Netzwerke und Schaltungen I 1 Grundlagen
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1.2 Elektrische Ladungen und Felder Netzwerke und Schaltungen I Im Draht: U = E · l Im Plattenkondensator: U = E · d Spannung = Potentialdifferenz I1 + I2 + I3 + ... + In = 0 Konvention: Alle I zum Knotenpunkt positiv. 1.2.1 Gesetz von Coulomb ~= F Christian Schluchter, [email protected] 1 Q1 Q2 ~ 4π0 r2 e Proportionalitätskonst. 25. August 2007 Merke Ideale Spannungsquellen nie parallel schalten! ~r r ~e = 1 4π0 2 1.3.1 Maschenregel ~ F Q = U1,2 + U2,3 + U3,4 + ... + Un−1,n + Un,1 = 0 Q ~r 4πr2 r Braunsche Röhre (Feldstärke im Punkt ~r einer Punktladung Q im Ursprung) r1 Q z Komponentenweise: E1 = 4π 3 (r1 2 +r2 2 +r3 2 ) 2 N V [E] = As = m = 0 r r : Dielektrizitätszahl (materialabh.) Im Draht: E = S·ρ 1 Grundlagen C V Ω S F H Wb T W J Konstanten Elektronenladung −e = −1.60 · 10−19 C As el. Feldkonstante 0 = 8.855 · 10−12 Vm 1C = 1As J 1V = 1 s 1Ω = 1 V A 1S = 1Ω−1 C 1F = 1 V 1H = 1 Vs A 1Wb = 1Vs 1T = 1 Wb m2 1W = 1VA 1J = 1Nm dW = Ft ·ds = QE cos α ds W12 = Q R2 S : Stromdichte [S] = A m2 Ft :Tangentialkomp. von F Im konstanten Feld: W = QEd Konvention: von E abgegebene Arbeit hat positives Vorzeichen. 1.3 Spannung und Potential Das Potential ϕ berechnet sich aus der Arbeit die geleistet werden muss um eine Einheitsladung (q = 1C) vom Bezugspunkt zum gegebenen RA W ~ ~s Punkt zu bringen: ϕ0A = q0A = − Ed 0 UAB = WAB Q = ~ ~s = (−ϕB ) − (−ϕA ) = ϕA − ϕB Ed G= U l I = ρA 1 R : el. Leitwert ρ : spez. Widerstand κ= 1 ρ : el. Leitfähigkeit 2 temperaturabhängig: Rν = R20◦ C (1 + α(ν − 20◦ C)) 1.5.1 spezifischer Widerstand Ekin = 12 mv2 = U0 Q = EFeld ⇒ v = x = vH ⇒ x = l q vH v l V q 2U0 Q m 2UQ m ~ d~s = −W21 E RB R= 1 ρϑ = ρ20 (1 + α(ϑ − 20)) 1.4 Elektrischer Strom I= dQ dt [I] = C s =A I = Q·v Q: auf die Länge bezogene,spezifische Ladungsmenge in einem Draht R ~ · dA ~ I= S A für Metalle: I = SA A : Querschnitt des Leiters Die Bewegungsgeschwindigkeit der Elektronen ist sehr klein (0.07 mm s ) das Elektronengas lässt sich jedoch in extrem kurzer Zeit in Bewegung (ϑ in ◦ C) [ρ] = Ωm [α] = K−1 : Temperaturbeiwert (tabelliert) elektrische Leitfähigkeit κ = 1 A 1 ~ E ρ 1.5 Elektrischer Widerstand Widerstände seriell: Rtot = R1 + R2 + ... R ·R ·... Widerstände parallel: Rtot = R 1+R2 +... 1.2.3 Arbeit einer Kraft im elektrischen Feld 1.1 Einheiten und Grössen häufigste elektrische Einheiten Ladung Coulomb Spannung Volt Widerstand Ohm Leitwert Siemens Kapazität Farad Induktivität Henry mag. Fluss Weber mag. Flussdichte Tesla Leistung Watt Arbeit Joule ~= S Merke Ideale Stromquellen nie seriell schalten! = 8.987 · 109 Nm C2 1.2.2 Elektrisches Feld ~= elektrische Feldstärke E 1.4.1 Knotenregel Material Ag (Silber) Cu Al Au (Gold) Fe W (Wolfram) 1 ρ ρ20 1.6 · 10−8 1.7 · 10−8 2.7 · 10−8 2.2 · 10−8 9.7 · 10−8 5.3 · 10−8 α 3.8 · 10−3 3.9 · 10−3 3.9 · 10−3 4.0 · 10−3 5.0 · 10−3 4.8 · 10−3 Quelle: DMK/DPK:Formeln und Tafeln variable Grössen R ρ(l) wobei A(l): Querschnittsfläche, R = A(l) dl ρ(l) spezifischer Widerstand abhängig von der Länge versetzen (4 · 10−16 s). Achtung: Die infinitesimalen Widerstände können parallel liegen → Integration über den Leitwert 1.6 Leistung, Arbeit, Wirkungsgrad 2 Gleichstromnetzwerke und ihre Elemente 2.4 Kondensator 2.2 Stromteiler R1 R1 +R2 I3 = I1 · 1.6.1 Leistung P = UI = U Konvention: An einem Widerstand verbrauchte Leistung positiv, von einer Quelle gespeiste Leistung negativ. reale Spannungsquelle Leistung eines Widerstandes U = Uq − Ui = Uq − Ri I P = UI = U2 R C= 2.1 Spannungs- und Stromquellen, Quellenumwandlung dQ dt = RI2 Ri = Uq Ik Die Kapazität speichert Energie im elektrischen Feld. Q UAB C mit [C] = 1F = 1 V Plattenkondensator: C = A mit A : Plattenfläche, d : Abstand d 2.3 Spannungsteiler I= Uq R+Ri Innenwiderstand Gilt auch im Komplexen! Merke Spannung über Kondensator kann nicht springen (Sonst I → ∞). für t = 0 : uc = 0 für t → ∞ : uc = Uq Ik : Kurzschlussstrom unbelastet Leistung einer realen Quelle P0 = −(Pi + Pv ) Pi : Verlustleistung am Innenwiderstand Pv : Verbraucherleistung bzw. Ri = U1 −U2 I2 −I1 = belastet Uq −Umin Imax uC (t) = Leitungsoptimierung Uq2 Pv (Rv ) = (R +R )2 Rv v i Die Leistung Pv wird maximal wenn gilt: Ri = Rv bzw. Kurzschluss-/ Leerlaufversuch real: RVM Spannungsmessung: UVM = R +R · Uq i Strommessung: IAM = Uq · nach Uq auflösen, gleichsetzen nach Ri auflösen VM 1 Ri +RAM R 1 U1 = U R +R 2 1 kapazitiver Spannungsteiler: C2 U1 = U C +C 1 R2 RV 1 R2 +R1 RV +R2 RV R2 R1 R2 +R1 RV +R2 RV R2 RV R2 +RV U2 = U R IV = U R0 2 = duC dt 1 C R = iC (t) = C i(t)dt + u(0) 1 dQ C dt Energie der Kapazität: W = 21 CU2 = 12 QU = 2 1Q 2 C [W]=J (U zum gesuchten Zeitpunkt) Leistung der Kapazität: p = u(t)i(t) 1.6.2 Arbeit 2.3.1 Potentiometer W= Rt2 P · dt = Rt2 Serieschaltung von Kapazitäten UI · dt t1 t1 Umrechnung in kWh : 1kWh = 3.6 · 106 J unbelastet reale Stromquelle I = Iq − belastet 1 U Ri Q = Q1 + Q2 + ... + Qn C = C1 = C2 = ... = Cn 1.6.3 Wirkungsgrad Pnutz Pges = Pnutz Pnutz +Pverlust Spannunsquelle Uq Iq = − R i 2 = 2 Parallelschaltung von Kapazitäten Quellenumwandlung η= Q = Q1 = Q2 = ... = Qn 1 1 1 1 C = C + C + ... + Cn Stromquelle Uq = −Iq · Ri X R1 = R0 H = R0 x R2 = R0 (1 − x) U1 = Ux U2 = U(1 − x) führe zurück auf belasteten Spannungsteiler: R xR U1 = U 2 0 V R0 x(1−x)+RV R0 Gleichungen aufstellen eine für Ladungserhaltung eine für Serie- bzw. Parallelschaltung duC dt 2.4.1 Ladungserhaltungssatz Zum Zeitpunkt 5τ hat die Ladung sich bis auf weniger als 1% dem Endwert