Theorieaufgaben 20 Punkte
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Klausur - Kinematik und Dynamik - SoSe 2015 Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov Dieser umrahmte Bereich ist vor der Bearbeitung der Klausur vollständig und lesbar auszufüllen! Nachname Vorname Studiengang Matrikelnummer Art der Klausur: Prüfungsklausur Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 Σ1-7 Übungsscheinklausur Kurzfragenteil / 80 Punkte Sichtung / 20 Die Prüfungsklausur umfasst sieben Rechenaufgaben und einen Kurzfragenteil mit Theorieaufgaben. Die Bearbeitungszeit beträgt 4 Zeitstunden. Die Klausur gilt als bestanden, wenn im Kurzfragenteil mindestens 10 von 20 Punkten und insgesamt mindestens 40 von 100 Punkten erreicht werden. Tragen Sie die Ergebnisse des Kurzfragenteils direkt auf dem Klausurblatt ein (nur diese Eintragungen werden berücksichtigt!). Es werden alle Rechenaufgaben gewertet. Bitte schreiben Sie sauber, unlesbare Lösungen werden nicht beachtet. Theorieaufgaben 20 Punkte 1. Geben Sie die Maßeinheiten folgender Größen ausschließlich in den Einheiten 1, kg, m und s an: Dämpfungsgrad D Winkelbeschleunigung ϕ̈ ~ Drehimpuls L Steifigkeit einer Drehfeder cD 1 Punkt 2. Gegeben ist das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm einer geradlinigen Bewegung. Skizzieren Sie das zugehörige Beschleunigung-Zeit-Diagramm. Geben Sie markante Punkte quantitativ richtig an. a sm2 v ms 40 20 10 20 30 40 t [s] 10 20 30 40 t [s] 2 Punkte Starrer Körper 3. Das skizzierte ebene System besteht aus einem starren Körper und zwei Massepunkten, die über eine starre, masselose Stange miteinander verbunden sind. Die Stange ist wiederum über eine masselose Feder mit dem starren Körper verbunden. Wie viele Freiheitsgrade hat das skizzierte ebene System? Massepunkt masselos und starr masselos Massepunkt Antwort: Es hat Freiheitsgrade. 1 Punkt 4. Ein Massepunkt bewegt sich entlang einer Geraden. Seine Geschwindigkeit in Abhängigkeit des Ortes ist durch v (x) = Ax sin (Bx) gegeben, wobei A und B gegebene maßeinheitenbehaftete Konstanten sind. Berechnen Sie die Beschleunigung als Funktion des Ortes! a (x) = 5. Der skizzierte Kolben bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit vc nach oben. Im Punkt C ist der Kolben ge- A lenkig an der Stange 2 angeschlossen. Diese ist wiederum im Gelenkpunkt B mit der Stange 1 verbunden. Zeichnen Sie den Momentanpol M der Stange 2 in nebenstehendes Bild ein. y 1 Punkt vc x 2 α 1 C β B 1 Punkt 6. Eine rein translatorisch bewegte Kugel der Masse m stößt vor dem Stoß: mit der Geschwindigkeit v zentral mit einer ruhenden, v gleichartigen Kugel (gleiche Masse m) zusammen. Mit welchen Geschwindigkeiten c1 und c2 bewegen sich die Kugeln m m nach dem Stoß weiter, wenn der Stoß als ideal-elastisch angenommen werden soll? c1 = nach dem Stoß: c1 c2 m m c2 = Gegeben: v, m vor dem Stoß: 7. Ein Körper der Masse m1 mit der Geschwindigkeit v stößt wie skizziert mit einem ruhenden v m1 m2 Körper der Masse m2 zusammen. Der Stoß sei vollplastisch, so dass sich beide Körper vereint nach dem Stoß mit der (nicht gegebenen) Geschwindigkeit c weiter bewegen. Wie groß ist die Energie, die bei diesem vollplastischen Stoß verloren geht? 1 Punkt nach dem Stoß: m1 + m2 c ∆W = Gegeben: v, m1 , m2 1 Punkt 8. Eine kleine Kugel vom Gewicht G = 40 N wird von einer N abgeschossen. Um linearen Feder der Steifigkeit c = 100 cm welchen Weg ∆s muss die Feder vorgespannt sein, wenn die Kugel eine (maximale) Höhe von h = 20 m erreichen soll? Die Luftreibung sei vernachlässigbar. g m NN ∆s = vorgespannt 1 Punkt 111111111 000000000 ~e 000000000 111111111 R 000000000 111111111 000000000 111111111 ~e 000000000 