Wissenschaftliche Nachrichten Nr. 134, 2/2008

Wissenschaftliche
Nachrichten
Herausgegeben vorn Bundesministerium
für Unterricht, Kunst und Kultur
b
.
/
I‘•
Nr. 134
2/2008
Bundesministerium für
Unterricht, Kunst und Kultur
Inhalt
Grundwissenschaftliche
Probleme
Treue Leserinnen und Leser!
Liebe Kolleginnen und Kollegen!
Da es in den letzten Jahren immer schwerer
wurde, Beiträge für die einzelnen Bereiche der
Wissenschaftlichen Nachrichten zu erhalten.
konnte die Zeitschrift leider erst mit großer Ver
spätung in Druck gehen. Somit hat sich eine Ver
schiebung eier Nomenklatur zum tatsächlichen
Erscheinungsclatum von mehr als einem Jahr er
geben. Da die Artikel zum Zeitpunkt der Druck
legung und Veröffentlichung immer aktuell
sind, hat das fortlaufende Datum nur Verwirrung
gestiftet. die Redaktion hat sich daher ent
schlossen, das Auflagedatum neu anzupassen.
l)ie fortlaufende Nummerierung der Hefte war
immer aktuell und wird auch beibehalten, so
dass eine LJberprüfung der Vollstiindgkeit eIer
Hefte an Hand dieser Nummer jederzeit mög
lich ist.
Die Krise eier fehlenden Beiträge ist noch nicht
überwunden, denn wir suchen nicht nur aktu
elle und interessante Artikel, sondern auch nach
wie vor eine Spaltenleiterin/einen Spaltenleiter
für den Bereich „Chemie‘. Interessierte Kolle
ginnen oder Kollegen mögen sich bei der unten
-
\\‘ahrlieit und \Vahrheitstheorien
3
Biologie,
Geowissenschaften
I-lighliglns der Geologie für Schule,
Fortbildung und für den täglichen Bedarf
11
Chemie
.
Rückreclinung der Blutalkoholkonzentration;
Kritik am 6 wcnsischen Ansatz (Teil 2)
angegebenen Redaktionsanschrift melden.
Wir bauen auf Ihr Verständnis und hoffen, dass
Sie den Wissenschaftlichen Nachrichten auch
weiterhin die Treue halten.
Für die Redaktion
17
M athema tik
1)r Cbr/st/an Whl,ij‘
Algebraische Zahlen am Finheitskreis IV:
R ilatih )ns( )rbils ohne einfache
G lemc‘hgevicliI stuengen
21
1renm.lanalv.sc
26
von
llrutvogelbesiänden
Die crslc ( )sI(.-rrei(llis(lIe 14‘l(.)—Au[gahe
Lcuchtteii mc im Ozean
1
Klassifikation aller Ringe rationalet Zahlen
66
Aufgaben
-ii
Physik,
Astrononi.ie
1.iehivcgc: S)iei2clung. Bren.ltting und
Luftspiegclung
4.3
\X/irtschafts— und
S )zialgeographie
\X“irtscha ftsi flh)lTflatiOnen
Iii, lmtmmimm.mtiiilfimi \\-is.lis(ImIti[Im li \I IhR Itmi eIS IhLihh
miii m\hIi_411S1. liii No.mImIK-i-I)m.ZLIIlhi.r 41(1(1 1111 1\IIl7t\jhiil 145
\viI(I(14r1 (ILS ii\lLi o‘mil Iii II
51.7 7
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GRUNDWISSENSCHAFTLICHE PROBLEME
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Mag. Dr. Robert Ilofsictter
Wahrheit und Wahrheitstheorien
ll‘i/tei‘ ltdiss
l1“a/irlieii
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die
1eiviiislimmuiii
.Sic/ie.
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I‘Iioin,is
aller
011
Aquin
Dic‘/enige lbereii,gioi,g. die die Ziislininiiiin
11‘ ahrhieii.
k Ii 1jI (‘0(5 Zitat) CIi:irles Sandui‘s I‘.‘ircu
Eorsclier/iiiclel, 1 ‘erziehen ii 7/‘ ii iller
statisch oder dynamisch? \Vie kann sich Wahrheit an—
deIn? \\ ie lo“nnen mehrere Wahrheiten (im Sinne von
Aussagen über ein und dasselbe) \\‘ahr sein?
Gegensdtzliche Aussagen zu einem Thema sind
nichts Neues: Gegensdtze als \X‘iclersprüche zu ‘s erten,
ist hingegen nur im Denkschema der Logik zwingend.
Wer sich darüber hinx\ egsetzt, kann auch mit mehreren
\\ ahrheiten leben
nur: \‘erlangt nicht gerade die
\X‘ahrheit nach Wahrheit? Was soll eine Wahrheit. die
keine ist?
röi,s‘elili 101/ C‘ai/lel‘h,iirl‘, der „Vater der Scholastik‘‘
zeigt in seinem Dialog über die \Vahrlteit“ drei Ebenen
der Wahrheit aul‘: Die ewigen \\ ahrheiten in Gott (die
Ideen), die Wahrheit der Din,ge, die auf der LJlscrein—
stimmung mit der göttlichen Wahrheit beruht Lind die
\Valtrheit des De,iL‘e,i,s und der rlii,ssage, die in der
lillereinstimmung mit den Dingen liegt. Anselm im Ori
—
Der Skandal der Philosophie
Inimciii ne! Kanl empl?i nd es als Skandal der Philo
sophie‘‘, die Realiiiit der Dinge nicht beweisen zu kön
nen. 1 atsiehlich kann dem Zweifel an der Aul4enwelt
nur
\\
enig entgegengestellt
\\
erden.
ln)nisch ndlierte sich der Dichter heinrich hleiiie
dem ‚Skandal der Philosophie“, cnn er anführt, dass
die Philosophie einen „Missbiueh der Terminologie“
betreibe, ‚die zu diesem Zweck eigens erfunden wird“.
Er wandte sieh damit gegen die Vergewaltigung der
Sprache durch so manchen Philosophen. und (las zu ei
ner Zeit, als er von Martin 1 leidegger noch gar nichts
wissen konnte, der sich in seinen Schrihen einer fast
unverstiincllichen Kunstsprache bediente.
Es gibt v enige l3egrille in tIer Philosophie, die so un—
einheitlich verstanden, definiert und behandelt er—
den, wie jenen der \Vahrlleit. Alleine das Wahrheitspro—
blem und seine Nicht—Lösung rechtfertigen den Begriff
Skandal der Philosophie.
Was ist Wahrheit?
Wahrheit ist das Kriterium der allgemeingültigen Er
kenntnis“ bzw. der •.Vorhersagegehalt einer Aussage“.
„Wahr ist ein Urteil, wenn es Erwartungen er eckt, die
jeder normale Mensch bestdtigt findet oder lindun
könnte.“ Soweit das Lavi/oii der Philosophie von Frcnz‘
zIns/edo. Wahr ist aber auch ein Urteil in der formalen
Logik (Wahrheitswert „W“ )‚ wenn das Wahrheitskriteri—
um erfüllt ist, und falsch (..F“), \venn dies nicht der Fall
ist. Ein Urteil ist im Alltag aber auch dann „wahr“, cnn
es sich „bewtihrt“ hat, indem man es nach bestem Wis
sen und Gewissen (und nach den jeweiligen Möglich
keiten 1 1 ‘eri/i.ziei‘/ hat. Dann spricht man sogar von der
„lnvarianz des Aussagegehaltes“. Gibt es aber ..endgül—
lige“ und „absolute“ \\‘ahrheiten? 0(1er ist Wahrheit
stets aufgegeben“, also wandelbar, unahgescblossen
und muss sich an die je‘eiligen Zeiten und Umstducle
anpassen ( ..Approximationstheorie der \X ahrheit“ )?
Steht Wahrheit für sich alleine oder tlarl sie ni ii‘ im Kon—
nex mit anderen \Vahrheiten gesehen werden? \\/ieso
gibt es plötzlich mehrere Wahrheiten? Tst die Wahrheit
—
‘/l‘issensi‘lctltlii‘li,,‘ N,lrlli‘irliS‘n Nr. l.3—i ‘Juli August 200S
ginal: ‚So isl die ll‘alirhieii des Dci,sei;i,s der Dinge die
IV ii‘laiiig cfe,‘ hiochis/en B‘ahirlieii und ii,gIeicii cfe,‘
G,‘u 11(1 /‘e/ler lt all ‚‘heil, die der I1‘ri?e)l /1/1/15 cnioni nil.
nncl der iii der luissci,ge enilicdienen II ?dn‘hiei/.
Die doppelte Wahrheit
Das Phdnomen der „mehreren ‘fvahrheiten“ kennt
Philosophie also zumindest seit der Scholastik: Es
wird spiiter unter dem Begriff der doppelten \\‘aht
die
2 sullsomiert und ist unter dieser Itezeichnurig in
heit“
die spdtere Philosophietradition eingegangen. Sie be
zeichnet eine Position der christlichen Philosophie, tIer
zufolge eine Behauptung wahr und zugleich falsch sein
kann; es kdme nur auf den Standpunkt an: ist dieser
christlich, also theologisch, oder philosophisch.
Auf der doppelten Wahrheit beruht also der Unter
schied zwischen Glauben und \Vissen bzw. zwischen
UberzeLigung (Vertrauen), die keinerlei Pl )erpröfung
mehr bedarf. und Uherprül‘en ( Kontrolle) einer Be
hauptung. weil man ihr sonst nicht glaubt.
Die ‚doppelte Wahrheit“ basiert also auf dlen7 Ion—
—
1 k,int. Kritik der
5. H. lt Xl..
der \‘ernunltx\ d rigkeit \ 1)11
(d,iuhenss:,tzeii 1) )qrnen) Ilerriht. Vernunht und G lauhens
wahrheiten liegen ‚iii) \ erschiedenen Ellenen. Sie geht auf jo—
h:uin,_‘s t)uns Scotus, den .,1 ) 1(1(1,‘ sulltilis‘‘ ( scharfsinniger
Doktor) vurtk k, der den Vorrang des Willens gegentiher dciii
Intellekt hetonte und sich damit gegen Thomas on Aquin stell
te, \\ ilhulm on Oec,im. dur .‚IX,co,r ins incillilK“ (= unhuiug
Inrer Doktor) hekannte sEh ellenhills iur doppelten \\ ‚ihrheit.
Auf ihn geht das „Rasiermessei “—Prin7ip irirür k: \l,in dtirfe die
reinen \ernunft,
2 l)oppeltu \V,ihrlieit: Lehre, die
auf
Zu erlorsd‘henden öegenst2ncle nicht tllllliitiger\\ cisc durch
„überflüssige Wesenheiten“ c‘rmchien. indem man z. lt. den
\llgeineinhegrilfeii eine eigene \Xesenheit zugestehe: diese
seien ..wegzusd hneiden‘. Er war also N ininihist.
3
danientalen! TJnterschied zwischen der theologischen
Offenbarungs— bzw. GlaLihenswahrheit und der philo—
sophisehen Vernunft— bzw. Erkenntniswahrheit. Dieser
Differenz zufolge kann daher die eine wahr und die
—
—
andere falsch sein.
Die Zeutzung csu durch den l-leihgen Geist und die
ju ngl Ci uliche Gelurt des ‚Sohnes (ii mcs‘ dLirch i laria
sind Glaubenswaluheiten, die im \\ iderspruch zur Ver
nunht\\ ahrheit der Biologie) und der Erfahrung) stehen.
Beide sind allerdings wahr man muss ehen an beide
glauben, wenn man Christ und aul‘geklhrer Naturwis—
sensehaftsgliiubiger ist und das sind die meisten. Hier
gibt es kein Entweder Oder.
—
—
—
Di Korresponclenztheorie
1 )ie kurrespondenztheorie besagt: 1 b,‘/ia.s esi addie—
JliiIiio i;iielleciiis ei rei Die \\ahrheit ist die [hereinstimmung von Intellekt (auch Verstand. Denken. Er
kenntnis. Geist) und (Tat- (Sache (auch Sciendem. Ge
gensta mi Sachverlia lt. \Velt Real ihit ). 1 )a klingt ganz
einsichtig: Wenn jemand sagt:.. DrauBen schneit es“,
und rlrau(en schneit es. dann stimmt diese Aussage mit
der i‘atsaehe überein ergo ist sie wahr. Dieses Beispiel
scheint simpel und leicht überprüflar.
Aber \V5 ist eine latsache? [,einig llil/,gensleiii do
zierte iii seinem lniclaliis loico—piiilosopliicirs: Die
((dli iI alles, uns der IG!! isI \Vas aber ist der Fall“?
\\‘er garantiert mir, dass ich dasselbe vahrnehine wie
mein \aclihar? Denken Sie an 1—lalluzinationen
und
Visi inco. 1 )enken Sie an die rosar ge Brille, die Sie stets
dann aufhaben. wenn Sie verliebt sind und wie Ihr \‘a
er Iluc iIutter darauf reagiert e wenn Sie hin ihr Eh
ren neuesten Schwa im v )rstel 1) t >en!
\\er eher links steht, wird die Ei ilitik der Rechten
misstrauisch hehLigen, wer konservativ denkt, Aussa
gen vi in Sozialisten oder Grünen eher abwertend beur
teilen. Ist: es „wahr-, dass der Bau von Autobahnen kon
traproduktiv ist? Dass die Globalisierung schüdlich ist?
—
—
—
—
\Ve nn ja: Ihr wen? tnd wenn nein: Für wen nicln?
Die ontologische Version
der Korrespondenztheorie
‚-\ber die IG rresfs ndenztheorie hat noch tieldre phi
losophische Dimensionen: Der Metaphysiker interpre
tiert nhmlich das ‚Entsprechen“ in der Korrespondenztheorie oniolo,gisch. der Nicht—Metaphvsiker enipirfsch.
In der ( int l )giscllen Interpretation der IG ii‘resp )n—
denztheorie ist eine Aussage danti wahr, wenn sie nil
tIer hc‘sc/u‘ic‘heiien (l‘‘hklich/ieii übereinstimmt, der rea
le Gegenstand als
zutreffend abgebildet ist (
(l,oi,gs- bzw. rld/bfiiaiioiisiheurk‘(. Sie geht auf. lrisio/e
les zurück, nach dem Wahrheit die 1“benzinsliiuiuuiig
10)/ Deiiheii Spracle iuid Sein (\\ elt ist. Dabei gilt
(unüherprüft! . dass die \\‘elt eine job Deni‘eu unn/i
han,gie SlriilRiirhale. Das Denken phigt also der Welt
nicht unsere (!) Strukturen auf, wie es die spiiteren Jon
s/,‘uh/ii‘islen und (im Extremfall> die Sohsislen be
haupten! Allerdings nimmt Aristoteles
dass zwi
schen Welt und unserem Denken eine Strrtktrtriihnlich—
keit bestehen muss anders könnten wir die Welt ja gar
nicht erkennen.
1 )ie :iristi itelische 1 nterpretatii ri der Ei rrespi )ndenz
the ne wurde von ‘liionui ion :lqi/iii übernommen
—
4
und weiterentwickelt, wie ja Thomas überhaupt Aristo
teles für das Christentum erst adaptiert und „hoffühig“
gemacht hat. Von Thomas stammt auch die als Ein—
gangszitat schon vorgestellte Formel: 1 ‘er/las es/ adae—
q/ialio iniel/ecius ei ici Die \Vahrheit ist die Überein
stimnuing von Verstand rind Sache (Adhr
uationstheo1
ne).
—
Die empirische Version
der Korrespondenztheorie
Die empirische Interpretation der Koi‘respondenz—
theorie erkliirt die ontologische Version als unzuliissig:
Sie hült eine solche Sicht der Außenwelt für nai1_i‘ea!is
tisch und argumentiert. dass sich Aussagen niemals mit
der Ren 1/1/11 an sich vergleichen lassen.
Erinnern Sie sich an das Kant‘sehe Ding in sich, das
prinzipiell nicht wahrnehmbar ist. Wann immer wir et
was ansehen bzw. erfahren, kommt zu den rohen Sin
nesdaten immer schon unser Bewusstsein hinzu und
damit unsere Einstellung ru‘td Ei‘fahrung. die wir mit
dlieser Tatsache oder diesem Erlebnis verknüpfen. Wir
können an keine Sache objektiv ( = unbeeinllusst ( he
rangehen.
Aussagen beziehen sich daher nur auf l3eohachiun—
‚geil und sind demnach nur dann wahr, wenn sie Er/eh—
iustaisachien (Sinneswahrnehmungen, Empfindungen,
Erinnerungen> zutrel lend wiedei‘geben. Sofort ergibt
sich das li‘oblem: Wann ist eine Beobachtung richtig
wiedergegeben?
Diese Frage fasst sich mit der lGu‘respondenztheorie
nicht be,tntwi )ren. weil sie diese ühei‘steigt. Die lGrres
pondenzthecirie ist daher ungeeignet. rias Wahrheits—
problem zu lösen, Das lKant‘sche Ding an sich ist riet‘
Prüfstein. an dem sie scheitert: Weil das Ding an sich
pi‘i)iziJ)ie!! (1) dinerkennbar ist, kann es niemals CTbei‘
einstimmring zwischen Denken und Wirklichkeit ge
ben, Wahrheit liegt
wenn überhaupt mit der Kurie—
spondenz operiert werden soll dann vielmehr in der
Jlsereinstiinintuig in Denk inhalten mit den Gesetzen
bzw den !‘iilljieI/ des Denkens.
Dieser Denkversii in schlossen sich auch l3erirai,d
Russe!! und der Osterreicher S/e Is‘cn‘/ Rainnaid Popper
an: Beide sahen die tbereinstiminding z\vischen einer
Aussage mit dem Sachverhalt in deren Sh‘nhi/i/gr!leich—
und i‘ekurrierten damit auf Aristoteles. Ist eine
hei!
Aussage falsch, tritt keine Strukturgleichheit auf. Worin
dliese neuerliche ..Struktui‘gleiehheit“ allerdings beste
hen soll, blieb eher offen.
Auch -1/fred 7uxhi versuchte eine Neuauflage der
tG)rrespondenztheorie: Wahrheit liegt nach ihm im Ver—
hiiltnis zwischen der .‘\ussage undl dem, was die Aussa
ge bedeutet. Die \Vahrhcit spielt sich somit innei‘—
sjii‘achhich ab
dlie Arißenwelt spielt gar keine Rolle
mehr. Das Ausschalten der ALißen\\elt gelingt Tarski
mit c,ler Splittung dler Sprache in Objekt— Lind
1 Metaspra
ehe. Olsjektsprachlich heißt es: „Sr‘lnee ist \veiß.“ Meta—
sprachlich I‘ormuliert lautet das gleiche t
rteil‘. Die Aus
1
sage ‚Schnee ist weiß‘ ist wahr“. Tarski will dlen \Vahi‘
heitsbegniff aus der Objektsprache, also arts allen Aus
sagen über Objekte. entfernt wissen; allein in c.ler Meta—
sprache sei er legitim. Es ist dies eine etwas elegantere
Formulierung der altl ekannten Aussage: \\“ahrheit ist
—
—
—
—
—
„
3 \\iurx‘iws,‘in. ‘tiP
\\:jss(.is(tiHIiIjch‘
Njctu‘stueii
Nr 13i
Juli,
.\Ilgusi
201)5
die Ubereinstimmung einer Aussage mit der Tatsache,
cia eine Tatsache immer nur eine Aussage ist!
Die Kohärenztheorie
Sie stellt eine radikale \Veg\\ endung von der klassi
schen und letztlich unbrauchbaren, dafür aber fast zwei
Jahrtausende tradierten Korrespondenztheorie dar.
Nach ihr ist Wahrheit nicht. sondern sie u‘ird!Die Wahr
heit liegt nicht in einer Aussage (oder in einem Urteil,
was gleichbedeutend ist), sondern sie n‘ird erst im Zu
sammenspiel mit anderen Aussagen (1.Jrteilen ). Ein Satz
ist ihr zufolge dann und nur dann w ahr, wenn er den
übrigen, bereits i‘e‘i/fieren Sützen nicht widerspricht,
also mit ihnen I,oIiärent ist. Je nachdem, ob sich eine
Aussage in ein bereits bestehendes Gesamtsystem ein
/Yhe,i Eisst oder nicht, ist sie wahr oder Lilsch.
Der erste, der sich diese Gedanken über die \Vahr—
heit machte, war Got//‘ied ll“illielm Leibi,i.. Erstmals
besteht keine Clhereinstimmung zwischen Aussage und
Sachverhalt
die ja. wie wir bei der Korrespondenz—
theorie gesehen haben, schwer bis unmöglich herzu
stellen ist sondern zwischen eiizerAus.sagc und n,ide
ren Aussagen.
Leibniz war auch derjenige, der z\\ ischcn e\\ igcn
1 ‘nni nflu ohr/ici/ei i, also den k n.isch mat hcmat i.sc 1 en
Sützcn z. 13., und den Tatsachenira/ir/ieiie,i untcrschic
den hatte. Erstere sind bekanntlich von der Erfahrung
unalihingig und gelten ewig, die 7weiten basieren auf
der Erfahrung und sind daher stets strittig.
Bei icbte Fragen v )fl P11 il( )s( )ph ieschülerl nnen lau—
teil: \\ o befindet“ sich bzw. ‚verbleibt“ der Satz des Pv
1 hag( was ( ( )dler jede a nciere mathemat sehe Wahrheit
ss cnn ihn niemand denkt oder an\\ endet? Was ..p—
siert“ mit ihm, sollte die Menschheit aussterben? Oder:
„\Xo“ waren“ die Zahlen zur Zeit der Dinosaurier?
Müssten potentielle aulh‘rircliselic Intelligenzen nicht
auch die Zahl Pi entdeckt hauen und anwenden? Sind
Zahlen entdeckt
oder erlu nclen? Wenn sie entdeckt
sind — wo waren sie „vorher“? Und svenn sie erlunclen
sind
\vieso sind sie ewig gültig?
Auch Geo/: ii ‘ihieln, friedrich fIcye/s Sicht der
\Vahrheit wird von einigen Philosophen als mit clc‘r Ko—
hiirenztheorie ver\vandli angesehen. Immerhin ließ 1 le—
gel wissen: Das 1l‘?ilire ist das Ganze.
Die Wiener Positivisten Rndol/ CUrilaJ) und 0/tu
“d‘nivi/z, beide dem „\Viener Kreis zugehörig, wiesen
darauf hin, dass niemals Beohach/IlnJ/sda/en, sondern
immer nur Sö/.ze (Aussagen. Urteile) [(12er diese I3eob—
achtungsclaten vorhanden w1ren. Schon aus chesem
Grund dürften Aussagen über svahr oder falsch immer
nur durch Vergleich der -liis,sa,es[(/zc‘ nniereina,ider.
niemals aber durch jenen der ALi.ssagen mit den Beoli—
—
—
—
-—
—
achtungsdaten gemacht werden,
Aller auch die TU )hürenlt he( )rie hat ihre Unzuliing—
lichkeiten, Mit der ForderLing nach der \‘ertr1glichkeit
von Aussagen ist ja noch nicht entschieden, ne/die der
Aussagen im Falle auftretender Lnvertr2ghchkeit die
falsche sei. Die Quantit2t on Behauptungen könne
niemals das Kriterium für deren \\ alirheitsgehait sein!
Denken Sie an die berühmt—berüchtigte 1KV /10/Elli,
des Volkes Stimme (,.1 liingt ihn!“). \n die kasuistisch
immer sviecler aufhlammencle Diskussion um die Todes—
strafe. Denken Sie an Gallien Galilei, der \vidlcrrcilen
\Vissnns(‘h,iltti._ti
N,iu
ii ic_tii‘n
Nr
3t ‚Im‘)‘ Au,us1 2005
musste (den kolpontierten Satz:,, Und sie bewegt sich
cloch, hat er nie gesagt; er \\ dre ihm nach seiner Verur
teilcmg zu lebenslangem 1 lausarrest auch mciii gut be—
k)mmen! ) und an Giordano I3rniio, der in Rom als Ket
zer verbrannt wurde, weil er ein ewiges und unenchli—
ches \Veltall gelehrt hatte. Das kirchliche Argument ge—
geil ihn hatte cianials gelautet : Wo 111 iebe cia Plat 7 für
Gott? Denken Sie an dlie Widerstandskdmpfer im Drit—
teil Reich, an che Globalisierungsgegner von heute, an
dlie Kdmpfer für ein welt\\ eites Klimaschutzalikommen‘
Immer ging oder geht es gegen die ‚\lehrheit micl die
etablierte „Wahrheit“.
Der Konventionalismus
Es ist — trotz aller Mdngel der Kohdrenztheorie den
noch möglich, brauchbare und in sich widerspruchs—
freie Satzsysteme aulvuliauen. Dei‘en \\ ahrheit oder
Falschheit erweist sich allerchngs nur aulgrundl ihrer
(‘he;pr[i/iiiig bezüglich ihrer “l‘auglichkeit oder Brauch
Ilarkeit (Effizienz): Ohne lüjiln‘iin,i ( .‚Empirie“ ) bzv
i[.gaei‘inieii/c‘ geht eben nichts. \Vas würe sonst der Sinn
der oft milliarclenteuren ph sikalisehen Expenimentier—
anlagen wie et\\ a der Teilchenbeschleuniger, wenn
man die je\\‘ei Iigen ‘1 ‘lie( wien nicht a ii der Pra xis über
prüfen müsste?
1 )iesem /n‘ahtisc/len ( ! ) Ansatz kommt der Konrc‘nlio—
‚ialis,n,,s entgegen. Man muss sich bei \orlicgcn mcli
rere wicier.spruchsh‘eier Systeme clui‘ch willkürliche
Festsetzcmg (KoIn‘d‘n/ion) ehen eillschd‘ide)l und cmi
‚i.en. cleni einen System gegenüber den anderen Syste
mcii den Vorzug einzurdumen. Auch einige unserer 1!)
wichtigsten Aalzu:i/esd‘l:e sind ( ‚nur“) solc‘he Konven—
tiunen, also n‘il//oii‘/ic‘he( ! ) Festsetzungen. Sie be,se/n‘ei—
heu nicht die Natur, sondern legen vielmehr l‘est, \vie
in ci ic‘ Natur zu liesc/n‘eilie,i /iabe,i!
I3eispiele cl,il‘ür \\ dren der Energieerhahtungssatz. der
2. 1 lauptsatz cic‘r \Vdrmelehi‘e und die tUmvention, dass
alle Naturgesetze (die \\ir l‘reilich nur ici uns auf der
Erde auf ihre Brauchbarkeit üllenprült h,iben und deren
Gültigkeit ganz einfach behauptet haben) im ‚kesanlten
(!) Universum gelten.
Die Kriterien l‘ür eine solche Entsd‘lieididmg sind dabei
mitunter völlig irrational aul‘ :illc‘ Kille alier nnn‘i.ssen
schah/ich. Lauten sie doch sehr oft: Zweckmiißigkeit.
Brauchbarkeit. größtniögliche Einhichheit, aber auch
Schönheit (.Tsl/ieli:isnins ). Ein solches Jmgehen mit
der Wahrheit kommt dler pra,knialischleii W‘a/u‘heils—
lhd‘orie (siehe dinten) sch( m sehr nahe,
—
—
Die RecI unclanztheorie
Sie ist die i‘achkalste: Nach Jü‘anh i/an,set‘ cmci l/‘edl
lt‘ergibt es gar keine \‘s‘ahrheit zumindest ist sie iillei‘
flüssig (= redunciant ). Das Pr(ichkat ‚wahr“ ist entlieh—
renswert: Es hilft nicht ici der Suche nach neuen lnhr
mat i( mcii aulL4i‘undi von \\‘a linlieit k )mmt kei ne Er—
kenntni.serweiterung zustaridle und nur auf dhe allein
komme es bei der wissenschaftlichen Tütigkeit und
letztlich bei allem menschlichen 1 Tandem an, Die Aus—
—.
—
i
.\sitiuijzjsmus: ddr i)sihei i‘,e he \\eri ist der hiichsie: d,is Sc. ii nr
hai \ rt ‚IliL. 1 ‘ri,‘drir Ii ‘,leizsc in: 1Km, tun‘ aLs dsllc‘/isc/,es
PIci;,(n,io, ist (/0.5 Da.sni,, und dir ttdlt <““:‘ ‚iic‘;‘ec/i//e,t(i/
(Die Gehuii dr‘r ‘Ir,maOdid‘. 5. —
5
sage: ‚Es ist wahr, dass der Mensch sterblich ist“ füge
der Aussage:., Der Mensch ist sterblich keine weitere
Erkenntnis hinzu. Sie wiederholt nur, was ohnedies
schon bekannt ist.
Auch das entspricht unserer Er[ahrung. 1—lören wir
aberm,ils Morgen— oder Mittagsjournal im Radio. sehen
„Intuition“‘. Diese Schaci erfolgt chui‘ch ‚.unfehlbai‘e Ge
wissheit“.
Die Eviclenztheorie der \Vahrheit gilt einigen Philo
sophen als keine eigene \Vahirheitstheorie, sondern
wit‘d von ihnen Linter die Korre.sponclenztheorie subsci—
miert, Auch in dieser Theorie geht es uni das Verhtiltnis
von Aussage und Sachverhalt nur soll hier die Evidenz
„garantieren“, die gewünschte (!) Uliet‘einstimmcing
..\\‘alirhicit“ ) herzci“.tellen,
wir uns eine NachrichtcnsendLtng im Fernsehen an. Es
ist wirklich völlig unerheblich, wer „recht hat“ und wes
sen Aussage nun „wahr“ ist, Er oder sie hat es gesagt
und behauptet. und wir glauben es oder auch nicht, je
nach unserer Einstellung zum Inhalt dieser Aussage
\X“ahi‘heit als Un\‘erborgenheit
und zum Aussagenden. L‘nser lnlormationszuwachs
‚-tle//ieia, rIas griechische \\‘ort für \\‘ahirheit, becleu—
liegt in der Nachricht. nicht aber in deren \Vahrheitsge—
halt. Wer etwas gerne hiirt, [ragt nicht, ob es wahr ist 1 tet eigentlich ..L‘nverborgenheit“. Die so s‘ei‘stanclene
\\‘ahrheir ist ein Grrtnclzug des Seienden selbst. Et‘st bei
ouer nicht er glaubt es ohnedies.
Plato rind Aristoteles bahnt sich ein entsc‘beiclencler
In der Zeit des \aziterrors treffen einander zwei Regi—
\\‘andel an: Wahrheit wird zur F‘ihei‘einstimmung des
megegner: Sagt der eine‘,,, Ich hab zwei Nachrichten für
\‘et‘standes mii der Sache.
dich: eine gute und eine schlechte, \\‘elche willst c,lu zu
tnsviel‘ern kann aber son UbereinstimmLing gespn
erst hi)ren“ „Die gute natürlichE „l-Iitler ist tot“! Sehr
ehen werden? Nehmen ss ir als Beispiel den Satz‘.., Die—
gut“. lautet die Antwi rt ‚„und nun sag mir die schleclt
se.s 1—laus ist groS.“ hoi 1-laus können \\‘ir wohnen, wir
te.“ ‚Die erste ist nicht uhr.“
können es vermieten auf den Satz trifft all das nicht zu.
1 )eshalli hiezweil‘elt iki,‘/i;, 1Jek/c,gec dass eine Ans—
Die Eviclenztheorie
sage der Ort der Wahi‘heit sein kann. Er kehrt sviecler
zcir ursprünglichen Auffassung von \Vahrheii als t Jnvcr—
Evidenz bedeutet „unmittelbares Gewisswerden
borgenlteit zui‘üc‘k, Für ihn ist t inverhiorgenheit keine
oder -sein einer Erkenntnis“. Der Begriff kommt vorn la
[.cistning des Menschen, sie \virdl nicht vom Subjekt ge
teinischen el/den/id und bedeutet soviel wie „Ersieht—
schaffen. \Vahirhieit geschieht vielmehr im Sein—lassen
lichkeit‘‘ und ‚‚Klarheit‘‘, In der Philosophie bedeutet er
des Seienden,
das Ofienbai‘sein. das Einleuchten, das Sich-Zeigen ei
nes Sachs erhaltes. letztlich also das Einsehen von et
Die pragmatische Wahrheitstheoi‘ie
was. Die Evidenz ist nicht weiter hinteriragbar. sie kann
.ini nichts Tieferes mehr zLirückgelülti‘t verden: \\ :is
..\\‘ahir ist, was nützlich ist“, lautet hier die Devise,
evident ist, ist aus sich selbst lieraris klar— ein erhellen
„Wahr ist, was sich hiesvühit‘t hat“. rind rIas gilt sowohl Ihr
des „\X‘arum‘ ist nicht mehr .s/a/I/la// Lind auch nicht
dc‘n \\‘issensc‘haftlic‘hen Ei‘kenntnisprozess als auch für
‚n/ir/ic/i. Daher seien auch die .I,v/omr‘ der Wissen—
die prn‘ate Lehienspi‘axis. Eine .‘\ussage, ein Urteil ist
schalten „aus sich heraus klar“, also evident. Sie haben
clc‘mnacht nur dann wahr, wenn c‘s der Lebensei‘Iuilfli;i,r
eingesehen zu werden das klingt fast wie nach einem
modern ausgechi‘üc‘kt
und
der Steigerung der 1,e—
IiYiperati‘. rind tatshchhich gibt es nichts und nieman
ben.sqilli/iId/ client. Daher heiSt sie acic‘Ii lJr‘u‘ü/ii‘lln,gs—
den, der n )cb ..erklüren“, also auf etwas Tiefer liegen
1/k‘ork‘ der \\‘ahi‘heii, Der /)/o/oi.(/Sc‘//d‘ \\‘ert ist der Prül—
des zurückführen könnte, \v:irLim sich etwa Z\Vei Paral
Stein jc‘clc‘r Erkenntnis. die /u‘uI‘1i.scIin‘ ßraiic‘lihco‘kc‘fl
lelen ei‘st im t nencil ichen reifen müssen) (Parallelen
das alleinige Kriterium ‚.Anvtliing goc‘,s‘‘, ist die char:inis
axiom).
c‘ntspringenche Einstellung 1
es rn( icherncn Mensc‘heti.
Mit der Evidenz kann natürlich auch gut Metaphysik
„nützt es nichts, so schadet‘s auch nichts“ rIas daraus
betrieben werden. Man kann mit ihr auch inieniirnuir
sieht ergehiencle eher jede Vera mv ortung sc‘heciencle
Ge,iic‘iii/es als ‚evident“ einstul‘en und damit jeder Dis
Handeln. Die Wahrheit wird zcim Werkzeug, zum Ion!,
kussion entziehen, z. B. die ‚Erkenntnisse“ eines ‚un
ihr Weit wird „au der Kassa“ bestimmt. Man spricht cIa—
mittelbar anschauenden, ci‘fassenclen Bewusstseins“
her auch votti cccs‘h—j‘cj/iiecler \Vahrheit, von ihrem .‚I3ar—
und das als ..originhre Selbstgegebenheit“ bezeichnen.
wert“. Die Nützlichkeit bringt‘s. Diese pi‘agmaiischie
als „tjrmudus“, als „Sich-Zeigen eines Sachverhaltes an
Sicht geht auf Nietzsclie zurück, der als Vater dieser
sieh selbst“ und das als ‚.unmittelbai‘e Evidenz“ ausge
\‘/‘ahrheiisauffassung angesehen weichen kann. Von
ben. L/dnnind J-In.s,serl hat seine platonisch—idealistische
ihm stammt der Satz: )V‘ci/ii‘/iei/ /.s/ die ‚Ir/ l‘o;i I,‘r/iini,
Metaphysik darauf ge— und begründet und hoffte. cIa—
olinc‘ oele/je eine be,stininiie ‚“lii 10)1 lc‘/x‘iidi en W1-.sen
i‘aus ‚reine \Vesensu‘ci/n‘/iei/c‘,i“ ZLi „schauen“, Auf ihn
ijic‘h/ lehen !üijij/e.
7
gehen aLich Begriffe v ie .‚\\‘csensschau“ 1 „tdeatii n“
(um/es Smiiidecs !-‘ei)‘d‘e hatte IK‘S als erster den Be
und „reine.s \\‘esen“ 1 ..Eidos“ ) zurück. Husserl ist der
griff des Pragmaiisntus“ in die pliili isophische Diskcis—
Begründer der P/iaiiunic‘iiuloge‘.
5 (nicnil( r,t(iii: schohisu‘chcr ttc‘nr(Il‘, hc‘clc‘oiet .Gerichtcihc‘ii.‘‘,
(3egertstand dieser phtih )5i phischen Richtung sind
...‘\t,sicht Iiclil.iei i“,ahn) .‚niei‘ichteic ttcw‘i.isstseins:i hic“, cUr von
nicht Tatsachen oder Dinge. sondern ‚reine Wesenhei
t‘i:inz t3l‘(‘I‘iOin() :iut‘ctic \\‘,ihrtic‘jisljnrliin :inC,.‘\\‘:indli \vircl, „In—
ten“, Der Phünomenologe sieht von der Existenz der
icniion:it‘‘ hecteutei, ctiss (n ErIenntnis\ ol‘g:ing :iuIi,i‘uncl der
betrachteten Gegenstünde ah (eidetische Reduktion“)
th‘iclenz 1!) ein Gc‘gensi.ind ..yiiiieiü,.‘nci“ enl‘:issi und dlimit
.‚\\‘.ihi“‘ virct.
und will ihr .A\‘esen“. also ii iren Sinn und hie l3edeu—
(i
nirijijon: ..geistige Schauen“. uiiniiiic‘Ilxii‘c Einsicht. uomiuel
tLing ‚.ei‘schauen“. 1 )ic „We.sen.sschau“ (,‚Ideation“ 1 soll
Ixii‘c Ei‘l:isen einc‘s S:ic‘Iic‘i‘h:ilic‘, linc‘ dos die tiiiel clc‘r
die „sc‘h.iu“ ‚.7.Li den Sachen selbst“ erin/)glichen, Das
\crnunl i ler der Ei Ei hrn ny sich dt;izwi.sc‘hensd‘h;ilien.
„\X‘esen“ ei‘schlteßt sich dem Phin( iinenologen clcirch
Nietzsche Der \Vilte zur \Iacht. 5. 3s$.
—
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6
\Vi,ssensc‘tiil‘iIic‘lic‘ N:ictii icliic‘ii Ni‘, t3i
Jdili/Augdisl 2005
sinn eingeführ. ITuinter verstand er den Umstand,
dass der t“er/ eines Begriffes davon ahhüngL wie sehr
er sich in seiner praktischen Anwendung l2eu‘d/iri.
Letztlich bestimmten erst seine Einführung und Annah
me seine Bedeutung. Peirce prügte auch den l3egriff des
/‘a//il,ilisn, 115“.
In den Wissenschaften hat für Peirce die Wahrheit
nur einen hypothetischen Charakter; IJbo//ieseii muss
ten erst experimentell überprüh werden, bevor sie zu
einer iheorie erweitert werden können; der Wahrheits
gehalt dieser Theorien müsse dann hiie;snb/e/tii‘ nach
geprüft werden. Erst w cnn sich solche l-I pothesen in
der wissenschaftlichen Praxis bewahrt hütten, sollten
sie als wahr gelten. Nur auf diese \Veise könne \Vahr—
heit zumindest in den \Vissenschaften) langfristig (in
11w /0/lg mii) erreicht werden: und zwar durch Konsens
der Scicntific conmmunity.
Der gesamte Wissenschaftshetrieb liiuft heute nach
diesem Muster ah es hat sich also bewührt. Dem Expe
riment kommt eine überragende Rolle zu die Zeiten
des einsamen Theoretikers. wie noch Albert Einstein ei
ner war, sind ein für allemal vorbei. Nur mehr in Teams
gesellschaftlichen Interessen folgend
ge—
kann
forscht werden. Jede Behauptung wird sofort von ei
nem 1 leer von Lxpcrimentalphvsikcrn auf tIer ganzen
Welt s( die technischen Möglichkeiten gegeben sind
nachgeprüft. Galileo Galileis Grunclsatz: liessen, uns
niessliai‘ ist, inul niesshnr mac/teil. u as tite/,! flt(‘SSb(lr
ist, ist zur goldenen Regel der Naturwissenschal‘ter
und nicht nur dieser gew )rden.
Im Zeitalter des um den ganzen Globus lloatenden
Kapitals müssen svissensclialtliclie Erkenntnisse auch
vennarktbar sein: Daher gilt der Primat des Prakti
schen auch für die wissenschaftliche Forschung: \X‘is—
senschaftliche Vorstellungen und Ergebnisse sollen
müssen?) Auswirkungen auf die Lebenspraxis und
nützliche KunscdlLlenzen für das tügliche Leben haben.
Das Internet. ursprünglich eine Erfindung der US-ame
rika nischen Lii 1 itü rs, ist aus dem tügl ichen leben des In—
dustriestaatenhürgers nicht mehr wegzudenken und
damit zum Paradebeispiel dieser pragmatischen Sicht
von \Vahrheit und \\ issenschah geworden.
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Konsnstheorie
Danach beruht Wahrheit auf der allgemeinen fiber
einstimmung. die zwischen Personen erreicht wird
und nicht auf der t‘bcreinstinimung \On Subjekt und
Welt. Letzteres würe Koi‘respoiideiiz./iipeit liabemnias
weist darauf hin, dass ein IG)nsens nur dann hergestellt
werden kann, wenn ein „herrschahsfreier Diskurs“ ge
führt w ird. Durchs Reden kommen bekanntlich die
Leute zusammen. Für 1 labermas gibt es keine „Wertfrei
—
heit“ der Wissenschaft, keine zweckfreie Theorie: alle
Erkenntnis beruhc auf Interessen.
ten sie an-— undl verlangen dlem‘en Befolgung unci Einhal
tung. Der Mensch von heute ist in der pluralistisd‘hen
Gesellschaft, in dler er lebt, einer Flut von Wahrheiten
ausgesetzt. Jeder. der etwas verkündet oder anpreist,
behauptet, wahr zu sprechen. Aber wie argumentierte
ein Richter so überzeugend? \Ver der \\ erbung glaubt,
sei selber diaran schuld, Jeder müsse \vissen, dass hier
mehr versprochen als gehalten werdle.
Der (min )mündige I3ürger tut sieh dla sehr schwer bei
dler Auswahl, wem er glauben soll und wem nicht. Da
her wird der Ruf nad‘h dem „starken Mann“ immer lau
ter: Der soll dann verkündlen ‚„was Sache ist“ unci wie
die u//inla//me \t‘i,In‘/ieil laute, Der Vem‘fül‘irung ist somit
Tür und T r geöffnet, der Rattenl unger v n 1 I:i mclii bat
heute 1—Tochsaison, Wie sich dlavor schützen?
Es gibt drei Totalitiiten, die keine Alternative zulassen:
• Das Ein—Alle oder Ganze.
• Das Teh oder Selbst.
• Das (einmalige) Leben edles einzelnen,
Keinem dieser dlrei ist etwas hinzufügbar: Das Ganze
vertrügt kein Mehr
sonst würe es nicht das Ganze.
„Mehr“ als ich oder selbst zu sein, ist undenkbar. Nur in
mier Liebe \ersch\vindlet las Ich im Wir mit cleni gelieb
ten a ncleren: 1 )ann aber ist dliese Lid ie (Fa ‘1 nersclia lt)
nicht erweiterbar und exklusiv und damit wahr. 1 ‘nd
was sollte dIent Leben hinzufügbar sein? Ein Leben
„nach“ dciii Tod?
