Slitherlink-Kurven - Fakultät für Mathematik

Slitherlink-Kurven –
Ein Zusammenspiel von Kombinatorik,
Topologie und Geometrie
MNU-Landestagung. 02/2014. Regensburg
Clara Löh
Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg
Überblick
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3 1 0 2
Clara Löh
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Einleitung
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Überblick
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Ziele
I
Clara Löh
Mathematik hilft Slitherlink zu verstehen
Einleitung
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Überblick
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Ziele
I
Mathematik hilft Slitherlink zu verstehen
I
Slitherlink hilft Mathematik zu verstehen
Clara Löh
Einleitung
2
Überblick
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2 0 1 3
3 1 0 2
Ziele
I
Mathematik hilft Slitherlink zu verstehen
I
Slitherlink hilft Mathematik zu verstehen
Was ist Slitherlink?
Lösungsstrategien: lokal ↔ global (Kombinatorik/Topologie)
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
Clara Löh
Einleitung
2
Regeln von Slitherlink
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Clara Löh
Was ist Slitherlink?
3
Regeln von Slitherlink
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ЁвϾќвлϷρΝβϔΪ‫ᙸݖ‬
гќг
Regeln (nikoli.co.jp)
1. ๆλๆρᗘξЇЎаϻξᅍϥঊΠ΂‫ف‬ӱκ䰅ηρᒾζΞϥ֯ϝϑΪϚΙ΃
2. 䰈ηρๆκ֯Ϝϟβ೏୔ঞρՉξΕϞಉࡽς΂ΰρ೏୔ঞρᥧξঊ΢ᅍρಉϥ፥ΪιΗϑά΃ಉࡽρνΗ
೏୔ঞξς΂֫௞ρᅍϥঊ΢ΞϢΞϝϑήϦ΃
3. ᅍϥձऱΨήβϝ΂అ‫ٯ‬ΞϟΨήβϝΪιςΗΤϑήϦ΃
μϦνЙЂг
ϻвௌੇρϲвЀВгЙЂг΂ ΰϟΟΉЁвϾќвлϷΊγ΃
ࠐρᛤ‫ڜ‬ςΉ࢚༇ΊλܰσϟϞ࢚ဇΟ๗ಉξࡾ‫ޝ‬άϞΦλ΃ ࢚༇ϥυληੑΛϞβφξ΂ ࿖ξ᎝Λιረ‫ٯ‬ρሄΟ
ΟϞ্ਟςԹ१ςӱᰞάϞԏ‫װ‬Εϝ΃
䱒 ρβζβ‫ލ‬ηρಉࡽγΤκ΂ΦϟγΤρϿлПгνгќгγΤκ΂ ԹཞЗЦϟϞγΤρՅ཭ΟκΠΕΟζι
ϞΦρᛍཻ΃
Clara Löh
Was ist Slitherlink?
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Regeln von Slitherlink
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ЁвϾќвлϷρΝβϔΪ‫ᙸݖ‬
гќг
Regeln (nikoli.co.jp)
1. ๆλๆρᗘξЇЎаϻξᅍϥঊΠ΂‫ف‬ӱκ䰅ηρᒾζΞϥ֯ϝϑΪϚΙ΃
2. 䰈ηρๆκ֯Ϝϟβ೏୔ঞρՉξΕϞಉࡽς΂ΰρ೏୔ঞρᥧξঊ΢ᅍρಉϥ፥ΪιΗϑά΃ಉࡽρνΗ
೏୔ঞξς΂֫௞ρᅍϥঊ΢ΞϢΞϝϑήϦ΃
3. ᅍϥձऱΨήβϝ΂అ‫ٯ‬ΞϟΨήβϝΪιςΗΤϑήϦ΃
I Verbinde
μϦνЙЂг
benachbarte Knoten so durch vertikale oder horizontale
Kanten, dass sich insgesamt eine einzelne Schleife ergibt.
