Lösung zu Rollkörper auf schiefer Ebene

Rollkörper auf schiefer Ebene - SystemPhysik
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Rollkörper auf schiefer Ebene
Aus SystemPhysik
Rollkörper auf der schiefen Ebene sind ein beliebtes und altes Thema der Schulphysik. Entsprechend
vielfältig sind die Lösungswege. Man sollte sich aber auch hier vor der Ein-Problem-eine-FormelMethode hüten und systematisch vorgehen.
Problemstellung: Ein Rollkörper (Masse m, Massenträgheitsmoment J, Rollradius r) wird auf eine
schiefe Ebene (Neigungswinkel β) gesetzt. Danach rollt er ohne zu rutschen hinunter. Die
Rollreibung ist zu vernachlässigen.
1. Man schneide den Körper zuerst frei; man zeichne also alle Kräfte ein, die auf den Rollkörper
einwirken.
2. Nun formuliere man die Bilanzgleichungen zusammen mit
den zugehörigen kapazitiven Gesetzen (Grundgesetze der
Mechanik).
3. Man bestimme mit Hilfe der Rollbedingung die
Beschleunigung des Massenmittelpunktes.
4. Die gleiche Formel soll mit Hilfe der Energiebilanz gefunden
werden. Dazu bilanziere man die Änderungsraten der
verschiedenen Energie"formen".
5. Als Anwendung zu diesem Problem lassen wir eine
homogene Kugel (Radius R, Massenträgheitsmoment ) auf
den beiden Kanten eines U-förmigen Profilstabes hinunter
rollen. Wie breit muss der Profilstab-Querschnitt sein, damit
die Kugel möglichst schnell unten ankommt? Die beiden
Kanten des Profilstabes, auf denen die Kugel rollt, sind so
beschaffen, dass die Dissipation vernachlässigt werden kann.
Querschnitt
Lösung
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Lösung zu Rollkörper auf schiefer Ebene - SystemPhysik
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Lösung zu Rollkörper auf schiefer Ebene
Aus SystemPhysik
Auf den Rollkörper wirken nur das Gravitationsfeld und die Unterlage ein. Die Wirkung des
Gravitationsfeldes (Stärke der Impulsquelle) heisst Gewichtskraft. Die Wirkung der Unterlage kann
in eine Normalkraft und eine Haftreibungskraft zerlegt werden (die Rollreibung würde ein
zusätzliches Drehmoment erzeugen).
1. Das Schnittbild zeigt die drei Kräfte, die auf den Rollkörper
einwirken.
2. In der Ebene kann ein starrer Körper nur zwei "Sorten" Impuls
und eine "Sorte" Drehimpuls mit der Umgebung austauschen.
Kombiniert man die Bilanzgesetze mit den zugehörigen kapazitiven
Gesetzen, erhält man die Grundgesetze der Mechanik
x-Impuls:
y-Impuls:
z-Drehimpuls:
Die y-Bilanz muss beigezogen werden, wenn man prüfen will, ob
die Bedingung bezüglich Rollen (maximal mögliche
Haftreibungskraft) nicht verletzt wird. Nachfolgend werden die
Indizes x, y und z weggelassen.
Schnittbild (free body
diagram)
3. Die Rollbedingung verlangt, dass die Geschwindigkeit des
Massenmittelpunktes gleich Winkelgeschwindigkeit mal Abrollradius r ist. Leitet man diese
Beziehung nach der Zeit ab, erhält man die analoge Aussage bezüglich Beschleunigung und
Winkelbeschleunigung. Damit reduziert sich das Gleichungssystem auf
x-Impulsbilanz:
z-Drehimpulsbilanz:
oder aufgelöst nach der Beschleunigung des Massenmittelpunktes (die 2. Gleichung nach FHR
auflösen und in die 1. Gleichung einsetzen, diese dann nach auflösen):
mit dem Faktor
Setzt man den Faktor k gleich eins, erhält man die Beschleunigung eines reibungsfrei gleitenden
Körpers.
4. Der Weg über die Energiebilanz ist schneller, liefert aber keine Informationen zu den
Zwangskräften (Normalkraft und Haftreibungskraft)
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Lösung zu Rollkörper auf schiefer Ebene - SystemPhysik
Die Geschwindigkeit hängt mit der Änderungsrate der Höhe zusammen:
Hilfe der Rollbedingung eliminiert man ω und seine Änderungsrate und erhält
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. Mit
und daraus dann die gleiche Formel wie oben.
5. Die Kugel wird umso stärker beschleunigt, je kleiner der Faktor k ist, d.h. je weniger er von eins
abweicht und je kleiner das Verhältnis des Massenträgheitsmoments zu Masse mal Quadrat des
Abrollradius r ist. Mit dem Massenträgheitsmoment der Kugel J = 2/5 m R2 und Kugelradius R wird
Die Kugel ist somit um so schneller, je weniger sich Abroll- und Kugelradius unterscheiden oder je
kleiner die vom U-Profil gebildete "Spurweite" ist. Diese ist im Grenzfall 0 und beide Radien sind
gleich.
Aufgabe
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