angenähert. Sobald der Kondensator aufgeladen ist, fliesst kein Strom mehr durch ihn: t → ∞ ⇒ IC = 0 2.6 Netzwerke mit abschnittsweise linearen Kennlinien Aufstellen der DGL: di Uq − uL − RiL = 0 uL = L dtL L 0 R iL + iL = Uq R t −→ iL (t) = Ae− τ + B A, B aus iL (t = 0), iL (t = ∞) 2.6.1 Diode 2.5 Induktivität ideale Diode Die Induktivität speichert Energie im magnetischen Feld. QAnfang = QEnde C1 U1 = (C1 + C2 (da IEnde = 0 gibt es keinen Spannungsabfall über R) )U0 uL (t) = L dil (t) dt mit [L] = 1H = iL (t) = 1 L R uL (t)dt + i(0) 1 Vs A ID ≥ 0 UD = 0 UD ≤ 0 ID = 0 UD : Durchlassspannung t uL (t) = Uq e− τ iL (t) = Uq − τt ) R (1 − e wobei τ = L R Vorwiderstand einer Diode C1 U = U1 C1 + C2 0 Merke Strom durch Spule kann nicht springen! (sonst U → ∞) für t = 0 : iL = 0 für t → ∞ : iL =konst 2.4.2 RC-Aufladung eines Kondensators Rv = 2.5.2 Grenzwertüberlegungen Energie einer Spule: WL = 12 LI2 (I zum gesuchten Zeitpunkt) t −→ uC (t) = Ae− τ + B A, B aus uC (t = 0), uC (t = ∞) di Leistung einer Spule: p = u(t)i(t) = Li dt t uC (t) = Uq 1 − e− τ iC (t) = Uq − t τ R e t UR (t) = Uq e− τ wobei τ = RC UD L = L1 + L2 + ... + Ln 1 L1 + 1 L2 + ... + ! ID = Is e UT − 1 UT = Parallelschaltung von Induktivitäten = AP-Bestimmung Shockley-Modell der realen Diode Serieschaltung von Induktivitäten 1 L kT qe : Temperaturspannung ID Entladung t uC (t) = U0 e− τ 3 iC (t) = C duC dt t = −I0 e− τ Is : Sperrstrom qe = 1.6022 · 10−19 As: Elementarladung k = 1.3807 · 10−23 VAs K : Boltzmann-Konstante T: absolute Temperatur ! in K 1 Ln 2.5.1 RL-Schwingkreis ID Linearisierte Kennlinie der Diode bestimmen Lastgerade der Quelle bestimmen mit Kurzschlussstrom und Leerlaufspannung Siehe T1.4 anhand von U12.1 Aufstellen der DGL: du Uq − uC − RiC = 0 iC = C dtC RCuC 0 + uC = Uq Uq − UD S in Stellung 0, P wird bei t = 0+ auf 1 geschaltet UD = UT ln e Is + 1 Graetzschaltung id t = 0+ 0A (aufgrund Stetigkeit) did dt Ud −uZ −RL id Ld uZ duZ dt 0 (aufgrund Stetigkeit) uZ 1 1 = 0V/s C iC = C id − R d d d t→∞ Ud Rd +RL 0A/s( dtd = 0) Ud − RL id 0V/s( dtd = 0) Verpolungsschutz 2.6.2 Zener-Diode Schwankung der Ausgangsspannung bezogen auf die Schwankung der Versorgungspannung: Beachte umgekehrte Richtung des Diodenpfeils Ua,max −Ua,min Umax −Umin ≈ RZ RV Bedingungen: U −U −R I IZ,min ≤ IZ = min R Z0+R V a,max ≤ IZ,max V Z Grundschaltungen eines Transistors 2.6.3 Metalloxid-Ableiter R (1+B)(U −U ) T + UA + ∆UA = RA +R +R S(1+B) B S A für UBE UB : UA ≈ UB Ersatzwiderstand: RZ = UZmax −UZ0 IZmax = UZmin −UZ0 IZmin = UZmax −UZmin IZmax −IZmin Ersatzspannung: UZ0 : Zenerspannung, Durchbruchspannung UZmax = RZ · IZmax + UZ0 ⇒ UZ0 = UZmax − RZ · IZmax Bsp: U5.3 Berechnung analog Zener-Diode Emitterschaltung Vorgehen Annahme: Diode sperrt → Berechnung