Einstein und die Raumzeit
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Einstein und die Raumzeit - eine krumme Sache? Die wichtigsten Ideen der Allgemeinen Relativitätstheorie Moritz Greif 19.04.2012 Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 1 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Outline 1 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Träge und schwere Masse Äquivalenzprinzip 2 Raumzeit Geodäten Beschreibung von beliebigen Geometrien Metrik Geodäten und Christoelsymbole Parallelverschiebung Gekrümmte Räume und Krümmungstensor 3 Die Einsteinschen Feldgleichungen Energie-Impuls-Tensor Feldgleichungen 4 Experimentelle Tests der ART 5 Anhang: Krümmung 6 References Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 2 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Träge und schwere Masse Masse !? Galileo in Pisa: Alle Körper fallen gleich schnell Frage: Was bewirkt Masse? Newton's Antwort 1687: Es wirkt eine Kraft F =G mit Massen F: m1 · m2 r2 m1 , m2 , Gravitationskonstante G und dem Abstand der Massen Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) r. 19.04.2012 3 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Träge und schwere Masse Masse !? Galileo in Pisa: Alle Körper fallen gleich schnell Frage: Was bewirkt Masse? Newton's Antwort 1687: Es wirkt eine Kraft F =G mit Massen F: m1 · m2 r2 m1 , m2 , Gravitationskonstante G und dem Abstand der Massen Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) r. 19.04.2012 3 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Träge und schwere Masse Masse !? Galileo in Pisa: Alle Körper fallen gleich schnell Frage: Was bewirkt Masse? Newton's Antwort 1687: Es wirkt eine Kraft F =G mit Massen F: m1 · m2 r2 m1 , m2 , Gravitationskonstante G und dem Abstand der Massen Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) r. 19.04.2012 3 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Träge und schwere Masse Das Äquivalenzprinzip: Träge und schwere Masse träge Masse Kraft wirkt: Körper beschleunigt (Kraft F , träge Masse mt , F = mt · a a) Beschleunigung schwere Masse Schwerkraft auf Körper proportional zu (Kraft F, schwere Masse Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) ms , schwerer Fg = ms · g g = 9, 81 sm2 ) Masse: Gravitationskonstante 19.04.2012 4 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Träge und schwere Masse Das Äquivalenzprinzip: Träge und schwere Masse träge Masse Kraft wirkt: Körper beschleunigt (Kraft F , träge Masse mt , F = mt · a a) Beschleunigung schwere Masse Schwerkraft auf Körper proportional zu (Kraft F, schwere Masse Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) ms , schwerer Fg = ms · g g = 9, 81 sm2 ) Masse: Gravitationskonstante 19.04.2012 4 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Äquivalenzprinzip Verschiedene Experimente zeigen: nicht messbarer Unterschied zwischen träger und schwerer Masse! Einstein: Trägheit und Gravitation sind ununterscheidbar! Beispiel: Fallender Aufzug Schwerelosigkeit = keine Gravitation ALLE physikalischen Gesetze wie ohne Gravitation Gilt exakt nur bei homogenem Gravitationsfeld Schon Aussage des Äquivalenzprinzips! wichtigste Annahme Einsteins zur ART! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 5 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Äquivalenzprinzip Verschiedene Experimente zeigen: nicht messbarer Unterschied zwischen träger und schwerer Masse! Einstein: Trägheit und Gravitation sind ununterscheidbar! Beispiel: Fallender Aufzug Schwerelosigkeit = keine Gravitation ALLE physikalischen Gesetze wie ohne Gravitation Gilt exakt nur bei homogenem Gravitationsfeld Schon Aussage des Äquivalenzprinzips! wichtigste Annahme Einsteins zur ART! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 5 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Äquivalenzprinzip Verschiedene Experimente zeigen: nicht messbarer Unterschied zwischen träger und schwerer Masse! Einstein: Trägheit und Gravitation sind ununterscheidbar! Beispiel: Fallender Aufzug Schwerelosigkeit = keine Gravitation ALLE physikalischen Gesetze wie ohne Gravitation Gilt exakt nur bei homogenem Gravitationsfeld Schon Aussage des Äquivalenzprinzips! wichtigste Annahme Einsteins zur ART! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 5 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Äquivalenzprinzip Verschiedene Experimente zeigen: nicht messbarer Unterschied zwischen träger und schwerer Masse! Einstein: Trägheit und Gravitation sind ununterscheidbar! Beispiel: Fallender Aufzug Schwerelosigkeit = keine Gravitation ALLE physikalischen Gesetze wie ohne Gravitation Gilt exakt nur bei homogenem Gravitationsfeld Schon Aussage des Äquivalenzprinzips! wichtigste Annahme Einsteins zur ART! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 5 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Äquivalenzprinzip Verschiedene Experimente zeigen: nicht messbarer Unterschied zwischen träger und schwerer Masse! Einstein: Trägheit und Gravitation sind ununterscheidbar! Beispiel: Fallender Aufzug Schwerelosigkeit = keine Gravitation ALLE physikalischen Gesetze wie ohne Gravitation Gilt exakt nur bei homogenem Gravitationsfeld Schon Aussage des Äquivalenzprinzips! wichtigste Annahme Einsteins zur ART! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 5 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Äquivalenzprinzip Starkes Äquivalenzprinzip In jedem Raum-Zeitpunkt in einem beliebigen Gravitationsfeld ist es möglich ein lokales, frei fallendes System einzuführen (Inertialsystem), in dem alle physikalischen Gesetze in genügend kleiner Umgebung dieselbe Form haben wie ohne Gravitationsfeld. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 6 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Gedankenexperiment: Aufzug Auf der Erde, mit wirkendem Gravitationsfeld! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 7 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Gedankenexperiment: Aufzug Irgendwo im Weltraum, ohne Gravitationsfeld! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 8 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Äquivalenzprinzip Wirkung des Äquivalenzprinzips: Lichtablenkung Beispiel: Berechne Lichtablenkung: Geschwindigkeit v= Strecke Zeit Bewegungsgleichung beschleunigte Bew: Zeit x(t) = 21 gt2 t, Beschleunigung Ortskoordinate Ergebnis: g, x ∆x = 12 g a 2 c Gilt genauso auf Erdoberäche (im Gravitationsfeld)! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 9 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Äquivalenzprinzip Wirkung des Äquivalenzprinzips: Lichtablenkung Beispiel: Berechne Lichtablenkung: Geschwindigkeit v= Strecke Zeit Bewegungsgleichung beschleunigte Bew: Zeit x(t) = 21 gt2 t, Beschleunigung Ortskoordinate Ergebnis: g, x ∆x = 21 g a 2 c Gilt genauso auf Erdoberäche (im Gravitationsfeld)! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 9 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Äquivalenzprinzip Wirkung des Äquivalenzprinzips: Lichtablenkung Beispiel: Berechne Lichtablenkung: Geschwindigkeit v= Strecke Zeit Bewegungsgleichung beschleunigte Bew: Zeit x(t) = 21 gt2 t, Beschleunigung Ortskoordinate Ergebnis: g, x ∆x = 21 g a 2 c Gilt genauso auf Erdoberäche (im Gravitationsfeld)! