wie: Stufen eines Forschungsprojekts

Struktur der Methodenausbildung
(Grundstudium)
(wie: Stufen eines Forschungsprojekts)
- Teil Ia:
Von der Fragestellung über die Operationalisierung
zur
Datenerhebung/
Datenkonstruktion (wissenschafts theoretische
Grundlagen, Operationalisierung und Messung,
Verfahren der Datenerhebung, Untersuchungsdesigns)
- Teil Ib:
Deskriptiv- und inferenzstatistische Modelle der
sozialwissenschaftlichen Datenanalyse (Deskription von Gesamtheiten on Stichproben auf
Grundgesamtheiten; Zusammenhänge von (je
zwei) Merkmalen)
1
- Teil II:
Grundlegende multivariate Modelle der sozialwissenschaftlichen Datenanalyse (Drittvariablenkontrolle/Elaboration von Zusammenhängen durch Teilgruppenvergleich (Tabellenanalyse) auf nominalem Messniveau und durch
partielle Korrelation auf metrischem Messniveau; multiple Regression und Pfadanalyse zur
Analyse von metrischen Daten)
Parallel: SPSS-Übungen
2
Deskriptiv- und inferenzstatistische Modelle der
sozialwissenschaftlichen Datenanalyse
(Methoden Ib)
(Gliederung für die ersten Sitzungen)
1.
1.1
Einleitung ................................................................................................. 1
Deskriptivstatistische versus inferenzstatistische Modelle der sozialwissenschaftlichen Datenanalyse ......................................................................... 1
1.2
Charakteristische Gesichtspunkte der statistischen Analyse .................... 2
1.3
Integration der deskriptivstatistischen und inferenzstatistischen Aspekte
in der vorliegenden Arbeit ........................................................................ 3
Literaturverzeichnis ............................................................................................... 5
2.
2.1
Probleme von Messmodellen .................................................................. 6
Messen als strukturerhaltende (homomorphe) Abbildung eines
empirischen Relationengebildes in ein „numerisches“ Relationengebilde6
2.2
Messniveaus (nach Stevens) und Konstruktion von Skalen mit diesen
Messniveaus .............................................................................................. 8
2.2.1 Nominalskalen......................................................................................... 10
2.2.2 Ordinalskalen .......................................................................................... 14
2.2.2.1 Ordinal formulierte Items (Rating-Methoden, Schätzskalen) ................ 15
2.2.2.2 Rangordnung und Paarvergleich ............................................................. 16
2.2.3 Intervallskalen ......................................................................................... 17
2.2.4 Ratioskalen (Verhältnisskalen, absolute Skalen) .................................... 18
2.3
Die verbreitetesten Skalierungsverfahren (Thurstone-Skala, Likert-Skala,
Guttman-Skala) ....................................................................................... 18
2.4
Probleme der Indexbildung ..................................................................... 30
2.5
Objektivität, Zuverlässigkeit (Reliability) und Gültigkeit (Validity) als
Gütekriterien von Messungen ................................................................ 30
2.6
Messen als strukturerhaltende (homomorphe) Abbildung vs. sonstiges
Messen..................................................................................................... 32
Literaturverzeichnis ............................................................................................. 33
3
Modelle der Deskriptiv- und Inferenzstatistik
Probleme von Messmodellen
Messen als homomorphe (strukturerhaltende) Abbildung eines empirischen Relationengebildes in ein
„numerisches“ Relationsgebilde.
Beispiele für empirische Relationen:
- „autoritärer als“
- „intelligenter als“
4
Beispiel für Homomorphie auf nominalem
Messniveau
Empirie: Menge der
Individuen dadurch
strukturiert, dass sie
„äquivalente“ Stellung im Beruf haben
oder nicht.
Messwerte: Gleiche oder ungleiche Codes
(Messwerte)
X
Homomorphie (Strukturerhaltung)
Für alle A und B:
⇔
(A ~ B)
( X (A) = X (B))
Messwert von A
A äquivalent
zu B
genau
dann
wenn
5
Beispiel für Homomorphie auf ordinalem Messniveau: Messung der Intelligenz
- Empirische Realität:
Person A löst Aufgaben schneller als B. (Dies
ist in dem Beispiel die Vorgängerrelation bzw.
Ordnungsrelation in der Empirie.)
- Wertebereich der Messung:
Der Wertebereich der Messung ist durch Ordnungsrelation unter den Zahlenwerten strukturiert:
z.B. IQ (A) = 110
> IQ (B) = 100
Homomorphie:
(A beweglicher als B) (Empirisches Relationengebilde)
genau dann, wenn
(IQ (A) > IQ (B))
(„Numerisches“ Relationengebilde)
6
- Weitere Relation:
ÄquivalenzRelation
Empirie:
A „in  äquivalenter  Berufsgruppe“ wie B
Gleichheitsrelation
Wertebereich der Messung:
Code (A) = Code (B)
Zulässig wäre z.B. die folgende Zuordnung von
Stellungen im Beruf:
Angestellte
AN
Arbeiter
AR
Nicht zulässig im Sinne der Homomorphie wäre
die Zuordnung:
Angestellte
A
Arbeiter
7
- Nominales Messniveau
Beispiel: Äquivalente Berufsgruppen erhalten
gleiche Berufscodes zugeordnet.
Manche Klassifikationen sind im allgemeinen
Gebrauch:
Konfession: katholisch, protestantisch, ohne
Familienstand: ledig, verheiratet, geschieden,
verwitwet
Bei offenen Fragen aber sind die Kategorien oft
erst zu entwickeln, wie nun an dem Beispiel
„Motive für das Studium der Sozialwissenschaften“ gezeigt werden soll.
(Ziel: Intersubjektivität (Objektivität) der Konstruktion des Kategorienschemas und der Vercodung)
8
Motive für das Studium der Sozialwissenschaften
(Empirische Klassifikation von Antworten)
Anderen helfen wollen
Realitätsbewältigung
Keine sonstige Qualifikation
Allgemeines Interesse an gesellschaftlichen und politischen Phänomenen
Veränderung von Gesellschaft
Eher zufällig
Prestige des Berufs
Emanzipatorisch
Soziale Grundeinstellung
Interesse am Gegenstand des Faches
Bildung durch Breite des Studium
Hohes Einkommen
9
Motive für das Studium der Sozialwissenschaften
(Empirische Klassifikation von Antworten)
Anderen helfen wollen
5
Realitätsbewältigung
3
Keine sonstige Qualifikation
1
Allgemeines Interesse an gesellschaftlichen und politischen Phänomenen
4
6
Veränderung von Gesellschaft
Eher zufällig
Prestige des Berufs
Emanzipatorisch
Soziale Grundeinstellung
Interesse am Gegenstand des Faches
Bildung durch Breite des Studium
2
Hohes Einkommen
10
Genauere Erläuterung der verwendeten Definitionen:
Äquivalenzrelation (~: Äquivalenzzeichen)
Beispiel: Die Menge der Untersuchungseinheiten
ist strukturiert durch die
Relation „gleiche Stellung im Beruf“.
Für je 2 Personen A und B:
A ~ B oder A ~ B [eindeutige Bestimmtheit]
Für jede Person gilt: A ~ A [reflexiv]
Für je 2 Personen A und B gilt:
(A ~ B) ⇒ (B ~ A) [symmetrisch]
Für je 3 Personen A, B, C gilt:
[(A ~ B), (B ~ C)] ⇒ [A ~ C] [transitiv]
Beispiel: „Gleichheit“ ist eine Äquivalenzrelation
11
„Ähnlichkeit“ ist keine Äquivalenzrelation
Beispiel: Das Berufsprestige X von Personen P, Q etc. soll
klassifiziert werden.
A
B
C
Berufsprestige
2
2
4
(P und Q ähnlich) : ⇔ ( | X (P) – X (Q) |
≤
2)
Diese Ähnlichkeitsrelation ist nicht transitiv:
Aber:
(A und B ähnlich) und (B und C ähnlich)
A und C nicht ähnlich.
Die Ähnlichkeitsrelation führt nicht zu einer 1-1-deutigen Zuordnung, d.h.: Es handelt sich nicht um ein nominales Messmodell.
Beispiel:
Falls A zu Klasse 1 gehört und C zu Klasse 2, so müsste gelten:
B gehört zur Klasse 1, weil es ähnlich zu A ist.
B gehört zur Klasse 2, weil es ähnlich zu C ist.
Bei einem nominalen Messmodell aber muss die Zuordnung
1-1-deutig sein.
12
Messen im strengen Sinne auf nominalem Messniveau:
Strukturierte Menge
in Empirie
(E, ~)
(Menge, in der Äquivalenzrelation definiert ist)
Strukturierte Menge
möglicher Messwerte
(M, =)
(Menge, in der Gleichheitsrelation definiert ist)
(Äquivalenzrelation
in Empirie)
(Gleichheitsrelation im
Messwertbereich)
(E,~): „Empirisches
Relationengebilde“
(M, =): „  Numerisches 
Relationengebilde“
13
Funktional äquivalente Nominalskalen
Messniveau
Zulässige Transformationen (T)
nominal
1-1-deutige Abbildungen (bijektiv)
(X1 = X2) ⇔ (T (X1) = T (X2))
Skala 1
„Arbeiter“
„Angestellte“
„Selbstständige“
Skala 2
„ARB“
„ANG“
„SEL“
Skala 3
1
2
3
Aber:
„3“ heißt nicht:
- „3 mal so viel wie 1“
„Abstand zwischen 3 und 2 ist so
groß wie der zwischen 2 und 1“
- „3 ist größer als 1“
(Sondern nur: Wie Rückennummern der
Fußballspieler: „1“: Torwart, „9“: Mittelstürmer)
14
Funktional äquivalente Skalen zur Klassifikation
der Motive
Skala 1
X
Y
Z
Skala 2
A
B
C
Skala 3
1
2
3
Falsch:
Skala 1 Skala 2
X
A
Y
B
Z
C
Skala 1 Skala 2
X
A
Y
B
Z
C
15
Ordinales Messniveau
Struktur
in
Empirie:
„Vorgängerrelation“
(Ordnungsrelation in Empirie)
Struktur
im
Bereich
der
Messwerte:
Ordnungsrelation im numerischen Bereich
Homomorphie:
(A autoritärer als B) genau dann, wenn
(Aut (A) > Aut (B))
16
Ordnungsrelation (Symbol: „<“; lies: „kleiner als“,
„weniger als“)
Für alle Individuen A und B der UntersuchungsMenge M gilt:
∨
(A = B) · (A < B)
∨·
(A > B)
∨
( · : ausschließendes oder)
D.h. die 2-stellige Relation muss eindeutig definiert
sein für jedes Paar aus der Menge M.
Für jedes A aus M: gilt: A < A (nicht reflexiv)
Für jedes Paar (A, B) mit Einheiten aus M gilt:
(A < B) ⇒ (B < A) (nicht symmetrisch)
Für alle A, B, C auf M gilt:
(A < B und B < C) ⇒ (A < C) (transitiv)
17
Vorform ordinalen Messens:
„Eigentümer haben Vorteile auf
Konsumenten und Arbeitnehmer.“
1
stimme
völlig zu
2
stimme
eher zu
Strenges ordinales
Aufwand:
3
teils/
teils
Messen
Kosten
4
lehne
eher ab
erfordert
der
5
lehne
völlig ab
größeren
Löst Erfragung einer Rangordnung das Problem?
Wichtigste Aufgabe der Sozialwissenschaften?
A) Aufklären
B) Helfen
C) Gerechte Gesellschaftsordnung
Wichtigste:
1) ...
2) ...
3) ...
Beispiel für eine Antwort:
1) Wichtigste: B
2) C
Aber:
3) A
Die Transitivität wird hier nicht getestet; das
ordinale Messmodel kann auf diese Weise
nicht durch die Empirie falsifiziert werden.
18
Beispiel:
Der von Inglehart entwickelte Index
ist kein falsifizierbares Messmodell,
sondern eine operationale Fest-legung
der
Polarität
Post-materialismus
versus Materialismus.
Auch wenn der tatsächliche Werteraum
vieldimensional ist, kann man – mit
Informationsverlust – eine Projektion in ein
eindimensionales Konzept vornehmen. Genau dies
macht Inglehart mit seiner Index-Konstruktion.
Vorgabe von Inglehart:
Zwei materialistische Ziele:
1) Ruhe und Ordnung
2) Preisstabilität
Zwei postmaterialistische Ziele:
1) Bürgereinfluss
2) Freie Meinungsäußerung
Der Befragte muss die 4 Ziele in eine
Rangordnung (von 1 bis 4) bringen („forced
choice“).
19
Definitorische Eindimensionalität:
Postmaterialist: Beide Ziele postmaterialistisch.
Postmaterialistischer Mischtyp: 1. Ziel
postmaterialistisch; 2.Ziel materialistisch.
Materialistischer Mischtyp: 1. Ziel
materialistisch; 2.Ziel postmaterialistisch.
Materialist: Beide Ziele materialistisch.
20
Viele
Untersuchungen
des
Raums
Werte
und
gesellschaftlich-politischer
Einstellungen sind eher verträglich mit folgendem
Modell von mir:
Individualismus/
Wert: Selbstentfaltung
(„Postmaterialismus“)
Sozialismus/
Wert:
Gleichheit
Wirtschaftsliberalismus/
Wert: Hoher
Lebensstandard
(„Materialismus“)
Ethnozentrismus/
Familismus/
Wert: Zugehörigkeit zur
eigenen Gemeinschaft
Aus dieser zweidimensionalen Perspektive
konstruiert Inglehart eine Polarität zwischen zwei
Orientierungen, die eher unabhängig variieren, als
dass sie sich ausschließen.
21
Paarvergleich
Hierbei handelt es sich um strenges ordinales
Messen, das Messmodell lässt sich an der Empirie
testen.
Vorgehensweise:
Jedes Individuum muss beantworten:
A wichtiger als B?
B wichtiger als C?
A wichtiger als C?
Eine Ordnungsrelation muss Transitivität erfüllen:
Falls (A > B und B > C), dann muss auch gelten:
A>C
Falls ein hoher Prozentsatz der Personen dies
nicht erfüllt, so ist dies ein deutlicher Hinweis auf
die
Mehrdimensionalität
der
Entscheidungssituation. Das eindimensionale,
ordinale Messmodell wird dann verworfen.
22
Anzahl der Paarvergleiche:
 n
n!
  =
 k  k!(n − k )!
mit k = 2
Bei n = 5 Kategorien:
5
5!
  =
= 10
 2  2!3!
(Dies ist bereits viel.)
Bei n = 10 Kategorien:
10  10!
  =
= 45
 2  2!8!
(Dies ist wohl zu viel.)
23
Funktional äquivalente Skalen auf ordinalem
Messniveau
Beispiel: Intelligenzmessung
Empirie
IQ
Schulnoten in
Frankreich
A
110
16
∨
∨
100
10
∨
∨
90
5
löst Aufgaben
schneller als
B
löst Aufgaben
schneller als
C
24
Zulässige Transformationen auf
ordinalem Messniveau:
Monotone Abbildungen
a) Monoton steigend:
(X1 < X2) genau dann,
wenn (T(X1) < T(X2))
b) Monoton fallend:
(X1 < X2) genau dann,
wenn (T(X1) > T (X2))
25
Die Abbildung im Beispiel (IQ und französische
Schulnoten) ist monoton steigend; eine monoton
fallende Abbildung wäre auch zulässig:
Beispiel: Zusammenhang von IQ und deutschen
Schulnoten.
Informationsgehalt
Ordinale Aussagen sind informativer als nominale
Aussagen.
(A > B) impliziert: (A = B)
Ferner gilt bezüglich der zulässigen Transformationen:
Monotone Abbildungen sind unter anderem auch
ein-ein-deutige Abbildungen.
26
[Geben Sie ein Zitat aus dem Dokument oder die Zusammenfassung eines interessanten Punktes ein. Sie können das Textfeld
an einer beliebigen Stelle im Dokument positionieren. Verwenden Sie die Registerkarte 'Textfeldtools', wenn Sie das Format
des Textfelds 'Textzitat' ändern möchten.]
Fundamentales („Richtiges“)
ordinalem Messniveau:
Empirisches
Relationengebilde
(E, V)
Messen
Numerisches
Relationengebilde
(M, <)
Vorgängerrelation
Homomorphie:
(VAB)
⇔
(X (A) < X (B))
(lies: A ist der
Vorgänger von B)
Z.B. AggressionsMessung von A
Z.B.: „A zeigt
weniger aggressive
Handlungen als B.“
27
auf
Fundamentales („Richtiges“) Messen
Messen als homomorphe Abbildung.
ist
Testbares Messmodell

