Untersuchung des Verhaltens von nichtstationären

oEs VTeHALTENS voN
UNrrRsucHUNc
NIcHTSTATIoNAREN
ELEKTRoMAGNETISCHENUND THERMISCHENFTIDERN
Vrpraucnt
Mrr NUMERTscHEN
i o n
D i . = E e r t a t -
zur
de= akademi=chen
Eriangung
doctor
vorgel
rae
scienl
egt
t eclrni
Harh=chule
i'ün Dr " -in';.
AnCrie-i
ein E" April
Grades
ccürunt
dern irlissen=chaf
Techni.=rh=n
geb.
{ B }
{ Dr . sc . techn
tl irhen
R;.t der
Ilmenau
Er';'l-al sl:i
LF=6 in
E:c==cln
Gutarhter-:
Frnf .Dr. ec, techn.
Technische
Hachschu.Ie
Fro{ , Dr. =c. techn.
Teshni gche
Uni versi
Fraf .Dr. -Ing. habil.
Techni ==he Uni versi
vorgeLe,3t
vert-aidigt
R e n a - t e l " l ü 1l e r ,
arn: "6"
Gerhard
tät
:
HeI in.
f,hernnit=
trJejciech Lipi.Äski,
f-ät
5=czecin
Septenher
arü: 1r-i. Juli
Verf a.hren=-Nr.
ILinensu
L991
1?9O
, )
Brylealske
Andrzej':
,
Untersuchung
schen
und
des
Verhaltens
thermischen
1??O, 141 Seiten,
Ilmenau:
Feldern
nichtstationären
mit
58 Bilder,
Technische
technik
von
nurnerischen
LZ Tabellen,
Hochschule
elektromagnetiVerfahren,
9? Lit.
llmenau,
Sektion
In{ormati
ons-
(INTET)
und Theoretische,Elektrotechnik
( B )
D i s s e r t a t i o n
R E F E R A T
Die
numerische
Optieiierung
gaben
Feldberechnung
elektrischer
des
des
In
dabei
ist
nichtstationären
der
durch
zur
die
auch
sierende
Hilfe
von
Beispielen
von
numerischen
das
nauigkeit
ben der
in
dieser
sowie
die
die
wie:
Dynamik
ermitteln.
Die
Bl.ockdiagrärnmen
getestet.
Lösung
mit
der
Literatur
aus
technischen
gelöst
und eine
tischer
Prozesse
durchgef
rJhrt.
urnfassende
sowohl
im
Algorithrnen
einige
in
als
2
auch
praktische
Analyse
irn
Reihe
Ergebnissen
die
offenen
der
gewonnenen
der
und
l'le-
werden
und an einer
numerische
Zeit-
Die
ordnung
bekannten
(u-a.
Elektrodymamik
der
charakteri-
und
vergleich
werden
von
l,lethode
Proeesses
untersucht
Außerdem
Behandlung
ausgenutzt.
veranschaulicht
den
Finite-
Identifikationsaufga-
Laufzeit
Durch
Vorgängen
der
die
bearbeiteten
Konvergenzverhalten
abgeschätzt.
u.a.
von
vorgeschlagen.
zur
des
Verzögerungr
z.B.
Eigenschaften
(2.8.
den
Rolle.
konventionelle
Verfahren
in
Auf-
Prozegse,
einige
Homentenmethode
einige
den
beschriebenen
Arbeit
und
hlärrnefeldes.
dynamischen
numerische
modifizierte
zu
mit
wird
wird
Kenngrößen
Ver=ögerung
sowohl
Finite-Element-l"lethode)
gestattenn
thoden
neue
Zeitkonstante
ben verwandte
der
und
bei
größere
immer
Diskretisierungsmethoden
bzw.
Randwertproblernen
mittleren
werden
Entr^ricklung
spielt
dynamischer
Diffusionsgleichung
bekannten
-Differenzen-
eine
Analyse
Untersuchung
als
Neben den
die
zur
und 6eräte
Entwurfs
Arbeit
lineare
dargestellt
Instrument
elektromagnetischen
vorliegenden
l'lethoden
ten)
Anlagen
rechnergestiltzten
Von Bedeutung
als
RechengeAufgaFeldgebie-
elektromagneFreeuenzbereich
TNHALTST/ERZEICHNIS
a,
L
Referat
Verzeichnis
6
Symbole
verwendeten
der
l.
Ei nl ei tung
B
1.1.
Allgemeines
a
1.2.
Internationaler
auf
1.5.
Stand
der
Gegenstand
dynamischer
Untersuchung
der
dem Eebiet
Forschungen
theoretischen
der
der
Formulierung
Arbeit;
Prozesse
Aufgaben-
17
stellung
2.
Felder
nichtstationärer
Differentialgteichungen
der
in
l9
Elektrotechnik
19
2.1.
Allgemeines
2.?.
Das elektromagnetische
2.3.
Nichtstationäre
3.
Lur
S. l.
Systeme
3.2.
Kennfunktionen
3.2.1.
Impulsantwort
3.?.2.
Sprungantwort
5.3.
Beschreibung
Feld
20
Wärmeleitung
23
dynamischer
Charakterigierung
und
konzentrierten
mit
25
Prozesse
Parametern
verteilten
25
2=
Systeme
linearer
?6
und
im Freguenl-
Verhaltens
dynamischen
des
?6
Übertragungsfunkti'on
?7
bereich
2A
Zeitkonstante
3.4.
t"'littlere
4.
Numerische
4.1.
Flathematische
4-?.
Behandlung
32
Diffusionsprozessen
von
Behandlung
32
Problemformulierung
des
Randwertproblems
Bestitnrnung
zur
der
33
Rauml ösung
Ver{ahren
4.?. l.
6alerkinsches
4.?.?.
Hethode
4.2.3.
Di f f erenzenverf
4.2.4.
Lösungsweg
bei
4.3.
Behandlung
des
der
11
{initen
der
JJ
?E
JJ
Elemente
3A
ahren
offenen
4()
Feldgebieten
zur
Anfangswertproblerns
Bestimmung
43
Zeittösung
5.
Numerische
5.1.
Allgemeines
5.2.
Anwendung
Bestimmung
mittleren
der
Zeitkongtante
46
46
des
5. 2. I - Al I gemei nes
Ealerkinschen
Verfahrens
4E}
4A
Lllsungskonzegt
3
3.2.2.
Berechnungsbelspiele
5.3.
Anwendung
finiten
der
ilethode
der
5 . 3 . 1 . Al lgereines
51
56
Elemente
56
LtlsungskonzePt
5 . 3 . 2 . Berechnungsbeispiele
6A
5- 4.
Anwendung
63
5.4. l.
Al lgemeines
5.4.2,
Berechnungsbeispiele
6.
Bestirnmung
des
Differenzenverfahrens
63
LtisungskonzePt
65
gungsfunktionen
von
lifuertra-
vereinfachter
Parametern
von
Para-
verteilten
mit
Anordnungen
metern
72
6. 1.
Allgemeines
7?
6.?.
Parameterbestimmung
mit
l'lo-
modi{izierten
der
Hilfe
73
mentenmethode
6.3.
der
l'lethoden
von
Anwendung
Feldanalyse
numerischen
76
6 . 3 . 1 . Verwendung
der
Laplace-Transformation
76
6.3.2.
Verwendung
der
Frequen=bereichsanalyse
oj.
6.4.
Berechnungsbei
7.
Praktische
7 .r .
AI I gernei nes
7.2.
Analyse
schen
7.2. t.
spi el
a5
Anwendungen
94
94
der
?5
Abschirrnungen
Das elektromagnetigche
7 . 2 . ? . Das elektromagnetische
schen
Feld
in
der
Feld
in
einer
Kastenabschirtnung
?9
Feld
einer
bei
halbgeschlos1t)?
Abschirrnung
7. 2 . 4 . Abschirrnung
von
durch
Zylinderspulen
eine
leitende
lO7
Platte
7.2.5.
l'littlere
7.3
Zeitkonstante
des
bei
magnetischen
{eststehendem
Das dynamische Verhalten
"[rJitterungsf
fihI ers"
7.4. t.
Al I gernei nes
7.4.2.
Prinzipiel
7.4.3.
Numerische
11?
und Schirmfaktor
Zeitkonstante
Gleichstrommagnet
7.4.
?5
axialsymmetri-
Abschirrnung
7 . 2 . 3 . Das elektromagnetische
senen
elektromagnetr-
in
Ausgleichsvorgänge
eines
Flußes
in
einem
Anker
aktiven
1f4
elektrischen
118
1 1€}
ler
Auf bau des
"$litterungsf
ilhlers"
l?1
12?
Exoerimente
1
8.
Zusammenfassende
rung
der
l{ertung
und
Vorschläge
135
Literaturverzeichnis
Differentiation
Anhang B:
tlbergangsfunktionen
Fortfüh1??
Arbeit
Anhang A:
zur
von
l'latrizen
14O
141
5
DER VERWENDETEN SYHBOLE
VERZEICIINIS
anb, d, h, R
-
Abrnessungen
A
-
magnetigches
B
-
rnagnetische
Indut*tion
-
sperif
t{ärme
D
-
Diffusionskoe'ffi=ient
E
-
elektrische
f
-
Frequenz
F
-
Frequen=gang
E.k
-
Hi I f spararneter
-
Haschenweite
h (t)
-
übergangsfunktion
H
-
rnagnetische
irl
-
Strom
J
-
Strorndi chte
K(s)
-
übertragungsfunktion
c
p
hrh
x
,h
y
VektorPotential
ische
Feldstärke
Feldstärke
e l I i .p t i s c h e r
L
(F'lornent )
Operator
t
-
Operator
N .N .N,....
L
J
'
<
-
Formfunl:tionen
P
-
Leistung,
q
-
hfärrnestrsmdi
clv
-
Lei stungsdi
E
der
Realteil
des
Frequenzqangesr
chte
des
Laplace-Transforrnation
-
Variable
S
-
Schirmfal*tor,
Raurnpunkt
chte
Imaginärteil
s
t
Laplace-Transforrnation
der
Frequenzganges
Fläche
Zeit
T
-
elektrisches
T
Vektorpotential
-
ä
u.
Ar-rßenternperatur
-
gesuchte
U(P,t)
-
zeit-
U
a
U .U
o' -,
t^,'
vi, v]
-
Näherung
der
-
Anfangs-
und Endzustand
-
Elemente
von
V .V
-
elektrigches
Net=-
U irn i-ten
Funktion
Ternperatur
'
b=w.
Elernen-
teknoten
e'
fn
Funhtion
und ortsabhängige
Funktion
U
von
U
Hit+svektoren
und rnagnetischeg
6
Skalarpotential
wrrw2rw.-FunktionenrdiephysikalischeEigenscha*tendes
begtimmen
Haterials
*3 r*o
1 (t)
-
Erregerfunktionen
-
EinheitssPrung
SYmbole
6riechische
-
t{ärmetJbertragungskoeffizient
-
elektrische
6. .
-
Kronecker-SYmbol
A
-
Laplace-Operator,
a
-
Dielektrizitätskonstante
I
-
I'rlärmeleitfähigkeit
p
-
magnetische
cr
r
L J
Leitfähigkeit
Zuwachs,
Absolutfehler
Permeabilität
P - D i c h t e , V a r i a b l e d e s P o l a r k o o r d i n a t e n s y s t e m g
Zeitkonstanten
T'TL
(relative)
T'
-
normierte
C (P)
-
Koordinatenfunktionen
O
-
{nagnetischer
yi (t)
-
zeitabhängige
co
-
Kreisfrequenz
E.
Das Sternchen
formation,
z.B.
geschweiften,
in
eckigen
kalischen
z.B.
Funktion€ln
Fettdruck
gekennzeichnet,
z'B'
t
der Laplace-Transdas Ergebnis
symbolisiert
werden
Die Spaltenvektoren
, 1 , l( s l - t E v t ( t ) l .
(B)=(b.
KtamflElrn,
6röBen
FluB
durch
werden
Die Vektorgrößen
Zeitkongtante
z.B.
werden
)
und die
.I
tAl=Ea.
sl-Einheiten
7
zweidimensionalen
angegeben.
angewandt'
Bei
allen
in
l'latrizen
physi-
EINLEITUNG
1.
Allgeneines
1.1.
der
l'lit
produktionsgteigerung
der
mit
wie
neue Entwurfs-n
Prognose-
gunq gestellt.
Die
in
termarl..:t werden
u-a-
die
ten,
einer
tl.B.
räten
ausgestattet
aus
Eedienung
menügesteuerte
-Technik
vorgesehen.
und Optinierung
wicklung
verluste
und
spielt
Rolle
und l'lärmefelder,
tischer
Ouellenverteilung
CAD-Aufgaben
auf
rein
lig,
verwandt
Forschungsarbeiten
beiten
mit
erstrecken
elektrischer
eine
für
grundlegend
sich
Haterial-
kompli=ierter
den jeweils
auf
Ein
und
in
den
6eräte
l';ostenspie-
vorgegebenen
CAD-Prograrnrn kann
Zweck
die
ändern.
Feldberechnung
u.a.
und
zeitaufwendig
größere
elektrsmagne-
Optimierung
zu entwickeln.
nurnerischer
Berechnung
wird.
darum gehtl
Konstruktion
immer
Hilfsmittel
Wege ist
Ent-
Stromwärrne-
nüt=liches
Die
der
Energiewand-
besonders
experirnentellern
wenn es
optimale
Die
als
im FaI1
die
müssen bei
Eine
r.rerden.
rechnergestüt=te
die
dabei
bestirnmter
hfirbel.ströme,
wie
einfache
MuLtttasic-in6-
elektromagnetischen
berticksichtigt
Krä{te
durch
Lösung
Zum Eeispiel
von
Datenbank
=ur
die
auf
Betriebseigenschaften,
einige
Iern
gerichtet.
Prsbleme
technischer
meist
ist
Anwendungssoftware
Die
vielseitiger
sich
r+erden oft
und
und Haus'
Tastatur
univergeller
Systetne =eichnen
Diese
sind.
mit
umfangreicher,
und
Anwendungssoftware
und Ausgabege-
Ein-
isiertische),
Digital
Hochgeschwindigkeitsplsttern,
einem
Zentraleinheit'
Bildschirme
hochauflösende
Compu-
CAD,/CAH-Systerne angebo-
graphischen
modernen
in
fast
in
dem
Auf
die
werden
sind
geworden.
leistungsfähigen
l'lathernatik-troproressor,
(CAH)'
haben,
und
realisiert
trAD- bzw.
spezialisierte
rnit
gemacht
verbindlich
Technik
der
6ebieten
al1en
praktisch
Länder
den entwickelten
CompztLet'
wie
Manufa.cturtn6
Wettkariere
Verfü-
zur
Stichworte
Aided
Comouter
eine
Jahren
den letzten
qualitativ
werden
Forschungsinstrurnente
verbundenen
damit
(CAD) oder
Aid.ed. Desi6n
und
so-
Kleinrechnernr
Software.
moderner
Bearbeitung
besonders
und
6roß-
von
deutlicher
Digitaltechnik,
der
Entwicklung
schnellen
verbundenen
folgende
a
Gebiete:
Forschungsar-
- Erarbeitung
geeigneter
der
Lösung
=ur
verfahren
effektiver
Fel dgl ei chungen;
- Entwicklung
großer
Lösung
zur
computerprogr€rmmen
von
6lei-
chungssysteme.
gleichung
je
Ordnung
dessen
dreidimensionale
die
die
sind
direkten
Flethoden
Zur
mllssen.
Problerne
stationären
des in
(oder
Feld
KIasse
zählen.
gleichung
Dabei
gelöst
Diese
die
Die
umfaßt
che wissenschaftliche
gut,
Berechnungspraxis,
des
sowohl
magnetischen
gtationären
und
der
Hilfe
Felder.
Das
sta-
zweiten
zeitabhängigen
partiellen
Differenbeschrie-
Art
und Wellenproblefne.
theoretisch
Viele
s
der
hyperbolischer
gewidmet,
bearbeitet.
Tem-
Helmholt=-Differential-
Klassse
dritte
FeI-
Poigsongche
zur
men
die
Berechnung
die
die
kann
stationärer
Arbeiten
gehören
beschrieben.
Diffusions-
Berechnung
werden
gegliedert
durch
Fall
oder
parabolischer
Der numerischen
Dif{eren-
und magnetischen
kornplexe
,nit
wird
Felder
Klasse
verhältnismäßig
muB
werden.
nichtgtationären
tialgleichungen
und
t{echgelfeld
elektromagnetische
tionäre
lösenden
Problemen
Differentialgleichung
Laplacesche)
Feldpro-
BestirnJnung der
diesem
in
wird
(z-8.
verschiedene
zu
der
Art
Strömungs-
elektrischen
stationären
umfaßt
blärmeleitungsproblemen
bei
peraturverteilung
Elimina-
worden.
typischen
die
6leichungs-
Verfahren
iterativen
Elektrostatik
der
6ebieten,
stromfreien
Das gesuchte
von
Klasse
ersten
größere
Eaussche
die
Problemenklass,en
einige
in
die
auf
Bezug
in
(2.8.
entwickelt
Feldberechrulrng
Problems
dieser
Lösung
und die
uilr
106 für
und
zFreidimensionale
Zsr
Di{fere'ntial-
die
betrachteten
des
6röBe
Iiegt.
jedoch
die
tialgleichungen
der
und
Aufgaben
Begriff
breite
bleme,
ben.
Art
tiberrelaxationsmethode)
Der
der
nach
offe-
6Ieichungssystem
algebraisches
Cholesky-Verfahren)
oder
tion
ein
mittlere
für
loe
zwischen
systeme
in
direkt
(z . B.
f ilr
auch
wandeln
l'lethoden
Diese
äng€lwandt-
be-
ich
t{ethoden
anderen
mi t
ndung
b=w.
räunl
Inf inite-Element-l'lethode)
bzw-
Boundary-Integralne probleroe
verbi
i n
z -7t.
und
f tlr
nur
zunächst
wurden
Finite-Elernent-l.lethode)
grenzte
(Finite-Differenzen-
Diskretisierungsnethoden
Die bekannten
Felder
deshalb
als
auch
wurden
ist
vom
al';tuelle.
zahlrei-
diese
Frage
Standpunkt
praktische
A r - rrfg a b e n d e r
der
Froblsnre
scher
in
i n Nuten;
fnungsFro=esse
Untersuchung
bei
indul:tiver
Verhalten
vcn
blerhstoffprüfungl
von EinstelI-
l:el t.
bleme und
Untersuchung
i.nsbesondere
FeIdgrößen
ri t-hrnen =Lr i hrer
ini.f- Hi 1+e de=
i, E.
:Hei ten
Fai I
werden,
wrhei
rnuß
FE-Vsrf
das
l;.
die
Al=s-
i-irn ei.ne
a.i-ich
f ür
Grr-tndg=bieirla-E
F:andbed i ngunqen ,
l::änil -
werden
lrrr
gei o=t
änf ang=w=rt-a.uf gabe
ei ne
ft=-
z=i ti i rhen
des
Ca=
und =eri.-
ortg-
und
re,ai i sr erf-
*=.hr=ns
FeI cpr-'=-
qestatt*n.
durch
=irh
entwi- i:-
t '=närsr
Disl:reti=i*rung
=chri tf-wei s=
=. Et.
AI qori thmen
chen
= ugehör i gen
der
d';n,:nrr-
Au= di.eEer-n
rnuß. rnnß fian
h*ndelt-
arn häuf i. g=+.en d r = sagerr-=.rln-
aLr= S',-ahi l i tätsgründen
6-l'let-hode.
te
übliche
Eerür l:=i cht i gung
FeId
räun}i
Iin Ers',-En Fa.l I
Erwär-
Eigen=chaften
u.v.ä..
ni chtst;.t
*erden
unter-
';'--rn
=erstörung=freien
Dif f r-rsiorrsprc=e=EEn
beschrieben
Aufgaben
di.e statisnären
und
ei ni ge
Eehandl ung
vsn
der
Autsmatil:-
Jahren
Eererhnung
pekt-en bet-rachf-en-
te=
der
der
Zeit'rerhalten=
dynarnischen
der
{r-agch veränderlrche}
nichtstatisnäre
abhängige
bei
hlirbelströrnen
di e di e numeri =che
des
hfrderstand=erwärfnLrngl
oder
i n den l etzten
i,tt be=onderen
Abschr rirr'.rerhal tens;
de=
und t'teßelementen
Erund wurden
und
fr-.ilgend=
*i=l':'!--rnrnagnetr-
Bestirnnrung
Haschlnen.
elei.tr-ischen
Un-
der-
l:önnsn
Bei.=pieie
Strarnverdrängung
nicht=tatienären
sches
Als
rrlf-
dageqen
=rch
gEnännt- werden:
Techni!,:
Fro=es=e
Ströinen
Fra:esse.-
dynarnisrher
ter=r:chung
verbinden
Elektrstechnil.:
Cranl..-l'-lici:l=sn-Dif
{eren=en=cherrra.
änqE-
wandt wi.rd.
Ein
Frsblenr
be=andere=
Ei gen=cha.f tsn
ären
nabei
einige
i n der
in
=chrit-twei=e
tung
ist
dsr
aI =
im
die
In
Anna-hme ei ner
dynainischen
angege,ben
Zeitbereich
eüenfa,ll=
quen= ausgewertet.
die
dEr
Si-sf {en.
di e
c._ü. Ver*ahren
Frequen=bereichder
= . E.
Elua.siline=ri=ierungsrnethsden
Li t=ratur
diesem
mei =t
unt=r=urht-
FaII
des
Eigen=chaften
Für
l i chen
10
uicrd=n,
i"lethcde
dTnarrirschen
srerden.
d;=
dvnar-rrr=chen
Erregung
die
Fr-'=:t:==E
t"srr grotl=r
r i t it
Untersurhurne=weg
durch
l-'t;.gne'-
entniri:elt
verwandte
i.n,=-
F=ldalif g;-
dies=
Ang;.be
Ee'i=u-
Vern;.it--en=
wir-d da= betrachtete
:ei t-ha.rrnsnischer
Ej.n anderer
tai-=ärh
nirht-i
rii rd.
l,:önnFn die
ti=nnt-ni=
der
Eerücl--:sirhti-gung
perrneablen
Newf-nn-F:a.ph=c=n-Uerf ahren
t'11t Hilfe
die
de,s Hater i al =,
ti=ierr-rng=l::EnnI inie
ben gind
ist
Feld
vari *.bi er
be=teht
einiger
r{rl
ttnter
Fr=darin.
lienn-
größen,
=.8.
Diffusionsgleichung,
gelö'st.
Bei
nannten
l{eg bisher
wenig
soll
ein
Zur Ergänzung
soll
den Arbeit
Analyse
eine
tersuchung
mit
bzw.
hinzuftigt
nichtstationärer
RL-
einige
l.?.
InternatLonaler
Geblet
Die
der
meisten
werden
blemen
Prozesse
Stand
In
Entwicklung
tung
träge,
die
wurden,
können
in
diesem
die
jedoch
verwandten
Diese
Eruppe
bilden
Gruppe
Jahren
tcn
Lach
E6,?7 und
mit
auch
Un-
andere
z.B.
r'rerden
Analog-
aktuellen
der
Literatur
numerischen
Forsctrrrrrgen
Ana-
die
einige
sich
den
ftir
dem
der
Pro-
bearbeitet,
die
von
wurden
mit
der
und
weite
Verbrei-
Zeitschriftenbei-
häufiger
der
rech-
parabolischen
die
die
der
mit
stationären
sofort
zeugen
immer
arrf
Prozesse
l'lethoden
Umfanges
nur
veröffentlicht
vorliegenden
Beiträge
in
der
Arbeit,
dargestellt
Berechnungspra-
beweisen.
die
gehören
der
wurden
Vielfältigkeit
Arbeiten,
Randwertprobleme
Interesse
kann man in
Zu dieser
Erund
Rechentechnik
Abschnitt
die
zur
gebauten
aufgenomrnen
begrenzten
Verfahren
Beiträge
[6] J,
Interesse
letzten
l{egen des
werden,
xis
den
Entwurf
werden
numerische
Von diesem
in
Beim
Arbeiten,
Zeit
leistungsfähiger
fanden.
z.Zt.
dynamlsctrer
letzter
großem
numerische
l'lethoden
bildet,
ttreoretlscl-en
befassen
Di{ferentialgleichungen
mit
die
daß obwohl
dargestellt.
der
Untersuctrrrrrg
gewidmet-
werden.
dem Eebiet
auf
Feldanalyse
Technikern
auf
wisseqschaftlichen
nergestützter
vorliegen-
der
In
RC-Schaltkreisen
Entwicklungstendenzen
nicht=tationärer
letztge-
diesem
verwandt.
Abschnitt
lyse
be-
Randvrertprobleme
theoretischen
werden.
Hybridfeldanalysatoren
Im nächsten
einige
geschenkt,
Felder
oder
betrachte-
der
wurde
werden,
angenandt
von
Hilfe
nur
gebracht
dazu
Be-
der
Anfangs-Randbedingungen
Beachtung
grundsätzlichen
der
Eestalt
Feldanalyse
Beitrag
Forschungsmethoden
die
der
werden
numerischen
der
die
zwar
sowie
praktisch
aber
rtlcksichtigt,
wird
Kenngrößen
Bei
zu charakterisieren.
Zeitkonstanten
dieser
stimmung
ten
der
die
drei
einen
tBS],
von
11
einteilen.
theoretischen
Arbeiten
Saulcdr
Hilfe
Eruppen
von
in
Die
Charakter
Xrajatrrslcd
der
Variationsverfahren
t491 ,
erste
haben.
Lore-
nichtstationäre
behandelt
Bezeichnung
Bbwohl die
vor.
trfärmeleitungsaufgaben
nichtlinearer
,,Kantorowitsch-Verfahren"
kann, daß sich
suggerieren
l'lomentenrnethode'
Hilfe
der
am meisten
die
wurde auch
(konstantes
elemente
(t._t
zienten
angegeben.
sionale
(2D)
gewtrnnen,
Schrittweite
angGlntrmrnen werden.
Hetl-tod. (R-BEl'l)
die
danz zur
Berechnung
haben
thode)
neue
Vergleich
der
zu
g-l.lethode
reich
der
FELIX-ZVI
r.lelche
die
nichtlinearen
konventionellen
kann
annehmenr'ohne
Prozesse
Ftnd te
Periodic
man relativ
die
Lösung
Flethode
inder
der
in
hat
Schichtimpe-
wurden
HetLod
Diffusionsprozessen
Ha.ta'
geforderte
l2
mit
eine
1r-a..
(TPFEH-l'le-
vctn periodisch
gestattet.
Schrittvreiten
Rechengenauigkeit
Im
z.B-
Zeitdiskretisierungsmethsden,
große
tzBl
Eigen-
eines
untersucht.
Analyse
in
Anordnungen
Beispiele
Elenent
numerische
Element
bedinungslose
Dauey
auf.
durch
Als
dargestellt.
Tinre
präsentiert,
zeitabhängigen,
Ordnung
e297 die
in
Honma. und
weigt
l"lethode
anhand
wurde
Bounda'ty
Ref.ular
nichtstationärer
und
Hohl kugel
Ieitende
t4ol
und
betrachtet
Schichtstruktur
einer
zweiter
zeitliche
illustriert.
hfirbelstromaufgabe
nichtstationäre
wertproblems
Das Verfahren
Die
vorgeschlagen.
und Konvergenz
Stabilität
kann.
modif izierte
eine
haben
gro8e
relativ
wird
Lösung
Die
eine
Berechnungsbeispielen
einfachen
Tanaha. t42l
wobei
i-
zweidimen-
lineare,
anwenden.
An{angs-Randwertaufgaben
schrittweise
von zwei
man f ür
kann
l.lethode
Die
wurden
l"latrixkoeff
die
und
abgeleitet
Gleichungssysterne
entsprechende
Intervall
irn
Digkretisierungselemente
beide
Für
eingeführt.
rt_i
Diskre-
Zur
Diskretisierungs-
Element)
lineares
und
von
Arten
zwei
taTf
im Übergangszu-
Feldes
(BEt'l) angewandt.
wurden
Zeitbereich
im
tisierung
Thema
sha.o u-a.-
gewidmet.
elektromagnetischen
Boundary-Element-llethode
die
stand
des
Analyse
haben zur
wurde
Diesem
diskutiert.
Krarrrzyle
von
t51l
Arbeit
die
I
von
hlahl
optimalen
der
Strategie
t99l
und Zlana,l
t55l
die
angenornme-
die
ftlr
D1r-
wurden
Betrachtet
l'lethode
der
Konvergenz und Fehlerabschätzung
von €. Von t ini6er
nen parameterwerte
ver-
und
Douglas
fSl'
untersucht.
t55l
Ldni6er
sowie
,;4;ftt tsol,
in
die
sich
erweist
der
lxeLlson
von
u.a.
wurde
o-Flethode
Ver-
dieses
Variante
mit
Anfangswertaufgabe
der
Die Lösung
eine
als
l'lethode
C47) dargestellte
wandten
grtindet,
den Variationsprinzipien
auf
{ahren
Lösung
=ur
Kantorowitsch-Verfahren
das
Koganl 8473 schlug
wurden.
im
zu
Zeitbeverlie-
ren.
TPFEH-F'lethode nutzt
Die
äus.
Schritten
"Randbedingungen"
die
Newton-Raphson-Gluasilinearisierungsverfahrens
Annahme großer
Beispiel
An einem
äy step
Schrittweiten
l'lethoden
gleicher
u-a-
Zhi-ming
forderte
VerklJrzung
89 77
betrachtet.
Dank
der
step
verglichen.
Bei
3O mal
6 bis
auf
ktlrze-
auch
wurde
von
6-6alerkin-
konventionelle
Bezug
gering.
relativ
CPU-Zeit
Die
in
gelöst.
trPU-Zeit
der
wurde
des
konventionellen
TPFEFI eine
die
Die
und Newton-Raphson-l'lethode
und die
die
auf
Hi.1fe
Rechenzeit
die
TPFE-
die
Bezug
in
Eenauigkeit
Rechenzeit-
re
wurden
ist
bestimmten
mit
wurde
Problem
Das nichtlineare
in
Beschleunigung
die
wurde
die BptiBesprnchen
rnodifiziert.
"
K
o
n
v
e
r
g
e
n
z
b
e
s
c
h
l
e
u
n
i
g
u
n
g
s
k
o
e
{
{
i
z
ieneingefilhrten
des Iterativsprozesses
mierung
des
ot. Die
ten"
theoretischen
der
Wirksamkeit
Beispiel
nisse
der
exakten
(siehe
Lösung
dung
der
Die
Die
zweite
Eruppe
weder praktisch
tBOl
der
ten
Krasort
von
nung von
unter
In
im Raum-
oder
u. a.
tSOl
beiden
gelöst.
tsl
erfor-
Schrittwei-
der
Arheiten
auch
Die
die
l4/ia.k t96l
und
realen
numerischen
Berech-
llagnetisierungskennlinie
ge-
mit
Diffusionsgleichung
Hilfe
hat
durchgeführt.
13
Arbei-
Die
im Eisen
wurde die
Saulev
in
Feldern
Zeitdiskretisierung
von
RoLicz
Stromverdrän-
Ouerschnitts.
der
ent-
Prozesse
nichtstationäre
r*urden
denen
vrurden.
elektnomagnetischen
im Zeitbereich
Rechenschema
in
elektromagnetische
deg Crank-Nicolson-Verfahrens
gegen das
Anwen-
Prozesse
weiterentwickelt
verschiedenen
Flaschinennut
als
der
Beiträge,
nichtstationärer
nichtstationäre,
Bertlcksichtigung
fahrens
Behandlung
zweidimengionalen,
widmet.
fe
zur
l"lagchinen,
gung in
kleinere
bilden
von Publikationen
angewendet
analysierte
elektrischen
viel
glei-
tsl.
Verfahren
bekannte
die
einer
Um die
Ät=l/lAOO
von
Schrittr*eite
Ergebmit
bei
wurde
ärn
wurden
u.d-
verglichen.
tBOl)
FE-l"lethode erfordete
von At=l/6000
te
die
?suboi
haben
=u können,
erreichen
BE-l'lethode
derlich.
Roltcz
z.B.
che Rechengenauigkeit
nichtstationä-
erläutert.
l'laschinennut
Augwertungen
numerischen
numerische
Betrachtungen
Die
analysiert.
rechteckförmigen
einer
die
haben
t94l
FEI'I an zureidimensionalen,
BEI'I und
tlirbelstromproblemen
ren
t. a.
Tsuboi
sche $}firbelstromaufgaben.
axialsymrnetri-
betraffen
Betrachtungen
im ersten
des
sowohl
Dif{erenzenver-
Xrason
l,lrak
Schritt
f50l
t96l
mit
hat
(t=At)
Hi1daund
die
nächsten
Schritte
und l+zoellc t48l
befaßten
sich
für
das Du Fort-Frankel-Schema
gewandt.
Kohl4rtlber
Fle8anordnung
die
wurde
spiel
der
Bei
von Euler
angewandt.
verhalten
verteilter,
blenrs im
auf
Schrittweite
bleme des
und Raaeh t4l
Die
des
Hilfe
u.a.
die
Erscheinungen,
wobei
die
nichtlineare
getöst
wurde-
verhalten
des
Stromes
schnitts.
Untersucht
fahrens
die
Aufgabe
Slva
in
und
den
wurde
Anfangs-Randwertau{gabe
Hilfe
der
BE-l'lethode
E79-7 hat
Feldes
in
tll
einen
Renyuan
in
störungsf
reien
Systemantwort
besonderen
mit
Hilfe
eines
linear
und
tBTl)
auch
das
einfachen
F'laterialpriJf
auf
werden
Erregungen
leitfähigen
ung
der
t1
In
Al Zen
der
t rue
Art
Bei
TesLtn6)
u. a.
t{ir-
induzierten
NDT-Technik.
mittels
mit
elektromagnetischen
der
verschiedener
Proben
Gluer-
wurde.
analysiert.
(NonDestruc
Zeit-
zweidimensional
des
Verhalten
Anordnungen
das
Doppelkä+igmotorst
behandelt
Eindringen
dynanische
Newton-Raphson-Ver-
verschiedenen
Nut
die
wurden
auftretent
analysierten
tB6l
REP|'l-Synchrongenerator
betrachteten
belstri5rne
das
Sättigungszustand
u.a.
die
Arbeit
iar
Zäcu
Statorzahnes
Untersucht
des
Ro-
im
zweidimensional
r'rurde
Flaschinennuten
wobei
(siehe
des
behandelt.
8-VerfahFens
und
ei.ne
BotttLLaut
Rotor-
Bertlcksichtigung
unter
elek-
anaLysierten
blirbelstromverluste
Anfangs-Randwertaufgabe
FE-
t39 l
und massiven
und
Nirbelströme
Synchronmaschine
der
untersucht.
srit
haben
großen
einem
mit
Synchronmaschine
tor
Hanl.nal<l. und HacDona.Ld
Haschinen.
trischen
Pro-
in
Feldes
€lektromagnetischen
nichtstationären,
die
betreffen
Beiträge
drsku-
Rechnung
numerischen
anwendungsorientierte
Einige
tiert.
wurden
angenclrnlnenen
der
EinfluB
aI-
der
Es
angewandt.
der
der
Feldpro-
Verfahren
das
wurde
sowie
Eenauigkeit
die
unter-
nichtstationären
2D-,
(ADI-Verfahren)
Konvergenzverhalten,
das
Übertragungs-
RC-Schichtstrukturen
Eebiet
berandeten
Rechenschema
das
wurde
I
t70r7l
des
Lösung
Richtungen
die
Berechnungsbei-
Als
irnpl izite
das
wurde
exponentieller
inhomogen
ternierenden
u.a.
Instab.ilitätsprobleme,
lrlärmeleitfähigkeit
l"lessung der
"de5,
beDrahtes"
heißen
l1ethode
Von ff{il ler
iterativen
Ab-
zur
Ausrrertung
trachtet.
Zur
der
mittels
von Erundproben
sucht.
die
können.
nicht-
kleinen
mit
Körpern
auftreten
Abmessungen
kleinen
bei
u.a.
wurden
Diskutiert
6e5sungen.
an-
der
mit
in
Temperaturberechnung
stationären
(t>^t)
der
wird
analysiert.
periodischer
zerdie
Irn
(am
periodischen
Bei der
u.d-
tll
betrachteten
he).
Als
Vorteil
gewonnen.
wobei
schemas getöst
in
den oben
in
leitende
met.
besprochenen
Beiträgen
periodisch,
sowohl
Thema wurde
Diesem
ein
Es wurde
eine
leitende
der entsprechenden
Eeschwindigkeit
Arbeit
des
Verschiebung
aber
ar benutzt,
wendung des
schrittweise
rungsnet=es
beriJcksichtigt.
als
auch
t?41
vsn
l,lodel I
6leichstrorn
durchflogsene
Als
seln
u' a'
gewid-
Burias
periodisch
durch
15
bewegwurde
Vorausgesetzt
lineare
keine
zwär
Bewegung wurde
der
dank
An-
Diskretisie-
beweglichen
wurde
betrachtet.
xurden-koaxial
In
Elementg-
Berechungsbeispiel
Spulen
Analyse
die
welches
wurde
Lautsprechers
oder
sprunghaft
beweglichen
korrigierten
ei nes
themati sche
die
bewegliche
(Verschiebung
Anregung
Diffusionsgleichung
Fällen
solchen
Anordnung
werden.
verursacht
in
auch
die
Eine
verursacht'
vorgeschlagen,
gestattet,
Teile
kleine
relativ
die
Verfahren
von blirbelstromprozessen
liche
die
typischen
von
wurden
tritt
wobei
enthält,
Elemente
nichtsta-
behandelten
gleichstrorndurch{lossene
die
denen
am entsprechenden
angewandt.
Prozegse
Wirhelstromaufgabe
$eschwindigkeit)
kann.
Elimination
Spannungs-Erregungsf11nktionen
bzw.
nichtstationäre
auf,
wurde
schritt
elektromagnetischen
tionären
Strom-
jeden
Eaussche
die
6leichungssystem
Die
Fur
wurde.
irnpl i:rten
eines
gabe rnittels
Anf angswertauf
die
u'ct'
FE-Verfahrens
des
Hilfe
mit
Systems
des
Sprungantwort
die
tll
Test-
ALLen
haben
t'lurde,
vorausgeset=t
Einheitssprung
der
signal
Durchfüh-
daß als
Im Fall,
nennen-
Auswertungen
numerischen
rung der
{ALLen
Fsurier-Rer-
ein{ache
relativ
die
kann {nan dagegen
Harrno-
muß
der
neun 6lieder
ersten
die
des
Diskretisie-
werden
verfeinert
6ebieten
leitenden
in
rungsnet=
Atol
weitere
das
Eindringtiefe,
kleinerer
wegen immer
wurde.
Nachteil
Der
daß ftir
darin,
besteht
Verfahrens
vorgeschlagenen
Hi'Ife
Potentialvrerte
au*summiert.
Superpositionprinzip
nach dem
mit
betrachtet
frequenzabhängigen
die
ich
werden schließ1
eine
Helrnholtz-Differen-
Iinear
ürleil dag Problern
gelöst.
tialgleichung
Harmonische
komple:<e
stationäre,
die
des FE-t/erfahrens
nische,
und dann ftJr jede
entwickelt
Fourier-Reihe
in
Testfunktion
die
wurde
Erregung
Anordnungen'
axialsyrnmetrische
zwei
wurden
Untersucht
getestet.
Erregersrgnale
sprungförniger
oder
Impulssequenz)
eine
meisten
auf
das
Zwei
einem
rnavon
Kern
Der beweglrche
angeordnet.
deren
ring.
Teil
Zur Lösung der
wurde.
e=z sin<ot bestimmt
o
gabe hat Buricrs tr. c,. das FE-Verf ahren mi.t
Ordnung
zweiter
angewandt.
In der
Zeit
letzter
gekoppelten
ren
von
Behandlung
auch zur
Beispiel
die
in
Systemen
schen
el ektromagneti
renss zur
nichtl
-f"tethode
(FC-Hethode)
nen.
infiniten
Für
schen
Auf gabe
haben
t63l
die
des
die
gekoppelte
Ga.rg v. a-
Zylinder
u. d-
=t.att
si err-rngsverf sh-
Predicttorl--Correc
neue
Felder
der
i rn magneti -
Hassb
I i neari
klassi-
Analyse
el der
empf ielt-
rurn
auftretenden
numerische
und Temperaturf
sn=uwenden.
inhomogenen
nichtstationä-
Erwärmung
Newton-Raphson-Gluasi
inearen
und thermisch
tisch
w. cL.
Massb
(Curie-Punkt)
Umwandlungspunkt
den
Anwendungsmöglichl<eit
analysiert.
Verf ahren
Ite
dargestel
Beiträge
induktiven
und die
rei tauf wendi gen
deE
der
I r.near
Probl em
Aufgaben.
einige
gewidmet -
Feldern
schen FE-Verfahrens
das
nichtlinearen
werden
Problernen besprochen
gel<oppel ten
Bu.ria.s u- a.
ernpf ielt
wurde,
behandelt
ei-
nach
wurde
o. g.
Obt^rohl dag
die
Dreiecl::selementen
den
Anfangswertaufgabe
Scherna gel öst.
i mp1 i = i ten
nem
Die
Funl<t:.on
Auf a:<ialsymmetrigchen
durch
Lage
räurnl iche
zeitabhängige,
Kupfer-
ein
bildet
Anordnung
der
in
t34 l
Liott-rnäqne-
haben
einern strsrndurchflosspirn F:otor
und
einer
Induk-
ti onsnaschi ne untersucht.
Als
anurendungsorientierte
viele
weitere
Arbeiten
Beiträge
von
Tandan
Leona.rd und Rodger
Die
dritte
warepakete
Ein
überblick
Appleton
Fassung
von
von
Arbeiten
WeiLt
Trovtbridge
t33l
gra,nm zur
?D-
von
empfehlen
(UK) bearbeitete
Paket
CARHENI .
Paketes
Inc. )
Industries,
t?51
haben
und 3D-Analyse
Elel:trsmagneten
FE- und Runge-Kutta-Verfahren
ein
vorgestellt.
an.
16
in
die
in
f
t?61,
denen Soft-
besprochen
das
werden.
t93l
in
VECTOR
dargeRuthef ord
(erweiterte
Hatsuol<a. und
für
Kameari
und
ATSUHI
3D-Wirbelstrom-
Ptr-kompatibles
des statischen
e.B.
Sof twarepaket
FEH-BE!"| ausgenutzte
Power
man
t251.
Beiträge,
Tortschanof
kann
Decatpigny
Cendes
Feldanalyse
hat
u. a.
und
und
bilden
Prograrnrnen
das
Atomic
probleroe.
haltens
sowie
kornmerziellen
präsentieren
(Flitsubishi
But Ler
t541,
Laboratory
des
CoLLard
t91l ,
gehören
Eruppe
Zu dieser
rechnergestüt=ten
Ern^son und
stellt.
t64l
zur
nennen.
u. a.
Gruppe
Arbeiten
wissengchaftliche
Computerprodynamigchen
Das Prograrnrn wendet
Das Softwarepaket
Verdas
AZII'llJT (Uni-
stattet
die
numerische
Feldern
und
von
auf
tlichungen
besprochen,
Verhaltens
im
Analyse
weiteren
direkt
des
stellung
bestimrnten
der
der
von
menten verwendet,
abhängige
bisher
mit
die
einigen
Analyse
von
nichtHi lf e
mit
Die
Feld-
l"laterialeigen-
Iinearer
angewandt.
wobei
l"lethode
der
analytischen
die
sind.
