Faszination Finanzmathematik – Aufgaben, Prinzipien und Methoden

Interdisziplinäres Seminar „Der Mathematische Blick“, 12.11.2007
Faszination Finanzmathematik –
Aufgaben, Prinzipien und Methoden
Ralf Korn
1. Was ist Finanzmathematik ?
2. Risiko modellieren, nutzen, beschränken: Optimales Investment
3. Der Erwartungswert-Varianz-Ansatz im Ein-Perioden-Modell
4. Optionsbewertung – Einfache Modelle und Prinzipien
5. Moderne Finanzmathematik in Praxis und Forschung
0. Was habe ich im Blick ?
0. Was habe ich im Blick ?
Risiko, genauer: Finanzielles Risiko
0. Was habe ich im Blick ?
Risiko, genauer: Finanzielles Risiko
Ziel:
• Mathematische Beschreibung („Modellierung“) des
• Versicherung („Hedging“) gegen Folgen des
• Ausnutzen („Portfolio-Optimierung“) des
Risikos in der
Finanzmathematik
0. Was habe ich im Blick ?
Risiko, genauer: Finanzielles Risiko
Ziel:
• Mathematische Beschreibung („Modellierung“) des
• Versicherung („Hedging“) gegen Folgen des
• Ausnutzen („Portfolio-Optimierung“) des
Risikos in der
Finanzmathematik
Zusätzlich: Varianten/Anwendungen für den Schulunterricht
1. Was ist Finanzmathematik ?
Financial mathematics
Modeling of stock
and bond prices
Optimal investment
(Optimal portfolios)
Option pricing
Risk management
1. Was ist Finanzmathematik ?
Financial mathematics
Modeling of stock
and bond prices
Optimal investment
(Optimal portfolios)
Option pricing
Risk management
Welche Mathematik wird benötigt ?
• Stochastik (insbesondere stochastische Prozesse)
• Statistik
• Stochastische Analysis (Itô-Kalkül)
• (Nicht-lineare) Optimierung
• Partielle Differerentialgleichungen
• Stochastische Steuerung (Dynamische Optimierung)
• Numerische Methoden
• Monte Carlo Methoden
2. Risiko modellieren, nutzen, beschränken: Optimales Investment
Gegeben: Anfangskapital X (0)
Was heißt „ optimal “ ?
ϕ
→
Gesucht: Optimales Endvermögen X ϕ (T )
2. Risiko modellieren, nutzen, beschränken: Optimales Investment
Gegeben: Anfangskapital X (0)
Was heißt „ optimal “ ?
ϕ
→
Gesucht: Optimales Endvermögen X ϕ (T )
1.Idee:
Bestimme die Investmentstrategie ϕ * , die zum größten Endvermögen führt, also
X ϕ* (T ) = max X ϕ (T )
ϕ
2. Risiko modellieren, nutzen, beschränken: Optimales Investment
Gegeben: Anfangskapital X (0)
Was heißt „ optimal “ ?
ϕ
→
Gesucht: Optimales Endvermögen X ϕ (T )
1.Idee:
Bestimme die Investmentstrategie ϕ * , die zum größten Endvermögen führt, also
X ϕ* (T ) = max X ϕ (T )
ϕ
Alternativen:
1,03
1,025
1,02
1,015
1,01
1,005
1
0,995
1. Apr. 1. Mai. 31. Mai. 30. Jun. 30. Jul.
Dax
Festgeld
29.
Aug.
28.
Sep.
2. Risiko modellieren, nutzen, beschränken: Optimales Investment
Gegeben: Anfangskapital X (0)
Was heißt „ optimal “ ?
ϕ
→
Gesucht: Optimales Endvermögen X ϕ (T )
1.Idee:
Bestimme die Investmentstrategie ϕ * , die zum größten Endvermögen führt, also