\Vir haben weiter oben erkannt. dass etwas, rias kei
ne Alternative zuliisst ‚absolut“ wahr sein muss. Das
Ein-Alle odler Ganze ist uns als solches (also ‚mis tinge
teiltes) aber unmittelbar gar nicht erfahrbar es ist ein
‘ein metaph sisehes Problem, dem wir uns in der Praxis
dies alltuigliehen I,eliens aber kaum niihern. Zu ihm gibt
es zwar verschiedene phihsophisc‘he und oder religiö
se Zugünge, aber in unseren praktischen Entscheidun
gen zw ischen wahr und falsch wird es uns kaum zum
Problem, Die Vernunf‘t als analysierendes Mittel oder
Vermittler unseres Selbstbewusstseins zw isc‘hen uns
und unserer t mw eh kann nur mit \‘ereinzeltemn. Endlli
ehen. finterschiedenem sinnvoll umgehen.
unser Ich oder Selbstbewusstsein hingegen erleben
wir ittint inc/bat‘. Mehr noch: \\‘ir sind dieses Ich odler
Selbst! Als “Fotalitiit im oberen Sinn ist auch Lmser Ich
‚jiisoldn wahr. Wie das Ein—Alle odler Ganze, Nichts und
niemand kann unser Ich in Frage stellen wenn w im es
nicht ‚iul‘relien odler wegwerfen zugunsten des \\‘illens
eines andleren, Oder es f‘reiw illig in Liebe zu einem Wir
er\veitern, dias siehe oben w ieder wahr sein muss, Es
heiRt nicht umsonst „wahre Liebe“,
—
—
—
—
—
Das Totalexperiment
Daher ist auch unser Leben und alles, was w ir erle
hen und erfahren. unmittelbar und somit absolut \vahr:
weil es keine Alternative zu dmserer Erfahrung und im
sereni jeweiligen Leben gibt. Nichts kann daran falsch
sein und sollten wir) im Nachhinein und Imter neuem
I3lickw inkel! ) erkennen, das eine oder andere „falsch“
gemacht zu haben, so war zum Zeitpunkt miseren 1 lan
delns auch das jetzt für falsch Gehaltene wahr gewesen:
Es hatte ja stattgefunden. (‚‘et,issetisbisse sind dlaher et
was völlig Unnötiges.
—
Tota1ititen
Der Bedeutungswandel von Wahrheit ist total: \Vahr
ist, was kommuniziert wird. \\ as in den Medien nicht
vorkommt, existiert nicht. Und was existiert, ist wahr.
Dennoch besteht bei \ ielen nach wie vor die Sehn
sucht nach der :ibsol uten \Va h rlmeit Alle Rel igk men und
Sekten, aber auch alle Ideologien und Diktaturen hie—
‚
\\ issen(‘t1atilI(tie N:1111iLlIt.‘n Nm
i
i
luti Amigu‘i
21)(tt-i
5
t‘:itlit)itismm.ls: 1:5
:imim‘h
giht to_‘im
Erto,‘nninis, ‚itso
1s,‘iii ri‘iiinstmuies l‘tIIl(I,mIil(‘nt
‘ndLititgun th‘ui t‘n.
‚II)s()tui tts‘
t,‘iiit‘ ‚mt),sot1lim \X,mtirtieit,
ctcr tirkemininis und auch tcinc
7
Geschehenes kann nicht mehr rückgingig gemacht
werden. Wir müssen mit den Folgen unseres Tuns wei
terleben LtnCl versuchen, im Nachhinein das Beste cia—
raus
zu
machen. Es liegt nur an uns!
Die Folgen dieser Einsicht sind enorm: Die \Vahrheit
liegt in uns. Was immer wir an- oder übernehmen, was
immer wir ablehnen oder bekümpfen: Es ist unsere (!)
Entscheidung und daher unsere Wahrheit. \Vir sind für
unser Tun und für das fihernelimen und Ablehnen an
derer \Valtrhciten immer selbst verantwortlich. Nur ole
entscheiden, ob wir die \Vahrltciten anderer zu der un
sereii machen. Wir können (und dürften daher) niemals
anderen die Schuld für unser Tun und unsere 1—lancllun—
gen gehen. cIa es immer wir sind, die handeln und da
mit \Va hres setzen.
Sundenböcke brauchen nur Menschen, die sich vor
der (Spreng)Kral) und Verantwortung der eigenen
\Valtrhcit fürchten. Schuiclzuweisungen führen zu
nichts man ist immer für sein (!) Tun eigenverantwort
lich. Fremclverschulden gibt es nur (fallweise) hei Un
fallen
—
—
Wahr ist nur, was u‘i,‘für wahr halten und das, was
wir tun.
Wofür und wie immer wir uns entscheiden, ist nur
von uns abhiingig auch ob wir zu unserer Einmalig
keit und damit auch Allmacht ( Ooinipoleii.z,i stehen
oder nicht. Denn wer, wenn nicht /edervon uns, sollte
machtiger sein? Niemand kann mir die (All )Macltt mei
ner l2ntscheidungsgewalt und somit meine Wahrheit
nehmen solange mein Wille und Bekenntnis (!) daZLi
ungebrochen ist.
Dass dieser \Ville und dieses Bekenntnis freilich auch
brechbar ist: wissen wir alle: Gehirnwiische und zuletzt
Folter aber auch Krankheit können verheerende Aus
wirkungen aLif unseren \Villen uns somit auf unsere
Wahrheit haben. Erinnern Sie sich noch an George Or—
wells l3uch „1984“? Winston. der Protagonist des Ro
mans. wird zuletzt von den 1—Fischern und Folterknech—
ten des Fig Brother psychisch gebrochen. Der letzte
Satz in dem Buch lautet daher folgerichtig: „Er liebte
den G,‘o/“e,i Bruder.
Aber das ist eben unser „Schicksal“, dem wir alle un
terworfen sind. Wie die Geschichte als Ganze ist auch
unser persönliches und einziges Leben stets offen bis
zu unserem Tod. Erst in und mit ihm erfüllt es sich un
widerruflich und alternativk)s. Daher spricht Er/el,
1-Jein/el auch vi im „Totalexperiment“ des Lebens: Es
gibt niemals eine Alternative d:izu, denn: Man lebt nur
einmal.
Auf‘abe des Einzelnen kann daher nur sein: in \Vahr—
heit zu leben.
—
—
—
—
Literatur:
/nimaiuie/: Kritik der einen \ernunl) (2 Kinde). Frankfurt
1976, Su 8 rk:i m
Vic‘/zscle‘, 11‘iedric/i: t )er \\‘iIIe zur M:iclii Siriua:iri 1 96i Kröner.
.\ i(‘lcSclir‘, I“i?‘c/i?c/i: Die d;ehuri der ‘I‘r:igiidie. Siuitgart 976. Kri)—
Kahl,
‚
i-i(:i-.
i‘iislr‘iii, I.iu/hi‘i4:
4
\V1ll,
‘t‘Lt‘ ‘t‘i:ici:iiris Ii)giOi—philosophiens. B:incl 1
der \\ erk:iusi.t:ihe. Frankiert 1989, Suhrk:imp.
Buchbesprechung
I?obe)‘l f-Io/s/el/c‘i/ttb//er tteiss: Gott. Wozu. Die
Grenzen von Vernunft und Sprache. Wien—Klosterneuburg 2005. Edition va bene. ISBN 978-3-55167-211-4.
Sta ieincnt vi in Dr. Herbert Ei iltima icr bei der Priisen
tation des Buches am 26. 6. 2008 in der Kuffner-Stern
Position, oft sehr kritisch, dann wieder zustimmend
oder dIas Urteil dem Leser überlassencl. Gerade dies ge
schieht in einer sehr küren Form, ohne erkennbare Ab
sicht dIes Indoktrinierens. T-tier wfire etwa auf das Kapi
tel über dhe Frage nach der menschlichen Seele zu ver
weisen,
Um das Wichtigste vorwegzunehmen: 1-leute wird Ih
nen ein bemerkenswertes Buch vorgestellt, dessen Lek
türe sicher lohnend und empfehlenswert ist. Seine Stdi‘—
ke besteht darin, dass es eine ebenso umfangreiche wie
logisch strukturierte Darstellung wesentlicher Gedan
ken zu den Fragen des Menschen nach Gott, unserer
Existenz und zu unserer Erkenntnisfdhigkeit bietet
vi in Aristoteles bis zu zeitgenössischen Denkern. Man
könnte es als eine in vieler 1-Tinsicht groSartige Aufar
beitung oder auch Aufbereitung ansehen und es sollte
schon wegen dieser Fülle des Materials in unseren 13ibliotheken nicht fehlen.
Es hat und das ist jetzt keineswegs abwertend ge
meint! get‘adezu lexikalischen Charakter. Finden wir
hier doch in beirdchtlichem Umfang Kurzhii)graphien.
Bibliographien und zahlreiche Stichwörter und dies
fiber 60 Seiten, also im Umfang eines eigenen llüch—
eins! Man fragt sich, wie diese Arbeit geleistet werden
konnte und das ringt einem doch Anerkennung ab.
Aber es wird keineswegs nur zitiert oder systema
tisch in Erinnerung gerufen. Die Autoren beziehen ihre
Dies alles in sehr übersichtlicher Form ohne diese
musste der llanci als .‚\Vfilzer“ allzct schwierig werdlen.
Der notwendigen Sammlung tier Ged:tnken client auch
immer wieder ein „Fazit“ als zusammenfassendles Er
gebnis zu den einzelnen Problemkreisen. Die Lesbar
keit ist natürlich ein höheres l3ildungsniveau voraus
gesetzt als leicht zu bezeichnen. Da kommt aLteh der
1—Tumor nicht zu ki,trz undl eine wesentliche Auflocke
rung erfolgt dldirch weise \Vorte von Dichtern.
—
—
—
—
8
—
—
—
Nun bin ich sicher nicht dlazct eingeladlen oder gar en
gagiert wordlen, nur Positives zct sagen, so sehr ches
auch begrunclet wfire. Wenn ich nun im Folgendlen
eher Kritisches anmerke. gebe ich einfach wieder, was
manchem Leser bei der Lektüre in den Sinn kommen
mag. Das wirdl natürlich von Fall zu Fall verschiedlen
sein, ctncl insofern hören Sie von mir Subjektives. Eben
so wie man im Text viel derartiges wahrnimmt.
So frage ich mich, ob das Buch seinem Titel gerecht
xvii‘dI? Den könnte man ja ganz unterschiedlich dIenten.
Einerseits als rhetorische Frage, die auf ein gleichsam
selbstverstfindlliches Nein hinactsl!iul‘i, :ilso diass wir
\Vissenseli:iltliclie N:icliricliit‘n Nr 1 3i Jiili/Auuusi 21)1(d)
Gott natürlich nicht brauchen. Oder andererseits als
Darlegung, warum dies doch der Fall ist? Aber beides
bleibt eigentlich unbeantwortet.
NLin handelt es sich ja
woriu jr sogleich hinge
wiesen werden
um ein philosophisches l3ucb und
kein tbeol( gisches. Philosophie weiß, und sie muss das
auch, dass sie keine endgültigen oder gar ‚unfehlbaren“
Antworten geben kann. Das gilt natürlich auch für die
Autoren. Aber der Titel lhsst doch einen Anspruch ver
mmcii. dem die Verfasser nicht gerecht werden kön
nen. \Ver nach Gott sucht oder wer meint, dies inline
sich doch eigentlich gar nicht beide werden sich im
Schluss weder bestütigt noch widerlegt finden.
Das ist Stiirke und Schwhche des I3uches zugleich.
Stürke, weil es fair geschriehen ist und ein Ergebnis zur
Gottesfrage gar nicht anstrebt. Auch nicht suggerieren
—
—
—
will sieht man einzelne Passagen ah. wo doch dieser
Eindruck entsteht. Schwhche, weil der l,eser erwarten
könnte, ihm werde cia doch weitergeholfen. Aber das
wird ja nie wirklich gelingen. Auch die Autoren stehen
vor der Mauer, die unsere Erkenntnislahigkcit gnaclen—
los umgibt und sie wissen, dass diese weder zu über
springen noch zu durchbrechen ist.
Wird doch betont und auch sehr trefflich ausgeführt,
dass alle unsere \ orstellungen on Gott unzuLinglich
sind. Da bin ich mit Walter Weiss ganz einc‘r Meinung:
Alle Gottesbilder müssen unzulhnglich sein, auch das
—
personale und das clreifaltige. Das Denken in cien Kate
gorien der Schöpfung ist nicht dazu geeignet. auch in
Bezug auf den Schöpfer angew endet zu werden. Daher
unterstreiche ich die Feststellung: Der Satz,, Gott gibt
es nic‘ht‘, ist falsch und dumm. Kant sagt ja bekanntlich.
ciass sowohl der. der ein Existenz Gottes bestreitet, wie
auch der, der sie bejaht, mehr sagt, als er weiß. Dietrich
13( )nli( )el 1er sagt wiederum, dass es einen Gott, den es
gibt, nicht gibt.
Richtig wird uns zum Beispiel klar gemacht. dass der
Begriff ‚.Allss issenheit“ ein L‘ncling ist, denn Gott kön
nen wir nicht ais einen denken, der alles weiß, sondern
als einen. der über jedem \Vissen steht. Aber und die—
ser Gedanke kommt mir eigentlich zu kurz sind nicht
chese unziihligen Gotteshilcler doch notw enchg und
hilfreich? Weil ein Gott. der nichts anderes als nur Llnzu—
gdnghch ist, kein Gott würe. sondern ein Abstraktum,
über das nachzusinnen sieh ja nicht lohnte? Aber che
Autoren denken eben doch über Gott nach und wer
w ird das über ein Nichts oder etwas ebenso Substanzlo—
ses wie Eigenschal‘tsloses tun?
—
—
Sicher Erhellendes wird dem Leser zu der Tatsache
geboten, dass viel von dem, was die Religionen über
Gott lehren, einlach Produkt unseres Bewusstseins und
unseres Denkens ist. Poppers \\“elt 3. 1 Tat also Feuer
bach recht, ebenso wie Marx oder Nietzsche? Wir wer—
den aber auch darauf hingewiesen. dass dieses unser
Bewusstsein viel mehr ist und sein muss, als das Pro—
clukt von Stoffwechselvorgdngen in der Zentrale eines
biologischen Roboters.
Vielleicht klingt banal, was ich jetzt sage, aber wir
sollten immer wieder ciarülier nachdenken. \\‘ir sind
heute zusammengekommen, um che IJlierlegungen der
Autoren kennen zu lernen. Sie teilen uns auch sehr viel
über che Erkenntnisse anderer Denker mit. Of‘l‘enhar ist
uns das alles sehr wichtig, sonst würen wir ja nicht hier.
Aber wodurch würde sieh das alles um Krhhen eines
\X/tsseiiscli:itilklie N:icliikliteii Nr t ‚3
i
Juli
Augusl 20(53
1 Tahns auf dem Mist unterscheiden, würden wir alle
Vorgünge in unserem menschlichen Bewusstsein und
deren Kundtun nur als „Output“ eines dlurch die EvolLi—
iion hervorgebrachien chemischen und physikalischen
„Werkels“ betrachten? Genau dias trOfe ja alles ebenso
auf dias Kikeriki zu!
Ich frage undl damit widerlegen sich auch Atheismus,
ExistenzialismLis und Nihilismus letztlich selbst: \\‘el—
ehen Sinn hütte es überhaupt, zu argumentieren. wenn
sich dla nicht mehr abspielen würde, als dass sich von
unseren Grauen Zellen gesteuerte Schallwellen an cias
Ohr eines anderen Exemplars der Spezies Homo sa—
piens bewegen? Oder frönen wir dabei vielleicht nur ei—
nem Spieltrieb als unnützes Nebenprodukt beim Wer
den des 1 lomo sapfans? Da wire doch viel ..nützliclir“
und ‚angenehmer“ gleich zu Brot und Wein zu
seIn, Aber jeder Gedanke ist, \vie wir auf den Seiten 255
und 2ö 1 erfahren können, essig. Wie wahr!
Bes or ich zu w eitsehiw eilig ss erde: Einige \\ idersprü
ehe son mir, sie sollen die \Vürze des gemeinsamen spi
rituellen Sinnens nicht Krhhens! sein.
Ich kann der Auffassung nicht zustimmen. dlass die
Dinge der Natur ebenso wie Gott keine Ziele haben.
ir lesen, dass dias ‚Alles“ kern solches whre, faitte es
ein Ziel. 1 Tier sinc,l wir an diem Punkt, wo ich mein Den
ken über Gott dlanelien stelle, in aller Demut und allem
Streben um intellektuelle Redlliehkeit. Zunhehst sei ein
gei‘homt: Ein Ziel zu haben, ist auch eine Kategorie der
Schöpl‘ung. aber wohl nicht des Schöpfers. Aber alle
Denker sind seit je her vor der Frage gestanden, svas rin
ser Leben für einen Sinn habe und vor allem, warum so
viel scheinbar Sinnloses und Elendes existiert. Das
schließe doch einen guten Gott aus, womit wir bei der
i‘heodizee a ngelang sind.
Ich selbst bin zu der t‘Ihiei‘zeugung gekommen, dass
man hier dioch eine Absieht annehmen muss, besser ge
sagt, einen Auftrag. \\ ir haben selbst Schöpferkraft, \s as
auch im Buch seine ErwLilinung hndlet. AufS. J75 lesen
wir den hiecleutungssehweren Salz‘. „Wir schaffen die
Welt: Wir sind Gott!“ Also insofern sind ss ir uni nun
Elienbildl Gottes. Kraft, auch
dlie Bibel zu zitieren
Schöpferkraft, kann man allerdings nur gegen Wider
stand einsetzen. Offenbar ist es so, dass wir eben eine
Aufgabe haben. nhmlicli Linter ganz widrigen Umstän
dlen dem zuzustrehien, was Jesus das „Reich Gottes“
nennt,
GObe es dieses schon, wdre unsere Existenz unend—
lieb langweilig, denn jede 1 iuraLlsh)i‘dcrLlng würde ‘eh
len. Lebten wir in einer \X‘eht ohne 1 nheil und ohne die
Manifestationen dies Bösen, w üren wir nur fette Lindl
faule Idhioten. Whren wir dlann überhaupt .l1L‘)lS‘d‘IWII?
Uherall f‘indlen wir dioch dieses Streben zu \‘erliesse—
rung und Verv )hlkommnung. viel leicht zum Punkt
Omega, wie es Teilhard gesch ien hat. \Vas lii )t i\‘iert ei—
genthich Robert 1 Iol‘stetter und Walter Weiss, wenn
nicht dieses urmenschliche Drüngen nach dem Guten,
Wahren und Schönen?
Und dias in Nutzung der nur uns i‘\lensehen ge—
—
—
—
—
‘ehenkten Freiheit, Dieser wirklich zentrale \Xfai‘t
kommt im Buch vielleicht etwas zu kurz, ebenso wie
das Plüinomen Zufall. So bin ich überhaupt nicht mit
dem einverstanden, was wir auf Seite 03 lesen, Richtig
w‘ird hier zunhehst gesagt, (lass wir \‘erautss ortungsvoll
handeln und die Zukunft der Meosehheit nie aus den
9
--w-i
JI
erlieren dünen Aber ich merke hier an: wein
gegenüber tragen wir \erantwortung? Nur dem \\‘nhl—
befinden der N litmenschcn gegenüber. oder nicht doch
dem Sul iöpfer? Und dinn heilst es: Das Ziel der tensch—
heft ist prim:ir ihr L‘benleben, Das ist mir viel zu wenig.
ja, Göttliches ist in uns. Aber ist es aus sich selbst cmstanden oder ist es uns wiederum sei das Bild der Bi
bel strapaziert
eingehauchu‘ worden? Ich selbst glau
be rias. lind ich sehe als ganz gni )ßcs Problem der ge—
nannten „Menschheit“, also auch unserer Gesellschaft,
in der wir leben, dass diese Art der Verantwortung im
mer mehr schwindet. Sagt doch Dostojewski: ‚ist Gott
tot, dann ist alles erlaubt“, Womit ich keineswegs aus
drücken \\ ill, dass der Glaube nur durch seine soziale
Nützlichkeit Beriet itung h,ibe
Ich ill zu einem Resi,imee k( )mmcn. aher orher
doch noch einiges anmerken. Jesus dankt dem \‘;Iler
dafür, dass er vieles den Weisen crltorgen und den
mündigen erollnet hat. Damit sind wir bei einer Kern
frage: Gibt es einen Punkt. wo das seltarRinnige und
Auen
—
—
:inal sicrcndc Denkcn sinnlos wird, weil w ir einem
I\lVsteniLIm gegenüber stehen, das sich eder Logik eiltzieht und uns auf eine höhere \\‘irklichkeit verw eist?
Ich meine, dass dies so ist. Nicht ohne Grund w md im
mer wieder Samt Exnip?r zitiert, der in seinem „Kleinen
Prinz“ sagt. man sehe nur mit dem t Terzen gut.
Als ich am Beginn meiner p )litischcn Lauflta hn
stand, wurde ich einmal on der damaligen Zeitung
„\\‘or lienpi‘essc“ gebeten. ein so genanntes P,svcln
grintm auszul üllen. 1 her w mdc ‚tun lt nach meiner Lieb
lingswissensch:ift gefragt und ich schrieb: Philosophie.
Sie ist in meinen Augen die Ki‘)nigin der \Vissensch:il‘—
ten Aber auch einer Königin steht es gut an. demütig zu
sein und die Grenzen ihres Territoriums zu bedenken.
Dahinter liegt ein weites Land. über das sie keine Macht
Um noch die kritischen .\ni‘ncrkungen abiusr lilie—
Ren: \lanchcs liest sich ein wenig zu kategorisch be
hauptet o er sogar flipsig. Et\\ wenn das \Vort „Gott
schreibt auf krummen Zeilen gerade“ als „Kalauer“ be
zeichnet wird. Es ist in meinen Augen ein sehr weises.
Erkennen \x ir doch sehr oft, dass es Ereignisse als Fü
gungen. als \\ irken ül ei‘gi‘eil‘ender Tendenzen oder
dass es Zufhile mir Sinn gibt. deren wahre Bedeutung
wir erst im Nachhinein erkennen, Ein kiLlges jüdisches
\\‘ort lehrt uns, das es nichts Böses gibt. das nicht auch
sein Gutes habe. Ich bin weder Philosoph noch Theolo
ge. aber da oit überzeugt, dass w ir Gott niemals erken
nen können, aber sein Wirken sehr svohl. Keineswegs
will ich daher der Meinung folgen. rias Wort „Der
Mensch denkt und Gott lenkt“ sei eine l3ankrotterkki—
rung an das Denken.
Ausgesprochen deplaziert ist dr mich in einem
„Gott Buch“ die Polemik gegen Kardinal Schönborn,
Nicht dass ich seinem Intelligent Design“ anhangen
würde oder gar ein krearionisl w ire. alter bis an die
Grenze der Geltissigkeit reichende .‘\ggression verlisst
das sonst sehr hohe Niveau. Manche politische Bezüge
sind problematisch. auch werden Biltelzitate verwen—
diet, ohne diese ausreichend zu itew eilen. So ist es ein[ach unrichtig, wenn aLif 5. —uS behauptet wird. Jesus
hütte gew ollt. dass die Lr‘ute an ihn glauben. Nein, seine
ganze und ausschließliche Absieht war, die Menschen
zwn Glauben tit den Vater zu bringen. Der Kult unt ihn,
den er selbst zurückwies, kam erst viel spiter und ist
einer der lrrw ege der Kirche, eIche eilte Staatsreligion
mit Christus als Gott konstruierte.
‚
Sehr beeindruckt hat mich der Schluss des Buches,
Der letzte Satz lautet: „Erst die Einheit, die von der \‘er
nuiift. ihrem \ erlassen und der Rückkehr zu ihn geitil—
niet wirrl. g:irantiel‘t die Lösung“. llezi geit ist er auf eilte
Denkültung aus der l‘ernöstliclten i‘itilitsopltie. In ncr
t‘itei‘scltrilt des Kapitels wird diese als ‚.Gottesjlternati
vr“ bezeichnet. Ich halte das für einen Irrtum. netto
eine Alternative \vire nur zu einem rein personalen
Gotteshild zu sehen ‚Alter viel wesentlicher ist: So wer
den wir ott dem Baitri zu tiel‘em 1 )enken angel‘egt. zur
Zustimmung. zum Zweil‘el und zunt \\iniei‘spi‘uch. L‘ndl
deswegen halte ich ihn mit eilten gn ßer I3efniechgung
weggelegt, die ich gerade dadurch gewonnen habe.
lJL‘l‘/Xr/‘l !‘,O/?//I/diC‘)‘
.‚:i
10
‘7jssenult;tt‘iIi in‘ N:on‘Iii‘i limit ‘,m‘ l‘t i
luli
J\lIm.4usm
2005
BIOLOGIE, GEOWISSENSCHAFTEN
T
Prof. Mag. I.to Holemy
Highlights der Geologie für Schule,
Fortbildung und für den täglichen
Bedarf
Exkursionspunkte im östlichen Österreich
I)r. I—Ierl,ert Siiniiiies/ierge; Naturhistorisclies Ivluseurn \Vien
Böhmische Masse, Löss, Klippenzone
Themen: Hochmetamorphe Gesteine (1er Böhmi
schen Masse, jungpleistozäner Löss mit Kulturschich—
ten 100 Ja hie Venus von Willendorf, (3 ranod iorit in der
Kl ippenzone
Dürnstein, Wachau, Donauufer
promenade
Gestein: Der Gföhl Gneis ist ein migmatitischer Or—
thogneis von granitischer Zusammensetzung mit Kali—
leldspat, Quarz und Ortholdas, daneben I3iotit, Granat,
Sill imanit, Disthen Lind Zirl« )n An der Donau u lerpr(
menade sieht man. dass er in Spitzlalten gelegt und von
hellen Aplitgängen ( Kluftfüllungen von Kalifeldspat
und Quarz) durchzogen ist.
Alter: Das Alter des Ausgangsgesteins, eines Magma
tits granitischer Zusammensetung ist mit etwa 480 Mil
lionen Jahren ( Orclovizium ) anzunehmen. die variszi—
sehe Metamorphose mit 360—340 Millionen Jahren.
Metamorphose: Temperaturen von 700°—800° und
Drücke von 8—11 kbar.
Tektonische Zugehörigkeit: Böhmische Masse/Mol
clanubikum/Gföhl-Einheit
Fußweg auf der Donauuferpromenacle vom Park
platz und zurück
—
Willendorf/Wachau, Fundstefle „Venus
von Willendorf“
1908 wurde bei einer planmäßigen Ausgrabung des
Naturhistorischen Museums in Willenclorf in der Wa—
chau eines der berühmtesten Artefakte der Menschheit
gefunden: die Venus von Willenclorf. Der 100 ‚Jahre zu—
rückliegencle Fund der Venus von Willendorf war An
lass zu einer Ausstellung im Niederösterreichischen
Lanclesmuseum in St. Pölten. wo die Originalstatuette
gezeigt worden ist und zu einem Buch Die Frau von
\V.“ der derzeitigen Kuratorin an der Prähistorischen
Abteilung des Naturhistorischen Museums, Frau Dr.
\Vissensctiitilirlie N:sliii
tii,‘ii
Ni
i3i
tUIi/ Auusi 20(18
\Valpurga Anti—Weiser. Das 100—Jahr—Jubiläum führte
auch zur Grfinclung eines kleinen Museums in \Villen—
dorf selbst.
Die Statuette ist II cm hoch rmcl besteht aus einem
oolithischen Kalkstein, der aus dem süclmährischen
Raum stammt. Das Alter beträgt etwa 25.000 Jahre. nach
geologischer Datierung Jungpleistozän (Würm), nacb
präbistorischer Gliederung: Gravettien (Jungpaläulithi—
kum = jüngere Altsteinzeit). Die Siatuette stammt aus
der Kulturschicht 9 im obersten Bereich des gLitaulge—
schlossenen und beschrifteten Lössprol ils. Abgesehen
von Silexgeräten fanden sich in der Schicht auch dlie
KrR)chen von Mammut, Ren, Steinbock, Rothirsch,
Höhlenlöwe.Vielfraß, Braunhär, Eisfuchs, \Volf, F‘Lichs
und Steinadler, insgesamt eine kälteangepasste Fauna,
wobei auch die Lössabiagerung selbst ein Indiz für den
damaligen Kältesieppencharakter dier Landschaft des
Donautals ist.
Ollene Fragen betreffen die Statuette selbst, wobei
eine Interpretation als Eruclitbarkeitssymhol heute aus
geschlossen wird. Unbestritten die qualitätvolle Arbeit
des Künstlers. der unsere Venus mit Silexklingen und
—sticheln aus dem harten Oolith herausarbeitete.
der Fonds/eile
Museumsbesuch im „Venusium“ (Voranmeldung:
Tel.: 02712/768 oder 0664/590 07 52
Besuch
Die heutige Donau hat sich ihren Weg dlLirCh lie här
teren Gesteinsmassen der Böhmischen Masse gehahnt
und den tiefeingeschnittenen Talabschnitt der Wachau
geschaffen
heute Weltkulturerbe dler UNESCO. Die
jungtertäre Donau. verfolgbar an ihren breit hinge—
schütteten Schottern und groben Sanden, nahm ihren
\Veg vom Ausgang der heutigen Wachau cluer durch
das \Valdviertel fiber 1-lollabrunn bis Mistelbach. wo sie
in den mnonen See dies Wiener l3eckens mündete.
Aus dem 1—l )llabrunner“ oder „Mistelhacher“ Schotter—
kegel dler piniioien Donau stimmen liedleutendle palä
ontologische Handle: Deinotherium, Gompbotherium,
Aceratherium. Hinweise für eine Wärmeperiodle im
Jungtertiär.
—
11
>
2
z
z
N
n
Jahre
1 Kaltphase
1. Frühwürm-Wurrncjt
2. Kütphase
2. Frühwürrn-Wzjrmzejt
3. Kaflphase
Mitteiwürm
Warm7eit
ci)
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4-
0
c)
0
0
N
Lossprofile
A
ci
-
0
-J
rvlou.tcrien
Nc.indcrthalcr
kultur
40.000
Archäologische
Gliederung
Leopold-von-Buch-Denkmal
ihre dazu beigetragen, dlem Salzkammergut
ternationale Gütesiegel zuzuerkennen.
Die aufragende „Granitklippe“ inmitten „Kalkalpen—
gesteinen“ hat schon die frühen Geologen zu Interpre
tationen angeregt. Mit dem Aufkommen der Decken—
lehre sah Georg Geyer in dem isolierten Felsen im
Pechgrahen bei Großraming eine Aufragung des Unter—
gruncis der Böhmischen Masse. an dem die Kalkalpen—
ketten beim Nordtransport ‚gestrandet“ waren. Nach
einer weiteren Deutung der Herkunft aus dem weit
unter die Alpen reichenden Moravikum der Böhmi
schen Masse wird die „Granitklippe“ heute als eine
in der Kreiclezeit von einem verschwundenen hypothe
tischen Gebirgsrückcn in ein ozeanisches Becken ein
geglittene Masse gesehen, die mit der alpinen Gebirgs
bildung wieder an die Oberfihche geschleppt worden
ist.
Die ‚.Granitklippe“ besteht eigentlich aus Granodio—
nt Sie liegt eingebettet in die Grestener Klippenzone.
ist also nicht so isoliert, wie es scheint, Gesteinsblöcke
ortsfremder l—lerkunft sind immer wieder zu finden, ab
geglitten in der Kreide in den Penninischen Ozean. Das
l—li.illgestein sind rötlicb/grünliche kreidezeitlichc Mci‘—
gel der l3untmergelserie. Das Gesteinsalter des Grano—
diorits ist 560 Millionen Jahre ( Rb/Sr—Methode ).
Seit 1856 erinnert eine Inschrift an den großen Geo
logen Leopold von Buch, gewidmet von der deutschen
Gesellschaft der Naturl‘orscher und Arze. am Scha—
rungspunkt der \Veverer Bögen. Als whren die tektoni
schen Zonen der Nördlichen Kalkalpen tatsichIich wie
an einem 1—lindernis gestrandet.
Leopold von Buch ( 1771—1 8531 war ein bedeutender
deutscher Geologe. Seiner Anschauung beti‘effend die
Entstehung der Gesteine war er Plulonist, 63 Jahre lang
war er mit Alex‘‘iiler von Humboldt befreundet, Bei ei
ner gemeinsamen Besteigung des Vesuvs whhrend ei
nes Ausbruchs wurde ihm klar, dass die Gesteine sich
nicht aus \Vasser bilden ( Neptunisniris), sondern aus
glutf]üssigem Material aus dem Erclinneren.
Kurzer J/‘ii‘e, zur Gi‘cui/1I/iJx‘
Aufschluss in benachbarter Buntmergelserie an der
Straßenecke
Tektonische Zugehi5rigkeit: l-lelvetische Decke/
Grestener Klippenzone/Buntmergelserie
Informationsplatz mit großen Blöcken oberösterrei—
chischer Gesteine
dlieses
in
Für den Menschen stand1 von Anfang an eine prakti
sche Frage im \
ordergruncl: wie holt man das Salz aus
T
dlem Berg? Mit dem Aufljlühen dler Wissenschaft und
dem Einsetzen planmiißiger Forschung gewinnt aLleb
dlie vordergründig theoretische Frage an lledeutung,
wie das Salz in den l3erg gekommen ist. Diese Frage hat
Geologen über mehr als ein jahrhundlel‘t beschüftigt.
1—leute ist klar, liergsalz ist fossiles Meersalz aus dlem
ausgehenden Paliiozoikum, 250 Millionen Jahre alt,
Den Altersnachweis haben dlie im Salz konservierten
Pollen undl Sporen erbracht. Viele europiiische Salzla—
gerstiitten entstanden dlamals in flachen Buchten des
wüstenbaften Superkontinents Pangila durch Eindamp—
fung von Meerwasser.
Eine der frühesten, von Hallstatt‘ingezogenen For—
scherpersönlichkeiten war der Geograph. Landschafts—
maler und Photograph der ersten Stundle Friedrich Si
mony (1813—1896). Er priigte den Begriff Dachstein
kalk. Wer die um den 1-lallstütter See auf‘ragenden Kalk—
whnde kennt, versteht. was Simony gemeint hat.
l)achsteinkalk stamint aus c,ler oberen Trias und hat ein
Alter von 205 bis 220 Millionen Jahren. Er haut den
Dachstein auf, dlen Gosaukamm, das Tote Gebirge. Tei
le dler Gesiiuseherge, weiter im Osten den Otscher. Der
weit fiber die Grenzen hinaus vorkommende Dach—
steinkalk kisst auf ein tropiscbes Meeresgehiet selilie—
ßen, in dem sich hei skinclig sinkendem Meeresboden
Kalkscliichten von tausend Meter Dicke ablagern konn
ten. Korallenriffe Ciumten die Ründer der Lagunen ge
gen das offenen Meer hin. Im Kalkschlamm der flachen
Lagunen lebten die .‚Kuhtrittmusclieln“. Typusgehiet
des Daehsteinkalks ist die Landsehal‘t um 1—lallstatt.
Mit dem gleichalten, feinkörnigen, leuchtend roten
orier grauen Hallstätter Kalk ist t-tallstatt weltberühmt
geworden und hat für die Geologie (lefl gleichen Std—
lenwei‘t wie für die Arehhologie. Aus 1—lallstütter Kalk
stammen Österreichs kostbarste Fossilien. Einer der ers
teil Sammler dürfte Friedrich Simony (1813—1896) ge
wesen sein. Seine Ammoniten kamen in den Besitz dies
Staatskanzlei‘s Clemens Metternich Mii ihrer wissen—
schaftliclien lleschreillung brach 1846 der junge Wie
ner Geologe und Fa Iü( )nt( )l( )ge Franz von 1-lauer
1822—1899) den I3ann der Zensur. ziflh/)ioIi!IeS ‚lId‘/Ie‘—
)/ic/l/wurdle zum Svmllol für die aufillüliende naturwis
senschaftliche Forschung in \Vien „Locus typicus“ für
diesen in aller Welt bekannten Ammoniten heute f‘i—
iiucoceras inellei‘;zic/u (H-i‘i:ii) ist 1-lallstatt. In seinem
Gefolge wurden von dlen Palhontologen der „\Viener
Schule“ hundlerte neuer Arten aus 1—lallstatt und Umge
bung beschrieben, Die Monc grapbie ‚‚Die Cepha 1 p(
den dler Hallstütter Kalke“ von Edmund von Mojsisovics
(1839—1907) gibt auf 200 lithographierten l3ildtafeln
auch heute noch einen erschöpfenden Ullerillick über
die Ammoniten von 1-lallstatt. Einer dler bedeutendsten
Sammler ist aus der Archh )l( )gie bereits bekannt ‚Jo
hann Georg Ramsauer (1 795—187“i ) dler Spurensucber
von Hallstatt. Seine Ammoniten liegen heute in allen
Iledeutendlen Sammlungen dler \Velt.
.
.
—
—
Nördliche Kalkalpen (Trias
Kreide), Eiszeit
—
Themen: Geologie Salzkammergut
Hallstatt — UNESCO Weltkultiirerbe —
Weltnaturerbe
—
—
1997 hat die UNESCO die historische Kulturland
schaft „Hallstatt Dachstein/Salzkammergut“ in die Lis
te des Kultur— und Naturerbes der Welt aufgenommen.
1—lallstatt, das namengehende Zentrum der .‚l—lallstattkul—
tur“ hatte zweifellos überragende Bedeutung für den
lleschluss. Die herbe Schönheit der Landschaft fiat dIas
—
\X/isscn,schai‘ttic hc Nirta1ctncri Nr. t
i
-
ui /Auusl 2008
Der Hirlatzkalk, benannt nach dem 1-1 irlatz, einem
Gipfel, der nahezu senkrecht über Hallstatt liegt,
stammt vom Beginn der Jurazeit (200 Millionen Jahre),
als der junge Penninische Ozean (las Gebiet der heuti
13
gen Ostalpen von Europa abgespalten hatte. Der rote
Kalk aus Stielgliedern von Seelilien mit Ammoniten und
ArmfüEern zeigt an. dass die Periode des Dachstein—
kalks zu Ende gegangen war. Ein roter Ammonitenkalk,
der Klauskalk aus dem mittleren Jura. haut die Mittei—
wand im Echerntal auf. Sein Name leitet sich von der
Klausalpe ah. Der fahlweiße Plassenkalk über dem
Salzbergtal stammt aus der Zeit des oberen Jura, als der
penninische Ozean vor 150 Millionen Jahren seine
gröite Ausdehnung erreicht hatte.
In der Kreidezeit hatte sich der Ozean wieder geschlossen, die Sedimenti assen waren nach Norden ge
glitten, das aus Gesteinsclecken aufgebaute Gebirge
hatte wieder zu Europa zurückgefunden. In der Umge
hung von Hallstatt sind auch die Spuren der gehirgsbil—
denden Kreidezeit erhalten. Gosau ist ein s citerer Ort
von \Veltgeliung durch seine Fossilien. die diesmal
nicht in feinen Kalk eingebettet sind, sondern in tonig—
sandigem Mergel. Zahlreiche Fossilien: Muscheln,
Schnecken. Ammoniten. Korallen aus den 90—65 Millio
nen Jahre alten Formationen der Gosau-Gruppe sind
erstmals aus Gosau beschrieben woideu. Die For
schungsarbeit des Naturhistorischen Musetms in Go—
sau \virdl seit dein 19. Jahrhundert bis heute fortgesetzt:
Der Forschungsschwerpunkt .‚Kreidczeit hat sich nicht
mir in zahlreichen Publkationen s indern auch im
Schausaal 5 niedergeschlagen.
Ein als Totiristenattraktion weltweit bekanntes ge
logisches Phünonien sind die Riesenliöhlen des Dach—
steins. die ilue Entstehung der Löslichkeit von Kalk im
Regenwasser verdanken. 1 )ie ungtcrti0re 1-lebung hat
die alpinen Kalkstöclce der Vcrkarstting besonders aus
gesetzt.
Die Rcgk ii in und um HaI statt hat mit ihrer welt
weit einmaligen Dichte von l‘vpusgebieten nr geologi
sche Begriffe und Fossilien naturwissenschaftliche und
visscnscba[tshist nische Bedeutung erlangt. die der
kulturhistorischen Begründung der UNESCO als gleich
wertig an die Seite zu stellen ist. Suchen wir nach der
Ursache für die weltberühmte Schönheit des Salz—
kammerguts. so ist die Antos wt in der geologischen
Vielfalt zu finden, ein letztes Mal geprügt von den Glet
schern der Eiszeit. die uns den I-lallsi2itter See hinterlas
sen hat.
Sa/zbeigbciii ha/kluft
Fahrt mit Stanclseilbahn: FuRweg zur Grubenbefah—
rung: Solegewinnung im Salzstock des Oberperms: Pra
historischer Bergbau ( l—lallstattzeiu
\ luseu in Hallstatt: 1—1 ist( )rische und palO( int )lc )gische
Ex puna te
G/elsc/iernzd/ilen im Ec/ierii/a/
Fußweg von 1—lallstatt. Führer erhOltlich im Nltisetim
in 1-lallstatt: Eiszeitliche Gletschermühlentreppe. freige
legt vor wenigen lahren. erinnert nachhaltig daran. dass
die gesamte Landschaft vom 1—lallttitter See bis ztim Encl—
morünenwall von t3munclen noch vor 20.000 Jahren
unter bis zti 1:000 Meter dickem Gletschereis begraben
war.
I3ad —lu.ssc‘e
Reiche palLioniologische Funde Ammoniten) atis
Trias tincl jtira des Salzkammerguts.
Anmeldung: hg. \Verner Kerncller. 066i/5‘i0 40 i2
J\a;)/n/e‘rIlu/i)ll(sL‘llnl
14
Tektonische Ztigehärigkeit: Oberostalpine Decke
der Nördlichen Kalkalpen
Gesteine der Mitteitrias, Kreide im
Becken von Garns, „K/T“-Grenze
Themen: Karbonate der Mitteltrias, Hornstein; loka
le Tektonik. Konkretionen.
Oherkreide von Gains. Kreicle, Terti0r—( ..K‘T— )Gren—
ze
Gro/ö‘ei/liii,g an der Enns
Die Schichtfolge von Großreifling umfasst Karbonat—
gesteine der Mitteltrias (Gutensteiner Kalk, Reitlinger
Kalk). Diese sind unter marinen Bedingungen im tiopi—
sehen Flachwasser einer ..Karbonatplattform“ abgela
gert worden. Karbonatisch ‘klastische Sedimente der
Obertrias t. Göstlinger Schichten, Trachyceras Schich
ten. Lunzer Sanclstein zeigen detitlichen Landeinfluss
mit Sandsteinscbüttung aus dem kristallinen Gesteinen
des 1-linterlandes.
Erst mit dem D:ichsicinkalk ( 1—Tallstatt, Ennstaler Al
pen ) und l—tauptdolomit (Schlucht nördlich Großreif—
ling) der Oberirias hat sich wieder eine offene 1\leereslandschaft mit Riffen und Lagtinen etabliert. Als Typus—
lokalitüt des Anisiums und mehrfache TypuslokalitOt
v( ni hier beschricbener Amiw )niten ist Großreifling in
Fachkreisen ss eltbekaunt. Die Anniioniten entstammen
2 getrennten Lagen im GLitensteiner Kalk. Ein schwer
zuginglicher Aufschluss befindet sich atif dein Ram—
baLierkogel. Ein GEO—Lehrphmd, der am Ftindoit dies
Großreiflinger Sauriers seinen Anfang nimmt, ist in Ar
beit.
l3cgchting dies Lehrpfads Grot4reifling: Fußwande
rung in den Scheihlinggraben zeigt In )rnsteinreichen
Rei[linger Kalk, hinter dem Haus am Eingang zum
Scheihlinggraben ein ehemaliger Steinbruch, aus dem
der berühmte Saurier von Großreifling stammt. Dieser
ist heim l3rand des Stiftes Admont (1866) bis auf geringe
Reste zerstört xvorden. Im hinteren Teil des Grabens
(Vorsicht. die Forstraße wurde vom Eh )cliwasser iteil
weise weggerissen. Der Zugang zti den brotlaih%irmi
gen Konkretionen im Bachhett ist derzeit (2008) er
schwert odler unmöglich.