Measurement „by fiat“
(„Operationalismus“: Schichtung ist das, was
durch die operationale Definition erfasst wird.)
28
Guttman-Skala
Messmodell
als
testbares
ordinales

(measurement by fiat)
Punkt-Items versus monotone Items
Punkt-Items:
J2: Haben Sie im Fach ... die Note 2?
Graphik der Reaktionsmuster
1
P
0
11
2
33
Tatsächliche Note
P = Wahrscheinlichkeit mit „ja“ zu antworten
29
Monotone Items:
I1 „Ist Ihre Note schlechter als 1?“
I2 „Ist Ihre Note schlechter als 2?“
1
P
I1
0 1
I3
I2
2
3
I5
I4
4
5
Tatsächliche Note
P = Wahrscheinlichkeit mit „ja“ zu antworten
30
Beispiel: Bogardus` Messung sozialer
Distanz (zu einer Minorität)
(Diese Messung ist theoretisch
abgeleitet.)
1) Close kinship by marriage
2) Personal chum in one`s club
3) One`s street-neighbor
4) Employment in one`s occupation
5) Citizenship in one`s country
6) As visitors (only) to one`s country
7) In (ex)clude in (from) one`s
country
(Bundesrepublik: Gastarbeiter ja - als
befristete Beschäftigung -, aber nicht
Staatsbürger)
31
Mit der Guttmann-Skala werden sowohl die
Positionen der Items als auch die Positionen der
Personen auf demselben Kontinuum bestimmt. Die
Befragten lassen sich nach der Gesamtpunktzahl
anordnen und die Items nach der Anzahl der
positiven Antworten.
Testbares Modell, indem der Koeffizient der
Reproduzierbarkeit berechnet wird:
1 -
Anzahl der inkonsistenten Reaktionen
Anzahl der gesamten Reaktionen
Konvention: Koeffizient sollte ≥ 0,90 sein.
Modelle sind Konstruktionen. Man testet ein
Modell,
indem
man
die
tatsächlichen
Beobachtungen mit den unter der Modellannahme
zu erwartenden Beobachtungen vergleicht.
32
Guttmann-Skalierung
sexueller
Erfahrung
(Koeffizient der Reproduzierbarkeit gleich 0,935)
Sequence
1. Embrace
2. Lip kiss
3. Manual manipulation of the clad femal breast,
by the male
4. Kissing with tongue contact
5. Manual manipulation of the nude female
breast, by the male
6. Kissing of the female breast
7. Manual manipulation of the female genitalia,
by the male
8. Manual manipulation of each other’s genitalia
9. Sexual intercourse
10. Manual manipulation of the male genitalia to
orgasm, by the female
11. Sucking of the female breast
12. Bare genital contact, without intromission
13. Interfemoral relations
14. Oral contacts with male genitalia
15. Oral contacts with female genitalia
33
Intervallskalen:
Vergleich von Intervallen ist zulässig, da es eine
Messeinheit gibt.
Beispiel:
Celsius:
Temperaturskalen
Einheit festgelegt durch:
0° Celsius: Wasser gefriert
100° Celsius: Wasser kocht
30° Celsius ist nicht doppelt so warm wie 15°
Celsius.
┌
Solche Verhältnisse zu vergleichen, erfordert
einen absoluten Nullpunkt; bei Temperatur:
- 273° Celsius
└
100° - 70°: Unterschied drückt doppelt so viel an
Wärmebewegung aus wie das Intervall 15° - 0°.
34
Falls
x1 − x2
f ( x1 ) − f ( x2 )
=c
= c, so:
f ( x3 ) − f ( x4 )
x3 − x4
f (x ) = ax + b (a = 0)
für
(Zulässige Transformation:
Lineare Abbildungen)
Beziehung zwischen der Celsiusskala und der
Fahrenheitsskala:
9
t F = tC + 32
5
Welches
Messniveau
Fahrenheitskala?
erzielt
also
Beispiel: Kalenderdatum
a steht für die Einheit bzw. Schrittlänge
b steht für den Bezugspunkt
Zulässige Transformationen: Lineare
Abbildungen
f ( x ) = ax + b (a = 0)
35
die
Beispiel:
Ein einfacher additiver Index setzt
Vergleichbarkeit von Intervallen voraus.
die
Bildet man einen Schichtindex als einfachen
additiven Index aus drei Indikatoren I1, I2, I3
(z.B. Schulbildung, Berufsprestige, Einkommen)
Index = (I1 + I 2 + I 3 ) / 3 ,
dann ist dazu die Vergleichbarkeit der
Intervalleinheiten von I1, I2 und I3 erforderlich.
36
Ratioskalen (Verhältnisskalen)
Vergleich von Verhältnissen ist zulässig, da es
zusätzlich einen absoluten Nullpunkt gibt.
Beispiel: Anzahlen: Zeit
(Einkommen, ...) etc.
(Alter,
...),
Geld
x1
f ( x1 )
Falls
= r , so :
=r
x2
f ( x2 )
für
f (x ) = ax(a ≠ 0) (Zulässige Transformationen:
Linear homogene
Abbildungen)
37
Skala 1
A1 A2 A3 -
Skala 2
x1
x2
x3
(Äquivalente Skalen
für f (x) = ax mit a = 0)
f (x1)
f (x2)
f (x3)
Beispiel: Temperaturskala
Die Kelvin-Skala ist eine Ratioskala. Absoluter
Nullpunkt der Temperatur: -273° Celsius
tKelvin = tCelsius + 273
[Kelvin Ratio Skala; Celsius ... Skala aufgrund
der Transformation?]
Daten auf der Basis von Intervallskalen und
Ratioskalen nennt man zusammenfassend:
metrische Daten (Nicht-metrisch: nominal und
ordinal)
38
Skalierungsverfahren zur Realisierung eines
bestimmten Messniveaus
1) Version mit Trennung von Eichung und
Erhebung
Thurstones
Methode
der
gleich
erscheinenden Intervalle
Beispiel: Messung von Streikbereitschaft
Sammlung geeigneter
Statements)
Aussagen
(Items,
Experten zur Eichung der „Skala“ (hier:
Betriebsräte)
Streikbereitschaft
schwach
stark
Die Experten ordnen
„Intensitätsgrad“ bzw.
Streikbereitschaft zu.
den Items
die Stärke
den
der
Beispiel-Item:
„Für die Mehrzahl der Arbeitnehmer war und
ist selbstverständlich, dass die Arbeiter in der
Gewerkschaft sind.“
39
Selektionskriterien für die ca. 5-12 Items:
- Ganzen Wertebereich abdecken
- Geringe Streuung der Einschätzung der
Experten
2) Version mit gleichzeitiger Eichung und
Erhebung
Likert-Skala (Verfahren der summierten
Einschätzungen)
- Sammlung einer Vielzahl von Items zu
dem zu messenden Konzept
- Die Befragten geben für die Items ihre
Einschätzung auf einer Rating-Skala
(Schätzskala) an.
1
2
3
4
5
völlige Ablehn- teils/teils Zustim- völlige
Ablehnung
mung Zustimung
mung
40
- Selektion der ca. 5-12 Items für das
Messinstrument (Skala)
Für jede Person: Summierung der
Schätzwerte über alle Items. (Richtung
beachten)
Betrachtung folgender Teilgruppen:
25 % der Personen mit den höchsten
Gesamtwerten
25 % der Personen mit den niedrigsten
Gesamtwerten
Mit diesen beiden (Extrem-) Gruppen
werden die trennschärfsten Items für die
Skala ausgewählt.
Trennschärfe:
Differenz
der
durchschnittlichen Gesamtwerte für die
beiden Extremgruppen.
Insgesamt:
Einerseits weniger Aufwand („keine Experten“),
andererseits ist das Messinstrument abhängig
von der befragten Personengruppe. Ferner
müssen die Befragten sehr viele Items
einschätzen, was viel Interviewzeit erfordert.
41
Beispiel: „The authoritarian personality“ (Adorno et al.)
Kausalmodell:
Persönlichkeitsvariablen
(potentielle
Vorurteile,
Vorurteilsanfälligkeit)
Bestimmte Art
der Sozialisation
Autoritarismus
(gemessen durch
die F-Skala)
Bündel von
Einstellungen
(bestehende Vorurteile)
Faschismus
(prognostiziert
durch die
F-Skala)
Ethnozentrismus
(gemessen durch
die E-Skala)
42
Entsprechendes
Verhalten
Antisemitismus
(gemessen durch
die AS-Skala)
Die trennschärfsten 5 Items:
„Sex crimes, such as rape and attacks on
children, deserve more than mere imprisonment;
such criminals ought to be publicly whipped.”
“Obedience and respect for authority are the
most important virtues children should learn.”
“Human nature being what it is, there will
always be war and conflict.”
“Every person should have a deep faith in some
supernatural force higher than himself to wich he
gives total allegiance and whose decisions he
does not question.”
“He is, indeed, contemptible who does not feel
an undying love, gratitude, and respect for his
parents.”
43
Kritik:
- Zur Thurstone-Skala:
„Gleich erscheinende Intervalle“ ist bloß ein
Anspruch, der aber nicht streng getestet wird.
Insofern ist dies auch noch „measurement by
fiat“ und nur pragmatisch als Annäherung an
„gleich
erscheinende
Intervalle“
zu
interpretieren.
- Zur Likert-Skala:
Die
Summierung
von
Einschätzungen
unterstellt Vergleichbarkeit von Intervallen;
streng genommen darf man dies erst auf
metrischem Messniveau; es wird also
pragmatisch
davon
ausgegangen,
die
Einschätzungen seien in den Abständen
vergleichbar, ohne dass dies gesondert getestet
wird.
44
Messniveau
nominal
nicht metrisch
ordinal
Intervallskalen
metrisch
Ratioskalen
(Verhältnisskalen)
Welche Vergleiche
sind zulässig – im
Sinne der Homorphie
– für die Messwerte?
Gleichheit/
Ungleichheit
Ordnungsrelation
(„größer als“)
(> ; <)
Vergleiche von
Intervallen
(Distanzen)
(+ ; -)
Vergleiche von
Verhältnissen
(* ; /)
45
Zulässige Transformationen
der Skalen? (Äquivalente
Skalen)
Beispiele
ein-ein-deutige Abbildungen Geschlecht
Berufsgruppen
(a = b) ⇔ f (a) = f (b)
Konfession
Monotone Abbildungen (z. Bildungsniveau
B. monoton steigend)
Militärische Ränge
(x1 < x2) ⇒ (f (x1) < f (x2))
Lineare Abbildungen
Temperatur: Celsius
f (x) = ax + b ( a ≠ 0)
Kalenderzeit
a > 0 : monoton steigend
a < 0 : monoton fallend
Linear homogene AbbildTemperatur: Kelvin
ungen f (x) = ax ( a ≠ 0)
Alter
Einkommen
Der Informationsgehalt einer Aussage
steigt mit dem Messniveau:
Linear homogene Abbildungen sind
insbesondere linear.
Lineare Abbildungen sind
insbesondere monoton.
Monoton Abbildungen sind
insbesondere ein-ein-deutig.
46
Graphisch:
ein-ein-deutige Abbildung
y
●
λ
λ●
λ●
●
λ
●
λ
●
λ
x
47
Monotone Abbildung (hier: monoton steigend)
y
x
48
Lineare Abbildung
y
f (x) = ax + b
(hier: a > 0, d.h.: „steigend“)
x
y
Beispiel für „fallend“ (a < 0)
x
49
Linear homogene Abbildung
y
f (x) = ax
x
50
Welches Messniveau benötigt man, um die Messwerte
eines Befragten für verschiedene Indikatoren addieren
zu können?
- Man benötigt eine Einheit, um Intervalle vergleichen
zu können. D.h. man benötigt eine Intervallskala.
(Metrische Daten: Intervallskala oder Ratioskala)
- Beispiel: Das Likert-Verfahren der summierten
Einschätzungen erfordert also metrische Daten.
- Beispiel: Ein Index erfordert metrische Daten.
k
I = ∑α j I j
j =1
Z.B.:
Schicht-Index = (Bildungsindikator + Berufsprestige +
Einkommen) / 3
(Die Indikatoren werden vorher vergleichbar gemacht
(„standardisiert“).)
51
Inhaltsverzeichnis Kap. 3
3. Eindimensionale empirische Häufigkeitsverteilungen und
charakteristische Maßzahlen ................................................35
3.1 Eindimensionale empirische Häufigkeitsverteilungen .........35
3.1.1 Diskrete und stetige Merkmale .........................................36
3.1.2 Häufigkeitsverteilungen ...................................................36
3.1.3 Typische Verteilungsformen ............................................43
3.1.4 Empirische versus theoretische Verteilungen ...................46
3.1.5 Kumulative empirische Häufigkeitsverteilungen..............48
3.2 Charakteristische Maßzahlen einer eindimensionalen
empirischen Verteilung........................................................51
3.2.1 Lagemaße.......................................................................... 51
3.2.2 Streuungsmaße ................................................................. 63
3.2.3 Maße für die Schiefe und Wölbung ..................................66
3.2.4 Konzentrationsmaße für die Verteilung metrischer
Merkmale ......................................................................... 68
3.2.5 Streuungsmaße für nominales Messniveau.......................72
Literaturverzeichnis ................................................................... 76
52
Eindimensionale empirische
(Häufigkeits-) Verteilungen
D.h.: Inspektion eines Merkmals bzw.
einer Variablen. Es handelt sich
um
die
Verteilung
der
Bevölkerung bzw. der Befragten
auf Merkmalsausprägungen oder
auf Variablenwerte.
Man unterscheidet drei Arten der
Darstellung:
Graphisch, tabellarisch, Maßzahlen.
53
Tabellarische Darstellung einer Häufigkeitsverteilung am Beispiel der
berufliche Stellung der Befragungspersonen
(Daten des ALLBUS 2004)
Gültig
Fehlend
Landwirt
Akademischer freier
Beruf
Sonstige
Selbständige
Beamter, Richter,
Berufssoldat
Angestellter
Arbeiter
In Ausbildung
Mithelfender
Familienangehöriger
Gesamt
Trifft nicht zu
Prozent
,5
Gültige
Prozente
,9
Kumulierte
Prozente
,9
32
1,1
2,3
3,2
138
4,7
9,8
13,1
92
3,1
6,5
19,6
664
413
49
22,5
14,0
1,7
47,3
29,4
3,5
66,9
96,3
99,8
3
,1
,2
100,0
1406
47,7
100,0
1505
51,1
35
1540
2946
1,2
52,3
100,0
Häufigkeit
13
Keine Angabe
Gesamt
Gesamt
1406 (= 47,7 %) der Befragten sind hauptberuflich
erwerbstätig. Die gültigen Prozente beziehen sich auf diese
Befragten. Die kumulierten (aufaddierten) Prozente beziehen
sich auf die Reihenfolge der Codierung und machen deshalb
erst für ordinale Information Sinn. In dem Beispiel lässt sich
noch sagen, dass die ersten drei Kategorien die 0,9 + 2,3 + 9,8
= 13,1 % Selbstständigen umfassen. Die Mithelfenden stehen
aber bereits an einer anderen Stelle: Selbstständige inklusive
Mithelfende umfassen 13,1 + 0,2 = 13,3 %.
54
Graphische Darstellung
(Zulässige Interpretationen hängen vom Messniveau ab)
Stabdiagramm für nominales Merkmal
Erwerbstätigkeit nach Stellung im Beruf
(Daten des ALLBUS 2004)
Stellung im Beruf
50,0%
Anzahl in %
40,0%
30,0%
20,0%
10,0%
0,0%
g
un
ild
sb
Au
n.
na
ilie
m
Fa
f.
el
ith
m
in
r
ite
be
Ar
irt
r
lte
el
n
st
te
ge
da
ol
An
,S
er
ht
ic
,R
te
am
ge
Be
di
än
st
lb
Se
e
tig
ns
uf
so
er
rB
ie
re
.F
em
ad
Ak
w
nd
La
Die Höhen der gleich breiten Stäbe sind proportional zu
den absoluten bzw. relativen Häufigkeiten. In diesem
Beispiel kommt den Abständen zwischen den Stäben
und ihrer Reihenfolge keine Bedeutung zu (nominales
Messniveau).
55
Stabdiagramm für metrisches Merkmal
Kinderanzahl der Befragungspersonen
Befragte über 45 Jahre
