Tabellenbuch Bautechnik - ReadingSample - Beck-Shop

Tabellenbuch Bautechnik
Tabellen, Formeln, Regeln, Bestimmungen
von
Reinhardt Dickel, Jens Kickler, Peter Peschel, Tobias Trutzenberg
1. Auflage
Europa Lehrmittel 2013
Verlag C.H. Beck im Internet:
www.beck.de
ISBN 978 3 8085 4273 6
schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG
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Seite 1
Naturwissenschaften
EUROPA-FACHBUCHREIHE
für Bauberufe
Mathematik
Bau 001-006_Layout 1
Bearbeitet von Lehrern und Ingenieuren an berufsbildenden Schulen
und Fachhochschulen
Bauzeichnen
Tabellen – Formeln – Regeln – Bestimmungen
Bauphysik /
Bautenschutz
Tabellenbuch
Bautechnik
Statik,
Lastannahmen
Peschel · Dickel · Kickler · Mentlein · Trutzenberg
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 42519
Baubetrieb
Baukonstruktion
12. überarbeitete Auflage 2013
Baustoffe
Lektorat: Peter Peschel, Oberstudiendirektor
Bau 001-006_Layout 1
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Seite 2
Autoren des Tabellenbuches Bautechnik
Peschel, Peter
Dickel, Reinhardt
Kickler, Jens
Mentlein, Horst
Trutzenberg, Tobias
Oberstudiendirektor
Dipl.-Ing., Oberstudienrat
Dr.-Ing., Professor
Dr.-Ing., Professor
Oberstudienrat
Göttingen
Hötzum
Hannover
Lübeck
Essen
Lektorat
Peter Peschel
Für die Zusammenarbeit im Kapitel Mathematik danken wir Herrn StR Stefan Rappe.
Bildbearbeitung
Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel, Ostfildern
Diesem Buch wurden die neuesten Ausgaben der DIN-Blätter sowie andere Bestimmungen und Richtlinien zugrunde gelegt (Redaktionsschluss 31.03.2013). Verbindlich sind jedoch nur die DIN-Blätter und
jene Bestimmungen selbst.
Die DIN-Blätter können von der Beuth-Verlag GmbH, Burggrafenstraße 6, 10787 Berlin, bezogen werden.
12. überarbeitete Auflage 2013
Druck 5 4 3 2 1
Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind.
ISBN 978-3-8085-4273-6
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb
der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
© 2013 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten
http//:www.europa-lehrmittel.de
Satz: rkt, 42799 Leichlingen, www.rktypo.com
Druck: B.O.S.S Druck und Medien GmbH, 47574 Goch
Bau 001-006_Layout 1
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Vorwort
Das „Tabellenbuch Bautechnik“ erweitert die bewährte Europa-Fachbuchreihe für Bauberufe. Es kann
jedoch seines eigenständigen Charakters wegen sowohl allein als auch in Verbindung mit anderen
Lehrbüchern in der Aus- und Weiterbildung sowie in der beruflichen Praxis verwendet werden. Es
enthält sowohl Tabellen, Formeln, DIN-Normen, Regeln und Bestimmungen von Behörden und Institutionen als auch viele Stoffwerte und Konstruktionsgrößen.
Die Auswahl der Inhalte dieser Sammlung erfolgte unter weitgehender Berücksichtigung der Bundesrahmenlehrpläne für die Bauberufe und wurde auf der Grundlage der neusten Ausgaben aller einschlägigen deutschen und europäischen Regelwerke bearbeitet. Überall dort, wo die neue Normengeneration (Europäisches Regelwerk, Eurocode EC) in Deutschland anwendbar ist, wurde bereits eine
in den einzelnen Kapiteln auf die Anwender abgestimmte neue Struktur gewählt.
Das „Tabellenbuch Bautechnik“ eignet sich als Nachschlagewerk für Auszubildende sowie Schülerinnen und Schüler der Berufsschule, der Berufsfachschule, der Berufsaufbauschule, der Fachoberschule, der Berufsoberschule und der beruflichen Gymnasien. Es ist darüber hinaus auch als Informationsquelle bei praktischen Ausbildungsmaßnahmen, bei der Fortbildung in Polier- und Meisterschulen/ Technikerschulen und in der Berufspraxis geeignet.
Das Tabellenbuch ist eingeteilt in die Abschnitte
Mathematik
Naturwissenschaften
Statik und Lastannahmen
Technisches Zeichnen / Bauzeichnen
Bauphysik / Bautenschutz
Technologie der Baustoffe
Bautechnik und Baukonstruktion
Baubetrieb
1
2
3
4
5
6
7
8
Das Inhaltsverzeichnis am Anfang des Tabellenbuches wird durch Teilinhaltsverzeichnisse, Normenverzeichnisse und Literaturangaben vor jedem Hauptkapitel ergänzt.
Ein schneller Zugriff wird durch das bewährte Daumen-Griffregister ermöglicht. Großer Wert wurde
auf die Übersichtlichkeit der Darstellung gelegt. Neben dem Inhaltsverzeichnis hilft ein umfangreiches Sachwortverzeichnis mit über 2200 Begriffen beim schnellen Finden einzelner Fakten. Verweise
sind durch ein Dreieck 䊳 mit Seitenzahl gekennzeichnet.
Die vorletzte Auflage wurde im Bereich der Baustoffprüfungen, der Energieeinsparverordnung, des
Rohrleitungsbaues sowie des Gerüstbaues inhaltlich ergänzt.
In dieser 12. Auflage wurden die Kapitel Grundlagen der Tragwerksplanung, Lastannahmen, Beton,
Beton- und Stahlbetonbau, Holzbau sowie Geotechnik, Bodenmechanik und Grundbau auf die Eurocodes umgestellt. Im Kapitel Straßenbau wurden die neuen Vorschriften (RAL, RStO) eingearbeitet.
Allen, die durch ihre Anregungen zur Fortentwicklung des Tabellenbuches beigetragen haben –
insbesondere den genannten Baufirmen, Institutionen und Verlagen –, sei an dieser Stelle herzlich
gedankt.
Für Anregungen zur Weiterentwicklung, Verbesserungsvorschläge und Fehlerhinweise sind wir
weiterhin dankbar. Sie können dafür unsere Adresse [email protected] nutzen.
Göttingen, im Herbst 2013
Autoren und Verlag
Bau 001-006_Layout 1
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Seite 4
Inhaltsverzeichnis
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.7.1
1.7.2
1.7.3
1.7.4
1.7.5
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.5.4
2.6
2.7
2.8
2.8.1
2.8.2
2.8.3
2.8.4
2.8.5
2.8.6
2.8.7
2.8.8
2.8.9
4
MATHEMATIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Zeichen, Begriffe und Tafeln . . . . . . . . . 8
Rechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Prozent- und Zinsrechnung . . . . . . . . 19
Längen und Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . 27
Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Schiefwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . 29
Steigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Strahlensätze und Ähnlichkeit . . . . . . 33
Gleichungen und Ungleichungen . . . 34
Taschenrechner und DV-Begriffe . . . . 37
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . 43
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . 46
NATURWISSENSCHAFTEN
. . . . . . . 47
Physikalische Größen, Einheiten
und Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . 48
Physikalische Grundlagen . . . . . . . . . . 50
Gleichförmige und beschleunigte
Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Arbeit, Energie, Leistung und
Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Einfache Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . 55
Hebel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Feste und lose Rollen . . . . . . . . . . . . . 56
Seilwinde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Schiefe Ebene, Schraube und Keil . . . 57
Wärmelehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chemische Verbindungen . . . . . . . . . . 64
Chemie des Wassers . . . . . . . . . . . . . . 65
Säuren, Laugen und Salze . . . . . . . . . 66
Ausblühungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Elektrolyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Gemische, Gemenge . . . . . . . . . . . . . . 68
Wichtige chemische Reaktionen . . . . . 69
Chemische Berechnungen . . . . . . . . . . 70
3
STATIK UND LASTANNAHMEN . . . . 71
3.1
3.2
3.3
Kräfte und Momente . . . . . . . . . . . . . . 72
Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . 74
Statische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4
3.5
3.6
3.7
3.7.1
3.7.2
3.7.3
3.7.4
3.7.5
3.7.6
3.8
Flächen, Schwerpunkte und
Flächenmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Spannungen, Spannungsarten
und statische Festigkeit . . . . . . . . . . . 84
Formänderungen, Steifigkeiten
und Stabilität (Knicken) . . . . . . . . . . . 87
Lastannahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Wichte von Baustoffen und
Bauteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Eigenlasten für Dächer . . . . . . . . . . . . 92
Nutzlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Abgrenzung von Eigen- und Nutzlast 95
Windlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Schneelasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Sicherheitskonzept DIN 1055-100 . . . . 99
4
TECHNISCHES ZEICHNEN /
BAUZEICHNEN . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
Normschrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Zeichengeräte und Materialien . . . . 105
Bemaßung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Bauzeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Symbole in verschiedenen
Bauzeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Grundkonstruktionen . . . . . . . . . . . . 124
Darstellende Geometrie . . . . . . . . . . 132
Dachausmittlung . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Treppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5
BAUPHYSIK / BAUTENSCHUTZ . . . 149
5.1
Dämmstoffe, Dichtungsstoffe und
Sperrstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Wärmeschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Physikalische Grundlagen . . . . . . . . 156