Ennsabwtirts liegt eine durch einem l—lolzsteg er
schlossene Schlucht an der Enns (Achtung. 1-lochwas—
serschOdlen durch den 1—latipidolomit tier Obei‘trias.
Sehenswertes Holzinusetim im Kasten‘ oberhalb
..Reiflingerlmof‘.
Garns bei nie/lau
Das Gosauhecken von Gams erstreckt sich 14 km in
Ost—\‘“est Richtting. Durch einen Aufbruch von Unter—
und Mitteltriasgesteinen ist es zweigeteilt: Die Schicht—
folge dies \Vestteils umfasst Turon—Coniac (Santon), dler
Ostteil umfasst vorwiegendl Schichten vom Campanium
bis zum Eoziin.
a) Kohle. Gagat und Schnecken
Lelirpfad durch dhe Nothklamm (Führer im Museum
erhiiltlich ). Rückweg aul Straße bis zum Eingang Pitzen—
graben. Dort befindet sich ein gut erschlossener Zu
gang zti einem l-lippuritenriif der Kreidezeit, ztinachst
Eingang eines Koiilescbtirfs. Weiter abw0rts: Massen—
\Xissenschati l)cix \auliiicliic‘n
‘I
1,
liii
AiiiiiSi
20(18
vorkonnien
von
laniarcki
Troc/iactaeon
(So\vIuutY);
Naturclenkmal.
Die Gagatvorkornmen befinden sich auf dem Süd—
hang des Akogis. dort wurden mehrere Schürfe im 15.
bis 16. jahrhundert betrieben. Funclstelle von Schne
cken und Gagat. Schürfe für Schuiprojekte hergerichtet
(Anmeldung im GEO—Museum ).
Weitere lohnende Punkte: Kraus—Höhle. GEO—Mu—
seum. Lehrpfad durch die Nothklamm eiszeitliche Ter
rassen an der Stra8e zum Kraurgraben. Kreide Tertiür—
grenze, Hippuriten. Raclioliticlenriff. Garns ist Typuslo—
kalitüt von Schnecken und Ammoniten der Kreidezeit.
Fahrt mit Pkw: Fahrrad oder auch Fußmarsch bis zur
I—Ieidsitge, dann Fußnursch zur K/T—Grenze im Graben
b) Die Kreide Tertiür—Grenze
Knappengraben. Ostteil tles Gamser Beckens
Die Grenzschichte ist ein tonreiches Sediment von 2
bis 4 cm Dicke. Dies ist der „Fallour‘ des Kreicle/Tertiür
Grenzereignisses vor (15 Millionen Jahren. Diese Grenz—
schichte ist weltweit zu beobachten und wurde wegen
des hohen Jr—Gehalts als jene Materie betrachtet, die
beim AuLschiag eines cxtraterrestrischcn Körpers in die
Atmosphitre/Stratosphüre geschleudert worden ist.
Die Abfolge des Grcnzhorizonts in Garns beginnt mit
2—7 mm weichem, niergeligern Ton iYiit Mikro— ttncl
Nanno[ossilicn. Ein Gemenge von ‘l‘unmineralien
(Smektit) ist angereichert. Die Lage enthült deutlich er
.
2
O und Ti0
2
höhte Werte von Ir, Cr, Co. Ni, MgO, Al
Die darüber folgende ‚Rostige Lage“ aus liellgelbem
Ton ist 2—7 mm dick und enthiilt Kohlenstoff und Pyrit.
Darüber fl)lgen 10—17 mm weicher. glimmeriger, drin—
kelgrauer kaolinitischer Ton mit Pvritkristallen.
Unter der Grenzlage sind hellgrarie Kalkmergel mit
Lebensspu ren anzutreffen da rüber ( Pa lili )gen ) Sands
teine und Mei‘gel.
Zwei Stac.lien der Sedüiientfolge des K ‘1‘ Fallouts las
sen sich unterscheiden:
a) 1550 Jahre Dauer: vulkanische Arosol: Ausfall von
sen. Blei und
Titanoniagnetit, Gold. Kupfer. lridiurn
Chrom.
b) Im z\veitcn Teil des Fallouts l‘inclen sich Tropfen
von metallischem Nickel . Awaruit ( NUFe). und Din—
mantkristalle. Diese Indizien sind deutliche t—linweise
auf den Fall eines Astcr()jdlen ) Meteoriten ).
Nach jaltrelangem \vissenscltaklichem Streit. ob das
Große Sterben an der K T (leute M ‘P ) durch erhöhte
vulkanische Aktivitüt oder einen Mlcteoriten verursacht
worden ist ( das Szenario ist bekannt), erweist sich am
lleispiel von Garns (Gid\ci tv et :iJ.. 2005). dass offenbar
beides stattgefunden hat: Erst it:ii erhöhte vLilkanische
Aktivitüt (z, B, Dekkanbasalte das weltweite Ausster—
beereignis verursacht, dann hat im Abstand von 500 bis
800 jahren die kosmische Katastrophe für eine Fortset
zung der lebenst‘eindlichen l3edingungen gesorgt. Die
akribische Analyse 3)1)) Proben in mm—Distanz) des
russisch/österreichischen Forschertcams am Aufschluss
VOfl Garns hat mit neuen Daten zur Au[kLirung dIes Kö
minalfalles KT beigetragen.
Eisenerz vom Erzberg und
Trinkwasser vom Hochschwab
Themen: Gratiwackenzone: Palüozoikum: Erzberg:
Wasserversorgung \Viens
Der Steirisr‘he 1/rvbep: .. Eisen/dr in,nmerclar
Laut einer Sage hat ncr gefangene Wassermann für
seine Freilassung „Eisen für immerdar“ geboten. Dieses
..Lösegeid“ wird seit pi‘ihistorischer Zeit abgebatit. Be
rühmt für seine Qualitüt war das „Norische Eisen“ zur
Römerzeit, \Vie heute bekannt, ist ein geringer Mangan—
gehalt für diie Qualitüt s‘em‘antwortlicl‘i.
Abgebattt werden die Eisenkat‘bonate Sidierit ( Fe—
) Lind Ankerit [(Ca( Fe, Mmi, Mn)(COs)
3
C0
1 Der Eisen2
gehalt schwankt zwischen -tO% (Sidierit) titidl 22% (An—
kerit). Dazu kommt noch ein Mn gehalt von 1,5—2%.
Der Erzberg ist dlie sveltgrößte Sideritlagerstütte md der
größte Erztagebau Mitteleuropas. Vererzt ist ein Kalk
arts diem Dcvon. Die Sehichtll lge gehört der Grauwa—
ckenzone an und innerhalb derselben dler „Norischen
Decke“. Derzeit wird von der VOEST-ALPINE Erzlterg
Ges.m,b.I-T. auf 25 Etagen zu 24 m 1-löhe abgebatit.
er—
7
Rund 1,3 Millionen Tonnen Erz werden jülirlich zur\
hüttung an dlie VOEST—ALPINE STAHL AG per [3:thn
transportiert.
Die veriEiltnisrniißig Fe—ai‘men Eisenkarlionate hie—
teil dien Vorteil nier i‘aschen \ei‘fügltarkeit und relativen
Unabhüngigkei( vom Weltmarkt. teichen aber bei wei—
[cm nicht aus, den heimischen lledarl zu decken. Daher
muss Eisenerz zugekauft sverden. Die Rationalisierung
hat am Erzltem‘g zti massis cm Persotialabbau geführt.
Ztmsützliche Attraktii omen ( T( urismtls und Sportveran—
staltungen ) können den tinaufitalisanien Rückgang der
Bedeutung des Erzbem‘gs nicht wettmachen, Derzeit gilt,
(lass das Erzvorkommen bis 2020 reicht. Die Bevölke
rungszahl von Eisenerz ist rückkiul‘ig. Rückbati wii‘d
c_i isku ticrL
Anmeldung Em‘zltem‘glührung: 05848 3200: leider kei
ne Gelegenheit zum Aulsaninmeln von Proben für dlie
Sc hti lsammlung
Tektonische Zugehörigkeit: Olierostalpmne Decke
der Grau\vackenzonc (Nurische Decke)
Die K//i//di‘que//e /3(1 lt Ilnla/peii
uell-W:tsserleitung hel‘ert
1
Die Zsveite \\‘iener i-lochr
51% dies Wasserltcdlam‘Es Von Wien. Sie bezieht ihr \Vas
ser von mehreren Quellen am Noi‘dfuß dies 1—loch—
schwabs. insgesamt fließen rund 73 Millionen nt‘ pro
Jahr durch die 2. \\‘iener 1—0 )chduell—\\‘asserleitung nach
\\‘ien. Die größte Quelle ist die Kliiffem‘dlLIelle bei \\‘mld—
alpen. Mit einer Sch Otto ng st ii maximal 1 0,000 Liter
pro Sekundie ist sie iiie größte Trinkwasserquelle Mit—
telerim‘upas. \\‘ir verdanken ime Quellaustritte :imii Nordl—
Riß dies I—lochschwabs einerseits (leni \vassel‘dlui‘d‘hlüssi—
gen s‘erkarsteten Kalk dies l-loclisehwahs. andll‘ei‘seits
alter den wassei‘statiendcn \Verlener Schichten, die das
Wasser in einem Quellimol‘iz( int zum Uberlaufen irin—
gen.
AnnleldlLing zur Führung im Wasserleitungsmusen‘i
\Vildlalpen: 05650 —G 1 3 1—8v 1
GEOZentrum Garns: \V\v\v.gams—llei—hieflau.at
Literaturauswahl:
Tektonische Zugehörigkeit: Oberostalpine Decke
der Nördlichen Kalkalpen
Wi,ssenschat‘tliche Naclirir)iten Nr. t 3‘) ‚I u)i ‘Ai
.
4ust
2000
00(1..
Ges o)
0,. & \\o.I:i
P:Ile%)1.‘ue
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Enstern A1
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101)) \Vien. l3urgung
tIiefl:mu. In: 5< mmm:.u,. (1., 5. Ps: ‘och . 11.: 11cr \ichsveis cnn Coe
Tel.. 01 521 -5S‘ Fax: (ii 521 7--i59
lom,li.is 1 ( )sicim.h(hves 1<< cnodimntidae) im ‘l‘urunien 11 )hcrhrci—
E—i1iil: herhen.summesherger lvnhm—svien.ae,ai
dc) un Cmos hei 1 Iietl:iu. Smeieimmt l,Osmerreirh, und ins der i
—
—
16
<issensulta(ulir‘lmm.‘ N,m<lmrmm,ltum.i‘m (im‘ Iii
)tmlj .\um‘imst 2(55—)
w‘r
CHEMIE
Dr. (hristian N‘o1ny
Rückrechnung
der Blutalkoholkonzentration:
Kritik am forensischen Ansatz (Teil 2)
Vorber/ Briinizer uiicl .l1(Io/I‘c‘cI IG1/ilei!ner
1
Die Messung des Alkoholgehaits aus der temlult ist
\Vir untersuchen, ob zushtzliche Messungen,
die mit der Methode der linearen Regressio interpre
tiert werden, die Genauigkeit der Rückrechnung im
Vergleich zLim klassischen Ansatz erhöhen. Die Grund
lage ist das vom schwedischen Chemiker \Vidmark ent
)‚1
wickelte lineare Ahbaumodell (Teil 1
aus den ‚Messwerten berechnet mittels der Befehle
3. Das
Man k )pierl diese Formel bis in Zelle C7.
liissi man den umstrittenen Messw crt bei / = 7,75 weg
( Ausreißen und berechnet die l(egressk )nsl inic erneut
(Spalte D in Tabelle 1. fette Linie in Abbildung 2). so er—
hiilt man eine bessere Anpassung an die verbleibenden
3lessrl:itcn. Beide Regressionslinien unterstützen die
Aussage. dass zum Taizciipunkt eine Alkobolisierung
vorgelegen ist,
ungenau.
Regressionsmoclell
3.1 Bestimmung der BAK mit Hilfe
einer Regressionsgeraden in Microsoft Excel
‘
Die lineare Regression löst das Problem V( )n Teil 1.
wie mehrere ungenaue Messwerte zti kombinieren
sind, indem sie beliebig große Zufallsl‘ehler zuliissi und
annimmt, dass sich deren Auswirkungen hei ‘. ielen
Messungen in der Gesamtwirkung gegenseitig aulhe—
heu. Die theoretische Basis ist die in Abschnitt 2.2 vor
gestellten Annahme: Der Messwert weicht vom wahren
BAK tim einen zubilligen Fehlers ab, der normalverteilt
mit dem Mittelwert 0 und einer bei jedem Datenpunkt
gleichen (aher unbekannten) Varianz ist. Mii der Me
thode der kleinsten Quadrate ermittelt man Formeln für
die Parameter I? und ddcr Regressionslinie.
T:ihellu 1
Gum.‘sseuu
=STElGLJNG(l34:137;A-i:A)
=ACHSENAI3SCFINITY( 13-1: B7;A4:A7)
Anschließend wird in Spalte C die Regressionslinie
berechnet. Dazu schreibt man in Zelle C2:
=$C$20+SCS9*A2
8
Re:.
.
i.
‘iuhiiic
.iiicl mttuls t{u&1ression hei‘euhnete BAk
in I‘I( )TlliIIc.
B
A
1
tt\I\
Zeit ) lt
gemessen
C
t)At\ niim..‘k
Regression
0
7
-
1)
Reiression
oh ne
?„usreii$er
2,838
2,168
0,788
0,636
0.531
0.612
0,712
0.569
8,75
0,227
0,276
((,253
9
0,22
0,203
0.198
7,5
7,75
7
-
—
0,527
—
0,172
8
Paraneter
1.‘
‘—((.2 12
II)
d
2.168
:t
At)hild)lJr)n 3. li&.iression,.ei—irIen
und t):i)enpunkte
dur ‘t‘:ihetlu
13c‘,nc‘rL‘ii 1 lOCh:
1. Werden ungenatie Messungen des Alkomaten nit
der genauen Messung einer Blutprobe kombiniert,
dann stimmt die Annahme über den Messfehler heim
exakten Datenpunkt (Blutprobe) nicht. Man löst die
ses Problem, indem man nur solche Geraden be
trachtet. die den exakten Datenptinkt enthalten.
\Venn die Blutprobe zum Zeitpunkt 1= a entnommen
wird und den BAK 1, ergibt (im Zusatzbeispiel ci = 9. b
= 0,2). so führt dies zum Ansatz
BAK
Die Lösungsformeln sind in Excel vorprogrammiert.
Tabelle 1 illustriert die l3erechnung: Die Parameter /‘
und dder Regressionslinie in Zelle CO und C10 werden
\Vissensch:tttlichc N:ict richten Nr. t 34
-
Juii/ August 2008
tue ruikuhen Grund(:inen und diu prakti
sche \‘ervertharkeit dur ei ichiliuh mudizinischun Alkohnlhu—
sIi[umu ng. Verlag trh:in & Seim :irzenherg. Berlin (1932).
lE.I.P.Wictmark. Die
17
Der Parameter k wird nun mit der Methode der
kleinsten Quaclrate aus den ungenauen Messwerten
Alkomat) bestimmt. \Venn zum Zeitpunkt f.die I3AK
1. 2
ii (= Anzahl der unge—
b, geniessen wird,
nauen \Iessungen). dann berechnet man
—
/t-‘
.i
1
).(h
—
r=i
d(a
—th,)
Die so berechneten Regressionsgeraclen mit ohne
den Ausreißer bei 1 7, weichen nur geringfügig
von den in Abbildung 3 eingezeichneten Regres
sionslinien ab.
2. In Excel ist auch eine Anpassung an Modelle der BAK
niöglich. welche die Resorptionsphase modellieren
nichtlincare Regression). \Vidmark hat eine expo—
nentielle Resorption angenommen, was (Resorption
ah t= 0) zu folgendem Modell führt (mit 0 bei negatk
yen \Verten):
L3AN =d.(1_L)+i?.1.
(mi Beispiel ist das bei fast 90 Prozent der Simulationen
Fall.) Man darf aber diese \Verte nicht vernachlässi
gen. weil der reale Wert für l nahe an diesen Grenzen
liegen kann (etwa 6= —0.2): Werte von 1 jenseits dieser
Grenzen werden benötigt. um die Zufallsfehler der
der
Messung auszugleichen.
Die reale BAK ist allerdings unbekannt. Wir nehmen
daher „idealisierte \Verte“ an und addieren den Fehlers
zum idealisierten Wert. Als „idealisierte \Verte“ verwen—
den wir die Werte der Regressionslinie von Abschnitt
3.1: sie bleiben fest. (Eine andere Möglichkeit ist es, die
Messwerte zu verwenden.t Falls dabei für BAK negative
Werte entstehen, ersetzen wir sie durch 0. Außerdem
runden wir das Ergebnis auf dlrei Stellen.
Wir fertigen nun Tabelle 2 an, eine Variante von Ta
belle 1. in der wir in B-t:B“ dlie \Verte der Regressionsli
nie aus Tabelle 1 eintragen und in C4:C die simulierten
BAK berechnen, bei denen wir den Fehler e zu dlen
„idealisierten Werten in Spalte B addieren. In Cr1 steht
somit:
=t3i+RLNDEN MAX(NOI1MINV(ZtFALLSZAIILO; 0:0,1); 0); 3)
‘t1Lt)etIu 2: (Jernessenc und simulicrtc BAK in Promille.
Die Nlodellparjineter rl, /‘ und s berechnet der Sol—
ver (ein Aclcl—In von Excel) nach der Methode der
kleinsten Quadrate als: cl 2.535. Iz = —0,293 und ‚s
(,525. Für dieses MocIell ist BAK = 0 bei 1=0, der ma
xiniale BAK = 2.1 ‚2 wird erreicht hei 1= 1.-i rind im
Bereich zwischen < / < 9 ist das Modell praktisch
nicht von der Regressionslinie ( Abliildlung 3) zu un—
tersclieiden.
Zeit (0)
Die Aussage aus einer einzigen, auch gut an die Da
ten angepassten. Regressionslinie reicht nicht aus, um
rechtliche k( insedluenzen (Strafen) zu begründen: Die
reale Ablxiukurve ist Linbekannt und es rniss erst aus
geschlossen werden, dass eine unglückliche Konstella—
th m von zubilligen Messfehlern, vielleicht eine ganze
8erie \ on AusreiSern. zu einem Fchlschluss verleitet.
ndnilicli eine Alkoholisierung fälschlicherweise zu kon
statieren. Wir fragen daher. \\ ie verlässlich die \\erte für
BAK sind, d je wir mit der Regressk msgeraden (Taliel—
le 1) gefunden haben. Dazu wieclerli ilen wir die Be
rechnungen mit anderen Zufallstehlern.
Bei dieser Simulation von Messungen gehen \vir vom
statistischen SIocIell in Abschnitt 2.2 und 3.1 aus: DerAl—
komat liefert Werte. die von der realen BAK um einen
zufall igen Fehlers abweichen. Man kann den zuG lügen
Fehler aus den Daten abschätzen (Bemerkung unten)
oder als bekannt voraussetzen, wie wir das tun: Der
Fehler 5 ist normalverteilt mit dem Mittelwert (3 und der
Standardabweichung 0.1. Den Fehler s simuliert Excel
mit dem l3efehl
5 = NORMINV(ZUFALLSZAHLO; 0; 0,1)
Dabei liefert der Befehl ZUFALLSZAFJL( ) gleichver
teilte Zahlen im Intervall [0.11.
Im Lnterschied ZLI Abschnitt 2.2 sind nun beliebig
groSe zufällige AlnveicliLlngen £ möglich. Das bedeu
tet. dass die simulierten Beobachtungen Werte von ii
lief cm könnei i, die tu Serha Ils des v tu Wid nia rk l )e(
achteten Intervalls von —0,1 bis —0,2 Promille/lt liegen.
18
B.\ )‘
ictc:itisicri
1)
c
Siiii ut:it
11)11
0
3
‘
3.2 Prognoseintervall
B
A
t)cgrussd in
1 ‚sinii.il k,‘rt
1.67526023
7
().6i2
I).iXS
L
7,75
U,s89
5().j
0,i$057692
E6
8,75
0,276
0,3
0,32612308
0,211
0,28788462
4
F
‘.,
9
t
91
0,203
P:ir:iinutur
10
1.
0.51911538
6
-0.l5.itS5$5
cl
1 .6526923
Diese Formel kopieren wir bis C7. Daraus wird in
Spalte D wie für Tabelle 1 oben eine neue Regressions—
gerade berechnet.
Einen ersten Eindlruck von den simulierten 13:\K—
Werten, mit zugehöriger Regressionsgerade. erhält man
durch Drücken der Taste F9. Nun wollen wir dlie siniu—
lieren Ergebnisse verwenden undl statistisch aLiswer—
ten. Dazu benötigt man allerdings ein kleines Makro.
Der Programnicode ist im Anhang aufgelistet. Dieses
Makro schreibt für 500 Simulationen die BAK—\Verte aus
den Zellen D2:D“ zeilenweise in die Spalten 1-1 bis M.
beginnend mit Zeile 0.
Tabelle 3 wertet den Bereich H6:M505 statistisch aus.
(Man beachte. dlass in dlieser Tabelle dlie Zeitpunkte zei
lenweise angeordnet sindl.) Dabei werden für jeden
Zeitpunkt 1 (Zeile 3) dlie oberen und unteren 10 Prozent
dler aus der Regressi( uislinie extrapolierten Werte be
rechnet. Dies erfolgt in Zelle 1—1-1 undl H5 mit dlem Befehl
kopiert bis in Spalte M ):
=Qt.,TANTIL( H6:H505/), 1)
=Qb‘ANT)L( Flb:1‘1505:0.9)
Grenzen der Prognoseinten‘alle
9011 Signilikanzniveau. In Abbildung -i
sind die Signif‘ikanzgrenzen dlünn dlLirchgezogen einge
zeichnet, ebenso die Ausgangsdaten (graue Kreise) und
Diese Werte sindl die
Zum einseitigen
\‘issenscli:ilitictic
\:ictiiicti‘n Sr.
lii
ttiti .\uniio 2008
die zugehörige Regressionslinie (fette Linie). Im Unter
schied zu den Fehlerintervallen (Abschnitt 2.2) sind die
Prognoseintervalle unterschiedlich breit: Um den Mit
telwert der I—\Verte ist das Prognoseintervall am kleins
ten und es wird breiter, je weiter t vom Mittelwert ent
fernt ist.
Führt man diese Simulationen mit der Regressionsli
nie ohne Ausreißer durch (wir entfernen den Fall 1 =
7,75 von den Datenpunkten und den idealisierten Wer
ten), so erhält man in Abbildung 4 eine besser an die
verbleibenden Datenpunkte angepasste Regressionsli
nie (fett punktiert) und dazu die punktierte Linie dler
unteren und oberen Prognosegrenzen.
Tabelle 3.
I3eschriftung
H
G
1
Zeit
2
BAK gemessen
.3
Regression
4
Quantil
5
Quanlil 90%
der mit einem Makro generierten Tabelle.
10%
1...
1
M
0
7
9
0,22
2,83786615
o,78$4615:
0,20292308
2,006915-i6 0,&i655962
3.69330577 092650751
0,10358866
0,50211925
Es ist zu erkennen, dass der Ausreißer hei 1 = 7,75
deutlich außerhalb heider Prognoseintervalle liegt.
weswegen man auf diesen Datenpunkt verzichten wird
(auch noch hei 95% Sicherheii). [(her die Alkohulisie
rung zum Unfallzeitpunkt (1 = 7) geben die beidlen An
sätze widersprüchliche Auskünfte: Lässt man den Aus—
reißer nicht weg. so svircl mit 90 Prozent Sicherheit eine
Alkoholisierung prognostiziert, weil dIas Prognoseinter—
vall hei 1 = 7 oberhalb dier 0,5—Promille—Grenze liegt.
Lässt man den Ausreißer \veg, so liefert das berechnete
Prognoseintervall hingegen keine Auskunft, weil 0,5 im
Prognoseintervall liegt. Das besagt, dass trotz Alkoholi—
sierung mindestens 10 Prozent Chance bestehen (je
nach Durchgang 15 bis 20 Prozenl der Simulatk)nen )‚
dass hei der Rtickrechnung aufgrund von den drei ak—
zeptierten Messwerten eine BAK von unter 0,5 Promille
konstatiert \Vil‘d.
•
B6i<genesse
0,9
-
0.9
-
-
-‘
—Qu,t 10%
‚ii
—Ouit,I 9
0,7
Qua,14 10% dine
0,6
OuaiSi 90% cflne
0.4
0,3
0,2
0.1
7
7,25
7,5
7,75
6
z.,t
8,25
0.5
9,75
1,.
Ahhi dung -i. Prognoseintervalle bei vier ungenauen Messungen.
Benie,k,mt,‘en.
1. Excel liefert mit dler Analysefunktion ‚Regression“
Konficlenzintervalle für cl undl k, aber keine Prognos—
eintei‘valle. Diese liefert die Simulation.
2. Durch die Simulationen wird zusätzlich zum Modell—
fehler und Messfehler (Abschnitt 1) eine dritte Feh—
lerdluelle eingeführt, die Ungenauigkeit bei der 13e—
rechnung der Quantile. Diese Ungenauigkeit verrin—
gen man durch eine höhere Anzahl von Simulath men.
\Vissenscltaftliehe Nachrirhtcn Nr. 13-i
‘
Juli/August 2008
3. Falls die Verteilung der Fehler nicht bekannt ist undl
hinreichend viele Messungen vorliegen, modlifiziert
man die Simulation: Man nimmt an, dlass die Regres
sionslinie die idealisierten Werte beschreibt, und be
rechnet die Fehler als Differenz zwischen Messung
und Regressionslinie. Dies ergibt eine Stichprobe
von Zufallsfehlern. Man führt nun eine Bootstrap—Si—
mulation durch, die nur dliese Stichprobe zur Simula
tion verwendet.
4. Im Fall dler Blutalmahme bei t 9 dlurchlauten alle
Regressionslinien den exakten Messwert (1 9, BAK
= 0,2). Der Prognosebereich hat eine Keilform. ähn
lich zu dlen gestrichelten Linien in Abbildung 1. Die
Grenzlinien des Keils hängen aber, andlers als hei Ah
bildlung 1, von dlen indlividluellen Messwerten ab.
\X7ird dler Ausreißer 1 = 7,75 hinzugenommen. so liegt
der Prognosehereich oberhalb vom gestrichelten
Keil von Abbildlung 1, aber wie in Abbildlung 4 unter
halb vom Ausreißer. \X
ird der Ausreißer weggenom—
7
mcii, so handlelt es sich beim Prognosebereieh Lim
dlen Keil zwischen dem exakten Messwert und dem
um dlen Messl‘ehler ±0. 125 korrigierten Messwert hei
1
7,5. Dieser Prognosehereich enthält dlie für dlie
Konstruktion dies Beispiels verwendete indlividuelle
BAK = 2 0,2 1 in seinem Inneren.
—
4. Diskussion
Tabelle 4 fasst die Ergebnisse für 1 7 zusammen.
Gemeinsam ist‘illen Methoden die Anfälligkeit für
dlen Ausreißer bei 1 7,75 (vgl. Zeilen 2 und ‘1.3 undl 4
sowie 7 und
1 6). Im konkreen Beispiel handlelt es sieh
=
=
beim Ausreißen uni einen zuftilligen Fehler, der lieson—
diers hoch ist, aber nicht besondlers unwahrscheinlich.
Die l)aten wurdlen mit einem Zufallszahlengenerator
erzeugt.) Es ist also dlamit zu rechnen, dass analoge Si
tuationen in tier Praxis vorkommen.
Für die Regressionsanalyse gibt es in der Statistik cIa—
hlierte Rezepte zum Umgang mit Ausreißern. Für die
Messting von AAK gibt es solche Regeln nicht. Bei zwei
Messungen, also eine Messung mit Kontrollmessung
(Zeilen 3 und -i), wird ein Au.sreißer nicht idlentifiziert,
denn dlazu wären drei oder mehr Messungen erl‘order—
lieb. Dies kann dlie Bewertung verzerren, wenn mit hei—
den Messungen verträgliche BAK-Werte fälschlicher
weise als hesondi ei‘s plausibel angesehen werden. Beim
gängigen forensischen Zugang zur l3ewertung der BAK
gibt es auch keine Regeln, nach dienen mehrere Mess
werte zur Erhöhung der Genauigkeit beitragen können:
Die logischen Kombinationen (Vereinigungsmenge.
Durchschnitt) sind
1 dlazu ungeeignet.
I3ei der Regression wirdl ciie Genauigkeit erhöht, je
mehr Messwerte zur Verfügung stehen undl je näher dlie
Kontrolluntersuchungen heim Tatzeitpunkt liegen: Das
Prognoseintervall wird dlurch mehr Messwerte enger
und ist in der Umgebung dIes zeitlichen Mittelwerts am
engsten. Umgekehrt zeigen dlie Prognoseintervalle.
dass vier hreit gestreute Messwerte noch nicht dlie Ge
nauigkeit im \
ergleich zur klassischen Methode erhö
7
hen (Zeilen 3 und 4 im Vergleich zu 7 und 6).
Für dlie Messung von I3AK aus Blutproben ist die Ge
nauigkeit der Messung kein Problem. Allerdings erfolgt
die Messung mit einem relativ großen zeitlichen Ab
stand zum Tatzeitpunkt undl liefert bei einer einzigen
19
T.ilelle
i.
\erglei. Ii stur l‘r()gnosemethodefl.
iIflis‘ft‘ (run,.e
xi
5.‘,.
li 1=7
1
BAK aus ‘t‘riukmenge
I3AK aus th utalin,i Ii mc hei 1 = 9
2
3
4
(
0.2
1,36
0,
(1,6
1
ttAK aus Ntessun hi 1=
0, i53
tIAK aus MessunR hei 1 =
0,69
1;,
H,•i 1=7
-
-
OZSU
fl,Qs)
——
Messteliler <0,128 und
—0,2< 6<—il
7
BAK aus Regression ulme Ausiei8er
$
13\k in Zus,i I7he spiel il ne 5
.\u
1
ei Ier:
lessuns hei 1 = —. und lt Iu hn.i hme
kiis Tfll()rflla(joil iiher die individLielle Kine
tik ( lkuamerer k und dt. Dadurch verliert die Rückrech—
nitng an Genauigkeit ( ii striert durch Zeile 2. gl. Zeile
S. Hier können mehrere Messungen mit dem Alkoma—
ten die Genauigkeit erhöhen, obwohl diese Messungen
selbst ungenau sind. \s cii sie dann durch genauere
Schdtzungen von /iclie Tntervallbreite (in Zeile 5) verrin—
gern.
Me5sLtfli
5. Schlussfolgerung
Die IIAK Best immting aus einer einzigen Blutahnah—
ne ldsst in Grenzhereiehen einer Alkohohsierung oft
nur die Aussage zu. dass eine Alkoholisierung zum Tat—
zeitpunkt weder ausgeschk )Ssefl noch bewiesen wer
den kann. Der Grund ist die \‘erwendung von Parame
tern mit einer breiten inlerpersonellen Streuung. ss 0—
durch eine genaue analvtiselte \lessmetl ode zu einer
ungenauen Fxtrapolath in \ erschmiert wird. In diesem
Fall ermöglichen es mehrere Messungen. ehe Genauig
keit eIer Extrapolation zu erhöhen, indem die relevan—
wo Parameter für die konkrete Person aus den .\less—
werten mittels Regression bestimmt sverden. Im Fall der
Bestimmung der BAK mittels Messung von AAK ist be
reits die analytische Messmethode ( Alkomat 1 selbst un
genau. Auch hier kann die Genauigkeit und Zus erkis—
sigkeit von Aussagen über eine tatsüchliche Alkoh iii—
sierung durch mehrere Messungen erhöht werden. mit
denen die individuellen Parameter abgeschützt wer
den. insbesondere werden dadurch Fehimessungen
identi fizierha r.
Die Methode der linearen Regression stellt mit den
Prognoseinters allen ein Instrument zur Abschützung
der Genauigkeit und Identilizierung von Fehimessun—
gen Verfügung: Sie trennt unwahrscheinliche Progno
sen bzw. Rüekrechnungen on wahrscheinlichen. Man
kann diese Prognoseinterx alle mit einer Simulation in
Excel ermitteln. Dazu werden unterschiedliche I3AK—
\\‘erte für die gleiche Person unter einer Annahme über
die \‘erteilung eier Messlehler simuliert. Die \‘erteilung
der simulierten Sehdtzsverte wird dann analysiert: Die
oberen und unteren Grenzen zu einem Signifikanzni—
veau definieren dann das Prognoseintervall.
Durch das Prognoseintervall wird eine Fehlerquelle
20
‚
B.\K aus I‘n iini ‚sei 01 en all
hei Regression mit Ausi‘eiUer
‘6
-
(i.2
ii iii‘
kein Mess(ehler und
—-0,2< 6<—Ui
—
IIAI\ ‚isis Messung hei 1 = 8.
5
0.02
(1
einseitigs‘ Siguil Linz 9 undt Nless(ehler
zul‘2llig
thcneitisiert. die bei eier Anss endung der klassischen fo—
rensisehen Methode auf Rechtsfragen oft nicht erkannt
sx ird. die Datenunsicherheit, Das Prognoseintervall be
rücksichtigt die Datenunsicherheit, indem das Inters all
für höhere Signifikanzniveaus breiter \vircl und für mehr
I\Jessdaten schmiiler. \Ver an einer genauen BewertLtng
interessiert ist, kann demnach in einer konkreten Situa—
th m aktiv zur \ erringerung der Datenunsicherheit bei
tragen. Bei der klassischen forensischen Berechnung
führt iie Datenunsicherheit zu einem Tntervall für /‚ das
für ein vorgegehenes interpersonelles Signifikanzni—
veaLl gültig ist. im Unterschied zum Prognoseintervall
kann das Intei-vall für k im indis iduellen Fall unzutref—
lend sein und es gibt keine \löglichkeit. dies bei einer
einzigen IcssLtng zu erkennen.
Anhang
Folgendes Makro automatisiert den Prozess zur Ge—
ss innLtng von 500 simLilierten 13AK—“iVe rten. Es speichert
zuerst die extrapolierten \Ve rte ab und trügt sie dann in
den Spalten II bis M ein, wobei jede der Zeilen 6 bis 50
einem Datensatz entspricht.
Sub MakrolQ
= 1 To 500
A = Cells(2, 4).Value
B = Cells(3, 4).Value
C = Cells(4, 4).Value
D Cells(5, 4).Value
E = Cells(6, 4).Value
F = Cells(7, 4).Value
Cells(n + 5, 8).Value = A
For n
Cells(n + 5, 9).Value
Cells(n +
Cells(n +
Cells(n +
Celts(n +
Next n
End Sub
=
5, 10).Value
5, 1 1).Value
5, 12).Value
5, 13).Value
B
=
=
=
=
0
D
E
F
.l;isc/ii‘i// der 1
10. [ni\ Piul. Dr. Nurhert Brunner unst au. L‘niv.—Pruf. Dr. \tIn—
rest tuhleitnen, tntitsi1 tOr ).tatlieudltik. t)tti, ttOtst5, Peler—lur—
slan—sir. 82, t 180 Wien, E—i1:ul: nurheit.hrunuer“ huku.as.jt.
\Vissenss-h.i(tlis-lie N.aslirii liieu Nr t3
i
-Isili \ugusi 2008
MATHEMATIK
Dr. Norbert Brunner und Mag. Walther Janous
Algebraische Zahlen am Einheitskreis 1V:
Rotationsorhits ohne einfache
Gleichgewichtsmengen
Gera/d Ku bci
1 Einleitung
In unserem Anke! [21 aus ..ph sikalischer“ Algehra
haben w jr ausgehend von einem \\ inkel e 111 den von
den R( >tHioflefl um ö und —l erzeuutlen Orhit des Basis—
1
vektors
in der .v. Ehene betrachteL Dieser Orbit ist
1
ji)
1.; e
ifl komplexer Schreilw eöe duiicI; U(o) = {e
uegeben. \\ir nannten Ø einen sc/iuac/ie;z .VicIii;ziil/—
siininic‘ii—. kurz £V.‘GS‘—lt ‘i;;,(‘e/. wenn 11(ö) keine ;nc‘hr—
lache;; Gleichgewichtsinengen entihilt. da heißt:
(S1) Wein;
.Z
0,
i):eiicl?ie/chie ( nich/aol
n e;icliu i‘eischi /c‘de)lc) lz/e,nu‘,i/e (,115 der .lIente U( ö)
.
sind, dann isl u‘iou‘ Jkl;s/eI/i,,i,
(1 iiIniiöIichi.
=
l3e7Lignehinendl aLl! [21 und [31 ist ein \\inke! genau
dann ein SNNS—\Vinkel. wenn die komplexe Zahl ei
entweder tra;isze;ide;it ( ider eine NPA—ZahI i‘.t. Dabei
nannten wir eine komplexe Zahl eine APEl —Zu!;!. wenn
sie algebraisch ist, ii iehi aber von einem rath malen Po
lynnm mit posilil‘ei? Koeüzienten annihiliert wird. Die
Bedingung (S1 ) kann auf natürliche Weise hügendei‘—
maßen ahgesehwtieht \\ erden:
(S2) IG.‘;i;; Z 0 eine emil/ehe 71‘ih;;en,ge /01?
ist. (1(1/1)1 ist eine Dc?rs/e/l;n;,g
z = (1 juimilich.
Physikalisch heißt das, dass endlich viele ein/ne/je
Krafte der Mcngc 1((i) niein.ils mm Gleichgewicht ste
hen können. Wir wollen daher einen \\‘inkel ö einen
ei,;/achen Xichi;zii/lsi,o;nieii-, kurz LV\5-tl“i;;I,r‘/ neii
nen. \\ cnn die lleclingung ( S2 ) für gültig ist. A fortiori
ist jeder SNNS—Winkel auch ein F\\-\\‘inkel, sodass
wir mit Beispielen von F\\S—Winkeln aus [2] und [3]
bereits reichlich versol‘gt sind Aber auch Beispiele von
\\ inkeln. die keine ENNS—\\ inkel sind sind leicht zu
finden: Wenn 0 = Ttq mit rath )nalcm q. dann ist U()
eine endliche \Iengc und es gilt aus S mmnetriegründen
0, sodass kein ENNi-\\‘inkel (uind daher auch
i‘
.
kein SNNS-Winkel) ist,
In der vorliegenden Note wollen wir E\\S Winkel
konstruieren und genauer unter die Lupe nehmen. die
keh;e SNNS-\\ inkel sind. Die zugehörigen Orbits U(tj)
enthalten dann zsvar mehrfache, aber keine einlachen
Gleichgewichtsmengen. Da die mit diesen Winkeln
korrespondierenden Zahlen in“ automatisch alge—
\\‘j,ssi‘ns,Ii,iIilicli,‘ N:ilmiktim_‘n Nr.
t, 1
Liii
.\iil7isi
2005
braisch sind, wird dlie in [3] abgehanclelte Klassil izie—
wog aller algebraischen Zahlen weiter ierl‘eineri.
2. PA—Zahlen am Einheitskreis
1 ‘nter einer l 1—Zu!;! verstehen wir eine komplexe
Z.mhl. die Nullstelle eines Polvnoms mit positiven ganz—
zahligen Koelfzienten ist. Gleichbedeutend: Eine Zahl
a ist genau dann eine FA-Zahl. \venn c Nullsielle eines
l üvm ims p(.v) .V“ + a, .V“ +.. + a,, mit nichinega
us en Km )el fzienten a
a_
Q ist. \\ hlurendl v ir in
121 vor alleni an ulen \P.\—Zahlen interessiert waren.
ki mnzentm‘iem‘en wir uns im F( ügcmKlcn auf ulie FA-Zahlen.
Ein \\ inkel t ist in mliclm genau dann kein SA
kel, wenn e“ eine FA-Zahl ist.
Die FA—Zahlen am Einlieitskreis zerfallen in zwei clis—
unkte Klassen \ lind! \‚: Es sei .\ die Menge aller
FA-Zahlen der Form e, für dlie der Winkel ein FN\S
mit
\Vinkel ist, und \ dlie Menge aller FA—Za hlen
= 1, die nicht in .\ liegen. Eine FA-Zahl am Einheits
kreis liegt offensichtlich genaut dann in .\‚‚ wenn die
‘1 )lgendle mii ( S2) korrespondierende Bedingung erfüllt
ist.
(.A.2) hin;;; )V eine endliche Teilmenge in;; N in.
(l(11? ‚gilt .a“
0.
‚
-
l3esonulem‘s einl‘.tc!i sind! FA—Zihlen am Linheitski‘eis
zuigelii‘trig entlarvt. \venn ‘Sie nicht
als der Klasse
ganzalgelinaisch sind. Bekanntlich nennt man eine al
gebraische Zahl c e C
l)?C(il,gu‘In‘(lisch. ss cnn sie Null—
stelle eines noi‘mierten Puls noms mit ganzzahligen Ku—
ef[zienten ist. Genaui dlann ist eine algebraische Zahl a
ganzalgebraisch. wenn ihr Minimalpols nom nur ganze
Koeltzienten hat. (Für dlie hier uinu! im Folgendlen s‘er—
w anulten algebraischen Begnil‘fe und Grundtatsachen
verweisen wir auf [1] bzw. [3]. ) In [31 haben wirgesehen.
dass alle quadratischen Zahlen am Einheitskm‘eis PA—
Zahlen sind. Dieselben lassen sich wie tolgt besonders
einfach dlen beiden Klassen \ und \‚ Zuord!nen.
1 1/gg!
Satz 1. Eine (,nladralischle Zahl ci mit
‚th‘;/an dm;;; ii; der Klasse \ . nein; sie eine Jinihiei/s
1+ i
u‘nrzel ist, also nein? sie identisch mit ±i oder
‘
‚
—
.3
ou!er
1±i/5
—
—‘
7
.
ist,
-
hien‘eis. Die dl.madlu‘atischen Zahlen ci am Einhu‘itskm‘eis
21
sind offensichtlich genau die Nullstellen eines Polv
noms der Form X
2 + rK + 1 mit rationalem rund r < 2.
Dieses Polvnom ist natürlich das Minimalpolvnom von
a. Liegt a in .\ 1
.dann ist aganzalgebraisch. sodass für r
nur ganze Zahlen, also nur die Zahlen ±1 und 0 in Frage
kommen. Für r 0 bekommt man a ±/‚ für r = —1 he—
komint man CX
i+iJ
2
=
1 bekommt man
(J.e.d.
—
CX
und für r
Somit haben wir in den Zahlen p ± / .
Q
p e
und 0
<
p
<
mit
unendlich viele Ele
1 und
mente der Menge
\‚ vorliegen, die natürlich auch
dicht am Einheitskreis liegen. Daraus ergehen sich un—
endlich viele Beispiele von ENNS-Winkel im Bereich
0
2it. die kcine SNNS-Winkel sind.
Die PA-Zahlen ii;pemden Grades am Einheitskreis
lassen sich unüberbietbar einfach den beiden Klassen
und ..\ zuordnen. Solche Zahlen kann es nimlich
gar nicht geben:
Satz 2. Die ei;izie;i a/r,‘ebmisclieii Zahlen l/n,geiV—
den Grades, die nut Einheilshreis hie,ten, sind die Zali—
len ±1. hisl,esoiidere isl der Grad eiflei‘ ani Eiiihieitskivis
hic1kendell P,-l—Zahil —1 iinnier,tierade.