I Die Zahlen geben
an, wieviele Kanten
ϻвௌੇρϲвЀВгЙЂг΂
ΰϟΟΉЁвϾќвлϷΊγ΃
an ein Feld angrenzen;
leere
Zellen
grenzen
an
eine
unbekannte
Anzahl von Kanten.
ࠐρᛤ‫ڜ‬ςΉ࢚༇ΊλܰσϟϞ࢚ဇΟ๗ಉξࡾ‫ޝ‬άϞΦλ΃ ࢚༇ϥυληੑΛϞβφξ΂ ࿖ξ᎝Λιረ‫ٯ‬ρሄΟ
ΟϞ্ਟςԹ१ςӱᰞάϞԏ‫װ‬Εϝ΃
I Die Schleife schneidet
sich nicht selbst und enthält keine
Abzweigungen.
ρβζβ‫ލ‬ηρಉࡽγΤκ΂ΦϟγΤρϿлПгνгќгγΤκ΂ ԹཞЗЦϟϞγΤρՅ཭ΟκΠΕΟζι
䱒
ϞΦρᛍཻ΃
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Was ist Slitherlink?
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Ein Beispiel-Puzzle
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Was ist Slitherlink?
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Ein Beispiel-Puzzle
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Was ist Slitherlink?
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Ein Beispiel-Puzzle
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Was ist Slitherlink?
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Ein Beispiel-Puzzle
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Was ist Slitherlink?
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Ein Beispiel-Puzzle
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Was ist Slitherlink?
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Ein Beispiel-Puzzle
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Was ist Slitherlink?
4
Lokale Lösungsstrategien
Lokale Lösungsstrategien: Strategien,
I die auf Ausschnitte des Puzzles anwendbar sind,
I und nur die Information aus diesem Ausschnitt verwenden.
Clara Löh
Lösungsstrategien: lokal ↔ global (Kombinatorik/Topologie)
5
Lokale Lösungsstrategien
Lokale Lösungsstrategien: Strategien,
I die auf Ausschnitte des Puzzles anwendbar sind,
I und nur die Information aus diesem Ausschnitt verwenden.
Beispiel
2
2
Clara Löh
Lösungsstrategien: lokal ↔ global (Kombinatorik/Topologie)
5
Lokale Lösungsstrategien
Lokale Lösungsstrategien: Strategien,
I die auf Ausschnitte des Puzzles anwendbar sind,
I und nur die Information aus diesem Ausschnitt verwenden.
Beispiel
2
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Clara Löh
2
2
Lösungsstrategien: lokal ↔ global (Kombinatorik/Topologie)
5
Lokale Lösungsstrategien
Lokale Lösungsstrategien: Strategien,
I die auf Ausschnitte des Puzzles anwendbar sind,
I und nur die Information aus diesem Ausschnitt verwenden.
Beispiel
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Clara Löh
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Lösungsstrategien: lokal ↔ global (Kombinatorik/Topologie)
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Globale Lösungsstrategien
Globale Lösungsstrategien: Strategien, die Informationen über das
gesamte Puzzle benötigen.
Clara Löh
Lösungsstrategien: lokal ↔ global (Kombinatorik/Topologie)
6
Globale Lösungsstrategien
Globale Lösungsstrategien: Strategien, die Informationen über das
gesamte Puzzle benötigen.
Satz (Jordanscher Kurvensatz; Topologie)
Jede einfach geschlossene Kurve in der Ebene zerlegt die Ebene
in genau zwei Gebiete.
Der Rand dieser beiden Gebiete ist die gegebene geschlossene Kurve.
Clara Löh
Lösungsstrategien: lokal ↔ global (Kombinatorik/Topologie)
6
Globale Lösungsstrategien
Globale Lösungsstrategien: Strategien, die Informationen über das
gesamte Puzzle benötigen.
Satz (Jordanscher Kurvensatz; Topologie)
Jede einfach geschlossene Kurve in der Ebene zerlegt die Ebene
in genau zwei Gebiete.
Der Rand dieser beiden Gebiete ist die gegebene geschlossene Kurve.