111111111 ϕ 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 9. Eine Punktmasse bewegt sich wie skizziert auf einer Kreisbahn vom Radius R. Der die Bewegung beschreibende Winkel ϕ (t) ändert sich dabei gemäß ϕ (t) = kt2 , ϕ r worin k eine maßeinheitenbehaftete gegebene Konstante darstellt. Gegeben: ϕ (t) = kt2 , R, F0 (a) Geben Sie die Beschleunigung der Punktmasse in der Polarbasis ~er (t) , ~eϕ (t) an. ~a (t) = (b) Nehmen Sie an, dass auf die Punktmasse während der Bewegung eine Kraft in Umfangsrichtung F~ (t) = F0~eϕ (t) wirkt, wobei F0 konstant ist. Wie groß ist die Arbeit, die die Kraft F~ (t) an der Kugel bei einem vollen Umlauf verrichtet? WUmlauf = 2 Punkte 10. Ein Fahrstuhl bewegt sich mit der Beschleunigung s̈ (t) = 21 g senkrecht nach unten. Wie groß ist die Normalkraft FN zwischen dem Fahrstuhlboden und einem Körper der Masse m, welcher sich im Fahrstuhl befindet? Gegeben: g, m, s̈ (t) = s g 1 2g m FN = 1 Punkt 11. Das skizzierte System besteht aus 4 Massepunkten, die über starre, masselose Stangen miteinander verbunden sind. Wie groß ist das Massenträgheitsmoment des skizzierten Systems bezüglich der yAchse? Gegeben: m, ℓ y z m m ℓ ℓ Θyy = ℓ ℓ m 3m x 1 Punkt ω 12. Eine starre Kugel der Masse m mit dem Massenträgheitsmoment bezüglich des Schwerpunktes Θs führt eine ebene Bewegung in der x-y-Ebene aus. Dabei dreht sich die Kugel mit der Winkelgeschwindigkeit ω und ihr Schwerpunkt bewegt sich mit der Geschwindigkeit v nach rechts. Geben Sie den Drehimpuls der Kugel h in Bezug auf den ruhenden Punkt A an! v R S ~ey Gegeben: R, h, m, Θs , v, ω ~ (A) L =( A ) · ~ez ~ex ~ez 1 Punkt x 13. Eine Masse m bewegt sich unter der Einwirkung der Kraft F (t) = F0 cos (ωt) auf einem reibungsfreien Untergrund. Geben Sie für die Anfangsbedingungen x(t = 0) = x0 und ẋ(t = 0) = 0 das Bewegungsgesetz x(t) der Masse m an. m F (t) µ=0 x (t) = Gegeben: m, F (t) = F0 cos (ωt), x(t = 0) = x0 , ẋ(t = 0) = 0, ω =const. 1 Punkt 14. Ein Auto der Masse m fährt mit der Geschwindigkeit v auf gerader, horizontaler Strecke. Bestimmen Sie mit Hilfe des Arbeitssatzes den Bremsweg ∆s des Autos, der nötig ist, um seine Geschwindigkeit auf die Hälfte des Anfangswertes zu reduzieren. Der Reibungskoeffizient sei µ. ∆s = Gegeben: µ, g, m, v 1 Punkt 15. Die drei Schwingungssysteme bestehen aus Punktmassen und masselosen linearen Schraubenfedern. q 3c Welche der folgenden Systeme haben die Eigenkreisfrequenz ω0 = m ? Bitte kreuzen Sie alle richtigen Lösungen an! 3 2c c c m 3c m 3 2c c 2c m 1 Punkt 16. z 2 Das skizzierte System zeigt das Modell für eine PKW-Radaufhängung. Geben Sie die Anzahl der Eigenfrequenzen und Eigenformen des gezeigten Modells an! m2 c2 d m1 z1 Anzahl der Eigenfrequenzen: c1 Anzahl der Eigenformen: Gegeben: m1 , m2 , c1 , c2 , d 1 Punkt 17. Ein Körper K mit der Masse m ist über eine Feder und einen Dämpfer mit dem Anregungskolben A verbunden, der eine vorgegebene schwingende Bewegung u(t) = û cos (Ωt) ausführt. x(t) bezeichnet die Verschiebung des Körpers K gegen den spannungslosen Ruhezustand. Die Bewegungsdifferenzialgleichung des Systems lautet: mẍ (t) + dẋ (t) + kx (t) = du̇ (t) + ku (t) Die Vergrößerungsfunktion V (η) des Systems ist für den ungedämpften Fall und einen schwach gedämpften Fall skizziert. 3.5 3.0 D=0 x 2.5 D=0,3 2.0 k VHΗL 1.5 u(t) A K d 1.0 0.5 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Η (a) Geben Sie die Eigenfrequenz f des gedämpften Systems in Abhängigkeit der gegebenen Größen an. Gegeben: û, k, d, m f= (b) Nun werde das System mit der Kreisfrequenz Ω = 2ω0 erregt. Durch welche Maßnahmen kann man bei dieser Erregerkreisfrequenz die Amplituden verringern (Bitte ankreuzen!): Die Dämpfung verringern. Die Dämpfung vergrößern. 