1 ¨Ubungen zu Integration WS10/11

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Übungen zu Integration WS10/11
Beispiel 1.1 Seien X, Y Mengen und f : X → Y . Zeigen Sie:
1. ∀ A, B ⊆ Y : f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B) und f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B). Die
Operation f −1 kommutiert mit sämtlichen Mengenoperationen.
2. ∀ A, B ⊆ X: f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B) und f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B). Ist f injektiv, so
gilt: f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)
Beispiel 1.2 Zeigen Sie: die Abbildung f : N × N → N, (m, n) 7→ 2m 3n ist injektiv.
Beispiel 1.3 i. Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar. ii. Besitzt eine
Menge X eine überabzählbare Teilmenge, so ist X überabzählbar.
Beispiel 1.4 Sei X eine Menge, dann besitzen {0, 1}X und P(X) dieselbe Kardinalität.
Beispiel 1.5 Seien F, G : R2 → R2 die Abbildungen F (x, y) = (−x, y), G(x, y) =
(−y, x). Ist R ein Rechteck, so gilt: λ2 (F (R)) = λ2 (G(R)) = λ2 (R).
Beispiel 1.6 Seien z1 , z2 ∈ C, dann gilt: λ2 ([z1 , z2 ]) = 0, wobei [z1 , z2 ]: = {(1−t)z1 +tz2 :
t ∈ [0, 1]}.
Beispiel 1.7 Seien a, b, h > 0 und D ⊆ C das Dreieck mit den Eckpunkten 0, a und b+ih.
Dann gilt: λ2 (D) = ah/2.
Beispiel 1.8 Seien a, b, h > 0 und P ⊆ C das Parallelogramm mit den Eckpunkten
0, a, (a + b) + ih und b + ih. Zeigen Sie: λ2 (P ) = ah.
Beispiel 1.9 Seien (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) zwei beliebige Punkte in R2 und D das Dreieck mit
den Eckpunkten (0, 0), (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ). Dann gilt: λ2 (D) = 21 |x1 y2 − y1 x2 |. Zeigen Sie
dies unter der Voraussetzung x1 ≥ x2 ∨ 0 und y2 ≥ y1 ∨ 0.
2. Seien z1 : = x1 + iy1 und z2 : = x2 + iy2 . Zeigen Sie: λ2 (D) = 12 |ℑ(z1 z̄2 )| = 21 |ℑ(z̄1 z2 |.
Beispiel 1.10 Sei n ∈ N und Cn ⊆ C das “regelmäßige n-Eck” mit den Eckpunkten
zk : = exp(2πik/n), k = 0, . . . , n − 1 (wobei die Zahl π/2 definiert ist als die kleinste
positive Nullstelle der Funktion x 7→ cos(x)).
Zeigen Sie: 1. λ2 (Cn ) = 21 n sin(2π/n).
S
2. Sei D: = {z ∈ C : |z| < 1}, dann gilt: k∈N C2k = D.
3. Folgern Sie: λ2 (D) = π.
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Beispiel 2.1 Für jede Teilmenge A ⊆ C und w ∈ C sei wA: = {wa : a ∈ A}.
1. Ist D ein Dreieck, so gilt: λ2 (wD) = |w|2 λ2 (D).
2. Ist Q ein Rechteck, so gilt: λ2 (wQ) = |w|2 λ2 (Q).
Beispiel 2.2 Seien z1 , z2 ∈ C und h die Höhe auf die Strecke [z1 , z2 ], d.h. h ist der
Abstand des Punktes 0 von der durch z1 und z2 verlaufenden Geraden. Ist D das Dreieck
mit den Eckpunkten 0, z1 und z2 , so gilt: λ2 (D) = 12 h|z1 − z2 |.
Beispiel 2.3 Sei A die Menge aller reellen Zahlen in [0, 1], deren Dezimaldarstellung
keine 9 enthält. Zeigen Sie: A ist meßbar, überabzählbar und λ(A) = 0.
+
Beispiel 2.4 Sei f : R+
0 → R0 monoton fallend. Zeigen Sie: f ist meßbar und
∞
X
n=1
f (n) ≤
Z
R+
f (x) dx ≤
∞
X
f (n)
n=0
+
Beispiel 2.5 Seien N ∈ N und f : R+
0 → R0 eine Funktion, so daß f auf [0, N ] monoton
steigt und auf [N, ∞) monoton fällt. Zeigen Sie: f ist meßbar und
−f (N ) +
∞
X
n=0
Z
f (n) ≤
R+
f (t) dt ≤ f (N ) +
∞
X
f (n) .
n=0
Beispiel 2.6 Zu jeder reellen Zahl x ≥ 0 bezeichne [x] die größte Zahl n ∈ N0 , so daß
n ≤ x. Sei f : (0, 1) → R die Funktion f (x): = 1/x − [1/x]. Zeigen Sie
Z
1
0
f (x) dx = 1 − γ
wobei
n
X
γ: = lim (
n
k=1
k−1 ) − log n = 0.5772 . . .
die Eulersche Konstante ist.
Beispiel 2.7 Ist f integrierbar auf R, so ist
F (x): =
Z
x
f (y) dy
0
gleichmäßig stetig auf R.
Beispiel 2.8 Beweisen Sie den Hauptsatz: Sei I ⊆RR ein Intervall, a, x ∈ I, f : I → R
stetig und F eine Stammfunktion von f , dann gilt: ax f (t) dt = F (x) − F (a).
Beispiel 2.9 Für welche a ∈ R ist die Funktion f : x 7→ |x|a über [0, 1] integrierbar? Für
welche a ∈ R ist f über [1, ∞) integrierbar?
Beispiel 2.10 Für x ∈ R sei F (x): =
R∞
F (x) =
0
eixt−t dt. Zeigen Sie:
1 + ix
1
=
.
2
1+x
1 − ix
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Beispiel 3.1 Seien A, B Teilmengen eines metrischen Raumes X. Zeigen Sie: 1. (A)c =
(Ac )◦ , 2. (A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B ◦ und 3. A ∪ B = A ∪ B.
