SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU Die auf einen - TUBdok

106 | Januar 1962
SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU
G. Collatz
Die auf einen elliptischen Zylinder in
instationärer Potentialströmung
wirkenden Kräfte und Momente
Die auf einen elliptischen Zylinder in instationärer Potentialströmung wirkenden Kräfte und
Momente
G. Collatz, Hamburg, Technische Universität Hamburg-Harburg, 1962
© Technische Universität Hamburg-Harburg
Schriftenreihe Schiffbau
Schwarzenbergstraße 95c
D-21073 Hamburg
http://www.tuhh.de/vss
YJAT S-20
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'
INSTITUT J'UR SCHIFFBAU DER UNIVEHSITÄT HAMBURG
Prof.
DroIngo
DroIng.e.H.
Go Weinblum
"-
Die aar einen elllpt1scp.en
Potent1alströmung
wirkenden
( ErweitertU1g
der
ZJ~,er
l~;e
in- ;t!?;stfrt~ärer
und_~omente_:~
Sätze von :Jagally
und Cummins
für den Spezialfall eines el1ipt1.schen
Zylinders
c
)
-.
von Dipl.lng. (1iinter
~.
~
'.
Collatz
\ .
o;
Januar
"
1962
-- -
1. Zusammenfassung ".
Es 1st bekannt,
da f:>
S man Körper,
diEt sich
in einer
Potentialströmung befinden, darstellen kann durch
Singularitäten, d1f~ sowohl im Innerlides Körpers als
auch auf del' Oberfläche liegen könnEmo Im Falle stationärer
strömung lassen siüh die auf d'en KÖJ~peI'wirkenden
Kräfte
und Momente nach Lagall;,'
[1] aus deli S1ngul~ri
täten
und
der Ungestörten
relativen
AnströlIlung
ermittelno
Ist die
so kommen, wie Cummins [2] gezeigt
Kräften
tlnd Momenten. noch in-
Anströmung
instationär,
hat, zu den so ernU.ttelten
stationäre ZusatztfJrme
hinzu
0
Der Zusatzterm
für
die
Kraft
lässt
sich dtrekt durch die zElitli9he
Änderung
der
Singularitäten ausc1rückeno
Es gelingt
hingegen
nicht,
auch
für den Zusatzterm
des Momentes
au:C entsprechende
We1_se
einen
Ausdruck
auf~~u8tellen,
der nux' noc~ die ze1,tliche
ÄnderWlg
der
instationärer
zei tliche
Singu;'_sritäten
enthält
Daher ist es bei
Strönung
im allgemeinein
erforderlich,
d.ie
Änderung des Gesamtpotent1.als ( Poten'tial
der
ungestörten
0
Grundsi;römung plusPotelltial
der von den
induzierten
Strömung ) auszurechnen, um
daraus mittels einE!r Oberflächenintegration
den instatio~
nären Momentenantei:.l
bestimmen
-zu kÖnnen.
Singularitäten
In dieser
elliptischer
Arbeit
wird ein Zylinder ( ebenes
Problem)
mit
Kontur
betrachtet,
der durch eine kontinuier-
liche Quell- Senken= Ober:Clächenbelegung dargestellt isto
Es wird gezeigt, dass es in diesem Sonderfall doch gelingt,
den instationären Zusatz~ermrür
das Moment auf ähnliche
Weise wie den Zusatzterm
für die Kraft direkt aus der
zeitlichen Änderung der Quellbelegung zu ermittelno Damit
ist ~ie Bestimmung
licho
Ferner wir~gezeigt,
des Gesamtpotentials
w1eman-aus
elliptischen Z:ylindersau:C die
nicht mehr erforder-
der Quellbelegung
ungestörte
des
relative AnströJDl1llg
schliessen
kann" Es wird dadurch
mö~)lich, auch die
stationären
Krattund Momentenante:i.le
nach Lagally
direkt
aus der .Qu$llbelegung,
d.h.
clhne Kenntnis
der
Grundströmung
auszurechnen.
InwiefeI~n letzteres
von
Vorteil
sein
kann,
wird im nächsten
Abschnitt
kurz ange-
deutet und am Schluss der Arbeit näher ausgeführt.
2. Problemstellung.
Ein
elliptischer
Zylinder
mit
de~ Hs.lbachsen
a und b
zur Achse
bewege sich in einer ~lüss1gke1t
senkrecht
mit der zeitlich veränderlichen
Gesc:hwindigkeit
ü(t) 0
Gleichzeitig
tÜhre es um seine Achse' eine Drehbewegung
mit
derW1Dkelgeschwindigkeit
Von der Flüssigkeit sei
frei\Uld inkompressibel
61(t)
B.US.
angenommen, dass sie reibungssei.
Die uJ1@;estörte
Grundströmung
sei instationär,
sie sei im Unendlichen
als ruhend ange-.
nommen, von einem Potential
ableitbar
und besitze
innerhalb des betrachteten
Zylinders
keinßSingular1täten. Es
sei terner angenommen, dass auf die Flüssigkeit
keine
äusseren ~ssenkr~fte wirken.
Der Zylinder
sei durch eine kontinuierliche Quell-SenkenBeleBung ( Dimension:
Ergiebigkeit
pro Flächeneinheit
=
Geschwindigkeit
) auf der Kontur S dargestellt.
Die Funktion
der Quellbelegung
q . q(S) sei bekannt, ebenso die zeitliche
-
Ableitung
~
· eieS)
.
Es wird
nun gefragt,
ob es unter den eben getroffenen
Voraussetzungen
möglich ist,
die auf de.n Zylinder
wirkende
Kraft und das Moment direkt aus q(S) und q(S) zu bestiillmen,
ohne dass dabei die Kenntnis der ungestörten Grundströmung
erfoMerlich ist.
-------
-"
.'
Diese Fragestellung erscheint auf den ersten Blick nicht
sehr si.nn:voI1~da j~mallgemeinen die Kenntnis der Grund.
