Mathematik - Schulbuchzentrum Online

Dr. Claus-Günter Frank und Lothar Gebhard
unter Mitarbeit von Johannes Schornstein
Mathematik
Jahrgangsstufe 2
Berufliche Gymnasien
Lineare Algebra mit Anwendungen,
Vektorgeometrie und Stochastik
Bestellnummer 33522
Bildungsverlag EINS
www.bildungsverlag1.de
Gehlen, Kieser und Stam sind unter dem Dach des Bildungsverlages EINS
zusammengeführt.
Bildungsverlag EINS
Sieglarer Straße 2, 53842 Troisdorf
ISBN 3-427-33522-4
 Copyright 2005: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf
Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den
gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages.
Hinweis zu § 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von
Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.
3
Vorwort
Vorwort
Die Oberstufe der beruflichen Gymnasien in Baden-Württemberg wurde in den
letzten Jahren grundlegend umgestaltet. Grund- und Leistungskurse entfallen, jede
Schülerin und jeder Schüler muss nunmehr einen vierstündigen Mathematik-Kurs
besuchen. Aufgrund dieser Änderungen war es erforderlich, die Lehrbücher
„Lineare Algebra für Wirtschaftsgymnasien“ (03208) und „Stochastik für Wirtschaftsgymnasien“ (03228) vollständig zu überarbeiten und zu ergänzen.
Der hier vorliegende Band „Mathematik für die Jahrgangsstufe 2“ enthält neben
der Stochastik die Grundlagen der Linearen Algebra und die drei im Bildungsplan
aufgeführten Schwerpunkte der Linearen Algebra, von denen an den nichttechnischen beruflichen Gymnasien einer zu wählen ist. Am technischen Gymnasium
besteht diese Wahlmöglichkeit nicht, es muss die Vektorgeometrie behandelt werden.
Eine weitere wesentliche Änderung ist die Zulassung des grafikfähigen Taschenrechners (GTR) als allgemeines Werkzeug. Wir geben ihm in diesem Buch drei
Aufgabenbereiche:
• Als Kontrolleur bei Aufgaben, die der Schüler von Hand (händisch) lösen soll.
Der Schüler kann nun häufig selbstständig beurteilen, ob seine Lösung richtig
ist oder nicht.
• Als Rechner, der manche umfangreiche und schwierige Rechenarbeit übernimmt und so die Bearbeitung weiterer interessanter Aufgaben ermöglicht.
• Als Ideengeber, da der Schüler experimentieren kann, bis ihm die richtige Idee
kommt.
Wir haben uns auf ein Modell, den TI-83 plus, beschränkt, weil dieses nach unseren Beobachtungen an den meisten beruflichen Gymnasien eingeführt ist und es
lineare Gleichungssysteme lösen und mit Matrizen rechnen kann. Allerdings haben
wir bewusst darauf verzichtet, die Bedienung des Rechners in den Vordergrund zu
stellen. Deshalb können alle Aufgaben und Beispiele auch mit anderen Modellen
bearbeitet werden. Unser Ziel ist es, den Schülern zu vermitteln, das Werkzeug
GTR vernünftig einzusetzen: Wann sollte etwas von Hand gerechnet und wann
dem Rechner überlassen werden, wann können sie den Rechenergebnissen vertrauen und wann nicht.
In der Stochastik eröffnet die Programmierung des GTR ein Tor zu vielen interessanten Beispielen und Simulationen. Anregungen dazu finden sich im Buch.
Bewährte Aufgaben aus den oben erwähnten Büchern wurden übernommen und
gegebenenfalls so geändert und ergänzt, dass sie den Anforderungen des neuen
Bildungsplans genügen.
Unser besonderer Dank gilt Herrn Bernd Friebe, der durch seine Ideen und Anregungen zur Verbesserung des Buches beitrug.
Für Anregungen und Korrekturen sind wir dankbar und werden sie gerne in der
nächsten Auflage berücksichtigen.
Sommer 2005
Die Verfasser
Inhaltsverzeichnis
1
Lineare Gleichungssysteme
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.8.1
1.8.2
1.8.3
Beispiele und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme in Stufenform . . . . . . . . . .
Der Gauß’sche Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und der GTR . .
Lineare Gleichungssysteme mit Parametern . . . . . . . . .
Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Addition und skalare Multiplikation . . . . . . . . . . . . . .
Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transponieren einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Wirtschaftliche Anwendungen
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2
2.3
2.4
2.4.1
2.4.2
Die inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . .
Definition der inversen Matrix . . . . . .
Berechnung inverser Matrizen . . . . . . .
Rechenregeln und Anwendungen . . . .
Lineare Matrizengleichungen . . . . . . . .
Mehrstufige Produktionsprozesse . . . .
Input-Output-Modell . . . . . . . . . . . . .
Volkswirtschaftliche Gesamtrechnungen
Das Leontief-Modell . . . . . . . . . . . . . .
