Das Brechungsgesetz
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Das Brechungsgesetz Brechung und Reflexion: • An einer Grenzfläche zwischen zwei Medien mit Brechungsindices n1 und n2 spaltet sich ein einfallender Strahl auf: [E] Einfallender Strahl [R] Reflektierter Strahl [B] Gebrochener Strahl • Einfalls-, Reflexions- und Brechungswinkel werden bzgl. der Flächennormalen gemessen. E n1 R α α’ β n2 B Das Snelliussche Brechungsgesetz: • Die einlaufende Wellenfront legt Weg x1 zurück, während die gebrochene Wellenfront x2 durchläuft: c ∆t = L sin α x1 = n1 c ∆t = L sin β x2 = n2 n2 sin α = ⇒ sin β n1 L n1 α α β x2 β x1 n2 • Der Strahl wird im dichteren Medium zur Normale hin gebrochen, im dünneren Medium davon weg. 9 Geometrische Optik 22. Juli 2009 Reflexion und Totalreflexion Das Reflexionsgesetz: • Einfallender und reflektierter Strahl haben gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit. • Die Dreiecke ABD und BAD sind kongruent: α = α′ Einfallswinkel = Ausfallswinkel D C n1 α’ α α’ α A B x1 n2 Totalreflexion: • Bei Auftreffen auf optisch dünneres Medium (n2 < n1): n2 sin β sin α = n1 n2 < <1 n1 • Für Einfallswinkel sin α > n2/n1 = sin αT γ β α n1>n2 α < αT β = αT γ > αT n2 gibt es keinen gebrochenen Strahl. • In diesem Fall erfolgt Totalreflexion, d.h. die gesamte Intensität des Strahls wird reflektiert. • Anwendung: Z.B. Lichtleitung in Glasfasern. 9 Geometrische Optik 22. Juli 2009 Spiegel und Bildentstehung Reflexion an ebenem Spiegel: • Jeder von einem Punkt P ausgehende Lichtstrahl wird entsprechend dem Reflexionsgesetz reflektiert. P • Für Betrachter vor dem Spiegel kommen die Strahlen scheinbar von einem gemeinsamen Punkt P ′ hinter dem Spiegel. P’ Spiegel Bildentstehung: • Prinzip: Wenn sich alle von einem Punkt eines Gegenstandes G G ausgehenden Strahlen in einem anderen Punkt treffen, entsteht dort ein vom Betrachter gesehenes Bild B des Gegenstandes. B • Bei einem Spiegel ist Spiegel dieses Bild – aufrecht; – virtuell, d.h. die Lichtstrahlen erreichen den Ort des Bildes nicht; – genauso groß wie der Gegenstand. 9 Geometrische Optik 22. Juli 2009 Der sphärische Hohlspiegel Brennpunkt und Brennweite: • Brennpunkt: Punkt F , in den achsenparallele Strahlen fokussiert werden. S α α R h M α F • Brennweite: Abstand F – Spiegel 1 f =R 1− 2 cos α f R Spiegel • Paraxiale Näherung: Achsennahe Strahlen (h ≪ f, R) ⇒ f ≈ R/2 Abbildungsgleichung: • Vergleich ähnlicher Dreiecke: DCF mit DC’S1 AA’F mit FES2 B+G B = b−f b G B = g−f f g A S1 C’ G • Daraus folgt die Abbildungsgleichung (paraxiale Näherung): C A’ B D F E S2 b f Spiegel 1 1 1 = + f b g 9 Geometrische Optik 22. Juli 2009 Dünne Linsen Rotationssymmetrische Körper aus durchsichtigem Material (Glas, Kunststoff) mit sphärischen oder ebenen Oberflächen. R2<0 R1<0 Licht bikonvex (Sammellinse) R2>0 R2<0 bikonkav (Zerstreuungslinse) R1 = 8 R1>0 plan−konvex Vorzeichenkonvention für Krümmungsradien: R > 0 für konvexe Oberflächen; R < 0 für konkave Oberflächen (in Lichtrichtung gesehen). Brennpunkt und Brennweite: • Paraxiale Strahlen werden von Linsen in einen Brennpunkt F fokussiert. • Aus Brechnungsgesetz und Geometrie der sphärischen Oberflächen: Linsen− ebene F f = Brennweite 1 R1 R2 = · n − 1 R2 − R1 [für R1 = −R2: f = (R/2)/(n − 1)] f D • Dünne Linsen: Linsendicke D ≪ f . • Für dünne Linsen ist die Brennweite für beide Durchstrahlungsrichtungen gleich. 