.
strömung eine Voraussetzung für die Bestimmung der Quellbelegung istoEs gibt jedoch Fälle, für die diese Fragestellung
..
von .Bedeut;,ungisto
Befinden sich z.Bo in einer als ruhend angenommenen
Flüssigkeit mehrere Körper, die beliebige Bewegungen ausfÜhren,so
ist es zweckmässig, die Körper durch Oberflächen=
quellbelegungen da,l'zustellen.Die Bestimmung der Quellbelegungen fÜhrt danl1'auf ein System von, so vielen Integral~
gleichungen, wie K(jrpervorhanden
s1:ndo Nach Lösung des
Integralgleichung~fjystems sind zunächst nur die Quellbe~
leguilgen bekannto W:LII man die auf einen dieser Körper
wirkend~n
Kräfte uIldMomenteermitteln,
so 1st, wie oben
, .
bereitsangedeutet~,die
Kenntnis der relativen Anströmung
-
sowie der zeitlichen Ableitung des G,esamtpotentials er~
forderlichoManmuEJs
also - im allgeIneinen unter verhältnis~
mässig grossem numE:rischen Aufwand
.- die von den Quellbelegungen aller Körper induzierten St:~ömungen und deren Poten=
tia18 bes,timmen.
Ge,lingt es
dagege.Q., dieau..f' einen
Körper
wirkenden'Krärte'ulld Momente direkt aus der Quellbelegung
dieses Körper~ zu berechnen, und ,das ist beim elliptischen
Zylinder der Fall, so be4eutet das e:lnen wesentlichen Vorteilo
:3 0
Allgemeine Sätze über 41e Kräf.te\lnd
Momente
auf einen zllindrischenKörper~
Als BezugssysteInwird ein im Raum fe~:itstehe.rides
kartesisches
Koordinatensystem
eingeführt. Der Url:Jprungfalle im betrachtetenZeitpunkt
mit dem EllipsenmitotelJ?unkt zusammen, die
x-Achse
Es sei
-
.~ise in die Richtung der gr()ssen Halbachse
mit
a.;
-4
das Potential
und. die Geschwindigke~t
Grund s1irömung,
mit
tP,und
das Potential
belegung
.~
und die Geschwindigkeit
;-;,#"
.
bezeichnet
~d
die
der von der Quell...
unj1 mit
induzierten;stör~trömung
das Potential
der ungestörten
und v..~~~~
Geschwindiglfei't
der Ge samt strömung
0
,-
Die Geschwindigkeit der ungestörten ;relative~ Anströmung
(relativ zu einem mit dem, Körper mitlt)ewegtenSystem) ist
dann gegeben durch:
(1)
Der zweite und dritte Term 8ntsprich1~ einer Translations-
bzw
0
Drehbewegungdes
Zylinders,
0"
ist ein Ortsvektor
(Drehachse) 0
keit
Bei Nichtvorhandensein
in e:Lner r:ahenden Flüssig-
bezogen
a\lf
den Mittelpunkt
äU8serer Jlas8tnuträttelautet die
Bernoulli' sche Druckgleichung
.f v"+Ar.J+ 0
a
für inlltationäre Strömung,
J;
/#
FttJ
dt
wobei die Konstante auf ~r rechten 8eite im allgemeinen
noch eine Funktion der Zeit 1sto Da jedoch einerseits die
.
'
Grundströmun.g im Unendlicp.en als ruhEtnd angenommen wurde,
andererseits die vom Körper hervorgeI~.fene Störströmung
nach Unendlich hin abgeklungen ist , i.st die Konstante für
den betrachteten Fall von der Zeit WJLS.bhäDgig und gleich
dem weit vom Körper entterntherrscheinden
Druek
P.
0
(2)
-
-
5
Beze1chllet
vektor
Kraft
i1
den nach 8.ussengerLhteten Einhe1tanormalen-
der Kontur,
sö ist
( pro Längent!inheit
die
des
au.f' dE~n Zylinder
vdrkende
Zylinders
) gegeben durch:
- {" ;tri;
I
· -f. f;roll + .t.~ / r:l;r"s + 1/I
,,,
.
\..
J
,
I/t itelS
~!!1.
.
Für das Moment pro Längeneinheit
-
H=
gilt:
- [,[;;)(:1c"
.
U".tus
· -~. ,fr:t:tu'" "ffrl~r:;:tnJJ'"
!f~f
J
J
(4)
'
Das erste
Integral
da bekanntlich
im Ausdruck
für
d.ie Kraft
,
verschewindet
f3Jt;:()
$
1st
Dass auch das erste
Integ:ral
im. Ausdruck
für da/:.Moment
verschwindet,
lässt;sich leicht zeigeno'Da die Normal- und
0
Tangentialeinhei ts"vektoren it und 't senkrecht
aufeinarcler
.
stehen, ist,
{~>t "Ji]
::
(;;.t).
~
-+
.
wenn mit k der Einl'.eitsvektorin JUchtu.ng
1ft
bezeichnet
wird..
fläche
ZylindeI's,
des
F die
von
der
S umschlossene
so folgt
Zylinderachse
Querscl"..nitts-
'nach ,dem Stoke' sehen 'II),tegral-
sa"tz:
I
f;;)(
"J1
~!,
::
.1
f;.
t
ti
I
~
~r
?Il
:-.~"
f
tt!
Der Integrand des I'echten
Integra.ls
:lst identisch
elneE Ortsvektors Null ist.
Die jeweils'zweiten. Integrale
stellen
die auf' den. Zylinder
-
()
F
,
f,
die Rotation
::
/I
der
GI.;}ichungen
wirkend.in
stationären
Nu.ll,
(3)
da
und (4)
Kraft-
und Momentenanteile
dar. Für den hiElr betrachteten
bei dem der Zylinder
durch eine Quellbelegung
auf
.
dargestellt
ist"
kann man dafür nach Lagally
auch
f f vfl;,I1
· ~ %;,.r. ,- - f f, (tl ;,,,,
.
I
ffy2U>t3U$
t
(5)
.
· 4Hu.r..-fltWa)(~UI
J
Auf die
werden,
Fall,
der Kontur'
schreiben:
(6)
J
Sätze von l!agall1'
soll hier nicht
näher
da. sie als bekannt vorausgesetzt
werden
Die restlichen
instationären
beiden Integrale
Zusatzterme
daro
in
(3)
und (4)
eingegangen
k~nne.lJ.o
stellen
die
(7)
(8)
Dabei ist
angegeben;
Kraf'tanteil
auf der x'echten Seite von G'l.(?)
der Ausdruck
den man nach Cummins fiir 4ien instationären
im Falle
einer Ober:rläch~enbelegung
erhält
0
Bia hierher
handelt
es sich um bekanJlte
Dinge
Nun soll
gezeigt
werden,
dass der elliptische
Zylinder
einen Sonderfall
darstell
t, bei dem man noch zu wei tg4~henderen
Aussagen ge=
langen kanne Dazu sind jedoch, damit derGabg
der eigent=
lichen Beweisführun.g
~cht
allzuoft
(lurch Zwischenbetrachtungen unterbrochen
wird, einige
vorbernitende
Uberlegungen
notwendig.
