T 2 2g = π⋅ и

18. Kontrolle Physik LK
5.9.2011
1. In einem U-Rohr wird eine Flüssigkeit
zum Schwingen angeregt.
a) Überprüfen Sie, ob diese Schwingung
harmonisch verläuft, wenn Reibungsverluste
unberücksichtigt bleiben. (5)
b) Für die Schwingungsdauer einer solchen
Flüssigkeitssäule gilt die Gleichung:
ℓ
2g
Dabei ist ℓ die gesamte Länge der
T = 2 π⋅
Flüssigkeitssäule. Interpretieren Sie diese
Gleichung. (2)
2.
Ein Fadenpendel der Länge 80 cm wird um 5,0° ausgelenkt und dann losgelassen.
a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer, die Frequenz und die Geschwindigkeit beim
Nulldurchgang. (7)
b) 50 cm unter dem Aufhängepunkt befinde sich bei einem anderen Versuch mit demselben
Fadenpendel ein fester Stift, an den sich der Faden während der Schwingung
vorübergehend anlehnt. Berechnen Sie die Schwingungsdauer und die Frequenz. (4)
3. Eine Feder wird vertikal befestigt, mit einer Masse beschwert und vertikal
ausgelenkt. Nun wird die Schwingungsdauer bestimmt.
Der gleiche Versuch (gleiche Feder, gleiche Masse) wird auf dem Mond durchgeführt.
Wie ändert sich die Schwingungsdauer? (1)
a) Sie wird kleiner.
b) Sie bleibt gleich.
c) Sie wird größer.
4. An einem Federpendel schwingt eine Masse mit der Frequenz f = 0,8 Hz. Die Masse
erreicht beim Durchgang durch die Ruhelage eine maximale Geschwindigkeit von 2 m/s. Wie
groß ist die Amplitude? (2)
Lösungen
1. a) Eine Schwingung verläuft dann harmonisch, wenn die rücktreibende Kraft proportional
zur Auslenkung ist.
Im konkreten Fall muss gezeigt werden, dass die Kraft, die die Flüssigkeitssäule in die
Gleichgewichtslage zurückbewegt, von der Höhe h direkt proportional abhängt.
Wird die Säule aus der Gleichgewichtslage herausgebracht, wird die rechte Säule kleiner
und die linke Säule größer. Damit ist die linke Säule um die Höhe 2h größer als die rechte
Säule. Diese zusätzliche Masse der linken Säule bringt die Kraft auf, die das ganze System
zurückbewegt.
Wie groß ist diese Kraft?
Nun, es ist die Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule mit 2h
F = m⋅g
Die Masse der Flüssigkeit ist über die Dichte zu bestimmen:
m
V
m = ρ⋅ V
ρ=
Damit erhält man für die Kraft
F = ρ⋅ V ⋅ g
Es muss aber die Höhe h in der Gleichung auftauchen.
Das Volumen ist von der Höhe abhängig, es ist einfach die Fläche der Säule mal deren
Höhe:
V = A ⋅ 2h
Die Kraft ist jetzt:
F = ρ⋅ A ⋅ 2 ⋅ h ⋅ g
Die Kraft ist demnach direkt proportional zu Höhe h, da die anderen Größen von h
unabhängig und konstant sind.
Die Schwingung läuft harmonisch ab.
b) Ähnlich wie die Schwingung eines Fadenpendels ist die Schwingung nur von einer Länge
abhängig. Die Art der Flüssigkeit und andere Größen spielen keine Rolle.
Die Schwingungsdauer ist für einen Ort auf der Erde proportional zur Wurzel der Länge der
Flüssigkeitssäule.
2. a)
geg.:
Lösung:
ℓ = 0,8m
α = 5,0°
ges.:
T,f,v 0
a) Mit der Gleichung für das Fadenpendel erhält man die Schwingungsdauer:
T=2π
ℓ
g
T=2π
0,8m
9,81 sm2
T = 1,8 s
Die Frequenz berechnet sich aus der Schwingungsdauer:
f=
1
T
f=
1
1,8 s
f = 0,56Hz
Die Geschwindigkeit des Pendels ist beim Nulldurchgang am größten. Die kinetische
Energie, die es an dieser Stelle hat, stammt aus der potenziellen Energie, die dem
Pendel beim Hochheben gegeben wurde. Da nach dem Energieerhaltungssatz die
potenzielle Energie vollständig in kinetische Energie umgewandelt wird (Reibung
vernachlässigt), kann man schreiben:
Ekin = Epot
m 2
⋅ v = m ⋅ g⋅h
2
1 2
⋅ v = g⋅h
2
v2 = 2⋅ g⋅h
v = 2 ⋅ g ⋅h
v ist die gesuchte Geschwindigkeit und h die Höhe, um die der Pendelkörper
angehoben wurde.
Wie hoch wird der Pendelkörper gehoben?
Aus der Skizze kann man ablesen:
x
ℓ
x = cos α⋅ ℓ
cos α =
ℓ − h = cos α⋅ ℓ
−h = cos α⋅ ℓ − ℓ
h = ℓ − cos α⋅ ℓ
h = ℓ ⋅ (1− cos α )
Damit geht man in die Gleichung für die
Geschwindigkeit:
v = 2 ⋅ g ⋅ ℓ ⋅ (1− cos α )
v = 2 ⋅ g ⋅ 0,8m ⋅ (1− cos 5,0°)
v = 0,24
Antwort:
m
s
Das Pendel benötigt 1,8 s für eine Schwingung, macht als 0,56 Schwingungen pro
Sekunde. Am tiefsten Punkt schwingt es mit 0,24 m/s vorbei.
b)
Die Pendelbewegung setzt sich jetzt aus zwei
Teilbewegungen zusammen: pendeln bis zum Stift mit der
Pendellänge 80 cm und pendeln ab dem Stift mit der
Pendellänge 30 cm. Die Gesamtschwingungsdauer ist die
Summe aus den beiden Teilschwingungsdauern.
Eine Teilschwingungsdauer ist die Hälfte der Zeit, die das
Pendel für eine gesamte Schwingung benötigen würde.
Tg =
T1 T2
+
2 2
2 ⋅π⋅
Tg =
ℓ1
g
2 ⋅π⋅
+
2
2
ℓ
ℓ
Tg = π⋅ 1 + π⋅ 2
g
g
Tg =
π
Tg =
π
⋅
9,81 sm2
g
⋅
(
ℓ1 + ℓ 2
(
ℓ2
g
)
0,8m + 0,3m
)
Tg = 1,4 s
Das ergibt eine Frequenz von 0,7Hz.
3. b) ist richtig, da in der Gleichung für die Schwingungsdauer einer Feder der Ort des
Versuches keinen Einfluss hat.
Die Schwingungsdauer einer Feder ist von der Federkonstante D und der
anhängenden Masse m abhängig. T=2*Pi*Wurzel(m/D).
Die Federkonstante ist eine Größe, die nur von der Feder abhängt, nicht von dem Ort,
an dem sich die Feder befindet. Die Masse ist ebenfalls überall gleich. Und: schwere
Masse = träge Masse.
4. Mit der Geschwindigkeitsformel v=dy/dt=ymax*ω*cos ω*t erhält man
Amplitude 39.8 cm