9 Geometrische Optik 22. Juli 2009 Abbildungen durch dünne Linsen Sammellinse, g > f : Linsen− ebene A b L2 G F1 O D E B F2 L1 g reelles, kopfstehendes Bild C f • Abbildungskonstruktion: wo treffen sich Strahlen, die von einem Punkt des Gegenstandes ausgehen? • Reelles Bild: Strahlen treffen sich wirklich; Virtuelles Bild: Fortsetzungen der Strahlen jenseits der Linsenebene treffen sich. • Aus Vergleich der Dreiecke ADF2 mit L1OF2 und CEF1 mit L2L1C (wie beim Hohlspiegel): B B+G = b−f b B G = ; g−f f Sammellinse, g < f : 1 1 1 = + . f g b ⇒ Zerstreuungslinse: Linsen− ebene Linsen− ebene B F1 G G F1 B F2 F2 f −f −b virtuelles, aufrechtes Bild (B>G) g > 0, virtuelles, aufrechtes Bild (B<G) −b g f > 0, 9 Geometrische Optik b<0 g g > 0, f < 0, b<0 22. Juli 2009 Abbildungsmaßstab, Linsensysteme Abbildungsmaßstab: • Vorzeichenkonvention: G>0 B > 0, wenn das Bild kopfstehend ist. • Lateralvergrößerung: < 0 f B = >0 M =− = G f −g = ∞ wenn g > f wenn g < f wenn g = f Linsensysteme: L G F12 B F22 F11 B1 F21 f1 g1 f2 g2 f1 f2 b1 b2 • Prinzip der Abbildungskonstruktion: Das Bild der ersten Linse bildet den Gegenstand der zweiten Linse (egal ob reell oder virtuell). • Gegenstandsweite des Systems: g = g1; Bildweite des Systems: b = b2 1 1 1 1 L 1 + = = + − b g f f1 f2 f1 f2 L≪f1 ,f2 ≈ 1 1 + f1 f2 • Die inverse Brennweite nennt man Brechkraft: D∗ = 1/f ; 9 Geometrische Optik [D∗] = m−1 = Dioptrie = dpt . 22. Juli 2009 Abbildungsfehler Abbildungsfehler: Effekte, die dazu führen, dass das Bild eines Gegenstandes unscharf oder verzerrt ist. 1. Chromatische Abberation: Linsen− Die Frequenzabhängigkeit ebene des Brechnungsindexes (Dispersion) führt zu unterschiedlichen Brennweiten für Licht unterschiedlicher Farbe. ⇒ Bild ist nur für einen fb schmalen Farbbereich scharf. 2. Spärische Abberation: fr Achsenferne Strahlen Linsen− ebene werden nicht in Brennpunkt fokussiert (Verletzung der paraxialen Näherung). ⇒ Äußere Bildbereiche unscharf. 3. Koma: Schräg einfallendes Licht ∆f wird von verschiedenen Linsen− ebene Bereichen der Linse auf verschiedene Punkte fokussiert. ⇒ Bild wird unscharf, wenn Linse schräg steht. 4. Astigmatismus: Unterschiedliche Fokalebenen der horizontalen und vertikalen Querschnitte von Lichtkegeln. ⇒ Stäbchenförmige Verzeichnung. 5. Bildfeldwölbung, Verzeichnung Scharfes Bild entsteht auf einer gekrümmten Fläche, bei Abbildung in Ebene entsteht Verzerrung. 9 Geometrische Optik 22. Juli 2009 Das Auge Das Auge - ein optisches Instrument: • Linse: fokussiert des Licht auf die Netzhaut, Linse kann durch Muskeln verformt und damit in der Brennweite verändert werden. Bei parallel einfallendem Licht (g = ∞) Iris ist das Auge entspannt. (Blende) • Iris: verstellbare Lochblende (Pupille). • Netzhaut: Bildfläche. Netzhaut Glas− körper 22mm Sehwinkel und deutliche Sehweite: • Ein Objekt wird umso größer wahrgenommen, G ε0 desto größer der Winkel ǫ0 zwischen den Randstrahlen des Objekts ist. s=g • Bei Abstand s zwischen Auge und Objekt ist tan(ǫ0 /2) = G/2s. • Maximales ǫ0 bei entspanntem Auge für deutliche Sehweite s0 ≈ 25 cm (darunter kann das Auge nicht scharf stellen). • Mit tan(ǫ0/2) ≈ ǫ0/2 wird ǫ0 = G/s0 Sehfehler Kurzsichtigkeit, Korrektur durch Zerstreuungslinse 9 Geometrische Optik Weitsichtigkeit, Korrektur durch Sammellinse 22. Juli 2009 Die Lupe, Winkelvergrößerung Die Lupe: • Kurzbrennweitige Sammellinse, wird optimal so gehalten, dass das Objekt in der Brennebene liegt (g = f ) und der Abstand Lupe–Auge ebenfalls f ist: ε G f f • In dieser Anordnung erreicht paralleles Licht das Auge (Auge ist entspannt). • Sehwinkel: ǫ ≈ G/f Winkelvergrößerung: • Die Vergrößerung V optischer Instrumente wird als Verhältnis des Sehwinkels mit und ohne Instrument gemessen: V = Sehwinkel ǫ mit Instrument Sehwinkel ǫ0 mit bloßem Auge bei s0 • Für die Lupe erhält man: V = 9 Geometrische Optik s0 G s0 ǫ = = ǫ0 f G f 22. Juli 2009 Mikroskop und Teleskop Mikroskop: • Zwei kurzbrennweitige Sammellinsen, Bild von Linse 1 in Brennebene von Linse 2: L=b1+f2 F22 F11 G F12 F21 B1 f1 g ε f1 f2 b1 Objektiv f2 Okular • Sehwinkel: ǫ ≈ tan ǫ = B1 /f2 = Gb1/(gf2 ) • Winkelvergrößerung: V = s0 b1 s0 (L − f2 ) s0(L − f2 ) ǫ = = ≈ ǫ0 gf2 gf2 f1 f2 Teleskop: L=f1 +f2 F11 F22 ε0 F21 B1 ε f 1 , b1 Objektiv 9 Geometrische Optik f2 f2 B ; f2 B ǫ0 ≈ f1 ǫ f1 V = = . ǫ0 f2 ǫ≈ Okular 22. Juli 2009
