(Prof. Dr. K. Pilzweger) 11.12.2008 Mathematik III

UniBw M / EIT / Inst. 1 (Prof. Dr. K. Pilzweger)
11.12.2008
Mathematik III: Übungsblatt 1
Abgabe: bis Fr., 09.01.09, 13 Uhr
Besprechung: Mo., 12.01.09 (Geb. 33 / R. 0131)
Aufgabe 1:
Berechnen Sie mit einer geeigneten Zerlegung des Integrationsintervalls:
a)
;
b)
;
c)
.
([ . ]: Entirefunktion; vgl. Kap. 0, (5.7.4)).
Aufgabe 2:
Untersuchen Sie jedes der folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz und berechnen
Sie, sofern er existiert, seinen Wert.
a)
(a > 0);
b)
;
c)
;
d)
.
Aufgabe 3:
Nach dem Gesetz von Torricelli ist die Ausflussgeschwindigkeit einer (idealen) Flüssigkeit
gleich
, wenn h die Höhe des Flüssigkeitsspiegels über der Ausflussöffnung ist. Wie lange
dauert es, bis eine Flüssigkeit aus einem anfänglich voll gefüllten Zylinder mit dem Querschnitt
A und der Höhe H durch eine am Boden des Zylinders sich befindliche Öffnung mit dem
Querschnitt " vollständig abfließt?
Aufgabe 4:
Aus der Physik ist bekannt, dass der Wasserdruck in x Meter Tiefe gleich
ist, wobei D die
3
Dichte des Wassers und g die Erdbeschleunigung bedeutet (D ' 1 kg /dm , g ' 9, 81 m /s 2).
Berechnen Sie damit die Kraft, die der Wasserdruck auf eine senkrecht in das Wasser getauchte
rechteckige Platte mit der Grundlinie a und der Höhe h ausübt, wenn die Grundlinie genau an
der Wasseroberfläche liegt. Welche Kraft erfährt dabei die untere Plattenhälfte?
Aufgabe 5:
Skizzieren Sie den Bereich B f ú2 und berechnen Sie seinen Flächeninhalt für den Fall, dass
a) B der von der Parabel y ' x2 & 2 und dem Kreis x2 % y2 ' 8 begrenzte und über der Geraden
y ' &2 liegende Bereich ist;
b) B der im ersten Quadranten x $ 0, y $ 0 liegende Bereich ist, der von der Geraden y ' 1, der
Geraden y ' 1% x und der Kurve x y ' 2 eingeschlossen wird.
Hinweise
A 1: a)
.
b)
.
c)
.
A 2: (4.4.4); Stammfunktionen der Integranden: s. Formelsammlung.
A 3:
Sei dx unendlich klein und sei dt ' dt(x) die unendlich kleine
Zeit, die vergeht, bis der Flüssigkeitsspiegel von einer Position
x 0 [0, H] auf die Position x% dx absinkt. Für das Volumen dV
der dabei abfließenden Flüssigkeitsmenge gilt dann:
dV ' A dx ' " dh,
(1)
wobei dh die unendlich kleine Höhe des in der Skizze angedeuteten Zylinders über der Bodenöffnung ist, welcher alle Flüssigkeitsteilchen enthält, die innerhalb der Zeit dt diese erreichen. Weil dies mit der Geschwindigkeit v(x) '
(Torricelli) geschieht, gilt:
.
(2)
Aus (1) und (2) ergibt sich der Zusammenhang zwischen dt und dx und daraus dann durch
Integration von x ' 0 bis x ' H die gesuchte Ausflusszeit.
Welche Kraft dF(x) übt der Wasserdruck in der Tiefe
x auf einen unendlich schmalen Rechteckstreifen
dB(x) mit der Grundlinie a und der Höhe dx aus?
A 5: a) (4.5.3), Satz 1; Parabel und Kreis schneiden sich in den Punkten (&2, 2) und (2, 2).
b) (4.5.3), Satz 2.