der Spannungen und Ströme. Falls die Spannung über der Diode grösser als die Durchbruchspannung ist → Diode sperrt doch nicht → Maximal mögliche Spannung liegt an der Diode an → Neuberechnung der Spannungen und Ströme Potential des Emitters als Bezugspotential Grosse Leistungsverstärkung, verstärkt Spannung und Strom 2.6.4 Bipolar-Transistor 2.7 Gesteuerte Quellen Anwendung: konstante Spannungsquelle Steuerung leistungslos! Early-Spannung (auch −UA ): In diesem Punkt treffen sich alle Verlängerungen des linearen Bereichs der Kennlinien. Im linearen Bereich des des Transistors gilt: U U IC = 1 + UCE · BIB ideal : UCE → 0 ⇒ IC0 = BIB A A B ist dabei die Stromverstärkung des Transistors. U−UZ0 RV +RZ RZ + UZ0 U −UZ0 Ua,max = max RV +RZ RZ + UZ0 Umin −UZ0 Ua,min = R +R RZ + UZ0 V Z Ua = Spannungsschwankung: −Umin Ua,max − Ua,min = Umax RZ R +R V 4 RA (1+B)∆US RS +RB +RA (1+B) Z Kennliniensteigung: dIC dUCE I = GCE = B UB = ideal: GCE = 0 Emitterstrom: IE = IB (1 + B) U −U Basis-Emitter-Kreis: IB = BER T B Ersatzschaltbild: A IC0 UA (U +∆U )−U BE S Ua = Ra B S R +R B S Falls UCE Ua , RS RB , UT US , dann BR U BR ∆U Ua + ∆Ua = Ra S + Ra S S S wobei der erste Term den Arbeitspunkt festlegt und der zweite dem verstärkten Signal entspricht. Kollektorschaltung Potential des Kollektors als Bezugspotential Emitterpotential folgt Basispotential (Emitterfolger) kleine Leistungsverstärkung 3 Schwingkreise 2.8 Operationsverstärker 3.1 allgemeiner Schwingkreis 3.1.1 Aufstellen der DGL charakteristisch: UA = − τ1 Ua Ue Spannungsverstärkung v = UA = − idealer OpAmp v→∞ Da Ua endlich −→ Ue = 0 und Ie = 0 . R K RE1 UE1 + RK RE2 UE2 + ... + RK REn UEn Rt UE1 dt + UA (0) 0 RE1 CK τ= oder anstatt C : R und anstatt R : L dann ist τ = RL E1 Beispiel: Digital/Analog-Wandler. dU C dtA Mit den Eingangswiderständen kann eine Gewichtung der Eingangsspannungen vorgenommen werden. Funktioniert auch vor anderen Verstärkern! z.B. Integration einer Summe iC = Die Integrationskonstante UA (0) ist die Ausgangsspannung und somit auch die Kondensatorspannung zum Zeitpunkt t = 0. Spannungsfolger Beispiel: Dreiecksgenerator 1. Maschengleichungen aufstellen 2. einfachere Gleichung nach Strom auflösen 3. in anderer unerwünschte Spannung bzw Strom an Spule bzw. Kondensator durch Ableitung des Stromes bzw der Spannung ersetzen 4. Strom durch Spannung ersetzen 5. auflösen realer OpAmp Ie = 0 UA = v + = Ue , 0 ∆v 2 Differentiator UA = vUe Uep − v − ∆v 2 UA = UE = Uep = Uen IE = Ie = 0 Uen Uep +Uen v(Uep − Uen ) + ∆v 2 Gleichtaktunterdrückung CMRR: g = ∆v v Bsp siehe ML Schnelltest 2 3.2 Serieschwingkreis e Ua = −τ dU dt τ = RC oder anstatt R : L und anstatt C : R dann ist τ = RL 2.8.1 OpAmp Schaltungen Differenzverstärker Invertierender OpAmp Aufstellen der