Kapitel 5. Stetige Funktionen 5.1. Stetigkeit

Kapitel 5. Stetige Funktionen
5.1. Stetigkeit
Reelle Zahlen sind ideale Objekte, die es uns ermöglichen, eine transparente und
leistungsfähige Theorie aufzubauen.
Ein Computer kann jedoch nur mit Approximationen durch rationale Zahlen
arbeiten. Bei der dabei verwendeten Gleitkomma-Arithmetik entstehen
Rundungsfehler, die unter Kontrolle gehalten werden müssen.
Ähnlich verhält es sich mit Messwerten: Diese sind oftmals mit Messfehlern oder
einer sonstigen Ungenauigkeit behaftet.
Deshalb ist es zur näherungsweisen Berechnung eines Funktionswertes notwendig,
dass die Eingabe eines Näherungswertes x anstelle des richtigen Werts x0 zu einem
Funktionswert f (x) führt, der in der Nähe des richtigen Wertes f (x0 ) liegt.
Die hier angesprochene Eigenschaft von Funktionen ist die sogenannte Stetigkeit.
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Bevor wir Stetigkeit definieren, ist es nützlich zu erklären, was Umgebungen sind.
Es bezeichne K im folgenden entweder den Körper der reellen oder der komplexen
Zahlen. Wir definieren den Abstand |x − y| zweier Punkte mit Hilfe des
Absolutbetrages in K.
Definition. Die Menge
U (x0 ) := {x ∈ K | |x − x0 | < },
x0 ∈ K, > 0
heisst -Umgebung des Punktes x0 .
Im Reellen (K = R) ist dies offensichtlich das offene Intervall ]x0 − , x0 + [.
Im Komplexen (K = C) handelt es sich dabei um die offene Kreisscheibe mit
Radius und Zentrum x0 .
Eine Teilmenge U von K nennt man Umgebung von x0 , falls sie eine -Umgebung
von x0 enthält.
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Die folgenden Ausführungen beziehen sich gleichzeitig auf reelle wie komplexe
Funktionen f : X → Y , wobei X, Y ⊆ K.
Definition.
Eine Funktion f : X → Y heisst stetig im Punkt x0 ∈ X, falls es zu jeder
Umgebung U von f (x0 ) eine Umgebung V von x0 gibt, derart dass
f (V ∩ X) ⊆ U.
Die Funktion f heisst stetig, wenn sie an jedem Punkt ihres Definitionsbereichs X
stetig ist. Andernfalls heisst f unstetig.
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Anschaulich gesprochen darf eine stetige Funktion keine Sprünge machen. Z.B. ist
die Sprungfunktion f : R → R definiert durch

 0, falls x < 0
f (x) =

1, falls x ≥ 0
unstetig im Punkt 0.
Triviale Beispiele stetiger Funktionen sind die identische Abbildung idX : X → X,
x 7→ x, sowie die konstanten Funktionen.
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Bemerkung. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
1. Die Funktion f ist stetig im Punkt x0 .
2. Zu jedem > 0 existiert ein δ > 0 mit
f (Uδ (x0 ) ∩ X) ⊆ U (f (x0 )).
3. (, δ-Bedingung) Zu jedem > 0 existiert ein δ > 0, so dass die Implikation
|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < für alle x ∈ X richtig ist.
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Beispiel. Die Funktion f : R → R, f (x) = x2 , ist stetig in jedem Punkt x0 ∈ R ist.
Es gilt:
|f (x) − f (x0 )| = |x2 − x20 | ≤ |x + x0 ||x − x0 | ≤ (2|x0 | + 1)|x − x0 |
für |x − x0 | < 1. Zu einem gegebenen > 0 setzen wir
, 1}.
δ = min{
2|x0 | + 1
Dann gilt in der Tat
|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < .
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Beispiel.
Betrachte die Dirichletsche Sprungfunktion f : R → R gegeben durch

 1, falls x rational ist
f (x) =

0, andernfalls.
Diese Funktion ist in keinem Punkt stetig!