Beispiel 3.2 Auf jeder Teilmenge Y eines metrischen Raumes (X, d) ist durch dY : =
d|Y × Y eine Metrik definiert - (Y, dY ) heißt ein Teilraum von (X, d). Eine Teilmenge A
von Y ist genau dann offen (abgeschlossen), wenn eine offene (abgeshlossene) Teilmenge
B von X existiert, so daß A = B ∩ Y . Zeigen Sie ferner: Ist A eine beliebige Teilmenge
von Y , so ist A ∩ Y der Abschluß von A in Y .
Beispiel 3.3 Sei D: = {z ∈ C : |z| < 1} und ϕ : D → C die Abbildung z 7→ z/(1 − |z|).
Zeigen Sie: ϕ ist ein Homöomorphismus aber D ist nicht vollständig.
Beispiel 3.4 Sei (X, d) ein metrischer Raum und D(x, y): = d(x, y)/(1 + d(x, y)). Zeigen
Sie, daß die identische Abbildung von (X, d) auf (X, D) ein Homöomorphismus ist. Ferner
ist eine Folge genau dann eine Cauchy Folge bezüglich d, wenn sie eine Cauchy Folge
bezüglich D ist
Beispiel 3.5 Sei (X, d) ein metrischer Raum und X Z der Produktraum {f : Z → X} mit
der Produktmetrik. Zeigen Sie: 1. Eine Folge fk konvergiert genau dann in X Z , wenn für
alle n ∈ Z die Folge (fk (n))k∈N in X konvergiert.
2. Ist X vollständig, so ist auch X Z vollständig.
Beispiel 3.6 Ein Teilraum Y eines vollständigen Raumes X ist genau dann vollständig,
wenn Y in X abgeschlossen ist.
Beispiel 3.7 Sei (X, k.k) ein Banachraum und p : X → [0, ∞] eine weiter “Norm” auf
X, so daß kxk ≤ p(x) und [p ≤ 1] abgeschlossen in X ist. Zeigen Sie, daß Y : = [p < ∞]
mit der Norm p ein Banachraum ist.
Beispiel 3.8 Sei X ein metrischer Raum und f : X → R eine Funktion. Zeigen Sie, daß
f genau dann stetig ist, wenn f sowohl von unten als auch von oben halbstetig ist.
Beispiel 3.9 Sei A eine beliebige Teilmenge eines metrischen Raumes X und f : A → R
Lipschitz stetig mit der Konstante L. Dann ist
F (x): = inf{f (y) + Ld(x, y) : y ∈ A}
eine Lipschitz stetige Funktion mit der Konstante L und F |A = f .
2. Bestimmen Sie F für X = R, A = [−1, 1] und f (x) = x2 .
Beispiel 3.10 Sei X ein separabler metrischer Raum und Uα , α ∈ I, eine offene Überdeckung.
Zeigen Sie, daß es eine abzählbare Teilmenge J von I gibt, so daß Uα , α ∈ J, eine offene
Überdeckung von X ist (i.e. Uα , α ∈ I, besitzt eine abzählbare Teilüberdeckung).
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Beispiel 4.1 Sei Y eine Teilmenge eines metrischen Raumes X. Zeigen Sie, daß Y genau
dann kompakt ist, wenn jede Überdeckung von Y mit offenen Teilmengen von X eine
endliche Teilüberdeckung enthält.
Beispiel 4.2 Zeigen Sie: 1. Eine Teilmenge A eines kompakten Raumes X ist genau dann
kompakt, wenn sie abgeschlossen ist. 2. Ist X kompakt und f : X → Y stetig, so ist f (X)
kompakt. 3. Ist X präkompakt und f : X → Y gleichmäßig stetig, so ist f (X) präkompakt.
Beispiel 4.3 !! Seien X, Yn metrische Räume, A ⊆ X Jn : X → Yn und In : Yn → X
gleichmäßig stetige Abbildungen, so daß: limn supx∈A d(In (Jn (x)), x) = 0. Ist dann für alle
n ∈ N die Menge Jn (A) präkompakt, so ist A präkompakt !!
Beispiel 4.4 Sei Y ein abgeschlossener Unterraum des Banachraumes X und π : X →
X/Y die Quotientenabbildung. Zeigen Sie, daß das Bild der offenen Einheitskugel von X
unter π die offene Einheitskugel von X/Y ist. Folgern Sie, daß π : X → X/Y offen ist
(i.e. offene Mengen auf offene Mengen abbildet).
Beispiel 4.5 Sei A : ℓn1 → ℓm
1 die Abbildung ej 7→
kAk = sup
nX
k≤m
Pm
Zeigen Sie:
Pm
Zeigen Sie:
k=1 akj ek .
o
akj εk : εk ∈ {−1, +1}, 1 ≤ j ≤ n .
Beispiel 4.6 Sei A : ℓn1 → ℓm
∞ die Abbildung ej 7→
k=1 akj ek .
o
kAk = sup{|akj | : 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ j ≤ n .
Beispiel 4.7 Seien x1 , x2 . . . ∈ ℓ2 und C: = j {x ∈ ℓ2 : hx, xj i ≤ 1}. Dann ist die
Distanzfunktion von C gegeben durch pC (x) = supj hx, xj i.
T
Beispiel 4.8 Sei W : = {x ∈ ℓ2 : |xn | ≤ 1/n} der sogenannte Hilbertwürfel. Zeigen Sie,
daß W kompakt ist und bestimmen Sie die Distanzfunktion pW .
Beispiel 4.9 Sei X ein n-dimensionaler normierter Raum über R, A : X → ℓn2 ein
Isomorphismus und B: = A(BX ). Zeigen Sie: X ist isometrisch isomorph zu (Rn , k.kB ).
Beispiel 4.10 Sei X ein Banachraum A : X → X ein beschränkter linearer Operator.
Zeigen Sie: 1. Durch
exp(A): = eA : =
∞
X
1 n
n! A
n=0
ist ein beschränkter linearer Operator definiert und es gilt: keA k ≤ ekAk .
2. Seien s, t ∈ R As : ℓ22 → ℓ22 der lineare Operator As (e1 ) = −e1 und As (e2 ) = se1 − e2 .
2a. Berechnen Sie die Operatornorm von As .
2b. Berechnen Sie Pt : = etAs sowie die Operatornorm von Pt .
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Beispiel 5.1 Sei X ein Banachraum A : X → X eine lineare Abbildung mit kAk < 1.
