0. Einleitung

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Einleitung
Die Idee zu diesem Buch trage ich schon lange mit mir herum. Ich halte seit
Jahren Vorlesungen über Geometrie an der Universität für angewandte Kunst
Wien, und die Studierenden (meist Architekten und Industrie-Designer) wollen verständlicherweise möglichst vollständige Unterlagen, um sich auf die
Prüfungen vorzubereiten. Allerdings befand ich mich selbst in einem Entwicklungsprozess, der mich immer wieder zweifeln ließ, ob ich schon die beste Methode gefunden hatte, meine geliebte Geometrie jungen Menschen zu
vermitteln.
Da ich auch Mathematik-Vorlesungen abhalte, stürzte ich mich zunächst auf
die Mathematik. Im Frühjahr 2004 erschien beim selben Verlag Der mathematische Werkzeugkasten – Anwendungen in Natur und Technik, in dem
naturgemäß auch schon einige geometrische Abschnitte zu finden sind. Auf
dieses Buch wird immer wieder Bezug genommen.
Eigenständige Geometrie?
Die Geometrie wird im Allgemeinen als Teilgebiet der Mathematik angesehen. Tatsächlich ist die gedankliche Vorgangsweise eng mit der mathematischen Logik verknüpft. Wegen ihrer enormen Bandbreite sehen viele die Geometrie auch als eigenständige Wissenschaft. In jedem Fall ergänzen einander
Mathematik und Geometrie wunderbar. Trotzdem: Wenn Sie dieses Buch lesen, brauchen Sie keine speziellen mathematischen Vorkenntnisse. Alles, was
wir an mathematischem Rüstzeug brauchen, wird sich wie von selbst ergeben.
Geometrie kann auf unterschiedliche Art betrieben werden. Jene Geometrie,
die in diesem Buch vermittelt wird, wendet sich so oft wie möglich direkt an
das räumliche Vorstellungsvermögen. Dieses ist bei den verschiedenen Menschen mehr oder weniger stark ausgeprägt, aber Versuche haben gezeigt,
dass unsere Raumvorstellung speziell durch die Beschäftigung mit Geometrie
enorm gesteigert werden kann. Sie werden zwar immer wieder Bemerkungen
(klein gedruckt) über die analytische Geometrie bzw. Infinitesimalrechnung
finden, dies aber hauptsächlich zur Untermauerung des mit der Raumvorstellung erarbeiteten Gedankenguts.
Ein sechster Sinn
Weil nun die Geometrie diesen „sechsten Sinn“ der Raumvorstellung ausnützen (und im Gegenzug sogar verbessern) kann, führt sie bei jungen Menschen
nicht selten schneller zu Fortschritten als die übrige Mathematik. Letztere
verlangt nämlich sehr solide Grundlagen, denn sonst könnte in jeder Rechenzeile ein Fehler stecken, der übersehen wird. Die Geometrie, von der hier die
Rede ist, liefert hingegen ständig Ergebnisse, die wir mit unserer Vorstellung
kontrollieren können. Die fast immer geometrisch geführten („synthetischen“)
Beweise sind allein schon deswegen meist den rein mathematischen („analytischen“) Beweisen vorzuziehen. Nicht selten steckt in den Beweisen so viel
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Einleitung
Verständnis für die Sache, dass sich zwanglos neue oder zusätzliche Ergebnisse und Ergänzungen einstellen.
Darstellende Geometrie und noch viel mehr
Mein vor Jahren erstelltes Konzept basierte auf den Ideen meines akademischen Lehrers Walter Wunderlich und meines Vorgängers Erich Frisch, die
beide in traditioneller Weise ein einfaches aber doch vollständiges Lehrgebäude der „Darstellenden Geometrie“ zusammengestellt hatten. Nachdem die
Zeit nicht stillgestanden war und sich – gerade auf dem Gebiet der Geometrie – durch den Siegeszug des Computers eine Revolution abgespielt hatte,
musste das Konzept stark modifiziert bzw. erweitert werden. Vor allem werden immer wieder Bezüge zu den verwandten Gebieten Computergrafik bzw.