Wärmetechnische Mindestanforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Wärmebrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Anforderungen an den Wärmeschutz im Sommer . . . . . . . . . . . . . . . 163
Energieeinsparverordnung . . . . . . . . 164
Feuchteschutz und Tauwasserschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Bauliche Schutzmaßnahmen . . . . . . . 174
Klimabedingter Feuchteschutz . . . . . 176
Feuchteschutztechnische
Rechenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Schutzmaßnahmen gegen
Tauwasserbildung . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Schallschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Brandschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.3
5.4
5.4.1
5.4.2
5.4.3
5.4.4
5.5
5.6
Bau 001-006_Layout 1
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Seite 5
Inhaltsverzeichnis
6
TECHNOLOGIE DER BAUSTOFFE . . 195
6.1
Natürliche Gesteine . . . . . . . . . . . . . . 197
6.2
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
6.2.5
6.2.6
Künstliche Steine . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Ziegel und Klinker . . . . . . . . . . . . . . . 200
Kalksandsteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Mauersteine aus Beton . . . . . . . . . . . 205
Porenbetonsteine . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Hüttensteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Dachsteine und Dachziegel . . . . . . . . 207
6.3
6.3.1
6.3.2
6.3.3
6.3.4
6.3.5
Fliesen, Platten und Pflastersteine . 208
Keramische Fliesen und Platten . . . . 208
Natursteinplatten . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Betonwerksteinplatten . . . . . . . . . . . 209
Asphaltplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Pflastersteine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.4
6.4.1
6.4.2
6.4.3
6.4.4
Bindemittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Zemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Baukalke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Baugipse und Wandbauplatten . . . . 215
Anhydritbinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.5
6.5.1
6.5.2
6.5.3
6.5.4
6.5.5
6.5.6
Gesteinskörnungen . . . . . . . . . . . . . 218
Arten und Bezeichnungen . . . . . . . . . 219
Eigenschaften und Anforderungen . 220
Alkali-Empfehlung . . . . . . . . . . . . . . . 221
Kornzusammensetzung
für Betone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Wasseranspruch . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Mehlkorngehalt . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.6
6.6.1
6.6.2
6.6.3
6.6.4
Mörtel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Mauermörtel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Putzmörtel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Estrichmörtel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Spezialmörtel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.7
6.7.1
6.7.2
6.7.3
6.7.4
Beton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Einteilung des Betons in Klassen . . . 233
Beton nach Expositionsklassen . . . . . 233
Konsistenzklassen des Frischbetons 235
Druckfestigkeitsklassen des
Festbetons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Feuchtigkeitsklassen und
Rohdichteklassen . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Wasserzementwert . . . . . . . . . . . . . . 236
Leistungsbeschreibung und
Lieferformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Standardbetonrezepte . . . . . . . . . . . . 237
Betonzusätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Betonzusammensetzung –
Mischungsentwurf . . . . . . . . . . . . . . . 240
Transportbeton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Nachbehandlung von Beton . . . . . . . 241
Betonprüfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Betonüberwachung . . . . . . . . . . . . . . 243
Betondeckung der Bewehrung . . . . 244
6.7.5
6.7.6
6.7.7
6.7.8
6.7.9
6.7.10
6.7.11
6.7.12
6.7.13
6.7.14
6.7.15
6.8
6.8.1
6.8.2
6.8.3
6.8.4
6.9
6.9.1
6.9.2
6.9.3
6.9.4
6.9.5
6.10
6.11
6.11.1
6.11.2
6.12
6.13
6.14
6.14.1
6.14.2
6.14.3
6.14.4
6.15
6.16
7
7.1
7.1.1
7.1.2
7.1.3
7.1.4
7.1.5
7.1.6
7.1.7
7.1.8
7.2
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.2.4
7.2.5
7.2.6
7.2.7
7.2.8
7.2.9
Stahl, Betonstahl und Baumetalle . 245
Eisenwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Betonstähle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Betonstahlmatten . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Nichteisenmetalle . . . . . . . . . . . . . . . 249
Holz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Aufbau des Holzes
und Bauholzarten . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Bauschnittholz und
Konstruktionsvollholz . . . . . . . . . . . . 252
Holzwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Holzschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Kunststoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Befestigungssysteme . . . . . . . . . . . . 263
Befestigungstechnik . . . . . . . . . . . . . 264
Befestigungs-Systemplan . . . . . . . . . 265
Bauglas, Glas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Ungebundene Baustoffe im
Verkehrswegebau . . . . . . . . . . . . . . . 269
Bitumige Stoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Bitumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Teer und Pech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
Asphalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
Dachpappen, Dachbahnen und
Dichtungsbahnen . . . . . . . . . . . . . . . 274
Anstrichstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Gefahrstoffe im Bauwesen . . . . . . . . 277
BAUTECHNIK UND
BAUKONSTRUKTION . . . . . . . . . . . 281
Mauerwerksbau . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Maßordnung im Hochbau . . . . . . . . 283
Gemauerte Wände . . . . . . . . . . . . . . . 283
Außenwände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Sonderbauteile aus Mauerwerk . . . . 292
Natursteinmauerwerk . . . . . . . . . . . . 294
Mauerwerksverbände . . . . . . . . . . . . 295
Ziegeldecken – Deckensysteme . . . . 297
Hausschornsteine . . . . . . . . . . . . . . . 299
Betonbau, Stahlbetonbau und
Spannbetonbau . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Übersicht und Zuordnung . . . . . . . . 300
Bemessung auf Druck . . . . . . . . . . . . 301
Bemessung für Biegung . . . . . . . . . . 302
Bemessung der Querkraft . . . . . . . . . 303
Allgemeine Bewehrungsregeln . . . . 306
Querschnittstafeln . . . . . . . . . . . . . . . 315
Konstruktionshinweise für Balken
und Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Bemessen und Bewehren . . . . . . . . . 319
Spannbetonbau . . . . . . . . . . . . . . . . 330
5
Bau 001-006_Layout 1
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Seite 6
Inhaltsverzeichnis
7.3
7.3.1
7.3.2
7.3.3
7.3.4
7.3.5
7.3.6
7.3.7
7.3.8
7.4
7.5
7.5.1
7.5.2
7.5.3
7.5.4
7.5.5
7.5.6
7.6
7.7
7.7.1
7.7.2
7.8
7.8.1
7.8.2
7.8.3
7.8.4
7.8.5
7.8.6
7.8.7
7.8.8
7.9
7.9.1
7.9.2
7.9.3
7.9.4
7.9.5
7.9.6
7.9.7
7.10
7.10.1
7.10.2
7.10.3
7.10.4
7.10.5
6
Holzbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
Einstufungen im Holzbau . . . . . . . . . 331
Festigkeitswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Querschnittswerte . . . . . . . . . . . . . . . 333
Bemessungsregeln . . . . . . . . . . . . . . 334
Versätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Zimmermannsmäßige
Holzverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . 337
Holzkonstruktionen . . . . . . . . . . . . . . 338
Verbindungsmittel . . . . . . . . . . . . . . . 344
Flachdächer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Stahlbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
Walzerzeugnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
Rechenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 354
Profiltabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Schraubenverbindungen . . . . . . . . . 357
Schweißverbindungen . . . . . . . . . . . 359
Knicken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
Fertigbauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
Großtafelbauweise . . . . . . . . . . . . . . 361
Modulordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
Skelettbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
Rohrleitungsbau . . . . . . . . . . . . . . . . 363
Versorgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
Entsorgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Geotechnik, Bodenmechanik und
Grundbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Baugrunderkundungen . . . . . . . . . . . 372
Bodenklassifikation . . . . . . . . . . . . . . 373
Bodenkennwerte . . . . . . . . . . . . . . . . 378
Korngrößenverteilung . . . . . . . . . . . . 380
Verdichtungsprüfungen . . . . . . . . . . . 383
Flächengründungen . . . . . . . . . . . . . 384
Gebäudesicherung, Bodenaushubgrenzen und Unterfangungen . . . . . 386
Erddruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Straßenbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Einteilung der Straßen . . . . . . . . . . . 388
Linienführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
Höhenplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
Querneigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
Straßenoberbau
und Fahrbahnaufbau . . . . . . . . . . . . . 394
Mengenberechnung im Erdbau . . . . 397
Wasserbau und Hydraulik . . . . . . . . . 398
Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
Hydrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
Flüssigkeitsbewegung in
vollen Rohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
Gerinnehydraulik . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Bemessung von Rohren
für Freigefälleleitungen . . . . . . . . . . . 402
8
BAUBETRIEB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
8.1
8.1.1
8.1.2
8.1.3
8.1.4
8.1.5
8.1.6
8.1.7
8.1.8
8.1.9
Vermessung und Bauabsteckung . . 404
Vermessungsgeräte . . . . . . . . . . . . . . 404
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Lagemessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
Zeichen im Vermessungswesen . . . . 407
Höhenmessungen . . . . . . . . . . . . . . . 409
Koordinatenberechnungen . . . . . . . . 411
Polygonzugberechnung . . . . . . . . . . . 411
Gebäudeabsteckung . . . . . . . . . . . . . 412
Bogenabsteckung . . . . . . . . . . . . . . . 413
8.2
Kostengliederung, Grundflächen
und Rauminhalte . . . . . . . . . . . . . . . . 415
Kosten von Hochbauten . . . . . . . . . . 415
Grundflächen und Rauminhalte . . . . 418
Wohnungen und Wohnflächen . . . . . 421
Wohnflächenverordnung . . . . . . . . . 422
8.2.1
8.2.2
8.2.3
8.2.4
8.3
8.3.1
8.3.2
8.3.3
8.3.4
8.3.5
Bauplanungsrecht . . . . . . . . . . . . . . . 423
Baugesetzbuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Baurecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
Landesbauordnungen . . . . . . . . . . . . 425
Baunutzungsverordnung
und Planzeichenverordnung . . . . . . . 426
Kataster und Grundbuch . . . . . . . . . . 427
Auswahl wichtiger Rechtsbegriffe . . 427
8.4
Baustoffbedarf und
Arbeitszeitbedarf . . . . . . . . . . . . . . . . 428
8.5
Kalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
8.6
Bauvertragsrecht . . . . . . . . . . . . . . . . 433
Verdingungsordnung VOB . . . . . . . . . 434
Abrechnung nach VOB . . . . . . . . . . . 434
8.7
Bauplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
8.8
8.8.1
8.8.2
Schalungsbau und Gerüstbau . . . . . 442
Schalungsbau und Ausschalungsfristen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
Gerüstbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .444
8.9
Baugruben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
8.10
Baustellenabsicherung
für Straßenbauarbeiten . . . . . . . . . . 451
Wichtige Anschriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
In den Umschlagseiten
Umwandlung von Gleichungen
Physikalische Größen
Bau 007-046 2013_TB Zimmerer ROT
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Seite 7
Inhaltsverzeichnis
1 MATHEMATIK
1.1
Kosten
8 000
4 000
1.2
2 000
0
0
1
5
a
b
2 3 m3
Volumen
q
a
p
c
1
Prozentrechnung und Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
䡲 Grundwert
䡲 Prozentwert
䡲 Prozentsatz
䡲 Kapital und Zinsen
1.4
Längen und Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
䡲 Längenteilungen
䡲 Winkel und Winkeleinteilung
s1
Flächen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
䡲 Viereck
䡲 Dreieck
䡲 Vieleck
䡲 Kreis
䡲 Kreisteile
䡲 Ellipse
1.6
Körper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
䡲 Gerade Körper
䡲 Spitze Körper
䡲 Runde Körper
䡲 Reguläre Polyeder
䡲 Rampe
1.7
1.7.1
1.7.2
1.7.3
1.7.4
1.7.5
Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechtwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schiefwinklige Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Steigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strahlensätze und Ähnlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8
Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
䡲 Äquivalenzumformung
䡲 Ungleichungen
䡲 Beträge
䡲 Lineare Gleichungen
䡲 Quadratische Gleichungen
䡲 Lineare Gleichungssysteme
s3
2
(x2,y2)
1.5
(x1,y1)
(x3,y3)
3
s2
x
A1
A2
S
B1
1,000
0,894
B2
1.9
sin g
0°
63,4°
Sinuskurve
90°
180°
116,6°
g
1
Rechenarten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
䡲 Grundrechenarten
䡲 Klammerregeln
䡲 Bruchrechnung
䡲 Dreisatz
䡲 Potenzen
䡲 Wurzeln
䡲 Zahlenmengen
1.3
c
y
Zeichen, Begriffe und Tafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
䡲 Zahlenwerte
䡲 Konstanten
䡲 Umwandlungstabellen
䡲 Auf- und Abrunden
䡲 Winkelfunktionswerte
䡲 Kreisabschnittswerte
2
3
4
27
27
28
29
32
33
5
6
Taschenrechner und DV-Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
䡲 Grafikfähiger Taschenrechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.10 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
䡲 Koordinatensystem
䡲 Polynomfunktionen
䡲 Lineare Funktionen
䡲 Quadratische Funktionen
䡲 Trigonomische Funktionen
䡲 Logarithmusfunktionen
䡲 Exponentialfunktionen
䡲 Diagramme mit quantitativer Darstellung
7
1.11 Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.12 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8
1.13 Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7
Bau 007-046 2013_TB Zimmerer ROT
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10:10
Seite 8
1 MATHEMATIK
1.1 Zeichen, Begriffe und Tafeln
Technische und naturwissenschaftliche Zusammenhänge werden meist in ihrer kürzesten Form durch
Formeln beschrieben. Basisgrößen, Basiseinheiten und die Vorsätze vor Einheiten werden in der
DIN 1301 benannt, allgemeine Formelzeichen werden kursiv geschrieben und in DIN 1304 festgesetzt.
1
Mathem.
Zeichen
2
3
4
Sprechweise
gleich
Í
Summe von, Summe aller
L, M, …
Menge L, M, ...
ungleich
∏
Produkt von, Prod. aller
x ist EIement von M
y苶
y苶
Quadratwurzel aus
n-Fakultät
xBM
xCM
LIM
LrM
LRM
L\M
A⇒B
A⇔B
C, @, 3
苶
苶
AB
+
A
B
៮៬
៮៬
AB, a
:=
definitionsgemäß gleich
$
ungefähr gleich
…
usw., bis
≠
entspricht
<
kleiner als
à
kleiner oder gleich
n!
n
k
lim
f(x)
n
Limes von …
f (Funktion) von x
>
größer als
größer oder gleich
ñ
sehr groß gegen
Ÿ…dx
ï
sehr klein gegen
¤x
Delta-x
G
asymptotisch gleich
%
Prozent
ã
proportional
‰
Promille
g
¯
kongruent zu
π
pi (= 3,14159…)
a
r, R
Ypsilon-Strich
y’
Integral über ... dx
=
senkrecht auf
e
e (= 2,71828...)
||
parallel zu
∞
unendlich
|x|
Betrag von x
*,
Menge der natürlichen,
+
plus
, P, Q
ganzen, rationalen und
x, y, z
–
minus
durch, geteilt durch
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
14
19
20
21
()
)
)(
)((
)(((
(_
_
___
_+
+
+___
_|
(|
&|
|
106
= Million
109
= Milliarde
1012 = Billion
1018 = Trillion
1024
= Quadrillion
1030 = Quintillion
1036 = Sextillion
L vereinigt mit M
L geschnitten mit M
L vermindert um M
wenn A, dann B
A genau dann, wenn B
nicht, und, oder
Strecke
Bogen
Vektor
Gerade
Winkel
rechter Winkel
Steigung
Punkte
Koordinaten
Länge
Fläche
Volumen
§
A
V
Menge der Elemente ...
⭋, { }
x ist nicht Element von M
L ist Teilmenge von M
m
reellen Zahlen
{…}
mal
Große Zahlen
8
n über k
á
&
&&
&&&
&*
*
*&
*&&
*&&&
&(
(
(&
(&*
(&(
((
((&
8
n-te Wurzel aus
冢冣
Römische Zahlen
7
Sprechweise
=
:, /
6
Mathem.
Zeichen
Sprechweise
7
⳯, ·
5
Mathem.
Zeichen
leere Menge
Deutsches Alphabet
=
40
=
50
=
60
=
70
=
80
=
90
= 100
= 300
= 400
= 500
= 800
= 900
= 990
= 999
= 1000
A a
B b
C c
D d
E e
F f
G g
H h
I i
A a
B b
C c
D d
E e
F
f
G g
H h
I
i
J j
K k
L l
Mm
N n
O o
P p
Q q
R r
J
i
K k
L
l
M m
N n
O o
P p
Q q
R
S
s
T t
U u
V v
Ww
X x
Y y
Z z
S s
T
t
U u
V v
W w
X x
Y y
Z
Ä ä
Ö ö
Ü ü
%
ß
£
s£
§
Ä ä
Ö ö
Ü ü
(End-)s
ß
ch
sch
ck
r
z
Griechisches Alphabet
Å å
Alpha
‹ ∫
Ì ©
¤ ∂
Beta Gamma Delta
Û ⁄
lota
ˆ Δ
fl ¬
˘ μ
Kappa Lambda My
› ~
Ny
¸ ®
Rho
Í ‚
Sigma
Ï ƒ
Phi
˝ †
Tau
Á ¨
Ypsilon
‰ ™
ˇ Ω
Epsilon Zeta
Ó ª
Eta
ı «
Theta
Ù ≈
Xi
Ø ø
Omikron
∏ π
Pi
Ç ç
Chi
‡ ¥
Psi
„ ∑
Omega
Bau 007-046 2013_TB Zimmerer ROT
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Seite 9
1.1 Zeichen, Begriffe und Tafeln
Umwandlungstabellen
Längeneinheiten
⇒
1 km = 1000 m
⳯ 10
1m
0,1 m
0,01 m
0,001 m
⳯ 10
10 dm
1 dm
0,1 dm
0,01 dm
: 10
⇒
⳯ 100
⳯ 100
100 dm2
1 dm2
0,01 dm2
0,0 001 dm2
: 100
⳯ 1000
m3
1
0,001 m3
0,000 001 m3
0,000 000 001 m3
⇐
2
⳯ 100
10 000 cm2
100 cm2
1 cm2
0,01 cm2
: 100
1 000 000 mm2
10 000 mm2
100 mm2
1 mm2
: 100
⇐
1 km3 = 1 000 000 000 m3
Volumeneinheiten
⇒
1
1 000 mm
100 mm
10 mm
1 mm
: 10
1km2 = 1 000 000 m2
Flächeneinheiten
1 m2
0,01 m2
0,0001 m2
0,000 001 m2
⳯ 10
100 cm
10 cm
1 cm
0,1 cm
: 10
⳯ 1000
dm3
1 000
1 dm3
0,001 dm3
0,000 001 dm3
: 1000
3
⳯ 1000
1 000 000
1 000 cm3
1 cm3
0,001 cm3
: 1000
cm3
mm3
1 000 000 000
1 000 000 mm3
1 000 mm3
1 mm3
: 1000
⇐
Masseeinheiten
⇒
⳯ 1000
1t
0,001 t
0,000 001 t
0,000 000 001 t
⳯ 1000
1 000 000 000 mg
1 000 000 mg
1 000 mg
1 mg
: 1000
1 000 000 g
1 000 g
1g
0,001 g
: 1000
1000 kg
1 kg
0,001 kg
0,000 001 kg
: 1000
Krafteinheiten
⇒
⳯ 1000
1 000 kN
1 kN
0,001 kN
: 1000
Winkeleinheiten
(Grad)
1° = 60’
(Minute) 1’ = 60”
(Sekunde) 1”
5
1 000 000 N
1 000 N
1N
: 1000
⇐
1 Pa
1 MN/m2
1 kN/cm2
1 kN/m2
=
=
=
=
1 N/m2
1 N/mm2
10 N/mm2
0,001 N/mm2
1 kg ≠ 9,81 N (Im Bauwesen darf 9,81 auf 10 aufgerundet werden.)