Dann ist 1 − A ein Isomorphismus und es gilt:
(1 − A)−1 =
∞
X
An .
n=0
Beispiel 5.2 Zeigen Sie, daß durch Sen = en+1 ein beschränkter linearer Operator S :
ℓ2 → ℓ2 definiert ist mit kSk = 1 und bestimmen Sie S ∗ .
Beispiel 5.3 Sei E ein Hilbetrtraum und u, v : E → E beschränkte, lineare Operatoren.
Zeigen Sie (uv)∗ = v ∗ u∗ und ku∗ k = kuk. 2. Ist F ein abgeschlossener Unterraum und
P : E → F die orthogonale Projektion, so gilt P ∗ = P .
Beispiel 5.4 Ein beschränkter, selbstadjungierter Operator P : E → E auf einem Hilbertraum E ist genau dann eine orthogonale Projektion, wenn P 2 = P .
Beispiel 5.5 Jeder separable Hilbertraum E besitzt eine orthonormale Basis en . en ist
genau dann eine Basis des Vektorraums E, wenn E endlich dimensional ist.
Beispiel 5.6 Sei E ein Hilbertraum und F ein abgeschlossener Teilraum von E. Dann
ist F ⊥ isometrisch isomorph zu E/F .
Beispiel 5.7 Sei E ein reeller Hilbertraumen, kuk = 1, und t ∈ R. Dann ist der Abstand
des Punktes x von der Hyperebene H: = {x ∈ E : hx, ui = t} gegeben durch d(x, H) =
|hx, ui − t|.
Beispiel 5.8 Seien K : N × N → R, K(n, m) = 1/(n + m) und b : N → R+ , b(n) =
√
1/ n. Zeigen Sie, daß für alle n, m ∈ N gilt:
X
m
|K(m, n)|b(m) ≤ πb(n) .
Hinweis: schätzen Sie die Summe durch ein Integral ab! Schließen Sie daraus, daß durch
P
Af (n): = m K(m, n)f (m) ein stetiger linearer Operator A : ℓ2 → ℓ2 definiert ist mit:
kAk ≤ π.
Beispiel 5.9 Die Laplace-Transformation Lf (x): = 0∞ e−xy f (y) dy ist ein stetiger linea√
rer Operator L : L2 (R+ ) → L2 (R+ ) und es gilt: kLk ≤ π. Hinweis: versuchen Sie im
Schur-Test: b(y) = y −a und bestimmen Sie a!
R
Beispiel 5.10 Sei ajk = 0 falls |j − k| =
6 1 und aj,j+1 = aj+1,j = cj , |cj | < c.
P
1. Zeigen Sie, daß die Operatornorm der durch Aek : = k ajk ej definierten linearen Abbildung A : ℓ2 → ℓ2 stets kleiner als 2c ist.
2. Falls lim cn = 0, dann ist A kompakt.
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Beispiel 6.1 Sei B1 : = {x ∈ ℓ2 :
|xj | ≤ 1} und Pn die orthogonale Projektion auf
[e1 , . . . , en ]. Zeigen Sie, daß B1 eine abgeschlossene Teilmenge von ℓ2 ist und daß für alle
x = (x1 , x2 , . . .) ∈
/ B1 gilt:
P
d(Pn x, Pn (B1 ))2 ≤ d(x, B1 )2 ≤ d(Pn x, Pn (B1 ))2 + kx − Pn xk2 .
√
P
2. Zeigen Sie: d(Pn x, Pn (B1 )) = ( nj=1 |xj | − 1)/ n.
Beispiel 6.2 Sei X eine (endliche) Menge p : X × X → R und µ : X → R+ strikt
positiv. Bezeichnen wir mit L2 (µ) den Hilbertraum aller reellwertigen Funktionen auf X
P
P
mit dem inneren Produkt hf, gi: = x f (x)g(x)µ(x), so ist durch P f (x): = y p(x, y)f (y)
ein linearer Operator P : L2 (µ) → L2 (µ) definiert und es gilt:
P ∗ f (x) =
X
q(x, y)f (y)
mit
q(x, y): = µ(y)p(y, x)/µ(x) .
y
Beispiel 6.3 Sei A : E → E ein beschränkter linearer Operator auf dem Hilbertraum E
Ist F ein Unterraum von E, dann gilt: A∗ (F )⊥ = A−1 (F ⊥ ).
2. Ist A : E → E selbstadjungiert oder unitär und A(F ) ⊆ F , so folgt: A(F ⊥ ) ⊆ F ⊥ .
Beispiel 6.4 Seien E, F Hilberträume und A : E → F ein beschränkter, linearer Operator. Dann gilt: ker A ⊥ im A∗ und E = ker A ⊕ im A∗ .
Beispiel 6.5 A : E → E ist genau dann unitär wenn A eine Isometrie auf E ist.
Beispiel 6.6 Sei A : E → F ein beschränkter linearer Operator eines Hilbertraumes
E in den Hilbertraum F . Existiert eine Konstante C < ∞, so daß für alle x ∈ im A∗ :
kxk ≤ C kAxk, dann ist im A abgeschlossen.
Beispiel 6.7 Sei H : E → E ein positiver, kompakter, selbstadjungierte Operatoren.
Dann existiert ein positiver selbstadjungierter Operator R, so daß R2 = H.
Beispiel 6.8 Sei E ein komplexer Hilbertraum und A ein kompakter Operator. Ist A
schiefsymmetrisch, d.h. A∗ = −A, dann existiert eine Nullfolge λn ∈ R sowie eine Folge
paarweise orthonormaler Vektoren xn ∈ E, so daß für alle x ∈ E:
Ax =
X
n
iλn hx, xn i xn .
Beispiel 6.9 Sei E ein separabler Hilbertraum, en eine orthonormale Basis von E und
A : E → E ein Hilbert-Schmidt Operator. Zeigen Sie:
P
1. kAk2HS = j,k |hAej , ek i|2 = kA∗ k2HS .
P
2. Ist xn eine weitere orthonormale Basis von E, so gilt: n kAxn k2 = kAk2HS .
√
3. kAk ≤ kAkHS . Falls dim E = n, dann gilt: kAkHS ≤ n kAk.
Beispiel 6.10 Sei E ein separabler Hilbertraum und HS(E) der Raum der Hilbert-Schmidt
P
Operatoren auf E. Dann ist (HS(E), k.kHS ) ein Hilbertraum. Hinweis: hA, Bi: = j hAej , Bej i.