3
Lineare Optimierung
3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.2.5
3.2.6
Grafische Lösung von linearen Optimierungsproblemen . . . . . . .
Ein Maximum-Problem und die grafische Lösung . . . . . . . . . . . .
Ein Minimum-Problem und die grafische Lösung . . . . . . . . . . . .
Sonderfälle bei der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Simplex-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Woher kommt der Name Simplex? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Hauptsatz der linearen Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Simplex-Algorithmus – Ausführliche Berechnung der Lösung
Die Simplex-Tabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Auswahl des Pivot-Elementes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sonderfälle bei der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Geometrie
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Anschauungsraum und Koordinatensystem
Parallelverschiebungen und Vektoren . . . . .
Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . .
Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schnitt von Geraden und Ebenen . . . . . . .
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7
8
12
15
23
31
36
41
41
47
56
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59
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136
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149
153
5
Vorwort
4.6.1
4.6.2
4.6.3
4.6.4
4.7
4.7.1
4.7.2
4.8
4.8.1
4.8.2
4.8.3
Punkt – Gerade; Punkt – Ebene . .
Gerade – Gerade . . . . . . . . . . . . . .
Gerade – Ebene . . . . . . . . . . . . . .
Ebene – Ebene . . . . . . . . . . . . . . .
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
Die Länge eines Vektors . . . . . . . .
Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . .
Abstände (Johannes Schornstein) . .
Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
Stochastik
5.1
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.2
5.2.1
5.2.2
5.3
5.3.1
5.3.2
5.4
5.4.1
5.4.2
5.4.3
5.4.4
5.5
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . .
Deterministisches und stochastisches Experiment . . . . . . . . . . . . .
Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . .
Was ist Wahrscheinlichkeit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Baumdiagramm
Laplace-Wahrscheinlichkeit und Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . .
Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Zufallsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition der Zufallsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . .
Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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168
168
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177
177
178
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(Johannes Schornstein) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
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204
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222
222
229
234
234
236
238
240
246
6
Zeichen und Begriffe
Zeichen und Begriffe
A ⫽ {0; 1; 2; 3}
A ⫽ {x ⱍ x 苸 ⺞ ∧ x ⬍ 4}
aufzählende Form einer endlichen Menge
beschreibende Form einer endlichen Menge; A ist die Menge
aller x, für die gilt: x ist eine natürliche Zahl und x ist kleiner
als 4.
2僆A
2 ist Element von A.
4僆A
4 ist kein Element von A.
{ } oder 0
leere Menge; Sie enthält kein Element.
D
Definitionsbereich, Definitionsmenge
W
Wertebereich, Wertemenge
L
Lösungsmenge
⺞ ⫽ {0; 1; 2; …}
Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich der Null)
⺪ ⫽ {…; ⫺2; ⫺1; 0; 1; 2; …} Menge der ganzen Zahlen
⺡
Menge der rationalen Zahlen
⺢
Menge der reellen Zahlen
⺞*, ⺪*, ⺡*, ⺢*
Mengen ⺞, ⺪, ⺡, ⺢ ohne die Null
⺪ +, ⺡ +, ⺢ +
positive Zahlen der Mengen ⺪, ⺡, ⺢ (einschließlich der
Null)
⺪*+ , ⺡*+ , ⺢*+
positive Zahlen der Mengen ⺪, ⺡, ⺢ (ohne die Null)
⺪ ⫺, ⺡ ⫺, ⺢ ⫺
negative Zahlen der Mengen ⺪, ⺡, ⺢ (einschließlich der
Null)
⺪*⫺, ⺡*⫺, ⺢*⫺
negative Zahlen der Mengen ⺪, ⺡, ⺢ (ohne die Null)
aជ , bជ , cជ
Vektoren (Spaltenvektoren)
aជ T, bជ T, cជT
transponierte Vektoren (Zeilenvektoren)
A, B, C
Matrizen
A⫺1
inverse Matrix zu A
Einheitsmatrix
E
O
Nullmatrix
E⫺A
Leontief-Matrix
(E ⫺ A)⫺1
Leontief-Inverse
P(x1/x2), Q(x/y)
Punkte der Ebene
P(x1/x2/x3), Q(x/y/z)
Punkte des Anschauungsraums
O(0/0), O(0/0/0)
Ursprung
AB
Strecke zwischen den Punkten A und B
>
OA ⫽ aជ
Vektor vom Ursprung O zum Punkt A; Ortsvektor von A
>
>
>
AB ⫽ OB⫺OA
Vektor von A nach B
X
häufig beliebiger Punkt auf einer Geraden, Ebene, …
>
OX ⫽ xជ
Ortsvektor von X
g
Gerade
E
Ebene
aជ * bជ
Skalarprodukt der Vektoren aជ und bជ
|aជ |
Länge (Betrag) des Vektors aជ
nជ
Normalenvektor
1
1.1
Lineare Gleichungssysteme
Beispiele und Definition
10 Rosen und 6 Gerbera kosten 22,00 A.
Wieviel kostet eine Rose und wieviel
eine Gerbera?