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 9 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Äquivalenzprinzip Wirkung des Äquivalenzprinzips: Lichtablenkung Beispiel: Berechne Lichtablenkung: Geschwindigkeit v= Strecke Zeit Bewegungsgleichung beschleunigte Bew: Zeit x(t) = 21 gt2 t, Beschleunigung Ortskoordinate Ergebnis: g, x ∆x = 21 g a 2 c Gilt genauso auf Erdoberäche (im Gravitationsfeld)! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 9 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Äquivalenzprinzip Wirkung des Äquivalenzprinzips: Lichtablenkung Beispiel: Berechne Lichtablenkung: Geschwindigkeit v= Strecke Zeit Bewegungsgleichung beschleunigte Bew: Zeit x(t) = 21 gt2 t, Beschleunigung Ortskoordinate Ergebnis: g, x ∆x = 21 g a 2 c Gilt genauso auf Erdoberäche (im Gravitationsfeld)! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 9 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Äquivalenzprinzip Wirkung des Äquivalenzprinzips: Lichtablenkung Beispiel: Berechne Lichtablenkung: Geschwindigkeit v= Strecke Zeit Bewegungsgleichung beschleunigte Bew: Zeit x(t) = 21 gt2 t, Beschleunigung Ortskoordinate Ergebnis: g, x ∆x = 21 g a 2 c Gilt genauso auf Erdoberäche (im Gravitationsfeld)! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 9 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Äquivalenzprinzip Gravitation ist eine Eigenschaft des Raumes an sich! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 10 Raumzeit Outline 1 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Träge und schwere Masse Äquivalenzprinzip 2 Raumzeit Geodäten Beschreibung von beliebigen Geometrien Metrik Geodäten und Christoelsymbole Parallelverschiebung Gekrümmte Räume und Krümmungstensor 3 Die Einsteinschen Feldgleichungen Energie-Impuls-Tensor Feldgleichungen 4 Experimentelle Tests der ART 5 Anhang: Krümmung 6 References Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 11 Raumzeit Geodäten Idee: Gravitation als Scheinkraft !? Gravitations-"Kraft": freie Bewegung auf Geodäte in gekrümmter Raumzeit! Geodäte: Kürzester Pfad zwischen zwei Punkten auf beliebiger n-dimensionaler Oberäche. Raumzeit: 4-dimensionales Koordinatensystem in dem wir leben! Koordinaten: xi = x0 =Zeit, Ortskoordinaten (i Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) = 1, 2, 3) 19.04.2012 12 Raumzeit Beschreibung von beliebigen Geometrien Wie kann man eine Oberäche charakterisieren? wichtig: Abstandsmessungen Damit: suche Geodätengleichungen nützliches Hilfsmittel: angepasste Koordinatensysteme Beipiel: Längen/Breitengrade auf Kugeloberäche mathematisch: Metrik beschreibt beliebiges Koordinatensystem ermöglicht Längen/Abstandsmessung ermöglicht Herleitung der Geodätengleichung später: Energie (Masse) beeinusst Raum... ...Raum beschrieben durch die Metrik! Was genau ist also diese Metrik? Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 13 Raumzeit Beschreibung von beliebigen Geometrien Wie kann man eine Oberäche charakterisieren? wichtig: Abstandsmessungen Damit: suche Geodätengleichungen nützliches Hilfsmittel: angepasste Koordinatensysteme Beipiel: Längen/Breitengrade auf Kugeloberäche mathematisch: Metrik beschreibt beliebiges Koordinatensystem ermöglicht Längen/Abstandsmessung ermöglicht Herleitung der Geodätengleichung später: Energie (Masse) beeinusst Raum... ...Raum beschrieben durch die Metrik! Was genau ist also diese Metrik? Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 13 Raumzeit Beschreibung von beliebigen Geometrien Wie kann man eine Oberäche charakterisieren? wichtig: Abstandsmessungen Damit: suche Geodätengleichungen nützliches Hilfsmittel: angepasste Koordinatensysteme Beipiel: Längen/Breitengrade auf Kugeloberäche mathematisch: Metrik beschreibt beliebiges Koordinatensystem ermöglicht Längen/Abstandsmessung ermöglicht Herleitung der Geodätengleichung später: Energie (Masse) beeinusst Raum... ...Raum beschrieben durch die Metrik! Was genau ist also diese Metrik? Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 13 Raumzeit Beschreibung von beliebigen Geometrien Wie kann man eine Oberäche charakterisieren? wichtig: Abstandsmessungen Damit: suche Geodätengleichungen nützliches Hilfsmittel: angepasste Koordinatensysteme Beipiel: Längen/Breitengrade auf Kugeloberäche mathematisch: Metrik beschreibt beliebiges Koordinatensystem ermöglicht Längen/Abstandsmessung ermöglicht Herleitung der Geodätengleichung später: Energie (Masse) beeinusst Raum... ...Raum beschrieben durch die Metrik! Was genau ist also diese Metrik? Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 13 Raumzeit Beschreibung von beliebigen Geometrien Wie kann man eine Oberäche charakterisieren? wichtig: Abstandsmessungen Damit: suche Geodätengleichungen nützliches Hilfsmittel: angepasste Koordinatensysteme Beipiel: Längen/Breitengrade auf Kugeloberäche mathematisch: Metrik beschreibt beliebiges Koordinatensystem ermöglicht Längen/Abstandsmessung ermöglicht Herleitung der Geodätengleichung später: Energie (Masse) beeinusst Raum... ...Raum beschrieben durch die Metrik! Was genau ist also diese Metrik? Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 13 Raumzeit Beschreibung von beliebigen Geometrien Wie kann man eine Oberäche charakterisieren? wichtig: Abstandsmessungen Damit: suche Geodätengleichungen nützliches Hilfsmittel: angepasste Koordinatensysteme Beipiel: Längen/Breitengrade auf Kugeloberäche mathematisch: Metrik beschreibt beliebiges Koordinatensystem ermöglicht Längen/Abstandsmessung ermöglicht Herleitung der Geodätengleichung später: Energie (Masse) beeinusst Raum... ...Raum beschrieben durch die Metrik! Was genau ist also diese Metrik? Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 13 Raumzeit Beschreibung von beliebigen Geometrien Wie kann man eine Oberäche charakterisieren? wichtig: Abstandsmessungen Damit: suche Geodätengleichungen nützliches Hilfsmittel: angepasste Koordinatensysteme Beipiel: Längen/Breitengrade auf Kugeloberäche mathematisch: Metrik beschreibt beliebiges Koordinatensystem ermöglicht Längen/Abstandsmessung ermöglicht Herleitung der Geodätengleichung später: Energie (Masse) beeinusst Raum... ...Raum beschrieben durch die Metrik! Was genau ist also diese Metrik? Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 13 Raumzeit Beschreibung von beliebigen Geometrien Wie kann man eine Oberäche charakterisieren? wichtig: Abstandsmessungen Damit: suche Geodätengleichungen nützliches Hilfsmittel: angepasste Koordinatensysteme Beipiel: Längen/Breitengrade auf Kugeloberäche mathematisch: Metrik beschreibt beliebiges Koordinatensystem ermöglicht Längen/Abstandsmessung ermöglicht Herleitung der Geodätengleichung später: Energie (Masse) beeinusst Raum... ...Raum beschrieben durch die Metrik! Was genau ist also diese Metrik? Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 13 Raumzeit Beschreibung von beliebigen Geometrien Wie kann man eine Oberäche charakterisieren? wichtig: Abstandsmessungen Damit: suche Geodätengleichungen nützliches Hilfsmittel: angepasste Koordinatensysteme Beipiel: Längen/Breitengrade auf Kugeloberäche mathematisch: Metrik beschreibt beliebiges Koordinatensystem ermöglicht Längen/Abstandsmessung ermöglicht Herleitung der Geodätengleichung später: Energie (Masse) beeinusst Raum... ...Raum beschrieben durch die Metrik! Was genau ist also diese Metrik? Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 13 Raumzeit Beschreibung von beliebigen Geometrien Wie kann man eine Oberäche charakterisieren? wichtig: Abstandsmessungen Damit: suche Geodätengleichungen nützliches Hilfsmittel: angepasste Koordinatensysteme Beipiel: Längen/Breitengrade auf Kugeloberäche mathematisch: Metrik beschreibt beliebiges Koordinatensystem ermöglicht Längen/Abstandsmessung ermöglicht Herleitung der Geodätengleichung später: Energie (Masse) beeinusst Raum... ...Raum beschrieben durch die Metrik! Was genau ist also diese Metrik? Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 13 Raumzeit Metrik Linienelement Was ist ein Linienelement? Dazu zuerst: Satz des Pythagoras: Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 14 Raumzeit Metrik Linienelement Was ist ein Linienelement? Dazu zuerst: Satz des Pythagoras: Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 14 Raumzeit Metrik Euklidischer Raum 5. Axiom des Euklid Zwei Geraden schneiden sich auf der Seite einer dritten, auf der die Winkelsumme < 180◦ ist. Aus Schule und Alltag: alles Euklidisch! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 15 Raumzeit Metrik Linienelement Nun im Euklidischen 2D-Koordinatensystem: Achsen: x1 x2 und Betrag (Länge) des Ortsvektors: |~r| Klaro: 2 Phytagoras...|~ r| = x21 + x22 (Also ist die Länge des Ortsvektors Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) |~r| = p x21 + x22 ) 19.04.2012 16 Raumzeit Metrik Linienelement Nun im Euklidischen 2D-Koordinatensystem: Achsen: x1 x2 und Betrag (Länge) des Ortsvektors: |~r| Klaro: 2 Phytagoras...|~ r| = x21 + x22 (Also ist die Länge des Ortsvektors Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) |~r| = p x21 + x22 ) 19.04.2012 16 Raumzeit Metrik Linienelement Nun im Euklidischen 2D-Koordinatensystem: Achsen: x1 x2 und Betrag (Länge) des Ortsvektors: |~r| Klaro: 2 Phytagoras...|~ r| = x21 + x22 (Also ist die Länge des Ortsvektors Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) |~r| = p x21 + x22 ) 19.04.2012 16 Raumzeit Metrik Linienelement Nun im Euklidischen 2D-Koordinatensystem: Achsen: x1 x2 und Betrag (Länge) des Ortsvektors: |~r| Klaro: 2 Phytagoras...|~ r| = x21 + x22 (Also ist die Länge des Ortsvektors Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) |~r| = p x21 + x22 ) 19.04.2012 16 Raumzeit Metrik Linienelement Nun im Euklidischen 2D-Koordinatensystem: Wir machen den Vektor unendlich klein Unendlich kleine Gröÿen haben ein Bsp.: dx1 : Stück auf d als Vorsilbe unendlich kleines x1 −Achse Deswegen jetzt: d~r2 = dx21 + dx22 dr heiÿt Linienelement (meistens ds) Hier im Euklidischen, achen, 2D-Raum! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 17 Raumzeit Metrik Linienelement Nun im Euklidischen 2D-Koordinatensystem: Wir machen den Vektor unendlich klein Unendlich kleine Gröÿen haben ein Bsp.: dx1 : Stück auf d als Vorsilbe unendlich kleines x1 −Achse Deswegen jetzt: d~r2 = dx21 + dx22 dr heiÿt Linienelement (meistens ds) Hier im Euklidischen, achen, 2D-Raum! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 17 Raumzeit Metrik Linienelement Nun im Euklidischen 2D-Koordinatensystem: Wir machen den Vektor unendlich klein Unendlich kleine Gröÿen haben ein Bsp.: dx1 : Stück auf d als Vorsilbe unendlich kleines x1 −Achse Deswegen jetzt: d~r2 = dx21 + dx22 dr heiÿt Linienelement (meistens ds) Hier im Euklidischen, achen, 2D-Raum! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 17 Raumzeit Metrik Linienelement Nun im Euklidischen 2D-Koordinatensystem: Wir machen den Vektor unendlich klein Unendlich kleine Gröÿen haben ein Bsp.: dx1 : Stück auf d als Vorsilbe unendlich kleines x1 −Achse Deswegen jetzt: d~r2 = dx21 + dx22 dr heiÿt Linienelement (meistens ds) Hier im Euklidischen, achen, 2D-Raum! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 17 Raumzeit Metrik Linienelement Nun im Euklidischen 2D-Koordinatensystem: Wir machen den Vektor unendlich klein Unendlich kleine Gröÿen haben ein Bsp.: dx1 : Stück auf d als Vorsilbe unendlich kleines x1 −Achse Deswegen jetzt: d~r2 = dx21 + dx22 dr heiÿt Linienelement (meistens ds) Hier im Euklidischen, achen, 2D-Raum! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 17 Raumzeit Metrik Linienelement Nun im Euklidischen 2D-Koordinatensystem: Wir machen den Vektor unendlich klein Unendlich kleine Gröÿen haben ein Bsp.: dx1 : Stück auf d als Vorsilbe unendlich kleines x1 −Achse Deswegen jetzt: d~r2 = dx21 + dx22 dr heiÿt Linienelement (meistens ds) Hier im Euklidischen, achen, 2D-Raum! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 17 Raumzeit Metrik Linienelement Wir wollen nun das Linienelement verallgemeinern! Nützlich: Einsteinsche Summenkonvention Summiert wird über Bsp: Ai C i = P doppelt vorkommende Indizes! Ai Ci = A1 C1 + A2 C2 + ... i Ai Bk Ci = Bk (A1 C1 + A2 C2 + ...) Von vorher: d~r2 = dx21 + dx22 Wir schreiben jetzt (Umbenennung dr = ds üblich): ds2 = dx21 + dx22 = dx1 dx1 + dx2 dx2 = dxi dxi mit i = 1, 2. (2-dimensionales Koordinatensystem!) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 18 Raumzeit Metrik Linienelement Wir wollen nun das Linienelement verallgemeinern! Nützlich: Einsteinsche Summenkonvention Summiert wird über Bsp: Ai C i = P doppelt vorkommende Indizes! Ai Ci = A1 C1 + A2 C2 + ... i Ai Bk Ci = Bk (A1 C1 + A2 C2 + ...) Von vorher: d~r2 = dx21 + dx22 Wir schreiben jetzt (Umbenennung dr = ds üblich): ds2 = dx21 + dx22 = dx1 dx1 + dx2 dx2 = dxi dxi mit i = 1, 2. (2-dimensionales Koordinatensystem!) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 18 Raumzeit Metrik Linienelement Wir wollen nun das Linienelement verallgemeinern! Nützlich: Einsteinsche Summenkonvention Summiert wird über Bsp: Ai C i = P doppelt vorkommende Indizes! Ai Ci = A1 C1 + A2 C2 + ... i Ai Bk Ci = Bk (A1 C1 + A2 C2 + ...) Von vorher: d~r2 = dx21 + dx22 Wir schreiben jetzt (Umbenennung dr = ds üblich): ds2 = dx21 + dx22 = dx1 dx1 + dx2 dx2 = dxi dxi mit i = 1, 2. (2-dimensionales Koordinatensystem!) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 18 Raumzeit Metrik Linienelement Wir wollen nun das Linienelement verallgemeinern! Nützlich: Einsteinsche Summenkonvention Summiert wird über Bsp: Ai C i = P doppelt vorkommende Indizes! Ai Ci = A1 C1 + A2 C2 + ... i Ai Bk Ci = Bk (A1 C1 + A2 C2 + ...) Von vorher: d~r2 = dx21 + dx22 Wir schreiben jetzt (Umbenennung dr = ds üblich): ds2 = dx21 + dx22 = dx1 dx1 + dx2 dx2 = dxi dxi mit i = 1, 2. (2-dimensionales Koordinatensystem!) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 18 Raumzeit Metrik Linienelement Deniere jetzt: g 11 = 1 g 12 = 0 g 21 = 0 g 22 = 1 Damit gilt dann ds2 = dx1 dx1 + dx2 dx2 = g ik dxi dxk mit i, k = 1, 2, g heiÿt dieses kleine Metrik. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 19 Raumzeit Metrik Linienelement Deniere jetzt: g 11 = 1 g 12 = 0 g 21 = 0 g 22 = 1 Damit gilt dann ds2 = dx1 dx1 + dx2 dx2 = g ik dxi dxk mit i, k = 1, 2, g heiÿt dieses kleine Metrik. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 19 Raumzeit Metrik Linienelement Deniere jetzt: g 11 = 1 g 12 = 0 g 21 = 0 g 22 = 1 Damit gilt dann ds2 = dx1 dx1 + dx2 dx2 = g ik dxi dxk mit i, k = 1, 2, g heiÿt dieses kleine Metrik. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 19 Raumzeit Metrik Metrik als Matrix Wir können unsere Metrik g 11 = 1 g 12 = 0 g 21 = 0 g 22 = 1 auch so schreiben g= 1 0 0 1 mit Zeile 1 Zeile 2 ⇒ ⇒ Spalte 1 Spalte 2 ⇓ 1 0 ⇓ 0 1 Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) Also sind die Indizes der Matrixelemente : g Zeile Spalte 19.04.2012 20 Raumzeit Metrik Metrik Die Metrik ist äuÿerst wichtig in Dierentialgeometrie und allgemeiner Relativitätstheorie! Sie hat für verschiedene Geometrien (meistens) eine andere Form.Ohne Gravitation gilt im Universum: 1 0 0 0 0 −1 0 0 g= 0 0 −1 0 0 0 0 −1 −→ Masse/Energie beeinusst Metrik! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 21 Raumzeit Metrik Metrik Die Metrik ist äuÿerst wichtig in Dierentialgeometrie und allgemeiner Relativitätstheorie! Sie hat für verschiedene Geometrien (meistens) eine andere Form.Ohne Gravitation gilt im Universum: 1 0 0 0 0 −1 0 0 g= 0 0 −1 0 0 0 0 −1 −→ Masse/Energie beeinusst Metrik! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 21 Raumzeit Metrik Metrik Die Metrik ist äuÿerst wichtig in Dierentialgeometrie und allgemeiner Relativitätstheorie! Sie hat für verschiedene Geometrien (meistens) eine andere Form.Ohne Gravitation gilt im Universum: 1 0 0 0 0 −1 0 0 g= 0 0 −1 0 0 0 0 −1 −→ Masse/Energie beeinusst Metrik! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 21 Raumzeit Metrik Beispiel Kugeloberäche Wir suchen die Metrik der Kugel! Praktisches Koordinatensystem auf der Kugel: Längen/Breitengrade Mathematischer: Polarwinkel ϕ (Längengrad) Azimutwinkel θ (Breitengrad) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 22 Raumzeit Metrik Beispiel Kugeloberäche Kugelkoordinaten Koordinaten jetzt nicht mehr und x2 , sondern ϕ und x1 θ (Polar/Azimutwinkel) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 23 Raumzeit Metrik Beispiel Kugeloberäche R = const.) 2 R 0 g= 0 R2 sin2 θ Metrik der Kugeloberäche (Radius Mit Koordinaten θ, ϕ ergibt sich daraus das Linienelement: ds2 = R2 dθ2 + R2 sin2 θ dϕ2 Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 24 Raumzeit Metrik Beispiel Kugeloberäche Linienelement ermöglicht z.B. Abstandsmessung Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 25 Raumzeit Metrik Beispiel Kugeloberäche Linienelement ermöglicht z.B. Abstandsmessung Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 25 Raumzeit Metrik Anderes Beispiel Schwarzschildmetrik Metrik kann kompliziert aussehen: 1 − rRS 0 g= 0 0 0 0 0 1 −1 rS R 0 0 0 0 −R2 0 2 0 −R sin2 Θ (Näheres hierzu am Ende des Vortrags) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 26 Raumzeit Geodäten und Christoelsymbole Geodäten In Euklidischer Ebene: Gerade Auf Kugel: Groÿkreise Pfad eines frei fallenden Körpers in der Raumzeit Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 27 Raumzeit Geodäten und Christoelsymbole Geodäten: Zuerst Euklidisch Newtonsche Mechanik Newton's Axiom: Beschleunigung = Kraft durch Masse: d2 x(t) dt2 = F m Ohne Kraft: Bewegung auf Geodäte, Bewegung auf "kürzester"Verbindung zwischen zwei Punkten... Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 28 Raumzeit Geodäten und Christoelsymbole Geodäten Beispiel: Geodätenbewegung im Euklidischen Raum 1 Raum: 3-D, Koordinaten 2 Keine Kraft wirkt: 3 Dann sagt Newton: 4 1. mal Integrieren: Z 5 d2 x(t) dt2 d2 x(t) dt = 0 dt2 = d2 y(t) dt2 = d2 z(t) dt2 =0 (Zeit: t) ⇐⇒ d x(t) = vx , vx = const. dt vx dt ⇐⇒ 2. mal Integrieren: Z 6 x, y, z F~ = 0 Für y und d x(t) dt = dt z Z x(t) = vx t + x0 genauso.. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 29 Raumzeit Geodäten und Christoelsymbole Geodäten Beispiel: Geodätenbewegung im Euklidischen Raum 1 Raum: 3-D, Koordinaten 2 Keine Kraft wirkt: 3 Dann sagt Newton: 4 1. mal Integrieren: Z 5 d2 x(t) dt2 d2 x(t) dt = 0 dt2 = d2 y(t) dt2 = d2 z(t) dt2 =0 (Zeit: t) ⇐⇒ d x(t) = vx , vx = const. dt vx dt ⇐⇒ 2. mal Integrieren: Z 6 x, y, z F~ = 0 Für y und d x(t) dt = dt z Z x(t) = vx t + x0 genauso.. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 29 Raumzeit Geodäten und Christoelsymbole Geodäten Beispiel: Geodätenbewegung im Euklidischen Raum 1 Raum: 3-D, Koordinaten 2 Keine Kraft wirkt: 3 Dann sagt Newton: 4 1. mal Integrieren: Z 5 d2 x(t) dt2 d2 x(t) dt = 0 dt2 = d2 y(t) dt2 = d2 z(t) dt2 =0 (Zeit: t) ⇐⇒ d x(t) = vx , vx = const. dt vx dt ⇐⇒ 2. mal Integrieren: Z 6 x, y, z F~ = 0 Für y und d x(t) dt = dt z Z x(t) = vx t + x0 genauso.. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 29 Raumzeit Geodäten und Christoelsymbole Geodäten Beispiel: Geodätenbewegung im Euklidischen Raum 1 Raum: 3-D, Koordinaten 2 Keine Kraft wirkt: 3 Dann sagt Newton: 4 1. mal Integrieren: Z 5 d2 x(t) dt2 d2 x(t) dt = 0 dt2 = d2 y(t) dt2 = d2 z(t) dt2 =0 (Zeit: t) ⇐⇒ d x(t) = vx , vx = const. dt vx dt ⇐⇒ 2. mal Integrieren: Z 6 x, y, z F~ = 0 Für y und d x(t) dt = dt z Z x(t) = vx t + x0 genauso.. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 29 Raumzeit Geodäten und Christoelsymbole Geodäten Beispiel: Geodätenbewegung im Euklidischen Raum 1 Raum: 3-D, Koordinaten 2 Keine Kraft wirkt: 3 Dann sagt Newton: 4 1. mal Integrieren: Z 5 d2 x(t) dt2 d2 x(t) dt = 0 dt2 = d2 y(t) dt2 = d2 z(t) dt2 =0 (Zeit: t) ⇐⇒ d x(t) = vx , vx = const. dt vx dt ⇐⇒ 2. mal Integrieren: Z 6 x, y, z F~ = 0 Für y und d x(t) dt = dt z Z x(t) = vx t + x0 genauso.. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 29 Raumzeit Geodäten und Christoelsymbole Geodäten Beispiel: Geodätenbewegung im Euklidischen Raum 1 Raum: 3-D, Koordinaten 2 Keine Kraft wirkt: 3 Dann sagt Newton: 4 1. mal Integrieren: Z 5 d2 x(t) dt2 d2 x(t) dt = 0 dt2 = d2 y(t) dt2 = d2 z(t) dt2 =0 (Zeit: t) ⇐⇒ d x(t) = vx , vx = const. dt vx dt ⇐⇒ 2. mal Integrieren: Z 6 x, y, z F~ = 0 Für y und d x(t) dt = dt z Z x(t) = vx t + x0 genauso.. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 29 Raumzeit Geodäten und Christoelsymbole Geodäten Beispiel: Geodätenbewegung im Euklidischen Raum Ergebnis: vx t + x0 ~r(t) = vy t + y0 vz t + z0 Geradlinige, gleichförmige, unbeschleunigte Bewegung im Raum! Mit: Anfangsort bei (x0 , y0 , z0 ) Konstante Geschwindigkeit Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) ~v = (vx , vy , vz ) 19.04.2012 30 Raumzeit Geodäten und Christoelsymbole Geodäten Beispiel: Geodätenbewegung im Euklidischen Raum Bewegung sieht in z = 0-Ebene Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) z.B. so aus: 19.04.2012 31 Raumzeit Geodäten und Christoelsymbole Geodäten Jetzt: Geodätische Bewegung im allgemeinen Raum, beschrieben durch eine Metrik g. Man erhält als Bewegungsgleichung für die Bahn eines freien Teilchens: j k d2 xi i dx dx + Γ =0 kj ds2 ds ds Diese Gleichung beschreibt die metrische Geodäte. Γikj metrischer Zusammenhang oder =⇒ Dabei heiÿt =⇒ Diese Gleichung gilt in Christoel-Symbol. jedem Koordinatensystem für beliebige Oberächen!!! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 32 Raumzeit Geodäten und Christoelsymbole metrischer Zusammenhang Das Christoel-Symbol ist leicht aus der Metrik zu berechnen... Γhki ≡ 1 X hl g [glk|i + gli|k − gik|l ] 2 l (Der senkrechte Strich |i bedeutet die Ableitung nach der i-ten Ortskoordinate) Beschreibt den Unterschied zum Euklidischen Raum Ist in 4 Dimensionen ein Objekt mit Ist die Metrik g konstant, ist Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 4 · 4 · 4 = 64 Zahlen Γikj = 0 19.04.2012 33 Raumzeit Geodäten und Christoelsymbole Beispiel Kugeloberäche R = const.) 2 R 0 g= 0 R2 sin2 θ Metrik der Kugeloberäche (Radius Mit Koordinaten θ, ϕ ergibt sich daraus das Linienelement: ds2 = R2 dθ2 + R2 sin2 θ dϕ2 Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 34 Raumzeit Parallelverschiebung Anwendung des metrischer Zusammenhangs: Vektor-Verschiebung Die (Parallel-)Verschiebung von Vektoren auf beliebigen Oberächen ist nicht trivial! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 35 Raumzeit Parallelverschiebung Parallelverschiebung von Vektoren Im Euklidischen Raum: Alles wie gewohnt Länge bleibt erhalten Richtung bleibt erhalten Komponenten bleiben erhalten Endvektor unabhängig vom Verschiebeweg Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 36 Raumzeit Parallelverschiebung Parallelverschiebung von Vektoren Im Euklidischen Raum: Alles wie gewohnt Länge bleibt erhalten Richtung bleibt erhalten Komponenten bleiben erhalten Endvektor unabhängig vom Verschiebeweg Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 36 Raumzeit Parallelverschiebung Parallelverschiebung von Vektoren Im Euklidischen Raum: Alles wie gewohnt Länge bleibt erhalten Richtung bleibt erhalten Komponenten bleiben erhalten Endvektor unabhängig vom Verschiebeweg Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 36 Raumzeit Parallelverschiebung Parallelverschiebung von Vektoren Im Euklidischen Raum: Alles wie gewohnt Länge bleibt erhalten Richtung bleibt erhalten Komponenten bleiben erhalten Endvektor unabhängig vom Verschiebeweg Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 36 Raumzeit Parallelverschiebung Parallelverschiebung von Vektoren Auf der Kugel: erste mögliche Verschiebung Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 37 Raumzeit Parallelverschiebung Parallelverschiebung von Vektoren Auf der Kugel: zweite mögliche Verschiebung Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 38 Raumzeit Parallelverschiebung Parallelverschiebung von Vektoren Auf der Kugel: Wegabhängigkeit! Länge bleibt erhalten " Richtung nicht erhalten Komponenten oft nicht erhalten Endvektor abhängig vom Verschiebeweg Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 39 Raumzeit Parallelverschiebung Parallelverschiebung von Vektoren Auf der Kugel: Wegabhängigkeit! Länge bleibt erhalten " Richtung nicht erhalten Komponenten oft nicht erhalten Endvektor abhängig vom Verschiebeweg Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 39 Raumzeit Parallelverschiebung Parallelverschiebung von Vektoren Auf der Kugel: Wegabhängigkeit! Länge bleibt erhalten " Richtung nicht erhalten Komponenten oft nicht erhalten Endvektor abhängig vom Verschiebeweg Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 39 Raumzeit Parallelverschiebung Parallelverschiebung von Vektoren Auf der Kugel: Wegabhängigkeit! Länge bleibt erhalten " Richtung nicht erhalten Komponenten oft nicht erhalten Endvektor abhängig vom Verschiebeweg Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 39 Raumzeit Parallelverschiebung Parallelverschiebung von Vektoren All diese Phänomene leicht berechenbar durch Metrik und Christoelsymbol! Allgemeines Verschiebegesetz für Vektoren Vektor Punkt V mit Komponenten v i sei am Ort x. Verschiebt x + dx hat V die Komponenten v i + dv i , wobei man ihn zum dv i = −Γimj dxm v j . Dies gilt in jedem Koordinatensystem! Mit diesem Verschiebegesetz: Die Länge L des Vektors bleibt immer erhalten! L= Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) p gik v i v k 19.04.2012 40 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Was ist komisch im Nicht-Euklidischen Raum? 1 0 0 1 1 Metrik ist nicht mehr 2 metrischer Zusammenhang 3 Geodäten sehen merkwürdig aus 4 Verschiebung von Vektoren wegabhängig 5 Komponenten der Vektoren nicht mehr erhalten g= Γ nicht Null Man sagt, der Raum ist gekrümmt. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 41 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Was ist komisch im Nicht-Euklidischen Raum? 1 0 0 1 1 Metrik ist nicht mehr 2 metrischer Zusammenhang 3 Geodäten sehen merkwürdig aus 4 Verschiebung von Vektoren wegabhängig 5 Komponenten der Vektoren nicht mehr erhalten g= Γ nicht Null Man sagt, der Raum ist gekrümmt. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 41 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Was ist komisch im Nicht-Euklidischen Raum? 1 0 0 1 1 Metrik ist nicht mehr 2 metrischer Zusammenhang 3 Geodäten sehen merkwürdig aus 4 Verschiebung von Vektoren wegabhängig 5 Komponenten der Vektoren nicht mehr erhalten g= Γ nicht Null Man sagt, der Raum ist gekrümmt. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 41 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Was ist komisch im Nicht-Euklidischen Raum? 1 0 0 1 1 Metrik ist nicht mehr 2 metrischer Zusammenhang 3 Geodäten sehen merkwürdig aus 4 Verschiebung von Vektoren wegabhängig 5 Komponenten der Vektoren nicht mehr erhalten g= Γ nicht Null Man sagt, der Raum ist gekrümmt. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 41 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Was ist komisch im Nicht-Euklidischen Raum? 1 0 0 1 1 Metrik ist nicht mehr 2 metrischer Zusammenhang 3 Geodäten sehen merkwürdig aus 4 Verschiebung von Vektoren wegabhängig 5 Komponenten der Vektoren nicht mehr erhalten g= Γ nicht Null Man sagt, der Raum ist gekrümmt. Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 41 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Der Riemannsche Krümmungstensor Die Raumkrümmung wird u.a. durch den sogenannten µ Krümmungstensor Rναβ Riemannschen beschrieben. Woher kommt dieses Objekt? 1 Wir schauen auf zwei verschiedene Verschiebungen eines Vektors 2 Beide Verschiebungen sollen am gleichen Punkt starten und am gleichen Punkt enden 3 Wir vergleichen die verschobenen Vektoren am Zielpunkt 4 Der Unterschied ergibt den Eigenschaften von µ Rναβ : Riemannschen Krümmungstensor. Komplett aus Metrik berechenbar hat im 4-dimensionalen Raum 20 unabhängige Komponenten verschiedene Symmetrien (z.B.: Rµναβ = −Rνµαβ ) In zwei Dimensionen nur eine Komponente ungleich Null: Beispiel Kugeloberäche: Azimutwinkel R1212 = −r2 (sin θ)2 (Radius R1212 r, θ) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 42 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Der Riemannsche Krümmungstensor Die Raumkrümmung wird u.a. durch den sogenannten µ Krümmungstensor Rναβ Riemannschen beschrieben. Woher kommt dieses Objekt? 