Dies folgt leicht aus der folgenden Tatsache:
Satz.
In einer beliebigen Umgebung einer rationalen Zahl a liegen irrationale Zahlen.
In einer beliebigen Umgebung einer irrationalen Zahl b liegen rationale Zahlen.
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Als nächstes wollen wir allgemeine Prinzipien herleiten, um konkret gegebenen
Funktionen die Stetigkeit unmittelbar anzusehen.
Zunächst befassen wir uns mit der Zusammensetzung (Komposition) stetiger
Funktionen.
Satz.
Sind f : X → Y stetig (im Punkt x0 ) und g : Y → Z stetig (im Punkt y0 := f (x0 )),
so ist auch die zusammengesetzte Funktion g ◦ f stetig (im Punkt x0 ).
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Wir stellen nun eine Verbindung zum Konvergenzbegriff bei Folgen her.
Satz. Eine Funktion f : X → Y ist stetig in x genau dann, wenn die folgende
Bedingung erfüllt ist:
Für jede Folge (xn ) in X mit limn→∞ xn = x gilt limn→∞ f (xn ) = f (x).
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Die Stetigkeit ist verträglich mit den algebraischen Operationen.
Satz.
Sind die Funktionen f, g : X → Y stetig (im Punkt x), so sind auch die Funktionen
f + g, λ · f (λ ∈ K), f · g,
f
, |f |, f
g
stetig (im Punkt x). Bei der Division muss natürlich g(x) 6= 0 vorausgesetzt werden.
Das Bisherige etwas salopp zusammenfassend sehen wir, dass jeder mit stetigen
Funktionen und den Operationen +, −, ∗, / und ◦ gebildete “Ausdruck” stetig ist.
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Eine wichtige Klasse von stetigen Funktionen wird durch Polynome geliefert.
Definition.
Sind a0 , a1 , . . . , ad vorgegebene reelle oder komplexe Zahlen, so wird durch
p(x) := a0 + a1 x + . . . + ad xd
eine Funktion p : R → R bzw. p : C → C definiert.
Eine derartige Funktion heisst Polynomfunktion.
Die aν sind die Koeffizienten von p.
Gilt ad 6= 0, so nennt man d den Grad von p.
Folgerung. Polynomfunktionen sind stetig.
Bemerkung. Eine Polynomfunktion bestimmt ihre Koeffizienten eindeutig.
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Die rationalen Funktionen sind definiert als Quotient zweier Polynomfunktionen p
und q, wobei q nicht die Nullfunktion sein darf:
r(x) :=
p(x)
.
q(x)
Die Funktion r ist überall definiert, ausser bei den Nullstellen x von q,
charakterisiert durch q(x) = 0.
Satz. Rationale Funktionen sind stetig.
Satz. Sei f : X → R stetig im Punkt x0 und f (x0 ) > 0. Dann gibt es eine
Umgebung U von x0 mit
∀x ∈ U ∩ X
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f (x) > 0.
Bemerkung.
Abstandsbegriffe können auch auf dem Rn definiert werden, indem man den
Absolutbetrag (oder die Norm) eines Vektors x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn
folgendermassen festsetzt:
q
|x| := x21 + x22 + . . . + x2n .
Man nennt dies die Euklidische Norm von x.
o
|x|
x
x
2
x
1
Unter Verwendung der Euklidischen Norm kann man die bisherigen Ausführungen
über Stetigkeit unmittelbar auf Funktionen Rm → Rn mehrerer Veränderlicher
übertragen.
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5.2. Grenzwerte von Funktionen
Die Stetigkeit garantiert, dass sich eine Funktion f : X → K auf ihrem ganzen
Definitionsbereich vernünftig verhält. Wenn wir das Verhalten von f bei
Randpunkten ξ von X (die evtl. nicht zu X gehören) beschreiben wollen, so
benötigen wir den Begriff des Grenzwertes von Funktionen. Was passiert z.B. mit
f (x) = x sin x1 in der Nähe von ξ = 0, wo f nicht definiert ist?