X ϕ* (T ) = max X ϕ (T )
ϕ
aber: nur möglich, wenn die Aktienkurse im voraus bekannt wären !
2. Risiko modellieren, nutzen, beschränken: Optimales Investment
Gegeben: Anfangskapital X (0)
Was heißt „ optimal “ ?
ϕ
Gesucht: Optimales Endvermögen X ϕ (T )
→
1.Idee:
Bestimme die Investmentstrategie ϕ * , die zum größten Endvermögen führt, also
X ϕ* (T ) = max X ϕ (T )
ϕ
aber: nur möglich, wenn die Aktienkurse im voraus bekannt wären !
2.Idee:
Bestimme die Investmentstrategie ϕ * , die zum größten erwarteten Endvermögen führt, also
E X ϕ* (T ) = max E X ϕ (T )
(
)
ϕ
(
)
2. Risiko modellieren, nutzen, beschränken: Optimales Investment
Gegeben: Anfangskapital X (0)
Was heißt „ optimal “ ?
ϕ
Gesucht: Optimales Endvermögen X ϕ (T )
→
1.Idee:
Bestimme die Investmentstrategie ϕ * , die zum größten Endvermögen führt, also
X ϕ* (T ) = max X ϕ (T )
ϕ
aber: nur möglich, wenn die Aktienkurse im voraus bekannt wären !
2.Idee:
Bestimme die Investmentstrategie ϕ * , die zum größten erwarteten Endvermögen führt, also
E X ϕ* (T ) = max E X ϕ (T )
(
)
ϕ
(
)
aber: führt zum Investment des gesamten Kapitals in die Aktie mit der höchsten erwarteten
Rendite ⇒ hohes Risiko, sehr riskante Strategie
Also: Finde (und löse !) eine Aufgabenstellung, bei der sowohl das Risiko als auch der (mittlere)
Ertrag angemessen berücksichtigt werden
3. Der Erwartungswert-Varianz-Ansatz im Ein-Perioden-Modell
Markowitz (1952, 59): „Wähle als Risikomaß die Varianz der Portfolio-Rendite und maximiere
den Erwartungswert der Portfolio-Rendite bei beschränkter Varianz“
Genauer:
Ri =
Pi (T ) − pi
pi
„Rendite“ des i. Wertpapiers mit
π = (π1 ,...,πd )'
π
⇒ R =
π
X π (T )
x
„Portfoliovektor“
d
= ∑ πi Ri
„Portfoliorendite“ mit
i =1
d
( ) = ∑ πiµi = π' µ ,
E R
µi = E (Ri ), σ ij = Cov (Ri , R j ),
⇒
d
( ) = ∑ πiσij π j = π' σπ
Var R
i =1
π
i , j =1
„Maximiere den erwarteten Ertrag bei beschränkter Varianz“
(EV)
max π' µ
π∈ R d
NB. : πi ≥ 0 ,
d
∑ πi = 1,
i =1
π' σπ ≤ C
Ein einfaches Beispiel: DAX oder Sparbuch ?
Daten:
Zeithorizont 1 Jahr
Sparzins:
5%
DAXdaten: 20 % mittlere Rendite
15 % Standardabweichung („Volatilität“)
Alternativen:
1,03
1,025
1,02
1,015
1,01
1,005
1
0,995
1. Apr. 1. Mai. 31. Mai. 30. Jun. 30. Jul.
Dax
Festgeld
29.
Aug.
28.
Sep.
Ein einfaches Beispiel: DAX oder Sparbuch ?
Daten:
Zeithorizont 1 Jahr
Sparzins:
5%
DAXdaten: 20 % mittlere Rendite
15 % Standardabweichung („Volatilität“)
Portfoliovektor (π1 ,π2 ) = (π1 ,1 − π1 )
⇒
E R π = π1µ1 + (1 − π1 )µ 2 = (µ1 − µ 2 ) π1 + µ 2 = −0 ,15 ∗ π1 + 0 ,20 =: g (π1 ),
( )
2
Var ( R π ) = π12σ11 + 2π1 (1 − π1 ) σ12 + (1 − π1 ) σ 22
2
= (1 − π1 ) σ 22 = 0 ,0225 ∗ (π12 − 2π1 + 1) =: f (π1 )
Ein einfaches Beispiel: DAX oder Sparbuch ?
Daten:
Zeithorizont 1 Jahr
Sparzins:
5%
DAXdaten: 20 % mittlere Rendite
15 % Standardabweichung („Volatilität“)