Herr Schweizer startet um 10:00 Uhr in der Schwarzwaldstrasse in Basel und fährt
mit der konstanten Geschwindigkeit 60 km
h Richtung Freiburg, Frau Deutschmann
beginnt 10:20 Uhr in der Schwarzwaldstraße in Freiburg die Fahrt nach Basel. Ihr
Auto hat die konstante Geschwindigkeit 75 km
h . Die beiden Startpunkte liegen
70,9 km voneinander entfernt. Wann und wo begegnen sie sich?
Ein Automat akzeptiert Münzen zu 50 Cent, 1,00 A
und 2,00 A. Als er geleert wird, enthält er 345 Münzen im Wert von 366,00 A, die zusammen 2,7477 kg
wiegen. Wie viele Münzen von jeder Sorte sind es?
8,5 g
7,5 g
7,8 g
Aus 20 Litern 60 %iger und 10 Litern 85 %iger Salzsäure sollen 10 Liter 65 %iger,
10 Liter 70 %iger und 10 Liter 75 %iger Salzsäure hergestellt werden. Ist das möglich?
Die Vorgehensweise beim Lösen ist in allen Beispielen die gleiche. Eine Antwort
auf die gestellte Frage findet man, indem man mithilfe der Angaben Gleichungen
aufstellt. Die Gleichungen, die zu einem Problem gehören, bilden ein Gleichungssystem. Seine Lösungsmenge besteht aus den gemeinsamen Lösungen aller Gleichungen eines Problems.
Hier behandeln wir die Lösung linearer Gleichungssysteme. Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus linearen Gleichungen, die Unbekannten kommen
also in den Gleichungen ausschließlich in der ersten Potenz vor.
8
1
Lineare Gleichungssysteme
beispiele
3x⫹2y⫺4z⫽ 5
6 x ⫺ 5 y ⫹ z ⫽ ⫺6
2 x ⫹ 2 y ⫺ 3 z ⫽ 12
11 a ⫹ 2 b ⫽ 43
13 a ⫹ 5 b ⫽ 12
6 a ⫺ 12 b ⫽ 21
⫺3 x1 ⫹ 5 x2 ⫹ 5 x3 ⫹ 2 x4 ⫽ 23
3 x1 ⫹ 8 x2 ⫺ 2 x3 ⫹ 7 x4 ⫽ 11
9 x1 ⫹ 5 x2 ⫺ 8 x3 ⫹ x4 ⫽ 21
Die Unbekannten oder Variablen werden meist mit x, y, z oder x1, x2, x3, …
bezeichnet, aber auch andere Buchstaben kommen vor.
Die Anzahl der Variablen und die Anzahl der Gleichungen eines Gleichungssystems hängen vom jeweiligen Problem ab. Es ist nicht zwingend, dass es genauso
viele Gleichungen wie Variable gibt. Im Extremfall kann ein Gleichungssystem aus
einer Gleichung bestehen.
1.2
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
In diesem Abschnitt betrachten wir lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
und fassen bereits bekannte Tatsachen zusammen.
In einer linearen Gleichung mit einer Variablen, z. B. 5 x ⫹ 11 ⫽ 31, kann man die
Variable x durch jede reelle Zahl ersetzen und erhält dann eine wahre oder eine
falsche Aussage. Man sagt, die Definitionsmenge dieser Gleichung ist die Menge
der reellen Zahlen oder auch kurz D ⫽ ⺢. Die Lösungsmenge enthält die Zahlen
der Definitionsmenge, die eingesetzt in die Gleichung eine wahre Aussage ergeben.
In obigem Beispiel ist L ⫽ {4}.
Ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen gegeben, z. B. 4 x1 ⫹ 2 x2 ⫽ 6, muss
für x1 und für x2 jeweils eine Zahl eingesetzt werden. Dann kann entschieden
werden, ob sich eine wahre oder falsche Aussage ergibt. Die Definitionsmenge
dieser Gleichung enthält also alle geordneten Zahlenpaare1, kurz D ⫽ ⺢ ⫻ ⺢.
Jedem geordneten Zahlenpaar entspricht ein Punkt im Koordinatensystem und
umgekehrt.
Das Zahlenpaar (3; 1) ergibt die falsche Aussage 4 ⋅ 3 ⫹ 2 ⋅ 1 ⫽ 6 und gehört
deshalb nicht zur Lösungsmenge der Gleichung. Dagegen ist das Zahlenpaar
(2; ⫺1) ein Element der Lösungsmenge, da 4 ⋅ 2 ⫹ 2 ⋅ (⫺1) ⫽ 6 eine wahre Aussage
ist. Zur Lösungsmenge obiger Gleichung gehört aber nicht nur dieses Zahlenpaar,
sondern unendlich viele. (⫺2; 7), (⫺1; 5), (1,5; 0), (0; 3) oder (4; ⫺5) sind einige
dieser unendlich vielen Elemente der Lösungsmenge.