Dein Beweis von Satz 2 schicken wir ein Lemma vor
aus.
Lemma 1. Das .lliii/nialpoit‘noni p(.v) einer al,te
hin/scheu Zahl 1 nut Euuth,u‘//si‘u‘c‘is is/ rez,ürol? ‘ii od
Iiurnhie,‘lL (1. Ii. estil1
p(v)=
.\“
+a.,.V“ +a,‘X“
2 +... +n.V- +aX+1
a,/drahleh
mila_,
=
1
ii—
1.
Die einzige reelle Zahl 1 am Einheitskreis
ist —1. die (las reziproke Minimalpol\‘nom V ± 1 besitzt.
Wenn p(cC) 0 für a R gilt, dann gilt automatisch
l5eii‘eis.
=
0. (Nichircelle Nullstellen eines rationalen Pol
noms treten immer in konjugiert komplexen Paaren
auf.) Nun sei CX = 1 vorausgesetzt. Dann haben wir
p(a)
=
-iomit gilt
kation mit
CX“
0. woraus man durch Multipli
0 die Gleichung q(a)
0 für das Poly—
flOiTi
1 und —1. die aber nur cltinn in Frage kommen, wenn der
Grad des Polvnoms 1 ist, cIa sonst das Polvnom nicht ir—
redLizibel wfire. q.e.d.
3. Ganzalgebraische A2-Zahlen
Im vorigen Abschnitt konnten wir tu nendlich viele
Elemente der Menge A, konstruktiv angeben. Das war
deswegen mit keiner großen Mühe verbunden, weil
diese Zahlen alle niehl ganzalgebraisch sind. \Vir wol
len daher ergiinzend auch unendlich viele ganzalge—
braische Zahlen in der Menge A, konkret bestimmen.
Im Lichte der Sfitze 1 und 2 n‘iüssen solche Zahlen aller
dings von mindestens vierten] Grade sein.
Satz 3. Für alle ‚ganzen ii 2 sind die Zahlen
±/‘
4
-
‚tcllzage!2raisch/ i‘o,n Belra,ge 1 und liege;i in der.t[eu,—
‚ge
Beweis. Für ganzzahliges ii
2 betrachten wir das Po—
lynomn
‘\2.
J),,(X) := X + iiX‘ + ;iX + 1.
Dasselbe annihiliert, wie man sich (lurch eine Listige.
aber einfache Rechnung überzeugen kann, das Paar
(n) konjugicrt komplexer Nullstellen. die daher ‚pan—
zn/pehraisc‘he Zahlen darstellen, Man sieht sofort, dass
audI] ±(i) = 1 gilt. Die Zahlen ±(n) sind otlensicht
lich hA-Zahlen, sodass ±(n)
zu zeigen bleibt.
l)azu betrachten wir dlie anderen beiden Nullstellen
des Polvnoms p,,(.V). die, wie man sich durch Rech
nung überzeugen kann. reell und gegeben sind dltirch
a(n)
=
—
(
±
auch
eine Nullstelle. (Der Fall z
=
0 ist ausgeschlos
sen. cIa man dem Nullpolynom weder Nullstellen zuge
steht, noch es ils reziprok ansieht.) Da ein irrecluzibles
Polynon] vom Grade n genau n (paarweise verschiecle—
ne) Nullstellen in C besitzt, kann es nicht sowohl rezi
prok, als aLich von Lingeraclem Grad sein. Denn sonst
treten die Nullstellen in reziproken Paaren {z.
}
+ ‚i+ !2n1,l2 +
8
+ ii
8
+
4
1li‘idl
=
—
+8 + n
—
+
—
i
(Da das Polynom p, (x) reziprok ist, gilt
1
CX(n)
.) Wie man mit ein wenig Analysis leicht
CX(n)
nachvollziehen kann, gilt a (ii)< a(;i) < 0 mmdl
für alle
erhiilt. Wegen der Eindeutigkeit dIes Minin]alpolvnoms
muss daher p(x) = (J(X) gelten. Da Glcichheit von Po
lvnomen Gleichheit der Koeffzienten bedeutet, muss
somit das Pol\ nom p(X) reziprok sein. qe.d.
Beweis i 011 Salz 2. Bei einen] rezipr( )ken Polynom ist
mit jeder Nullstelle z automatisch (und ollensichtlich
8
ii
2. Mit einem kurzen Blick auf dlie
Bauart der Nullstellen überzeugt man sieh auch sofort.
dass p,, (x) irreduzibcl fiber Qfür alle n 2 ist, (Das gilt
nicht für ii 1)
Angenommen nun, es ist ±(n) E \. falsch. Dann
gibt es eine endllidl]c nichtleere Teilmenge iV von
dergestalt, dlass das Polynom q(X‘)
‘
die Zah
len +(n) annihiliert, Wegen der Irrecluzibilitiit von
p,, (x) muss dann das Polynom q(x) auch die Zahl
(n) annihilieren. Wegen a(n) 0 dürfen wir
o.B.d.A. 0 e N annehmen, sodass dann
1+(CX(n))“
=
0
gilt, was wegen
auf
<
a(n)‘
=1
und eine bleibt über. die mit sich selbst reziprok sein
muSs: z
=
. Die einzigen komplexen Zahlen. die mit
sich selbst reziprok sind, sind die beiden reellen Zahlen
22
(unmöglich ist. q.e.d.
Die Beispiele von Satz 3 bilden zwar eine unendliche
Menge ganzalgebraischer A2-Zahlcn. diese Menge ist al—
\Visscriscliafu 1k hL‘ N,ucliriuhten Nr t34
ui ‚‘August 2+15
lerdings envas dünn geraten. Denn offensichtlich besitzt
die Menge {+(ii) ii 2} nur zwei Häufungspunkte,
nämlich i und —i. Wir wollen daher ergänzend feststel
len, dass die ganzalgehraischen A2-Zahlen sogar dicht
am Einheitskreis liegen. Dazu benötigen wir ein Lemma,
dessen Beweis wir dem Leser als An,ahe überlassen.
Lemma 2. Es gibt nur endlich viele algebraische
Zahlen fir‘sten Grades in der Menge 1\
Satz 4. Die aiizaigebivische;i Zahlen in clerilIenge
A, liegen dicht am Einheiiskreis.
Beweis. Es ist geometrisch klar, dass eine komplexe
Zahl z 0 genau dann am Einheitskreis liegt, wenn die
(reell ist und) im Intei‘all [—2, 2] liegt. Limge
Zahl z +
[—2 + s, 2— e]. Zu zeigen ist, dass mindestens ein Ele
ment von i in [ii, z‘] liegt. Offensichtlich kann man stets
22E bestimmen, sodass die
eine natürliche Zahl
beiden Zahlen n
“ ‘ + ha
2
“ und v
2
“ + hv
2
“ einen Ab
2
stand größer als 2 haben und wenigstens eine der bei
den Zahlen größer als 1 ist. Da es dann sicher eine na
türliche Zahl in zwischen diesen beiden Zahlen gibt,
muss nach dem Zwischenwertsatz das Polynom
‚
“ + hX
2
X
“ — in eine Nullstelle zwischen ii und i‘
2
besitzen. Dieselbe liegt in der Menge J, da die Zahl in
sicher zulässig gewählt wurde, gilt doch
max{u2
m
+ ha
“, v
2
“
2
‘
‚
+ ki‘
“}
2
22*l + Ii (max{u‘ i‘}-“ und daher
kehrt entspricht jeder reellen Zahl r e [—2. 2] genau ein
Paar komplexer Zahlen z,
z+
1
—
=
—
am Einheitskreis, sodass
in
‘,,
1 + (2— e)-
--
Realteils von z.) Diese Korrespondenz nützen wir fol—
genclermaßen: Ist q(X) ein normiertes, rationales Polv—
nom 1V—ten Grades mit einer reellen Nullstelle r zwi
schen —2 und 2. dann ist durch Xv q X +
.
Xi
ein nor
miertes, rationales Polynom 2AT_ten Grades gegeben.
das ein Paar
sitzt, für das
‚
a
+
4. Einlieitswurzeln und Al-Zahlen
Die naheliegendsten Beispiele von Zahlen in der
Klasse j ‚sinl die von 1 verschiedenen Einheitsu‘ur—
zeln. Die Einheitsvurze1n sind genau die Zahlen
= e“ mit rationalem q.
Schreibt man q
kennt man
e A
sofort
E
2
e
— i
r gih.
<
‚
1 vor
ii >
0. so er
wegen
—
=
a
Es sei nun eine beliebige positive Schranke e
und
mit ni, n
n
von Nullstellen am Einheitskreis be
=
q.e.d.
<L
z
r gilt. (Natürlich ist r gerade das Doppelte des
—i
0
Falle
1. Da nach Satz 1 die dluadratischen Zahlen
der Menge i\ ausnahmslos Einheitswurzeln sind
und nach Satz 2 die Menge A überhaupt keine alge
braischen Zahlen ungeraden Grades enthält, ist es a
priori nicht abwegig zu tragen:
Gibt es ii berhaiipi Zahlen in der Klcisse 1\ 1‘ die heine
12n?heitsn‘l!rzehl sind?
Eine positive Antwort der Frage wirdl durch Lemma 2
undl dlen folgenden Satz erschwert:
Satz 5. Eine algebraische Zahl o l‘ierien Grades mit
, nein? eine
1
= 1 liegt genau dann in der KlasseA
im
gegeben. Obwohl 2“
für alle
>
ii
e N gilt, kann
(ii)
man nach der Stirlingscben Formel sicher eine natürli—
che Zahl
Es
sei
ii
bestimmen, sodass 1 + (2— c )“
dann
F
die
Menge
X“‘ + hX
“ — in mitb, in e N und ni
2
<
—
n }
gilt.
aller Polynome
{2n
}
Wir be
haupten nun, dass die Familie F die folgenden beiden
Eigenschaften besitzt.
(1) Fiir/edesp(X) e F hat das ;iorinier/e. ganzzah
heine negcl/iven Koe/[
lige Pol‘noni XN
1
X)
zienten.
(2) Die Menge J aller reellen Zahlen im Intervall
[—2 + e,2— e], die von iigendeineni Po/j‘noin ans der
Fannlie F aoni/,ilieri n‘erden, liegt dicht mi Jnter,‘all
[—2 + e, 2—
Damit bekommt man die Behauptung des Satzes so:
Für jedes v > 0 betrachten wir die Menge
:=
{r±rr i}
Einheitsu‘nrvel
ist.
Dem Beweis von Satz 5 schicken
aus.
wir
Lemma 3. We;ui alle Nullstellen
Po/‘ooms
ein Lemma vor
eines iiornneren
Grades mit ganzzahl (gen Kov/fdien—
ten, das ii her Q irrednzibel ist, ani Ein/ieitshre[s liegen.
dann müssen die Nullstellen Einheilsu‘urzeln sein.
Beu‘eis. Es sei p(X) ein normiertes, rationales, über
Q irredluzibles Polynom mit genau vier Nullstellen
a,. Dann gilt
0
‚o.a
vierten
)(X)(X_a)
2
p(X)(X)(X
und entfernen aus derselben alle A 1 —Zahlen vom Grad
höchstens 2(2n + 1), von denen es nach Lemma 2 nur
endlich viele gibt. Dann liegen in den von den Al-Zah
len gesäuberten Mengen (/ wegen (1) ausschließlich
ganzalgehraische A2—Zahlen. Man braucht dann nur
noch überall diese Mengen vereinigen und erhält we
gen (2) mit Ut! die ge\vünschte dicht am Einheits
O<E< 1
kreis liegende Menge.
Da (1) nach dem lünomischen Lehrsatz evident ist,
bleibt somit nur noch (2) zu verifiziercn, Es sei also
[n, v] (mit ii < v) ein beliebiges Teilintcrvall von
\VissenschaftlicheN:ichrichten Nr 1
in
3i
ui Ai igust 2005
=A
ci
—a\+b\ —d\+d
=O +‚+O +a
Liegen nun dlie Nullstellen
a,. a. a alle am Ein
heitskreis, dlann treten sie in Paaren konjugiert komple
xer Zahlen auf. scdlass d 1 gilt. Wegen a. = 1 und
+ / < 2 für i
/ folgt die Koeffzientenabscbätzung
a < 4, h < 6, c < 4. Da die KoeI[zienten a, h, c ganz
zahlig sein sollen und wegen Lemma 1 ci = c gilt. kom
men nicht mehr als 77 Polynome in Frage, dlie iie Vor
aussetzungen von Lemma 3 erfüllen. Wenn man die
‚
23
77 Polynome X —t.\‘+l,X—V+l, —3c, 3,
—5 Ii 5 durchcheckt. so findet man genau drei
Stück. die alle Nullstellen am Einheitskreis haben, nüm—
lich X + 1 und X‘ ± X + X
2 ± X + 1. Jedes dieser Poly
nome ist ein Kmis!eilziins/o/t‘iioni, also (las Minimalpo—
lvnom einer Einheitssvurzel. Die Nullstellen von A‘ + 1
sind die vier primitiven achten Einheitswurzeln ±e
±c‘. die Nullstellen von V‘ + X +
+ X + 1 sind
die viel primitiven zehnten Einheits\vurzeln e
die Nullstellen von
+ X
V + 1 sind
±2,,, /
die
primitiven
Einheitswurzeln e
‘
vier
—
3
.v
—
fünften
Benierint,‘. Mit etwas algebraischer Zahlentlieorie
kann man Lemma 3 wesentlich eleganter beweisen. Da
bei kann man die Aussage gleich auf he/ie/i/j.eii Gind
verallgemeinert zeigen ‚Man bekommt niimlich auf ana
loge \\eise eine Restrikti( )lt der koellzicnten des Pol
fl( iiiis bei edlen] Grad u id ka in mit 1—lilie der ka n mi
schen lsoinorphismen zwischen einfachen Körperer—
\veiterungen daraus schließen, dass jIle Potenzen der
Nullstellen in einer festen endlichen Menge liegen, so
dass die Nullstellen Einheitswurzeln sein müssen.
Beweis ion Salz 5. Es sei a ganzalgebraisch von vier—
1cm Grade mit
= 1. Da .\ nur ganzalgebraische Zah
len cnihült. genügt zu zeigen, dass u nicht in \ liegt.
wenn
keine
a
Einheitswurzel
ist.
sei
Es
= .V + a.V ÷ I).V- + iiX + 1 das Nlinimaipolvnom
von . (Die IG ülzienten 0. /2 sind ganz!) Im Lichte von
Lemma 3 genügt es, den Fall zu betrachten, dass
p(.v)
neben der Ntillstelle
zwei reelle Nullstellen r tincl
besitzt. Dieselben sind natürlich entweder beide positiv
oder beide negativ und ir wollen die Bezeichnung so
wahlen. dass r < 1 gilt. (Man beachte, dass r wegen
der lrreduziliilitüt v m p(.V) irrational ist.) Im Fahrsvas
set des lleweises von Satz 3 gelingt es. die Reihe
E,,r Ii alle 0-l-D ügen (c )zu betrachten, deren
Glieder ab einem Index alle verschwinden. Dabei kann
man wieder gleich e = 1 annehmen. Genau dann,
wenn diese Reihe für irgendeine 0—1—Folge versch\vin—
det, liegt a in der Menge ‚\ . Das ist natürlich für positi—
r ausgeschlossen und auch für negatives i — vie
im Beweis v in 5a17.3 gezeigt — niemals der Fall. wenn
gilt. Im kritischen Falle
t r ist irrational)
jedoch ist eine etwas. aubs endige Detailanalyse nicht zu
ve rme idlen.
Analog wie im l3eweis von Lemma 3 betrachten wir
i(x) (x —
—
)(v
— r)X —
‚ um eine Ab
sch!iizung der Koeffzienten von p(.V ) zu ge innen.
\\egen .v +
.v
für —
2
2
4 und 1,
< .v < 2 erilit sich die Ein
grenzung a
0. Somit braLiclit man nur
117 konkrete Polvnonie (die reduziblen einfach gleich
niitgezühlt) nach reellen Nullstellen r im Bereich
—1 < r <
—
durchsuchen, Dabei stellt sich heraus, dass
es nur ein einziges solches Polvnoni gibt, nünilich
+ 2X +
+ 2X + 1. Dessen kritische Nullstelle
r = —0.53101... liegt glücklicherweise weit genug von —1
entfernt, uni (las \‘erschwinclen der Reihe 1 +
Er“
für alle 0- l-F ilgcn (c ‘, ) auszuschließen. Summiert man
24
nümlich alle ligttcilii ‘en Potenzen von e also alle Zahlen
r mit ungeradem n auf, so bekommt man lediglich
“
1
> —
5
(i— r‘)
1+
E/“ >
!,
und somit oilt stets
(J.e.(l.
Nach Satz 2 tuid Satz 5 muss eine Zahl in der Klasse
‚ die keine Einheitswurzel ist. mindestens sechsten
Gradles sein. Das .\ufspüren solcher Zahlen gleicht also
der sprichwörtlichen Suche nach der Stecknadel im
Heuliaufen. Dass sich die Stecknadel doch finden fasst.
ja dass letztlich der Heuhaufen mit Stecknadeln vollge—
spickt ist, zeigen (1er folgende Satz undl die anschließendie llemerkung.
Satz 6. Das Pn/timm V ± .V +
+ .\‘ + 1 /iesilzl e
11(11! zwei ‚celle .\‘nI/slellen. Die anderen t‘ierAnl/sie/le,i
liLye;z mii Eili/leilsI2,‘eis ii;id .so,nil in der iIen,ge ‚\
Dieselheu si,id alice heine Ei,il,ei!sniirzelii.
Beweis. Zur Bestimmung der Nullstellen dies Pol—
noms transformieren wir dlie Gleichung
- \‚
x
+
5
.v+x‘+.v±1= 0 in
viederuni aquivalent mit
0, dlie
i
v±J
t
±t‘+_J
3.v±_j1=0 ist.
Nach der
Substitution t‘ .v + — ist sonut zuerst die kuhischc
X‘
G leicltung i“ + t — 3
— 1 = 0 zu lösen, mit deren Lö
sungen
dann
die
quadratische
Gleichung
t‘
— .tv + 1 = (1 zu lösen ist. Bei dler kubischen Glei
cltung liegt of[ensichüich dier Cas‘ns irredncihilis vor,
sodass man nach einer Routinerechnung für dlie Lösun—
geil der kubischen Gleichung
=
— —1 1+-ü(
.
=
—
— (i —
und
—+ .1
3
3
1)
-iO sin .1) und
i(.
——1 1—J-i0 cos 1 +.±l 1 1 mit
.2
A
})
6
1
..
arctan —
erhalt Mit einem Blick auf das
333)
3
quadrttische fa )lvnom X — tV + 1 erkennt man. (lass
für t‘ < 2 die Nullstellen desselben am Einheitskreis
liegen, für t‘> 2 dagegen reelle Nullstellen vorliegen.
Wegen t‘j > 2 und t‘,
< 2 besitzt das Polynom
=
—
‘
X‘ + ‚V + X‘ + X + 1 somit neben zwei reellen Null
stellen vier Nullstellen am Einheitskreis. 1,etztei‘e kön
aber
nen
keine
Einheits\vurzeln
sein,
weil
+ X‘ + .V + .V + 1 natürlich irreduzibel über Q ist.
wegen der reellen Nullstellen aber kein Kreisteilungs—
polynoiii sein kann. ±j.e.d.
Bemei‘l‘inip. Bekanntlich (und offensichtlich (liegt che
Menge aller Einheitswurzeln (licht am EinbeüskreB. Da
klarerweise mit a e .A auch die //-teil Wurzeln von in
liegen, erhalten \vii‘ mit Satz 6 unendllicli viele Nicht—
Einheitswurzcln in ‚\ che dicht am Einheitskreis liegen.
‚
Literatur:
1)1 1 lijnCer(( rü. Th.\\ .: .(/±‘/uu. Sprini/er \‘erli,i. 19-.
121 Kuhi. 0.: .I/,i±‘l‘,aiu‘lwZalile,i uni Ei,ihei/sl,‘,z‘is II .Vicliiaust,i
‚+‘rI,are Ei;ilwilsrL‘l‘l‘‘re‘,i. \\i.s.s. Nachr. 129, 25—3 t (21)05).
[31 tdulo. 0.: .l/,nbniisc/u.‘ Zuli/i an, Liule‘iisl.s.±‘is III: 11i,,e ‚ue,t‘—
u‘i?121i4c lln.s‘c ali)c/n211±ciit‘,‘ Zu/i/o,. \\iss. Naclir. 131, 29—32
( 200(u.
\X‘issciisc.‘Ii:iliticli,‘
N:icI,ri, ii,‘n
S‘i‘.
31
uli ‘\uOusi 2005
Trendanalyse von Brutvogelbeständen
fluid, Siraka,
Norbert Bniin,e,; Tlionias Franb, /l‘faIi/n2c1 KüJileitijer und W. G. Noi,‘ak
Für eine intensiv landwirtschaftlich genutzte Fkiche
in Niederösterreich wird seit 1985 regelmhßig der Brut
vogelhestand untersucht. Das Ziel dieser laufenden Stu—
die ist die Feststellung langfristiger Trends in den Be
stanclszahlen. Konkret werden in dieser Arbeit die Be—
stanclzahlen zweier Vogelarten mit Ohnl ichen Ansprü
chen an den Lebensraum, Rohrammer (E,nberiza
scl,oeniclns) und Sumpfrohrsdnger ‘Acrocepl7a/11s p0—
/‚istds), mit Hilfe statistischer MocIelle in Microsoft Excel
analysiert und die AuswirkLing einer wasserbaulichen
Maßnahme auf die Bestanclszahlen untersucht.
1. Untersuchungsgebiet
hund ( lVlOdIell Ii).
Ilaselbad,
Vcb.t.
‘f
-
L,-.
‚‘Wi.cI.rg
/
;‘L,iL1rr.d,If
A‘ohpwaId‘
.
\%
•
.
hletnmzlfrrdf
.
-
7
2
brünn
‚
S‘tOCKKRAU
errv?rb.
Hiir
Abbildung 1. BeOlxiChtUngSflOChe
Die lleobachtungsfkiche hat die Größe von ca .350 ha
(ca. 4km Hinge und 0,5 bis 1 km Breite) und liegt nOrd
lich von Leitzersclorf bei Stockerau in 190 bis 210 m Seehöhe (48°25‘ N, 16°14‘ 0). Sie besteht aus Ackerfldchen
(Schlagldnge 250—500 m, Schlaggröße 2—3 ha) beider—
seits des 1—latzenhaches. Die FLiehe ist durchzogen von
Feldwegen (zumeist unhefestigte Erclwege). Der 1-Tatzenbach hat eine geringe \Vasserführung, ist reguliert
und wird von Drainage\vdssern gespeist. Die Breite des
Grabens inklusive der begleitenden Felclwege betr)igt $
m, die umgehende Vegetation besteht aus Stauclentlu—
ren, Schilfröhricht und Gehölzen.
1991 und 1998 kam es zu wasserbaulicben Eingriffen,
weil der 1—latzenbach im \Vinter infolge von Trockenheit
und Wind von Flugerde zugeweht wurde und im zeiti
gen Frühjahr gertiumt wurde. Die Rdumung erfolgte
schonend (weitgehende Erhaltung der Holzgewtichse),
doch führte sie zu einer deutlichen Verringerung krauti—
ger Vegetationsstrukturen (Beseitigung abgestorhener
Pflanzenteile aus den Vorjahren). Das Aushubmaterial
wurde am Felclrancl aufgeteilt und war bis zum Sommer
1 ‚ewachsen.
\Vissenschaltliehe N:tcltricltten Nt
Erhoben wurde die Revieranzahl der Brutvögel.
Dazu wurden die Fläche jährlich während der Brutzeit
in den Monaten April bis Juli im Abstand von ein bis
zwei Wochen begangen undl Revierkartierungen durch—
2 Erfasst wurden auch die meteorologischen
geführt.
Verhältnisse (Temperatur, Regentage) und die Biotop—
gegebenheiten (Gehölzhestancl, Feldkulturen). Tabelle
1 und Abbildung 2 geben die Entwicklung dler Brutvo—
gelbeständle für die beiden hier untersuchten Arten wie
der:
Tabelle 1: llohr:uniner und Sump[rohrsiinger: Bestand und Likeli—
l3eobachtet wurde die in Abbildung 1 markierte FIh—
ehe im südlichen Weinviertel. Die Region liegt im Ein
flrissbereich des pannonnischen Klimas, cl. h. es ist tro
cken (unter600 mm Jahresnieclerschlag) und warm (Ve—
getationszeit über 240 cl). Es handelt sich um intensiv
genutztes landwirtschal‘tliches Gebiet.
fflienbv.eh
2. Bestanclsentwicklung
134
-
uli/ Auust 2008
19
Jahr
Nr.
—
2 9
o 2
d.
122
1)‘
‘‘3
—
126
19
6
‘2 9
.1
1985
i
5
i 5,3-1%
15
1956
2
5
i —‚ ‚-iSa
15
9,7—i‘
1987
$
6
15,30%
19
8,25%
985
-‚
8
13,17%
22
1989
9
11,08%
28
1,09%
1990
5
6
7
i-i,52%
3,00%
1991
7
6
1 2,S-i%
13
10
1992
8
9
12,6ill__-
21
8,63%
1993
9
13
3,83%
2-i
7,61%
199-1
10
9
13.1 1%
26
1995
11
10
ii ‚84%
27
1996
12
8,339
26
Hi0%
1997
13
11
0.72%
25
7,87%
6_—
10.199
5,58%
—
0,
6,59%
—
6,40%
1998‘
Ii
5
‘i,16°4,
1-1
0,29%
1999
2000
15
12.41%
25
7,10%
16
9
15
-/‚1 1%
29
7,33%
2001
17
16
3,07%
36
3.16%
2002
1$
15
5.15%
33
6,01%
2003
19
12
11,10%
27
5,92%
2004
20
9
9,93%
36
5,05%
2005
21
10
10,95%
3s
6,63%
2006
22
8
6.56%
29
5,10%
2007
23
10
10,00%
23
5,35%
Grabenriiumung
1 U. Straka ( 1992): Bestandserhehungen in einem Ackerhauge
hiet im sticllichen \Veinviertel ( Nieclerästerreielt ) in den Jahren
1985 bis 1991. E,gn‘/ta, 35, 15-1—172, und U. Straka (1995): Zur
llestandsentwicklung und 1-labitaiwahl des Neuntiiters (Lenins
co/turin)
in einem Ackerhaugehiet im südlichen \Veinviertel
(Niederösterreich) in den jahren 1985 bis 1993, 1l,r,‘elta, 38,
3-1—15.
2 Methodik nach C. 1. Ilihhv. N. 1). Burgess und 1). A. Hill) 1995):
‚1 k‘lliudc‘i 7 (1cr Je/du,‘, 1 ///iu/o je. 1*7(11/ /1(1se 9161./st (III) itt dc,‘ P15?—
xis. Neumann Verlag. kadeheul.
25
1
IlIjil
tu
wurde eine solche offensichtliche Beeintrhchrigung
nicht beobachtet, was (a) ermuten Risst. Dies liegt ciaran, dass die Rohrammer als Bodenbnüter und auch am
Boden Naln ung suchende \‘ogelart deutlich weniger an
.iii 1
1dellC
dichte krautige Vegetation gebunden ist als eIer Sumpf—
rolirsdnger ( Nahreingssuche beim Klettern in dichter
Vegetation .N estiiau zwischen vertikalen Vegetations
streiktuien ).
Modell
-i.
‘1
3456
II
\\ ir ersuchen nun die Bestandszahlen beider\7ogel—
arten mit 1 lilIe geeigneter Modelle zu beschreiben.
Nahe liegend, aber hier nicht weiter verfolgt, wdre ehe
Annahme on normal verteilten Bestanciszahien. Zu
unterscheiden sind zwei Varianten dieser Annahme:
1t$l
0
Ahhildunii 2. I5estandscntwicklLlng (teil) und 1udcIlIsurven A, 13
(du rel> ngen ) und C ( punktiert), 1 90 his 2007.
L)ie Rohra nimer ist ein charakteristischer Vogel der
Fetichtt2ehiete und lebt unter anderem an Ge\\ Osserrdn—
eiern mit HochstaudentILIren, Röhrichten rind lockerem
lluschbestand. Die Nahrung besteht aus Grassamen
o ne! Gl jeden ii !ern (/1 i‘lhropoden). Im lleohachtungs_
gebiet nistet die Rohrammer bevorzugt am Westab—
schnitt des Hatzenbaches, der \\ eniger mit Büschen be—
wachsen ist. Die Reviere schliegen ‘l‘eile eier anschlie
Renden Felder mit ein, wie aus Revierkdmplen zu be
obachten war. Durch die Beobachtung hittertragencier
Altvögei wurde aber geschlossen, dass llruten nur im
Grabenverlauf statt[anden.
Der Sumpfrohrsdnger lebt in T lochstaudenfluren und
Ri5hriclit meist in der NOhe von Gewdssern. Die Nah
rung besteht au.s (ilieJerftüern. Im lleobacl>tungsge—
biet 1 inelen sich die Reviere am 1 latzenbach in allen Ab
schnitten mit üppiger krautiger Vegetation und nichi zu
dichtem Gehälzbestand. Aus der Beobachtung futter—
tragender Altvi>gel svurde geschlossen, dass in den
Feldkulturen keine Bruten staitlanden. Alle Anfang Juni
besetzten Reviere \vLirden als lIrLitres iere bewertet.
5. Problemstellung
\\ ie in Abbildung 2 zu erkennen ist, bewegen sich
ei ie li iu latit )nen 1 ieider \ gelarten pandlel und hatten
in den iahren eier Grabenndumung ( und 14) einen
Tielstand. Eine genauere Betrachtung der AbbildLing
zeigt aber ss eiter. el,iss die .\bstdnde vom langjdhrigen
Mittel bzss i in> linearen Trend in anderen Jahren ver
gleichbar waren (vgl. lahr oder Jahr 1 ) und beide An
tcn bereits im lahr 6 einen Rückgang harten.
l)enina h stehen zwei 1 tvpothesen zur Diskussion.
die beide plausibel sind:
(a ) Der Rückgang an 13t Lttpaanen war eine znfiilli—
ge Scliwankeing oder
Ii) eier Rückgang war nie ht zulJillig ‚sondern
durch die Grabenrdutneing zu erkliiren.
Für den Sumpfrohrsdnger wurde bei den Gnabenrdu—
mungen 1001 und 199 bei den Feklstudien eine Beein—
tndchtigetng eier Bruiansiedlung beobachtet, was für liv—
pothese t b) spricht. In den Jahren der Grabenrhumung
begann die Revierhesetzung in jenen Gebieten, an dc
nen nicht gebaggert \Vurde, wo also noch eine intakte
kraettige \egetationsstrukiur vorhanden war. Erst mit
fortschreitender Vegetatit insentwicklung waren auch
einzelne spdter beginnende llrutcn in den betroffenen
Teilen des Grabens zu beobachten. Für die Rohrammer
—
.
26
Moclellansatz
Das
.‘Vu,‘,uci1t‘er/ei/u,itis,noc/e// mii /?o)2stcI;1te1)1 Be—
‚siaml nimmt für jede Vogelart an, dass die Zahl eIer
Brutpaare zuhillig eirn einen testen Wert schwankt. Als
enteilungsm( dell eIer Bestandszahlen wird eine Nor—
7
\
malverteilung mit Mittelwert und Standardabweichung,
ehe aus den Daten berechnet werden, angenommen.
Das „I‘/assisc/,e lineare RLTI‘essionsnlodell‘ beruht
auf eier Annahme, dass ehe Daten zu jedem Zeitpunkt /
nonmalverteilt sind mit eiern Mittelwert auf eier Trendli—
nie eine! einer (unbekannten) \
arian7.
7
Wir wdhlen diese Modelle nicht, eil sie nicht zu den
Daten passen (vgl. ehe Gültigkeitskriterien für Modelle
in eier Svsteti>the >niet: Die Daten ( BrLitpaane pro Jahn)
sind kleine positive ganze Zahlen und somit sicher
nicht normalverteiit, eli sonst ehe Wahrscheinlichkeit
für negative lleoiiachtungssvente bei positiver Varianz
positiv wiine. 1-1> üte Bestanelszalilen können hingegen
in guter Niihienung eiurch eine Nonmalverteilung ( und
daher mit klassischer Regression) beschrieben werelen.
\Veil \\ ir hei eier Moeiellbildung ehe Nonmalvertei—
iungsannahme ablehnen, verliert ehe ‚\lethoehe eier
kleinsten Quadrate ihre Bedeutung. Denn sie setzt Non
mais enteilungsmoeielle vonaets und l‘indet daher bei tm—
seren Modellen keine‘ .\nweneiung. Statt dessen yen—
wenden ss in das .1kLviInh/1n—Li?elihoocl—P)‘i)e1ji: Es \vei‘—
den jene Pan,uiieier gesucht. ehe mit der gnöten Likeli
hooei ehe be bachteien Daten helent.
In elieserAnbeit stellen wir zwei alternative Moeiellan—
satze vor: Ein Ansatz für ehe rlIlaI2len eier Brutpaare.
basierend auf eier Poisson Verteilung (Tabelle 1) und
ein Ansatz hin ihre Ohnlichen Zzni‘ac/is/JiIiiore,i (Quo—
tienten. ei. h. 1 = gleichbleibende Population). basic—
nenei auf eier Gamma—\‘enteilung (Tabelle 21. Die Likehi—
hoocis eier \1i teiche‘ unterscheiden sie‘h dabei: In Tabelle
1 handelt es sich uni \\.ihisch>einhicbkeiten, in Tabelle 2
uni \Va hrsche inhichkeitsei ichten.
3
lt. ttos‘,el (1>10>): lJ((%‘//l)t/(/t()/i(
ta> \Vicsh,>den S. 36 tt.
>md
Sinnmla//o,i
\>(issensc.lt,i(tlicl>c N,ic[tric hien Na 13>
Vie>veg
er—
7
‘i
Juli .\ueiu,st 2001$
Tabelle 2: Ruhr immer und iipirohrs2nwr: \Vaclisitim und
Likelit>uucl ( 5locleltansatz Cl
J:it>r
A.
Poisson-Modell mit konstantem Bestand
i3ezeiehnet X die Bestandszahl einer Vogelart. so
berechnet sich die Wahrscheinlichkeit (Pn, dass X
den Wert 1,? (eine ganze Zahl) annimmt, gemüß der Foi‘—
mcl
Nr.
Pr(.V
•
1080
2
1.000
1,11 1
1.01)0
196‘
3
1200
0.925
1.20
1988
-i
1.533
>(.25
1.15$
1.0>0
1989
5
1.125
1.020
1,25
0,83$
1990
6
o.9-e‘
0)0-i
0, 18
1891
7
0,857
1.000
U.69
0.9$‘
992
8
1,500
0.-,$2
2.100
0.036
1893
9
1..>.>.>
(.558
1.1>3
1,003
1 09->
10
((.092
0.768
1.083
1. 1 3
1985
Ii
1,111
1.035
1,058
1,18))
12
0.60))
0.538
0,905
15
1.855
0.18,
0,962
1.218
199$
1-1
((->55
0.20$
0,58))
Oa(r
1999
15
1.8(1))
o.1s5
1 ‚88
((,153
1990
-
1 99‘
in
1.20‘)
:
=
200))
10
1 .88‘
0.282
1.180
1,030
2001
r
1,06
1.05
1.2-11
((,885
—_1,202
2002
15
0.938
1.112
0,91‘
2005
19
0,800
((‚95-
((,81$
1,086
2(10—>
20
0,S0
((,89—>
1.333
((,20
2005
21
1.111
1,035
((,9->>
1,21->
2006
22
(1.80))
((,954
((,853
1.1-11
2007
23
1,250
0,852
((,793
1,038
‘
1L
exp(—X)
Excel berechnet man diese \Vahrscheinlichkeit mit
1-lilIe des Befehls POISSON( I,s 2
c 0).
Dabei ist X der Erwartungsw ert der \‘erteilung. Er
kann interpretiert werden als Maßzahl für die Eignung
ist für
des Gebiets für Bi‘utaktivitüten. Der Wert \oll
die jeweilige \‘ogelai‘t so zu vdhlen. dass die Likelihood
der beobachteten Zeitreihe maximal wird ‘>lii 1—lilfe von
>>beobachteten i3estandszahlen .v gewinnt man die Li—
kelihood—Funktion als Produkt der Wahrscheinlicllkei—
ten Pr(X = .v
1
):
1.210
‘
=
A
(21.
‘exp(—n‘2)
‘Xc..,, •X
-
(r.ihen8>>iinung
13e,;wr/.‘zi ‘itc‘ii.
1. Die Methode der kleinsten Quadrate ist für die
Normal verteil lang üqLI iva leni zur Maxim um—Likel Ih( >od
Methode.
2. Ein Grund für die Wahl der Modelle ist die Mog—
lichkeit, die in Excel vorprogrammierten Verteilungs—
funktionen (POISSON und GAMMAVERT) zu verwen
den.
3. Ein alternatives Modell für die Bestandszahlen lie
fert die negative l3inomialvereilring. Sie wird statt der
Da das Produkt vieler kleiner Zahlen sehr klein \vird.
logarithmiert man diese i3eziehung ..‘>lan erhült das L >g—
Likelihood. welches abllüngig \Ofl X iuaxinlal werden
11,1us$.
Diese Optimierungsaulgabe kisst sich analviisch
durch Nullsetzen der ersten Ableitung lösen. 13er \laxi
mu m—Li kel i h )d—Scllützel‘ im R >isson— 1> >dell 51 der
zeitliche IVl ittelwert der beobachteten l3eslandsz:Illlen.
ml. 11. =
B. Poisson-Regression (Modell
veränderlichem Parameter)
mit
zeitlich
Die Dalen legen eine Zunahme der l3eslandszalllcn
mit eIer Zeit nahe. Man kann, wie heim klassischen Re
gi‘essi( )nsm( >dell. a ueb ein l )iss( )n—M( >dell 111 1 inea ‘er
Dabei wird man sich
X der jeweiligen \-‘ogel
der Zeit alahüngt:
I3estandszunahme entwickeln.
vorstellen, dass eier Parameter
art,
der Mittelwert, linear von
(36
Die
beobachteten i3estandszahlen schwanken dann
sind die lug—normale \7erteilung ( normalverteilte 1_oga—
rithmen der Zuwachsraten) und die \Veihull Verteilung.
gemdß eIer Poisson—Verteilung Lim diesen Mitteiwei‘t.
Dabei sind die Parameter a und 12 für die je eilige Vo
gelai‘t so zu wühlen, dass die Likelihood der lse ihachte—
ten Zeitreihe maximal wird. Dieses Optimierungspro—
lalem istnicht mehr lösbar. Die Parameter d
und la bestimmt man durch ein Suehverfahren.. Dies ei—
folgt in Excel mit 1—lilfe des Solvers.
5. Moc1e11ierung der Bestandszahlen
li1it der Poisson—Verteilung
6. Modellierung der Zuwachsfaktoren
mit der Gamma—Verteilu ng
Die Art der Datengewinnung führt zu lolgender
[berlegung: Von der großen Zahl von \‘ogelpaaren.
die im gesamten Einzugsgebiet „südliches \\‘einviertel“
brüten. \verdlen nur wenige in unserem l3eohaclltlings—
gebiet brüten Aus der Sieht des Kollektivs ist die .-\us
wahl. in welchem Gebiet ein Vogel brütet, rein zufüllig.
cIa sieh das Lntersuchungsgebiet nicht \vesentliell von
der L‘mgebung unterscheidet. (Aus individueller sicht
gibt es Prüferenzen. z. 13. StandorttreLle. ( Man kann da
her annehmen, dass die Bestandszahlen von Sumpf—
rohrsünger und Rol irammer nicht m )rinal\ erteilt sind.
Der oben diskutierte Ansatz ging dav n aus. dass je
des Jahr eine bestimmte Zahl von l3rulpaaren ‘l//c)/ll,9
angewandt, wenn die Varianz (Qua
drat der Standardabweichung) deutlich größer als eier
Mittelwert ist.
4. Güngige alternative Modell für die Quotienten
Poisson Verteilung
sondern P
4 A Agresti (2002): Qiftur/ca/ 1*i/n ‚-tun/isis \\ (Je>‘. New .1er5).‘)‘
iss n verteilt.
Wissenscliailimlir- Nachrichten
das l3e >bachtungsgelaiet wühlt, wobei die ültrlichen
Anzahlen voneinander unabhüngig \\ üi‘en. \Vir disku
tieren nun einen anderen ]‚1iol( )gisch sinnvollen Zu
gang. indlem wir dlen Zuwachsfakior q analysieren. Ein
Motiv für die Verwendung dieses Modlells ist die ‚Stand—
nr/tante, lie sich für viele \‘ogelanten nachweisen lüsst.
l)adurch können die \‘ögel. die im kleinen Ileobach—
>i
-
13‘>
-
buh
.-\ gusi 2005
27
tungsgebiet brüten. im wesentlichen als Teilpopulation
aufgefasst werden, die den jührlichen Gesamtbestancl
.
exp(r)= 1, ci
der Art über q quantitativ widerspiegelt.
Wenn sich die Zahl der l3rutpaare .s‘(t) jührlich um ei
nen konstanten Faktor q vervielfacht, dann gilt:
In der Realitüt schwanken die l3eclingungen natürlich
von Ja 1w zu Jahr. sodass dieser Fa kk )t 9 als Zti fal lsva cia—
hIe 0 moclelliert werden muss. Als Moclell wühlen wir
die Gammaverteilung mit den Parametern a 1 und
b > 0 (sie haben nichts mit Formel 3 zu tun), eine stetige
\Vahrscheinlichkeitsverteilung. die auf der positiven
reellen Achse definiert ist.‘ Die \Vahrscheinlichkeits—
cl ichtefu nktion list
‘
(5).
F(ci)
b: tJ). Im Fall a
=
Tabellenblatt.
1 erhOlt man die Exponcnti—
alverteilung zum Mittelwert 6. Dic Parameter a. 6 hün—
gen \vic b ilgt zusammen mit dem Erwartungswert Eder
Quotienlen, der Stanclarclabweichung
vl c )d :i l \verl rJ
der
rechneten Quotienlen
ej
=
ii
lleobachtungsclaten be—
gewinnt man die Like
lihood—Funktion als Procltiki der \\ahrscheinlichkeits—
dichten /‘(q, Die Parameter n und 6 sind nun für die
jeweilige Vogelart so zu wAhlen, dass die Likelihood
maximal wird. Dies erfülgt wieder mit dem Solver.
).
RekonstrtLktion von Bestandszahlen
aus Zuwachsraten
Um das obige l )dlell besser mit den llestandszahlen
l‘inieren:
C. Exponentielles Modell zur Gammaverteilung
(-II modlellicrt eine
e.‘eyxriic‘nlk‘/le‘ Tre,icllhne‘
=
(‘‘)
mit
(7).
Demnach interessieren uns hei M( idell C nicht die
Schüizwerte der Parameter ci undl 6. sondern wir suchen
einen daraus) nicht mehr mit der Maxiinum—Likelihood—
Methode ( berechneten Schützwert für q = exp(r) =
Nach (6) bieten sich dazu der Er arlungswert und der
Modlalwert an. Wir \viihlen als plciii.silz/en ‚S‘d‘/w‘iIzti‘erl
rias Mittel dlavon und für c ein gewichtetes Mittel der Be—
ohachtti ngswerte:
28
‘2
Jahr
1985
B
(:
E
F
Nr
Anzahl
Likelihood
tt
3
,Ft
t
=$G$2
li:irhuri
=MirrEiAvtin‘iCZ C241
h
=G2
-
=
l‘O1SSUN(c2;l)1;O)
1
0
=t.N(E2)
Zielfunktion
=
SINNt1F1-ill
Die Spalten i\ bis C enthalten die Rohdaten: Jahres
zahl ab dem Projektstart 3985, Nummer des Jahres von
1 bis 23, und [3rutfestand. Daraus wird in der Zelle G2
der N littelwert berechnet.
