Gorch Fock 6a unter Segel, 100% Vorräte, 70 Mann in den Rahen, 200 an Deck 6b Rumpf ohne Aufbauten _________________________________________________________________________ Üb. 2-11: Stabilität eines Schiffsrumpfes Der eingetauchte Bereich entspricht einer zylindrischen Halbellipse mit der Gesamtlänge L Gesucht ist die maximale Lage des Körperschwerpunkts über der Wasseroberfläche bis Instabilität eintritt _________________________________________________________________________ Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 51 ___________________________________________________________________ 2.4 Fluide unter Beschleunigung 2.4.1 Niveauflächen Die Verbindungsfläche aller Punkte mit gleichem Druck in einem Fluid wird als Niveaufläche (Isobarenfläche) bezeichnet. Niveauflächen bilden sich immer senkrecht zu den vorliegenden Massekräften (Gravitation, Trägheit). Freie Oberflächen von Flüssigkeiten werden durch den Umgebungsdruck belastet und bilden ebenfalls Niveauflächen, d.h. an jeder freien Oberfläche eines Fluids herrscht immer ein Druckgleichgewicht zwischen dem Druck an der Oberfläche des Fluids und dem Umgebungsdruck. Wirkt als einzige Kraft nur die Gravitation auf das Fluid, so stellt sich als Niveaufläche eine horizontale Ebene, bzw. Kugelfläche (Ozean) ein. Zusätzliche Trägheitskräfte bewirken eine Verschiebung der Niveaufläche. 2.4.2 Gleichförmig horizontal beschleunigter Behälter Abb. 2-34: Horizontal beschleunigter Behälter Der Spiegel der freien Oberfläche steht immer senkrecht zum resultierenden Beschleunigungsvektor. Der Neigungswinkel des Flüssigkeitsspiegels gegenüber der Horizontalen ergibt sich aus dem Verhältnis der Trägheitskräfte zur Gewichtskraft. Gl. 2-103: 2.4.3 tan Trägheitskraft dm a a Gewichtskraft dm g g Rotierende Flüssigkeiten Abb. 2-35: Rotierender Behälter mit Flüssigkeit Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 52 ___________________________________________________________________ Rotiert ein Gefäß mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um seine Hochachse, so sinkt der Spiegel zur Mitte hin ab. Die resultierende Kraft am Element dm ergibt sich aus Zentrifugalbeschleunigung dFT und Erdbeschleunigung dFG Gl. 2-104: dFT dm r 2 Gl. 2-105: dFG dm g Der Winkel der Tangente an die Oberfläche berechnet sich aus dem Verhältnis der Beschleunigungskräfte Gl. 2-106: tan dz dFT dm r 2 2 r dr dFG dm g g Die Parabelform der Oberfläche ergibt sich aus der Abhängigkeit der Zentrifugalbeschleunigung vom Rotationsradius r. Bestimmung der Form der freien Oberfläche z = z(r) Aus Gl. 2-107: dz 2 r dr g tan folgt Gl. 2-108: dz 2 g r dr Die Integration von zmin bis zmax z Gl. 2-109: dz z min 2 g r r dr r r z min ergibt für eine Rotation um die Symmetrieachse mit r zmin 0 Gl. 2-110: z r zmin 2 2 g r2 Die maximale Steighöhe zmax am Rand, d.h. bei r zmax R ergibt sich aus Gl. 2-110 Gl. 2-111: zmax zmin 2 2 g R2 Das Volumen eines Rotationsparaboloids entspricht dem halben Volumen des einhüllenden Zylinders, d.h. Gl. 2-112: 1 VRot .Paraboloid VZylinder 2 und damit lässt sich Gl. 2-111 auch schreiben als Gl. 2-113: z max z min 2 z0 z min 2 2 g R2 Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 53 ___________________________________________________________________ Mit z min z0 Gl. 2-114: 2 4 g R2 ergibt sich aus Gl. 2-110 die Form der freien Oberfläche bei einer Rotation um die Symmetrieachse Gl. 2-115 : r 2 1 R z r z0 2 g R 2 2 2 Druck auf den Behälterboden Abb. 2-36: Rotierender Behälter mit Flüssigkeit Der Druck auf den Behälterboden ergibt sich zu Gl. 2-116: r 2 1 2 p r p0 g z r p0 g z0 R 2 2 g R 2 z r Die parabolische Druckzunahme nach außen ist insbesondere für radial durchströmte Strömungsmaschinen von Bedeutung, z.B. bei Radialverdichtern. Druck im Inneren des Behälters Die Druckzunahme in der Ebene A-A zwischen 1 und 2 beträgt (Abb. 2-36) Gl. 2-117: p 2 p1 g z 2 z1 mit Gl. 2-118: folgt z1 2 2 g 2 r1 z min , z2 2 2 g 2 r2 z min Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 54 ___________________________________________________________________ Gl. 2-119: p 2 p1 2 2 2 r2 r1 2 Mit der Umfangsgeschwindigkeit u r folgt Gl. 2-120: p2 p1 2 2 u2 u1 2 Rotierende Flüssigkeit mit Deckel3 p0 z2 z1 Abb. 2-37: p0 Rotierender Behälter mit Deckel Das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung wird in jedem Punkt der Ebene A-A durch die darüber liegende Flüssigkeitssäule hergestellt, d.h. der Deckel ersetzt in der Kräftebilanz das Fluidvolumen VA . Die Kraft FD auf Deckel entspricht somit dem Gewicht des Volumens VA . Gl. 2-121: FD m g g VA Das Volumen VR eines Rotationskörpers, der durch die Rotation einer Kurve r(z) um die z-Achse entsteht, wird beschrieben durch z2 Gl. 2-122: VR r 2 z dz z1 Die Berechnung des fiktiven Volumens VA ergibt sich somit zu Gl. 2-123: 3 VA VZylinder VR R 2 z2 z1 VR Es ist zu beachten, dass der Deckel mit einer Belüftung versehen sein muss, d.h. der Luftdruck unterhalb und oberhalb des Deckels muss gleich sein Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 55 ___________________________________________________________________ Üb. 2-12: Zentrifuge D z0 = = 32 cm (Innendurchmesser) 8 cm (Füllhöhe) Bei welcher Drehzahl n erreicht der Flüssigkeitsspiegel den Behälterboden? Wie hoch steigt die Flüssigkeit in diesem Fall an der Wand des Behälters? _________________________________________________________________________ Üb. 2-13: Zentrifuge mit belüftetem Kolben z R In eine mit der Drehzahl n = 1 s-1 rotierende Zentrifuge wird ein reibungsfrei dichtender Kolben K gesetzt. Der Kolben besitzt in der Mitte eine Belüftungsbohrung, d.h. an der Oberseite und an der nicht benetzten Unterseite des Kolbens herrscht der gleiche Luftdruck p . Berechnen Sie die Masse mK des Kolbens, wenn dieser auf einer Höhe z1 = 1,0 m von der rotierenden Flüssigkeit getragen wird. p K p z1 r Behälterradius: Füllstand bei = 0: Dichte der Flüssigkeit: Umgebungsluftdruck: R z0 FL p = = = = 1,0 m 0,2 m 10³ kg/m³ 105 Pa Fluidmechanik Aerostatik – Atmosphäre der Erde 56 ___________________________________________________________________ 3 Aerostatik 3.1 Atmosphäre der Erde 3.1.1 Die Erdatmosphäre als Wärmekraftmaschine Die Atmosphäre der Erde ist in ein ständigen Veränderungen unterworfenes dynamisches System, eine Art Wärmemaschine [ 11], der auf der sonnenzugewandten Seite durch Absorption von Sonnenstrahlung Wärme zugeführt und auf der sonnenabgewandten Seite Wärme durch Abstrahlung entzogen wird. Infolge der Erdrotation ändern sich die Strahlungsverhältnisse auf der Erdoberfläche permanent. Eine weitere Komplikation der Verhältnisse, im Vergleich zu einer einfachen Wärmekraftmaschine im thermodynamischen Sinn, ergibt sich aus der asymmetrischen Verteilung von Meer und Landmassen auf der Erdoberfläche, da diese auch unterschiedliche Absorptions- und Emissionseigenschaften aufweisen. Zusammensetzung der Luft Die Atmosphäre selbst besteht aus einer Mischung unterschiedlicher Gase, deren Zusammensetzung jedoch über die Höhe relativ konstant bleibt. Hauptbestandteil bildet mit ca. 78% Stickstoff, gefolgt von ca. 21% Sauerstoff, weitere Komponenten bilden Wasserdampf, Kohlendioxid, Ozon und in sehr geringen Mengen Edelgase wie z.B. Argon und Neon, vgl. Tab. 3-1. Die chemische Zusammensetzung von Luft ist bis in sehr große Höhen nahezu konstant, während Druck und Temperatur eine Höhenabhängigkeit aufweisen. Gas Stickstoff Sauerstoff Argon Kohlendioxid Neon Helium Krypton Wasserstoff Xenon Ozon Tab. 3-1: N2 O2 Ar CO2 Ne He Kr H2 Xe O3 Volumenprozent 78,09 20,95 0,93 0,03 (schwankt) 0,0018 0,0005 0,0001 0,00005 0,000008 0,00001 (schwankt) Temperatur [°C] -20 -10 0 10 20 30 Chemische Zusammensetzung der Erdatmosphäre Wasserdampf [g/m³] 1,0 2,3 4,9 9,3 17,2 30 Fluidmechanik Aerostatik – Atmosphäre der Erde 57 ___________________________________________________________________ 3.1.2 Abb. 3-1: Aufbau der Erdatmosphäre Aufbau der Erdatmosphäre, [ 11] Eine feste Grenze existiert in der Höhe nicht; stattdessen erfolgt ein kontinuierlicher Übergang in den interplanetarischen Raum. Die untersten und im Sinne der Flugzeugaerodynamik interessantesten Schichten, bilden die Troposphäre und Stratosphäre. Der Übergang zwischen diesen beiden Schichten erfolgt vergleichsweise diskontinuierlich und die Trennungsschicht (Tropopause) liegt in unseren Breiten bei ca. 10 km Höhe und in den Tropen bei ca. 17 – 18 km. Veränderungen in der Atmosphäre, also das Wettergeschehen, spielen sich vorwiegend in der untersten Schicht, der Troposphäre ab. In der Troposphäre selbst spielt der Bereich in Bodennähe, die so genannte Reibungsschicht bis in 500 – 1000 m über dem Boden eine besondere Rolle, da hier die Atmosphäre von den Verhältnissen an der Erdoberfläche beeinflusst wird. Die Höhe der Tropopause ist nicht nur eine Funktion des geographischen Breitengrades, sondern unterliegt auch jahreszeitlichen Schwankungen. Der für das Wettergeschehen relevante Anteil der Atmosphäre bildet im Vergleich zum Erddurchmesser nur eine hauchdünne Schale, d.h. alle Hauptströmungen der Luft erfolgen horizontal. Vertikalbewegungen können demgegenüber nur eine vergleichsweise geringe Geschwindigkeit aufweisen, haben jedoch eine besondere Relevanz bei Vorgängen, wie Wolkenbildung und Niederschlag in seinen unterschiedlichen Formen. Die größten Höhenunterschiede der Tropopause treten entlang der Bänder maximaler Windgeschwindigkeiten (jet streams) auf. Oberhalb der Tropopause befindet sich bis zu einer Höhe von ca. 50 km die Stratosphäre. Nahm bis zum Erreichen der Tropopause die Lufttemperatur noch mit ca. 6.5 K/1000m ab, so stellt sich in der Stratosphäre anfangs eine isotherme Schicht ein um anschließend ab einer Höhe von ca. 20 km wieder anzusteigen. Der Temperaturanstieg innerhalb der oberen Stratosphäre ist auf die starke Absorption des UV-Anteils im Sonnenlicht durch Ozon zurückzuführen. Der Ozongehalt erreicht in der Stratosphäre in einer Höhe zwischen 20 – 25 km sein Maximum. Fluidmechanik Aerostatik – Atmosphäre der Erde 58 ___________________________________________________________________ Die Obergrenze der Stratosphäre wird durch die Stratopause gebildet. Das nun folgende Höhenband von 50 – 80 km, die Mesosphäre ist durch einen negativen Temperaturgradienten mit zunehmender Höhe gekennzeichnet und der Luftdruck hat sich auf 1 - 0.01 HPa reduziert. Nach der Mesosphäre folgt die Ionosphäre oder Thermosphäre bis in ca. 800 km Höhe, die infolge von ionisierten Schichten (E-Schichten oder Heaviside-Schichten) Radiowellen reflektieren und dadurch Überreichweiten erzeuge können. Oberhalb von 800 km erreicht man die Exosphäre, die den Übergang von der Atmosphäre zum interplanetaren Raum bildet. Von besonderem Interesse in dieser Schicht ist der so genannte Van-AllenStrahlengürtel, der den Hauptteil der kosmischen Strahlung (Gamma-Strahlung) abschirmt. Bemannte Raumfahrtmissionen außerhalb dieses Schutzgürtels, also auch bereits kurze Missionen zu Mond oder Mars, beinhalten dadurch ein immenses Risiko der gesundheitlichen Schädigung infolge hoher Strahlungsbelastung. Einfluss der Luftfeuchtigkeit Der Wasserdampfanteil in der Atmosphäre ist abhängig von Lufttemperatur und der relativen Feuchte. Insbesondere die spez. Gaskonstante R unterliegt einem Feuchteeinfluss R feuchte Gl. 3-1: T [°] pS [Pa] 0 611 Tab. 3-2: 5 872 10 1227 Luft 15 1704 Rtrockene Luft 0.377 pS 1 p 20 2337 Sättigungsdruck von Luft 25 3166 30 4241 35 5622 40 7375 45 9582 50 12340 55 15740 60 19920 Fluidmechanik Aerostatik – Atmosphäre der Erde 59 ___________________________________________________________________ 3.2 Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe 3.2.1 Luftdruck Bei inkompressiblen Fluiden ( = const.) wie z.B. Wasser, kann von einer linearen Druckänderung in Abhängigkeit von der Höhe bzw. Tiefe ausgegangen werden. Bei kompressiblen Fluiden ( ≠ const.) z.B. Luft, trifft diese lineare Abhängigkeit nicht mehr zu. Hier ändert sich der Druck exponentiell mit der Höhe. Der Luftdruck p [Pa = N/m²] entspricht einer Kraft F, die eine Fläche von A = 1 m² durch die darüber befindliche Luftsäule der Höhe h erfährt Gl. 3-2: p F m g V g A h g g h A A A A wobei z der vom Boden nach oben gerichtet in Koordinatenrichtung entspricht Gl. 3-3 3.2.2 p g h g z Kräftegleichgewicht an einem Volumenelement Das Kräftegleichgewicht in z-Richtung an einem Volumenelement der Dicke dz lautet Gl. 3-4: Fp ,1 Fp , 2 FG 0 Gl. 3-5: p dA p dp dA dm g 0 mit der Masse dm dA dz folgt Abb. 3-2: Gl. 3-6: p dA p dp dA dA dz g 0 Gl. 3-7: dp dA dA dz g 0 Gl. 3-8: dp g dz Kräftebilanz am Fluidelement Dieser Gleichung wird als hydrostatische Grundgleichung bezeichnet und gilt für kompressible als auch für inkompressible Fluide. Fluidmechanik Literatur 60 ___________________________________________________________________ Polytrope (allgemeine) Zustandsänderung Unter der Annahme einer polytropen Zustandsänderung Gl. 3-9: 1 p v n const . , mit v und n = Polytropenexponent lautet die Abhängigkeit des Drucks von der Dichte Gl. 3-10: p p 0 0 n bzw. für die Dicht gilt 1 Gl. 3-11: 1 p0 n 0 p 1 wobei der Polytropenexponent n die Art der Zustandsänderung beschreibt: n = 1: Isotherme Zustandsänderung n = : Adiabate Zustandsänderung (Luft = 1,4) Zustandsgleichung des idealen Gases Gl. 3-12: 0 p0 R T0 1 0 R T0 p0 Einsetzen der Zustandsgleichung des idealen Gases (Gl. 3-12) in Gl. 3-11 ergibt Gl. 3-13: R T0 p0 1 1 p n R T 0 n1 n 0 1 n p p0 p Hydrostatische Grundgleichung Gl. 3-14: dp g dz Aus der hydrostatischen Grundgleichung folgt Gl. 3-15: 1 dz g dp Daraus folgt die lineare Differentialgleichung Gl. 3-16: R T dz g n1 n 0 1 n dp p0 p bzw. Gl. 3-17: Gl. 3-18: dz R T0 1 1 n dp n 1 n g p0 p z R T0 z0 0 dz g p n 1 n p p0 p dp dp k 1n 1n p p0 p k Wobei der Index „0“ den Ausgangspunkt der Berechnung bezeichnet. Fluidmechanik Literatur 61 ___________________________________________________________________ In Abhängigkeit davon ob es sich um eine nicht-isotherme (n 1) Temperaturschichtung, z.B. in der Troposphäre oder eine isotherme (n = 1) Temperaturschichtung, z.B. im unteren Bereich der Stratosphäre handelt, muss das Integral in Gl. 3-18 unterschiedlich ausgewertet werden. Nicht-isotherme Temperaturschichtung (n 1) p Gl. 3-19: Gl. 3-20: k dp 1 n p0 p p dp k p0 p 1 n n k p n 1 k n 1 p n p0 n 1 n 1 n n p p0 n n 1 Ersetzen der Konstanten k Gl. 3-21: n 1 n 1 R T0 n n n p p z z0 0 n 1 n n 1 g p0 Gl. 3-22: n 1 R T0 n p n 1 z z0 g n 1 p0 Gl. 3-23: p n 1 g 1 z z 0 p0 n R T0 Gl. 3-24: T n 1 g z z0 1 T0 n R T0 Gl. 3-25: dT n 1 g dz n R Gl. 3-26: dT z z0 1 0 dz T0 1 n 1 Isotherme Temperaturschichtung (n = 1) p Gl. 3-27: k p0 dp p 1 n p p dp k ln p0 p p0 k g Gl. 3-28: z z0 p e RT0 p0 Gl. 3-29: z z e RT 0 g 0 0 n n 1 Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 62 ___________________________________________________________________ 3.3 Internationale Standardatmosphäre (ISA) Die Normatmosphäre (DIN 5450 bzw. seit 1975 DIN ISO 2535) basiert auf jahreszeitlich und geographisch gemittelten Messwerten für Druck, Dichte und Temperatur und dient als Normierungssystem zur Auslegung und Vergleich von Flugleistungen. Berücksichtig werden unterschiedlichen Temperaturgradienten für unterschiedliche Höhenbereiche. 3.3.1 Temperaturverteilung der Standardatmosphäre 90 180,65 88 80 180,65 79 70 252,65 61 60 270,65 52 270,65 47 H [km] 50 40 228,65 32 30 20 216,65 20 10 216,65 11 0 170 Abb. 3-3: 190 210 230 T [K] 250 Temperaturverteilung der Standardatmosphäre 270 288,15 0 290 310 Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 63 ___________________________________________________________________ Höhenbereiche mit linear veränderlicher Temperatur Höhe H [km] 0 < H < 11 20 < H < 32 32 < H < 47 52 < H < 61 61 < H < 79 Tab. 3-3: Temperaturgradient a [K/km] -6,5 +1,0 +2,8 -2,0 -4,0 Temperaturgradienten für unterschiedliche Höhenbereiche Gl. 3-30: Th TA a h hA Gl. 3-31: T a R ph p A h TA Gl. 3-32: T h A h TA g0 g 0 1 a R Höhenbereiche mit isothermer Schichtung Höhe [km] 11 < H < 20 47 < H < 52 79 < H < 88 Tab. 3-4: Höhenbereiche mit konstanter Temperatur Th TA const. Gl. 3-33: ph p A e Gl. 3-34: h A e Gl. 3-35: g 0 RTh h hA g 0 RTh h hA Die höhenabhängige Berechnung von Druck, Dichte und Temperatur erfolgt mit den in Tab. 3-5 angegebenen Temperaturgradienten a und Anfangswerten ()A nach ISA. h [m] 011103 20103 32103 47103 52103 61103 79103 Tab. 3-5: 11103 20103 32103 47103 52103 61103 79103 88103 hA [m] 0 11103 20103 32103 47103 52103 61103 79103 TA [K] 288,15 216,65 216,65 228,65 270,65 270,65 252,65 180,65 a [K/m] -6,510-3 0,0 +1,010-3 +2,810-3 0,0 -2,010-3 -4,010-3 0,0 pA [Pa] 101325 22632 5475 868 111 59 18 1 Anfangswerte und Temperaturgradienten nach ISA A [kg/m³] 1,2250 0,3639 0,0880 0,0132 0,0014 0,0008 0,0002 1,910-5 Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 64 ___________________________________________________________________ Höhe h [m] 0 Temperatur T [K] 288,15 Tab. 3-6: Temperaturgradient a [K/m] -6,510-3 Druck p [Pa] 101325 Dichte [kg/m³] 1,2250 Schallgeschwindigkeit c [m/s] 340 Werte der Standard-Atmosphäre (ISA) für h = 0 (MSL) Ausgehend von der Temperaturverteilung in der Atmosphäre lassen sich folgende weitere Parameter berechnen: Schallgeschwindigkeit Die temperatur- und somit höhenabhängige Schallgeschwindigkeit a kann für ideale Gase als reine Temperaturfunktion beschrieben werden Gl. 3-36: a R T mit der spezifischen Gaskonstante R Gl. 3-37: R c p cv (Luft = 1,4) und dem Isentropenexponent Gl. 3-38: (RLuft = 287,05 [J/kgK] cp cv Machzahl Gl. 3-39: M c a Wärmeleitfähigkeit Gl. 3-40: 2 ,648151 10 3 T 1,5 T 245,4 10 12 T W m K Viskosität Die dynamische Viskosität [Pas] von Luft lässt sich näherungsweise nach der Sutherlandformel als Funktion der Temperatur berechnen. Abb. 3-4: Temperaturabhängigkeit der dynamischen Viskosität Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 65 ___________________________________________________________________ dynamische Viskosität 1,458 10 6 Gl. 3-41: T 1,5 Pa s T 110 ,4 kinematische Viskosität Gl. 3-42: m2 s Reynoldszahl Gl. 3-43: Re c lref c lref 3.3.2 Definitionen der Höhe Die umgangssprachliche Bezeichnung Höhe, also der Abstand eines Punktes zum Boden, erfordert im Sinne der Fluidmechanik eine genauere Beschreibung. Möglich sind unterschiedliche Definitionen, z.B. - geometrische Höhe - absolute Höhe - geopotentielle Höhe - Druckhöhe - Temperaturhöhe - Dichtehöhe Geometrische Höhe hG Abstand eines Punktes über dem Meeresspiegel, z.B. Höhenangaben in Landkarten Abb. 3-5: Geometrische Höhe, Höhenlinien Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 66 ___________________________________________________________________ Absolute Höhe ha Abstand eines Punktes zum Erdmittelpunkt, r = Erdradius (Mittlerer Äquatorradius rE = 6378 km) Gl. 3-44: ha hG r Geopotentielle Höhe h Die quadratische Änderung der Gravitation mit dem Abstand zum Erdmittelpunkt 2 Gl. 3-45: r r g g 0 g 0 r hG ha 2 wird bei der geopotentiellen Höhe h berücksichtigt Gl. 3-46: r hG h r h G Druckhöhe Einfache Höhenmesser in Flugzeugen arbeiten in der Regel als barometrische Höhenmesser, d.h. es wird der statische Luftdruck außerhalb des Flugzeugs gemessen und daraus eine Höhe ermittelt. Die Druckhöhe beschreibt somit die Zuordnung eines Luftdrucks p(h) zu einer Höhe h. Abb. 3-6: Barometrischer Höhenmesser Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 67 ___________________________________________________________________ Abb. 3-7: Höhenmessereinstellungen Die Druckhöhe entspricht in der Regel nicht der geometrischen Höhe, wird jedoch zur Staffelung des Flugverkehrs nach so genannten Flugflächen FL (flight levels) verwendet. H FL 100 ft Gl. 3-47: z.B. FL120 entspricht einer geometrischen Höhe von 12000 ft = 3658 m, sofern der reale Luftdruck auf Meeresniveau bezogen p0 = 1013,25 hPa beträgt. Alle Höhenangaben werden bei diesem Verfahren auf den Standarddruck auf Meeresniveau (QNH4) von p0 = 1013,25 hPa bezogen. Da in der Regel der Luftdruck jedoch nicht dem Standarddruck entspricht, gibt diese Höhenmessereinstellung eine von der geometrischen Höhe abweichende Flughöhe an. Die Flugzeuge bewegen sich dadurch auf Flächen konstanten Drucks, nicht auf einer konstanten geometrischen Höhe. Dies hat jedoch den Vorteil, dass eine gleichbleibende relative Höhenstaffelung des Flugverkehrs gewährleistet wird. Die Umrechnung des aktuellen Luftdrucks (QFE) auf der Flugplatzhöhe h auf den Luftdruck bezogen auf Meeresniveau (QNH) erfolgt mittels QNH QFE a b h Gl. 3-48: mit aR 1 a 0,0065 287,05 0,1902612 g 9,80665 b 4 hPa p a ISA, h 0 TISA, h 0 0,0065 1013,25a 288,15 8,417168 10 5 Die Bezeichnungen QNH und QFE stammen noch aus der Morsezeit, wobei allen wetterrelevanten Informationen ein Q vorangestellt wurde. NH steht im Englischen für normal height, also Meeresniveau und FE für field elevation, also Platzhöhe. Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 68 ___________________________________________________________________ QNH QFE h R g pISA, h=0 TISA, h=0 [hPa] statischer Luftdruck bezogen auf Meeresniveau [hPa] statischer Luftdruck auf Flugplatzhöhe [m] Flugplatzhöhe [J/kg] spez. Gaskonstante von Luft bei eine relativen Feuchte = 0 [K/m] Temperaturgradient in der Troposphäre nach ISA [m/s2] Erdbeschleunigung auf der Höhe h = 0 [hPa] Luftdruck entsprechend ISA auf der der Höhe h = 0 [K] Temperatur entsprechend ISA auf der der Höhe h = 0 Vom Hoch ins Tief - das geht schief Abb. 3-8: Flugflächen Temperaturhöhe Zusätzlich zum statischen Druck wird die statische Temperatur außerhalb des Flugzeugs gemessen. Bis zu einer Höhe von 11 km lässt sich dieser gemessenen Temperatur über die Standardatmosphäre ebenfalls eindeutig eine Höhe zuordnen. Das wäre die so genannte Temperaturhöhe, hat jedoch für technische Anwendung keine Relevanz. Dichtehöhe Die Dichtehöhe ergibt sich über die Zustandsgleichung des idealen Gases aus den gemessenen Werten für Druck und Temperatur. Die Dichthöhe wird insbesondere zur Berechnung der Flugleistungen, insbesondere der Startstrecke verwendet. Näherungsformel zur Berechnung der Dichtehöhe Gl. 3-49: hDichte h 1013,25 QNH 10 Th Th ,ISA 40 m mit h QNH Th Th,ISA [m] [hPa] = Platzhöhe = Luftdruck bezogen auf MSL = aktuelle Temperatur am Platz = Temperatur am Platz bei ISA-Bedingungen Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 69 ___________________________________________________________________ Üb. 3-1: Gasballon mit Heliumfüllung geg.: DBallon RHe mHülle mKorb = = = = 6m 2078 J/kgK 20 kg 10 kg Die Hülle des Ballons ist vollständig flexibel 1. Berechnen Sie die Nutzlast, die der Ballon bei einem Start auf der Höhe h = 0 unter ISA-Bedingungen heben kann 2. Welchen Durchmesser hat der Ballon in einer Höhe h = 12 km unter ISA-Bedingungen _________________________________________________________________________ Üb. 3-2: Auslegung einer Druckkabine Die Druckkabine eines Flugzeugs soll für einen konstanten Kabineninnendruck ausgelegt werden, der einer Höhe von h = 2400 m entspricht. Die maximale Flughöhe beträgt FL400. Welcher Differenzdruck p lastet auf der Kabine a) Bei ISA-Bedingungen? b) Bei einem Luftdruck auf MSL von p0 = 1000 hPa und einer Temperatur auf MSL von T0 = 35°C? Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Grundbegriffe 70 ___________________________________________________________________ 4 Strömung von Fluiden 4.1 Grundbegriffe 4.1.1 Allgemeine Beschreibung des Strömungsfeldes Ein Strömungsfeld lässt sich allgemein beschreiben durch das Geschwindigkeitsfeld c c x, y , z , t , welches ein Vektorfeld darstellt und durch die skalaren Größen Druck p p x, y , z , t , Dichte x, y , z , t und Temperatur T T x, y , z , t . Zur Lösung des Gleichungssystems existieren 6 Gleichungen: Drei Bewegungsgleichungen (drei Komponenten) Kontinuitätsgleichung Energiesatz Thermische Zustandsgleichung Bei idealen Flüssigkeiten existiert keine Temperaturabhängigkeit der Zustandsgrößen. Für ideale Gase müssen aus dem Wertetripel p, , T lediglich immer nur zwei bekannt sein. 4.1.2 Stationäre und instationäre Strömungen Strömungen lassen sich in Abhängigkeit von dem zeitlichen Verhalten der Zustandsgrößen V, p, T und in stationäre und instationäre Strömung unterteilen. stationär Gl. 4-1: A quasistationär c, p, T, Gl. 4-2: A dc dp dT d 0, 0, 0, 0 dt dt dt dt Zustandsgrößen in einer Strömung c Eine kontinuierliche Rohrströmung bei der keine zeitliche Änderung des Massestroms oder der Temperatur vorliegt entspricht einer stationären Strömung. Eine instationäre Strömung würde z.B. bei dem Ausfluss einer Flüssigkeit aus und die einem Behälter entsprechen. Der Massestrom m Ausflussgeschwindigkeit V ändern sich in Abhängigkeit von dem Füllstand h entsprechend der Torricelli'schen Ausflussgleichung. Die dabei erreichte Ausflussgeschwindigkeit c entspricht der Geschwindigkeit, die in Fluidelement bei einem freien Fall aus der gleichen Höhe h erreichen würde. Gl. 4-4: Abb. 4-2: dc dp dT d 0 dt dt dt dt Instationär Gl. 4-3: Abb. 4-1: dc dp dT d 0 dt dt dt dt Instationäre Strömung c 2 g h Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Grundbegriffe 71 ___________________________________________________________________ 4.1.3 Bahnlinie und Stromlinie Eine Bahnlinie beschreibt die Kurve, die ein Fluidelement zu unterschiedlichen Zeitpunkten ( t t0 , t1 , ...., tn ) durchläuft. Die Sichtbarmachung erfolgt z.B. durch Zugabe von Schwebeteilchen in die Strömung und mittels einer photographischen Aufnahme bei der innerhalb der Belichtungszeit die Teilchen das betrachtete Strömungsfeld vollständig durchqueren. Die Bahnlinie entspricht also der Flugbahn eines Teilchens. Abb. 4-3: Wasserkanalaufnahme von NACA 64A015, = 0° [ 14] Eine Stromlinie schmiegt sich tangential an die Geschwindigkeitsvektoren eines Strömungsfeldes an. Die Sichtbarmachung erfolgt z.B. durch Zugabe von Schwebeteilchen in die Strömung und mittels einer photographischen Aufnahme mit einer Belichtungszeit, die so gewählt wird, dass dabei die Teilchen in dem betrachteten Strömungsfeld nur eine kurze Strecke zurücklegen (Momentaufnahme). Das Strömungsfeld lässt sich durch eine Kurvenschar veranschaulichen, die in jedem Punkt den zughörigen Geschwindigkeitsvektor tangieren. Abb. 4-4: Stromlinien eines Strömungsfeldes Der Abstand zwischen zwei Stromlinien kann beliebig dicht, ähnlich der Staffelung von Höhenlinien in einer Wanderkarte, zueinander definiert werden. Über die Stromlinien hinweg kann kein Masseaustausch stattfinden, d.h. zwischen zwei Stromlinien liegt immer ein konstanter Massestrom vor. Aufgrund der Bedingung eines konstanten Massestroms zwischen den Stromlinien führt (bei Unterschallströmungen) eine Stromlinienverdichtung, also eine Querschnittsverengung, zu einer Strömungsbeschleunigung und eine Stromlinienerweiterung bewirkt eine Strömungsverzögerung. Stromlinien können keine Unstetigkeitsstelle (Knick) oder Überschneidungen aufweisen. Dies gilt für alle Arten von Iso-Linien, also z.B. Isobaren oder Isochoren. Überschneidungen von Iso-Linien in einem Strömungsfeld würde bedeuten, dass man einem Fluidteilchen zum gleichen Zeitpunkt am gleichen Ort z.B. mehrere unterschiedliche Geschwindigkeiten oder Drücke zuordnen könnte. Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Grundbegriffe 72 ___________________________________________________________________ Bei stationären Strömungen fallen Bahnkurven und Stromlinien zusammen. Abb. 4-5: Stromlinie und Bahnlinie, [ 13] 4.1.4 Stromröhre, Stromfaden, Stromfläche Die Zusammenfassung aller Stromlinien, die durch eine Eintrittsfläche A im Raum treten, wird als Stromröhre bezeichnet. Bei der Annahme einer eindimensionalen Strömung innerhalb der Stromröhre, d.h. die Strömungsgrößen ändern sich nur in Strömungsrichtung und verhalten sich quer zu Strömungsrichtung konstant, können die Strömungsgrößen auf einer einzigen Stromlinie konzentriert angenommen werden. Diese repräsentative Stromlinie entspricht einer Stromröhre mit infinitesimalem Querschnitt dA und wird als Stromfaden bezeichnet. Die umhüllende Mantelfläche der Stromröhre wird als Stromfläche bezeichnet, wobei der Massestrom nur durch Ein- bzw. Austrittsfläche A1 und A2 stattfindet. Abb. 4-6: Stromröhre, Stromfaden und Stromfläche, [ 13] Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Kontinuitätsgleichung 73 ___________________________________________________________________ 4.2 Kontinuitätsgleichung Wird eine Stromröhre von einem Fluid mit einer mittleren Geschwindigkeit c im Querschnitt A durchströmt, so bildet das Volumenelement dV, welches um die Strecke ds bewegt wird, den Volumenstrom V . Bei kleinen Querschnittsänderungen in Strömungsrichtung kann die Querschnittsänderung dA im Vergleich zur Verschiebung ds in Strömungsrichtung vernachlässigt werden, d.h. s dA 0 . Abb. 4-7: Stromröhre - Kontinuitätsgleichung Volumenstrom Gl. 4-5: dV d A s A ds s dA A ds Gl. 4-6: dV ds V A A c m3 s dt dt Massestrom dm dt ergibt sich aus Der Massestrom m Gl. 4-7: d dV dm d V V dt dt dt dt Gl. 4-8: m V V Für stationäre Strömungen, d.h. 0 vereinfacht sich Gl. 4-8 zu Gl. 4-9: m V c A kg s Masseerhaltungssatz Da bei stationären Strömungen die Masse im betrachteten Kontrollvolumens konstant bleibt und innerhalb der Stromröhre der Massestrom nur durch die Ein- bzw. Ausrittsfläche A1 und A2 möglich ist, muss in jedem beliebigen Querschnitt Ai der Stromröhre gelten Gl. 4-10: m 1 m 2 1 c1 A1 2 c2 A2 const . Differenzieren von Gl. 4-10 ergibt die differentielle Form der Kontinuitätsgleichung Gl. 4-11: m c A const . Gl. 4-12: dm d c A 0 Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Kontinuitätsgleichung 74 ___________________________________________________________________ c A d c dA A dc 0 Gl. 4-13: d Gl. 4-14: 1 c A dA dc 0 A c _________________________________________________________________________ Üb. 4-1: Rohrverzweigung eines Abwasserrohrs geg.: D1 V1 V :V 2 = D2 3 c3 = = 100 mm 42,4 m³/h = = 2:1 c1 ges.: D3 c2 Durchmesser Abzweigungsrohr Geschwindigkeit im Querschnitt 2 _________________________________________________________________________ 4.3 Energieerhaltungssatz 4.3.1 Satz von Bernoulli Der Energieerhaltungssatz lässt sich aus der thermodynamischen Betrachtung eines offenen, durchströmten Systems am Beispiel eines Strömungsprozesses mit Austausch von Wärme und Arbeit herleiten. Betrachtet werden hierbei lediglich die Energie- und Massenströme, die die Systemgrenze überschreiten, sowie die Änderungen der Energie im Inneren des Systems. Eine Kenntnis der technischen Abläufe innerhalb der Systemgrenzen ist nicht erforderlich. Zapfluft Kabinendruck Luft Kerosin m L1 Zapfluft Enteisung Abgas m L 2 ; q ab m ab , qab m zu wel Abb. 4-8: m B , q zu Strömungsprozeß mit Austausch von Wärme und Arbeit Systemgrenze Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 75 ___________________________________________________________________ Die Energiebilanz über die Systemgrenze ergibt den ersten Hauptsatz der Thermodynamik für offene stationär durchströmte Systeme 1 Q12 P12 m h2 h1 c22 c12 g z 2 z1 2 Gl. 4-15: bzw. bezogen auf die Masse des strömenden Mediums, d.h. den Massestrom m 1 q12 wt ,12 h2 h1 c22 c12 g z 2 z1 2 Transportenergien Gl. 4-16: Systemenergien Wärme Q12 und Arbeit W12 stellen dabei die sog. Transportenergien dar, d.h. Energien, die über die Systemgrenze transportiert werden. Die Enthalpie H, sowie die kinetische und potentielle Energien Ekin und Epot stellen Systemenergien dar, das sind Energien, die sich innerhalb der Systemgrenze ändern. Bei reibungsbehafteten, also allen in der Realität ablaufenden Prozessen ist noch die Dissipationsenergie EDiss als zusätzliche Transportgröße zu berücksichtigen. In der Regel werden die Energieterme auf die Systemmasse m und Energieströme und bezogen und als spezifische Größen bezeichnet. Leistungen auf den Massestrom m Transportgrößen Wärme Wärmestrom Arbeit Leistung Dissipationsenergie Systemgrößen kinetische Energie Q12 J spez. Wärme J Q12 W s W12 J spez. Wärmestrom spez. Arbeit J P W s E Diss J Ekin,12 spez. Leistung spez. diss. Energie m 2 2 c2 c1 J 2 spez. kin. Energie potentielle Energie E pot,12 m g z 2 z1 J spez. pot. Energie Enthalpie H U p V J spez. Enthalpie innere Energie U m cv T J spez. innere Energie Druckenergie p V J spez. Druckenergie Tab. 4-1: Energie und Leistungsgrößen J kg J q12 12 m kg q12 Q12 m Q W12 J m kg P J w12 12 m kg w12 ediss Ediss J m kg J kg E pot ,12 J e pot ,12 m kg ekin,12 Ekin,12 m h HJ m kg u UJ m kg pv p V m J kg Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 76 ___________________________________________________________________ Enthalpie: Gl. 4-17: Summe aus innerer Energie U und Druckenergie pV H U p V bzw. spez. Enthalpie h Gl. 4-18: h H u p v m Kalorische Zustandsgleichungen zur Beschreibung der inneren Energie und Enthalpie Gl. 4-19: u u du dT dv T v v T cv spez. isochore Wärmekapazität cv Gl. 4-20: u cv cv T , v T v Gl. 4-21: h h dh dT dp T p T p cp spez. isobare Wärmekapazität cp Gl. 4-22: h cp c p T , p T p Innere Energie und Enthalpie fester und flüssiger Phasen Für inkompressible Fluide, d.h. = const. bzw. v = const. gilt Gl. 4-23: c p T cv T du c dT Änderung der spez. inneren Energie u Gl. 4-24: u T2 u T1 c T2 T1 Änderung der spez. Enthalpie h Gl. 4-25: hT2 , p2 hT1 , p1 c T2 T1 p2 p1 v1 Innere Energie und Enthalpie idealer Gase du cv T dT Gl. 4-26: cv Gl. 4-27: du cv T dT Gl. 4-28: u 2 u1 cv T dT T1 T2 Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 77 ___________________________________________________________________ dh c p T dT Gl. 4-29: cp Gl. 4-30: dh c p T dT T1 Gl. 4-31: h2 h1 c p T dT T2 Da die Temperaturabhängigkeit bei den spezifischen Wärmen cp und cv gleich ist, entfällt die Temperaturabhängigkeit bei der Berechnung der spezifischen Gaskonstante R aus der Differenz der beiden spezifischen Wärmen, d.h. bei idealen Gasen ist R keine Funktion der Temperatur. Gl. 4-32: c p T cv T R Innere Energie und Enthalpie bei konstanten Werten für cp und cv Gl. 4-33: u2 u1 cv T2 T1 Gl. 4-34: h2 h1 c p T2 T1 Erster Hauptsatz der Thermodynamik für ein offenes System Gl. 4-35: q12 wt ,12 eDiss ekin ,12 e pot ,12 h12 Transportenergien Gl. 4-36: Systemenergien 1 2 2 q12 wt ,12 eDiss c2 c1 g z 2 z1 cv T2 T1 v p2 p1 2 e pot ,12 spez . Druckenergie u12 ekin ,12 Gl. 4-37: 1 2 2 q12 wt ,12 eDiss c2 c1 g z 2 z1 h2 h1 2 e pot ,12 spez . Enthalpie ekin ,12 Bernoulli-Gleichung Je nach Anwendungsfall kann die Bernoulli-Gleichung durch Berücksichtigung einzelner Terme aus dem ersten Hauptsatz hergeleitet werden. Mögliche Vereinfachungen können in der Vernachlässigung folgender Terme bestehen - kein Wärmefluss über die Systemgrenze, (adiabates System): q12 =0 =0 - keine technische Arbeit über die Systemgrenze: wt,12 - keine Reibung an der Systemgrenze, (reibungsfreies System): ediss =0 = T2 - konstante Temperatur im System, (isothermes System): T1 - kein Höhenunterschied zwischen Zustand (1) und (2): z1 = z2 Zusätzliche weitere Vereinfachungen gelten für ein stationär durchströmtes System, d.h. m const . und ein inkompressibles Fluid, d.h. const . und führen den ersten Hauptsatz in den Satz von Bernoulli über. Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 78 ___________________________________________________________________ 1 2 2 0 c2 c1 g z2 z1 v p2 p1 2 Gl. 4-38: Allgemein gilt: Die Energie längs eines Stromfadens ist konstant Unterschiedlichen Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung Energieform c2 m 2 Gl. 4-39: kinetische Energie m g z potentielle Energie p V Druckenergie E ges const. Gesamtenergie Division von Gl. 4-39 durch V ergibt die Druckform Gl. 4-40: 2 c2 g z p E ges V const. Division von Gl. 4-40 durch g ergibt die Höhenform Gl. 4-41: c2 p z const. g 2 g Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen, (reibungsfrei), ohne Zu- bzw. Abfuhr von Arbeit oder Wärme Abb. 4-9: durchströmten Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System System Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 79 ___________________________________________________________________ Zusammenfassung - Darstellungsformen der Bernoulli-Gleichung dynamischer Anteil spezifische Energiegleichung c2 2 potentieller Anteil statischer Anteil p g h g h p h p g Gesamtenergie, -druck bzw. -höhe eges const . N m m2 kg s 2 p ges const . N m 2 Pa hges const . m Druckgleichung c2 2 Höhengleichung c2 2 g Tab. 4-2: Unterschiedliche Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung _________________________________________________________________________ Üb. 4-2: Stationär durchströmte Gasturbine Ein- und Austrittsebene der Turbine liegen auf gleiche Höhe P, wt,12 m 1 (1) T1, p1, z1, A1 ges.: (2) m 2 T2, p2, z2, A2 spez. technische Arbeit wt,12 Wellenleistung P Isentrope Expansion von 14049 m³/h Heißgas von p1 18,9 bar auf p 2 1,02 bar Turbineneintrittsquerschnitt A1 0,01942 m 2 Turbinenaustrittsquerschnitt A2 0,4306 m 2 Turbineneintrittstemperatur T1 980 C spez. Gaskonstante R 287 ,1 J kg K Isentropenexponent 1,34 spez. Wärmekapazitäten cp, cv = const. Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 80 ___________________________________________________________________ Üb. 4-3 Verlustfrei durchströmtes Rohrsystem (2) (1) (3) (4) m 1 = 103 kg/m³ z1 = 100 m m 2 200 kg / s d1 = 0,3 m z3 = 60 m z2 = 50 m d3 = 0,1 m d2 = 0,1 m z4 = 20 m d4 = 0,2 m Berechnen Sie für das verlustfrei durchströmte Rohrsystem an den Positionen (1)-(4) jeweils den dynamischen Druck q 2 c 2 , potentiellen Druck g z , statischen Druck p, und den Gesamtdruck pges. Der Gesamtdruck im Querschnitt (4) beträgt pges = 10,85bar _________________________________________________________________________ 4.3.2 Euler-Gleichung Eine weitere Möglichkeit zur Herleitung der Bernoulli-Gleichung ergibt sich aus einer Kräftebilanz an einem Volumenelement des Stromfadens unter folgenden Annahmen: - keine Berücksichtigung der thermischen Energie keine Berücksichtigung der inneren Energie keine Reibung c Abb. 4-10: z Kräftebilanz an einem Fluidelement in Strömungsrichtung z=0 Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 81 ___________________________________________________________________ Kräftebilanz in Stromrichtung Gl. 4-42: dF dFm dFp dm a dm dc dt Am Fluidelement angreifende Gewichtskraft in Strömungsrichtung Gl. 4-43: dFm dFg cos dm g dz ds mit Gl. 4-44: cos dz ds Druckkraft dFp Gl. 4-45: dFp p dAS p dp dAS dp dAS Masse des Elements dm Gl. 4-46: dm dAS ds Flächenelement dm ds Gl. 4-47: dAS Gl. 4-48: dF dm Gl. 4-49: ds dc dz dm ds dm g dp dt ds ds dm dc 1 g dz dp dt mit Gl. 4-50: ds c dt Gl. 4-51: c dc g dz dp Gl. 4-52: 1 2 1 c g z p const. 2 1 Druckform der Bernoulli-Gleichung Gl. 4-53: 2 c 2 g z p const . Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 82 ___________________________________________________________________ 4.3.3 Verlustfreie Rohrströmung - Anwendung der Bernoulli-Gleichung c1 Venturi-Rohr Messung des Volumenstroms V in Leitungen mit Hilfe von Druckmessstellen an der Zuströmseite (1) und im engsten Querschnitt (2). Die Querschnittsverengung bewirkt eine Erhöhung der Geschwindigkeit, d.h. c 2 c1 c2 Annahmen - Reibungsfreie Strömung, d.h. eDiss = 0 - Eindimensionale Strömung, d.h. keine Änderung der Strömungsgrößen über den Querschnitt - Horizontale Anordnung, z(1) = z(2), d.h. epot = 0 - Inkompressible Strömung, d.h. es gilt Fl 1 2 const. Abb. 4-11: Venturi Rohr Ausgehend von der Druckform der Bernoulli-Gleichung Gl. 4-54: 2 c 2 g z p const. 2 c1 g z1 p1 2 2 c2 g z 2 p2 2 folgt aufgrund der horizontalen Versuchsanordnung, d.h. z(1) = z(2), dass die potentielle Energie verschwindet, d.h. epot = 0 und die Bernoulligleichung vereinfacht sich zu Gl. 4-55: 2 c 2 p const. bzw. Gl. 4-56: 2 2 c1 p1 2 2 c2 p2 Volumenstrom V Gl. 4-57: V A c const. bzw. Gl. 4-58: V A1 c1 A2 c2 Statische Druckdifferenz aus der Manometermessung Gl. 4-59 p 2 p1 Fl g h Geschwindigkeit im Querschnitt (1) Gl. 4-60 A1 c1 A2 c2 Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 83 ___________________________________________________________________ bzw. c1 c2 Gl. 4-61: A2 A1 eingesetzt in die vereinfachte Bernoulli-Gleichung 2 A 2 c2 2 p1 c2 p2 2 2 A1 Gl. 4-62: 2 2 2 Gl. 4-63: A 2 2 c2 2 c2 p2 p1 A1 Gl. 4-64: A 2 2 c2 2 1 p2 p1 A1 Gl. 4-65: c2 2 2 2 p1 p2 A 2 1 2 A1 ergibt sich der Volumenstrom V unter der Annahme einer verlustfreien Strömung V c 2 A2 Gl. 4-66: 2 p1 p 2 A2 A 2 1 2 A1 _________________________________________________________________________ Üb. 4-3: Venturi-Rohr, Durchflussmessung bei verlustfreier Strömung (Luft) geg.: d1 d2 ges.: = = Luft = p1 - p2 = 150 100 1,225 250 mm mm kg/m³ mmWS Volumenstrom V _________________________________________________________________________ Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 84 ___________________________________________________________________ 4.3.4 Ausfluss aus Gefäßen und Behältern - verlustfrei Aus der allgemeinen Druckform der Bernoulli-Gleichung für den Stromfaden von (1) nach (2) Gl. 4-67: 2 c1 g z1 p1 2 2 c2 g z 2 p2 2 ergibt sich mit z1 = h1, z2 = 0 p1 = p0 (freie Oberfläche) p2 = p0 (Freistrahl) A2 c A const . folgt bei Aus der Kontinuitätsgleichung m konstanter Dichte für die Geschwindigkeiten c1 c2 Gl. 4-68: A2 A1 Abb. 4-12: Ausfluss aus einem Behälter Eingesetzt in die Bernoulli-Gleichung Gl. 4-69: 2 A 2 c2 2 g h1 p0 c2 p0 2 2 A1 2 ergibt sich für die Ausflussgeschwindigkeit c2 Gl. 4-70: c2 2 g h1 A 1 2 A1 2 Unter der Annahme, dass A1 >> A2, das entspricht c1 0, also einem konstanten Wasserspiegel (1), vereinfacht sich die Beziehung zu Gl. 4-71: (Torricelli‘sche Ausflussgleichung) c2 2 g h1 4.3.5 Ausfluss aus Gefäßen und Behältern unter Überdruck - verlustfrei Aus der allgemeinen Druckform der Bernoulli-Gleichung für den Stromfaden von (1) nach (2) Gl. 4-72: 1 2 c1 g z1 p1 2 2 ergibt sich mit z1 = h1, z2 = 0 p1 = p1ü + p0 p2 = p0 (Freistrahl) und analog zu dem offenen Behälter c1 c2 A2 A1 Abb. 4-13: Ausfluss aus einem Behälter unter Überdruck c2 g z 2 p2 2 Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 85 ___________________________________________________________________ eingesetzt in die Bernoulli-Gleichung 2 A 2 c2 2 g h1 p0 p1ü c2 p0 2 2 A1 Gl. 4-73: 2 ergibt sich für die Ausflussgeschwindigkeit c2 c2 Gl. 4-74: 2 g h1 2 A 1 2 A1 p1ü 2 Unter der Annahme, dass A1 >> A2, das entspricht c1 0, also einem konstanten Wasserspiegel (1), vereinfacht sich die Beziehung zu c2 2 g h1 Gl. 4-75: 2 p1Ü _________________________________________________________________________ Üb. 4-4: Ausfluss aus einem Behälter unter Überdruck - verlustfrei geg.: P1Ü = h1 = d2 = H2O = 1 bar 2m 2 cm 1000 kg/m³ c2 ges.: c2, V _________________________________________________________________________ Üb. 4-5: Ausfluss aus einem Benzinschlauch unter Überdruck - verlustfrei c2 geg.: P1Ü = h2 d1 d2 Benzin ges.: c2 = = = = = 4 bar 0.2 m 10 mm 2 mm 780 kg/m³ Ausströmgeschwindigkeit Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 86 ___________________________________________________________________ 4.3.6 Ausfluss aus Behältern mit scharfkantigen Öffnungen Alle bisherigen Betrachtungen gingen immer von einem Ausfluss durch gerundete Düsen aus, d.h. der Strahlquerschnitt Astr entspricht dem Düsen- oder Lochquerschnitt AL. Bei dem Ausfluss durch eine scharfkantige Bohrung wäre die Strömung infolge der Umlenkung gezwungen die Kante (Radius r = 0) mit einer theoretisch unendlich großen Geschwindigkeit (c2 = ) zu umströmen. Da die Strahlgeschwindigkeit c2 in der Ausströmöffnung nicht ganz erreicht wird, muss sich der Strahlquerschnitt verringern um die Forderung nach einem konstanten Massestrom noch zu erfüllen. Das Flächenverhältnis von Lochbohrung zu Strahlquerschnitt wird als Kontraktionszahl bezeichnet. Kontraktionszahl Gl. 4-76: AStr 1 AL Näherungswert für lange Spalte (ebene Strömung) und runde Ausströmöffnungen: Gl. 4-77: Abb. 4-14: 2 0,611 Ausfluss aus scharfkantiger Öffnung Für gut ausgerundete Ausströmöffnungen gilt für die Kontraktionszahl 1 4.3.7 Ausfluss aus Behältern in ruhendes Wasser Beim Ausströmen von Fluiden in ein ruhendes Fluid stellt sich die gleiche Strahlkontraktion wie beim Ausströmen in die freie Atmosphäre ein. Der scharf umrissene Strahl vermischt sich jedoch nach kurzer Entfernung mit dem ruhenden Fluid und die kinetische Energie wird durch Reibung in Wärme umgewandelt. Aufgrund des reibungsbehafteten Durchmischungsvorgangs nach dem Ausströmen ist die Bernoulli-Gleichung nur zwischen den Punkten (1) und (2) erfüllt, nicht jedoch zwischen (2) und (3). Druckform der Bernoulli-Gleichung (1) - (2) Gl. 4-78: 2 c1 g z1 p1 2 2 c2 g z 2 p2 2 Mit A1 >> A2, das entspricht c1 0 (konstanter Pegel) p1 = p0 p 2 g h3 h2 p0 z1 = h1 z2 = h2 Abb. 4-15: Ausfluss in ein ruhendes Fluid eingesetzt in die Bernoulli-Gleichung Gl. 4-79: g h1 p0 2 c2 g h2 p0 g h3 h2 2 Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 87 ___________________________________________________________________ ergibt sich für die Austrittsgeschwindigkeit Gl. 4-80: c2 2 g h1 h3 4.3.8 Ausströmen von Fluiden aus Behältern in die Atmosphäre Beim Ausströmen von Gasen in die freie Atmosphäre stellt sich wie bei Flüssigkeiten eine Strahlkontraktion ein. Kurz nach dem Ausströmen erfolgt eine turbulente Durchmischung mit der Umgebung. Am Strahlrand wird dem Strahl der Umgebungsdruck p0 aufgeprägt. Abb. 4-16: Ausströmen von Gasen in die Atmosphäre Freistrahlbedingung Da der Strahlrand eine Niveaufläche darstellt, d.h. der Druck am Rand des Fluides entspricht immer dem Umgebungsdruck, wird der der Druck der Umgebung dem austretenden Strahl aufgeprägt. In Abhängigkeit von dem Umgebungsdruck kann die Strömung entweder überoder unterexpandieren. Die maximale Aufweitung des Strahls stellt sich beim Ausströmen bei verschwindendem Umgebungsdruck ein, d.h. beim Ausströmen gegen Vakuum. _________________________________________________________________________ Üb. 4-6: Auslegung eines Belüftungssystems Belüftungsrohr mit scharfkantigen Ausblaslöchern geg.: V 0,7 m 3 s d 10 mm pÜ 1100 Pa Luftstrom Bohrungsdurchmesser Überdruck im Rohr Luft 1,2 kg m Luftdichte Kontraktionszahl 0,6 3 c zu 10 m s Zuströmgeschwindigkeit ges.: - Durchmesser des Rohres - Anzahl der Bohrungen im Belüftungsrohr Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 88 ___________________________________________________________________ 4.3.9 Verlustbehaftetes Ausfließen aus einem Behälter Der theoretisch verlustfreie Ausströmvorgang lässt sich durch die Torricelli’sche Ausflussgleichung c2,th 2 g h beschreiben, wobei h die Höhe des Pegelstands darstellt. Unter realen Bedingungen ist dieser Vorgang jedoch reibungsbedingt Verlusten unterworfen, d.h. die reale Ausströmgeschwindigkeit c2 im Austrittsquerschnitt wird immer kleiner sein, als die theoretische Geschwindigkeit c2,th. Die reale Austrittsgeschwindigkeit c2 entspricht der Geschwindigkeit, die sich aus der dem um eine (fiktive) Verlusthöhe hV verminderte Höhe des Pegelstands h ergibt. Gl. 4-81: c2 2 g h hV Die Abminderung der Geschwindigkeit lässt sich durch eine Verlustziffer beschreiben Gl. 4-82: 2 g h hV c2 h hV c2 ,th h 2 g h Der sich einstellende Volumenstrom V ergibt sich mit der Kontraktionszahl zu * AStr A2 1 AL A2 Gl. 4-83: Gl. 4-84: V A c2 A c2,th Kontraktionszahl und Verlustziffer lassen sich zu dem Ausflusskoeffizient zusammenfassen Gl. 4-85: Der Volumenstrom kann nun berechnet werden mittels Gl. 4-86: V A c2,th A 2 g h Technische Ausführungen zur Gewährleistung von verlustminimiertem Ausfließen unter definierten Bedingungen stellen scharfkantige Öffnungen oder sog. BORDA-Mündungen dar. Abb. 4-17: a) scharfkantige Öffnung b) BORDA-Mündung Öffnung scharfkantig gerundet Tab. 4-3: Verlustziffer 0,97 0,97 - 0,99 Kontraktionszahl 0,61 - 0,64 1 DIN 1952: Werte für Blenden und Venturirohre Ausflusskoeffizient 0,59 - 0,62 0,97 - 0,99 Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 89 ___________________________________________________________________ 4.4 Strömung mit Energietransport 4.4.1 Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten Sind in einem System Baugruppen enthalten, die Energieformen verändern, z.B. durch Zuoder Abfuhr von Arbeit (Pumpe, Turbine) oder Wärme (Brennkammer) so sind die entsprechenden Terme im 1. Hauptsatz zu berücksichtigen - - wt12 spez. Arbeit - - q12 spez. Wärme Bei einer realen, reibungsbehafteten Strömung muss die dissipierte Energie durch ein Verlustglied berücksichtigt werden, z.B. durch - eDiss spez. dissipierte Energie - eV spez. Verluste spez. Verlusthöhe - hV Druckverlust - pV Die Energieform der Bernoulli-Gleichung Gl. 4-87: c2 m 2 m g z kinetische Energie potentielle Energie p V Druckenergie E ges const. Gesamtenergie Gl. 4-88: c2 p g z eges const. 2 Gl. 4-89: 1 2 p 1 2 p c1 g z1 1 c2 g z2 2 2 2 ist um die technische Arbeit wt12 und Verlustterme eV zu erweitern Gl. 4-90: 1 2 p 1 2 p wt12 c1 g z1 1 c2 g z2 2 eV 2 2 bzw. Gl. 4-91: 1 2 2 wt12 c2 c1 g z2 z1 p2 p1 v eV 2 Verluste können durch eine Verlustziffer erfasst werden und lassen sich unterteilen in Verluste durch Reibung eVR und Verluste infolge von Einbauten eVE Gl. 4-92: eV eVR eVE Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 90 ___________________________________________________________________ Bezeichnungen für Pumpen und Turbinen Spez. Förderarbeit (Pumpen) Y Die einem Fluid pro kg Flüssigkeit zugeführte mechanische Arbeit wird bei Pumpen als spezifische Förderarbeit Y bezeichnet und entspricht der spezifischen technischen Arbeit wt12 (Thermodynamik). Y [Nm/kg = m²/s²] Totaldruckänderung infolge Arbeit Zusammen mit der Dichte des Fluids berechnet sich die Totaldruckänderung pt im Fluid aus der Förderarbeit Y Gl. 4-93: pt Y [Pa] Förderhöhe H oder HNutz (Pumpe) bzw. Nutzfallhöhe (Turbine) Gl. 4-94: H Y g [m] Hydraulische Leistung Ph Gl. 4-95: Ph m Y V Y V g H [W] bzw. wegen Y = wt12 Gl. 4-96: Ph m wt12 V wt12 V g H Pumpenwirkungsgrad P und Turbinenwirkungsgrad T Der Pumpenwirkungsgrad ergibt sich aus der an der Welle zugeführte mechanische Leistung PW und der hydraulischen Leistung Ph, P < 1 Gl. 4-97: P Ph PW Bei der Berechnung des Turbinenwirkungsgrads T steht die hydraulische Leistung im Nenner, T < 1 Gl. 4-98: T PW Ph Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 91 ___________________________________________________________________ Die Zusammensetzung der einzelnen Energieanteile bei Zu- bzw. Abfuhr von Arbeit oder Wärme unter Berücksichtigung der Reibungsverluste ist in Abb. 4-18 dargestellt. Abb. 4-18: Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System mit Reibung Zusammenfassung - Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten Spezifische Energiegleichung 2 Gl. 4-99: 2 c1 p c p g z1 1 Y 2 g z 2 2 ediss 2 2 Höhengleichung 2 Gl. 4-100: 2 c1 p c p z1 1 H 2 z 2 2 hV 2 g g 2 g g Druckgleichung Gl. 4-101: 1 1 2 2 c1 g z1 p1 pt c2 g z2 p2 pV 2 2 Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 92 ___________________________________________________________________ 4.4.2 Turbine p0 Energie wird über die Systemgrenze abgeführt, Y wt ,12 0 (1) Mit den Annahmen - konstanter Umgebungsdruck: p1 = p2 = p0 - keine Strömungsgeschwindigkeit an Ober- und Unterwasserspiegel: c1 = c2 = 0 - Pegelstände: z1 = H1, z2 = 0 wt12 < 0 p0 Abb. 4-19: (2) Systemgrenze Wasserkraftwerk, Turbinenbetrieb ergibt sich für die allgemeine Höhenform für Strömungen mit Energietransport für den Stromfaden von (1) nach (2) 2 Gl. 4-102: 2 c1 p c p z1 1 H 2 z 2 2 hV 2 g g 2 g g Diese vereinfacht sich mit den oben getroffenen Annahmen und Vereinfachungen für die Turbine zu Gl. 4-103: H1 p0 p H 0 hV g g Nutzfallhöhe H = HNutz: Gl. 4-104: H H 1 hV 0 Die zur Energieumwandlung zur Verfügung stehende Nutzfallhöhe HNutz wird also um die Reibungsverluste in Form der Verlusthöhe hV reduziert. Der Betrag von HNutz ist negativ, da Energie aus dem System abgeführt wird. Technische Arbeit wt12 = Y Gl. 4-105: wt12 g H Nutz 0 Druckabfall pt in der Turbine Gl. 4-106: pt g H Nutz wt12 0 Hydraulische Leistung Phyd. der Turbine Gl. 4-107: p Phyd . m wt12 m g H Nutz V g H Nutz m t V pt 0 Wellenleistung PWelle der Turbine hängt von dem Gesamtwirkungsgrad Turbine < 1 ab Gl. 4-108: PWelle Turbine Phyd . 0 Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 93 ___________________________________________________________________ 4.4.3 Pumpe und Gebläse Bei Pumpen oder Gebläsen wird dem System Energie über die Systemgrenze zugeführt, d.h. die übertragene technische Arbeit ist positiv, p0 (2) Y wt ,12 0 Analog zu den für die Turbine getroffenen Annahmen - konstanter Umgebungsdruck: p1 = p2 = p0 - keine Strömungsgeschwindigkeit an Oberund Unterwasserspiegel: c1 = c2 = 0 - Pegelstände: z1 = 0, z2 = H2 wt12 > 0 (1) p0 Abb. 4-20: Systemgrenze Wasserkraftwerk, Pumpbetrieb ergibt sich für die allgemeine Höhenform für Strömungen mit Energietransport für den Stromfaden von (1) nach (2) 2 Gl. 4-109: 2 c1 p c p z1 1 H 2 z 2 2 hV 2 g g 2 g g Diese vereinfacht sich mit den oben getroffenen Annahmen und Vereinfachungen für die Turbine zu Gl. 4-110: p0 p H H 2 0 hV g g Förderhöhe H = HNutz: Gl. 4-111: H H 1 hV 0 Die erforderliche Arbeit zur Überwindung der Höhendifferenz H2 erhöht sich also um die Reibungsverluste in Form der Verlusthöhe hV. Der Betrag von HNutz ist positiv, da Energie dem System zugeführt wird. Spezifische technische Arbeit wt12 = Y Gl. 4-112: wt12 g H Nutz 0 Druckanstieg pt in der Pumpe Gl. 4-113: pt g H Nutz wt12 0 Hydraulische Leistung Phydr. der Pumpe Gl. 4-114: p Phydr . m wt12 m g H Nutz V g H Nutz m t V pt 0 Wellenleistung PWelle der Pumpe hängt von dem Gesamtwirkungsgrad Pumpe < 1 ab Gl. 4-115: PWelle Phydr . Pumpe Phydr . hydr . mech . 0 Fluidmechanik Grenzschichttheorie 94 ___________________________________________________________________ 4.5 Modellgesetze 4.5.1 Simulationsproblematik Im Rahmen technischer Entwicklungen ist es häufig erforderlich, Aussagen bezüglich des Verhaltens des Endprodukts bereits in einem frühen Entwicklungsstadium zu erhalten. Insbesondere bei Flugzeugentwicklungen sind zur Validierung der im Vorentwurf prognostizierten Flugleistungen und zur Auslegung des Flugreglers bereits in der Vorentwurfsphase Informationen bezüglich des Flugverhaltens erforderlich. In der Regel Jahre bevor der erste Prototyp abheben wird. Neben theoretischen Verfahren, Handbuchmethoden und CFD-Simulation stellt die Strömungssimulation im Windkanal die wichtigste Methode zur Datengewinnung dar. Mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit steigt entsprechend 1 E kin m c 2 2 Gl. 4-116 der erforderliche Energieaufwand zur Aufrechterhaltung einer kontinuierlichen Strömung an. Dies bedingt, dass mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit bzw. Machzahl, die Querschnitte der Messstrecken immer kleiner werden und im höheren Machzahlbereich keine kontinuierliche Strömung mehr aufrecht erhalten werden kann und auch die Messzeiten immer kürzer werden, d.h. bis zu einer Größenordnung von ca. 1 Millisekunde. Daher werden in der Regel im Experiment maßstäblich verkleinerte Modelle der Originalausführung verwendet. Versuche mit Modellen in Originalgröße lassen sich in der Regel nur im Niedergeschwindigkeitsbereich (M < 0.4) durchführen. Geeignete Versuchsanlagen die Versuche in einer solchen Größenordnung ermöglichen, existieren z.B. bei NASA Ames oder bei TSAGI bei Moskau. 