40
37,4
Prozent
30
22,8
20
15,6
14
10
6,3
2,6
0,8
0
0
1
2
3
4
5
0,3
0,2
0,1
7
8
9
6
Kinderanzahl der Befragungspersonen
Befragte 18-45 Jahre
50
47,4
Prozent
40
30
23,8
20
18,6
10
7,6
1,5
0,7
0,3
0,1
5
6
8
0
0
1
2
3
4
Daten: ALLBUS 2004
Der Vergleich der beiden Balkendiagramme zeigt, dass bei Befragten über 45
Jahren das Muster „zwei Kinder“ mit Abstand am häufigsten auftritt.
Bei den jüngeren Befragten haben die relativ meisten (noch) kein Kind.
Die Anordnung und Abstände zwischen den Stäben sind interpretierbar.
Information ausschöpfen, d.h. hier: Anordnung (1 < 2 < 3 ...) und Vergleich von
Verhältnissen („doppelt so viel wie“) interpretierbar.
56
Kreisdiagramm, Stabdiagramm und
Streifendiagramm für ein nominales Merkmal
57
In dem Beispiel veranschaulicht das Stabdiagramm, dass SPD
und CDU/CSU die Größenordnung von Volksparteien haben.
Das Kreisdiagramm zeigt, dass CDU/CSU und FDP
zusammen etwa die Hälfte der Stimmen erhielten, sodass sie
die Regierung bilden konnten.
58
Beispiel für ein klassifiziertes metrisches Merkmal:
Gruppiertes monatliches Nettoeinkommen
(ALLBUS 2004)
Gültig 0-499 €
500-999 €
1.000-1.499 €
1.500-1.999 €
2.000-2.499 €
2.500-2.999 €
3.000-3.499 €
3.500-3.999 €
4.000 € und
mehr
Gesamt
Fehlen System
d
Gesamt
Gültige Kumulierte
Prozente
Prozente
15,9
15,9
25,5
41,4
24,9
66,4
15,7
82,1
7,8
89,9
4,4
94,3
2,5
96,8
1,0
97,8
Häufigkeit
329
528
516
324
161
91
52
21
Prozent
11,2
17,9
17,5
11,0
5,5
3,1
1,8
,7
46
1,6
2,2
2068
70,2
100,0
878
29,8
2.946
100,0
Daraus geht hervor, dass etwa 90 % der Befragten
ein Nettoeinkommen von weniger als 2.500 EUR
erzielen.
59
100,0
Histogramm für klassifiziertes metrisches
Merkmal
( - Stäbe „benachbart“
- „Flächige“ Darstellung)
Einkommen (Histogramm und Polygon)
ALLBUS 2004
30
Häufigkeit in %
25
20
15
10
5
0
0-499
500999
10001499
15001999
2000- 25002499 2999
30003499
3500- >4000
3999
Einkommen in €
(Polygon: Um die Darstellung zu „glätten“, kann man
die Funktionswerte der Klassenmitten verbinden)
Die Höhe der Stäbe entspricht den Besetzungszahlen
der Einkommensklassen.
Aussage der Grafik: Mittlere („durchschnittliche“)
Einkommenswerte sind häufiger als extrem hohe und
als extrem niedrige Werte.
60
Empirische Verteilungsfunktion für das Beispiel des
Einkommens (ALLBUS 2004)
100
90
Kumulierte Häufigkeit in %
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0-499
500999
10001499
15001999
20002499
25002999
30003499
35003999
>4000
Einkommen in €
In dem Beispiel verfügen 15,9 % der Befragten über ein
Einkommen unter 499 €, 41,4 % über ein Einkommen unter
999 € etc.
Durch Verbindung der Funktionswerte der Klassenmitten
kann man die Funktion wieder wie beim Übergang vom
Histogramm zum Polygon glätten.
61
Charakteristische Maßzahlen einer
eindimensionalen empirischen Verteilung
(Lage- und Streuungsmaße, Konzentrationsmaße)
Lagemaße (insbes. Mittelwerte)
Metrisches Messniveau:
Beispiel: Einkommen x
Arithmetisches Mittel
 n 
x =  ∑ xi  / n
 i =1 
62
Geometrisch:
Balkenwaage
λ
Das arithmetische Mittel ist der Schwerpunkt der Verteilung.
Gewichte
x
1
2
Gewichte =
4*1+1*2+2*3
= 12
4
3
X
x=
64
=4
16
5
6
7
Gewichte =
3*2+2*3
= 12
Dies bedeutet, dass die „Balkenwaage“ im arithmetischen Mittel
im Gleichgewicht ist.
63
Gewogenes arithmetisches Mittel
Beispiel für ein gewogenes arithmetisches Mittel: Nettoeinkommen nach Berufshauptgruppe (ALLBUS 2004)
Berufshauptgruppe
Wissenschaftler+Techniker
Leitungsberufe
Buerokräfte u.ae.
Handelsberufe
Dienstleistungsberufe
Landw., Forst., Fisch.
Gütererzeugungsberufe
Sonstige
Gesamt
Häufigkeit
283
91
249
Durchschnittseinkommen (€)
1984
2756
1361
1571
1310
103
105
30
353
48
1.261
1407
1456
1907
Das durchschnittliche Einkommen errechnet sich also durch
Gewichtung der jeweiligen Mittelwerte x mit nj, wobei hier
k = 8 Gruppen vorliegen.
j
k
x gew =
=
∑n
j =1
j
⋅ xj
n
(283 ⋅ 1984) + (91 ⋅ 2756) + (249 ⋅ 1361) + (103 ⋅ 1571) + (105 ⋅ 1310) + (30 ⋅ 1407 ) + (353 ⋅ 1456) + (48 ⋅ 1907 )
1261
2098234
=
= 1663,94
1261
64
Man kann also feststellen, dass das durchschnittliche
Nettoeinkommen aller berufstätigen Befragten der
ALLBUS-Stichprobe (Ost- und Westdeutschland) bei
ungefähr 1.664 € liegt.
Leitungsberufe sowie Wissenschaftler und Techniker
liegen am deutlichsten über dem Durchschnitt. Sonstige
Dienstleistungsberufe (außer: Wissenschaftler/ Techniker,
Leitung, Büro, Handel) sowie Bürokräfte sind am
unterprivilegiertesten bzgl. des Einkommens.
[Vgl. auch: Erklärung der Einkommensunterschiede durch
die Stellung im Beruf (Varianzanalyse).]
Durchschnittsrang
65
Berechnet man das arithmetische Mittel für Rangzahlen (1 = 1.
Rang, 2 = 2. Rang, ..., n = n. Rang), so erhält man den Durchschnittsrang.
Beispiel: Lebensziele
Im ALLBUS 2002 wurden 14 Variablen zu Lebenszielen
erfragt, von denen hier fünf ausgewählt wurden. Jedes
vorgegebene Lebensziel sollten die Befragten nach ihrer
subjektiven Wichtigkeit einordnen in die Rangreihe 1 =
unwichtig bis 7 = außerordentlich wichtig. Um die relative
Wichtigkeit der verschiedenen Lebensziel in der gesamten
Befragtengruppe zu charakterisieren, ist der Durchschnittsrang
besonders geeignet.
Inhaltlich ergibt sich, dass die Leistung im Beruf am wichtigsten
eingeschätzt wird, gefolgt von den etwa gleich bewerteten
„postmaterialistischen“ Werten der Selbstverwirklichung bzw.
der Phantasie/Kreativität. Ein hoher Lebensstandard liegt auch
noch deutlich über der Mitte der Skala, Macht/Einfluss jedoch
bereits nicht mehr.
Lebensziele
Wert
Wichtig: hoher
Lebensstandard
Wichtig: Macht und
Einfluss
Wichtig: Phantasie und
Kreativität
Wichtig: Leistung im
Beruf
Wichtig:
Selbstverwirklichung
Durchschnittsr Wichtigkeit insgesamt
ang
(Rang)
4,62
4.
3,58
5.
5,74
3.
6,03
1.
5,76
2.
66
Mittelwert auf ordinalem Messniveau: Median
Graphische Verdeutlichung des Konzepts des Medians
z (für stetiges Merkmal)
% der
Bevölkerung
1
2
1
2
Autoritarismus
Z
Median:
Messwert, oberhalb und unterhalb dessen jeweils die
Hälfte der Befragten mit ihren Werten liegen.
67
Diskrete Merkmale
- Ungerade Zahl von Messwerten;
angeordnet:
x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ x2k + 1
Mittlerer Wert: xk + 1
(k Werte unterhalb) (x1, ..., xk)
(k Werte oberhalb) (xk + 2, ..., x2k + 1)
Beispiel: 21 Messwerte; k = 10; x11 ist der
Medianwert.
- Gerade Zahl von Messwerten; angeordnet:
x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ x2k
Mittlerer Wert: Zwischen xk und xk + 1
Beispiel: 20 Messwerte; k = 10; der Medianwert
liegt zwischen den Messwerten x10 und x11.
xk + x k + 1
2
,
falls
zusätzlich
metrisches
Messniveau
vorausgesetzt wird.
Zum Addieren ist eine Intervall-Einheit
notwendig.
68
Klassifizierte Werte
Beispiel: Einkommen
Kumulierte
Anteile
1
2
aj
z bj
Einkommen
Durch
lineare
Interpolation
(Unterstellt:
Gleichmäßige
Verteilung
innerhalb
der
Medianklasse) lässt sich der genaue Medianwert
in der Medianklasse bestimmen.
69
kumulierte
relative
Häufigkeit
1
2
pj
j −1
∑p
i =1
z
aj
Medianklasse
Nach dem Strahlensatz:
70
bj
i
j −1
1
− ∑ pi
z − aj
2 i =1
=
bj − a j
pj
(pi = Anteil der
Einkommensklasse)
Befragten
in
der
i-ten
Die Tabelle (s.o.) enthält die kumulierten
Häufigkeiten für das Nettoeinkommen (ALLBUS
2004). Die Gruppe „1.000-1.499“ ist die
Medianklasse, da unterhalb dieser Klasse weniger
als 50 % (nämlich 41,4 %) und einschließlich
dieser Klasse mehr als 50 % (nämlich 66,4 %) der
Fälle liegen. Den Median errechnet man in diesem
Beispiel nach der Formel:
z = 1.000 +
50% − 41,4%
⋅ (1499 − 1.000) = 1.172,35 ≈ 1.172
24,9%
Die lineare Interpretation setzt metrisches
Messniveau voraus. Intervall-Vergleiche müssen
zulässig sein.
71
Der Median ist unabhängig von Extremwerten.
Oft sind die extremen Messwerte weniger
verlässlich; wenn man auf metrischem
Messniveau den Median verwendet, verzichtet
man einerseits auf metrische Information, macht
sich aber andererseits von den extremen Werten
unabhängiger.
Mittelwert auf nominalem Messniveau:
Häufigster Wert bzw. Modalwert (bzw. Modus).
Beispiel: Stellung im Beruf
Angestellte/r ist die häufigste Stellung im Beruf.
72
Geometrisches Mittel
Die Berechnung des geometrischen Mittels x := x ⋅ x ⋅ ...x
von n Messwerten (xi > 0 für i = 1, ..., n) setzt
Ratioskalenmessniveau voraus.
g
n
1
2
n
Beispiel: Preisindex für die Lebenshaltung (gesamt)
Jahr
Preisanstieg
gegenüber
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
1,5
1,9
0,9
0,6
1,4
2,0
1,4
1,1
dem Vorjahr in
%
(Quelle: Statistisches Bundesamt)
Der mittlere Preisanstieg beträgt:
8
1,5 ⋅ 1,9 ⋅ 0,9 ⋅ 0,6 ⋅ 1,4 ⋅ 2,0 ⋅ 1,4 ⋅ 1,1 = 1,3
Das geometrische Mittel eignet sich also zur Berechnung von
durchschnittlichen relativen Änderungen und besagt, dass eine
konstante Änderungsrate x zum gleichen Gesamtergebnis geführt hätte.
g
73
Beispiel: Einkommensverteilung für Selbstständige,
Beamte und Angestellte
(In der Graphik wird unterstellt: Alle drei
Gruppen haben gleiches arithmetisches
Mittel.)
Beamte
Angestellte
Selbstständige
x
Der
Mittelwert
ist
also
keine
hinreichende
Charakterisierung der Verteilung eines Merkmals (einer
Variablen).
Eine zweite wichtige Information ist die Streuung eines
Merkmals.
74
Streuungsmaße
- Ein erstes grobes Maß für die Streuung:
Spannweite (range)
xmax - xmin
(Differenzbildung setzt metrisches Messniveau voraus.)
Nachteil: Diese Maßzahl ist abhängig von den
Extremwerten, die oft weniger verlässlich
sind.
75
- Quartilsabstand
┌
p-tes Quantil: der Messwert Zp, unterhalb dessen ein
Anteil p der Beobachtungswerte liegt.
Dafür benötigt man ordinales Messniveau.
%
1
4
Mögliche Messwerte
Z1
4
Was für ein Typ von Maß ist dies? Bereits Streuung?
76
Bestimmung des p-ten Quantils:
Anordnen: x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn
zp = xi, wobei: np < i < np + 1
i
1
[p < n < p + n ]
(Oder: Falls np ganzzahlig und metrische Daten (Intervallskala):
xnp + xnp +1
zp =
2
)
(Oder: Interpolieren bei klassifizierten Werten)
p=
1
2
: Median
└
77
1. und 3. Quartil
%
1
4
1
4
z
Quartilsabstand:
z
1
4
3
4
Mögliche
Meßwerte
Z3 − Z1
4
4
(Spannweite der mittleren 50 % der Messwerte)
Wegen der Differenzbildung benötigt man metrisches
Messniveau.
Bei metrischen Daten kann man sich mit diesem
Streuungsmaß von den Extremwerten unabhängiger
machen.
78
Boxplot
In SPSS kann mit Hilfe eines „Boxplot“ der Bereich der
mittleren 50 % der Werte graphisch als „box“ betont
werden, der durch die Centile z 75 und z 25 begrenzt wird
100
und auch den Median
z 50
100
enthält.
100
Boxplot des monatlichen Nettoeinkommens
5000 €
2500 €
1500 €
1000 €
500 €
79
SPSS-Output der statistischen Kennwerte: Median,
Centile
Gruppiertes monatliches Nettoeinkommen
Median
Perzentile
25
1000 - 1249 €
500 - 749 €
50
1000 - 1249 €
75
1500 - 1999 €
Die „Box“ repräsentiert die 50 % mittleren Werte der in
Tabelle 3-7 gruppierten Nettoeinkommensklassen. Dies
ist auch nachzuprüfen über die kumulierten Prozente: Ab
750 € bis 1.999 € sind es
11,6% + 15,9 % + 9,7 % + 16,2 % = 53,4 %.
Sichtbar abgegrenzt ist die „Box“ durch das 1. Quartil
( z ), welches in der Gruppe der 500 – 749 €
25
100
Verdienenden liegt, und durch das 3. Quartil ( z ),
75
100
welches in der Gruppe der 1.500 – 1.999 € Verdienenden
liegt.
80
Tab. 3-7: Gruppiertes monatliches Nettoeinkommen nach Geschlecht
Geschlecht
Mann
gruppiertes
monatliches
Nettoeinkommen in
Euro (ALLBUS
2004)
25
64
98
115
182
140
261
136
89
98
18
7
91
176
217
159
193
87
121
46
12
16
1
1
Gesamt
116
240
315
274
375
227
382
182
101
114
19
8
1233
1120
2353
0 - 299 €
300 - 499 €
500 - 749 €
750 - 999 €
1000 - 1249 €
1250 - 1499 €
1500 - 1999 €
2000 - 2499 €
2500 - 2999 €
3000 - 4999 €
5000 - 7499 €
7500 und mehr
Gesamt
Frau
4,9 %
10,2 %
13,4 %
11,6 %
15,9 %
9,7 %
16,2 %
7,7 %
4,3 %
4,9 %
,8 %
,4 %
100,0 %
Boxplots des monatlichen Nettoeinkommens nach Geschlecht
5000 €
2500 €
1500 €
1000 €
500 €
MANN
FRAU
Die Abbildung zeigt, dass das Medianeinkommen der Frauen unterhalb
der mittleren 50 % der Einkommenswerte der Männer liegt.
81
Falls die Konstruktion des Streuungsmaßes metrisches
Messniveau ausschöpfen soll:
Abweichungen vom Durchschnitt b (Bezugspunkt)
1. Version: Durchschnittliche Abweichung
n
∑x
i =1
i
−b /n
[Minimaler Wert für Bezugspunkt b = Median]
82
2. Version: Varianz bzw. Standardabweichung
n
2
(
)
x
−
b
/n
∑ i
i =1
[Minimaler Wert für Bezugspunkt b =
n
s = ∑ (x
2
i =1
s=
i
− x) / n
2
x]
heißt Varianz.
n
2
(
)
x
−
x
/
∑ i
n heißt Standardabweichung.
i =1
(Veranschaulichung: „Im Schnitt liegen die Messwerte
in einer Entfernung s vom Mittelwert x “)
Vergleich von Streuungen:
Variationskoeffizient
s
V := ( für
x
x = 0)
(Voraussetzung: Ratioskala)
83
Ungleichheit der Einkommensverteilung
(Variationskoeffizient)
Hohe
Ungleichheit
(bzw. Streuung
im Einkommen)
0,77 USA
0,77 Kanada
Mittlere
Ungleichheit
Niedrige
Ungleichheit
0,54 BRD
0,50 Schweden
0,48 Norwegen
0,46 Dänemark
(„Sozialstaatlich“)
84
(„Feine
(„Wirtschaftsliberal“)
Unterschiede auf
mittlerem
Normierung des Variationskoeffizienten
Der Variationskoeffizient ist nicht normiert.
Für
x →0
folgt: s → ∞
x
Deshalb gibt es den Vorschlag des normierten Quadrats
des Variationskoeffizienten:
V2
NV =
1+V 2
V 2 = 0 ↷ NV = 0
V2 →∞ ↷
1
1
+1
V2
→1
Zum Wertebereich:
2
V2 =
∑ xi2 − nx 2
nx 2