Masse-/Krafteinheiten
0,1 kg
1 kg
10 kg
100 kg
1000 kg (1 t)
⇐
Einheiten der Spannung
⳯ 1000
1 MN
0,001 MN
0,000 001 MN
4
⳯ 1000
alte Einheiten:
1 Pfd. = 0,5 kg
1 Ztr. = 50 kg
1 dz = 100 kg
1N
10 N
100 N
1 000 N (1 kN)
10 000 N (10 kN)
180° entspricht 200gon
1 rad = (180/π)°
1gon = (9/10)°
1°
= (10/9)gon
(1 Pfund)
(1 Zentner)
(1 Doppelzentner)
Zeiteinheiten
(Jahr) 1 a = 365 d
(Tag)
1 d = 24 h
(Stunde) 1 h = 60’
Besondere Flächeneinheiten
Besondere Volumeneinheiten
1 Zoll (”)
1 inch
1 mile
1 mil
1 ft
1 yd
1 km2
1 ha
1a
1 Morgen
1 sq in
1 sq ft
1 hî
1 barrel
1 gallone
1î
1 cu in
= 100 ha
= 100 a
= 100 m2
= 25 a
= 6,452 cm2
= 0,0929 m2
7
(Minute) 1’ = 60”
(Sekunde) 1” = (1/60)’
(Monat) 1 m = (1/12) a
Besondere Längeneinheiten
= 2,5400 cm
= 1 Zoll
= 1609 m
= 0,0245 mm
= 0,3048 m (foot)
= 0,9144 m (yard)
6
= 100 î
= 1,59 hî
= 4,546 î
= 1 dm3
= 16,39 cm3 (cubic
inch)
8
9
Bau 007-046 2013_TB Zimmerer ROT
03.10.13
10:10
Seite 10
1.1 Zeichen, Begriffe und Tafeln
1
Interpolation
Aufrunden und Abrunden
Tabellen z.B. enthalten immer nur eine Auswahl
von einander zugeordneten Zahlen- oder Funktionswerten (der Funktionswert y1 wird dem
Argument x1 zugeordnet).
Aufrunden: Die letzte Ziffer einer gerundeten Zahl
ist um 1 zu erhöhen, wenn die nächste Ziffer der
nichtgerundeten Zahl 5 oder größer ist.
y = Funktionswert
Abrunden: Die letzte Ziffer einer gerundeten Zahl
bleibt unverändert, wenn die nächste Ziffer der
nichtgerundeten Zahl kleiner als 5 ist.
Beispiele
y1
π = 3,14159265 … wird durch
2
x = Argument
x1
3
Werte zwischen zwei bekannten Größen lassen
sich durch lineare Interpolation bestimmen,
wenn vorausgesetzt wird, dass der Zuwachs der
Funktionswerte y proportional zum Zuwachs der
Argumente x erfolgt.
(y1 – y0) · (x – x0)
y = y0 + ᎏᎏ
x1 – x0
x
x1
x
Für Tabellen gegenläufiger Tendenz von Argument und Funktionswert gilt:
(y0 – y1) · (x1 – x)
y = y1 + ᎏᎏ
ᎏ
x1 – x0
y0 220
y
y1 195
x0 < x < x1
y0 > y > y1
x0
10–3
10–2
10–1
100
1000
100
10
1
= 106
= 107
= 108
= 109
x
x1
x
Bezugswert
Δ
Funktionswert
w in Liter
x1
4,20
195
y1
x0
3,30
220
y0
(220 – 195) · (4,20 – 3,95)
y = 195 + ᎏᎏᎏ = 201,9
4,20 – 3,30
=
=
=
=
103
102
101
100
= 1 Million
= 10 Millionen
= 100 Millionen
= 1 Milliarde
(d) 1 Dezimeter
4,20
Gesucht ist der Wasserbedarf w für die Körnungsziffer Δ = 3,95.
10
=
=
=
=
Vorsätze vor Einheiten
Beispiel
8
0,001
0,01
0,1
1
10–1 Dezi
3,30
143,257 zu 143
4 339 111 zu 4 340 000
Zehnerpotenzen
1 000 000
10 000 000
100 000 000
1 000 000 000
y
7
Im Bauwesen genügt häufig eine Bestimmung
von Zahlenwerten auf drei Stellen genau
(Rechenschiebergenauigkeit). Dabei wird nach
den vorgenannten Regeln auf- oder abgerundet.
3,14159… zu 3,14
344 600 zu 345 000
x0 < x < x1
y0 < y < y1
x0
6
Signifikante Stellen
Bei drei signifikanten Stellen wird
y1
y
y0
5
aufgerundet auf Zehntausendstel,
aufgerundet auf Tausendstel,
abgerundet auf Hundertstel,
abgerundet auf Zehntel.
Beispiele
y
4
3,1416
3,142
3,14
3,1
10–2 Centi (c)
10–3 Milli
1 Zentimeter
(m) 1 Millimeter
= (1/10) m
= 10 cm
= (1/100) m
= 1 cm
= (1/1000) m
= 1 mm
10–6 Mikro (µ) 1 Mikrometer
= 1-millionstel
Meter
10–9 Nano (n) 1 Nanometer
= 10–9 m
10–12 Pico
= 10–12 m
(p) 1 Picometer
Beispiel
10–4 = 0,0001
1 ist die vierte Stelle hinter dem
Komma
Bau 007-046 2013_TB Zimmerer ROT
03.10.13
10:10
Seite 11
1.1 Zeichen, Begriffe und Tafeln
Trigonometrische Funktionen
䊳
0° … 45°
ƒ
0° … 45°
ƒ
in Grad
sin ƒ
tan ƒ
0
0,000 0
0,000 0
1
2
3
4
5
0,017 5
0,034 9
0,052 3
0,069 8
0,087 2
0,017 5
0,034 9
0,052 4
0,069 9
0,087 5
6
7
8
9
10
0,104 5
0,121 9
0,139 2
0,156 4
0,173 6
11
12
13
14
15
S. 28
1
in Grad
sin ƒ
90
45
0,707 1
1,000 0
45
89
88
87
86
85
46
47
48
49
50
0,719 3
0,731 4
0,743 1
0,754 7
0,766 0
1,035 5
1,072 4
1,110 6
1,150 4
1,191 8
44
43
42
41
40
0,105 1
0,122 8
0,140 5
0,158 4
0,176 3
84
83
82
81
80
51
52
53
54
55
0,777 1
0,788 0
0,798 6
0,809 0
0,819 2
1,234 9
1,279 9
1,327 0
1,376 4
1,428 1
39
38
37
36
35
0,190 8
0,207 9
0,225 0
0,241 9
0,258 8
0,194 4
0,212 6
0,230 9
0,249 3
0,267 9
79
78
77
76
75
56
57
58
59
60
0,829 0
0,838 7
0,848 0
0,857 2
0,866 0
1,482 6
1,539 9
1,600 3
1,664 3
1,732 1
34
33
32
31
30
16
17
18
19
20
0,275 6
0,292 4
0,309 0
0,325 6
0,342 0
0,286 7
0,305 7
0,324 9
0,344 3
0,364 0
74
73
72
71
70
61
62
63
64
65
0,874 6
0,882 9
0,891 0
0,898 8
0,906 3
1,804 1
1,880 7
1,962 6
2,050 3
2,144 5
29
28
27
26
25
21
22
23
24
25
0,358 4
0,374 6
0,390 7
0,406 7
0,422 6
0,383 9
0,404 0
0,424 5
0,445 2
0,466 3
69
68
67
66
65
66
67
68
69
70
0,913 5
0,920 5
0,927 2
0,933 6
0,939 7
2,246 0
2,355 9
2,475 1
2,605 1
2,747 5
24
23
22
21
20
26
27
28
29
30
0,438 4
0,454 0
0,469 5
0,484 8
0,500 0
0,487 7
0,509 5
0,531 7
0,554 3
0,577 4
64
63
62
61
60
71
72
73
74
75
0,945 5
0,951 1
0,956 3
0,961 3
0,965 9
2,904 2
3,077 7
3,270 9
3,487 4
3,732 1
19
18
17
16
15
31
32
33
34
35
0,515 0
0,529 9
0,544 6
0,559 2
0,573 6
0,600 9
0,624 9
0,649 4
0,674 5
0,700 2
59
58
57
56
55
76
77
78
79
80
0,970 3
0,974 4
0,978 1
0,981 6
0,984 8
4,010 8
4,331 5
4,704 6
5,144 6
5,671 3
14
13
12
11
10
36
37
38
39
40
0,587 8
0,601 8
0,615 7
0,629 3
0,642 8
0,726 5
0,753 6
0,781 3
0,809 8
0,839 1
54
53
52
51
50
81
82
83
84
85
0,987 7
0,990 3
0,992 5
0,994 5
0,996 2
6,313 8
7,115 4
8,144 4
9,514 4
11,430 1
9
8
7
6
5
41
42
43
44
45
0,656 1
0,669 1
0,682 0
0,694 7
0,707 1
0,869 3
0,900 4
0,932 5
0,965 7
1,000 0
49
48
47
46
45
86
87
88
89
90
0,997 6
0,998 6
0,999 4
0,999 85
1,000 0
14,300 7
19,081 1
28,636 3
57,290 0
,∞
4
3
2
1
0
cos ƒ
cot ƒ
ƒ
cos ƒ
cot ƒ
ƒ
45° … 90°
in Grad
tan ƒ
45° … 90°
2
3
4
5
6
7
8
in Grad
11
Bau 007-046 2013_TB Zimmerer ROT
03.10.13
10:10
Seite 12
1.1 Zeichen, Begriffe und Tafeln
Bestimmungsstücke eines Kreisabschnitts
2
3
4
5
6
7
8
12
Grad
h
ᎏᎏ
r
s
ᎏᎏ
r
A
ᎏᎏ2
r
1
2
3
4
5
0,017 5
0,034 9
0,052 4
0,069 8
0,087 3
0,000 0