1 Wir schauen auf zwei verschiedene Verschiebungen eines Vektors 2 Beide Verschiebungen sollen am gleichen Punkt starten und am gleichen Punkt enden 3 Wir vergleichen die verschobenen Vektoren am Zielpunkt 4 Der Unterschied ergibt den Eigenschaften von µ Rναβ : Riemannschen Krümmungstensor. Komplett aus Metrik berechenbar hat im 4-dimensionalen Raum 20 unabhängige Komponenten verschiedene Symmetrien (z.B.: Rµναβ = −Rνµαβ ) In zwei Dimensionen nur eine Komponente ungleich Null: Beispiel Kugeloberäche: Azimutwinkel R1212 = −r2 (sin θ)2 (Radius R1212 r, θ) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 42 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Der Riemannsche Krümmungstensor Die Raumkrümmung wird u.a. durch den sogenannten µ Krümmungstensor Rναβ Riemannschen beschrieben. Woher kommt dieses Objekt? 1 Wir schauen auf zwei verschiedene Verschiebungen eines Vektors 2 Beide Verschiebungen sollen am gleichen Punkt starten und am gleichen Punkt enden 3 Wir vergleichen die verschobenen Vektoren am Zielpunkt 4 Der Unterschied ergibt den Eigenschaften von µ Rναβ : Riemannschen Krümmungstensor. Komplett aus Metrik berechenbar hat im 4-dimensionalen Raum 20 unabhängige Komponenten verschiedene Symmetrien (z.B.: Rµναβ = −Rνµαβ ) In zwei Dimensionen nur eine Komponente ungleich Null: Beispiel Kugeloberäche: Azimutwinkel R1212 = −r2 (sin θ)2 (Radius R1212 r, θ) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 42 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Der Riemannsche Krümmungstensor Die Raumkrümmung wird u.a. durch den sogenannten µ Krümmungstensor Rναβ Riemannschen beschrieben. Woher kommt dieses Objekt? 1 Wir schauen auf zwei verschiedene Verschiebungen eines Vektors 2 Beide Verschiebungen sollen am gleichen Punkt starten und am gleichen Punkt enden 3 Wir vergleichen die verschobenen Vektoren am Zielpunkt 4 Der Unterschied ergibt den Eigenschaften von µ Rναβ : Riemannschen Krümmungstensor. Komplett aus Metrik berechenbar hat im 4-dimensionalen Raum 20 unabhängige Komponenten verschiedene Symmetrien (z.B.: Rµναβ = −Rνµαβ ) In zwei Dimensionen nur eine Komponente ungleich Null: Beispiel Kugeloberäche: Azimutwinkel R1212 = −r2 (sin θ)2 (Radius R1212 r, θ) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 42 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Der Riemannsche Krümmungstensor Die Raumkrümmung wird u.a. durch den sogenannten µ Krümmungstensor Rναβ Riemannschen beschrieben. Woher kommt dieses Objekt? 1 Wir schauen auf zwei verschiedene Verschiebungen eines Vektors 2 Beide Verschiebungen sollen am gleichen Punkt starten und am gleichen Punkt enden 3 Wir vergleichen die verschobenen Vektoren am Zielpunkt 4 Der Unterschied ergibt den Eigenschaften von µ Rναβ : Riemannschen Krümmungstensor. Komplett aus Metrik berechenbar hat im 4-dimensionalen Raum 20 unabhängige Komponenten verschiedene Symmetrien (z.B.: Rµναβ = −Rνµαβ ) In zwei Dimensionen nur eine Komponente ungleich Null: Beispiel Kugeloberäche: Azimutwinkel R1212 = −r2 (sin θ)2 (Radius R1212 r, θ) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 42 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Der Riemannsche Krümmungstensor Die Raumkrümmung wird u.a. durch den sogenannten µ Krümmungstensor Rναβ Riemannschen beschrieben. Woher kommt dieses Objekt? 1 Wir schauen auf zwei verschiedene Verschiebungen eines Vektors 2 Beide Verschiebungen sollen am gleichen Punkt starten und am gleichen Punkt enden 3 Wir vergleichen die verschobenen Vektoren am Zielpunkt 4 Der Unterschied ergibt den Eigenschaften von µ Rναβ : Riemannschen Krümmungstensor. Komplett aus Metrik berechenbar hat im 4-dimensionalen Raum 20 unabhängige Komponenten verschiedene Symmetrien (z.B.: Rµναβ = −Rνµαβ ) In zwei Dimensionen nur eine Komponente ungleich Null: Beispiel Kugeloberäche: Azimutwinkel R1212 = −r2 (sin θ)2 (Radius R1212 r, θ) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 42 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Der Riemannsche Krümmungstensor Die Raumkrümmung wird u.a. durch den sogenannten µ Krümmungstensor Rναβ Riemannschen beschrieben. Woher kommt dieses Objekt? 1 Wir schauen auf zwei verschiedene Verschiebungen eines Vektors 2 Beide Verschiebungen sollen am gleichen Punkt starten und am gleichen Punkt enden 3 Wir vergleichen die verschobenen Vektoren am Zielpunkt 4 Der Unterschied ergibt den Eigenschaften von µ Rναβ : Riemannschen Krümmungstensor. Komplett aus Metrik berechenbar hat im 4-dimensionalen Raum 20 unabhängige Komponenten verschiedene Symmetrien (z.B.: Rµναβ = −Rνµαβ ) In zwei Dimensionen nur eine Komponente ungleich Null: Beispiel Kugeloberäche: Azimutwinkel R1212 = −r2 (sin θ)2 (Radius R1212 r, θ) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 42 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Der Riemannsche Krümmungstensor Die Raumkrümmung wird u.a. durch den sogenannten µ Krümmungstensor Rναβ Riemannschen beschrieben. Woher kommt dieses Objekt? 1 Wir schauen auf zwei verschiedene Verschiebungen eines Vektors 2 Beide Verschiebungen sollen am gleichen Punkt starten und am gleichen Punkt enden 3 Wir vergleichen die verschobenen Vektoren am Zielpunkt 4 Der Unterschied ergibt den Eigenschaften von µ Rναβ : Riemannschen Krümmungstensor. Komplett aus Metrik berechenbar hat im 4-dimensionalen Raum 20 unabhängige Komponenten verschiedene Symmetrien (z.B.: Rµναβ = −Rνµαβ ) In zwei Dimensionen nur eine Komponente ungleich Null: Beispiel Kugeloberäche: Azimutwinkel R1212 = −r2 (sin θ)2 (Radius R1212 r, θ) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 42 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Der Riemannsche Krümmungstensor Die Raumkrümmung wird u.a. durch den sogenannten µ Krümmungstensor Rναβ Riemannschen beschrieben. Woher kommt dieses Objekt? 1 Wir schauen auf zwei verschiedene Verschiebungen eines Vektors 2 Beide Verschiebungen sollen am gleichen Punkt starten und am gleichen Punkt enden 3 Wir vergleichen die verschobenen Vektoren am Zielpunkt 4 Der Unterschied ergibt den Eigenschaften von µ Rναβ : Riemannschen Krümmungstensor. Komplett aus Metrik berechenbar hat im 4-dimensionalen Raum 20 unabhängige Komponenten verschiedene Symmetrien (z.B.: Rµναβ = −Rνµαβ ) In zwei Dimensionen nur eine Komponente ungleich Null: Beispiel Kugeloberäche: Azimutwinkel R1212 = −r2 (sin θ)2 (Radius R1212 r, θ) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 42 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Der Riemannsche Krümmungstensor Die Raumkrümmung wird u.a. durch den sogenannten µ Krümmungstensor Rναβ Riemannschen beschrieben. Woher kommt dieses Objekt? 