Portfoliovektor (π1 ,π2 ) = (π1 ,1 − π1 )
⇒
E R π = π1µ1 + (1 − π1 )µ 2 = (µ1 − µ 2 ) π1 + µ 2 = −0 ,15 ∗ π1 + 0 ,20 =: g (π1 ),
( )
2
Var ( R π ) = π12σ11 + 2π1 (1 − π1 ) σ12 + (1 − π1 ) σ 22
2
= (1 − π1 ) σ 22 = 0 ,0225 ∗ (π12 − 2π1 + 1) =: f (π1 )
Die Lösung des Problems (EV) ist folglich dazu äquivalent
• zunächst alle Punkte aus [0, 1] zu finden, für die f (π1 ) ≤ c gilt,
(Betrachtung der Werte einer nach oben geöffneten Parabel)
• dann das Maximum einer Geraden über diesem Bereich zu finden.
Ein einfaches Beispiel: DAX oder Sparbuch ?
Daten:
Zeithorizont 1 Jahr
Sparzins:
5%
DAXdaten: 20 % mittlere Rendite
15 % Standardabweichung („Volatilität“)
Portfoliovektor (π1 ,π2 ) = (π1 ,1 − π1 )
⇒
E R π = π1µ1 + (1 − π1 )µ 2 = (µ1 − µ 2 ) π1 + µ 2 = −0 ,15 ∗ π1 + 0 ,20 =: g (π1 ),
( )
2
Var ( R π ) = π12σ11 + 2π1 (1 − π1 ) σ12 + (1 − π1 ) σ 22
2
= (1 − π1 ) σ 22 = 0 ,0225 ∗ (π12 − 2π1 + 1) =: f (π1 )
Die Lösung des Problems (EV) ist folglich dazu äquivalent
• zunächst alle Punkte aus [0, 1] zu finden, für die f (π1 ) ≤ c gilt,
(Betrachtung der Werte einer nach oben geöffneten Parabel)
• dann das Maximum einer Geraden über diesem Bereich zu finden.
Kann analytisch und (empfehlenswert !) graphisch gelöst werden.
Graphisches Beispiel
Daten: µ1 = 0.05, µ 2 = 0.20, σ 11 = σ 12 = σ 21 = 0, σ 22 = 0.152 = 0.0225 , c = 0,0036
Graphisches Beispiel
Daten: µ1 = 0.05, µ 2 = 0.20, σ 11 = σ 12 = σ 21 = 0, σ 22 = 0.152 = 0.0225 , c = 0,0036
⇒ Zugehörige Bilder:
Varianzfunktion und Nebenbedingung
0,025
0,02
0,015
f(p1)
NB
0,01
0,005
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Zulässiger Bereich für π1
Graphisches Beispiel
Daten: µ1 = 0.05, µ 2 = 0.20, σ 11 = σ 12 = σ 21 = 0, σ 22 = 0.152 = 0.0225 , c = 0,0036
⇒ Zugehörige Bilder:
Varianzfunktion und Nebenbedingung
Zielfunktion und zulässiger Bereich
0,025
0,25
0,02
0,2
0,015
0,15
f(p1)
g(p1)
NB
0,01
0,1
0,005
0,05
0
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Zulässiger Bereich für π1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Optimale Lösung für π1 = 0.6
Lösung : π1 = 0.6, π 2 = 0.4, opt.Rendite = 0.11, Varianz = 0.0036
Wie funktioniert das in der Realität ?
• Teils sehr große Portfolios (mit weit über 100 Anlagemöglichkeiten)
• Große Probleme mit der Schätzung der benötigten Parameter (insbesondere den
mittleren Renditen und den Kovarianzen)
• Varianten von Markowitz mit
o Mehrperiodenmodellen
o Anderen Risikomaßen als die Varianz
o Impliziten Schätzungen der Renditen aus dem Marktgleichgewicht heraus
kombiniert mit „Expertenwissen“ (Black-Litterman-Ansatz)
o ….
Wie funktioniert das in der Realität ?
• Teils sehr große Portfolios (mit weit über 100 Anlagemöglichkeiten)
• Große Probleme mit der Schätzung der benötigten Parameter (insbesondere den
mittleren Renditen und den Kovarianzen)