0,000 2
0,000 3
0,000 6
0,001 0
0,017 5
0,034 9
0,052 4
0,069 8
0,087 2
0,000 00
0,000 00
0,000 01
0,000 03
0,000 06
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0,104 7
0,122 2
0,139 6
0,157 1
0,174 5
0,192 0
0,209 4
0,226 9
0,244 3
0,261 8
0,001 4
0,001 9
0,002 4
0,003 1
0,003 8
0,004 6
0,005 5
0,006 4
0,007 5
0,008 6
0,104 7
0,122 1
0,139 5
0,156 9
0,174 3
0,191 7
0,209 1
0,226 4
0,243 7
0,261 1
0,000 10
0,000 15
0,000 23
0,000 32
0,000 44
0,000 59
0,000 76
0,000 97
0,001 21
0,001 49
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0,279 3
0,296 7
0,314 2
0,331 6
0,349 1
0,366 5
0,384 0
0,401 4
0,418 9
0,436 3
0,009 7
0,011 0
0,012 3
0,013 7
0,015 2
0,016 7
0,018 4
0,020 1
0,021 9
0,023 7
0,278 3
0,295 6
0,312 9
0,330 1
0,347 3
0,364 5
0,381 6
0,398 7
0,415 8
0,432 9
0,001 81
0,002 17
0,002 57
0,003 02
0,003 52
0,004 08
0,004 68
0,005 35
0,006 07
0,006 86
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
0,453 8
0,471 2
0,488 7
0,506 1
0,523 6
0,541 1
0,558 5
0,576 0
0,593 4
0,610 9
0,025 6
0,027 6
0,029 7
0,031 9
0,034 1
0,036 4
0,038 7
0,041 2
0,043 7
0,046 3
0,449 9
0,466 9
0,483 8
0,500 8
0,517 6
0,534 5
0,551 3
0,568 0
0,584 7
0,601 4
0,007 71
0,008 62
0,009 61
0,010 67
0,011 80
0,013 01
0,014 29
0,015 66
0,017 11
0,018 64
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
0,628 3
0,645 8
0,663 2
0,680 7
0,698 1
0,715 6
0,733 0
0,750 5
0,767 9
0,785 4
0,048 9
0,051 7
0,054 5
0,057 4
0,060 3
0,063 3
0,066 4
0,069 6
0,072 8
0,076 1
0,618 0
0,634 6
0,651 1
0,667 6
0,684 0
0,700 4
0,716 7
0,733 0
0,749 2
0,765 4
0,020 27
0,021 98
0,023 78
0,025 68
0,027 67
0,029 76
0,031 95
0,034 25
0,036 64
0,039 15
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
0,802 9
0,820 3
0,837 8
0,855 2
0,872 7
0,890 1
0,907 6
0,925 0
0,942 5
0,959 9
0,079 5
0,082 9
0,086 5
0,090 0
0,093 7
0,097 4
0,101 2
0,105 1
0,109 0
0,113 0
0,781 5
0,797 5
0,813 5
0,829 4
0,845 2
0,861 0
0,876 7
0,892 4
0,908 0
0,923 5
0,041 76
0,044 48
0,047 31
0,050 25
0,053 31
0,056 49
0,059 78
0,063 19
0,066 73
0,070 39
A
Halbmesser
Bogenlänge
Bogenhöhe
Sehnenlänge
Fläche des
Kreisabschnitts
ƒ Bogenmaß
ƒ° Zentriwinkel
(in Grad)
s
f
S. 23
r
b
h
s
A
b
h
1
b
ᎏᎏ
r
r
ƒ in
䊳
䊳
S. 13
ƒ°
b = r · π · ᎏᎏ
180°
ƒ
s = 2 r · sin ᎏᎏ
2
ƒ
h = 2 r · sin2 ᎏᎏ
4
ƒ°
r2
A = ᎏᎏ · π · ᎏᎏ – sin ƒ
2
180°
冢 冣
ƒ in
冢 冣
冢
冣
Grad
b
ᎏᎏ
r
h
ᎏᎏ
r
s
ᎏᎏ
r
A
ᎏᎏ2
r
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
0,977 4
0,994 8
1,012 3
1,029 7
1,047 2
1,064 7
1,082 1
1,099 6
1,117 0
1,134 5
0,117 1
0,121 2
0,125 4
0,129 6
0,134 0
0,138 4
0,142 8
0,147 4
0,152 0
0,156 6
0,938 9
0,954 3
0,969 6
0,984 8
1,000 0
1,015 1
1,030 1
1,045 0
1,059 8
1,074 6
0,074 17
0,078 08
0,082 12
0,086 29
0,090 59
0,095 02
0,099 58
0,104 28
0,109 11
0,114 08
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
1,151 9
1,169 4
1,186 8
1,204 3
1,221 7
1,239 2
1,256 6
1,274 1
1,291 5
1,309 0
0,161 3
0,166 1
0,171 0
0,175 9
0,180 8
0,185 9
0,191 0
0,196 1
0,201 4
0,206 6
1,089 3
1,103 9
1,118 4
1,132 8
1,147 2
1,161 4
1,175 6
1,189 6
1,203 6
1,217 5
0,119 19
0,124 43
0,129 82
0,135 35
0,141 02
0,146 83
0,152 79
0,158 89
0,165 14
0,171 54
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
1,326 5
1,343 9
1,361 4
1,378 8
1,396 3
1,413 7
1,431 2
1,448 6
1,466 1
1,483 5
0,212 0
0,217 4
0,222 9
0,228 4
0,234 0
0,239 6
0,245 3
0,251 0
0,256 9
0,262 7
1,231 3
1,245 0
1,258 6
1,272 2
1,285 6
1,298 9
1,312 1
1,325 2
1,338 3
1,351 2
0,178 08
0,184 77
0,191 60
0,198 59
0,205 73
0,213 01
0,220 45
0,228 04
0,235 78
0,243 67
86
87
88
89
90
1,501 0
1,518 4
1,535 9
1,553 3
1,570 8
0,268 6
0,274 6
0,280 7
0,286 7
0,292 9
1,364 0
1,376 7
1,389 3
1,401 8
1,414 2
0,251 71
0,259 90
0,268 25
0,276 75
0,285 40
Bau 007-046 2013_TB Zimmerer ROT
03.10.13
10:10
Seite 13
1.1 Zeichen, Begriffe und Tafeln
Zahlentabellen
Exponential-, Hyperbel-,
Logarithmusfunktionen
x
ex
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,6
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
1,000
1,105
1,221
1,350
1,492
1,649
1,822
2,014
2,226
2,460
2,718
3,004
3,320
3,669
4,055
4,482
4,953
5,474
6,050
6,686
7,389
8,166
9,025
9,974
11,023
12,182
13,464
14,880
16,445
18,174
20,086
22,198
24,533
27,113
29,964
33,115
36,598
40,447
44,701
49,402
54,598
60,340
66,686
73,700
81,451
90,017
99,484
109,947
121,510
134,290
148,413
sinh (x) cosh (x)
0,000
0,100
0,201
0,305
0,411
0,521
0,637
0,759
0,888
1,027
1,175
1,336
1,509
1,698
1,904
2,129
2,376
2,646
2,942
3,268
3,627
4,022
4,457
4,937
5,466
6,050
6,695
7,406
8,192
9,060
10,018
11,076
12,246
13,538
14,965
16,543
18,285
20,211
22,339
24,691
27,290
30,162
33,336
36,843
40,719
45,003
49,737
54,969
60,751
67,141
74,203
1,000
1,005
1,020
1,045
1,081
1,128
1,185
1,255
1,337
1,433
1,543
1,669
1,811
1,971
2,151
2,352
2,577
2,828
3,107
3,418
3,762
4,144
4,568
5,037
5,557
6,132
6,769
7,473
8,253
9,115
10,068
11,122
12,287
13,575
14,999
16,573
18,313
20,236
22,362
24,711
27,308
30,178
33,351
36,857
40,732
45,014
49,747
54,978
60,759
67,149
74,210
Konstanten (gerundet)
ln (x)
lg (x)
,–
– 2,303
– 1,609
– 1,204
– 0,916
– 0,693
– 0,511
– 0,357
– 0,223
– 0,105
0,000
0,095
0,182
0,262
0,336
0,405
0,470
0,531
0,588
0,642
0,693
0,742
0,788
0,833
0,875
0,916
0,956
0,993
1,030
1,065
1,099
1,131
1,163
1,194
1,224
1,253
1,281
1,308
1,335
1,361
1,386
1,411
1,435
1,459
1,482
1,504
1,526
1,548
1,569
1,589
1,609
,–
– 1,000
– 0,699
– 0,523
– 0,398
– 0,301
– 0,222
– 0,155
– 0,097
– 0,046
0,000
0,041
0,079
0,114
0,146
0,176
0,204
0,230
0,255
0,279
0,301
0,322
0,342
0,362
0,380
0,398
0,415
0,431
0,447
0,462
0,477
0,491
0,505
0,519
0,531
0,544
0,556
0,568
0,580
0,591
0,602
0,613
0,623
0,633
0,643
0,653
0,663
0,672
0,681
0,690
0,699
Größe
Zahlenwert
1
Größe
Zahlenwert
π
3,141 593
e
2π
6,283 185
e2
7,389 056
3π
9,424 778
e3
20,085 537
