Institut für Stochastik
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Institut für Stochastik
Prof. Dr. N. Bäuerle · Dipl.-Math. S. Urban
2. Übungsblatt zur Vorlesung Finanzmathematik I
Aufgabe 1 (No-Arbitrage im mehrperiodigen CRR-Modell)
Zeigen Sie im mehrperiodigen Cox-Ross-Rubinstein-Modell mit 0 < d < u die Äquivalenz der folgenden
vier Aussagen:
(i) Das einstufige Modell (T = 1) ist arbitragefrei.
(ii) Das T -stufige Modell (T ∈ N) ist arbitragefrei.
(iii) Es gilt d < 1 + r < u.
(iv) Es gilt q :=
1+r−d
u−d
∈ (0, 1).
Aufgabe 2 (Hedging in einem Trinomialmarkt)
Betrachten Sie einen beliebigen Zahlungsanspruch H : Ω → R am einstufigen Trinomialbaum, d.h. mit
Ω = {ω1 , ω2 , ω3 } und T = 1. Der Bond sei normiert und verzinse sich nicht und die Aktie entwickle
sich gemäß
20, ω = ω1
S0 = 10, S1 (ω) = 15, ω = ω2 .
7,5, ω = ω3
a) Welche Zahlungsansprüche H : Ω → R sind erreichbar?
S1
b) Finden Sie alle Wahrscheinlichkeitsmaße Q, sodass EQ [ B
]=
1
S0
B0
gilt.
Aufgabe 3 (Floating Strike Lookback Optionen)
Betrachten Sie einen dreistufigen Binomialmarkt wie im Cox-Ross-Rubinstein-Modell vorgestellt. Hier
gelte u = 85 , d = 35 und pro Periode werde mit r = 10% verzinst. Die Aktie koste initial S0 = 20
Geldeinheiten, der Bond starte mit einer Geldeinheit. Die Optionen HC := (ST − Smin )+ und HP :=
(Smax −ST )+ mit Smin := min{S0 , S1 , S2 , S3 } und Smax := max{S0 , S1 , S2 , S3 } heißen Floating Strike
Lookback Optionen, HC ist der Call und HP der analoge Put.
Erklären Sie ökonomisch, worum es sich bei diesen Verträgen handelt, und schlagen Sie faire Preise
für beide Optionen vor.
Aufgabe 4 (CRR mit stochastischer Volatilität und zufälliger Verzinsung)
Betrachten Sie folgende Verallgemeinerung des T -periodigen Marktmodells von Cox, Ross und Rubinstein: Wie üblich sei T ∈ N, Ω = {K, Z}T mit ω = (y1 , . . . , yT ) ∈ Ω, Yt die Projektion auf die t-te
Komponente und Ft := σ(Y1 , . . . , Yt ) die natürliche Filtration. Die möglichen Kursfaktoren u und d
seien nicht mehr konstant, sondern volatil, d.h. für jede Zeit t ∈ {1, . . . , T −1} seien ut = ut (y1 , . . . , yt ),
dt = dt (y1 , . . . , yt ) und rt = rt (y1 , . . . , yt ) Ft -messbare positive Zufallsvariablen. d0 , r0 , u0 > 0 seien
fest. Der Bond entwickle sich gemäß
B0 = 1, B1 = (1 + r0 )B0 , Bt+1 (y1 , . . . , yt+1 ) = (1 + rt (y1 , . . . , yt ))Bt (y1 , . . . , yt ), t = 1, . . . , T − 1.
Für die Aktie gelte S0 > 0,
(
S0 u0 , y1 = K
S1 (y1 ) =
,
S0 d0 , y1 = Z
(
St (y1 , . . . , yt )ut (y1 , . . . , yt ),
St+1 (y1 , . . . , yt+1 ) =
St (y1 , . . . , yt )dt (y1 , . . . , yt ),
yt+1 = K
, t = 1, . . . , T − 1.
yt+1 = Z
Zeigen Sie:
a) Dieser Markt ist genau dann arbitragefrei, wenn d0 < 1 + r0 < u0 und für alle t = 1, . . . , T − 1
sowie für alle ω = (y1 , . . . , yt ) gilt
dt (y1 , . . . , yt ) < 1 + rt (y1 , . . . , yt ) < ut (y1 , . . . , yt ).
b) Für jeden FT -messbaren europäischen Zahlungsanspruch H = H(y1 , . . . , yT ) kann man einen
eindeutigen Startpreis festlegen. Finden Sie dazu einen geeigneten (rekursiven) Algorithmus. Sie
müssen den Preis nicht in geschlossener Form angeben.
Prüfungsankündigung
• Scheinklausur:
18. Februar 2010, 9-10 Uhr, Redtenbacher-Hörsaal (Geb. 10.91), zur Zulassung ab Dezember eine Übungsaufgabe vorrechnen, Praxisaufgabe erfolgreich bearbeiten
• studienbegleitende Klausur:
22. März 2010, 9-11 Uhr, Tulla-Hörsaal (Geb. 11.40), Zulassung ohne weitere Voraussetzungen gemäß Prüfungsordnung