DGL 2 R UA = − RK UE = vUE E 2.8.2 Lineare Verzerrungen R UA = − R K UE1 + E1 R 1+ R K E1 RE2 1+ R 0 UE2 bzw. UA = V(UE2 − UE1 ) mit V = Summierverstärker 5 Integrierverstärker R0 RE2 = RK RE1 Wird die Eingangsgrösse differenziert: hochfrequente Anteile in Ausgang stärker vertreten als in Eingang integriert: hochfrequente Anteile in Ausgang schwächer vertreten als in Eingang di d u c Kondensator: C du dt = i → dt = C dt2 Widerstand: uR = Ri di Spule: L dt = uL Maschengleichung: uL + uR + uC = Uq LC d2 uC du + RC C + uC = Uq dt dt2 Substituiere d2 uC du + 2Dω0 C + ω0 2 uC = ω0 2 Uq dt dt2 2 di d u c Kondensator: C du dt = i → dt = C dt2 Widerstand: uR = Ri di Spule: L dt = uL Knotengleichung: iC + iR + iL = 0 Lösen der DGL hom.: chp(λ) = λ2 + 2Dω0 λ + ω0 2 = 0 √ λ1,2 = −Dω0 ± ω0 D2 − 1 3 Fälle (D2 − 1 >=< 0): Periodischer Fall: D < 1 −→ λ1,2 ∈ C Aperiodischer Grenzfall: D = 1 −→ λ1 = λ2 ∈ R Aperiodischer Fall: D > 1 −→ λ1,2 ∈ R Aperiodischer Grenzfall Ansatz: uC = (C1 + C2 t)eλt + Uq Anfangsbedingungen: uC (t = 0) = u0C (t = 0) = 0 LC d2 uC L duC + uC = 0 + R dt dt2 weiteres Vorgehen wie bei Seriellschwingkreis Periodischer Fall nach unendlich langer Zeit Ansatz: uC = eat (C1 cos (bt) + C2 sin (bt)) + Uq √ a = −ω0 D, b = ω 0 1 − D2 Anfangsbedingungen: uC (t = 0) = u0C (t = 0) = 0 3.3 Parallelschwingkreis Aperiodischer Fall Ansatz: uC = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t + Uq Anfangsbedingungen: uC (t = 0) = u0C (t = 0) = 0 Aufstellen der DGL 6 Strom durch Kondensator iC = 0 Spannung über Spule uL = 0 Knoten dar. 4.2.2 Superpositionsprinzip 4.2.4 Vertauschungssatz (Reziprozitätssatz) 4 Netzwerkanalyse 4.1 Zweipole und Quellen 2. Ein Baum ist ein Teilgraph, der alle Knoten miteinander verbindet, ohne das eine Ma- 4.1.1 Verbraucherzählpfeilsystem sche entsteht. Die Zweige des Baumes nennt man Äste. Die Zweige die den Baum zum vollständigen Graphen ergänzen Sehnen. Zählpfeile werden so gezeichnet, dass P = UI, mit P, U, I > 0 beim Verbraucher. • Kein Widerstand im Zweig mit idealer Spannungsquelle −→ R in Serie einfügen und am Schluss R → 0 gehen lassen. • Kein Widerstand parallel zum Zweig mit idealer Stromquelle −→ R parallel einfügen und am Schluss R → ∞ gehen lassen. 4.1.2 Quellen Thévenin-Äquivalent: Spannungsquelle Norton-Äquivalent: Stromquelle Den Einfluss jeder Quelle einzeln beachten und am Schluss alle Teilströme/-Spannungen addieren. Spannungsquellen kurzschliessen, Stromquellen weglassen, Innenwiderstände bleiben. Bei einer Gleichspannungsquelle, muss man die komplexen Impedanzen anpassen: Induktivität → Kurzschluss Kondensator → Leerlauf Wichtig Nach Annahme einer Stromrichtung für jeden Zweig muss die Spannungsrichtung der passiven Zweigelemete in dieselbe Richtung gehen wie die