0
-
--
""<T~~::''"~:;~:~:'7..~,~~~;''')?;''~.f~~~7''~\o/J'~~''5't~~~~"'~I\~~~'>"
, .
.
-
-
7
40 Eint~g
el~tischerKoor(U.lUi'ten.
Zusätzlich
zu dem
obeneingetÜhrten,
im Raum feststehenden
.
Bezugssystem
(x,Y) wird noch ein m't dem Zylinder
fest
'
verbundenes
,
einer
S7stemeingeführt.
elliptischen
Da hler
KontQr behandelt
~Qr der
werden soll,
Spezialfall
ist
es
zweckmässig,
da.tür elliptische
( LaJne'sche)
Koordinaten
(J,1)
zu wählen.
Im betrachteten
Zeitpunk11; t~ soll der Ursprung
des feststehenden
Bezugssystems
mit dem Ellipsenmittelpunkt
zusammenfallen,
und die x-Achse die Richtung
der gros8~n
Halbachse
a ~ben.
Dann ist der Zus~ill1lIlet'))1angbeider
Koordi=
natensysteme
gegeben durch:
X
,
:a
""
r·
Die Linien J..
~
J. "."
~ ".It J
\
konst.
':f
(9)
"";'1
stellen
konvolalle
Ellipsen,
die Linien
1-
konst.
konvokale
Hyperbeln
mi t d~'n Brennpunkten
( x- ~ c ,
y- 0 ) dar. Es handelt, sich um ein ()rthogonales
Koord1.naten=
system, d.h. die LinienJ
- konst 11tehen senkrecht auf den
0
Linien 'I- konst..
Für die partiellen
~.lt..
J'J(
JJ
;y
-
Ableitungen
gilt::
,,.4,./,,,,':1
Jy
:11
_lx.
J)(
d IAlt'J
=
,
+AM.''J
rA~~!f
t (M 11.1.,.
(10)
,
",,;,
yJ
.
FerJler gilt,
wenn f(.I,r)
eine skalaI~e Funktion und n und t+
die Einheitsvektoren
normal und tane;en.tial
zu den Kurven
"
,J-
konst.
sind:
(11)
(12)
-
-8
Ist eine Ellipse.durchJ.J,.
konsto gegeben,
und hat
diese Ellipse die Haibachsen a und b, so folgen aus (9) und
also
:
}
unter
Zuhilfenahme
der
Addi tionsthec)reme
M1'~
, ._ ..J2~ .. A
.
'-
iA..Io + ~
die
~
·,
"'.
~eziehungen:
(2.
«1 _,tl
.
.
(13)
..
Im weiteren
au.fe-Er
sei
Verlauji: der Arbeit
tritt;
häLt!"ig der Faktor
der Einfachheit
hB.lber .Dlit A bezeichne"t.
e
-.2~l~
(14)
Für das LillieneJ.emont
erhältm.an:
der
durchJD...
konst ogeget:?enen
Ellipse
(15)
-
-9
.:
'
Bezeichnet
man den Winkel zwischen
cLer x-Ach!38 und dem.
nach aussen gpI'ich1;e-ten
Einhei tsnorIllalenvek.'tor
A der Kontur
= .18 mit(n,x),
so ist:
",I
~
hUf'<'
._0_
gilt j:ür die
Schliesslich
benötigten
vektoriellen
{;f:K:;1
::
-
i/h (n,x)]
It~- j,:l
~
fI
Arbeit
-.!>
Y
r
( n, t)+
~
.
= ~b
~
'5.
1#,./
der
~
;;:.: Jf..";"3V
~ ,6~?w'. +4~q1
[ ;; )( t J = [)(
(16)
im wei ter€~n Verlallf
Produkte:
[x 4';' (11,x)
=
oe
~~,~ +1.I,my
(
4";'
~':l!f+~~Y
(~~~+
;,.?r
;(
2 (AA~~ 4,H,Y
(nJ 'J(
(17)
J] ;;
.
.~ =
4./1
({4~t~+",..;.tr
;;
.
Potentialfunktionen in elliptischen Koordinaten.
Lösungen
der Potentialgleichung
Koordina1ien
bestätigen
sind,
kann,
v/ie
.4f .' 0 in elliptischen
man leicht dur'ch
Einsetzen
in GI. (12)
die Funktionen
(18)
111:: ,1,.1, 1, 111)
sowie deren Real- und Imaginärteile alleinoDiese
in
den
da hier
Brennpunkten
(J,fJ+4intf
verschwindet.
-
(J..
a
0,
r"
0 ) und
(J
-0, 'I ..7)
sind
singuläJ.',
0 ist, also der Nenner des Gradienten
.
-.10 Betrachtet
1-111
mazi dagegen
· i" t
t(..J
die Kombinat:lonen,
,
~ V! +
.
J
,,~.,l.
J
.t t II;.t
.f t _"..,I lAh
, .,
i
r
"_,,,.1.
"4WI"y
12" - I t, 4M'IVf- ~ t
1.,11
so weisen
auf.
:;wÄ
i
nur
Punkt
~"1
t 11..1'
'"4AM V'l
So gilt
im
f'
'al
Die
-i
.,
'f""
_".I
e
"
i
.,.
~
"11
r
(19)
·
"."..J.
i e 'Wn"1-
Singularitäten
f'iI und f~., in den Brennpunkten
z.B. .für dieJ -Komponente
des Gradlel'lten von
(0, 0)
Bestimmung
der Gradienten
von f'."lund
1:/1"dagegen
in den Brennpunkten auf die unbestimmte Form ~
Für
iI
= 1 folgt 'aus den Beziehungen
Koordinaten:
~H
/21
Es ist
als,?
fll
.das
::I
J,.I
.
w.
;B 'J4,.1 .".;,
'I
'/
c
m.t de~ kartesischen
:Ir X
7
~
f
Potentiale~er
x-Richtq,
f H das einer
vom Betragt} ~
fÜhrt
.