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Übungen zu Integration WS10/11
Beispiel 7.1 Seien a < b ∈ R, J: = (a, b). Dann gilt für alle f ∈ Cc∞ (J) die
Poincaré-Ungleichung:
Z
b
a
Hinweis: Benutzen Sie f (x) =
Rx
a
2
2
f (x) dx ≤ (b − a)
Z
b
f ′2 (x) dx .
a
f ′ sowie die Cauchy-Schwarz Ungleichung.
Beispiel 7.2 Seien −∞ ≤ α < β ≤ ∞, δ > 0, J = (α, β) und V : J → R meßbar,
so daß V (x) ≥ δ und für jede kompakte Teilmenge K von I: V IK ∈ L2 (J). Ferner sei
D0 : = Cc∞ (J) und H0 : D0 → L2 (J) der Schrödinger-Operator H0 u: = −u′′ + V u. Zeigen
Sie:
Z
∀ u ∈ D0 : hH0 u, ui = |u′ |2 + V u2 ≥ δ kuk2
J
H0−1
Folgern Sie, daß 2. B: =
existiert und ein beschränkter, positiver linearer Operator
auf F : = im H0 ist. 3. Für jede Folge un ∈ D0 , für die supn kun k und supn ku′n k beschränkt
sind, gelte: un besitzt eine konvergente Teilfolge. Zeigen Sie, daß dann B kompakt ist.
Beispiel 7.3 Seien Ω eine offene Teilmenge von Rn und V : Ω → R meßbar, so daß
V (x) ≥ δ und für jede kompakte Teilmenge K von Ω: V IK ∈ L2 (Ω). Ferner sei D0 : =
P
Cc∞ (Ω) und H0 : D0 → L2 (Ω) der Schrödinger-Operator H0 u: = − j ∂j2 u + V u. Zeigen
Sie:
Z X
∀ u ∈ D0 : hH0 u, ui =
|∂j u|2 + V u2 ≥ δ kuk2
Ω j
Folgern Sie, daß 2. B: = H0−1 existiert und ein beschränkter, positiver linearer Operator
P
auf F : = im H0 ist. 3. Für jede Folge un ∈ D0 , für die supn kun k und supn j k∂j un k beschränkt sind, gelte: un besitzt eine konvergente Teilfolge. Zeigen Sie, daß dann B kompakt
ist.
Beispiel 7.4 Sei E ein Hilbertraum H : E → E ein beschränkter, positiver Operator und
Pt : = e−tH . Dann gilt: 1. Pt Ps = Pt+s , 2. limt↓0 kPt − 1k = 0, 3. limh→0 h1 (Pt+h − Pt ) =
−HPt , 4.: kPt k ≤ 1 und 5. Ist xn eine orthonormale Basis von Eigenvektoren von H zu
den Eigenwerten λn ≥ 0, so besitzt Pt die Eigenwerte e−tλn .
Man nennt Pt eine normstetige Kontraktionshalbgruppe mit dem Generator −H.
Beispiel 7.5 Seien X, Y, Z Banachräume und A : X → Y , B : Y → Z beschränkte
lineare Operatoren. Dann gilt: kBAk ≤ kAk kBk und (BA)∗ = A∗ B ∗ .
Beispiel 7.6 Sei n ∈ N und Dn ⊆ R2 das “regelmäßige 2n-Eck” mit den Eckpunkten
zk : = (cos(πik/n), sin(πik/n)), k = 0, . . . , 2n − 1. Bestimmen Sie die Polare Dn∗ : = {x ∈
R2 : ∀ y ∈ Dn hy, xi ≤ 1} von Dn .
Beispiel 7.7 Seien a, b > 0 und E die Ellipse E: = {(x, y) ∈ R2 (x/a)2 + (y/b)2 ≤ 1}.
Bestimmen Sie die Polare E ∗ .
Beispiel 7.8 Sei X ein kompakter metrischer Raum und E ein Unterraum von C(X)
mit der Eigenschaft, daß für alle f, g ∈ E gilt: f ∧ g, f ∨ g ∈ E. Falls 1 ∈ E und falls
E die Punkte von X trennt, dann ist E dicht in C(X). Hinweis: Beweis des Satzes von
Stone-Weiserstraß.
Beispiel 7.9 Sei π = {0 = a0 < · · · < an = 1} eine Zerlegungen des Intervalls [0, 1]
und E(π) der Raum der Funktionen, die an den Stellen aj , 0 ≤ j ≤ n beliebige Werte
annehmen und zwischen diesen Stellen linear interpolieren. Dann ist
[
{E(π) : π ist eine Zerlegung von [0, 1]}
ein dichter Unterraum von C[0, 1].
Beispiel 7.10 Sei D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} und P die von den RPolynomen aufgespannte
Unteralgebra von C(D, C). Zeigen Sie, daß für alle p ∈ P gilt: D p(z)z = 0 und folgern
Sie, daß P nicht dicht in C(D, C) ist.
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Übungen zu Integration WS10/11
Beispiel 8.1 Sei I ein offenes Intervall. Dann ist Cb (I) nicht separabel.
Beispiel 8.2 Für t > 0 sei pt (x) = exp(−tx). Dann ist [pt ; t > 0] ein dichter Teilraum
von C0 (R+
0 ).
2
Beispiel 8.3 Der von den Funktionen ϕt,z (x): = e−tkx−zk , t > 0, z ∈ Rn , aufgespannte
Unterraum von C0 (Rn ) ist dicht in C0 (Rn ).
Beispiel 8.4 Der von den Funktionen fz,n (x): = (x−z)−n , z ∈ C\R, n ∈ N aufgespannte
Unterraum E von C0 (R) ist dicht in C0 (R).
Beispiel 8.5 Seien Xn , n ∈ N kompakte metrische Räume, X =
C(Xj ) sei
f1 ⊗ · · · ⊗ fn (x1 , . . . , xn ): = f1 (x1 ) . . . fn (xn ) .
Q
n Xn
und für fj ∈
Bezeichnet dann A den von den Funktionen f1 ⊗ · · · ⊗ fn , fj ∈ C(Xj ), n ∈ N erzeugten
Unterraum, so ist A dicht in C(X).