Hilfe
Eei
Flethode
der
Kon-
erweitertes
welches
ÜbertragungseleElernente
5 gezeigt
angewandt.
in
wird
ausgenutzt'
Zeitkonstante
!7
die
ein
dieser
Wie im Kapitel
Verfahren
rnit
Felder
und
Es wird
Parameter
mittleren
Dar-
Anfangs-Randwertaufgabe-
vereinfachten
angenommenen,
die
ist
Form einer
Zeitkonstante
mittleren
Funktionen
in
Frequenzanalyse
die
u.a.
t'lethode
Zeitantworten
die
nichtstationärer
Untersuchungen
Zeitkonstante
mittleren
Aufgabenstellung
Randwertaufgaben.
Problems
nichtstationären
der Diffusionsgleichung
Arbeit
der
Betrachtungen
theoretischen
der
den numerischen
im
lJhrt-
durchgef
Ausgangspunkt
von
Vorausset=ung
der
unter
wird
werden
lrfärmepro=essen
und
Lösung
zur
Hethoden
numerischer
ist
Arbeit
vorliegenden
elektromagnetischen
stationären
schaf ten
Formrllerrrrrg
Arbelt;
der
wel-
Arheiten,
wurden,
gewidmet
Frozesse
dynamischen
des
angegeben-
im Text
der
6egenstand
zept
Veröffen-
Andere
sind.
verbunden
dynamischer
Gegenstand
dieser
diejenigen
Unterguchung
der
rnit
die
Zeitbereich
che der
hauptslichlich
wurden
Abschnitt
diesern
analyse
SONHAPmrkro
worden.
entwickelt
1.3.
Fassung
die
ist
Rechner
1C/XT/AT-kompatiblen
einen
Für
werden.
angewendet
Feldprobleme
nichtstationäre
und
tionäre
sta-
und nichtlineare,
lineare
und axialsyrnrnetrische,
parallele
flach-
auf
Es kann
lösen.
zu
ZD-Aufga-
von
Klasse
breite
eine
t37) ) be-
und ZiAthorrrs)cl
Grama
Elektrodynamik
technischen
ben der
In
gestattet,
Das Paket
arbeitet.
ESER-Reihe/Betriebssystem:
der
6EOR6E 3, sor.rie die Cornputer
u- 2. O (siehe
9NHAP
OS) das paket
tem:
l305./Betriebssys-
t0dra
Großrechner
für
wurde
TU Szczecin
An der
Kräfte.
wirkende
Teile
leitende
bewegliche
elektromagnetischen
2D
von
Auswertung
ge-
Es
dargestellt.
u-cl'. t53l
von Legros
wurde
Liege)
versität
nur
vom
wird,
in
Ort
wurde
Verbindung
Dem Verfässer
sind
die
neuer
Hauptaufgaben
gestel
1. Bearbeitung
von
7.
im
resse
von
verbundene
Analyse
für
auch
der
Bestiin.nung
von
Farameteri
sor.rohl f ür
räurnl irh
he-
Anfangs-Randwertpro-
o{fene
räurnlich
Prs-
elektromagnetischen
der
Frequenzbereich,
und
Begtirnrnung
übertragungsmedelle
vereinfachter
verteilten
mit
nurnerische
als
Darstel}ung
Arbeit
der
numerigchen
=ur
Kenngrößen
Zeit-
gren=te
Arbeit
Diffusionsproressen;
Algorithrnen
von Anordnungen
Umfassende
die
numerischen
zur
Algorithmen
von
ortsabhängigen
3.
der
lt:
Zeitkonstante
Bearbeitung
Ziel
und
Froblerne
dem Gegenstand
mit
fotgende
mittleren
bei
Untersuchungsmethoden.
numeri scher
Es werden
gewidrnet wurden.
of{enen
dieser
Behandlung
nurne-
übertragungsfunktionen
der
Parametern
Feldaufgaben
nrchtstationären
ist
von
Bestirnmung
ri.schen
der
welche
bekannt,
Arbeiten
wissenschaftliche
auch keine
bl eme;
Nachprüfung
4.
von
keit
der
Literatur
Es ist
bekannten
der
Hathernatik
dieser
=u Iösen..
nieurproblerne
Ergebnissen:
nll{neri schen
Ziel
nicht
sondern
deghalb
der
eine
=pielen
der
der Wirkgamkeit
der
Die Hehr=ahl
genden Arbeit
Frobleme
arn Institut
numerischen
sind.
TU Szceecin
wutrden vorn VerfassEr
f ür
Flathernatische
1.
wurden
während
deg
Flaschinen
1A
bis
vorliewelche
3..
Aufgaben
Die
Beurteilung
gestatten.
die
arn Insti.tut
durchgeführt.
theoretider
die
Algorithrnen
Berechnungen,
Inge-
nurnerigchen
der
sind.
jedoch
die
Hilfsrolle,
der
Schwerpunkte
verbunden
vorgeschlagenen
verbunden
und Inforrnatil..: der
Die
den Aufgaben
nElrer Hethoden
Bearbeitung
4. und 5.
in
praktische
den Bedarf
und für
genden Arbeit
l'leßergebni ssen.
Verf ahren
einige
zr-t adaptieren.
ei ni gen
bestirnrnte
Arbeit,
schen Elel:trotechnik
mit
rnit
Lösung
weiterzuentwickeln
liegen
äug
mit
den Vergleich
durch
Algorithinen
Rechengenauig-
der
und Abschätzung
Konvergenz
bearbeiteten
Vergl ei ch
5.
der
mit
f ür
Einige
der
vorlie-
Elektronik
numerische
Forschungsaufenthaltes
(hfarschau)
gelöst.
FELDER
NTCHTSTATIONAR.ER
DIFFER.ENTTALGLEICHT'HGEN
Z.
rN
DER
die
in
ELEKTROTECHXIK
Allgetrel-nes
2.1.
notwendig,
Es ist
lich.
die
welches
anzunehmen,
Aufgaben erf ül len
ge zu}ägsige
der
sowie
systemen,
das
einerr
mit
gewissen
Fehler
und
werden
verbunden
liert,
das
welche
und die
tionäre
spi'elen.
Auf
elektrischen
veränderlichen
in
der
vielen
Felder
mu8 rnan in
der
von
der
Untersunur
Ergebnisse
der
der
Verifizierunq
formu-
Übergangszustand
im
beschreiben.
eine
besonderer
1E)
Das
nichtsta-
gehören
zu
wesentliche
z. B.
Elektrotechnikt
Elektrowärme
als
l'leßexperiment.
Feld
Elektrotechnik
Flaschinen,
Verfahreng
vorausgesetz-
die
durch
einer-
kann
nuinerischen
und Temperaturfeld
6ebieten
Auswertungen
Differentialgleichungen
t{ärrneleitung
elektromagnetische
die
das
Genauigkeits-
und
entgültige
elektromagnetische
nichtstationäre
Prozessen,
Die
gelöst.
Hethoden
Fehler
gewonnenen
die
werden
Kapitel
In diesenr
er
Deshalb
bildet
Untersuchungen
theoretischen
wird
anderseits
theoretisch
diese
chungspraxis
,,erste Näherung"
beträchten.
Der
des
Die
mlttelg
t*erden
numerischen
behaftet.
verui-sacht.
ten Vereinfachungen
der
Charakter
dem angenäherten
mit
und
l'lode-lI
nurnerischer)
Ergebnisse
entsprechen.
bedingungen
Forrnu-
die
ist
den
bei
Randbedingungen.
den Konvergenz-
sollen
Die Berechnungsrnethoden
eini-
werden
Dif{erentialqleichungsund
angeno,nnene
(meigtens
mathematischer
einiger
l " ' l o d e ll s
Fro:esse
bzw.
Anfangs
verbundenen
Ausgangspunkt
dynarnigcher
=ugehörigen
{en
betref
6leichungen
des
angeno{nmEn.
von Differentialgleichungen
Iierung
seitg
dem Untersuchungsziel
Untersuchungen
theoretischen
sind
mit
mögHodell
mathematisches
adäquantes
ist
nicht
Erscheinungen
dieser
ein
Vereinfachungen
Prozessel
der
Untersuchungen
Beim Gestalten
wird.
theoretischen'
Bei
beeinflußt.
aller
Berücksichtigung
verschiedenen
Faktorent
vielen
u-s.hr.
experimentellen
manchmal auch
die
von
sind
Störungen
Erscheinungen,
oft
5ie
Charakter.
aierten
kompli-
einen
Regel
der
in
haben
auftreten,
Anlagen
technischen
Prozesse'
nichtstationäre
besonders
und
Stationäre
u.a.,
Bedeutung.
sind
Bei
die
diesen
den
Rolle
bei
langsam
FeI-
dern
sind
die
Verschiebungsströme
vernachlässigen.
der
und die
nichtstationären
parabolischen
gehören
zur
?.e.
quasistationären
Diese
tiellen
Klasse
von
veränderl
6leichungen
sind
mit
Differentiatgleichungen
Hilfe
Felvon
beschreibbar
i che
el ektri
sche
Gesetzen,
beschrieben
werden,
und
Kont i nui tätsg
die
die
als
Fel der
Lln-
durch
System
von
ein
l"laxwel lsche
6leichungen
(2. 1)
Aus den beiden
(7.2)
grundlegenden
Eleichungen
folgt
die
I ei chung
(?.3)
divJ*ättvr)=o
Außerdern Silt
und
rnagneti sche
rotE=-#
sind.
par-
FeId
rotH=J*ff,
bekannt
zu
Diffuslonsvorgängen.
physikalischen
terliegen
Wellenerscheinungen
elektromagnetischen
hfärmefelder
Das elektronragnetische
Zei tl i ch
und die
das
6eset=
der
Gluellenfreiheit
der
magnetischen
Indukti on
Zwischen
hängige
den Vektorgrößen
(f ür
Beziehungen
Die einzelnen
llen
I ineare,
Problemgruppen
Differentialgleichungen
(2.5)
und den Beziehungen
-rot
und J gelten
BrDrErH
D = cE,
(7.4>
= O
divB
isotrope
B = ;.rH, t
werden
ergibt
durch
.
{?.5)
(?.6-7.7>
und der
rot
folgt
die
rotE
(2-1-?.2,
(2.6)
-
Etn
(p = O) gilt
divll
= O,
d.h.
(2.71
ldentität
= grad
divE
-
ÄE
( ? .a )
p"#AZE ,
(?.9)
G in
i nhomogenen
Differentialgleichung
^Errrrrrrrrrrrrrr
+ grad(l E grade,
welche
partie-
von
Aus den 6ln
div(cE)=adivE+Egrade=O.
Aus den 6ln
ien)
Systeme
rotE = HTY * u"u"?
Gebieten
materialab-
sich
at
In raumladungsfreien
l'laterial
= yE
beschrieben.
die
ein
Vektor
der
elektrigchen
?o
AE
- ,tf-*
Feldstärke
beschreibt.
6ebieten
die
erfül1t
Feldstärke
magnetischen
der
Der Vektor
analoge
Gleichung
Ätl + srad tf; eradtl
gehen die
Eln
(2.9-2.10)
in
,
(2. 11)
* ,"u"!
,
(?.12>
ät-
Ar = pr\
at'
at
Feldern
elektromagnetischen
irD/At
Verschiebungsstromdichte
I
dichte
Damit
vernachlässigen.
gleichungen
quasistatisnären
des
die
sich
ergeben
Beschreibungs-
zu
Feldes
(2. 13)
ÄE= pyg,
at
ÄrJ = pr!
die
Leitungsstrom-
Eur
im Verhältnis
man
kann
l'ledien
leitenden
in
bei
sowie
Feldern,
veränderlichen
langsam
zeitlich
Raurnt so
* ,"u"j
fü
Bei
im homogenen
folgende
ÄE = pr\
über.
(?.lo)
Feld
elektromagnetische
man dag
Betrachtet
= pyY * ,"u"! .
atz
et
(2. t4)
at
Die
kann
Analyse
-Potentialfunktionen
stationären
oft
sehr
durch
beträchtl
tnan
erhält
Fall
Annahme
der
unter
B
quasi-
Im
werden.
erleichtert
ich
vcrn Hilfsvektor
Einführung
die
=
rotA
und
divA = O aus El. (?.2)
rotE = - k
rotA
t2. 15)
und schließlich
(?. 16)
E - - # - B r a d V * '
wobei A -
das
sche Skalarpotential
prägte
deuten,
erhält
rotH
Flit
ist.
der
Stromdichte
und
Vektorpotential
rnagnetische
J = J.
Erregung
V= -
das
elektri-
*
J*,
wobei
und J*
die
$Jirbelstromdichte
t=
die
einqebe-
man
= J = yE = - fa#
* grad
Vr)
= J= * J*
(2. L7l
und
r
rot (a rotA)
i
- - y#A
2t
* J,
(2. lB)
- das elektrische
ll = T - grad V*r nobei T
sind,
Skalarpotential
und Vm - das magnetische
torpotential
hält
man aus
bemerken,
Han kann
externe
durch
zeitlich
Aus der
Induk-
rnagnetischen
ftlr
Bestimmungsgleichung
eian die
auch
werden.
der
Ouellenfreiheit
der
als
erregt,
induziert
Felder
veränderliche
erhält
(Et'lK)
sowcrhl
können
Ströme
Kräfte
1n
Feldverteilung
der
Die
die
O,
elektrische
Dag
ist'
lösen.
=
divrotT
Beziehung
Aufgaben
zu
(2.19)
= rotT
V*)
gesichert
elektrornotorische
Bedingung
(2.4)
die
6ebieten
stromdurchflossenen
durch
da8 durch
gestattet,
T
Vektorpotential
grad
Stromdichte
der
Ouellenfreiheit
(T -
= rot
EF-
6leichung
l"laxwellschen
ersten
der
J
tion
Vek-
Annahme
der
l.lit
magneti-
das
sche Skalarpotential
t2'2O'
divEpr(T-gradVm)l=Q.
rot t| rotT) = - ft'trr
Y
T = T
= J=
sind
w
dient eines
nicht
und T
voll,
erhäIt
man mit
magnetisches
bei
T,
T*
strombereich
muB jedoch
torpotential
gelöst
kann
es
ermittelt
werden.
noch
des
außerhalb
ein
für
hfir-
hlirbelströme
ohne
Im Bereich
sinn-
nun
Es ist
daß
6ra-
den
unbekanntes
Vr,
H = T=-
Feldstärke
die
(2.25)
= div(PrT*)
61. (2.2f)
für
gradV*.
Irn
hfirbel-
elektrische
das
Vek-
werden.
Da das Vektorpotential
schreibt,
man kann
V,
div(prgrad
magnetische
und
T=
Vektorpotentiale
beiden
Eleichung
folgende
SkalarPotential
und dann die
(?. j2,
r
vorzugeben,
so
verschwindet.
= o
w
hinzuaddieren.
Potentials
T*
belstrombereiches
Die
bestimurt
eindeutig
Anteil
+ T
e
= Jr.
rotT*
und
skalaren
diesen
(Erre-
Anteile
zwei
aufspalten
gung und hfirbelgtrörne)
wobei rotT.
(2.21t.
-
prgrad V*)
rnan in
kann
Vektorpotential
Das elektrische
-
gchl ieBl ich
sich
ergibt
Gleichung
l.laxwel lschen
zweiten
Aus der
relativ
T=
die
einfach
22
Erregerströrn=
tiber
das
J=
=
rotT.
Durchflutungsgesetz
be-
2. 3.
Nichtstationäre
Die
hJärme
werden.
Wärmel.eittrng
f esten
In
"rer=chiedener-
l:.ä-fir-rdanl:
und ruhenden
Hörpern,
Gasen,
rrird
äber
die
ai:ch
f örmigen
Temperaturvertei
meübertr€-gung
Das vsn
tet.
Fourier
daß die
i=t
lung
{innere
Der
Eei
Fraportional
lind
der
-,\grad
itätsf
Fha=en-
mit
der
die
jeden
rsf--
5e-
Das
ährql::ert
hlärneiertf
i=t
iirr
ai }gemeinen
vgr-r.Ll=ge=et:t,
dalJ
d;.=
uni.=r L r =ct .
H u i L f L ä = h = I - e - b g = = c h i = = . = e n ' = n F : a . l i r rO
r i:;nn
l sn=
lrl;ri
= i ehen
-
F
2
hfärrnelei=tuntr
+ F
die
.
S
-:=:
f':
aufge=per;h=rt=
rnd
-
Dr=
bed=uten.
F
3
qlif-
Brian:
für
Zei tpun l=:t t .
Die
Leistung
quel Ien
ten.
dem Ternperaturgrä-
Urni+andi r-rngen
cherni schen
entsteh=nde,
- di.e s.ustretend=
leu-
b J ä r r n e le i i - { n q s q i = r = h u n g
vürl Fi:r-rri,=r) srrrd
2
-
L heißt
Subst-en= und
_ P
t
biärrneleitung
gericht-et
ai l geiner nen
ncch
di e blärmel ei =tung=bi
wobei F
hlärr-
g.
der
tDifferer-rf-r.äIgteichung
Für ErnEn
Art- der
T
al:tar
der
druci:;bhängi
Ab l ei. tung
l"tediunr weder
unglerch-
Be=iehunq
blär-rneleitf ähigl.eit}
ternperat-ur-
der
blärrnef Iuß )
{der
Q =
be=tirnint.
Diege
Grundge=etz
und entqegengeset=t
die
einer
af-cina-r=r
genannt.
bfärine=trsrndichte
durch
inf ,:lge
Energre
transportiert.
f srrnulierte
Flüssrgl::Er-t-En
dem Einflull
unter
bfärmeleitung
proportianal
dienten
set=
wird
ruhenden
in
therrnische
und inr:}eh:Lriärer trlechselHirl:ung
ijbertr-auen
Er=rheiilLinqEn
i=t
verbundsn,
z.E.
dieser
F.
init
wnbsi
elel:trischer
C l u e ll e n
dern Vorha.ndensein
die
urie f olgt
st-eigerung
Frt:
l : . - i . F r r rD. r e
Lt-
blärrne-
Energie*rErgiebi.gk=i-,-
di=
e_.
dar=tel
Funl':tinn
Die
rrei=ten=
Ler=tr:ng
Fn
e.ngegeben nerden
F
Di e auf ge=pei cherte
ent=tehgn
Lei=tun_usdichte
ei.ne cr-f-=- und =eif-ebhängiqe
lrenn da$it
i.nneren
t'Järrne äLrE vsr-=,=hieden=n
die
Energie
he=tirrint
von
t
= f
o
q d O
v
tdärrnel ei gf-ung
Zeitei.nheit
F,
AT/AL durch
23
i =t
die
rni t- derBe=iehung
Ternperetur-
p-
= "r c p*n
=
Dabei
verbunden.
Druck und p Teil
Ein
ist
dann
-
c"
)
P
die
Leistung
'
17.?7)
L
konstantem
bei
hlärme
Körpers.
durch
bfärmemenge tritt
Wenn S die
"
spezi*ische
die
des
Dichte
die
au8en.
mes nach
ist,
der
ist
r
Stromdichte
P"
die
durch
Hullf
die
I- des
läche
l*ärme
austretenden
der
Beziehung
{2.24'
P o = 3 q d 8
F
Setzt
bestimmt.
12.2A> ein,
so
ergibt
gral,
Anwendung
kann
man die
in
das
Integral
sich
P" = Nach der
(2-24,
hfärmestromdichte
man die
Rau-
F
Gausschen
des
(2.?9' )
J )"grad r'ds;
!'lärrneteistungsbilan=
das
auf
Satzes
(?.73,
wie
letzte
folgt
Inteformu-
I i eren
- div(Lgrad
-f q..do = -f trp#
o
v
o
Daraus ergibt
sich
die
Di{ferentialgleichung
div(trgrad Ti * e,, - c"cff
welche
gung des
das
nichtstationäre
Vsrhandensein
von
Temperatur*eld
inneren
e1
T)ldO .
(r.3Ö)
der Wärmeleitung
: o'
unter
blärrnequellen
(". i1)
Berücksichtrbeschreibt.
ZI'|R CHARAKTERTSXERUNG
3.
3. 1"
Systere
Systeme
tern)
ten
nit
in
konzentrLerten
denen
vorhanden
keine
ist,
Eigenschaften
Verhalten
al gl ei chungen
ben.
Der
von verteilten
zeit-
In
dynamische
den
oder
mit
Systerns
charakteri
ilhren.
Charakterisierung
vom
rnan
System
mit
Systemen
partiellen
und mit
Ftlr
das
P kann
aufDiffe-
dynamischer
jedoch
das
Parametern
mit
si eren,
wi e f i}r
lineare
System
Irn weiteren
K(Prs),
werden
Eigenschaften
be-
män
verteilten
übertragungsfunktion
einf
spricht
solchen
in
des
ilethoden
Fall
Systerne
kann
rnan
rni t
=.8.
Verzögerung,
einige
von
e-
bfirkung
und
Differentialgleichungssystemen
Parametern.
usw.
die
Raumpunkten
ortsabhängige
Laufzeit
Systems
Dif fe-
beschri
Ursache
diesem
einzelnen
Verhalten
konzentrierten
Prozesge,
oder
Hi I f e ähnl i cher
die
In
sein.
und ortsabhängig
rentialgleichungen
schreibbar.
al gl ei chungssystemen
gleich
des
Das dynamische
gewöhnlichen
von
zwischen
Parametern.
sind
Hilfe
kon=entrier-
mit
Parametern.
rnit
(Parame-
Variablen
Systeme
Zusammenhang
Eigenschaften
verteilten
tretenn
wird
Paranet-ern
der
man als
Di f f erenti
mathematische
Ort
werteilten
konzenrierten
oder
an jedem
PROzESSE
Ortsabhängigkeit
Systemen
renti
rrrd
bezeichnet
oder
dieser
mu8 nicht
DYNAI{ISCHER
l'lethoden
Systemen
zur
bespro-
chen.
3.2.
Kerrnfrrrkt
Bei
der
Untersuchung
werden oft
lLnearer
bestimmt.
zeugt
von
den
Systene
dynamischer
Systemantworten
funktionen)
tionen
lonen
auf
Prozesse
typische
Das Zeitverhalten
dynamischen
Systernen
(Test-
bei
Eigenschaften
diesen
Erregerfunk-
de= Systems,
Systemantwort
Bild
dieser
linearen
Erregerfunktionen
Erregung
Aufgrund
in
3. l.
Ein
lineares
System
(Kennfunktionen)
Antwortfunktionen
e5
kann
man
die
y(t)
Antwort
(Bifd
Systems
eines
Erregung
beliebiger
bei
3,1)
augwerten.
x(t)
Impulsantvort
3.e.1.
on
Stoßf unkti
kurzdauernde
At+O
die
Gewichtsfunktion
mit
HiI{e
des
Systems
des
g(t).
Ftäche
der
Impuls
Antwort
6tt)
Erregung
die
hohen
Die
Dirac-Impuls.
,rürt<o
(3. 1)
= { rzat,
ft-ir o<t<at
I
,fürt>Ät
t o
bildet
Ien und unendlich
o
I
6(t)
Irn Erenzf all
eine
auf
Systemantwort
man die
bezeichnet
Impulsantwort
Als
unendlich
Ir
ein
schma-
sogenannter
ist
Dirac-Irnpuls
den
auf
q(t)
von
Kenntnis
der
Aufgrund
ein
kann
Faltungsintegrals
bekannten
t
die
Ruhezustand
befindet
gehörige
daß gich
Annahme,
t'lit
werden.
ermittelt
x (t)
Erregung
zu beliebiger
(3'2)
=.f xtr)g(t-rr)dr
o
y(t)
das
bei
System
t
n-t /Ar
der
Berechnung
Integrationsverfahren
3. 2. e.
Bei
Sprrrrrgantrort
einer
der
Wird
diese
bezogenr
so
von
der
andere
Erregung
, {tlr t<O
(0
= ,l
t *o
man die
(3.4)
t
, für
y(t)
auf
Sprungantwnrt
dem bei
auch
rrrrd Übergangsfr:rrktl-on
die
die
t>O
Sprungantvrort.
Amplitude
der
Erregerfunktion
Übergangsfunktion
h (t)
die
lnan
anwenden-
t35l
Ausgangsgröße
erhält
kann
Faltungsintegrale
sprungförmigen
man als
im
O
(3.3)
f,x(r)Arg(t-r)rr=kAzk=o
x(t)
erhält
-
gilt
y(t)t
Bei
y(t)
Antwortfunktion
Aufnahme
= y(tl /xo
der
26
(3-5)
r
Sprungantwort
gewählten
blert
der
von h {t)
l{enntnig
Die
grals
stetige
Für
l , J e n nÄ t t l
= h(+(r)x(t)
y(t)
die
wobei h(t)*xtt)
und ti ttl
(f,.6)
fnan
bestimmt
ütt)*x(t)
die
(3.7)
,
und *ttl
h(t)
Funktionen
der
Faltunq
*
t
t
=.f
=,f
htr)*tt-"1O.
o
analytische
rneinen nicht
verf ahren
a1s eine
sich
.
tt)
be-
iu
symbo-
d. h.
htt)*xtt)
Eine
ergibt
gind,
Funktionen
:l (t)
Eeziehung
der
aus
Systemantwort
h (t)
Duharnel-Inte-
Erregung
beliebiger
= h(t)x (+0) + h(t)*x
stetige
und:<(t)
iJilf e de=
mit
bei
Funktionen
y(t)
I i si ert,
gestattet.
Systerna.ntwort y(t)
die
stimmen.
wird.
unabhängig
Eingangsgröße
o
go daß hierfür
nurneFische
Zurn Bei spi el
si nd-
anzuset=en
ist
Faltungsintegrals
des
Auswertung
mögIich,
(3.8)
htt-r)*t.la.
allge-
irn
Integrationsy (t )
di e Funl:ti,:n
kann
Surnrnen
der
n=t./Ar
y(t)
* h(t)x(+O) +
(3-")
E h(t-r)arritzl
k=o
eder
n= t /Ät
ytt)
+
* ht+Olx{t)
(3. 1fJ)
g ütr)Är::(t-z)
k=o
mit
3.3.
T = kÄr
dargestellt
Beschreibtrng
Neben Stoß-
des
oder
Testfunktionen
werden.
SprungfunktiBnen
auch
harrnonische
:<(t)
Am Au=gang
rnan
erreicht
KreiEfrequenz,
ver=chiebung
die
jedoch
gegenüber
der
y(t)
Ergebnis
di'eser
Kreisfrequenz
häItnis
yolr.o
Vertraltens
dynarnischen
Frequenzbereichr
als
treten
Erregungen
deterrninierte
an
= xosincot .
eine
eine
t3. 11)
sinusförrnige
andere
Erregung
Amplitude
aufweisen
Antwort
und eine
gleicher
Phasen-
wird
(3. 1")
= yosin(c.:t + Ö)
Untersuchungr
c , rd u r c h g e f ü h r t
im
die
werden
(Amplitudengang)
in
mußt sind
und die
?7
Abhängigkeit
das
von
der
Amplitudenver-
Fhasenverschiebung
ö(al
(Phasengang ) .
einer
komplexen
sogenannten
=
lF ( jo)
;*jct(t'r)
(3. l3)
wobei
charakterisieren,
Frequenzganges
Anwendung
des
Zeitverhalten
Filr ein
Hi lfe
,
= y' o^ / x ^ u n d a ( r . r ) = C s i n d .
F(jc.r) ist
Die Funktion
filr
o
geeignet.
Systeme besonders
t"lit ihrer
chung linearer
nan nach
mit
rnan
kann
Funktion
F ( jö)
eines
Systems
eines
Eigenschaften
Dynamigche
kann
auch
das
bestimmen.
Systemg
stabiles
Untersu-
Hilfe
Fourier-Transformation
inversen
der
die
lFtj<o) I
gilt
System
8727
o
P (t^l) sinot
_
- 12| ' fJ
h (t)
t3. 14)
dco ,
o
wobei
die
P(co) = .RetF(jar) I
{fiergangsfunktion
P
h(t)*
2
,.l{
des
-P
o)
k+r.
l
)
-
C
t
Systems
P*r.
-
Pk
coscout -
'k*a
-
.uk
kann
die
t7272
-
Si tx)
Si(c,r*t)Jt
+
(3. 15)
cost^l**rt
t
Funktion
wobei
ermitteln,
ISi(o**.t)
)
L
gestattet,
co
k
k+t
k
5i tx)
zu
nerden
k+:(
Die
(3- l4)
Beziehung
durchgeftlhrt
(
P (t^1. ) .
mit P
k
TI
* ft?
Die
h(t)
folgt
wie
Integration
ist.
] ,
bedeutet
ntegr
al si nus:
x
sin E
= .f - d 2
z
(3. 16)
o
3. 4.
l{l-ttlere
Die zeit-
Ze,l-tkonstante
und
ortsabhängige
DiffusionsFroz€ls=
gleichung
P als
eine
beschreibt
parabolischer
unendliche
nen
U(P,t)
Art
U(Prt),
Funktion
und
eine
erfüllt,
Summe der
welche
partielle
kann
man in
elementaren
einen
Differentialjedem
Raumpunkt
Exponenti.alfunktio-
(D
= U(Pro) -.EUi(P)exp(-t/r.
(3.17)
)
L =l
darstellen.
Der
nichstationäre
Verlauf
ea
wird
demnach
mit
Hitfe
"Koeffizienten"
ortsabhängiger
ist.
Auswertung
Die
d.h.
möglich.
ftJr
ftlr
von
di.e Bestimmung
gefnessenen
praktische
ren
Zugtandeg
lösen
bequern und
sehr
sich
änderung
des
zu
Zahl angeben
als einfache
"mittlere
charakteristische
Hilfe
mit
Herden
beschrieben'
lassen
Zeitkonstante
in
wurde
Zeitkon-
einer
Eesamt=ustands-
zeitliche
können,
zu
leichter
charakterisierende
Ausgleichsvorgangs
statio-
einem
in
Angabe
die
die
Um eine
charakterisieren.
stante
reicht
Ausgleichsvorgänge
durch
anschauli.ch
die
z.B.
nichtstationä-
6Ieichungen
räusrlichen
zeitlich-
Die
sind.
das
Differentialgleichungen
den parabolischen
su
einiger
Fällen
eines
Felder
stationären
el I i.ptischer
ler
im Vergleich
die
Die
Dauer
Feldverteilung
räumlichen
U(Pro).
Zustand
partiel
der
der
nur
vielen
In
der
Kenntnis
die
Ziele
und
Regel
sind
Aufgrund
Parameterr
bestimmt.
Verzögerungszeit
ftlr
der
Geometrie
|{ethoden
kaum geeignet.
in
werden
Fälle
einfache
len
experirnentel
und r.
Problerns
einfacher
charakterisierende
Verhalten
oder
nären
(P)
Systemantworten
dynamigche
Lauf-
U
fiJr
nur
wegen
die
die
Auch
ist
.i
Zeitkongtanten
stationären
eines
und ti
Aufgaben,
sind.
1ösbar
sch
analyti
nur
U. (F)
von
und der
Lösung
die
U{Pro)
wobei
beschriebenn
U. (P)
eine
t2'56'591
r' nach Gl. (3.1El) definiert
Zeit"
@
=
r(P)
Die
dischen
In
l"ledien ist
linearen
Erregung
Gebietes.
lur
Die
Norrnierung
in
jedem
Zeitkonstante
hängt
dagegen
auf
dem Rand und
Punkt
gewonnenen
P des
Raurnes.
der
der
räurnlichen
ab
von
irn
Inneren
des
kann
aufgrund
Sprungantwort
wird
Sprungantwort
aperlo-
eines
vom Zeitverlauf
Zeitkonstante
mittlere
der
Dauer
die
diese
e:tperimentell
oder
numerisch
werden.
Ouellen
der
Verteilung
suchten
Sie
unabhängig.
(3.14)
U(P'o)
bestimmt
U(F't)
Ausgleichsvorgangs
U(Pro)
dt
U(Prt)) r(P)
Zeitkonstante
rnittlere
-
U(Prt)
f
|
J
o
die
unter-
ermittelt
Funktion
u(Prt) - u(Pro)
f (Prt)
eingeführt.
Die
proportional
:
Funktion
=
U(Pro) -
f(P't)
ist
h (Pt t) =Ko (P) f (P' t) t
übertragungsfaktors
spielt.
Daraus
2S
(3. 1?)
U(PrO)
der
wobei
folgt
der
übergangsfunktion
(P)
Rolle
die
o
die Besiehung
K
h (P't)
des
@
= Jf L o
r(P)
und
der
Interpretation
graphigche
die
(f,.:ü)
+ {P.t}ldt
.r (P)
Zeitkonstante
(Bird 3.2).
fet)
lTt
f(?t)
0
InterPretatlon
EraPhische
B i 1 d 3.?.
Zei tkonstante
der m i t t l e r e n
Dank der
vielen
der
tL
Zeitkonstanten
genäherten
u(Prt)
*
kann Jnän
Zeitkonstanten
mittleren
begtimmten
den
mit
von
Hrlfe
Diffusions'vorqang
(=' 17)
in
Form
ur(Prt)
= u(Prco) +
[u(PrOi
-
u(P',ri ]'expt-t./r
(P) -l
(3.21)
darstellen,
wobei
t(P)
6ewichtgmittelwert
als
6
r(P)
c
betrachtet
werden
"L
o
= E Er.U. (P)l/
l i - i i
von
(3. "?)
E UL ( P )
l ] '
kann-
u(q
ueo)
Bild 3,3. Exakter
Di ffusi onsverl auf
(U)
30
und genäherter
(Ua)
Der Verlauf
weLcher
Ua(Prt),
gliedes
mi.t t/er=ögerung
vielen
pratltischen
laufs
U(Frt)
( B i .t d
3. f,)
bilden,
1.
Drdnung
eine
Ar-tg
f aben
wobei
der
für
Antwort
(PTr )
Froporf-ri:nal-
entspricht,
kann
ber
des
Ver-
ausreichende
den Absolutfehler
@
.f
o
eines
A d t = O
31
Näherung
Ä = U -
Ua gilt
(3. "f,)
4.
4. 7.
VON DIFFUSIONSPROZESISEN
BEHANDLUNG
NUI{ERISCHE
Problemformulierung
l,{athematischre
(elel:trische
FeId bestirnmen
eine
dagegen
fülIt
punkt aus gehören
HIaEse der
und :u
ihrer
wandt.
Die
partiellen
werden
Lösung
gesuchten
die Homponenten der
lare
nurneri=chen
von
Eehandlung
parabolischer
Art
Verfahren
anqe-
darin,
und gelöl}t
der
daß
werden.
l"rerf ehr;n
:ur
Randwertautfgaben
be-
be},:enntesten
nicht-Etetisnären
für
=lta-
entsprechende
Vekterfunl:tion
t'*erden einige
In diesern Hapitel
elner
besteht
formuliert
Df{erentlalgleichungen
zu
numerischen
dieselben
Vel,:torgleichung
einer
ErStand-
rnathernatischen
Vom
Differentialgleichungen
Lösung
Das
beschrieben.
und Skalargleichungen
Vektor-
Veh-
durch
Wärrneleitungsprsblernen
Skalargleichung.
diese
")
F.apitel
bei
Temperaturfeld
nichtstatisnäre
werden
Vektorpotential)
(giehe
tordif*erentialgleichungen
sowie
Feldstärlte'
rnagnetische
und
und magneti=cheg
elektrisches
elektrornagnettsche
quasigtatisnäre
das
die
Die Feldgrößen,
sprcchen.
Eesurcht wird
in jedem
I- die
{oIgt
forrnuliert:
Funl.tisn
dif f erenzierbare
di.e zweimal
einern stüc!:weise
Raumes O rnit
Pr-tnkt F des
wie
wird
Ds= Anfang=-Randuertprablem
U(F,t)
'
glatten
di=
F:and
Differentialgleichung
- *"
div(wrerad U) = *"#
erf ü11t.
Di.e Randbedinqlrnqen
stellung
verschiedener
Art
können
{4.1)
entsprechend
der
Prsblern-
=ein:
-
tuiF.t)
= 0
UFtP.t)lF=f
!
(4.:)
O,
(4. f,)
1
fw*gradr.rU
wobeif
{
uI-
-f
2
nl-
undl{
*
*.U
=6.
U (P, t=O)
Die Fun[':tionen wl ,...,w5
eine bestimrnte
wzr*.
phy=itlaIische
charal,:terisieren
die
(4.4)
= Uo (F)
besit:en
f ür
jedeg
Eigenschaften
praktische
Die
Interpretatisn-
32
die=er
DieAnfang=bedingutng
2
A r - rgf a b e l a u t e t :
+ r.JElF=f =
z
des
Frcblern
Funktionen
6ebietesr
wr,
dagegen
bilden
1.?.
Raum-
Bestlmnrrrrg
ztlr
Randwertproblenrs
des
Behandlrrrrg
-
Eingangsvorgang)
{einen
Erregung
eine
w" und *o
löstrrg
Le.t.
Yerfahren
Galerklnsches
näherungsweise
Lösung
{olgender
Form darstellen
man
die
(4.1-4'4)
in
kann
5o
des Randwertproblems
ua(Prt)€ffn(o)
genäherte
n
=
uä(P!t)
Qv n ( P , t )
= ur(P,t)
wobei Eco(Prt)lp=r
(tlc
E P,
*
tP)
(4'5)
'
i = t
zeitabhängi-
unbekannten
Die
ist.
ti-
*'n(o)
Raum
linearen
und
bildetr
Funktionen
o definiten
von
Koordinatenfunktionenfol-
blenn die
Funktionen.
near unabhängigen
normierten
einen reelen,
ge tci (p)):_,
der im Eebiet
Aufgabe
{C. (P)}:-1
Satz
Hil-
mit
Um diese
werden.
ilan einen
wähle
lösen,
zu
gelöst
Verfahrens
fe des 6alerkinsches
kann
Randwertaufgabe
formulierte
4. I
Die im Abschnitt
I
gen Funktionen
l,,r (t)
werden
mit
I'tethode
allgerneinen
der
Hilfe
bestimmt-
von 6alerkin
I'tethode
6emäß der
go11
der
Lösung
dle
die
l)
DgI'(4'
Orthogona-
I itätsforderung
{r*"#
Die
erftillen.
nur für
einen
- *" -
div(wrgrad
( t =1 , z, - . . , r\t
Bedingungsgleichungen
Ealerkinschen
Zeitpunkt
festen
(4.6)
U) lC. do = O
t
des
bezÜglich
(4.6)
werden
6rundgebieteg
formul i ert.
Unter
Berücksichtigung
-div(w.grad
erhält
urci
man nach der
.f(wrgrad
{
'er.O
der
= *rgrad
Identität
- div(c
ca 'qrad u
Anwendung des Eausschen
U +
* r ö. , #alJ - w 3 d .) d o -
3
wngrad u)
{4.7'
satses
t , w r e r a dU ' d f
,1.;,
( L = l , 2 ,
33
,
. . - , n >
Daraus
und
r
(4.3)
Randbedingung
folgt
u * , " c., #AIJ - * " c , ) d o + ' / ( w . u +
$. 'grad
" f ( w _g r a d
o
der
aus
L
= O
v,t )dl5
2
(4.9)
< t = 1 , 2 ,
dr.rr genäherten
Nach Einsetzen
schließlich
ein
System
gleichungen
erster
(4.5)
Lösung
von gewöhnlichen
E v , ( J w . e r a d{ ' e r . o
j=r r o-
r,r dV.
crao *
|- 2
rp (O) zugeordnet,
die
i=r
sollen
die
der
Erftlllung
(4-5)
6emäß dem Ansatz
ft
t*.co * *olc dr
, t = 1 . , 2 , . . . ,
n )
Konstanten
entsprechen.
Diese
An-
Anfangsbedingung
(4.4)
ge-
gelten
sollte
,p, (O)C (P) = Uo(P) '
Co(PrO) * i
(4.1o)
gewisse
sind
Anfangswerten
den
=
t1r* " Q r Q - a a
*.c,o.dt-) *r!.at-
wzuftrr, - wlgradpo'gradf. ldo -
währleisten.
sich
Differential-
linearen
Diesem Differentialgleichungssystem
fangserte
ergibt
CIrdnung
6
= .ff (r.r" -
(4.9)
in
(4. 11)
Pdl
L = 1
rp (O)
Die Anfangswerte
werden:
de der
dem Galerkinschen
nach
kleinsten
geben sich
können
j =r
o ' i . ' j
mit
der
Hilfe
Im ersten
Fall
- ( P ', O ) - Uo^ ( P ) l C' .L d O = O
o ' o
Fall
die
soll
-
2 ,
. ., n)
t49l
F{inimalforderung
Jr* tP) t U a ( P r O )
er-
t4.12)
( v = l ,
Im zweiten
Hetho-
t84l:
i * ,( O , . r Q .C . d O + t t ö
J
bzw.
Abr'reichungen.
6leichungen
ermittelt
Prinzipien
zwei
Prinzip
quadratischen
{olgende
nach
Uo(P)l2dft
(4. 13)
= l"linimum
o
erf rll 1t
werden,
sich
raus ergibt
wobei
w(P)
ein
System
eine
von
Wichtungsfunktion
linearen
bedeutet.
Gleichungen
Da-
t9l
t-l
E
t' uj : ( O ) - f w ( P ) ö' t, 'öj a A
j =t
.fw(Plu
o
o
o
(P)d dO = O
(4- 14)
t t l , z , . . . , n )
zur Bestimarung
i
II
L
der
unbekannten
qr. (O).
34
aufgabe (4. 1-4.4)
die
Koordinaten{unktionen
nun
wird
durch die
Net:knoten
Pi ,Pi ,Pk....
Elemente)
Qe =erlegt
und äie
halb
jedeg
durch
uetPrt)
u n d u . ( t ) r t - t .( t l r u u ( t ) ' . . .
{ N t F ) l - T. { u t t ) i e
die
räurnl i chen
s e k r u i n m li n i g
andere
herandete
Wendet .nän die
(3D)
für
itj
Randt,*gpt-problerns
Hethode
Elernente-Typ
das
wird
in
den
oder
Dreiecke
in
6ebietes
dern Problem
ab-
Erundgebiet
Probl ernmen erf ol gt
ei ne
Int
in
Vierecl':e
Di sl':re-
Tetraederelemente.
angepa8te,
rnöglicherwei-
Elementevon
Galerkin
35
:
i=j
L ö s u n g des
deg dreidimengionalen
oder
für
(4. 16)
krurnrnlinige
Parallelograrnme,
6uaderelernente
I
Aufgaben
von =weidirnensionalen
Bei
f
= {
LJ
L {)
voin gewählten
hängen
Die Formfunl.:tionen
1t.
t4. 15)
I en -
darstel
Elernenteknoten
tisierung
I r near
N' iP).|'J tPi r
.,.
L:"'I llllll
= J N ( Ft )
Nr(Pjl =6.
eingetei
inner-
wobei
appronimiert,
Dreiecke,
(Forrn{unktisnen)
(flnite
'"'
*'
[ I'
Nk(P)r...
Fall
U(P't)
t{omb i nat i on von
ei ne
dieser
einfache'
Teilbereiche
bestimmte
nktionen
t <o. o r d i n a t e n f u
gen
unabhängi
O in
Erundgebiet
unUel*annte Funktion
Element s
iten
fin
Bei
läßt.
durchführen
betrachtete
das
einfach
relativ
Integration
nuinerisch
Galerkin-
des
Realisierung
diese
sich
sder
analytisch
l,lethode
der
bei
schen Verfahrens,
entweder
praktischer
Art
besondere
det eine
(FEH) bj-1-
Elernente
finiten
der
Hethode
Die
werden.
durchgeführt
Integratron
numerische
=eitaufwendige
der
Gestalt
komplizierter
bei
bzw.