Parallelströmung in
Parallelstr'ömung 1.ny-Richtung
0
Für ,,>1 lassen "sich die ,den Potentialen
f.,,, und f~"
zuge=
hörigen Strömungen nicht mehr in so einfacher Weise angebeno
..
-.~
~
.
,
,
;
)
Da ;jedoch
die Kenntnis dieser Strömungen im folgenden nicht
erforderlich ist ,genügt es nachzuweisen"dass
die Funktionen
eh vJ COSyt und sh",.4
sin", auch in deJ[l
Brennpunkten
regulär
sind.
D.h., .dass diese
Funkt 1 Ollen aucJtlin den Brennpunkten
stetige Gradienten haben~und das dort auch die Divergenz der
Gradienten Null ist.
.
'" .
.
_.
.
'~"'.'~~J'''''''~~?'''''''''~1,_~!It_~~.</..,."
.,
,
>C','
"',." ,'1'.' 'i
'.
"ft','."
T"
. ",,,,,~'I!III!!!1~~~"!'f<"""\":;~ci'
.,..
. ,. .,
,.. ,
,
.>c
,.'. . , ,
"~..,.. C';.
'.'
.
!
11
!
~
i
~
1
Der Beweis ergibt
Er'
f<ll!
sich durch sukzes.ei ve Grenzübergänge
. des
Gradianten
von
soll hier Aur , fiir die,.1.
-Komponen'te
.
= ch"J cos "'!I du:rchgeführt werdeJtl Für alle and,eren
0
0
Grössen
ist
der
Einerseits
Beweis
isttiir
,,).
analog.
-
0
g~ad", f.,v (0,,)
Also:
lim
,...,
( lim
Der gleiche
Grenzwert
'f - ~ f'esthält,
und'J.
stärker
gegen
'I:;
r
.
.
(M.t.,.".l'l L-'.0 = 0
t
4'"
)
J8
0
-
ergibt
sich,
1ivenn man lf
0 bzw
gegen Null gehEtn lässt,
da fiir ,,> 1
Null strebt
als sh"""
lim ( lim grad.,
(ttbrigens
0
J'..). (#lIlff
,,""
=
'grad.,(
0 bzw
'I
J+Q
bzw. ,.t-
sh vJ
:;. .
unQ.
f./", )';'1
"
~.
tl.).
,.1.0 f. ()
c'Mt.,l
bzw. 'I."
haben bis aut " - 1 alle!luftretenden
0
::8(J
unbestimmten
Formen den Grenzwert
Nullo D.h.,
dafis nicht
nur die Divergenz
der Gradienten,
sondern auch die GrsLdienten
selber
für alle
Funktionen
f.,,,' und t ~tI (., > 1) in de.tL BX>6nnpurikten' verschwinden
Aus der Tatsache,
f'/JIP - sh tlJ sin":t
ergibt
sich
d.'3.SS die
Fu.nktione!n
in. der
ganzen' J
der nachfolgende
Satz:
und
ch"J cos "1
Ebene regulär
sind,
f' -IV"
- ~,,-
Weissman von einer Strömung, dass sie 1nnerhaib
des Bereiches
~ -eJ", keine Singula..rltäten
besitzt,
und ist das Po'tential
-~
dieser
die
strömung
auf
der
Ellipse'~
-
konst
0
( ..J. <~)
durch
Four1erreihe
(20)
(21)
~
)
.
12 .-\,~,
innet"halb
des
Bereiches
,
j~.J4
besch.;t'änltt
und
stellt
dort
das Strö~spotential
(~,r) dar, da es nach bekannten
Sätzen der Potentinltheorie
nur ein4~ einzige
Potential...
funktion
gibt,
die innerhalb
eines' Bereiches
regulär
ist
und auf dem Rand vorgeschriebene
WeJr:'te annimmt"
6. Das' Potential
~lbeleg,UDg
indUzierte,n
GeschwindiKkei
und die
ts~omp()nenteno
Da der Parameter
'I beim
Umlaut um diE! Kontur die Werte von 0
bis 211'annimmt,
so muss, wenn man djle als bekannt vorausgesetzte
Quellbelegung
q als PUnktion von,
angibt,
q(,) die
Periode
21' haben.
}~s sei nun angenoJl1IIlen, dass q(~) durch die
Reihenentwicklung
'
trI
.
~
~
-.
.l
.'
(y" Ut
t'V'.M)'-I. +'lMlt'l 118</
&J''f
+
J" AM"",! J
(22)
'
dargestellt
ist.
( Ein konstantes
Glied (, ~
nicht
auftreten,
dainfolge
der Sch~iessbedi~~ung
die Integration
der Quellbelegung
iiber die Kontur Null ergeben
muss; wobei
die vor das Summenzeichen
gezogene. }!'unktion 1 : e,/~~J(J.+4Ml'l
sich gegen die im Lin1enelement
dS .. c (.M.~ +
""';"1 ddJ
auftretende
Funktion
herauskürzt.
)
.
-
Gefragt
ist nach dem Potential
dieser
Quellbelegung
sowie
nach den vondleser
Quellbelegung
induzierten
Geschwindigkeitskomponenteno
-'-
Für das
Potential
gilt:
;,
Dabei
.
bedeutet
·
.1..-
(23)
{
'/11 A.. 11 '"
:11'
f
R der Abstand
vom Quellelement
qd'
zum Autpunkt.
-13'Als erstes
werden.
soll ln- R in. eine
Fourie:t"reihe
entwickelt
Quellelementes
Isei durch die lautenden
De,r Ort des
,
.
Ordinaten
bezeichnet,
ein Au1'punkt ausserhalb
der Kontur
durch:
'-
Dann ist:
Äft.'! ~ Me (ir-,}'.,.
durch
Einsetzen
·
(Y-'~
1l.I(~-fJ'+
11-1)', :r .itt ,J" ,~-,J
der elliptischen
Koc)rd1nS.ten erhält
\
Daraus
folgt
{ u{ ~
"'1
durch
+ i~"'.t'. ~f
=
J
·,
uC {J. +itJ
Anwendung der Adä~it1o.rist}U~oreme :ftir
Hyperbelfunktionen:,
~-t
man:
.: 'tA I4I+/'IJ
t- x-riy- ,( t4.1 ""'I + i"A ~ ".'J
t - f l' ''1 · t
/!K-"
11t'-Jf +/Iy-?)l:tt
.
cl[t-lIJ1'i'lJ.. M1J.+11J]
·(z
1
44.1 [IJ"''''J+1J''''/fJI44
Nun gilt ~llgeme1n:
f-IIA,) ~/.,J-/~
+/1'J1
.