Markiert man im Koordinatensystem die Punkte, die den Zahlenpaaren der
Lösungsmenge entsprechen, dann stellt man fest, dass sie auf der Geraden mit der
Gleichung x2 ⫽ ⫺2 x1 ⫹ 3 liegen. Umgekehrt stellt jeder Punkt dieser Geraden
eine Lösung der Gleichung 4 x1 ⫹ 2 x2 ⫽ 6 dar.
1 Die Produktmenge D ⫽ ⺢ ⫻ ⺢ besteht aus allen geordneten Paaren (x; y), wobei x 僆 ⺢ und
y 僆 ⺢: ⺢ ⫻ ⺢ ⫽ {(x; y) | x 僆 ⺢ und y 僆 ⺢}.
1
9
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Sieht man von den beiden Sonderfällen 0 x1 ⫹ 0 x2 ⫽ 0, der von jedem Zahlenpaar
gelöst wird, und z. B. 0 x1 ⫹ 0 x2 ⫽ 7, der keine Lösung hat, ab, lässt sich die
Lösungsmenge jeder linearen Gleichung mit zwei Variablen als Gerade im Koordinatensystem darstellen.
Für die Lösungsmenge eines LGS mit zwei Variablen und mindestens zwei Gleichungen ergeben sich drei Möglichkeiten:
1. Die Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt, die Lösungsmenge des LGS ist
die leere Menge.
beispiele
3 x1 ⫹ 9 x2 ⫽ 9 (1)
2 x1 ⫹ 6 x2 ⫽ 0 (2)
⫺x1 ⫹ x2 ⫽ 2 (1)
⫺2 x1 ⫹ x2 ⫽ ⫺1 (2)
3 x1 ⫹ 3 x2 ⫽ ⫺3 (3)
2. Die Geraden verlaufen durch einen gemeinsamen Punkt, die Lösungsmenge des
LGS wird grafisch durch den Schnittpunkt dargestellt, d. h. sie besteht aus einem
geordneten Zahlenpaar.
beispiele
x1 ⫹ 2 x2 ⫽ 4 (1)
2 x1 ⫺ 2 x2 ⫽ 2 (2)
x1 ⫹ x2 ⫽ 2 (1)
3 x1 ⫺ 3 x2 ⫽ 0 (2)
2 x1 ⫹ x2 ⫽ 3 (3)
S (1/1)
10
1
Lineare Gleichungssysteme
3. Die Geraden fallen zusammen, jede einzelne Gleichung hat dieselbe Lösungsmenge, die dann auch die Lösungsmenge des LGS ist. Sie enthält unendlich viele
geordnete Zahlenpaare.
beispiel
3 x1 ⫹ 2 x2 ⫽ 6 (1)
6 x1 ⫹ 4 x2 ⫽ 12 (2)
Die beiden Geraden sind identisch.
Jeder der unendlich vielen Punkte auf
den Geraden ist eine Lösung der beiden
Gleichungen. Die Lösungsmenge enthält unendlich viele Elemente.
(2)
Wie oben erwähnt kann jede einzelne
der Gleichungen außer einer unendlichen Teilmenge von ⺢ ⫻ ⺢, die im Achsenkreuz als Gerade dargestellt werden
kann, die leere Menge oder ⺢ ⫻ ⺢ als
(1)
Lösungsmenge haben.
Berücksichtigt man dies, erhöht sich die Zahl der Kombinationen bei der Lösungsmenge des Gleichungssystems.
Rechnerisch wurden lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen und zwei Gleichungen in der Mittelstufe mit dem
• Einsetzungsverfahren (und dem Gleichsetzungsverfahren als Spezialfall davon)
und dem
• Additionsverfahren
gelöst. Das Additionsverfahren lässt sich am besten auf lineare Gleichungssysteme
mit mehreren Variablen übertragen.
Die Grundidee des Additionsverfahrens ist, ein geeignetes Vielfaches der einen
Gleichung zur zweiten zu addieren, damit eine Variable herausfällt. Das ist immer
möglich, wie folgendes Beispiel zeigt.
Die beiden Gleichungen des LGS sind
3 x1 ⫹ 2 x 2 ⫽ 9
7 x 1 ⫹ 9 x2 ⫽ 8
Das Wievielfache der ersten Gleichung muss zur zweiten addiert werden, damit
x1 herausfällt?
Man teilt zuerst die erste Gleichung durch den Koeffizienten von x1, multipliziert
sie dann mit dem Koeffizienten von x1 aus der zweiten Gleichung und achtet
schließlich noch auf entgegengesetzte Vorzeichen.