Aus dem Jordanschen Kurvensatz folgt:
I
jede Lösungsschleife besitzt in jeder Zeile des Puzzles eine gerade
Anzahl von vertikalen Kanten
I
und analog in jeder Spalte eine gerade Anzahl von horizontalen
Kanten.
Clara Löh
Lösungsstrategien: lokal ↔ global (Kombinatorik/Topologie)
6
Lokal ↔ global
Was macht Slitherlink zu einem so interessanten Puzzle?
Interaktion zwischen lokalen und globalen Bedingungen!
Clara Löh
Lösungsstrategien: lokal ↔ global (Kombinatorik/Topologie)
7
Lokal ↔ global
Was macht Slitherlink zu einem so interessanten Puzzle?
Interaktion zwischen lokalen und globalen Bedingungen!
In der Mathematik gibt es viele solcher lokal-globaler Zusammenhänge:
I
Riemannsche Geometrie/geometrische Topologie:
Auswirkung lokaler Krümmungsvorgaben auf die globale Gestalt
geometrischer Objekte.
I
Algebraische Zahlentheorie:
Zusammenhang zwischen Lösbarkeit von Gleichungen
bzgl. Primzahlen/Stellen und Lösbarkeit über den rationalen Zahlen.
I
...
Clara Löh
Lösungsstrategien: lokal ↔ global (Kombinatorik/Topologie)
7
Beispiel-Forschungsprojekt:
Clara Löh
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
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Beispiel-Forschungsprojekt:
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven
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0
Problem
In einem Slitherlink-Puzzle stehe in jedem Feld eine Zahl.
Besitzt dieses Puzzle dann höchstens eine Lösung?
Clara Löh
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
8
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven?
Beweis.
Es sei ein Slitherlink-Puzzle gegeben, bei dem in jedem Feld eine Zahl stehe.
Außerdem gebe es mindestens eine Lösungsschleife L dieses Puzzles.
Clara Löh
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
9
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven?
Beweis.
Es sei ein Slitherlink-Puzzle gegeben, bei dem in jedem Feld eine Zahl stehe.
Außerdem gebe es mindestens eine Lösungsschleife L dieses Puzzles.
I
Clara Löh
Da in jedem Feld des Puzzles eine Zahl steht, ist L auf jedem Feld
vorgegeben.
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
9
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven?
Beweis.
Es sei ein Slitherlink-Puzzle gegeben, bei dem in jedem Feld eine Zahl stehe.
Außerdem gebe es mindestens eine Lösungsschleife L dieses Puzzles.
I
Da in jedem Feld des Puzzles eine Zahl steht, ist L auf jedem Feld
vorgegeben.
I
Also ist auch die gesamte Lösungsschleife L vorgegeben.
Clara Löh
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
9
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven?
Beweis.
Es sei ein Slitherlink-Puzzle gegeben, bei dem in jedem Feld eine Zahl stehe.
Außerdem gebe es mindestens eine Lösungsschleife L dieses Puzzles.
I
Da in jedem Feld des Puzzles eine Zahl steht, ist L auf jedem Feld
vorgegeben.
I
Also ist auch die gesamte Lösungsschleife L vorgegeben.
Also kann das Puzzle keine weiteren Lösungen besitzen.
Clara Löh
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
9
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven?
Beweis.
Es sei ein Slitherlink-Puzzle gegeben, bei dem in jedem Feld eine Zahl stehe.
Außerdem gebe es mindestens eine Lösungsschleife L dieses Puzzles.
I
Da in jedem Feld des Puzzles eine Zahl steht, ist L auf jedem Feld
vorgegeben.
I
Also ist auch die gesamte Lösungsschleife L vorgegeben.
Also kann das Puzzle keine weiteren Lösungen besitzen.
Warnung
Dieser Beweis ist nicht korrekt!
In jedem Feld ist nur die Anzahl der Kanten, nicht der Verlauf vorgegeben!