1 Wir schauen auf zwei verschiedene Verschiebungen eines Vektors 2 Beide Verschiebungen sollen am gleichen Punkt starten und am gleichen Punkt enden 3 Wir vergleichen die verschobenen Vektoren am Zielpunkt 4 Der Unterschied ergibt den Eigenschaften von µ Rναβ : Riemannschen Krümmungstensor. Komplett aus Metrik berechenbar hat im 4-dimensionalen Raum 20 unabhängige Komponenten verschiedene Symmetrien (z.B.: Rµναβ = −Rνµαβ ) In zwei Dimensionen nur eine Komponente ungleich Null: Beispiel Kugeloberäche: Azimutwinkel R1212 = −r2 (sin θ)2 (Radius R1212 r, θ) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 42 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Aus dem Krümmungstensor abgeleitete Gröÿen... Der Ricci-Tensor Rνβ Rνβ = g µα Rµναβ = 3 X 3 X g µα Rµναβ µ=0 α=0 = g 00 R0ν0β + g 01 R0ν1β + g 02 R0ν2β + g 03 R0ν3β + g 10 R1ν0β + g 11 R1ν1β + g 12 R1ν2β + g 13 R1ν3β + g 20 R2ν0β + g 21 R2ν1β + g 22 R2ν2β + g 23 R2ν3β + g 30 R3ν0β + g 31 R3ν1β + g 32 R3ν2β + g 33 R3ν3β Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 43 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Aus dem Krümmungstensor abgeleitete Gröÿen... Der Ricci-Tensor Rνβ Rνβ = g µα Rµναβ = 3 X 3 X g µα Rµναβ µ=0 α=0 = g 00 R0ν0β + g 01 R0ν1β + g 02 R0ν2β + g 03 R0ν3β + g 10 R1ν0β + g 11 R1ν1β + g 12 R1ν2β + g 13 R1ν3β + g 20 R2ν0β + g 21 R2ν1β + g 22 R2ν2β + g 23 R2ν3β + g 30 R3ν0β + g 31 R3ν1β + g 32 R3ν2β + g 33 R3ν3β Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 43 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Aus dem Krümmungstensor abgeleitete Gröÿen... Der Riemann Skalar Rνβ R = g βν Rνβ Übrigens: Auf der Kugeloberäche mit Radius ist der Riemannskalar: R = − r22 . r Interessant: lim R = 0 r→∞ Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 44 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Einsteintensor Einstein wollte der Gravitation auf den Grund gehen. Seine Idee: Energie(= Masse · c2 ) verursacht Raumkrümmung. Sein Ansatz: irgendwas mit Metrik Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) = Konstante · Energie 19.04.2012 45 Raumzeit Gekrümmte Räume und Krümmungstensor Einsteintensor Sein Ansatz: irgendwas mit Metrik = Konstante · Energie Für die linke Seite der Gleichung fand er den Einstein-Tensor: 1 Def. Gµν = Rµν − R gµν 2 Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 46 Die Einsteinschen Feldgleichungen Outline 1 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Träge und schwere Masse Äquivalenzprinzip 2 Raumzeit Geodäten Beschreibung von beliebigen Geometrien Metrik Geodäten und Christoelsymbole Parallelverschiebung Gekrümmte Räume und Krümmungstensor 3 Die Einsteinschen Feldgleichungen Energie-Impuls-Tensor Feldgleichungen 4 Experimentelle Tests der ART 5 Anhang: Krümmung 6 References Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 47 Die Einsteinschen Feldgleichungen Energie-Impuls-Tensor Energie-Impuls-Tensor Masse,Energie und Impuls wird im Energie-Impuls-Tensor zusammengefasst: p T µν = ρ + 2 uµ uν − pg µν c mit... Massendichte Druck ρ p Lichtgeschwindigkeit Geschwindigkeit c u Metrik g Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 48 Die Einsteinschen Feldgleichungen Feldgleichungen Feldgleichungen Einstein, 1916: Einsteinsche Feldgleichungen Gµν = − 8πG Tµν c4 mit Einstein-Tensor Gµν = Rµν − 12 R gµν Gravitationskonstante G = 6, 67384 · 10−11 Energie-Impuls-Tensor Tµν Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) m3 kg s2 19.04.2012 49 Die Einsteinschen Feldgleichungen Feldgleichungen Eigenschaften der Feldgleichungen Einsteinsche Feldgleichungen Gµν = − 8πG Tµν c4 mit "Lösungen"der Gleichungen sind eine Metrik! Im Materie-freien Raum ist Tµν = 0, und die Minkowski-Metrik eine Lösung Sie haben eine Im Tµν eindeutige Lösung steckt selber wieder die Metrik! beeinussen sich gegenseitig! Raum und Energie Für kleine Geschwindigkeiten: Newtonscher Grenzfall Experiementell bestätigt durch: Periheldrehungen, Gravitationswellen, Gravitationslinsen, Rotverschiebung,... Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 50 Die Einsteinschen Feldgleichungen Feldgleichungen Eigenschaften der Feldgleichungen Einsteinsche Feldgleichungen Gµν = − 8πG Tµν c4 mit "Lösungen"der Gleichungen sind eine Metrik! Im Materie-freien Raum ist Tµν = 0, und die Minkowski-Metrik eine Lösung Sie haben eine Im Tµν eindeutige Lösung steckt selber wieder die Metrik! beeinussen sich gegenseitig! Raum und Energie Für kleine Geschwindigkeiten: Newtonscher Grenzfall Experiementell bestätigt durch: Periheldrehungen, Gravitationswellen, Gravitationslinsen, Rotverschiebung,... Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 50 Die Einsteinschen Feldgleichungen Feldgleichungen Eigenschaften der Feldgleichungen Einsteinsche Feldgleichungen Gµν = − 8πG Tµν c4 mit "Lösungen"der Gleichungen sind eine Metrik! Im Materie-freien Raum ist Tµν = 0, und die Minkowski-Metrik eine Lösung Sie haben eine Im Tµν eindeutige Lösung steckt selber wieder die Metrik! beeinussen sich gegenseitig! Raum und Energie Für kleine Geschwindigkeiten: Newtonscher Grenzfall Experiementell bestätigt durch: Periheldrehungen, Gravitationswellen, Gravitationslinsen, Rotverschiebung,... Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 50 Die Einsteinschen Feldgleichungen Feldgleichungen Eigenschaften der Feldgleichungen Einsteinsche Feldgleichungen Gµν = − 8πG Tµν c4 mit "Lösungen"der Gleichungen sind eine Metrik! Im Materie-freien Raum ist Tµν = 0, und die Minkowski-Metrik eine Lösung Sie haben eine Im Tµν eindeutige Lösung steckt selber wieder die Metrik! beeinussen sich gegenseitig! Raum und Energie Für kleine Geschwindigkeiten: Newtonscher Grenzfall Experiementell bestätigt durch: Periheldrehungen, Gravitationswellen, Gravitationslinsen, Rotverschiebung,... Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 50 Die Einsteinschen Feldgleichungen Feldgleichungen Eigenschaften der Feldgleichungen Einsteinsche Feldgleichungen Gµν = − 8πG Tµν c4 mit "Lösungen"der Gleichungen sind eine Metrik! Im Materie-freien Raum ist Tµν = 0, und die Minkowski-Metrik eine Lösung Sie haben eine Im Tµν eindeutige Lösung steckt selber wieder die Metrik! beeinussen sich gegenseitig! Raum und Energie Für kleine Geschwindigkeiten: Newtonscher Grenzfall Experiementell bestätigt durch: Periheldrehungen, Gravitationswellen, Gravitationslinsen, Rotverschiebung,... Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 50 Die Einsteinschen Feldgleichungen Feldgleichungen Eigenschaften der Feldgleichungen Einsteinsche Feldgleichungen Gµν = − 8πG Tµν c4 mit "Lösungen"der Gleichungen sind eine Metrik! Im Materie-freien Raum ist Tµν = 0, und die Minkowski-Metrik eine Lösung Sie haben eine Im Tµν eindeutige Lösung steckt selber wieder die Metrik! beeinussen sich gegenseitig! Raum und Energie Für kleine Geschwindigkeiten: Newtonscher Grenzfall Experiementell bestätigt durch: Periheldrehungen, Gravitationswellen, Gravitationslinsen, Rotverschiebung,... Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 50 Die Einsteinschen Feldgleichungen Feldgleichungen Beispiel Schwarzschildmetrik Metrik um Kugel (z.B. Sonne!). Annahmen: Radius des gravitierenden Körpers R = const. Zeitunabhängigkeit Im Unendlichen r→∞ Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) ist der Raum wieder ach 19.04.2012 51 Die Einsteinschen Feldgleichungen Feldgleichungen Beispiel Schwarzschildmetrik Schwarzschildmetrik: Radius R = const. Abstand zum Mittelpunkt des Körpers Kugelkoordinaten r, Θ, ϕ Schwarzschildradius rS = 1 − rRS 0 g= 0 0 Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) r 2GM c2 0 1 −1 rS R 0 0 0 0 0 0 −R2 0 2 0 −R sin2 Θ 19.04.2012 52 Experimentelle Tests der ART Outline 1 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Träge und schwere Masse Äquivalenzprinzip 2 Raumzeit Geodäten Beschreibung von beliebigen Geometrien Metrik Geodäten und Christoelsymbole Parallelverschiebung Gekrümmte Räume und Krümmungstensor 3 Die Einsteinschen Feldgleichungen Energie-Impuls-Tensor Feldgleichungen 4 Experimentelle Tests der ART 5 Anhang: Krümmung 6 References Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 53 Experimentelle