Klasse ST13a HeSe 13/14 ungr MAE1 Serie 5 (Folgen und Reihen

Klasse ST13a
HeSe 13/14
MAE1
ungr
Serie 5 (Folgen und Reihen)
Aufgabe 1
Berechnen Sie die ersten vier Folgenglieder der Zahlenfolgen
a) an = (−1)n · n2 − 3
(n ∈ N),
b) a0 = 1, an = an−1 +
2n
n!
(n ≥ 1).
Aufgabe 2
Leiten Sie für die Zahlenfolgen jeweils ein direktes Bildungsgesetz her:
b) a1 = x, an+1 = x ·
a) a1 = 1, an = an−1 + ln (n) (n > 1),
n+1
· an
n
(n ≥ 1).
Aufgabe 3
a) Wie viele Glieder der arithmetischen Folge (6, 12, . . .) müssen aufsummiert werden, damit sich
die Summe 1800 ergibt?
b) Wie viele Glieder der geometrischen Folge (6, 12, . . .) müssen aufsummiert werden, damit sich
die Summe 6138 ergibt?
Aufgabe 4
Eine Summe von CHF 6000.− wird so unter 17 Personen verteilt, dass
a) jede Person CHF 14.− mehr erhält als die vorangehende Person.
b) jede Person 10 % mehr erhält als die vorangehende Person.
Bestimmen Sie den jeweils kleinsten und den grössten Betrag (auf ganze Zahlen gerundet).
Aufgabe 5
Die Summe von CHF 5000.− wird unter 7 Personen geometrisch abgestuft so verteilt, dass der grösste
Betrag das Dreifache des kleinsten ausmacht. Bestimmen Sie den kleinsten und den grössten Betrag.
Aufgabe 6
Licht verliert beim Durchdringen einer Glasplatte 5 % seiner Intensität.
a) Wie viel % verliert es, wenn es durch 20 Glasplatten geht?
b) Nach wie vielen Glasplatten beträgt die Intensität noch 1 % der Anfangsintensität?
1
serie5_MAE1.tex
Aufgabe 7
Ein Kapital wird mit 8 % bei vierteljährlichem Zinszuschlag verzinst (d.h. zu einem nominellen Jahreszins
von 32 %).
a) In welcher Zeit verdreifacht es sich (Resultat auf 1/4 Jahr genau)?
b) Welches ist der effektive Jahreszins?
Aufgabe 8
Zur Begleichung einer Schuld von (heute) CHF 7200 soll man nach einem Jahr CHF 3800, nach zwei
Jahren CHF 4000 bezahlen. Zu welchem Zinsfuss verzinst sich das Geld?
Aufgabe 9
Eine vierprozentige Millionenanleihe soll innerhalb von 50 Jahren durch gleich hohe Annuitäten (jeweils
zum Jahresende) verzinst und amortisiert werden.
a) Welcher Betrag ist nach 10 Jahren amortisiert?
b) Nach wie vielen Jahren sind zum ersten Mal mindestens 30 % der Anfangsschuld amortisiert?
Aufgabe 10
Berechnen Sie die Summen folgender geometrischer Reihen:
a) 2 +
3
+ ...,
2
b) 2 −
3
± ...,
2
c) 1 + 0.99 + . . . ,
d) 1 − 0.99 ± . . . .
Aufgabe 11
Wir betrachten die natürlichen Zahlen N:
a) Bestimmen Sie eine Formel für die ersten n ungeraden Zahlen.
b) Bestimmen Sie eine Formel für die ungeraden Zahlen von 1 bis m = ungerade.
c) Bestimmen Sie eine Formel für die ersten n geraden Zahlen.
d) Bestimmen Sie eine Formel für die geraden Zahlen von 1 bis m = gerade.
Aufgabe 12
Wir betrachten die natürlichen Zahlen N, (cf. obige Aufgabe)
a) Bestimmen Sie eine Formel für die Summe der ersten n ungeraden Zahlen.
b) Bestimmen Sie eine Formel für die Summe der ungeraden Zahlen von 1 bis m = ungerade.
c) Bestimmen Sie eine Formel für die Summe der ersten n geraden Zahlen.
d) Bestimmen Sie eine Formel für die Summe der geraden Zahlen von 1 bis m = gerade.
2
serie5_MAE1.tex
MAE1
Lösungen Serie 5
Lösung 1
a) a1 = −4, a2 = 1, a3 = −12, a4 = 13
b) a1 = 3, a2 = 5, a3 =
19
, a4 = 7
3
Lösung 2
a) an = 1 + ln (n!), n ∈ N
b) an = n · xn , n ≥ 1
Lösung 3
a) ak = 6 + (k − 1) · 6 =⇒1800 =
n−1
∑
6n + 6 ·
n
∑
n
∑
ak =
k=1
(6 + (k − 1) · 6) = 6n + 6 ·
k=1
n
∑
(k − 1) =
k=1
k = 3n2 + 3n =⇒ n2 + n − 600 = (n − 24) · (n + 25) = 0, also n = 24.
k=1
b) ak = q k−1 · a1 , a1 = 6, a2 = q · a1 = 12 =⇒ q = 2 und damit
n
n
∑
∑
6138 =
ak = a1 ·
q k−1 = a1 · (1 + q + q 2 + . . . + q n−1 ) = a1 ·
k=1
k=1
q n −1
q−1
=⇒ q n − 1 = 1023
und schliesslich n = 10.