Integrationsgebiet
zierten
kornpli-
geometrisch
so muß beim
rnög}ich,
nicht
Regel
Integrale
dieger
Begtilnrnung
analytische
Die
Koeffi-
angegebenen
Integrale
entsprechende
den durch
der
in
Differentialgleichungssygterns
des
Lösung
ausgeführt.
zienten
ist
=ur
Randwert-
die
wird
Ver{ahrens
Ealerkinschen
Nach Anwendung des
(4.10) mit
Elenente
finiten
der
llethode
1.2.2.
auf
das
Randwertproblern
i
i
(4,1-4.4)
ärrr
rechnung
ein
Funktionen
so
erhält
rnän nach
einer
entsprechenden
Differentialgleichungssystem
u. (t),u.
(t),uu
se
l'latrixschreibwei
(t),...
ftlr
den
in
die
Zwischenunbekannten
Elementeknoten
in
der
tEl4, ?€}1
+
fHletule
= o
+ {Fie
rcletü)e
{4. t7' ,
!
= dtule,zdt-
rnit türe
Die Koe{f izienten
Steif igkei
frl.
und .1.
L J
" J O
tselementematrix
der symmetrischen
tHl-
und
der
l'latrizen,
der
l'lassenelementematrix
[E]€!, si nd durch
ni,
LJ
N . ' g- r a d
= /_"rgrad
t
N. dO + t
L
o=
(4.14)
w-N. N. dla
t
L
J
a=
bzw.
. LFJ . = J w
(4. 19)
N. N. dO
L
J
o t'
und die
+i
Koeffizienten
aes Spaltenvektors
+L 3 = - [ w9 N. do
tFle
durch
+ f, wsN. dl-
(4.20)
re
QE
gegeben.
I
g
x;
Bild
Die
oben
4.1.
Unterteilung
angegebenen
wenigen sehr
einfachen
Dreieckselemente
Gebietes
Integrale
lasgen
FälIen
(Bi 1d 4 . 1 )
N = ( a
m
des
m
in
wobei
Ä=+
1
x.
yi
1
x.
Yj
L
J
l x .
k
36
yk
ernente
analytisch
l{erden
z.B.
nur
In
I i neare
d-h.
r flt = i r j r k
+ b x + c V)/l}Al
m
x
Drei ecksel
sich
berechnenangewandt,
x j j x kk
,
(4.21)
und a.
=
-:{kyj;
trj"u
b,
=
2
, 2
El. fC.
r
L
"f grad iN)' ' grad
{N}
t
L
J
so
J
J
I
'
=r ch
ergibt
b l b, +c. c,
tjt
L
bt+c1
oe
;-i,r
k-
b, +c
b
L
=o*[
Tdo
=
y , - i .i.
y,-
b
'
L
l
(
(4. "?)
b. +c c.
j
l
sym.
(
J
!
(
2
. 2
E), +c,
X
f
X
= 1 1 l
(4. "J)
. r { N } . r N } ' a ro! = r * l : 1 l t
ne
l="*.
L
1
' |J
.r'l
r $ { } d o+= + { 1I
o e
der
Andere Beispiele
gration
ist,
vorhanden
numerische
Die
mittelt.
Elemente
metrischer
werden
Hilfe
wer d e n
wird
bei
Gausschen
der
=. E.
anal yt i s c h e n
der
in
Inte-
n ufnerr gch
l"latri.:relemente
die
Integration
mit
)
Integration
analytischen
Fal I s l:ei ne Flögl i chF;ei t
angegeben.
tB4l
[ t
(4.:4)
Pr-
t / e r a r e nd u n g
i;apara-
Ouadra tur
durchge-
führt.
" r i = 3 n l , ' E r ,= 3 ' 1 , ' F i =. 3 * l
erhält
und anschließend
= d{u},/dt
+ tFl. = $,
+ tcli;t
tHliu]
tul--
in Etementeknoten
symrnetrisch
setzt.
Die
und
optimal
minimaler
gchwach
der
grarnmtechnischen
die
(4.26)
der
von
von
Null
gewählten
Eründen
NulI
ist
erreichen
tHl
zwecl:mäßig,
?7
l:önnen.
Zur
tCl
Elenenten
sind
be-
Aus pro-
abhängig.
uffi Gesarntmatrizen
zu
und
Funl:tit:n
Außendiagonalele-
verschiedenen
es deshalb
SpaItenvek-
gesuchten
verschiedenen
Hnotennumerierung
durchzuführenr
Bandbreite
Gesamtrnatri=en
mit
ein
wird
der
Anfangswerte
Die
enthält.
Position
von
mente ist
rierung
der
zugeordnet,
o
t4- "6)
ist.
DemDifferentialgleichungssystem
tor
(4.25)
Gesamtgleichungs-
rnän das resultierende
system
wobei tu)
ent-
werden
(assembl iert)
auf surnmiert
sprechend
(+. 17)
Elementegleichungssysterne
Die berechneten
diese
mit
optirnalen
Nume-
möglichst
Nurnerie-
bekannteste
werden
sen und der
auf
sierende
neben
fahren.
und wird
Um das Rechenschema
wie
eine
Linearkombination
tungsableitung
von
U
sein
{4.2E})
und tsatUJ
bedeutet
U und
von
(die
AU/An
Rich-
zum Rand f)
Normalen
der
Richtung
die
kann.
tlberzogen
einem $itter
Bf) eine
erset=t.
Ba werden
den
werden.
so erhält
Eegtalt
ftlr
Differen=enopeLd und
der
jeden
(4.5{l)
dem Rand I-
(Eitterknoten)
Punkten
män
l"taschenweite
inneren
3A
h*
z.B.
bzw.
Eitterknoten
des
approxiist
Differenzenquotienten
Benutzt
die
daß
darin'
Differenzenquotienten
der
BF
(4.79l'
besteht
bestimmten
abhängig.
Rechteckgitter
man
äuf
r.l- r
l
in
verwandten 6itterart
auch
Gleichungssystem:
entsprechenden
Die
Die
Näherungs-Operatoren
Differentialoperatoren
Differentialquotienten
Raumes O mit
ein
mit
(eventuell
* Hto- # - * " , i m R a u r no
t
I elru:
L
r
Die Umformung der
die
durch
siFh
ergibt
Daraus
I u"rr,
I
sionales
angewandt.
Differenzenapproximation
L und
ratoren
L
dem Operator
auf
und
O
6ebiet
betrachtete
das
wird
Beim Differenzenverfahren
miert
<4.27'
dem Rand ['
auf
I
im allgemeinen
in
Randwert-
die
wird
Differentialoperator
elliptischer
beherrscht-
- "" , im Raumo
I
wobei L ein
gut
t27)
z.B.
formuliert
folgt
= *F
naful
zu den
Elemente
Literatur,
können,
zu
ge-
Diskretisierungsver-
praktisch
auch
darstellen
arut = *r#
I
I
ba-
Differenzen)
f initen
der
um{angreiche
als
theoretisch,
aufgabe (4.1-4.3)
Ro-
Überlegungen
angewendeten
eine
hat
Das Verfahren
sowohl
von
finiten
der
l-lethode
meist
Ingenieurpraxis
in der
Atgorithmus
und HcXee angegeben.
(Flethode
besprochenen
der
die
atrren
Das Differenzenverfahren
hört
der
tB4l
Literatur
cutäiLL
von
Algorithrnus
Als
graphentheoretischen
einigen
Dl f f erenzenverf
1. 2. 3.
der
in
worden'
entwickelt
Algorithrnen
verschiedene
rung sind
ein
n"
von
der
zweidimen(Bitd
P. (x. 'y. )
4.2, I
die
Approx i mati on
u(x. -h*rY, rt)
-
U(x. *h*rYi rt)
au_
E _
2h
(4-31)
+ o(h2 )
(4.3?)
x
U(x.,y.-hr't)
U(x. ,yi +hyrt)
au_
q -
+ o(h2 )
2h
Y
Y
und
fu
-
U(x. +h*rY, rt)
*
ZU(x. ty. rt)
U(xg-h*ry; rt)
oth')
h2
Exz
fu
-
U(x. ry,+hrrt)
v
,
(4.33)
U(xi ry., -h"rt)
*
2U(x. ,y. ,t)
o(h4) .
v
(4.34)
h2
v
*
X
Bild
4.2.
Als Ergebnis
der
von Iinearen
i
:
I
!
!
I
t
t
I
Urnformung der
gewi!'hnlichen
nung (mit Ableitungen
einer i -ten 61ei chung
= U(xrrryr,,rtlr mit
I
tr
DSl. (4.77 )
das
entgteht
erster
Differentialgleichungen
Die
t).
Veränderlichen
ei ne Li nearkombi nati on
bi I det
n = irjrkrlrm
Seite
rechte
.
Die
-
w3 (x. ,y. ,t)
Systern
Ord-
linke
Seite
von
u r . ,( t ) =
wird
durch
die Beziehung
du.
r" (*, ,y, )E*
I
I
I
l
tI
der
Lösungsgebieteg
des
Eitter
Rechteckiges
bestimmt.
aren
tion
Bei
Anwendung
algebraischen
der
$lerte
von
von
(4.30)
Dies,es
Eteichungen.
U in
den
entsteht
Randknoten
3S
(4.55)
System
aus
System
ein
wird
dem
o.g.
von
zur
lineReduk-
Differen-
ti al gt ei chungssystems
wird dieser
Die
I'" approximiert.
bzw.
lationg-
eine
durch
sich
ergibt
trix.
'
mit
dann
wird
Differentialgleichungssysterns
sichti.gunq
der
Diagonalma-
eine
Der
tFl'
Spaltenvektor
Die
Erregerfunktionen.
(4.36)
unter
Berück-
.,i
Uo (P. ) r
bildet
wobei
{uo},
Anf angsbedingunE
o=
Anfangs-Randwertproblems
des
t"77 -
(4.36)
tCl
von
Lösung des
die Näherungslösung
Interpo-
= t) ,
+ iF]
+ f Cl tu]
Vorhandensein
das
ein
durch
berücksichtigt
= d { u , - .l d X r t H l e i n e B a n d n a t r i : t ,
- -6. w_ (x.
c.
. 2
,Y. ) be=eichnet.
L - - L
r . J
L J
berücksichtigt
Randkutr'e
Differentialgleichungssystern
ein
tHl iul'
polygonale
oder
treppenförmige
Randbedingung
Rand f r
ei nern l:ornpI i : i erten
Bei
E:ttrapolationgverfahren
Anschließend
wobei <üf
.
verwendet
t4. 1-4.4)
in
bestimmten 6i tterknoten.
1.2.1.
es aber
ist
Feldes
rungslösung
Raumwird
Autlenraum
der
Fei
Nr-tl1) begren=t,
(=.8.
entfernt
der
weit
6renzf 1äche
anqenornrnen werden
besteht
daß der
darinn
geführten
Fläche
in
zur Lösung
von
Randwertau{gaben,
Laplace-Di++erentialgleichung
i'lethode, z. B.
die
Elernent I'lethode
thode der
Integral
Trennung
der
von Prssanl.etz}ry t743
Fläche
eine
ich
einer
In
künstlich
sogar
vorgeschlagene
an.
Hethode
rnan
t66l '
di e
f initen
Feld
eine
die
die
andere
Eoundary
anal yti sche
Irn r.reiteren
der
diese
I'lethoden
der-
ge=uchte
wendet
ein-
dem durch
l'tethode
dern dag
die
Lösungsl':on=ept
die
tSBl
ist
eingefÜhrte
z.B.
Variablen
rnit
aber
sich
nurnerischen
sder
ltlähe-
unbegrenzten
der
gleichungsmethode
40
die
eine
erfül1t,
(BEl'l) [5.E}1. 83]
im
andere=
wird.
Im Außenrarltrnr in
Elemente angewandt.
Für
erhebt
Raum mit
wird
des
Feldgebiete
:usätzI
Ein
t751.
Räurne geteilt
Innenraum
Fläche begren=ten
E1e[,:tro-
Vel,.tsrpotential
dag
diese
betrachtete
=wei
der
durch
Auswertung
ssl I
Frage, wie
A u t fg a b e n
Felder
Anordnung
der
Randbedingungen
eingeprägten
räurrlich
berücl:sichtigen.
und dreidirnensionaler
:wei-
of t
zu
bei
o{fene
räumlich
notwendig
von Par-
nur
sind
vielen
Bei
Lösung
räumliche
die
gestatten,
anwendbar.
6ebj.eten
elektrornagnetischen
gleich
die
Differentialgleichungen
begrenzten
technitl
Feldgebieten
Ver{ahren,
Die dargestellten
tiellen
offenen
bei
Lösrrngsweg
t'lj.rd
infiniten
t'ledie
EIe-
mente besprochen.
des
UnterteilUng
4.3.
Bi1d.
O=ound des
Elemente
in finite
Elemente Oin infinite
grtindet
Diese tlethode
(Bild
Elemente geteilt
dagegen in
j,
und
knoten i
nird,
daB
O.
Luft)
ist,
in
f inite
l'latrizen
tHle,
l-a
mit
Funktion
U die
fnan
teilt
den
liegen.
irn
wie
O,
Elernente-
Vorausgeset=t
6ebiet
nichtleitendes
gesuchte
dem die
Ol
Elemente
quellenfreies
ein
Den Außenraum
Trennkurve
an der
die
entsprechende
werden.
zweiknotige
infinite,
in
r*ird
n
Elementegleichungssystems
des
konstruiert
4.?.?
Abschnitt
{F}e
Vektor
[C]e und der
wobei
4.3),
Qa
Innenraut
Der
Elemente.
f initen
l'lethode der
die
wie
Prinzipien
ähnl ichen
auf
sich
Innenraumes
Außenraumes
(z'B'
Laplace-Eleichung
erf iJl 1t.
Ftir das im Bild
4.4
inf inite
dargestellte
angenommen
gende Formfunktionen
Element
srerden
fol-
E74J
f N ( p r r
f r - n '')
=
=
rN6 (p)) ,| _'-.^: I = r**fi=a,
' t ' I {t +. n.)
I
[ r u . - t p ),
-
J @
(4.37
: o . r t * ?b - #v dt _f I
: - {
z u ^[ r - i + ü i J
wobei p und
O die
Die Funktion
t{pl
den der
die
in
gesuchten
der
Koordinaten
des
Polarkoordinatensystems
=
n>l
charakterisiert
L/pn,
das
Verscht^lin-
Pararneter'
a' Die sonstigen
P +
gind im Bild
und
4.4 erläutert
auftreten,
Funktion
61. (4.37)
mit
sind-
bei
17
aus den
folgenden
zu bestitnmen:
Beziehungen
-
I
-
t(x.
d -
( y. J
x. )z +
L
J
(x.y. L
-
x.V.)/{2ll
J
J
y. L. ) " 7 " t
/?
,
L
r./(41) ,
b = < * ? - " 1L * v. J? - y 2
L
J
'o m
=
<d2 +
b2lt'2-
I
ei
Bild
der
Die Koeffi=ienten
4.4.
Element
Das infinite
"Steifigkeitsmatrix"
durch
tHlco sind
die
Bez i ehung
h@ = / *rgrad
- o e
Nr*.grad
(4.3E})
*j-oa
@
gegeben.
Bei
der
(Koordinatensystem
Problenen
ebenen
xry)
ergibt
sich
nach
E74)z
Integration
ho
= af (4n"
h@
=hT.
h:.
= af (4n2 + 2n + 1)l
=
+ 2n + rlt
af (znz - zn
J J
mit a = w /(LZnd).
t
ilz
-
6nb *
t)I
3PZ^/LJ ,
- si^ttl
+ 6nb + 3p2 /!)
t
t
(4. 59)
(4.4())
(4.41)
r
man (Gtannz snd
erhält
- h:,
-hi :. .j
jt
= btf-(nr.
L
-
r r=l
t37l):
ZiöTkourslci
r,
(
n
r
.
=
+
C
d
J
L
"
+
1- 2 + g-. z d 2i b t[[
j
-
"h o
(Koordinatensystem
Aufgabe
axialsymmetrigchen
Bei einer
(r. +51)+2n(r. -Sb)-Sb+Cd]]
' Z Sr l t n z.
J
r
(
4
.
4
?
r
+ c d ) ( n r . + E d ) + s 2 d 21 1 n' J
+
(4.43)
'
J
)r
+ 2(n+1)Sl t (n-1)Sb+(n+1)Cdl)
h:
J J
r.
= b { t ( n r . + C d ) 2 + s 2 d 2 l l n F i - 2Sl tn2 tr. -SI )+Zn (r. -Sb)-Sb+Cdl]
t
,
(4.44)
.
-=. ) / (2L' )
S=(r. -r. )/ (?1) und C=(= '
orit b=wrlt4(?n+1)d531"1,
S = or
bei S t o. Falls
zess der
FeIdes im AuBenrau.n O.
wie
tHle
im Bildungspro-
unbegren=ten
räumlich
des
tHlo
von
Differenf-ialgleichung
Lösung der
vorhandensein
das
or.,
im Innenraum
der
bei
wird
tHl
aus
berechnet.
Dank dern Anteil
ausgenutzt.
tHl
6esamtmatrix
in der I'tatri>l
analog
tHlco wird
Die gewonnene l,latrix
wo-
tHlo
Hatri:<
der
Elmente
die
werden
mit. a=w, /E6(2n+1)d2 I
(4.S?-4.41)
den 6ln
:
.
bertlcksichti'gt'
i
I
4.3.
I
I
a
zur
Anfangswertprobletns
des
Behandlr:rrg
Bestimmurrg
der
TELL'
lösung
I
ll
i
I
lI
I
in bezug auf
I
u(Prt)
i
Ii
i
t
I
I
I'
I
von
verfahren
bestimmten
(4.2-4'3)
durch
die
I
It
i
I
1ä0t sich
gitt
filr
in
das
analytischen
einer
SYstem
(4' 1)
entspreerster
Differentialgleichungssystems
des
!
I
Funktion
Differentialgleichungen
gewöhnlichen
Lilsung
gesuchten
Differentialgleichung
Randbedingungen
Die
Qrdnung ersetzt.
der
Anwendung von
parabolische
mit den zugehärigen
chende Systeme
Abhängigkeit
Dank der
partielle
wurde die
(4' 1-4'4)
Anfangs-Randwertaufgabe
die
wurde
räumli.che
die
betrachtet.
I
l
4,?
Im Abschnitt
Form darstellen.
Zum
Beispiel
(4-?6,
I
i
I
tI
tu(t) )
= exp (-tcl-t
tHlt)
i
i
t
II
f
-
exp (-tCl-
t
tu(o) )
i
t
t
t'I
!
rI
I
tt
f
T
I
(4.45)
t
t
I
tF (" ) ]dr
tHlz ) tClc H : t ) . ' l e x P( t c l o
I
t
-
/L3
DieBeziehung(4.45)kannmanleidernurinwenigenFällen
die AnfangswertBerechnung
anwenden, so daß bei der praktischen
ratur
Lite-
der
angewandt'
6-l'lethode,
sogenannte
die
ren,
In
Einschrittverfah-
spezielles
ein
oft
wird
f1r4r4Etr55r97l
muß'
werden
behandelt
tTBl
ren l.lehrschrittverfahren
linea-
z'B'
Zeitdigkretisi€lrungsverfahren,
von
Hilfe
aufgabe mit
u n.t
Um+0
U61
+'m+0 t t * t
tm
irn Zeit-
Linearapproximation
(t-rt',*,
)
4-5Bild
intervall
'{ü.T'> rn I't
Zeitintervall
l.lethode wird dag betrachtete
geterlt'
Ät=Tll"l
(t_rt_*,
einer Schrittweite
l *it
Zeitabschnitte
Di{fedes
wird die Lösung tu')={u(tm)}
t-=nAt
Jedern Zeitpunkt
Irn Zeitintervall
zugeordnet.
t4.26)
rentialgleichungssystems
Bei dieser
(t
m
.t
-
I?t+ :1,
(Bild
ansat=es
approxirniert,
wobei
Erregervektor
tF(t)]
durch
Unter
aus (4.?6,
(etHr*
-
e
+
{ut*l}
6l e iorl).
(l-€)
ähnliche
Auf
werden-
apprg1ltimiert
(4.46)
{u-}
weise
soll
auch
Ableitung
Die
der
tu(t))
Differenzenquotient
ihren
d
tu] |
- :-l*.9
ersetzt.
Lrnear-
e des
4.5)
{u*t6}
wird
Hilf
rnit
{u(t)}
Vektor
gesuchte
der
) wird
-*
Berticksichtigung
(4-47}.
^t
e^t
der
61n
(4'46-4'471
ergibt
tcr]{u-} +
+
Äi rct) tu**1)
[<r-etcHr ^+
11
gich
(4.4a)
= {u-}
{Lr-*.}
man aus
so erhält
tdtHlat
(4.50)
und
+
gestattet,
der
aus
schließlich
(4 - 49)
,
Beziehung
+ otF-*r}
+ tHl{un}
Das Gleichungssystem
+ ta-}at
folgende
61.(4.4€l)
+ tclltam)
gewinnen
d-h.
Funktionszuwachs,
ein
{cr-}At
Bedeutet
(1-6} {F-}
{a-}
Hilfsvektor
den
61. (4.49)
(4,5c')
= Q
Funkti on
gesuchte
die
zu
tuo]=
im Zeitpunka a-*. =t berechnen. Der Anfanqsvektor
tu(t))
={u(O}} ist durch die Anfangsbedingung (4.4} bestimmt, d.h. {uo}
=(U (P. ) ).
O
L
Um die
der
€-l'lethode
Bedingung
l/2;
absolute
2/37
zu
gewtihrleisten
e e <t/z,t)
1 ist,
Erank-Nicolson!
der
Stabilität
erfullen.
erhäIt
von
man
6alerkin,
Lösung
numerischen
können,
In
soll
besonderen
entsprechend:
sowie
Eul er.
45
der
die
Parameter
Fällent
das
impli=ite
Hil{e
mit
I
wenn
Verfahren
Hethode
die
evon
von
ZFITKOXSTANTE
HI'I.{ERTSCHE BESTII.{I.{UNG DEI' }TITTLEREN
5.
Allgenelnes
5.1.
und
Hocanzu gewidrnet-
von
der
eahlreicher
denen
nichtstationäre
den.
In
und
begrenzten
der
Feldes
Hohl-
und
gleich=vorgänge
einer
Flußf tthrung
In
den
mit
oben
namischen
Verhaltens
bestirnmt,
Auf
die
zur
grenzten
Funktion
Lösung
betrachtete
von
t?r56r67r6grBBl
und
angerrandt.
dann
wurde
für
in
den
Lage
des
Aus-
kreisförmigen
in
und
zur
die
Analyse
einer
Hilfe
mit
die
Die
Transformierte
analytischen
eines
berechnet.
l'lethode
der
unbegrenzte
räumlich
{s
Bei
des
dy-
analytisch
wurde
Diffusionsgleichung
Randwertaufgaben
Anordnungen
und
Zeitkonstante
mittlere
verwandte
wurde
unendlich
sowie
Kreisscheibe
wurde
Arbeiten
Laptace-Transformation
suchten
rens
die
Eindringen
Gluerschnitt-
rechteckigem
angegebenen
,
einer
und
einer
in
Asynchronmaschine,
wur-
elektromagnetische
ebenfalls
rechteckigen
einer
in
das
Eestalt
verschiedener
wurden
Untersucht
und l'lassivkugel
Hohl-
bei
l"lassivzyLinder
Induktors.
Nut
die
in
Platte,
bestimmten
leitende,
die
iri
'
betrachtet
LipiTts}el
in
u.a.
ein
bildete
in
Prozesge
analysierte
t56l
einer
t57-6O'€lEll)
Anordnungen
unbegrenzten
l"tonographie
des elektromagnetischen
ausgedehnte
(2.8.
elektromagnetische
Parameter
Rotor
beim
Zeitkonstante
mittlere
von Lipurts/er.
Beiträge
Thema
räumlich
Die
zeugt.
Synchronmaschine
Hi lLer
sowie
ein
des Abschirrnsystems
Sualität
der
rechteckr-
von
Zeitkonstante
mittlere
die
stellt
t65l
und Hugh.es
nicht-
die
t461,
Futuyana.
und
Nach Kdrtley
gem Ouerschnitt.
von
t67'6E|1
Xocanu
l"laschinennut
einer
in
Der
analysiert.
Arbeiten
die
unterguchte
t69l
Irn Feitrag
Stromverdrängung
stationäre
wurden
Skineffektes
des
Zeitkonstanten
Hottopan
haben
t43l
Arbeit
Übergangszustand
in
;lesswiderstände
Hortopan
dar,
In der
untersucht.
Eebieten
tenden
lei-
ein{achen'
geometrisch
in
Temperaturfeldes
und
magnetischen
elektro-
des
Dif f usion
die
z{urcnrescu tzl
von
wurde
Hilfe
ihrer
l'lit
ausgenutzt'
Arbeiten
vielen
in
Zeitparameter
bestimmender
Ausgleichsvorgängen
aperiodischen
von
wurde
Zeitkonstante
mittlere
dargestellte
Dauer
die
bequemer,
als
3.4
im Abschnitt
Die
zuergt
der
ge-
Verfah-
räumli'ch
be-
Variablentrennung
Anordnungen
die
Fle-
der
thode
Besse1 und Hel1in
Fourier.
Purczyrls]r-i
t77)
von
näre
Frsblem
gelöst.
der
ar-rfgabe nicht
gef unden
statt
die
d. h-
U* {F, s)
Die
U*{Prs}
wobei
= Jg[u(F, t) ]
weist,
für
nlrr
sind,
einer
Bei. den pral:ti
gegenet
Aufgaben,
gef unden
nicht
eine
nütrtich
ist.
angewandt
technik
schen
Begtimrnung der
hat
gefunden,
in
Arbeit
schi rrnverhal ten
i n ei ner
t57l
durch
der
denen
von
Lipirtsie r,
des Vektorpotentials
wurde durch
leitenden
=Lrr Berechnung
dieger
In
Fredholmgche
Kern
verwendet.
r.lurrde i rn Forrn ei ne=
Di e aus
diesem
dern
I i nearen
61 ei chutngssystem
gchließ1ich,
Indul,:tion
che die
die
degeneriertem
gestatteten
schen
und nichtleitenden
die
innerhalb
der
mittlere
Die
werden
47
der
I ei t-ende
eine
Wände
wurde.
ein=ige
der
gewonnenen
Zeitkt:nstante
Die
Be=ie-
Raurn beschrieben
Lösung
Ab-
das
ttnd
=weiter
Integral-
61 ei chungssystems
Abgchirrnung
numerigewrsse
Integralgleichung
neue Algorithrnen
sowie "rein"
analytisch-numerische,
l{apitel
der
betrachtet
Verteilung
It .
kaum
wissen-
Eine
in
hochperrneabl e und
Anordnung
hung irn ganzen
keine
wurde.
zylindersyrnmetrischen
stel
f ijr
Berechnungs-
Froblern
das
begrenzten
g I ei chung
entweder
Froblernen
Verfa=ser
gelöst
Zeitkongtante
die
mit
be-
daß sie
nlrtnerische
mutß die
Schrifttuin
Ausnahrne bi ldet
Art
Technt i:
i.str
technigchen
Fällen
Lösungsge-
Lösung
analytische
Behandlr-rng von
oder
des
Eestalt
Probl e,rnen der
schen
be-
Eerechnungspralils
die
l : - o r n F il = i e r t
Arbeiten
schaftlichen
u{P.t).
von
werden.
dem bi=herigen
In
(5. 1)
ss
diesen
In
Zeitkonstanten
U(Pro)
wie
deren
t"lerden kann,
ingenieurmäßige
Laplace-Transfor-
seine
einfachen
bi et-es geei gnet.
{nan oft
Anfangs-Randwert-
bedeutet.
FäIle
die
Kantorswitsch
Laplace-Transforrnierte
Hethoden
analytischen
nichtstai.io-
Beziehung
U(PrO) die
Arbert
d
(P, s) J
äE' f s u *
lim
g+o
=
der
FestirnrttLtng der
zur
äqulvalente
r(P)
angewandt,
Lösung
sondern
wurde
wurde,
ven
Verfahreng
als
Arbeiten
das
dagegen
wurde
direkten
Zeitverlauf,
61. (3. 18)
der
des
diesen
in
trleil
mierte
Hilfe
rnit
Bryha)sF-i
und
der
In
angewandt.
t56r5?.6{}1
von
Transformation
die
=.8.
Integraltransforrnationen,
da.rge-
Hr:ef f i. = j- e,nten
der
magneti-
=u berechnen.
vorgeschlagen,
numerigche
welAuswer-
der
tung
rnittleren
und
Anfangs-
stationären
anhand
softwaremäBig
von
Darstellung
eindimensionaler)
vorhanden
spiele
ist
und
Der
ten
die
des
Kapitels
t12-15r?O-2ll
der
analysiert
Bei
des
A.l'lgene-lnes
linearen,
unkti
tnan die
Abschnitt
hfirkLösung
den
Arbei-
frilheren
in
andere
auch
spezieller
denen
mit
Anwendungen
Feldprobleme)
Verfalrrens
d.h.
l(t)
eine
ist
Feldproblemen
Ausgleichsvorgangs
man kann
Systemantwort"
zur
die
vom Zeitverlauf
Begtimmung
insbesondere
mittlere
der
Erre-
der
Zeitkonstante
die
Sprungantwort
on ) ausnut=en.
sprunghafte
4.1)
;{nderung
=
l(t)'UF(P)
I (t) 'w
Erregervorgänge
=
1(t)'w
der
Differentialgleichungssystem
zweiseitigen
(4. lO)
4A
t
(P)
(5. ?)
3
(P)
5
darstellt,
Einheitssprungfunktion
Anwendung
der
eines
voraus
wo{Prt)
der
die
numerischen
veröffentlichtr
G.alerklnschen
w" (Prt)
nach
in
teilweise
Algorithmen
UF(Prt)
wobei
der
Bei-
Lösungskonzept
des
beliebige
(tbergangsf
{siehe
wurde
nicht=tationären
gung unabhängig,
Setzt
Konvergenz
Lösung
wurden.
Zeitkonstante
eine
gewonnen Ergebnisse,
ubergangsverhaltens
des
Anwendrrrrg
5. 2. 1.
dieser
6rund
Verfassers
des
vorgeschlagenen
(Berechnung
5. 2.
analytische
"akademischen"
auch
werden.
Inhalt
Hilfe
die
die
welche
der
Richtigkeit
insbesoders
nachgeprrJft
Auf
entschieden.
können
samkeit
für
Problefne,
hat
(u.a.
einfacher
von
werden
Verfasser
Der
relativ
einiger
Lösung
zur
Algnrithmen
erläutert.
Berechnungsbeispielen
die
Die
irn
werden
Hilfsmittel
Verfahren
adaptiert-
Feldes
betrachteten
Als
aufbereitete
Randwertaufgaben
auf
sich
gestatten.
Endzustand
und
bekannte
und des
Zeitkonstanten
so erhäIt
Laplace-Transformation
in
folgender
.nan
das
Operatorenforrn
'grad
+ . d n + J w+. dL d J d l . ) +
E Y, t{*. grad $
i
j=r ., O F
I
2
w
hf
- w"öorö, +
= J[ r+
:i,.; [*,öd,
oc
s r a d @ o . s r a d $].d A - != t u . 6. '^o + w5- ) @ d t - +
r
2
n
+ E
mit
t' pJ o=
v' /J. ( O ) .
wie folgt
( r=L,Z,
dO r
V' f. o- fO, w2- 'Ör . Ö
' J.
j =l
Das
Sy=tem
{5.3)
si ch
Iäßt
.
i n
t5.3)
., n)
l'latri;<schrei
bwei se
darstellen
( tAl
= !
+ s I C ] ) - [ i P *( s ) ]
( {Bl' + siDl')
5
(5.4)
r
wobei
.fw. grad
C L.
I w ö d d O
o 2 ' " ' J
b. = /{w
"
O
-
ö
3
L
'grad
+J d O + .Fr w. ÖL ÖJ . dl-
t=.5)
,
t5.6)
t
*r(w d
idO
wlgrad@o'grad@.
F
4'.)
+ *o )d" d t - .
t5.7i
2
n
d
=
I
"
w
L
2
ig
JF
(s) ]
= 8t iiP(t) l.l
(4- 14)
Aus den 61n
f unkti sn
die
w (F) .
folgende
Einset:en
mittlere
(5.8)
ist.
(5.E}) folgt
= "fw tU
( ) 2
O
-
tP)
Zeitkonstante
es verteilhaft.
die
äRr
Gegtalt
so
der
geht
die
lrli chtltngsGI . t5.B)
in
der
(4,5)
r
i { ö ( F ) l ' . ' I i m0
L5
( E
Qo{F) lC dO
Funktion
in
l
gewinnen
UtFrt)
(5.1)
den Augdruck
Näherungslösung
der
dfl
über
Gleichung
ist
L
Ni mmt män w (P) =w, tP)
r
können,
z ' o
O
und
.
Um die
f,w ö 0.
J
, ] r ' J o C
und
-
"fw ö ö.dO
aug=unut=en.
di.e Gl . {5. 1) !
tstü
*
Uo (P)
-
-
Co (P)
wobei .i'r'i
ein Skalarprodukt
der
i '[ö]' , tltll. ]- = E Qry,
symbol i si ert.
=u
l{ach
gich
(s)il)'
5+O
T ( P ) =
ergibt
ql
,
(5- 1{i)
{ {6 tP) }, tttrtt+o) i.:
n-dirnensionalen
Vektoren,
z.B.
t = L
Die
Lösung
des
Systerns
t5.4)
kann
stel I en
ß
rnän
f olgenderrnaßen
dar-
(tAl + stcl}-lt{Bl-+
{ ü * ( s ) ; . = 5I
folgt
Daraus
(5.11)
stD}) .
unmittelbar
(5. 12)
= tAl-t{Bl-
= Iimfstg*(s)}l
5+o
{iP(t+o)}
und
d
Ilfll
5+o
B e w e i
in
Die
s
(5-13}
tcltAl-ttB}}.
(5.15):
Beziehung
der
61. (5.13)
der
= EAI-r(tD}
fs{!!r(s)}l
o5
sich
IäBt
Ableitung
auftretende
wie
folgt
berechnen
r
l
tstv
fg
=
=
l
=
(s))l
-r
( tB]
+ stc] I
[tfnf
+ sttr]l-r]'t<nl
(tAl
+ stcll-l
f-rc:trR:
Bei
der
l"latrixdif
"ferentiatron
(42-A5)
die
der
Berechnung
+
im Anhang
+ stD})'
tD}]
A angegebenen
s+O
dem Grenzübergang
die
Beziehung,
Zeitkonstanten
rnittleren
ttBl
+ s{D})
die
wurden
man die
erhält
Schließlich
+ sfCll-1
(tB)
+ sfcll-1
t'tit
ausgenutzt.
di.e 6l . (5. 13).
t5.14)
rnan aus
hält
(tAl
+
+ s{D})
=
Beziehungen
(5- 14)
+ stD] ]
]
[t cn:
in
einfacher
des
Vorgangs
er-
l{eise
U(Prt)
gestattet
( tDl
< t , i ö( p ) ) , t A l - t
r(P) =
kann
halten,
Die
rung
Die
Flatrix
tAl
der
in
der
Arbeit
(15).
Setzt
dem Rand I- nur
die
die
homogene
t?Ol
tEl)
wie
besitzt
(5.15)
gewonnene Abhängigkeit
Beziehung
sowie
(ebenso
man tAl
zurückführen.
r
tAl- .
die
Umformungenr
entsprechende
Durch
ist
Systern bildet,
unabhängiges
linear
tC. (P))l=r
Funktionenfolge
da8 wenn die
tAl
den
somit
bildet
Brylea.Lski
von
man voräus,
eine
da8 die
die
Anfangsbedingung
50
erftlllt,
l"latrix.
beibe-
llatrix
l'latrix
l'latrix
inverse
eine
und
ein
Erammsche
eine
Verallgemeine-
Krason
Funktion
Randbedingung
Dirichletsche
reguläre
Rang der
auf
(5. l5)
.
- <{6(P)},tAl-ttBl>
uo(P) - cotel
berueisen,
l'lan kann
tB) I >
tcl tAl-t
U(Prt)
und
daß
angegebenen
U(P't)
=
keine
auf
1(tlUFt
inne-
t (P) = - {{o(P}}.tAl-ttD}}/ur
-
d.L
(5.16)
ebene
eine
Oberfläche
mit
tausch
der
auf
des
der
(Bild
a
wird,
daß al le
spezif
ische
llärme
gungskoe{.tizient
=.1)
einer
wird
mit
konstanten
eindringenden
Oberf läche
anderen
Die
(x=a)
äquivalent.
Platte
ebenen
die
dein durch
hfärmeaus-
der
angenornmen.
als
Null
Stof f werte:
die
t{ärmeleitf
q
l'lärrnefluß
sowie
Au8entemperatur
rrird
Umgebung
setzt
in
btärmefeldes
Umgebung stattfindet.
der
Ternperatur
die
x=O
bei
während
erwärrnt,
C?Ol sind
Arbeit
in
(5' 17i
-
L
a -
(15)
Dicke
der
Platte
Eine
'fw.Ö. dQ
r
und
Zeitkonstante
1:
Beissiel
-Ur
spl eI e
Bereclrnrrrrgsbei
A. 2. 2.
(5.16)
r
folgt
wobei aug El.(5.El)
Die Beziehungen
61. (=. 15)
der
aus
sich
so ergibt
sind,
vorhanden
Gluellen
ren
ähigkeit
Vorausge(\) '
di'e
(pl und
(co) r die Dichte
hfärmeübertrader
(a) einen
hfert aufweisen.
konstanten
-----t>
+
_-----.--l>
0v +
+
+
+
5. 1. Erwärrnung der
Bild
Platte
ausgedehnten
lich
ei nen hfärmef I uß q
...+
Die
wobei
für
Differentialgleichung
x = \/
raturfeld
(c"p)
T(xrt)
Fall
den betrachteten
unenddurch
lautet
-f T=
Ex2
l d r
?' fü
-
TempeDas
bedeutetTemperaturleitzahl
"gemischte"
Randbedingung
ftlr t>O die
die
erfilllt
,
ftlr
51
t>O,
O<x<a
,
(5,1A)
ü + f- =q
O r f ü r x = 9 ,
(5. 19)
d r * 3 r
- O ,
(5.20)
-
irx.
)*
Ax.
Analvtische
Die
Lösuno
mit
Lösung
f t J r x = a
X
Hilfe
des
der
I'lethode
Trennung
der
(5. t8-5.20)
Randwertproblems
Vari abl en geufonnene
der
kann
i n
rRan
Form darstellen
6
r ( x n t ) = T [ # - 1 - -xa l)) -
zcaf
-
^
Ii. =:i
wobei
yL die
chung
rtgr
Aus der
Verlaufs
positiven
aufeinanderfolgenden
= Bi
und
= cra./)| die
Bi
(3.lEl)
Beziehung
Biot-Zahl
{olgt
die
^
"tl
=tl;i']
,?1,
)
/
f
llc exp
| -ri "
r
L
cos (7.
folgender
bfurzeln
^t)
t
(5. "1)
der
61ei-
sind.
mittlere
Zeitkonstante
des
(5.21)
@
z(x) =
Numerische
?ur
stal
t
cos ( -y.L il
a
\
M'
- [ # . ' - ä ]L
L=l -LL
des
Randwertproblenrs
werden
die
mit
(5.2?)
TJ
Hilfe
Koordinatenfunktionen
des
@. in
6alerkinschen
folgender
6e-
angenomrnen
Die Elemente
der
(5.5-5.9)
t ,
f
I
0' .i ( x ) =
Gln
f
Lösunq
Li5sung
Verfahrens
2a2
-
-i-l
l f l l -
L L a J
entsprechenden
llatrizen
i = l
tS.Z3)
i > r
lassen
sich
nach
den
berechnen
o
Bi
ä . = L J
ä
* !
,
(i-l)
i+j
5
(5.24)
(j - r )
,
{
<
i+j
> 3
i + j - 3
(5.25)
i +
j
I
5e
i = 1
i
(5.36)
l. I
(3.?7)
L
an die
Anlehnung
In
sche
Auswertungen
der
er:aF:ten Lösung
die
Ergebnisse
ten
Zeitkonstante
Werte
n=6 war
durchgeführt
der
(5.?2)
der
und
In
(n=3r3r4r5)
kleiner
1t.
5. I
der
Die
vorgeschlagenen
alg
numeri-
Ergebnisge
Tabelle
der
=.r=**mengestel
der
wurden
gewonnenen
die
Näherungen
l.ionvergenr
Fehler
relative
(5.?4-5.?7)
und
verglichen.
folqenden
'r' = rx/a."
vc:n der
zeugen
(5.15)
61n
rnit
werden
normier-
angegebenen
l"lethode.
Für
1Ö-6.
Berechnung
der numerischen
Tabelle
5. l.Ergebnisse
ebenen
r
in einer
Zeitkonstante
der nornierten
Pl atte
:r./a
Bi
E
J
6erLau
?
3
4
5
6erlclu
2
3
4
5
Eendu
Eeispiel
dltrch
{].5
ü.75
1.rf
r6b7
Lää7
1ö67
taä7
1. ?143
L -754b
1, "9?l
1. ?9?1
1.?774
1.40?B
1.4()3E}
1.4']?A
t.3b&7
L - +7?"
L.47?9
L.4729
1.5011ü
1.50{)O
1.5ü(J0
1.SrJrlo
t. 1667
r.2991
r .4024
r.4729
t.5000
.47778
.47778
-47778
.47778
.48947
.55855
.56678
.5 b678
.5()95"
.63452
.6,34=2
- 6,3432
.551E}5
. bs7ä?
.6BOJ?
.6803?
.7Ooö(l
.7üAOO
.700t)0
.70(}{}fJ
.47774
. 56674
.63452
.64032
.70ooo
.40303
- 40303
.403üf,
.4ö3']3
.4(]4El?
.473o{f
44419
48419
- 41944
.54444
-34444
.=4444
.44324
.60595
.58J6f,
.58363
.6rlooo
- 40303
44419
.54444
.5 8 36 3
- 60000
deg
Wärmefeldes
Zeitkongtante
langen Kreiszylinder
2:
Ein unendlich
wird
o. ?5
t.
L.
1.
t.
?
3
4
10
o.ö
innere
t^rärmt, während
l{reis=ylinder
langer
auf
trlarmequellen
der
mit
konstanter
Außenf läche
53
der
in
.6()üt}{}
.6(}{]{)(f
.6000(]
einem
dem Radius
unendlich
R (Bild
Leistungsdichte
Wärmeaustausch
5.?)
q_ er-
mit
der
die
Stoffwerte:
(c
p
gleich
umgebung ist
der
die
),
(p)
Dichte
lrlert
konstanten
einen
(\) r
hfärmeleitfähigkeit
und
der
l{ärrne
ische
spezif
die
alle
daß
wird.
Vorausgeset=t
NulI.
Temperatur
die
sowie
Anfangstemperatur
Die
umgebung auftritt.
(cr)
izient
hlär6eübertragungskoeff
auf weisen.
I qrod T '-dT
-t-
unendErwärmung des
5.2.