Clara Löh
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
9
Ein zweideutiges Beispiel
Clara Löh
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Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
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Ein zweideutiges Beispiel
Clara Löh
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Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
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Modifikation des Problems
Problem (modifiziertes Eindeutigkeitsproblem)
In einem Slitherlink-Puzzle, dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind, stehe
in jedem Feld eine Zahl. Besitzt dieses Puzzle dann höchstens eine Lösung?
Clara Löh
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
11
Modifikation des Problems
Problem (modifiziertes Eindeutigkeitsproblem)
In einem Slitherlink-Puzzle, dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind, stehe
in jedem Feld eine Zahl. Besitzt dieses Puzzle dann höchstens eine Lösung?
Beispiel
Variante des vorherigen Beispiels:
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Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
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Modifikation des Problems
Problem (modifiziertes Eindeutigkeitsproblem)
In einem Slitherlink-Puzzle, dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind, stehe
in jedem Feld eine Zahl. Besitzt dieses Puzzle dann höchstens eine Lösung?
Beispiel
Variante des vorherigen Beispiels: eindeutig lösbar!
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Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
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Modifikation des Problems
Problem (modifiziertes Eindeutigkeitsproblem)
In einem Slitherlink-Puzzle, dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind, stehe
in jedem Feld eine Zahl. Besitzt dieses Puzzle dann höchstens eine Lösung?
Beispiel
Variante des vorherigen Beispiels: eindeutig lösbar!
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Satz
In einem Slitherlink-Puzzle, dessen Randfelder alle mit 0 beschriftet sind,
stehe in jedem Feld eine Zahl. Dann gibt es höchstens eine Lösung.
Clara Löh
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
11
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven!
Beweis.
Es gebe mindestens eine Lösung. Wir zeigen induktiv, dass der Verlauf der
Lösungsschleifen in jedem Feld (und somit global) eindeutig bestimmt ist:
Clara Löh
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
12
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven!
Beweis.
Es gebe mindestens eine Lösung. Wir zeigen induktiv, dass der Verlauf der
Lösungsschleifen in jedem Feld (und somit global) eindeutig bestimmt ist:
I
Wir betrachten in jedem Schritt das Feld •, das unter den noch nicht
betrachteten am weitesten oben und dann am weitesten rechts liegt.
•
Clara Löh
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
12
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven!
Beweis.
Es gebe mindestens eine Lösung. Wir zeigen induktiv, dass der Verlauf der
Lösungsschleifen in jedem Feld (und somit global) eindeutig bestimmt ist:
I
Wir betrachten in jedem Schritt das Feld •, das unter den noch nicht
betrachteten am weitesten oben und dann am weitesten rechts liegt.
•
I
Clara Löh
Also ist der Verlauf in den markierten Feldern nach
Induktionsvoraussetzung bzw. der Randfelderbedingung bekannt.
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
12
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven!
Beweis.
Es gebe mindestens eine Lösung. Wir zeigen induktiv, dass der Verlauf der
Lösungsschleifen in jedem Feld (und somit global) eindeutig bestimmt ist:
I
Wir betrachten in jedem Schritt das Feld •, das unter den noch nicht
betrachteten am weitesten oben und dann am weitesten rechts liegt.
•
I
Also ist der Verlauf in den markierten Feldern nach
Induktionsvoraussetzung bzw. der Randfelderbedingung bekannt.
I
Damit ist auch der Status der markierten Kante bekannt.
Clara Löh
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
12
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven!
Beweis.
Es gebe mindestens eine Lösung. Wir zeigen induktiv, dass der Verlauf der
Lösungsschleifen in jedem Feld (und somit global) eindeutig bestimmt ist:
I
Wir betrachten in jedem Schritt das Feld •, das unter den noch nicht
betrachteten am weitesten oben und dann am weitesten rechts liegt.
•
I
Also ist der Verlauf in den markierten Feldern nach
Induktionsvoraussetzung bzw. der Randfelderbedingung bekannt.
I
Damit ist auch der Status der markierten Kante bekannt.
I
Wegen der Zahl im Feld • ist somit der gesamte Verlauf im Feld •
bekannt.