Modell A
für
den konstanten Bestand
Der Maximum—Likelihood—Schützer für e ist der Mit
telwert in Zelle G2. Zum Vergleich mit Moclell 13 können
wir in Zelle H2 ci = G2 = 2 definieren und in Zelle 12
In der Spalte D wird der Parameter ?i. = a durch die
Formel =SHS2 berechnet. In Zelle E2 wird die Likeli
hoocl für die Beobachtung in C2 unter riet‘ \Iodlcllan—
nahme für 2 in 1)2 berechnet. Die Formel (1) ist dabei
vorprogrammiert. In F2 wird davon der Logarithmus
gebildet. Die Formeln in E2 und F2 werden nach unten
kopiert.
In Zelle J2 wird die Log--Likelihood für die gesamte
Zeitreihe berechnet: Sie ist maximal.
ln(q) undi einer Basiskapazi
tAt c.‘
.(/)=c‘exp(r‘t)
FA
1
2
6=0.
zu vergleichen, dienen folgende Uberlegungen. Sie dc
einer \\‘achstumsrate r
Irflulut eier t‘uisson—LileIihot,l iii Excel
RrAtr:tuiiuer laus Pt.itzgr(indcri Z—zeiligh.
tk‘lSr‘l.
1
‚
(6).
Mit Hilfe der 11—1 atis den
Lihullc 3.
der Qui )tienten
\VO / nvixi mal
Q cii 1 ient en
ist:
7.
(8).
exp2(r.i)
—
l3eim Poisson—Modell A mit l.mnstanteni I3rutbestand
Nvircl der Parameter 2
r durch den Mittelwert der beob
achteten Daten (Zelle G2 in Tabelle 3) geschützt. Das
folgende Tabellenblatt berechnet zusützlich die Likeli
hoods. um einen \‘ergleich inh Modell 13 zu ermögli
chen. Dazu erstellen wir in Excel ein Tabellenblatt nach
dem Muster der Tabelle 3. Wir verindern es spiiter ge
ringfügig. um Modell 13 zu berechnen. (Wir verwenden
dabei für jede Vogelart und jedes Modell ein eigenes
In Excel berechnet man f mit dem Befehl GAMMA—
ci ncl dc ni
.1)
8. Auswertung: Poisson-MocIelle
der Bestandszahlen
q‘‘ expL—
a:
exp(r
=
Benielkiin9. Das Motiv riet Formel für c ist die Mini
mierung der Fehlerdluadlratsunime zwischen .x‘ und
dem Mociellwert () für .vQ). wenn r vorgegeben ist.
— i)
\TRT( q:
—
c
Modell B für das lineare Anwachsen
des Parameters ?e mit der Zeit
Wir geben die Moclellgleichung (3) in Spalte 1) ein
und
tragen dazu in D2 folgende Formel ein, die \vir
nach unten fa)pieren:
=
5
SHS2+S1S2°B2.
k. Bury (1999): S/a/istical d/sti‘ilniiiuiis fit eii,ri;ieei‘iur. (am
hridgc Unix‘. Prcss, C:imlar(dge.
\\issensuhatilielie \:tcitriclik,‘ti \r. 13-i -(Lili .-\ucu“i 21(1)5
Istin werden di Parameter i und b mit 1—lilfe des Sol—
vers bestimmt. Daher tragen wir in die Zellen H2 LInd 12
zwei Startwerte ein Anschlie6end starten wir den Sol—
ver: Die Zielzelle ist J2. der Zielwert \Iaximum. die ver—
4nderbaren Zellen sind 1-12:12. Durch Drücken des Lö
sen—Buttons erhhlt man u. /1. wo die Log—Likelihoocl des
Lloclells inj2 maximal ist.
Geeignete Startwerte für 0. 1 erh1lt man aus der klas
sischen Regression. Deren Formeln sind vorprogram
miert und können auch zu Vergleic‘hszwecken unter
den Werten für ii. 1, eingetraefl \verdefl siehe Ab
schnitt 1.01. In 1-13:13 stehen dann als Niiherungswerte
für a, /3 die Formeln:
.
=ACHSENAI3SCHNITT( C2:C24;B2:B24) und
STEIGUNG( C2:C2-i;132:132-i)
Abbildung 2 und Abschnitt 10 lassen das Resultat zu
sammen.
9. Auswertung: Ga mma-Verteilu ngsmoclell
der Zuwachsraten
Wir erstellen das Tabellenblatt von Tabelle 4: Die
Spalten A, B, C sind wie vorhin. In D berechnen wir die
Quotienten und dazu in E bis F die 1,ikelihoocl und Log
Likelihoocl mit der Dichtefunktion der Gamma—Vertei—
lung (5). \Vir vervenden dazu Namen für Kl und /2. die
den Zellen L2. M2 zugeordnet sind. Die Werte Kl. 13 wer
den nun durch eine Maximum Likelihood Anpassung
optimal bestimmt. Dazu maximieren wir die Ziellunkti—
on in P2 mit dem S üver. Um dafür gute Startwerte zu er
halten, schhtzen wir zuerst Kl und /2 in L3 und M3 mit den
Formeln (6) ab: Dazu dienen die Zwischenrechnungen
in Zeilen 4 und 5: Den Erwartungswert Ii schützen wir
durch den Mittelwert (1er beobachteten Quotienten
in Zelle L5 ab und G durch deren Standardabweichung
in Zelle M3. Eingesetzt in 10) ergibt das die Siariwerle L3
für a und M3 für 6. aus denen (her Solver dann die ange—
gel3enen \\erte in L2 und M2 ermittelt,
cj,
10. Ergebnisse
Wir beantworten nun die Ausgangsfrage: War der
Populationsrückgang in den lahren der Grabenrüu—
mung zul‘iillig? Dazu werten wir die Beobachtungscla—
ten mit den oben beschriebenen Tal3ellenbliittern für
die drei \lorlelle A, B. C aus.
Für die Rol1rammer liefern die Modelle lolgencle Zah—
lenergelmisse:
• Konstanter Bestand ( Modell A ): Der ‚\liuelveit be—
trügt = 9.20 liruipaare und die Standardabweichung
3,25 liegt nahe x‘. = 3.0—t, dem vom Poisson M( )dell
vorausgesagten \Vert. Die Likelihoocls (hier nicht ange
führt) sind unauffüllig (über Ii).
• Lineare Poisson—Regression (Modell 131: Die Re
gressionslinie für die mittleren llestandszahlen hat die
Gleichung (1=1 entspricht 1985) 2(I) 5,98 + 0,274 1.
Zum 1 ln;g/eicli (‘1/1K)!! 111(111 mi! der Nornla/l‘e;‘Iei/llII,g
(SIKIr!u‘erl/ör du‘ Opliuhierilli,d)) eine 1/ne/wer Linie .v
6,26 + 0.25 1. Die aus 2L in Tabelle 3 (Spalte E) errechne
ten Likelilioods werdc‘n in Tabelle 1 zusammengefasst.
Sie sind unaufüillig (über 1%). Daher ist die Schwan
kung bei der Rohranomer nicht von einer Zufalls—
schwankung zu unterscheiden.
• Exponentielles \Vaehstum (Modell C): Die Quo—
tienten sind an c‘inc‘ Ganima—Verteilding mit den Para
metern (1= 8,-iS und /‚= 0,129 angepasst. (Die Startwer
te der Optimierung waren Kl = 8,2(38 und 1, = C. 133.) Ta—
beIle 2 lasst die in Tabelle 1, Spalte E, berechneten Like
1 ih( )( )ds zusammen ( llefu nd (1 na u fl‘ü II ig ) 1 )ie e\ponc‘n—
helle Trencllinie hat die Gleichung
6, 15 exp0003 1 1),
Für den Stimpl‘i‘olirsünger lielern die Modelle lolgen—
dc Zahlenergelinisse:
• Konstanter Bestand 1 \l idell ‚\ ): Der Mittelwert l3e—
trügt X = 2-t ‚87 lrutpaare (mdl die Standal‘Llab\\ eichung
7,86 liegt über dem \Ve lt -tOd, der vom [0 misst >n—M )dlell
vmradtsgesagt \vird. Die Likelihoods (hier nicht ange—
tührt) sind an 6 aliren aufkillig (unter l°0. darunter
a ueb die Jali ie der Grabenrüumung.
.
.
xQ)
‘t‘:ihel le 4: Gamma—Veneilungsmudell in Excel ( Id hr:immer
AIICD
E
1
1 j:itmrrlx,l
dikdil:ocd
Ogl.i(
2 1985 1
‚
4
J2
G
II
1
eup(r-i)
uxp
.vxp
=EXP(r“(82-i)) =G22 t‘C2
5;
=C3/C2 ;=G1.M5tdERT(03u1;h:O(I=t.z(E3)I =tXPmj‘mB3-)) =G32 d9d2
Um zu diesem \l dell passende Bestanclszahlen zu
rekonstruieren, werten wir (‘) in SpalteJ wie folgt aus.
Die verwendeten Namen für c und rsind den Zellen \2.
02 zugeordnet. Der Sehütz\vert rwird in 02 aus cl und 6
nach Formel (8) berechnet ( Zwischenrechnungen in
N5:P3). Damit werdlen die Spalten G, 1—1, 1 berechnet. In
T und 127 hilden wir jeweils die Summen
H2‘
=SUMME( I-12±12-i), SUMME) 12:12-11.
Daraus 13eI‘eclinen wir c in N2 nach (8). Nun können
wir in Spalte J die rekonstruierten [3estandlszahlen er
mitteln.
h N:mchm eliten Nt‘. 1 ‚3-i
‘
Iuh/Auuusi 2005
M
Ii
cuxponij
ct2jrt
“G3
Si:trl
ZW-im
Modell C für das exponentielle Wachstum
Wissensclmaltli
K
j
0(29
8,480
=(d5/5t5(‘2
‘i
0
1‘
c
r
L,1:unkmii:
=t2‘7Fl2 =I,N( ‘5)=SiNtIi(I:F14)
=M52/t
xp(ri
E
otdwn
9
f
I‘ITr.I.sIxraIl1jn‘Ars3ma:lm24) =a‘b lb(nZ=lNS+m)S)/2
ll
‘
• Lineare Poisson—Regression (Modell B 1: Die Regres
sionslinie für die mittleren Bestands-,thlen hat die Glei—
0.881 1. Mit
chung (/=1 entspricht 1985) )(i) = 1-i.5der \ormal erteilung 1 Startwert für dhie Optimierung 1
erhOlt man fast dieselbe Linie .v= 1-i.29 + 0.801 1. Die
aus
in Tabelle 3 (Spalte E) errechneten Likeliltoods
werden in Tabelle 1 zusammengefasst. Sie sind au(liil—
hg. nümlich zur Gral3enl‘üuniung jeweils unter (1,50,
\viihI‘end die Likelihoods zu den anderen Zeitpunkten
unaufkillig (über Fu 1 waren.
‘
‘.
• Exponentielles Wachstum (Modell C(: Die Quo
tienten sind an eine Gammna—Verteilung mit den Para
metern Kl = 9,8 und 3 0. Ii angepasst. (Die Slartwerte
der Optimierung waten n= 8.82 und /3=0,122.) Tabelle
2 lasst die in Tabelle i. Spalte Ii, berechneten Likeli—
29
11
PiC)Ods ZtI5aIYtlYIefl: Aufhullig ist der hohe Anstieg unmit—
tell)ar nach den Grabenriiumungen ( Quotienten der
Folgejahre) mit extrem geringer Likelihoocl. Die expo—
nentielle Trendlinie hat die Gleichung
x(I) 19.67-i exp(0,019‘ /).
Aus den Modellen lolgt: Die wasserhaulichen Maß
nahmen hatten keine Auswirkungen auf das Brutvor—
kommen der ROhratYlmer, wohingegen die Sumpftohr—
sünger sensibel gegenüber den anthropogenen Einflüs
sen reagierten. Die Aussagen der Modelle unterchei—
den sich dabei insofern, als sie unterschiedliche Aspek
te der Zeitreihen beleuchten: Für das Poisson Modell ist
der plötzliche Verlust der Attraktivitiit eines Gebiets für
die l3rutakiivitiit durch die GrabenriiumLtng in den Jah
ren 7 und 14 auffüllig. (Abweichungen nach unten wie
gen schwerer als solche nach oben, wo mehr Spielraum
ist.) Dabei identifiziert das Modell B die Auffülligkeiten
schiirfer. als A. weil es besser an die Daten angepasst ist.
Für das Modell C der Zuwachshtktoren ist die plötzliche
Zunahme bzw-. Wieclererlangung) der Atti‘aktivität ei
nes Gebiets für Brutaktivittiten in den Jahren S und 15
auffällig.
Der, von den Moclellen aufgezeigte. Unterschied
zwischen Sumpfrohrsänger und Rohrammer konnte
auch durch Besonderheiten in der Biologie und I—Iabi
tatnutzung der beiden Arten erklärt werden. Man sieht
daraus auch, dass Vögel geeignete Lehensrtiume unter
gewissen fJmstänclen relativ schnell wiederbesiecleln
können.
osclri‘? der t
tirich Stiaka und Thomas Frank: Institut für Zoologie
Norbert Brunner und Manfred Kühleitner, Werner Georg Nowak.
Institut für Mathematik, Department für Integrative Biologie und
13k )d ivemsitktsforselumng, Universitkt ür Bocienkultur,
(eor-Mendel-Stm. -Pl. A-1150 Wien, Österreich.
E—Mail: ulrich str:mka. thomashank. norhert.hrunner.
manlred.kuehleitner. werner georg.nowak ..mlle Ahoku.ac.at
Die erste österreichische IMO-Aufgabe
1)
all/ici‘ / oioiiz
1/11(1
Gcrlio‘dJ. lt öct hi,m.cr
Ei nI eitu nt
Was ist die IMO?
Die 1 nternath male Mathematik—Olympiade ( lMO ) ist
ein jährlich stattfindender Mathematikwettbewerh für
begabte Schüler im Alter von 14 bis 19 lahten. Das
l-lauptzicl der IMO ist es. jLlnge Talente aus der ganzen
Welt zu entdecken. zti ermutigen und herauszttfordern.
Die erste l\lC) fand 19i9 in Rumänien statt, und zwar
als ein rein Ost—Europiüsc‘hes ) zctr damaligen Zeit hieß
das: ein rein sozialistisches Ereignis für 52 Schüler atts
nttr sieben teilnehmenden Ländern: Bulgarien. DDR,
Polen, Rumänien, Tschechoslowakei, Ungarn ctnd
UdSSR. An der lMO 1967 in Jugoslawien nahmen dann
betcits 13 Länder teil: mit Frankreich. Großbritannien.
Italien und Schweden hatten sich auch die ersten west
lichen Länder zur IMO—Gemeinschaft hirtzugesellt. Die
Niederlande und Belgien kamen 1969 dazu. Österreich
1‘-T0, die USA 197-i. Algerien und \Vcst—Deutschland
1977, Brasilien 1979, Atmstralien 1981 China 1985. In
dien 1989, japan 1990, und die Schweiz 1991. F-Ieutzuta
ge ist die IMO zu einer Riesenveranstaltung mit rund
100 Teilneltmerländern von allen fünf Kontinenten an
gewachsen. an der rund 550 Schüler teilnehmen. Für
weitere Informationen über die IMO und insbesondere
für eine Fülle von Daten, Statistiken und Zusammenfas
sungen) verweisen wir den Leser auf die Internetseite
http: \V\v\v.tm( )—( fficial.org.
Der IMO-Wettbewerb und die IMO-Aufgaben
Die IMO inclet immer im Juli statt, und datiert für die
Schüler rundl eine Woche: Anreise, zwei \Vettbewerbs
tage. einige Tage mii touristischen Exk ursionen. Preis-
30
verleihung undl Abreise. Pn‘allel dazu arbeitet im 1-Im—
tem‘grttncl eine rttnd 100-köpfige Jury, in die jedes Teil
nehmerlancl seinen Teamleiter entsendet. Die Jury
wühlt dlie \Vettbewerbsaufmlahen mis, übersetzt sie in
dlie Mutterspt‘achen dler Schüler, korrigiert die Arbeiten
dier Schüler und setzt schließlich die Punktegrenzen für
die Medlaillen fest. Im Regelfall erhält ungelähr dlie 1—Jäh—
te aller Schüler eine Medlaille; rund ein Zwölftel erhält
GoIdl. rund ein Sechstel erhält Silber und rund ein Vier
tel erhält Bronze. Z. B. waren die Medaillen für dlie 53S
Schüler hei der 1 MO 2008 in Madlrid wie folgt verteilt:
Goldmedaillen gab es für -17 Schüler, Silhermedlaillen
für 100 Schüler und Bronzemedlaillen für 120 Schüler.
Der eigentliche IMO—Wettbewerb findet an zwei auf
einander folgenden Vormittagen statt. An beidlen Tagen
sind jeweils drei Aufgaben innerhalb von viereinhalb
Stttnden zu lösen An beidlen Tagen ist die erste Aufga
be einigermaßen einfach, die zweite Aufgabe mittel—
schwer undl die dritte Aufgabe eine echte 1-lerausforde—
rung. (Man kann natürlich auch sagen: Die erste Aufga
be ist schwer, die zweite Aufgabe ist sehr schwer, und
die dlritte Aufgabe ist mörderisch schwer.) Für jedle Auf
gabe werden 7 Punkte vergehen, was insgesamt ztt ei
ner Maximalpunktezahl von 42 Punkten führt. Bei dler
Dm10 2008 in Madrid bedeuteten 15—21 Punkte Bronze.
22—3D Pctnkte Silber und 31—i2 Punkte Gold.
\Vnher stammen ntin die sechs Wettbe\verbsaufga
ben? Jedes Teilnehmerlandl darf zunächst einmal bis Zu
sechs Aufgabenvom‘schläge einreichen. Einige Länder
senden nur eine odler zwei Aufgaben ein, viele andere
Länder (wie zum Beispiel China) senden gar keine Auf
gaben. Einige Länder (wie zum Beispiel Rtlsslandl odlem
Rumänien) haben eine lange Tradition in der Problem—
komposition und schicken jedes Jahr sechs Aufgaben.
\\‘isensrhaltl icl‘ N,irlmrir Imien Nr. 1
ciii August
201(8
Alle diese \7orschliige werden gesammelt und ergeben
zusammen die sogenannte IMO-LongList, die im Regel
fall aus 100—1 50 Aufgaben besteht. Der Einsencleschluss
für die LongList ist immer im Frühjahr. Dann geht eine
kleine Expertenkommission ans \Verk und arbeitet sich
Schritt für Schritt durch die LongList. Einige Aufgaben
beruhen auf bekannten Tricks oder wurden in ähnli
cher Form schon bei anderen Wettbewerben gestellt.
Einige Aufgaben besitzen triviale Nehenlö.sungen. An—
ciere Aufgaben sind falsch. Einige Aufgaben sind viel zu
leicht, und einige Aufgaben sind viel zu schwer. Die Ex
pertenlommission eliminiert die ungeeigneten Aufga
ben und wählt aus den verbleibenden Vorschlägen die
sogenannte lMO—ShortList aus, die Li5 25—30 Aufgaben
besteht. Die ShortList wird im Juli der lurv vorgelegt. die
dann auf Basis von Diskussionen und Abstimmungen
die sechs 1510-Aufgaben bestimmt. Bei der 1510 2005 in
Slaclrirl bestand die LongList aus 130 Aufgabenvorschlä—
gen aus 36 verschiedenen Ländern. die ShortList cmhielt schließlich nur noch 26 Aufgaben.
Im restlichen Teil dieses Artikels wollen wir Ihnen ei
nige besonders schöne und besonders interessante
Musterlösungen für diese erste Osterreichische IMO
Aufgabe präsentieren. Einige der Lösungen stammen
von Walther Janous (dem Author dieser 1540—Aufgabe),
andere Lösungen wurden von Gerhard \Voeginger ge
sammelt (eIer bei der IMO 2008 als Korrektur für diese
Aufgabe arbeitete).
Für die Ungleichung im ersten Aufgabenteil (a ) gibt
es eine ganze Reihe von grLmndlverschieclenen Lösungs
strategien. Wir werden im Folgenden vier l.ösungsvege
präsentieren: Einen Lösungsweg durch klassische Dif
ferentialrechnung Lind Lagrange—Multiplikatoren. Einen
Lösungsweg durch geschickte SLibstitution. Einen Lö
sungsweg mit 1-lilfe der Cauchv-Schwarz—Lngleichung.
Und einen Lösungsweg durch brutales .\usmultiplizie—
ren.
Die Aussage im Aufgabenteil ( b tist ziemlich einfach.
wenn man einmal den Teil (a) verstanden hat. Wir dis
kLitieren einige mögliche Lösungen. die im \Vesentli—
ehen aul unseren Lösungen für Teil (a) aufsetzen.
Die Rolle Österreichs
Osterreich nimmt seit 1970 an dler lMO teil. öler die
(dlurchaus beachtenswerten) Erfolge der österreichi
schen Schüler kann man an anderer Stelle nachlesen.
\Vir wollen uns hier ausschließlich mit dem österreichi
schen Beitrag zu dlen Wettbe\verbsaufgaben befassen.
Und dieser Beitrag ist bisher ziemlich mager ausgellil—
len: Zum Beispiel hat es in den Jahren 1Q70—2006 kein
einziger österreichischer Aufgabenvorschlag auch nur
auf eine IMO-ShortList geschafft.
tm lahr 20(r gab es dann aber einen gravierendlen
Einschnitt: Robert Geretschlägcr aus Graz wurde (.1er
neue österreichische Teamleiter. Die ShortList der 1510
2007 enthielt bereits zwei österreichische Vorschläge
dlie es aber heide nicht zum Wettbewerb schafften).
Auch die ShortList dler 1510 2008 enihieli wieder zwei
österreichische Vorschläge. Der eine Vorschlag stamm
Gerhard Woeginger: diieSe Aufgabe wurde nicht
te
für den Wettbewerb berücksichtigt. Der andere Vor
schlag stammte von Walther Ianous: und dieser Vor
schlag \vurdle in dler Tat von derJurv gut geheißen. Nach
beinahe 40 erfolglosen Jahren hat es damit zum ersten
Mal eine österreichische Aufgabe zur 1540 geschafft!
Die erste österreichische IMO-Aufgabe
IMO-Aufgabe 2008/2:
(liC 1
+
(-1)
(.v- l)
Sehen wir uns zuerst einmal die linke Seite in der Un
gleichung (1) genauer an. Diese linke Seite ist separa—
heI: Sie ist die Summe von drei einGehen Termen, von
denen einer nur von x, einer nur von .r und einer nur
von zabhänga. Daher bietet sich ein klassischer Lagran—
ge—Ansatz an. Unser Ziel ist es lsc>, das Infimum/Mini—
mum der Funktion
1, z)=
(:-
=
=
Lili
Auuusl
(z-l)
(c-l)
=
1 und .vi‘z
1
unter den Nebenbedingungen .v, ‘, z
zu bestimmen. Dazu führen wir die Ilägende l—lilf.sfunk—
tion F(.v. t‘. z. X)ein:
F(.v.t.z.2)
=
.v
i.__‚
Z
‚
(x-1
(3)
+(x)z—1)
(z-l)
(-1)
z) liegen nun ent
Die Extrema der Funktion f(.v,
weder am Rand ihres Definitionsbereichs oder in den
z, X). Wir
stationären Punkten der l-lilfsfunktion F(.v,
behandeln zuerst einmal den Rand des Detinitionsbe—
strebt, geht /‘(x, ‘, z)
reichs. Falls vgegen +00 oder
‘.
‘,
gegen einen \Vert größer gleich 1; der Term
(x
200H
i)
-
geht dann nämlich gegen 1, während der Beitrag von
positiv ist. Falls .v een 1 strebt,
+
(v-1)
(c-l)
geht I‘(x,
c) gegen +00. Analoge Aussagen gelten.
falls t‘ odler z gegen +00 odler —00 oder 1 streben Am
Rand dies Definitionsbereichs gilt daher die Unglei
chung /‘(.v. t‘. z) 1. genau \\ gewünscht.
Nun wenden wir uns dlen stationären Punkten der
I-lilfsfunkrion F(x.
z, 2 zu. In den stationären Punk
ten n+issen die Ableitungen von F(.v. 1‘. z. X) nach .v.
nach z. Undl nach X jeweils 0 sein. Die st:itionä
nach
ren Punkte erfüllen also die ier Gleichungen
—2.v
‘,
nr .11k reellen 7iltleit .V).. (Ift‘ ilinlekIl 1 sind
nil Ii lu .via
1 iIt.
ilo \laii zeige. dass Itir 1ILLlilIl. i kl liipl
i;iiuii,ilii /aIilen v. ta. die ini4hi Ii 1 sinaI uni lila
Igilt. in lt Ici (äck hlRilsl,ll
Wissenseliafiliche Nachrichwi 1 Nr. t34
+
+
•
(.v-l)‘
—
Und nun wollen wir Ihnen endlich dien Superstar die
ses Artikels präsentieren: Eine herrlich unkonventionel
le Ungleichung in drei reellen Variablen, gemischt mit
ein wenig Zahlentheorie. Sehr geehrte Damen und Her
ren, liebe Kolleginnen und Kollegen. hier ist die erste
österreichische Aufgabe in der langen IMO-Geschichte:
\i.iii /cIi..‘
Lösung des Aufagbenteils (a) durch Lagrange
)
‘,
(1)
(.v-i)
31
_2
-
+X.vz=0
(5)
+A.vj‘=O
(6)
Lösung des Aufgabenteils (a) durch
Substitution
(,t‘- 1)
—
-
-
(z- l)
=
-
—
1
\Venn wir min in (4) den Term zgemtiß (7) dLlrch
— 1) multi—
•
ersetzen und danach die Gleichung mit
plizieren. erhalten wir
2
-.
—1
0. In anderen \\ orten. die
reelle Zahl .v ist eine der drei Wurzeln
111, ii,, ii
der Ed-
genden Gleichung dritten Grades:
(
—---—.
))
3+— ir+3u—1=0
()
1 wird dann zu
+ 1, + c
a
(3+2)
l.v + -3.v
1
ii—f
=
(5)
2
Als Nüchstes multiplizieren wir (5) aLls. bringen alle
Terme auf die linke Seite. und erhalten die Gleichung
—
——-—
-
2
2
(x—1)
Eine völlig andere Lösungsidec basiert auf eleganten
Sulistitutionen, die die Ungleichung (1) ein wenig ein—
facher und die Nebenliecltngung .x‘t‘z = 1 gleichzeitig
ein wenig komplizierter machen. Wir wollen nun zwei
derartige Substitutionen diskutieren.
Unsere erste Sulistitutioti lautet a :=
.v—1
/‚ :=
und c :=
Die NelienliedlintLHig
z—1
‘—1
=
(ab + bc+ ca)+ 1
(12)
und die zu be\veisende Ungleichung (1) wird zu
(i
±
+c
2
(13)
1
Der l3eweis von (13) ist nun verblüffend einlacli. Wir
ver enden lili >5. dass Quadrate edler Zahlen immer
nicht—negativ sind und setzen dann die Gleichung (12)
ein:
0
5(a
+/ +c—1)
Analoge Argumente zeigen. dass auch für t‘und znur
die Werte n
1 ii,, ii in Frage kommen. Die SatzgrLippe
von Vieta lielrt unsii
+11, +ii. =
3+
undoiui.
=
1.
\‘iir behaupten nun, dass die Zahlen .v.t‘.. eine Per
nilitation vonii,. ii,. o, bilden. l1ills.v = t‘ = z gilt. impli
zielt (7) unmittelbar .v = t‘ = = 1: dies steht aber im
Widerspruch zum Dehnitionsbereich. Daher dürfen wir
ohne l3esehrtinkung der Allgemeinheit .v
und
-
=
o annehmen. Das impliziert dann
j‘
mit.v
=
z
ii
(1-i)
—
(15)
und die zu lieweisencle t ingleiebung (1) wird nach eini
gen 1 tmf rni u ngen zu
=
(xv)
=
(iio)
und .v.
ii
-
mutation von
-
‘.
ist daher tatstichlich eine Per
Daher gilt in eclem stationtiren
ii, ii,. iii.
Punkt
p
=3+—
(10)
schlussendlich sclii‘eiben \vir mit [-lilie von (5) und
den entsprechenden analogen Gleichungen fOrt‘ und z
z) in den stationiren Punkten
die Zielfunktion /‘(.v.
wie folgt Um:
‘,
— ji) Z 0.
\
Cauc1-iv—Schvarz
Viele Schüler scheiiei‘ten an dieser österreichischen
(11)
Die Kontbinatiou von (10) und (Ii) zeigt, dass in al
len stationhien Punkten f(.v. .i‘. z) = 1 gilt. Daittit ist die
1ngleichting (1) be\\ iesen.
1 )iee auf Lagrange basierende Löst! ng wurde bei der
EdO von vielen Schülern entdeckt, bwohl analytische
Methoden eigentlich nicht zur lMO-Werkzeugkiste ge
hören. Ein Stanclardfehler ( der viele Punkte kostete) be
stand darin, lieweislos anzunehmen, dass die Zahlen
.v, t‘.zeine Permutation von ic. ii,, ii. bilden. Ein anderer
Sta nclard leIder war es, den Ra id des 1 )efin it ionsbe—
reichs zu gin rieren -
Die beiden diskutierten Sulistitutioncn wtu‘dlen bei
der 1 \lO von vielen Schülern entdeckt. Einige Schüler
verrannten sich allerdings in seitenlatigen Folgen von
Sulist ittitionen und Rechenfehlern.
Lösung des Aufgahenteils (a) durch
‚± - I(.v.t‘.z)=z
(x -1 )
(t‘ -1 ) (. -1 )
—(.v + y + z —3)
(16)
/)
Wir multiplizieren (1(i) mit JY, setzen (J —(s + p)
laut (15 )‚ vereinfachen, und erhalten schließlich dlie
iidluivaletlte und oftetisichtlich wahre tJngleichung
(s
“: +112±))
=
—
Unsere zweite Substitution lautet a := .v —1, :=
1
und y := z 1. Wejters setzen wir s = a + 3 + 5‘ Lind
n e43)‘. Der 13e\\ eis geht wieder
q = xf3 + f3y + yx und 1
glatt durch. 1 )ie Nebenbedingung .vt‘z = 1 wird zu
IMO—Aufgalie. cIa sie sie mit den falschen Werkzeugen
attackierten (wie zum Beispiel tiit der arithnietisch
geotiietrischen Mittelungleichung. oder mit der Jen—
sen‘schen Ungleichung für konvexe Funktionen). .-\ttcli
die Cauchv—Schwarz—Ungleicliung erscheint uns auf
den ersten Blick als Lingeeignetes Werkzeug. \Ver aller
dings Energie in einen zweiten Blick investiert, der
kann vielleicht auf cleti E)lgenden Beweis stoßen.
Wir werden die l‘olgende Form der Cauchv—Schwarz—
Ungleichung in drei Dimensionen mit reellen Zahlen
cL.
P 7- 7. \el‘\\‘eriden:
.
.
- y,)
( ‘+_p,+
1
32
\‘(‘issen,ch:iftIiclic N.:iuhric[it>‘n \r.
(17)
tS-i
hit)
\iI
iI‘i
2(iUdi
\Veiters werden wir verwenden, dass für beliebige
reelle Zahlen a, I,,c die Ungleichung
(a1
+ c‘
+
(a
—
bc)
+ (1,2
ca
—
+
(c2
—
ab(1s)
gilt. Wenn wir nümlich die Terme in (18) ausmultiplizie—
ren. vereinfachen, und auf die linke Seite bringen, so er
halten wir die Oquivalente und triviale Ungleichung
)2
(al + bc + cci
0
(19)
Und nun wenden wir uns endlich dem eigentlichen
Beweis der Ungleichung (1) zu. Zuerst substituieren wir
er‘, ‘
b‘ und z c
2 mit abc = 1. Die linke Seite LS
der Ungleichung wird dann zu
ci“
LS=
6
b
1+
2+
(ci‘
—
ci
+
=
(a2
—
(b‘
abc)
bc)
—
abc)
b
(1,2
—
c“
(c2
abc)
c
+
ac)
—
(20)
06)2
(c2
—
Aus (20) erhalten wir durch Anwendung von zuerst
17) und danach (18)
(a2
tS
(a2
—
2
hc)
+
+
(1,2
62
+
ac)
+
dann zu
i
‚
(
1
i
I.T‘-+++9 I—6ixr+—+— 1+
x
}
+2x+V+* 0
x)‘)
(25)
beziehungsweise zur (offensichtlich wahren) Unglei
chung
(26)
0
x
‚1
‚)‘
Der l3eweisschritt von (22) zu (2i) fiel vielen Schü
lern bei der IMO unendlich schwer. Sie entdeckten
zwar die Ungleichung (22), verirrten sich danach aber
in eine falsche Richtung: Sie ersetzten in (22) jeden ein
zelnen Term .:t‘z durch den Wert 1, und konnten dann
die Aquivalenz zu (23) und (2o) nicht mehr sehen. An
dere Schüler erreichten z\var die Ungleichung (25), er
kannten aber das vollstonclige Quadrat in (26) nicht.
Lösungen für cl en Aufgabenteil (b)
2
c2)
(21)
—
Dies führt
(
ah)
(c2
—
Wir wollen nun einige Lösungen für den Aufgaben—
(b) diskutieren. Da sich die Aussage in Teil ( b ) um
den Gleichheitsfall von Teil ( a ) dreht, ist es natürlich,
auf den oben entwickelten Ergebnissen für Teil (a) auf
teil
Dieser Beweis der Ungleichung (1) wurde vom ar—
menischen Schüler Tigran Hakobyan wOluencl des
IMO—‘sXettbewerbs gefunden. Der kritische kreative
Schritt ist natürlich die eigenartige Substitution am An
fang. die die Ungleichung homogenisiert. Wenn man
dann einmal bei (20) angekommen ist, ergeben sich die
restlichen Schritte relativ schnell.
Lösung des Aufgabenteils (a) durch
Ausmultiplizieren
zusetzen.
I+zle‘r liisa/z. Unsere Lösung für Teil (a) durch Ausmultiplizieren hat zur Ungleichung (23) geführt. Der zu
untersuchende Gleiehheitsfall ist daher durch
.cj‘ + rz + zv = 3 und .v‘z = 1 charakterisiert. Wir mLIlti
plizieren die erste Gleichung mit vi‘, setzen .:tz = 1 ein.
und erhalten daraus
(27)
—3At‘ +x + = ()
Diese Gleichung (27) ist eine quadratische Glei
chung in .v. Die Diskriminante dieser quadratischen
Gleichung ist 1) (Sr 1Y 4‘ (r
—3
Wir whhlen eine beliebige rationale Zahl / undl setzen
‘
Unser vierter und letzter Beweis der Ungleichung (1)
beruht auf reiner l3rachialgewalt und besitzt keinerlei
Eleganz: Wir multiplizieren die Ungleichung (1) einfach
mit viel Geduld und Rechnerei aus (oder wir verwen
den ein Computer—Algelra—System, dessen Benützung
bei der IMO natürlich nicht gestattet ist). Das führt zur
hqu ivalenten Ungleichung
—
—
—
=
.
Dann ist j‘ auf edlen Fall rational. Weiters
2
ist die Diskriminanie D = (t‘ i)-i das Quadrat einer
rationalen Zahl: daher ist auch .vrational. Schließlich ist
—
+ )
Z +zx)_ 2(.t‘z +
2
2)(.vt‘
+ z
Unter \/erwenclung der Nebenbedingung •vi‘z = 1
können wir (22) webers in die folgende Ungleichung
umschreiben.
(2))2
+ v
z
2
+z2x2)_
6(x)‘ + ‘z
+2xt‘z(.v+v+z)+9 0
(23)
Wenn wir jetzt noch erkennen, dass (23) Odluivalent
zur (offensichtlich wahren) Ungleichung
1
(xt‘+yz+zx—3)
0
(23)
ist, haben wir einen vollsthncligen Beweis gefunden.
Die Rechenarheit kann ein wenig vereinfacht und ab
gekürzt werden, wenn wir gleich am Anfang jedes Auf
treten von zin der Ungleichung (1) durch
*
(22)
+2(x+)‘+z)+2.vt‘2(xt‘z+4)1
* ersetzen.
=
ebenfalls rational Man prüft leicht nach, dass
1 undx,
‘,
z
lgilt. Damit ist Teil (b) bewiesen.
\Venn man sich übrigens den Gleicheitsfall im da—
grangeansatz für Teil 1 a ) genauer ansieht, dann kommt
man ebenfalls zur Gleichung (27).
Zu‘ei/erAi,sa/z. Unsere Lösung für Teil (a) durch dlie
Substitution a :=
—-.
x-1
h :=
Undl c :=
j‘-l
hat uns
z-i
zu dlen heidlen Ungleichungen (13) und (14) geführt.
14er zu untersuchende Gleichheitsfall ist diaher dldlrch
ci + h + c = 1 und) ei
2 + 62 + c
2 = 1 charakterisiert. Wir set
zen c = 1—e/ 6 in die zweite Gleichung ein, und erhal
ten
—
ci‘ +
62
+ ab —0—?,
(28)
0
Dies ist eine quadlratische Gleichung in cc und die
entsprechende Diskriminante ist 1) = (i + 36
1 1).
ir wOhlen eine beliebige rationale Zahl 1. und setzen
7
\X
)(
Wissensc‘taitlictu,‘ Na_hrichien Nr. t +i
1 uti, Augrj‘I 2008
—
33
6
t-+3
minante D
Dann gilt 1÷36 (1_l,)12. und die Diskri
6 )i 1 j5 (las Quaclrat einer rationalen
Zahl. \lan sieht leicht, dass damit a. b.c und auch .x‘.t‘.z
rationale Zahlen sind. \\‘eiters gelten .vt‘z = 1 und
=
(1
—
x.r.zi.
Driller,4;isatz. Einige besonders geniale Schüler ha
ben bei der [00 eintach ein geeignetes rational para—
metrisiertes Zahlentripel erraten und verifiziert. Für
eine beliebige rationale Zahl / können wir zum Beispiel
/+1
t‘=—i(i+i) und z=—---—— setzen. \\ir
-‚
(l+i)
überprüfen dann leicht, (lass v.j‘,z rationale Zahlen mit
1 und .v, )‘.Z 1 sind, die die Ungleichung (1)
mit Gleichheh erl üllen.
In einer Variante dieses Ansatzes w1hlen wir drei lie—
liebige rationale Zahlen Fs,1 mit r + s + 1 0 und
i‘, s,
f
0. Die drei rationalen Zahlen .v
=
erftillen dann (1) mit Gleichheit. Für r
und s
und
=
=
—(t + 1)
1 erhalten wir als Spezialfall den obigen genia
len Ansatz.
Schlussbemerku ngen
Und wie haben nun die sechs Österreichischen 1MO—
Teilnehmer bei dieser ersten österreichischen IMO—Auf—
gahe abgeschnitten? Leider, gegen alle Erwartungen.
nicht sehr erfolgreich: \‘on den möglichen Punkten
erhielten drei unseter Schüler jeweils einen PLtnkt. wüh—
rend die anderen drei Schüler gar keinen Punkt erreich
ten. Von insgesamt -+2 möglichen Punkten erreichte das
Osterreicliisclie Team somit ganze 3 Punkte.
Zum Vergleich: China und Südkorea erreichten die
vollen —2 Punkte, Nordkorea -ii PLtnkte, Thailand —+0
Punkte, die Türkei 39. Usbekistan 35, Russland 33,
Ukraine und Vietnam 51. USA 30, Japan 25, Ungarn 23,
Deutschland 21 Albanien, Großbritannien und Italien
jeweils 1, die Schweiz 12, die Niederlande 6. und Ban
gladescb. Finnland, Luxemburg und Liechtenstein je
weils 4.
Aiisc/iri/1en ne,‘ 1
aser:
\X/altber Janous, Ursttlinengyninasiurn, Fürstenweg 56,
(A)20 tnnsliruck.
Gerhard J. Woeginger, TU Einclhoven. P0. l3ox 513,
5600 MII Einclhoven, Nieclerlande.
Leuchttürme im Ozean
Zl.c‘el Ii uii und (‚‘c‘rliniisl/ lfoegiiz,cer
Vier Leuchttürme und vier Scheinwerfer
ne in eine \vestlicIle 1—lallieliene hi
in mit den
Punkten P
1 und P,, und in eine östliche t-Ialhehene
:‚V
in mit den Punkten P, und P
.
4
Wir hehandeln zticrt die beiden Punkte P. und P,:
Im nördlicheren dieser Punkte stellen wir den Schein—
werfer auf den SO—Quadranten (SO steht für Süd—Ost).
und im südliclicren Punkt stellen wir den Scheinwerfer
atif den NO—Quadranten. Gemeinsam beleuchten diese
beiden Scheinwerfer die gesamte östliche Halheliene
und acich einen Teil der 1-lalbebene E, : aber dIas ist
für uns irrelevanu.
Die Mathematik Olympiade der So\vjctunion war ein
Schulcrwettliesvcrli. der in den jahren 19h1—1‘)92 regel
miissig abgehalten wui‘de. Der Name des \\etthewcrbs
hnclei‘te sich inclinnals: 1% 1—1966 war es die GesamtRussische .‘+lathematik Olympiade‘. 19ti—1 001 war es
dann die Gesaint—Sovjetische Mathematik Olympia—
cle, cind 1992 ‘ tirdc der \Vettlicwerl, schliesslich unter
deni Namen Mathematik Olympiade der Gemcinschalt
Lnalih1ngigcr Staaten zu Grabe getragen. Der \Vcttbe—
vcrh hatte sehr hohes Niveau, und die mathematischen
Die Punkte P
1 und J3 werden ühnlich hehatidlelt: Im
Aufgaliensiellcingen waren frisch, überraschend, und
nöi‘dllichen
wirdl der Scheinwerfer auf den S\V—
Pcinkt
1 )riginel 1
1
Q ciaclranten gestellt. und im südlichen Punkt ;icif dlen
Das fi )lgende Pr hleni ‘ urde im Jahr 1%‘ gestellt.
N\\ —Quadranten. Gemeinsam beleuchten dliese beiden
als der \Vettbewerb in Tliilisi (Georgien) abgehalten
Scheinwerfer dann die gesamte westliche 1—lalliebene
wurde:,. 1 7cr Leael,//önne ziehen im Ozean. feder
L
Leuichiiiuinii /1(11 ehwui sc/ieiim‘eij;: der ei,, tfi6e//1d
mii O/7)iiuii.su‘in/‘e/ 90° Iieleuch,ien l,?aiuIl. Zee: Die
das.s
sie alle Pu,d‘ie mi Ozean beleach,ie,z. Die \ier Leucht
11cr 5chieuiu‘ejr WJiinen dera,‘i ‚ciedft‘/l/ neiden.
türme sind natürlich vier Punkte j (6 = t. 2.3. o) in der
Eukliclischen Ebene, Und das Ziel besteht darin. die ge
samte Ebene mit vier \‘icrielehscnen zu überdecken, de
ren Scheitelpunkte in den vier Punkten P,, liegen.
1-her ist die Lösung: \Vir nehmen ohne llescbr3nkcing
der Allgemeinheit an, dass die vier Punkte P, = (x
,, 3d)
1
von \\ esten nach Osten sortiert sind: x
1 x
x x.