4.5.2 Kennzahlen Zur Übertragung der im Experiment gewonnenen Ergebnisse auf die Großausführung müssen beide Strömungsfelder mechanisch ähnlich sein, dies erfordert eine Ähnlichkeit hinsichtlich - Geometrie - Zeit und - Kraft Mit den Indizes 'O' für Original und 'M' für Modell gilt für diese drei Basisgrößen: Geometrie L0 LM 2 3 Zeit t0 t M = Längenmaßstab = Flächenmaßstab = Volumenmaßstab = Zeitmaßstab Kraft F0 FM = Kräftemaßstab Tab. 4-4: L0 LM t0 tM F 0 FM Dimensionen der Basisgrößen Daraus ergeben sich die Maßstäbe für die abgeleiteten Größen wie Geschwindigkeit v, Beschleunigung a, und die Massenkräfte. Fluidmechanik Grenzschichttheorie 95 ___________________________________________________________________ Geschwindigkeit cO cM Beschleunigung aO aM LO t O LM tM cO c O t c O M 2 cM tO tM tM Masse m O v O O 3 O M mM v M M Massenkraft FO mO aO FM mM a M Tab. 4-5: Dimensionen der abgeleiteten Größen Die Bedingung für dynamische Ähnlichkeit (Bertrand'sche Bedingungsgleichung) lautet Gl. 4-117: 2 Liegen im wesentlichen nur Massekräfte vor, so sind die Maßstäbe , und frei wählbar. Die zusätzliche Berücksichtigung der Schwerkraft stellt eine zweite Bedingung dar und erfordert Gl. 4-118: mO aO mO g O mO 1 mM aM mM g M mM 1 zusätzlich gilt Gl. 4-119: aO g O 1 aM g M 1 2 2 Aufgrund der Proportionalität zwischen Masse, Gewicht und Volumen gilt Gl. 4-120: 6 3 3 6 Dies bedeutet, dass nur ein einziger Maßstab frei gewählt werden kann, während alle anderen festgelegt sind. Soll zusätzlich noch eine dritte Bedingung, z.B. Ähnlichkeit der Reibungskräfte erfüllt werden, so sind die Schubspannungen zwischen Körperoberfläche und Fluid zu berücksichtigen Gl. 4-121 FO A O 1 O 2 FM M AM 2 Diese Forderung kann aber wegen 3 6 nicht erfüllt werden Allgemein gilt: Modellgesetze lassen sich gleichzeitig nur für zwei Arten von Kräften erfüllen Fluidmechanik Grenzschichttheorie 96 ___________________________________________________________________ In der Fluidmechanik ergeben sich daraus fünf Modellgesetze, die neben den Massenkräften noch folgende Kräfte berücksichtigen: Reibungskräfte Reynolds-Zahl Re Gewichtskräfte Froude-Zahl Fr Druckkräfte Euler-Zahl Eu Periodendauer Strouhal-Zahl Sr Kompressibilität Mach-Zahl M Tab. 4-6: Re cL cL c2 Lg p Eu c2 L f d Sr c t v c Strömung M c Schall Fr Kennzahlen auf der Basis von Massenkräften [m²/s] = kinematische Viskosität [Pas] = dynamische Viskosität 4.5.3 Reynoldszahl Zur Abbildung reibungsbehafteter (viskoser) Effekte in einer Strömung, z.B. Reibungswiderstand, Grenzschichten, Ablöseerscheinungen usw. ist es erforderlich die Reynoldszahl korrekt zu duplizieren. Dies erfordert die Abbildung des Verhältnisses der Reibungskräfte zwischen Fluid und Körperoberfläche zu den Trägheitskräften des strömenden Fluids. Gl. 4-122: Re c L c L Trägheitsk raft Reibungskr aft Trägheitskraft Gl. 4-123: FTr m a V a Für die Anteile der Trägheitskraft, d.h. Volumen V und Beschleunigung a gilt Gl. 4-124: Gl. 4-125: V L3 a L t2 eingesetzt in die Trägheitskraft FTr Gl. 4-123 folgt Gl. 4-126: FTr L3 L L2 2 L t2 t2 Mit der Abhängigkeit der Geschwindigkeit c Gl. 4-127: c L t folgt für die Trägheitskraft FTr Gl. 4-128: FTr L2 c 2 Fluidmechanik Grenzschichttheorie 97 ___________________________________________________________________ bzw. FTr k L2 c 2 Gl. 4-129: Reibungskraft FR A A Gl. 4-130: dc dy Die Anteile der Reibungskraft verhalten sich entsprechend proportional Gl. 4-131: A L2 Gl. 4-132: dy L eingesetzt in Gl. 4-130 folgt für die Reibungskraft FR FR L2 Gl. 4-133: c L c L bzw. FR C L c Gl. 4-134: Reynolds-Zahl Gl. 4-135: FTr k L2 c 2 k L c k L c Re FR C L c C C Gl. 4-136: Re LO c O O LM c M M const . ______________________________________________________________________________ Üb. 4-7: Ähnlichkeitsgesetze im Modellversuch In der Messstrecke eines Wasserkanals befindet sich das Modell eines Autos im Maßstab 1:50 mit einer Länge von 10 cm. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das Originalfahrzeug, wenn in diesem Wasserkanalversuch bei einer Strömungsgeschwindigkeit von c = 12 m/s alle viskosen (= reibungsbehafteten) Phänomene vollständig simuliert werden? Kinematische Viskosität von Luft: Luft = 1510-6 m²/s Kinematische Viskosität von Wasser: Wasser = 10-6 m²/s ______________________________________________________________________________ Fluidmechanik Grenzschichttheorie 98 ___________________________________________________________________ 4.6 Grenzschichttheorie Einer der Kernpunkte der auf Prandtl5 zurückgehenden Grenzschichttheorie beinhaltet die Aufteilung des Strömungsgebietes in einen wandnahen Bereich, der sogenannten Grenzschicht, die aufgrund der reibungsbehafteten (viskosen) Fluidbewegung einen starken Geschwindigkeitsgradienten aufweist und einen äußeren Bereich, der Außenströmung, in der eine nahezu reibungsfreie Strömung vorliegt. 4.6.1 Grenzschicht Bei einer realen Strömung wird das Fluid an der Körperoberfläche reibungsbedingt auf die Geschwindigkeit Null abgebremst (Haftungsbedingung). Als Grenzschicht wird das Übergangsgebiet zwischen Körperoberfläche (c = 0) und freier Anströmung (c = c) bezeichnet, wobei die Dicke der Grenzschicht definiert wird als der Abstand von der Körperoberfläche, an der die Strömung den Wert c 0,99 c erreicht hat. Im Gegensatz zur Geschwindigkeit c bleibt der Druck p in der Grenzschicht senkrecht zur Oberfläche nahezu konstant, d.h. der statische Druck der freien Außenströmung p wird der Grenzschicht aufgeprägt. 4.6.2 Verdrängungsdicke * der Grenzschicht Da über Stromlinien kein Masse- und Energietransport erfolgen kann, bewirkt das Prinzip der Masseerhaltung, dass eine Strömungsverzögerung eine Stromlinienerweiterung erzeugt und ebenso eine Strömungsbeschleunigung zu einer Stromlinienverengung führt. Infolge der Geschwindigkeitsverringerung innerhalb der Grenzschicht müssen die Stromlinien in der Grenzschicht weiter auseinander liegen als in der Außenströmung. Die daraus resultierende Verdrängungsdicke der Grenzschicht lässt sich über den Masseerhaltungssatz berechnen. Der Massestrom durch die Stromröhre ist nur durch die Ein- bzw. Austrittsfläche A1 und A2 möglich. Abb. 4-21: Massestrom durch eine Stromröhre Somit muss in jedem beliebigen Querschnitt Ai der Stromröhre gelten Gl. 4-137: m 1 m 2 1 c1 A1 2 c2 A2 const. Die Verdrängungswirkung bzw. Versperrungseffekt der Grenzschicht kann als Aufdickung der Wand um die Verdrängungsdicke * der Grenzschicht interpretiert werden. Gl. 4-138: c y dy 1 c 0 * Für eine vollständig laminare Grenzschicht gilt 5 Ludwig Prandtl, dt. Physiker, Göttingen (1875 - 1953) Fluidmechanik Grenzschichttheorie 99 ___________________________________________________________________ * 1,73 Gl. 4-139: x c 1 3 (laminar) und für die vollständig turbulente Grenzschicht beträgt die Verdrängungsdicke * * 0,01738 Re x 0.861 Gl. 4-140: c Abb. 4-22: 1 c 8 (turbulent) c c Verdrängungsdicke der Grenzschicht 4.6.3 Grenzschicht an der längs angeströmten ebenen Platte Die grundlegenden Eigenschaften einer Grenzschicht lassen sich an der Entwicklung der Strömung an einer ebenen Platte herleiten. Abb. 4-23: Grenzschicht an der längs angeströmten ebenen Platte Laminare Grenzschicht Der Staupunkt S befindet sich an der Vorderkante der Platte an deren Auftreffen die Staupunktstromlinie in eine laminare Anlaufstromlinie über und unter der Platte verzweigt. Mit zunehmendem Abstand x zum Staupunkt erfolgt eine Zunahme der laminaren Grenzschichtdicke entsprechend Fluidmechanik Grenzschichttheorie 100 ___________________________________________________________________ Gl. 4-141: lam 5 x x 5 c Re x d.h. lam x Mit wachsender Lauflänge destabilisiert die Strömung und schlägt am Umschlagpunkt (Transitionspunkt) von einer gleichmäßigen laminaren zu einer turbulenten Grenzschicht um. Eine turbulente Grenzschicht hat jedoch nichts mit einer abgelösten Grenzschicht zu tun. Es gilt in der Regel eher das Gegenteil, d.h. eine Strömung mit turbulenter Grenzschicht wird in aller Regel sehr viel länger der Körperkontur folgen als eine Strömung mit laminarer Grenzschicht. Dieser Umschlag erfolgt bei einer sog. kritischen Reynoldszahl. Für Luft gilt näherungsweise Rkrit = 3 - 5105, diese kann in günstigen Fällen aber auch erst bei Rkrit = 3106 liegen. Laminare Unterschicht In direkter Wandnähe bildet sich auch bei turbulenter Grenzschicht aufgrund der geringen Geschwindigkeiten infolge der Haftungsbedingung an der Wand eine laminare (viskose) Unterschicht mit einer Stärke von 0,02 – 0,05turb aus. Die Strömungsverhältnisse im Inneren der viskosen Unterschicht werden von Reibungskräften dominiert und die Dicke der laminaren Unterschicht U beträgt Gl. 4-142: Rex' U 0 ,7 77 Re x' lam = Re-Zahl gebildet mit der Lauflänge x‘ der turbulenten Grenzschicht Turbulente Grenzschicht Bei voll ausgebildeter Turbulenz werden permanent Fluidteilchen in Drehbewegung versetzt, während andere gleichzeitig wieder abgebremst werden. Die Zufuhr von Energie infolge des Impulsaustauschs mit der Außenströmung bewirkt, dass die turbulente Grenzschicht ein höheres kinetisches Energieniveau aufweist als eine laminare Grenzschicht. Aufgrund der permanenten Durchmischung wird der Parallelbewegung der Strömung noch eine zusätzliche unregelmäßige Quergeschwindigkeit zur Hauptströmungsrichtung überlagert. Abb. 4-24: Voll ausgebildete turbulente Grenzschicht an einer ebenen Platte, [ 14] Aufgrund der permanenten Durchmischung stellt sich bei einer turbulenten Grenzschicht eine völlig andere Geschwindigkeitsverteilung ein als bei einer laminaren Grenzschicht. Der Mittelwert der Geschwindigkeit verteilt sich gleichmäßiger über den Querschnitt und hat Fluidmechanik Grenzschichttheorie 101 ___________________________________________________________________ somit einen stärkeren Geschwindigkeitsanstieg dc x dz als im laminaren Fall. Aufgrund des steileren Geschwindigkeitsgradienten stellt sich wegen dc x dz eine höhere Schubspannung und somit ein erhöhter Reibungswiderstand ein. Infolge der besseren Durchmischung ergibt sich ein erhöhter Wärmeübergang als im Vergleich zur laminaren Strömung. Das höhere kinetische Energieniveau der turbulenten Grenzschicht bewirkt auch eine Verzögerung der Ablösung. Die Dicke der turbulenten Grenzschicht turb einschließlich laminarer Unterschicht beträgt Gl. 4-143: turb 0,37 x Rex' Abb. 4-25: 5 1 0 ,2 0,37 x Re x Re x = Re-Zahl gebildet mit der Lauflänge x' der turbulenten Grenzschicht Laminares und turbulentes Geschwindigkeitsprofil _________________________________________________________________________ Üb. 4-8: Längs angeströmte ebene Platte geg.: c 50[km h] , Luft 15,1 10 6 [ m 2 s ] , Rkrit 3 105 ges.: Lage des Umschlagpunkts Dicke der Grenzschicht am Umschlagpunkt _________________________________________________________________________ 4.6.4 Transition Als Transition wird der Umschlag von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung bezeichnet. Dieser Vorgang, der sich infolge hoher Reynoldszahlen von alleine einstellen kann (natürliche Transition) oder aber an Stolperstellen erzwungen werden kann (erzwungene Transition) stellt ein Stabilitätsproblem der Strömung dar, welches die Lösung der Grenzschicht-Differentialgleichung erfordert. Eine analytische Lösung gestaltet sich schwierig. Aber auch für numerische Verfahren stellt die Modellierung von Turbulenz und Ablösung ein Problem dar. Lediglich die experimentelle Simulation bei korrekter Reynoldszahl, z.B. unter kryogenen Versuchsbedingungen, liefert eine korrekte Abbildung der Grenzschicht, der Turbulenz und des Ablöseverhaltens. Fluidmechanik Grenzschichttheorie 102 ___________________________________________________________________ Einflussfaktoren der Transition sind - Geometrie des umströmten Körpers: Schlankheitsgrad, Zuspitzung - Turbulenzniveau in der Zuströmung - Reynoldszahl Generell wird eine laminare Grenzschicht als unterkritisch und eine vollständig turbulente Grenzschicht als überkritisch bezeichnet. Bei scharfkantigen Körpern wirkt die Schneide als Stolperstelle, an der Querströmungen erzeugt werden, die zur Turbulenz führen. Erzwungene Transition bei Windkanalversuchen Aufgrund des Modellmaßstabs werden Versuche häufig mit einer niedrigeren Reynoldszahl durchgeführt als die, die sich bei der Originalausführung ergibt. Diese Re-Zahl kann so niedrig sein, dass hierbei keine natürliche Transition erfolgt. Die geometrische Verteilung von laminarer Strömung und turbulenter Strömung auf der Körperoberfläche bestimmt jedoch maßgeblich den Reibungswiderstand und das Ablöseverhalten. Um diese geometrische Verteilung im Versuch abzubilden, wird an einer empirisch ermittelten Stelle, z.B. 5% der Profiltiefe, der Umschlag von laminarer zu turbulenter Grenzschicht durch Stolperstellen, sogenannten Transitionslinien erzwungen. Möglichkeiten zur Transitionsfixierung Im Niedergeschwindigkeitsbereich finden in der Windkanalversuchstechnik als auch im Segelflugbereich Zackenbänder, die quer zur Anströmung aufgeklebt werden, Verwendung. Im Hochgeschwindigkeitsbereich wurde früher Karborund, ein Metallpulver, welches auf den Transitionslinien aufgeklebt wurde verwendet. Nachteilig waren hier insbesondere die schlechte Reproduzierbarkeit sowie die Verunreinigung der Strömung im Windkanal durch abgelöste Karborundteilchen, was bei Windkanälen mit einem geschlossenen Kreislauf zum ’Sandstrahlen’ des Modells führte. Einen wesentlich höheren Grad an Reproduzierbarkeit weisen aufgeklebte Zylinder (dots) auf. Abb. 4-26: Zackenband am Höhenruder eines Segelflugzeugs (ASH25) zur Transitionsfixierung Fluidmechanik Grenzschichttheorie 103 ___________________________________________________________________ Location W ing Canard Fin Nose Intake Tip pod Abb. 4-27: Abb. 4-28: XR XT [ mm ] [mm] 4.2 1.5 3.0 n/a n/a n/a 23.0 4.6 10.0 38.0 12.7 12.7 Disc height h [mm ] Disc diameter d [mm] Disc spacing x [mm] 0.102 1.090 2.54 Transsitionsfixierung durch dots an einem Hochgeschwindigkeitswindkanalmodell Erzwingung von Transition durch ’dots’ am Seitenleitwerk eines Modells Fluidmechanik Widerstand von Körpern 104 ___________________________________________________________________ 4.7 Widerstand von Körpern 4.7.1 Formen des Widerstands In realen, reibungsbehafteten Strömungen erfährt jeder Körper infolge der Druckverteilung an seiner Oberfläche eine resultierende Kraft R, die im zweidimensionalen Fall (Profil) vektoriell in zwei Komponenten aufgeteilt werden kann, - eine Komponente tangential zur Strömungsrichtung V (= Widerstand W) und - eine Komponente senkrecht zur Strömungsrichtung V (= Auftrieb A) Die resultierende Kraft R infolge der Anströmung eines Tragflügelprofils lässt sich aufteilen in den Auftrieb A und den Widerstand W, bzw. eine Normalkraft N und eine Tangentialkraft T. Abb. 4-29: Resultierende Kräfte an einem angeströmte Profil In einer theoretisch reibungsfreien, zweidimensionalen Strömung (Potentialströmung) erzeugt das gleiche Profil zwar ebenfalls einen Auftrieb A, jedoch keinen Widerstand W (Abb. 4-30), d.h. die Integration der Druckverteilung um das Profil ergibt eine resultierende Kraft A (= Auftrieb), die senkrecht auf der Anströmrichtung V steht, jedoch keine Kraft tangential zur Strömungsrichtung, die dem Widerstand W in Abb. 4-29 entsprechen würde (d’Alembert’sches Paradoxon). V Abb. 4-30: Resultierende Auftriebskraft in einer ebenen Potentialströmung Reibung, wie sie in jeder realen Strömung auftritt, ist somit die physikalische Ursache für das Entstehen von Widerstand. Der Gesamtwiderstand eines umströmten Körpers lässt sich in einzelne Anteile zerlegen Reibungswiderstand (bespülte Oberfläche) Druck- oder Formwiderstand (Ablösung) Induzierter Widerstand (Druckausgleich, auch bei reibungsfreier Strömung) Interferenzwiderstand (Gegenseitige Beeinflussung von Baugruppen) Wellenwiderstand (Totaldruckverluste infolge von Stößen) Restwiderstand (Antennen, Anbauten, Bauungenauigkeiten, ...) Fluidmechanik Widerstand von Körpern 105 ___________________________________________________________________ 4.7.2 Reibungswiderstand Infolge der Rauigkeit an der Körperoberfläche werden die Fluidteilchen an der Oberfläche auf die Geschwindigkeit Null abgebremst (Haftungsbedingung). Ausgehend von der Geschwindigkeit Null an der Körperoberfläche wächst mit zunehmendem Abstand von der Wand die Geschwindigkeit bis zum Wert der freien Anströmung c an. Es bildet sich dadurch ein Geschwindigkeitsgradient in der Strömung senkrecht zur Oberfläche, der sich durch das Auftreten einer Schubspannung manifestiert. Die Stärke der Schubspannung lässt sich über einen Plattenzugversuch ermitteln. Gl. 4-144: F dc x A dz Der Proportionalitätsfaktor entspricht der dynamischen Viskosität [Pas]. Der Geschwindigkeitsgradient dc x dz wird als Schergefälle D bezeichnet. dcx dz Gl. 4-145: D Abb. 4-31: Scher- oder Schubspannung bzw. Tangentialspannung Für parallele Schichtströmungen lässt sich für dünne Schichten die nicht-lineare Geschwindigkeitsverteilung in der Scherschicht linearisieren. Abb. 4-32: 6 Parallele Schicht- bzw. Scherströmung (Couette6-Strömung) Maurice Frédéric Alfred Couette, frz. Forscher (1858 - 1943) Fluidmechanik Widerstand von Körpern 106 ___________________________________________________________________ Reibungswiderstandsbeiwert Der Reibungswiderstand eines umströmten Körpers berechnet sich aus der Größe seiner bespülten Oberfläche O und dem Reibungsbeiwert cR, der sich aus der hydraulischen Beschaffenheit der Oberfläche ergibt sowie dem Staudruck q 2 c 2 . WR cR O Gl. 4-146: 2 c2 Für eine ebene Platte an der eine laminare Grenzschicht anliegt gilt für den dimensionslosen Reibungsbeiwert cR cR Gl. 4-147: 1,328 Re wobei die Reynoldszahl mit der Länge der Platte berechnet wird. Der Reibungsbeiwert bei vollständig turbulenter Grenzschicht der ebenen Platte, d.h. von der Plattenvorderkante liegt eine turbulente Grenzschicht an, beträgt cR Gl. 4-148: 0,074 5 Re Für größere Reynoldszahlen, d.h. ab Re > 107, sollte die Beziehung nach Prandtl-Schlichting verwendet werden cR Gl. 4-149: 0,455 log Re2 ,58 In vielen Fällen liegt erst nach einer laminaren Anlaufstrecke eine turbulente Grenzschicht vor. Die Berücksichtigung der laminaren Anlaufstrecke erfolgt mit Hilfe der Korrekturfaktoren nach Prandtl mit Gl. 4-150: cR 0,074 A 5 Re Re cR A 0,455 2 ,58 Re log Re oder Gl. 4-151: Rekrit A Tab. 4-7: 3105 1050 5105 1700 106 3300 3106 8700 Korrekturfaktoren für laminare Anlaufstrecke Bei Berücksichtigung der laminaren Anlaufstrecke wird die Reynoldszahl auf die gesamte Plattenlänge bezogen. Die Korrektur erfordert die Berechnung des Umschlagpunktes (Transitionspunkt) von laminarer