Blld
durch
Iangen KreizYlj.nders
lich
konstanter
i nnere trlärrnequel I en
q
Leistungsdichte
\-/
Das nichtstationäre
Beispiel
inhomogene
die
f'r
Erz
mit
x = \/
(c p),
AT
r f ü z c
4.
-
qv
1-
gemäß
t>O
Eesetr
folgende
Randbedingung
ftlrr=ft
(5.29)
Lösuncr
Analytische
Lösung
Hilfe
für
und
hornogene Anfangsbedingung
#*flr=o,
mit
t5. ?El)
OcrcR '
tZO'
für
,
P
dern Newtongchen
Die
dltsem
Wärmeleitungsgleichung
t a T _ l
die
ln
erfÜl1t
Ttr't)
Ternperaturfeld
der
nichtstationäre
der
(5-2E}-5.?9)
Anfangs-Randwertaufgabe
l'lethode
der
Trennung
Temperaturverlauf
der
läßt
Variablen
sich
o
r(r,t,=o
[ ,ä+l * # r * I
wie
kann
gewinnen.
folgt
Der
darstellen
- (f. r
(
z
Jo
furexn[-r
y" {F.i"
fnan
äl
* y:)Jo(r. )
i. =1
(5.50)
wobei fL
die
aufeinanderfolgenden
positiven
Wur=eln
der
61ei-
= yJ^(y)i
chung Bi.Jo(f)
= aFl./X die
Bi
Biot-Zahl
-
rJrlT)
ü
L
Numerische
t
1
#lL
(Biz
ri
*
lautet
[t
(5.31)
.
y:)Jo(y.
)
i =t
den
man aus
t '
I
angenornmen
folgt
wie
Koordinatenfunktionen
l = 1
t [ä]'-',
O. (r) =
so erhält
und
Lösuna
die
blerden
t" *
R
Jo (r.
Y
=
*ft-
(5.30)
des Verlaufs
gRz Bi
r (r)
Bessel-Funkticrnen
die
bedeuten.
Zeitkongtante
mittlere
Die
Jo(f)
i
(5.5-5.9)
EI
o
die
,
(5.5?)
> 1
Flatrixkoeffizienten
i+j
-
2
(5.3f,)
(i -l ) tj-1)
= B i +
L J
r
i+j
> 7
i + . i - ?
1
R2
T
L J
R"q
L
(5.34)
i + j
I
v
^
(s.35)
i + l
dL . - o
Die
5.2
dargestellt
chen.
ler
der
Ergebnisse
Zeitkonstante
Bei
von
(5.56)
r. =
numerischen
:-n/Rz werden
und rnit
n = 6 hatte
für
den exakten
die
numerische
1o-5.
55
Auswertungen
(n=Zr31415)
Werten
Lösung
der
in
normierten
der
(61. (5.51))
einen
relativen
Tabelle
vergliFeh-
Berechnung
der numerischen
S.2.Ergebnisge
Tabelle
e
i
n
em unendr
i
n
Zeitkonstante
der normierten
KreiszYlinder
lichen
rlR
Bi
1
?
3
4
5
SCrralJ
5
?
5
4
E
6efaau
1 ( ) 2
3
4
5
6cf\.4l7)
1.O
o,25
o.5
0.75
.63333
.65000
-6,4524
.64543
. b?9b3
.6,425,3
- 643q2
- 6.4370
.62500
,65656
. ä376'6
-6,377FJ
.61905
.6,3077
.62985
.6.779t
.61111
.62sOO
.6?500
.6?300
.61544
.64770
- 69/78
- 640'
. 625,0.0
. ?5345
.278,57
-26,El'37
.?6q64
.2307"
- ?6355
-?665.6
.?äba7
.24583
.?5717
.2552E}
.25,357
.23636
.24179
.25913
.?3924
.21111
.2?500
. ?2500
, ?2500
. 26e64
. 26607
. 25567
. 23924
.22500
.?o942
. ?3750
- ??560
.7?7ÖA
.?o74L
.2?033
. ?25E}6
.2732?
.20385
.?Ü.7?o
. ?1165
.21?Ol
.19583
. r9-706
.19356
.15377
. 16111
.17500
.1750U
.175C'0
.2frO4
- 22329
. 21 201
.10977
. 17500
o.o
* . } *
in
Die
den
die
Ortsabhängigkeit
5.1
bzw.
Punkten
bestimmten
die
der
verteilung
platte
erwärmten
jeweilige
des
unterguchten
v13n
des Temperaturfeldes:
klein=te
Wert
von
5.1)
der
von
x=a
Oberfläche
r, ) zur
Ausbreitung
der
Oberfläche
(der
zeugt
wärmefluß
einen
Richtung
erwärmten
der
Zum Beispiel
durch
der
in
Ausgleichsvorgangs
des
6ebietes.
in
Tabelle
bedeutet
Interpretation
Dauer
Zeitkonstante
(Tabelle
(siehe
Zeitkonstante
die
beureisen
Ergebnisse
2 gewonnenen
physikalischen
der
In
5.?).
und
mittleren
der
Abhängigkeit
diege
I
Beispielen
größte
x=O
hlert
(der
von
T ' ) .
5.3.
5. 3. 1.
All.geneLnes
Dank der
der
der
Anwendnrrg
infinite
finite
lr{ettrode
der
Elernente
finLten
Lösungskonzept
Elemente-
und bei
Elernente-Formulierung
Anfangs-Randwertaufgabe
(4.1-4.4)
56
offenen
wurde
auf
die
Feldproblemen
im Abschnitt
Lösung
deg
4.2-2
auch
die
regultie-
renden
6esamtdifferential
Urn die
Zeitkonstante
solf
betrachtet
werden.
Setzt
(siehe
(4.26)
Gleichungssystem
tu*)
die
= s tttH:
d.h.
Erregung
vor-
Voraussetzung
der
(5,34)
lautet:
-
(tclstu}^
+ sttrl)-l
{u(t)},
.
(5.34)
Die Lösung des Eleichungssystems
(5.39)
{F})
Beziehungen:
weitere
= lim
{u(t+o}}
tFr}
= 5, t{F}
tF*)
Daraus folgen
Vektors
Vektor
(5.2)
{u*}
des
Bertlcksichtigung
unter
sich
ergibt
stellt,
Da der
bedeutet.
das
(5.57)
= Q,
+ tF*}
tu}o)
Laplace-Transfprmierte
die
=l9Etu}l
{u*}
-
rnan
erhäIt
so
operatorenform
folgender
in
+ tCl(stu*}
tHl{ur}
wobei
(5.2) ) vorausr
Beziehungen
die
Erregungsvor-
sprungförmigen
man einen
be-
Sprungantwort
als
U(Prt)
Funktion
die
können,
zurückgeführt-
Diffusionsv(]rgangs
untersuchten
des
stirnmen zu
gang
<4.2ö-,
gl eichungssystems
(s{u*}}
= tcl-tftrJ{u}o
(s{u*})
= -EHl-ttF}
= (u}o
(5.40)
,
g+@
= lim
5+o
tu(t-+co)]
(5.41)
und
d;g
trm
5+o
B e w e i
Die
in
s
der
t=t,r*)l
der
=
tHl-t
Beziehung
61. (5.42)
ttrl (t,r]
(5.42)
t-u- ]- o - )
o
(5.42):
kann
Ableitung
auftretende
folgt
wie
man
berechnen
=
+ stc])-1(ttrls{u}o
5=[trn:
$= r=r,r*rr
= -(tHl
+ stcll-lctr:(tHl
tF}}]
+ sECl)-r(ttrJstulo
tF))
+
(5.45)
+ ( t H l + s E c l ) - i ttrl tu )
o
= ( t H l + s t E l ) - r t- c- -l f { u } ^
L---o
Bei
der
l,latrixdifferentiatisn
Beziehungen
(5.39)
ergibt
(A2-A5)
sich
ausgenutzt.
( tHl
+ stcl )
wurden
Unter
schließlich
57
die
-r
( ttrlstu}^
irn Anhang
ö
rF} ) ]
A angegebenen
BeriJcksichtigung
der
61.
d
ds
l.lit
'
= (tHl
fs{ur}l
(5. 1)
6ln
Aus den
(5.42)
und
die
v.
Zeitkongtante
Elementeknoten
(5.45)
t,-)t
Hilfsvektors
des
Elemente
-
= u"/ (t,o
ri
den
in
(5.44)
(5.42).
Beziehung
di.e mittlere
folgt
U(Prt)
Verlaufg
des r.ichtstationären
wobei
man die
s--+O erhält
dem Erenzübergäng
- s{u*})
+ sftrll-rtclttu}
L
= EHI- t tEl ( {.r}
tv)
und
bedeuten
u.
L O '
tr.
.
durch
L @
{u}
o
(5.4O-5.4f
Ausdrticke
die
(5.46)
)
@
gegeben
)
sindAuf
5.3
Bifd
der
Erund
(5.40-5.41)
6In
Der
das
tionäre
Randwertaufgaben
welcheg
die
=ich
scheidet
nur
gramms erf order
Bei
des
durch
=u bekorn.nen, ist
Lösung
der
der
der
des
der
eingenornmene
nach
den
sich
durch
neuen
angegebenen
eine
für
sta-
=weite
Systernt
unter-
Seite.
der
Um
des
ihre
Pro-
mehr
gebraucht
f ilr
Seite
als
Da
nach
Dreiecksmatrix
die
der
von
Berechnung
der
lla-
Auswertung
Nach
der
kann rnan diesen
Platz
wieder
Regeln
und
geschriebene
sparsarne
auszei chnen.
5A
Lrrn-
kann
wirdt
werden.
benut=t
Steifigkeitsmatrix
optimale
rechten
eine
6e-
verwendet
unterliegen.
Umformungen
in
des
Lösung
Eliminatisn
der
Vektor
die
eur
wird
Speicherplatz
tCl
{u}-)
tCl({u}oder
sta-
l{odif ikatisn
Eaussche
die
nicht
von
trixkoeffizienten
Eestaltung
geringe
6Ieichungssystems
ihr
=
rechten
der
eines
gestattett
{v}
Elemente
gewissen
tHl-Hatrix
von tFl
eine
sowohl
gewandelte
bisher
nur
oft
Hauptrnatrix
Lösung
Eestalt
f initen
samtgleichungssystems
auch die
die
igkeitsmatrix)
Software
Das
werden.
Hilfgvektorg
konstruEleichungs-
=ur.Bestirn,nung
vorhandene
die
Bestirn.nung
zwei
(Steif
irn
I i ch,
l'lethode
83718'4,-9E}1. bei
kann
man den
FE-Verfahrens
daß ,nan
System
ausgenut=t
Auswertung
des
Hilfe
kann
numerischen
Hauptrnatrix
erste
fiJhrt,
Zustandes
tionären
der
darin,
besteht
gemeinsarnen
einer
rnuß. Weil
lösen
mit
Zeitkonstante
Algorithrnus
mit
systeme
(5.45-5.46)
und
Algorithmus
dargestellten
rnittleren
ieren.
tHl
der
tHl
fiJr
verwenden.
tromputerprogra{nrn
Speicherplatzverwaltung
die
Das
wird
Start
Diskreti sierunll des Grundgebieües
O in {intte Flemente {Ze
lst
der stotionÄre Zustond t u ] ". bekonnt?
bestirn.rng der Stei{igkeitsmqtrix[{]
und des Vektors{r} noch den Gtn
(r* rg) und (+.2o1
lösung des Gteichungsslstetns
t + r l { u J - =- { r }
ktors {u}o
titUungdes Anlongsve
noch der Sedingung U.1)
bestimrnunftder üossenmotrix[C] nochde' Gt.
(4.rc) mit der Nutzung des bisher von [+{]
besetztenSpeicherPlotzes
3etimmung des VeLtors{r}
ous der Gleichung
{ r } , = t c l ( { u } o -t u i * )
und der Steifiokeitsmotrix []tl nochder Gt'
(4.ra) mit Xüttung des bishervon tcl
besetztcn SpeicherpIotzes
Lösung. des Gteichungssgstems
I + r J { v=
} trj
testinnmung der m'tttleren Zeitkonstontet;
in den Ile rnenteknoten
t1:-
v; /(uio- uioo)
der Berechnung
zum Algorithmus
Blockdiagramm
BiId 5,3.
FE-Verfahrens
d
e
s
H
i
l
f
e
m
i
t
Zeitkonstante
der mittleren
5S
Berechrnurrgsbelspiele
5. 3. e.
Oberfläche
dem Radius
R trnd der
I d U
Er2
wobei mit
D der
lrr
r
und
Die
exakte
gäng kann
der
Lösung
in
die
(5.47)
=
horno-
die
wird.
bezeichnet
Randbedingung
Dirichletsche
(5.44)
1(t)UF
der
crr (f€Il-
=
ä
fBBl
Arbeit
z)
ch (/sD
h)
Ausgleichsvor-
darstellen
f
+
Der
angegeben.
Siito-
von
wurde
Anfangs-Randwertaufgabe
Operatorenfo.m
rnan in
u*(rrzrs)
fürtzo,
Lösuncr
Lipttlshe
ra und
im Eebiet;
azz
= U(rrthrt)
U(Rr:rt)
sche
D#,
Diffusionskoef{izient
gene Anfangsbedingung
AnaI yti
fu
+ - =
im
wird
nichtgtationäre
erfiJllt
z.B. das Temperaturfeld,
SkaIarf eld U(rrert),
Differentialgleichung
folgende
O<rSR, -hczch
u"*
homogenen
l=Zh
Länge
Das
verursacht.
Diffusionsvorgang
ein
Inneren
mit
Stabes
zylindrischen
eines
der
auf
Erregung
sprunghafte
Durch
ho-
in einem
Länge
eineg Diffusionsvorgangs
Zeitkongtante
Stab endlicher
tnogenenr zYlindrigchen
5:
Beisoiel
"(-l)^sD
\
/
hmcrz
"-'-o
I
(cr r)
o
o
1
cosmz Lt=.+sl
J|
(a R)
-r o
o---
fr= O
nobei
m=(2n+1l.r./ (?h)
stante
des
Verlaufs
und sf -ssz+sD sind.
o
(5.49)
lautet
@
f .z
r t r , z )= p l " ; = *
L
wobei
I
o
(...)
stellten
biet:
te
(-l)^
.-m-
^ F
-;)
"
/
rnodifizierte
rnitttere
Zeitkon-
ro (rnr)
l
ccrsmzl, (5.5o)
ro(mR)
J
n=O
ist.
Bessel-Funktion
Lösunq
Numerische
Die
die
z
Die
Aufgabe
wurde
numerigch
gelöst.
Algorithmus
OSTSR, O<zSh betrachtet
unterteilt.
im Zylinder
Die
wurde
mittlere
in
rnit
Hilfe
des
im Bild
Aus Symmetriegrtlnden
und
in
52O lineare
Zeitkonstante
294 Elementeknoten
60
des
5.3
wurde
dargedas
6e-
Dreieckseletnen-
Diffusionsvorgangs
gefunden
und
mit
der
(5.50)
Läsung
exakten
Ilitte
der
einem
relativen
BeiEpieI
6ebietes
der
Diffusionskoeff
der
Koeffizient
der
da= Auffinden
Es
(8.47-5.4€l)
unter
Lösung
analytischen
der
sondern
konstant
irn
wird
rigkeiten.
im Beispiel
Annahme verschiedener
wird
5.5
und 5.6
der
normierten
wurden
Berechnungen
nurnerischen
wie
Et. (5.47)
auf
Falls
stößt
Schwie-
Anfangs-Randwertau{gabe
daß sich
Ko-
der
5.4) '
Stab endli6ebi.eten
Lösuncl
Numerische
rung
betrachte-
ist'
ortsabhängig
TyLindrischer
5.4.
Länge rnit inneren
Bild
cher
Die
in-
angenc,Jn{nen-
betrachtet,
(Bild
ändert
der
die
weiteren
Voraussetzung
D gebietsweise
einem
insbesondere
Stoffwerte
konstant
wurden
D
izient
D nicht
mit
des
Eigenschaften
alle
d.h.
vorausgesetzt,
ten
effizient
homogene
r+urden
Beispiel
Im vorigen
Rechnung
in
Diffusions'vorgangs'
eines
Zeitkonstante
Länge
endlicher
homogenen Tylinder
4:
der
11 1 7. gewonnen'
von
Fehler
numerischen
der
Ergebnisse
die
Anordnung
in
wurden
Beispiel
Zum
verglichen.
die
3
bei
der
(52O Dreieckselemente,
l{erte
räumliche
Zeitkonstante
294
Verteilung
r'=
61
r/ (DR2) im
Knoten)
In
D durchgeftihrt.
von
Ortsdiskretisie-
der
Linien
Inneren
den
T'=
des
unter
Bildern
const
Zylin-
ders
geeeichnet,
T'
Die
dargestellt.
der
wohei
wurden
Linien
Zunahmerichtung
die
Pfeil
dem Zuwachs von
mit
der
Är'=OrOl
hferte
von
symbolisiert.
In
Bildern
den
gen bei
5.6a-d
verschiedenen
Ergebnisse
werden
hferten
von
nurnerischer
Bei
D präsentiert.
Verteilung
5.5.
Bild
in
Zeitkonstante
(vergleiche
ZyLinder
R = h
Eild
in
Dr= D;
Dr=
D"=loDi
c)
Dr= D;
Dr= orlD;
b)
Dr= D;
D"=loD;
6e
d)
D"=
einem
loD;
Dr= D;
großen
der normierten
einem homogenen
3) bei
Beispiel
Zeitkonstante
R = h und:
der normierten
Verteilung
5.6.
bei
einem inhornogenen Tylinder
a)
Berechnun-
D"= otlD;
Dr= D"= o'lD
eine
des Zylinders
ein
Eebiete
ist
kleiner
Wert
zelter
Linien
von T' ,
gestellte
des
Anwendrrrg
5. 4.
(l"lethode der
auftretenden
rezenquotienten
wurde
(4.36)
gewonnen.
müssen jetzt
Da in
(4.36)
rithmus
die
und
{4.26,
=ur
eine
Bestirnmung
5.3.1
tim$-Cst,rt)l
Anstelle
der
auf=u=eigen-
nach
bilden,
soll
die
Bei
Di{feDiffe-
Differentialgleichungssydes
(4.1-4-4)
Prohlems
u. tt)
des
Ausgleichs-
werden.
bestimmt
Differentialgleichungssysteme
haben,
Eestalt
kann
Zeitkonstante
den gleichen
des
Flatrix
der
fnan den Algornit
eine
Ab{v}=
berticksichtigt
Diagonalrnatrix
werden.
tCl
mit
Aus 6l- (5-46)
ist
Beim Differenzenverfahren
-6rj*r(P.
).
.rj=
den Koeffi=ienten
im
Hilfsvektors
tCl
des
Hilfe
wie
Frinzipien
Berechnung
Eigenschaft
änge-
bestimmten
mit
Lösung
mittleren
der
(4.1-4.4)
elliptischen
einem
Funktionen
die
analoge
der
in
das
Gitterknoten
Differen=enverfahrens
schnitt
gchließlich
Hatrixschreibweise
der
Rich-
Differenzen)
finiten
Ableitungen
zeitabhängigen
jedem
in
vorganges
der
Approximation
Dank der
rentialoperator
stem
die
Anfangs-Randwertaufgabe
zur
wurde
das Diffrenzenverfahren
wandt.
dar-
Lösr:rrgskonzept
4.2.3
Im Abschnitt
die
Dlfferenzenverfatrrens
Allgerelnes
5. 4. 1.
l'leß fur
anschaulich,
Feldausbreitung
der
Geschwindigkeit
tung und die
gestattet
Verteilung
räumliche
ein
graphisch
ihre
sondern
ist,
Diffusionsprozesses
Dauer eineg
nur
nicht
ein
welcher
Zeitparameter,
ortsabhängiger
bequemer
ist
Sie
Ver-
praktischen
der
von
Zeitkonstante-
mittleren
der
wendbarkeit
zeugen
Beispiele
vorgestellten
das
für
zu durchdringen.
schnell
Feld
verein-
nur
ist
Gebiet
betrachtete
das
d.h.
Ein
erforderlich.
Erscheinen
das
be-
dieses
durch
Zeitumfang
dagegen
D verurgacht
von
diffundierende
Die
größer
entsprechend
T'
von
Linien
der
Störungsfeldes
des
6ebiet
entsprechenden
Verdichtung
bedeutende
zum Durchdringen
d.h-
merkbar,
irn
ist
Dif{usionskoeffizienten
hlert des
ergibt
sich
somr t
tv]
= -fHl-t
a*, (P. ) (u.
63
o
(5.5r )
S t c rr t
S
Diskretisierungdes Grunc{gebietes
mit einem Giüer
trür elne bestimmte Gitterort und dre Mcrschenweite
h , sotl mon €ine Sondrncrtrix t{ I bildenntre cestott Lst von der Art des )if{eren tialoperotors L t...] und der Qondbedir.?un1en
a b h än 7 i 7
lct der stcrtionä.e Zustqnd tu]-
bitdunc;. des Spoltenvektors[r]
des GteuchunX*",trstems
b&r'nnl?
und Lösung.
t + I 1 { u ] . "= - { r J
Eitdungdes Anfongsvektors
{uJo
nqch der Eedlngung(4.4)
Lösun7des Gteichungsslste,ns
t+rI {v] = - t wz(2) (uio- ur*)J
der rnitbteren
Zettkonstonte
Bestimmuncp
d ; i n d e n 'Gi tte rknoten
t L = u ; l ( u i o - u ; " o)
der Berechnung
zurn Algorithmus
Blockdiagramrn
Bi ld =.7.
d
e
s
DifferenzenH
i
l
f
e
m
i
t
Zeitkonstante
der mittleren
verfahrens
64.
schließlich
wird
Zeitkonstante
Die mittlere
aus
6l , (5.45)
der
Zeitkonstanten
be-
sti mmt.
Der
mit
Hilfe
ge6einsamen
mit
einer
tHl
nur
tHl
werden
bei
durchflossenen
wobei
leitende
Leiter
umfaßt
r-
tensystem).
(?tr}
und eine
Die
der
in
Feld
rnagnetische
l{ = i (t)l
gen eine
der
eine
werden
=tromänderung
erregende
verwendet-
WeiI
keinen
zurn zweiten
Schritt
eJ.e
Zeitkonstante
yrird
Betrachtet
Ver-
Eleichungssystems
im nächsten
sie
kann
BerectrnrrrrgsbeJ-spl"
3:
des
von
Eestalt
srerden.
l''lal ausgenutzt
Beispiel
(SOR)
l'latrix
iterative
oft
Eleichungssystems
Hauptmatrix
die
unterliegt,
Umformungen
besonderen
hfegen der
die
wobei
werden,
tl}berrelaxationsmethode
die
l'lethoden
diesen
r.rird.
des
Lösung
zur
z.B.
5. 1. 2.
gebildet
l.lal
ein
gelöst
tHl
l'latrix
3.7
Eleichungssysteme
zwei
mtJssen
Bild
im
wird
Dif ferenzen
f initen
Berechnung
der
Bei
dargestellt.
fahren,
Flethode der
der
Berechnung
numerischen
der
Algorithmus
ist.
einer
(Bild
5.4).
Im Fall
Scheibe
bfirbelströme
besitrt
nur
Vektsr
p-Komponente
der
eine
Kreisscheibe
Das
induu iert.
Komponente
Stromdichte
der
Erreger-
einer
(kreis=ylindrisches
Feldstärke
strorn-
einen
die
Kreisscheibe,
Der
magnetische
in
Wirbelströme
induzierten
J
H = *f^,
hat
dage-
KoordinaWirbel-
Kreisscheibe
5.E|. Leitende
Bild
logsenern Leiter
mit stromdurchf
,\--lt l(*,
I
65
hat
strörne
nur
auch
somit
fol-
und erfülIt
S-tiomponente
aI gleichung
gende Di f ferenti
& * 1 dr - ör- [
dt-l
* u ' n = u yE
E'
h.2
.'
arz
wobei F die
elne
Leitfähigkeit
elektrische
die
und 7
Permeabilität
{5.5")
tlCt,
für
si nd.
Die
der
auf
Randbedingung
benf läche
Hreisschei
( .-'
I
,
H(r,=,t)=t+:' ,
1I e*-;' '
,
L " 2
R.SrSR, ;
==la
für
t=R,
für
t=R,
(5.53)
hli rbel ströme
nLtr
Ralrm
l fn
Lösuno
Analytische
magnetinichtstationären,
lirei sschei be (R. <rSR^ i -a<z<a)
der
Laplace-Trangformierte
wurden die
i rn Innenraurn
Fel dstär!:e
der
@
=)
*
r* chl@
t* 'r 7713t = ffi
.*-@
, , *L. " rz"
*
(€r)
(FRn)lI.
tR"K, (FR")*RrK,
T*=t'Y V
-
=
(-1)^
f
-==.-,=.=o,
*',
Llratr-
+
tF. I. {FRr)-R=I,
-
r. (ffi= )Hr (pRl |
( f 3 R = ) l t ' l n( f 3 r )
}( ,
)
.
)Kl (pR2 )
I. (ffi,
wobei {n =
{?n+l\tt/(?at,
des
*",
In(---}'
Kr(---)
rni.ttlere
die
und
sind
Bessel-Funktionen
difi=ierten
stante
= slrr *
ß"
Eg
behandel t -
vtfn Liptltsr<i
f 56l
Arbei t
i n der
Vari abl entrennung
der
Hethode
der
Hilfe
mit
u,rurde
Problem
Das dargestellte
schen
der
Feld
daß das magnetische
-a<z<a konzentriert
wird.
bedeutet,
ftir
die
{no-
Zeitkon-
t5.54)
Feldes
@
= rT az
z-ir, = i
( ^t
.l
L
-
=t
-
,'*
ra
2r
f-
(-1)^
R, R" a-
)
/-
r_"
n-
trs=iri=
(5.58)
n=O
tR K
(mR )-R
(mR ) lI
H
I
f
(mR )H
l
l
'l
( r n r ) + t R , I . ( r n R ) - R - I . ( m R ^ ) 3 F = .( r n r )
(mR ) l
2
I
{
besti mmt.
66
(mR-)K (mR ,
2
L
t
)
6itter
Gluadratischer
Bild 5,9.
der l"laschenwei te h
Das im Bild
der
schen $itter
die
partielle
ten
durch
die
(t)
D*tD-rH-rn
-
H
hrh
*
-
(x) /r2
*
tt'
D*"D-"*-r^
pY dH
r
z
= R
mth
a
= -a
h t h
(t)
H
+
(m -
l)h
+
(n
l)h
H(r
h l h
D
+r
H
m+1
D- D H
= t H
D
= ( D
Or
H
+r
mlh
enten
D
+z
u n d D- 2
67
t'r=?, -.
.,
N-1)
t
rt)
H
m-t
hth
t5' 56)
(5.57)
ilr
h
- H
H
Kno-
,
tn
hlh
h l h
Di.e Di f ferenzenquoti
-
= ( H
hrh
inneren
,
, z hlh
tDlh
wrrd
,
. . . , ll.-tt
t m=2,
wobei
t{eige
Do""-r^'t'tt-r,',
tt)./dt
Dlh
mrll
quadratr-
erset:t
Ortsvariablen
der
Differenzengleichung
jedem
in
t5.5?)
Differentialgleichung
diese
Auf
h überzogen.
l'laschenweite
einem
mit
wurde
Gebiet
dargestellte
5.9
'/h
,
t5'5E})
)tn,
tn
+ D H
-r
hl
haben
h
t/7
eine
analoge
Form.
(5-53)
Beziehung
Aus der
sich
ergibt
Hm r 1 = f rm r N = i. Cl fgt l .
( m=1, .
i (t)
trr. =
(5.59)
ry'
l
( n = l r . . . , N )
=#ü' J
"*,^
Laut
der
gendes
61. (5.51)
D
-2
+z
-v
= py
lrz
+ D
(o)
tH
Or
-
v
ht[
/ r
hrh
(O) I
H
h l h
h r h
h r h
h l h
t5.6O)
'
( m=2, . -.,l,.-l;
v
= v
mrl
=
V
a r n
=
w o b e i Hm t h t o )
system (5.60)
(5.56)
-- = O )
=
Yrn
( 1 r
( n = 1 ,
)
und H
hl n
des
Zei tkonstante
des
(O) = O sind.
Verlaufs
(t)
H
Das Eleichungs-
Differentialgleichungssystems
(5.59)
Bedingungen
und der
kongtruiert.
wird
dann durch
lH
(o)
Die
mittlere
die
Beziehung
h r h
=
T
Dlh
-v
illh
hlh
besti mmt.
\a
aJ(rO
O
O
1
o o o
i
-
i
r : o
(c
cn
O
n
i
r
{
l
o
N-1)
- . . N )
Dl n
6rund
auf
wurde
tt=2, -..,
( m=1, - . -,1ö
mrN
I/ (?nr
fol-
{v}
Hilfsvektors
erf iJl I en
+ D+ r D- r v f r l h
v
hln
des
Elernente
mtlgsen die
El ei chungssystem
D
.,10
F
1
l
:
o
Zeitkonstante
der norrnierten
5.1O, Verteilung
Bild
I m P u n k t r = ( R .^ + R - , / ? i = : O :
T' in der Kreisscheibe.
2
r'=
ot2Bsso
6A
{5.61}
Anlehnung
In
lyse
durchgeführt,
(5-5O-5.61)
6ln
an die
zur
wobei
angewandt
der
normi erten
Zei tkonstante
mit
den Abmegsungen: Rr=.;
der
der
wonnenen
Ergebnisse
hängigkeit
von
zeugt
von
der
praktischen
Im Bild
relative
Konvergenz
der
bei
Verwendbarkeit
E
*Ir
a
I
10
F
1 0
t o
1 0
4.I
3.2
?.6
2.3
1 0
1 0
1 0
-3
- 9
-3
- 9
-3
to
6:
Der Vektor
nente
Kern
gich
den
der
(H = 1r'
der
5.11).
der
Lösung
senkrecht
be
in
5.3'
ge-
numerisch
(5.55)
in
angegeben
Hethode
Ab-
wurde,
und
ihrer
einern
rnit
Leitfähigkeit
Länge der
vorausgeset=t,
hat
Bildebene,
Kern
stromdurchflosgenen
große
Feldstärke
zur
in
einer
eine
Ouerschnittabrnessungen
H)
Tabelle
pr und der
Feld
E= wird
magnetischen
Krei sschei
Berechnungen.
Permeabilität
irn rnagnetigchen
(Bild
Erregerspule
gegenüber
i n ei ner
Tabelle
5.3.
Nachprüfung
der
l{onvergenz
der numerischen
Lösung (angegeben
wird
minimaler
rnaxirnaler, relativer
und
Fehler
in Abhängigkeit
von der
Zerlegungszahl
l=a/h)
: t o- 2
io -2
1 0- 2
1 o- 2
10-2
to -2
ro -2
to
'
'
Verteilung
= a/h
I
den
-2
'
'
-
die
wird
Zeitkenstante
der
tdirbelströrne
gern Eluerschni tt
rechtecki
rechteckiger
y befindet
renti
4.3
3-"
2.b
".5
?, 1
1.9
1.E}
t.7
-2
-!t
1 0
-J
Beispiel
Ein
-2
?.3
1.3
7.?
5.lCl
vorgeschlagenen
mctx
3
4
5
6
7
{Jberrela-
Fehler
Zerlegungs=ahI
der
die
exakten
der
Ana-
numerische
dargestellt.
R"= 3R.
gegentlber
die
61. {5.6l))
r' = T / <Lrf^" )
und maximale
minimale
der
Lösung
wurde.
xationsmethode
wurde
nur
die
Anordnung
d.h.
eine
ö/öz=üz-Kompo-
falgende
Diffe-
al gl ei chung
u=H *
t<z
die homogene Anfangs-
fr,
ur;
_ ItY ar{ '
=
*
und die
H(+aryrt)
f1tlr
Dirichletsche
= H(xr+brt)
erf iJl It.
6S
t>o'
(5' 62)
Randbedingung
= Ha(t)
(5.63)
Kern
8i1d 5.11. Rechteckiger
stromdurchei ner
i rn Fel d
Spule
flossenen
Lösunq
Analytische
Die
Ldsung
analyti.sche
lautet
t5öl:
J*
H (xryrs)
gabe
Anf angs-Randwertauf
der
€
ch(@;<)
Jt
a
a)
ch(@
{-L}n =sty
ch (f3y)
m t r n z+ = p y ,
ch (Bb )
2
= Hats)
(5. 6"-5.
63)
coSJIx
L
rn= O
I r
J
r 5 . 64''
mit m = (2n+l )n/ l?al , tf
spr
+ m2. Daraus folgt
die
mi ttl
ere
Zeitkonstante
@
e
l
r(xry)
2
a
-
= praz
l -
Nurnerische
ei nem
Hil{svektor
-
16
ft
I
r
/
)
ch (my)
(-1 )'
(5.65)
cosJnx
{2n +
1}e chtmb)
n=O
(5-64).
Lösunq
Das analysierte
mi t
2
2"-
L
des Verlaufs
x
Eebiet
Rechteckgi
tvl.
wurde
tter
aus
wurde
der
analog
wie
l'lachenwei te
f olgendern
chungen
70
Systern
vorigen
im
h
von
untertei
Beispiel
I t.
Differenzenglei-
Der
D- x v
D
+x
+ D
wllh
-Y
+y
wlr h
= lry
tH
{o)
-
H
{O)l
( rn=Z, - . , , r l - t i
=
v
=
mrN
mr1
v
=
l
=
v-_
,
Q
t
X tn
l n
= Fl- und
der numerischen
Die
stellt.
I= a./h =
die
der
Be=iehung
= O waren.
Bei
der
T' =
Zeitkongtante
rel ati ven
ei nem mai: i rnal en
.,
N-'')
gewonnenr
wobei
Lösung
numerischen
gegenuber
im Bild
5.12
r/ (ptya2 )
Fehl er
den
Ergebnisse
bertJckgichtigt.
a = b sind
ftir
Auswertungen
(5.61)
Anordnung
der
Symmetrie
normierte
lO mi t
. . . , N ,
n=2,
(5- 66)
Koordinatensysterts
des
Achsen
( n=1,
mrn
wurde
des Problems
. . . , 1 o
(0)
H
I
'nrh
{ m=l,
aus
Zeitkonstante
und die
(o)
H
beiden
Q
t
h r h
h r h
vcrn
darge-
wurde
bei
L ,32
be-
sti mmt.
^
:L:
0,)+
0,;0
der norrnierBild
5. 1?- Verteilung
in einern Viertel
ten Zeitkonstante
.
In der
Kernes
nechteckigen
des
|}r??4 lil
Ffit-te der Anordnung r'=
0"tE
0,cil
D,A1
* * r *
Die in
const
den Bildern
zeugen
von der
von
der
Randfläche,
zurn Inneren
des
5.1Ö
und
5.1?
dargestellten
Richtung
der
Diffusion
d.h.
dem
Ort
von
6ebietes.
77
der
des
Linien
T'=
Hagnet*eldes:
Felderregung
(t'=
O)
ÜBERTRAGUNGSFUNKTIO'
6. BESTI},{I{UNG VON PAR.A},{ETER.NVER.EINFACHTER
6. 1.
Allgerneines
ihrer
stellung
der
digkeit
wurde,
charatrlteri. gi erenden
rarretern
bzw.
ist
rnen. die
mi.t tleß+ühler
geschlessenen
RegeIF.:reig
lyse
des
(r.8.
sche Testfunktion
ihrer
Grundlage
meter
der
wie die
thode
wird
=.8.
von
KüpfmüLler
von
StreJ'c
das
kann
ten Fropertionalgliedern
thode
die
rn-ter
irn
kann
f ühren
Reihe
Betriebs-
von
l*leßr.rerte entspreei n
si ch
werden
kann.
auf
Syste'rnantwsrt
Verfahren
Eei
einer
eine
typi-
Veriögerung
Ordnung
bestitnrnen.
7e
Auf
die
vc}n
erster
Von
ParaIn
errnittelt.
genannt.
Parameter
Ana-
registriert.
unl:ti.Enen
und Stre;'c
be-
theoretischen
zur
l"tomenten- und Flächenverf
{nan die
mit
Identrfi-
durch
ergi bt
begtimmter
Hitfe
KüpfmüL Ler
l''lethoden von
Bedeutung.
Störungen
Sprungantwert)
die
mit
grsßer
gewonnenen
welches
angenornrnenen übertragungsf
t36l
Literatur
werden
die
angewandt
wird
Identifit:ation
FehIer
dynarnrsche
werden
Al = Ergebni s
Systerns
untersuchten
kla=gigchen
dann
I'lodeIl,
mathernatisches
stimrntes
Zurn
Regelsy=te-
rrrt
Schwingungen
da8 eine
dari.n,
werden.
chend appro): i rniert
Ver=ögeruftq-r
Veriögerr-tng'
eu{
vcn
Fa-
verteilten
di e
1/t:n
CIbjektes
eines
und
messungen durchgeführt-
den an-
nach
tf,61.
besteht
Sie
begtimrnt.
katisn
äu5-
die
=ind.
=urn Er=cheinen
Eigenschaften
Fällen
der
Regel=y=terns
verursachen
und Instabilität
Dynamigche
des
Real:tisn
Eine verspätete
aIlen
wi e:
Tst=eiten
der
die
r/Err Regelstrecken
ausgestatten
tienntni.s
die
vgrLrr=achen,
reirht
Sy=tern= rnit
Brdnung
die
Geschwin-
und
dj,e Frage
oft
Dar-
Leider
in
nicht
eines
5t-euerung
der
BeisFiel
kann.
Kenngrößen
=otlie
Lauf=eiteno
bei
Richtung
sich
Verhalten
dynarni=che
das
von
=euqen
erhebt
Fei Dynamikuntersuchungen
deren,
die
Zeithsngtante
mittleren
graphische
durch
Verteilung
räumlichen
Pro=esgau=breitung
der
Henntnis
ge=eigt
5.3.?
im Ahschnitt
wie
und,
bestirrrnt
Einem Raumpunkt
in
Zustandes
nichtstationären
elneg
Dauer
die
Ausgleichgvorgängen
reitlich-räurnlichen
die bei
Funktion'
ortsabhängige
eine
bildet
Zeitkon.-tante
Die rnittlere
Tot-
PÄRÄ}IIETER'N
VERTEILTEN
NEN VON ANORDNUNGEN MIT
ahrenr
Hit
der
tot=eitbehaf
und mrt
Skoczotoskt
der
der
58Fletel"tet9t-ll
Verfahren
wurde ein
eine
antwort
rögerung
m-ter
Ordnung
die
Kenntnis
ist
thoden
antrlort
erforderlich.
teilten
Parametern
oft
In
diesem
In
gesuchten
diesem
stimmung
der
übertragungsfunktion
werden
=wei
angegeben.
oder
von
Behandlung
zur
des
Über-
außer
(2.8.
PurczytTski
von
be-
einem
dag
FEent-
t76)
l*tomentenmethode.
modif izierte
Inhalt
Der
nut:en
Algorithmen
die
zur
vereinfachten
von
Randwertproblemen
auch
Differeneenverfahren)
wickel te
Die
abgchätzen.
Algorithmen
numerische
Parametern
voraussagen
Verhalten
Parameter
reä-
zu
durchgefiJhr-
der
6rundl.age
man auf
ver-
besteht
Betriebsmessungen
dynamische
ortsabhängigen
mit
System
das
tragungsfunktionen
Verfahren
kann
Fle-
System-
befindett
Entwurfsphase
Ver-
o.g.
den
gewonnenen
betrachtete
das
notwendigen
Fall
Kapitel
von
der
Experimente
numerischen
und die
die
l'löglichkeit
keine
lisieren.
ten
lrfenn sich
in
i.ed mit
Bei
experimentell
einer
erst
gestattet.
Totaeit
ohne
Sprung-
der
6rund
einern Proporti.onalgl
von
Approxirnation
auf
welches
vorgeschlagen,
wurde
Kapitelg
bereits
in
teilweige
den
Arbei-
ten Ct4r17 r1E|r7€ll veröf*entlicht.
6.2.
mit
Paranet-erbestirunrrrrg
der
lllIfe
Xonenten-
nndifizlerten
lrethode
In diesern
lt
(die
und
einige
dargestel
tennethode
t761 präsentiert)
Nach der
llethode
Hi lf sgröBen
auszugsweise
wird
Abschnitt
werden
{llomente)
I'lethode
eine
=
U(P,t)
-
l*{omen-
modifizierte
ausf ührl ich
im Bei trag
angegeben.
U (P' t )
Sprungantwort
di e
:
o
6k (P)
wurde
Endformeln
f ür
die
k f
J
U(Pro)
tk-t
U(PrO) -
(6. 1)
dt
U(Prco)
o
rnit
berechnet,
ortsabhängigen
Die Parameter
stellten
1r...rN
Parameter
kann
rnan aus
Beziehungen
am häufigsten
stellten
1 4=
wobei
den
N
die
Zahl
gesuchten
der
übertragungsfunktion
einer
in
der
Diese
ermitteln.
verwendeten
Eedankengang
,
Hodelle
abgeleitet.
73
nach
Tabelle
Eeziehungen
dern
im
bedeutet.
6. 1
zusarnrnenge-
wurden
weiteren
für
die
darge-
tion
f ijr
funktion
gesucht,
K(s)
(t)
a
Der Einfachkeit
h (t)
nicht
soll
halber
ausgewiesen
gungsfunktionen
K (s)
irn
werden
und K=(s)
K(s)
= KtO)
Übergangsfunl:tionen
entsprechenden
im Anf angs-
sol len
und h
extra
Die
Übertragungs-
reale
kornpl izierte
llfirkl ichkeit
ei.ne in
übereinsti{nrnen.
und End=ustand
(2,8.
Brtsabhängigkeit
die
Folgenden
U{P.t)--+U(t-)}.
-'
+ sK' (O) + +
Die
Übertra-
Poten:reihen
die
in
sich
lassen
Approxirna-
als
Hr(s)
übertragungselernent
lineares
ein
Es wird
real en und
unl:tisn
der
mi t
ernent
tirbertragungsel
Übertragutngsf
erenden
approx i mi
Bi I d 6. 1 .
+
H" tfj)
t6. ?)
i
und
K
a
=2
= } ( ( O ] + s F : . '( O ] *
a
a
l
(s)
K'l (O) +
a
--
{6- f,)
entwi ckel n.
Die
angewandte
Tabelle
Appro:limatisn
(s)
K
1
1
1 + s r
är
L
Parameter
är L
r = E
exp (-sro)
L
I
6 6 6 6-66 2
_
Ti:-r
T
3
Überein=tifll{nt-tng
appro:{irnierenden
ts)
K-
von
Parameter
Die
Übertragungsfunktionen
6. t.
i
?
dre
fr:rdert
=
o
(1 + sr)m
T
7L
G
t
m =
I
Q
=
E2/(E
t
z
( 6 6 6 6-6
2
_ 8 "
E2)
t
G?>ts
r
t
der
N+1 6lieder
ersten
d.h.
Poten=reihen.
beider
(6.4)
k = Or1.....N.
mit
k = O ist
= h{co) äquivalent
qunqf h- (o)
a
.
(-1) *
Bei
@
-
k . . ft h . ( o )
o
h
a
(t) lt-
Forderung
die
k}O der
und für
V - 1
-dt
,
-
t rrnt-l
Bedin-
der
t-7ä7=
Beziehung
@
(-r)k
=
(6.4)
h(t)ltk-1dt
o
t6.5)
das
fo l g
Daraus
Gleichungssystem
co
co
6
h ( t ) - h ( c o )
a
a
- f 4
är k
J
h
o
a
(O) -h
a
=
tk-tdt
I
k
(o)
htt)
-
hto)
htO)
-
hto)
o
( ä ' 6 )
( k = t , .
dem 6.
in
hfei I
wi rd.
t
ment errni ttel
61 . (6.6)
der
te
Nach der
Die
von
der
z (P)
Zei tkonstante
stanten
r.
des
unkt-i on
ist'
läßt
=ich
Die
linke
Sei-
von
Pararneter
K*(s).