Clara Löh
Eindeutigkeit von Slitherlink-Kurven (Kombinatorik)
12
Und jetzt?
Das modifizierte Eindeutigkeitsproblem ist gelöst . . .
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
13
Und jetzt? Systematisch verallgemeinern!
Das modifizierte Eindeutigkeitsproblem ist gelöst . . .
Fragen
I
Was haben wir dabei genau über Slitherlink-Puzzles verwendet?
I
Wie kann man allgemeinere Slitherlink-Puzzles definieren?
I
Lassen sich die Argumente auf die allgemeinere Situation übertragen?
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
13
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzle
Gegeben sei eine Zellenzerlegung einer Fläche; manche der Zellen
enthalten Zahlen.
1
2
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
14
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzle
Gegeben sei eine Zellenzerlegung einer Fläche; manche der Zellen
enthalten Zahlen.
1
2
Regeln (verallgemeinerte Slitherlink-Puzzle)
I
Verbinde benachbarte Knoten so durch Kanten, dass sich insgesamt
eine einzelne Schleife ergibt.
I
Die Zahlen geben an, wieviele Kanten an ein Feld angrenzen;
leere Zellen grenzen an eine unbekannte Anzahl von Kanten.
I
Die Schleife schneidet sich nicht selbst und enthält keine
Abzweigungen.
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
14
Verallgemeinertes Eindeutigkeitsproblem
für Slitherlink-Kurven
Problem (verallgemeinertes Eindeutigkeitsproblem)
In einem verallgemeinerten Slitherlink-Puzzle, dessen Randfelder mit 0
beschriftet sind, stehe in jedem Feld eine Zahl. Besitzt dieses Puzzle dann
höchstens eine Lösung?
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
15
Verallgemeinertes Eindeutigkeitsproblem
für Slitherlink-Kurven
Problem (verallgemeinertes Eindeutigkeitsproblem)
In einem verallgemeinerten Slitherlink-Puzzle, dessen Randfelder mit 0
beschriftet sind, stehe in jedem Feld eine Zahl. Besitzt dieses Puzzle dann
höchstens eine Lösung?
Fragen
I
Was sind geeignete bzw. interessante Zellenzerlegungen der Ebene?
I
Kommen auch andere Flächen in Frage?
I
Welche Zellenzerlegungen bieten sich auf solchen Flächen an?
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
15
Besondere Zellenzerlegungen der euklidischen Ebene
Besondere Zellenzerlegungen der Ebene sind die regulären Pflasterungen:
I
Alle Zellen sind isometrisch zueinander,
I
jede Zelle ist ein regelmäßiges Polygon,
I
und an jeder Ecke trifft sich dieselbe Anzahl von Zellen.
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
16
Besondere Zellenzerlegungen der euklidischen Ebene
Besondere Zellenzerlegungen der Ebene sind die regulären Pflasterungen:
I
Alle Zellen sind isometrisch zueinander,
I
jede Zelle ist ein regelmäßiges Polygon,
I
und an jeder Ecke trifft sich dieselbe Anzahl von Zellen.
Es gibt nur drei solcher regulären Pflasterungen der euklidischen Ebene:
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
16
Eindeutigkeitsproblem
für reguläre Zellenzerlegungen der euklidischen Ebene
Satz
In einem verallgemeinerten ebenen Slitherlink-Puzzle, das auf einer
I
quadratischen,
I
regulären dreieckigen, oder
I
reguläre hexagonalen
Zellenzerlegung beruht, dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind, und bei
dem in jedem Feld eine Zahl steht, gibt es höchstens eine Lösung.
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
17
Eindeutigkeitsproblem
für reguläre Zellenzerlegungen der euklidischen Ebene
Satz
In einem verallgemeinerten ebenen Slitherlink-Puzzle, das auf einer
I
quadratischen,
I
regulären dreieckigen, oder
I
reguläre hexagonalen
Zellenzerlegung beruht, dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind, und bei
dem in jedem Feld eine Zahl steht, gibt es höchstens eine Lösung.
Beweis.