2 Punkte 1 Kinematik Ein Körper bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit vA in x-Richtung (geführte Bewegung). Eine gelenkig an diesem Körper angeschlossene Stange der Länge ℓ führt Pendelbewegungen gemäß ϕ (t) = ϕ0 cos (ω0 t) 5+5 = 10 Punkte Geführter Körper vA ~ey ℓ y aus. Zum Zeitpunkt t = 0 s beträgt der Abstand des translatorisch bewegten Körpers von der yAchse xA (0) = x0 . Eine Person, die sich zum Anfangszeitpunkt t = 0 s im Ursprung des Koordinatensystems befindet, bewegt sich geradlinig gleichförmig mit vB in x-Richtung. ϕ (t) ℓ P x vB ~ex (a) Ermitteln Sie den Orts- und Geschwindigkeitsvektor des Stangenendpunktes P in der raumfesten kartesischen Basis. (b) Mit welcher Geschwindigkeit vB muss die Person laufen, damit Sie den Stangenendpunkt P in der tiefsten Position erreicht. Hinweis: Es ist der Zustand gemeint, bei dem der Stangenendpunkt erstmalig den tiefsten Punkt erreicht. Gegeben: vA , ℓ, ϕ (t) = ϕ0 cos (ω0 t), ω0 = const., x0 2 Kinematik - Bekannte Aufgabe 1 2+8 = 10 Punkte Das dargestellte Getriebe besteht aus den Zahnrädern 1 und 2 , dem Winkelrahmen 3 und der Schubstange 4 . Der Winkelrahmen 3 rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω3 um den Lagerpunkt A. Das im Punkt C mit dem Rahmen verbundene Zahnrad 2 rollt infolgedessen im Punkt B auf dem blockierten Zahnrad 1 ab. Die Schubstange 4 ist in E gelenkig mit dem Winkelrahmen 3 sowie über die Schiebehülse D mit Zahnrad 2 verbunden. y, ~ey (a) Zeigen Sie, dass die Winkelgeschwindigkeit des Zahnrades 2 ω2 = 32 ω3 beträgt. E (b) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω4 der Schubstange 4 . Gegeben: R, ω3 4 3 4R ω3 D C R 2 B 2R A R 1 x, ~ex 3 Kinematik 5+2+4 = 11 Punkte Eine Plattform vom Radius R dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω und bewegt sich nach dem Bewegungsgesetz z (ϕ) = z0 1 − e−kϕ nach oben. An der Plattform ist wie skizziert ein starres Hohlrohr der Länge ℓ befestigt, in welchem sich ein Massepunkt mit der (relativen) Geschwindigkeit v0 nach außen bewegt. Zum Zeitpunkt t = 0 s sei ϕ = 0 und der Massepunkt P befindet sich im radialen Abstand R von der Drehachse. (a) Berechnen Sie Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor des Massepunktes P als Linearkombination der mitdrehenden Basis h~er , ~eϕ , ~ez i. (b) Nach welcher Zeit tE hat die Plattform die Höhe h = 12 z0 erreicht? ω R P v0 (c) Nun soll der Massepunkt P das Hohlrohr genau in dem Augenblick verlassen, in welchem die Plattform die Höhe h = 12 z0 erreicht. Wie groß muss dazu v0 gewählt werden und mit welchem Geschwindigkeitsbetrag vE verlässt der Massepunkt das Hohlrohr? Beachten Sie die gegebenen Größen. z (ϕ) ℓ z y 111111111111111111111 000000000000000000000 ~eϕ 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 ~er 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 ϕ 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 Gegeben: R, ℓ, k > 0, ω = konst., z0 , ϕ(0) = 0 x 4 Kinetik 3+7 = 10 Punkte Zwei Zylinder der Massen m1 und m2 mit den Massenträgheitsmomenten bezüglich der Schwerpunkte Θ1 und Θ2 sind über eine lineare Feder der Steifigkeit c gekoppelt. Die beiden Zylinder bewegen sich eine um den Winkel α geneigte Ebene hinab, wobei beide Zylinder eine reine Rollbewegung ausüben. Zur Beschreibung der Bewegung sollen die Schwerpunktskoordinaten x1 und x2 verwendet werden. Für x1 = x2 sei die Feder entspannt. x1 (a) Schneiden Sie beide Körper einzeln frei und geben Sie alle notwendigen kinematischen Beziehungen m1 , Θ1 x2 an. g S 1 c (b) Ermitteln Sie das Bewegungsdifferenzialgleim ,Θ r 1111111111111111111 0000000000000000000 S 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 