 x 
= n∑  i  − 1 ≤ n − 1
i  ∑ xj 
 j

(da die betrachteten Werte alle als xi ≥ 0
werden, sodass
xi
ein Anteil ≤ 1 ist)
∑ xj
j
2
Aus der Obergrenze für V folgt:
V2
1
≤ 1−
2
1+V
n
85
angenommen
Wenn man die Ungleichheit der Einkommensverteilung
von Ländern mit dem Variationskoeffizient misst, so
kann man nur die relative Größe des Variationskoeffizienten bewerten, der Variationskoeffizient hat aber
keine feste Obergrenze. Falls man den Variationskoeffizienten normiert, kann der Wert 1 für maximale Variabilität dennoch nicht angenommen werden.
Die Ungleichheit der Einkommensverteilung lässt sich
aber auch durch ein Konzentrationsmaß beurteilen, das
zwischen maximaler Konzentration (Konzentrationsmaß
= 1) und minimaler Konzentration (Konzentrationsmaß
= 0) variiert.
86
Konzentrationsmaße für die Verteilung metrischer
Merkmale
Lorenzkurve
Man ordnet (z. B.) Einkommensbezieher an:
Die untersten 10 % (20 %, 30 %, ...) der Einkommensbezieher erhalten nur 4 %
(9 %, 15 %, ...) des Einkommens.
%-Satz
des Einkommens
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
%-Satz der Einkommensbezieher
[1966: 1,7 % der Haushalte verfügen über 31 % des Gesamtvermögens und 74 % des Produktivvermögens.]
87
Konzentrationsmaß von Gini
FKonzentration
KG =
F∆
1
( F∆ = )
2
(Also: 0
≤
KG
≤
1)
(F = Fläche)
Minimale Konzentration:
Gleichverteilung; KG = 0
Maximale Konzentration:
Einer verfügt über alles; die übrigen über nichts; KG = 1
88
Konzentrations-Fläche
Maximale Fläche
1
F=
2
89
Fläche unterhalb der empirischen
Verteilung
90
%-Satz
des Einkommens
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
%-Satz der Einkommensbezieher
91
Trapezfläche: Grundseite mal mittlere Höhe
H (xj)
H (xj-1)
xj-1
xj
pj
92
FTrapez = p j
H ( x j −1 ) + H ( x j )
2
H ( x j −1 ) + H ( x j )
1 k
− ∑ pj
2 j =1
2
KG =
1
2
Klassifizierte Werte mit k Klassen
[x0, x1 [ [x1, x2 [ ... [xk-1, xk]
┌
Bei der (maximalen) Konzentration der Verteilungsmasse von n Einheiten auf eine einzige Ein1
heit erhält man: KG = 1 n
(Denn: H(x1) = H(x2) = ... = H (xn-1) = 0 ;
H (xn) = 1)
1
Das normierte Gini-Maß G* = KG / (1- n ) würde bei
└
maximaler Konzentration den Wert 1 annehmen.
93
Das Gini-Maß lässt sich auch als eine Art Variationskoeffizient darstellen, wobei die mittleren absoluten Differenzen auf (2 mal) die durchschnittliche Größenordnung
bezogen werden:
KG =
1
n2
∑∑ y − y
i
i
j
j
2y
Insgesamt misst das Gini-Maß die relative Konzentration
(nicht die absolute Konzentration, auf wie viele Einheiten
die Verfügungsmasse verteilt wird).
94
Beispiel:
Gini-Koeffizienten für die Einkommens- und Vermögensverteilung in Ost- und Westdeutschland
Verteilung der Netto-Äquivalenzeinkommen der Haushalte
Gini-Koeffizient
Westdeutschland
1993 1998 2003
0,25
0,26
0,26
Ostdeutschland
1993 1998 2003
0,20
0,21
0,23
Die Konzentration der Haushaltseinkommen ist in Ostdeutschland etwas geringer, nähert sich aber der westdeutschen an.
Für Gesamtdeutschland hat der Gini-Koeffizient von 2005
(0,26) bis 2008 (0,30) zugenommen.
Verteilung des Nettovermögens der Haushalte
Westdeutschland
1993 1998 2003
Gini-Koeffizient 0,625 0,641 0,657
Ostdeutschland
1993 1998 2003
0,718 0,682 0671
Vermögen ist stärker konzentriert als Einkommen. Die Konzentration des Vermögens ist – anders als beim Einkommen –
in Ostdeutschland höher als in Westdeutschland, beide Werte
bewegen sich aber aufeinander zu.
Quellen: u.a. Wolfgang Glatzer 2002; Richard Hauser
2002.(In: Glatzer et al.: Sozialer Wandel und gesellschaftliche
Dauerbeobachtung. Opladen 2002.); Lebenslagen in Deutschland. Der 2. Armuts- und Reichtumsbericht der Bundesregierung. 2005.
95
Tabelle: Mittelwerte und Anteile von Zehnteln der Haushalte der
Bundesrepublik am gesamten Nettovermögen
Zehntel
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mittelwerte in 1.000 Euro
1993
1998
2003
Deutschland
-2,1
-3,9
-7,9
2,4
1,3
0,8
6,3
5,9
6,1
12,5
13,4
16,2
23,9
27,3
34,9
50,7
58,5
70,5
105,7
112,1
123,6
160,3
171,2
190,0
227,3
247,0
275,8
474,7
504,3
624,1
1993
Anteil
1998
2003
-0,2%
0,2%
0,6%
1,2%
2,3%
4,8%
10,0%
15,1%
21,4%
44,7%
-0,3%
0,1%
0,5%
1,2%
2,4%
5,1%
9,9%
15,1%
21,7%
44,4%
-0,6%
0,1%
0,5%
1,2%
2,6%
5,3%
9,3%
14,2%
20,7%
46,8%
Quelle: Lebenslagen in Deutschland. Der 2. Armuts- und Reichtumsbericht der Bundesregierung. 2005.
Die unteren 50% verfügen nur über ca. 4% des Vermögens, während
das oberste Dezil über ca. 47% verfügt.
96
Konzentrationsmaß von Herfindahl
Beispiel:
Die „Vermachtung von Märkten“ lässt sich
z.B. durch die Konzentration des Umsatzes
messen.
xi: = Umsatz des i-ten Unternehmens
yi: = Anteil des i-ten Unternehmes am Gesamtumsatz
yi =
xi
1

y
=


n

n
∑x
j =1
j
(n = Anzahl der Unternehmen)
KH :
n
=∑y
i =1
n
2
i
= ∑ ( yi − y ) 2 +
i =1
relative
Konzentration
1
n
absolute
Konzentration
(Bei der Einkommensverteilung ist die absolute Konzentration i.a. nicht interessant, sondern nur die relative. Das
Konzentrationsmaß von Gini ist eine andere Messung der
relativen Konzentration.)
97
1
0 < ≤ KH ≤ 1
n
Extremfälle:
1) Geringe Konzentration, wenn:
1a) Gleichverteilung auf n Unternehmen:
KH =
1
n
(Bei Gleichverteilung: Relative Konzentration gleich
Null.)
und
1b) sehr viele Unternehmen auf dem Markt (d.h.
geringe absolute Konzentration).
2) Maximale Konzentration:
Ein Unternehmen beherrscht den Markt:
K
H
=1
98
Beispiele für die Berechnung von KH:
-
Einer hat alles (im Fall n = 1):
1
K H = ( y1 − y ) + = 1
1
2
1
1
In der Nähe dieser Situation (im Fall n = 2):
Einer Anteil 0,9;
Einer Anteil 0,1.
+ (0,1 – ½)2
(0,9 - ½)2
0,42
+ 0,42
0,16
+ 0,16
0,32
1/2
Relative
Konzentration
Absolute
Konzentration
KH = 0,82
99
Einer hat alles (im Fall n = 2):
y1 = 1, y2 = 0
2
1 1

1 2
K H = (1 − 2 ) +  0 −  +
2 2

1 1
+
4 4
1
2
1
2
Relative
Konzentration
Absolute
Konzentration
1
100
Einer hat alles (im Fall n = 3):
n = 3 : y1 = 1, y2 = 0, y3 = 0
1 2
1 2
1 2 1
K H = (1 − ) + (0 − ) + (0 − ) +
3
3
3
3
4 1 1
+ +
9 9 9
2
3
1
3
Relative
Konzentration
Absolute
Konzentration
1
101
Konzentrationsmaß für nominales Messniveau
n
K = ∑ fi
2
i =1
Minimale Konzentration bei Gleichverteilung:
Ausprägungen:
A1, ...
, An
Relative Häufigkeiten:
f1, ...
, fn
Gleichverteilung:
1
1
n , ... , n
Konzentration:
1
K=
n
Maximale Konzentration, falls alle Einheiten in einer
Kategorie Aj.
fj = 1
K=1
102
Streuungsmaß in der Version von Herfindahl (HF)
n
HF = 1 -
∑f
i =1
2
i
Maximale Streuung bei Gleichverteilung:
1
HF = 1 n
Minimale Streuung bei Konzentration auf eine Kategorie:
HF = 0
D.h.: Bei nominalem Messniveau (nicht bei metrischem) sind Konzentration und Streuung gegenläufig.
103
Das Konzentrationsmaß für nominales Messniveau lässt
sich auch als (quadrierte) Länge des Vektors des Häufigkeits-Profils interpretieren:
n
(f1, ..., fn), wobei:
∑f
i =1
i
=1
n
2
f =< f , f >=
∑f
i =1
2
i
(Mit Hilfe des inneren Produkts < f, f > lässt sich dann
n
ableiten:)
f = f −f
2
n
∑
i =1
2
2
+ n f , wobei: f =
n
1 2
fi = ∑ ( fi − )
n
i =1
2
Konzentration
Abweichung von
der Gleichverteilung
(bzw. Abweichung
1
vom Mittelwert n )
(Streuung)
104
∑f
i −1
n
i
1
=
n
1
+
n
Mittelwert
(Mittlerer
Anteil)
Für ein metrisches Merkmal x lassen sich analog die
„Länge“ (das „Potential“, die „Spannweite von Information“, die „Kombinationsmöglichkeiten“) darstellen als
Durchschnitt plus Abweichungen vom Durchschnitt:
x
2
=
n
∑x
i =1
2
i
Gesamtpotential
x
2
+
x−x
2
n
2
x
−
x
(
)
+ ∑ i
2
n
x
=
i =1
Potential des
Durchschnitts
105
Potential der
Abweichungen
vom Durchschnitt
(Streuung)
Wozu wäre ein Streuungsmaß auf nominalem Messniveau
hilfreich?
Sobald man die Streuung etwa der Parteienwahl messen
kann, lässt sich daraus eine Zusammenhangskonzeption
z.B. für den Zusammenhang von Konfession und Wahl
entwickeln:
(Streuung der Parteienwahl)
─
(Streuung der Parteienwahl in den Konfessionsgruppen)
Streuung der Parteienwahl
Solche Konzepte nennt man:
1) Proportionale Reduktion der Streuung durch Kenntnis
von Vorinformation bzw.: Die durch die Variabilität
der Konfession erklärte Variabilität der Parteienwahl.
(Erklärte qualitative Varianz)
2) Die durch die Vorinformation reduzierte Unsicherheit
der Vorhersage der Parteienwahl. (Uncertainty Coefficient)
106
Streuungsmaße für nominales Messniveau
Qualitative Varianz
Merkmal A mit n Ausprägungen.
fi: = Anteil der Personen mit Ausprägung Ai
Qualitative Varianz von A
n
1
= 1 − ∑
2  i =1
f