zu turbulenter Grenzschicht. Einfluss der Rauigkeit auf den Reibungswiderstand Bei einer laminaren Grenzschicht hat die Oberflächenrauigkeit kaum einen Einfluss auf den Reibungswiderstand, da Vertiefungen aufgefüllt werden und das Fluid darüber hinwegströmt. Die Rauigkeit hat jedoch einen starken Einfluss auf die Transition, d.h. der Umschlag von laminarer zu turbulenter Grenzschicht erfolgt bei einer rauen Wand deutlich früher als bei einer glatten Wand. Fluidmechanik Widerstand von Körpern 107 ___________________________________________________________________ Hydraulisch glatte Oberfläche Als hydraulisch glatt wird eine Oberfläche definiert, deren maximale Rautiefe k kleiner ist als die laminare Unterschicht und dadurch die Unebenheiten in der Unterschicht verschwinden. Die relative Rauigkeit k/l entspricht der Rauigkeit k bezogen auf Plattenlänge l Abb. 4-33: Rautiefe k Im Experiment können unterschiedliche Rauigkeiten durch Sand unterschiedlicher Körnung simuliert werden, der sog. Sandrauigkeit kS. l cR 1,89 1,62 log k S Gl. 4-152: 2.5 für 10 2 l 106 kS Strömungsbelastete Bauteile, wie z.B. Turbinenschaufeln sollten aus Gründen der Widerstandsminimierung die Forderung nach einer hydraulisch glatten Oberfläche erfüllen. Die zulässige relative Sandrauigkeit hängt von der Reynoldszahl ab, z.B. Re = 106 kS/l = 10-4 Re = 108 kS/l = 10-6 d.h. mit zunehmender Re-Zahl steigen die Anforderungen an die Oberflächengüte. Die Bedingung für hydraulisch glatte Oberfläche können als Funktion der Re-Zahl definiert werden. k Re 100 l zulässig Gl. 4-153: oder k zulässig 100 c Gl. 4-154: Objekt Schiff Geschwindigkeit [km/h] 50 20 600 200 150 600 Flugzeug (H = 0) Flugzeug (H = 10 km) Gebläse Wasserturbine Gasturbine Dampfturbine Tab. 4-8: [m/s] 14 5.5 167 56 42 167 kin, Viskosität [m²/s] 1,010-6 1,010-6 15,110-6 15,110-6 15,110-6 35,310-6 kS,zulässig [mm] 0,007 0,020 0,010 0,025 0,035 0,020 15 50 4 10 300-700 100 200 15,110-6 15,110-6 1,010-6 1,010-6 40-6010-6 1,510-6 1610-6 0,100 0,030 0,025 0,010 0,005 - 0,020 0,0015 0,008 Zulässige Rauigkeiten für hydraulisch glatte Oberflächen Fluidmechanik Widerstand von Körpern 108 ___________________________________________________________________ Abb. 4-34: Reibungswiderstand der ebenen Platte 4.7.3 Druckwiderstand Ideale reibungsfreie Strömung In einer Potentialströmung, d.h. einer reibungsfreien idealen Strömung folgen die Stromlinien der Kontur. Zusätzlich zu dem vorderen Staupunkt bildet sich stromabwärts auf der Rückseite der Platte ein zweiter Staupunkt. Die Gesamtenergie entlang jeder Stromlinie ist konstant und somit ist auch die Bernoulli-Gleichung entlang jeder Stromlinie erfüllt. Diese Umströmung verursacht eine symmetrische Druckverteilung auf der Zuströmseite wie auf der Abströmseite und es kann keine Druckdifferenz zwischen Vorder- und Rückseite entstehen. Da auf beiden Seiten der Platte der gleiche Druck herrscht bildet sich somit auch kein Druckwiderstand. Abb. 4-35: Potentialströmung um eine ebene Platte Fluidmechanik Widerstand von Körpern 109 ___________________________________________________________________ Potentialströmungen können in der Natur nicht vorkommen, bilden jedoch aufgrund der einfachen mathematischen Zugänglichkeit eine Möglichkeit Strömungsfelder näherungsweise gut zu erfassen. Dabei ist jedoch zu beachten, dass diese Näherungslösungen nur angewendet werden können auf Strömungen, die lediglich kleinen Richtungsänderungen unterworfen sind. Sobald größere Krümmungen überwunden werden müssen und die Strömung zur Ablösung von der Kontur neigt, verlieren Potentialverfahren ihre Gültigkeit. Reale reibungsbehaftete Strömung Bei der realen, reibungsbehafteten Strömung um eine ebene Platte verliert die Strömung infolge Reibung auf der Zuströmseite an kinetischer Energie und kann den Druckanstieg an der Plattenrückseite nicht mehr überwinden und bewegt sich in Richtung des geringsten Druckanstiegs. Diese Strömungsablösung erzeugt ein Nachlaufgebiet (Totwasser) auf der Rückseite der Platte. Der Gesamtdruck im Nachlaufgebiet entspricht ungefähr dem der Außenströmung, jedoch ist die Geschwindigkeit höher, wodurch sich ein geringerer statischer Druck als in der Außenströmung einstellt. Dieses Unterdruckgebiet an der Rückseite bildet eine Kraft entgegen der Fortbewegungsrichtung der Platte, den sog. Druck- oder Formwiderstand WD. Abb. 4-36: Potentialströmung um eine ebene Platte Die Entstehung des Druck- oder Formwiderstand WD kann auch durch eine Energiebilanz am Gesamtsystem begründet werden. Infolge der Bewegung der Platte durch ein Strömungsfeld, welches sich zum Zeitpunkt t = t1 in Ruhe befindet, wird das Fluid zum Zeitpunkt t = t2 aus der Ruhe in eine rotatorische Bewegung beschleunigt. Zur Beschleunigung einer Masse muss immer Arbeit verrichtet werden. Diese Arbeit bzw. Energie muss zusätzlich zur Vortriebsleistung des durch das Strömungsfeld bewegten Körpers verrichtet werden und schlägt sich somit negativ als Widerstand in der Bilanz nieder. Fluidmechanik Widerstand von Körpern 110 ___________________________________________________________________ Prinzip der Strömungsablösung Ablösung tritt immer dann auf, wenn die Strömung einen Druckanstieg in Strömungsrichtung nicht mehr überwinden kann, z.B. bewirken große Richtungsänderungen eine Aufweitung der Stromlinien und somit eine Reduzierung der Geschwindigkeit c, wodurch sich der statische Druck p entsprechend der Bernoulli-Gleichung (Druckform) Gl. 4-155: pt 2 c 2 p const. erhöht. Das Prinzip der Strömungsablösung lässt sich an dem in Abb. 4-37 skizzierten Strömungsverlauf über eine stark gekrümmt Oberfläche erläutern. Abb. 4-37: Grenzschichtablösung mit Rückströmgebiet Bereich B Die Strömungsbeschleunigung infolge des reduzierten Strömungsquerschnitts, erkennbar an der Verengung der Stromlinien, wirkt der reibungsbedingten Verzögerung der Strömung innerhalb der Grenzschicht entgegen und bewirkt, dass die beschleunigte Strömung nicht ablöst. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit wird im Punkt G und dadurch gleichzeitig auch das Druckminimum erreicht. Bereich V Die Verzögerung der Außenströmung, erkennbar an der Aufweitung der Stromlinien, führt zu einem Druckanstieg. Da das Fluid aber bereits in der Grenzschicht verzögert wird, muss zur Bewältigung des Massestroms die Grenzschichtdicke weiter zunehmen. Die Geschwindigkeitsverringerung bewirkt aber auch eine Verringerung der kinetischen Energie, wodurch die Strömung anfälliger gegenüber Störungen wird. Der zunehmende Druck bewirkt, dass Fluidteilchen an der Wand zum Stillstand kommen und nicht in das Gebiet mit höherem Druck vordringen. Im Punkt A weicht die Strömung in Richtung des geringsten Drucks aus und löst sich von der Wand ab. Nach der Ablösung strömen im Wandbereich Fluidteilchen dem Druckgradienten folgend entgegen der Hauptströmungsrichtung und bilden ein Rückströmgebiet, welches die Außen- Fluidmechanik Widerstand von Körpern 111 ___________________________________________________________________ strömung von der Körperoberfläche abdrängt. Die Unstetigkeitsfläche zwischen Grenzschicht und Außenströmung löst sich aufgrund der Labilität in Einzelwirbel auf. Diese Wirbelerzeugung bedeutet eine Beschleunigung ruhender Masse in eine Drehbewegung wozu Arbeit verrichtet werden muss, die sich als Druck- oder Formwiderstand in der Bilanz niederschlägt. Aufgrund des höheren kinetischen Energieniveaus der turbulenten Grenzschicht im Vergleich zur laminaren Grenzschicht, neigt eine turbulente Grenzschicht weniger zur Ablösung als die laminare Grenzschicht. Zu beachten ist, dass entsprechend der BernoulliGleichung eine Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit immer mit einer Abnahme des statischen Drucks einhergeht und umgekehrt eine statische Druckerhöhung immer an eine Strömungsverzögerung gekoppelt ist, Abb. 4-37. Abb. 4-38: Stromlinienverlauf bei reibungsfreier Strömung und reibungsbehafteter Strömung Abb. 4-39: Kriechende Strömung, laminar, c = 1 mm/s, turbulente Strömung, Re = 2000 [ 14] Fluidmechanik Widerstand von Körpern 112 ___________________________________________________________________ Karman'sche Wirbelstraße7 In Abhängigkeit von Strömungsgeschwindigkeit und Körpergeometrie können bei quer angeströmten Körpern alternierend links- und rechtsdrehende Wirbel an der Rückseite ablösen. Sofern der Wirbelabstand h von der Strömungsachse zum Wirbelabstand L in Strömungsrichtung das Verhältnis h L 0,28 bildet, sind solche Wirbelstraßen sehr stabil. Bei quer angeströmten Antennen oder Drähten kann dies zur Bildung eines Pfeiftons führen. Abhilfe schaffen hier Drähte, die spiralförmig um die Antenne gewunden werden, bzw. Metallwendeln, die zur Vermeidung von Resonanzfrequenzen um Kamine angebracht werden können. Abb. 4-40: Karman'sche Wirbelstraße Nachlaufdelle Die Beschleunigung eines ruhenden Fluids in eine Rotationsbewegung, z.B. zur Erzeugung einer Wirbelstraße, erfordert die Verrichtung von Arbeit. Dieser Energieaufwand macht sich in einem Geschwindigkeits- bzw. Impulsverlust stromabwärts bemerkbar und wird als Nachlaufdelle bezeichnet. Aus der Vermessung des Geschwindigkeitsfelds (Impulsverlust) stromabwärts eines Körpers mit einem Nachlaufrechen kann auf den Druckwiderstand des Körpers geschlossen werden. Abb. 4-41: 7 Bestimmung des Druckwiderstands eines Körpers aus dem Impulsverlust Todor Kármán, ungarischer Physiker, 1881 - 1963 Fluidmechanik Widerstand von Körpern 113 ___________________________________________________________________ Druckwiderstand Gl. 4-156: WD q q dS S Abb. 4-42: Nachlaufrechen Laminare und turbulente Ablösung Abb. 4-43: Ebene Platte, laminare Ablösung, = 2,5°, Re = 104, [ 14] Abb. 4-44: Ebene Platte, turbulente Ablösung, = 2,5°,Re = 5104, [ 14] Abb. 4-45: Zylinder, laminare (oben) und turbulente (unten) Ablösung, [ 14] Fluidmechanik Widerstand von Körpern 114 ___________________________________________________________________ Bestimmende Größe für den Druckwiderstand ist die Größe und Form des abgelösten Totwassergebiets, d.h. konstruktive Maßnahmen zur Verringerung des Druckwiderstands zielen immer auf eine Verkleinerung des Totwassergebiets ab. Dies ist entweder durch die Zufuhr von kinetischer Energie in die Grenzschicht oder durch das Erzwingen einer Transition von laminarer zu turbulenter Grenzschicht möglich. Eine turbulente Grenzschicht verursacht zwar einen höheren Reibungswiderstand, hat aber aufgrund der größeren kinetischen Energie eine geringere Neigung zur Ablösung als im laminaren Fall. Zusätzlich mit der Verkleinerung des Totwassergebiets und somit einer Verringerung des Druckwiderstands behalten Ruder und Klappen infolge der nun anliegenden Strömung ihre Wirksamkeit, die andernfalls bei abgelöster Strömung verloren geht. Widerstandsreduzierung durch Verkleinerung des Ablösegebiets Laminare Grenzschicht (unterkritisch), Ablösewinkel α ≈ 70 bis 80° Turbulente Grenzschicht nach Stolperdraht (überkritisch), Ablösewinkel α ≈ 110 bis 120° Abb. 4-46: Kugel- oder Zylinderumströmung mit prinzipiellem Stromlinien- und Druckverlauf Fluidmechanik Widerstand von Körpern 115 ___________________________________________________________________ Abb. 4-47: Verzögerung der Ablösung durch Spaltklappen bei Hochauftriebssystemen 4.7.4 Induzierter Widerstand In einer theoretisch reibungsfreien, zweidimensionalen Strömung um einen Körper (z.B. Profil) ergibt die Integration der Druckkräfte eine resultierende Kraft A (= Auftrieb), die senkrecht auf der Anströmrichtung V steht, jedoch keine Kraft tangential zur Strömungsrichtung, d.h. einen Widerstand W (d'Alembert'sches Paradoxon). Betrachtet man jedoch einen Körper, der dreidimensional umströmt wird, z.B. einen Tragflügel, so stellt sich aufgrund der Druckunterschiede von Ober- zu Unterseite am Rand des Flügels eine Ausgleichströmung quer zur Anströmrichtung ein und es bilden sich an beiden Flügelenden je ein Randwirbel. Die Erzeugung dieser Wirbel erfordert die Verrichtung von Arbeit, da eine Luftmasse aus der Ruhe in eine Drehbewegung beschleunigt wurde, die jedoch zu dem Vortrieb des Flugzeugs keinerlei Beitrag leistet. Die verrichtete Arbeit schlägt sich somit negativ in der Bilanz als induzierter Widerstand nieder. Ein dreidimensionaler Körper erfährt somit auch in einer theoretisch reibungsfreien Strömung einen Widerstand. Abb. 4-48: Entstehung der freien Wirbel am Tragflügel endlicher Spannweite Fluidmechanik Widerstand von Körpern 116 ___________________________________________________________________ Bestimmungsgrößen des induzierten Widerstands am Beispiel des Tragflügels Der Beiwert des induzierten Widerstands CWi berechnet sich entsprechend 2 Gl. 4-157: CWi e CA mit e Gl. 4-158: = Formfaktor, bei idealer, sog. 'elliptischer' Auftriebsverteilung gilt e = 1 = Streckung, Verhältnis von Spannweite b zur Flügelfläche S b2 S Der Auftriebsbeiwert ergibt sich aus dem Staudruck q 2 c und der Flügelfläche S zu 2 :Gl. 4-159 CA A 2 c 2 S Eine Minimierung des induzierten Widerstands lässt sich somit durch eine Minimierung des Auftriebs oder eine Maximierung der Flügelstreckung erreichen. Segelflugzeuge Sportflugzeuge Verkehrsflugzeuge Kampflugzeuge Abb. 4-49: 15 - 30 6 – 10 6 - 20 2-5 Einfluss der Streckung auf den induzierten Widerstand CWi Bei Verkehrsflugzeugen liegt der Auftriebsbeiwert im Reiseflug bei ca. CA,Reiseflug 0,5 - 1,0 und bei Start oder Landung aufgrund der deutlich niedrigeren Start- bzw. Landegeschwindigkeit im Vergleich zur Reisefluggeschwindigkeit in einer Größenordnung ca. CA,Start/Landung 5 – 6. Da der Auftriebsbeiwert quadratisch in den induzierten Widerstand und somit die Stärke der erzeugten Wirbelschleppen eingeht, stellen insbesondere Start und Landung die Flugabschnitte dar, in denen Wirbelschleppen mit maximaler Stärke erzeugt werden. Dies ist bei der zeitlichen und räumlichen Staffelung des an- und abfliegenden Verkehrs an Flughäfen zu beachten. Fluidmechanik Widerstand von Körpern 117 ___________________________________________________________________ Abb. 4-50: Freie Wirbel am Tragflügel endlicher Spannweite Abb. 4-51: Wirbelschleppe eine Boeing 747 Fluidmechanik Widerstand von Körpern 118 ___________________________________________________________________ Die durch die Wirbel induzierte Beschleunigung des Strömungsfeldes lässt sich aber auch zur Reichweitenerhöhung bei engen Formationsflügen ausnutzen. Der Tragflügel der Folgemaschine erfährt durch den induzierten Wirbel der Führungsmaschine eine zusätzliche Anströmgeschwindigkeit, die seinen effektiven Anstellwinkel erhöht und somit seinen Gesamtwiderstand verringert. Dieses Verfahren ist allerdings in der Vogelwelt schon lange bekannt und lässt sich insbesondere bei der V-Formation von Zugvögeln gut beobachten. Abb. 4-52: Widerstandsreduzierung im Formationsflug 4.7.5 Interferenzwiderstand Die Kombination von Baugruppen führt in der Regel immer zu einer Veränderung der Strömungsverhältnisse des Gesamtsystems, d.h. der Gesamtwiderstand ist häufig größer als die Summe der Einzelwiderstände. Eine Verringerung ist jedoch ebenfalls möglich und basiert auf der Verkleinerung des Ablösegebiets durch geeignete Vorkörper, z.B. beim Windschattenfahren im Radsport, bei Autorennen oder bei Kolonnenfahrten von LKWs. Links: Großes Ablösegebiet verursacht hohen Widerstand Rechts: Widerstandskörper mit Platte: geringerer Gesamtwiderstand Abb. 4-53: Strömung am Einzelrohr und am fluchtenden Rohrbündel Fluidmechanik Widerstand von Körpern 119 ___________________________________________________________________ Die Reduzierung des aerodynamischen Widerstands cW,aero ist in Abhängigkeit von dem Fahrzeugabstand a in Abb. 4-54 dargestellt. Abb. 4-54: Reduzierung des aerodynamischen Widerstands bei LKW-Kolonnen, [ 7] 4.7.6 Gesamtwiderstand Der Gesamtwiderstand eines umströmten Körpers setzt sich zusammen aus der Summe der Einzelwiderstände: Gl. 4-160: Wges WR WD Wind Wint WRest Unter dem Restwiderstand Wrest werden alle Zusatzwiderstände zusammengefasst, die durch Anbauteile oder innere Durchströmung entstehen wie z.B. Radverkleidung, Streben, Spiegel, Kühlluft, Innenbelüftung, Zierleisten etc. Bei Triebwerken tritt zusätzlich noch ein Einlaufwiderstand (spillage drag) auf. Bei bekanntem Widerstandsbeiwert Cw und der Referenzfläche S ergibt sich der Gesamtwiderstand zu Gl. 4-161: W CW q S CW 2 2 c S Cw - Wert Bei dem Cw – Wert handelt es sich um einen dimensionslosen Beiwert, der von der Geometrie des umströmten Körpers abhängt und alle Widerstandsanteile berücksichtigt, d.h. er beschreibt die 'aerodynamische Güte' des Entwurfs. Gl. 4-162: CW W W 2 q S c S 2 Zur Bestimmung des Beiwerts kann die Bezugsfläche S prinzipiell frei gewählt werden, sofern bei der Umrechnung in Absolutwerte wieder die identische Fläche, bzw. bei Modellversuchen, die dem Maßstab entsprechend skalierte Fläche verwendet wird. Üblich ist die Verwendung der projizierten Stirnfläche (Automobilbau) oder die projizierte Flügelfläche (Flugzeugbau). Die alleinige Angabe des Cw – Wertes (KFZ-Werbung) erlaubt noch keinen Fluidmechanik Widerstand von Körpern 120 ___________________________________________________________________ Rückschluss auf den Anteil des aerodynamischen Widerstands am Gesamtwiderstand und damit den Treibstoffverbrauch; hier ist zusätzlich noch die dazugehörige Bezugsfläche S erforderlich. _________________________________________________________________________ Üb. 4-9: Windlast auf einen Kamin Ein Kamin mit einer Höhe H = 100 m hat am Boden einen Durchmesser d1 = 6 m und an der Spitze einen Durchmesser d2 = 0.5 m. Der Durchmesser ändert sich linear mit der Höhe. Die Windgeschwindigkeit beträgt c = 1,6 m/s. Bei einer Dichte von = 1,234 kg/m³ beträgt die kinematische Zähigkeit der Luft = 1510-6 m²/s. Der Widerstandsbeiwert des Kamins kann im unterkritischen Bereich (Red < 3,5105) mit cw,unter = 1,2 und im überkritischen Bereich mit cw,über = 0,4 abgeschätzt werden. Wie hoch ist unter diesen Bedingungen die resultierende Kraft auf den Kamin? _________________________________________________________________________ Gesamtwiderstand einfacher Körper Tab. 4-9: Gesamtwiderstand rotationssymmetrischer Körper Rechteckige Platte Tab. 4-10: b/h 1 2 4 10 18 cW 1.10 1.15 1.19 1.29 1.4 2.01 Gesamtwiderstand ebener Platten Fluidmechanik Widerstand von Körpern 121 ___________________________________________________________________ Tab. 4-11: Gesamtwiderstand rotationssymmetrischer Körper Fluidmechanik Kugelumströmung 122 ___________________________________________________________________ 4.8 Kugelumströmung 4.8.1 Ideale reibungsfreie Umströmung der Kugel (Potentialströmung) Bei geringen Geschwindigkeiten und somit sehr kleinen Re-Zahlen stellt sich auch bei realen Strömungen eine Stromlinienverteilung ein, die näherungsweise der der idealen Potentialströmung entspricht. Solche Strömungen werden als kriechende Strömungen bezeichnet und können z.B. bei dem Fließverhalten von flüssigem Beton, Zahnpasta oder Lavaströmen beobachtet werden. Unter der Annahme einer idealen, reibungsfreien Strömung berechnen sich Geschwindigkeit, Druck und Druckbeiwert als Funktion des Umfangswinkels Geschwindigkeit auf der Oberfläche cS Gl. 4-163: 3 c S c sin 2 Druckverteilung pS Gl. 4-164: c 2 pS p c 1 S 2 c Abb. 4-55: 2 Reibungsfreie Kugelumströmung Druckbeiwert cp Gl. 4-165: c p pS p 2 c 2 c 9 1 sin 2 1 S 4 c 2 4.8.2 Reibungsbehaftete Umströmung der Kugel In einer realen, reibungsbehafteten Strömung stellt sich in Abhängigkeit von der Struktur der Grenzschicht ein unterschiedlich großes Ablösegebiet auf der strömungsabgewandten Seite der Kugel ein (vgl. Kap. 4.7.3 Druckwiderstand). laminare Grenzschicht Ablösung bei ≈ 70° - 80° turbulente Grenzschicht Ablösung bei ≈ 110° - 120° Abb. 4-56: Reibungsbehaftete Kugelumströmung Fluidmechanik Kugelumströmung 123 ___________________________________________________________________ Die Strömungsverhältnisse an einer Kugel werden maßgeblich vom Zustand der Grenzschicht dominiert. In Abhängigkeit davon ob es ich um eine unterkritische (laminare) oder eine überkritische (turbulente) Grenzschicht handelt, verschiebt sich die Position der Ablösestelle auf der Kugeloberfläche (vgl. Abb. 4-56). Die Lage der Ablösestelle wiederum definiert die Größe des sich daraus ergebenden Totwassergebiets stromabwärts der Kugel, welches wiederum die strömungsphysikalische Ursache für den Druck- bzw. Formwiderstand darstellt. Bei kleinen Reynoldszahlen ( ReD 1,7 105 ), d.h. fast vollständig laminarer Umströmung, lässt sich der Widerstandsbeiwert cW der Kugel über unterschiedliche Näherungsformeln abschätzen, wobei die Reynoldszahl mit dem Kugeldurchmesser D berechnet wird. Gl. 4-166: cW 24 ReD Gl. 4-167: cW 24 4 0 ,4 ReD ReD Gl. 4-168: cW 21,5 6,5 0,23 ReD ReD Abb. 4-57: Widerstandstandsbeiwert einer laminar umströmten Kugel Der Umschlag von einer laminaren zu einer turbulenten Grenzschicht erfolgt nicht bei einer bestimmten Re-Zahl, sondern in einem Übergangsbereich (kritischer Bereich), sofern die Transition nicht über eine Transitionsfixierung erzwungen wird. Fluidmechanik Kugelumströmung 124 ___________________________________________________________________ laminare Anströmung turbulente Anströmung ReD Abb. 4-58: cd Widerstandsbeiwert der Kugel bei unter- und überkritischer Anströmung Bei realen Strömungen wird ein Körper nur selten einer vollständig laminaren Strömung begegnen. Lediglich bei sehr kleinen Reynoldszahlen, Flügen in großen Höhen in der Stratosphäre oder in einem Laminarwindkanal (Eiffelkanal) wäre dies z.B. möglich. Der Verlauf des Widerstandsbeiwerts einer Kugel bei vollständig laminarer Anströmung entspricht der rechten Kurve in Abb. 4-58. Die linke Kurve beschreibt den Verlauf des Widerstandsbeiwertes für den Fall, dass die Strömung bereits vor dem Auftreffen auf die Kugel vollständig turbulent ist. Der signifikant geringere Kugelwiderstand bei vollständig turbulenter Anströmung im Vergleich zur laminaren Anströmung ergibt sich aufgrund der länger anliegenden turbulenten Grenzschicht und dem dadurch kleineren Ablösegebiet auf der stromabgewandten Seite der Kugel (vgl. Abb. 4-56). Der höhere Reibungswiderstand der turbulenten im Vergleich zur laminaren Grenzschicht wirkt sich deutlich geringer auf den Gesamtwiderstand aus, als der höhere Druckwiderstand infolge eines größeren Ablösegebiets. Bei Re 1,7 105 bleibt die Strömung trotz 'Stolperdraht' laminar und lässt sich nicht in den turbulenten Zustand zwingen. In dem Übergangsbereich von 1,7 105 ReD 3,85 4 ,05 105 wird die kritische Reynoldszahl bei der eine natürliche, also Re-Zahlabhängige Transition stattfindet, per Definition festgelegt auf die Reynoldszahl, bei der der Widerstandsbeiwert den Wert cW 0 ,3 erreicht, d.h. Gl. 4-169: Rekrit Re cW 0,3 . Ab einer Reynoldszahl von ReD 5 105 erfolgt mit zunehmender Reynoldszahl wieder ein Anstieg des Widerstands. Die Größe des Ablösegebiets verändert sich nicht mehr, d.h. der Druckwiderstand bleibt konstant, der Reibungswiderstand erhöht sich jedoch als Funktion der Reynoldszahl und wird zur dominierenden Größe. Fluidmechanik Kugelumströmung 125 ___________________________________________________________________ Einfluss einer erzwungenen Transition durch Stolperdraht Die deutliche Reduzierung des Widerstands einer Kugel durch eine erzwungene Transition ist in Abb. 4-59 skizziert. Abb. 4-59: Einfluss einer erzwungenen Transition auf den Widerstand Turbulenzfaktor TF Natürliche, d.h. nicht erzwungene Transition ist eine Funktion der Turbulenz der Zuströmung, die sich durch den Turbulenzfaktor TF beschreiben lässt. Dabei wird die kritische Re-Zahl einer theoretisch laminaren Zuströmung mit Rekrit 4 ,05 105 ins Verhältnis gesetzt mit der Reynoldszahl, bei welcher der Widerstandsbeiwert der Kugel den Wert cW 0,3 erreicht. Gl. 4-170: TF Rekrit laminar 4 ,05 105 Rekrit Zuströmung Rekrit cW 0,3 Würde der Körper eine vollständig laminare Zuströmung erfahren, so ergibt dies einen Turbulenzfaktor von TF 1 . Bei einer vollständig turbulenten Zuströmung ergibt sich ein Turbulenzfaktor von TF 2 ,4 . Der Druckbeiwert an der Rückseite der Kugel (= Basisdruck) bei kritischer Re-Zahl ergibt sich zu Gl. 4-171: cW 0,3 c p p p 2 c 2 0,22 Insbesondere bei Windkanalmessungen ist der Turbulenzfaktor zur Bestimmung der realen Reynoldszahl erforderlich. Die mittels der Beziehung Gl. 4-172: Re Messung c l ref für die Versuchsbedingungen berechnete Reynoldszahl geht von einer vollständig laminaren Anströmung aus und ist noch um den Turbulenzfaktor TF zu korrigieren, um das in der Strömung vorliegende Turbulenzniveau zu berücksichtigen. Gl. 4-173: Re eff TF Re Messung Fluidmechanik Kugelumströmung 126 ___________________________________________________________________ Turbulenzgrad Tu Der Turbulenzgrad einer Strömung wird durch die Überlagerung der Strömungsgeschwindigkeit c der freien Anströmung mit Störgeschwindigkeiten u , v , w in Richtung der drei Koordinatenachsen x, y , z beschrieben. Gl. 4-174: Tu 1 1 2 u v 2 w 2 c 3 Diese Störgeschwindigkeiten lassen sich zu einer mittleren Störgeschwindigkeit, oder mittleren Quergeschwindigkeit c zusammenfassen Gl. 4-175: c 1 2 u v2 w2 3 und für den Turbulenzgrad gilt Gl. 4-176: Tu c c Einfluss der Rauigkeit auf den Widerstand Im unterkritischen Bereich hat eine größere Rauigkeit die Wirkung eines Stolperdrahts zur Transitionserzwingung und wirkt sich so insgesamt widerstandsverringernd aus, wohingegen im überkritischen Bereich eine größere Rauigkeit eine Vergrößerung des Widerstands bewirkt. Mit zunehmender Rauigkeit treten drei unterschiedliche Effekte auf - Die Widerstandsreduzierung infolge der Transition wird immer geringer - Die plötzliche Widerstandsreduzierung nach der Transition erfolgt bei immer kleineren Reynoldszahlen - Der Widerstand bei turbulenter Grenzschicht steigt immer weiter an Abb. 4-60: Einfluss der Rauigkeit auf den Widerstand Fluidmechanik Zylinderumströmung 127 ___________________________________________________________________ 4.9 Zylinderumströmung 4.9.1 Ideale reibungsfreie Strömung (Potentialströmung) Unter der Annahme einer idealen, reibungsfreien Strömung und eines unendlichen langen Zylinders, d.h. es liegt eine zweidimensionale Strömung vor, ergibt sich für die Geschwindigkeit und die Druckverteilung an der Oberfläche des Zylinders als Funktion des Umfangwinkels Geschwindigkeit an der Oberfläche Gl. 4-177: cS 2 c sin Druckverteilung an der Oberfläche Gl. 4-178: c p 1 4 sin 2 4.9.2 Reibungsbehaftete Umströmung eines Zylinders Die Strömungsverhältnisse an einem quer angeströmten Zylinder gleichen denen an einer Kugel. Die Umfangswinkel an denen sich die Strömung ablöst betragen für eine laminare Grenzschicht (unterkritisch) ca. ≈ 80° und bei einer turbulenten Grenzschicht (überkritisch), ca. ≈ 140°. Im Nachlauf des Zylinders können sich Wirbelsysteme mit alternierender Drehrichtung bilden (Karman'sche Wirbelstraße, Abb. 4-40). Allgemein gilt für quer angeströmte Körper mit großem Dickenverhältnis und deutlichen Unterschieden im Widerstand bei unterkritischer und überkritischer Strömung, dass sich die kritische Reynolds-Zahl mit zunehmender Rauigkeit zu kleineren Werten verschiebt. Abb. 4-61: Widerstandsbeiwerte von Kugel und Zylinder Der in Abb. 4-61 skizzierte Verlauf des Zylinderwiderstands als Funktion der Reynoldszahl bezieht sich auf einen theoretisch unendlich langen Zylinder, d.h. es liegt eine zweidimensionale Strömung vor. Für quer angeströmte Zylinder oder Prismen lassen sich die die cW - Werte der zweidimensionaler Anströmung durch einen Korrekturfaktor K entsprechend Tab. 4-12 auf eine dreidimensionale Umströmung anpassen. Fluidmechanik Zylinderumströmung 128 ___________________________________________________________________ Höhe/Durchmesser h/D Korrekturfaktor 0 < h/D 4 K 0,6 4 < h/D 8 K 0,7 8 < h/D 40 K 0,8 40 < h/D K 1,0 Tab. 4-12: Gl. 4-179: h h cW K cW D D Korrekturfaktoren für dreidimensional umströmte Zylinder _________________________________________________________________________ 4-10: Aerodynamischer Widerstand eines Kamins geg.: c D H T p = = = = = 40 0.25 8 20 1020 m/s m m °C hPa Windgeschwindigkeit Kamindurchmesser Kaminhöhe Lufttemperatur Luftdruck ges.: Resultierende Kraft F auf den Kamin _________________________________________________________________________ Fluidmechanik Rohrströmung 129 ___________________________________________________________________ 4.10 Rohrströmung 4.10.1 Laminare Rohrströmung Bei Reynoldszahlen Red < 2320 bildet sich nach einer Anlaufstrecke von ca. l 0 ,06 d Re d eine vollständig laminare Strömung, die aufgrund der inneren Reibung ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil aufweist. Unter den Annahmen einer stationären, inkompressiblen und horizontalen Strömung ergibt sich folgende Geschwindigkeitsverteilung Gl. 4-180: r 2 cr cmax 1 R und eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit Gl. 4-181: Abb. 4-62: 1 cm cmax 2 Laminares Geschwindigkeitsprofil einer Rohrströmung Bei der Betrachtung von Rohrströmungen wird die Reynoldszahl Red generell mit dem Rohrinnendurchmesser d und nicht mit der Rohrlänge L gebildet! 4.10.2 Turbulente Rohrströmung Bei Reynoldszahlen Red > 2320 bildet sich nach einer Anlaufstrecke von ca. l 10 d eine vollständig turbulente Strömung. Der Hauptströmungsrichtung werden Schwankungsbewegungen in Längs- und Querrichtung überlagert wodurch die Reibungsverluste erhöht werden. Geschwindigkeitsverteilung Gl. 4-182: r k cr cmax 1 R n k, n = f(Re-Zahl, Rauigkeit) 1 k 2 1 1 n 11 6 Für ein glattes Rohr, Red = 45000 gilt k = 2, n = 1/7 Mittlere Strömungsgeschwindigkeit bei k = 2, n = 1/7 Gl. 4-183: Abb. 4-63: cm 0,875 cmax turbulentes Geschwindigkeitsprofil einer Rohrströmung Fluidmechanik Rohrströmung 130 ___________________________________________________________________ 4.10.3 Rohrreibungswiderstand Turbulente Rohrströmung liegt vor unter der Bedingung Gl. 4-184: Red cd cd 2320 , d = Rohrinnendurchmesser Der Reibungswiderstand an der Rohrwand beträgt Gl. 4-185: W O c f c 2 d L 2 benetzte Fläche dyn. Druck m c A const. muss bei konstantem Aufgrund der Kontinuitätsbedingung Rohrquerschnitt A auch die mittlere Strömungsgeschwindigkeit cm konstant bleiben, d.h. Verluste können sich nur in Form von Druckverlusten bemerkbar machen. Die Aufrechterhaltung der Strömung erfordert ein Druckgefälle p oder ein natürliches Gefälle mit der Neigung hV,12/L, wobei hV12 der Druckverlusthöhe und L der Rohrlänge entspricht. c c Abb. 4-64: Druckverlust infolge Rohrreibung Kräftebilanz in Strömungsrichtung Gl. 4-186: F1 W F2 Gl. 4-187: p1 A1 W p2 A2 mit der Kreisfläche d2 Gl. 4-188: A1 A2 A Gl. 4-189: A p1 p2 W c f 4 lautet der Druckverlust p Gl. 4-190: L p 4 c f c 2 d 2 Mit der Rohrreibungszahl Gl. 4-191: 4cf 2 c2 d L V A Fluidmechanik Rohrströmung 131 ___________________________________________________________________ ergibt sich für den Druckverlust p Gl. 4-192: L p c 2 d 2 Der Druckverlust p lässt sich auch in eine Verlusthöhe h umrechnen. Das entspricht z.B. dem erforderliche Neigungswinkel einer offenen Rinne zur Aufrechterhaltung der Strömung. Zusammen mit dem hydrostatischen Druck Gl. 4-193: p g h ergibt sich die Druckverlusthöhe hV Gl. 4-194: L c2 h hV d 2 g Mit dem Verlustbeiwert Gl. 4-195: L d lautet die Verlusthöhe hV Gl. 4-196: hV c2 2 g oder der Druckverlust p Gl. 4-197: p 2 c2 Dies gilt für laminare als auch für turbulente Strömungen. 4.10.4 Rohrreibungszahl Bei Rohrströmungen ergeben sich aufgrund der unterschiedlichen Oberflächenbeschaffenheit der Innenwand, d.h. - hydraulisch glatt - Übergang zwischen glatt und rau - vollständig rau unterschiedliche Werte für die Rohrreibunsgzahl Hydraulisch glatte Rohre Die Bedingung für hydraulisch glatt ist erfüllt, wenn die Dicke der laminaren Unterschicht U in der Grenzschicht größer ist als die absolute Rauigkeit k U Gl. 4-198: k Gl. 4-199: k 8 d Re Gl. 4-200: U 4 32 ,8 d Re absolute Rauigkeit relative Rauigkeit Dicke der laminaren Unterschicht U Bis zum Erreichen der kritischen Re-Zahl Rekrit = 2320 gilt für die Rohrreibungszahl Fluidmechanik Rohrströmung 132 ___________________________________________________________________ Gl. 4-201: 64 Re (Hagen-Poiseuille) Bei Re-Zahlen größer als Rekrit gilt die empirische Beziehung nach Nikuradse Gl. 4-202: 1 2 log Re 0 ,8 oder Gl. 4-203: 2 log Re 2 ,51 1 Vereinfachungen nach Blasius für 2300 < Red < 105 Gl. 4-204: 0 ,3164 4 Re d oder nach Nikuradse für 2300 < Red < 106 Gl. 4-205: 0 ,0032 0 ,221 0 ,237 Red Bei hydraulisch glatten Rohren ist die Rohrreibungszahl ausschließlich eine Funktion der Reynoldszahl. Vollständig raue Rohre Die Bedingung für eine vollständig raue Oberfläche lautet Gl. 4-206: k 200 d Re Rohrreibungszahl nach Nikuradse Gl. 4-207: d 2 log 1,14 k 1 oder Gl. 4-208: d 2 log 3,71 k 1 Vereinfachung nach Moody Gl. 4-209: 0.0055 0,15 3 k d Bei vollständig rauen Rohren ist die Rohrreibungszahl ausschließlich eine Funktion der Rauigkeit. Fluidmechanik Rohrströmung 133 ___________________________________________________________________ Übergangsgebiet zwischen glatt und rau Die Bedingung für das Übergangsgebiet zwischen glatter und rauer Oberfläche lautet 8 Gl. 4-210: k Red 200 d Rohrreibungszahl nach Colebrook k 2 ,51 2 log 3,71 d Red 1 Gl. 4-211: Vereinfachung Gl. 4-212: 0 ,0055 1 3 20000 k 106 d Red Im Übergangsgebiet ist die Rohrreibungszahl eine Funktion der Reynoldszahl und der Rauigkeit Abb. 4-65: Moody-Diagramm: Rohrreibungszahl als Funktion der Rauigkeit und Reynoldszahl Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 134 ___________________________________________________________________ Hydraulischer Durchmesser dhydr Zur Berechnung der Rohrreibungszahl bei Rohren mit nicht kreisförmigem Querschnitt oder bei Rohren, die nicht vollständig befüllt sind, z.B. bei Abwasserkanälen, wird ein hydraulischer Ersatzdurchmesser dhydr aus der Rohrquerschnittsfläche A und dem benetzten Umfang U berechnet. Gl. 4-213: d hydr 4 A U Bei Strömungen in offenen Gerinnen tritt aufgrund des konstanten Umgebungsdrucks kein Druckverlust pV, sondern nur eine Verlusthöhe hV auf, die mit dem hydraulischen Durchmesser des Gerinnes berechnet wird. Gl. 4-214: hV c2 L c2 2 g d hydr. 2 g Abb. 4-66: Offenes Gerinne In allen zuvor verwendeten Gleichungen, z.B. zur Berechnung der relativen Rauigkeit oder der Reynoldszahl, ist der Rohrdurchmesser d durch den hydraulischen Ersatzdurchmesser dhydr. zu ersetzen. 4.11 Widerstandsbeiwert für zusätzliche Einbauten in Rohren 4.11.1 Widerstand infolge von Ablösung Neben dem Reibungswiderstand kann bei Rohrströmungen noch ein zusätzlicher Widerstand durch Ablösungen und Verwirbelungen auftreten. Diese werden verursacht durch - Einbauten, Armaturen, Ventilen, Blenden und Drosselklappen - Richtungsänderungen, Krümmern - Querschnittsveränderungen, stetig und unstetig - Rohrein- und -auslauf Die Berücksichtigung dieser Verluste erfolgt durch den Verlustbeiwert Gl. 4-215: pV 12 2 c2 Druckverlust pV 12 mit der mittleren Strömungsgeschwindigkeit im Rohr c Gl. 4-216: pV 12 2 c2 Verlusthöhe hV 12 mit der mittleren Strömungsgeschwindigkeit im Rohr c Gl. 4-217: hV 12 c2 2 g Die theoretische Erfassung der Verluste infolge von Rohreinbauten ist nur in Ausnahmefällen möglich. Zur Bestimmung des Verlustbeiwertes bieten sich unterschiedliche Verfahren an - Empirische Bestimmung der Verlustbeiwerte - Nachrechnung des Druckverlustes infolge von Einbauten aus der Summe der einzelnen Teilverluste in den einzelnen Abschnitten. Dazu ist jedoch eine Geschwindigkeitsmessung in den einzelnen Abschnitten erforderlich. Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 135 ___________________________________________________________________ Mit dem Verlustbeiwert Gl. 4-218: L d ergibt sich für den Druckverlust in einem System, bestehend aus i-Rohrstücken und kEinbauten p Gl. 4-219: 2 c2 L 2 2 i i ci k ck 2 i di k Der Druckverlust setzt sich aus dem Anteil infolge der Rohrreibung, berücksichtigt durch die Rohreibungszahl und dem Anteil infolge von Einbauten, berücksichtigt durch den Verlustbeiwert , zusammen. 