'
.1. { e~-t-Jt!}{e9'-t-!j!}
_~ -l'+I11
, -l../,J .}
t .{ ",-t
I{A-e
',-I
~ d+'
~. ~ .t
T
;I
::Jl.;
C
Also 1st:
~-t
Daraus
·
t.
'i'
'
(J+/,J
wiederum
.
{A- t.
_((.1 +i"J+1JtI+/tJlj)
1
~ _(I,.It,.,J-i~i'''1JJ1
J{,,-,
folgt:
A-.IZ-tl.
~
+
Mt
f
+J+/y
+'.
{" _, -l~"''''rJ+''''-+''1J1}
+ At {J-t-I/J'Ii,J-(~~+If.JJ
+
J
-
Da .der'
--
A':1fpimktllusserhalb
also sowohl,
-
als
der Kontur
-
soll,
ist
J >..I. > 0,
It --tIJl-l-J+ IJ.+iIJl/ra, -IJ+,J,'J ~"
.
,J
~
-'
auch:
/,-lIJ.,."J-IJ.+lfJ1/. t-1tI-.I.1
D . h.
liegen
_
man kann
die
bekannte--
..
'"
Reiheneil.t;W1.cklung tür den
Losarithmu8
NI
(~.,J.
Mt
f
:A
-';;~
"..,
.+ J
-,
+"y
-tl l./+J.l
,-,i1I,/+If) -
- "'; 4.tI ,.tI,J.J.J ,.,;, '1-1'J
1/84
Schliesslich
8~ibt
-
-
sich .ti1r c1el1 ReBLlteil,
also
tür
In- R:
(24)
- 15 Nach Einsetzen
<1ieser Fourierentwic.klungsowie
der Entwicklun~;
(22) :tü.r die Quellbelegung
und der :Beziehung
(15) :für das
Linienelemeilt
in 'die Gleichung
für das Potential
(23) erhält
man unter
der Annahme genügend
Ausmultiplizieren
(Es sei
leistet
gute:x~ Konvergenz
und gliedweises
IILtegrieran
t
erlaubt
ist:
bemerkt,
dass genügend gute Konvergenz
immer gewähx'=
ist,
wenn q die QuellbelegUILg
eines elliptischen
Zylinders
ist,
der
sich. in einer
innerhalb des Bereiches
aufweiB~.
Letzteres
ist
Voraussetzungen.)
Für J ::J~ gilt
Singularitäten
eine
getroffenen
der
zu Anfang
.
der
Abkürzung
f {,j:#-t -tJtI J ~
~r
1.
~
( t/ _ t €/lJ.).
"
4- "A"
:l.
und man arhäl t für das PotentialdeI' Q.uellbelegun.g
\
die
J <.1.+ f (f).o,) keine
nacl1 EinfÜhrung
t-" t. ~i" ~
StI~ömung befindet~
J
e- 'JJ.", i,JII- a
Kontur
sodass
an d.ar
selbst:
(26)
Die Normalkomponente da.1-. von der Quellbeleßung
induzierten
Geschwindigkeit
ist die,J- Komponente d.es Gradienten
von
r/s (J t y)
für
J.
""- .
-~'~'~'--1,
":~~-!f~~"~~~~1:~_~~~~.,~_:~(~~~~~~~,~~~~~~~.t~~:.~V~~'~~~i7'~>
,
.
'1-
'.
-
Auf entsprechende
komponente:
16
..
Weise erhält .man für die Tangential-
Vfr '" '9"/ d f ~s ~1..J.,
1
· t( -Mfw!,
+"'Hi~
i i[u+'J:'J(tI ~vr
-
(J-J/'J~".,.,,'J]
(28)
tI.1
7. Der Zusal1L1lenhang z1'lischen der' UD.gt9störten
Grundströmun~ un~ der Que~bele~w~
Die den ZyliD.der
darstellende
Quellbl;}legung
war als
bekannt
vorausgesetzt
wordeQo Es soll nunauJr die ungestörte
Grund=
strömung geschlosse.Q
werden,
in der l3ich dann der Zyli.nder
befinden muss.
Wie die Quellbelegu.o.g!l
so muss auch <las :Potential
Grundströmung
auf der Kontur die Periode
2?' haben.
es daher in Form det" Fourierreihe
tPt deI.'
-"Man kann
(29)
ansetzen,
wobei
die
unbekannt
s111do Nach
Koe.tf'1zienten a., und
Abschnitt
einzige mögliche analytische
5, Gl.(21)
bv zunächst noch
gibt
es nur eine
Fortsetz,ung,
(30)
(31)
.
17
(32)
NormalkOJBponente
Für die
1ta.nn man, dla
~
),(. JIJ.
s
-I
.11-1
-ttlttl.
::
_ t v..
'41.
und entsprechend
ist,
auch
schreiben:
,
" .
;N. {"
~!.I.+MI1fI
v:
Ist
r~~ die
.
..
~-74~
1. 81 (-;-::;;
,,+,,1
"..,
Normalkomponente
V1N
4+).".
;;
I-'A 'v 4M'I"1
)
(33)
der relativen Anströmunß, so muss
die 'besagt,
dass durch die Zylinder=
infolge der Randbedingung,
oberfläche keine Flüssigkeit
sein,
Ilv UhVjr,f+
hindurchfliessen
+ V,./I =
be zi ehtlllgSVie
1 se (siehe
kann,
()
auch
Gl.(1)
):
(34)
Sind ux und
die
~
geschwindigke1
t u,
u:: -
x- bzw. 7-KOmpOlleJo.ten der
so ist:
U1( U? Ih,1() + Uy 'IM, fn/~J
.
= I{..(
4.iV.,
Für das Spatprodukt
+ .fMI~'
{.r)(1};r
Ihx Ihr + Uy"Mo '1)
erhält
Vertauschung:
~...
.. ... ...
[ 1fI)tl'J.1f
· ltI { 'I'>tn1
'.
Translations=
man durch zyklische
.
.