i

2
K
Durch Vergleich mit dem Konzentrationsmaß K für Anteilswerte sieht man:
Je größer die Streuung eines nominalen Merkmals, desto
geringer ist die Konzentration des nominalen Merkmals.
Abkürzung: Var (A)
107
Für metrisches Merkmal y mit n Ausprägungen lässt
sich die Varianz (nach Gini) wie folgt ausdrücken:
1
2
s = ∑∑ f i f j ( yi − y j )
2 i j
2
y
yi = i-ter (Einkommens-) Wert,
fi = Anteil der Befragten mit Wert yi
Triviale Metrik (Abstandsmessung) auf nominalem
Messniveau:
dij =
1 für i ≠ j
0 sonst
Per Analogieschluss:
1
1
1
(
)
Var A = ∑∑ f i f j = ∑ f i ∑ f j = ∑ f i (1 − f i )
2
i
j
j ≠i
2
i
n
1 n
2
=  ∑ fi − ∑ fi 
2  i =1
i =1

n
1
2
= 1 − ∑ f i 
2  i =1 
108
j
j ≠i
2
i
Beispiel:
Stellung im Beruf (Alte Bundesländer)
Selbstständige
Mith.
Fam.
Beamte
Angestellte
Arbeiter
∑
1975
9,2
5,0
8,3
34,6
42,9
100 %
2002
12,3
0,6
7,5
53,2
26,3
100 %
1975:
Var (A) = ½ (1 – 0,0922 – 0,052 – 0,0832 – 0,3462
– 0,4292) = 0,339
2002:
Var (A) = ½ (1 – 0,1232 – 0,0062 – 0,0752
– 0,5322 – 0,2632) = 0,314
Die Variation nach der Stellung im Beruf ist etwas geringer geworden, die Konzentration hat zugenommen.
Der Anteil der Angestellten nahm von 34,6 auf 53,2 %
zu, dies fällt am stärksten ins Gewicht.
109
Extremfälle:
Gleichverteilung auf n Ausprägungen:
(Minimale (relative) Konzentration, aber maximale
Steuung)
1 1
Varianz ( A) = 1 − 
2 n
K
Alle Untersuchungseinheiten haben die gleiche
Merkmalsausprägung:
(Maximale (absolute) Konzentration, aber minimale
Streuung)
Varianz (A) = 0
(K = 1)
110
Zweite relevante Maßzahl für die Streuung nominaler
Merkmale:
Mittlerer Informationsgehalt oder „Entropie“ (Oder
auch: Unsicherheit bei der Vorhersage)
┌
Die Begründung für diese Maßzahl liefert die Informationstheorie:
Informationsgehalt einer Nachricht:
Je höher die Wahrscheinlichkeit p einer Nachricht (Ereignis) ist, desto geringer ist der Informationsgehalt.
(Oder: desto einfacher die Vorhersagbarkeit.)
Dies wird modelliert durch die Funktion:
1
h( p ) = log für
p
0 ≤
p
≤ 1
Diese Funktion ist monoton fallend mit den Eigenschaften:
h( p1 ⋅ p 2 ) = h( p1 ) + h( p 2 ) für unabhängige Ereignisse
h(0 ) = ∞, h(1) = 0
└
111
Mittlerer Informationsgehalt (Entropie)
n
=∑
I =1
1
f i log
fi
112
Stellung im Beruf 1975:
Entropie
= –(– 0,220 – 0,150 – 0,207 – 0,367 – 0,363)
= 1,307
Stellung im Beruf 2002:
Entropie
= –(– 0,258 – 0,031 – 0,194 – 0,336 – 0,351)
= 1,170
Die Entropie (Streuung) ist also 2002 geringer.
Es gibt weniger mithelfende Familienangehörige (von
5,0 auf 0,6 %), dies fällt am stärksten ins Gewicht. Die
Streuung im Sinne der Entropie hat insofern abgenommen, als sich die Kategorie der Mithelfenden von dem
Modell der Gleichverteilung (= maximale Entropie) am
stärksten entfernt hat.
Beide Maßzahlen – die qualitative Varianz bzw die Entropie – haben also ihre Plausibilität.
113
Extremfälle:
Gleichverteilung auf n Einheiten (Kategorien)
1) Minimale (relative) Konzentration:
1
K=
n
2)
Maximale Streuung:
a) Qualitative Varianz (A)
(mit den Ausprägungen Ai; i = 1, ..., n)
=
1 1
1 − 
2 n
K
b) Unsicherheit bei der Vorhersage am größten. (Beispiel: Wetter z.B. bei uns)
Informationsgehalt am größten.
(Mittlerer Informationsgehalt =)
Entropie = ln n
114
Alles entfällt auf eine Einheit (Kategorie).
(1) Maximale (absolute und relative) Konzentration:
K=1
(2) Minimale Streuung
a)
Qualitative Varianz (A)
=
1 1
1 −  = 0
2 n
K
b)
Unsicherheit bei der Vorhersage am geringsten.
(Beispiel: Wetter z.B. in den Tropen)
Informationsgehalt am geringsten.
(Mittlerer Informationsgehalt =)
Entropie = 0
115
Gliederung zu den Grundlagen der Inferenzstatistik
4.
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie und theoretische
Wahrscheinlichkeitsverteilungen ........................................................... 77
4.1
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie ...................................... 77
4.1.1 Klassische, Häufigkeits- und axiomatische Definitionen der
Wahrscheinlichkeit ................................................................................ 77
4.1.2 Verknüpfungen von Ereignissen ............................................................ 81
4.1.3 Zufällige Variablen ................................................................................ 85
4.1.4 Kombinatorik ......................................................................................... 86
4.2
Verteilung einer zufälligen Variablen .................................................... 90
4.2.1 Diskrete und stetige Verteilungen .......................................................... 90
4.2.2 Empirische versus theoretische Verteilungen ........................................ 93
4.2.3 Verteilungsfunktionen (Summenfunktionen) ........................................ 94
4.2.4 Lagemaße, Streuungsmaße und Zusammenhangsmaße ........................ 96
4.3
Spezielle theoretische Verteilungen ....................................................... 98
4.3.1 Diskrete Verteilungen ............................................................................ 98
4.3.2 Normalverteilung als zentrales Modell für stetige Merkmale ............. 105
4.3.3 Multivariate Verteilungen .................................................................... 108
Literaturverzeichnis .......................................................................................... 113
5.
Grenzwertsätze und Schätzfunktionen ................................................. 114
5.1
Grenzwertsätze ..................................................................................... 114
5.1.1 Gesetz der großen Zahlen .................................................................... 114
5.1.2 Zentraler Grenzwertsatz ....................................................................... 116
5.2
Schätzfunktionen .................................................................................. 120
5.2.1 Kriterien für Schätzfunktionen............................................................. 120
5.2.2 Schätzverfahren .................................................................................... 122
5.3
Verteilungen wichtiger Schätz- und Testfunktionen ........................... 124
5.3.1 Verteilung des Stichprobenmittelwerts aus einer Normalverteilung ... 124
5.3.2 Die χ 2 -Verteilung............................................................................... 125
5.3.3 Die F-Verteilung .................................................................................. 126
5.3.4 Die t-Verteilung ................................................................................... 128
Literaturverzeichnis .......................................................................................... 130
116
6.
6.1
6.1.1
6.1.2
6.2
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
6.2.5
6.3
6.3.1
6.3.2
Auswahlverfahren zur Konstruktion von Stichproben.................. 131
Die einfache Zufallsauswahl ................................................................ 132
Auswahlfehler beim Ziehen mit und ohne Zurücklegen ..................... 135
Die Bestimmung des notwendigen Stichprobenumfanges .................. 139
Die Zufallsauswahl aus Schichten ....................................................... 141
Die proportional geschichtete Stichprobe ............................................ 142
Die optimal geschichtete Stichprobe ................................................... 143
Vergleich der Auswahlfehler ............................................................... 144
Praktische Gesichtspunkte ................................................................... 145
Disproportionale Schichtung................................................................ 145
Die mehrstufige Zufallsauswahl .......................................................... 145
Spezialfall: Die Klumpenstichprobe .................................................... 146
Auswahl aus Schichten und Klumpenstichprobe als Spezialfälle der
mehrstufigen Zufallsauswahl ............................................................... 147
6.3.3 Vergleich der Auswahl aus Schichten und der Klumpenstichprobe ... 148
6.3.4 ALLBUS / ISSP 2000 als Beispiel ...................................................... 148
6.4
Praktische Durchführung der Zufallsauswahl...................................... 149
6.5
Die systematische Auswahl ................................................................. 150
6.6
Das Problem der Ausfälle .................................................................... 150
6.7
Das Quotenverfahren ........................................................................... 151
Literaturverzeichnis .......................................................................................... 153
7.
Intervallschätzung und Testen......................................................... 154
7.1
Intervallschätzung und Testen als zwei Aspekte einer Sache ........... 154
7.2
Grundbegriffe des Testens .................................................................. 160
7.2.1 Fehler 1. und 2. Art ............................................................................. 160
7.2.2 Einseitige und zweiseitige Hypothesen .............................................. 163
7.2.3 Anwendung von Signifikanztests. ..................................................... 164
7.3
Konfidenzintervalle für Mittelwerte und Varianzen ........................... 165
7.4
Vergleich zweier Varianzen (F-Test).................................................. 169
7.5
Vergleich zweier Mittelwerte ............................................................. 170
7.6
Chi-Quadrat-Tests ............................................................................... 173
7.6.1 Der Chi-Quadrat-Anpassungstest ....................................................... 173
7.6.2 Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeits-Test ............................................. 176
7.6.3 Likelihood-Ratio-Test ......................................................................... 180
7.7
Allgemeine Testtheorie und Entscheidungstheorie ............................ 180
Literaturverzeichnis ......................................................................................... 182
117
Bisher behandelt:
Mittelwerte und Streuungsmaße von Verteilungen (in
Abhängigkeit von Messniveau) zur Charakterisierung
von empirischen Verteilungen (Deskriptivstatistik)
Jetzt:
Von Anteil oder Mittelwert in der Stichprobe auf Anteil oder Mittelwert in der Grundgesamtheit schließen. (Inferenzstatistik)
Z.B.:
Anteil der Wähler der Grünen in der Stichprobe, Schluss auf den Anteil in der Grundgesamtheit
Z.B.:
Durchschnittseinkommen in der Stichprobe; Schluss auf das Durchschnittseinkommen in der Grundgesamtheit
Verteilungsmodelle
Das zentrale Modell für nominales Messniveau ist das
Modell der statistischen Unabhängigkeit (Gegenpol:
Zusammenhang) (Beispiel: Wahl und Konfession
nicht unabhängig)
Das zentrale Modell für metrisches Messniveau ist
das Modell der Normalverteilung („Glockenkurve“).
(Beispiel: Mittlere Einkommen sind relativ häufiger
als extremere Werte nach oben oder unten)
118
Inferenzstatistik
Statistische Inferenz: = Schluss von einer
Stichprobe auf die Grundgesamtheit
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufälliges Ereignis:
Beispiel: Person aus Zielgesamtheit wird in
die Stichprobe gezogen.
Vor Eintritt des Ereignisses ist Ergebnis nicht
bekannt, aber: Die Wahrscheinlichkeit
(Chance) muss vorher bekannt sein.
Veranschaulichung der Stichprobenziehung:
Urnenmodell
(Lottozahlen: Stichprobe vom Umfang n = 6
ohne Zurücklegen aus Grundgesamtheit vom
Umfang N = 49)
119
Bei einer Zufallstichprobe (d.h. vor der „Ziehung“ muss
für jede Einheit der Zielgesamtheit präzise die Chance
bekannt sein, in die Stichprobe zu gelangen) ist der
Schluss auf die Grundgesamtheit mit hoher Wahrscheinlichkeit (bzw. Sicherheit) und mit geringer Fehlertoleranz
möglich.
Denn: Eine Zufallstichprobe (nicht: willkürliche Stichprobe) liefert mit hoher Wahrscheinlichkeit ein „repräsentatives“ Abbild der Grundgesamtheit, d.h. mit hoher
Wahrscheinlichkeit nur geringe Abweichungen von der
Grundgesamtheit.
Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff:
Gleichwahrscheinlichkeit
(Historisch entwickelt worden bzgl. der Glücksspiele)
120
Beispiel:
Würfel: P{k } =
1
für k = 1, ..., 6
6
P{2,4,6} =
P (A) =
3
6
Anzahl der günstigen Fälle
Anzahl der möglichen Fälle
Die Wahrscheinlichkeit P bezieht sich auf zufällige Ereignisse (äquivalent: Mengen von möglichen Ergebnissen).
Beispiel:
Münzwurf:
P{Kopf } =
1
2
P{Zahl } =
1
2
121
Beispiel:
P{k } =
Lottozahlen
1
49 für k = 1, ..., 49
Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsbegriffs:
Jedem zufälligen Ereignis E (äquivalent: Jeder Teilmenge der Grundmenge X möglicher Ergebnisse) wird eine
Wahrscheinlichkeit P (E) zugeordnet mit:
0 ≤ P (E ) ≤ 1
P (sicheres Ereignis) = P (X) = 1
P (unmögliches Ereignis) = P (∅) = 0
 ∞
 ∞  
P ∑ E  = ∑ P E 
i = 1 i  i = 1  i 
(σ-Additivität, d.h. Additivität für abzählbar unendlich
viele Ereignisse)
(Die Additivität gilt für Ereignisse, die einander ausschließen, bzw. für Mengen, die sich nicht überschneiden.)
122
Erläuterung zur Additivität
E1
E2
E1 ∪ E2
vereinigt
123
E1
E2
E1 + E2
Vereinigung disjunkter Mengen
Disjunkte Mengen:
Ei ∩ E j = φ für
i= j
124
Würfelbeispiel:
E1 = {1,2}
E2 = {2,5}
3
P({1,2} ∪ {2,5}) = P{1,2,5} =
6
2
P{1,2} =
6
∑=
2
P{2,5} =
6
125
4
6
Modellcharakter der Wahrscheinlichkeitstheorie
Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit:
Eine Funktion P, die jedem zufälligen Ereignis E einen
Wert P (E) zuordnet mit den Eigenschaften:
0 ≤ P( E ) ≤ 1
P (sicheres Ereignis) = 1
P (unmögliches Ereignis) = 0
 ∞
 ∞  
P ∑ E  = ∑ P E 
i =1 i  i =1  i 
nennt man Wahrscheinlichkeit.
126
Theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung
versus empirische Verteilung
Die axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit ist eine Wahrscheinlichkeit a
priori, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist im vorhinein bekannt.
Beispiele: Modell der Gleichverteilung (Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff), aber
auch Modell disproportionaler Stichproben.
A posteriori (im nachhinein) – Wahrscheinlichkeit: Auszählung der relativen Häufigkeiten bei der tatsächlichen Durchführung –
z.B. eines Glückspiels.
127
Bsp: Tatsächliche Durchführung etwa eines Glücksspiels
Modell des idealen Münzwurfs versus tatsächliche
Durchführung
Häufigkeit
des Ergebnisses „K“
1
2
0
50
100
150
200
250
300
350
n
Münzwurf: Relative Häufigkeit des Ergebnisses „K“ in
Abhängigkeit von der Anzahl der Durchführungen.
128
„Gesetz der großen Zahl“
Mit wachsendem Stichprobenumfang nähert sich die empirische Häufigkeitsverteilung (inclusive ihrer Lagemaße
etc.) der theoretischen Häufigkeitsverteilung des idealen
Wahrscheinlichkeitsmodells, dessen Realisierung im
nachhinein (a posteriori) ausgezählt wird.
129
Beispiel für Angemessenheit der a posterioriWahrscheinlichkeit
„Knabengeburt“
Amtliche Statistik liefert als Erfahrungswissen:
P („Knabe“) = 0,52
Erklärung?
130
Ereignisse versus Mengen (Verknüpfungen etc.)
Ereignisse
Unmögliches Ereignis
Mengen
∅
Sicheres Ereignis
X (Grundmenge)
E1 ∨ E2 (oder auch)
E1 ∪ E 2 (Vereinigung)
E1 ∨ E2 (entweder oder)
E1 + E2 (Vereinigung disjunkter
Mengen)
E1 ∧ E2 (und)
E1 ∩ E 2 (Durchschnitt)
E1 , E2 schließen einander aus
E1 ∩ E 2 = ∅ (disjunkte Mengen)
¬
E (nicht)
E = X − E (Komplement)
131
Koalitionsarithmetik der Parteien
A1:
A2:
A3:
A4:
A5:
{SPD}
{CDU/CSU}
{Grüne}
{FDP}
{PDS}
A1 ∪ A2 = {SPD, CDU/CSU} = : B1
„Linkes politisches Lager: A1 ∪ A3 ∪ A5 = {SPD, Grüne, PDS} = : B2
„Große Koalition:
„Rechtes politisches Lager: {CDU/CSU, FDP} = : B3
B1 ∪ B2
= {SPD, CDU/CSU, Grüne, PDS}
B1 ∪ B3
= {SPD, CDU/CSU, FDP}
B1 ∩ B2
= {SPD}
B1 ∩ B3
= {CDU/CSU} : Im Schnittpunkt der Optionen B1 und B3
: Im Schnittpunkt der Optionen B1 und B2
132
Additionstheorem
A
B
Allgemeiner Fall
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P (B ) − P ( A ∩ B )
Beispiel: (s.o.):
E1 ∩ E 2 = {2}
1
P( E1 ∩ E2 ) =
6
3
P( E1 ∪ E2 ) =
6
2 2 1
P ( E1 ) + P ( E2 ) − P ( E1 ∩ E2 ) = + −
6 6 6
133
Speziell:
Für disjunkte Mengen (d.h.
A ∩ B = ∅)
P ( A + B ) = P ( A) + P (B )
A
B
134
Bedingte Wahrscheinlichkeit: = Wahrscheinlichkeit,
dass A eintritt unter der Bedingung, dass Ereignis B eingetreten ist bzw. vorliegt.
P( A ∩ B )
P( A B ) :=
P (B )
unter der Bedingung von