4.11.2 Querschnittserweiterung (Diffusor) Während eine Düse zur Strömungsbeschleunigung eingesetzt wird, hat ein Diffusor die umgekehrte Aufgabe. Ein Diffusor wird in Rohrleitungssystemen verwendet um die Strömungsgeschwindigkeit zu reduzieren, d.h. die kinetische Energie zu verringern und gleichzeitig den Druck zu erhöhen (Druckrückgewinn). Anwendungen finden sich z.B. in geschlossenen Windkanälen um nach einer Überschallmessstrecke die Strömung zu verzögern. Stufendiffusor Die unstetige Querschnittserweiterung bewirkt einen strahlartigen Strömungseintritt in das größere Volumen. Die Länge der Mischstrecke kann mit Gl. 4-220: LM 10 D2 abgeschätzt werden. Der Massestrom berechnet sich mit der mittleren Geschwindigkeit im Querschnitt 1 oder 2 zu Gl. 4-221: Abb. 4-67: m cm ,1 A1 cm, 2 A2 Stufendiffusor Die am Diffusor angreifenden Kräfte ergeben sich aus den Druckkräften zu Gl. 4-222: Fp ,1 p1 A1 Gl. 4-223: FW , x p1 A2 A1 und Fp , 2 p2 A2 Die Druckänderung im Stufendiffusor berechnet sich aus der mittleren Geschwindigkeit cm,2 im Querschnitt 2 und den Formfaktoren und p1 p2 2 cm, 2 1 cm,1 cm, 2 Gl. 4-224: 2 Formfaktor der energiestromgemittelten Geschwindigkeit Formfaktor der impulsstromgemittelten Geschwindigkeit (vgl.: Rohreinlaufströmung, Impulssatz) Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 136 ___________________________________________________________________ Auflösung des Energiesatzes nach dem Verlustglied pV 12 ergibt Gl. 4-225: pV 12 p1 p2 2 cm ,1 2 2 cm , 2 1 2 2 c m ,1 Einsetzen der Druckänderung p1 p2 liefert Gl. 4-226: Gl. 4-227: pV 12 2 cm , 2 1 cm ,1 cm , 2 pV 12 2 2 cm ,1 2 2 cm ,1 2 2 cm , 2 1 2 2 c m ,1 2 2 cm , 2 cm , 2 cm , 2 2 2 2 1 1 2 2 2 c c c m ,1 m ,1 m ,1 mit Gl. 4-228: cm,2 c m ,1 A1 A2 folgt für die Verlustzahl Verlustzahl des Stufendiffusors Gl. 4-229: 2 pV 12 2 cm ,1 2 A A 1 2 1 1 2 2 2 1 2 A2 A2 bei vollständig turbulenter Strömung gilt i , i 1 und somit für die Verlustzahl Gl. 4-230: pV 12 2 cm ,1 2 A 1 1 A2 2 Wirkungsgrad des Stufendiffusors St Der Wirkungsgrad des Diffusors berechnet sich aus dem Verhältnis des realen Druckanstiegs bezogen auf den Druckanstieg, der sich bei einer isentropen Zustandsergeben würde, (isentrop: änderung, d.h. einer verlustfreien Druckerhöhung mit pV 12 0 Index s). Gl. 4-231: 2 1 cm ,1 cm , 2 2 cm , 2 2 p p St 2 1 2 2 A p2 p1 s 1 cm,1 2 cm , 2 1 2 A1 2 Druckerhöhung im Stufendiffusor Bei bekanntem Wirkungsgrad lässt sich die Druckerhöhung im Diffusor aus dem Querschnittsverhältnis A1 A2 und der mittleren Geschwindigkeit cm,1 im Querschnitt 1 berechnen. Gl. 4-232: p2 p1 St 2 cm ,1 2 2 A 2 A1 2 1 2 St cm ,1 1 1 2 A2 A2 Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 137 ___________________________________________________________________ Konischer Diffusor Im Gegensatz zum Stufendiffusor weist der konische Diffusor eine stetige Querschnittserweiterung auf. Auch hier besteht die Aufgabe in einem Druckrückgewinnung aus kinetischer Energie. Der optimale Öffnungswinkel ist eine Funktion des Rohrquerschnitts und beträgt für Kreisquerschnitt opt 4 und für Rechteckquerschnitte opt 5 . Die Formfaktoren i, i werden zu Eins gesetzt. Abb. 4-68: Konischer Diffusor Verlustzahl Diff Die Verlustzahl des Diffusors bezogen auf die Zuströmgeschwindigkeit c1 beträgt Gl. 4-233: Diff pV 12 2 c1 2 Diffusorwirkungsgrad Diff Analog zum Stufendiffusor berechnet sich der Wirkungsgrad aus dem Verhältnis des realen Druckanstiegs im Diffusor bezogen auf den isentropen, d.h. d.h. verlustfreien Druckänderung mit pV 12 0 , (isentrop: Index s) Gl. 4-234: Diff 2 2 2 c1 c2 pV 12 p2 p1 2 2 2 p2 p1 s c1 c2 2 c 1 22 Diff c1 2 c 1 22 c1 mit der Kontinuitätsgleichung und der Definition für die Verlustzahl Diff folgt Gl. 4-235: Diff 1 Diff A 1 1 A2 2 oder Gl. 4-236: Diff A 2 1 Diff 1 1 A2 Druckerhöhung im konischen Diffusor Gl. 4-237: p2 p1 Diff A 2 c1 1 1 2 A2 2 Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 138 ___________________________________________________________________ Diffusorwirkungsgrad als Funktion des Öffnungswinkels Diff St Abb. 4-69: Konischer Diffusor Stufendiffusor Öffnungswinkel Diffusorwirkungsgrad als Funktion des Öffnungswinkels 4.11.3 Querschnittsverengung (Düse) Bei Strömungen mit Unterschallgeschwindigkeit bewirkt eine Querschnittsverengung immer eine Erhöhung der Geschwindigkeit und eine Absenkung des statischen Drucks (vgl. Druckform der Bernoulli-Gleichung: p 2 c 2 const. ) Stufendüse Die unstetige Querschnittsverengung (1 2*) einer Stufendüse bewirkt eine Strahlkontraktion auf A2*, (2* 2) gefolgt von einer Strahlaufweitung auf A2 Die Kontraktionszahl K * A K 2 A2 Gl. 4-238: Abb. 4-70: Totwassergebiet Stufendüse lässt sich bestimmen durch die Regressionsformel 2 Gl. 4-239: A A A K 0,614 0,133 2 0,261 2 0,511 2 A1 A1 A1 3 Die Verlustzahl infolge Kontraktion und Aufweitung ergibt sich aus der Kontraktionszahl zu Gl. 4-240: 1 K K 1,5 Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 139 ___________________________________________________________________ Blende Blenden werden eingesetzt zur Messung von Volumenströmen und zur Druckminderung. Abb. 4-71: Stromlinienverlauf in einer Blende Unter der Annahme einer reibungsfreien Durchströmung lautet die Bernoulli-Gleichung p1 Gl. 4-241: 2 * c1 p 2 2 2 c 2, s *2 Aus der Kontinuitätsgleichung ergibt sich der Volumenstrom * V c1 A1 c2,s * A2 Gl. 4-242: mit K A2 Gl. 4-243: * A2 folgt aus dem Volumenstrom c1 c2,s * K A2 A1 eingesetzt in Bernoulli-Gleichung ergibt sich für die verlustfreie Geschwindigkeit c2,s* im Querschnitt 2* Gl. 4-244: 1 c2 , s * 1K 2 A 2 A1 2 2 p1 p2 * Die Reibungsverluste können durch die Verlustziffer berücksichtigt werden, d.h. durch das Verhältnis von realer zu reibungsfreier Fließgeschwindigkeit. Gl. 4-245: c2 * c 2, s * Der Volumenstrom im Querschnitt (2) lautet Gl. 4-246: * * V c2 A2 c2 * A2 c2,s * A2 Gl. 4-247: V c2 A2 K 2 A 1 K 2 1 A 2 Durchflußzahl A2 c2 c2 , s * K 2 p1 p2 * Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 140 ___________________________________________________________________ bzw. mit dem Wirkdruck pW und der Durchflusszahl 2 pW V A2 Gl. 4-248: Der Druckverlust pV,13 zwischen Querschnitt 1 und 3 berechnet sich über die Verlustziffer pV ,13 p3 p1 Gl. 4-249: 2 c3 2 Für Flächenverhältnisse 0,05 A2 A1 0,95 lässt sich die Verlustziffer approximieren durch Gl. 4-250: 2 3 4 5 A2 A2 A2 A2 A2 exp 8,94941 47 ,8557 169 ,798 349 ,829 353,634 140,833 A1 A1 A1 A1 A1 4.11.4 Durchflussmessung mit genormten Drosselgeräten (DIN EN ISO 5167) Zur Durchflussmessung existieren Drosselsysteme. Messgrößen sind unabhängig von der konstruktiven Ausführung die statischen Drücke vor und an bzw. hinter dem engsten Querschnitt. Zusätzlich ist die Kenntnis der Querschnitte bzw. Durchmesser erforderlich. Blende Abb. 4-72: Düse Venturidüse Konstruktive Ausführungen unterschiedlicher Drosselgeräte Zur Berechnung des Volumenstroms ist die Durchflusszahl , die Expansionszahl und der sog. Wirkdruck pW erforderlich. Gl. 4-251: V1 d 2 4 pW Massestrom Gl. 4-252: m 1 V1 Wirkdruck pW Gl. 4-253 pW p1 p 2 Der Einfluss der Kompressibilität, z.B. bei Gasen wird durch die Expansionszahl berücksichtigt, für inkompressible Fluide gilt 1 . Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 141 ___________________________________________________________________ Die Durchflusszahl wurde empirisch aus Kalibrierversuchen mit Drosselgeräten bestimmt Gl. 4-254: C , Re D 1 4 Der Durchflusskoeffizient C , Re D ist wiederum eine Funktion des Verhältnisses d D , d.h. des Durchmessers d am engsten Querschnitt der Drosselstelle bezogen auf den Rohrdurchmesser. Die Reynoldszahl wird auf den Rohrdurchmesser D bezogen, Re D c1 D . Mit dem Druckverhältnis Gl. 4-255: p2 p1 und dem Faktor 19000 A Re D Gl. 4-256: 0.8 können Durchflusskoeffizient C und Expansionszahl näherungsweise aus Tab. 4-13 bestimmt werden. Der Faktor c p cv stellt den Isentropenfaktor des Gases dar, z.B. gilt für Luft: Luft 1.4 Drosselgerät Blende mit Eckdruckentnahme Expansionszahl Durchflusskoeffizient C 0,351 0,256 0.7 D 71,12 mm 106 0,000521 ReD Düse 106 0,0188 0,0063 A 3.5 ReD 0,99 0,2262 4.1 0,00175 0,0033 2 Venturidüse Tab. 4-13: 1 0,5961 0,0261 2 0,216 8 1 0,93 8 1 0.3 2 1.15 4.15 4 106 Re D 0 ,9858 0 ,196 4.5 1 1 4 1 2 1 1 1 4 wie Düse Durchflusskoeffizient C und Expansionszahl 4.11.5 Krümmer - Richtungsänderung Verluste durch den Einbau von Krümmern lassen sich aufteilen in Reibungsverluste und Verluste infolge Ablösung, Tabellen berücksichtigen in der Regel nur den Verlust infolge der Ablösung. Reibungsverluste werden durch Ergänzung der Rohrlänge um die gestreckte Krümmerlänge erfasst Gl. 4-257: lKrümmer r = Radius, r 180 = Winkel des Rohrbogens Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 142 ___________________________________________________________________ Einbauelemente können zur Verlustberechnung durch gerade Rohrstücke ersetzt werden Gl. 4-258: L p ges p Re ibung p Einbau c 2 2 d mit der zusätzlichen Rohrlänge Gl. 4-259: L d folgt für den Druckverlust Gl. 4-260: L L 2 p ges c d 2 4.11.6 Eintrittsverluste Abb. 4-73: Rohreinlaufströmung: Geschwindigkeitsprofil (a) und Druckabfall (b) Die Ausbildung des Geschwindigkeitsprofils in der Einlaufstrecke sL erfordert das Verrichten von Dissipationsarbeit bzw. Dissipationsenergie jsL, beschrieben durch die Verlustzahl sL Gl. 4-261: sL jsL 2 2 c 0.333 laminar 0.018 turbulent sL Der Druckverlust für ein gerades Rohrstück der Länge L ergibt sich zu Gl. 4-262: L pV ,12 j12 sL c 2 2 D Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 143 ___________________________________________________________________ 4.11.7 Verlustziffern von Formstücken und Einbauten (Zusammenfassung) Querschnittserweiterung - unstetig (Stufendiffusor) 1 2 A 1 1 A2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 A1 A 2 2 2 1 2 A2 A2 Querschnittserweiterung - stetig (konischer Diffusor) Diff A 2 1 Diff 1 1 A2 Querschnittsverengung - unstetig (Stufendüse) 2 A A A K 0,614 0,133 2 0,261 2 0,511 2 A1 A1 A1 1 K K 1,5 Querschnittsverengung - unstetig (Blende) Für 0,05 A2 0,95 gilt A1 A2 8,94941 47 ,8557 A1 2 3 A A exp 169,798 2 349,829 2 A1 A1 4 5 A2 A2 353,634 140,833 A1 A1 3 Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 144 ___________________________________________________________________ Querschnittsverengung - stetig (Konturdüse) 0 0,075 Querschnittsverengung - stetig (konische Düse) m 1 2 2 mittlere Rohrreibungszahl A 0.5 1 2 8 tan A1 m A 0.5 A 1.0 A 1.5 1 2 2 2 A1 A1 A1 Richtungsänderung - Rohrbogen, glatt, Re 2 10 5 rK 2...3 D opt Rohrbögen mit Leitblechen 0,15 Rohrbögen mit profilierten Leitblechen 0,05 Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 145 ___________________________________________________________________ Richtungsänderung - Segment-Krümmer rK/D 1 2 3 3,25 4 5 6 2 x 45° 0,44 0,31 0,35 3 x 30° 0,42 0,27 0,19 0,40 0,45 0,55 0,22 0,26 0,29 V1 V3 = 45° 23 13 4 x 22,5° 0,40 0,24 0,185 0,18 0,19 0,21 0,23 Richtungsänderung – Rohrknie Verzweigungen - Stromvereinigung A1 A2 A3 V V V 1 2 3 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,04 0,17 0,19 0,09 -0,17 -0,54 -0,92 -0,38 0 0,22 0,37 0,37 = 90° 23 13 0.04 0.17 0.30 0.41 0.51 0.60 -1.20 -0.40 0.08 0.47 0.72 0.91 Verzweigungen – Stromtrennung A1 A2 A3 V V V 1 2 3 V1 V3 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 = 45° 32 31 0,04 -0,06 -0,04 0,07 0,20 0,33 0,90 0,68 0,50 0,38 0,35 0,48 = 90° 32 31 0.04 -0.08 -0.05 0.07 0.21 0.35 0.95 0.88 0.89 0.95 1.10 1.28 Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 146 ___________________________________________________________________ Stromtrennung _________________________________________________________________________ Üb. 4-11: Rohrströmung Ein Behälter wird über eine Pumpe mit einem Volumenstrom V versorgt. Das Wasser verlässt den Behälter über ein gekrümmtes Abflussrohr mit einer Gesamtlänge l und einer mittleren Rauigkeit k in die freie Umgebung. Der Wasserspiegel im Behälter bleibt konstant. geg.: V 3,6 103 m 3 s , D = 0,0276 m, l = 2 m, a = 1 m, H = 6 m, p0 = 1 bar, k = 10-6 m, E = 0,05, A = 0,05, K = 0,14, = 110-6 m²/s, = 1000 kg/m³ ges.: Das Lüftungsventil ist geöffnet 1. Austrittsgeschwindigkeit c2 2. Berechnen Sie die Rohrreibungszahl im Abflussrohr 3. Wie hoch ist der Wasserspiegel h im Inneren des Behälters? Bei Überschreiten der Pegelhöhe h schließt das Lüftungsventil und bleibt geschlossen. Der neue Volumenstrom beträgt V 2 V und die neue Pegelhöhe h’ bleibt wieder konstant. Neue Austrittsgeschwindigkeit c2’ Berechnen Sie die Rohrreibungszahl im Abflussrohr Luftdruck im Behälter als Funktion des Pegelstandes bei isothermer Kompression/Expansion 7. Wie hoch ist der Wasserspiegel h’ im Inneren des Behälters? _________________________________________________________________________ 4. 5. 6. Fluidmechanik Impulssatz 147 ___________________________________________________________________ 5 Impulssatz 5.1 Newton’sche Axiome Sir Isaac Newton 04.01.1643 - 31.03.1727 (gregorianischer Kalender8) bzw. 25.12.1642 - 20.03.1727 (julianischer Kalender9) Abb. 5-1: Sir Isaac Newton: 'Philosophiae Naturalis Principia Matheamtica' Newton formulierte seine drei Axiome 1687 in der 'Philosophiae Naturalis Principia Matheamtica' (Mathematische Grundlagen der Naturphilosophie). Das erste Axiom gilt nur in Inertialsystemen und wurde bereits 1638 von Galileo Galilei aufgestellt. Das zweite Axiom beschreibt das Grundgesetz der Dynamik und das dritte Axiom das Prinzip der mechanischen Wechselwirkung. Erstes newton'sches Axiom: Das Trägheitsprinzip (lex prima) Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist Zweites newton'sches Axiom: Das Aktionsprinzip (lex secunda) Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt Drittes newton'sches Axiom: Das Reaktionsprinzip (lex tertia) Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio) 8 eingeführt 1583 durch Papst Gregor XIII wurde aufgrund der Abspaltung der anglikanischen Kirche 1534 unter Heinrich VIII zu dieser Zeit noch in England verwendet 9 Fluidmechanik Impulssatz 148 ___________________________________________________________________ 5.2 Stromröhre und Stromfaden Den Axiomen Newtons liegt das Prinzip des Stromfadens zugrunde, d.h. Stromlinien werden zu einer Stromröhre (vgl. Kapitel 1.6.4) zusammengefasst. Masse- und Energietransport können lediglich entlang der Stromlinie erfolgen, senkrecht zur Stromlinie sind keine Transportvorgänge möglich. Masse- und Energietransport sind somit nur über die Ein- und Austrittsflächen A1 und A2 zulässig. Werden die Querschnittsflächen A1 und A2 infinitesimal klein, so bleiben die Zustandsgrößen der Strömung c, p, , T konstant. Alle durch die infinitesimalen Querschnittsflächen dA1 und dA2 verlaufenden Stromlinien werden zu einem repräsentativen Stromfaden zusammengefasst (eindimensionale Stromfadentheorie). Abb. 5-2: Stromröhre und Stromfaden 5.3 Impuls Die bei Strömungsvorgängen auftretenden Kräfte lassen sich durch den Impulssatz, der auf dem Newton'schen Grundgesetz der Dynamik beruht berechnen. dc d m c F m a m dt dt Gl. 5-1: Der Impuls I eines Körpers beschreibt das Produkt aus seiner Masse m und seiner Geschwindigkeit c Gl. 5-2: I mc Da es sich bei der Geschwindigkeit c um einen Vektor handelt, stellt auch der Impuls eine vektorielle Größe dar, der eine Richtung und eine Geschwindigkeit aufweist. Die Änderung des Impulses (bei konstanter Masse) kann nur durch eine Geschwindigkeitsänderung erfolgen und entspricht einer Kraftwirkung Gl. 5-3: d m c dI F dt dt Fluidmechanik Impulssatz 149 ___________________________________________________________________ 5.4 Stationäre Fadenströmung durch einen raumfesten Kontrollraum Eintrittsebene (1) Austrittsebene (2) dI 2 dm2 c2 dI 1 dm1 c1 Die Impulsänderung dI des Gesamtsystems in einem durchströmten ortsfesten Kontrollraum infolge Zu- und Abstrom der Massenelemente dm1 und dm2 kann beschrieben werden durch die Differenz zwischen dem Impuls in der Eintrittsebene (1) zum Zeitpunkt t = t1 und dem Impuls in der Austrittsebene (2) zum Zeitpunkt t = t1 = t1 + dt. I t 2 I0 dI I t2 I t1 I 0 dI 2 I 0 dI1 Gl. 5-4: I t1 = Gesamtimpuls aller Massenelemente im Kontrollraum Im Inneren des Kontrollraums befinden sich an den Stellen I und II zur Zeit t1 und t2 unterschiedliche Massenelemente dm, die sich jedoch bei Vorliegen einer stationären Strömung mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen. Dadurch bleibt der Gesamtimpuls I 0 unverändert. Kontinuitätsgleichung Gl. 5-5: dm1 dm2 dm bzw. dm m c A const. dt Zeitliche Impulsänderung im System Gl. 5-6: Impulsstrom Gl. 5-7: dI dI 2 dI1 dm c2 c1 m c2 c1 dt dt dt dI I m c N dt Impulssatz für stationäre Fadenströmung Gl. 5-8: F I2 I1 m c2 c1 Die Summe aller auf das Fluid im Kontrollraum wirkenden Kräfte ist gleich dem austretendem Impulsstrom abzüglich des eintretenden Impulsstroms. Fluidmechanik Impulssatz 150 ___________________________________________________________________ 5.5 Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum Bei der Berechnung der Kräfte auf ein Fluid in einem Kontrollraum ist zu unterschieden ob der Kontrollraum, d.h. die Stromröhre AM mit dem Außendruck pa beaufschlagt wird (z.B. freigeschnittenes Rohrstück) oder nicht (z.B. Ausströmen aus einem Rohr ins Freie). Freie oder körpergebundene Stromröhre AM ohne Außendruck pa Abb. 5-3: Fp1 , Fp 2 FG FW FS FK Stromröhre AM.ohne Außendruck pa Druckkräfte auf die Ein- und Austrittsflächen A1, A2 Gewichtskraft des Fluids im Kontrollraum Von der Stromröhre auf das Fluid ausgeübte Kraft infolge Druck- oder Reibung Stützkraft, von einem festen Körper innerhalb der Stromröhre auf das Fluid Körperkräfte = Reaktionskräfte des Fluids, von innen auf die Stromröhre FKi oder Einbauten FKS , FKi FW , FKS FS , FK FKi FKS Körpergebundene Stromröhre AM ,die mit dem Außendruck pa beaufschlagt wird Abb. 5-4: Fp1 , Fp 2 Fa FH FK Stromröhre AM.mit Außendruck pa Druckkräfte auf die Ein- und Austrittsflächen A1, A2 Druckkraft infolge des Außendrucks pa auf die Stromröhre, ungleich Null, da sie nur auf die Mantelfläche und nicht die gesamte Oberfläche wirkt Haltekraft der körpergebundenen Stromröhre, FH FK Körperkraft des Fluids von innen auf die Stromröhre unter Berücksichtigung des Außendrucks Fluidmechanik Impulssatz 151 ___________________________________________________________________ Der Impulssatz unter Berücksichtigung aller Teilkräfte lautet allgemein F I2 I1 m c2 c1 Gl. 5-9: Für eine freie oder körpergebundene Stromröhre AM, die nicht mit einem Außendruck pa beaufschlagt wird Gl. 5-10: F I2 I1 m c2 c1 Fp1 Fp 2 FW FS FG bzw. für eine freie oder körpergebundene Stromröhre AM, die mit einem Außendruck pa beaufschlagt wird Gl. 5-11: 5.6 F I I m c c F F F F F 2 1 2 1 p1 p 2 W S G Unterscheidung von drei Klassen von Anwendungsfällen (1) Stromröhre ist eine freie Kontrollfläche: Zu bestimmen ist die Reaktionskraft FKS auf einen umströmten Körper innerhalb der Stromröhre oder der Körper ist Teil der Stromröhre (2) Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche. Zu bestimmen ist die Reaktionskraft auf die Innenseite des körpergebundenen Teils der Stromröhre und auf evtl. Einbauten (3) Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche, die mit einem Außendruck pa beaufschlagt wird: Zu bestimmen ist die Reaktionskraft FK auf die Stromröhre und auf evtl. Einbauten unter Berücksichtigung der Außendruckkraft Fa (1) Stromröhre ist eine freie Kontrollfläche Zu bestimmen ist die Reaktionskraft FKS auf einen umströmten Körper innerhalb der Stromröhre oder der Körper ist Teil der Stromröhre Gl. 5-12: FK FKS FS m c2 c1 Fp1 Fp 2 FW FG Herrscht auf der Stromröhre und in den Ein- und Austrittsflächen A1 und A2 konstanter Druck, z.B. Umgebungsdruck (Freistrahl), so gilt Gl. 5-13: Fp1 Fp 2 FW 0 Fluidmechanik Impulssatz 152 ___________________________________________________________________ (2) Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche Zu bestimmen ist die Reaktionskraft auf die Innenseite des körpergebundenen Teils der Stromröhre und auf evtl. Einbauten Gl. 5-14: (3) FK FKi FKS FW FS m c2 c1 Fp1 Fp 2 FG Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche, die mit einem Außendruck pa beaufschlagt wird Zu bestimmen ist die Reaktionskraft FK auf die Stromröhre und auf evtl. Einbauten unter Berücksichtigung der Außendruckkraft Fa Gl. 5-15: Gl. 5-16: Gl. 5-17: FK FKi FKS Fa Fpi pi pa Ai FH FK F W FS Fa m c2 c1 Fp1 Fp 2 FG Differenzdruckkraft zum Außendruck pa Haltekraft 5.7 Impulssatz für mehrere Ein- und Austrittsflächen Sind in einem Kontrollraum mehrere Ein- und/oder Austrittsflächen vorhanden, so ergibt sich die Gesamtkraft aus der Summe der Änderungen der Austrittsimpulse abzüglich der Summe der Eintrittsimpulse zuzüglich der Druckkräfte und der Gewichtskraft des Fluids. Gl. 5-18: m n nm FK m ci Austritt m c j E int ritt Fpk FG j 1 i1 k 1 Fluidmechanik Impulssatz 153 ___________________________________________________________________ 5.8 Anwendungsprinzip des Impulssatzes Das Prinzip zur Berechnung von Kräften an durchströmten Bauteilen soll anhand des in Abb. 5-5 skizzierten Rohrkrümmers verdeutlicht werden. Es handelt sich hierbei um eine körpergebundene Stromröhre unter Berücksichtigung eines Außendrucks pa. Abb. 5-5: Rohrkrümmer Ablauf zur Berechnung der Körperkraft FK bzw. der Haltekraft FH = - FK 1. Skizze des Bauteils 2. Kontrollraum, strichpunktierte Linie 3. Ein- und Austrittsfläche kennzeichnen (1), (2) 4. Koordinatensystem festlegen 5. Winkeldefinition mathematisch positiv definieren (linksdrehend = positiv) 6. 