Zweigstromrichtung. I, P negativ, wenn Uq > U I, P positiv, wenn Uq < U 3. Anzahl Maschen = Zweige - Knoten + 1 4.2.3 Ähnlichkeitssatz Anzahl Äste = Knoten - 1 4.2 Berechnungsverfahren für lineare Netzwerke 4.2.1 Topologische Kennzeichnung 1. Zweige: ideale Spannungsquellen kurzschliessen, ideale Stromquellen entfernen; jeder verbliebene passive Zweipol stellt einen Zweig dar, jede Klemme eines Zweipols stellt einen 7 Anzahl Maschen = Zweige - Äste = Sehnen 4. Knoten-Zweig-Inzidenzmatrix In linearen Netzwerken kann man für die gesuchte Grösse einen runden Wert annehmen und dann schrittweise auf die Eingangsgrösse zurückrechnen. Aus dem Verhältnis der ”geschätztenËingangsgrösse zur tatsächlichen ergibt sich dann der wirkliche Wert der gesuchten Grösse. Bsp U5 wird gewählt zu U50 daraus wird die Eingangsgrösse U0 errechnet. Mit dem Verhältnis U/U0 errechnet sich die tatsächliche Spannung U5 zu U5 = UU0 U50 Der Quellenstrom ist gegeben, und es soll U3 berechnet werden. Dazu darf die Quelle mit der zu bestimmenden Spannung vertauscht werden. Achtung:Die übrigen Ströme und Spannungen ändern sich natürlich! 4.2.5 Thévenin-Norton-Theorem für lineare ohmsche Netzwerke Thévenin-Norton-Theorem Jedes lineare Netzwerk, bestehend aus einer beliebigen Kombination von Widerständen, gesteuerten Quellen und ungesteuerten Quellen, kann bezüglich zweier Klemmen (Tor, Anschlusspaar) auf eine ideale Spannungsquelle in Serie mit dem Ersatzwiderstand RT des Thévenin-Netzwerkes NT bzw. auf eine ideale Stromquelle parallel zum Ersatzwiderstand RT des Norton-Netzwerkes NN reduziert werden. Ein lineares Netzwerk bezüglich eines Anschlusspaares wird vollständig charakterisiert durch die folgenden Grössen: Leerlaufspannung UL Kurzschlussstrom IK Ersatzwiderstand RT 4.2.7 Knotenpotentialverfahren Bestimmung Ersatzwiderstand Maschenverfahren 7. Maschenimpedanzmatrix Zm 1. Strom- → Spannungsquellen 1. unabhängige Stromquellen Leerlauf 2. Baum, Nummerieren Zweigströme der Zweige; Zm = 3. diagonale Zweigimpedanzmatrix Zz 2. unabhängige Spannungsquellen kurzschliessen 3. von den Ausgangsklemmen ins Netzwerk schauen und Widerstände zusammenfassen U = Zz · Iz ⇔ z U1 R1 U 2 U 3 = .. . R2 R1 + R2 + R4 + R8 R4 R8 Zm ist symmetrisch. I1 I 2 I · 3 . . .. . . R3 AT Knotenpotentialverfahren R8 −R6 R8 + R7 + R6 · Zz · A AT · Zz · A ·Im = −AT · Uqz | {z } | {z } Zm R4 R4 + R5 + R6 −R6 Uqm ⇔ Im = Zm −1 · Uqm 1. Spannungs- → Stromquellen Widerstände → Admittanzen 2. Bei idealen Quellen virtuellen Widerstand einsetzen und gegen ∞ streben lassen. 3. gerichteten 8. −→ Iz = A · Im Graphen zeichnen Uz = Zz · Iz + Uqz 4. Maschen einzeichnen; = Maschenrichtung Sehnenstromrichtung Bestimmung Ersatzquelle 4. Admittanzmatrix Yz Abgekürztes Maschenverfahren 1. Superpositionsprinzip 5. Zweig-Sehnen-Inzidenzmatrix A (Alle Ströme durch Sehnenströme ausgedrückt) 2. Théveninäquivalent (Ersatzspannungsquelle) = Leerlaufspannung Iz = A · Im ⇔ I1 1 I2 1 I3 1 I4 = 1 . . . . . . 