• Varianten von Markowitz mit
o Mehrperiodenmodellen
o Anderen Risikomaßen als die Varianz
o Impliziten Schätzungen der Renditen aus dem Marktgleichgewicht heraus
kombiniert mit „Expertenwissen“ (Black-Litterman-Ansatz)
o ….
Frage:
Kann man sich gegen die Risiken des Aktienhandel absichern ?
4. Optionsbewertung – Einfache Modelle und Prinzipien
Was sind Optionen ?
4. Optionsbewertung – Einfache Modelle und Prinzipien
Was sind Optionen ?
• Verträge, die eine zukünftige Zahlung unsicherer Höhe garantieren
• Zahlungen hängen von einer zugrunde liegenden Größe ab („Derivate“)
4. Optionsbewertung – Einfache Modelle und Prinzipien
Was sind Optionen ?
• Verträge, die eine zukünftige Zahlung unsicherer Höhe garantieren
• Zahlungen hängen von einer zugrunde liegenden Größe ab („Derivate“)
Einfachstes Beispiel:
a) Eine Europäische Kaufoption (“call”) auf eine Aktie mit Fälligkeit T und Strike K ist ein Vertrag, der seinem Besitzer das Recht (aber nicht die Pflicht !) gibt, in T eine Aktie zum Preis K
vom Verkäufer der Option zu erwerben
4. Optionsbewertung – Einfache Modelle und Prinzipien
Was sind Optionen ?
• Verträge, die eine zukünftige Zahlung unsicherer Höhe garantieren
• Zahlungen hängen von einer zugrunde liegenden Größe ab („Derivate“)
Einfachstes Beispiel:
a) Eine Europäische Kaufoption (“call”) auf eine Aktie mit Fälligkeit T und Strike K ist ein Vertrag, der seinem Besitzer das Recht (aber nicht die Pflicht !) gibt, in T eine Aktie zum Preis K
vom Verkäufer der Option zu erwerben
+
Mathematisch: Identifiziere die Option mit ihrer Endzahlung von ( S (T ) − K )
4. Optionsbewertung – Einfache Modelle und Prinzipien
Was sind Optionen ?
• Verträge, die eine zukünftige Zahlung unsicherer Höhe garantieren
• Zahlungen hängen von einer zugrunde liegenden Größe ab („Derivate“)
Einfachstes Beispiel:
a) Eine Europäische Kaufoption (“call”) auf eine Aktie mit Fälligkeit T und Strike K ist ein Vertrag, der seinem Besitzer das Recht (aber nicht die Pflicht !) gibt, in T eine Aktie zum Preis K
vom Verkäufer der Option zu erwerben
+
Mathematisch: Identifiziere die Option mit ihrer Endzahlung von ( S (T ) − K )
b) Eine Europäische Verkaufsoption (“put”) auf eine Aktie mit Fälligkeit T und Strike K ist ein
Vertrag, der seinem Besitzer das Recht (aber nicht die Pflicht !) gibt, in T eine Aktie zum Preis K
an den Verkäufer der Option zu verkaufen
+
Mathematisch: Identifiziere die Option mit ihrer Endzahlung von ( K − S (T ) )
(Schulanwendung: Abschnittsweise definierte Funktionen)
Händler denken oft graphisch (Schüler auch ...):
⇒ Payoffdiagramme
Call
Optionszahlung
Put
Optionszahlung
( P1 (T ) −
K
K
)+
Aktienpreis
K
(K − P1 (T ))+
K
Aktienpreis
Weitere Beispiele:
• Amerikanische Optionen
• Exotische Optionen
o Barriereoptionen z.B.
≜ ( S (T ) − K ) i1
o Asiatische Optionen z.B.
1T