 n( A ∩ B )

n( A ∩ B ) 
n

 = n(B ) =
(
)
n
B


n


Zwei Ereignisse heißen statistisch unabhängig
:⇔
oder
oder
(P(A B ) = P( A))
(P(A B ) = P(A B ))
( P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B))
135
Beispiel:
Sind Konfession (protestantisch, katholisch, ohne) und
Wahl (CDU/ CSU, SPD, FDP, Grüne) statistisch unabhängig?
136
Wahl
Count
ROW PCT
COL PCT
TOT PCT
CDU/CSU
SPD
FDP
Die Grünen
ROW
TOTAL
Protestantisch
341
41,8
38,8
19,5
386
47,4
55,5
22,1
69
8,5
56,6
3,9
19
2,3
35,8
1,1
815
46,6
Katholisch
517
63,2
58,8
29,5
249
30,4
35,8
14,2
33
4,0
27,0
1,9
19
2,3
35,8
1,1
818
46,7
Ohne
21
17,9
2,4
1,2
61
52,1
8,8
3,5
20
17,1
16,4
1,1
15
12,8
28,3
0,9
117
6,7
879
50,2
696
39,8
122
7,0
53
3,0
1750
100,0
Konfession
COLUMN TOTAL
P (CDU/CSU Katholisch) = 0,632 = 0,502 = P (CDU/CSU) ; d.h. es gibt mehr CDU/ CSU-Wähler unter den Katholiken als bei allen Befragten.
(überproportional)
P (CDU) ∙ P (Katholisch) = 0,502 ∙ 0,467 = 0,234
P ({CDU} ∩ {Katholisch}) = 0,295; d.h. es gibt mehr katholische CDU/ CSU-Wähler, als bei Unabhängigkeit der Merkmale zu erwarten.
137
137
Konstruiertes Beispiel für perfekte statistische Unabhängigkeit (auf nominialem Messniveau)
Geschlecht
w=B
SPD-Grüne/
364
Bündnis 90 = A
CDU/CSU-FDP 336
= A
700
m=B
377
741
348
684
725
1425
741 700
364
P ( A) ⋅ P (B ) =
⋅
=
= P( A ∩ B )
1425 1425 1425
364 741
P(A B ) =
=
= P ( A)
700 1425
( )
377
=
= P AB
725
┌
Die drei äquivalenten Bedingungen für statistische
Unabhängigkeit lauten:
P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P (B )
P ( A B ) = P ( A)
( )
P(A B ) = P A B
└
138
Zentrales Modell für metrische Daten:
Normalverteilung N (µ , σ )
Also: abhängig von den Parametern µ und
σ
Glockenkurve
Idee: Mittlere Einkommen sind wahrscheinlicher als
geringe oder hohe Einkommen.
Das Einkommen X wird modelliert als:
X = Mittelwert + ε
wobei
ε
,
die Abweichung vom Mittelwert ist.
139
f(x)
x
Die Wahrscheinlichkeitsdichte f lautet im Fall der
Normalverteilung:
f (x; µ ,σ ) =
1
2π ⋅ σ
e
− ( x− µ )2
2σ 2
„Dichte“: Fläche des Stabes um den Punkt x =
Höhe · Intervallbreite (x − ε , x + ε )
D.h. wie dicht liegen die Beobachtungen in
dem Intervall (x − ε , x + ε ) .
140
Erläuterung:
π : Kreiszahl π
(Kreisinhalt =
(Für r = 1:
π
π
= 3,14159...
r2 (r = Radius des Kreises))
= Flächeninhalt des Kreises)
∞
1
= 2,71828...
e: Euler’sche Zahl e = ∑
n = 0 n!
Eigenschaften:
e a +b = e a ⋅ eb
Umkehrfunktion:
ln a + ln b = ln (a · b)
141
µ1
µ
µ2
Mittelwert
σ1
σ2
σ Streuungsmaß
2
[σ Varianz; σ Standardabweichung]
142
z-Transformation (Standardisierung)
Jede beliebige Normalverteilung lässt sich durch
Transformation auf die Standardnormalverteilung
zurückführen.
z-Transformation (Standardisierung):
Falls X verteilt ist nach N ( (µ , σ ) , so gilt:
z=
X −µ
σ
ist nach N (0,1) verteilt.
N (0,1): Standardnormalverteilung
143
Tabellen
für
die
Standardnormalverteilung
dokumentieren die folgende Funktion Φ (x):
x
Φ (x)
144
N ( µ ,σ )
a
b
Pµ σ (a < x ≤ b ) =
,
b−µ 
a−µ
P0,1  σ < z ≤ σ  =
b−µ 
a−µ 
Φ
 − Φ

 σ 
 σ 
145
Die Hauptanwendung basiert auf dem Zentralen
Grenzwertsatz:
Liegt ein Merkmal vor, das von vielen Faktoren
abhängt, die unabhängig und additiv wirken, wobei
keiner der Faktoren dominiert, so folgt die Verteilung
des Merkmals annähernd (asymptotisch, mit
wachsendem Stichprobenumfang genauer) der
(Gauß`schen) Normalverteilung.
146
(Voraussetzung: Metrisches Merkmal X wie z.B.
Einkommen)
Zieht man eine Stichprobe vom Umfang n (mit
Zurücklegen) aus einer Grundgesamtheit mit Mittelwert
µ und Varianz σ für das Merkmal X, das man
untersucht, so sind alle Voraussetzungen für den
Stichprobenmittelwert X erfüllt.
X hat den Mittelwert μ und die Standardabweichung:
2
σx =
σ
n
Nach dem Zentralen Grenzwertsatz:
X −µ
σ / n (asymptotisch) verteilt nach N (0,1)
Asymptotisch: Mit wachsendem Stichprobenumfang
wird die Annäherung an das Glocken-Modell immer
besser.
Konvention: n ≥ 30 als hinreichende Voraussetzung
(„asymptotisch“)
Die Bedingung n ≥ 30 bedeutet für die
Sozialwissenschaften i.a. kein Problem.
147
Würfelbeispiel
Nach dem Zentralen Grenzwertsatz ist die Summe (oder
der Durchschnitt) der Xi normalverteilt, gleichgültig wie
die einzelnen Verteilungen Xi geartet sind.
Die Approximation ist um so besser, je größer n und je
ähnlicher
die
Verteilungen
der
einzelnen
Zufallsvariablen Xi zur Normalverteilung sind. Aber
auch, wenn die Verteilungen der einzelnen
Zufallsvariablen Xi sehr verschieden von der
Normalverteilung sind (z.B. Gleichverteilung auf die 6
Elemente 1, ..., 6 beim Würfelspiel), nähert sich die
Summenvariable X (hier: die Summe der Augenzahlen
bei n-maligem Würfeln) mit wachsendem n sehr rasch
der Normalverteilung.
Beim dargestellten Würfelbeispiel ist die Konvergenz
der
Wahrscheinlichkeitsfunktion
gegen
die
Normalverteilung besonders gut, weil es sich um eine
symmetrische Funktion handelt (siehe Abbildung). Die
Variable X drückt die mit n Würfen eines Würfels
erzielten Ergebnissummen aus.
148
p(x)
0,15
0,1
0,05
0
2
1
3
4
5
x
6
n=1
p(x)
0,15
0,1
0,05
0
3
2
4
5
6
7
8
9
11
10
12
x
n=2
p(x)
Normalverteilung
0,15
( µ = 10,5; σ = 2,96)
0,1
0,05
0
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
n=3
149
13
14
15
16
17
18
x
Es ist also die Summen- bzw. Durchschnittsbildung, die
zum Modell der Normalverteilung führt.
Dann muss man jedoch fragen, weshalb viele
Messungen von einzelnen Variablen gut durch die
Normalverteilung beschrieben werden können. In
Anlehnung an Hagens Fehlertheorie kann man dazu
folgende Überlegung z.B. für die Länge eines Menschen
anstellen: Die Länge x eines Menschen ist bestimmt
durch die Länge µ der Spezies Mensch und ansonsten
von vielen kleinen Fehlerfaktoren εi. Unterstellt man als
einfachste Approximation, dass sich die Einflüsse
unabhängig und additiv verhalten, so kann man von
dem Ansatz ausgehen:
n
x = µ + ∑εi
i =1
Die zentrierte Variable x − µ ist also eine
Summenvariable, welche nach dem Zentralen
Grenzsatzwert unter sehr allgemeinen Voraussetzungen
asymptotisch normalverteilt ist.
Die Normalverteilung ist nicht nur als Modell für viele
empirische Verteilungen geeignet, sondern auch die
Grenzverteilung vieler theoretischer Verteilungen
(Binomialverteilung, hypergeometrische Verteilung,
Poisson-Verteilung etc.)
150
Schätzung des Einkommensdurchschnitts µ der Grundgesamtheit
durch den Stichprobenmittelwert X
Konvention in den Sozialwissenschaften: Sicherheitsniveau von
95 %.
Man will Aussagen mit 95 % Sicherheit formulieren.
N (0,1)


X −µ

 = 0,95
−
1
,
96
<
≤
+
1
,
96
P0,1 

σ/ n


σ
σ 

= P0,1  X − 1,96
< µ ≤ X + 1,96

n
n

Der Einkommensdurchschnitt µ
der Bevölkerung der
Bundesrepublik (Grundgesamtheit) liegt mit 95 % Sicherheit in
dem folgenden Intervall um den Stichprobenmittelwert X :

σ
σ 
1
,
96
,
1
,
96
X
−
X
+


n
n

Konfidenzintervall bzw. Vertrauensintervall
151
Berechnung:
Z.B.: Für 2,5 %
0,025 = Φ ( x )
Eine Tabelle für die Standardnormalverteilung würde liefern:
X = -1,96
Analog (oder aufgrund der Symmetrie):
0,975 = Φ ( x )
Eine Tabelle für die Standardnormalverteilung würde liefern:
X = +1,96
Also:
Φ (1,96) = 0,975
Φ (-1,96) = 0,025
Differenz = 0,950
D.h.: Bei der Standardnormalverteilung liegen 95 % der Werte im
Intervall: (-1,96; + 1,96)
P (-1,96; + 1,96) = 0,95
Für 99 % Sicherheit erhält man:

σ
σ 
P X − 2,58
< µ ≤ X + 2,58
 = 0,99
n
n


D.h. mit größerer Sicherheit in dem „ungenaueren“ (größeren)
Intervall.
152
Der Einfluss des Stichprobenumfangs
Beispiel: Der Einkommensdurchschnitt in der Stichprobe sei x =
2000, σ = 1000 z.B. aus einer früheren Untersuchung bekannt und
n = 100.
Mit 95 % Sicherheit:
Konfidenzintervall
1000
1000 

 2000 − 1,96 ⋅ 10 , 2000 + 1,96 ⋅ 10 


≈ ]1800, 2200]
Falls der Stichprobenumfang größer ist (z.B. n = 2500), so ist das
Konfidenzintervall – ceteris paribus – kleiner:
 2000 − 1,96 1000 , 2000 + 1,96 1000 

50 
50
≈ ] 1960, 2040 ]
In
den
Allgemeinen
Bevölkerungsumfragen
der
Sozialwissenschaften (ALLBUS) liegt der Stichprobenumfang bei
etwa n = 3000.
153
Auswahlverfahren zur Konstruktion von Stichproben
Die Art der
Auswahlfehler.
Stichprobenziehung
hat
Einfluss
auf
den
Formeln für den Auswahlfehler des Mittelwertes ( σ x ):
2
S2
n
σ =
2
x
n