0 0 0 1 . . . 0 0 0 0 . . . I3 · I5 I7 6. Quellenspannungsvektor Uqz 3. Nortonäquivalent (Ersatzstromquelle) = Kurzschlussstrom 4.2.6 Maschen- oder Kreisstromverfahren −Uq1 0 U q4 Uqz = 0 . . . Uqm = −AT (positiv falls mit Stromrichtung) · Uqz 1. Strom- → Spannungsquellen Baum, Sehnen, Maschen, Stromrichtung 2. Diagonalelemente Zm (i, i): Summe aller in der Masche i liegenden Impedanzen 3. Nebendiagonalelemente Zm (i, j): Summe der von den Maschen i und j gemeinsam durchlaufenen Impedanzen (positiv falls von beiden Maschen im gleichen Sinn durchlaufen) 4. Maschenspannungen Uqm (i): Summe aller in der Masche i liegenden Spannungsquellen (positiv falls Spannungsquelle gegen Maschenstrom!) 5. Weiter bei 8 8 I z = Yz · Uz ⇔ I1 G1 I2 I3 = . . . G2 G3 U1 U 2 U · 3 . . .. . . 5. Zweigknoteninzidenzmatrix C = AT Alle Zweigspannungen durch Knotenpotentiale ausdrücken. pro Zweig: -1 bei Endknoten, 1 bei Anfangsknoten Uz = C · V ⇔ U z1 Uz2 U z3 Uz4 = . . . 1 1 0 0 . . . 0 −1 1 −1 . . . 0 0 0 1 . . . V1 · V2 V3 Abgekürztes Knotenpotentialverfahren 6. Knotenstromquellenvektor Ikq pro Knoten: positiv für eingehende Quellen, negativ für ausgehende Quellen Iq1 I − I Ikq = q3 q4 Iq4 7. Knotenpunktadmittanzmatrix Y −G12 0 0 G12 + G10 −G12 G12 + G23 −G23 0 0 −G23 G23 + G30 −G34 0 0 −G34 G34 Y ist symmetrisch,falls Netzwerk aus passiven Elementen besteht Y = C T · Yz · C Y · V = Ikq ⇔ V = Y−1 · Ikq V: Knotenpotentiale 8. −→ Uz = C · V Iz = Yz · Uz 1. Dimension der Matrix Y : (k−1)(k−1) wobei k : Anzahl Knoten inkl. Bezugsknoten 2. Diagonalelemente Y(i, i): Summe aller vom Knoten i ausgehenden Admittanzen 3. Nebendiagonalelemente Y(i, j): Die Admittanzen die zwei Knoten gemeinsam haben, werden addiert und negativ gesetzt, sonst 0. 4. Aufstellen des Knotenstromvektors I: Die Zeile i entspricht der Summe aller Stromquellen die den Knoten i berühren. Positiv: zum Knoten 5. Ausrechnen der Knotenpotentiale: V = Y−1 · I 6. Die Zweigspannungen entsprechen den Differenzen der Knotenpotentiale. Für Zweigströme benutze ohmsches Gesetz. 4.2.8 Tellegen-Theorem Satz Das Produkt der Zweigströme mit den Zweigspannungen, aufsummiert über alle Zweige ist gleich Null. UT · I = 0 Anwendung zur Überprüfung der Ergebnisse Wir betrachten zwei Netzwerke N,N’, welche durch den selben Graphen beschrieben werden, aber völlig unterschiedliche Bauelemente enthalten, und deren zugehörige Systeme von Zweigspannungen U,U’ und Zweigströme I,I’. Erfüllen U,U’ die Maschengleichungen und I,I’ die Knotengleichungen für das jeweilige Netzwerk, dann gilt: UT I0 = U0T I = 0 9