π:3
1,047 198
y苶
e
1,648 721
π:4
0,785 398
y苶
e
π : 180
0,017 453
eπ
23,140 693
π2
9,869 604
e2 π
535,491 656
π3
31,006 277
eπ/2
4,810 477
y苶
π
1,772 454
e– π
0,043 214
y苶
π
1,464 592
1:e
0,367 879
1:π
0,318 310
1 : e2
0,135 335
180 : π
57,295 780
y苶
1/e
0,606 531
1 : π2
0,101 321
ee
15,154 262
y苶
1/π
0,564 190
πe
22,459 158
In π
1,144 730
In 10
2,302 585
lg π
0,497 150
lg e
0,434 294
y苶
2
1,414 214
y苶
3
1,732 051
y苶
5
2,236 068
y苶
6
2,449 490
y苶
7
2,645751
y10
苶
3,162 278
2,718 282
2
3
1,395 612
3
3
4
Umrechnungstabelle
Grad – Gon – Rad (Bogenmaß)
Grad
Rad
Gon
5
Rad
Rad
Grad
Gon
1
2
3
4
5
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0873
1
2
3
4
5
0,0157
0,0314
0,0471
0,0628
0,0785
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
5,73
11,46
17,19
22,92
28,65
6,37
12,73
19,10
25,46
31,83
6
7
8
9
0,1047
0,1222
0,1396
0,1571
6
7
8
9
0,0942
0,1100
0,1257
0,1414
0,6
0,7
0,8
0,9
34,38
40,11
45,84
51,57
38,20
44,56
50,93
57,30
10
20
30
40
50
0,1745
0,3491
0,5236
0,6981
0,8727
10
20
30
40
50
0,1571
0,3142
0,4712
0,6283
0,7854
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
57,30 63,66
68,75 76,39
80,21 89,13
91,67 101,9
103,1
114,6
60
70
80
90
1,0472
1,2217
1,3963
1,5708
60
70
80
90
0,9425
1,0996
1,2566
1,4137
2,0
2,2
2,4
2,6
114,6
126,1
137,5
149,0
127,3
140,1
152,8
165,5
100
120
140
160
180
1,7453
2,0944
2,4435
2,7925
3,1416
100
126
150
175
200
1,5708
1,9635
2,3562
2,7489
3,1416
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
160,4
171,9
183,3
194,8
206,3
178,3
191,0
203,7
216,5
229,2
6
7
8
13
Bau 007-046 2013_TB Zimmerer ROT
03.10.13
10:10
Seite 14
1 MATHEMATIK
1.2 Rechenarten
Grundrechenarten
1
Rechenart
Addition
Sonstige Rechenarten
a
b
Beispiel
a+b=c
Minuend
Subtrahend
Beispiel
a–b=c
Multiplikation
Faktor
Faktor
Beispiel
a·b=c
Division
Dividend
Divisor
Beispiel
a:b=c
Subtraktion
2
3
c
Summand Summand Summenwert
Differenzwert
Assoziativität
4
Distributivität
Produktwert
Quotientenwert
a+b = b+a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab) c = a (bc)
(a + b) c = ac + bc
a (b + c) = ab + ac
Stufen der Rechenarten
Stufe 1
Addition, Subtraktion
Stufe 2
Multiplikation, Division
Stufe 3
Potenzierung, Radizierung,
Logarithmierung
5
6
7
Beispiele Addition, Subtraktion
a+0 = 0+a = a
a + (b – c) = a + b – c
a – (b + c) = a – b – c
a – (b – c) = a – b + c
a – 0 = a aber 0 – a = – a
a + (– b) = a – b
a – (– b) = a + b
– (a + b) = – a – b
– (a – b) = – a + b = b – a
Beispiele Multiplikation
● Schreibweise: a · b = ab, 2 · a = 2 a, ab = ba
abc = acb = bac = bca = cab = cba
a·0=0·a=0a=0
a·1=1·a=1a=a
8
● Gleiche Vorzeichen ergeben plus,
ungleiche Vorzeichen ergeben minus:
(+ a) (+ b) = (– a) (– b) = + ab = ab
(+ a) (– b) = (– a) (+ b) = – ab
14
Potenzierung
Radizierung
a
b
c
Basis
Exponent
Potenzwert
Beispiel
ab = c
Radikand
Wurzelexponent
Beispiel
Addition und Multiplikation
Kommutativität
Rechenart
Logarithmierung
Wurzelwert
b
a=c
y苶
Logarithmand
Basis
Beispiel
logb a = c
Logarithmuswert
Rechenregeln ohne Klammern
Gleichstufige Rechenarten werden von links nach
rechts ausgeführt.
Beispiel 8 – 2 + 3
= 6 + 3
= 9
Bei ungleichstufigen Rechenarten wird die Rechenart höherer Stufe zuerst ausgeführt.
Beispiel 8 – 2 · 3
= 8 – 6
20 : 5 + 3 · 7 = 4 + 21
14 + 3 · 23
= 2
= 25
= 14 + 3 · 8 = 38
Klammerregeln
Die Rechnung innerhalb einer Klammer wird
stets vor der Rechnung außerhalb der Klammer
ausgeführt.
Beispiel (2 + 9) · 6
= 11 · 6 = 66
Bei mehrfacher Klammerung werden von innen
nach außen runde, eckige und geschweifte Klammern benutzt. Die Klammern werden von innen
nach außen aufgelöst.
Beispiel 2 · {3 + 4 · [26 – 2 · (3 + 4)] : 3}
2 · {3 + 4 · [26 – 2 · 7] : 3}
2 · {3 + 4 · 12 : 3}
2 · 19
=
=
=
= 38
Auflösen der Klammer mit PLUS (+) vor der
Klammer ⇒ Klammer kann entfallen
Auflösen der Klammer mit MINUS (–) vor der
Klammer ⇒ Klammer kann entfallen, wenn alle
Vorzeichen in der Klammer umgekehrt werden
Faktor vor der Klammer mit Summanden ⇒
Jeder Wert in der Klammer wird mit dem Faktor
mutipliziert.
Beispiele
(a +
(a –
(a +
(a –
(a –
b) (c
b) (c
b) (c
b) (c
b) c
+ d)
+ d)
– d)
– d)
=
=
=
=
=
c (a – b) = ac – bc
ac + ad + bc + bd
ac + ad – bc – bd
ac – ad + bc – bd
ac – ad – bc + bd
Bau 007-046 2013_TB Zimmerer ROT
03.10.13
10:10
Seite 15
1.2 Rechenarten
Bruchrechnung
Rechenart,
Rechenoperation
Formeln und Rechenregeln
Beispiele
Erweitern
Multiplikation von Zähler und Nenner
mit gleicher Zahl. Wert bleibt gleich
a a n a·n
ᎏᎏ = ᎏᎏ · ᎏᎏ = ᎏᎏ
b b n b·n
2 2 7 2 · 7 14
ᎏᎏ = ᎏᎏ · ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ
3 3 7 3 · 7 21
Kürzen
Division von Zähler und Nenner durch
die gleiche Zahl. Wert bleibt gleich
a a n a :n
ᎏᎏ = ᎏᎏ : ᎏᎏ = ᎏᎏ
b b n b:n
14 14 7 14 : 7 2
ᎏᎏ = ᎏᎏ : ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ
21 21 7 21 : 7 3
Hauptnenner (HN)
bestimmen
Der Hauptnenner ist das kleinste
gemeinsame Vielfache (KgV) der
Nenner. Berechnung durch Zerlegung
der Nenner in Primfaktoren.
1 2 1 1
Hauptnenner von ᎏᎏ; ᎏᎏ; ᎏᎏ; ᎏᎏ
4 5 6 30
4 = 2·2
5 = 5
HN = 2 · 2 · 5 · 3 = 60
6 = 2·3
30 = 2 · 3 · 5
Addition
a c a+c
ᎏᎏ + ᎏᎏ = ᎏᎏ
b b
b
5 3 5+3 8
ᎏᎏ + ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ = 1
8
8 8
8
a c a · d c · b (a · d) + (c · b)
ᎏᎏ + ᎏᎏ = ᎏᎏ + ᎏᎏ = ᎏᎏ
b d b·d d·b
b·d
oder nach vorheriger Ermittlung des
Hauptnenners.
2 1 2 · 5 1 · 3 10
3
13
ᎏᎏ + ᎏᎏ = ᎏᎏ + ᎏᎏ = ᎏᎏ + ᎏᎏ = ᎏᎏ
3 5 3 · 5 5 · 3 15 15 15
1 2 1 1 15 24 10 2
51
ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ = ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ + ᎏᎏ = ᎏᎏ
4 5 6 30 60 60 60 60 60
a c a–c
ᎏᎏ – ᎏᎏ = ᎏᎏ
b b
b
5 3 2 1
ᎏᎏ – ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ
8 8 8 4
a c a · d c · b (a · d) – (c · b)
ᎏᎏ – ᎏᎏ = ᎏᎏ – ᎏᎏ = ᎏ ᎏ
b d b·d d·b
b·d
oder nach vorheriger Ermittlung des
Hauptnenners.