≜  T ∫ S ( t ) dt − K  in T


 0

+
{S ( t )> H ∀t∈0,T }
in T
+

 S ( ti ) − S ( ti −1 )    
 n

o Cliquet-Optionen P + max min ∑ max  min αi
, Ci  , Fi , C  , F  in T
S ( ti −1 )


 i =1

   
o Basket Optionen z.B.
 n


B =   ∑ α i Si ( T )  − K 



  i =1

und nahezu beliebig viele weitere, komplexe Beispiele ...
+
Warum handelt man mit Optionen ?
Warum handelt man mit Optionen ?
- Absicherungfunktion
- Spekulationsfunktion
Warum handelt man mit Optionen ?
- Absicherungfunktion
- Spekulationsfunktion
Absicherung: Wirkung eines Puts im Portfolio aus Aktie + Put mit Strike K
Zahlungen
K
Portfolio
Aktie
Put
K
Aktienkurs
Warum handelt man mit Optionen ?
- Absicherungfunktion
- Spekulationsfunktion
Absicherung: Wirkung eines Puts im Portfolio aus Aktie + Put mit Strike K
Zahlungen
K
Portfolio
Aktie
Put
K
Aktienkurs
Schulanwendung: Konstruktion gewünschter Zahlungsprofile („Legobaukasten“)
Warum handelt man mit Optionen ?
- Absicherungfunktion
- Spekulationsfunktion
Absicherung: Wirkung eines Puts im Portfolio aus Aktie + Put mit Strike K
Zahlungen
K
Portfolio
Aktie
Put
K
Aktienkurs
Schulanwendung: Konstruktion gewünschter Zahlungsprofile („Legobaukasten“)
Praxisanwendung: Gasanstalt-Aktienverkauf der Stadt Kaiserslautern an die Stadtsparkasse
Was kosten Optionen ?
Was kosten Optionen ?
Einfachstes Beispiel: Ein-Perioden-Binomial Modell
Optionsbeispiel: (Europ.) Calloption auf eine Aktie mit Strike K=100
(keine Zinsen)
Aktienpreise:
t=0
0,8
t=T
120
Optionszahlung :
t=T
20
100
0,2
95
0
Was kosten Optionen ?
Einfachstes Beispiel: Ein-Perioden-Binomial Modell
Optionsbeispiel: (Europ.) Calloption auf eine Aktie mit Strike K=100
(keine Zinsen)
Aktienpreise:
t=0
0,8
t=T
120
Optionszahlung :
t=T
20
100
0,2
95
0
Preisvorschlag für die Calloption: ?
E(Optionszahlung) = 0,8·20 + 0,2·0 = 16
Was kosten Optionen ?
Einfachstes Beispiel: Ein-Perioden-Binomial Modell
Optionsbeispiel: (Europ.) Calloption auf eine Aktie mit Strike K=100
(keine Zinsen)
Aktienpreise:
t=0
0,8
t=T
120
Optionszahlung :
t=T
20
100
0,2
95
0
Preisvorschlag für die Calloption: ?
E(Optionszahlung) = 0,8·20 + 0,2·0 = 16
=> im allgemeinen der falsche Preis !!!!
h
Was kosten Optionen ?
Einfachstes Beispiel: Ein-Perioden-Binomial Modell
Optionsbeispiel: (Europ.) Calloption auf eine Aktie mit Strike K=100
(keine Zinsen)
Aktienpreise:
t=0
0,8
t=T
120
Optionszahlung :
t=T
20
100
0,2
95
0
Preisvorschlag für die Calloption: ?
E(Optionszahlung) = 0,8·20 + 0,2·0 = 16
=> im allgemeinen der falsche Preis !!!!
Warum ???
Hauptgrund:
Annahme der Arbitragefreiheit
Es existiert keine Möglichkeit eines risikolosen Gewinns ohne Einsatz eigenen Kapitals.
Hauptgrund:
Annahme der Arbitragefreiheit
Es existiert keine Möglichkeit eines risikolosen Gewinns ohne Einsatz eigenen Kapitals.
Eine Arbitragemöglichkeit ist eine Investmentstrategie mit Startvermögen
X(0) = 0 und einem Endvermögen von X(T ) im Zeithorizont T mit
X(T ) ≥ 0,
P( X(T ) > 0) > 0 .
Hauptgrund:
Annahme der Arbitragefreiheit