Der betrachtete Punkt ξ ∈ K, mag er zu X gehören oder nicht, muss jedenfalls ein
Häufungspunkt der Menge X sein. Das bedeutet, dass jede Umgebung von ξ Punkte
von X enthält, die verschieden von ξ sind. Z.B. sind die Endpunkte a, b von offenen
Intervallen X =]a, b[ Häufungspunkte von X. Beachte, dass alle Punkte von X auch
Häufungspunkte von X sind.
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Die Frage nach dem Verhalten von f (x), wenn “x gegen ξ strebt”, führt auf die
Frage, wie man f (ξ) in vernünftiger Weise definieren müsste, so dass f an der Stelle
ξ stetig wird. Dies führt auf die folgende Definition.
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Definition. Sei ξ ein Häufungspunkt von X ⊆ K. Eine Funktion f : X → K besitzt
an der Stelle ξ einen Grenzwert η, in Zeichen
f (x) → η (x → ξ), oder lim f (x) = η,
x→ξ
wenn die auf X ∪ {ξ} fortgesetzte Funktion

 f (x), falls x ∈ X \ {ξ}
fe(x) =

η,
falls x = ξ
an der Stelle ξ stetig ist.
Man beachte, dass in dieser Definition der Wert von f an der Stelle ξ – falls
überhaupt definiert – irrelevant ist.
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Bemerkung. Die Tatsache limx→ξ f (x) = η lässt sich mit der folgenden
, δ-Bedingung ausdrücken: Zu jedem > 0 gibt es ein δ > 0, so dass
0 < |x − ξ| < δ =⇒ |f (x) − η| < für alle x gilt.
(Warum schliesst man hier x = ξ aus?)
Bemerkung. Der Grenzwert limx→ξ f (x) ist eindeutig bestimmt, falls er existiert.
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Beispiel. Die reelle Funktion f (x) = sin x1 oszilliert in jeder Umgebung von ξ = 0
zwischen −1 und 1.
y
1
f(x) = sin 1/x
x
-1
Es ist daher klar, dass der Grenzwert von f für x → 0 nicht existiert.
Durch “Dämpfen der Schwingung mit x” können wir Konvergenz erreichen: es gilt
lim x sin
x→0
18
1
= 0.
x
Umgekehrt kann man die Stetigkeit mittels des Grenzwertbegriffs charakterisieren.
Satz. Sei f : X → K und ξ Häufungspunkt von X. Dann gilt
f stetig bei ξ ⇐⇒ lim f (x) = f (ξ).
x→ξ
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Beispiel. Wir betrachten die komplexe Funktion (n ∈ N, n ≥ 1)
f : C → C, z 7→ z n
und möchten den Grenzwert
f (z) − f (z0 )
lim
z→z0
z − z0
untersuchen.
Wir verwenden die Identität
z n − z0n
= z n−1 + z n−2 z0 + z n−3 z02 + . . . + z0n−1 .
z − z0
Wegen der Stetigkeit der Polynomfunktion auf der rechten Seite folgt
z n − z0n
= nz0n−1 .
lim
z→z0 z − z0
Dies ist der Differentialquotient der Funktion f (z) = z n .
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Die folgenden Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen sind analog
zu den Regeln für Grenzwerte bei Folgen
Satz.
Die betrachteten Funktionen f, g sind definiert auf X ⊆ K und es geht um den
Grenzübergang x → ξ zum Häufungspunkt ξ in X.
1. Aus f (x) → a und g(x) → b folgt
f (x) + g(x) → a + b,
λf (x) → λa (λ ∈ K),
f (x)
g(x)
f (x) · g(x) → a · b,
→
a
b
(falls b 6= 0)
2. Aus f (x) → a folgt
|f (x)| → |a|,
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f (x) → a.
Satz (Fortsetzung).
3. Ist die Funktion f in einer Umgebung von ξ beschränkt und gilt
limx→ξ g(x) = 0, so gilt auch
lim (f (x) · g(x)) = 0.
x→ξ
4. Gilt f (x) ≤ g(x) für alle x 6= ξ einer Umgebung von ξ und existieren
a = limx→ξ f (x), b = limx→ξ g(x), so gilt a ≤ b.