Dies beruht wie im quadratischen Fall auf einem Induktionsargument und
einer entsprechenden Analyse der bereits bekannten Felder/Kanten.
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
17
Ist das Eindeutigkeitsproblem ein topologisches Problem?
Problem
Gilt der obige Satz für alle Zellenzerlegungen der euklidischen Ebene?
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
18
Ist das Eindeutigkeitsproblem ein topologisches Problem?
Problem
Gilt der obige Satz für alle Zellenzerlegungen der euklidischen Ebene?
Beispiel
Nein, denn:
0
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2 3
3 2
0
0
3
0
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
18
Ist das Eindeutigkeitsproblem ein topologisches Problem?
Problem
Gilt der obige Satz für alle Zellenzerlegungen der euklidischen Ebene?
Beispiel
Nein, denn:
0
0
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0
3
3
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0
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
0
18
Zweidimensionale Geometrien
Krümmungstrichotomie
Es gibt im wesentlichen drei zweidimensionale Geometrien konstanter
Krümmung:
I
Sphäre
I
Euklidische Ebene
I
Hyperbolische Ebene
Clara Löh
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19
Zweidimensionale Geometrien
Krümmungstrichotomie
Es gibt im wesentlichen drei zweidimensionale Geometrien konstanter
Krümmung:
I
Sphäre
I
Euklidische Ebene
I
Hyperbolische Ebene
sphärisch
positiv
Clara Löh
euklidisch
flach
hyperbolisch
negativ
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19
Sphäre – reguläre Zellenzerlegungen
Reguläre Zellenzerlegungen der Sphäre entsprechen den regulären
Polyedern:
I
Tetraeder
I
Oktaeder
I
Würfel
I
Dodekaeder
I
Ikosaeder
Clara Löh
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20
Sphäre – Eindeutigkeitsproblem
Satz
Für jede reguläre Zellenzerlegung der Sphäre gibt es ein verallgemeinertes
Slitherlink-Puzzle (dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind), so dass in
jedem Feld eine Zahl steht, das Puzzle aber mehrere Lösungen besitzt.
Clara Löh
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21
Sphäre – Eindeutigkeitsproblem
Satz
Für jede reguläre Zellenzerlegung der Sphäre gibt es ein verallgemeinertes
Slitherlink-Puzzle (dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind), so dass in
jedem Feld eine Zahl steht, das Puzzle aber mehrere Lösungen besitzt.
Beweis.
Wir geben hier nur den Beweis für den Würfel:
2
2
2
2
2
2
Clara Löh
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21
Sphäre – Eindeutigkeitsproblem
Satz
Für jede reguläre Zellenzerlegung der Sphäre gibt es ein verallgemeinertes
Slitherlink-Puzzle (dessen Randfelder mit 0 beschriftet sind), so dass in
jedem Feld eine Zahl steht, das Puzzle aber mehrere Lösungen besitzt.
Beweis.
Wir geben hier nur den Beweis für den Würfel:
2
2
2
2
Clara Löh
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
2
2
2
2
21
Hyperbolische Ebene – reguläre Zellenzerlegungen
Seien p, q ∈ N≥3 mit
1 1
1
+ < .
p q
2
Dann gibt es eine reguläre Zellenzerlegung der hyperbolischen Ebene aus
regulären p-Ecken, wobei sich in jeder Ecke je q dieser p-Ecke treffen.
Clara Löh
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Hyperbolische Ebene – reguläre Zellenzerlegungen
Seien p, q ∈ N≥3 mit
1 1
1
+ < .
p q
2
Dann gibt es eine reguläre Zellenzerlegung der hyperbolischen Ebene aus
regulären p-Ecken, wobei sich in jeder Ecke je q dieser p-Ecke treffen.
Beispiel (http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_tilings_in_hyperbolic_plane)
p = 3, q = 7
Clara Löh
p = 4, q = 5
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22
Hyperbolische Ebene – Eindeutigkeitsproblem
Satz
Seien p, q ∈ N≥3 mit p1 + 1q < 21 . Dann besitzt jedes verallgemeinerte
Slitherlink-Puzzle auf einer (p, q)-regulären hyperbolischen
Zellenzerlegung, dessen Randfelder alle mit 0 beschriftet sind und dessen
Felder alle eine Zahl enthalten, höchstens eine Lösung.