Es existiert keine Möglichkeit eines risikolosen Gewinns ohne Einsatz eigenen Kapitals.
Eine Arbitragemöglichkeit ist eine Investmentstrategie mit Startvermögen
X(0) = 0 und einem Endvermögen von X(T ) im Zeithorizont T mit
X(T ) ≥ 0,
P( X(T ) > 0) > 0 .
Typische Beispiele von Arbitragemöglichkeiten:
Kostenlose Lose oder Lottoscheine
Kostenloses Essen (wirklich ?)
Weitere Beispiele ?
Hauptgrund:
Annahme der Arbitragefreiheit
Es existiert keine Möglichkeit eines risikolosen Gewinns ohne Einsatz eigenen Kapitals.
Eine Arbitragemöglichkeit ist eine Investmentstrategie mit Startvermögen
X(0) = 0 und einem Endvermögen von X(T ) im Zeithorizont T mit
X(T ) ≥ 0,
P( X(T ) > 0) > 0 .
Typische Beispiele von Arbitragemöglichkeiten:
Kostenlose Lose oder Lottoscheine
Kostenloses Essen (wirklich ?)
Weitere Beispiele ?
Wie lässt sich das Arbitrageprinzip bei der Optionsbewertung umsetzen ?
Duplikationsprinzip und Arbitrageprinzip:
Sind zwei Zahlungsströme in der Zukunft identisch, so haben sie auch heute den gleichen Wert.
Duplikationsprinzip und Arbitrageprinzip:
Sind zwei Zahlungsströme in der Zukunft identisch, so haben sie auch heute den gleichen Wert.
Anwendung auf das Optionsbewertungsproblem:
Kann man die Endzahlung der Option exakt durch eine Handelsstrategie (ψ,ϕ ) in Bargeld (oder:
festverzinslichem Investment) und Aktie duplizieren, so gilt: Der Optionspreis muss mit dem Anfangsvermögen übereinstimmen, das zum Verfolgen der Duplikationsstrategie benötigt wird.
Duplikationsprinzip und Arbitrageprinzip:
Sind zwei Zahlungsströme in der Zukunft identisch, so haben sie auch heute den gleichen Wert.
Anwendung auf das Optionsbewertungsproblem:
Kann man die Endzahlung der Option exakt durch eine Handelsstrategie (ψ,ϕ ) in Bargeld (oder:
festverzinslichem Investment) und Aktie duplizieren, so gilt: Der Optionspreis muss mit dem Anfangsvermögen übereinstimmen, das zum Verfolgen der Duplikationsstrategie benötigt wird.
Im Beispiel:
Finde (ψ,ϕ ) with
ψ + 120ϕ = 20
⇒
ψ + 95ϕ = 0
ψ = −76
⇒ Optionspreis= ψ + 100ϕ = 4
ϕ = 0,8
Duplikationsprinzip und Arbitrageprinzip:
Sind zwei Zahlungsströme in der Zukunft identisch, so haben sie auch heute den gleichen Wert.
Anwendung auf das Optionsbewertungsproblem:
Kann man die Endzahlung der Option exakt durch eine Handelsstrategie (ψ,ϕ ) in Bargeld (oder:
festverzinslichem Investment) und Aktie duplizieren, so gilt: Der Optionspreis muss mit dem Anfangsvermögen übereinstimmen, das zum Verfolgen der Duplikationsstrategie benötigt wird.
Im Beispiel:
Finde (ψ,ϕ ) with
ψ + 120ϕ = 20
⇒
ψ + 95ϕ = 0
ψ = −76
⇒ Optionspreis= ψ + 100ϕ = 4
ϕ = 0,8
Interpretation des Optionspreises:
(( P1 (T ) − 20) )
Q ( P1 (T ) = 120 ) = 0, 2
Optionspreis = 4 = 0, 2 * 20 + 0,8 * 0 = EQ
wobei das Wahrscheinlichkeitsmaß Q durch
EQ (P1 (T )) = 100 = p
gegeben ist.
+
Q ( P1 (T ) = 95 ) = 0,8 und
“Q=risiko-neutrales Maß”
Anwendungen im Schulunterricht:
• Lösen einfacher Gleichungssysteme (weitere Optionstypen)
• Diskussion der “neu entstandenen” Wahrscheinlichkeiten !