Dann setzen wir
34
in =
(x, + .v
) utldl zerteilen die Ehe1
Beide 1—fallielienen L,, Lind .
11 sindl nttn vollstiindig
E
acisgeleuchtet. Das Problem ist gelöst. tJndl wir haben
sogar eine ein wenig starkere Aussage bewiesen: Die
Scheinwerfer brauchen niimlich nicht beliebig drehbar
zci sein; es genügt. falls sie in die vier diskreten) Posi
linnen NO. NW. SO, S\V gedreht werden können.
Viele I.euchmrme und viele Scheinwerfer
\Vie sieht es mit Varianten dhieses Olympiadle—Pro—
blems aus? Kötinen sechs Leuchttürme mit 60° Schein—
weilern immer den gesamten Ozean heleLicbteti? Kön—
\Vissc‘nsch,iI ii idliL‘ N:sIinicl mcli Nr l 3.i
ja li/Au,i.cist 2005
nen zehn Leuchttürme mit 36° Scheinwerfern immer
den gesamten Ozean beleuchten? Können 360 Leucht
türme mit 1° Scheinwerfern immer den gesamten Oze
an beleuchten? Können drei Leuchttürme mit drei
Scheinwerfern von 90°, 90° und 180° immer den gesam
ten Ozean beleuchten? Die Antworten auf diese vier
Fragen lauten: Ja, ja. ja, und ja. Alle vier Antworten fol
gen aus der folgenden Verallgemeinerung des Leucht—
turmproblems.
....,
1
Verallgemeinerung. Gecebeii sind ii Punl‘ieP
P,, in der Eiil.‘lklisclien Ebene. Ui‘ilers sind ii J-Ialbgera—
den gegeben. die alle rom Urspriiiig (ulsge/1L‘I/ iiiicl dci—
.... W, mit 0/71
1
durch die Ebene in ii WiiiIzel/b/der W
nii,iisitiiilzelii a
a,, (mit
= 300°) zeilei
0‘‘,, /zü,ine;i
leu. Daini gilt: Die Wiiil‘el/elder
10)11 urspl7lng zu den Piiiiktc‘ii P
,..., P, i‘r‘rsc/iohcoi
1
ti‘erden (genau ein ‘iUi;ihel/d/d pro Punkt). so/ass sie
danach die gesamte Ebene überdecken.
Die beiden russischen Mathematiker V. Galperin und
G. Galperin haben diese Verallgemeinerung im Jahr
1961 bewiesen. Ihren Beweis findet ncr Lcscr unter
dem Titel ..Osveschenije ploskosti pn zhek raini‘ auf
den Seiten 28—30 des 11. Jahrgangs der russischen \\is
senschaftszeitschrift Kuant. \\‘ir vollen diesen wunder
schönen Beweis nun näher erläutern und nlisLutieren.
Ein wuncierschöner Beweis
liegt also zwischen den \\erten
Der Wert
(PQ,
)
und (PQ, h, q. e. cl.
Im zweiten Schritt wählen wir einen beliebigen
Punkt 0 in der Ebene. Wenn wir das \Vinkelfelcl lUk
zum Punkt l verschieben, dann bringt uns das einen
ü Euro ein. Der plin
sogenannten Q-Pro/itvon
tastische Trick von Galperin und alperin besteht nun
darin, sich unter allen möglichen Zuorclntingen der
\Vinkelfelcler XU.
P,, dieje
W‘,, zu den Ptinkten P
nige Zuordnung Z°herauszupicken. die die Summe der
0—Profite der entsprechenden ii \Vinkelfelcl—Punkt—Paa—
re maximiert.
.
...
Beobachtung 2.
lUenn
die Zuordnung 7“ die Suni—
nie der 0—Pro/üe maximiert. dann uircl der Punkt Q
u‘o;i einen? der i‘ecncliobeiueuj Wiuikel/blder üheicleckt.
Beweis. Ohne BeschränkLing der Allgemeinheit ver
schiebt Z°jedes Winkelfelcl W, zum Punkt Ph.. sodass clw
verschobenen Winkelfelder genati die Gebiete ll [i]
mi) bilden. Wir wollen nun annehmen. das‘,
(1‘ 1
liegt. Lind
der Punkt 0 in keinem dieser Gebiete 1V
diese :\nnahme ztim Widerspruch führen.
Für jeden Punkt J gibt es ein \Vinkelfeld IV sodass
Q IV, {i] gilt: wir zeichnen dann einen entsprechen
den Pfeil i —s von der Zahl i zur Zahl /.i. Da jede Zahl
i (1 i n) mindestens einen ausgehenden Pfeil be
sitzt, muss es eine geschlossene Kelle e —* c
c —5 c, = c von Pfeilen geben. Wir lühren nun einen
zyLhischen Tausch in Z“ durch, der dieser geschlosse
verschieben \vir das \Vin
nen Kette folgt: Für k = 1
kellelcl W.
vom Punkt P
weg zum Punkt P hin.
.
•,‚
\Vir führen zunächst ein wenig Notation ein: Mit ü
1
in Richtung
wollen wir den Vektor der Länge
cosi
—
Adif Grund von Beobachtung 1 erhöht dieser Tatiseh die
der Winkelhalbierenclen von 07
k l)ezeichnen. \X7ir schrei
ben
h) für das Skalarprodukt (das innere Pr( dtikt)
für
der beiden Vektoren ü und 1,, tind wir schreiben
die Länge des Vektors h. \Venn man das \Vinkelfeld lL
vom Ursprung weg zu einem anderen Ptinkt 1‘ hin er
schiebt, so erhält man das Gebiet W,[i‘]. Der Beweis
gliedert sich in drei einfache Schritte. 1—her ist der erste
Schritt:
‚
Beobachtung 1. Es seien P und Q zwei Punkte in
derEbene, und es seien k audi zwei ‚ja/ui rlic/ie Zahlen
mill kl n. t0-nn 0 innerhalb j‘oo w[j aber au
/srlialb Ion W
] lint. dann gilt (PQ, h,.)
>
Summe der 0-Profite, und dies widerspricht der \Vahl
von Z‘ dl. e. cl.
Im dritten Schritt schlie6en wir den Beweis nun mit
der k)lgendlen wunderbaren Beobachtung ab: \Vährcncl
die konkreten 0-Profite stark von der Wahl von Q ab
hängen, ist die beste Zuordnung Z°völlig uumucublicuugig
von Q. In der Tat betrachten wir eine beliebige Zuorcl
nung lt von \Vinkelfelclern und Punkten, und zwei be
und Q,. Die Diflerenz zwischen der
liebige PLinkte
Stimme der 0
—Profite für lt und der Summe der 0—Pro
1
fite für lt beträgt dann
).
u
i,)
1
(JQ
=
Beweis. Wir bezeichnen den Winkel zwischen den
Vektoren P0 und Z,. mit j3, und den \Vinkcl zwischen
und 0 ü‘ [i‘] erhalten
PQ und i mit ‘y. Aus Q e
.
>
und
wir
Dies impliziert
cos() eO(_ tind cos()
larproclukte PQ.
und (PQ.
=
eos(_} Fur die Ska
<
erhalten wir daraus
‚
—
—
1
(PQ.)=cos()IP0
_0.())=
—
(QQ.
)
1
=
1
(Q
Da diene Dilierenz von der Zuordnung rc unabhängig
maximiert Z° gleichzeitig die Summe der Q—Profite
für alle möglichen Punkte Q Anis Beobachtung 2 folgt
nun, dass unter der Zuordnung Z‘ jeder möglichen
Punkt Q tihercleclct wirdl. Damit ist die Verallgemeine
rung bewiesen.
ist,
cos
und symmetrisch dlazLi
—
(PQ,
)
—
-
cos(y)PoHi
‘issensi,hafiliehe
2
.-i,izcln‘i/l dr,
.\xrI Born, Ql{G L‘isulinen. I.eonh:ircRir:is‘e 02. 5511(1 c;i‘.iz
(Jerh:iid 1. \\ )eingrr. TL Eincih, nun. l‘.O. 13 ‘x 5 Ii,
5600 Ml) F.inclhoven, Niederlande
cs(y)PQ.
=
(051
\ic_‘l‘i
icliien
Ni
.
3
1
‚juli Aunusi
201)5
35
11
Klassifikation aller Ringe rationaler
Zahlen
Gerci/d Kuba
1. Einleitung
U dergestalt. clcus.s/Yii‘P . P,
Wührencl der Köi»eu‘ Q der rationalen Zahlen natur—
gemüß keinen echten Teilkörper haben kann, sieht die
Sache völlig andersaus. wenn man nur den Riui,c( Q he—
[rachtct,
Es sei U die Familie aller 7iZlriulRe von Q. Es gilt also
RE U genau dann. \venfl 0eR c Q und a±b.ab eR
für alle ci. 1, e R.
Beispiele von Teilringen von Q sind Q selbst sowie
alle Mengen lt
für k e N. (Wir pflegen die abkürzen
de Schreibweise a X :=fax .v E v} für allen e Q und
.V c Q. Ferner beachten wir die meni.entheoretische
k)n\cntion 0 e I. die inzwischen auch für den Schul
unterricht verbindlich ist.) ncr Ring 1
ist der Ring
der ‚tnuzen Zoll/ei?. Der Aii//rin,i (1
{ø} ist der ein
zige Teilring von Q, der nicht unendlich ist. Ein Teilring
v in Q hei)t uiuui/öi‘, wenn er die Zahl 1 enthült. Es sei
1 die Familie aller unihiren Teilringe von Q.
U
= {li‘ E U 1 E R} Natürlich ist U
1 eine echte Teihnen
ge vi )fl U, da z. 11. der Nullring {0} sowie die Ringe l.t‘
für 1 < b e El nicht in U
1 liegen.
Für R e U und 0 eR gilt automatisch l?cu ER Ihr alle
/i e
(Man beachte (a) e 1? und la = u +. . + a mit
k Suinmandcn!) Insbesondere gilt c Ii lür jeden unitüren Teilring //von Q.Mit Rund Sliegt auch stets R
in U. lnshcsi ndere ist “i R ein Teilring von Q für alle
R elf. Für {0} Re UgiltR n = ni‘Z, wobei iii die
kleinste positive Zahl der (unendlichen) Menge 1? n
ist. (\\‘egen ou c lR würde iii
bedeuten.
R n
.
.
.
dass in nicht kleinst mi)glich gcwiihlt winden wiire.)
Die Teilringc von Q haben eine Eigenschaft. die man
hei Körpern nur in :\risnaltmellillcii antrifft: 1 ersciu/ede—
ne Objekte in U sind immer .sii‘nl/nre/l u‘ese,utlic/i eec—
.scli IL‘(/i?i?.
Proposition 1. 1 ‘ersc/necleiue Te//i‘iiu,ie
/ ‘on
Q
sind
‚1k‘ isuinoi‘/?/l.
Dabei sind die Ringe Rund isomorph. wenn es eine
hijektive Abbildung q R
S gibt. sodass
+ b) (a)+(b) und
b) = (a).(b) für
alle ci. /2 eI? gilt.
I-taLiptziel dci vorliegenden Note ist es, instruktiv
eine ‚‘o//.stöin/i,r,e K/assi/ikcI/ion aller Teilringe vim Q
durchzuführen. Dies gelingt, indem wir zunlichst siimt—
liche unitliren Ringe elementar klassifizieren. Damit
verbunden ist der Nachweis, dass die Familie U
1 ev/rein
?‘ie/e Objekte umfasst, niimlich dass es mengentheore
tisch ‚euuauiso u‘ie/e unitlire Teil eilige wie Teil ineii,gen
von Q gibt. sodass es also ein Kouuliutiuon von ( wesent
lich verschiedenen) Bingen rationaler Zahlen gibtl
p(P
)
‘gui,
c p(P,)
ui‘enn El
c
El genau daniu
‚gilt. (insbesondere ‚gilt
p(R)= Q und stets
p(P n)=p(P)np(P)fürP,i c El.)
C ]
1111(1
2. Beweis von Proposition 1
Q
Wenn einer on zwei verschiedenen Teilringen von
der Nullring {0} ist, dann ist der andere automatisch
unendlich und daher können die beiden Ringe trivialer—
weise nicht isomorph sein. Lm Porposition 1 mit Kon—
traposition zu erledigen. seien R Ltfldl S beliebig ge—
wühlt, sodass {o} R. S e U gilt. und es sei p:i?
S
eine I3ijetion dergestalt. dass ip(ci + b) = (p(a)+ p(b)
und (p(a‘b)=(p(cl)(p(b) für alle a, 0 eR gilt. Aus
p(0) = ip(0 + o) (p(0)+(p(0)folgt sofort(p(0) 0. \Ve
gen der lnjektivitiit v in p gilt daher ip(a
0 für alle
o e R \ {ü}.
Mit Blick auf p(a +. . . + a) p(a)÷. . . +p(a) erken
nen wir, dass stets (p(i‘a)= knp(a) lür 0<)? E LInd
a e 1? gilt.
Wegen (p(di)+(p(-—a) = p(ci + (_a)) (p(0) = 0 gilt
somit tp(/a) = 1‘ p(a) für alle k e und ci e 1? .AuSer
dem nuiss pQ‘a) = (p(/‘).(p(o) für alle a ei? und alle
l eR n Z gelten Mit fixiertem a eR \ {o} folgt somit
q(l) = )? Ihr alle l, ei? n . Wie bereits lestgestellt, ist
der Ring 1? n identisch mit ut ‚ wobei in die kleinste
positive Zahl der Menge 1? n Z ist.
Wir behaupten nun, dass (p(r) = r für alle r e 1? gilt,
woraus sofort 1? = S folgt und Proposition 1 bewiesen
)
.
ist. Es sei r
/3
e R mit 1
ssenden
0.
1, e . Wir erwei
tern mit in Lind schreiben r =
Da mb in 2‘ und niti in
imz1
1? n liegt, haben wir
mci (p(ma) = (p(mnl3 . i‘) = info ip(m‘) und daher
01(1
(p(r)=—=.i
.
—
.
3. Klassifikation aller unitiren Ringe
Um Satz 1 zu beweisen, definieren wir auf kanoni
sche Weise für jede Teilmenge Evon El einen Ringp(P)
in der Familie 11. so, dass für verschiedene Mengen
i‘. El. c El auch die Ringe p(P
1 )uncl p(P)verschieden
sind. Dazu definieren wir für P
El
(P):=
.
1
.
..]J,,iie
...
NAp
{p
. p,, eP}.
Die Menge it(P) besteht aus allen Produkten von
nicht notwendig verschiedenen Primzahlen. dlie alle in
Satz 1. Es sei P die 1/enge aller P,7nuz-a/llen und
J? c El
die Po/enzinen,ge ion IP, Danuu
PC) =
sind die 1
lien,genu‘erbduide PC
und U Lsonio/i: Es
El liegen. Da (gesetzlich festgelegt) 0 e N gilt, enthült
lt(P) mich das leere Pm‘odik?I von Primzahlen. also dlie
Zahl 1. Im Falle P = 0 liegt nun das leere Prodlukt in
es gilt also it(0) = {1}. Im anderen Extremfall
‘
1
R
1 c‘öie bi/eliu‘e:lbhilduiiu,gp u‘onP(P ott/die Eunnlie
/‘ =
}
36
)
)
El liegen alle natürlichen Zahlen in
\\)ssI_‘iisct;iIitit1i TN,IIIrj(tiiI,‘Ii Nr. lii
it(J‘),
Piiti
es gilt
\Ilgiist
215)5
also ic(P)
N \ {0}. Ist Pein Singleton {p}, so gilt na
türlich it({p}) {p“ n e N}.
Für eine beliebige Teilmenge Pvon JP setzten wir nun
=
p(P):=
0
Dass 0 und 1 inp(i‘)liegen, ist offensichtlich. Es seien
und b
haben wir ci
ci 1,
‘.
Da das Produkt
ix
—
=
mit
=
+
lI
und r, s e it(P). Es ist a ± 1,
ii, v e
ll
und
1 im Ring p(P
). Es genügt nun nachzuweisen,
1
nic/il im Ring p(P,) liegt. Angenommen,
dass
1 e p(P).
p
ja
1
ja
ja
in e
für je
it(P) und jedes n e Z im Ring R, sodass also
1? gilt. Da natürlich!? c p(I‘) gilt, haben wir so
p(P)
=
p(P) und sind
fertig.
Zum Abschluss des Beweises von Satz 1 ist noch
nachzuweisen, dass p : P( P) — U
1 ein Verl,anclsisomor
phismus ist: Die Implikation P
1 c P,
1 ) c p(P,) ist
p(P
offensichtlich. die Umkehrung erhOlt man über die im
Lichte des Beweises von Satz 2 korrekte Implikations—
kette pci
1
3
)
1
ep(P
± ep(P,) poP,.
p
Die via p : P(]P
-
)
—5
-
1 gevonnene Klassifikation aller
U
Ringe in U
1 emöglicht auch eine VerschürfLing von Pro—
position 1 für uni/dec Ringe dahingehend, dass ver
schiedene Ringe in U
1 nicht nur als Ringe, sondern be
reits als cic/clitii‘e Gruppen nie isonioipli sind,
Proposition 2. Sind 1? und 5 i‘erscluedene nnildre
Q, dann ‚gil7/ es liei,ue bi/eI?/ii‘e—lI2bilduuui,g
R
5 so. dass p(ci + 5) (p(dl) + (p(la) /fir alle
7bilrio,ge Ion
=
—
di.
/2 0
1? ‚gilt.
Beweis. 0. B. cl. A. sei p e p(R)\ pI(!) In jeder acl
6‘ mit ‚g e G ist p‘ := p +... + ‚g mit p
Summanclen. Ein Gruppenisomorphismus ( :1?
5
clitiven Gruppe
—
Dann gibt es ein a e B und Primzahlen
p in der Menge P, dergestalt, dass
ci
bzw.
=ci
—=
des
natürlich in (P)liegt, lie
gen die Zahlen a ± 1, und ci 5 in der Menge p(P), womit
p(P) e U für beliebige P c P nachgewiesen ist.
Nun seien P und P, zwei verschiedene Teilmengen
von P. Wir wollen zeigen, dass stets p(P) p(P,) gilt.
Ohne BeschrOnkung der Allgemeinheit sei P
1 \ P,
0
angenommen und gleich eine feste Primzahl p in P
1 ge—
wühlt, die nicht in P, liegt. Dann liegt per definitionem
die Zahl
(P)auch im Ring R. Dann liegt aber auch
mit]?
in
und behaupten, dass p(P) stets ein Ring in U ist.
ci, b e p(P). Dann
in E
Menge B
=
{x eS p .x
‘x eR px =(p‘(l)} in die
i} :Il2bildIen. da
=
(p.i‘)= p.(i‘)füri‘ ei?. Wegen eR\Sgilt jedoch
A 0 LInd
1 B
0.
ja
...
würde die Menge ii
=
gilt. Letzteres heißt aber, dass die Primzahl p das Prim—
zahlproclukt Pl p,‘Ieill, woraus Ja j.
1 für irgendein /
ftdgt im Widerspruch zu ja P, D {
Nachdem wir gerade die Jnjektivität der Abbildung
1 bewiesen haben, ergibt sich die ge
p :PQP )— U
wünschte l‘olkldnd/,geKlclssi//L?alion aller unitüren Teil—
ringe von Q nun aus dem Nachweis, dass p surjektiv ist.
dass es also zu jedem Ring 1? e U
1 eine Menge P c P
mit R p(P) gibt.
=
‘‘‘•‘
=
4.
Die allgemeine Klassifikation
Für einen beliebigen Tcilring 1? von Q definieren wir
seinen uni/diva /l/scldllss 1? als den kleinsten unilüren
Teilvon von Q, der 1? umfasst:
Ä‘:=fl{LeUjR cL}.
Es ist kl:u‘, dass i e UI für alle 1? e U gilt. Ferner gilt
natürlich 1? D 1? für alle 1? e U sowie 1? 1? für alle
. Beispiele unitürer
1
1? e U
1 und 1? 1? für alle R e U\U
Abschlüsse von nicht unitüren Ringen liefern die Ringe
=
Satz 2. EsiliU ={pQ)i‘ c iP}.
Beweis. Es sei Rein Ring aus U
. Im RalIc R
1
haben
wir!? p(0). Es sei also R Z. Dann seien in der Men
ge P genau die Primzahlen zusammengefasst, die im
Nenner der ‚gel,n‘)izlen DcosIellanj irgendeiner Zahl in
R auftreten:
=
p
P2a,b e
B:/2
>0
A
ggt(a,b)
ei?
1
A
PIa}
Es sei nun p beliebig in P gewühlt. Dann gibt es
a. c e B dergestalt, dass ci und c teilerfremd und keine
Vielfachen von psincl und
=
in !?liegt für einen
r
(p“c)
positiven
r
Exponenten
ii
e B.
Dann
liegt
auch
(mod p)
p
nach x (modulo p eindeutig) lösbar ist, gibt es x. 5 e
mit cix
=
1+7. Mit
=
liegt auch
12
p
wegen B c R liegt somit
.P
halten wir daher, dass
=
—
in R und
j)
5 in 1?. Insgesamt er
P
1 für jedes p e P im Ring R liegt.
12
Da R ein Ring ist, liegt dann automatisch
für jedes
In
Wissensch:IItIictie N;IcIirirIIicn Nr. 131
mit in e N, wo natürlich stets
iii
‘
=
gilt.
Lemma 1. Es sei i? ein I2e/ie/augerRiul,g in U. Dann is/
R identisch mii dein hing
‘J
1? + Z := {r +
r e 1? A z e B}. Insbesondere ist dler
Teilrio,g 1? ion!? ein ideal mi i?mn,g 1?.
Beweis. Offensichtlich ist 1? ±B ein uniüircr Teilring
von Q,der Rumfasst. Somit gilt!? c 1? + B. Es muss aber
auch 1? D 1? + B gelten, dla für R c L e U
1 und beliebige
r e 1? wegen
c L auch dIle Zahlen r + z für alle z e
in L liegen. Dass schließlich l?ein ideal in!? 1? + Z ist.
alsox‘R c Rfürallex eR gilt. istvia(r+z)s ix+zs
für i-, s c J? undl 2 e wegen is e 1? und zs e 1? klar.
Als Konsequenz von Lemma 1 können wir daher fest
stellen, dass /eclerTeilring von
ein Idecil in irgendei
nem an/Ideen Teilring von Q ist. Die Familie aller Idleale
in Ringen aus U
1 ist identisch mit dler Gesamtfamilie U.
\Vie schauen nun dlie Ideale in unitOrcn Ringen konkret
aus? Triviale Ideale in einem Ring 1? sind immer 1? selbst
undl {0}. Im Ring
gibt es keine weiteren ideale. Im
Falle
L e U
1 kann man jedoch stets unendlich viele
Ideale von L sofort angehen. Es sei P c 12 so gc\vühlt.
dlass L
p(P)gilt. Wegen
!. gilt P
P und dlalier ist
=
in 1?. Da die Kongruenz cix
=
in
JuIiAu+IsI 2005
=
Q
Q
=
Q
Q
37
1I = it(]P \P) eine unendliche Menge. Dann sind
in L (in
w) paarweise verschiedene Ideale im unitti
ren Ring 1. Dass dies neben {O} bereits siimtliche Ideale
im Ring L sind. zeigt der
Satz 3. Es sei L ein ‚‚nitörei‘ 7i‘ilring i‘oii Q und
IP so geu‘äIiIt, dass p(P) = 1 gilt. Ferner sei
7t(P \ rj. Dann ist
{m.L. in eJI}u{{o}}
P
.1!
(1W Familie aller Ideale mi Ring L und es gilt stet
in L n• [/Yir remscliiedemie in. ii e .11. Insbesondere ist
jeder nmzitdre Teilring cnn Q ein 1—Ja nplidealring.
Bemerkung. Der Begriff I-Iatiptidealring ist bei nicht
unithren Ringen sinnlos, da {O} R 6 U und R = aR für
ein ei e Rvia a ar automatisch 1 R erzwingt. sodlass
das triviale tcleal R kein Hauptideal in 1? im Falle
{O} R e U\U, ist. Aber auch nichttriviale Ideale kön
nen Nicht—I-taupticleale sein, wie z. B. das Ideal 5“ im
Ring 4‘Z.
Bezugnehmend auf Lemma 1 und die anschließende
Feststellung können wir nun die vollstiindige Klassifi
zierung aller Teilringe von Q als unmittelbare Ronse—
ciuenz voi‘t Satz 3 formulieren.
.
Satz 4.
U= {imt.p(p)P c P
A
in
6
rt(E \P)}u{{O}}
Den wesentlichen Schritt zum Beweis von Satz 3
liefert eIer folgende Satz. Dazu beachte man, dass für
{o} R e U die Menge lt n
und
wegen
a e II
—a e R daher auch die Menge 1? n Pl stets un
eendl ich ist.
Satz 5. Es seiR
{O} ein Ideal im iiilildren Teilriitg L
!lmld ö die blei, iste positit ‘c Zahl in der A lemige
1? n. Danit ist 1 clerii;ntäreAbschlmiss in,? R tincles
giltR = öl.
Beu‘eis. Im Falle 1? = 1 ist ö = 1 und wir haben
öL 1? = 1?. Allgemein haben wir jedenfalls ö L c R,
da 1? ein Ideal in L ist. \Vir zeigen nun lt c lt ‘1. Es sei
Q
.
also r eI? beliebig. Wegen 1? c L gilt r
für
=
ii e
ni
undl in 6 it(P) mit 1‘ p‘ (t) c P. \Vir erreichen das
Ziel r e lt L mit dem Nachweis, dass bein Teiler von mt
ist. Division mit Rest in Z liefert mt = ös + 1 mit s, 1 e
und 0 1 < lt. Wenn zwingend t = 0 gilt, sind wir fertig.
Es kann aber gar nicht 1 > 0 gelten, denn sonst liegt
1
ml
ii
5
s
=
lt
\\-egen
= r e 1? und 1,‘
6 lt L c R im
nl
in
in
in
iii
—
—
38
—
in R, aber zugleich auch
in‘
in
01
das steht wegen 1 < lt im Widerspruch zur Wahl
von lt als kleinste positive Zahl in R n
Es gilt also tatstichlich allgemein R = lt. LDa speziell
Rnach Lemma 1 ein Ideal im unitüren Ring R ist, gilt cIa—
her R = lt 1?. Aus lt 1? lt 1 folgt aber selbstverstiind
lieb sofort R = L. womit der Beweis von Satz 5 abge
schlossen
ist.
Um schließlich Satz 3 zu verifizieren. sei L ein belie
big vorgegebener tinitürer Teilring von Q. Trivialer—
weise ist der Nullring {0} ein Ideal in 1. Es sei
P = p‘(L) c P und P‘
: \ P. Mit dem Nachweis der
folgenden drei Punkte sind wir am Ziel:
Ftira/le ni e lt(P‘) ist in. L ein Ideal iii L.
(lt
Ist 1? {O} ein Ideal in 1 timid lt nie iii Satz 5. dann
giltlte7t(P‘).
(2)
Für in. ii 7t(F‘) gilt n -1 = mtL nur dann. u‘enil
(3)
= ii.
Punkt (1) ist selbstversthndllich richtig. Es sei lt wie in
= in ii mit um 6 lt(P‘)
Satz 5. Nun kann man natürlich lt
—.
5. Die Ideale eines Rings rationaler Zahlen
=
. Und
undl
Man beachte dabei, dass stets 1 e t(P \ P) gilt. So
dass also Satz -i eine kanonische Erweiterung von Satz 2
dai‘stellt.
1011
Ring R. Dann liegt t
1
ii e
(i‘) schreiben. Es liegt
1. \voraus soh rt lt
=
=
/‚‘‘L
1 in
=
1 und somit gilt
m L folgt. Wegen
ml
6 L liegt m in R und kann als positive ganze Zahl daher
nicht kleiner als lt sein. Da iii ein Teiler von Lt ist, folgt
ni = lt also lt 6 it(J“). womit Punkt (2) erledigt ist. Im
Punkt (3) zu besdiligen, gelte in‘ L = ii‘ L für
in,n c Jt(I“). Wegen 1 eI liegt m in mtL und somit gilt
1
in
=
mit 0
n
ti
e
und
i‘
Aus timm
e
=
mlii
folgt,
dlass mi ein Teiler von tut ist. Da aber rund ii teilerfremdl
sindl, muss mi ein Teiler von in sein. Atlsgehendl von
e mii ‘[bekommt man analog, dass iii ein Teiler von 1?
sein muss. Ergo gilt itt = im.
I3einerltiimig. Ist 1? ein Teilring von Q. dler nicht unit1r
ist, undl 1 {0} ein Ideal in 1?, dann ist wegen!? 1? +
der Ring lauch ein Ideal im Ring 1?. Ist lt, bzw. lt
. die
1
kleinste positive Zahl in 1 n bzw. II n
so haben wir
1 = lt, R und 1? lt,. R. Mit analogen Argumenten wie
‚
‘
‘
vorhin erkennt man sofort dass lt
eine ganze Zahl
ltj,.
sein muss. Wir bekommen somit dlie dein unitüren Fall
entsprechendle Ideal-Darstellung 1
lt lt. wobei jetzt
allerdings dlie ganze Zahl lt nicimt nntmi‘emtd4g im Ring 1?
liegt. (Als erbellendles Beispiel betrachte man das Idleal
8 und das Ideal 16 Z im Ring 4
=
nscl,m‘i/) k‘s 1 ‘e;jimssc‘ms.
An.
tJniv
—Pi‘of.
‘\h,i.t. L)r. Gerald
t[nivursidil für t3,idenkultur,
Kuh,,,
1 iSt)
tnsütut für t:,rI,e,uatiI, der
\\‘‘ien
\VjssenscliHftlj(‘Ime N,,cI,i‘iclitcn Nr. 13-m (lili .-\uIsm 2005
Aufgaben
W‘a/t/ierJa,ions
AifgabeNr 115.
Einsencleschluss tOr Lösungen (bitte in iibersichtli
ci, er und gut lesbarer Form unbedingt getrennt
nach Aifgaben [!D 3. April2009.
Zuschriften erbeten an Walther lanous, WRG lJr.suli—
nen, FLirstenweg 56, 6020 InnshrLlck (oder Schneehui‘g—
gasse 169, 6020 Innsbruck) bzw. WORD-lesbare Do
kumente an [email protected]. [Bitte dabei
NUR einen lzonipa/ililen Formel —Edf/nr zu ver\vendlen!]
—
a) Das Viereck AB6D besitzt einen Lmkreis. ist also
ein Sehnenviereck. Die vier Dreiecke AABD. ABC‘A,
AC‘DB Lind DAC haben die Inkreisradien rA,
ä•
bzw.
,r
1
r
,
0 gilt, cl. h. 0
r+r
Man beweise, dass cA +
und rD Seiten eines Tangentenvierecks sind.
‚.
.
b) Es sei Pein Punkt im Inneren des Dreiecks AABC,
durch den die drei Transversalen -1L. BEund CFverlau—
fen. (Dabei liegen die Punkte D. E und Fauf den Drei—
ecksseiten BC Cd bzw. riß.)
Die Flächeninhalte der drei Dreiecke AI‘DC, APBD
und APFB sind F
. F. bzw. F(.
1
\lan bestimme den Flächeninhalt [von Ar1BC in Ab—
hängigkeit von F, F, und r
(Aus dem alten Japan)
c)* L Open—end—Teil‘i Man versuche, obige Fragestel
(W. j.)
lungen zu verallgemeinern.
A uJabenvorschläge (samt Lösungen), Anregun
gen, Kritik usa‘. sindjederzeit u‘il!kom,,,en.
lass
kl n ich ‘i:ii .d 1 ‘i 1
erneut :iulcvl ei 01: cii :0 irr 1u!
. 1.,
meines
cmlii Ii
.11.1
ol ir
k iii ‘1 1 ).Iir‘i 1
iii r‘i ‚ii le
lehen) l‘(
id .\dresen) \ cl III ii 1 ‘i 1
indere ‚hIc
l:i ii
1 ll ist s ar es liii‘ nicht
(1k‘
gen oi
111 ii 1 iiii
711 \ ‘nsi 1
‘ci i
1 i‘iO‘ 5 c \\ je
‚Ii ii
Ii ‘ooii,il 1
inc .11k‘
In Iiii‘ 1
h
Inc
liii
i
hr
1 itr‘i‘r‘eiiir‘ii
1
Go (L‘Ih*‘iI/r‘ili‘ ii ii:. 1
.\rIieseii
1
eid er ii‘
‘
(:0(1
‚
.
:‘
..
‘
‘
AzfgabeN 116
(x,
v“
‘
‚
1.
!
ii‘
ji
=
s
‘
j
l,ö
1 )iijin.isIi‘i In) dcii I)r‘i)i:iur‘iii /11 1
‘i (‘Igel (cli 1: ii
1:: ii
‘ii der 11)111 1
Icr‘l 1 ‘ii
‘
* .(. ‘(
Differenzungleichungen der Art
0 /l‘[,(X, )‘)—iI,(x,
v)
(1)
C,
bei denen der konstante Faktor C nur von rund sah—
hängen und möglichst klein sein soll.
Man bestimme für gegebenes sclie kleinste Zahl t().
sodass für alle r 11(s) die Ungleichung (1) erfüllt ist,
und zwar
a) fürs —1 und
b) fürs 1.
c)* [,Open-end-Teil‘] Man betrachte diese Fragestel
lung auch für andere Werte von s.
(Mei-Hui Fang, Wien, und W. J.)
=
=
Schließlich noch das Quickv Q19.
i) Man bestimme alle natürlichen Zahlen ii. für die
gilt: Es gibt n natürliche Zahlen. deren Summe gleich ih
rem Produkt ist.
ii) Man bestimme alle natürlichen Zahlen ni, für die
gilt: Es gibt in ungerade natürliche Zahlen, deren Sum
mc gleich ihrem Produkt ist.
(Trad.. mitgeteilt von Gerhard \VOEGINGER,
TU Eindhoven‘NL)
[Zur Erinnerung: l3itte zu den Q—Aufgahen keine Lö
sungen an mich zu schickenH
‘S‘issenscliafrliclie N:iclii clileii Nr. 1.‘j juIi/Augusi 2005
‘
.
KllcgInneiliIiillRlllei‘iiilii‘r‘l‘iilws‘lI.slliiccli.
1
ii 1
.. 1 1
1
.I1‘i/ien‘ ‚ilii r‘ 0(1(11
1
iI,o sich
licljcli 1
(IllIhl
.
(.‘+
‘.
.
\hI:I,k‘),iio‘,I,.J.dasslihlr,Ilr‘
/cv/‘\\\.
Wir betrachten für clasp-tc Potcnzmittel von zwei be
liebigen positiven reellen Zahlen .c und r. also für
.‘
Lösung der Az(fgaben aus WN 131
Gidi/August 2006), p. 3 7
Struktur ion Permutationen
Aufgabe Nr. 109.
a) p(n, k)sei die Anzahl der Permutationen der Ord
nung n, bei denen genau k Elemente ihren Platz hehal—
tcn.
7 und man zei
Man berechne p(7. k) für k 0, 1
2)für n 2 ein Binomialkoeffizient ist.
=
ge. dlass p(n, n
—
b) Für p(n, 0) gibt es keine geschlossene Lösung.
doch es existiert eine Summenform.
Man beweise die Darstellung p(n. 0) n
‚lt
Man zeige mit Hilfe dieser Formel. dass es für die Fol
ge {p(n. 0). ii i} eine einfache Rekursion gibt und
dlass immer p(n, 0)— p(n, i) 1 gilt.
=
Weiters gilt p(o, k)
p(n
=
—
k,o).
c) Unter der Struktur einer Permutation verstehen wir
z)
,z
1
hie Aufteilung in einzelne Zyklen. Mii s(z
bezeichnen wir die Anzahl dler Permutationen, die ans
und z, aufgebaut \\ erdlen
Zyklen dler Längen z .
(mit
i). In einer Struktur können Zvkluslängen mehr-
39
fach vorkommen und ihre Reillenk)lge spielt keine Rol—
le. Es nuiss nur
—
‘
ii
und claruis schlieilich
gelten.
p(ii, 0) =
1
=
(—i)“
ii! + n
‚
wie hehaup
tet.
l3eispiele für 11 = 4 sind:
.(2 2) = -i n imlich 214—
• ‘\us
02 ±2l
s(i) = 6. nhmlich 2i 1. 2-i 13.3142, 3t21. -1123. i312
s(i, 1,1. i)= 1, n3mlich 125-i.
dem
/)
p(ii.
folgt
Cc7cL,ten
“p(;i
—
unruittJb u
Li. 0). denn man kann die i Fix
(‚
Man bestimme alle mö‘Iichen Strukturen der PermLi.
punkte aut 1
Arten festlegen; unter den verbleiben—
tats nen zur Ordnung 7 und berechne deren Anzahlen..
t /?
( Kurt WAGKER, Klaenfcirt,
den ii — /—Lahlen dorfen aber keine weiteren Fixpunkte
Altiedaktecir der \X iss. \achr.)
mehr au treten.
d). [‚ Open—cnd—idi/i Man uniersuche rIas Struktur—
• Auberdem folgt aus p(ii. 1) ii p(n —1, 0), dass
problem auch tor Permutationen anderer OrdnLlngen.
i)
p(n. i)
ist.
.(n —1)!
-
-..
.
...
(
.
Zuschriften sind
eingegangen von:
Deshalb erc‘iht sich p(n 0) — p(n, 1
.
‚
Johann BRANDSTETTER (Vorstudienlehrgang der
Wiener Universikiten), Herbert [-IAMEINER ( (3allneukirchen). \V. j., Gerhard KIRCHNER 1 [nie. Innsbruck),
Wolfgang KIRSCH E\T-IOFER ( I-lerzogenburg). Kurt
SCI-IOISS\VOHL (Innsbruck. johanna l‘IBAUDO (Inns
bruck) und Otto \OGL (Linz;.
• \Vir beweisen zuerst die in b) aniegehene irmel
tur /i(n. o). die offenbar erstmals von Euler angegeben
wurde: p( ii, ü) ist die Anzahl dci fixpunktshcien Permutationen der Ordnung n. ( Die grundlegenden Ileweismeth( iden für derart ige Forme] n sind das direkte
Abzihlen. die Angabe und I.oung von Rekursionen
idcr der Einsatz erzeugender Funktionen.)
\\ir \vdhlcn den \Vcg des direkten Abzjihlens.
Dazu seien .V = {i, 2
n} und P die Menge aller
ii! Permutationen auf V,,.
Wir betrachten für)
n die Mengen F c P,, aller
Permutationen p. ftir die p(/) = L‘ gilt.
1 .ann ergibt sich die Menge Q aller Pcriiiutationen
mit wenigstens einem FixpLinkt als VereinigLing der ii
Mengen F
,.
1
Um ihre .\Licliiigkeii zu bestimmen. verw enden wir
dlie InklusO ms—ExklLisions—Formel in allgemeiner Form.
die sich als natürliche indukii\ e Verallgemeinerung der
whlhekannten F rmel
Au 13
+ 13 - .4 n 13
=
\
1l
( )‘
= (—1)
= 1.
„
• Für die Folge {p(n, 0),n i} erhalten wir aus der
expliziten Darstellung die einfache Rekursion
0)
/I1.
‘
Damit erl alten
-i
(_)“‘
Ii
1 O)+(—1
)i‘ian—
(
• \Veil
von
der Beginn der Reihencntwicklunu
in
ist, erhalten w ir
—
1
p(o.
—
e
o)
—
(—i)“‘
ii!
=
in.
*
m.
Für die hier auftretende aliernierende Reihe gilt (we
en
±>±>±>
1
‘
2!
3
‚
o
(—i)‘“
o!
(—i)
>f
<
j
—.
11
i(Iie)Yide
(n+i)
iii!
>
L
ii
(n+1)!
)IL)l icI erhalten v jr
• für ungerade
= [n!j
p(n. it)
Ii:
<
—
ii +
C
i
• für gerade
1?:
<
e
1
p(;i,
p(n. 0)
<
also
1
o) <
1
+
e
1
n+1
also
P(nO)=Hj+l
+
F nF, nF+-
-(-i) F
nF
Dies Lisst sich zur geschl( osenen Darstellung
Für die auftretenden Summanden gelten
{p e
=
F
1
F
p(‘)
6
=
P
=
=
p(n, 0)
e
= (n
—
P
: p(i)
=
i und
3)
/‘(/)
1 und
und
p(f)
=
=
(0
-2)!.
.
..
/ und p()
=
n F,j
=
=
0
40
—
(—i)“
(n
— Ui)!
)=
n[[(n_I)!j
0.
(
=
=
• p(n. ii—2)
—ii!
(—i)“
*
1+(lr‘
• Nach diesen fiberlegungen erhalten wir für a):
1 )eshialb ergibt sich
=
zusainmentassen.
+
• Insbesondere hat man allgemein
:pQ)
p(;i,
=
—
(n_1)!.
F nF
nFj=
1
=
ii!
=
ist
=
in
-
p(2.
1
o —2)
o).
dl. h. mn p(2.
o)
=
1
p(n, n—2)=
\X/issensch:itiliclie N:cctiiicliien Nr 133
JccliAugusi 20011
k
• Die Werte von p(7, k), 0
7, lauten
ö
p(7,L‘)
0
1
1854
1855
2
924
= 504
s(1,2,2,2)= 105
s(i, 2, 1) = 630
s(i, 1,5)
s(1, 3,3)
-
s
6
r
—
70
s(3,4)= «t20
s(7) 720
Die Summe aller 15 \Verte betrügt 5010
21
0
1
7
• Bemerkung. Weil die Summe aller p(n, ‚0),
0 k
gilt:
ii,
p(n, k)
die Gesamtzahl aller Permutationen ergibt,
=
-
k, o)
=
-
k, 0)
/2!
k)
Daraus erhalten wir mit der oftmals sehr nützlichen
die besagt, dass für Zwei zahlentheo—
retische Funktionen/und ‚g die Aquivalenz
liii ‘eizioiis/bnnc/,
g(n)
“(-i‘/
=
(/)
.f(n) =
gilt vgl. etwa [31, p. 192 f.:
Mit ‚(;i) = n! und f(I) = (—i)‘
—
p(n,o) = (-1)“
“(-1Y‘k!
p(i, 0) folgt
k
o.
lii.
Lisst
(‘i
-l
• Für c) und d) bemerken vir lblgencle sehr wichti
gen Zühlergebnisse für Partitionen von Mengen und
Zykluszerlegungen von Permutationen (mit Verweis
auf etwa [2]. Paragraphen 8 und 11. oder [4], Chapters 13
ancl 37):
• Die natürliche Zahl n soll eine Darstellung aus I?
natürlichen SLlmmanden iii,,..,
besitzen, d. ii. es gilt
1 )ann
7!)
• Ein weiteres Problem. das für l‘ vollstündig gelöst
ist, besteht in der Bestimmung der Anzahl z(, 1) jener
Permutationen, die aus genau ?? beliebigen Zyklen be
stehen. (Dabei ist 1 1,? n)
Entsprechend lüsst sich auch die Anzahl aller Permu
tationen in !„ bestimmen, die aus kechten Zyklen,
cl. 1
t Zyklen der Minclestltinge 2 bestehen.
Für viele weitere Fragestellungen im Umfeld der vor
liegenden Aufgabe verweise ich auf die Referenzliste.
Zum Schluss stellt sich „natürlich“ die Frage, \vic viele
verschiedene Strukturen es in P,, gibt. cl. lt wie viele
Partitionen eine natürliche Zahl ii besitzt.
Dafür haben T—Iarcly Lind Ramanujan im Jahr 1918 die
berühmte asvmptotische Formel
p(ii)
=
dO
fl =
280
s(i, ö) = 840
s(2, 2,3) 210
.s(2, 5) = 504
315
3
4
=
sich die Menge X,, auf genau
be\viesen.