Computergeometrie hergestellt, die ihre Wurzeln in der klassischen Geometrie haben. Auch soll sich die Geometrie, die hier vermittelt wird, nicht nur
auf das Darstellen beschränken, zumal sich gerade beim Erstellen von Bildern
im Computerzeitalter viel geändert hat.
Wo Geometrie mitmischt
Naturgemäß gibt es eine Vielzahl von Querverbindungen der Geometrie zu
technischen Wissensgebieten, etwa dem Maschinenbau, der Architektur und
dem Bauingenieurwesen. Ein zweiter Anwendungsblock geht in die Richtung
Bildende Künste und Design. Aber auch die Physik, Astronomie, Geografie,
Chemie, Biologie und Molekularbiologie bedienen sich der Geometrie, um Ergebnisse zu veranschaulichen oder neue Erkenntnisse abzuleiten. Schlussendlich kann man die harmonikalen Zusammenhänge in der Musik wunderbar
durch die Geometrie verdeutlichen.
• Wann betrachtet man eine geometrische Fragestellung lieber eine Dimension tiefer? Eine Drehung um eine Gerade können wir uns z.B. viel besser
vorstellen, wenn die Gerade als Punkt erscheint. Wenn man die Technik
beherrscht, wie man so etwas zu Wege bringt, kann man viele Probleme
vereinfachen.
• Wann hingegen betrachtet man das Problem lieber „von einer höheren
Warte“? Die ebenen Kegelschnittslinien sind – räumlich betrachtet – gar
nicht so unterschiedlich. Höherdimensionale Wesen würden so manche unserer Fallunterscheidungen als überflüssig betrachten.
Kegelschnitte
Erstellen eines Scharrbilds
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Einleitung
• Wie konnten die Ureinwohner Perus ihre gigantischen Scharrbilder in der
Wüste von Nazca erzeugen, ohne deshalb den Heißluftballon erfunden haben zu müssen? Eine Kombination aus Zentralprojektion und zentrischer
Streckung macht es möglich.
• Wie funktioniert unser Sehen wirklich, und wie bildet ein Fotoapparat
ab? Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit wir eine Fotografie
als „natürlich“ und nicht extrem verzerrt oder zu sehr abgeflacht empfinden? Solche Fragen stellten sich schon vor fünfhundert Jahren Leonardo
da Vinci und Leone Battista Alberti , die mit exakten Projektionen des
Raums auf eine Ebene arbeiteten.
Lichtberechung am Auge
Wie viele Bilder braucht man?
• Wann kann man eine Fotografie „entzerren“? Wie viele Fotos eines Objekts
braucht man, um daraus seine wahre Gestalt eindeutig feststellen zu können? Diese Frage beschäftigt nicht nur Architekten, sondern neuerdings
vor allem Konstrukteure von 3D-Scannern.
• Wie muss eine Landkarte aussehen, auf der die kürzesten Strecken zwischen zwei Punkten der Erdkugel sich gerade oder als Kreisbögen abbilden? Aus welchen Karten lässt sich der Kurswinkel direkt ablesen? Das
Problem entsteht aus dem Dilemma, dass man die Kugel nicht in die
Ebene ausbreiten kann. Die gesamte Kartografie lebt von geometrischen
Erkenntnissen.
Landkarten und kürzeste Strecken
Gute Triangulierung
• Die Architekten bauen heute gerne gekrümmt. Kann ihnen die Geometrie
helfen, die dabei entstehenden horrenden Baukosten auf ein Minimum zu
reduzieren?
• Wie kann eine Drehung um eine Achse auf eine andere Achse übertragen
werden, und mit welchem Trick funktioniert das Ganze sogar gleichmäßig?
Diese Frage ist für den Maschinenbau wichtig.
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Gleichlaufgelenk
Bewegung der Erde um die Sonne
• Wieso dauert es nicht immer gleich lang, bis die Sonne wieder ihren Kulminationspunkt erreicht? In dieser astronomischen Frage steckt ein bisschen
Physik, aber noch viel mehr Geometrie.