"O;ll'f~,\
,ryt~~:":~11~'''~~_t:..,..,...,::,
,
~::J-t;t~~~~~~~-"{i":'~'?C:
'",':'
. ,
-
1.8 =
Da w und
dieses
(:tx;t]
gleichgerichtete
Vektoren sind,
Produkt mit Hilfe von Gleichung (17):
~..,
"
r(nJ,'J" +-"1
tür
(2
4
"
'ZwlJ.m:ly
· , ,."./ I ,,-)ln :/t~({~~o+""M,Y
""'..
:0+
[ l8/)trj'n
Die Randbedingung
:folgt
GI.(34)
lautet
.
.
d~Bn voll
ausgeschrieben:
=
-
",,"Ä
+.,-ux
Ql.-'-'.i;~ -(.I+AJ2
1/-)," "4
1-4
1
.
(Lai
:8
-;f-'/f!'
"
:8
11-4
T
.
=t:
h~
-iv'L Ut'Atly.
.
YII
- U-'A.J" J. + a 1::1: ~"
,2 ./_;\3
- i,;"f IA~}.~f
".,.,,1. ~ +
f
~!
J~ .f+Jt"
4+]1.
J'
'
,f+:A[4
(v>2J
Setzt mall diese Be~iehungen
in GI (~~9) ein,
0
so ~rhält
man
für das Potential cler ungestörten Grundströmung in Abhängig=
kei t von den Koef!jLzienten der Quellbelegung: ( Nur die
Konst~te
ist.
)
a. ist ni.chtbestimmt, wael aber
,,/,1.,1)
::I Re)
.
fIII
- i va"Z v
./
.f+).'
ohne Bedeutung
~[
(4+1t1)3
~J:t
_
,
U-A
"_),,. y",""/II~(+ ,f+'AV:J" 4#1"1] +
.
.
,,-~.
t:t -I_AI.
.
(36)
11)(Ih r + Q - I-'
y AMl Y +-;;- ---:; 4toJ4Mt:"
1-"
I+'}.
., ./+~..
J
+b -
-19 -
Daraus ergibt sich nach Addition/von
Gle(26) mit
/+,."
-t-"}."
,f-'Aal
./+'1."
/
80 Die Bestimmung,
der relativen
Ans'trömung
,
aus der,.Quellbelegung.
Durch Einsetzen de~ Beziehungen (35) in die Gleichungen (33)
und (32) erhält maafür dte Normal- und Tangentialkompo~
nenten der ungestörten
Grundströmu~ß:
,
I
(40)
(..6Jl_ ,c..,,~
U+IP+(.-IIJ-
:a- 14'
-'+,,~
I
"~:;>
..
"'~~~~l~~'~:"':':'!"'>f~~:~~t',~~~~"S;:,')r"C;~""""'t"'"""'c:<
,
''''
,/
.
'"...".'
'
....
-20
Die NormalkoinpOllente
aus
0
V".",+ VSN ·
und
der relativen
Gl
0
(27)
Anströmung
ergibt
sich
zu:
-
(42)
Für die 'fangentialkomponente der relativen
.
~..
r"..,.::,
V'1
-
Es ist:
u.f
Mit
a
~
H~
schliesslich
.....
Oder auch:
,
-
[.,
'J(". .J."
t
/
'*' III,Kl4-"Y u~I"IKJ
Hil:fe
sodass
t
11-
folgt:
Anströmu.ng gilt:
~,.,~~~,~?'7'~~I'i4~~:'!')~4%'''''')T
:<}'. j'..i';,
r""~~"
'A!
"'.
.'
l!-
.1'
-'L
- 21
Bei der letzten Umformung
=
ihRf/
ist, Und damit:
wurde berücksichtigt,
~ ~:ty
und
',I...
dass
b~=t.f",,~~
'
.~-I/~
at!.,. "..
"
-
Damit sind ,die Norm~l- und Tangentialkomponenten
sowohl.der
ungestöJ:ten G~undst.römung als auch d'er unges,törten I.'elativen
AnströmuD.ß in Abhängig.i,teitvon den K1oe.t'f'izienten
der Quell=
belegung dargestellto
Um nun
wieder
von der, Reihenentwickl1.U1g
I
der Q uellbelegung
,
.
freizukommen,
sei z~r Abkürzung
'i'tl t(..u2~
+ .;.my ::I ~ tr" IA'J"1 +J,,4M,t/r)::
v."
,
-
"
~
I.i'(l#1tfrlAl"'f./1~V1AM.tl1J=
27t"&,~f';)V(f+tJ
~
.
U+'Ai1J~.
f.#I11«1/,!"" V,/~ [ ld:::ltl
~~+'tt."
~
1.) ~'
~
gesetzt.
1)
AN {'I,
(44)
(45)
tI.-I,
'11:""
h1
:11
"
Ir}
AHnDlj UhJIItJ
:= ltr ('1/1)
(46)
Dann gilt9
(47)
(48)
.
.
'.
durch Ausmultiplizieren
Integrieren und Vergleich mit (42)
was"leicht
.
dEtr Reihen, gliedweises
b~~w.' (43) bestätigt
werden
kann. Auf, die numerische
Auswertung
der in, 'den Gleichungen
(47)
und (48) auftretenden
Integrale
wird am Schluss dieser Arbeit
noch näher ei.ngegaL1g$no
"
. .
'
- 22
st,ationären
.2.:.-J?ie
Es ist:
Setzt
]:raft-
t2 (4'c,:l..J.
man daher
und
+ 4~:lr
...,
Momen1~enanteile.
J:II ,2+ {l-llJ
4,v;~:ly
zur Abkürzung,
.
V"'II
"{,,~.?Jp +-~~y
I
so .folgt:
'~
"WN1,/1
-
,,0+(.'~},'J
1
at
''I) +
1iIAN Iy,111'1) 1/'1]
(J
(49)
fiT
:v
10
Für die
x-Komponeni;e
f
Ar ('1,11/'11 "'I
von ~l gilt:
- j,WH
(50)
r'
.
J/".~. V.,.".tA)' 18,'Jt) - V'.,r~ In/~J
Für die
y-Komponente
"""1
Und für
unter
~
gilt:
das
nachfolgende
r':' + ]
L")elf?;.
"*'
'I + d tri,
",,"";'f
'
V"'H ,,";'411, tJ+ V"., 1t#I1",,'O =
Zuhilfenahme
Ferner
;a
vektorielle,
- 4. WH AMt,! - b r(r 4h r
Produkt
der Gleichungen
-to +
[ ,.,)(
n ] ' '1'111+ [ ~ J(11 V".1.
erhält
man
(17):
42_1,:'.