Arbeit
f7ä7
übertragungsfunktionen
in
Abhän-
in
gewonnen.
6. 1)
tTabel le
eine
wert
al s 6ewi chtsrni ttel
{3- 17 ) betrachtet
der
Erweiterung
die
rnittlere
{=. "?}
von
Zei tkon-
r+erden
kann,
hlährend
dar.
Zeitkonstante
Verl auf es
Übertragungsf
der
I'tomentenrnethode stellt
mittleren
E:<peri-
wurden
6leichungssysterns
den f'tomenten 6u
modifizierte
l'lethode
gesuchten
äpproxiinierenden
der
Parameter
gigkeit
des
numerisches
berechnen.
Integration
- , N )
bekannt
h_ {t}
Verlauf
dann die
.ni.natt
Lösung
di e gegebene
f ür
l r , _( s )
der i.hr :ugeordnete
ä
durch
6".*
auch der Faktor
ein
durch
l"lessung bzw.
eine
durch
k
= Eu
tk-tdt
bi l den
L
die
eingef
l'lornente 6k (P)
ührten
andere
'
@
@
6
k
tragungsfunktion,
kann
(Bl-84)
folgender
u(Prt)
wobei
die
*
L
U. tP)l/
u
rnan unter
)
(6.7)
L
Über-
apFrEXimierenden
Verwendung
die
vt:n Hittelwerten:
U (P)
t
L =t
der
Parameter
(vergleiche
der
Anhang
im
enf-gprechen-
ihr
B
anqegebenen
U(P.t)
Diffusionsverlauf
den unterguchten
genäherter
u.(F,t)
tt^
I
L =:l
der
t-tbergangsfunktion
Beziehungen
in
-
Besti{n{nung
Nach der
den
= k!
(Fl
Art
eine
Form darstellen:
= utPr0)
tlbergangs{unktion
+ futF.o)
ha(P.t)
75
-
u(P.o) lhatP,t)
ebense
wie
6u (P)
,
(6.El)
und K.(F.s}
geht
ist,
die
(der
und U (p,t)
gleiche
eine
a
(siehe
Bedingungen
folgenden
fllllen
lim
t+co
genäherte
- U(P.t) ldt
a
f ür
Verwendbarkeit
6.3.
Anwendr-rrg
6.3. 1.
den
Yon
llethroden
wurde,
zeigt
Anwendung
führt
Anf angsbed i ngungen .
der
Bestifnrnung
(4. 1)
hängigen
in
einer
eine
sol I
j.st-
deg
i in wei teren
ge-
gekenn=eichnet:
ge-
vtrn linearen
der
bestrmmten
nit
Al gor i thrnug
s Lrr
r/erwen-
unter
werden.
welche
U(P.t).
Bedingr-tngen (4.2-4.4)
Form tu(t)]
u. (t)
4.?
Ordnung
die
76
gesucht.
Lösung
die
der
Dif f erential-
erf üI Itwird
Diskretisierungsverfahrens
Velttorelernente
der
übertragungsfunktion
Funl<tion
diskreten
Raumantei'1s
Abschnitt
irn
Systerns
erster
ausgewählt
und die
eingeschränl'-:t
Eigenschaft
eines
Lösung
der
Pararneter
wird
Anwendung eines
U(P.t)
Hi er
FE-Verfahrens
Betrachtet
gleichung
=ur
Differentialgleichungen
wöhnlichen
dung des
gemeinsarne
eine
durch
wiE
sind.
Diffusionsproeessen
Lösung bei
i hre
und
Feldanalyse
Berechnung
=ur
Verfahren
nttr
ornratLon
Laplace-Transf
a."
Vervend,:rrg
jeweils
dami t
gi 1t
Bereich
das
r-rnter=utcht
Appro:<iina,tion
nr-urerischen
der
blenn
[36.?C]."?1.
Berei ch
jeweiligen
auf
numerischen
Die
Ihre
(l"tomentenrnethode)
unteren
den
dyna-
des
Analyse
Frequen=bereich
daß die
muß fnän beachteno
soll,
geeignet
approxi-
die
sind
zur
den
Fäl len
pral.:tischen
besonders
r.leiten
einsm
in
Frequen=verhalten
Q !
entspricht.
Zeitbereich
im
Verhaltens
mischen
er-
= Q
vielen
in
Verlauf
tiibertragungsfunktionen
mierenden
werden
U(P'co)J =
Eenauigkeitsanforderungen
ijblichen
5-4)
Abschnitt
auch
(6.9)
-ftu (P.t)
Da der
hesitzen
rtP)
f
@
o
-
tU-(Prt)
c
U(P.t)
Vorgänge
die
Zeitkonstante
mittlere
Ordnung
l"lodells
angenomrnenen
des
Art
der
1'
l"lan kann dabei
über.
Übertragungsfunhtion)
vorausgeset=ten
und die
von
daß unabhängig
bemerken.
81. (3- ?1)
die
in
61. t6.8)
tJer=ögerung
init
Prgportionalgliedes
eines
funktion
Überqangs-
die
ha{F.t)
FsIls
sind.
ortsabhängig
im allgerneinen
Narh
die
wobei
die
der
Fun[,:tion
=eitab-
Anf angs-Randwert-
t4. 1-4.4}
au{gabe
menteknoten)
bestirnmten
in
gesuchte
Der
bedeuten.
P,
tNet=-
iul'
erfüI1t
Raumpunkten
Vektor
b:w-
Ele-
folgendes
al gl ei chtrngssystem:
Di f f erenti
(6.10)
tHliul.+tcl{ü}+tF}-o
iu]dessen
Lösung
darstel
I en
kann
=
iU- tF )]
o
o
rnan in
Für
= tf.tu]l
tu*)
5.3.1)
Abschnitt
(tcls{u}
+ stcl)-'
{Fl')
(6. 11)
t
ist.
gilt
U(P.t)
Ausgleichgvorgang
aperiodischen
einen
(siehe
Operatorform
t (rHl
{r-r*i = s
wsbei
,
L
die
Be-
ziehung t767=
- u(p,o)rtk-1dt
r. }u(p,t)
dk.
= (-tlk*t ri*
s+o
o
Daraus
und
61. (6.1)
aug
Isu*(P.s)]
.
(,5.1"]
dsk
folgt
-k
=
6k(F)
mit
die
{-1)k*"
t=U* (F. s) l
t A
U tP' r-l) -
1 : )
U {F' o}
-- auJ(P.t}1.
u*{P.g)
Zur
9ds*
f i*
s+o
Ableitungen
si chti gung
rf
Lösung
,t
l-) =
(6. 1 )
jedern
rnüs=en
Knotenpunl,.:t
werden.
Berüc},:-
Unter
= - ic h :
ergi bt
-1
(tHl
in
berechnet
dk(s{,,,*})./dsk
der
6*
Hif f sgrößen
Besti.rnrnung der
tcl ({ul-
cls
(siu
ot
,s{u*} ) = -1,;(tHl + stcl)-ntcl
+ stcl)-a
o
-
s{u
if
(6- 14)
i)
und
(giu
It
i )
.
{6. 15)
dgk
<k=2,
(6.14)
Die Be=iehung
teren
wird
B e w e i
die
s
Beziehung
der
Der Beweis
wird
1., Es wird
die
auf
im Abschnitt
(6.15)
Beziehung
5.3.1
bewiesen.
I rn
rrei -
abgeleitet.
(ö.15):
indurktivem
Richtigkeit
=
*rsiu*i)
wurde
. . , N )
der
hlege durchgef
Beziehung
=
:=[ 3= r=ru*rr]
77
ührt.
(6. 15)
f ür
k=? bewi esen:
-(tHl
ttu)"o - stu*i , ]
+ stclt-1tcl
äe[''"'
t C ] ( tu]
+ stcll-1 tcl trH: + stcl)-r
-
o
siu
al
])
(6. 16)
(tHl
srcrl-r tcl E=r={u*})
+
= -2(tHl
Es wird
2.
der
Richtigkeit
die
o^*t
ds^*
t
von
Zahl
folgende
=
,stu*])
a
r
k'
t[
autch
Richtigkeit
die
Zahl
die
für
k=n+l-
d.h.
=
ät=tu*rr]
-.
= -n LltrHl
ds L
wird
für
t6.15)
Beziehung
Bewiesen
vorausgeget=t.
k=nl?
die
+ stcll-1 tcl
l=t=t.,*rl
+ stcl)-l
t. l h - t
*
1
tstu-ll I
t,'
J
ds^-
tcl
.n- I
= n(tHl
o
+ stcl)-tEcl
+ stf,ll-ltcltrHl
(s-[ut*i]
Ir
ds^-n
-n(tHl
d
+ srcl)-*tcl
(ä-l7t
(st,r*))
dg^
=
+ slCl)-l
+ s[C]]-ttCl[n(tH]
ttHt
L
rl
.n-1
Jt
-(--tu
tCl
11 -
.
i )
1
d5
-n o^=,=c,r*ill
I
ds'
= -(n
+
1) {tHl
ot
+ gttrl)-ttcl
.
,=iu*})
dg'
der
Das Prinzip
3.
Bei
der
die
iin Anhang
A
den Beneis.
beendet
1.
Funkten
den
in
wurden
l'latri:tdifferentiation
des Ber.leises
Indr-rktisn
vollständigen
Be=iehungen
angegebenen
und
?.
(4"-44)
ausgenut=t.
t{ird ein Folge von Hilfsvektoren
tvtk'1. = (*l)k*tli*
+
s+o ds*
ergibt
sich
unter
t,rtt']
= tHl-ntcl(t,r]
(siu*])
der
Berücksichtigung
7A
*']
(vtn'ir..."{v'
o
6
,
(6.1E|)
(6- 14-6- 15)
61n
tu]
definiert
)
(6.19)
und
(-1)k k
tvtktl-=
-r-
tHl
k - r -.
L
dsk-1
d'-
tCl|16
s+o
(sitt
,t
gesuchten
au=
Knotenpunkl
6* (P)
Hilfsgrößen
dann
werden
15."O)
, N )
. .
< k = 2 ,
Die
in
i-ten
einem
Be=iehung
der
6k(P.t = rl.u' /{.r. o - rr*),
die
und durch
(6.21)
des
Endzustand
und
Anfangs-
d*t
entsprechen
U(P. .t)
lau#s
*t-
uLo,
trobei
bestimnt.
k-1) --
= h tHl-r tcltv(
])
(5.4O-5.41)
61n
Ver-
gegeben
=i nd.
6rund
Auf
der
lten
dargestel
Bi 1d 6.2
von Pararnetern
{6. 19-6. "1)
6ln
ksn-
unl:tionen
übertragungsf
apprt:ximierenden
der
im
Be'stirnmung
numerischen
zur
Algorithmus
fnan den
kann
t5,40-5.41}
und
{trti'}r...'
H i .I f g v e k t s r e n
der
Berechnung
Bei
der
struieren*'}
1ögen. Ats HauptGtei.chungs=ysteme
mutl man entsprechende
{vt
rnatrir:
dieser
gebildet.
Die
gI ei chen
So{tware.
wi e i m Fal I
tionärer
Randsrertaufgaben.
tHl
tri:<
cherplat=
Lösung
darin,
net
iin gemeinsamen
und
daß die
begtirn{nnug der
zur
tHl
Steif
erfolgt
dann
nt.tr ein
und
staSpei-
Speicherplstzverwaltung
wechselweise
ttrl
berech-
werden-
Daten
7ur
altßer-
sollen
,
foldender
Abspeicherung
der
mit
r.renig größer
k=lr....N
wobei
igkeitsrna-
Fehandl un_u
abgespeichert
Speicherplat=
l'lsrnente 5k (P),
Vektoren
dern drei
wird
sparsärne
l"latri:en
ühl iche
nurneri =chen
der
Eine
besteht
Systeme
der
Dabei
erforderlich.
eine
vrird
Eleichungssysteme
vereinbart
werden:
1. der
Di++eren=
{u}.o-
7.
des
vora.ngehenden
3.
des
VeF;tors
system
der
tCl({ul'
b)
ktcltv'*-t']
Im Vergleich
Seite
für
t'rtk-n'],
=vektsrg
rechten
tu3'--) ,
@
o
r l
mit
hier
notwendige
chen
Vektoren
t'lethode
HiIf
i in
k I
?,
El ei chungs-
ent=prechenden
:
a)
Falls
tu}.-.
ftlr
,
einer
für
k = I,
k > ?.
Aufgabe
stationären
um den für
nur
Speicherplat=
wird
die
sich
zwei
demnach der
=usät=li-
unterscheiden.
zur
numerischen
der
f initen
Lösung
Elernente
dFs
das
7S
Randwertproblerng
Dif.f eren=enver{ahren
statt
der
verwendet
c
q,
9*s
E E
E q ,
ts
€ u
q,
L c
n
n
\+
.il
a
. e o
O c
E74
t/,l+
g}o'-'
+ E
';; o
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ö
+J
q)
3
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- q,o L
15q)
c +
=tr,
,2, 0,
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E
:t
E
F
1ä
o
o
q)
:1
q)
z
der
in
61. (4.3il
Hitfsvektoren
die
(6.2")
) l'
Ll.
r @
und
k'l.
{vt
6.3. 2.
der
folgendes
Bestimmung
(6'?3)
'
diesem
komplei:e
FE-Hethode,
der
z -8.
=ierung=rnethoden,
(tHl
+
j<^rtCJ)ig,'
+
{Fl-
=
Helmholt=einer
erhäl
rran
t
6leichungen:
l'.ornpleilen, algebraischen
Systern von
gtatt
FalI
Anwendung
Nach der
werden.
auf
( ^ )u n t e r -
t'ireisf requenzen
entsprechende
gelöst
modifi-
von
Systernantwort
die
muß in
Sisht
die
Di{fusionsgleichung
Disl:reti.
( k=2, -. ', N)
I
niedriger
Erregung
-Dif+erentialgleichung
der
}
daß
darin,
Aus mathematischer
wird.
k-1)
nurnerischen
der
Variante
ei.ne :eitharrnonische
)*l
Frequenzbereichsanalyse
l"tomenten 6u besteht
zierten
sucht
{*^ (P
tHl-t
der
Verwendung
zweite
Die
-k
=
den
werden:
errnittelt
Be=iehungen
folgenden
tcl
Hatri;<
der
Gestalt
u",
k = r r . . . ,N aus
{v'
besonderen
der
6rund
auf
rnüßten
würde'
$
15."4)
'
wobeidieltatri;r}.:oeffi=ientendurchdieGln.o''g_4.?t))und
tu.]' = {g Jjt'r)l'
Der komplexe Vel:tsr
(4,?5) =u begtimfnen sind.
in den Elernenteknoten'
dann die Lösung der Randwertaufgabe
ist
SoIldiekomple:<eFunktionF(j<.1)=g.(jr,r}einmitHil{edeg
wobei
(5.?4)
gewEnnener Frequenzgang gein,
6Ieichungssystems
F ( jo)
ist,
dann
Iassen
die
sich
F (co) +
=
15' "5)
jO (<,i)
folgt
wie
Hornente
gesuchten
dar-
F ( j<,r)
6.
=
v
(-t)^
Der
Real-
ungerade
und
F ( jco)
a^*o
ImaginärteiI
von
gerade
b=w.
jewei
1s
+
)
(6. ?7)
q' 5< ^ l o * . . . )
(6- ?B)
gind
f(jco)
z ' B. :
Fr-rnkt i onen ,
P{<l}
(6. "6)
lim
*
=
Q(c,r) =
F(L}) (1
F(ö)
*
{Qrt
F".
*
+
3
Q a o)
ae
F.ot
+
...
Daraus folgt
okEti,rl
l i m - =
dk
lim or+o dar*
I
:r
J
a^;+o d(jr^l)E
:o t<o)
für
k=lr3r5r...
I e<.r
ftlr
k=2r+r6t...
f
I
(6.2e)
l
)
und schlie8lich
fur
fllr
6u =
(-1)n
(6-27-f:-?.FJ) erhält
[ O u , f ü r k = Z n - l ]
{
I
)
t o u r f ü r k = 2 n
kl
gewonnenen
qt
Koefizienten
(6.24)
:weimal
werden
rnuß. SchlieBlich
q r =
O (<,1 )
t
r^l P(O)
1
und
to P (O)
Berechnung
soll
die
Kreisfrequenz
angeno.nfnen werden,
weil
nur
in
der
terpol
*
O (c.t) *
wirklichen
annähern
stellend
mittelt
Gleichung=systern
= Q
und
., )
gelöst
P(tl
1 -
diegem
(6-32)
J
n
)
(6.33)
.
P (O)
klein
hinreichend
.,
Fatl
I
die
In-
angewandten
ati onsansätze
Ptro)
den
die
das
1
1
fnan
kann
l-etu:'
L * P- (1o1) '
L
, G " =ü=);tL
)
ermittelt
sich
p z = -,
.,
,
t
(l)
requenzen
Kreisf
ergibt
O(tl
wobei
begtifnfnen,
und P,
(f ilr die
(6'31)
aus Gl'(5'24)
Interpolation
linearen
der
Anwendung
man
'
D=lr?r...
Q* und PU miJssen auf 6rund des
Interpolation.
dUrch
z-8.
Frequenzganges,
Durch
nerden.
(6.30)
.
l t=l ,2r-..
)
Koeffizienten
Die
Bei
l
k =Zn
Beziehungen
ng der
Berticksichtigu
Unter
k = Zn-l
werden,
Kreisfrequenzen
F(O) (1
und
irn
Sollen
so muß ,nan das
lösen
p".")
(6.34)
!
(6.35)
P (O) q. <^l ,
Frequenzgang
können.
*
Intervall
die
System
weitere
(6.?4)
Interpolationspolynome
verwenden.
a3
{Orr,l, )
zuf rieden-
Homente
fiJr
die
höherer
6*
er-
folgenden
Ordnung
tei I e:
- Han kann
die
probleme
-
Da die
schsn
numerischen
rnit
Im Vergleich
hier
f srderl
darf
und
Urn das
rlird
das
einer
Verfahren
im Abschnitt
5.4.2
In
l'litte
der
rarleter
c,rT=O und
arT=Or1 wurde
F_(j'O)
=
F - (j ' O . 1 )
t5.=f,)
Au= den Beziehungen
Im Abgchnitt
6.3
vrerden
tionen
E, /T
die
dieges
Beispiel=
-
der
und EzlT?
1
e ; <-t r( - s r o )
-T-j:--I
(1 + sr)-
Pa-
= Or 1SOOO
norrnierten
der
ZEitl::clnstanten
Or"941Ö angegeben.
atrprüxirnierenden
In
der
von appro;{1tnlerenH- ts)
Pararneter
T
=
"o=
Or"9455'T
O , { } E } 6 5l . ' T
T = O,?A794'T
fil =
2, 0ff65
T :
0,146EO-T
a4
r' .
Tabelle
Übertragungsf
zusammengestel lt.
(s)
T-TG?
die
jO. t]"?455
d
ä
Für
falgt
Tabel le 6. ? Die Pararneter
den übertragungsfunktionen
K
Frequen=gäng
ist.
T=pya2
be-
!
ent=pricht
Fararneter
wsbei
= O.9S?33A
wurde T,=
5.4.?
6 nschrnals
der
ulurde
können.
bestimmt
= Or29455
6t/T
Das Verhältni=
1
zLt
Beispiel
Anordnung
f( jcoT)=Ht jorT)./H(jcoT=O) untersucht.
at=be-
Spei cherpl
illustrieren
kurz
präsentierte
der
er-
rechnen-
Verarbeitungs=eit
längeren
vorge=tellte
trachtet.
ei nem größeren
rni t
l"lan rnuß demnach
i ch,
der
auf .
16."4)
kornplexen 6leichungssystems
eines
Lösung
die
mit
Verf ahrent
6.3. 1 dargestellten
dern im Abschnitt
kleine
sehr
Raumdiskretisierung
der
Probleme
verbundenen
benut=en;
keine
treten
müssen,
werden
direkt
einige
für
nur
Berechnungen
l^Jirbelstrsin-
stationäre
Software
entwickelte
durchgeführt
Eindringtiefe
ist
gut
besonders
Frequten=en
und für
vorhandene
Vor-
wichtige
=wei
hat
Berechnungsverfahren
Das darqestellte
unl:-
6. ä.. Berechnungsbeispiel
7:
Beisniel
unendlich
Ein
rechteckigern
Ianger
rechteckiger
Umgebung
),
Dichte
die
sovrie
Anfangstemperatur
si nd gl ei ch
Stoffsrerte:
alle
(c
Die
auftritt.
bung
Nr-rlI
die
Leitfähigkeit
(p)
und
mit
die
{}.}'
Umge-
der
der
Temperatur
die
daß
wi rd '
Vorausgeset=t
angenommen.
wird
Q.,, erwärrnt.
Leistungsdichte
l.lärmeaustausch
der
Oberf läche
seiner
auf
während
-b<y<b
-aSxSa.
Stab:
konstanter
l{ärmequellen
innere
durch
langen
einern unendlich
Buerschnitt
mit
Stab
in
bfärmefeld
Nichtstationäres
hfärrne
spe=ifigche
(a}
Wärmeübertragungskoef{izient
der
P
aufweisen'
hfert
konstanten
einen
die
Gebiet
trachteten
u=, *
&.-:2
x = \/
mit
(c p),
inhornogene
hfärmeleitungsgleichung
o'T =
av"
-#
1 ö T
ar dt
be-
q
.
fürt>o,
i6. f,6)
tZtJ.
und für
hornogene Anfangsbedingung
die
irn
erfü1lt
T(:<'Y't)
Temperaturfeld
Das nichtstationäre
leut
P
Eesetz
dern Newtonschen
^ [#]*=r*t
kann
män rnit
winnen.
hung
+bn t)
=
O .
-äSx<a
(6. f,A)
Lösunq
analytische
Die
r5. f,7)
a T { t a r y r t ) - O r - b < Y < b t
^ [#Jy=rba T ( x ,
Analytische
Randbedingungen
folgende
Lösung
Hilfe
der
der
Anfangs-Randwertaufgabe
der
l"lethode
Das nichtstationäre
Feld
Trennung
wird
dann
der
mit
(6.56-6.34)
ge-
Variablen
folgender
Be=ie-
beschrieben
s
sin (pr-)sin (f^ ) cos aU- ä, cos (yr, $t
=.
='
_
_
;{, ;;:-]
[, =;i"]
4 q . t f
T(x,y,t) = -+-
/
)
m=t
r (
1 - exp l-l p'
L L -
2
*'n I l! I
t z ) ^ ' J
2
,?^ *
Y 11
F
a5
(6.39)
p
wobei
und
m
die
T1
t
= Bi,
gtgu
Eleichungen
aufeinanderfolgenden
Ttgy
= l'Bi;
Bi
wurde
aus
positiven
= cra/}' die
ü{urzeln
Biot-Zahl
der
und
bedeuten.
I=b/a
Lösuno
Numerische
Bei
der
des
Viertel
und in
numerischen
untersuchten
2AA +inite
Lösung
d.h.
6ebietes'
(16?
Dreieckselemente
Symmetriegründen
OSx<a,
nur
betrachtet
OcySb
Elementeknoten)
unter-
0,t
0,6
o,lt
0,7
8
0,2 o,L A,6 0,8
2
t
\
t,5
r l0-2
I
0,
0
-q5
-1
-15
-2
0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8
1,4 1,6
a) des normierten
Abhängigkeit
b) des Absolutfehlers
lauf s T'= Ttr/ (q a" ) ;
Bild
6.3.
von der Variaorln
für
t'=
tx/az
in
Bi=1
a6
der
Hitte
r,8
VerA = T: - T'
exakten
der
e'n
Anordnung
0,4
0,1
q2
0,1
0,2 0,3 0,1 0,5 0,6
r,5
* 10-a
a
l
0,5
0
-0,5
-1
- 1,5
-2
Bild
T'=
Variablen
von
der
für
Bi=lO
Bestimmt
teilt.
I
(P. )
L
der Tabelte
wurden
und 6_ (P. ).
Z
6.1
des Absolutfehlers
ir,
t'=
tnlat
der
stationäre
ihrer
Auf
Ver*
a = T; - T'
exakten
d*r
t'litte
Zustand,
Erundlage
der
Anordnung
sowie
wurden
die
l"lomen-
mit
Hi. 1f e
L
die
Parameter
der ürertragungselemente
1 - Froportisnalglied
2 -
b)
Ttr/tq,'az);
0,a 0,e
des norrnierten
a)
Abhängigkeit
b.4.
laufs
te 6
0,1 o.2 0.3 0./. 0,5 0,6 A:l
totzeitbehaftetes
der
Übertragungsfunktionen
fol
gen-
1.
Ord-
ermittelt:
mit
Verzögerung
Proportionalglied
nung,
a7
1.
Ordnung.
mit
Verzögerung
.3 -
gef{onnen.
der
mit
Die
dern 6.5
und 6.4
a
'
v
fllr
a2).
t a e. / a z g e z e i g t .
t'=
des
Hilfe
+?r77. (bezogen
für
?)7'A.
d.h.
del ls
von +O, O1?O (+E}.17-) und
gungen
(6.9)
f ül f t -
Di e Ursache
der
Ho-
l'la>lirnalf ehler
Eedin-
die
nicht
er-
mmung I i egt
dari n,
daß
alts
sondern
6l . {6.€}}
au= der
nicht
T_(xrYrt)
Verlauf
nsti
lrlichtüberei
di eser
1.
T-(xrYrt)
Näherungslösungen
die
durch
+O!OOZ7I
und
werden
sieht.
und 6.4
6.3
d.h.
( + 1 ? ' 6 7 - )-
+O, O135
den Bildern
lrfie rnan aus
Nä-
einen
erwartungsgemäß
Ergebnisse
die
haben
der
einfachsten
des
Anwendung
der
Bei
Bi=lO.
rnit
f i.tr Bi=l
t{ert}
den analytischen
auf
Ergebnisse
+OrOtJ4O'
von
Flaximalvrert
einen
Falt
diesem
in
hat
herung
An-
arn
Absolutfehler
Der
wurden.
erreicht
l'lodells
5.
tt
tri
besten
die
wobei
auf,
Ausgleichsvorgangs
des
fang
=
Tä
Variablen
der
von
Approx i mati onsf ehl er
größte
Der
T'=
mit
T',
Übertragungselemente
o.g-
die
A = Tä
Fehlers
absoluten
des
TLl {e.raz ) und
BiI-
Verlaufs
exakten
des
den
In
dargestellt.
Abhängigkeit
die
wird
den Bildern
in
und
verglichen
6.3-6.6
den Tabellen
in
sowie
(6.3?)
Lösung
analytischen
a=b wurden
für
Rechnung
numerischen
e T.atP. 't)
Verläuf
angenäherten
die
der
Ergebnigse
6.3-6.4.
T \./(q
61 , (6.4)
der
und entsprechend
Brdnung
m-ter
Ver=ögerung
mit
Proportionalglied
der
Bez i ehung
gene Anfangsbedingung,
Fehl er
war
i rn betrachteten
und Or47. f ür
Bi=l
Um eine
rnit
alss
wurde numerisch,
einem
gewissen
Fehler
Fat I
verhäItni.
smäßi q kl ei n:
l,lsmente 6u gewisse
gich
der
Forderung,
6.1)
sollen
f ür
reel
die
de Ungleichungen
sein
Der
ernittelt.
Qt ? ' A
f ür
l:önnPnt
werden.
tgiehe
Zeitksnstanten
müggen.
zt-t
e'rfül1t
Eedingungen
Zurn
ergeben.
Ta-
Beispiel
? und -= folgen-
tibertragungselemente
betrachteten
gelten
{
6
62
t
weniger
daß die
und positiv
Ez
t
Die
(t--ro)
irn Endzustand
gewinnen
übertragungsfunktion
die
belle
homo-
Bi=lO.
bestimmte
aus
die
=war
T-
müssen durch
die
erfüllen
Funktion
die
aber
(6.40)
Ta(xryrO)lha(r:.y.t).
T und T,
Verläufe
Beide
wurde.
bestimmt
-
= T"(:<ry.O) + tT"(xrYro)
T"(xryrt)
strenge
<
?62
t
z
{
G
2
.
Bedingung
.
für
das
Hodell
?
für
das
t' lodell
3
die
Ungleichung
durch
aa
(6.41)
t
(6.4?)
(6,42)
zeugt
r'
I'
*i
$.
F
"Approxirnationsfähigkeit"
bessergr
von
I'lomente 6
t
und
ortsabhängig
E
2
5.
des
in
kann
sind,
t'lodetlseinem
||leiI
Raumpunkt
die
die
<6'+?'
Bedingung
einem anderen nur die
(l bis
daß jedes l'lodell
werden. Der er=te Fall bedeutet,
erfüllt
AnIn der Tabelle 6.3a-b ist der
ist.
5) "approximationsfähig"
Bedingung
(6.41)
und in
wendungsbereich
von apprclximierenden
das vorliegende
Beispiel
dargestellt.
Tabelle 6.3l. Untersuchung des Anwendungsbereiches
unkti ctlen
mi erenden tlrertragungsf
F
Bezeichnungen:
r - im Punkt
o - im Punkt
i
a)
l
(xry)
(xry)
ftir
tJbertragungsfunktionen
di.e Bedingung (6.41)
die Bedingung (6.42)
lst
ist
von aPProxi-
erfllllt'
erfullt.
Bi
xla
B
F.
r.
I
t:
ts
Wl
[,
F
li
I
E
I
F
F
J
t
vlb
1.O
o.?
o.a
o.7
o.6
o.5
o-4
o.5
o.?
o. I
Bi
{ } .1
0.2
0.5
0.4
().5
0'6
o -7
0-B
O-9
1'O
o
o
o
E
E
EI
E
EI
EI
I
ct
o
a
o
o
o
E
EI
o
o
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o
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tr
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o
E}
E
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D
o
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I
I
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b)
o-o
I
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I
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o
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I
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l.
I
I
I
10
x/a
ylb
I
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F
I
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t'
o,o
o. I
o.2
0.5
0.4
0.5
0.6
0.7
1.O
E
o
o
ct
EI
o
E
I
I
t
I
I
I
I
I
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I
I
I
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cl
o
E
ct
o
o
o
o
o.9
o.B
o.7
o.6
o.5
o.4
o.3
o.2
o. 1
I
cl
I
tr
o
o
o.o
cl
o
o
I
I
I
I
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I
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[]
o
o
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E
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o
o
o
o
tr
EI
El
E
E
1.o
E
o
tr
tr
E]
o
o
hfie die
das
zeichnet
sich
-
im ganren
es
ist
sor,rie die
und 6.4
6.3
Bilder
Flodell
J.
folgende
durch
OSxSa,
Erundgebiet
beweisent
6.3a-b
Tabell.e
aus:
Vorteile
"
a
p
p
r
oximationsO<y<b
f ähig",
-
wirkl
Die
des
Verteilung
1.
und des
Die
3.
5,
für
hfert
von
Orbg bis
dung
des
3.
sich
wesentlich
O164.
Hodells
des
t'=
Or?i
der
l'lan kann
t7.l)
Or4;
O16
hat
bemerken
Approximationsfehler
reduziert.
i
so
die
wird
bei
in
,
der
diesem
im
räumliche
Anwendung
und Bi=1
daß
Tabellen
die
durch
auch
6.4-6.6
(in
Zeitkongtante
rnittlere
normierte
wird
Fehlers
relativen
l'lodells
F'lodells
den Tabellen
In
bestätigt.
T-
Näherung
bestimmen.
des
hfirkgamkeit
gute
recht
man eine
kann
Verlaufs
ichen
6.6
ö.4-
Hilfe
seiner
mit
des
angegeben'
Fa}1
einen
der
Verwen-
ganzen
Eebiet
danlt
Tabelle
6.4.
f ür
Qt?
t'=
Verteilung
mit
des
Verwendung:
relativen
a)
l.
(Ta-T)./T
Fehlers
l'lodells;
b)
5.
87.7,
l'lodells
xfa
Ylb
,
F
[.'
F
!
L
t
I
F
t.o
o.?
0.8
o.7
o.6
o.5
o.4
o.3
o.2
o. 1
o.o
o. o
o. I
o.2
- 1 . 8 - 1 . ? -?.2
-1.5 -1.6 -1.9
-o. ö -o.7 - 1 . 1
o.5 0.4 -o.o
1.1
L . 7 1 -5
2.3
2.A 2.7
5.3
4.2
4. B 4.6
5. S 4.q
5.4
5.3
3.7
5.9
5.4
5.9
6. I
0.3
0.4
0.5
0.6
-2. B
-2.5
-1.7
-o.6
0.5
L.7
2.7
3.5
4.?
4.6
4.E|
-5.5
-5.2
-2.4
-1.4
-O-5
0.B
1.8
2.7
5.5
3.7
3-9
-4.5
-4. 1
-5.4
-2.4
-1.3
-o.2
o.8
t-7
?.3
2.7
2.A
-5.5
-3.2
-4-4
-3.4
-2,5
-1.5
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0.5
t.?
1.5
L.7
b
t
t
o-?
1 -o
-El.3
-7 .9
-7.2
-6.?
-3.?
-4. t
-5.?
-2-=
-o.o -1. 1 -1.9
o.4 -4.7 - 1 . 6
o-5 -o.6 - 1 . 5
-E|.6
-8.3
-7.3
-6.5
-5.5
-4.5
-3.5
-2. A
-2.7
-1.9
-1.8
0.7
0.a
-6.5 -7 .3
-d'.2 -7.2
-5.5 -o .4
-4.5 -5.5
-4.4
-55555.4
-7-4 -5.4
-1.4 -2.4
-o.6 -L.7
x/a
YIE
l.o
o.9
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-o.4 -o.4 -o.5
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o.2 ().2 o,1
o.6 0.5 o.4
o.? o.a o.7
l.o
1.1
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o.a
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-o.6
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-?.4
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L.?
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-o. B
-o.6
-o.4
-o.2
-o. I
-o. I
-2.O
-1.9
-1.A
-1,6
-1.3
-1. O
1.5
1.5
1.6
1.6
-1.6
-1,6
-1.4
-1.1
-o.9
-o.6
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-o.1
o. 1
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l. A
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o.5 -o.o
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o.a o.5
o.? o,6
-o.B
-o.6
-o.5
-o,4
-o,4
-o.9
-o.7
-o.5
-o.5
-o.5
Tabelle
f ür
t'=
6.5.
Verteilung
O r 4 mit
des
Verwendungr
relativen
a)
l.
(T--r)./T
Fehlers
Hodells;
a
b)
5.
t7.),
Hodells
xla
Ylb
l-o
o.9
o.B
o.7
o.6
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o.l
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o.1
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o.1
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o.o
o.o
o-o
se
o,o o,o
o,o. o.o
o.I o.o
Verteilung
Tabelle
6.6.
f tlr t'=
O r 6 mit
des
Verwendung:
relativen
a)
1.
(Ta-T) /T
Fehlers
l'lodells;
b)
5-
E7.J,
l'lodells
x/a
Y/E
|.O
o.9
o.B
o.7
o.6
o.5
o.4
o.3
o.2
o. I
o.o
o.o
o. I
o.2
0.5
0.4
0.5
-o.2 -o.1 -o.1 -o.1 -o.2 -o.3
- o . I -o . I - o . 1 - o . I - o . 2 - o . 5
o . o - o . o - o . o - o , 1 -o. 1 -o.?
o . 1 0 - I o. I o.0 -o.o -o.1
o - 2 0 . ? o.2 f). 1 o.o -o.o
o.3 0.3 o.5 0.2 o . 1 0 . 1
o.4 Q.4 o.4 0.3 0.2 0. 1
o.5 0.5 o.5 0.4 o.3 0.2
o.6 0.6 o.5 0.5 o.4 0.3
o.7 0.6 o.6 0.5 o.4 0.3
a.7 0.7 o.6 0.5 o.4 0.3
0.6
0.7
0-B
o.9
-o.3
-o- 3
-o.5
-o.2
- o. 1
-o.o
-o.4
-o.4
-o.4
-o.5
- o.2
-o- 1
o,2
o.2
o.2
0. 1
0. 1
0. I
-o.5
-o.5
-o-4
-o.4
-o.5
-o.2
-o. 1
- o. t
-o.o
o.o
o.o
-o,6
-o.5
-o.5
-o.4
-o.5
-o.5
-o.2
- o. I
-o.1
-o.1
-o.1
0.6
0.7
0. B
o.9
1.O
0.4
0.4
0.5
0.5
o.2
o.2
0.1
0.1
o.1
o.1
o. 1
o.5
o.5
o.4
o.3
o.3
o.2
o.2
o.2
o. I
o. I
o. 1
o.5
o.5
o.5
o.4
o.5
o.3
o.2
o.2
o.7
o.1
o.1
0.5
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
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Q.7
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0.I
o.o -o.o
o,I o.o
1-O
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-o.4
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-o.1
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o.9
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o.2
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o.o
o. o
o. I
o.1
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0. I
0.1
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o.1
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-o. o -o. o o . o o . o o . o
-o. o -o. o - o . o - o . o o . o
-o.1 -o.1 -o. t -o.o -o.o
-o.1 -o.1 -o. I -o.1 -o.o
- o . o - o . I - o . 1 - o . 1 -o. o
- o . o - o . o - o . 1 - o . 1 -o. o
ct3
0.5
o.4
o.5
o.3
o,2
o.?
o.r o. I
o.o o. 1
o.o o , 1
o.o o . o
-o. o o . o
-o. o o . { )
0.3
0,3
0.2
o.2
0.I
ANUENDI,'NGEN
PRAKTISCI{E
7.
7. t .
Algerreines
prektisch
die
lich
offenen
s
t
!:
$
I
I
F
h,
I
b
gegenüber
Verschiebungsströrne
die
Feld
kann,
problematik
gtarkstromtechnisch
handenen
bei
nicht
mehr,
weil
Beispiele
weitere
f ilr
das
nichtstationäre
und
rungsf
üh1er"
betrachtet.
Der
Inhalt
des
16r l?r231
Kapitels
wurde
des Verfassers
gilt
E44l)
man infolge
der
Feld
in
in
veröffentlicht'
F
Er4
diese
hohen
Anwendung
Temperaturfeld
teilweige
vorim
Ver-
Frequeneen
mtißte.
praktische
elektromagnetische
magnet
Bei
t(aden
die
Abschirm-
Frequenzanalyse
den "nachrichtentech-
bertJcksichtigen
hlel lenerscheinungen
nichtstationäre
f11,14r
(2.8.
Schirrnungsproblemen
nachlä=sigung
( tl'lHz I )
durchgefilhrt.
der
Industrie
der
die
wird
quasista-
Leitungsströmen
genau
in
real
Fällen
diesen
Bereich
niederfrequenten
nischen"
In
Feldern.
den
FaIl
dieser
ent=pricht
vernachlässigen
Als
I
anä-
quasigtatio-
Da man beim
Feldern.
elektrornagnetischen
tionären
I
die
h'ozu
vcln
Abschirrnung
der
Probleme
u.a.
werden
Behandelt
I
Ver-
wird.
lysiert
nären
voll-
im Frequenzbereich
Helmholtz-Dif{erentialgleichung
komplexe
räum-
mittleren
der
bestimmt,
Sprungantwort
tatsächliche
die
auch
laufs.
istt
Elementen
angenäherten
entsprechenden
ihr
des
sowie
Zeitkonstanten,
die
möglichst
neben
numerisch
wird
kätnnenr
zu
kommen untersuchen
t"lobei
Pro=esse
dynamische
Um die
be-
weiteren
infiniten
einfachen
mit
Randwertaufgaben
werden.
behandelt
einige
vorhanden
angeurandt,
Elemente
f initen
der
l'lethode
wird
werden
im
Lösung
analytische
keine
Feldprobleme
trachteten
die
Da filr
dargestellt.
Närmefelder
und
scher
exakter
elektromagneti-
nichtstationärer
Beispiele
relevante
Kapitel
diesem
In
ausgewählt.
Lösung
analytischer
rnit
Berechnungsbeispiele
Kapiteln
vorigen
den
in
wurden
Algorithmen
vorgeschlagener
Überpnitfung
und
Erläuterung
zur
einem
in
werden
das
Eleichstrom"l'litteeinem
früheren
Arbeiten
7.2.
Anat)rse
der
Ab-
elektrornagnetisctren
ln
Ausgleichsworgänge
sctrirmungen
7'2'!'
Fetd
elektromagnetische
f,las
Kast'enlbsctrirtmrrrg
ciner
in
+{e(r
7.t.
Bild
Erregerfel
fähigkeit
H = lr.
Die
He.
sind
Koordinatensystem
gro8e
sungen
aur
und das
Randwertproblem
Randbedingungen
die
filr
die
werden.
lJberall
weist
(2.14)
Differentialgleichung
-Differentialgteichung
gegenlJber
kann
H verwendet
Anordnung
Anordnung und
'dargestellt.
7.t
Anordnung
und die
Feldbeschreibung
Feldstärke
angegebenen
irn Bitd
Abschir{nung
voräusgesetzt
trachtet.
tischen
der
I
Länge
der
Eeometrie
den
im nichtleitenden
dieger
Aufgabe
H(taryrt)
eine
Euerschnittsabmesbe-
zweidimengional
z-Komponente
der
rragneder
Permeabilität
Die
blert
konstanten
leitenden
wird
Es
den
wird
karthesische
das
wird
Feldverteilung
im
Erregerfeld
homogenen
einern
in
sich
befindet
f
Leit-
der
Kastenabschirrnung
elektrornagnetische
leitende
Eine
im homogenen
Kastenabschirmung
d
und
Gebiet
eine
Po
durch
auf
die
Laplace-
beschrieben.
Die
lauten:
= H(xrtbrt)
95
= H=(t)
1 7 .L '
Numerische
Die
Lösuno
durchgefilhrt,
wobei
finite
2AA lineare
wurde,
Bei
der
betrachtete
das
Dreieckselernente
wurde
Berechnung
der
Verteilung
die
räurnliche
der
magnetischen
Feldstärke
wurde
Zeitkonstante
nach
(169
Im Bild
dem im Bild
mit
5.3
zerlegt
7.2
wird
Zeitkonstante
erittleren
dargesteltt.
T=H,.1a'
in
OSy<b
Elementeknotenl
a=b angeno.nmen.
T/T
FE-Verfahrens
O3xSa'
Erundgebiet
normierten
r'=
des
Hilfe
mit
wurde
Rechnung
numerische
angegeben
Die
Algorithnus
bestimmt.
0.io
0,06
o.06
7.2.
Verteilung
Bild
in
ten Zeitkonstante
der Kastenabschirmung
8:85
Abgängigkeit
7.5.
Bild
mierten
Zeitkonstante
Wandstärke
relativen
x=y=O)
der norvon der
(a=b;
d/a
0
In
der
hlert
einen
f er
l'litte
(f
der
von
t'
Anordnung
= Or1l4
= 3r7' 10" tslml)
normierder
einem Viertel
(a=bi d=a/?l
nimmt
an.
hfird
angef ertigt,
g6
0,2 0,4 0,6 0g
die
normierte
z.B.
die
wobei a=
Zeitkonstante
Abschirmung aus Kup?
fcml
istr
sc'
7.3
Im BiId
Stelle.
llitte
der
in
stante
d/a
T = 2f|165
sich
ergibt
präsentiert.