1
−


 N
S2
n
Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Gesamtheit.
Ziehen ohne Zurücklegen aus einer unendlichen Gesamtheit.
σ2
Ziehen mit Zurücklegen.
n
Mit wachsendem Stichprobenumfang n streut der
Stichprobenmittelwert x immer weniger um den Mittelwert µ der
Grundgesamtheit.
GrundGesamtheit
Schätzung
aufgrund der
Stichprobe
N
1
2
−
S2 =
x
x
(
)
∑ i
N − 1 i =1
N
1
σ 2 = ∑ ( xi − x ) 2
N i=1
1 n
2
(
)
s =
x
−
x
∑ i
n − 1 i =1
n
1
σˆ 2 = ∑ ( xi − x )2
n i =1
2
154
Die Bestimmung des notwendigen Stichprobenumfangs
Wenn der Stichprobenmittelwert x höchstens um einen
vorgegebenen Wert e (maximaler Zufallsfehler) vom Mittelwert µ
der Grundgesamtheit abweicht und dies mit einer
Sicherheitswahrscheinlichkeit 1 − α (Fehlerrisiko α ) gelten soll, so
lässt sich aus diesen Forderungen der notwendige
Stichprobenumfang berechnen.
Da
e=u
1−
α
⋅ σ x , also
2
e = u
2
2
1−
α
2
S2 
n
⋅ ⋅ 1 − 
n  N
,
so erhält man beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen
Gesamtheit:
n=
1
2


 e 
1

 +
N
 u1−α ⋅ S 
 2

Bei einer unendlichen Gesamtheit ergibt sich:
u α ⋅S 
 1− 2 
n=

e




2
Je geringer die Fehlertoleranz, d.h. je genauer die Vorhersage sein
soll, und je höher die geforderte Sicherheitswahrscheinlichkeit,
und je größer die Streuung S ist, desto größer muss der
Stichprobenumfang n sein.
155
Da σ (bzw. S) im voraus nicht bekannt sein dürfte, wird σ häufig
aus einer früheren Erhebung oder einem Pretest geschätzt. Arbeitet
man mit dem Modell der Normalverteilung, so kann man
benutzen, dass der Streubereich ungefähr 6 • σ beträgt. Streut
beispielsweise das Einkommen einer Gruppe (Normalverteilung
unterstellt) zwischen 1.000 und 4.000, so kann die Streuung der
Grundgesamtheit geschätzt werden durch:
σ≈
(4.000 − 1000)
= 500
6
Liegt ein dichotomes Merkmal vor, so gilt:
σ=
p (1 − p ) ≤
1
2
Man kann somit σ durch
1
2
schätzen (vgl. Abbildung).
Z.B. wenn P nahe 0 bzw. nahe 1 ist, wird der notwendige Stichprobenumfang dadurch sogar überschätzt.
156
σ max = 0,5
f (P) = σ
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Mit
der
0,75
0,5
0,25
0
konservativen
Schätzung
P
1
S=
1
2
(nach
der
Binomialverteilung) kann man für ein dichotomes Merkmal für
den maximalen Zufallsfehler e = 0,05 bei 95 % Sicherheit (also u =
1,96) den notwendigen Stichprobenumfang berechnen (vgl.
Tabelle).
Mindeststichprobenumfänge bei verschiedenen
Grundgesamtheitsumfängen
Umfang
Grundgesamtheit N
50
100
500
1.000
5.000
10.000
100.000
1.000.000
10.000.000
Notwendiger
Stichprobenumfang n
Auswahlsatz
n
in %
N
44
79
217
278
357
370
383
384
384
88
79
43
28
7
3,7
0,38
0,038
0,0038
157
Mit wachsendem Umfang der Grundgesamtheit ist
1
N
zu
vernachlässigen, sodass der notwendige Stichprobenumfang
schließlich nicht mehr von dem Umfang der Grundgesamtheit
abhängt.
u⋅S 
→


2
e
 für N → ∞

1
 e 
 +

N
u⋅S 
1
2
Der Grenzwert für eine unendliche Gesamtheit, der dem Wert beim Ziehen mit Zu-
u⋅S 
rücklegen entspricht, ist n = 
 = 384.
e