7
2 1 2 · 5 1 · 3 10 3
ᎏᎏ – ᎏᎏ = ᎏᎏ – ᎏᎏ = ᎏᎏ – ᎏᎏ = ᎏᎏ
3 5 3 · 5 5 · 3 15 15 15
1
1 2 1 1 15 24 10 2
ᎏᎏ – ᎏᎏ + ᎏᎏ – ᎏᎏ = ᎏᎏ – ᎏᎏ + ᎏᎏ – ᎏᎏ = – ᎏᎏ
60
4 5 6 30 60 60 60 60
Bruch mit Zahl
a
a·n
ᎏᎏ · n = ᎏᎏ
b
b
3
3 · 5 15
7
ᎏᎏ · 5 = ᎏᎏ = ᎏᎏ = 1 ᎏᎏ
8
8
8
8
Bruch mit Bruch
a c a·c
ᎏᎏ · ᎏᎏ = ᎏᎏ
b d b·d
3 2 3·2
6
3
ᎏᎏ · ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ
8 5 8 · 5 40 20
Bruch durch Zahl
a
a
ᎏᎏ : n = ᎏᎏ
b
b·n
3
3
3
ᎏᎏ : 5 = ᎏᎏ = ᎏᎏ
8 · 5 40
8
Bruch durch Bruch
a c a d a·d
ᎏᎏ : ᎏᎏ = ᎏᎏ · ᎏᎏ = ᎏᎏ
b d b c b·c
3 2 3 5 15
ᎏᎏ : ᎏᎏ = ᎏᎏ · ᎏᎏ = ᎏᎏ
8 5 8 2 16
übliches Teilen des Zählers durch den
Nenner
8
ᎏᎏ = 8 : 3 = 2,66…
3
苶
= 2,6
gleichnamige Brüche
ungleichnamige Brüche
Subtraktion
gleichnamige Brüche
ungleichnamige Brüche
Multiplikation
Division
Umwandeln
gemeiner Bruch
in Dezimalzahl
2
3
ᎏᎏ = 3 : 8 = 0,375
8
Umwandeln
endliche Dezimalbrüche
reinperiodische
Dezimalbrüche
unreinperiodische
Dezimalbrüche
Vorzeichenregeln
beim Dividieren
Division durch 0
Erweitern mit 10, 100, 1000 usw.,
gegebenenfalls anschließend kürzen
⎫
⎬
⎭
Rechnung gemäß Beispiel
für unreinperiodische Dezimalbrüche
a
(+ a) : (+ b) = + a : b = + ᎏᎏ
b
a
(+ a) : (– b) = – a : b = – ᎏᎏ
b
a
(– a) : (– b) = + a : b = + ᎏᎏ
b
b70
b70
b70
1
3
4
5
8 : 3 = 2,66…
– ᎏᎏᎏ
6
20
periodische
– 18
Wiederᎏᎏᎏ
20
holung
0,375 · 1000
0,375 = ᎏᎏ =
1000
苶 = ᎏ3ᎏ
0,3
9
375
3 · 125 3
ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ
1000 8 ·125 8
42
苶苶
0,4
2 = ᎏᎏ
99
苶苶
x = 2,34
2
2319
x = ᎏᎏ
990
苶苶
1000 · x = 2342,4
2
苶苶
– 10 · x = – 23,4
2
6
7
990 · x = 2319,00
3
(+ 3) : (+ 8) = + 3 : 8 = + ᎏᎏ
8
3
(+ 3) : (– 8) = – 3 : 8 = – ᎏᎏ
8
3
(– 3) : (– 8) = + 3 : 8 = + ᎏᎏ
8
8
Eine Division durch 0 ist unzulässig.
+ ∞ bzw. – ∞ sind keine reellen Zahlen.
15
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Seite 16
1.2 Rechenarten
Dreisatzrechnung
Verhältnisse beim Dreisatz
1
direkter Dreisatz
1. Aussagesatz
x⇒y
x⇒y
2. Einheitssatz
y
1 ⇒ ᎏᎏ
x
1⇒y·x
y · x1
x1 ⇒ ᎏᎏ
x
3. Schlusssatz
2
indirekter Dreisatz
y·x
x1 ⇒ ᎏᎏ
x1
Dreisatz mit geradem Verhältnis (direkt oder proportional)
Beispiel
Kosten
8 000
4 000
2 000
3
0
0
1
2 3 m3
Volumen
5
4,50 m3 Eichenholz kosten 7875,00 €.
Wieviel kosten 3,00 m3 Eichenholz?
1. 4,50 m3 Eichenholz kosten
7875,00 €
2. 1,00 m3 Eichenholz kosten
7875,00 €
ᎏ
ᎏ
4,50 m3
3. 3,00 m3 Eichenholz kosten
7875,00 € · 3,00 m3 = 5250,00 €
ᎏ
ᎏᎏ
ᎏ
4,50 m3
Dreisatz mit umgekehrtem Verhältnis (indirekt oder antiproportional)
Beispiel
200
150
Stunden
4
100
50
0
5
5 Maurer benötigen für eine Montagearbeit 80 Stunden. Wie lange dauert die Montage, wenn 8 Maurer zur
Verfügung stehen?
0
2
4 6 8
Maurer
10
1. 5 Maurer benötigen
80 h
2. 1 Maurer benötigt
5 · 80 h
3. 8 Maurer benötigen
5 · 80 h
ᎏᎏ = 50 h
8
Zusammengesetzter Dreisatz (doppelter Dreisatz)
Es werden 3 Größen gegenübergestellt. Die gesuchte
Größe wird stufenweise errechnet. In jeder Stufe wird
nur eine Größe verändert.
Beispiel
6 Zimmerer verlegen bei 8-stündiger Arbeitszeit pro
Tag 210 m2 Parkett. Wieviel m2 Parkett verlegen 5 Zimmerer bei einer Arbeitszeit von 9 h/Tag?
1. Dreisatz: 6 Zimmerer verlegen in 8 h
210 m2
1 Zimmerer verlegt in 8 h
210 m2
ᎏᎏ
6
5 Zimmerer verlegen in 8 h
210 m2 · 5
ᎏᎏ
6
2. Dreisatz: 5 Zimmerer verlegen in 1 h
210 m2 · 5
ᎏᎏ
6·8
6
5 Zimmerer verlegen in 9 h
7
210 m2 · 5 · 9
ᎏᎏ = 196,875 m2
6·8
Verhältnisgleichung, Proportionen
Zwei Verhältnisse mit gleichen Werten können gleichgesetzt und als Gleichung geschrieben werden.
Das Verhältnis (eine Proportion) kann auch als Bruchgleichung geschrieben werden.
Außenglieder
8
a:b = 3:4
Innenglieder
16
oder
a
3
ᎏᎏ = ᎏᎏ
b
4
Bruchgleichung
Eine Verhältnisgleichung kann als Produktengleichung
geschrieben werden.
a:b = 3:4
oder
3·b = 4·a
Innenglied ⳯ Innenglied = Außenglied ⳯ Außenglied
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1.2 Rechenarten
Potenzen
Wurzeln
an
Definition
(Sprechweise:
a hoch n)
=a·a·a·…·a
冢y苶a冣
= a
y苶
a
= y苶
a
Darstellung mit
Bruchpotenzen
(für a ≥ 0)
n
n Faktoren
Spezialfälle
a1 = a; a0 = 1
(für a 7 0 und n B *) 1n = 1; 0n = 0
Potenzen mit
negativen
Exponenten
1
1
a– 1 = ᎏᎏ; a– n = ᎏᎏ
a
an
Vorzeichen beim
Potenzieren
(für n B *)
(+ a)n = +an für alle n
(– a)n = + an für gerade n
(– a)n = – an für unger. n
Summe und
Differenz
von Potenzen
2 a3 + 3 a3 – a3 = 4 a3
3 a4 + 4 a2 – 2 a2 =
= 3 a4 + 2 a2
Produkt
von Potenzen
am an = am + n
an bn = (ab)n
(am)n = am n
Quotient
von Potenzen
am : an
am : bm
n
Definition
(für a ≥ 0 und n B *)
n
2
1
1
ᎏᎏ
y苶
a
= an
m
ya
苶
= an
n
n
m
= y苶
a
1
ᎏmᎏ
m
冢 冣
n
m
ᎏᎏ
y苶
y苶
a = ya苶
n
1
ᎏᎏ
= a mn
2
n
Produkte von Wurzeln ny ny
苶
a 苶
b = y苶
ab
(für a ≥ 0 und b ≥ 0)
m+q
n
n
ᎏᎏ
m ya
ya
苶
苶q = a n
Eindeutigkeit
von Wurzeln
(für a ≥ 0)
n
ya苶n
y4
苶
= a≥0
= +2
3
y苶
27
= +3
3
● Wurzeln positiver Radianten sind positiv.
● Wurzeln negativer Radikanden sind für den
reellen Zahlenbereich nicht definiert.
= am – n
= (a : b)m
y苶
– 5 nicht definiert
● Wurzel aus Null ist gleich Null
y苶
0=0
4
Fakultät, Binomialkoeffizient
Beispiel (Hinweis auf ± Zeichen)
Fakultät: n! = 1 · 2 · 3 · … · n.
Es gilt 0! = 1
Sei x2 = 3
Binomialkoeffizient:
n!
n
ᎏ mit 0 ≤ k ≤ n
k = ᎏ
k! (n – k)!
冢 冣
3 = ± 1,7321…)
(nicht x = y苶
Binomische Formeln
Logarithmen
x = ± y苶
3 = ± 1,7321…
5
1. binomische Formel
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
2. binomische Formel
(a – b)2 = a2 – 2 ab + b2
3. binomische Formel
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Höhere Potenzen
(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3
Definition
logb a = c, wenn bc = a
für b > 0 und a > 0
Brigg’scher (dekadischer) Logarithmus
lg a
natürlicher Logarithmus (logarithmus
naturalis)
ln a = loge a
mit e = 2,71828…
Spezialfälle
lg 1 = 0; ln 1 = 0
logb 1 = 0; logb b= 1
lg 10 = 1; ln e = 1
Logarithmengesetze
(für alle Basen b > 0)
log (ac)
a
log ᎏᎏ
c
log (an)
n
log y苶
a
(a – b)3 = a3 – 3 a2 b + 3 ab2 – b3
冢冣
n
冢冣
n
(a ± b)n = an ± 1 an – 1 b + 2 an –2 b2
冢冣
n
± 3 an – 3 b3 + … ± …
Spezialfälle
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
a4 – b4 = (a2 + b2) (a2 – b2)
an – bn = (a – b) (an – 1 + an – 2 b + an – 3 b2
+ … + abn – 2 + … + bn – 1)
Umrechnungen
= log10 a
6
= log a + log c
7
= log a – log c
= n log a
1
= ᎏᎏ log a
n
ln a
= ln 10 · lg a
lg a
= lg e · ln a
lg e
= M = 0,4343…
1
ln 10
= ᎏᎏ = 2,3026…
M
log
a
b b
= a
logb (bn) = n
17
8
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1.2 Rechenarten
1
Zahlenmengen, Verknüpfungen
Priorität der Verknüpfungen
Für einige Zahlenmengen, die in der Mathematik eine besondere Bedeutung haben, hat man
eigene Symbole gebildet.