Or2gS
a = 2
=
d/a
= Br44
t
sich
Verhalten
jtt
AH =
und
der
irn Inneren
AH f6r
von
Reihe
eine
gewonnenen
(?. 15)
Beziehung
die
das
Frequenzspektrum
des
Zeitverlaufes
in
Feldes
gang
der
E( j<oT),
im Beitrag
t?ZJ
to..+
Bei
Feld
tromagnetische
und 7.5a
präsentiert
zeugt
näherte,
mit
welcher
(siehe
der
Hilfe
gezeichnet.
ist.
Die
solutfehler
6.2)
A wird
in
die
auch
F{it
(1)
(5)
Strichpunktlinie
mit
in
den Bildern
s7
{), d.h'
das
den
(?)
stellt
Verzögerung
ist,
zugeordnet
komplexen
7.4b
vor.
Der
und 7,5b
elekim
die
durch
abgeschirmt.
völlig
Zeitkonstanten
mittlElren
Frequenz-
einem
Anordnung
Strichlinie
der
Der
deren
Sprungantwortr
Verlauf
dem Übertragungselement
Abschnitt
+
E(jcoT)
der
inagnetischen
charakteristischen
llirbelströme
tot=eitbehafteter
sächlicher
lauf
Inneren
im
gezeigt.
entspricht
sich
o ergibt
nurneri-
der
des
einer
Forrn
ir
ist,
wird
Vom Abschirmverhalten
(x=y=O)
Anordnung
induzierten
Eebiet
Ldpirt-siee)
und
Ergebnisse
Verhaltens
dynamischen
dargestellt
Schirmfaktor.
(BryiealsJed
die
erden
Ortskurve
deren
Bestitntnung
3ur
rnan
kann
hlenn
errnitteln.
anrsenden-
der
Hitte
Spiralschnecke
Ieitenden
ist,
so
der
HiIfe
man rnit
kann
/H=t
dem
l'lit
werden.
bandbegrenzt
des
Untersuchung
schen
ö gelöst
Sprungantwort
und 7.5
7.4
Bildern
den
In
(7.3>
O
F(jtoT)=H(joT)
Verf ahren
vorgeschlagene
(7.?'
tatsächliche
das
6.3.2)
Abgchnitt
Laplace-Differentialgleichung
Kreisfrequenzen
Frequenzgang
im
soll
könnent
zu
der
in
pofä
die
Abschir{nung
Abmes-
*
Feldes
(siehe
tlelnholtz-
komplexe
die
6ebiet
[ms]-
beschreiben
der
mit
rnagnetischen
des
T'=
Zeitkonstante
Kupferstab
einen
Filr
Zeitkonhfandstärke
relativen
die
man
genannten
der
normierten
der
der
von
erhält
I
irn Frequenzbereich
Abschirtnung
leitenden
Anordnung
ergibt
[cm]
dynamische
Um das
der
t"lassivgtabes.
eines
sung
die
an
Ernsl
Abhängigkeit
ist
l'lit
= 3177
und I
tmsl
tat-
Bildern
7-4a
der
ange-
ist
gewonnene
den
Ver-
Verlauft
m-ter
Ordnung
entsprechende
dargestellt.
Ab-
0,2
0,15
AnalYse des dYnamr7-4.
Bild
des magnetischen Verhaltens
der
in der Hitte
schen Feldes
ldla = 0rE):
Abschirtnung
(1) und angenäa) wirklicher
(2r3)
VorgÄnge
herte
der Näherung
b) Absolutfehler
Frequen=des
c) 0rtskurve
ganges L( jorT) =H ( jtoT) /H=
0.1
0p5
0
-0.05
-o'5
0,2
0J5
Analyse des dYnami7.3.
Eild
des magnetischen Verhaltens
der
in der Flitte
schen Feldes
Anordnung (d/a = 1):
(1) und angenäa) wirklicher
(
2
r
3
)
Vorgänge
herte
der Näherung
b) Absolutfehler
Frequenedes
c) Ortskurve
ganges E( jt^lT) =H ( jc,rT) /H.
0,1
0p5
o
-0.05
ga
Feld
Das elektromagnetische
T.Z.A.
axialsymrnet-rischen
einer
in
Abschirmung
Elne
7 und der
Leitfähigkeit
Fetd
trornagnetischen
metrie
sind
7.6
im Bild
H in
Feldstärke
eines
Anordnung
der
der
eine
chung
und die
Luft
Die
Raum er{üllti (t) / t?ar),
und die
worden.
hat
die
RrSrcR.
o zta
U
deg
Laplace-61ei-
(?.t4)
im
leitenden
H = He(t)
lautet:
Aufgabe
(r=Rnu
(rr$'zl
Vektor
der
die
6eo-
magnetischen
Vel.;tor der
Diffusionsgleichung
der
Die
Leiters.
wie
elek-
im
Koordinaten
ebenss
$-Komponente,
Randbedingung
wobei:
Der
sich
befindet
zylindrischen
Abschirmung
H* nur
lo
stromdurchflcrssenen
dargestellt
Erregerfeldes
in
Fermeabilität
der
Abschirrnung
elektromagnetische
=ylinder=ymmetrische
=
r=R, ) fi -a<r5a-
ä
't
t
$
!
I
F
r
I
I i(t)
\'/
r
r
I
l
Bild 7,6. Eine axialsyrnrnetrische
magneti sche Abschi rmung
Lösutnq
Numeri sche
Die
durchgeführt,
3R. i
Bildern
wobei
finite
Es wurden
R"=
Rechnungen
numerischen
Iineare
elektro-
betrachtete
Elemente
Rr=. a.
tt
Die
Ergebnisse
dargestel
mit
6ebiet
Hilfe
der
der
It.
s9
der
R.Sr<R"'
(3?5 Elementeknoten)
Abrnessungen
f olgende
7.7'7.
das
wurden
unterteilt
AbschirJnung
Berechnungen
FE-Hethode
OSzSa in -176
wurde.
vorausgesetzt:
werden
in
den
I
i
tF
yrl:t)
r
+
(')
:-
':.
i
R
F
Zeitkonstante
Abschirmung
/
0,2
/
t:
t
/
o,l
/
E-
/
tä
Äa
/
F
*
o
0,2 0,4 0,6
r
I
0,8
der
Abhängigkeit
Bild 7.?.
im
Zeitkonstante
normierten
r=(R + R )/72
z=O.vom
Punkt
t
n 7^
verhältnis
^
der norim Funkt
der rela-
Bild 7.A. Abhängigkeit
Zeitkonstante
mierten
r=(R + R )/72 z=O vsn
wafiost:irke aala
tivefi
wird
die
räumliche
konstante
?, = r/T1
mit
T=p..T^'
z=O wurde
einen
Irn Bild
7.7
und 7 = 5r7-l}z
t{ert
von
tS/rnl
T'=
ergibt
gezeichnet.
sich
der
normierten
Zeitkonstante
Bild
7.fl
angegeben.
l'{it
d.h,
r
= 8116
Emsf.
Irn Bitd
r
= SrlS
Emsl.
vom Verhältnis
Annahme Aala=l
7.9
d.h.
wird
die
erhält
Zeit-
norrnierten
r=(R. *
Im Punkt
gewonnenr
O, llo
keit
der
der
Verteilung
1()0
ß
OQO
a i a
/
ät
i
a
f
k
F
Q
0,3
r
5r
I
fF
-J
r'
iL
F'
<) (a (C\f.l
o o ooea
der normierten
Verteilung
BiId 7.7.
der axialsymmetrischen
T' innerhalb
l.
F'
&
K
U)
o. t
ooo()
i
I
a 6
ooc| o o
fijr
Die
Aa/a
a = 2
[cm]
Abhängignird
man T'=
Abhängigkeit
Rr> /2
der
im
Or?83t
nor-
-0,5
0,2
0.15
Bild
7.1O. Analyse des dynamides magnetischen
Verhaltens
der
in der l'litte
schen Feldes
r=(R_+ R-)/?;
z=0
Abschirmung:
t
2
(aa./a=Or5):
mit
(1) und
angenäa) wirklicher
tzr3)
Vorgänge
herte
der
Näherung
b) Absolutfehler
des
Frequenzc) Ortskurve
gang€rs; E(3orT) =H ( j<.rT) /He
0,1
0,05
0
-0.05
0,2
0,15
7-lt.
Analyse des dynamiBild
Verhaltens
des
magnetischen
schen Fel des i n der
l'li tte
der
Anordnung
r = ( R _ + R _ l / 2 A' z = O
t
2
rnit aala=l=
(1)
a) wirklicher
und angenä(2rS) VorgänEe
herte
b) Absolutfehler
der Näherung
c) Ortskurve
des
Frequenzgenges Et jroT) =H ( jarT) /He
0,1
q05
0
-0,05
101
F
k
mi erten
R /a
prägentiert.
eine
ebene
1
im
stärke
Irn Eren=fall
'
der
der
.Ir
= 1(t)
i (t)
gungselemente
den
Biidern
7.1tla
der
magnetischen
FeId-
(1)
(Verlauf
erster
der
Ergebnisse
?)
Der
wurden
die
Bildern
Übertra-
(Verlauf
Ordnung
m-ter
ge-
der
den
in
wird
Unter-
und 7.1lc
7.lOc
Absolut{eh1er
(2-3)
und
Erregungt
nurnerischen
den Bildern
Appror:iination
?ur
Lösung für
sprunghafter
bei
Verläufe
angegeben.
7, tlb
und
In
r+erden in
wonnenen appro:{imierenden
7. lgb
die
darqestellt.
Ortgkurven
im Forrn der
sich
o ergibt
Abschirmung
im Frequenzbereich
suchung
R.-r
1
angegehen.
Verhäl tni g
I=ü
Ausgleichgvorqlang
Inneren
'/ofli
r= tF, + ftl, /?,
Abschirmung.
rechteckförmige
wird
und 7,1la
d.h.
i n Funkt
Zei tkonstante
3)
angewandt.
bei
Feld
Das elekt-romagnetlschre
7.?.3.
halbgeschlossenen
einer
Absctrirmurrg
Eine
y
Leitfähigl';eit
von
eines
der
der
schnitt
tial
in
des
Berechnung
die
Di ffusionsgl
Die
mit
Leitern
langen
xz-Ebene
die
nur
Laplace-6leichung
wird
Ouer-
den
Vektorpotenwelche
besitzt.
leitenden
6ebieten
die
eichung:
AA
r
PoYn#
in
i t't
dA
.
H,T=6q.-Pou=rtung
muß, wsbei
J.=
in
tet.
Die
Dichte
ist
durch
die
der
l/5o
der
der
Abschirrnung
der
Für
Doppel I ei (7.4'
die
eingeprägte
Abschirtnung
Strorndichte
indu=ierten
bedeu-
hlirbelströrne
6leichung
_
-a/. A
J.=
ää
bestimrnt.
au=
Symmetrieebene
das
z-Komponente
und in
# t t # l *# r ä # l =
{
erfilllen
besteht
rechteckigern
die
bildet
Froblems
vorliegende=
daß hier
A angewandt,
Luft
Doppelbandlei-
Anordnung.
betrachteten
Zur
5o.
dr-trchf Iogsenen
im FeId
sich
Dag Doppelbandleitersystern
unendlich
Fläche
= lr.J
J
7.1?).
parallelen,
=wei
pr befindet
Permeabilität
Stromdichte
(Bild
tersystems
der
und der
der
Abschirrnung
elektrornagnetische
halbgeschlos=ene,
die
beiden
rnassiven
10e
Leiter
( 7. s)
gilt
folgende
Beziehung
F"
L
F
*rt
p,
v
öA
lrE
J - J o
Zusät=lich
muß die
Nebenbedingung
t J dxdy
5
erf i.ll lt
(7.6'
'
(7.71
= I
werden.
f; cl
I
I
'fr 8l
k
n
i
v'
n
fi
6J
r
.
L
ß
F.
Numerische
h
V
ri,
t
Zur
angewandt.
Symmetrie
gilt
der
Lösuno
die
Um den
der
bi.et
innere
das
FE-Verfahren
Rechenaufwand
gering
zu
haltenr
wird
ausgenut=t.
der
zwei
Eebiete
Eebiet
wurde
Vektorpotentials
.im Außengebiet
Rand
teilt:
in
(Bitd
eigentlich
im
ein
Innen-
diskretisiert.
irn Unendlichen
&
und ein
fiJr
das
ein
63
n in
Das
(54O
rnagnetischen
inf inite
l/pn
im
Eesamtge-
Außengebiet.
des
Da
Unendlichen
Dreieckselemente
finite
t"lurde durch
103
,
der
Das Verschwinden
wobei
7.Lzr.
FE-Verfahrens
werden,
verwendet
9[16 lineare,
berucksichtigt,
des
rnittels
Berechnung
dre
Symmetrieachge
der
Entlang
Randbedingung
6ebietes
betrachteten
angenomJnener
Elernenteknoten)
F
wurde
Anordnung
muß bei
in
Feldes
homogene Dirichletsche
Rand des
Endtichen
rnagnetigchen
des
Bestirnrnung
liegtl
I
Abschirmung
Doppelband-
Eine halbgeschlossene
7.L?.
Bild
Feld des
im elektromagnetischen
I ei tersystems
Elemente
(siehe
Ab-
schnitt
4.2.4)
spricht
?war
finiten
Elementes,
erhält
trieachse.
Es wurde
des !ler-
Einfluß
Koordinaten-
des
Nähe
der
Symme-
bemerkt.
ursprunges
Raum, ist
schirmten
jedoch
die
Fall
durch
ebenen
betrachteten,
die
Induktiont
rnagnetische
im abge-
besonders
Vom Interesse,
A formuliert.
Vektorpotentials
magnetischen
des
HiIfe
mit
wurde
Fetdau{gabe
vorliegende
Die
in
Lösung
numerische
die
n auf
von
teg
geringer
sehr
ein
ebenfalls
der
auf
Ergebnisse
besten
die
man damit
s,en haben.
Beziehung
die
(7. A)
(4.?1)
Fornfunktionen
B*
=
B
= -(b.4.
.i
=
*k
b,
=
Yj
und
Der
a.=
45
'
[mm],
hr=
F = po= 4tz.1O-"
Die
Ergebnisge
7.13-7.16
mittlere
*ji
.j
=
Xi
-
yki
bj
=
Yk
-
xki
at
=
t
Yi;
br
=
Yi
die
-
j
r.ii
-
Yji
Lösung der
=eitabhängige
darstellen.
(Be=eich-
gelegt
zugrunde
Daten
fol.genden
7.L?lt
Bild
nungen siehe
-
-
wurden
Rechnung
(7.10)
J
den Elernenteknoten
in
Feldaufgabe
J
buF.kr/(24)t
*
+ b.A.
L
(7.9'
.k Ak, / (?a) ,
*
.j oj
AU im allgerneinen
Aj,
A.,
(., A,, *
L
mit
die
f initen
eines
B irn Schwerpunt'-:t
erhält
k:
i 'j'
Y
wobei
(4.15)
Aptrrs>limationssat=eg
Vektors
des
Komponenten
Elementes
und des
verwendeten
der
Gestalt
der
BeriJckgichtigung
Unter
ist.
bestiinmt
dem
in
B = r o t A = r *# - t " - #
rnan die
in-
bevrie-
Experimente
numerische
einige
wie
aber
Raum jedes
in
Feldverhalten
wirkliche
das
nicht
ent-
ü{ert
Diesern
angenornmen wurde.
n=l
Zahl
die
ar=
tH/*1 ,
der
['mm], hr=
Emml, h== 40
5o
7^= T"=
numerischen
t{ie
dargesteltt.
10 fmml,
2O trnml, ""=
3r7'L0"
irn BiId
7.t3
im abgeschirmten
Zeitkonstante
Zeitverlauf
abhängig.
Der
kreisbogen
der'Ortskurve
dynamische
Verhalten
der
sor+ie
(Bi1d
der
7.14,
magnetigchen
104
?Q fmmJt
tS./ml,
Rechnungen
10 EmrnJt
*.=
Jr=
werden
in
lod
den
Eä/m2) '
Bildern
gezeigt
wird,
ist
die
Raum nur
gering
votn
Ort
charakteristische
zer.tgen davonr
Induktion
im
HaIb-
daß sich
das
Inneren
der
halbgeschlossenen
Abschirmung
tragungselementes
1.
der
ist
auf
Verteilung
die
f,lan kann
tern
dabei
erkennen.
Symmetrieachse
beschreiben
Ordnung
Einfluß
7.l5a-d
des
deutlich
der
mit
Hitfe
läBt.
In
ausreichend
im Schirm
den Skin-Effekt
Die
Verteilung
igt
irn Bild
der
7.16
llirbelströme
darge=tellt.
Feldes
in
den
magnetischen
Bildern
den
induzierten
elektromagnetischen
{Jber-
eineg
Bandlei-
beiden
Induktion
auf
der
angegeben.
I [ms3
13,25
13
a,75
Icm1
12,5
-5 -4,5 -4 -3,5 -3 '2,5 '2
der Zeitkonstanten
Verteilung
7.13.
Bild
im abgeschirrnI
n
d
u
k
t
i
o
n
der magnetischen
Syrnmetrieachse
der
auf
ten Eebiet
x = -{ fcrnl
-o'5
| [msl
20
F
r.
It
-0,5
40
Dynamisches Verhalten
Bitd 7.L4.
(x = -4
Eebiet
im abgeschirmten
a)
b)
Sprungantwortl
des
Ertskurve
Frequenzganges
105
0,5
der rnagnetischen
f c m l ; Y = O t c m l )
Indul.;tion
Et jr^t) = E t jou) /B ( jto=Q) .
b
d
r
F
F
?,,
E:
r.
a .
E'
!,
r
t&
q.
Feide= bei
elel':tromagnetischen
Ab=chir-irrung deg
7.t3Bild
di* Aquis
i
n
d
D
a
r
g
e
s
t
e
l
i
t
E
r
r
e
g
u
n
g
.
=eitharrnsni=chen
einer
= con=t
mit
einem Zut^lachs ÄA =
r7p[:;]-orptrteqitiallinien
lAl
= i o r l " 1 i t - a t ' r . t b . 1 m lf ü r i i i
rrequen=en:
= (O + -1rt-tf itj-a fl'Jb.,'nrli
(l tH=li
a) f =
lAl
= ( r - 1+ 3 . 5 i ' i O - 4
fliJi:r'rnJ;
5f-) tHrli
b) + =
läl
= ( r - )+ ? . J ) ' i ( : ) - ' 0 t H b / m l ;
c) f = 1i:r0tHrli
ltl
d)
f
= ?or:) tH:li
läl
=
t(:l +:.tl)'lt-r-'
106
Itdb/'!rr]-
=0[Hzl
b.
[cml
0
-8
Verteilung
7.16.
Eild
auf der Symmetrieachse
von
Abschirmung
7.2.1.
Eine
aus
deren
urerden.
der
ziert
eine
chung
in
wicklung
f ttl 1t,
Poisonsche
die
Luft,
vorl
^ = 1d'
Vektorpotential
t.
h
*
A verwendet,
Eleichung
d. h.
L
-
ist
d(rA)l
itr
I
l
r
r
af
1
azl rp
L
f
d(rA)
Az
rz-
der
das
die
induEbene.
wrrd
Laplace-61eider
innerhalb
in
-uo'*
=
] I
tu"tAE'
&
dargestellt.
C-Richtung
in
i (t)
zylin-
in
7.17
f o '
p:
u
vsm Strom
hfirbelstromproblems
homogene Dif{usionsgleichung
und die
af
1
arl ftt
in
verläuft
iegenden
t'
F.:
{
r
im Bild
lrr$rzl
Induktion
des
Feldberechnung
Zylinderspulet
einer
Anordnung
der
Perrneabilität
und der
Feld
hfirbelstromdichte
magnetische
und die
Zur
das
wird
Platte
Eeometrie
Die
Koordinaten
dersymnetrischen
In
f
N hlicklungen
bestehende
Drähten
dtirrnen
durchflossen
Leit+ähigkeit
Platte
leitende
eine
durctr
im elektromagnetischen
sich
;r befindet
Induktion
rnagnetischen
ZyJ-inderspulen
der
Platte
Ieitende
der
der
Spulener-
FIatte
in
Luft
in
der
Spule
in
der
Platte
(7.11'
i
mit
J = Ni/S
Im Fall
wendung
und S =
einer
von
(hr.-.h").(Rr-
unendlich
Begsel-
und
Rr).
ausgedehnten
Platte
kann
Fourier-Integraltransformationen
to7
man mit
Verdieses
analytisch
Froblem
ptatte
endLiche
risch
behandeln.
(:.8.
Lösen
kann
hat,
Abmessungen
t5?.1).
Lipilr-siei
nur
Problem
rnan das
Abschirrn-
Da die
nume-
r
t:
*
F
Numerische
Bei
statt
sche
F
in
Lösuno
numerischen
des
Vektorpotentials
einen
952
der
infinite
=
U
eingesetzt.
r'A
offene
Funktion
U irn unbegrenzten
mit
dem Poten=exponent
Das
r+urde
Feldgebiet
(523 Elementeknoten)
Elernente
Elernente
axialsyrnmetri-
vektorielle
Rand begren=te
finite
lineare
für
Hi lf sf,unktion
ktinstlichen
l'lodellierung
6?
tibl iche
eine
wurde
t{irbel=tromaufgabe
dieser
Lösung
der
Problerne
durch
gtrorndurch-
einer
im Feld
7.17.
Abschirmplatte
Bild
f lossenen
Zyl inderspule
zerlegt.
wurden
Au8engebiet
(L/p^ )
von
Zur
n=t
ver-
wendet.
Die
durch
den
von
Wirbel
magnetische
bestimmte
A
I autet:
- t , ' Ii # l
]=
B = r o t A = - 1 " . # * t , . [ 3 * EAA
Induktion
* ' "t l # l
(7. 12'
Daraug
Element
folgen
die
Komponenten
irjrk:
B
= -(c.U.
I
L
L
J
des
Vektors
B
in
+ c.U. + c.U, l/(2Ärl,
J
I
C
K
'+
bkuk, / (2 rr,
B_ = (b. U. * Oj Uj
wobei die
Koeffizienten
b_ und c_ (m = irjrk)
104
einem
finiten
(7. 15)
(7.14,
der Formfunktionen
(7.9-7 - tO,
Gln
der
die
x.y
statt
in
wie
analog
Fri
Veränderlichen
sol l en
Dabei
rnmt werden.
besti
angenorn{nen werden.
entsprechend
Ui"t
f'rrz
der
Auf
grirnden
ist
z-Achse
wird
die
igt
z-Achse
O.
B"=
hier
der
statt
A = O und
Randbedingung
Zur
6t.
aug Symmetrie-
Hornponente
der
Berechnung
(7.14)
Hilfs-
der
Interpolgtion
7.1f3. Ouadratische
Bild
U in der Nähe der =-Achse
funktion
B
auf
Beziehung
folgende
(B
) = r i m [ 3 *o rg g l = ? ] r * #
z r=o
J
Lr
h
I
F
Bei
ausgenutztlementen
in
tig
tion
jedem
r+ird
Funktion
eine
ebenfalls
gewonnen.
Element
zu
ermitteln
der
r+o
Verurendung
der
können.
U läßt
dann
sich
Abhängigkeit
im Form des
Funktion
für
r-+O
U
rich-
Interpola-
durchführen.
7.lEl)
Die
Interpolationssatzes
2
U ( r r z = t r o n s t t- t r r t * P " .
mit
der
quadratische
(Bild
(7. t5)
Dreieckse-
öA/ör
Ableitung
kann man eine
U
r+o
finiten
linearen
lineare
Um die
bJerten von
diskreten
von
der
(7.16)
den Hoeffizienten
u , * " t ? * ,- u ', n t ? * ,
P l =
darstellen.
2
ti*ati*"
Unter
-
U
L + 1
P z =
2
tt*^tt*,
EeriJcksichtigung
man schlieBlich
109
den
2
Fi
*a
6ln
r.
- U.
r.
r.
-r.
r.
L + 2
L + 2
L + 2
L + 1
2
L + 1
L + 2
(7. 15-7- 16)
erhäIt
+ p " r ) - ? j r . -' =
( 8 " ) , ' = o= = : i l #
3:l: äF,,o,
t 3]
Die
den
(Bezeichnungen
siehe
R.= 2o
'
hr=
p =
unter
wurde
Eeispiellösung
65
tmml,
Bild
tH/^Js
H.= 42.1O-'
-'
-lr
Emml, R"=
2Ö fmmJ, d =
T = =,r7'LO"
-q5 -3
gefun-
7.171=
R"= 4o
frnrnl, h"=
Daten
Annahme folgender
(7-17'
-e5 -2
loo
fmm]'
10 fmrn3t
ES/mJ, J =
lod
EA/n21.
- t,5 -1
Zeitkongtante
der
Verteilung
7.t9.
Bild
i
r
n abgeschirrnI
n
d
u
k
t
i
o
n
der rnagnetischen
SYmmetrieachse
der
auf
ten Eebiet
z =- Zlcm)
20
30
-0,5
40
0,5
Induktisn
der rnagnetischen
7-ZO. Dynamisches Verhalten
Bild
(r - O fcml,
z - -2 tcml)
Gebiet
im abgeschirmten
a) Sprungantwort;
B(jco)/B(j(l)=o)'
des Frequenzganges
E(j(lj)b) ortskurve
110
@d
schen
Fel des
bei
des
el ektromagneti
Bi I d 7 .2t.
Abschi rrnung
durch eine leitende
Platte.
Erregung
einer
=eitharrnonischen
= const mit einem Zuwachs
gind- die Linien
Dargestellt
lt'Al
+or4.lü-d
a(r.A)
twbl für diö FrGquenren:
Die
f
b)
+ =
c)
+ =
d)
f
o
tHall
lr'äl
50 tHel;
lr'äl
loo
= 2oo
der
Ergebnisse
7.19-7.2?
ren
=
a)
der
der
halten
der
Induktion
quenzganges
verhalten
der
7.?l
Hilfe
lr'ät
der
einer
=
(o + 614)'1r)-6
EHbJ;
=
(o + 614)'lo-d
(o + 6,4r '10-6
EHbJ;
die
ist
Sprungantwort
im Bild
zeitharmonischen
des
7.2O
ttl
Bildern
der
mittle-
abgeschirmten
abgeschirmten
Ortgkurve
gezeigt.
Erregung
bestimmt
illustriert,
den
Das dynamische
der
und
in
im
Induktion
Punkt
twbl.
Abhängigkeit
= dargestettt.
in.einem
und
werden
Rechnungen
Helmholtz-Differentialgleichung
und 7.22
twbl;
magnetischen
untersucht,
bei
(o + 6rEl)'lo-d
=
7.L?
Veränderlichen
von
mit
tHzl;
Im Bild
6ebiet
wurde
lr'äl
numerischen
gezeigt.
Zeitkonstante
tHzSi
=
6ebietes
des
Dag
in
den
Fre-
Abschirm-
r+urde durch
und
Ver-
Lösung
Bildern
lDlImr]
7. 2. 5.
Zur
ren
rrrrd Schirmf,aktor
Zeit-konstant-e
I{ittlere
Feld
magnetischen
die
beim
urrrd
Schirmwirkung
der
üharakteri.sierung
Induktion
magnetischen
der
Verteilung
Bild
7.22.
auf der Symmetrieachse
reele
dirrensionslose
stationä-
Zahl
(7. 1B)
S = H . / H " ,
der
die
biet
gegeni.iber
der
Bei
einen
Feldstärke
magnetische
E(jr.r)
llan
kann
daß fur
beweisen,
inneren
gibt
Bflr
6e'-
der
Ab-
Abwesenheit
der
elektromagebenso
Schirmfaktor
wie
komplexen
frequenzabhängigen
Kapitel
diesem
in
die
$lert
(7. t?>
= q- (jr.r) /{tjto)
die
wie-
urt
abgeschirmten
quasistati.onären
der
betrachteten
gi lt
Beziehung
folgende
Schirmprobleme
im
bei
der
bildet
Abschirmung
netischen
H,
Feldstärke
wird.
reduziert
schirrnung
H.
Fetdstärke
rnagneti=che
viel
Er
verwendet.
t44l
Schirmfaktor
sogenannte
{ r j o r ) = q ( j o = O ) '
d.h.
der
o.g.
geng F(j<o)
das
Schirmfaktor
gind
irn Abschnitt
auch
beiden
bei
äquivalent.
und der
des
Leitern
untersuchte
Problem
Schirms
die
berücksichtigt
!12
Frequenzbildet
Standpunkt
Vom theoretischen
dargestellte
7.2.3
Abwesenheit
massiven
9(jco)
eine
Ausnahme,
in
Stromverdrängung
werden
milßte.
weil
Die
den
durch-
Pra:<is
der
irn weiteren
r.lird
6rund
Aus dieseln
hat.
Raum
i rn
Fel d
sche
e}ektromagneti
sprüng1 i che
ur-
das
auf
Abschi r-rnung
der
= F(jco)
9(jto)
daß in
bewies,en,
Eintlurß
keinen
Stnomverdrängung
diese
jedoch
haben
E:tperiinente
numerischen
geführten,
angenofn{nen'
t.
deg
Absolutwert
7-73.
Bild
der Abschir{nung
Schirmfaktors
vorn Bild 7.172
E{j<,r)
1-aus dem FrequenEgang
ermi ttel t '
Grund der Zeitkonstante
?-auf
abgeschätrt
[nz]
wobei
+ jor)
F
-a ( j c o ) = l / ( L
5oI1
in
Vorgangs
trornagnetischen
der
5S(jcu) =
t{ie
6 ge=eigt
im Hapitel
meinen
zur
nicht
Durch
werden.
g(j<o)
kleineren
übIich
ausgenut=ten
als
kann
genäherten
(Bild
d.h.
7.23>
Be=iehung
eine
6rund
grötlere
der
(7. ?O) den
kann
=ur
Absolutwert
=urischen
beeinen
Zeitkonstante
demnach die
mittleren
tL3
angewandt
Zeitkonstanten
Neben
von
'lerwendet
Zeitkonstante
des
dern
Zeit-
mittlere
Charakterisierung.
ebenf sl ls
abschätaen.
}tann i m A1 I ge-
schirinnirkung.
bessere
Parameter
und
nur
t7.2|))
Be=iehung
eine
rnittleren
der
Absshirmunqen
rnan auf
a)
(7.?O'
Frequen=bereich
jedoch
ist
5B erhä1 t
'
Näherunql
die
breiten
Schirmfaktor
einfacher
elehtrsrnagneti.schen
Außerdem
und
Schirmfaktor,
konstante
irn
bedeutet
Zum Beispiel
gi}t
jcor)
+
ll(t
l{rei =f requenzen
61. (7-?O)
die
dem schirmfaktor
gtirnmt.
Analyse
=
f-(j<,r)
wurrde,
kI ei ner
rel ati v
i m Fal I
*
Ftjc^r)
el ek-
bedeutet"
Abschirnung
man
seint
Frequen=gang
nichtstationären
eines
Zeitl*onstante
rnittlere
T die
genäherte
der
werden'
und
Schirmf
der
a[:'tors
magneten
werden
zelheiten
s.B.
gung
Bei
verschieben,
Ring
l t
ei ngestel
einem
rnit
kann
(Elbauna t3?l i .
Form
in
einer
zusamJren
sich
gewissen
Ei n I'lodel l
ist
mit
ange-
Kern
läßt
im
l(urz-
Kur=schluß-
einem
an
Kur=gchlu8ring
versshiebbaren
von
FalI
und
h:oanial
Verzögerung
die
wodurch
werden
Hi I f e
Hsnstruktion'slösung
entsprechender
verzögerte
rni t
wird
vorwi-
eineg
Die
im einfachsten
Erregerspule
Beschleuni-
Die
angef ertigt
bzur. Aluminium
lossenen
strorndurchf
bracht.
ten
l r - u p fe r
aus
Buchse
l'lallnahmen (Ein-
Einsat=
Kurzschlußring
Der
werden.
ausgenutzt
ringe
6leichstrom-
erfolgen.
dagegen
wobei
erreicht,
schlußwicplungen
den
durch
wi rd
El ektrornagneten
des
bli rkung
kann
RC-Kornbination
einer
bzw.
von
verwendet.
KaLLenbach t45l)
bei
Gleichstrom-
schaltungstechnische
einige
u.a.
einem
Verhaltens
dynamischen
ijbergangsprozesses
deg
derstandes
der
des
Beeinflussung
Zur
in
Änker
feststetrendern
bei
rnagnet
FluBes
nragnetischen
des
Zeitkonstant-e
7.g.
der
Bereich
deg
Topf magne-
im
BrId
7'?4
It.
dargestef
/*
I
\
l{ur=verschi ebbarem
mi t
Topf rnagnet
Bild 7.24.
E
r
r
e
g
e
r
s
p
u
le;
?
Hur=schlutßring;
1
schl ußri ng:
A
r
b
e
i
t
s
l
u
f
t
s
P
a
l
t
4
Anker; 5
Gehäuse;
3
Unter
man das
durch
Verhalten
Gesamtverhalten
r+ährend des
die
Prs=esse
bestimmt
im Bild
magnetischen
auf
In
wird.
die
diesem
Dynamilt
7.?4
ge=eigte
Kreises
mit
deg
tt4
welches
Au=gleichsvorBangs!
Abschnitt
ist
Erregung.
rnechanigcher
und
t"lird
der
ein
Eirrfluß
von
untersucht.
Elektrornaqneten
Anordnung
verteilter
versteht
Elektromagneten
magnetischer
elel:trigcher,
Kopplung
hlirbelströrnen
Die
des
dem dynarnischen
Eeispiel
Urn
den
eines
magneti-
ö,
schen
Fluß
=uer=t
das
hat
tial
wie
die
Luft
die
Laplace-,
in
die
den
leitenden
Di f f usi onsgl ei chung
die
Poisson-
f-Homponenund
die
in
homogene
erf ü1 I tist
Fluß
magnetische
eine
(1!3t4)
de5' Elektromagneten
Teilen
nur
spule
der
in
tJehtorPoten-
Das
werden.
Erregerstrornclichte
ebengo
te,
Der
A gefunden
Vel:torpotential
soll
können,
=u
bestimmen
im Arbeitsluftspalt
Be=iehung
die
durch
0.?t,
ö = S A'dl
L
d. h.
bestimmt,
gender
Abhängigkeit
statt
Für
S
Numerische
wegen des
iegende
verl
Vorhandenseins
eine
Eleichstromrnagneten
nehmen.
Ar-rf der
bedingung
nite
=?zU
zu
r'A
berechnen'
Q.?31
:
Lösuno
das
Obwohl
a
=
U
üblich'
es
ist
Aufgaben
sfunl';tion
Hilf
sich
Dann ergibt
i!" aus fol-
(7.3?)
axial=ymmetrische
A die
Funktion
der
Fluß
O = A'?nr
a
werden.
berechnet
der
kann
tspalt
dern Arbeitsluf
in
A=O.
Elemente
Prohlern
eines
peF.neablen
rnit
Berandung
Symmetrieachse
der
Eebiet
Das betrachtete
(4?B Elernenteknoten)
Randbedingung
wurde
die
in
unterteilt'
vr
T
Eebi etes
t--l
t5./ml
1
?
3
4
5
I
I
5ü0
500
1
deg
i7 .to6
tCu)
l3 '' '1"o1 ] ( F e )
o
115
)
marl
A = t Ja n -
homogene Rand-
??3
Tabel l e 7. 1. Sto{f r.rerte des El ei ch(Nr.
6ebietes
des
=trommagneten
siehe Bild 7.?4,
Nr,
'k*nn
altßerhalb des
Gehäuses
ebenf alls
gilt
ist,
of,f en
räuml ich
lineare
fi-
{ [rnsl
?7,s
25
22,5
2A
'17,5
.t0
2A
50 6A 69
40
30
Arbeits
des
Bi 1d 7. "5. Abhängi gkei t der Zei tl':on=tante
(Punkt
rnagneti=chen Flußes im Arbeitsluftspalt
1 und ?) von der Lage des liur=schlußrinqes
Die
perewindungszahl)
von
llm-
van
Arbeitgluftspalt
und der
=5t10 tAl
(die
Durchflutung
rnagnetigche
Eg ururde die
zusärnmengestellt.
7'1
Tabelle
in
=ind
Stofft+erte
angencirnrnenen
Rechnung
=ur
ö
frnml varausgesetzt.
der
Ergebnisse
7."3-7.?7
präsentiert.
mittleren
Zeit-kanstante
von
der
stel
l ung
Verschiebung
deg
des
L r r nr
größer
(je
der
= Br2B
nach Lage des
mittlerpn
Arbeitsluftspalt
im .6ebiet
und
Ri ng
der
ergibt
im
=ich
Im Bild
Ringes).
und im Bild
i n der
dernselben
mit
7.77
der
Abhängigfieit
Die
e:ttrern
I i n l:en
ist
7.?6
6Ieichstrommagneten
116
der
Arbeitsluftspalt
ge=eigt.
eine
Verlauf
Fi.ldern
den
in
sie
2!4
der
dargestellt.
big
die
igt
Nul1Lage
Zeitl,:en-
rnittlere
und deg rnagnetischen
Zeitkonstante
des
die
ist
Kur=schluBrinqe='
=i ch
tmsl
werden
Fluß'verlaufes
trhne Hur=schtußring
stante
csnst
7.?3
Iin Bild
da8
hedeutet,
befindet.
lung
ltechnungen
numerischen
-1 rrial
Vertei-
Flußes
Linien
r'A
im
=
27,5
25
22,5
20
v,5
ÖqIt\'/b]
a) der
Bild 7.?'b' Verteilung
rnagnetides
Zeitkonstante
b) des magneschen Flußes:
im ArbeitsFlußes
tischen
mit 2r = 3315 [mm]
luftspalt
= const
rA
der Linien
7.27. Verteilung
Bild
Zustand fi.lr die Durchf Iutung
im stationären
die
Linien
sind
6eseichnet
von ?5OO tA'1.
dem Zuwachs
rnit
twbl
r'A = (o + 1rT)'lo-'
'tulbl
+o, 1'lo-'
von
t17
All.geneines
7.1.!.
ührt.
durchgef
(1?El6-El9)
dann
(Dtrnad
Forgchungsarbeiten
ge
der
Anpass,ung
die
dung
von
Auf
ventilen.
men deg
eingestellt.
der
Lieferung
Die
aktuel
so
haftr
zur
Beschädigung
ist
die
Anwendung der
richtigen
Ausgteuerung
der
tB5l.
EZTR-Satzes,
Eine
der
zur
tralheizungsinstallation
u.a.
mit
hfirkung
folgenden
su große
Eine
der
der
den
in
basiert
auf
wurde.
von
Diese
ssli
mangel -
si e
Thermoregler
dagegen
6rund
Aus diegem
Zur l
auftre-
Regel ungssysteme
der
Vorlauftemperatur
ausgestattet:
114
ist
und
Fernheizungsknoten
Lösungen
Teilanlagen
Benoh-
erforderlich.
edene
entworfen
der
lrlärmemenge kann
verschi
der
Anwen-
Räu-
o.g.
der
werden
Regelung
durch
einzelnen
hfi rd
Regelungsstufe
sweiten
bildet
Thermoreglers
fi.Jhren.
Inneninstallatisn
lrfärmeaustauscher
verwendet
von
auf -
Temperaturabfall
Stufe
geliefert
entsprechen.
der
Fern-
Ffärmemenge abhängig.
ni ssen
unabhängig
ein
tenden
des
den Fernheizungsknoten
aus
I en l{ärmebedürf
tritt
hfirkung
richtige
der
Regelungs-
Bedürfnissen
individuellen
den
in
Temperatur
die
wird
ent=prechenden
einer
lrfärmernenge wird
den
nach
Eebäudes
ner
lrleise
diese
großen
f
Therrnoregelutngs-
angebrachten
dem Hei.=körper
auf
direkt
eines
Räurnen
behei=ten
in
t{ärmeveirssrgungsregelung
Bedarf
tatsächlichen
(niedrig=te)
erste
Die
werden,
verwendet
stufen
ständi-
eine
(ilbergeordnete)
daß drei
darin,
besteht
hei=systems
ir.
erfordert
Homplexautornatisierung
Die
Bbjekte.
beheizten
!
lt.
dargestel
an den
hfärmeversorgung
einiger
Ergebnisse
die
hlärmeenergie
mit
l{irtschaften
Sparsames
t31l )
CPBR 5.1.4
Programrns
werden
u. a.
PR-B
Regierungsprogramms
zentralen
Abschnitt
diesem
In
realisiert.
irn Rahroen des
FernwärrneverEorgunqssy-
des
im Rahmen
vottl Heiz-
des
am Beispiel
For-
(blarschau)
Fernheizung
gespeisten
Pomorzany
(198?-85)
zuerst
stems
-
des
Auftrag
im
die
wurden
Forschungen
Die
EC II
kraftwerk
für
Entwicklungszentrums
und
von
Automatisierung
der
Arbeiten
verbundenen
Fernheizungssystemen
schungs-
rnit
die
werden
TU Szczecin
An der
und
"Yitte-
elektrischen
aktiwen
eines
Verhalten
Das dynamisctre
rrrrrgsf ürhlers "
7.1.
Der
Anwendung
des
der
Zen-
EZRT-Satz
prird
in
-
elektronischer
-bleida) t
-
elektrischer
HTO - Zavody
Klimact-Schubantrieb
Priemyselnej
Autornatizacie
-
(Herstel
3t/n
-
gung
von
Probl Ffne, di e i n dem vorl
rnit
sind
der
rnometer,
z. B.
thermischen
zur
Bedingungen
in
des
strahlung
abhängen-
gen zu
ters
ein
z.B.
der
von
von
das
beheizte
derungen
auf
die
benutzt'
lOO)
während
Temperatur,
der
Eebäude
entsprechen
Fühler
reagieren.
Au8erdem
von
auch
Räumen
Luftfeuchtigkeit
sionnenein-
und
berücksichti-
Faktoren
Außenbedingungen
atmosphärigchen
Zu
Eebäudes'
(Pt
t{indstärke
dieser
Urn den Enfluß
die
Widerstandsther-
erwärmten
den
dabei
ist
erwärmten
der
I'tessung
Temperatur-
Thermome-
elektrischen
deg einfachen
statt
soll
"Witterungsfühler"
angewandt werden'
aktiver
soll
Der
des
Regelung
der
einiger
Interesse
werden
t
ktrrnen,
ler
-
oder
Eebäudes
au8erhalb
Bei
elektrischen
die
wie
Faktoren,
anderen
vielen
nur
dienen
verbunden.
Platin-t"leßwider=tand
einem
mit
Fleßfuhler
Diese
au8erhalb
gewöhnlich
Zweck werden
diesem
behandel
großem
von
Luftternperatur
Abschni tt
l'lessung
die
wird
erforderlich.
l"lessung
i egenden
Regelungsstufe
=weiten
der
Zentralhei=ungssystems
vorgänge
die
reali-
und
wird.
siert
des
gep}ant
l{ettercharakteristiken
bestimmten
Berilcksichti-
unter
und
hlettErPrognosen
den
nach
wärmeerzeugung
Ho dre
Hei=werkr
im
sich
befindet
Regelungsstufe
dritte
Automatyki
RP) verwendet'
I'IERA-POLNA PrzernySl'
Die
(Zaklady
?O.OOOA
Stellventile
die
werden
Zusätzlich
des
Temperatur
I'IERA-KFAP KraF;öwr RP).