Literatur:
111 C. 0. r\n.Ili.‘\\ s & Id. Oriksst n, I,ik‘cg‘r I‘ar/ilin;is. C:imhridu
niv. Prcss Ca inItridgc 2001
1211. I‘I:ichsnicvcr, Knnibina/nril‘. Dt. vIg. cl. \Viss. lk‘rlin 1972.
131 0. 0. (3 rah:im. 1). 0. Knut 0 & 0. Patashnik, Cn,icn‘Ic ‚IkilIc‘uin—
1/es. Adclisk ii-\Veslcv I‘uhl. 0 mp. ltcacling. MA .3“‘ print ing
1989.
Iii J. II. vati lift & lt. M. Wilson, ü,tie /n C0,u0iualu,ics. Cani
Orkige Univ. Prcss Camhrklgc .3“ print ing 2002.
151 litip:.
niathwoIIdI\vnlh‘:im.o)InI‘:Irntinnl‘Llnctinnp.IttmI (samt
vielen weiteten I.ink-Vcrxveisen)
ii!
‚i!‘
o,!
Doppelt unendliche Reihe,,
t 3“J, darstellen, so—
Arten in der Form
= 1/1
dass die Mengen t[
/1
paarweise clisjLinkt sind
und
= n,,1
/ ‚0, gilt.
• Die natürlichen Zahl ii soll in ‘0 Summanden 1
L, Summanclen 2,
und /:Summanden n
AzfgabeNr. 110.
‘...,
. . .
(I?,
„...‚
/
0) zerlegt sein, es gilt also
a) Es soll v
> 1 eine beliebige reelle Zahl sein.
Man bestimme den Wert der doppelt cinencllichen
Reihe
2“
ii
1+x
Dann gibt es in P,, genau
‘
b)* L, Opeo—c‘iid—7}‘iI‘! Man betrachte ‚analoge Rei
1?
! •2‘ 1:,!‘...
hen
‘i‘“
verschiedene Permutationen. die aus Zyklen der Lün—
ge 1, /?‚ Zyklen der Ltinge 2
und I: Zyklen der Lünge
o bestehen.
Damit lassen sich die einzelnen Strukturen für P_ und
ihre Anzahlen bedluem bestimmen. ntimlich
s(i,1, Ii, 1,i.1)= 1
O()
i(. 00), in denen z. 13.
streng monotonc Funktion ist, die
für ii —s o erfüllt.
+
:Z
Q eine
1)— ‚g(n)
(\V.J.)
—
Zuschriften sind eingegangen von:
Johann BRANDSTETTER (Vorstudienlehrgang der
Wiener Universittiten), Franz GAMMER ( BG 19
BiO—
rothstraße, Wien), 1—lerbert l-IAMETNER ( Gallneukir—
ehen), W. 1. Gerhard KIRCHNER 1 Univ. Innsbruck),
Wolfgang KIRSCHENHOFER (l-letzogenburg), Martin
KREIDL ( liniv. Innsbruck IStucient] )‚ Otto FRETcI ( Ill-IAR
St. Johann im Pongaci 1, Kurt SCIIOTSSWOl—ll, 1 Inns
bruck) und Johanna TI HAItI )O (lnnsl ruck).
—
s(1, 1, 1, 1,1,2)
=
21
s(1,1,i,i,3)=70
210
s(1, 1, 1,2,2)
s(1, 1,2,3)
105
420
=
Wisscnsc‘haltli,-hc N:ielirirltten Nr. 131
PiiliAugust 200$
41
11
• Für die Lösung des Teils a) zerlegen wir die Summe
S(s)in zwei Teilsummen, nümlichS(s)= S
(.v)+S(s)
1
2
2__‚•
und 5(s)
1+s
1+s
Um die zwei dinendllichen Summen zu berechnen be
stimmen wir Ausdrücke für die entsprechenden Partial—
mit S(s)
=
‚=
sdlrniyien.
\
• Für.\
0 soll
(s)
sein. Die ‚eigen
1 + .v
artige“ Struktur der auftretenden Nenner und die Identi—
tüt
(s_i)(s+i)s+1)(v‘ +i)...(s ±1)=s2“
1
legen es nahe. den Summanden ..dazuzusehwindeln,
s1
•Aus
zu betrachten. Wenn man die ersten
1
Werte I‘ür .\‘einsetzt. erkennt man schnell folgende Dar
stellung:
„=1+s +s-‘
Wie zuerst erhült man für die zwei Partialsummen
‚
• Mit analogen lhierlegunieii erhült man Ihr die
2
Partialsumme 5, (.v)
das Ergebnis
l+.v
2
1
.S, (s) =
.v—1
x
—1
‚
—
\Vegen hrn
=
.v
—
hrn
hu
1
—
Regel von l‘T-lospital hrn
v s‘ —i
—
1
erhalten wir mit der
1
=
1
=—
‚.‚
1
+
.v‘
+
.v‘
.v
—1
5—1
)
. (.v)
Ins
s—1
„1+.v‘ +s
s —1
Daraus folgt nach kurzer Rechnung (mit n
*‚ cl. h.
lnx
Ins
1±s +s•‘
-
Mit 2T()
‚
+2.v
‘
1
also
Ins
Ins
1 + s + s‘
u ncl der weiteren P.rtialbruehzerlegung
20,2+4
u‘+2
2—u‘
=
+
erhalten wir
ii“ + u‘ + 1
ii‘ + i(‘ + 1
ii‘
ii‘ + 1
„=
‚
—
‚
Dies Lind (“4 weisen in die Richtung lolgender
Vermutung. Für a e {2, 3, 1
}
und .v
>
1 gilt stets
je
2
also
3 Ins
cl. h.
Zum Schiuss noch die Lösung der Aulgabe Q18 aus
dem letzten Heft der ‘WN:
Man bestimme den \Vert der Summe .s(2)
• \Vir betrachten nun einige weitere Reihen, bei
nen s > 1 gelten soll (Tibaudo und \X‘. .1.).
=
ln.v
)
—
Beitrüge dazu verclen gerne in den WN veröffent—
licht!
*
Ins
• Wegen s(x3)
1
—
.
also:
—‚
.v—i
• Folglich haben wir 5(s)
2“
1
„1+s2“
‘.
-
—
s
—1
die man unschwer durch vollst.indige lnduktioii verifi
ziert. (Zu dieser Darstellung gelangt man auch, wenn
man die l3inürentwicklung der Exponenten von .5. (.v)
beim Erweitern auf den gemeinsamen Nenner herüc‘k—
sichtigt.)
Deshalb eihalten wir wegen uni
= ((. dass
—l
S(.v)= umS
1 \(.\)=gilL
Ins
p reell,
3“(2+s‘
.v—1
-
u‘—ii‘+i
T(s)ee
(s) ±
5
°‘—,
lassen sich viele Formeln für b—l gewinnen.
Ins
• Wir betrachten nun eine grunclsützlich andere dop
pelt unendliche Reihe mit den ‚wesentlichen“ Expo
nenten 3“ an Stelle von 2“, nünilich
T .(s)ee
cl. h
1L±+
_
u‘+l
-__‚
‘,=
tU‘+b
bU
1+(.V)
dc—
.1
*‚ also
Wir haben s(2)
=
=
$ Ins
=
und der allgemeinen Partialhiruchzerlegung
1
2—u‘
3
=
+
ergibt sich
± 1
u‘ + 1 (i‘ —0‘ + 1
‚V
wobei VQ die Menge aller positiven ganzen Zahlen ist.
die keine vollstüncligen Quadrate sind.
Wie lüsst sich diese Fragestellung verallgemeinern?
.
—
(2)-(4). cl. h .s (2)
=
Ganz entsprechend ei‘hJIt man für die Summen
—
s(p)
=
.
je.\J‘(/‘)
wobei .\P(p) die Menge aller positi
.1
—
3 Ins
In .v
‚._
—
‘
‘,d.h.
1
yen ganzen Zahlen ist, die keine vollsüincligen p—ten Po
tenzen sind. p 2: s(p) =
+
(*)
=0
—.v +1
• Entsprechend erhüht man aus der l:i rtiahbruchzerle—
gung von
F( )rmel n.
42
2A+1
*1
1
—________
+
1
—
———.
ii +
1
.V
1. weitere allgemeine
Für gerade p lassen sich diese Summen explizit in der
2PBr
2 I;
Form s(p) =
angeben. Da—___________
—
——
‘,‘
bei sind B, die l3ernoulli—Zahlen.
Man vergleiche dazu etwa littp: rnathworlcl.
wolfram.coiu RiernannZetaFunction.htrnl
\\issensc[iifttichu \:icliikhic‘ii Si 1$.i
lili
ALIi.(u.[
21(1)0
PHYSIK, ASTRONOMIE
T
Dr. Christian Wolny
Lichtwege: Spiegelung, Brechung und
Luftspiegelung
fJc‘lniiil Brioiizer
Nach dem Fermatschen Prinzip folgt Licht dem Weg
zwischen zwei Punkten, auf dem es die kürzeste Zeit
braucht. Diese Extrem\vertaLilgabe bietet sieh für den
inierd isziplinh ren ( Interricht Mathematik Physik an
\Xir betrachten drei Standarclaufraben dazLl. die Spic
gelung. die LichtLrechung und die Luftspiegelung
(Lichtweg im inhomogenen Medium). Mit dem Solver
von Excel lassen sich diese Themen numerisch behan
deln.
ischen rl und 13*
Schnittpunkt der Geraden
Achse. Eine kurze Rechnung liefert:
mit
der
.
(2).
(1 + C
2. Lichtbrechung
Die .v—Achse sei nunmehr die Grenzlinie zwischen
zwei Medien mit den unterschiedlichen Lichtgeschwin—
digkeiten
1‘, > 0. Gesucht ist der Lichiweg zwischen
den Punkten 1(0. u) und 13(b, c), wobei 0, l, c > 0.
Der Lichtstrahl (Abbildung 2) geht geradlinig von .1 aus.
iriflt hei X aul die Grenzlinie, hndert die Richtung und
geht von ‚Vaus weiter geradlinig zu 13. Die Position von
Vermittelt man durch die Lösung der Exireinwcrtarifga
17e (3).
‚‘,
1. Spiegelung
—
Die .Achse sei ein Spiegel. Gesucht ist der Weg, den
ein an der .Achsc gespiegelter Lichtstrahl zwischen
den Punkten l(0. a) und 1i(1. c) nimmt, wobei
CI, b, c> 0. Die Lichtgeschvincligkeit sei für j‘> Okons
lant i‘ > 0. Da sich Licht unter dieser Annahme auf Gera
den fortbewegt (kürzester Weg Z\\ ischen zwei Punk
ten), besteht der Lichtweg (Abbildung 1) aLls den Stre
cken zwischen A und einem Punkt .V(.v. o) aul der .x
Achse. w sie Spiegelung erlolgt. rind der Strecke zwi
scheu .Vund 13. Gesucht ist x, wo die Zeit 7‘zun7 Durch
laufen dieses Weges minimal ist:
7
LV
—
—
+
1‘
A(O,
AB
—
min
(1).
1‘
a)
.
(b,
c)
Abbildung 2. tk Iuhrechun n einer c;r‘nzlini‘.
X
*
lV
\73
1 =—+-—
c + (17
+
—
-4
nun ().
2
‘l
1
in
+.v
=
Differenzieren nach x und Nullsetzen liefert mit den
Al3l3ildLing 2 erkkirien Winkeln:
17-‘-x
c2+(/,_x)
—
Abbildung 1.
t.ichiwrg
hei
cbr spw(tung.
Die Lösung ist aus Al3l3ildlung 1 abzulesen: /3 wird an
\\ egen
der .-Achse gespiegelt, zu 13:.(/,
c).
X73* = A73 löst man ( )‚ indem man den Lichtweg zwi
schen 1 und 13 bestimmt. nümlich die durchgezogen
eingezeichnete Strecke (vgl. mit dem Lingeren gestri
chelten Weg). und dann das Teilstück zwischen .V und 13
spiegelt. Somit erfolgt die Spiegelung bei X, dlenl
—
\X iseIisdl7,if)Ii lic‘ N.ii hiicliic‘n \r. t3i
tiili .\riausi 2005
=
sin(c)
—
sin(13)
=
Dies
ist
0
(-1).
das l)rcchungsgesetz vi in Snellius:
sin@)
i‘
sin(r3)
1‘,
l)rechungsindex.
43
Benieriüioi,g: Die Position von X [isst sich mit (—i) for—
melmüßig bestimmen, wenn man ein Computeralge—
brasvstem verwendet (Gleichung vierten Grades ). Für
die Bestimmung von konkreten Lichtwegen löst man
Aufgabe ) 3) besser mit dem Solver in Excel: vgl. Ab
schnitt -1.
= cl+
Il —(h‘
r
bzw. (.v —d) + .t‘
(10).
Manchmal kmin man an einem kalten See beobach
ten, dass die Boote ZL1 schweben scheinen. Der Grund
ist. dass die Luft in Bodennühe külter Lind somit dichter
ist, weshalb die Lichtgeschwindigkeit i‘ mit der 1-löhe
zunimmt und der Lichtweg gekrümmt wird. Um dieses
Phünomen mathematisch für eine k n krete Aufgabe zu
beschreiben (Abbildung 3). soll der Lichtweg zwischen
-l(0. 2) und 13(3.2) ermittelt vemden, wobei wir anneh
men. dass die Lichtgeschwindigkeit zur Höhe propoi
tional ist (wobei die Einheiten so gewühlt sind. dass (lid
Proportionaliüitskonstante 1 ist);
Die Lösungen sind somit Kreise mit den> Mittelpunkt
bei rlatifclerx—Achse Lind dem Radius 1/k. Die Konstan
ten I? > 0 und cl bestimmt man nun so, dass dlie Punkte
A und B auf der Kurve liegen. Zu den gegebenen Punk
ten A, Bist die Lösung ein Kreis (durchgezogene Kurve
in Abbildung 3) mit dem Mittelpunkt hei x d = 1,5
(grauer Kreis in Abbildung 3) und dem Radius 2.5. Bei
x = 0 ist der Anstieg 0,75. Ein Beobachter bei A sieht
somit das Objekt 13 nicht in gleicher Höhe, sondern es
scheint im 1-limmel zu schweben (Tangente gedachte
Richtung des Objekts). Für (6) erhalten wir den Mmi—
malwert T = ln(-) = 1.38629.
Beniekung Im Sommer kann man beim Autofahren
beobachten, dass sich Objekte an (1er Straße spiegeln.
Der Grund ist. dass sich die Luft in der Nühe des heißen
Asphalts erwümmt. weniger dicht wird tincl dlie Lichtge—
schwindigkeit höher. \Venri man dies mii
(3).
(Sa)
3. Luftspiegelung
Die zu (1) und (3) analoge Summe lür die durchlau
fene Zeit wird nun ein \Veginiegral (6). Die Aufgabe
lautet jetzt, dass ein Weg .v = .v(j‘) gesucht ist, der die
ses Integral minimiert. (Die \X
ahl von y als Parameter
7
vereinhicht die Rechnungen.) Somit ist folgende Aufga
be zti lösen ) mit der Ableitung .v‘ von x nach
‘:
1‘
+
/cLv + d)‘
r ds
J
J
=j
—
dt —5 min
))> ).
f
Die Lösung der Aufgabe F(i‘. .v ..v‘) dv
min er
folgt in der \ariationsrecltnung mii der Eulerschcn Dii
terentialgleicl>ung. Sie lautet für (6):
/1 + (.v‘)
((/S
—
= 0 mii F‘,x .x‘)=
=
modelliert, erhült m:ui wie oben als Lösungen der Eu—
1er—Gleichung Parabeln. Dabei verlaufen i. A. zwischen
je zwei Punkten zwei Liclttwegc: Die zur geraden Ver
bindung nühere Parabel entspricht dein Bild (sie ist die
zeitoptimale Kurve). Die andere Pamahel entspricht dler
Luftspiegelung. Sie ist nicht zeitoptima 1, sondlemn eine
Fxtiemale im Sinn, dass lie Zeit. dlie das Licht braucht.
invariant gegenüber kleinen An1.leringefl des \‘(egs ist
verallgemeinertes Fermat‘sches Prinzip>.
4. Anwenduni von Excel
den oben ermittelten Licl>tweg ohne Variations—
rechnung in Excel zu bestimmen, ersetzen wir den
l.ichtweg durch einen Polvgonzug P,, ) Koordinaten x,,
Lind1
siehe weiße Kreise in Abbildung 3) zwischen A
und 13: im Folgenden genügen 10 ‘l‘eilstrecken mit
A(0, 2) und P> = 13(3. 2). Das zu Aufgabe (6)
1 oge Problem la (1 td‘t:
[3m
(7).
.1‘
Konkret ist
‘,,,
=
0 tuicl 1“..
(8).
=
.3,. 1 +
Wegen (7) ist F, als Funktion in .r konstant, etwa 1.?.
Auflösen von r‘ = I nach x‘ lielert;
dx —
(9).
—
i _(‘. .t‘)
.
‚;11,.uli
T
‚„
=
3s s-
1
=
II
i
1.5
0,5
liii lt
0
3
‘.5
‘hut
2
2.
Abbildung 3. l.ichtxwg )xd der I.uftspimelung.
Das lnlegi:tl von >9) lautet ( Integrationskonstante dt.
44
(ii).
Dabei ist i‘,, ein mittlerer \‘(e it lür die >nicht kon
stante> Geschwindigkeit auf dler Strecke zwischen P,,
Lind
Wir vühlen (mit i von Formel 5):
=
—
min
1
L_
+ .t‘,,
(12).
Dazu erstellen \vir nun folgendes Tabellcnblait (Ta
belle 1 mit der Lösung): In Al ;l 1 beschriften wir die
Spalten: Nummer n, »Koordinate. tK( >ordinate (je—
weils von P,,). Lünge As (des Streckenstücks), (mittlere)
Geschwindigkeit i‘ (am Streckenstück ). Zeit A7‘ (zum
Durchlaufen des Streckenstücks).
Ii Scilte A2:A12 tragen wir die Nummern ii = 0 bis
ii = 10 der Punkte P,, ein. In Spalte B Lind C geben wir
eine Ausgangskurve ein, die der Solver verbessern soll,
zum Beispiel die Gerade zwischen .4 und 11. (In B2:B12
stehen 0. 0
das Inkrement ist 0.3. und in C2:C1 2
tragen wir 2 ein.)
Als zusützliche Kontrolle dIes Verhaltens von Excel
erstellen wir ein Punktdiagramni vom Bereich 132:C12.
Zu jedem Streckensiück herecluic‘n wir nun (bei der
\Vissc‘nso;ti:u))I)rIir N:ttItricliicn
Nt.
131
Lili/August 200H
Enclpunktkoorclinate) die Ginge nach Pytbagoras, Ge—
schwincligkeit nach (12) und Zeit. In D3:F3 stehen da
her folgende Formeln:
=WURZEL(( B3-B2)A2+(C3-C2)A2)
=(C2+C3) 2
=D3 E3
Wir kopieren sie bis in Zeile 12.
In Zelle F13 werten wir die Gesamtzeit i‘mit Formel
(11) aus;
SUMME( F3:F1 2)
\Vir definieren nun mit dem Solver folgendes Pro
blem: Die Zielzelle (fett in Tabelle 1) ist F13, der Zielwert das i\Iinimum, die eründerlichen Zellen (Varia
blen) der in Tabelle 1 fett umrandete Bereich B3:C 11.
Wir lassen dabei die v rgegebenen Anfangs— und End
punkte uiwertinclert. \Vir lassen sowohl die .—Koordina—
ten. als auch die jKoordinaien der Punkte P bis 13 va
riieren, damit der Solver eine genauere Absehützung
eIer Zeit T liefert.
Das Ergebnis sind Punkte (weiße Kreise in Abbil—
dLlng 3), die sehr gut mit eIer exakten Lösung
—3 .s‘ + ‘ = 4 (ibereinstimmen (Schdt7weri für T =
1.3869, exakter \Xert 1,3863).
A
B
C
1
Nr.
.v—t‘.00ftI.
‘-lcooid.
D
F
E
1
2
0
0
3
1
0,36
2.23
0.3
2,1!
0,20
4
2
0,65
2.35
0.32
2,29
0,1
5
6
3
0,9‘i
2.-it
0,30
2,sO
0.12
i
t.22
2,s9
0.29
2,46
0,12
7
5
l.S0
2,50
0.28
2.50
0,11
8
6
t,7$
2+9
0,28
2.50
0,11
9
10
7
2,06
2.
ii
0,29
2,16
0,12
8
2,35
2.35
0.30
2+0
0,12
11
9
2,64
2,23
0.32
2,29
0,1
12
10
3
2
0+3
2,tl
0,20
Zeit 7
1.39
—
2
13
1
1
Tabelle 1. Excel Tabelle (gerundet) zur t.khtivegsbestimmnung.
13e‘nieikti+ig. Bei Aufgabe (Sa ) liel‘ert dieses Tabellen—
blatt, mit anderen Formeln für 0 in Spalte E. den zeit—
optimalen Weg (mit eier Zeit 7‘ = 4,1298 im Vergleich
zum exakten Wert 4,1296) Die zweite Fxtremaie. dlie
nicht zeitoptima 1 ist. findet man so nicht.
itscltm‘i/) des 1 el/assecs;
III I)m 1 lelniut ttrunner,
Kaisem—Er.tni—Ring
22. 2500 Baden
Kurznachrichten
Verborgenes Van-Gogh-Bild sichtbar
gemacht
Mit einem neuen Verfahren kann man Bilder, die spdter
übermalt sx orden sind, wieder sichtbar machen. Ein inter
nationales Forscherteam hat an der Svneh ix )tr( )nst ra h
lungscuelle DORIS bei DESY diese ‘l‘echnik erfolgreich an
dein Geniülcle (övs,grnnd vi n Vincent van Gogh ange
wendet. Die \Visscnsehtl1lcr unter der Leitung der ‘lT
Dell) fandcn unter dicscm lIilcl ciii Erauenportrait.
Es ist bekannt, dann Vincent an Gogh h0ufig seine 3lte—
ren \\ erke (iliermalt hat. Experten gehen da on aus, dass
etwa ein Drittel seiner Bilder mich ein weiteres \Verk ver
birgt. Eine +X eiterent\\ icklung eier Röntgenfluoreszenz—
spektroskopie mit 11 ilfe von Svnchotronstra lilung kann
diese verborgenen Bilder sx ieder zum \‘orschein bringen.
Bisher angess andte Techniken. um (iliermalte Schichten
sichtbar zu machen, beispielsweise Röntgenaufnahnten,
haben ihre Grenzen. Deshalb hatte sich eine Gruppe von
Wissenschal1lern s on DESY, der tiniversitiit Antsx erpen
und dem Kröller—Müller—Stuseum unter der Leitung von
Materialexperte und Kunsthistoriker Dr. loris Dik von der
I‘L Delft für eine andere Vorgehensweise entschieden:
Das GemOlde wird von einem Röntgenstralil aus einer Syn—
chrotronstrahlungsquelle durchleuchtet und die Fluores—
zenz eier einzelnen Farbschichten vi Od gemessen. Der
\7orteil dieser Methode ist, dass die Fluoreszenz charakte
ristisch für die jeweiligen chemischen Elemente ist. Somit
können einzelne Atomsorten Elemente ( z. 13. Blei oder
Quecksilber) und auch bestimmte Farhpigmente getrennt
aufgezeichnet werden. Der Vorteil der Synchrotronstrah—
lung besteht darin. dass ehe Verf Olschung des .\lcssergeh
nisses durch die oberen Farbsehichten geringer und ehe
Messgesehwineligkeit hoch ist, so dass relatis große Flü
chen sichtbar gemacht werelen können.
Das Werk C,‘ras,grond malte Vincent van Gogh 1 $$ in
\Vissenscli:iftliehe N:icltrjcltmen Nr 13
1
ii!) ‚\rlgust
200$
Rmris, heute gehört es dem Kröl 1er 51011cr .\ luseuin. Vorhe
rige Forschungen hatten bereits ehe schwachen Konturen
eines Kopfes hinter dem GemOlele erahnen lassen. Zwei
Tage lang wurde die den Erauenkopl hedeckeneie FLiehe
von t7,5 x 17.5 Zentitnetem an der Synchroironstrah—
lungsejuehle DOllIS hei DESS‘ in 1 iamburg mit einem inten
siven cinei sehr leinen Röntgenstrahil abgerastert. Mit 1-lilIe
eier Slessemngen konnten die Forscher cbs vorborgene thiel
in bisher unerreichter Detaiigenauigkeit rekonstruieren.
Dabei 1 ief‘erte cl je IG )mbinat 0 n eier \‘ertei iu ig eier Elemen
te Quecksilber eniel Antimon. ehe in speziellen Farbpig—
menten eilt halten si nel ein l‘a rlifi )t( des P( )rtra jts, das
‚
„
‘‘
übermalt w )relen war.
Die Rekonstruktion hilft ehen Kunsthistorikern. ehe Ent—
\vickling in San Goglis \Verken besser zu verstehen. Die
erweneiete Technik ist auch für ehe Erforschung weiterer
verborgener Bilder
55
egbemeitenei.
Druckfähige Bilder:
http: zms.eiesy.de eS 8 e550 e6026 e 22 inehexger.html
Animationen:
ISp: l‘tp.desy.ehe pemb presse VanGogh
Originalveröffentlichung:
Iittp: pubs.acs.org cgi-bin sample.cgi ancham asap
pdf tc$0096Sg.pelf
5 Millionen Euro, um Europa auf den
International Linear Coffider
vorzubereiten
Sechs europiüse he Forschungsinstitutionen haben mit
eher FU—Kommission den Vertrag zur Förderung des .‚ll.C—
1 hiGracie“—Prttjckts abgeschlossen. Im Rahmen des Siebten
l:öreierprttgramms \ Od - ILC 1 tiGracie‘‘ mit fünf Millionen
Euro für fünf iahre gef‘öreiemt ..‚ lI.C 1 IiGm‘ade steht füm‘ in—
lernational 1.inear Coflieler emneh supraleitenele 1 Iochfre—
45
clttenz—Resoltatoren nut hohen Gradienten ( International
Linear Collicier md 1-Iigh Gradient Superconducting RF—Ca—
vities ) und soll ci ie Entwicklung des 1 niernational Linear
Colliders ( ILC in Europa beschleunigen. Eines dci wich—
tigsten Ziele in dem Anuag ist die Herstellung einer Kleinserie von supraleitenden Besehleunigungsresonatoren aus
reinem Nii di für den geplanten 1 nierna 1 d )na 1 Linea r Colli—
der. die den hohen technologischen Anforderungen des
Gruncllagenforschungsprojekts entsprechen. \Veitere Zie
le des JLC—HiGrade‘—Projekts sind die Vorhereitung einer
rechtlichen Organisationsstruktur für den ILC und \‘orlie—
reitungen für den Bau der Maschine einschließlich einer
cleta dl ierten Sta ndl()rtstudie für Europa
Sechs Institute sind an dem Projekt beteiligt: DESY
Deutschland). CEA (Frankreicfo, CERN (Schweiz),
C\RS lNP5 1 Frankreich). INFN 1 Italien) und Oxford [ni—
\elsitv (Gri )ßlirit a nn ien 1. Alle si id seit ‚] a liren an Fot—
schung und Entwicklung für den ILC beteiligt und sind mit
ihrer Expertisen auf dem Gebiet der Beschleunigerent—
xvicklune und supraleitender I-iochhcquenztechnologie
CRF ) führend in Europa. Mit der jahrtclinielangen Erfah—
runi.t der Partner in niternationalen I‘ii jekten und Organi
sationen und engen Beziehungen zu Regierungen und Zu—
vendctngsgelicrn will ‚lIC—l-Iifarade die beste Org:tnisa—
tionsstruktur für das Projekt herausarlieiten ILC—I--liGra—
dc“ haut auf den Erfahrungen auf. dl ie die curopii ischen
Partner heim Fu ii pd ischen Rontgen laser Eiimpeon ‘.77/.
machen, der die gleiche l3eschleunigertechnologie nutzt
Das konsortiunt zieht den grüßten Nutzen aus den vorhan—
dci ien l nfrastrukt u ren iti Eci ropa wie zu iii Beispiel 1 estan—
lagen bei I)FSY für den Eiiropeao .V/iL und die eines
1 lochtcclniologiel:iliors (SupraleGt 1 von CNRS und CL‘. in
Orsav und Saclav, Frankreich.
Der ILC ist ein geplanter ieilchcnlicschlcciniger. der ei
nige der grtindlegendsien Fragen der Menschheit lieant
\vorten cmd die Erkenntnisse. die \\issenschaftler sich vorn
diesen Sommer :nu CERN in Genf in Betrieb gehenden Lii—
ge l-Iadr)n 0 ülicler L1-1C erwarten, erweitern und verfei—
nein will. Er wird aus zwei sich gegenülierl icgenden Eine
arliesc ltlccinigcrn bestehen, in denen etwa 10 Milliarden
Flektn)nen und ihre -\ntiteilclien Positionen mit nahezu
Lichtgeschwindigkeit aufeinander zufliegen Die Ginge
hetiügt etwa 31 Kilometer. Im ll,C kollidieren die Teilchen
1c000 Mal pro Sekunde mit Energien von Süd GeV. Die
derzeitige Planungsgrundlage sieht eine Erweitercitig des
ILC auf 5(1 Kilometer Ginge und 1 ‘1eV in der zweiten Aus—
ha ctstule des Ps jekts vor.
Der 1W ist in der Planung des ESFRI ( Ediropean Straregv
Forum on l(esearch Infrastrcicturcs ) eines der wichtigen
Zu ku nftslir ijekte für cl ic Wissenschaft in Fu pa
..
‚
Experten bestätigen: Der LHC ist sicher
KET (Komitee für Elementarteilchenphysik)
veröffentlicht Stellungnahme zu Schwarzen
Löchern am LHC
In clieseni S( )inmcr hat der Large 1—ladron 0 dlider Ll—IC
im Furopfaschen Zentrum für ieilchenphvsik CERN in
Genf den Betrieb acitgenotnrnen. Wissenschaftler wollen
nut cletuu leistcingssdirksteti ‘l‘eilchenheschleuniger der
Welt detuu Lirknall auf die Spctr kommen und neue Erkentit—
nisse über cinser [Jniversdttuu gewinnen. In der Vorberei
tung wird auch über Etutcleckungen wie beispielsweise die
Entstehctng von i\litui—Schwarzen—Liichern spekctliert. Dies
nituimt Pn )f. Dr. Otto E. Rössler ( Univers itüt Tübingen 1 zum
Anlass, davor zu warnen, dass sie die Erdlc verschlingen
könnten.
Es ist ausgeschlossen. dlass ant I.I-lC Schwarze Löcher
produziert ss erdien. die die Erde erschliiugen. Dies hat das
Komitee für Element :trtei lchenphvsi k K ET, dl ie \ eitiet ding
aller deutschen ‘I‘cilchenphvsiker. in einer offiziellen Std—
lungnahmne zur Sicherheit am LIIC bestdtigc Die Stellcuig—
tahme liii ciü sich dabei auf international anerkannte Ex—
46
perten. die dhie Sicherheit am LI—IC generell ctnd auch Pro—
lessor Rösslers Behaciptutugen actsführlich cuitersucht ha—
ben. Das KE‘[‘ betont, dlass Rösslers Tltesen actl bereits wi—
derlegten Annahtnen luercthen. in sich selbst inkonsistent
und dldtich \Iesscmgeiu als falsch bewiesen sindl, in keinem
Fall würdlen die Slini-Schwarzetu—l.öcher unsere Existenz
gellilurden.
Diese Aussage beruht actf dctßerst gut getesteten physi
kalischen Theorien und kostuuischen Beobachtungen. Der
L1-IC wiedlerholt unter experimentell ülierprüfbai‘en Bedin—
gdmgen, was sich milliardienfach im Weltall abspielt. So
wissen wir, dlass in jeder Sekunde ungefdhr 100.000 Proto—
nen hut einer Energie auf dlie Erde tieffen, die mindlestetus
der entspricht, die am LI-lC bei Teilchetukoll isionen erzeugt
wird. Dieser Teilchensch:iuer ist ungeführlich, dlenn Erde
und Sonne existieren noch... Deshalb können wir garantie—
ren. dlass der 1.1-IC sicher ist, so der KET—Vorsitzende Prof.
Dr. Peter Miittig .Vielmehr erwarten wir durch den L1-IC ei
nen gri )t(en Schritt in der Erkenntnis. wie die \atdtr aufge
baut ist dndl wie sich das Universum entwickelt hat.“
Rösslers Beluauptdiugen hercthen aul grutudllegendlen
‘ilissvei‘stündnisseiu der Allgeiiueitten Relativitdtstlueorie
von \lluer Einstein. So benutzt er in seiner Argumentation
zwar Formeln der Allgemeinen Relativiüitstlueorie, aber
wendet sie so an. dass sie im \Vidersprucb zu experitluen
tel len Em‘gehunissen st ehetu Eitu Teil seiner Interpretationen
ist bereits 1915 durch experimetutelle Untersuchungen \vi—
dlerleg wot‘detu.
Ausführliche Untersctchctngen zu astroiuoinischen Inupli—
k:it ii )nciu vi n VI in i—Sehvai‘zen—I.üchern v rn 1 üs)f. Dr. Ste—
veil II. Giddings und 1 m‘. II icluela ngeh 1.. Mangano:
liulu: lsag.vcb.cernclt hag CEIIN—l‘l l—‘II—12005—025.pclf
.
Information zum LHC
Der l.arge 1 ladron Collider 1,1 IC. dc.‘r :ult 1U. Septenuluer
21)1(5 ain CERN in Geni uu Betrieb ging. birgt viele Sctperlati—
dc: ein Ring von 2‘ Eid inuetern Umfang. 9.ö)(0.‘\Iagnete.
eine Milliarde ‘leilchenloillissionen liii) Sekltndle. 1(1.000
beteiligte Physiker. fecluniker und Ingeniedire acts 55 Gin—
dlern. Der Teilcluenluesc‘blcciniger verdiuft 11)11 Meter dinter
der Et‘de mi Grenzgeluiet Frankreichs cmd der Scluwed.. Das
i3ditudlestninisterium für Ilildhltng und Forschung 13M13F
trügt maßgeblich zur Finanzierctng des 1,1-IC bei; deutsche
Wissenschaftler sind stark in das Forschungspi‘ogramnu
ei ngeliti nden.
\Vissenschaftler erhoffen sich durch den LE-iC Antworten
a ci f die futudamnenta leiu Fragen dler ‘l“ei lclienplivsik: \Vora ci.s
besteht das Universum? Was passierte beim 1 Irknall? \Vo ist
die Antimaterie? ‘iv üter kommt die Masse? Um das heraus
zufinden. soll mi LI-IC der Zustand des Utuiversuims sinuu
liert werden, wie er einen Bruchteil einer Sekunde nach
dem Urknall also vor 1—i Mil liardlen laluren herrschte.
1 )azu weidlen Pn i mcmi auf nahezu I.icbtgeschwi nd igkeit
beschleunigt utud zunu Zusammenstoß gebracht. In vier
hausgroßen Nacluweisgerüten. so genatutiten Detektoren,
vermessen Physiker die Sluduen der Teilchenki ülisionen.
Die Inbetriebtiahme einer solch Ei ituupliziertcn Maschi
ne erfolgt in tuueht‘eren Schritten. Zcimuüchst mctss der 13e—
schuleuniger actf —2‘‘ 1 Grad Celsius abgekühlt werden An—
schließendl weidlen alle supraleitetuden Magnete in dien
acht Sektoi‘etu des L1-IC bei vollem Betriebsstrom getestet.
Schließlich wird dler gesamte Ring mit allen Magneten
hochgefahren undl mit dem Vorbeschleuniger synchi‘oni—
siert, Erste Tests laufen seit Atufang Actgctst. Am 10. Septem—
hier 2005 wird dler erste Protonenstrahil dcii gesanutetu Pc—
schleunigerring des LHC umkreisen, ctnd zwar ici einer In—
jektionsenergie vomu 0.-tS Te\‘. Teilchenkollisionetu svirdl es
ahlerdhings erst zu einem spüteien Zeitpunkt gebetu
Die Zielenergie. die 20) (5 am Ll-IC erreiclu t werden si dl.
liegt bei 5 TeV. dde Endenergic‘ dies Ll-IC hie
TeV.
.
‚
Information des CERN:
huttlu:
lhuc-lirst-hueain.is chi,cern.ch
\\‘isscnsehabtiichue N:ic‘hurichuteii Nr. tS
‚luhi/Augist 20()H
WIRTSCHAFTS- UND SOZIALGEOGRAPHIE
WIRTSCHAFTSINFORMATIONEN
I)r. Christian Sitte und Mag. Alfons Koller
Tobinsteuer
„Sand ins Getriebe“ der Finanzrnärkte und
ein Beitrag zu Verteilungsgerechtigkeit*
Leonhard Planh und CErne/ia Siariiz‘
1. Einleitung
schieclliche Wdbrungen miteinander getauscht und
\Vechselkurse bestimmt. Der Wechselkurs ist eine
Die Finanzkrisen der 1990er und 2000er Jahre lenk
wichtige Größe und hat erheblichen Einfluss aLif die
ten über die Fachwelt hinaus die AL1hnerksamkeit auf
Enl\vicklung von Volkswirtschalten, Die Entwicklung
das internationale Finanzsystem. Zivilgesellschattliche
der Devisenmtirkte in den letzten Jahrzehnten ist ge—
Akteure wie Attac beschiiftien sich seither versüirkt mit • pi1igt durch den tibergang von einem fixen \Vechscl
Pn iblemen und möIichen p( ilitischen Reuulierungen
kurssstem zu flexiblen \Vechselkuissvsteinen. [‘nter
der internationalen Finanzmarkte. Eine l‘orderunL. die
dein Eindruck der Weltw irtsclnil tskrisc v in 1929 hat
weltweit von einer wachsenden Zahl on zivilgesell
sich die internationale Staateni4enieinschaft auf der
schaftlichen Gruppen. OL inoinl nnen und nath )nalen
konfcrenz von Bretton \\oods ( Ibit) die Stabilisierung
Parlamenten erhoben wird, ist die lobinsteuer.
des \Viihrungs— und Finanzsystems zum Ziel gesetzt.
Die Tobmsteuer ist eine Steuer auf Devisentransak
Zentraler Kern des Abkommens war ein System fixer
Iii )nen Da die 1 )cvbennii rkte sta rk internat i mal isiert
\\ecliselktirsc mit dem Dollar als Leitwdhrung Lind Ka—
sind, sollte die ‘lohinsteuer idealerweise ilohal. cl. lt
pitalverkehrskontrollen \nfang der 19))er Jahre brach
auf allen Deviscninhrkten weltweit. eincehobcn wer
das S stein zLiammen und ivurdc durch ein System fle
den. Der politiscle \\ille dafür ist aber zurzeit nicht vor
xibler Wechselkurse zwischen den Leitwahrungen
handen. Der Devisenhandel ist ed( ich auf wenige 1—lan—
1 )ollar, Euro, Yen) abgelöst. Ztisdtzlicli wurden aLif P
0
deisphitze konzentriert, die wesentliche netzwerk— und
litisclier Ebene weitreichende Deregulierungen und Li—
zeitzonen-spezifische Vorteile haben, weshalb die To
beralisierLingen beschlossen, die zu starken Verdnde—
hinsteuer auch von einer Lindeigruppe wie der EU plus
‘lingen im internationalen Finanzsystem führten.
Schweiz (die die wichtigsten Devisenhanclelspkitze in
Die Zahl der F‘inanztransaktionen und deren Ausmaß
der europdischen Zeitzone umlasst) eingeführt werden
sind in der Folge enorm angestiegen: Das Volumen al—
kann. Es macht aber wenig Sinn, die Tohinsteuer in ein
1er Finanztransaktionen in den lnclustrieldnclern ist heu
zelnen Lindern alleine einzuhehen, weshalb die Ein
te fast hundertmal so hoch wie rIas nominale lltP dieser
führung einerTobinsteuer auch keine zentrale Rolle bei
Lincler (Schulmeister/Schratzenstaller/Picek 2008). Das
nal ionalstaatlichen Steuerrel )rmen spielen kann. 1—1 in—
Anfang
Volumen der Devisentransaktiimen stieg
die Einführung aut
gegen sollte das aktive Eintreten
der 97)) Jahre von 70 auf 5.200 Milliarden Dollar pro
regionaler Ebene sehr wohl Bestandteil einer umfassen—
Tag im Jahr 2007 an (siehe Abbildung 1)) BTZ 20079.
den Steuerreformsdiskussion sein, da die Tobinsteiter
Der 1 )evisenmarkt ist heute mit Absta ncl der größte
einen wesentlichen Beitrag zu mehr Verteilungsgerech—
Markt weltweit Die wichtigsten Devisen können jeder—
tigkeit leisten kann, und zwar gerade in Osterreich. das
zeit, von jedem Ort aus tindl in großen Betrdgen zLt ge
sich 2006 in einem Vier—Parteien—Beschluss dazu ver—
ringen Kosten gehandelt werden. Trotz dieser Größe ist
plliclnet hat, sich für die Einführung der Tobinsteuer
auf EL-Ebene einzusetzen.
‘.ii.IidrurR mii lreundl eher Gr‘nelini irpmu der \VtSO 1 iviri—
sch:ihl. und sozialpol Zeiochrili ) II. 2 2(11114. iiv.v..isiv—liiiz.at)
Dieser Beitrag gliedert sich in vier Teile. Im ersten
Lc‘oii1uo‘dP1ciii‘: Br‘iriehswiri. t.ehrlie:iu)u;iuier am I‘rojeki Jn
Teil wird auf die EntwicklLing der Devisenmhrkte Lind
iern.ii k na le Entivicklunrp der Lniversi0ii ‘Aien. Foischunus—
Probleme
ergebenden
Im
die sich clraus
eingegangen.
projeki zu Arheirechien in Globalen t‘rodukiions—netziver—
zweiten Teil werden die Tohinsteuer. ihre Wirkungs
Ren. war Vorsianclsm)tri)ied ion ATT.-\C Osierreieh
weise und ihre Grenzen sowie die technische Machbar
SeIn o1 tor Si icö 1
(.i,?‘oi‘/in ‚Sliii‘il: Oh n1 min i Ph t ) der
ttesearch in Nei‘ York), teliiIie:iriiii,iuir‘ am Proleki „lnierna—
keit einer solchen SteLier dargestellt. Im dritten Teil wer—
tiiinate Eni\vk ktung der Lfniversikii wien. tisrliunpsprojeki
den die Verteilungseffekte der Tobinsteuer sowie ihr
zu Arheiisreehien in Globalen Pn duku nsneizwerken, war
Einnahmenpotential analysiert. In der Conclusio wird
0 rsi:indsiniiglied von A‘t‘t‘AC Oierieir h
die politische Limsetzbarkeit der Tobinsteuer diskutiert.
t t)ie inieniauonalen Finanzin2rkie Linnen in diei Tv ilm2rkie
unterteilt werden: die Krediuo2 rkie. die Weripapiermiirkte
Anleihen, Ahnen und Derivaie) und die Devisenmiirkte, wo
2. WoZu eine Tobinste uer?
bei die einzelnen ‘leilmiirkte cnn miieinander reilwmderi sind
2 l)er Ittickgang des 1‘.igesv du men i ni I:i lii 21)1)1 ist vor :il 1cm au)
Der Devisenmarkt ist der größte Teilmarkt der inter
die tiuro—Fin)tihrunn rind Konzenitaiionsiendenzen hei Ban
ken zuriiekzuldihrcn.
nationalen Finanzmdrkte‘ Auf ihm werden unter—
..
seit
für
\e\i
\Vissensrhahliehe N:i«lirn iHn Nr
3
i
•
luli
.\Liritisi
20)1(4
47
er Itum reguliert und sehr konzentriert. Im Wesentli
chen sind im Devisenhandel ca. 30 Großbanken akti
die vor allem mit Dollar, Euro und Yen an den acht
ss ichtigsten 1 Tanclelspldtien mit ta )fldl( )fl an der Spitze
kctrse immer weniger von c)k()nomischen I3asisdaten
f(
0
tinclai‘nentals“) bestimt‘nt, sondern on kurzfristigen
Rencliteerwartungen privater Finanzmarktakteure. Auf
den Devisennüirkten ss‘ircl aber nicht irgendein Preis
bestimmt, sondern der Preis für \Viiltrungen, der w
sentliche Auswirkungen auf die Real\\ irtschal‘t hat Am
deutlichsten ist dies ‚tnhancl der Finanzki‘isen der 1900er
und 2000er Jahre und ihren massiven wirtschaftlichen.
sozialen und gesellschaftlichen Auswirkungen zu se
0 Aber tLtch ohne krisenhafte Entwicklung bildet
hen
hohe \olatil itdt und 1 nstallil tOt auf den Devisenmiirk—
ten ein ungünstiges timl‘elcl für den produktiven Sektor
für internationalen Handel und Realinvestitionen. Sie
erschweren die Planung und erhöhen die Unsicherheit.
was leute Absicherungsgeschdl‘te nötig macht. Für Ent—
svicklungshincler stellen die Lfnherechenbarkeit der Scliul—
dlendlienst7ahlctngen sc wie die Notss encligkeit. hohe
Des isenreserven anzulegen. weitete Probleme dar.