Im folgenden verwenden wir diese Regeln stillschweigend.
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Beispiel 1.
x2 − 1
lim
x→1 (x + 1)2
Beispiel 2.
3
x + 3x − 1 lim 2
x→0
x +1 23
Wichtig ist ausserdem folgender Satz über “verschachtelte Grenzwerte”, analog dem
Satz zur Komposition stetiger Funktionen.
Satz.
Gegeben seien f : X → Y und g : Y → Z. Existieren
η := lim f (x),
x→ξ
lim g(y),
y→η
so folgt
lim g(f (x)) = lim g(y).
y→η
x→ξ
(Falls η ∈ Y ist, fordern wir zusätzlich, dass g stetig in η ist.)
Um den Grenzübergang zu berechnen, darf man also in g(f (x)) die innere Funktion
durch eine Variable substituieren und mit y den sinngemässen Grenzübergang
durchführen.
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Beispiel.
1 2
lim (2 + x sin ) = 4.
x→0
x
Grund: Setze f (x) := 2 + x sin x1 . Gemäss dem Beispiel von vorher gilt
lim f (x) = 2.
x→0
Andererseits ist g(y) = y 2 stetig in 2.
Also folgt
lim
x→0
2 + x sin
1
x
2
= lim y 2 = 4.
y→2
Wir werden später ein bequemes Hilfsmittel zur Berechnung von Grenzwerten
kennenlernen (Regel von Bernoulli-de l’Hôpital).
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Oftmals möchte man auch von einer Konvergenz reeller Funktionen gegen ∞ oder
−∞ sprechen können. Dies passt bequem in unsere Entwicklungen mittels folgender
Festsetzung:
Eine Teilmenge U ⊆ R heisst Umgebung von ∞, wenn sie ein rechtseitig
unendliches Intervall
]M, +∞[:= {x ∈ R | M < x}
enthält. (Analog mit −∞.)
Eine Menge X ⊆ R besitzt ∞ als uneigentlichen Häufungspunkt, wenn jede
Umgebung von ∞ die Menge X schneidet.
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Ist ∞ uneigentlicher Häufungspunkt von X und f : X → R eine Funktion, so sagt
man limx→∞ f (x) = η, wenn für alle > 0 ein M existiert mit
x > M ⇒ |f (x) − η| < für alle x ∈ R.
Beispiel.
1
= 0.
lim
x→∞ x
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Man kann auch auf der Werteseite dem Sachverhalt limx→ξ f (x) = ∞ einen
präzisen Sinn verleihen.
Man sagt, f besitze am Häufungspunkt ξ (eigentlich oder uneigentlich) den
uneigentlichen Grenzwert ∞ , wenn es für jede Umgebung U von ∞ eine
Umgebung V von ξ gibt, so dass für alle x 6= ξ
x ∈ V ⇒ f (x) ∈ U.
Im Falle ξ ∈ R heisst dies konkret, dass für jede Schranke M ein δ > 0 existiert, so
dass für alle x
0 < |x − ξ| < δ ⇒ f (x) > M.
28
Beispiel.
1
lim
= ∞.
x→0 x2
Wenn nichts anderes gesagt ist, verstehen wir unter Konvergenz immer die
eigentliche.
29
5.3. Hauptsätze über stetige Funktionen
Wir diskutieren hier einige der allgemeinen globalen Eigenschaften stetiger reeller
Funktionen. Als Vorbereitung behandeln wir zuerst den Begriff des Supremums
einer reellen Zahlenmenge.
Eine endliche Teilmenge A ⊆ R hat stets ein maximales Element. Für unendliche
Teilmengen braucht das nicht richtig zu sein, wie schon das beschränkte offene
Intervall ]0, 1[ aufzeigt. Wir brauchen einen Ersatz für das Maximum.
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Definition.