(Hersteller:
TOP-E3
z.E.
hfärmeträgers,
ToPO-
z-8.
geregelten
der
l"lessung
zur
Temperaturfijhler
öSFR) '
RP) t
I'IERA-KFAP Krak6w'
ler:
Zavody
KTI
Außentemperatur,
der
l'lessung
zur
Temperaturfühler
(Hersteller;
llnonice;
Presov,
Dulka
vEB tdetrsn
KTI
bzw'
KTtl
AutomatiEace
Friemyslove
(Hersteller:
R-3O4
R-3O3 bzw.
Regler
muß er
Der
Füh-
ähnlich
wie
Anfor-
weiteren
t31l:
rnu8 an den
vorhandenen
angepasst
Temperaturregler
werdenl
-
Der
Fühler
geflr
reicht
soll
was durch
wird.
dynamische
t]ber
variable
ein
zusätzliches
Dank dieser
soll
verfü-
System
elektronisches
Eigenschaften
119
Eigenschaften
im
Fal1
ereiner
fl
\
!
tr
nt
p
Steigerung
p1öt:lichen
des
Ansprechen
-
systern
vor
werden
l*ann;
Der
Fühter
kung
der
und gefährlicher
mit
einem
die
werden,, wobei
F
F
ii
E .
hei=ers
Bedingungen
und
da= o. g.
durch
der
des
Feuchtigkeit
steigen
sot^rie der
sind
wird
di e Resul tante
Der
Fühler
stattet,
ist
des
inentellen
Fühlers
die
und theoretigchen
u.a.
grarnrn wurde
Simulation
die
Abschnitt
die
zuerst
werden
dargestel
den Auftragsberichten
Hitwirkung
Durchführung
zu
können,
einer
Reihe
dieser
finden.
teo
von experieiner
rech-
Simulation
Füh-
FE-Computerpro-
Heßfühlern
Ergebnigse
Beim
entworfenen
bearbeitete
Ausf ührl i che
t31l
des
der
soll
verfÜgen.
Danl<
Eigenschaften
dern =usät=-
i st.
z.E.
hergestellten
1t.
mit
Forschungsarbeiten,
nLrr einige
ausgE-
R-3OS änge-
Regler
Eigenschaften
Das vom Verfasser
deinnach
Ternperaturfühlern
erforderlich.
dynarnischen
an den
Untersuchungen
in
war
ge-
Fal*toren.
gewährlei=ten
dynarnische
der
Anderung
bi ldet
Ternperatur
vorgesehen
Hitwirl*r-tng
abgeschätzt.
die=em
Systern
der
Zahl
FIatin-l*leßwiderstand
dr-irch den
für
(Nu)
Nugseltsche
cr. Nach
Diese
eweite
bestiinmte
nergestüt=ten
lers
(Re) und die
die
50
Windgeschwindigkeit'
die
an den elelrtronischen
eine
und der
richtige
über
wurden
e.B.
der
und
hlindstärke
der
unabhängigen
:wei
el el':tron i schen
Entwurf
von
atrno=phär i =chen
mit
der
wird
Um eine
Fühler
auch
aI I er
wobei
schlossen
I i chen
Steigt
.;errnindsrt.
rnessene Temperatu.r
t'likro-
elektrischen
des
Wärineübert-ragungsl"-:oef f izient
Randbedingungen
er-
hfiderstandshei=körper
Die
wird.
Systern geregelt
"
l
.
f
i
t
t
e
r
u
n
g
s
f
ü
h
l
e
r
"
dein
zwischen
indirekt
Reynoldgche
die
deE
Ausstattung
elel,:trsni=che
abhängig.
auch
die
durch
trlärmeleistung
lrlärmeaustausches
Umgebung
Schwan-
kurzfristige
und
zusät=lichen
!;
Fernhei=geschiJtrt
Druck=unahme
kann
Fühlerg
des
vereögerte
das
wodurch
werden,
bewirkt
schnell
lrfirkung
das
Außenbedingungen,
veränderliche
"ab{iItern".
Außenbedingungen
ssll
Thermometers
reicht
Reglers
Belastung
aktive
Die
der
der
Inf ormati
getestet.
In
durchgeführten
onen
l.rann
rnän
'-
:s"qfr4rj'
PrinzipieJ-ler
7.4.2.
"tit,tertrngsf
ühIers
"
ei nes
" hfi tt erungsf
chungen,
des
.rorgeschlagenen
E31l
urbi ldI ichen
i rn B e r i c h t
"
Vereinfaüh I er s
kann man!
nach
Annahrne einiger
6rund
Auf
Ärrf barr
a " "E!f
1--
das
i in Bi Id
ten.
7.7A
Hsdell
dargestellte
des
Fühlers
erhal-
*:
Bild 7."EI. I'todell des prin=ipiellen
"lrli tterungsfühler5"
Auf baus eines
:
1 - Hessinggehäut=e;
? - StahIgehäuse;
3 - Heßwiderstand
t4€t
10t));
4 - Scheibel
5 - Hikrshei=er;
S u n d ? - L u f t ;
7 - Kunststsffuntersat=;
I - Umhül1ung
Der
se
Fühler
gus
besteht
ei ngesch I ossenen
Teil
des
bracht.
unten
mit
ururde ein
l"leßanordnung
I'iunststof
einern
in
einem
=ylindrischen
( $,et
Fl at i n-Heß wi derstand
Stahlrohres
Diese
einem
elektrischer
bef indet
f untersat=
gich
in
Stahlgehäu-
1OO) .
Auf
l''likroheizer
der
verschlos--enen
Hitte
eines
ei nern
angevon
l"lessinggehäu-
5e5.
Die
wird
theoretische
unter
Analyse
folgenden
Begründung
wurde
in
-
durch
die
hleil
die
derungen
iin Fühter
des
nichtstationären
Arbeit
t31l
angegeben):
Ar-tllenbedingungen
relativ
aIs
temperaturunabhängig
ein
lineares
klein
betrachtet
Randwertproblern
verursachten
sindr'
werden
und die
behandelt;
721
(ausfiJhrliche
durchgeführt
Vorausset=ungen
der
Temperaturfeldes
Ternperaturändie
Au{gabe
Stoffwerte
wird
als
'
-
Die
durch
tenden
den
von
tSBl)
ist
geschlossenen
-
die
lrlärmestrahlung
in
Der
Wärmeaustau=ch
auf
nur
auf
lässigt
der
aus
kann
Die
l*ondutrtive
freien
als
auch
el d T r+i rd
wobei
elektri=chen
l"tikrshei=ers
Die
T erf ü11t
Funktion
aus
die
eine
er=wungenen
Nr:11
= or(Ta
\grad,.,T
Tä
wobei
7. 4. 3.
die
deg
rnenteknoten
unterteilt-
werte
in
=Lr 1?5
557
in
Die
7.3
Der
ksnstante
blärmeübertr-agung=!::trefii=ienten
von
Hichiej'ev
(f reie
abgeschät=t.
rnerischen
Die
die
im
drrtter
{7.':4i
der
wurden
dirnensisnslosen
Irn weiteren
Er:p=rirnenten
werden
tfür
prä=entiert.
t22
der
31tf
th,l
Ei eSt':f filEr-
ftnardnung
wird
(Q,
nach
dag
Luft
gespei
l*li ]':rshei -
=te
3'4Ei tHt^r/m3l).
den
Ee=iehungen
(eF=wungene
Flenn=ahlen:
die
rri'i
angenornrnenen
und Hr Lpert
tionvehtion)
wurde
Elemente
Länge
ü'46
von
Leistung
Die
tSAl
=si].
!
Gl ei chstrorn
mi t
hat
6rund
T)
iusamrnengesteilt
vorausqeset=t).
[rnm] angensfnrnen.
auf
-
de=
werden
Randbedingung
Ausvrertung
eur
reF
tion)
ei chung
Qn, auß=rhaLb
angencmrnen
f inite
l ineare
Tabelle
der
hferte
die
=owshl
Konvekti.on.
Randwertproblems
axialsyrnmetri=chen
Gebiet
den mittlere
folgt
Experimente
betrachtete
=ind
vernach-
ist-
AußentemPeratur
Nrrmerische
Lösung
Zur
Tempera-
lrfärinel ei tungsgl
die
Art
verläuft
Anf angsbectingung.
begtirnrnte
und
dabei
wird
Fühlers
hlärrnequelldicht=
wird
dar-gestelIt
näher
Es
den
in
hlärineenergie
Hi 1f e der
glei.ch
u.d.
Gröber
Wärineübertragung
mi t
auftre-
dem betrachteten
der
der
der
Konvekt"ion
deg
Außenfläche
Wege. Bei
Produkt
beachtetl
nicht
Ausstrahlung
die
beschrieben,
weiteren
der
werden.
Das Ternperaturf
(?.31)
Spalten
konvel':tiven
einern
tr-trbereich
den
nur
entsprechend
=.8.
erforderlich.
nicht
Luft=palten
freien
der
BerrJcksichtigung
die
(siehe
und Kraussold
Jakob
d'h'
Gr'Prtl1ooo'
Außentemperaturbereich
Kriterien
das
erfolgt
dem pralttisch
in
Zahlen
Prandtlschen
und
ist
Fal1
Im betrachteten
Wärmeleitung.
Erashofschen
Luftspalten
inneren
den
in
Wärrneübertragung
ql4r-'
6rrFrrRe
Ergebni=ge
licnvekund
';sn drei
Nu
nu-
Stof{werte
Tabel]-e 7.?.
(Nr. des 6ebieteg
siehe
Nr.
des
t t<g./m3I
1
2
5
El5?O
78 6'0
=400
1400
a9?o
1. 124
?,g9o,
417
5
6
B
I
Untersucht
wird
temperatur
des
545
461
tlberal
I
er' nen
vor
tbl/ (m'K) l
*
1507
41{)
10()5
1 1 O r6
40.O
1rO35
o.357
??t7
(), o?E|
206, O
oro27
a7i
1005
Heisers
Übergangszustand
il
derr Einschalten
kongtanten
Bi 1d 7 .2?. -Di e TernPeraturvElr(t'Jcl)
im Ftthler nach
teilung
für
Heizers
Einschalten^deg
=
f
"
c
l
23.9
T
a
a) cr = 15rs Ew/ßl'K)l
b ) a = 7 5 r 5 t h f / ( r n z' K ) l
ühl ers"
.
deg elektrischen
trlärmefeld
Flikroheizers.
}
to?o
l! 164
das
p
{ kg 'K} I
tJl
Das Einschalten
I:
schalten
c
P
Eebi etes
Experiment
des "Witterungsf
Bi td 7.?8)
lrfert
weist
T = Ta=
nach
die
const
EinInnenauf '
der ZeitBild 7.30. Verteilung
(E:<Periment I)
tHin.I
konstante
a) cr = 15,= Ew/ ( :ml'K) l
b) cr = 7515 ttrf/ (m2'K) l
teg
die
wobei
Außentemperatur
des
während
23!9
T.=
Experiinente=
toCl
beträgt.
der
Ergebnisse
und cr = 75rS
Im Bild
tiert.
7.30
des
Verteilung
die
nung
betrashtet
Zeitkonstante
Filr
Die
wird
mit
? = const)
(Linien
ot = l5r3
erhäIt
ttrf./(m2'K)l
im Raum des
im RaUm
Orddie
rnan
Zeitkonstante
und
verglichen
den l'leßergebnissen
Bild
Platin-bJiderstandes
dieser
die
Sprungantwort"
im
1.
Übertragungselement
als
präsen-
Zeitkongtante
der
Bestimmung
Nach der
l'littelwert
ist.
6.g? tsl
entspricht,
7 .3L
der
werden.
deren
Zeitkonstante,
=
die
näherungsweise
Fuhter
der
und
Ternperaturverteilung
ist
dargestellt.
Ftihlers
kann
t
7.2"
thl/ (m2'K) l
15'3
7.?9-7.3L
den Bildern
in
werden
tW/(m2-K)l
cl =
mit
Rechnungen
numerischen
im
BiId
gezei gt.
Nichtstationärer
7.31.
Bild
tExPeriTernperaturverlauf
ment I):
t IMin]
E:<geriment
II:
eingeschaltetem
Flikroheizer
wird
der
Außentemperatur
angenornrnen,
Vor
Zustand
berechnet
numerisch
e:<per i mentel I ermi ttel t
Außentemperaturschwanlcung
Die
Bei
tionäre
1 2 -
(Anfangszustand)
eine
wird
dem Experiment
durch
die
i{nderung
sprunghafte
Leistung
des
der
sta-
Hei:ers'
außercr und die Luftternperatur
den Wärmeübertragungskoe{fizient
Nach der AußentemperaT- = 23.-g CoCl bestimmt.
halb deg Filhlers
turschwankung
zu beobachten.
tul/(m2.K)l
(T.
=
Die
lr5
totrt)
Verteilung
und cr = 7515
ist
der
r W Ut r n 2 . H l I
t?1
di.e Di*fusion
Linien
ist
des
T = const
im Bild
7.3?
Wärmefeldes
fiJr
a = 15rS
dargestellt.
der ZeitVerteilung
Bild 7.3?.
(Exper
i ment I I )
I
n.
tt"li
konstante
a ) c r = 1 S r 5 t W . /t m : - K ) l
b) a = 7513 [bll (m-'K) ]
[uin]
BildT.sS.NichtstationärerTemperaturverlauf
(Experiment
II)
I 2 -
berechnet
numerisch
ermittelt
experimentell
125
gind
7.33
Bild
gebnisse
tel
(S).
a
1. 1174' 10-
=
E,
^
= 7tO?76.'10-
B
irn Anhang
(81- (83) )
Inte-
F{eBwiderstandes
be-
wurde
= t
ts- I
(Proportionalglied
m eine
l'lodel1
diesem
die
von
Parameter
angegebenen
Parameter
der
unktion,
Ltbertragungsf
Die
ist
ordnung)
m-ter
Verzögerung
Kapi-
,
t'lodell
3.
das
Für
Übertragungsfunktionen.
wird
l"leßer-
irn
die
tW/tm2'Kll
15'3
tsl
7.5
Tabell-e
der
in
die
folgen
cr =
G
f
des
im 6ebiet
6*
von
Annahme von
mit
Zurn Beispiel
stimmt:
Zahl.
die
Von besonderem
l'lornente 6U ausgewertet.
Flittelwerte
die
sind
Daraus
und
=usät=lich
wurden
Experiment
vorliegende
6 eingeftlhrten
resse
Irn
]-LLT tsl'
dargestellt.
das
Ftir
15. 5
appro)<imierenden
Brdnung
1.
Verzögerung
mit
übertragungselernentes
T =
den Fühler
des
Sprungantwort
die
von
=
ot
f ür
{nan
erhäI t
Im Eeb i et deg Pl ati nwi dergtandes
der Zeitkonstante
den l'littelwert
tbl/(m2 'H)l
mit
ganze
nicht
entspricht'
angegeben'
von
Parameter
Übertragungs-
Die
7,3
Tabelte
approximierenden
K t=)
funktionen
a
Parameter
l{ ts)
cl
I
1 + s z
e x g' ( - s z
-T-5;
o
T =
1€l'37"
T
5" 54"
)
(l + sz)-
Strrunghafte
gungen
III:
Die
ltnclerung
auf
die
der
Anderung
sem E;rperimentvorausgesetzt
ffl
=
I r 602El
T
=
11'57"
l\nderung
hfindgeschr,lindigkeit
der
trfärmeaustauschbedin-
einen
hat
Wärmeaustauschbedingungen.
der
die
und
14'43"
T
1
Exoeriment
o
sprunghafte
ein
Anderung
Ausgleichspro=e5s
1e6
des
direl*ten
Es wird
Einf luß
in
die-
Koef{izienten
untersucht.
Die
o(
Außen-
T"
konstant
ist
temperatur
= "o
vrährend
tCIcl'
?o
von
gungsl:oef f i = i ent sprunghaf t stei gt
tW/ (m2 . K) l. Die Vertei lung der Zeitl';ongtante
ren
Temperaturfeldes
stel
tt.
standes
Flittelwert
ist
z = 64El tsl.
nirht=tationä-
des
darge-
7'34
im BiId
im Raum
Zeitkongtante
der
Der
Beispiel
dieses
für
ist
hfärmeübertra8o
auf
EW/ (m2 'H) ]
der
F{eßwider-
des
ä.
Bild 7.34.
te tHin.I
der
Verteilung
(E:tPerirnent III)
Zeitkonstan-
dargestellte
Verteilung
r t J * t
der
den Bildern
in
Die
he der
die
störungsquellen
Richtung
der
der
l,litte
II
I,'
Anordnung
(Bild
7.32,
treten
Ausgleichs)
auf.
Diffusion
(Experiment
zers
ten
des
Dauer
Bild
der
werte
kleinste
Die
terpretation.
kteinste
im Fühler
Zeitkonstante
mittleren
und 7.34
7.37
7.3O.
wobei
zeigt.
7.3O)
die
hat
eine
physikalische
In-
(d'h'
die
in
Nä-
Zeitksnstante
erwartungsge;näß
zunahme der
Beim Einschalten
gteigt
die
Zeitkonstante
des
Zeitkonstante
(hlärmequelle)
nach außen. Bei
'(Bild
wurde
7'34)
und III
der
Hikroheivon
der
den Experiinender
Ausgleich
diet{ei1 in
verursacht'
die Anderung der Randbedingungen
:
a r - r ft r i t t '
Fühler
den
in
der störung
das Eindrinden
5en Fä}len
der
auf
NeFt
kleingten
den
Zeitksnstante
nimrni die:nittlere
durch
Außenfläch'e
an und
steigt
im
Inneren
t?7
des
Fühlers.
Die
schen
in
leranalyse
(u. a.
Fehler
aufgrund
gegentiber
den
\Verfasser
durch
einerseits
Nichtberticksichtigung
der
anderseits
durch
und
verursacht.
effizienten
Brochnantz
t6l
behandelt.
eindimensionalen
rungsthermometern
Es wurde
ten
a auf
r.r.ä. der
die
ähnliches
Die
Arbeit
Ergebnisse
von
der
wurde
der
Ko-
wurde
auch
von
der
nichtstationävon
numerischen
t2a
sowie
Lösung
des
Berühgewidmet'
Differen=enverfahrens
Stoffwerten,
hlärrneund
Problem
t6l
Der
stoffwerte
Übergangsfunktion
der
des
mittels
Einfluß
genaue
nicht
iJhrt'
Vereinfachungen
und
Nichl inearität
Ein
Analyse
durchgef
t31l
angenomtnenE}n
die
Feh-
ausführliche
Die
I'teßwerten.
einen
l-lodells
vereinfachten
des
im Bericht
der
hat
wurde
strahlung)
ren
haben
numeri-
der
Ergebnisse
dargestellten
Abschnitt
Feldanalyse
gewissEtn
Fehler
dresem
Koeffizien-
dlskutiert'
DER
TERTUNG T'ND VORSCHLAGE ZI.'R FOIITFÜHRUNG
ZI'SAXXENFASSENDE
A.
ARBEIT
von
Diffusionsprozessen
von
dung
einf
i.lhrende
Aussagen
senden
in
der
=ur
l'lethoden
der
Lösungsweg
Der
Inhalt
1.3
gestellten
des
von
konstante
fasser
l'lethoden
ei ne der
Hi t f smi ttel
(=.Et.
die
wandt
wird.
Die
den
wurden
Verwendung
Lösung=rnethoden
ei ni ger
statten.
Die
zwei
der
=ur
Varianten
rnodifizierten
Behandlung
Kenngröß'en,
erste
wi e:
Variante
Besti
zur
Eebe-
der
und
Zeit-
mittleren
vom
neuet
rnuß,
wurden
Die
Aufgaben
ange-
Tot=ei t
Verzögerufig,
in
einiger
sich da-
?
und
der
4.
welche
Algorithmen'
und
als
Raumlösung
anhand
Randwertproblernen
besteht
Ver-
wobei
6 verbindet
Homentenmethode
129
wurden
Literatur
Finite-Element-l"lethode)
numerigcher
von
wurde
Abschnitt
im
Jn.nung der
formulierten
1.3
irn Abschnitt
besprochen.
vorgeschlagen.
Das Kapitel
erläutert.
einige
dargestellt.
den
werden
Algorithrnen
dargestellten
Berechnungsbeispiele
nung
bzw.
Finite-Differen=en-
3
Anfangs-Randwertaufgabe
keine
Eur
l'lethoden
Fel-
Außerdern
der
6rund
gelöst
Randwertaufgabe
die
Verfahren
mit
Algorithrnen
daß
darin,
sich
besprochen
numerische
2 Hurden
Pro=esse
Bestimrnung
rur
Iö-
Feldaufgaben
Auf
Diffusionsvorgängen
eine
nur
4.
zu
die
Kapitel
im
gewidrnet.
bffenen
und
von Diffu-
Differentialgleichungen
I
sondern
mit
parabolische
Aufgaben
bestehen
Erarbeitet
und
Entwick-
nichtstationäre
verwandten
5 verbindet
Algorithmen
mit
Im Kapitel
welche
Kapitels
bearbeitete,
gegen
sowie
meist
bei. räumlich
bisherigen
die
Gegenstand
Anfangs-Randwertar-tfgaben
schriebenen
kurz
der
dynarnischer
eini€Enr
durch
von
handlung
Analyse
Eharakterisierung
4 wurde
Das Kapitel
numerischen
beschreiben
enthält
den
der
formuliert,
Eletttrotechnik
zu
und
dargesteflt.
Arbeit
der
Aufgaben
Dif#erentialgleichungen
der
auch
Es wurde
sionsproEes,sen.
1
Kapitel
Das
Stand
zum aktuellen
dem Eebiet
auf
lungstendenzen
Kapitel.
acht
aus
besteht
Arbeit
Anwen-
Felder.
nichtstationärer
Die
Analyse
Charakterisierung
und
Untersuchung
=ur
Hethoden
neuen
der
Darstellung
der
neben
der rechnergestützten
dem Eebiet
- die Erarbeitung
und praktische
auf
Situation
aktuellen
-
ist
Arbeit
vorliegenden
der
ZieI
einer
die
der
Eerech-
u. a.
numerischen
geBe-
stimrnung
des
Anf angs-
Augwertung
der
modi-ti=ierten
durch
die
Lösung
sol1
der
chung
interpoliert
aurch die
schlieGlich
Verfahren
rischen
wurden
-
-
in
of fener
l'lagnetfelder
tischen
Abschirrnungi
Die
des
Zeitkonstante
Das dynamische
beiden
nume-
Im Kapitel
diskutiert.
7
Hetho-
5 und 6 vorgeschlagenen
und
begren=ter
Flußes
magnetigchen
räumlich
elektromagne-
eur
Anordnungen
einiger
Verhalten
Die
ermitteln.
behandelt:
einem
in
6leich-
Anker;
feststehendem
bei
und
räumlich
Verhalten
Das dynamische
strommagnet
-
prJnferne
pral*tische
den einige
und
I'tomente
modifi=ierten
an Beispielen
den Kapitel
in
gefunden
Frequen=en
des
Kenngrößen
wurden
der
mittels
o.g,
Variante
=weiten
gewonnenen l.ioef+i.=ienten
rnan die
kann
Interpolationspolynomes
der
Hilfe
Hit
der
rekurEtrren
der
Helmholtz-Differentialglei-
kleine
sehr
für
werden.
Eei
l'lomente.
komple:<en
der
Frequen=gang
sowie
End=ustandes,
und
aktiv€ln,
eines
elektri=chen
"ttlitte-
im
und Fre-
rungsf i:hlers",
wobei
in
einigen
quenzberei
In
ch
den
wurden
"rein"
als
vorliegenden
Deswegen
Nachteile
der
Vorteil
werden
des
sowie
kann.
Froblems
diskreten
AIs
die
Verteilung
kann
zu
erleichtern,
verarbeitet
und dann
wichtiger
der
daß bei der
nannt werdenl
-Randwertaufgabe,
sondern
r'rerden rni,Jssen. Diese
wesentlich
zu
Der
daß die
Struktur
des
ebenso
die
z.B.
Um
in
Randbe-
beriJcksichtigt
werden
bearbeiteten
daß die
Lösung
die
Analyse
sie
durch
der
einen
graphischen
einer
einige
Handlungsweise
130
soll
ge-
keine
Anfangs-
Randwertaufgaben
gelöst
gestattet
und
reduzieren
Algorithmen
Feldanalyse
nurnerischen
nur
gekennzeichnet,
man zählen,
ist.
und
Form dargestellt.
änalytischen
Vorteil
und
Vor-
alle
Felderregung
der
=u gewinnen
diskret
approximierenden
aqfwand
darf
sein
hauptsächlich
Randwertaufgaben
durch
darin,
besteht
Zu den Nachteilen
nur
von
Behandlung
Algorithmen
kornpli=iert
Ergebnisse
Postpro=essor
oder
Hethoden
Algorithmen
und
Rechentechnik
numerigchen
beliebig
dingungen
diese
sind
numerischer
6ebietes
zur
Verfahren
angewandt.
Zeit-
vorgeschlagenen
Arbeit
analytisch-nurnerische
Hilfsrnittel
numerigche
Analyse
umfassende
h,urde.
durchgeführt
der
in
die
Fätlen
u.a.,
den
Instabilitätsproblene
Rechenzu
Dag nach
verineiden.
gramrn =eichnet
alls,
verwaltung
lung
Analyse
die
vorhandene
pratrtische
Die
Analyse
der
reichen
Beispiele
genz
der
kann
6rundlage
Feld
ti.sche
die
auch
graphisch
dabei
kann
für
die
durchlässigen
inneren
dem übl icherweise
ter
zur
in
einem
Der
benut=ten
<^l-Bereich
Nachteil
geeignet
kann
rnan
Rechenergebnisse
lung
des
ihre
Richtr-rng und die
könnte
und unneben
auch'
Parame-
einf acher
als
Han
6ebiet.
dr-rrchlä=sigen
Sie
Abschirtnungen
durch
daß sie
ausge-
prin=ipiell
nur
die
Algorithmu=
ersten
Im
nichtlineare
korrigieren
l'lomente mittlere
131
Arbeit
vorliegenden
sind.
End=utstandes
modif izierten
der
darin,
besteht
Probleme
der
in
der
Ii.neare
rechnung
Au=-
werden-
angegeben
und
wur-
die
Feld
Schirmf al';tor,
fgr
Anfangsi
gezeigt
von elektromagnetischen
Lösungsrnethoden
die
be-
veranschaulicht
erkennen-
Eebiete
Zeitparameter
im untersuchten
diffundierende
Charakterigierung
wesentliche
nutzten
das
mittle-
Die
eines
Feldaufgaben
Verteilung
Feldausbreitung,
der
6eschwindigkeit
nu-
Dauer
die
der
Zurn Beispiel
räumliche
dargestellte
haben
physikalisch-technischen
weiteren
werden.
herangezogen
sagen
zu
ebenfalls
sie
kann
de,
ihrer
der
Augnutzung
ge=eigt.
als
anal,ysierten
der
trlie anhand
trachtet.
Auf
Bei=piele
Die
bestirnrnende
Ausgleichsvorgangs
aperiodischen
Verhaltens
elektrornägne-
nichtstationäre
nur
bish.er
wurde
der
Bedeutung
bewahrheitet.
Zeitkonstante
mittleren
HonverRechenge-
dynamigchen
des
praktischen
der
l,löglichkeiten
Zeitkonstante
praktische
untersuchen.
im Zeitbereich
ermittelten
merisch
re
neuen
die
das
rnan erf olgreich
auch
die
Parameten
verteilten
mit
Anordnungen
die
gute
recht
auch
Charakterisiprung
rur
Frequenzanaly5,e
ebenfalls
sich
Es hat
als
Lösung
nutnerischen
zahl-
anhand
=swohl
wurde
zur
Algorithtnen
Arbeit
der
in
Bestätiqt
bewiesen.
rechnen.
erarbeiteten
wurde
Ausgleichsvorgänge
nauigkeit.
in
der
Verr'lendbarkeit
größeren
einern
rnit
Rechenzeit
längeren
und einer
Speicherplatzbedarf
jedoch
muß
Han
werden.
au5,genutzt
direkt
ebenfallg
Wechselfelder
stationärer
Berechnung
zur
Software
l'.:snn. Bei
kann
hlirbelstromprobleme
nichtstationärer
der
Behand-
rur
werden
adaptiert
einfach
Feldprobleme
stationärer
Speicherplat=-
Software
vorhandene
schon
die
wobei
Computerpro-
spar=ärre
und
optimale
durch
sich
geschriebene
Algorithmen
diegen
und
bei
Stof fwerte
Behandder
Ee-
annehmen.
Hunstgriff
Dieser
wird
Nichtlinearität
sichtigung
der
Arbeit
derliihe
auf
rasch
Feldprobleme.
rur
durchzurechnen.
Die
haben
Prozesse
urn
Thema sollen
angegebenen
Vorschläge
al I gemei nen
ei nen
von
dargestellten
die
rnit
der
trotechnik
niedriger
Frequen=en.
sein,
Forschungen
die
die
für
höherer
dreidimensionale
keine
entsprechend
geeignetes
ein
Aufgaben
gaben
der
gro-
3D-Beispiel
zukijnftigen
Forschungen
Fortführung
der
in
Aufgaben
Synthese
der
Erregung
dynamischer
Zu den
Ausgangsverhal
die
en
di e
Fro=esse
Lösung
gehören
Erregung
und
Arbeit
lrlei terent-
ldeitere
Vorschläge,
in
der
Elekprakti-
be=timmter
praktischen
interegsanten
Elehtrodynamik
räumlichen
bei
betref,f
Recheninethoden.
Verfassers
folgende
Problelrne:
- Numerische
Identifikation
der
keit=analyse
und
HeFden auf
gerichtet.
technischen
=uF
Charakter
Untersuchung
verbindenr
scher
der
auch
Verfagser
Verfügung.
wicklung
-
Übertragungsfunktio-
r'rerden
oben
sich
l'{o-
modifi=ierten
Berijcksichtigunq
unter
gelten
der
hatte
Diesem
zu
verän-
=u erweitern-
l'lethoden
Leider
Bereich
zweckmäßig
Felderregunq
ße EDV-Anlage
zu
dieser
in
(langsam
der
mittels
im
es
wurde
Ouasistatisnarität
nur
veränderlichen
der
der
eine
Feldes
äpprc:):imierenden
scheint
angegebenen
geuri dmet
der
gewonnenen
6rund
Frequeneen
Die
elektrsmagnetischen
ebenfalls
Aus diesem
Haterialeigen=chaften
angenorn{nen. Die
Felder)
gelten
nen
des
Voraussetzung
mentenmethode
wirkutngs.:olle-Berück-
die
Aufgaben.
Analyse
die
"schwaEhen"
einer
im FalI
bildet
deshalb
nichtlinearen
wichtigen
lösenden
Bei
wirken,
von
nur
verrnutlich
nach
die
Ansicht
Aufdes
Empfindlich-
tJirbelstromanordnungenl
nichtstationärer
vorgegebenen
ten.
t32
Felder,
(vorausgesetzten)
z.B-
Synthese
zeitlichen
LI TERAT T.IRVERZETCH}{I S
tllALLen,B.;Ida.,N-;Lord,Y';Finiteelementrnodelingof
pulseeddycurrentNDTphenomena.co|'|PU|"|46'Et5'Fort
21
|'|agnetics
on
UsA. ItrEE Trangactiong
Colorado!
CoIlins,
(1?85)6,
5. 225.0-7?.33Feldes
des elektromagnetischen
zrlurann€scu, A. = Eindringzg.it
tzl
(
1
9
7
0
)
4
!
S
'
2
5
5
-?39;'
ETZ-A 91
im Leiter.
und deg l{ärmefeldes
tS5l
tirne
with
AxeLLsorl-, O- : O n s o r n e e x p e r i m e n t s
7
'
l
'
France, PaPer
cot'IFUF'lA6' 7El, E r e n o b l e ,
discretisations
[4lBouillaut,F-;Razeh,A'zEddycurrentduetostatorteeth
IEEE
6ermany.
INTERHAG'B4r Hamburg,
rotsrs.
in synchronoug
5' 1?31-1941'
on Flagnetics 2O(1984)5'
Transactions
eleBoundary
C- A- ; TeLLes, J' C' F' ; hlrobel ' L'C':
Brebbia,
tsl
e
n
g
i
n
e
e
r
i
n
g'
i
n
application
and
Theory
rnent technigues.
1?84'
Berlin
Springer-Verlagr
der
Eerechnungsverfahren
numerisches
Ein
Brokntanztz, T. z
t6l
konvektibei
von Bertihrungsthermometern
Übergangsfunktion
vFrWärmeübertragung.Diggertation(A}!TechnigcheHochIlmenau lq7b'
Ilmenau,
schule
von Dif f usionsvorgänZeitkonstante
877 Bryleatsieri, A. ; Flittlere
genineinerunendlichenPlatte,einemZylinderundeiner
5'
3t)(19E}4)4!
EtrektrotechnicEne
(poln. ).
Rozprawy
Kugel
10"5-1035.
Zeitkonmittleren
der
tBl BryJeals/ce, A.2 Berechnungsnethode
(
p
o
l
n
.
E
lektroF
o
=
p
r
a
w
y
)
.
bei Diffusionsproiessen
stante
3
0
5
3
1
5
'
5
.
31(1985)?'
techniczne
mittleren
der
Begtifofnung
=ur
BrylcalsJed, A. z Ein Eeitrag
t?l
Flass
H
eat
J
.
I
n
t
'
vsn Diffusionsprozessen.
Zeitkonstante
S.613-6?0'
?B{1?85}3'
Trans{er
tlol
t11l
t1"l
t13l
A.. Über die
Bryjealsle{,
schen Feldes irn Leiter.
s. ?99.-30 4.
elektrsrragnetides
Eindringzeit
6A(1945)4
fur Etektrotechnik
Archiv
einer
in
skineffektes
des
Zeitksnstante
BryleaLslei, A.z
Rev'
A
b
s
c
h
i
r
f
n
u
n
g
'
elektromagnetischen
axlalsyrnmetrischen
5'
3
1
(
1
9
E
l
6
)
1
t
E
n
e
r
g
'
e
t
Electrstechn.
Techn.
Rourn. Sci.
lol-106.
vEn
Dauer
der
Bestitnrnung
A. = Über numeri=che
Bryleals/ed,
L
e
i
t
u
n
g
s
g
l
e
i
e
i
n
e
r
der mittelg
Zuständen
nichtstationären
(poln. ).
ElektroRozprawy
zuständen
chung beschriebenen
3?(1?El6)2' S. 3-11'
technic=ne
der
=ur Eesti'fnmung
A-= Anwendung der FE-l'lethode
Brylealsird,,
z
w
e
i
d
iu
n
d
d
r
e
i
d
e
n
i
n
s
t
ö
r
u
n
g
e
n
Dauer der aperiodi=chen
(poln' ) '
P
a
r
a
r
n
e
t
e
r
n
v
e
r
t
e
i
l
t
e
n
r
n
i
t
sy=temen
mensionalen
RozprawyElektrotechnic=ne53(19E}7}2'S.7a7-3o7.
1331
der Dynarnik von elektromagnetiA. = Untersuchung
BrylcaLshi,
Anlagen inittels
elektrischen
i
n
und lrfärineprozelssen
schen
(
p
o
l
n' ) ' Prace NaF
e
l
d
a
n
a
l
y
s
e
n
u
m
e
r
i
s
c
h
e
n
der Flethoden der
343'
Nr
l'tonografie,
Szczecifiskiej
ukowe Politechniki
19A7.
5=c=ecin
loir
constant
of average time
A- z Determination
BryleatsJci,
t15l
m
e
t
h
o
d'
e
l
e
r
n
e
n
t
f
i
n
i
t
e
fneans of
processes
by
diffusion
5.
3
(
1
?
8
7
)
4
!
l
l
e
t
h
o
d
s
Numerical
in Applied
Communications
?6=-?0 9.
dynamischen
der
Unterguchungen
t 161 Brylccrlslee , A- z Numeri sche
"WitterungsfiJhleFS".
e
l
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s
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a
k
t
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v
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n
d
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s
Eigenschaften
70(1?E}7)5. S' 3?7-33?'
f tlr Elektrotechnik
Archiv
onären
ni chtstati
ei nes
Dauer
der
t t7) BryleaLslei , A. = Anal yse
bJärmeDifferenzenverfahrens'
eines
mit Hilfe
blärmefeldes
S. 3?=-=?7'
?1 {1?87}6r
u. Stoffübertragung
t14l
tlg1
Ersatzübertrader
Brylecrlsled, A... Bestirnrnung der Parameter
Ver=ögerung
v
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t
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l
t
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r
m
i
t
Objekten
von
gungsfunktionen
34(1?€lE})2' 5- 339-356.
(poln. ). Rozprawy Elektrotechnicsne
eines
J. z Anwendung
&rrna.d, H. t Purceyrtslei,
A.;
Brykatsl<i,
R
egea
u
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i
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lung
'8El,
tlortrag
aTagungsmateri
El6,
9.
198€l,
6-?.
hf
TH
i
5{nar,
l,;
ni
S
.
2
3
.
len.
f or
method
variational
A. ; Kra,.sort, P.'. A direct
EzOl BrykalsJei,
I
n
tof diffusion
time constant
Froces5es.
the equi'ralent
(
'
J. Heat l'lass Transf er ?6 19E}3) 3r S. 445-449
t19l
der
J. = Anwendung
w- ; Purceyrls}ei,
Brylea[.slJRi,, A. ; Lrpirlstei,
m
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t
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Variationsmethode
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{
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n
g
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n
.
von
Zeitkonstante
1
f
,
1
4
66(19El8)1, 5.
technik
TransW- = Elel';tromagnetische
Lipirt-ski,
A. ;
E??7 Eryiealsiei,
Abdurch eine leitende
Signalen
von bandbegrenzten
misgion
S:czeci6(poln. ).
Naukowe Folitechniki
Prace
schirmung
(
1
9
9
(
}
)
1
5
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S
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N
r
4
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r
,
t?11
l y ' -= Ü b e r d i e Z e i t Lipirtsier'
J.;
PurczytTski,
1237 Brylea6glsrel, A.;
Abr
e
c
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teckförmigen
e
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in
der Wirbelgtröme
konstante
5
f
,
6
f
l.
1
.
5
.
3
9
(
1
?
f
|
4
)
Rozprany EIektrötechniczne
strhirmung.
t34 l
J'P' ; Sabonna'
A- ; Pa.sco l,
A. ; Ntcolas,
Bu;^tas, N. ; Fo56ia',
problerns
current
of
eddy
solution
J- C.: Numerical
diere,
Hamburg.
parts'
INTERT'IA6'84,
moving conducting
including
z(t(1?E}4)51 5. 1??5on l'lagneticg
Gerrnany. IEEE Trangactions
-tqs7.
t25l
elernent derif inite
Space-time
A. J. ; Cendes, Z. J.:
Butler,
transient
o
f
solution
for the efficient
ved by convolution
IEEE
Canada.
problrrns.
IHTERT'!A6'ElE}, Vancouver.
eddy current
5- ?6A8-76?0.
24(198El)6.
on l'lagnetics
Transactions
proces's
siJ. N. : .Two-dimen5'ional
C?67 CoLLard., D. ; Decotpignzy,
discretization.
element
finite
mr-rlation using a quadratic
CBI'IPEL 3 ( 1?84) 1, S. 17-33.
t?1
E273 CoLLatz,
chungen.
L-: Numerische
Springer-Verlag.
von
Behandlung
Eerlin
1951
Differentialglei-
in
the
approach
ESBI Dcuey, K. R. : Bn the use of the eigenvalue
COI'IPUHA6'87.
fields.
prediction
eddy current
of transient
?4(1?E|8)1r 5.
on l"lagnetics
6raz,
Austria.
IEEE Transactions
190-19?.
t?91
state
steady
f or
irnpedance condr,ctors
Dcr'.rey, K. R. : Shell
C
onfep
r
o
b
l
e
r
n
s
.
B
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T
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r
d
eddy current
and transient
W
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E
|
E
l
'
C
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m
t
r
u
t
a
t
i
o
n
F
i
e
l
d
rence on Electrornagnetic
(
4.
5.
25
19E}?)
cs
I'tagneti
ons
on
D, tr. ! USA. IEEE Transacti
30t)7-3009.
tSOl
rnethods for parabolic
Do,u6l.t- Jr. , J. ; Dttpont, T- 2 Ealerkin
5- 575-6?6.
SIAl't J' Numer. Anal - 7{lq7u^r4,
equations-
t51l
J'3
Hqtusiok,
A-;
Brykalslei,
PurczytTski, J.;
Dr1rna$, H.:
P
a
raeur Unnandlung von methearologischen
Trägheitswandler
Durchgeführt
{poln. }.
metern für die Zentralheizungsregler
iin
Dlarschau
OBRC in
der
Auftrag
im
an der TU Szc=ecin
Sic=ecin
Ziel 4.9, Forschungsberichte.
Rahmen CPBR 5.1.4.,
r?El6-8?.
tf,?l
ELbdum, J. t
1?64.
tlISl
cutrrent
3D
eddy
C.W- = Transient
Ernson, C. R. ; Trovbridge,
potentials
and magnetitr scavector
magnetic
modified
using
IEEE
TranAustria.
potentialg,
t r B t ' l F U H A 6 " E } 7 r6 r a = ,
lar
sacti on= on l'lagneti cs 34 t 19BB) 1 ' 5. A6-A?.
t54l
R.Jt{.; Raynond' J.:
Det Vecchio'
Weiss, J.;
Garg, V.K.;
methsd calculations
element
finite
coupled
neto-thermal
Tol:yo.
Japan.
INTERI'IA6'El7.
systerns.
multiconductor
S. 3?96-3=?El.
on Flagnetics
33(1?E}7)5.
Transactisng
Industrieelektromagnete
(poln.
).
WNT.
trlars=awa
I'lagin
IEEE
Entfaltung
zur
Verfahren
l(. i Schon, X.: Nuaerigche
t3$$l GtLt,
des
die
Eerechnung
auf
ir Hinblick
des Duhamel-Integrals
für
Archiv
von Hochspannungsirnpulsen.
Verlaufs
zeitlichen
Ei. 317-323.
63t19El1)5.
Elektrotechnik
Analyse
(po1 n. ) .
und
HTt
Synthese
lllars=awa
der
l97L .
totaeitbehafteten
t36l
Görecki,
H.z
Regel systeme
t57l
=ur
Softwaresystem
H.t SONI'IAP v.?.O.
Gramz, H. ; ZiöTkoutsjei,
(poln. ). Prace Naukowe Politechniki
Feldanalyse
numerischen
- l'lonografie,
1944.
Nr 35El! Szczecin
Szc=eci6skiej
tSAl
6rig:ult,
Gröber,
H.; Erlt, 5.;
Springer-Verlag,
meübertragung.
1955.
t39l
analysis
Ma.cDoncl-ld, D.C.z Numerical
H a n l n r t r , a . LAa-, Y . :
Froc.
problem= in electrical
machines.
field
sient
(t976r9,
S. E}93-E}9EI.
f 4Ol
Time-periodic
Hara, T. ; Na.i to, T. ; Urato, J. :
eguation.
diffusisn
rnent method tor nonlinear
USA. IEEE Transactions
Colorado.
Collins,
Fort
?1 (1?El5)6, 5. 2=61-=?64.
135
der tdärU.= Die Erundgesetze
Berl in./6ötf-i ngen/Heidelberg
of tran133
IEE
tinite
eleCOHPUI'IA6'ElS'
on l'lagnetics
VEB Verlag
Temperatur{nessung,
Tech-
t41l
Hofmann, D. i Dynarnische
ni[.;, BerIin
L976.
t4?l
of
solution
two-dirnensioHotl.na., T. ; Tana.ka, Y- z Transient
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boundary
equation
dif{usion
nal convertive
J
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.
