Allgemeine Mechanik Serie 7.

Allgemeine Mechanik
Serie 7.
Ausgabe: 3. November 2014
http://www.physik.uzh.ch/~dkara/Mechanik/
Übung 1.
HS 2014
Prof. Thomas Gehrmann
Lagrange-Funktion eines geladenen Teilchens
Die Lagrange-Funktion für ein Teilchen der Ladung q in elektrischen und magnetischen Feldern
ist,
m
~ x, t),
(1)
L(~x, ~x˙ , t) = ~x˙ 2 − qφ(~x, t) + q~x˙ · A(~
2
~ die elektromagnetischen Potentiale sind.
wobei φ und A
~ 0 und B
~ 0 , die Potentiale wie folgt parametrisiert
(a) Zeigen Sie, dass für konstante Felder, E
werden können
~ 0 · ~x ;
~ x, t) = − 1 ~x × B
~ 0.
φ(~x, t) = −E
A(~
2
~ 0 = E0~ez und das Magnetfeld null
(b) Nehmen Sie an, dass das elektrische Feld konstant ist, E
~
ist, B0 = 0. Betrachten Sie die Koordinaten-Transformationen. Welche Transformationen
lassen die Wirkung S invariant, und welche nur δS? Finden Sie die Erhaltungsgrössen, die
aus Translationssymmetrie resultieren (Benutzen Sie das Noether Theorem).
~ 0 = 0 und das Magnetfeld konstant ist,
(c) Nehmen Sie an, dass das elektrische Feld null ist, E
~ 0 = B0~ez . Finden Sie die Erhaltungsgrössen. Benutzen Sie diese, um die BewegungsgleiB
chungen zu lösen.
Übung 2.
Rotierende Zylinder
Ein homogener Vollzylinder mit Radius R und Masse M ruht auf einer horizontalen Ebene. Ein
identischer Vollzylinder ruht darauf, wie in der Abbildung 1.
Abbildung 1: Rotierende Zylinder
(a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Zylinders in Bezug auf seine Symmetrieachse.
(b) Verwenden θ1 , der Drehwinkel des unteren Zylinders und θ, der Winkel der Ebene, die die
beiden Achsen der Zylinder mit der Vertikalen einschliesst, als generalisierte Koordinaten,
um die Lagrange-Funktion des Systems zu finden. Verwenden Sie die kartesischen Koordinaten x1 , y1 , z1 für den unteren Zylinder und x2 , y2 , z2 für den oberen Zylinder (die
Zylinder sind immer in Kontakt).
1
(c) Welches sind die Konstanten der Bewegung?
(d) Zeigen Sie, dass, solange die Zylinder in Kontakt bleiben,
θ̇2 =
Übung 3.
12g(1 − cos θ)
.
R(17 + 4 cos θ − 4 cos2 θ)
(2)
Steiner-Theorem
I ist der Trägheitstensor eines starren Körpers im Koordinatensystem x1 , x2 , x3 , wobei der
Ursprung im Schwerpunkt ist. Wir transformieren zu einem neuen Koordinatensystem x01 ,x02 ,x03 ,
durch eine Verschiebung des Koordinatensystems um einen Abstand ~a, so dass die neuen Achsen
parallel zu den alten sind. Zeigen Sie, dass der Trägheitstensor in dem neuen Koordinatensystem
I 0 gegeben ist durch
Iij0 = Iij + m (ak ak δij − ai aj ) .
2