Das Supremum s = sup A einer reellen Zahlenmenge A ⊆ R ist die kleinste obere
Schranke von A. D.h. es gilt x ≤ s für alle x ∈ A, aber für jedes s0 < s existiert ein
x ∈ A mit s0 < x.
Zum Beispiel gilt sup]a, b[= b.
Der folgende Satz drückt eine weitere Vollständigkeitseigenschaft der reellen Zahlen
aus.
Satz. Jede nichtleere und beschränkte Menge A ⊆ R besitzt genau ein Supremum.
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Unter einem kompaktem Intervall verstehen wir ein beschränktes und
abgeschlossenes Intervall X = [a, b]. Wir bringen zunächst den Satz vom Maximum.
Satz. (vom Maximum)
Ist f : X → R stetig und X ein kompaktes Intervall, so nimmt f auf X ein globales
Maximum an. D.h. es gibt einen Punkt ξ ∈ X mit f (x) ≤ f (ξ) für alle x ∈ X.
Wir bemerken, dass es sich hier um einen reinen Existenzbeweis handelt. Wie man
solche Maxima berechnet, werden wir später lernen.
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Definition.
Sei K = R oder K = C. Eine Teilmenge X ⊆ K heisst abgeschlossen, wenn sie
alle ihre Häufungspunkte enthält.
Die Teilmenge X heisst beschränkt, wenn ein R existiert mit |x| ≤ R für alle x ∈ X.
Beschränkte und abgeschlossene Teilmengen heissen kompakt.
Der Begriff der Kompaktheit erscheint in viel allgemeinereren Zusammenhängen
und ist von zentraler Bedeutung in der Analysis.
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Satz. (Zwischenwertsatz)
Es sei f : [a, b] → R stetig und f (a) < f (b). Dann nimmt die Funktion f jeden
Zwischenwert η im Intervall [f (a), f (b)] an, d.h. zu jedem Zwischenwert η gibt es
ein ξ mit η = f (ξ).
Dieser Satz ist intuitiv einleuchtend. Neben der Stetigkeit geht jedoch die
Vollständigkeit der reellen Zahlen wesentlich ein. Z.B. erfüllt die Funktion der
rationalen Zahlen
f : Q → Q, x 7→ x2
f (0) = 0, f (2) = 4, nimmt jedoch bekanntlich den Zwischenwert 2 nicht an, d.h. es
gibt kein rationales ξ mit ξ 2 = 2.
Die im Beweis verwendete Bisektionsmethode wird in der numerischen Praxis
gelegentlich verwendet.
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Folgerung.
Jede Polynomfunktion ungeraden Grades d
p(x) = xd + ad−1 xd−1 + . . . + a1 x + a0
besitzt wenigstens eine reelle Nullstelle, d.h. ein ξ ∈ R mit p(ξ) = 0.
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Zum Abschluss des Kapitels besprechen wir noch den Satz von der Umkehrfunktion.
Wir nennen eine reelle Funktion f : [a, b] → R streng monoton wachsend, wenn
f (x) < f (x0 ) für alle x < x0 gilt. Solche Funktionen sind offenbar injektiv. Es gilt
aber noch mehr:
Satz.(von der Umkehrfunktion)
Es sei f : [a, b] → R streng monoton wachsend und stetig. Dann bildet f das
Intervall [a, b] bijektiv auf das Intervall [f (a), f (b)] ab. Die Umkehrfunktion
g := f −1 : [f (a), f (b)] −→ [a, b]
ist ebenfalls streng monoton wachsend und stetig.
Wir bemerken, dass der obige Satz entsprechend auch für offene oder unendliche
Definitionsintervalle gilt.
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Beispiel.
Es sei n ∈ N, n ≥ 1. Die Potenzfunktion
f : [0, ∞[→ [0, ∞[, f (x) = xn
ist streng monoton wachsend und stetig. Der Satz von der Umkehrfunktion zeigt die
√
Existenz und Stetigkeit der n-ten Wurzelfunktion g(y) = n y als Umkehrfunktion
von f .
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