.
-A
(2
hiN 4WI!lr + a'o
Wr)
ist:
Damit lauten'die Komponenten
der sta.tionären Kraf't= und
Momentenanteile( Lagally ):
.
.t
~ stot. = -f
l
#'
r~ '" · fjfl'!l (6"","",-u"., ""';'1)"'I
(51 )
23
fT
-
J1lf
;a
Si,,'-
-! [1 ~-y,,'
:::I
f l1'(1)
(q WH'~r'"
'Q
d Ha.r. = - f
~{,
1;"
.
--
,
(52)
bWr "11/) «5&
-
[,,)(
~1 ti I
:t ~
= f [tl'/} l~;AWN ~-llr+Q~'Wr)"r
(J
'10. Die instationäl:en
Zusatzterme
.
I
Für die instationäJ:en
Zusatzterme
eJcohält man wesentlich
einfachere
Ausdrücke.
Nach GI. (37) gilt
für das Gesamt=
potential
an der Kontur:
::
J
Da in dieser
Gleichung
ausser
ux' ujr und w lediglich die
t... uILd I" zeitlich
veränderlich
sein können,
Koeffizienten
ist
dann ,
und man erhält
terme:
für
-
die
Komponenten
,~
.
~ '2)
unO.,t.
a
der
instationären
Zusatz-
1."; "'{"IX}.~ '-' ,l = 111 fit
dHJt)
'" 1IJ'I"r = 1'11 ;#-1-'- (- rlt4 +11
fit
M
lit
f J df
S
{
.
-
24
Dafür kann man nach Einsetzen
schreiben:
-
der Beziehungen
(40).auch
(54)
/J~yinsr. . - f'"
,,"
fit
+
f
Ahr
""'1
tilt
(56)
Mit
IT
tlt.,
iTlit
·
.
folgt
.
f,
'r) ""
tI'f
"1
6
schliesslich:
(57)
-
(58)
(59)
'!'
"1
,
'
25
tlbrigens
Gl,e i ChUllseIL (57)
entsprechen die
und (58}", da
ist;, genau den Komponent.en des Cummlns' sehen
( Siehe rechten
'I'erm von GI. (7).)
Ausdrücke
(57) bis (59) eine
fachung
gegenüber
den linken
Seiten-der
(8) darstellen,
ist
selbstverständlich,
Dass die
Ausdrucks.
,wesentliche
Verein-
Gleichunßen
('1) und
da hierdurch
die
oft mühsame Bestimmung der zeitiliche!n
AbleiGlllig deE' Gesamtpotentials
ni eh'!;m.ehr erforderlich ist. Die Gleichungen
(49) bis (53) für die stationären
Kraft-und
Momentenanteile
dagegen
machen auf'1en
ersten
Blick' den Eindruck,
'Ferhältnis~
mässig
umstiändlich
zu sein.
Daher sc)ll nun zum Schluss noch
nachgewiesen
werden,
dass auch sie in Hinb:lick auf die
numerische A~Gwertung sehr vorteilhaft sein können.
})61.'
Kel.'J.'l
denn
es
und
k/l/( Cf,.,)
lässt
sich
in geschlossener
FOI'l)J. dar;3l;C
116x1;
is'(;,
somlt:
.
L
/RN
{~11.tl.
dI
=
~
~
',
A' ,~
1':::4.
l'
(
A
+t } ,::';'.
~
A- Ä
.l
:t (J-"2')."""r+1tl+"A2. l
r
"
.:
:i--
'
--."
'
.
\
- ;\~+ /l (,#)('f+l'J
(60)
4- 2i1 (,I'J(f{-t'iJ+ A~
Fü.r den Kern kr(1,?')
hin.gegen
Auch ist, er nicht beschränkt
gelingt dergleichen nichte
0
Nun ist im allgemeinen die Quellbelegung nicht durch einen
geschlossenen Ausdruck gegeben, es sei denn, es handelt sich
~~-~z<~-~
'
"'\'-/".
26
-
um eine besonders einfache GrundstrÖlIlung, wo dann aber
die hier durchgeführte Betrachtung .uicht erforderlich ist.
Häufig, z.Bobeim Mehrkörperproblem, sind nach LÖstlng des
Integralglei'chungssystems nur einzelne Funk'tionswerte an
einzelnen Stützstellen bekannto Man ist dann gezwungen,
die Integrationen durch Näherunßsquadraturen
zu ersetzen.
Es sei nun angenommen,
g(~) sei an den m äquidistanten
stützstellen
n
(
..,
1, '2, .,..m
)
m
:::
gerade
ßegeben. Wie ich in der Arbeit [~ gezeigt habe, erhält man
dann fÜr die in den Gleichungen (49) und (50) auftretenden
Integrale
W
",
IN
"1/
;: .!..
11l
JtN ('1,11
f
D
Ir
tl'lI,(1,
;r
~litT (1,11,'1)
011
o
das genaueste Ergebnis, wenn man die einzelnen Funktionswerte
von g(1-) mit den ~-ten,FourierteilsuiDJJlender Kerne multipliziert und auf dieses Produkt die Rec.b.teckregel
anwendet. Es
,
ist a.lso kein Nachteil,
dass der Ker.tlkr(f/,1)
nur, sondern
eher
ein
Vorteil,
dass er schon
in
FOI'm
einer li'ourie:r.reihe
vorliegt.
Wie gleich
Anteile'
'aufzuspalten.
(4-'A"'J~
4+
'At!
."..
8rhält
gezeigt wird, ist es zweclttmässig,kr(et,'/)
(J-7tIlJ3
-- ~-'Au--
,Mit
Hilfe
in zwei
der Umformungen
;(-3')..J+'1'A~J.,..').Jv
,f-'AN-
man aus Gl.(46):
,
.Jtrl'lJ'f}:::
- ;/+1').fl.V
2
\1:4 4-').~'"
- ;;
~"
"lAll
\'::.4
3+"A~ ( ~
~
4-Ä
.
.
(/I#')111 MM v'f - ,1)/C<VlVY
r#Jl/f)'.