• „Durch einen Punkt gibt es genau eine Parallele zu einer vorgegebenen
Geraden.“ Was passiert, wenn man diesen nicht beweisbaren Eckpfeiler
der Geometrie herauszieht? Es entsteht eine fremdartige „Nichteuklidische
Geometrie“, deren Ergebnisse sogar in der modernen Physik Verwendung
finden!
Hyperbolische Geometrie
Schnecken und Hörner
• Was kann man aus der Gestalt von Schneckengehäusen oder Tierhörnern
über deren Wachstum ableiten? Wie kommt man zur Gestalt der Doppelhelix? Schließlich ist diese Struktur der DNS zum Symbol der modernen
Biotechnologie geworden.
Extreme Perspektiven
Der Trick mit dem Shift-Objektiv
• Wie erzeugt man mit einfachen Tricks Bilder, die sonst nur teueren ShiftObjektiven vorbehalten sind? Warum ist die Wahl der Brennweite nicht
nur eine Frage des „Überblicks“, sondern auch der weiteren Verwendung
der Fotografie? Wann sind Ultra-Perspektiven nicht nur erlaubt, sondern
sogar notwendig? Warum hängt die Schärfentiefe von der Blende ab?
Solche und viele andere Fragen wollen wir in diesem Buch anschneiden und
auch beantworten.
Die heutigen Studierenden haben den Vorteil, dass sie mit Computerprogrammen arbeiten können, die Ihnen mühevolle und rein routinemäßige Zeichenarbeit abnehmen. Das Schwergewicht der Geometrie kann und muss sich
Einleitung
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daher immer mehr auf das geometrische Verstehen und Analysieren von Vorgängen verlagern. Als Folge der Lehrplan-Anpassung können endlich auch
Probleme besprochen werden, die bisher keinen Platz in einem solchen Rahmen fanden, die aber in der Berufspraxis der Zielgruppen sehr wohl von
Bedeutung sind.
Spitzfindigkeiten
Dabei erscheint mir wichtig, Sätze oder Regeln zunächst einmal so einfach
wie möglich zu formulieren, und erst in weiterer Folge auf Spezialfälle und
Spitzfindigkeiten einzugehen.
So sagen wir z.B. zunächst (s.S. 49): „Sind zwei Geraden in zwei unterschiedlichen Parallelprojektionen parallel zueinander, dann sind sie es im Allgemeinen auch im Raum.“ Die Ausnahmen werden im Anschluss zumeist auch
besprochen – in diesem wichtigen Fall sogar genauer.
Noch zwei Beispiele: Wenn eine Kurve „nicht gekrümmt“ ist oder „keine
Krümmung hat“, soll das natürlich heißen, dass sie mathematisch gesehen die
Krümmung Null hat. Oder: „Jeder ebene Schnitt einer Kugel ist ein Kreis.“
Natürlich: Wenn die Ebene die Kugel berührt, schrumpft dieser Kreis auf
einen Punkt („Nullkreis“) zusammen. Und wenn die Ebene die Kugel nicht
schneidet? Professionelle Mathematiker können beweisen, dass wir es dann
mit einem imaginären Kreis zu tun haben. Also wie sollen wir den Satz
jetzt formulieren, ohne ihn für den Laien zu schwer lesbar zu machen? Jeder
Mensch wird den vereinfachten Satz richtig verstehen, und die fundamentale
Aussage bleibt kurz und prägnant!
Die zugehörige Webseite www.uni-ak.ac.at/geom
So wie zum mathematischen Werkzeugkasten gibt es zum Buch begleitend eine Homepage. Dort finden Sie Aktualisierungen, weitere Beispiele, InternetAdressen zu den verschiedenen Spezialthemen und nicht zuletzt Dutzende
von lauffähigen Demo-Programmen, mit denen Sie interaktiv arbeiten können. Insbesondere lassen sich zahlreiche komplizierte Bewegungsabläufe oder
physikalische Simulationen nachvollziehen.
Der Vorteil einer solchen zusätzlichen Unterstützung liegt auf der Hand: Erstens kann die Webseite ständig am neuesten Stand gehalten werden, und
zweitens kann sie wachsen und reichhaltiger werden, ohne das Grundgerüst,
nämlich das Buch, ändern zu müssen. Ich hoffe, dass, wie beim mathematischen Werkzeugkasten, die Leser wieder viel Gebrauch von der Homepage
machen und auch Rückmeldungen geben!