1111111111111111111 r 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 1111111111111111111 α 0000000000000000000 1111111111111111111 0000000000000000000 1111111111111111111 chungssystem mit Hilfe von Schwerpunkt- und Drallsatz und stellen Sie es in Matrizenform dar. Gegeben: α, r, c, g, m1 , m2 , Θ1 , Θ2 2 2 2 5 Kinetik - Arbeitssatz 6+7+3 = 16 Punkte Das skizzierte System besteht aus zwei gleichen, homogenen Stäben, die gelenkig miteinander verbunden sind und über ein Festlager im Punkt A und ein Loslager im Punkt B an die Umgebung gekoppelt sind. Eine lineare Drehfeder der Steifigkeit cd verbindet Punkt A mit dem linken Stab, des Weiteren ist der Punkt B über eine lineare Längsfeder der Steifigkeit k mit der Umgebung verbunden. Im Verbindungspunkt der beiden Stäbe greift eine konstante vertikale Kraft F an. Die Stäbe haben die Länge ℓ, die Masse m und je das Massenträgheitsmoment Θs bezüglich ihrer Schwerpunkte S1 und S2 . Reibung sei nicht vorhanden. Zum Anfangszeitpunkt t = 0 s sind beide Federn entspannt und es gelten die Anfangsbedingungen ϕ (0) = ϕ0 = 30◦ und ϕ̇ (0) = 0 1s . F y g ℓ ℓ S2 S1 cD ϕ ~ey k β ~ex x B A (a) Die Abbildung zeigt einen momentanen Bewegungszustand (ϕ < ϕ0 ). Zeigen Sie dass für die kinetische Energie des Systems 1 2 + sin ϕ mℓ2 ϕ̇2 Kt = 3 gilt. Beachten Sie dabei die gegebenen Größen. (b) Ermitteln Sie die Winkelgeschwindigkeit ϕ̇ als Funktion des Winkels ϕ mit Hilfe des Arbeitssatzes. Die unter Aufgabenteil (a) gegebene kinetische Energie soll dabei verwendet werden. (c) Wie groß muss die Kraft F mindestens sein, um den Durchgang der Stäbe durch die horizontale Lage zu gewährleisten? Beachten Sie dabei die gegebenen Größen und berücksichtigen Sie cD = π722 kℓ2 . Gegeben: ℓ, m, Θs = 1 2 12 mℓ , g, k, cD , F , ϕ (0) = ϕ0 = 30◦ , ϕ̇ (0) = 0 1s 6 Kinetik - Bekannte Aufgabe 2 10 Punkte x(t) F (t) 1111111111111111 0000000000000000 m 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 Die Auslenkung aus der statischen Ruhelage wird durch x(t) beschrie0000000000000000 1111111111111111 k ben. Berechnen Sie den stationären (eingeschwungenen) Zustand des 0000000000000000 1111111111111111 a Systems (Amplitude und Phasenlage) bei kleinen Auslenkungen. 0000000000000000 1111111111111111 c 0000000000000000 1111111111111111 α Gegeben: F (t) = F cos Ωt, m, c, k, a 0000000000000000 1111111111111111 reines Rollen 0000000000000000 1111111111111111 An einer homogenen Kreisscheibe greift wie skizziert eine harmonische Erregerkraft F (t) an. 0 7 Kinetik - Schwingungen 7+2+4 = 13 Punkte Das skizzierte System besteht aus einem starren, masselosen Winkel, an dessen Enden die Punktmassen m1 und m2 befestigt sind. Die Punktmassen sind über eine lineare Feder der Steifigkeit c und einen linearen Dämpfer mit der Dämpfungskonstanten d an die Umgebung gefesselt. Die Feder sei in der nicht ausgelenkten Lage entspannt (linke Teilabbildung). Die rechte Teilabbildung zeigt das System in einer ausgelenkten Lage. c m2 g d b starr, masselos ϕ A A m1 a Ausgelenkte Lage (a) Schneiden Sie das System frei und ermitteln Sie die nicht-lineare Bewegungsdifferenzialgleichung des Systems. Die Schrägstellungen von Feder und Dämpfer sollen dabei vernachlässigt werden. (b) Wie lautet die lineare Bewegungsdifferenzialgleichung für kleine Auslenkungen? (c) Bei kleinen Auslenkungen und Vernachlässigung der Gewichtskraft kann die Bewegungsdifferenzialgleichung in der Form ϕ̈ (t) + 2δ ϕ̇ (t) + ω02 ϕ (t) = 0 angegeben werden. Geben Sie die allgemeine Lösung dieser Bewegungsdifferenzialgleichung an und passen Sie die Lösung den Anfangsbedingungen ϕ (0) = ϕ0 an. Gegeben: a, b, c, d, m1 , m2 , g; ϕ0 , in Teil (c): δ, ω0 und ϕ̇ (0) = 0 1 s