• Warum liefern andere Preise Arbitragemöglichkeiten ?
• Unterschiede: Preis Gutes/schlechtes Geschäft
• Verallgemeinerung auf Mehr-Perioden-Binomialmodelle
• ........
5. Moderne Finanzmathematik in Praxis und Forschung
Bisher vorgestellte Modelle:
• Ein-Periodenmodelle sind zu einfach (insbes. im Binomialfall)
• Mehr-Perioden-Verallgemeinerungen werden schnell sehr aufwändig (warum ???)
• Dynamik des Aktienpreises und der Entscheidungsmöglichkeiten fehlt
ALLIANZ (XETRA)
750
700
650
600
550
500
450
400
350
31. Okt 20. Dez 08. Feb 30. Mrz 19. Mai
97
97
98
98
98
08. Jul
98
27. Aug 16. Okt
98
98
ALLIANZ (XETRA)
750
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600
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450
400
350
31. Okt
97
20. Dez
97
08. Feb
98
30. Mrz
98
19. Mai
98
08. Jul
98
27. Aug
98
16. Okt
98
Beachte:
• Irreguläre Bewegung im Zeitablauf (“Nicht-glatt”)
• (lokal) keine vorhersehbare Tendenz, Fluktuationen dominieren
ALLIANZ (XETRA)
750
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97
20. Dez
97
08. Feb
98
30. Mrz
98
19. Mai
98
08. Jul
98
27. Aug
98
16. Okt
98
Beachte:
• Irreguläre Bewegung im Zeitablauf (“Nicht-glatt”)
• (lokal) keine vorhersehbare Tendenz, Fluktuationen dominieren
Notwendig:
• Zeitstetige Preismodellierung (Geeignete stochastische Prozesse !)
• Zeitstetige Modellierung der Handelsstrategien (Keine Prophetengaben ..)
• Übertragung der finanzmathematischen Prinzipien (Risiko, Arbitrage, Duplikationsprinzip)
Der Black-Scholes Markt -1Fundamentaler Baustein: Brownsche Bewegung W(t)
W (0) = 0 , W (t ) − W ( s ) ∼ N (0 ,t − s ) ,
W (u ) − W (r ) unabhängig von W (t ) − W ( s ) , s ≤ t ≤ r ≤ u
stationäre Zuwächse
unabhängige Zuwächse
Eigenschaften:
• nirgends differenzierbar
• Pfade haben unendliche Länge
⇒ Brownsche Bewegung modelliert den Zufallseinfluss (mehrdim. Verallgemeinerung
einfach), Itô-Kalkül notwendig
Der Black-Scholes Markt -2⇒ Aktienpreis (einfachstes Modell): Geometrische Brownsche Bewegung
((
)
)
S1 (t ) = S1 (0) ⋅ exp b − 1 2 σ2 t + σW (t ) ,
E ( S1 (t )) = S1 (0) ⋅ exp (b ⋅ t )
⇒
⇒ relativ gute Approximation der realen Welt (wenn auch verbesserbar !)
Das Duplikationsprinzip im Black-Scholes-Markt
Satz: Optionsbewertung im Black-Scholes-Modell
a) Im allgemeinen Black-Scholes-Modell (n Aktien, n-dimensionale Brownsche Bewegung)
kann jede beliebige (europäische) Endzahlung B durch das Verfolgen einer geeigneten
Handelsstrategie im Bond und den n Aktien exakt (!) dupliziert werden
(„Vollständigkeit des Marktes“).
b) Im allgemeinen Black-Scholes-Modell ist der eindeutige Preis einer Option mit Endzahlung
B gegeben durch
(
EQ e−rT B
)
Hierbei ist das Maß Q eindeutig durch die Tatsache bestimmt, dass für alle Wertpapiere unter Q
EQ ( Si (t )) = si e rt
gilt.
(„risiko-neutrale Bewertung“)
Direkte Anwendung des Satzes auf Calls und Puts:
Satz: Die Black-Scholes-Formel (Fall n=1)
a) Der Preis eines europäischen Calls mit Fälligkeit T und Strike K ist zur Zeit t gegeben durch
  S (t ) 