Danksagungen
Für ihre Mithilfe beim Korrigieren, aber auch für interessante Diskussionen
und das Erstellen nicht weniger Bilder, danke ich meinen Mitarbeitern Franz
Gruber , Thomas Backmeister (er leistete einen bedeutenden Beitrag zum
Anhang über Parkettierungen) und Christian Perrelli (Anhang zum Freihandzeichnen). Korrekturleser waren Wilhelm Fuhs, Herbert Löffler , Micha-
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el Schrott und Boris Odehnal . Einige Illustrationen stammen von Harald
Andreas Korvas, Zorica Nicolic, Otmar Öhlinger , Markus Roskar , Paulo
Tosold und Stefan Wirnsperger . Auch meine ehemaligen Mitarbeiter HansPeter Schröcker und Gerhard Karlhuber haben einige Abbildungen zu diesem
Buch beigesteuert.
Unterstützung kam von Kollegen an der Technischen Universität Wien (Andreas Asperl , Fritz Manhart und Walter Jank ). Bei den Sonnenuhren lieferte
Walter Hofmann einen wertvollen Beitrag. Andreas Rüdinger vom Verlag
brachte immer wieder gute Ideen ein.
Ich habe das Glück, an einer Kunstuniversität zu lehren und Künstler wie
Zaha Hadid , Hans Hollein, Bernhard Leitner , Greg Lynn, Paolo Piva, Wolf
D. Prix und Boris Sipek zu meinen Kollegen zählen zu dürfen. Von ihnen
sind Beispiele im Buch zu finden. Weitere freundliche Unterstützung kam von
den Kollegen Klaus Bollinger , Ernst Maczek-Mateovits, Roland Burgard und
Marcus Bruckmann. Bei physikalischen Fragen bekam ich stets kompetente
Auskunft von Georg Fuchs und meinem Bruder Othmar Glaeser .
Ich habe auch den Studierenden der Universität für angewandte Kunst Wien
zu danken, die in einem Wechselspiel aus Geben und Nehmen ständig neue
Ideen eingebracht und teilweise auch verwirklicht haben. Einige ihrer Arbeiten werden in diesem Buch vorgestellt.
Die „akrobatischen Einlagen“ auf einigen Fotos stammen von meinen sportlichen Neffen (Abbildungen 1.40, 3.5, 3.39 und 10.1).
Meine derzeit 12-jährige Tochter Sophie hat wieder einige Zeichnungen (z.B.
Abb. 3.46) angefertigt, aber auch einfache Modelle gebastelt (Abb. B.4) und
sogar eine Parkettierung erfunden (Abb. A.13). Bei ihr und vor allem bei
meiner Frau Romana bedanke ich mich für die große Geduld, wenn es darum ging, jede Wanderung und jeden Urlaub bis zu einem gewissen Grad der
„Fotografiererei“ unterzuordnen. Von beiden stammen zudem nicht wenige
Einfälle für Fotos, die das Buch zu einer Art „Bilderbuch der Geometrie“ gemacht haben. Gute Fotos entstehen nur selten „von selbst“ oder ausschließlich
mit teuren Fotoapparaten. Es braucht Geduld, ein gutes Auge und – wie ich
im Anhang zu zeigen versuche – auch geometrisches Verständnis.
Wien, im März 2005
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1 Eine
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
v
idealisierte Welt aus einfachen Bausteinen
Punkte, Geraden und Kreise in der Zeichenebene .
Besondere Punkte im Dreieck . . . . . . . . . . .
Elementarbausteine im Raum . . . . . . . . . . .
Der Euklidische Raum . . . . . . . . . . . . . . .
Polarität, Dualität und Inversion . . . . . . . . .
Projektive und Nichteuklidische Geometrie . . . .
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2 Projektionen und Schatten: Die Reduktion der Dimension
2.1 Das Prinzip der Zentralprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Durch Einschränkung zur Parallelprojektion bzw. Normalprojektion
2.3 Zugeordnete Normalrisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Im Maschinenzeichnen ist manches anders . . . . . . . . . . . .