Tests der ART Die Periheldrehung des Merkur Drehung der Lage des Perihels pro Bahnumlauf: δ = 6π rS 2 c r2 dϕ dt !2 ≈ Bei Merkur der stärkste Eekt: Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 6πGM · c2 43 1 Abstand Sonne-Planet Bogensekunden in 100 Jahren 19.04.2012 54 Experimentelle Tests der ART Gravitationslinseneekt http://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationslinseneffekt Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 55 Experimentelle Tests der ART Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 56 Anhang: Krümmung Outline 1 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Träge und schwere Masse Äquivalenzprinzip 2 Raumzeit Geodäten Beschreibung von beliebigen Geometrien Metrik Geodäten und Christoelsymbole Parallelverschiebung Gekrümmte Räume und Krümmungstensor 3 Die Einsteinschen Feldgleichungen Energie-Impuls-Tensor Feldgleichungen 4 Experimentelle Tests der ART 5 Anhang: Krümmung 6 References Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 57 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven: Parameterisierte Kurve Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 58 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven: Parameterisierte Kurve Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 59 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven: Parameterisierte Kurve Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 60 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven: Konstruktion des Krümmungsvektors Erzeuge Tangentialvektoren durch Ableiten senkrecht dazu: Normalenvektor Änderung des Tangentialvektors... Änderung bedeutet eigentlich Ableitung Krümmung (skalar) 2~ C(t) κ = d dt 2 (Gilt bei Parametrisierung nach Bogenlänge) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 61 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven: Konstruktion des Krümmungsvektors Erzeuge Tangentialvektoren durch Ableiten senkrecht dazu: Normalenvektor Änderung des Tangentialvektors... Änderung bedeutet eigentlich Ableitung Krümmung (skalar) 2~ C(t) κ = d dt 2 (Gilt bei Parametrisierung nach Bogenlänge) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 61 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven: Konstruktion des Krümmungsvektors Erzeuge Tangentialvektoren durch Ableiten senkrecht dazu: Normalenvektor Änderung des Tangentialvektors... Änderung bedeutet eigentlich Ableitung Krümmung (skalar) 2~ C(t) κ = d dt 2 (Gilt bei Parametrisierung nach Bogenlänge) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 61 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven: Konstruktion des Krümmungsvektors Erzeuge Tangentialvektoren durch Ableiten senkrecht dazu: Normalenvektor Änderung des Tangentialvektors... Änderung bedeutet eigentlich Ableitung Krümmung (skalar) 2~ C(t) κ = d dt 2 (Gilt bei Parametrisierung nach Bogenlänge) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 61 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven: Konstruktion des Krümmungsvektors Erzeuge Tangentialvektoren durch Ableiten senkrecht dazu: Normalenvektor Änderung des Tangentialvektors... Änderung bedeutet eigentlich Ableitung Krümmung (skalar) 2~ C(t) κ = d dt 2 (Gilt bei Parametrisierung nach Bogenlänge) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 61 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven: Konstruktion des Krümmungsvektors Erzeuge Tangentialvektoren durch Ableiten senkrecht dazu: Normalenvektor Änderung des Tangentialvektors... Änderung bedeutet eigentlich Ableitung Krümmung (skalar) 2~ C(t) κ = d dt 2 (Gilt bei Parametrisierung nach Bogenlänge) Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 61 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven Hier einfachstes Beispiel für Krümmung Zusammenhang: κ = − R2 (Riemannscher Krümmungsskalar R) Funktioniert analog für 1D-Kurven im 3D-Raum ...Krümmung von Flächen ähnlich ...Krümmung von Räumen komplizierter ...Krümmung der Raumzeit komplizierter Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 62 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven Hier einfachstes Beispiel für Krümmung Zusammenhang: κ = − R2 (Riemannscher Krümmungsskalar R) Funktioniert analog für 1D-Kurven im 3D-Raum ...Krümmung von Flächen ähnlich ...Krümmung von Räumen komplizierter ...Krümmung der Raumzeit komplizierter Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 62 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven Hier einfachstes Beispiel für Krümmung Zusammenhang: κ = − R2 (Riemannscher Krümmungsskalar R) Funktioniert analog für 1D-Kurven im 3D-Raum ...Krümmung von Flächen ähnlich ...Krümmung von Räumen komplizierter ...Krümmung der Raumzeit komplizierter Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 62 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven Hier einfachstes Beispiel für Krümmung Zusammenhang: κ = − R2 (Riemannscher Krümmungsskalar R) Funktioniert analog für 1D-Kurven im 3D-Raum ...Krümmung von Flächen ähnlich ...Krümmung von Räumen komplizierter ...Krümmung der Raumzeit komplizierter Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 62 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven Hier einfachstes Beispiel für Krümmung Zusammenhang: κ = − R2 (Riemannscher Krümmungsskalar R) Funktioniert analog für 1D-Kurven im 3D-Raum ...Krümmung von Flächen ähnlich ...Krümmung von Räumen komplizierter ...Krümmung der Raumzeit komplizierter Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 62 Anhang: Krümmung Krümmung von Kurven Hier einfachstes Beispiel für Krümmung Zusammenhang: κ = − R2 (Riemannscher Krümmungsskalar R) Funktioniert analog für 1D-Kurven im 3D-Raum ...Krümmung von Flächen ähnlich ...Krümmung von Räumen komplizierter ...Krümmung der Raumzeit komplizierter Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 62 References Outline 1 Prinzipien der Allgemeinen Relativitätstheorie Träge und schwere Masse Äquivalenzprinzip 2 Raumzeit Geodäten Beschreibung von beliebigen Geometrien Metrik Geodäten und Christoelsymbole Parallelverschiebung Gekrümmte Räume und Krümmungstensor 3 Die Einsteinschen Feldgleichungen Energie-Impuls-Tensor Feldgleichungen 4 Experimentelle Tests der ART 5 Anhang: Krümmung 6 References Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 63 References Zum Weiterlesen: Skript und Präsentation online auf http://www.sternwarte-hofheim.de Ray d'Inverno 'Einführung in die Relativitätstheorie', WILEY-VCH, 2009 Torsten Flieÿbach 'Allgemeine Relativitätstheorie', Spektrum Akad. Verlag 2006 Teilweise gute Wikipedia-Artikel unzählige kostenlose Skripte im Internet... Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 64 References References Vorlesung Prof.Dr.C. Greiner, SS2011, Goethe-Uni http://de.wikipedia.org/wiki/Pisa http://th.physik.uni-frankfurt.de/~drischke/Skript.pdf http://www.google.de/intl/de/earth/index.html http://de.wikipedia.org/wiki/Gregorio_Ricci-Curbastro http://de.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann http://de.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein http://www.lustich.de http://de.wikipedia.org/wiki/Tests_der_allgemeinen_ Relativitätstheorie Moritz Greif (Sternwarte Hofheim) 19.04.2012 65