  S (t ) 

 ln + r + 1 2 σ2 (T − t )
 ln + r − 1 2 σ2 (T − t )
 K 


  K 
−r (T −t )  
S (t ) Φ 
Φ 
 − Ke
 ,




σ T −t
σ T −t





(
)
(
)
wobei Φ (.) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist.
b) Der Preis eines europäischen Puts mit Fälligkeit T und Strike K ist zur Zeit t gegeben durch




S t
S t
 ln ( ) + r − 1 2 σ2 (T − t )
 ln ( ) + r + 1 2 σ2 (T − t )


 K 
 K 

−r (T −t ) 
Ke
Φ −
 − S (t ) Φ −
 .



σ T −t
σ T −t







(
)
(
Beachte: Der Driftparameter b der Aktie geht nicht in den Preis ein !
)
Erfolg des Black-Scholes-Modells und der Black-Scholes-Formel
• Beides sind in Forschung und Praxis akzeptierte Benchmarks (neue Modelle/Formeln
müssen „besser“ sein und BS-Modell als Spezialfall enthalten)
• Haupterfolgsgrund bei BS-Formel: Unabhängigkeit von b
• Nobelpreis 1997 für Robert Merton und Myron Scholes für ihre Arbeiten zur BlackScholes-Formel (heißt seit dem Black-Scholes-Merton-Formel …)
Erfolg des Black-Scholes-Modells und der Black-Scholes-Formel
• Beides sind in Forschung und Praxis akzeptierte Benchmarks (neue Modelle/Formeln
müssen „besser“ sein und BS-Modell als Spezialfall enthalten)
• Haupterfolgsgrund bei BS-Formel: Unabhängigkeit von b
• Nobelpreis 1997 für Robert Merton und Myron Scholes für ihre Arbeiten zur BlackScholes-Formel (heißt seit dem Black-Scholes-Merton-Formel …)
Kritik am Black-Scholes-Modell
• Normalverteilungsannahme kann keine extremen Schwankungen („Crashs“) erklären
• Volatilitätsclustering wird beobachtet, nicht durch BS-Modell erklärbar
• .....
Forschungsaspekte:
• Geeignete(re) Aktienpreismodelle: Stochastische Volatilität, Lévy Modelle, ...
• Schnelle und genaue Algorithmen zur Bewertung komplexer, pfadbahängiger Optionen
• Kreditderivate, Modellierung hochdimensionaler Abhängigkeiten
• Parameterschätzung (wenig Beobachtungen, hohe Genauigkeit)
• Umsetzung zeitstetiger Portfolio-Optimierungsmethoden
• ....
Umsetzung in Industrieprojekten im Fraunhofer ITWM
Forschungsaspekte:
• Geeignete(re) Aktienpreismodelle: Stochastische Volatilität, Lévy Modelle, ...
• Schnelle und genaue Algorithmen zur Bewertung komplexer, pfadbahängiger Optionen
• Kreditderivate, Modellierung hochdimensionaler Abhängigkeiten
• Parameterschätzung (wenig Beobachtungen, hohe Genauigkeit)
• Umsetzung zeitstetiger Portfolio-Optimierungsmethoden
• ....
Umsetzung in Industrieprojekten im Fraunhofer ITWM
(Weitere) Aspekte für den Schulunterricht:
• Approximation der Normalverteilung durch die Binomialverteilung (Zentraler
Grenzwertsatz Binomialmodell – Black-Scholes-Modell )
• Monte Carlo Simulation zur Berechnung von Optionspreisen (Starkes Gesetz der großen
Zahl)
• Spannendes und aktuelles Thema für interdisziplinären Unterricht !
… und bitte bedenken:
… und bitte bedenken:
o Es gibt keine Arbitragemöglichkeit (und das ist auch gut so !)
… und bitte bedenken:
o Es gibt keine Arbitragemöglichkeit (und das ist auch gut so !)
o Es ist gut, nicht alles auf ein Pferd zu setzen
… und bitte bedenken:
o Es gibt keine Arbitragemöglichkeit (und das ist auch gut so !)
o Es ist gut, nicht alles auf ein Pferd zu setzen
o Verwirrende Angebote sind selten gut, aber oft teuer
… und bitte bedenken:
o Es gibt keine Arbitragemöglichkeit (und das ist auch gut so !)
o Es ist gut, nicht alles auf ein Pferd zu setzen
o Verwirrende Angebote sind selten gut, aber oft teuer
o Das Argument „Die Modelle waren falsch“ ist eine gern genommene,
aber fast immer falsche Ausrede
… und bitte bedenken:
o Es gibt keine Arbitragemöglichkeit (und das ist auch gut so !)
o Es ist gut, nicht alles auf ein Pferd zu setzen
o Verwirrende Angebote sind selten gut, aber oft teuer
o Das Argument „Die Modelle waren falsch“ ist eine gern genommene,
aber fast immer falsche Ausrede
o Nicht jeder, der unverständliche Begriffe benutzt, hat auch verstanden,
was er am Finanzmarkt tut …