Treten in einem Ausdruck (Aussage, Term) unterschiedliche Verknüpfungen auf, so werden die
Verknüpfungen höherer Priorität vor denen geringerer Priorität abgearbeitet. Bei Verknüpfungen gleicher Priorität erfolgt die Abarbeitung von
links nach rechts.
Es gelten die Klammerregeln.
[0]; 1; 2; 3 ; ...
2
Priorität
... ; -3; -2; -1; 0; 1; ...
Verknüpfung
Potenzierung, Radizierung,
Logarithmierung, Funktionen
hoch
z. B.: -7,25; -1/2 ; 2 3/4
·, :
(Punktrechnung)
+, – (Strichrechnung)
z. B.: p; e;
3
>, ≥, =, ≤, <, 7
(relationale Operatoren)
2
z. B.: 5 + 3i ; 4 - 5i ; 6 +7i
I I I I 4
(nicht)
#
(und)
3
(oder)
niedrig
⇒, ⇔
*, *, *, * sind Zahlenmengen ohne Null
Aussagen
Die Menge, die keine Elemente enthält, heißt
leere Menge und wird mit ∅ oder { } bezeichnet.
A, B, C, ... sind Leerstellen für wahre (w) oder
falsche (f) Aussagen.
Die Lösungsmenge wird mit L benannt.
Symbol
5
6
Zahlenmenge
Menge aller …
Natürliche
Zahlen
positiven ganzen
Zahlen
Ganze
Zahlen
positiven und negativen ganzen Zahlen
Rationale
Zahlen
endlichen und periodischen Dezimalzahlen
Reelle
Zahlen
endlichen und unendlichen Dezimalzahlen
Komplexe
Zahlen
imaginäre Einheit
i2 = – 1
Die nicht in liegenden Zahlen von heißen
irrationale Zahlen, z. B. y2
苶, die Kreiszahl π, die
Euler’sche Zahl e = 2,71828…
7
C
Zahlenmengen heißen abgeschlossen bezüglich
ihrer Rechenoparationen, wenn das Ergebnis
wieder in der selben Zahlenmenge liegt.
Symbol
8
18
Abgeschlossenheit
Beispiel
+,·
2+5=7
+,·,:
1/2 + 1/5 = 7/10
+,·,–
2–5=–3
+ , –, · , :
2 : 5 = 2/5
+ , –, · , :
y5
苶 · y2
苶 = y10
苶
Beispiele
A
B
C
D
E
F
= Deutschland liegt in Europa!
= 12 ist eine Primzahl!
= Es regnet!
= Die Erde wird nass!
= Aus C folgt D!
= b > grün
(w)
(f)
(w oder f)
(w oder f)
(w)
(keine Aussage)
Aussagenverknüpfungen
C
Negation
@
Konjunktion
CA
nicht A
A@B
A und B
3
Disjunktion
A3B
A oder B
⇒
Implikation
A⇒B
aus A folgt B
(wenn A, dann B)
⇔
Äquivalenz
A⇔B
A genau dann,
wenn B
Eine Tautologie ist eine aussagenlogische Verknüpfung, die nur den Wahrheitswert w annehmen kann.
Axiome (ursprünglich Sätze), die unmittelbar
einleuchten, brauchen nicht bewiesen zu werden
und dienen als Grundlage der Beweisführung.
Wahrheitstafel
A
B
CA
A@B
w
w
f
f
w
f
w
f
f
f
w
w
w
f
f
f
A3B A⇒B A⇔B
w
w
w
f
w
f
w
w
w
f
f
w
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Seite 19
1 MATHEMATIK
1.3 Prozentrechnung und Zinsrechnung
Prozentrechnung
1
Rechnen mit reinem Grundwert
PW · 100%
= ᎏᎏ
p
G·p
PW = ᎏᎏ
100%
PW · 100%
p = ᎏᎏ
G
● Prozent % v 1/100
G
● Grundwert G
● Prozentwert PW
● Prozentsatz p (%)
Beispiel
Eiche hat einen tangentialen Schwindverlust von 8,9%. Um wie viel mm
schwindet ein Seitenbrett mit einer
Breite b = 320 mm?
Lösung
320 mm ⭈ 8,9 %
PW = ᎏ ᎏ = 28,48 mm
100%
2
Rechnen mit vermindertem Grundwert
● Verminderter Grundwert Gmin
Gmin = G – PW
Verminderter
Grundwert
Prozentwert
(PW )
100 % – p %
p%
G
Gmin · 100%
= ᎏᎏ
100% – p
100 % = Grundwert (G)
Beispiel
Ein Kunde bezahlt wegen mangelhafter Arbeit 10% des Bruttopreises weniger und überweist
16 500,00 €. Wie hoch war der Bruttopreis?
Lösung
16 500,00 € ⭈ 100%
ᎏ = 18 333,33 €
G = ᎏᎏ
100% – 10%
Rechnen mit vermehrtem Grundwert
4
● Vermehrter Grundwert Gmehr
Gmehr = G + PW
Grundwert
(G)
Prozentwert
(PW )
100 %
p%
3
Gmehr · 100%
G = ᎏᎏ
100% + p
100 % + p % = vermehrter Grundwert
Beispiel
Ein Arbeiter erhält nach der Lohnerhöhung von 3,5% einen Stundenlohn von 13,40 €. Errechnen Sie den
vorherigen Lohn?
Lösung
13,40 € ⭈ 100%
ᎏ
ᎏ = 12,95 €
G=ᎏ
100% + 3,5%
5
Beispiel
Ein Betrieb erhält einen Kredit über
40 000,00 € mit Zinssatz von 8,5%.
a) Berechnen Sie die Zinsen.
b) Wie hoch wäre der Zinssatz, wenn
bei gleicher Laufzeit 3 700,00 €
Zinsen anfallen würden?
Lösung
6
Zinsrechnung
●
●
●
●
●
●
Kapital
Zinsen
Zinssatz
Laufzeit
1 Zinsjahr
1 Zinsmonat
K (€)
Z (€)
p (%/Jahr)
t (Jahre)
360 Tage
30 Tage
Kapital
Z · 100%
K = ᎏᎏ
p·t
K·p·t
Z = ᎏᎏ
100%
Z
Z · 100%
p = ᎏᎏ
K· t
40 000,00 € ⭈ 8,5%
ᎏ = 3 400,00 €
Z = ᎏᎏ
100%
Z · 100%
t = ᎏᎏ
K· p
3 700,00 € ⭈ 100%
ᎏ = 9,25 %
p = ᎏᎏ
40 000,00 €
Die Zinsen werden dem Kapital zugerechnet und mitverzinst.
Kapital nach
n Jahren:
● Anzahl der Jahre n
p
Kn = K 1 ⴙ ᎏᎏ
100
Beispiel
Ein Zimmerer legt 5000,00 € festverzinslich mit 4,5 % an. Wie hoch ist
sein Kapital nach 10 Jahren?
Lösung
4,5% 10
K10 = 5000,00 € · 1 ⴙ ᎏᎏ =
1
00%
K10 = 7764,85 €
Mit dem Zinssatz werden die Zinsen
für ein Jahr berechnet.
7
Zinseszinsrechnung
(
)
n
^
&
19
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1 MATHEMATIK
1.4 Längen und Winkel
Längenteilung
1
Teilen der Gesamtlänge in gleiche Abstände
e
e
e
e
§
e = ᎏᎏ
n+1
e
z=n+1
ö
2
§
e
n
z
Gesamtlänge, Teilungsstrecke
Länge der Abstände
Anzahl der Teilungselemente
Anzahl der Abstände
a, b
§
e
n
Randabstände
Gesamtlänge, Teilungsstrecke
Länge der Abstände
Anzahl der Teilungselemente
Teilen der Gesamtlänge in gleiche Abstände mit Randabstand
e
e
a
e
e
§ – (a + b)
e=ᎏ
ᎏ
n–1
b
ö
Teilen der Gesamtlänge in gleiche Abstände mit Unterbrechungen
3
b1
e
b2
e
b3
e
b4
e
b5
b1, …, bn
§
e
n
§ – (b1 + … + bn)
e = ᎏᎏ
n–1
ö
4
Winkel
Winkelarten
Winkeleinheiten
b4
a3
a4
b3
Zwei von einem Punkt ausgehende Halbgeraden
bilden einen Winkel. Die Benennung erfolgt mit
griechischen Buchstaben å, ∫, ©.
b1
Schenkel
Scheitelwinkel sind gleich groß.
Scheitelwinkel liegen am Winkelscheitel einander
gegenüber.
6
å1 = å2
|
å3 = å4
Wechselwinkel sind gleich groß.
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen liegen dem Winkel auf der anderen Seite gegenüber.
å1 = å4
|
Stufenwinkel sind gleich groß.
Stufenwinkel liegen auf der anderen Stufe der
gleichen Seite der Geraden.
|
∫1 = ∫3
Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
Nebenwinkel sind Nachbarwinkel auf der selben
Seite der Parallelen.
å1 + ∫1 = 180°
20
|
S
A
Die Einheiten der Winkel sind Grad (°), Minuten (’)
und Sekunden (’’). Es gelten die selben Regeln
wie bei Zeiteinheiten.
Umrechnung
1° = 60’
0,56666° = 0,56666° · 60’ / je 1°
21’ = 21’ : 60’ / je 1°
1’ = 60’’
→
→
34’
0,35°
Winkelbenennungen
∫1 = ∫4
7
å1 = å3
B
a
a2
a
b2
a1
a oder A ASB
el
nk
he
Sc
Scheitelpunkt
5
8
Unterbrechungen
Gesamtlänge, Teilungsstrecke
Länge der Abstände
Anzahl der Teilungselemente
å4 + ∫4 = 180°
a
a < 90°
Spitzer Winkel
90° < a < 180°
a = 90°
Rechter Winkel (R)
a
a
Stumpfer Winkel
Überstumpfer
Winkel