3x1
1x1
7x1
–7x1
:3
·7
Vorzeichen
·(– –37 )
Rechnung
3 x1 ⫹ 2 x2 ⫽ 9
7 x 1 ⫹ 9 x2 ⫽ 8
(1)
(2)
1
11
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
⫺73 ⋅ (1)
(1) ⫹ (2)
ausführlich
⫺7 x1 ⫺ 14
3 x2 ⫽ ⫺21
7 x 1 ⫹ 9 x2 ⫽
8
kürzer
(1)
3 x1 ⫹ 2 x2 ⫽ ⫺ 9
7
13
(2) ⫺3 ⋅ (1) ⫹ (2)
3 x2 ⫽ ⫺13
⫺7 x1 ⫺ 14
3 x2 ⫽ ⫺21
13
3 x2 ⫽ ⫺13
(1)
(2)
(1)
(2)
Nach der Division durch 13
3 folgt aus der letzten Gleichung x2 ⫽ ⫺3. Setzt man
diesen Wert in die erste Gleichung
3 x1 ⫹ 2 ⋅ (⫺3) ⫽ 9
ein, erhält man
x1 ⫽ 5.
Satz 1.1
Die Addition einer Gleichung eines LGS zu einer anderen ändert die Lösungsmenge des LGS nicht.
Überzeugen Sie sich durch Einsetzen, dass (3; 7) zur Lösungsmenge jeder der
beiden Gleichungen des LGS
3 x1 ⫺ 2 x2 ⫽ ⫺5
⫺2 x1 ⫹ x2 ⫽ 1
gehört.
Addiert man die erste Gleichung zur zweiten, ergibt sich das LGS
3 x1 ⫺ 2 x2 ⫽ ⫺5
(3 x1 ⫺ 2 x2) ⫹ (⫺2 x1 ⫹ x2) ⫽ ⫺5 ⫹ 1.
Setzt man in die neue zweite Gleichung 3 für x1 und 7 für x2 ein, ergibt sich
ebenfalls eine wahre Aussage, da die erste Klammer den Wert ⫺5 und die zweite
den Wert 1 annimmt.
Jede Lösung des LGS vor dem Addieren der beiden Gleichungen ist auch Lösung
des LGS nach dem Addieren der beiden Gleichungen.
Es wäre denkbar, dass durch die Addition zweier Gleichungen zwar keine Lösungen verloren gehen, aber neue Lösungen hinzukommen. Um diese Frage zu klären,
betrachten wir folgendes LGS:
8 x 1 ⫹ 5 x2 ⫽ 1
2 x1 ⫹ 3 x2 ⫽ ⫺5
Addiert man die erste zur zweiten Gleichung, ergibt sich
8 x 1 ⫹ 5 x2 ⫽ 1
10 x1 ⫹ 8 x2 ⫽ ⫺4
Überzeugen Sie sich durch Einsetzen, dass das Zahlenpaar (2; ⫺3) zur Lösungsmenge des neuen LGS gehört.
Die zweite Gleichung des neuen LGS entstand durch die Addition der ersten Gleichung des alten LGS zur zweiten:
(8 x1 ⫹ 5 x2) ⫹ (2 x1 ⫹ 3 x2) ⫽ 1 ⫹ (⫺5).
Setzt man 2 für x1 und ⫺3 für x2 ein, ergibt sich eine wahre Aussage. Da dieses
Zahlenpaar auch die erste Gleichung des neuen LGS löst, nimmt die erste Klammer den Wert 1 an. Deshalb muss die zweite Klammer den Wert ⫺5 annehmen.
Das bedeutet, dass das Zahlenpaar (2; ⫺3) auch eine Lösung der alten zweiten
Gleichung 2 x1 ⫹ 3 x2 ⫽ ⫺5 und damit des alten LGS ist.
12
1
Lineare Gleichungssysteme
Diese Überlegungen wurden anhand zweier konkreter LGS durchgeführt. Es ist
aber offensichtlich, dass sie für jedes andere LGS, unabhängig von der Anzahl
seiner Variablen, genauso gelten.
aufgaben
Bestimmen Sie unter Verwendung des Additionsverfahrens die Lösung:
01
a)
3 x1 ⫹ 2 x2 ⫽ ⫺4
4 x1 ⫺ 32 x2 ⫽
d)
02
1
3 x1 ⫺ 2x2
7
23
4 x1 ⫺ 2 x2
⫽ 17
04
c)
⫺2 x1 ⫹ 0,8 x2 ⫽ 1,6
1
2
3
e)
⫽ 34
x1 ⫺ 13 x2 ⫽
3 x1 ⫹ 12 x2 ⫽
1
f)
37
2
1
8
3
⫺5
8
5
x1 ⫹ 13 x2 ⫽
1
5
x1 ⫹ 16 x2 ⫽
0
x1 ⫺ 8 x 2 ⫽ 1
⫺x1 ⫹ 5 x2 ⫽ 15
Geben Sie ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen an, das folgende
Lösungsmenge hat:
a) L ⫽ {(3; 7)}
03
b) ⫺5 x1 ⫹ 2 x2 ⫽ 3
b) L ⫽ {(⫺1; 8)}
c) L ⫽ {(12 ; 56)}
Lösen Sie folgende lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen. Interpretieren Sie
die Ergebnisse grafisch.
