Klassen WI09abct HeSe 09/10 ungr MLAN1 Geometrie Serie 13

Klassen WI09abct
HeSe 09/10
ungr
MLAN1 Geometrie
Serie 13
Aufgabe 1
Gesucht sind die Gleichungen der Tangenten von A(−2, 3) an den Kreis mit Zentrum M (−1, −4) und Radius
r = 5; graphische Darstellung.
Aufgabe 2
Von einer Ebene E sind die drei Achsenabschnitte a = 3, b = 4 und c = −5 gegeben. Von einer Geraden g
kennt man die beiden Punkte S1 (−2, 3, 0) und S2 (0, 2, 3).
Gesucht ist der Durchstosspunkt D = E ∩ g.
Aufgabe 3




1
2
Berechnen Sie die Fläche F des von den Vektoren ⃗a =  0  und ⃗b =  −2  aufgespannten
3
3
Parallelogramms.
Aufgabe 4
Gesucht sind die Schnittpunkte der Kugel mit Zentrum M (3, 1, −2) und Radius r = 7 mit der Geraden g
durch A(1, 1, 2) und B(9, −5, 6).
Aufgabe 5
Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E auf, die durch den Punkt P (2, −1, 1) geht und senkrecht
auf den Ebenen E1 : 3x + 2y − z = −4 und E2 : x + y + z = 3 steht.
Aufgabe 6
a) cos (x) = − 12 , x ∈ [−π, 2π]
b) tan (x) = −1, alle Lösungen.
Resultate exakt.
Aufgabe 7
Durch A(−1, 0) lege man die Geraden, deren Abstände von B(6, 3) und C(1, −5) sich wie 2:3 verhalten.
Aufgabe 8
Bestimmen Sie den Fusspunkt des Lotes von P auf die Gerade g, wobei P (−6, 9, 12) und g = g(A, B) mit
A(−3, −3, −3) und B(0, 3, −9). Wie gross ist der Abstand von P zu g?
1
serie13_MLAN1_geom.tex
MLAN1 Geometrie
Lösungen Serie 13
Lösung 1
Kreisgleichung: k : (x + 1)2 + (y + 4)2 = 25: Pythagoras
Gerade durch A: y − ya = m(x − xa ), Punkt–Richtungsform ⇒ y = m(x − xa ) + ya = m(x + 2) + 3, einsetzen
in die Kreisgleichung ergibt: x2 (1 + m2 ) + x (4m2 + 14m + 2) + (4m2 + 28m + 25) = 0.
Tangente heisst: zwei zusammenfallende Schnittpunkte, also Diskriminante gleich Null!
!
D(m) = 4 (2m2 + 7m + 1)2 − 4 (1 + m2 )(4m2 + 28m + 25) = 8 (12m2 − 7m − 12) = 0 und daraus folgt:
3
4
m1 = 3 und m2 = − 4 und schliesslich
t1 : 4x − 3y + 17 = 0 und t2 : 3x + 4y − 6 = 0
Lösung 2
Koordinatengleichung der Ebene E: xa +
D(−12, 8, −15)
y
b
+
z
c
= 1,
Lösung 3
Die Fläche ist F = 7. Skalarprodukt, wobei F = |⃗a| · |⃗b⊥ | mit ⃗b⊥ = ⃗b −
(mit Hilfe der Projektion von ⃗b auf ⃗a).
(
⃗
a·⃗b
|⃗
a|
)
·
⃗
a
|⃗
a|
Lösung 4
S1 (5, −2, 4) und S2 (−3, 4, 0)
Lösung 5

3
⃗n von E muss auf ⃗ni von Ei senkrecht stehen, d.h. (⃗n, ⃗ni ) = 0 , i = 1, 2. Damit erhalten wir ⃗n = µ  −4 
1
und E : 3x − 4y + z + D = 0.
D wird bestimmt, indem verlangt wird, dass P ∈ E, also D = −11 ⇒ E : 3x − 4y + z − 11 = 0.

Lösung 6
Mit Hilfe des Einheitskreises:
a) x1 = − 2π
3 , x2 =
2π
3
und x3 =
4π
3
b) xk = − π4 + kπ, k ∈ Z.
Lösung 7
Gerade g durch A: y − ya = m (x − xa ), Punkt–Richtungsform, also y = m (x + 1).
|3−7m|
Abstand von B zu g: √
(Hesse’sche Normalform einer Geraden g)
1+m2
√
Abstand von C zu g: |−5−2m|
1+m2
1
also: 3 |3 − 7m| = 2 | − 5 − 2m| =⇒ m1 = − 25
und m2 =
g1 : x + 25y + 1 = 0 und g2 : 19x − 17y + 19 = 0
19
17
(Diskussion der verschiedenen Fälle).
Lösung 8
√
√
−−→
F (−4, −5, −1) mit Abstand d = |P F | = 369 = 3 41 ≃ 19.21.
2
serie13_MLAN1_geom.tex