Beispiel 8.6 Eine gleichgradig stetige und beschränkte Teilmenge M von C0 (Rn ) ist genau dann präkompakt, wenn zu jedem ε > 0 eine kompakte Teilmenge Kε ⊆ Rn existiert,
so daß für alle f ∈ M und alle x ∈
/ Kε : |f (x)| < ε.
Beispiel 8.7 Sei Ω eine offene beschränkte und konvexe Teilmenge von Rn . Zeigen Sie,
daß die Einbettung f 7→ f von Cb1 (Ω) in C(Ω) kompakt ist.
Beispiel 8.8 Sei fn eine gleichgradig stetige, beschränkte Folge in Cb (Rn ). Dann existiert
eine Funktion f ∈ Cb (Rn ) und eine Teilfolge fk(n) , die auf allen kompakten Teilmengen
von Rn gleichmäßig gegen f konvergiert - man sagt, fk(n) konvergiert kompakt oder normal
gegen f .
Beispiel 8.9 Geben Sie ein Beispiel einer kompakt konvergenten Folge in Cb (R), die nicht
gleichmäßig konvergiert.
Beispiel 8.10 Sei α ∈ (0, 1], Ω ein beschränktes Gebiet in Rn Zu f : Ω → R sei
kf kα : = sup
n |f (x) − f (y)|
d(x, y)α
o
: x 6= y, x, y ∈ Ω + sup{|f (x) : x ∈ Ω} .
Dann ist Lipα (Ω): = {f ∈ C(Ω) : kf kα < ∞} mit der Norm k.kα ein Banachraum und die
kanonische Einbettung von Lipα (Ω) in Lipβ (Ω) ist für alle α > β kompakt.
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Übungen zu Integration WS10/11
Beispiel 9.1 Sei An eine Folge von Teilmengen von Ω, dann definieren wir die Menge
lim supn An als die Menge aller Elemente von Ω, die in unendlich vielen An liegen, und
lim inf n An als die Menge aller Elemente von Ω, die in fast allen An zu finden sind.
lim supn An und lim inf n An können durch die Ausdrücke
∞ \
[
Ak
∞ [
\
bzw.
n=1 k≥n
Ak
n=1 k≥n
definiert werden. Welche dieser beiden Formeln gilt für lim sup An , welche für lim inf An ?
Beispiel 9.2 Zeigen Sie: IA∩B = IA IB , IA∆B = |IA − IB | und Ilim sup An = lim sup IAn
bzw. Ilim inf An = lim inf IAn .
Beispiel 9.3 Sei An eine Folge von Teilmengen von Ω. Man sagt, die Folge An konvergiert
gegen eine Menge A, wenn gilt: A = lim supn An = lim inf n An . Man schreibt dann analog
zur Konvergenz reeller Zahlen limn→∞ An = A oder An → A. Zeigen Sie:
1. Ist die Folge An monoton steigend, d.h. An ⊆ An+1 für alle n ∈ N (i.Z. An ↑), dann
gilt
lim An =
n→∞
∞
[
An .
n=1
2. Ist die Folge An monoton fallend, d.h. An+1 ⊆ An für alle n ∈ N (i.Z. An ↓), dann
gilt:
lim An =
n→∞
∞
\
An .
n=1
3. An konvergiert genau dann gegen A, wenn die Funktionenfolge IAn punktweise gegen
IA konvergiert.
Beispiel 9.4 Sei An eine Folge meßbarer Teilmengen von Ω. Zeigen Sie, daß lim supn An
und lim inf n An meßbar sind. Ist µ ein endliches Maß auf (Ω, F), so gilt:
µ(lim inf An ) ≤ lim inf µ(An ) ≤ lim sup µ(An ) ≤ µ(lim sup An ) .
n
n
n
n
Schließen Sie hieraus, daß – falls A = limn An existiert – gilt: limn→∞ µ(An ) = µ(A).
Beispiel 9.5 Seien Fα σ-Algebren. Zeigen Sie, daß Fα eine σ-Algebra ist.
S
Seien F1 ⊆ F2 ⊆ · · · σ-Algebren. Zeigen Sie, daß Fn eine Algebra aber nicht notwendigerweise eine σ-Algebra ist.
T
Beispiel 9.6 Seien an ≥ 0, xn ∈ Rn und δxn das Punkt- oder Diracmaß δxn (A) = 1 falls
P
xn ∈ A und δxn (A) = 0 falls xn ∈
/ A. Dann ist µ: = an δxn ein Maß auf (Rn , B). Jedes
solche Maß heißt diskret.
Beispiel 9.7 Seien 1 ≤ m ≤ n, Ω = {−1, 1}n und µ({ω}) = 2−n . Berechnen Sie das Maß
P
der Menge {ω ∈ Ω : ωj = m}.
Beispiel 9.8 Sei A eine Algebra, µ ein Maß auf A und B ∈ F: = σ(S) mit µ(B) < ∞.
Dann existiert zu jedem ε > 0 ein A ∈ A, so daß µ(B∆A) < ε.
Beispiel 9.9 Sei rn eine Durchnummerierung der rationalen Zahlen des Intervalls [0, 1]
P
S
und εn > 0. Falls n [rn , rn + εn ] = [0, 1], dann ist εn ≥ 1.
Beispiel 9.10 Zu jedem ε > 0 existiert eine kompakte Teilmenge K von [0, 1], so daß
K ◦ = ∅ und λ(K) > 1 − ε.
10
Übungen zu Integration WS10/11
Beispiel 10.1 Seien P die Menge aller kompakten Quader in Rn mit rationalen Kantenlängen und rationalem Mittelpunkt. Zeigen Sie: σ(P) = B und folgern Sie, daß zwei
Radonmaße genau dann übereinstimmen, wenn Sie auf P übereinstimmen.
Beispiel 10.2 Sei F (x) = log x, dann ist für alle 0 < a < b durch µ(a, b]: = F (b) − F (a)
ein Maß definiert. Zeigen Sie, daß für alle x > 0 und alle Borelmengen A von R+ gilt:
µ(xA) = µ(A) – µ heißt das Haarmaß auf der multiplikativen Gruppe (R+ , ·).
Beispiel 10.3 Bestimmen Sie ein Radonmaß µ auf der multiplikativen Gruppe G: = R+ ×
R+ mit (x1 , x2 ).(y1 , y2 ): = (x1 y1 , x2 y2 ), so daß für alle x ∈ G und alle Borelmengen A
von G gilt: µ(xA) = µ(A).