TranIEEE
INTERFIAG'A7r Tokyo'
element
method,
3
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9
5
3
2
9
3
.
S.
?3(19El7)5'
sactions
En Hagnetics
t43l
Eine
Hortopant, C. ; Hortopanz, V.;
J'legswidergtände
im Übergangszustand.
-474.
E44l
Kaden, H. = hfirbelströrne
techni k. Springer-Verlag,
t45l
Akadernigche
Ka.LLenbacF-, E. : Der 6leichstromrnagnet.
gesellschaft
t96q.
Geest&Portig.
Leip=iq
t46l
KrrtZey
Jr. , J.L-;
Furuyanrra,, H. z A design concept
Transactisns
superconducting
alternators.
IEEE
S. 1?64-1?6?.
Apparatus
and Systerns 94(1975)4.
t47J
rerrJronpoBoareoplrn
ne.nnneltnnx 3aaaq
KoFaH, lt.I'. : Perenne
c. 72-TA.
nOJ L2<L967)t,
Hocrlr lrteroaoH Kanropoanqa.
t4Al
Koäl5rrüber,
rechnung
in
International
t4?)
=ur BehandKrajetusier,
B.: Ein direktes
Variation=verfahren
lc..envekfür
eF=h,Lrngene
lung der blärrneübertragungsprobleme
S
.
4
6
?
+
8
f,.
15(1973)?.
tion.
Int.
J. Heat Hass Transfer
tSOl
Krasort, P. z An analysis
of
Archiv
magnetic
materials.
5-4.
t51l
bei nichtstationären
Kralrrczyie, A- i Anwendung der FE-l.lethode
(poln. ) .
Ro=prawy
Problenen
Elektrodynamik
der technischen
2?(1?El3)?. 5. 331-344,
Elektrotechniczne
Es?l
La.ncc-ster,
1969.
t53l
modeli=aLegros,
W. ; NzcoLet,
A- ; Pa.ganl.int, M.: Numerical
1?49
Internatiotion
in relay.
of transient
eddy current
D. C. r
USA.
IEEE
nal
bfashington
l"lagneti cs
Csnf erence!
Transactions
5. f,593-5595.
on l"lagnetics
35(19E}9)5,
t54l
Leona;l^d, P. J. ; Rod6er, D- z Finite
element
=chema for
Austria.
sient
3D eddy current.
COl"lPUt'lA6'87. Eraz,
Transacti
ons on Flagneti cs ?4 t l9BB) 1 ! 5. 90-93.
t55l
Linrgrer,
for
stiff
Research
t56l
Li piftski , ltt. t AnaI yse der Dynami k
des
eI el'.:trsmagneti =chen
Feldes in Ieitenden
Naukowe
PolitechHedien tpoln. ).Prace
- Honografie.
niki
S=czecitlskiej
Nr 63, Szczecin
1976.
Theorie
aIlgemeine
ETZ-A ( 1?71) B! 5.
der
47A-
Nachrichtenin
der
und Schirmung
1959.
Berl in./Eöttingen./Heidelberg
Verlagsfsr
on
large
Power
TernperaturfeldbeK- ; WoeLts-, 6.:
Instatisnäre
Abmessungen.
Elektrowärme
Körpern
rnit kleinen
4f, ( 1985) 4, S. 183-1El?.
P.z
Theory
of
f ields
in f erroelectromagnetic
67 (1?El4)1, S.
für Elektrotechnik
matrices.
Academic
ll. i Optimi=ation
of a nurnerical
differential
o
f
o
r
d
i
n
a
r
y
systerns
RC 21?El. 1?6E}.
Raport,
136
Press,
New York
tranIEEE
methsd
integration
equations.
IBI'f
t57l
Stromdichteverder
induzierten
Ltpil{siei , W- = Bestimrnung
elektromagneti,schen
teilung
in einer
zylindersymmetrischen
65(1?E}2) r
5.
3O3Abschirrnung.
Archiv
für Elektrotechnik
-?o7.
tSBl
von
Schirmung
der
zur
Theorie
Ltpirtsred., tt/.. Ein Beitrag
t
e
n
R
ä
u
m
e
n
.
A
ru
n
b
e
g
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e
n
u
Flagnetfeldern
in zweidirnensionalen
5
?
9
6
t
}
3
.
35(19€}6)2' 5.
chiwum Elektrotechniki
t59l
Lipirtski,
stationärer
W- z über die Abschirmung
von
Zylinderspulen.
stationärer
llagnetfelder
Elektrotechnik
58(1976) l' 5. ?-14.
t60l
l"lodel ing of elektromagnetic
lipdrt-s)ct,
l+r.; GoTqbior.rsJed , J. z
T
r
a
n
s
a
c
t
i
o
n
s
on
Ftagnetics
1ö(1?BO)6'
I
E
E
E
shield
dynamic.
5. t4t?-14?7.
transient
Loretarz,
P. A. = Laplacel - variational
method
to
Engng
distribution.
Nucl.
multi-dimensional
temperature
Design 11(l?6?)1,
5. ?7-4O.
t61l
E6?l
Lach, J.;
bei
Temperaturfeld
Nichtstationäres
(poln.).
Randbedingung
Archiwum Budowy Haszyn
503-51?
und
nichtArchiv
für
nichtlinearer
20(1973)3,
S.
t63l
preTh- z A f inite
Ha-ssb, P/t. ; HoreL, B. ; Ereullle,
element
prodiction
schema {or magneto-thermal
coupled
correction
blem during
Curie-transitisn.
If.lTERFlAE'E}5, St. Paul . Hrnne5.
on
Hagnetics
?1 (1?E}5)5r
sota,
USA. IEEE Transactions
1A71-1873.
t64 l
Ha.tsuo/t.a., F. ; Kaneari,
A. 2 Calculation
of three
dimensronal
eddy current
rnethod.
by FEH-BE|'| coupling
COFTFUHAG'87, Gra=.
Austria.
IEEE Transactions
24(l?BE)1,
on Hagnetics
5.
183-1E}5.
t65l
perforHtLLer,
T. J. E. ; Hug}les, A. i comparative
design
and
mance analysis
and iron-cored
synchronous
of air-cored
rnachines.
Proc.
S. l?7-13?IEE 124(l?77)2,
t66l
l/lyosh.t,
T.;
Suimr,., H.; Omori, H.. Analysis
of an induction
heating
method
with
systern by the finite
combined
element
boundary
integral
equation.
IEEE Transactions
on Hagnetics
231tq87>7t
S. tA27-1A32-
E/:77 Hocatl' t-t, C.I.:
Über
die
Zeitkonstante
ETZ-A 92(1?71), S, 156-161.
des
Skinef
f ektes.
töAl
Hocanzu, C.I. z, Die Er=at=schaltungen
tern
des kreisförmigEnr
zylindrischen
sichtigung
des übergangsskineffektes
ETZ-A 93(t?7?r?t
5. 7?-76.
t6?l
Hocarru, C. I. z Nichtstationäre
Stromverdrängung
in einer
Haschinennut
Ouerschnitt.
Archiv
fur
von rechteckigem
EIektrotechnik
55(1973)3,
5. 164-170.
mit konstanten
Leiters
unter
bei zugeführtem
FararneBerückStrom.
ETOJ HüLLer, R.: Vergleich
von ein- und zweidimensionaler
AnaIyse
des
{.lberganggverhal
teng
vertei
l ter
exponenti el l er
Schichtstrukturen.
lrliss, Zeitschr.
der TH Ilmenau 23(L977rs
s. 7L-7?-
137
tTfl
der
alternierenHtitler,
R.: Erfahrungen
mit dem Verfahren
Feldgebiete
am Beiden Richtungen
{ür
inhomogen berandete
Rtr-5trul';turen.
?6, Intern.
vertei lter
spiel
e::ponentiel
ler
"Thesreti
he
Vortragsrei
sche
hli ss. l.iol I . TH I l menau
19El1,
Elektrotechnik".
5. 179-1E}2.
L72J
PeTczew.slqd, W. t, Steuerungstheorie
1gElO.
t73J
Elektrotechnik.
der
Phitippout,
E.: 6rundlagen
t576.
Leitr=ig
Geest&Portig'
Verlagsgesellschaft
E74J Pdssanetz}ry,
5. 107-114.
S.:
A sirnple
K.: Ein Beitrag
E7=7 Prers,
Archiv.filr
verteilungen.
-314.
(poln.
inf inite
).
elernent.
=ur Berechnung
Elektrotechnik
trJNT.
Warszawa
Akademische
COHPEL 3(1984)?
ebener
bJirbelstromS. SO9 65t1?B?)5.
der parabo) . Ro=prawy
der mittels
l'lodelle
J-:
Angenäherte
E76J Purceyrtslet,
S
y
s
teine (poln.
beschriebenen
I ischen
Eleichungen
S
.
l
0
5
5
1
06El.
3?(19El6)4'
Elektrotechnic=ne
t777
A- z Anwendung der HantorowitschJ. ; BryicalsJer,
PurceyrtsJer,
(poln. ). Rozprawy
-ltethode
=ur Lösung der Leitungsgleichung
5' 3E}5-4tl0.
c=ne ?B t 1?B?13/4r
El ektrotechni
tTBl
modif izierten
J. ; Bryiealsred, A- t Anwendung des
Purcayztsiei,
der
approx
i mi erenden
Besti rnfnung
l'lomentenverf ahren=
eur
(
p
o
l
n
.
N
a
u
k
o
w
e
PoIitechniki
), Frace
übertragungseleinenete
S. E1-?5
Nr 4O7 (1990).
Szczeci6skiejr
G.: The calculation
of tran8793 Renyuan, T. i Hotl"6, G.; Lianfa,
generator.
of REFFI synchronous
field
and parameters
sient
USA'
IEEE
Col orado'
TranCol I i ns,
COFIFUI'IAE'E}5! Fort
5. ?336-233?.
21{l?EE)5.
sactions
on Flagnetics
P. =
EBOI Roltcz,
analyse
=ur
Prozesse
in
Rozprawy Nr
Hethoden der FunktionalAnwendung von direkten
elektromagnetischer
Analyse
nichtstationärer,
und
Anlagen
{troln. }.
l"laschinen
elektrischen
Fo=naÄslcat Fo=naÄ 1q77.
85, Folitechnika
EBll
boundary
Scrlon, S. J. : The hybrid
f inite
elernent
method in electromagnetics.
INTERHAE'E}5. 5t. Faul,
21(1?E}5)5'
te,
on Hagnetics
USA- IEEE Transactions
-1834.
t8?l
finite
Scrlon, S.J.;
J.= Application
of the hybrid
D'Angelo,
i n
el ectrornagneti
cs.
el ernent
boundary
el ement
method
on l"lagnetics
Austria.
IEEE Transactions
C O I " I P U H A G ' E | 7 ,6 r a = ,
S. BO-E'7.
?4(1?BBlt.
tASl
Sa,oJecr, S. D. : On a variational
problems.
thermal
Int.
entrance
{t?7or7 | si. 1187-1r?7.
t84l
.
Schuarz,
Stuttgart
tBSl
Sch.Lot t,, S. : Temperaturregelung
VEB Verlag
ftir Bauwesen, Berlin
H. R. : l'lethode
1944-
der
of
f orrnulation
I'tass
J. Heat
f initen
134
Elernente.
elernent
Hinneso5. lB7?-
ä
clasg
Transfer
8,6.
Treubner,
von
Wasserheizungsanlagen.
1945.
ef
13
t86l
shao' x- R. ; zhou,
K. D. z Trangient
in slot-embedded
response
golved
conductor
for
voltage
sourtre
by
boundary
element
method. CEFIFUI{AE'85,
Fort
trollins,
Calorado,
USA.
IEEE
Transactions
on Hagnetics
?1(1?85)6.
5. 2?37-??6,C..
t87l
Shao, K. R. ; Chen, X. ; Zhou, K. D. : Transient
solution
of the
(B,E.f,l. ).
dif f usion equation
by
boundary
method
element
INTERI'IAG'84r Harnburg, Eerrnany.
IEEE Transactions
on Hagnetics
2Ct(l?84)5,
S. 1?9E}-2OOO.
tBAl
Sik.or a., I?. ; Lipir1-s,r-i, W. = Zur Zeitkonstante
bei der
Wärmeausbreitung
und ähnlichen
diffusionsartigen
Ausgleichsvorgängen in ausgedehnten
Körpern.
rnsr 19(1976) 1r S. 32-J4,
tB9l
Stmonyd., K. :
Theoreti.sche
VerIag
der lrlissenschaften,
t9ol
skoczotosF.i, 5. : Einige
Bernerkungen
zur
Approximation
von
Regelstrechen
mit Ausgleich,
Regelungstechnil:
31 (1983)7, S.
231-2S4.
t?11
T a n z d o t z ,S . C . ;
Amor, A.F.;
6harr,
M-V-K.=
sient
finite
element field
cornputation
for
chines
and devices.
IEEE Transactions
on
and Systems 10?(l?BJ)5,
S. 10E}9-10?6.
t?21
Töpfer,
technik.
t?51
Tortschanof
methods in f ield calf , T-z Survey of nurnerical
culati.ons.
INTERHAE'E}4. Hamburg, Germany. IEEE Transactrons
o n F l a g n e t i c s ? { t { 1 ? E } 4 )5 ! 5 . 1 ? 1 ? - 1 9 1 7 .
H. ; Rudert,
VEB Verlag
Elektrotechni.k.
BerIin
I?77.
VEB
Deutgcher
Nonlinear
tranelectrical
{naPower
Apparatus
S. :Einführung
in die
AutornatisierungsTechnik,
Berlin
1?€}4.
E ? 4 1 ? - s u ö o i , , H . ; T a n z a . k a . ,H . ; H i s a . } - t , T . :
tromputation
accuracies
o* boundary
element
method and
finite
elernent
method
in
transi ent eddy current
anal ysi s.
INTERI"IA6'E}€l, Vancouver,
Canada. IEEE Transactions
on t'lagneticg
24(l9ElEl)6!
S.
3L74-3176.
t95l
k/eili,
Y-; Qingrxin,
Y. ; Zhigan6,
L. ; Zushu, Q. ; Hit:.gtru, F.:
Finite
element analysis
for static
and dynami.c characteristics
of electromagnet=,
CBtIPUttAE'E}7r Era,=, Austria,
IEEE
Transactiong
on l'lagnetics
24(1988) l, 5. 1gO-19?.
t96l
l(icrk, S.: Analysis
of electrornagnetic
prof ield
transient
cesses in nonlinear
ferrornagnetic
rnedium. Ro=prawy Elektrotechnitrzne 32(19E}6)1, 5, 115-14?.
E?7J Zhi-min6i,
S. ; De-xrn,
X. ; Clteng-qian,
H-: The
f inite
element solution
of transient
axialsymmetrical
nonlinear
eddy
problerns.
current
field
C O H P U T ' 1 A 6 ' B SFr s r t t r o l I i n s .
Colorado
USA. IEEE Transactions
on Hagnetics
?1 (19E}5)6, S. 23OS-:JO6
t9Bl
t99l
zienjc-ieaicz,, o.:The
finite
elernent rnethod.
Third
edition.
l'lc6raw Hi t I Eo. , London t979.
ZLana.L, H-3 Finite
elernent rnethods in heat conduction
trfoblems. The mathematics
of finite
elernents and
applicationg
II.
Academic Press,
New York 1976.
13S
ANI{l{i|G
A3
Differentiation
won
XatrLzen
Definition
Die l';-te Ableitung
der
Variable
Ffatrix
wie folgt
s ist
die
berechnet
[B(s)] = tb..(s) -
l'latriaen
tB(s) I
ta. . (s) J
= dk tA(s) )-/dsk,
gegenüber
deren
der
Elernente
werden
3
t
-
L J
FtJr die
tA(s) l, =
Hatri:<
l-ok
ä
-
.
5
,
(41)
1
L d=*
und
EB(s}l
tA{s}l
dkEA(s)l
.l
LJ
I
d=*
gelten
folgende
allqemeine
Bez i ehungen:
- 9!3j3!.]
1
- [ r n t = l : + t B (5)rJ =
osL
-s-
* dtB(s) J '
-s-
(A?)
9
- f c e ( s ]r - t B ( s )r] = d t l j s ) l . r B ( s ) r + r A r s ) r . o r ä * s t :
frs
(43)
L
Wenn tA (s) l
Zahl
ist,
eine
quadratische
so ergibt
dtA (s) ln
--
=
sich
i , ^ r E )r t
l"latri:<
und n eine
gän=e
positi.re
E5?l:
- 1-
t A ( s )r ' - L
P
tA4)
L=t
dtA ts) l-
r
n
= -fA(s) l-^
d tA (s)
---it-
ln
140
n
tA (g) l-
(45)
lJbcrgangsfrrrkt,ionen
ANIIANG B:
Die
gungsfunktionen
h
h
Ftir
= 1 (t) 'tl
2
(t)
=
eine
-
6.1:
exp (-t./r) l
'
-
l(t-t
)'{1
trositive
Zahl
0
Tabelle
der
aus
(t)
t
entsprechen
übergangsfunktionen
angegebenen
expt(r--t)/rJ}
-
o
den
Übertra-
(81)
(82}
-
m gilt:
o
rrt)Y
h 3{ t- ) = #r T t r
(-t)k
)
/
T
,
ffitt"J
fl ;t ll u * - ',
( E 3 )
k=ö
r*obei
che
I-t...
Zahl
)
i=t,
die
Euler-Funktion
ergibt
bedeutet.
Falls
m eine
natürli-
sich:
(84)
141
Danksagr-rrrg
Frau
Prof.Dr.sc-techn,
Stelle
und
ftlr
die
Förderung
Anregung
während
Renate
zu
ihres
l'ltiller
dieser
möchte
Arbeit,
Entstehens
ich
an die=er
die
Eetreuung
danken.
Lebenslatrf
Brykalski
Andreej
in Szczecint
geboren am 6.04.1956
und
als Sohn des JerzY BrYkalski
geb. S=c=epaniakn
l'laria Brykalska
geit
mit Teresa
l?ES verheiratet
€in Kind (7 Jahre)
Pankiewicz,
Erundschule
in
Brykalska
geb.
S=c=ecin
1963-1971
Besuch
t97t-t974
in Szc=ecint
Besuch des Adam-Asnyk-Eyrnnasium
Zwei g'
tl i cher
mathemati gch-naturwisgenschaf
arn E}' o r . tq74
Ffeifeprtlfung
r?74-t77?
Studium der Elel'.:trotechnik,
Auund
Elektrotechnik
Theoretische
Fachrichtung
U
n
i
v
e
rT
e
c
h
n
i
s
c
h
e
n
a
n
d
e
r
tomatisierungstechnik,
Szc=ecin,
sität
ung am 11-06- t97A
der Diplorn-Hauptprtlf
Abschluß
t?77,
Elektri=itätsbei den Vereinigten
Fachpraktikum
Bschum
A6, Bezirl';sdirektion
l'ferken hlestfalen
t97B
l?7ar tq79
bei der Aktiengesellsshaft
Fachpraktikum
zu Gevelsberg
sorqungs-Unternehmen
19BO
blehrdi enst
seit
*
der
Ehefrau
seiner
197?
Hitarbeiter
Wissenschaftlicher
der
u
n
d
I
n
f
o
r
r
natik
Elel:tronik
L
e
i
t
e
r
z
.
Z
t
.
S
z
c
z
e
c
i
n
.
sität
d
e
r
I
n
f
o
r
m
a
t
i
k
6
r
u
n
d
l
a
g
e
n
für
für
Ver-
für
Institut
am
UniverTechnischen
Arbeitsgruppe
der
30. (]6. 19E}=
Promotion
1983-1984
Forschungsaufenthalt
in
sche Haschinen
1988r 1?8?
Fsrschungsaufenthalt
k
Wärmeenergeti
seit
(B) an
Verftir
Hsch=chule
der
Fernaspirantur
T
e
c
h
n
i
s
c
hen
d
e
r
a
n
D
r
e
s
d
e
n
,
2
.
7
1
.
kehr=wesen
p
old
e
s
S
t
i
p
e
n
d
i
u
m
e
i
n
e
r
n
m
i
t
I
l
r
n
e
n
a
u
Hschgchule
Ausbildung
fiJr Nationale
Hinisteriums
nischen
1?B?
zum Dr.-Ing.
im Institut
Warschau
für
im trlojewodschaf
l'lathematitsbetri.eb
f ür
f
'.''
E R K L A R U N G
Ich
erkläre,
daß ich
die
vorliegende
antwortlichkeit)
gebenen
selbständig
Literatur
(entsprechend
Arbeit
und nur
und Hilfsrnittel
unter
angefertigt
der
genannten
Verwendung
der
habe
A.$,MFta
(Andrzej
Ilrnenau,
den
25.
September
l99O
Brykalski)
Verange-
w
UNrensucHUNG
DES VERHALTENS voN
NIcHTSTATIoNÄREN
ELEKTROHAONETISCHENUND THERHISCHENFELDERN
MIT NUHERISCHEN VCETAHEEN
"t$1'
''4--
#
Thesen
zur
=ur
Erlangung
dpc tor
(B)
Dissertation
des
akadernischen
sc rent iae
t,ecänrcanurn
tDr. sc. techn.
vorgel
dem hlisseschaftlichen
Rat
der
Erarjes
)
egt
Technischen
Hochschule
Ilmenau
von
Dr.-Ing.
Andrzej
Bryl.;alski
li*r
E
Ilrnenau,
den
=6.
Septeinber
IqgO
1 . Die
numerische
lung
in
Feldberechnung
und Optimierung
den
Aufgaben
größere
Elektrotechnik
des
nichtstati.onären
an Bedeutung.
werden:
schen
in
die
l''laschi nen,
den
Beispiele
Nuten;
u. a.
die
dynamische
te
bei
untersucht
der
sowie
öffentl.ichungen
In
i*urde
rnit
der
f ini ten
schrittweise
mit
l'lethode
von
für
zeitlichen
den
wenige
Euler
Arbeiten
quen=bereich
mittleren
f i.Jr
Hilfe
bzw.
zu
von
und
Analyse
zur
Frequen=be-
Zeitkonstan-
mit
die
Hilfe
I
€-t'tethode.
Ver-
de= dynarnischen
wsbei
=.8.
=u lösende
der
der
Methode
Lösung
der
behandelt
numerischen
und
impli=iten
wurde.
sind
Verf ahren
scheint
auch
im
und neue
Fre-
keine
Ver-
=uF Festifnmung
der
bel":annt
eg zwecF;rnäßig zu
beiden
üleitar-ts
Feldanalyse
Diffusionsprozessen
dieser
nachzuprüten
Systemen
mittleFen
Raumantei
nurnerischen
Anwendungsmögl ichkeit
in
wissenschaftlichen
Dem t/erfasser
Erund
die
Crank-Fticolson-Differenzenschemas
der
gewidmet.
Stromverdrängung
irn Zeit-
der
Lösungsanteil
Aus diesem
Berechnungen
den
des
Zeitkonstante
worden.
Hil#e
der
wurden
öf fentlichungen
werden
am häufigsten
El ernente
elektri-
u. v. a. .
durchgeführt.
Anfangs-Randwertaufgabe
in
hliderstandserwärrnung:
oder
nurnerische
irn Zeitbereich
genannt
Ahschirmverhaltensi
den meisten
die
z.B.
blärinefeldes
Probleme
hfirbelströme
Prozesse
charakterigiert.
Verhalteng
induktiver
Problemen
oder
onären
des
irnmer
Frozesse,
hfirbelstromproEesse
ni chtstati
spielt
eine
vielen
folgende
Nerkstoffprüfung
nichtgtationären
reich
der
Verhalten
zerstörungsfreien
? . Die
der
Untersuchung
Err.rärmungsprozesse
das
bei
dynamischer
können
Entrrick-
und 6eräte
elektromagnetischen
Als
=ur
Entwurfs
gewinnt
Analyse
Bestimmung
die
Anlagen
rechnergestützten
Im besonderen
der
Instrurnent
elektrischer
des
Rolle.
als
Hethsden
die
praF;tische
auf
Algorithinen
sein,
ge-
zu
erarbei-
ten.
3.
Di{fusionspro=esse
gleichungen
fangs-
und
lösenden
als
nik
auch
wird
werden
paraboligcher
Randbedingungen
Problem
vektsriell
diese
kann
rnit
Hilfe
Art
partieller
sowie
beschrieben.
der
Differential=ugehörigen
Entsprechend
di.e Diffusionsgleichr-rng
sein.
In
den Aufgaben
Differentialgleichung
der
meistens
gowohl
An-
dem
zu
skalar
Etektrotechf,ür die
elek-
I
i:rlf-lsffi
-t-l:!_
':':ry.s'-
RYlWryr
trische
oder
magnetische
Feldstärke.
magnetische
Vet<torpotential
sowie
elektrische
das
für
bew.
Temperatur formu-
die
I i ert.
4,
Die
Anwendung eines
des
Differenzen-
chung
führt
=ur
Lösung
+
tHltul
re
b=t+. FE-Verfahrens,
auf
die
der
Feldgröße
des
Verhalten
den
=o,
{u(t=Q}}
jer.{eiIig
betrachtete
{F}
die
tul'
in
(1)
Aufgabe
Net=-
bzw.
dynamischen
schrittweise
gelöst
im
numerische
kornplexen
werden,
algebrai
für
r.l = O bis
=u
zur
gelöst
U(Prt)
verwandt.
muß die
k ö n n e n . m u ße i n e
6leichung
+
werden.
führt
zu
= t}r
tFl'
dem
der
Anfangswurde,
eines
theoretisch
quasistationären
aperiodischen
die
von
FeIdbe-
Ausgleichsvtrrmittlere
f asser
mittleren
linearen
Erregung
Anordnung
muß =u ihrer
eine
erarbeitete
lledien
ist
unabhängig.
diese
Sie
des l'laterials
ah,
Berechnung
Randwertaufgabe
l'lethade
Zeitkonstante
-
U(Fro))dtltu(PtO)
und Randbedinqungen
sondern
if
(")
Kreisfrequen=en!
der
t#
dynamische
betrachtet
dem Raumpunkt P wird
den
räumlichen
(End-)
Dauer
= -fEU(Prt) o
In
Zeitverlauf
be,
das
Un-
Zeitkcn-
rD
z(Pl
,
Zur
wird.
der
in
stante
der
+ -i6tEl) {q}
6üItigkeitsgren=e
Eestimmung
(1)
schen. 6leichungssystern
verschiedene
trachtung,
gangs
dieser
ist.
Um
analy=ieren
Behandlung
(EHl
Zur
das
nichtEtatj,onä-
Zeitbereich
F;omplexe Helmholtz-Dif{erentialgleichung
5.
für
= {r-ri
o r
Elementeknoten
Verhaltens
im Frequenzbereich
welches
Diffusionsglei-
Anfangswertaufgabe
einer
+
ttrltü]
Vektor
tersuchung
Die
=.8.
al gl ei chungssystern
Di f f erenti
wobei
Eebietsdiskretisierungsverfahrens.
zur
üesteht
hfie
in
keine
gelöst
(J)
U{Pro)J
Zeitkonstante
hängt
vom
dagegen vtrn
jeweiligen
und
den
der
Arbeit
bewiesen
Anfang=-Randwertaufgawerden.
Die vom Ver-
numerigchen
Berechnung
darin,
der
daß
der
stationäre
Zustand
(4)
,e
der
:"O
HiIf
svel:tsr
=
tHl-r
müssen.
Die
sich
dann
tv]
gefunden
werden
Hnoten
i-ten
läßt
t.
L
besti
6.
tcl { tul.
= v. /(u,
r
L
mittlere
eines
jedem
in
Be=iehung
der
- u. 7
r @
O
(6)
aFproxinierenden
achten
übertragungselementes
teratur
der
Berechnung
des
Ver=ögerng
folgender
Integrale
-
v-.
U(P.co)lt^
ortsabhängigen
Tot=eit
f unkti
oder
onen
stimmen.
E, (F. )
L
Ordnung
in
der
jedem
wobei
,,rt
{v.
sind.
Die
Lösung
der
rechnet,
der
mittleren
kt
}
durch
in
der
-
die
U(P,o))
,
Zeitkongtanten.
a/En
wurde.
{vt
Etemente
kt
}
Zahl
die
übertragungs-
l"lodel I e =u
sind
die
Homente
(B)
{u3-.) r
{?)
k-t,
mit
be-
Spaltenvektoren
der
nerden
,'.,
k=?r....N
durch
rekursrve
eine
gemeinsamer
gesuchten
der
{7,
Ee=iehung
die
tcr ( tul-^ o
tHr-t
Li-
gestattet.
= .rl u, ., t,r. - u. )
L
L O
L 6
= k. tHl-. tcltv,
N die
unkti
oben
der
," -
bewiesen
Eleichungssyteme
übertragungsf
bei
"
u'
Vektoren
wobei
der
,rl
die
Verzögerung)
Hnoten
Brdnung:
1.
-
epprox i rni erender
Arbeit
i-ten
E-k (p.L )
bestirnmt,
der
ortsab-
a k = 1 , ? , . . . , N )
{=.8.
kompl i z i erterer
l{ie
in
Parameter
die
'dr./tu(P,O)
'
o
Laut
-
l"lodells
mit
(D
E. (P) = P^'"f tu(Prt)
r
die
t/er=ögerungszeit
die
kann als
= l(_ (P),/El + sr{P)l
betrachtet
werden- Die
o
angegebene modifizierte
l'lomentenmethsde
K(P.s)
nach
r
Zeitkonstante
vereinf
hängigen
7.
t5)
)
Zeitkonstante
mittlere
aus
6
rnmen.
Die
L
{ul'
o
Hauptmatri:<
Parameter
in
beder
on bedeutet.
angegebenen
numeri=chen
Berechnung
Zeitkon=tante,
tner Hauptrnatrix
tHl
(siehe
Ef . (4) )
zur
führt,
kann
,nan die
gelöst
(4.5)
Be=iehungen
der
Hornente 6ur
6leichungssysteme
werden.
Eestiinrnung
vorhandene
3
hteil
des
Software
(?)
und
stationären
zur
im besonderen
mit
das
müssen
gerneinsa-
erste
Systern
Zustandes
Behandlung
sta-
tionärar
Randwertaufgaben
chungssysteme
(Gln
(5)
Hilfsvektoren
{vl- b=w.
nur
durch
die
Eestalt
bel:ommen,
i st
nur
er#orderl
und
rechten
der
nächsten
die
Berechnung
gestatten,
tvtk'}
ei ne geri nge
den
angegebenen
wechgelweise
sich
Um ihre
Hodi f i kati
durch
Gaussche
ausr
berechnet
werden
wird
rur
Lösung
chungssystems
die
braucht
kann
wird,
die
und
können.
Elirnination
für
on
des
eu
Prograrnms
im gerneinsämen
tHl
und
der
f initen
Ee=amtgleichungssystems
verwsndt.
urngewandelte
der
sparsame
Speichergebiet
I'lethode
der
und
Hatri=en
die
reil
Bei
des
optimale
eine
Computer-
vtrn ihr
Berechnung
Da nach
der
Lösung
Hatrix
tHl
nicht
bisher
der
oft
des
mehr
die
Eestaltung
der
Die
modifi=iertan
Zeitl*onstante,
neuen
Helmholtz-6leichung
für
P (c.r) und
Frequen=gangGls,
I io)
Eledie
Eleige-
von
tEl
iCJi.iul'o - {u3..)
Hatrix
auch
ab-
Hatri:<koef{i=ient--en
irn
durch
wieder
für
benut=en.
tHl
I'tarnente Gur
können
tEl
eingenornrnene Speicher-
werden.
ltlstch der Auswertung
von
k-r)
b=ul- ktCltv(
] kann rnan di*sen Speicherplat=
werden.
sich
Lösung
geschriebene
ausgenut=t
B.
der
untergcheiden
Seite.
Algorithmen
Speicherplat=verwaltung
gespeichert
6lei-
\
prograrnm zeichnet
plat=
welche
t9!),
Die
ich.
Das nach
mente
ausnut=en.
be=snderen
Lösung
der
die
inittlere
ent-=prechenden
niedrige
t{reisfrequen=en
ge{unden
sei en derr Real - und
Imagi närtei I
des
wobei
(10)
und
(11)
Damit ergibt
sich
6u = (-r)n
, f ü r k = 2 n - 1 ]
k:
{ ,:
Die
lioef f izienten
t -
mittlere
(2)
Durch
zweimal
guenz
=.8.
I i neare
Zeitkonstante
-, )
(für
gelöst
(1?)
6I. (?)
ge-
)
pu und qu r,rerden aus
wonnenen Frequen=gang,
mi ttel
.
R=lr?r.,.
, f i J r k = 2 n
.o=
Hilfe
mit
Interpol
bestirn[en,
o und die
werden
muß.
4
dem
der
ati on
wobei
aus
rnterpolationr
kann
das
hinreichend
rnan
u. a.
rFdi e
6teichungssystem
kleine
Kreisfre-
Daraus
folgt
Gl(o. )
E
'
9.
Das in
(13)
und
-
.rP(O)
These
B vorgeschlagene
wichtige
Vorteile:
- l'lan kann die schon
stromprobleme
Berechnungsverfahren
vorhandene
gut
besonders
und für
hat
stationäre
entwickelte
zwei
Wirbel-
Software
direkt
ausnut=en;
-
Weil
die
numerischen
durchgeführt
tiefe
werden
verbundenen
Irn Unterschied
fahrent
ist
au den
hier
die
in
der
den.
l'lan kann
mit
approximierende
funktisnen
statt
Die
quenzbereich
*unktionen
niedri
11.
Die
Die
der
ger
nur
in
Frequenren
erarbeiteten
nären
der
rechnen.
dif f usionsartiger
Froresse,
auch
Prablerne
sofern
die
Feldes
der
und
übergangs-
Zeitverlauf,
Bei
gelö=t-
der
gestatten,
fIomente
bestirnmen.
von
nichtstatio-
Voraussetzung
übertragungs-
Hilfe
anwen-
z.B.
die
den Berechnunnur
Randwert-
Diese
Handlungs-
wesentlich
zu
Verhaltens
reduirn Fre-
f,läherungs-überträgung=-
verhältnismäßig
schmalen
Eereich
durchführen.
nurnerischen
getestet
technischen
Härmeleitung
mit
spei-
Algorithrnen
des dynamischen
einem
Berechnungsbeispielen
Aufgaben
Rechenzeit
den Rechenaufwand
sich
größeren
nurneri=chen
und Endzustand)
läßt
Ver-
6leichungssystems
einem
l'lan kann den
Unter=uchung
auf .
6 sl';iz=ierten
Anfangs-Randwertaufgabe
u.a.,
Eindring-
Raurndiskreti=ierung
modifi=ierten
näherungsweise
gestattet
zieren.
behandeln,
(Anfangs-
aufgaben
Hilfe
zu ermitteln.
gen werden
weise
ihrer
Frequenzen
der
elektromagnetischen
ortgabhängige
Sprungantwort,
mit
des kornple;{en
I inearer
zutri+ft.
kleine
keine
vorgeschlagenen
Wärmeleitung
Linearität
der
längeren
quasistationären
des
nären
einer
Analyse
=.8'
treten
sehr
den Thesen 5 und
Lösung
und
Arbeit
l";ann män =ur
in
für
l'1an mu8 demnach mit
cherplatzbedarf
Die
müssen,
Probleme
12, erforderlich.
lü.
Rechnungen
Algorithrnen
und
zur
Elektrodynamik
angewandt,
de Problerne:
5
Untersucht
wurden an
Lösung
und der
ernigen
praktischer
nichtstatio-
r^lurden u.a.
folgen-
-
Das dynamische
offener
Hagnetfelder
magneti
-
Die
schen
Zur
Lösung
der
finiten
einigen
Anordnungen
magnetischen
des
festgtehendem
bei
der
o.g.
der
Analyse
der
der
wonnenen
Ergebnig=e
gewandten
Hethoden
In
dieser
aus
na.chgewiesen.
den
den I'teßwerten
technischen
in
umfassende
hat
des
sowie
gr-tte
eine
ge-
Verfahren
Verwendbarkeit
der
an-
He8e:tperirnente
be-
wurden
die
numerisch
einem "lditterungsfühler"
er-
durch
Genauigkeit
und den folgenden
analysierten
Die
ebenfall=
Lösung
Frequen=bereich
verschiedener
Temperaturvorgänge
übf ichen
Rechengenauig-
Untersuchung
Zeitkonstante)
Hilfe
nurde
Eegenüber
mittelten
mit
Feld-
nurnerischen
(die
und
Methode
offene
durrchgeftihrte
Zeit-
mittler€ln
die
die
der
Pro=esse
im
elektrischen
wurden.
wurde
Problemen
Verhaltens
{Jbereinstirnrnung
stätigt.
eIe$ltro-
elnern 6leich-
räumlich
modelliert
KonvErgenz
an einigen
Auswertung
einer
die
in
aktivenr
wobei
Beispiele
elektromagnetischer
dynamischen
die
und
Die
räurnlich
=ur
hauptsächlich
wurde
Elernenten
betrachteten
diskutiert
ge=eigt-
und
Anker;
angewandt,
infiniten
Flußes
eines
Aufgaben
Elemente
mit
Anhand
keit
13.
begrenzter
Das dynamische
Verhalten
"Wi tterungsf
{Jhl ers".
gebiete
12.
in
räumlich
Abschi rrnung;
Zeitkonstante
strommagnet
-
Verhalten
Thesen
Feldproblernen
mit
berechnet.
sollen
Erkenntnisse,
hervorgingen.
die
dargestellt
werden.
Die
nach
lassen
6*
einer
sich
e-Funl:tion
durch
im besonderen
,
rakterisieren.
nige
,
Verzögerung)
der
Auf
Henngrößen
rnittel
14.
die
der
Angabe einiger
mittleren
6rund
(r.8.
verlaufenden
rnodifizierten
Zeitkonstante
gewonnenen
der
die
Diffusionsvorgänge
t
Homente
Zeitkonstanten,
die
Hornente
= 6n,
kann
man ei-
Brdnung
übertragungsfunktionen
ortsabhängigen
cha-
der
er-
n.
Um die
Näherungs-übertragunggfunl:tion
nen zu
können,
rntissen durch
Bedingungen
erfü1t
werden.
"Approximationsf
ähigkeit"
bestirnrnter
di e Homente
Diese
des
6
Gl r G2 . . . .
Eedingungen
t"lodells
im
Art
gewingewi sse
zeLrgen von
betrachteten
der
6e-
Feld irn ganzen Eebiet
"Approximationsfähigkeit"
tionäre
beste
meinen eine
1 5 . Die
te
ftlr
die
dabei
neben
dem tjhl icherweise
in
Abschirrnungen
1 6 , Die
zur
Farameter
cher
Prozesse
das
sowie
untersuchen
vollständig
hohen
der
bzw.
Behandlung
leitenden
finite
von
eine
Analyse
können,
hfirbelstrornauf
gebietsweise
Bereiche
Elernent
erforderlich,
klein
bl ei bt.
7
kann
rnuß
des
feine
Helmholz-Diffegelöst
ist
werden.
jedoch
bei
Ortsdiskretisierung
damit
gegenüber
mittlere
Frequen=ganges
die
gaben
fnan
Zeithereich
die
z.B.
Frequen=bereich
irn breiten
Frequenzen
das
zu
realisieren
rentialgleichung
der
Um die
im
auch
Zeitparaineter,
einige
bestimfoen.
Zeitkonstante,
Feld
nichtstationäre
Bedeu-
dynamischer
Frequen=ganges
des
einf a-
prakti=che
die
haben
aucht
als
Eharakterigierung
6rund
Auf
bestätigt.
erfolgreich
Bei
=ur
Frequenzanaly='e
der
un-
werden.
angegeben
Berechnungen
durchgeführten
tung
ar-Bereich
und
elektromagnetischen
von
Charakterisierung
kann
könnte
Schi.rrnf al*tor,
benutzten
einem
5ie
erkennen.
Eebiete
inneren
durchläs=igen
l"tan
durchlässigen
Feld
durchdringende
das
Eeschttindig-
6ebiet.
im untersuchten
Feldausbreitung
der
keit
dargestell-
die
und
=u
wer-
herangezogen
graphisch
ihre
Richtung
die
Verteilung
räuinliche
ebenf al I s
si e
Aussagen
verangchaulicht
Zum Beispiel
analy=
der
anhand
kann
wurden
be-
Diffusiclnsvorgangs
t{ie
betrachtet.
physikalisch-technischen
weiteren
allge-
im
analytisch
nur
eines
Dauer
die
gezei gt
Fel dar-tf gaben
si erten
den.
der
als
Zeitparameter
bestimmende
(14)
,
Parameter
bisher
wurde
Zeitkonstante
und nur
rechnet
+ sr(P) lm(P)
ganze ZahI ist.
nicht
mittlere
-
verteilten
Systernen mit
wobei m(P) bei
Die
kann.
Übertragungsele-
das
besitzt
K(Prs) = Ko(Pr/tl
nichtsta-
werden
beschrieben
Ordnung:
n-ter
Verzögerung
mit
dag
bei
daß
bedeutet,
l'todell-Übertragungsfunktron
dieser
Verwendung
ment
"Appror:imationsfähigkeit"
gute
Eine
biet.
die
der
l"laschenweite
Eindringtiefe
17.
Der
Beitrag
des Verfassers
Dif{usionsproze==är,
- Bearbeitung
einer
stimmug
3.
mittleren
neuer
der
teri
Untersuchung
der:
Algorithrnen
und
der
charakterisierenden
=ur
Feldaufgaben
=ur
Be-
anderen
die
Parameterl
rechnergestützten
der
Analy-
Elektrotechnik;
praktischer
Högtishkeiten
von
Ausnutzung
der
Zeitksnstante.
dieser
auf
gemachten
Arbeit
Untersuchungen
allem
- Die
in
neuen
Algorithmen
nichtstationären
in
allem
Zeitkongtante
dieser
Darstellung
numerischen
von
Reihe
Einführung
1E|. Die
Vorschläge
dynamischer
folgende
Fro=esge
allgemeine
wirl,;ungsvol Ie
zur
Fortführung
beziehen
vor
sich
Aufgaben:
Berilcksichtigung
von
nichtlinearen
Ha-
al ei genschaften;
Erweiterung
änderliche
Een der
-
vor
Eigenschaften
mittleren
-
liegt
dynamische
se
-
der
zur
der
erarbeiteten
Felder
unter
Verfahren
auf
Eertlcksichti,gunq
die
rasch
höherer
ver-
Frequen-
Felderregung;
Durchführung
einer
dreidimensionalen
Analyse
dynamischer
Pro=esse.
Zu den praktischen
die
sich
tischen
des
Feldeg
in
Aufgaben
these
der
der
zei tl ichen
Analyse
den
und als
zukünftigen
Identifikation
lichkeitsanalyse
-
technischen
Elel:trodynamik,
des
interessant
elektrornagnenach
Forschungen
Ansicht
betrachtet
gehören:
könnten,
Numerische
der
nichtstationären
verbinden
Verfaggers
werden
-
rnit der
Aufgaben
in
räumlichen
Synthese
Erregung
der
Erregung
Ausgangsverhal
vorgegebenen
ten.
a
die
Ernpfind-
Wirbelstromanordnungen;
nichtstatitrnärer
bei
und
Felder,
z.B.
Syn-
(vorausgesetzten)