7. 8. einzeichnen i in Ein- und Austrittsflächen (1), (2) mittels Berechnung von ci , pi , i und m Kontinuitäts-, Energie- und thermischer Zustandsgleichung Berechnung der Beträge für - Druckkräfte Fpi pi pa Ai bzw. Fpi pi Ai FG VKontrollraums Fluid g - Gewichtskraft 9. Geschwindigkeiten ci , Druckkräfte Fpi , Impulsströme Ii und Gewichtskraft FG Berechnung der Komponenten der Körperkraft FK ( FH bzw. Haltekraft) Gl. 5-19: FKx FK cos K m c2 cos 2 c1 cos 1 Fp1 cos 1 Fp 2 cos p 2 FG cos G Gl. 5-20: FKy FK sin K m c2 sin 2 c1 sin 1 Fp1 sin 1 Fp 2 sin p 2 FG sin G Körperkraft FK FH Gl. 5-21: 2 FK FKx FKy 2 Fluidmechanik Impulssatz 154 ___________________________________________________________________ Gl. 5-22: FKy FKx K arctan _________________________________________________________________________ Üb. 5-1: Rohrkrümmer mit Leitblechen geg.: D1 300 mm D2 200 mm z2 z1 400 mm V 0,024 m3 1 90 grad 2 45 grad V 0,35 m3 s (Krümmervolumen) H O 103 kg m3 2 p1 1.3bar pa 1.0 bar ges.: 1. 2. 3. (Druck in Eintrittsebene) (Außendruck) FK Körperkraft auf den Krümmer mit Einbauten unter Berücksichtigung des Außendrucks pa ? FH Haltekraft an den Flanschen? FK Körperkraft des Fluids auf Einbauten und innere Krümmerwand ohne Außendruck? Der Krümmer wird reibungsfrei durchströmt, d.h. FW = 0 _________________________________________________________________________ Fluidmechanik Impulssatz 155 ___________________________________________________________________ Üb. 5-2: Ebene angeströmte Platte geg.: Platte wird unter dem Neigungswinkel angeströmt. Potentielle Energien, Reibungskräfte und Massenkräfte können vernachlässigt werden FG 0 ges.: 1. Strahlkraft auf die Platte bei 90 (formelmäßig) 2. Strahlkraft auf die Platte, wenn diese mit u < c1 in Strahlrichtung bewegt wird _________________________________________________________________________ Üb. 5-3: Dampfturbinenschaufel geg.: DG1 950 mm DN 1 530 mm DG 2 1020 mm DN 2 495 mm ca1 150 m s (Axialgeschwindigkeitskomponente) ca 2 165 m s 1 0,127 kg m 3 p1 0,1836 bar p2 0 ,14 bar ges.: Axialschub Fax auf Rotor und Schaufel im Bereich der Endschaufel _________________________________________________________________________ Üb. 5-4: Windkraftturbine ges.: 1. Maximale ideale Turbinenleistung PTurb, max 2. Schubkraft auf den Rotor FKx Fluidmechanik Impulssatz 156 ___________________________________________________________________ Üb. 5-5: Turboluftstrahltriebwerk geg.: m L 77 kg s m B 4.13 kg s c2 985 m s H 15 km M 2 ,0 Luftmassestrom Brennstoffmassestrom Strahlaustrittsgeschwindigkeit Flughöhe Flugmachzahl ges.: 1. Schubgleichung für ein Einkreis-TL-Triebwerk 2. Schub in der Flughöhe H 15 km , angepaßte Düse d.h. p2 = pa _________________________________________________________________________ Üb. 5-6: Raketentriebwerk ges.: Schubgleichung für ein Raketen-Triebwerk _________________________________________________________________________ Fluidmechanik Drallsatz 157 ___________________________________________________________________ 6 Drallsatz 6.1 Drallerhaltung bzw. Drehimpulserhaltung Der lineare Impuls I eines Massepunktes ist definiert durch seine Masse m und seine Geschwindigkeit c Gl. 6-1: I mc Für diese punktförmige Masse m ergibt sich mit dem Ortsvektor r der Drall oder Drehimpuls L zu Gl. 6-2: L m r c r I Da der Drehimpuls eine Funktion des Ortvektors r ist, besteht immer eine Abhängigkeit des Dralls von seinem Bezugspunkt. Analog zur zeitlichen Änderung des Impulses I bei der sich eine Kraft F ergibt Gl. 6-3: dI F dt ergibt sich für die zeitliche Änderung des Dralls L ein Moment M Gl. 6-4: dL M dt d.h. die Summe aller auf die Masse wirkenden Momente bewirkt eine zeitliche Änderung des Dralls. Starrer Körper Ein starrer Körper kann als ein System einzelner Massepunkte mi betrachtet werden, deren räumlicher Abstand sij zueinander zeitlich konstant bleibt Gl. 6-5: ri r j sij const . bzw. Gl. 6-6: Abb. 6-1: dsij dt 0 Starrer Körper Fluidmechanik Drallsatz 158 ___________________________________________________________________ Starrer Körper in Rotation Die Beschreibung des Bewegungszustandes eines starren Körpers im ruhenden Inertialsystem erfolgt durch den Gesamtdrehimpuls Gesamtdrehimpuls des starren Körpers N L ri I i Gl. 6-7: i 1 mit I mc folgt N L mi ri ci Gl. 6-8: i 1 Rotiert der Körper mit um eine feste Achse, z.B. die z-Achse (Abb. 6-2), so gilt für die Geschwindigkeit ci des Massepunktes mi ci ri Gl. 6-9: Abb. 6-2: Starrer Körper in Rotation Gesamtdrehimpuls des starren Körpers Gl. 6-10: N N L mi ri ci mi ri ri i 1 i 1 Für eine Rotation um die z-Achse gilt bei einer symmetrischen Masseverteilung Gl. 6-11: 0 xi yi 0 0 ri 0 yi xi z 0 i Gl. 6-12: xi yi xi zi ri ri yi xi yi zi z 0 x 2 y 2 i i i Mit dem senkrechten Abstand ri , des Masseelements mi zur Drehachse gilt für den Drehimpuls für den gesamten Körper Gl. 6-13: N L mi ri , i 1 Fluidmechanik Drallsatz 159 ___________________________________________________________________ Massenträgheitsmoment des starren Körpers Der Ausdruck in Gl. 6-13 N Gl. 6-14: J mi ri , i 1 bezeichnet das Massenträgheitsmoment des starren Körpers um seine Drehachse Der Drehimpuls lautet unter Verwendung des Masseträgheitsmoment J Gl. 6-15: N L mi ri , J 1 i Trägheitsmoment J Bei homogener Massenverteilung gilt für das Massenträgheitsmoment Gl. 6-16: J r 2 dm r 2 dV m V Analogie zwischen Impuls und Drehimpuls Aus der Ableitung des Drehimpulses Gl. 6-17: nach der Zeit Gl. 6-18: L r I dL r I r I dt folgt wegen Gl. 6-19: I m c m r r I dass Impuls- und Geschwindigkeitsvektor parallel gerichtet sind, d.h. Gl. 6-20: und es gilt Gl. 6-21: r I 0 dL r I r I r I dt 0 Wegen des 2. Newton'schen Axioms gilt Gl. 6-22: F I und somit ergibt sich aus der zeitlichen Änderung des Drehimpulses ein Drehmoment Gl. 6-23: dL r I r F M dt bzw. ein Drehmoment bewirkt eine zeitliche Änderung des Drehimpulses Fluidmechanik Drallsatz 160 ___________________________________________________________________ Gl. 6-24: dI I F dt (Impulsstrom = Kraft) und dL L M (Drallstrom = Moment) Gl. 6-25: dt dL M folgt, dass der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant bleibt, Aus der Beziehung dt solange keine äußeren Momente auf das System wirken, d.h. Gl. 6-26 dL M 0 0 dt bzw. L const. Drehimpulserhaltung bedeutet, dass gilt Gl. 6-27: L J const. Eine Veränderung des Trägheitsmoments J bewirkt somit eine Änderung der Drehgeschwindigkeit . Dieser Effekt lässt sich in den unterschiedlichsten Anwendungen beobachten, z.B. beim Eiskunstlauf (Pirouette). Das Anziehen der Arme an die Körperhochachse (= Rotationsachse) bewirkt eine Verkleinerung des Masseträgheitsmoments um die Drehachse. Die Forderung nach einem konstanten Gesamtdrehimpuls führt zu einer Erhöhung der Drehgeschwindigkeit. Gl. 6-28: J1 1 J 2 2 const . Gl. 6-29: J 2 J1 2 1 Abb. 6-3: Pirouetteneffekt Ähnlich verhält sich ein Reckturner, der beim Schwungaufnehmen (Position 1) seinen Körperschwerpunkt durch das Strecken der Beine möglichst weit von der Drehachse (= Reckstange) entfernt und beim Aufschwung durch Anheben der Beine den Schwerpunktsabstand zur Drehachse reduziert. Da das Masseträgheitsmoment direkt vom Abstand des Körperschwerpunkts zur Drehachse abhängt, hat der Turner in Position (2) ein geringeres Masseträgheitsmoment in Bezug auf die Reckstange und somit aufgrund der Drehimpulserhaltung eine erhöhte Drehgeschwindigkeit, die ihn in einer beschleunigten Bewegung um die Reckstange führt. J1 1 J 2 2 const . J 2 J1 2 1 Abb. 6-4: Aufschwung am Reck Fluidmechanik Drallsatz 161 ___________________________________________________________________ Der Versuch zur Drehimpulserhaltung (Pirouetteneffekt) lässt sich auch leicht mit Hilfe eines drehbaren Bürostuhls und zwei Gewichten nachvollziehen. Abb. 6-5: Versuch: Drehimpulserhaltung (Physikalisches Institut Universität Dortmund) Verkleinerung des Trägheitsmoments durch Heranziehen der Gewichte an die Rotationsachse bewirkt eine Erhöhung der Drehgeschwindigkeit der Versuchsperson. Dass es sich beim Drehimpuls um eine vektorielle Größe handelt lässt sich mit dem in Abb. 6-6 dargestellten Versuch mit einem rotierenden Rad nachweisen. Abb. 6-6: Versuch: Drehimpuls als Vektor (Physikalisches Institut Universität Dortmund) In Abb. 6-6a wird mittels des Schwungrads ein Drehimpuls erzeugt, die Versuchsperson bleibt in Ruhe. Bei senkrechter Lagerung des Rades, Abb. 6-6b beginnt die Versuchsperson sich um die Hochachse zu drehen, der Gesamtdrehimpuls Lz bleibt nach wie vor gleich Null. Einfluss der Drehimpulserhaltung bei Wetterphänomenen - Tornado Voraussetzung für die Entstehung eines Tornados, z.B. im Mittelwesten der USA, ist das Zusammentreffen trocken-kalter Luftmassen aus Kanada mit feucht-warmen Luftmassen aus dem Golf von Mexiko. Die kalte Luft schiebt sich trotz ihrer größeren Dichte über die warme Luftmasse und es bildet sich eine instabile Schichtung mit großem vertikalem Temperaturunterschied. Kalte Luft hat eine wesentlich geringere Fähigkeit Feuchtigkeit aufzunehmen als warme Luft und es kommt zur Kondensation des in der Luft enthaltenen Wasserdampfes, was zur Bildung von Wolken mit starkem Niederschlag führt. Durch die Kondensation wird zusätzliche Wärme (Verdampfungsenthalpie) freigesetzt, wodurch es zur Ausbildung einer nach oben gerichteten Luftbewegung kommt. Am Boden bildet die horizontal nachströmende Luft aufgrund der Corioliskraft einen Linkswirbel (Nordhalbkugel) mit einem Durchmesser von lediglich 10-20 Metern. Die große Rotationsgeschwindigkeit im Wirbelkern ergibt sich aufgrund der Drehimpulserhaltung. Fluidmechanik Drallsatz 162 ___________________________________________________________________ Infolge der hohen Drehgeschwindigkeiten erzeugen die dadurch auftretenden Zentrifugalkräfte hohe Unterdrücke im Zentrum des Wirbels (p 50-100 hPa). Die oben liegende Kaltluft wird jetzt infolge des Unterdrucks im Wirbelkern und ihrer größeren Dichte als die unten liegende Warmluft, ähnlich einem Abflussrohr, nach unten gesaugt. Um diesen Wirbel kondensiert die feucht-warmen Luft und es kommt zur Ausbildung des charakteristischen dunklen Rüssels des Tornados. Die destruktive Wirkung eines Tornados ergibt sich insbesondere infolge des starken Druckgefälles von 50–100 hPa und den hohen Windgeschwindigkeiten von bis zu 400 km/h. Abb. 6-7: Tornados über Festland und Meer _________________________________________________________________________ Üb. 6-1: Versuch zur Drehimpulserhaltung - Tornado in der Wasserflasche Wasser in der oberen Flasche wird durch eine Anfangsbeschleunigung in eine Rotation mit einer Umfangsgeschwindigkeit c 2 f r r versetzt. geg.: Flasche: R 40 mm r 4[mm f1 1 s-1 = Anfangsradius = Wirbelinnendurchmesser = Anfangsdrehfrequenz ges.: Rotationsfrequenz f2 im Inneren des Tornados im Flaschenhals _________________________________________________________________________ Fluidmechanik Drallsatz 163 ___________________________________________________________________ 6.2 Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen Die Differenz zwischen aus- und eintretendem Drallstrom in einen Kontrollraum entspricht der Summer aller im Kontrollraum auf das Fluid wirkenden Momente Gl. 6-30: Gl. 6-31: L2 L1 m r2 c2 r1 c1 M dL M L dt m r c Der Drallstrom entspricht der Drehenergie der Fluidmasse um einen Bezugspunkt. durchströmten Schaufelkanal Anwendung des Drallsatzes auf einen mit m Summe aller Momente um O Gl. 6-32: M M M M M M A1 A2 W S G Moment infolge von M A1, 2 Druckkräften im Ein- und Austritt MW MS MG Abb. 6-8: Wandkräften Stützkräfte an Einbauten Gewichtskräften Schaufelkanal mit cn cu Projektion der Geschwindigkeit in die dargestellte Ebene Umfangskomponente der Geschwindigkeit senkrecht auf dem Radius r Gesucht werden die Drehmomente um eine Bezugsachse durch den Bezugspunkt O. Beiträge werden hierzu lediglich von Geschwindigkeitskomponenten geliefert, die in einer Ebene normal zur Bezugsachse und senkrecht auf dem Radius stehen, d.h. die Umfangskomponente cu der Geschwindigkeit c. Unter Vernachlässigung der Gewichtskraft und der Momente im Ein- und Austritt lautet das resultierende Moment zur Bezugsachse, welches auf das Fluid ausgeübt wird Gl. 6-33: M M M M A1 0 A2 0 W M S M G M W M S m r2 cu 2 r1 cu1 M 0 Das Reaktionsmoment des Fluids M K auf die körpergebundene Fläche der Stromröhre beträgt Gl. 6-34: M K M m r2 cu 2 r1 cu1 Fluidmechanik Drallsatz 164 ___________________________________________________________________ Unter der Annahme einer idealen, reibungsfreien Strömung werden die Momente infolge Reibung an der Wand zu Null, d.h. M W 0 . Befinden sich keine Einbauten, z.B. Umlenkschaufeln im Strömungskanal, so verschwinden auch die Momente infolge der Stützkräfte, d.h. M S 0 und Gl. 6-33 vereinfacht sich wegen M 0 zu Gl. 6-35: m r2 cu 2 r1 cu1 0 r2 cu 2 r1 cu1 bzw. cu 2 cu1 r1 r2 Dies entspricht der Gleichung des Potentialwirbels für Ringräume ohne Schaufeln oder für Behälter und Kanäle. Anwendung des Drallsatzes auf das Laufrad einer Strömungsmaschine (Verdichter) A1, 2 Ein- und Austrittsebene Ta1,a 2 Tangentialebenen zu A1, 2 c1, 2 Absolutgeschwindigkeiten cu1,u 2 Umfangsgeschwindigkeiten Gl. 6-36: w1, 2 cu1,u 2 c1, 2 cos 1, 2 Relativgeschwindigkeiten cm1,m 2 Gemittelte Geschwindigkeiten W 1, 2 Neigungswinkel der Tangentialebenen Für Axialmaschinen gilt: W 1, 2 0 Für Radialmaschine gilt: W 1, 2 90 und cn1 c1 , Abb. 6-9: cn 2 c2 Laufrad eines Verdichters Moment auf das Fluid im Kontrollraum Gl. 6-37: M m rm 2 cu 2 rm1 cu1 Übertragene Leistung P12 vom Laufrad auf das Fluid Mit dem mittleren Radius rm bzw. dem mittleren Durchmesser der Stromfläche Gl. 6-38: D rm m 2 2 bzw. DG DN Dm 2 2 und der Umfangsgeschwindigkeit u und der Drehzahl n Gl. 6-39: u r D n bzw. um rm Dm n Fluidmechanik Drallsatz 165 ___________________________________________________________________ ergibt sich für die auf das mit rotierende Laufrad übertragene Leistung P12 Gl. 6-40: P12 M m rm 2 cu 2 rm1 cu1 Gl. 6-41: P12 m um 2 cu 2 um1 cu1 Spezifische technische Arbeit wt12 ergibt die spez. technische Arbeit wt12 Die Leistung P12 bezogen auf den Massestrom m Gl. 6-42: P12 wt12 um 2 cu 2 um1 cu1 m Momente, die von feststehenden Leiträdern auf das Fluid ausgeübt werden Das Leitrad steht fest, d.h. es gilt = 0 und an den Leiträdern wird keine Leistung mit dem Fluid ausgetauscht, d.h. P12 wt12 0 . Das Leitrad nimmt das Reaktionsmoment M K M auf, welches sich durch Ersetzen der Umfangsgeschwindigkeiten cu1, u 2 in Gl. 6-37 durch die Absolutgeschwindigkeiten c1, 2 am Ein- und Austritt des Leitrades berechnen lässt. Gl. 6-43: M m rm 2 c2 rm1 c1 (Moment auf das Verdichtergehäuse) _________________________________________________________________________ Üb. 6-2: Laufrad einer Kreiselpumpe geg.: c1 10,15 m s c2 26,05 m s 1 80 Winkel zu cu1 2 22,6 Winkel zu cu 2 n 2950 min 1 DN 1 70 mm DG1 90 mm DN 2 174 mm DG 2 180 mm l2 4 ,5 mm ges.: durch die Pumpe (1) Massestrom m (2) Drehmoment M und innere Leistungsübertragung P12 vom Rotor auf das Fluid (3) Spezifische technische Arbeit wt12 und geleistete spezifische Strömungsarbeit yt am Fluid bei einem Gesamtwirkungsgrad von t = 0.7 Fluidmechanik Literatur 166 ___________________________________________________________________ Literatur [ 1] Anderson, J. D.: 'Computational Fluid Dynamics', McGraw-Hill Book Company,1995 [ 2] Anderson, J. D.: 'Fundamentals of Aerodynamics', McGraw-Hill Book Company,1985 [ 3] Anderson, J. D.: 'Hypersonic and High Temperatue Gas Dynamics', McGraw-Hill Book Company,1989 [ 4] Böswirth, L.: ’Technische Strömungslehre’, 7. Aufl., Vieweg, Wiesbaden 2007 [ 5] Dubs, F.: 'Hochgeschwindigkeits-Aerodynamik', Birkhäuser Verlag Basel, Stuttgart 1966 [ 6] Herwig, H.: ’Strömungsmechanik’, Springer Berlin, Heidelberg 2002 [ 7] Hucho, W.H.: ’Aerodynamik des Automobils’, 5. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2005 [ 8] Hünecke, K.: 'Modern Combat Aircraft Design', Naval Institute Press, Annapolis, Maryland 1987 [ 9] Koppenwallner, G. 'Fundamentals of Hypersonics: Aerodynamics and Heat Transfer', VKI Short Course Hypersonic Short Course Aerothermodynamics, Von Kármán Institute for Fluid Dynamics, Rhode Saint Genese, Belgium, LS 1984-01, 1984 [ 10] Kümmel, W.: ’Technische Strömungsmechanik’, 3. Aufl., Teubner Wiebaden 2007 [ 11] Liljequist G. 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