Beispiel 10.4 Sei L : C[0, 1] → R ein positives, lineares Funktional, d.h. für alle nicht
negativen f ∈ C[0, 1] gilt: L(f ) ≥ 0, dann ist L ein stetiges lineares Funktional, also
L ∈ C[0, 1]∗ . 2. Sei
F (x): = inf{L(f ) : f ∈ C[0, 1], I[0,x] ≤ f }
und für b > a sei fab (x) = 1 falls x ≤ a, fab (x) = 0 falls x ≥ b und auf (a, b) linear
interpoliert. Zeigen Sie: F (x) = limb↓x L(fxb ) und F ist eine Verteilungsfunktion auf [0, 1].
2. Bestimmen Sie F für L(f ): = f (1/4) + 2f (1/2) + f (3/4).
Beispiel 10.5 Seien I = I0,1 = [0, 1]. Aus I0,1 entfernen wir jenes offene Intervall J0,1 ,
dessen Mittelpunkt mit jenem von I0,1 übereinstimmt und dessen Länge das 1/3 der Länge
von I0,1 beträgt. Es verbleiben zwei Intervalle I1,1 bzw. I1,2 , aus denen wir die offenen,
mittleren Drittel J1,1 bzw. J1,2 entfernen um vier Intervalle I2,1 , . . . , I2,4 zu erhalten, u.s.w.
S
Sei ∆n : = k In,k .
Zeigen Sie: für δn = 1/3 besteht ∆n aus der Menge der Zahlen x aus [0, 1], deren triaP
−k hat, wobei für k ≤ n: a ∈ {0, 2} und für
dischen Entwicklungen die Gestalt ∞
k
k=1 ak 3
k > n: αk ∈ {0, 1, 2}.
Beispiel 10.6 Sei ∆ die Cantormenge und F |J n,k : = 2−n−1 (2k − 1). Zeigen Sie, daß
F : (0, 1) → R stetig und monoton steigend ist. Ferner gilt F (0+) = 0, F (1−) = 1 und
µF (∆) = 1 und µF (I \ ∆) = 0. F ist also eine stetige Funktion, die die Lebesguesche
Nullmenge ∆ auf das Intervall [0, 1] abbildet.
Beispiel 10.7 Ist Pr1 : R2 → R die Projektion (x, y) 7→ x, so gibt es eine Lebesgue
meßbare Teilmenge A von R2 , so daß Pr1 (A) nicht Lebesgue meßbar ist.
Sei U eine offene Teilmenge von B: = (−1, 1] und Fn = σ(πn ) die dyadische σ-Algebra der
Stufe n auf B. Seien J0 : = {k ∈ N : A0,k ∈ π0 , A0,k ⊆ U } und:
n
Jn+1 : = k ∈ N : An,k ∈ πn , An,k ⊆ U \
n
[
[
m=0 j∈Jm
Am,j
o
.
Dann ist {A◦n,k : n ∈ N, k ∈ Jn } eine Folge offener, paarweise disjunkter Intervalle Wm =
xm + rm (−1, 1) ⊆ U , so daß
Beispiel 10.8 1. W m ⊆ U und λ(U ) =
Beispiel 10.9 2. rm ≥ 14 d(xm , ∂U ).
P
λ(Wm ).
Beispiel 10.10 3. Ist F : B → R Lipschitz stetig, so ist das Bild jeder Lebesgue meßbaren
Teilmenge wiederum Lebesgue meßbar. Hinweis: Ist A eine Lebesgue meßbare Teilmenge
von B, dann existiert aufgrund der Regularität des Lebesguemaßes λ auf B zu jedem ε > 0
eine kompakte Teilmenge K und eine offene Teilmenge U von B, so daß mit V : = U \ K:
λ(V ) < ε und K ⊆ A ⊆ U . Wenden Sie die obige Konstruktion auf V an!
11
Übungen zu Integration WS10/11
Beispiel 11.1 Sei (Ωj , Fj ), j = 1, 2, 3, meßbare Räume. Sind F : Ω1 → Ω2 und G : Ω2 →
Ω3 meßbar, so ist G ◦ F : Ω1 → Ω3 meßbar.
Beispiel 11.2 Sei F : R+ × S n−1 → Rn \ {0} die Abbildung (r, z) 7→ rz. Zeigen Sie, daß
F ein Homöomorphismus ist und schließen Sie daraus, daß das Mengensystem
C: = {F ((0, r]) × A) : r > 0, A ∈ B(S n−1 )}
die Borelsche σ-Algebra auf Rn erzeugt.
Beispiel 11.3 1. Seien X, Y : (Ω, F) → R meßbar. Zeigen Sie, daß die Mengen [X > Y ]
und [X = Y ] in F liegen.
2. Ist Xn : (Ω, F) → (R, B) eine Folge meßbarer Funktionen, dann liegt die Menge
[limn Xn existiert] in F.
Beispiel 11.4 Zeigen Sie: 1. Ist f : R → R differenzierbar, so ist f ′ Borel meßbar.
2. Ist f : R → R monoton, so ist f Borel meßbar.
Beispiel 11.5 Seien Ω1 , Ω2 separable metrische Räume. Dann gilt: B(Ω1 ×Ω2 ) = B(Ω1 )⊗
B(Ω2 ).
Beispiel 11.6 Sei λ das Lebesguemaß auf (0, 1]. Für n = 0, 1, . . . und 1 ≤ k ≤ 2n sei
fn,k (x): =
(
1 falls k−1
2n < x ≤
0 sonst
k
2n
Setzen wir g0 = f0,1 , g1 = f1,1 , g2 = f1,2 , g3 = f2,1 usw., so konvergiert die Folge gn zwar
im Maß gegen 0 aber nicht fast überall.
Beispiel 11.7 Sei X : (Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 ) und µ ein Maß auf (Ω1 , F1 ). Zeigen Sie:
µX (B): = µ(X ∈ B) ist ein Maß auf F2 (das sogenannte Bildmaß).
2. Sei f : (0, 1) → (0, 1), f (t) = 4t(1 − t) und λ das Lebesguemaß auf (0, 1). Berechnen
Sie für alle 0 < x < 1: λf ((0, x]).