a) ⫺2 x1 ⫹ x2 ⫽ ⫺1
x 1 ⫹ x2 ⫽ 5
x1 ⫺ 2 x2 ⫽ ⫺4
b)
3 x1 ⫹ 2 x2 ⫽ 1
⫺3 x1 ⫹ x2 ⫽ 5
x1 ⫹ 7 x2 ⫽ 13
c)
x1 ⫹
x2 ⫽ ⫺2
2 x1 ⫹
x2 ⫽
1
⫺4 x1 ⫹ 12 x2 ⫽ 24
d) ⫺7 x1 ⫹ 4 x2 ⫽ 13
4 x1 ⫹ 3 x2 ⫽ 19
3 x 1 ⫺ 7 x2 ⫽ 5
e)
2 x1 ⫺ x2 ⫽ 0
3 x1 ⫹ 2 x2 ⫽ 0
2 x1 ⫹ 4 x2 ⫽ 0
f)
6 x1 ⫺ 3 x2 ⫽ 9
⫺2 x1 ⫹ x2 ⫽ 1
x1 ⫺ 2 x2 ⫽ 1
Geben Sie ein
a) eindeutig lösbares
b) unlösbares
c) mehrdeutig lösbares
lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen und 3 Gleichungen an.
05
Maier und Müller sollen zusammen eine bestimmte Arbeit verrichten. Wenn beide
daran arbeiten, so wird sie in 2,4 Tagen fertig. Wenn Maier einen Tag und Müller
zwei Tage daran arbeiten, werden 23 der Arbeit fertig. Wie viele Tage braucht jeder
alleine für die Arbeit?
06
A chemist has two concentrates of acid: a 20 % solution and a 25 % solution. How
much of each solution should be mixed to get 80 milliliters of a 23.75 % solution?
1.3
Lineare Gleichungssysteme in Stufenform
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems folgenden Typs lässt sich
einfach bestimmen.
2 x1 ⫺ x2 ⫹ 2 x3 ⫺ 3 x4 ⫽ ⫺19
x2 ⫹ x3 ⫹ 5 x4 ⫽ 13
⫺ 4 x3 ⫺ 2 x4 ⫽ 10
3 x4 ⫽
9
(1)
(2)
(3)
(4)
1
Lineare Gleichungssysteme in Stufenform
13
Man nennt diese Form eines Gleichungssystems Stufenform oder Dreiecksform1.
Beim linearen Gleichungssystem mit 2 Variablen ergab sich am Ende, nachdem
aus einer Gleichung eine Lösungsvariable herausgefallen war, ebenfalls Stufenform.
Aus Gleichung (4) folgt sofort:
x4 ⫽ 3.
Setzt man diese Lösung in (3) ein, erhält man eine Gleichung mit einer Unbekannten:
⫺4 x3 ⫺ 6 ⫽ 10
x3 ⫽ ⫺4
Nachdem x4 und x3 bekannt sind, lässt sich x2 aus (2) berechnen:
x2 ⫺ 4 ⫹ 15 ⫽ 13
x2 ⫽ 2
und damit x1 aus (1):
2 x1 ⫺ 2 ⫺ 8 ⫺ 9 ⫽ ⫺19
x1 ⫽
0
Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist L ⫽ {(0; 2; ⫺4; 3)}.
• Die Lösung eines Gleichungssystems in Stufenform ist eindeutig bestimmt
(d. h. es gibt genau eine Lösung), wenn der Koeffizient von x1 in der ersten
Gleichung, von x2 in der zweiten Gleichung, von x3 in der dritten Gleichung
usw. ungleich null ist.
• Unlösbar dagegen ist das nachstehende Gleichungssystem:
3 x 1 ⫹ 2 x2 ⫹ 3 x3 ⫽ 1
⫺7 x2 ⫹ 3 x3 ⫽ ⫺2
0 x3 ⫽ 5
Da die letzte Gleichung keine Lösung hat, ist auch das LGS unlösbar. Man kann
für x3 jede Zahl einsetzen, die Aussage wird nie wahr!
• Unendlich viele Lösungen hat im Gegensatz dazu das LGS
3 x1 ⫹ 2 x2 ⫹ 3 x3 ⫽ 1 (1)
⫺7 x2 ⫹ 3 x3 ⫽ ⫺2 (2)
0 x3 ⫽ 0 (3)
Beispielweise stimmt Gleichung (3) für x3 ⫽ 4.