Clara Löh
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23
Hyperbolische Ebene – Eindeutigkeitsproblem
Satz
Seien p, q ∈ N≥3 mit p1 + 1q < 21 . Dann besitzt jedes verallgemeinerte
Slitherlink-Puzzle auf einer (p, q)-regulären hyperbolischen
Zellenzerlegung, dessen Randfelder alle mit 0 beschriftet sind und dessen
Felder alle eine Zahl enthalten, höchstens eine Lösung.
Beweis.
Wie im Fall der euklidischen Ebene beruht der Beweis auf
I
einem induktiven Argument
I
und einer Analyse der Kombinatorik der bereits behandelten
Felder.
Clara Löh
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23
Und jetzt?
Clara Löh
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24
Und jetzt? Systematisch verallgemeinern!
I
Clara Löh
Was passiert auf anderen Flächen?
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
24
Und jetzt? Systematisch verallgemeinern!
I
Was passiert auf anderen Flächen?
I
Was passiert bei irregulären Zellenzerlegungen?
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
24
Und jetzt? Systematisch verallgemeinern!
I
Was passiert auf anderen Flächen?
I
Was passiert bei irregulären Zellenzerlegungen?
I
Was passiert für randlose (unendliche) Slitherlink-Kurven,
die nicht geschlossen sind?
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
24
Und jetzt? Systematisch verallgemeinern!
I
Was passiert auf anderen Flächen?
I
Was passiert bei irregulären Zellenzerlegungen?
I
Was passiert für randlose (unendliche) Slitherlink-Kurven,
die nicht geschlossen sind?
I
Was passiert in höheren Dimensionen?
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
24
Und jetzt? Systematisch verallgemeinern!
I
Was passiert auf anderen Flächen?
I
Was passiert bei irregulären Zellenzerlegungen?
I
Was passiert für randlose (unendliche) Slitherlink-Kurven,
die nicht geschlossen sind?
I
Was passiert in höheren Dimensionen?
I
...
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
24
Und jetzt? Systematisch verallgemeinern!
I
Was passiert auf anderen Flächen?
I
Was passiert bei irregulären Zellenzerlegungen?
I
Was passiert für randlose (unendliche) Slitherlink-Kurven,
die nicht geschlossen sind?
I
Was passiert in höheren Dimensionen?
I
...
I
Der Phantasie sind keine Grenzen gesetzt!
Clara Löh
Verallgemeinerte Slitherlink-Puzzles (Geometrie/Kombinatorik)
24
Zusammenfassung
Wir sind zwei fundamentalen mathematischen Phänomenen begegnet:
I
Lokal ↔ global
I
Krümmungstrichotomie
Clara Löh
Zusammenfassung
25
Zusammenfassung
Wir sind zwei fundamentalen mathematischen Phänomenen begegnet:
I
Lokal ↔ global
I
Krümmungstrichotomie
Wir haben zentrale mathematische Techniken kennengelernt:
I
Ein Beispiel sagt mehr als tausend Worte
I
Feinabstimmung der Problemstellung
I
Abstraktion und Übersetzung auf systematisch verallgemeinerte
Situationen
Clara Löh
Zusammenfassung
25
Zusammenfassung
Wir sind zwei fundamentalen mathematischen Phänomenen begegnet:
I
Lokal ↔ global
I
Krümmungstrichotomie
Wir haben zentrale mathematische Techniken kennengelernt:
I
Ein Beispiel sagt mehr als tausend Worte
I
Feinabstimmung der Problemstellung
I
Abstraktion und Übersetzung auf systematisch verallgemeinerte
Situationen
Material zu Slitherlink für Schüler:
I
Clara Löh
Schülerzirkel Mathematik: Zahlenschleifen (Thema 2013/14-2)
Zusammenfassung
25