41
42
46
51
58
3 Polyeder: Vielflächig und vielseitig
3.1 Kongruenztransformationen . . . . . . . . .
3.2 Konvexe Polyeder . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Die Platonischen Körper . . . . . . . . . . .
3.4 Ebene Schnitte von Prismen und Pyramiden
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4 Gekrümmt und doch einfach
4.1 Ebene Kurven und Raumkurven . . . . .
4.2 Die Kugel . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Zylinderflächen . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Die Ellipse als ebener Drehzylinderschnitt
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5 Mehr über Kegelschnitte und abwickelbare Flächen
5.1 Kegelflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Torsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Über Landkarten und „Kugelabwicklungen“ . . . . . . . . . . . .
5.5 Die „physikalische“ Spiegelung an Kreis, Kugel und Drehzylinder
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120
127
137
146
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6 Prototypen
6.1 Flächen zweiter Ordnung . . . . . . .
6.2 Drei Typen von Flächenpunkten . . . .
6.3 Drehflächen . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Der Torus als Prototyp für alle anderen
6.5 Rohr- und Kanalflächen . . . . . . . .
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Drehflächen
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7 Weitere bemerkenswerte Flächenklassen
7.1 Regelflächen . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Schraubflächen . . . . . . . . . . . . .
7.3 Verschiedene Typen von Spiralflächen .
7.4 Minimalflächen . . . . . . . . . . . . .
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xii
Inhaltsverzeichnis
8 Die
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8.2
8.3
8.4
unendliche Vielfaltder gekrümmten Flächen
Mathematische Flächen und Freiformflächen . .
Interpolierende Flächen . . . . . . . . . . . . .
Bézier- und B-Splinekurven . . . . . . . . . . .
Bézier- und B-Splineflächen . . . . . . . . . . .
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9 Fotografische Abbildung und individuelle Wahrnehmung
9.1 Das menschliche Auge und die Lochkamera . . . . . . .
9.2 Verschiedene Techniken der Perspektive . . . . . . . . .
9.3 Andere Perspektiven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Geometrie an der Wasseroberfläche . . . . . . . . . . . .
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10 Alles bewegt sich: Kinematik
10.1 Der Pol, um den sich alles dreht
10.2 Verschiedene Mechanismen . . .
10.3 Ellipsenbewegung . . . . . . . .
10.4 Trochoidenbewegung . . . . . .
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278
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11 Bewegung im Raum
11.1 Bewegung auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Allgemeine Raumbewegungen . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Wo steht die Sonne? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Über minutengenaue Sonnenuhren für die mittlere Zeit
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302
305
306
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A Die
A.1
A.2
A.3
Vielfalt der Füllmuster
Periodische Parkettierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nichtperiodische Parkettierungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parkettierungen der hyperbolischen Ebene . . . . . . . . . . . .
327
328
332
337
B Ein
B.1
B.2
B.3
B.4
Kurs im Freihandzeichnen
Normalriss versus Schrägriss . . . . . .
Keine Scheu vor gekrümmten Flächen
Schatten . . . . . . . . . . . . . . . .
Perspektivisches Skizzieren . . . . . .
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353
C Ein
C.1
C.2
C.3
C.4
C.5
geometrischer Fotografiekurs
Weitwinkel- oder Teleobjektiv? . . . . . . . . . . .
Primäre und sekundäre Projektion . . . . . . . . . .
Von unten oder von oben? . . . . . . . . . . . . .
Manuelle Steuerung mit geometrischem Hintergrund
Makroaufnahmen und Panoramabilder . . . . . . .
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365
366
370
373
378
379
D Die
D.1
D.2
D.3
D.4
Natur der Geometrie und die Geometrie der Natur
Die geometrischen Grundformen in der Natur . . . . . .
Evolution und Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . .
Planetenbahnen und Fischschwärme . . . . . . . . . .
Musikalische Harmonie mit den Augen der Geometrie .
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385
386
393
398
405
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Literaturverzeichnis
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Index
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