\‘(‘eiters nimmt die Möglichkeit der Zentralbanken
und 5( )mit der nationalstaatlichen \\‘irtschafrspolitik.
\\ echselkuoe zu steuern ab, da die pt‘iv:ten Investoren
mehr Geld verschieben, als allen Zentralbanken zur
Vet‘teidigung der \X‘ecllselkurse zctr \ ei‘fügung steltt.
1 linzu kommt, dass Zentralb
tnken Zinssdtze tenclen—
0
ziell hoch halten, um \‘r echselkurse zu stabilisieren und
aushinclisehe Investoren anzulocken. Das wirkt sich ne—
gatis aut dlie Realwirtschal‘t aus, weil Rt‘echte für Investi
tionen und Konsum tedl ‘er \\‘et‘dien,
Der Des isenmarkt unterstützt also nicht die Realwirt—
schaft. s rndern cloniitiiert sie in weiten llet‘eiclsen. Die
Devisenmdrkte ..wiedet unter internationale Kontrolle
zct bt‘ingen ‚spclsulati\‘e 1
c‘visenflüsse zu s‘erhinclern
2
und \‘(lilorcingsgeschdf te ss iecler stdrlser ‚tn die llasi‘nv(
gdnge des internati( malen Austadlsclss x m Gütern undl
Dienst lei.st dingen, interna tk )na 1er Pr >cl ci 0 t ic )tl dtndl In—
estilion zu binden
dies dürfte zu den wichtigsten
Actftben einer vernünftigen Reregulierung der inter
natk)nalen wirtschaftlichen Beziehungen gehören‘
I-Iuft‘schmid 2002, S1. Ein wesentlicher Schritt zur Sta
bilisierung des internath malen Fitl,tnzsvstems ist die Re—
dluzierung kurzfristiger K:tpitaktröme. die keine real—
wirtschaftliche Funktion übernehmen. Genau hier setzt
die Tc tbi nstecter art.
—
—
handeln.
3.500
-
-
10
—
983
1985
‘999
1992
Abbildung 1: Eitw
1998
1995
1.,, n‘urnceI ‘0 Rr 1r
Mag
fl
2001
2004
2007
Mrd Do
hing des w e)l\\ eden 1 )_n ioenleindeR
0
Quelle tttZ 2{)(F
Auch die Struktur der Tra nsa kt (flefl hat sich veran—
clert. Rund 50° der Tra usa Ist 0 men haben einen Zeith(
rizont on \\ eniger als sieben Tagen. 40° von s> eniger
als zwei Tagen (l3lZ 2t)0‘.l. Es dominieren also lurzl‘ris
tige Anlagen, die meist keinen Zusammenhang mit real—
wirtschaftlichen Aktivitdten haben, 1 )er \Velthanclel zu—
tüglteh aller ausldnclischen Direktinvestitionen eilt—
spricht nicht einmal 20
o des Des‘isenumsatzes (siehe
Abbildung 2). Auch wenn Absichet‘ungsgeschd(te ge
gen Ku rsochw ank u uge n und 1 > d pota tu t rad ing‘ 1 in
zugereehnet werden, sind diese \‘ dumina bei weitern
nicht durch realwirtschaftliehe Tdtiglseiten ZLI erkhiren.
Dieses starke Auseiuanderklal‘I‘en v( )n Finanz- und rea
len lr,tnsaktionen ist mich auf anclei‘eu Teilmd rOten zu
..
-
beobachten, cs ie aol‘ den Aktien— ‚‘\nleihen— und ganz
.
best >ndet‘s den l)eriv,i lemdrkten
800000
7
/
1
600 200
—
f
d90 025
200 DGb
rt
1953
-
—
1
—
1955
1999
‘992
1
1995
1998
1
2001
2004
3. Was ist die Tobinsteuer?
2007
—.—We ha, del ‚inS as ‚ind.svl-e 0 ‘ev‘vesttos-vn
——We wate Dcv seru“satze bei 250 Sande SMgan
3.1
Abbildung 2: Die taslösctng dci‘ Deviseniteirkte on \‘d‘elth.tn—
dcl und ausliinclischc‘n Direktinvestitionen
Quelle: tItZ 200, \\‘t ( ) 200, U\C‘t AD 20F
itil
3
Es herrscht eine sehr bulle Licfiiidlitdt auf den 1 )esi—
sentndrktcti. t.idlcudlit:it ist an sich nichts \egatis es, sie
ist wO ss enclig ci m den internath )nalen 1 lanclel Rca Ii n—
s est it 0 tnet ci lid
1 in tern
tti( itiale Kt‘ecl it liezieli ci ngetl zci fi—
0
nan7iei‘eti, Actt dlen 1 )evisetimiirkten e\istiert jedoch ein
Llbet‘maß an Lic
uiclitiit
1
also ati Des isentransaktions
ulcmien. dIas keitie tealwit‘tscliaf‘tliclie Futiktion über—
tlinimt, Dies führt zu zwei miteinandler verkoppe]teti
Problemen: Die hohe 1,ic
ci iclit0t erhöht die \ulatilitOt
1
von \Vecltselkctrsen undl sie ist schon allein actfgrund
der riesigen Masse dItldl des Tetiip ts der hew egten Gel
der ein Staliilitdtsrisiko (“X‘FEI) 2001. (‘i(.
Da sich die Desisenti‘ansaktionen s‘oti realsvirtscliaf‘t
liehen Grundlagen :Ihgd‘löst habeti, wetsfen \\‘ecltsel
—
48
-
Idee und Wirkungsweise
Der WirtscllaftsnolDelpt‘eislriiger James Tt vbin schlug
Jahre i9“2 vor cleni 1 [intergrditldl des Endles dies Bret—
D.thei löst ein Devisen—.\ctlit.t eine Serie von Dci isentr:in‘r,tk—
onc‘n itll ttiic‘t—ti:tnlsen—.\l.tt‘Isi .015, cia linken vet‘stv.‘lteti ihr th—
si lt t zu 4 lebten.
In Deutschl:tncl, kitt tiSilt ii,tnnien und den 1 S.\ ist das t t,inv.Ic‘ls—
vtluniett adt den ‚\ktietiiit:tt‘tsieti ‘ast 1 ((0—mtl so gruiS wie die
Re.tlintc-stitionen von t‘nterneltmen: das 1 t,tnt,IeIs\‘oldtflien >((11
Zins) rtciettden \‘s‘enp.tpieren 1 ‚.interest t‘,tic‘ seeut‘iiies“ ist st tg.t
einigc‘ 1 (0—tital 0
c‘t ‚ils die thealinvestitiorten \‘oti tlniet och—
nen (,Seit mtitieislcn‘ ‚SeitrntetmsViicar J‘jd‘etl 2008, -m-), Das 1 im
deiss t >Icimen cm t )c‘ri\ ‚lieD ist viel st:it‘ker $estiegc‘n als das
von Spt ti—]‘t‘,I usa lt ionen
5 Ant‘,ing der t99Oer Jahre die japanische Börse, 1992 93 das Ect
ropiiisclie \\ ii lit‘dtn>hssb‘setu l99m 95 Ste\iIo ctnd der „Teqdtila—
ldi‘elci“, t 997 98 Siic$ stasien. 1998 tleitl,( he Zusaminenhruch
dIes Spels uI,iui 050 )tlds l;tC,\t 1098 thussl:tticl, 1998 99 itt ‚tsi—
Iten. 20(5) (II Fcit‘kei, 20{(t 02 .\t$enitnieti. 2001 cttti,ctttim Krise
in dlc‘tl t ‘nA, 21)02 \\ tedd‘I tlrasilien, 2Olr 200$ die ttnolliliert—
mii tOte in den 1 ‘s,\
-
‚
-
55 i‘rsensc‘hjl‘iliJ>c‘ K,dlirldhtc‘n St
ISt -lili Actgcist 200$
ton—Wods—Systems die Besteuerung voti Devisen—
transaktionen Vor mit dem Ziel „to throw some sand on
the fire of (currency) speculation“ (Toliin 1975, I5-i).
Sein Vorschlag zielte darauf ab, kurzfristige, spekulative
Devisentransaktionen ZLi unterbinden, um die Weeh—
seIkLilse ZLL stabilisieren.
Die Idee, Spekulatk)n in Finanzinürkten ZU reClLizie—
ren. indem man sie mit einer Steuer belegt, geht auf
John Mavnai‘cl Kevnes zurück, der schon in den 1920er
Jahren eine Steuer auf Finanztransaktionen vorschlug
tKevnes 1936. 159 f.).
Tobin ühertru Kevnes Idee auf die Deviseninürkte,
Die 1—Töhe der Steuer sollte laut lobin 1% betragen und
alle Devisengeschüfte am Kassamarkt‘ betreffen. Für
alle Devisengeschtifte. deren Ziel es ist. orühergehend
und aus Spekulationszwecken Wührungspositionen an
zulegen, soll mit dieser Steuer der Zugang zum Dcvi—
senrnarkt verteuert verclen. 1—leute vircl über einen
Steuersatz zwischen 0.005 und 0.5% diskutiert. Es setzt
sieh die Meinung durch, dass ein niedriger Satz den
Lenkungseffekt erreichen kann und nicht zu ici Lic
ui—
1
clitüt vom Markt nehmen wOrd«. Auch die steuerpfl ich—
tigen Transaktionen müssten den etzigen lleciiiigun—
gen angepasst vcrdcn und nicht nur Transakih inen am
Kassa-. sondern auch am Terminmarkö wie R )r\vardis,
Futures. Swaps und Optionen umfassen.
l)ie \Virktingsweise der Ti binsteuer lüsst sieh am be
sten anhand eines Filters beschreiben: Durch die Steuer
werden zwar alle Devisentransaki k mcii teurer. die Ef—
lekte sind aber auigruncl dler unterschiedlichen Laufzeit
sehr unterschiedlich. Kurzfristige Anlagen. die auf ge
ringe Kursclifferenzen spekulieren. würen unrentabel.
cia erstens die Gewinnspannen sehr gering sind und da
die Steuer zweitens bei jeder Transakth in anliillt und
die \Virkung um so gröI$er ist, le öfter die Wiilirung ge
wechselt wird. AuFs Jahr gerechnet entsprüehe ein Steu
ersatz v )n 0,25% bei einem Ib )rtf( )l in, das ein na 1 Figl ich
verschoben wird, einen Zins von 153%. Hei einem wO
chenthehen Whhrungsweehsel wiiren es 20° Lind hei
einem monatlichen Umtaciseh 6% Jahreszins. Hanclels—
gesehüfte \verden einmal bezahlt und mit der Tohin—
steuer belegt. Eine Stecier von 0,25% wird ein Handels
gesehüft nicht unrentabel machen, vor allein wenn man
diese Steuer mit einer Umsatzsteuer von 20% vergleicht.
Theoretisch könnten l-lanclelsgc‘sehhlie sogar durch Ah—
zug v m der tmportumsatzsteuer ausgenommen wer—
den. Weilers profitieren l-landlelsgeschü[te von den ge
ringeren Ahsieherungsmaßnahmen gegen \\‘eehsel—
kursrisiken. cIa durch die Steuer die \Vechsclkursvolati—
litiit reduziert \verdlen soll. Bei langiristigen Investitio
nen mit einem Zeithorizont von z. 13. zehn Jahren rcclu
ziert sieh der Steuersatz auf ()‚02S.
Das Ziel der Tobinsteuer ist es die Wechselkursvola—
tilitüt zu reduzieren. indem kurzfristige Devisentransak—
tionen verteuert und somit reduziert werden. Dies cvür—
dc die Fristigkeit der Devisenströnie erhöhen. honda—
mentale Daten wieder starker zur Geltung bringen und
die clestahilisicrencl wirkende hohe Liquidihit der Dcvi—
senmürkte reduzieren ‚Auch das langaame Acifschau—
kein von Spekulationsblasen wird schwieriger, da der
Anreiz, auf kurzfristige Kursverdndercingen zu spekci
lieren, reduziert wird. Dadurch wüte eine Stabilisierung
der Devisenmiirkte möglich, die Lkli ndiüit als si ilelie,
würde aber nicht in Frage gestellt
\‘iisscnsetiahttichc \acl,riclitd‘n Nr t3
1
Iuhi .\du0usi 2)1)18
3.2 Grenzen
Die Tohinsteuer erzielt gewisse \Virkcingen, hat aber
auch ihre Grenzen. Zwei Wirkungen werden der To
hinstecier oft zugesprochen, die aber nicht dhdirch sie al
lein erreicht werden können: Ei‘stens ist die Tohiinsteu—
er nicht gleichbedeutend mit der Reform des internatio
nalen Finanzsvstems. Sie stellt eine l3esteuerung von
bestimmten Finanztransaktionen dar. ünciert aber
nichts an den zugrunde liegenden Problemen der aktct—
eilen Finanzarehitektur. die einer umfassenden Reform
bedarf. Zweitens ist die normale Tobinstecier kein In—
strument, das hei spekulativen Attacken gegen eine
\\‘iihrcing hilft. hei denen es in kui‘zer Zeit zu Abwertcni—
gen von bis zu 40% (Thailand) oder 60% (Indonesien)
kommt. Das war aber auch nie das Ziel der Tohinsteuer.
Sie bezieht sieh auf Zeiten dies ‚normalen“ Funktionie—
rens der Finanzmhrkte und kann solche Attacken be
stenfalls hin Vorfelch stoppen. Beim Atishrcieli einer Atta—
else sind andere Instrumente nötig. wie z. 13. Kapitalvei‘
kehi‘skontrollen. das vorübergehende Aussetzen des
Handels mit einer ‚attackierten“ \\‘hlircing. die Schaf
fung eines globalen Interventionsfoncls der wiecleruni
mit einem Teil der Einnahmen aus der ‘lohiinstecier ge
speist verden könnte etc.
Allerdings hat der Ökon mi Faul llerndl 5 pa hn das
Tohinsteuei‘-Konzept zu einer Z\\ ei-Stufen-Steuer \\ ei
terentwiekelt, die iciehi gegen spekcilat ive Attacken
wirkt: Solange sieh der Wechselkurs innerhalb eines
\Veehiselkcirskorriclot‘s bewegt, Ei lt nur cl ie normale ‘t‘o—
binsteuer m. Kommt es jedh )eh zu starken \\:eehisel_
kcn‘sschwankungen, weil z. 13. spekci hiert wird, springt
die hohe Zusatzsteuer an und der Teil der ‘Fransaktii
nen aul3erhalhi des l3ancles wird massiv
mit bis zu
100% besteuei‘t, was Ti‘ansaktionen cinrentahel nacht
cind ctnterliindet. Langsame Andercingen der \Ve ehsel
kui‘se sind möglich spekcilative Attacken nicht. Diesc‘
Zusatzsteuer wiit‘e ein Insti‘ciment, um sieh gegen ntas—
sive Wiihrungsspekulatü)nen zu wehren und wiire vor
allem für Entwicklcingsliincler, clei‘en Wiihrcingen leicht
—
—
—
—
6
„t)c‘r t(assamarki ist der Mark für \Veripapiei‘e. t)evisen nder
dein ‚\hschtüsse solori 1 idc‘r sehr kurzh‘isi ig erl iii
Wai‘en, an
ii c‘rcten
7
müssen“ (\VEFt) 2001, 8)
Der ursprünglich VOfl ‘t‘ohin vorgeschtagene Steueis,iiz i
wird fast c‘inhc‘iiticti als
zci
hoch angesehen, da c‘r nictii
im
unerwünschten kurzfrisiigen ‘t‘ransakuoncn cintc‘rhincten
dc, sondern zu
führen könnie
einer dr:isiischen
t‘S‘
die
nur—
nur
uidiüii
1
Finsctiüinkung cnn t,k
von der auch reatwirtschalitiche
l‘inantuansak—
Die \teincungen hezug—
ich ctc‘r t-tiihe des Siecuersaizes gehen aulsonsteul iectuicli auseun—
linnen negativ tieil‘( Heu
sein ki)nnien
:uncter. hinige Acumortnnen (z.
13. Sp:utuui 2002, t\atinor
t-tuttnu.unn
Spr.n 2000) treien für einen sehr gelingen Sieuers:uti von (t,0ü5
his 001“ ein. Sie sehen den priuiüiuen Zweck dci Tohinsieuer
in cter (ic‘ncriei‘cing von zcusatzl ictien Sieuereina linien u nct wot—
cii nicin die LutcuictiOit cter DcvusenmOrkie uectcuzieucn. -\ndeie
ii. t3. t—tcil±scliniid 2002 t‘ainndi(d 200tteun Denvs 200) ne—
1 en für einen hilheren Siecuc‘rsaiz ( ein ii 0.1
ein. Durch die
Totsinsicuer snlt ihier teinung nach setir ivoht I.ifüuidiüii rectu—
ziert wu,‘ri,ien. Diesen unuerse tiiedt ehen Sieuer“,iizen tic‘gen Liii—
ierschiedtiche Aiiiiassuungen der t‘unkiionsn cisc cter Dci isen—
ni2rtsie und v, a. cter Einsctiiitzung des Lktn ict iiaishanctets tni
sctien den Banken zugruncte.
8
Der Terminn arki ist der \t:irkt IHr iviriseti:iiitiehe i‘r:insakiin—
nen. die in dci Gegenwart geiiiugi xvcrden, deren \‘iene sich
utier auf einen zcikünlugen ‘termin Beziehen und somit ici \tn
sclmtuss cte.s GesctiiIis cinklar sind“ 1 \‘iEEt) 20)11, ‘I
‘
9 Sog:n ici einer llcctcikui n der transakunnen um 50‘‘
iOnen
die t )evisenm2rkie noch wei ins ticttncter ats in den t 9HOeri:uh‘
ran
49
Spekulationen ausgesetzt werden, von großer liecleu—
tung.
3.3 Technische Machbarkeit
Bis jetzt \varen Steuern au Finanziransaktionen auT
bestimmte Teilmhrkte hesclu‘hnkt wie Aktien— oder An—
leihenmhrkte, wurden auf nationaler Ebene eingeh( ihen
ii mi ihre Einahmen \VtI den zur FinanzierLlflg n itk maler
Budgets verwendet (Schulmeister Schratzenstaller Ei—
eck 2005. 15). Transaktionen atif Devisenmhrkten wur
den bis jetzt nicht besteiiert. \Vhhrend im Rahmen von Li—
beralisierungs— und Dereglierungspolitik auch Steuern
aol andere Finanzti‘ansakth wien in letzten 20 Jahren in
telen Lindern (0. a. in Osterreich und Deutschland) ab
gebaut wui‘den. existiert in Großbritannien weiterhin
eine Steuer von 0. auf den Kaut von Aktien (..stamp
dutv die betrdchtliche Einnahmen einbringt—allein im
Jahr 20U/Uh Milliarden Euro. Sie wird aLitonlatiscll in
nerhalb des (elektronischen) Tr:insakth )nssystems des
„London Stock Exchinges“ eingehoben. Der Fall der
‚.Slamp DLitv zeigt auch, dass man nicht alle Umge—
hungsmöglichkeiten voraussehen. s( indern reagieren
muss, wenn tatshchlich Venneidungsstrategien auftre
ten, was in (Jrißhritannien durch die Einführung der
staflip clrity i‘escrvc tax“ geschah. Trotz dieser Steuer auf
Aktientransakth wien ist G r ßhrita nnien eines der T )pfi—
nanzzentren und die London Stock Exchange eine der
wichtigsten Börsen der Welt.
An der technischen Machbarkeit der Tobinsteuer be
steht kaum mehr Zweilel
das besthtigen v( r allein
Jene, die es am besten wissen 5( llten Banker. l)em‘ejts
heute werden De isentransakimonen erfasst und rloko
mentier. 1-Tier würde eine geringfügige \nderung im
Computerprogramm genügen. Erleichternd kommt
hinzti. dass immer mehr l)e bentransaktionen zentral
erfasst werden. Es besteht also bereits eine lnfm‘astruktor
1 ür den Devisenhandel. die TOr die Einhehung der Tu
binsteuer genützt werden kann.
Steueroasen können die T( binsteuer nicht erhin—
dem. Schon 1aine Tobin ( lT‘S) sagte‘.. II these ax ha
vensare all that attm‘active. whv is it that the international
linmncial comnmunitv has not almeadv massively migrim—
tecl towards them, given the taxes which ire alreadv
being levied in the main financial centres? Die Stetmer
könnte an zwei Stellen des Devisenhandels ansetzen
am 1—landeisplatz ( ..trading site ( oder bei der Abwick
lung (.‚settlement site)‘. Bei einer Einhebong der To
hinsteuer am Handelsplatz \vüren die Kosten, um der
Steuer zu entgehen, sehr hoch, weil der gesamte Elan
delsplatz samt zugehöriger Infrastruktur verlegt werden
und auf die Vorteile von großen Finanzzentren (z. B.
hohe Lic
uiditht, Größenvorteile, vorteilhafte Lage zwi
1
schen verschiedenen Zeitz( mnefl ) verzichtet werden
müsste, 1—lebt man die Tobinsteuer bei der Abwicklung
ein, könnte die Steuer auch nicht umgangen werden. cIa
die internationalen Zahlungsverkehrssvsteme mit den
nationalen Zahlungsverkehrssvstemen sowie den Zen—
ti‘alhanken eng verknüpft sind. Denn De\‘isenhüncller
in Steueronsen existieren nicht losgelöst von den Fi—
nanzzentren. Wenn eine Tm‘ansaktion z. B. in Euro abge
wickelt wirdl. werden Ecirm is on einer Bank in der EuroZone zu einer anderen Bank in der Euro—Zone transfe
riert, selbst \venn der 1-tandel in einem andei‘en Land
stattfindet.
.
—
i
1
Es ist weiters eine Sache des politischen \Villens zu—
sützlich ati f Transaktionen mit Steueroasen oder mit
Lindern, dhie die Tohinstetmer nicht einheben, eine Straf—
steuer einzuführen. Wenn eine Bank ihre Devisenge—
schüfte ztim Beispiel auf dhie Cavman Islands verlagert,
brauchte man nur Kapitalrückflüsse von dlort dlem
mnehrhichen Steuersatz dlerToliinsteLier zti unterwerfen,
und die Auslagerong würe deutlich onattraktiver. Die
beste Losung des Problems wüi‘e ühem‘hacipt die Schhie—
Sung aller Steuei‘oasen.
Es müssten auch nicht alle anderen Lünder mitnia—
d‘lid‘fl, Die Tobinsteuer ist zwar eine globale Steuer und
es ware wünschenswert. dass sie global eingehoben
wirdl. S2° der Devisentransaktionen werden aber in
acht Lkndlern durchgeführt
1 i .Aher auch dhie Einführung
der Steuer an dlen acht wichtigsten FinanzpEitzen er
scheint zurzeit politisch unrealistisch. \\‘iehtigster Geg
ner der Tohinsteuer Ist dlic Regiei‘cing dler USA. die s )gar
hie BeitragszahlLmngen an die \‘em‘einten Nationen da—
v m mbhOngig gemacht hat. dass diese kein Wort über
die [‘ohinsteuer verliert ‚Aber auch ohne die USA wür—
den in dlen verbleibenden sieben Lindern noch zwei
Drittel des weltweiten Devisenhandlels erfasst werdlen
rind acich die FU plus Schweiz stellt eine kritische Masse
lüi‘ einen Steuerraom dar. Die FinanzpEitze in Eum‘opa
1 zu wichtig und haben spezil‘ische zeitzonenbezo
sind
gene Vorteile, als dass es zu einer Verlagerung in Ei—
nanzzentren in andere Zeitzonen kommen wurde. So—
1 ialdl alle Lündler mit \vicht igen Ei na o zpldtzen in dier eu—
ropüisehen Zeitzone mnitnmaclmcn ki‘iniite Fom‘opa die Tu
1 iinsteuer einfühm‘en. i2
—
—
50
4. \‘erteilttngselTektE der Tobinsteuer
1 )ie Tobinsteuer hat \\‘esentliche vei‘teilungspoliti—
sehe Effekte und könnte dliher einen wesentlichen Bei
trag zu mehr \‘erteilungsgei‘echtigkeit leisten auf na
tionaler und intei‘naiion:iler Ebene:
Erstens. würde dler Faktor Kapital besteciem‘t. dlessen
Beitrag in dlen letzten lalu‘zehnten drastisch zurückge
gangen ist, Die Tohinsteuer ist eine Steuer ‚.on Wall
Sti‘eet“ tmnd nicht wie in letzter Zeit zunehmend
‚on
Main Sti‘eet“ und würde daher den Faldt( ii‘ Kapital im
\‘em‘gleich zcim Faktor Arbeit wieder etwas stdrker in die
Pflicht nehmen, Es ist ohnehin erstaunlich, dass der
großte Markt c.ler Welt, der Devisenmarkt, nicht besteu—
em‘t wimd. Tm‘ansaktionen aol‘ Güter— undl Dienstleistongs—
mürkten werdien weltweit mit Umsatzsteuern belegt
und auch Transaktionssteuern auf andleren Finanz—
indrkten wie den Aktien— oder Anleihenmürkten waren
dmndl sind auch heute noch in vielen Lündlern üblich undl
liegen oft deutlich über dem vc irgesehlagenen Steuem‘—
satz der Tohinsteuer.
Zweitens, würen v. a. kurzfristige. spekulative Kapi—
talbevi‘egungen. denen keine realwirtsehaftlichen Ge—
—
—
—
ici Dc‘‘uenn‘ans:iktionen ism zwischen der .‚‘t‘r:idinci 88u“. der
.‚lhs hing Siic“ und der ‚.Seiilc:memii Sic“ zu cinierselmuiden. Die
Tiading Sime ist der Ort. an cleni der .\ul‘i lag zum Kauf oder \‘ur—
haut
t )e“isen gegeben
i‘ct, cl ii.‘ tOs hing Siie ist ncr Ort. :i n
dein der Deal gehnuht wird diOn) die Sc‘i:Ic‘munm Simc ism der Om‘i.
an dciii die Ir‘,mnsaktiun wirklich si:imdnclei,
1 Id Ohi‘it:innicn, d‘SA.
Sing:i pur. Duumschland. Frank—
icich i .Sc hwc‘iz und ‘0 ngki
clei:iilierte DiSis tH‘i( ‘ml
1 2 ‘0 r
die t( hinsicui‘r xx‘eliw‘eii
und Furope c‘ingehii ihien wc‘rdc‘n k(‘innie siehe Spalmri i 2(102 1,
cliii Dcn‘s (2005) und Slaimiz (2007)
‘
in
wi
tapan
ing
eine
wie
in
Wis,semisulm:ifihiutmc N:mc‘liri,:hic‘u Nr t,3—i
‘
Lili Sdmnidisi 2008
schiifte zugrunde liegen, von der Tobinsteuer betroffen,
cIa die Steuerlast umso höher ist je öfter Wührungen ge
tauscht werden. Die TobinsteLler soll also Kapitalbewe—
gungen. denen realwirtscltaftliche internationale Ge—
schüfte zugrundeliegen (internationaler J-{andel mit Gü
tern Lind DienstIeistunten. auskinclische Direkinvesti—
tionen oder langfristige Kredlitheziehungen) gegenüber
ren, uni dass daher der Großteil der Einnahmen für glo
bale Zwecke wie Armutsbekämpfung, Umwelt und Ent—
\vicklung verwendet wird, Tobin selbst schlug vor, diese
internationalen Einnahmen auch internationalen Anlie
gen zur Verfügung u stellen. Falls sieh diese Forderung
dlurchsetzt. ltiitte (lid‘ Tobinsteuer auch auf der Atisga
benseite wesentliche verteiltingspolitische Effekte.
kurzfristigen, spekulativen Kapitalbewegungen (,‚bot
Die Einnahmen würden einen betrtiehtlicben I3etrag
money“) bevorzugen. Die Volatilitüt der Wechselkurse
ausmachen. Es ist jedoch schwierig, dlen exakten Wert
soll reduziert und die Stabilitüt der internationalen Fi—
zu berechnen, cia die potentiellen Einnahmen vom
nanzmiirkte erhöht werden. was positive Effekte auf
Steuersatz. vom Hanclel.svolumen und vom Einfluss der
realwirtschaftliche internationale Transaktionen hütte.
Steuer atif das l-Ianclelst‘olumen abbüngig sindl, Es gibt
Die Tobinsteuer hitte also auch Verteilungseffekte zwi
eine Reibe öl« )nometrischer Berechnungen. die von
schen realwirtschaftlichen und spekulativen Transak
unterschiedlichen Werten ausgehen und daher zti teils
tionen und vürcle innerhalb des Faktors Kapital real—
sehr unterschiedlichen Ergebnissen kommen. Bei einer
wirtschaftliche Interessen stfirken.
weltweiten Einführung der ‘f‘obinsteuer berechnen Ka—
Drittens, haben Wechselkursscbwankungen wesent
poor, Flillmann undl Spratt (2006) bei einem sehr niedlri—
liche verteilungspolitische \Virkungen. cIa \Vechselkur—
gen Steuersatz von 0.005‘; Steuereinnahmen von 10 bis
se die Preise von Importen ttncl Exporten. die Attraktivi—
15 Milliarden Dollar für das Jahr 200—m Jetin tindl Denvs
tfit von realen versus Finanzinvestitionen s( )wieallge—
2005) berechnen Einnaltinen von 19 bis 125 ?tlilliarclen
mein die wirtschaftliche Sftirke einer Volkswirtschaft in
Dollar für dias Jahr 200-m hei unterschiedlichen Steuer—
der \Veltwirtschafi beeinflussen, Das zentrale Ziel der
sitzen zwischen 0,01 tmnd 0,1%. SehLtlmeister, Schrat—
Tobinsteuer ist die Stabilisierung der internationalen Fi—
zenstaller und Picek ( 2008) berechnen Einnahmen von
nanzmürkte, die Reduktion von \Vechselkursschwan—
50 bis 250 Millia,‘den Dollar bei Stetmersitzen zwischen
kungen und ihre stiirkere Bindung an realwirtschaftli
0,01 und 0, 1°/ für das Jahr 2006 (in dem das Flandlelsvo
ehe Entwicklungen. Weiters würde dadurch ein Stück 1 lunien viel höher war il,s 200—i Bei eLn‘opaweitei‘ Ein—
l—lancllungsspielraum für die nationalstaatliche \Vir1
fül irung berechnet Spahn ( 2(1(12 ( Einnahmen (in 1(1 bis
sehaftspolitik zurückge\v mnen \verdlen. Zentrall oin—
20 \ 1 il 1 ia rclen D( ila r bei Steuersi tzen ztviscl ien 0.01
ken wurden zu einem gewissen Grad vom Zwang zur
und 0,02% für das Jahr 20‘) 1. Jd‘tin Lind 1 )erivs (2(1051 be
Intervention auf den l)eviseniniirkien befreit Lind könn
rechnen Einnahmen von 6 bis 38 Milliarden Dollar für
ten Geld— und Wechselkurspolitik wieder mehr als Ins—
das Jahr 2004 bei Steuersiitzen zwischen 0,01 tmncl 0,1%.
trtiment makroökonomischer Steuerung einsetzen,
Schulmeister, Schralzenstailer und Pied‘ls (2008) berech
ohne das es unmittclbn zu Kapiialahziig tiitcl gn0(en
nen Einnahmen von 30 bis 1-10 Milliarden Dollar bei
\VechsclklirsünderLingen küme‘ Insbesondere in Ent Steuc‘rsitten zwischen 0.01 und 0,1% für (las lahr 2006.
wicklungslüncler sind Zentralbanken bei Kursschwan
Zum Vergleich: Die gesamte Entwicklungshilfe (1er
kungen oft gezwungen. entweder die Zinsen zu erhö
Industnclancier bc-trug im Iahi‘ 2000 10+ Mihli,irileo Dol
hen oder Devisenreserven‘ zu opfern. Durch eine Tc
lar ( OECI) 200 ). Die 1—Lili iiertmng der Armut bi,s 2015 —
binsteuer ‚mcl vor allein die Spahnselte Ztisatzsteuer
cleklariertes Ziel der Vereinten NatO )ne,i im Rahmen
könnten die Zentralbanken erstens mehr Unabhüngig—
der Mmllemiitmms-Entwickluugsziele — tvürcle jilirhicb 100
keit erlangen und z\\‘eitcils im Falle ton \X7ilu‘ungsspc—
ivlilhia,‘deii Dollar kosten. liii alle Milleniunts—Entwick—
kiilationeit Einnahmen generieren ganz im Gegenteil
lLings/iele der Vcreingen ‘sationen zu ei‘reichen. \\ iren
zu 1 ierkömml iciten lnstrui nentcn 1 )ie ii iassiven neg;it i
an die 200 Milliarden Dollai nötig) leIber 200), %0, Für
yen vcrtcilungspolitiscl‘ien .‘\uswirktingen von \\‘üh—
(hie lckiinphung tin Malaria Lind ‘1 tihseikolose britteh
rungsspekulaiionen und —krisen. die v. a. Arbeiterinnen
te man jihrlieli 2 Milliarden Dollar, klm‘ die Bckiinpfttng
und aritic Bevölkerungsschichten durch Reallolinrtick
von AIDS jilirlich 7 bis 10 Milliarden Dollar und für die
günge, Preiserl iöhtt ngen von 1101 t -n Einsparungen
Versorgung aller Menschen mit satihierem Trinkwasser
der Regierungen und 1 )cregulierungen ( (inanin 20(7;
jlihrlidt 0 Milliarden Dollar fetin/DenVs 2005, 161), An
Riiblböck Siaritz 2005) noch lange nach der Krise zti
Verst endlungsmöglichkeiten für die StetierL‘innahmen
spuren haben, könnten reduziert \\‘erdleu.
in.mngd‘lt es — leider - 11K ht,
Ein \‘ierter Aspekt betrifft \‘erteilungscflcktu z\vi
sehen lndi sind‘- ttnd [ni icklt ngshi ndern
auf der
—1 thun ld-iiil uni Su,:nnc Je ß,‘,,il,I((2i)Oii. t99i ‘es i,eiix‘n
Einnal imen und Adtsgal enseite. Auf der Einnahmen
ilii‘s ttie liigt: „liii‘ t:i\ \\OiiIdl. io ei‘(iiii i‘Xti‘flt, Ii‘ nation:i(
Iiiie,i‘si rat.: pulkv roiui hie t,isk 1 Ii1:iJii, iii‘
Seite würden Industrieliincler den Grofteil (her Steuer
rd‘n( t. lt tvould fl,) Iungi‘, 1 u ni‘( u‘.sar\ tu iiiplen‘i liik‘s in
last „tragen“, da sie lc‘ichtc-t‘eri Zugang zu l)c‘t i,senmürL
ihn jfliL‘l‘.St i‘ati‘‘. ls‘,i propuiln of ihn ilc‘,i,‘ed ritt- in ihn ci,r—
ten haben und den Grogteil der 1 )m isentr,insakti,,nen
leKt -:inc(iliitxtiilctm:iki‘ii
isini‘iin:,kni,iiinr‘i:,rt t1(uli‘\
uiiigen. l)a ai,d Ii (1cr (ü‘ogtcil der 1 )et‘iseu(r,tnsaktioncn
sei“ n um juni‘‘« iif u
1 t;i itl,,I,,m,i,sI,i,i,ir-r inilii.‘ii . ‘pezinlh mi: Im In
aufl landelsplützen in indtistrielündern t,,itiindet. vür
t‘in.mmmslsrh.e in
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us, 0« ihn 1 )nt isnnrn‘,L‘T\ en 1T1iK‘I(‘ui 2i)(« he
den die Einnahmen (,ist .ius ltlicßliclu ton lnilnsti ie
‘uni ii «hintti‘Jiu«-,tnm \\:uI,ru,i,‘atu‘su,‘ix«‘n ‚t. i liitl,«im-n Dollar—
hiimlcr cingeliobeut werden. 1 )id‘ \ ci‘teilungscffckk‘atif
«In grO5ii‘ mml ums! nun hmiumckiumgst:iummtnrn .i‘h.mti«n Du‘s‘
der Ausgabenseitd‘ hüngen also stark daton ab ob und
thi‘si‘,‘vi‘mi ‚sintl I,;i,
s‘.h liii«‘!, iii kii‘zf‘risiigi‘um .I:,t )-Si:i.uis:,m
1
\Vii‘ (liese Einiotl,i,ien tei‘tcilt tte,Jeu, Die \‘ei‘eiuten
k‘ilien :ungnlcgt, die iii ‚ii(‘((u gen- Ziriemi ‚ii itVei «‘ii 1 1—25 uni
tu(n) ‚I, ((Ii‘ 7uii‘,i (lii‘ Luumuuuk(uint4sl:uTu(Ic‘u 1W‘ lIlie 5« hilden
Natsmcii und tiefe zR ulgesellsehiahliebe Akicti,‘e toi
„huhn uiu:u‘usi‘n, t ii,‘ hinluului‘uuuini eums‘n t hui«uuua‘n nimus Sp:utii
(l(‘rui. (lass (lid‘ lünn;,liu,cn der ‘Ii binsieuic, diii lindern
‘,«‘hu‘ tui‘nui/‘.i‘.II«‘l ‘1 uS« Ii,‘ iii«“.«‘ fiu«‘, ti«‘u‘,men /umui t«si ihn
1111(1 Mciis lii‘it zttginc Luiruicit. (Ii‘ am stitlstcu von
lIui‘.sig in li‘ii t ii.‘ \Iuuu« 1 Iuiimim«,‘n ((ii lmuuI_itsiju«‘ t«it‘uIiiuu—
latilcn ‚itil ‚u,st;iljhi‘n Fii,aii/nuiiit‘r, liii, ihn tt
um‘ ui«) -.uu,j:,lm‘ t )j«,‘n‘,ilm-isi,nuum‘,i «‘um-nmI«‘i u «‘m«Im‘ii
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51
5. Conclusio
Die Tobinsteuer ist ökonomisch sinm oh, technisch
machbar und würde zu mehr Verteilungsgerechtigkeit
Knackpunkt ist der politische
beitragen. Der
Wille. Es gibt massive Interessen gegen die Einführung.
In erster Linie kommt der Widerstand von Banken Lind
anderen institutionellen Anlegern, die von der ‘volatili—
Ok der FinanznOirkte prohtieren und denen Gewinn
chancen in z\veistelliger Milliardenhöhe entgingen.
Wichtige Gegner der Tobinsteuer sind aber auch Regie
größte
rungen. allen voran die Regierung der L‘SA Auch wich
tige FU—Institutionen wie die Europüische Zentralbank
und die Europüisclie Kommission so ie Go )ßbritan—
nien. das mit London den größten Devisenplatz welt
weit hat, sind gegen die Einfühmng der Tol )insteuer.
Aber auch im Bereich der politischen t.Jmsetzbarkeit
hat sich einiges getan. Die Einanzkrisen der F)9tDer und
2000er Jahre und der Druck von zivilgesellsehaftlichen
Akteuren wie Attac haben das Thema Einanzmarkt—Re—
gulierung und Tobinsteuer nachhaltig in die öffentliche
Debatte gebracht. Das Interesse der Eiitwicklungsldn—
der. die bisher am scli\\ ersten von insiabilen Finanz—
miirktcn betrolfen sind, steigt. 1 nnerl ialb der lndi islrie
lii nder plüclieren rIas ka na d sehe, ha nzösische. beIgE
sehe un( 1 seit 2000 das österreichische Fa rla ment u od
die schwedische, belgische, norwegische und spani
sche Regierung für die Einführung der ‘l‘( hinsteuer.
Neben der T binsteuer wüten auch andere Finanz
transaktionssteuern sinnvoll um die linanzm!irktc zu
stabilsieren, rcalwirtseha[tlichc Transalöh men zu stdl‘—
ken und mclii Vei teilungsgei‘eclitigkeit zdi erreichen
wie Transaktionssteuem auf den Anleihen—, Aktien
l3öi‘scntimsatzsteuer) und Derivatemürkteit. Idealerweise sollte die ‘Fobinsteuer mit diesen Finanztransak
i( )nssteuern 1« m tijiniert \vcrdlen 1 )as \Vl 0V) pldcl iert in
einer aktuellen ‚Studie für die Einl‘ülu‘ung einer generel
.
len Finanztransaktionssterier (SeI iulmcister/Schratzens
taller/Pic‘ek 200!—!) Fin wesentlichc \i‘ginent dafür le
triFft cl ic p ü itische 1 Imsetzba rkcit, da eine generelle Fi
nanztransaktioussteuer schrittweise eingeführt werden
kann. Eine Liindergruppe oder sogar ein Land kann mii
der [lesteuerung der i tat i malen An Ici 1 ten— Aktien— t inc.l
‚
Derivatemürkte beginnen, was polilisi lt einlacher
(lurd‘hzusetzen ist als die lk‘str—ticrttng der Devisen—
mürkte, die einen IG nsens innerhalb der EI J und mit
1er Schweiz vora ussetzt. 1 )as Ziel ist a 1 ter die Steu er aol
alle Finanztra nsa 1<1 ionen. a i cli 1 )cv isenlra usa ktk nett,
a iszr i \ve i teri.
Die Tubirtstcru‘r ist kein Allhteilnuttel, sie ist aber
ritt \\ ihtiige.s Insiru
teben anderen Instrumenten
mehL zur Regulierung dlet internaiionalr‘n Fiitanzui.irl‘.ic
und zw Eri‘eiehnng von tor—hr VcrteiltingsgerrnIiiigkeit.
-—
—
Die Debatten tmt die ökonomische Sinnhal‘tigkeit und
1 ge
die technische Machbarkeit der Tobinsteuer sind
wonnen. Nun ist es einzig eine Frage des politischen
Willens. Vor allent Europa aber auch Osterreich. das
sich in einem Vier—Parteien Beschluss dazu verpflichtet
hat, sich i‘ür die Einführung der Tobinsieuer auf FUEbene einzusetzen, kommt biet‘bei eine wichtige Rolle
zu.
Literatur
Auae
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gtunde Aliri,ctisc‘mi. Dsicrlj:cms Amt1: \lic‘.rliac Ii Inh \\‚ilcl
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