+
Beispiel 11.8 Bezeichnet ϕ : R0 → [0, 1] die Funktion t 7→ t/(1 + t), so definieren wir
für X ∈ M (Ω, F, µ):
kXk0 : = inf{ϕ(t + µ(|X| > t)) : t > 0} .
1.
2.
3.
X
Für alle X, Y ∈ M (Ω, F, µ) gilt: kX + Y k0 ≤ kXk0 + kY k0 .
kXk0 = 0 genau dann, wenn X eine µ-Nullfunktion ist.
Eine Folge Xn ∈ M (Ω, F, µ) konvergiert genau dann gegen X, wenn Xn im Maß gegen
konvergiert.
Beispiel 11.9 Die Abbildungen (X, Y ) 7→ X + Y , X 7→ λX und X 7→ |X| sind stetig in
M (Ω, F, µ). Ist µ endlich, so liegen die einfachen Funktionen dicht in M (Ω, F, µ).
Beispiel 11.10 Sei Xn eine Folge meßbarer Funktionen auf einem endlichen Maßraum
(Ω, F, µ). Xn konvergiert genau dann f.ü., wenn für alle t > 0:
lim µ sup |Xk − Xn | > t = 0 .
n
k≥n
12
Übungen zu Integration WS10/11
Beispiel 12.1 Sei µ ein diskretes Maß auf z.B. Rn . Dann existiert eine Folge xk ∈ Rn
und positive Zahlen ak , so daß für alle nicht negativen Funktionen f : Rn → [0, ∞] gilt:
Z
f dµ =
X
f (xk )ak .
n
Beispiel 12.2 Sei X integrierbar, dann existiert eine Folge einfacher Funktionen Xn , so
daß:
Z
lim |X − Xn | dµ = 0 .
n
Beispiel 12.3 Falls Xn ↑ X,
R
|X1 | dµ < ∞, dann gilt:
Beispiel 12.4 Falls Xn ≥ 0, dann gilt:
Z X
∞
Xn dµ =
n=1
∞ Z
X
R
Xn dµ ↑
R
X dµ.
Xn dµ .
n=1
Beispiel 12.5 Seien f : Ω × R → R, so daß ω 7→ f (ω, x) und
ω 7→ ∂x f (ω, x) integrierbar
R
sind. Ist x 7→ f (ω,
x) für alle ω ∈ Ω konvex, so ist F (x): = f (., x) dµ differenzierbar und
R
es gilt: F ′ (x) = ∂x f (., x) dµ.
Beispiel 12.6 Sei f : R+ × (0, π/2] → R die Abbildung (t, x) 7→ sint x und
F (t): =
Z
π/2
f (t, x) dx .
0
Dann ist F stetig differenzierbar und limt↓0 F ′ (t) = −π log 2/2.
Beispiel 12.7 Sei L+
0 (µ): = {XR ∈ L0 (µ) : X ≥ 0}. Zeigen Sie mithilfe des Lemmas von
Fatou, daß die Abbildung X 7→ X dµ auf L+
0 (µ) (mit der Metrik von L0 (µ)) von unten
halbstetig ist.
Beispiel 12.8 Seien 1 ≤ p0 < p1 ≤ ∞ und X ∈ Lp0 (µ) ∩ Lp1 (µ) Zeigen Sie mithilfe der
θ
Hölder-Ungleichung die Interpolations-Ungleichung: kXkp ≤ kXk1−θ
p0 kXkp1 , wobei 1/p =
(1 − θ)/p0 + θ/p1 .
Beispiel 12.9 Seien 1 ≤ p ≤ ∞, 1/p + 1/q = 1 und E der Raum aller einfachen integrierbaren Funktionen. Dann gilt für alle X ∈ Lp (µ):
kXkp = sup
nZ
o
XY dµ : Y ∈ E, kY kq ≤ 1 .
Beispiel 12.10 Seien fn,k und gn wie in Beispiel 11.6. Zeigen Sie, daß die Folge gn für
alle p < ∞ in Lp [0, 1] gegen 0 konvergiert.
13
Übungen zu Integration WS10/11
Beispiel 13.1 Sei λ das Lebesguemaß auf (0, 1]. Dann existiert keine Metrik d auf L0
deren konvergente Folgen genau die f.ü. konvergenten Folgen sind. Hinweis: Sei fn eine
Folge in L0 , die zwar im Maß gegen 0 konvergiert aber nicht f.ü., also nicht bezüglich d.
Dann besitzt jede Teilfolge von fn eine Teilfolge die f.ü. und damit bezüglich d gegen 0
konvergiert.
Beispiel 13.2 Ist Ω abzählbar, F = P(Ω) und µ ein endliches Maß auf (Ω, F), so konvergiert eine Folge meßbarer Funktionen Xn genau dann f.ü., wenn sie im Maß konvergiert.
Beispiel 13.3 Sei K ein kompakter metrischer Raum und µ ein endliches Borelmaß auf
K. Ist E ein dichter Unterraum von C(K), so ist E auch ein dichter Unterraum von p > 0
und Lp (µ) für 1 ≤ p < ∞.
Beispiel
13.4 Sei 1 ≤ p < ∞. Dann ist der von den trigonometrischen Funktionen
√
√
√
1/ 2π, sin(nx)/ π und cos(nx)/ π, n ∈ N, aufgespannte Unterraum dicht in Lp (−π, π)
und im Falle p = 2 bilden sie
√ eine orthonormale Basis des reellen Hilbertraumes L2 (−π, π).
2. Die Funktionen e−inx / 2π, n ∈ Z, spannen einen dichten Unterraum des komplexen
Raumes Lp (−π, π) auf und im Falle p = 2 bilden sie eine orthonormale Basis des komplexen Hilbertraumes L2 (−π, π).
Beispiel 13.5 Sei Fn die dyadische σ-Algebra der Stufe n auf [0, 1] und für n ≥ 0 und
k = 0, . . . , 2n−1 − 1 sei h0,0 (t) = 1 und für :
hn,k (t): =

(n−1)/2

 2


−2(n−1)/2
0
falls 2k/2n < t < (2k + 1)/2n
falls (2k + 1)/2n < t < (2k + 2)/2n
sonst
Zeigen Sie, daß für alle N ∈ N die Familie {hn,k : 0 ≤ n ≤ N, 0 ≤ k < 2n−1 } eine
orthonormale Basis von L2 (FN , λ) ist. {hn,k } heißt das Haar System auf [0, 1].
