Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE - Peter Müller

Physik-Department LS für Funktionelle Materialien
WS 2014/15
Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE
Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Volker Körstgens, Daniel Moseguí González,
Pascal Neibecker, Nitin Saxena, Johannes Schlipf
Vorlesung 07.01.2015, Übungen 12.01. und 14.01.2015
Blatt 12
1. Fadenpendel mit Dämpfung
a) Geben Sie die Differentialgleichung für den allgemeinen Fall einer gedämpften, harmonischen Bewegung an. Leiten Sie diese aus dem Kraftansatz her.
Als Spezialfall einer gedämpften harmonischen Bewegung betrachten wir nun ein Fadenpendel mit einer Länge von l = 1,000 m. Das
Gewicht am Ende des Pendels hat die Masse m = 50,0 g. Es wird in
eine schwingende Bewegung mit kleiner Amplitude versetzt. Nach
einer Zeit von t = 30,0 s ist die Einhüllende der Amplitude auf die
Hälfte des Ausgangswertes abgefallen.
b) Wie lautet die Differentialgleichung für diese gedämpfte
Schwingung? Verwenden Sie – soweit möglich – bekannte Größen aus der Angabe sowie physikalische Konstanten. Verwenden Sie die Kleinwinkelnäherung.
c) Zeigen Sie, dass θ (t) = A · e−t/tF · cos(ω ′ t) eine Lösung dieser
Differentialgleichung ist.
d) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten tF .
e) Wie stark unterscheidet sich die Kreisfrequenz ω ′ des gedämpften Pendels von der Kreisfrequenz ω eines gleichartigen Pendels ohne Reibung? Geben Sie sowohl ω ′ als auch den
Wert des Terms (ω − ω ′ )/ω an und diskutieren Sie Ihr Ergebnis in einem aussagekräftigen
Satz.
2. Amplitude der erzwungenen Schwingung
In der Vorlesung haben wir die Amplitudenresonanzfunktion behandelt (siehe Skript Gleichung
(4.57)). Danach ist die Amplitude einer erzwungenen Schwingung für lange Zeiten gegeben durch
√
A=
m
K
(ω02 − ωe2 )2 + ( kms ωe )2
a) Zeigen Sie, dass die Resonanzamplitude bei ωe =
nimmt.
√
.
ω02 − k2s /2m2 einen Maximalwert ein-
b) Was muss geschehen, damit es zur sogenannten Resonanzkatastrophe kommt?
3. Gestoßene Feder mit Dämpfung
In Aufgabenblatt 6 hatten wir uns bereits mit ideal elastischen und inelastischen Stößsen in folgender Situation beschäftigt: Ein zunächst ruhender Gegenstand der Masse m1 = 2,00 kg befindet
sich auf einer horizontalen Oberfläche und ist an einer entspannten Feder mit der Federkonstanten
N
k = 600 m
befestigt. Auf dieser Oberfläche kann der Gegenstand reibungsfrei gleiten. Ein zweiter
Gegenstand der Masse m2 = 1,00 kg gleite ebenfalls reibungsfrei mit einer Geschwindigkeit von
v = 6,00 ms unter einem Winkel von 0,00◦ auf den ersten zu.
a) Nun betrachten wir nur noch die Situation nach dem elastischen Stoß. Zusätzlich nehmen wir
kein reibungsfreies Gleiten mehr an, sondern es wirke nun eine zusätzliche Reibungskraft
FR = −k s v mit k s = 4,00 kg/s. Stellen Sie die neue Bewegungsgleichung in differentieller
Form auf und lösen Sie diese.
b) Nach wie vielen Sekunden ist die Schwingungsamplitude auf ein Drittel der Anfangsamplitude
abgefallen?
c) Sie möchten das System nun optimal dämpfen. Wie muss k s gewählt werden, um dies zu
realisieren?
Geben sie für den optimal gedämpften Fall die Auslenkung als Funktion der Zeit an.
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