Aus Gleichung (2) erhält man dann:
⫺7 x2 ⫹ 3 ⋅ 4 ⫽ ⫺2 bzw. x2 ⫽ 2
Setzt man diese beide Werte in Gleichung (1) ein, kann man x1 berechnen:
3 x1 ⫹ 2 ⋅ 2 ⫹ 3 ⋅ 4 ⫽ 1
3 x1 ⫽ ⫺15
x1 ⫽ ⫺5
Eine Lösung des LGS ist (⫺5; 2; 4).
Gleichung (3) stimmt aber auch für x3 ⫽ ⫺10.
Aus Gleichung (2) ergibt sich dann x2 ⫽ ⫺4 und aus Gleichung (1) folgt x1 ⫽ 13.
Eine weitere Lösung des LGS ist (13; ⫺4; ⫺10).
1 Ausführlich müsste man schreiben:
2x1 ⫺ x2 ⫹ 2x3 ⫺ 3x4 ⫽⫺19
0x1 ⫹ x2 ⫹ x3 ⫹ 5x4 ⫽ 13
0x1 ⫹ 0x2 ⫺ 4x3 ⫺ 2x4 ⫽ 10
0x1 ⫹ 0x2 ⫹ 0x3 ⫹ 3x4 ⫽ 9
Da aus dem Zusammenhang hervorgeht, dass die Gleichungen vier Variable haben, wird
das Mitführen der Summanden 0x1, 0x2 und 0x3 verzichtet.
(1)
(2)
(3)
(4)
auf
14
1
Lineare Gleichungssysteme
Dieses Verfahren kann man so fortsetzen, das LGS hat offenbar unendlich viele
Lösungen, da für x3 jede beliebige Zahl gewählt werden kann. Um die Lösungsmenge des LGS trotzdem darstellen zu können, setzt man x3 ⫽ k mit k 僆 ⺢ und
berechnet dann mithilfe der beiden anderen Gleichungen x2 und x1.
⫺7 x2 ⫹ 3 k ⫽ ⫺2
⫺7 x2 ⫽ ⫺3 k ⫺2
x2 ⫽ 37 k ⫹ 27
3
2
• Aus (1) ergibt sich: 3 x1 ⫹ 2 ⋅ (7 k ⫹ 7 ) ⫹ 3 k ⫽ 1
3 x1 ⫹ 67 k ⫹ 47 ⫹ 3 k ⫽ 1
3
3 x1 ⫽ ⫺27
7 k⫹7
9
1
x1 ⫽ ⫺7 k ⫹ 7
Zur Lösungsmenge gehören somit alle Zahlentripel der Form
(⫺ 97 k ⫹ 17 ; 37 k ⫹ 27 ; k) oder kürzer L ⫽ {(⫺97 k ⫹ 17 ; 37 k ⫹ 27 ; k)|k 僆 ⺢}.
Aus (2) folgt:
• Das lineare Gleichungssystem
3 x1 ⫹ 2 x2 ⫹ 3 x3 ⫽ 1 (1)
⫺7 x2 ⫹ 3 x3 ⫽ ⫺2 (2)
hat dieselbe Lösungsmenge wie das vorangehende LGS. Da es aus zwei Gleichungen mit drei Variablen besteht, ist eine Variable frei wählbar. Rechnerisch
am einfachsten ist es, x2 oder x3 frei zu wählen. Da wir bereits die Lösungsmenge
kennen, die sich ergibt, wenn x3 frei gewählt wird, wählen wir jetzt x2 als freie
Variable: x2 ⫽ t mit t 僆 ⺢.
Aus Gleichung (2) folgt dann ⫺7t ⫹ 3 x3 ⫽ ⫺2 bzw. x3 ⫽ 73 t ⫺ 23 .
Setzt man in Gleichung (1) ein, ergibt sich 3 x1 ⫹ 2 t ⫹3 ⋅ (73 t ⫺ 23) ⫽ 1 bzw.
x1 ⫽ ⫺3t ⫹ 1.
Die Lösungsmenge ist somit L ⫽ {(⫺3 t ⫹ 1; t; 73 t ⫺ 23)|t 僆 ⺢}.
Lassen Sie sich nicht irritieren, weil wir vorher als Lösungsmenge
L ⫽ {(⫺ 97 k ⫹ 17 ; 37 k ⫹ 27 ; k)/k 僆 ⺢} erhielten. Es handelt sich um dieselbe Menge,
die nur unterschiedlich dargestellt ist! Setzt man für k und t alle reellen Zahlen
ein, stellt man fest, dass die beiden Mengen genau die gleichen Elemente haben.
Beispielsweise erhält man die Lösung (⫺2; 1; 53) für k ⫽ 53 und für t ⫽ 1.