Beispiel 13.6 Zeigen Sie, daß das Haar System eine orthonormale Basis von L2 (0, 1)
S
ist. Hinweis: σ( Fn ) = B.
Beispiel 13.7 Bestimmen Sie mithilfe des Haar Systems eine orthonormale Basis von
L2 (R).
Beispiel 13.8 Für welche α, β ∈ R liegt die Funktion kxkα (1 + kxk)β in Lp (Rn )?
Beispiel 13.9 Sei u : ℓn2 → ℓn2 eine bijektive lineare Abbildung und γ das standardisierte
Gaußmaß auf Rn , i.e.
2
γ(dx) = (2π)−n/2 e−kxk /2 dx .
Berechnen Sie die Dichte des Bildmaßes γu bezüglich des Lebesguemaßes und bezüglich des
Maßes γ.
Beispiel 13.10 Sei p > 0 und M eine in L0 (µ) präkompakte Teilmenge. Existiert ein
Y ∈ Lp (µ), so daß für alle X ∈ M : |X| ≤ Y , so ist M eine präkompakte Teilmenge von
Lp (µ).
2. Sei zu n ∈ Z: χn (x) = einx
√ und λ das Lebesguemaß auf (−π, π). Zeigen Sie, daß für alle
n 6= m gilt: λ(|χm − χn | > 2) = π und folgern Sie, daß {χn : n ∈ Z} keine präkompakte
Teilmenge von L0 [−π, π] ist.
14
Übungen zu Integration WS10/11
Beispiel 14.1 RFür alle a > 0 und alle f ∈ L1 (R+ ) gilt:
Berechnen Sie R exp(−x2 − 1/x2 ) dx.
R
f (|x − a/x|) dx =
R
f (x) dx.
Beispiel 14.2 Zeigen Sie mithilfe der geometrischen Reihe für (1 − x2 y 2 )−1 :
3
4 ζ(2)
=
∞
X
−2
(2n + 1)
=
Z
0
n=0
1Z 1
0
(1 − x2 y 2 )−1 dy dx
Berechnen Sie das Integral mittels der Substitution (x, y) = (sin s/ cos t, sin t/ cos s).
Beispiel 14.3 Sei a > 0 und Φ : (1, ∞) × (−1, 1) × (−π, π) → R3 die Koordinatentransformation
q
q
(ζ, η, φ) 7→ (a (ζ 2 − 1)(1 − η 2 ) cos φ, a (ζ 2 − 1)(1 − η 2 ) sin φ, aηζ)
Die Koordinaten (ζ, η, φ) nennt man elliptische Koordinaten. Zeigen Sie, daß für alle
meßbaren f : R3 → [0, ∞] gilt:
Z
R3
f (x) dx = a
3
Z
1
∞Z 1
Z
π
f (Φ(ζ, η, φ))(ζ 2 − η 2 ) dφ dη dζ .
−1 −π
Beispiel 14.4 (Cavalieri) Sei f : Rm → Rn Borel meßbar. Zeigen Sie, daß die Abbildung
F : Rm × Rn → Rm × Rn (x, y) →
7 (x, y + f (x))
eine Bijektion ist, und daß sowohl F als auch F −1 Borel meßbar sind. Zeigen Sie ferner:
λ(F (A × B)) = λ(A × B).
Beispiel 14.5 Seien t, a > 0. Zeigen Sie:
(4πt)−n/2
Z
Rn
2
kxka e−kxk
/4t
a−1 e−x2 /4t dx
R |x|
R
dx =
= 2a ta/2 Γ(a/2) und
(4t)a/2 nΓ(1 + (a + n)/2)
.
(a + n)Γ(1 + n/2)
Beispiel 14.6 Sei B2n die offene euklidische Einheitskugel und ψ : Rn → R+
0 die Abbildung
(
1
−
1−kxk2
e
falls kxk < 1
ψ(x) =
0
sonst
Dann ist ψ glatt und es gilt: B2n = [ψ > 0].
Beispiel 14.7 Sei U eine offene Teilmenge von Rn → R. Dann gibt es eine Folge offener
Kuglen xn + rn B2n und cn > 0, so daß
ψU (x): =
X
n
glatt ist und U = [ψU > 0].
cn ψ((x − xn )/rn )
Beispiel 14.8 Seien f : Rn → R integrierbar und ψ ∈ Cc∞ (Rn ). Dann ist f ∗ ψ von der
Klasse C ∞ . Falls f ∈ Cc (Rn ), dann liegt f ∗ ψ in Cc∞ (Rn ).
Beispiel 14.9 (Approxitation der Eins) Seien ε > 0, R1 ≤ p < ∞ und ψ eine nicht
n
negative Funktion in Cc∞ (Rn ), so daß suppψ = B 2 und ψ = 1. Setzen wir ψε (x): =
ψ(x/ε)ε−n , so gilt:
1. Für alle f ∈ Cc (Rn ) konvergiert f ∗ ψε mit ε → 0 gleichmäßig gegen f .
2. Für alle f ∈ Lp (Rn ) konvergiert f ∗ ψε mit ε → 0 in Lp (Rn ) gegen f .
Beispiel 14.10 Zeigen Sie, daß die Abbildung Q : L2 (Rn ) → [0, ∞],
Q(f ): = sup sup
Z
y∈S n−1 |t|>0 Rn
f (x + ty) − f (x) 2
t
dx
l.s.c ist und daß für glatte Funktionen f ∈ Cc∞ (Rn ) gilt:
Q(f ) = sup
y∈S n−1
Z
|df (x)y|2 dx .
df (x)y ist die hierbei die Richtungsableitung von f im Punkt x in Richtung y.
2. Folgern Sie aus 1., daß der Sobolevraum
H1 (Rn ) : = {f ∈ L2 (Rn ) : ∀ j ≤ n : Q(f ) < ∞}
kf k2H1
:=
kf k22
+ Q(f )
mit der Norm
ein Banachraum ist.
3. Ist M eine beschränkte Teilmenge von H1 (Rn ), so ist für jede kompakte Teilmenge K
von Rn die Menge {f |K : f ∈ M } eine präkompakte Teilmenge von L2 (K).