IIr J')M'I
V1'
+
"Mt
. 1/1
lAhvi
}
'
(61)
Zahl
-
27 -
-
'
..;,
,
DeI'
e~ste
Terill von Gl.(61)
sei
mit krz (Cf,"f) bezeichnet.
durch
mit; k'1.{('!~1),
Dj,e ~-ten
den' Index *'g€kennzeichnet
zdeite
li'ourier'ceilsummen
Es ist
0
der
seien
darm also:
(62)
(63)
(64)
Ordnet man nun die m Fu~ktionswerte
der Funktionen
wN(fj) und wr(y) in Form von Spalten,rektoren
an,
r
~':I
ß(~),
t 1'1.)
W" ly.,J.
Wr 1'f~J
t
W" l'f~;
I(r
I«f:J
I
I
I
I
G = ~,.('In)
'W:...
N
I
I
,
I
WH 'r,./J
I
I
~=
1
I
I
(65)
I
WT {'lI' J
I
I
I
I
WN '1M}
eri1m}
:r:lJ
WT(r,1'l}
'..
die m2 FUflktionswerte
quadratischen
Matrizen,
der
Kernteilsvl.r:lill8Il
z..13o
in
Form
von
~: IY,,!1'1)
r
.Lt'
('fi,
-'RN t ",
J~c ,-4
I
. I
.1t I
AN (<<!n/1.,J
.
I
I
,
A: (f/",! 1.,1
(66)
;
\
und
die
Funktionswerte
d~r
{tr}
"
=
b~+{~-h~~~~r
.
in
Form
Funktion
einer Diagonalmatrix,
-I'tt.,) 0 ------..{,.,~)
0
I
.d..
I
'-
.,
"-
I
"-
.........
I
I
(67)
4{'In)
"-
0
die
.....
.....
I
50 lauten
0
,
Gleichungen
(49)
und
.....
.{ ('f",)
(50)
in
:~atrizenschreibwei5e:
(49a)
(50a)
Aus Glo(62)
folgt:
#)
fA-)..t11
v (n+.f)+4
m
IJ'
== lA1J ~ 11)1
\.
-n+~
m
iAh ~i1v In.,.;fJ+~:= t6) 21iv !!:!:1
In
m
I
I
.,
.
I
I
ua.. ~1TV
-"
"m
fn+./J+m
Bei' den Elementen
k;.;
,Ji:t'/n+-f,1.,J =.it: (t.Jn,1~J
..
.~; ('/1I+4,12) =~~ ('In I 'h)
I
,
I
I
I
J
I
n+-f
::" bh
~
'J-c"I1-;;;-
ist
der
I
.~~; ('h+/,1m)=.-k:
Zus8.JIU1tlenhanganalog.
I
I
I
I
(lfn,1'1)
~~~,,
,
'
-29 Für die 'Elemente
.
/JM1
(nM)-4
.
~ili/
gilt:
kif
· 2iill -n-m
· IUIH
sn -
In
-n-A
.
4_J flifv
,,
.
I
,
.,
,
I
ln+-JJ-m .
/JM1'11iv-- In
D oh.
~
m
,
I
..
4M1 !11ft!
$
*
''*74
{f{n+.f /1'1
) :>I~T4*
{'In, "fmJ
* (fn+I I 'fJl J =-JrU* ('fit ,1-,,)
,IlT1
I
I
I
I
n-!m-,f}
.. ~~~/ ('InM/fm}".It;'
m
('n/'fI'1--"J
man braucht
bei allen drei Matrlzen KH' KT1 und K/~
nur die Elemente einer einzigen ZeilE! wirklich auszurechnen.
Die Elemente aller übrigen Zeilen erhält man bei KN und Kr.2
indem man das erste Element der vorhEtrigen Zeile hint~r die
anderen stellt und .alle Elemente um -EtinenPlatz nach links
bei
'
Ku,
indem man das IE,tzte Element der vorherigen Zeile vor die anderen- stellt und alle um einen
Platz nach rechts versch~ebto
verschiebt,
Die Vorteile der hier abgeleiteten
nun folgende:
1.Man braucht nur 3m Elemente
RElchnungsweise sind
für die Matrizen KN7
Kr"
und Kr.t zu 'berechnen. Insbeson(lere braucht
man bei
Verwendung eines DigitalrechneJ:'s auch nur 3m Elemente
zu speichern,
-
was u.U.
man bei umfangreichen
der Speicherkapazität
2.Alle diese Elemente
verhältnisa
vorgegebenen
:
b
ausschla,ggebend sein kann,
da
Berechnungen
leicht
an die Grenze
der Rechenanlage gelangt.
sind nur vo,n1
d.h. vom Achsenabhängig,
und. haben damit ~ür einen
elliptischen
,
Zy11n.der
g~nz. gleich, in welcher Strömung
immer Gültigkeit,
er sich befindeto
Würde man dagegen beim oben angeführten Mehrkörperproblem
die relative Allströmung des einen Körp,ers
aus den (tue1lbelegungen aller anderen Körper besti.~~en, so benötigt man
fü.r jeden
Körper
zwei
quadratische
Matrizen..
(
Z. B 0 fi.i.T.'
die
x- und y-Kompoaente
der induzierten Geschwindißkeit.) Die
Element.8dieser Matrizen sind im allgemeinen.alle voneinander
ve.I'schieden
und 8.usserdemvon
der g~~gensei tigen Lage der
Körper abhängig. Sie äp.dern sich also, und müssen zu jedem
Zeitpunk.tneu berechnet werden, weml die Körper sich
relativ zueinander bewegen.
Literatur
-"""--
Lagally,
.M,,:Berechnung
die strömende
,Flüssigke!i
der Kräfte
ten
auf
und Mechanik,
1922, S. 409-422.
,
2J Cummlns,
W0E.;
The
of Ship Research,
Fore e and
Mome.n t on a Body
Flow.
(Journal
April 1957, s. 7-18.
)
Collatz,
G.: Ober ein .spezielles Quadra-cur~erfahren
zur numerischen
Behandlung
Fredholmscher
Integralgleichungen
Bericht
des
si tät Hamourg,
(
--
)
,
in a Time - Var.y1ng Potential
[3]
ihre Begrenzung
( Zeitschrift für Angewandte Mathematik
ausüben.
(
und Momente,
per:i.odischer Funktionen.
tute:5 f.Schiffbau der
S.epte.i!lbe.J~ 1961. )
I.nsti
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Uni ver-