• Bei folgendem LGS mit drei Gleichungen und vier Variablen ist wiederum eine
Variable frei wählbar.
x1 ⫹ 2 x2 ⫺ 4 x3 ⫹ 5 x4 ⫽ 5 (1)
⫺2 x3 ⫹ 5 x4 ⫽ 6 (2)
4 x4 ⫽ 16 (3)
Rechnerisch am einfachsten ist es hier, x2 oder x1 frei zu wählen.
Aus Gleichung (3) ergibt sich x4 ⫽ 4.
Aus Gleichung (2) folgt dann x3 ⫽ 7.
x2 wählen wir frei: x2 ⫽ k mit k 僆 ⺢.
Aus Gleichung (1) folgt dann x1 ⫹ 2k ⫺ 28 ⫹ 20 ⫽ 5 bzw. x1 ⫽ ⫺2k ⫹ 13.
Die Lösungsmenge ist also L ⫽ {(⫺2k ⫹ 13; k; 7; 4)|k 僆 ⺢}.
• Das lineare Gleichungssystem
2 a ⫹ 2 b ⫹ 3 c ⫹ 4 d ⫺ 3 e ⫽ 0 (1)
4 c ⫹ 2 d ⫺ 2 e ⫽ 8 (2)
3 e ⫽ 6 (3)
besteht aus drei Gleichungen mit fünf Variablen. Zwei Variable sind frei wählbar.
15
Der Gauß’sche Algorithmus
1
Aus Gleichung (3) folgt e ⫽ 2.
Setzt man (um Brüche zu vermeiden) c ⫽ s mit s 僆 ⺢,
folgt aus Gleichung (2): 4 s ⫹ 2 d ⫺ 4 ⫽ 8 bzw. d ⫽ ⫺2 s ⫹ 6.
Wir wählen jetzt b als zweite freie Variable: b ⫽ t mit t 僆 ⺢.
Aus Gleichung (1) folgt schließlich 2 a ⫹ 2 t ⫹ 3 s ⫹ 4 ⋅ (⫺2 s ⫹ 6) ⫺ 6 ⫽ 0
bzw.
a ⫽ 2,5 s – t ⫺ 9.
Die Lösungsmenge ist L ⫽ {(2,5 s ⫺ t ⫺ 9; t; s; ⫺2 s ⫹ 6; 2)|s, t 僆 ⺢}.
• Obwohl das lineare Gleichungssystem
2 a ⫹ 2 b ⫹ 3 c ⫹ 4 d ⫺ 3 e ⫽ 0 (1)
4 c ⫹ 2 d ⫺ 2 e ⫽ 8 (2)
0 e ⫽ 6 (3)
ebenfalls mehr Variable als Gleichungen hat, ist es unlösbar. Gleichung (3) wird
nie wahr.
aufgaben
01
Bestimmen Sie die Lösung folgender linearer Gleichungssysteme:
a) x1 ⫺ x2 ⫺ 12 x3
⫽3
b) 9 x1 ⫹ 2 x2 ⫺ x3 ⫹ 3 x4 ⫺ 4 x5 ⫽
1
8
x2 ⫹
3
4
x3 ⫺
1
16
x4 ⫽ 2
3 x2 ⫹ 4 x3 ⫺ 7 x4 ⫹ 6 x5 ⫽
1
4
⫺ 3 x3 ⫹ 7 x4 ⫽ 9
2 x4 ⫽ 0
c) ⫺2 x1 ⫹ 2 x2 ⫺ 3 x3 ⫹ 4 x4 ⫽ ⫺3
x 2 ⫺ 6 x3 ⫺ x 4 ⫽ 0
3 x3 ⫺ 2 x4 ⫽ 1
02
1.4
⫺ x3
d) a ⫺ 3 b ⫹ 2 c ⫽ 0
2b⫹c⫺d⫽2
3d⫽6
15
17
x5 ⫽
1
2
⫹ x5 ⫽
0
2 x4 ⫺ 5 x5 ⫽ ⫺10
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme mit 3 Variablen und einer Gleichung.
b) ⫺x1 ⫹ 2 x2 ⫺ 4 x3 ⫽ 0
a) 3 x1 ⫹ 9 x2 ⫺ 6 x3 ⫽ 3
Der Gauß’sche Algorithmus
Im vorangehenden Abschnitt haben
wir die Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme bestimmt, die Stufenform hatten. Es ist aber eher
die Ausnahme, dass lineare Gleichungssysteme von vornherein in
dieser Form vorliegen. Normalerweise müssen sie erst durch Umformungen, die ihre Lösungsmenge
nicht ändern, auf Stufenform gebracht werden. Das Rechenverfahren geht nicht nur auf Carl Friedrich Gauß1 zurück, sondern trägt auch dessen
Namen.
1 Carl Friedrich Gauß (1777–1855), dt. Mathematiker, Astronom und Physiker.