Lösung 4
a) ak = a1 + (k − 1) · 14, k = 1, 2, . . . , 17 =⇒
6000 =
17
∑
(a1 + (k − 1) · 14) = 17 · a1 + 14 ·
k=1
17
∑
(k − 1) = 17 · a1 + 14 ·
k=1
16
∑
k=1
k = 17a1 + 14 · 16·17
2
und damit 17a1 = 4096 =⇒ a1 = 240.94 und a17 = a1 + 16 · 14 = 464.94,
gerundet: a1 = CHF 241.− und a17 = CHF 465.−
b) ak = a1 · q k−1 , k = 1, 2, . . . , 17 mit q = 1.1 und damit 6000 =
17
∑
ak = a1 ·
k=1
schliesslich a1 = 6000 ·
q−1
q 17 −1
17
∑
k=1
−1
q k−1 = a1 · qq−1
,
17
= 147.98 und a17 = a1 · q 16 = 679.99.
Gerundete Werte: a1 = CHF 148.− und a17 = CHF 680.−
Lösung 5
a1 + a2 + . . . + a7 = 5000 mit ak = a1 · q k−1 . a7 = 3 · a1 =⇒ a1 · q 6 = 3 · a1 , d.h. q =
7
−1
und damit a1 · qq−1
= 5000, a1 = qq−1
7 −1 · 5000 = 385.9999 und a7 = 1.1580e + 003,
gerundet a1 = CHF 386.− und a7 = CHF 1158.−
3
√
6
3
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Lösung 6
95 % des Lichts kommt an, beim Durchgang durch eine Glasplatte.
a) totaler Verlust: 1 − q 20 = 1 − (0.95)20 = 0.6415, also 64.15 %
b) (0.95)x = 0.01 =⇒ x =
log (0.01)
log (0.95)
= 89.7811, also 90 Glasplatten
Lösung 7
q = 1.08 für ein Vierteljahr
a) Verdreifachung: q x = 3 =⇒ x =
log (3)
log (1.08)
= 14.2749, d.h. gerundet in
14
4
Jahren.
b) Jahreszins: q = 1.08 pro Vierteljahr, also für ein Jahr: q 4 = 1.3605, d.h. 36.05 % Jahreszins.
Lösung 8
• (1 + p) = Verzinsung der Schuld, d.h. p = gesuchter Zinssatz
• nach einem Jahr: (1 + p) · 7200 − 3800
• für das zweite Jahr gilt: (1 + p) {(1 + p) · 7200 − 3800} = 4000
und damit
(1 + p) · 36 − (1 + p) · 19 − 20 = 0
2
=⇒
(1 + p)1.2 =
19 ±
√
192 + 4 · 20 · 36
72
es kommt nur das + in Frage, d.h. (1 + p) = 1.0546, also p = 5.46 %
Lösung 9
K = 106 Millionenanleihe, p = 4 %, x = Annuität, q = 1 + p
a) nach dem ersten Jahr: K − x
nach dem zweiten Jahr: K − (1 + p) · x − x
nach dem dritten Jahr: K − (1 + p)2 · x − (1 + p) · x − x
nach dem vierten Jahr: K − (1 + p)3 · x − (1 + p)2 · x − (1 + p) · x − x = K − x ·
3
∑
qk
k=1
usw.
nach dem n−ten Jahr: K − x ·
n−1
∑
qk = K − x ·
k=0
nach 50 Jahren soll gelten: K − x ·
q 50 −1
q−1
q n −1
q−1
= 0 =⇒ x = K ·
q−1
q 50 −1
= 6550.20,
gerundet: x = CHF 6550.−
und somit getilgter Betrag nach 10 Jahren: x ·
q 10 −1
q−1
= 78642.41 und gerundet CHF 78642.−
b)
qn − 1
> 0.3·K
x·
q−1
=⇒
0.3 · K
q >
·(q−1)+1
x
n
=⇒
n>
log
( 0.3·K
x
)
· (q − 1) + 1
= 26.54
log (q)
also nach 27 Jahren.
4
serie5_MAE1.tex
Lösung 10
Für alle geometrischen konvergenten Reihen gilt: s = a1 ·
a) a1 = 2 , q =
3
, s=8
4
1
1−q ,
|q| < 1
b) a1 = 2 , q = −
3
8
, s=
4
7
d) a1 = 1 , q = −0.99 . s =
c) a1 = 1 , q = 0.99 , s = 100
100
199
Lösung 11
a) ak = 2k + 1 für k = 0, 1, . . . , n − 1
b) bj = 2j + 1 für j = 0, 1, . . . , m−1
2
c) cl = 2l für l = 1, 2, . . . , n
d) di = 2i für i = 1, 2, . . . , m
2
Lösung 12
a) sa =
n−1
∑
(2k + 1) = n
b) sb =
n
∑
∑
(2j + 1) =
j=0
k=0
c) sc =
(
m−1
2
2
m
2l = n(n + 1)
d) sd =
2
∑
i=1
l1
5
2i =
m+1
2
)2
)
m (m
·
+1
2
2
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