2
Bei den angegebenen Voraussetzungen wäre dies also statistisch
sogar hinreichend für ein dichotomes Merkmal zur
Charakterisierung der Wohnbevölkerung der BRD von rund 80
Millionen, wenn man nicht noch weiter aufgliedern wollte nach
regionalen oder sonstigen Gesichtspunkten – was allerdings in der
Regel der Fall ist.
Wenn die Analyse von Zusammenhängen im Zentrum der Analyse
steht, benötigt man für die Bundesrepublik Stichproben im
Umfang von 2000 – 3500 Personen, damit die einzelnen Zellen
von Kreuztabellen noch hinreichend besetzt sind.
158
Die Zufallsauswahl aus Schichten
Da der Auswahlfehler σ vom Stichprobenumfang n und von der
Streuung der Stichprobe σ abhängt (σ x = σ / n ), so kann man ihn
einerseits durch Vergrößerung der Stichprobe reduzieren und
andererseits durch „Verringerung von σ “ . Weil σ selbst nicht
beeinflussbar ist, behilft man sich mit der Einteilung der Grundgesamtheit in homogene Schichten (nach einem bestimmten
Merkmal). Die Streuung in homogenen Schichten ist geringer als
die Streuung in der Gesamtpopulation. Dies führt zu einer
präziseren Parameterschätzung.
Die mehrstufige Zufallsauswahl
Vor allem um durch große räumliche und zeitliche Trennungen der
Stichproben entstehenden hohen Kosten zu reduzieren, erfolgt die
Auswahl häufig über mehrere Stufen. Man könnte sich z. B.
vorstellen, dass erst Bundesländer, dann Gemeinden, Wohnblock
oder Straßenzüge, Haushalte und anschließend Individuen
ausgewählt werden. Dabei können auch einzelne Stufen
übersprungen werden.
Der Auswahlfehler ist bei einer mehrstufigen Auswahl in der
Regel größer als bei einer einstufigen Auswahl. Er steigt,
-
je mehr Stufen existieren,
je weniger Einheiten pro Stufen ausgewählt werden,
je heterogener die Einheiten einer Stufe jeweils untereinander
sind und je homogener sie intern sind.
159
Die folgende Übersicht fasst noch einmal in knapper Form die
Möglichkeiten der Stichprobenziehung zusammen. Wichtig ist,
dass sich der Forscher primär von inhaltlich-theoretischen
Überlegungen leiten lassen sollte, wenn es um die Abwägung der
verschiedenen Alternativen geht.
Übersicht der möglichen Stichprobenziehungen
Innerhalb der ausgewählten Teilmengen
werden alle Einheiten in die Erhebung
einbezogen
Alle Teilmengen
werden in die
Erhebung
einbezogen
ja
ja
nein
Vollerhebung
Geschichtete Stichprobe
nein Klumpenstichprobe
Echte zweistufige Auswahl
160
Allbus / ISSP 2000 als Beispiel
Die Stichprobe wird mit
Auswahlverfahrens gezogen.
Hilfe
eines
zweistufigen
1. Stufe: Es wurden 105 Gemeinden in Westdeutschland und 46
Gemeinden in Ostdeutschland ausgewählt.
2. Stufe: Die Zielpersonen wurden aus den Listen der
Einwohnermeldeämter wie folgt ausgewählt: Ausgehend
von einer Zufallszahl als Start wurde mit gleicher
Schrittlänge die Anzahl der Zielpersonen realisiert.
(Technisch ist dies eine Klumpenstichprobe, aber man
darf wohl davon ausgehen, dass die Klumpen sich nicht
systematisch unterscheiden.)
161
Zahlen für die Ost-West-Gewichtung: Mikrozensus 1997 und
ALLBUS 2000
Mikrozensus 1997
West
Ost
Gesamt
(NW)
(NO)
(N)
Personen in
Privathaushalten,
18 Jahre und
älter
332.023
76.635
408.658
ALLBUS 2000
West
Ost
Gesamt
(nW)
(nO)
(n)
2.036
1.102
3.138
Die Gewichtungsfaktoren für Analysen der erwachsenen
Bevölkerung in Privathaushalten in ganz Deutschland lassen sich
wie folgt berechnen:
Im Westen:
n
nw
x
Nw
N
=
Im Osten:
n
no
x
No
N
=
3.138
2.036
3.138
1.102
x
x
332.023
= 1.25223
408.658
76.635
= 0.53400
408.658
Eine entsprechende Gewichtungsvariable ist im Datensatz des
ALLBUS 2000 enthalten (V836).
WEIGHT BY V836.
Anschließend wird die gewünschte Auswertung durchgeführt.
162
Gliederung
8.
8.1.
8.2
8.2.1
8.2.2
8.2.3
Zweidimensionale Verteilungen und Zusammenhangsmaße ....... 183
Zweidimensionale Verteilungen und die verschiedenen Arten des
Zusammenhangs von zwei Variablen ............................................. 183
Metrisches Messniveau ..................................................................... 191
Einfache Regression und der Pearson-Bravais’sche
Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient r ........................................ 191
Der Rangkorrelationskoeffizient Rho als Spezialfall von r ................ 206
Der Phi-Koeffizient als Spezialfall von r ............................................ 209
163
Beispiel für die Messung eines Zusammenhangs
Stellung im Beruf
Angestellte
Beamte
SPD
32 %
23 %
Andere
68 %
77 %
Wahl
Prozentsatzdifferenz = 9 % = 0,09
Stellung im Beruf
Angestellte
Selbstständige
SPD
32 %
13 %
Andere
68 %
87 %
Wahl
Prozentsatzdifferenz = 19 % = 0,19
Der Zusammenhang – im Sinne von Strukturierung der Wahl durch
die Stellung im Beruf –, gemessen durch die Prozentsatzdifferenz, ist
im zweiten Fall stärker.
164
Arten der Assoziation bzw. des Zusammenhangs von zwei
Merkmalen:
(1) Das elementarste Konzept ist das der Prozentsatzdifferenz von
Teilgruppen.
Beispiel:
32 % der Angestellten und 23 % der Beamten wählten bei der
Bundestagswahl 2002 die SPD. Die Prozentsatzdifferenz beträgt
also 9 %. Selbstständige wählten zu 13 % die SPD, sodass die
Prozentsatzdifferenz zu den Angestellten 19 % beträgt. Die
Prozentsatzdifferenz ist in letzterem Fall größer, die Stärke der
Strukturierung wird hier also durch den Kontrast von Teilgruppen
gemessen.
(2) Die Chi-Quadrat-basierten Assoziationsmaße messen die
Abweichungen der beobachteten Daten von den bei statistischer
Unabhängigkeit zu erwartenden Daten.
(3) Die PRE-Maße (Proportional reduction of error) geben das
Ausmaß wieder, in dem die Kenntnis einer Variablen die
Vorhersage der anderen Variablen zu verbessern erlaubt („prädiktive“ Assoziation).
(4) Den Unsicherheitskoeffizienten (Uncertainty Coefficient) aus der
Informationstheorie könnte man in Analogie zu den PRE-Maßen
ein PRU-Maß nennen: Proportional reduction of uncertainty.
(5) Weiterhin gibt es Maße, die dadurch entstehen, dass alle Paare
von Untersuchungseinheiten (häufig: Personen) unter dem Aspekt
betrachtet werden, ob die Variable x (z.B. Schulabschluss) und
die Variable y (z.B. Einkommen) beide gleichermaßen hohe oder
niedrige Werte haben (konkordante Paare) oder entgegengesetzte
Ausprägungen (diskordante Paare). Die Maßzahl gibt die
Assoziation des Variablenpaars (z.B.: Schulabschluss,
Einkommen) wieder.
(6) Korrelationsmaße (z.B. der Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient r) geben das Ausmaß wieder, in dem Änderungen in
einer Variablen zusammen mit Änderungen in der anderen
Variablen auftreten.
165
Um zu entscheiden, welches Assoziationsmaß für eine Fragestellung
am geeignetsten ist, muss man sich vorher also einerseits über die Art
der Assoziation, die man untersuchen will, im klaren sein und
andererseits über die folgenden Kriterien für Assoziationsmaße:
1)
Die Assoziationsmaße sollten interpretierbar sein, d.h. es sollte
sich mehr sagen lassen, als dass eine Beziehung zahlenmäßig
stärker ist als eine andere. Dies erfüllen die Chi-Quadratbasierten Maße eher nicht. Die PRE- und PRU-Maße hingegen
lassen klarere Interpretationen zu.
2)
Assoziationsmaße sind per Konvention auf folgende Weise
normiert:
Assoziationsmaß = 0 ⇔ keine Assoziation
Assoziationsmaß = 1 ⇔ vollständige Assoziation
Falls es eine Ordnungsrelation gibt:
Assoziationsmaß = +1 ⇔ vollständige positive Assoziation
Assoziationsmaß = -1 ⇔ vollständige negative Assoziation
Nicht alle Chi-Quadrat-basierten Maße sind perfekt normiert.
PRE-Maße können 0 sein, obwohl keine statistische
Unabhängigkeit besteht, weil PRE-Maßen eine etwas andere
Konzeption als die der statistischen Unabhängigkeit zugrunde
liegt.
3)
Sensibilität der Assoziationsmaß besagt, dass für verschiedene
Tabellen auch die Assoziationsmaße verschieden sein sollten.
Bei diesem Kriterium schneidet das PRE-Maß λ schlecht ab, da
es zu grob ist, gleiches gilt für Q, s.u.
166
Absicherung eines Zusammenhangs beim Schluss von
einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit
Die Absicherung geschieht durch statistische Tests:
Beispiel: Der Zusammenhang zwischen den Merkmalen Konfession
und Wahl soll untersucht werden.
H0 (Nullhypothese): Es gibt keinen Zusammenhang zwischen den
beiden Merkmalen.
H1 (Alternativhypothese): Es gibt einen Zusammenhang zwischen den
beiden Merkmalen.
Mit Hilfe der Stichprobeninformationen wird entscheiden, ob sich die
Nullhypothese zurückweisen lässt.
167
Maße für den Zusammenhang von Merkmalen
(Variablen)
(Zweidimensionale empirische Verteilungen)
Metrisches Messniveau:
Einfache Regression und Korrelation
168
Streudiagramm
Beispiel: Wie
hängen
Einkommen
Schulbildung (x) zusammen?
(y)
und
Paare von Beobachtungswerten (x1, y1), (x2, y2), ...,
(xn, yn)
y
(Einkommen)
x
(Schulbildung)
169
Wie findet man den zu den Daten am besten passenden
linearen Trend?
Gauß`sche Methode der kleinsten Quadrate
Modell der linearen Regression
Lineares Zusammenhangs- bzw.
Prognosemodell
Erklärungs-
yˆ = a + bx
y
yˆ i − yi
ŷi
yi
x
xi
170
bzw.
Paare von Beobachtungswerten:
(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)
yˆ = prognostizierter Einkommenswert (auf Grund des
i
linearen Trends)
Fehler der Prognose:
Für Person i: y − yˆ (Absolute Abweichung des prognostizierten Wertes vom beobachteten
Wert)
i
i
Gesamtfehler der Prognose:
∑ (y − yˆ )
2
n
i =1
i
i
171
Die Regressionsgerade ist dadurch bestimmt, dass sie die
geringste Abweichung von den vorliegenden Daten
aufweist („nach Luftlinienabstand“). Im Sinne der
Vorhersage weist sie den geringsten Prognosefehler auf.
Ein linearer Trend (geometrisch: Gerade) hat die
allgemeine Form: y = a + bx
Die Parameter a und b werden derart bestimmt, dass der
n
Prognosefehler f (a, b ) = ∑ ( yi − (a + bxi )) minimal wird.
2
i =1
┌
└
∂f
∂f
= 0 partielle Ableitungen
= 0,
∂
b
∂a
1
∑ (xi − x )( yi − y ) s xy
n
b=
= 2
1
2
sx
( xi − x )
∑
n
┌
Hierbei:
s xy =
1
∑ (xi − x )( y i − y )
n
Kovarianz zwischen x
und y
s xx =
1
(xi − x )2 = s x2 Varianz von x
∑
n
└
a = y − bx
172
Maß für den Zusammenhang von x und y:
Der Korrelationskoeffizient r (Pearson,
[Voraussetzung: Metrisches Messniveau]
Bravais)
Idee: Schätzen ohne und mit Vorinformation
1. Situation:
Schätzung des Einkommens ohne Vorinformation
über die Schulbildung
(Gesucht wird der Wert t, der den Prognosefehler
n
2
(
)
y
t
−
∑
i
minimiert.
i =1
y
minimiert diesen Fehler.)
Schätzung:
y
2
n
Fehler:
E = ∑ (y − y)
1
i =1
i
173
2. Situation:
Schätzung des Einkommens mit Vorinformation
y
yˆ = a + bx
ŷi
x
xi
Schätzung:
yi = a + bxi
Vorinformation
n
Fehler:
E = ∑(y
2
i =1
i
2
− yˆ i )
174
Streuungszerlegung
∑ (y − y)
2
i
= ∑ ( yi − yˆ i ) + ∑ ( yˆ i − y )
2
Gesamtstreuung
2
Nicht erklärte
Komponente der
Streuung
∑ ( yˆ − y )
Erklärte Komponente
der Streuung
2
r =
2
i
∑(y − y)
2
Anteil erklärter Varianz
i
Also ergibt sich eine erste Interpretationsformel:
Prozentsatz (Anteil) erklärter Varianz
Maßstab: 0 % - 100 %
175
Erklärungsmodell der linearen Regression
yˆ = a + bx
y
yˆi − y
y
y
x
xi
Erklärungsmodell:
Der Schwerpunkt des interessierenden Phänomens y
liegt in y (arithmetisches Mittel).
Lineare Regression:
Für x = xi : Das lineare Modell prognostiziert ŷi
= a + bxi , als Effekt der Bedingung x = xi ergibt sich,
dass ŷi um yˆ i − y über dem Durchschnitt y liegt.
176
Zweite Interpretationsformel:
−E
E
r =
E drückt die proportionale Reduktion
2
1
2
1
des Prognosefehlers aus. (PRE-Maße:
Proportional Reducion of Error)
[ E1 ≥ E2 ]
r heißt Korrelationskoeffizient (nach Pearson,
Bravais)
rxy =
1
(xi − x )( yi − y )
∑
sxy
n
=
sx ⋅ s y
1
1
2
2
( xi − x )
( yi − y )
∑
∑
n
n
177
Beispiel:
Korrelation
Varianz
Einkommen in Abhängigkeit von der
Schulbildung (in Deutschland)
r = 0.24 , also:
r2 = 5,6 % erklärte
Regressionsschätzung:
a = 207 b = 116
b ist der „Effekt“ der Schulbildung auf das Einkommen:
Zuwachs: ∆y = b ⋅ ∆x
y = 207
+ 116 * x
Für 9 Schuljahre erhält man: y = 207 + 116 * 9 = 1251
Für 10 Schuljahre erhält man: y = 207 + 116 * 10 = 1367
Für 13 Schuljahre erhält man: y = 207 + 116 * 13 = 1715
Beispiel: Einkommen in Abhängigkeit vom
Berufsprestige
Korrelation r = 0.39 , also r2 = 0.15
D.h. 15 % der Einkommensunterschiede lassen sich auf
Unterschiede des Berufsprestiges zurückführen.
Bzw.: Der Fehler bei der Vorhersage des Einkommens
lässt sich durch Kenntnis der Vorinformation über das
Berufsprestige um 15 % reduzieren.
178
Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten:
− 1 ≤ r ≤ +1
Vorzeichen von r:
Richtung des
Zusammenhangs
Absolute Größe von r: Stärke des Zusammenhangs
r = +1
vollständiger positiver Zusammenhang
r = -1
vollständiger negativer Zusammenhang
r=0
kein Zusammenhang
179
r = +1
Vollständiger positiver Zusammenhang
Erklärung: 100 %
Prognosefehler: E2 = 0
180
r = -1
Vollständiger negativer Zusammenhang
Erklärung: 100 %
Prognosefehler: E2 = 0
181
r=0
yˆ = y
[ yˆ = a + bx; b = 0;
d.h. Information x wird gar nicht verwendet für die
Prognose.]
Erklärungskraft: 0 %
Prognosefehler: E1 = E2
D.h.: Keine Verbesserung
Vorinformation x
182
der
Prognose
durch
Beispiel für kurvilinearen Zusammenhang
Intensität der Einstellung
Links
Rechts
r misst nur den linearen Zusammenhang.
Aber: r2 gibt an, wie viel % der Varianz die lineare
Approximation der empirischen Realität erklärt.
183
Korrelation und Kausalität:
Statistischer Zusammenhang und Wirkungszusammenhang
-
Der Korrelationskoeffizienz ist symmetrisch:
rxy = r yx
-
Kausalität dagegen ist asymmetrischer
Wirkungszusammenhang.
-
Statistischer Zusammenhang: Kovariieren bzw.
korrelieren
-
Kausalzusammenhang: Ursache – Wirkung –
Beziehung
184
Allbus
(Allgemeine Bevölkerungsumfrage)
-
Gesamtbevölkerung:
Es gibt keinen Zusammenhang zwischen Alter und
Einkommen. (r = 0,045 ; r2 = 0,2 % erklärte Varianz)
-
Teilgruppe Beamte: r = 0,53
(r2 =) 28,1 % erklärte Varianz
Die Streuung im Einkommen lässt sich zu 28,1 %
durch das Alter erklären.
Die Vorinformation über das Alter führt zu einer
(proportionalen) Reduktion von 28,1 % bei dem
Prognosefehler.
185
Streudiagramm
(nur Beamte)
BEFR.: NETTOEINKOMMEN, OFFENE ABFRAGE
8000
6000
4000
2000
0
20
30
40
50
ALTER: BEFRAGTE<R>
186
60
70
Output:
R
R Square
,530
,281
B-Koeffizienten (nicht standardisierte Variablen)
Einkommen = 53 * Alter + 101
Beispiel: Alter = 30
Auf Grund des linearen Modells
prognostiziertes Einkommen:
1590 + 101 = 1691
53 * 30
Beta-Koeffizient (standardisierte Variablen)
ZEinkommen = .53 * ZAlter
Bei der einfachen Regression (d.h.: ein Prädiktor) gilt:
β xy = ryx
Hier also: β yx
= ryx = .53
T-Testwert des Alters
Signifikanz des T-Tests
F-Testwert des Alters
Signifikanz des F-Tests
T = 5,226
= ,000
F = 27,310
= ,000
(= T2)
Die Wahrscheinlichkeit, für die Prüfgröße einen so
großen bzw. größeren Wert zu erhalten wie bzw. als in
der vorliegenden Stichprobe, beträgt 0,00 %.
187
Signifikanztest für den Korrelationskoeffizienten
Nullhypothese (H0) : ρ = 0
Alternativhypothese: (H1) : ρ ≠ 0
Prüfgröße:
r
ist verteilt nach tn-2 (t-Verteilung mit n – 2
2
1− r
Freiheitsgraden)
n−2
Beispiel: n = 62 ; Irrtumswahrscheinlichkeit α = 5% ;
oder: Sicherheit 1 – α = 95%.
Kritischer Wert: t
1
1− , n − 2
= 2,00
α
r
n − 2 = 2,00
1− r
Daraus lässt sich berechnen: r = 0,25
2
Der Korrelationskoeffizient ist in diesem Fall (n = 62)
signifikant (statistisch abgesichert), wenn: r > 0,25.
Alternative: Significance (= Wahrscheinlichkeit, einen
so großen bzw. größeren Wert für die Prüfgröße zu
erhalten wie bzw. als in der vorliegenden Stichprobe) ist
größer als 0,05.
188
Gliederung
8.3 Ordinales Messniveau ............................................. 210
8.3.1 Assoziationsmaße (und Distanzmaße) auf der Basis von
Rangzahlen:Rho und Rho b........................................210
8.3.2 Assoziationsmaße auf der Basis von Paaren: Gamma,
Kendalls Tau, Somers’d ............................................ 214
189
Messung des Zusammenhangs auf ordinalem
Messniveau
Beispiel:
Schulabschluss (x)
(1)
Niedrig
(2)
Mittel
(3)
Hoch
Links-Rechts-Selbsteinstufung (y)
Links
Mitte
Rechts
(1)
(2)
(3)
379
686
411
209
315
186
327
265
153
190
Inspektion von Paaren von Untersuchungseinheiten
Ein Paar von Untersuchungseinheiten (A, B) heißt
konkordant: ⇔ (Genau dann, wenn:)
Person A rangiert auf Variable x höher als Person
B und gleichzeitig: Person A rangiert auf Variable
y höher als Person B.
(Ein solches Paar ist also ein Anhaltspunkt für
einen positiven Zusammenhang.)
Ein Paar heißt diskordant: ⇔ Wenn A auf
Variable x höher rangiert als B, aber A auf
Variable y niedriger rangiert als B.
(Ein solches Paar ist ein Anhaltspunkt für einen
negativen Zusammenhang.)
Nc = Anzahl konkordanter Paare
Nd = Anzahl diskordanter Paare
191
Alle ordinalen Maßzahlen basieren auf der
Bilanz: Nc -Nd
Nc -Nd > 0: Mehr konkordante Paare als
diskordante Paare; d.h. positiver
Zusammenhang.
Nc -Nd < 0: Mehr diskordante Paare als
konkordante Paare; d.h. negativer
Zusammenhang.
Nc -Nd = 0: So viele konkordante Paare wie
diskordante Paare, d.h. kein
Zusammenhang.
Die verschiedenen Maßzahlen unterscheiden
sich durch die Art der Normierung von Nc -Nd.
192
Berechnungen für das Beispiel:
Anzahl der konkordanten Paare:
379 * (315 + 186
+ 265 + 153)
+ 686 * (186
+ 153)
+ 209 * (265 + 153)
+ 315 * 153 = 716 412
Anzahl der diskordanten Paare:
327 * (686 + 411
+ 315 + 186)
+ 265 * (411
+ 186)
+ 209 * (686 + 411)
+ 315 * 411 = 1 039 489
Also: Nc < Nd
193
Eine erste Version der Normierung:
γ :=
N −N
N +N
c
d
c
d
(Gamma)
Eigenschaften:
− 1 ≤ γ ≤ +1
Extremfälle:
(γ
= 1) ⇔
(γ
= −1) ⇔ ( Nc = 0, d.h. es gibt keine
( Nd = 0, d.h. es gibt keine
diskordante Paare.)
konkordante Paare.)
(γ
= 0 ) ⇔ ( Nc = Nd, d.h. es gibt so viele
konkordante wie diskordante Paare.)
194
Aber: Gamma ist eine zu grobe Maßzahl:
Beispiel:
 50 50 


 0 100 
100 0 


 0 100 
Die beiden Konstellationen sind recht verschieden,
aber mit γ lässt sich dies nicht unterscheiden, denn
γ ist in beiden Fällen gleich 1.
Deshalb gibt es verfeinerte Maßzahlen, die im
Folgenden dargestellt werden.
195
Tx =
Anzahl der Paare, die (nur) in x
übereinstimmen.
(„tie“ (englisch): gleichen Wert haben)
Ty = Anzahl der Paare, die (nur) in y
übereinstimmen.
Txy = Anzahl der Paare, die in x und y
übereinstimmen.
Anzahl möglicher Paare aus n Personen:
 n
n!
n(n − 1)
  =
=
2
 2  (n − 2)! 2!
 n
  = N c + N d + Tx + Ty + Txy
 2
196
Berechnungen für das Beispiel:
Tx =
379 * (686 + 411) + 686 * 411
+ 209 * (315 + 186) + 315 * 186
+ 327 * (265 + 153) + 265 * 153
= 1 038 239
Ty =
379 * (209 + 327) + 209 * 327
+ 686 * (315 + 265) + 315 * 265
+ 411 * (186 + 153) + 186 * 153
= 920 629
153 ∗ 152
379 ∗ 378 686 ∗ 685
Txy =
+
+ ... +
2
2
2
197
Eine genauere Messung des Zusammenhangs auf
ordinalem Messniveau erhält man durch folgendes
Herausrechnen der „ties“ („tie“: gleicher Wert).
Bei asymmetrischer Fragestellung:
Somers`d
Nc − Nd
d yx =
n(n − 1)
− Tx −T xy
2
Zur Reihenfolge der Indices: y = f (x)
Bei symmetrischer Fragestellung:
Kendalls τ b (Tau B)
(Bezugsgröße: „Alle Paare ohne >ties<“)
τb =
Nc − Nd
 n(n − 1)
 n(n − 1)

−
−
−
−
T
T
T
T

y
xy 
x
xy 
 2
 2

198
Maßzahlen in dem Beispiel:
Somers`D
Kendall`s Tau B
Gamma
= - 0,121
= - 0,118
= - 0,184
Nach den Maßzahlen handelt es sich also um
einen negativen Zusammenhang.
Ein hoher Schulabschluss
Selbsteinstufung als „links“.
begünstigt
die
Asymmetrische Fragestellung, deshalb hier am
besten geeignet:
Somers`D
199
Wie strukturiert der Schulabschluss die LinksRechts-Selbsteinstufung? (Dies ist ein
asymmetrische Fragestellung.)
1) Bezugspunkt:
Verteilung aller Befragten bei der zu
erklärenden Variablen (Allgemeine Verteilung)
31,2 % links; 43,3 % Mitte; 25,6 % rechts
2a) Verteilung der zu erklärenden Variablen
unter der Bedingung eines hohen Schulabschlusses (Bedingte Verteilung; hier: Bedingung „hoher Schulabschluss“)
Falls Schulabschluss „hoch“, so:
43,9 % links; 35,6 % Mitte; 20,5 % rechts
Effekt des hohen Schulabschlusses auf
Selbsteinstufung als links:
43,9 – 31,2 = 12,7 Prozentpunkte
D.h. Befragte mit hohem Schulabschluss
stufen sich deutlich überproportional
(- verglichen mit allen Befragten -) als links
ein.
200
2b) Falls Schulabschluss „niedrig“, so:
25,7 % links; 46,5 % Mitte; 27,8 % rechts
(Bedingte Verteilung; hier: Bedingung
„niedriger Schulabschluss“)
Effekt von niedrigem Schulabschluss auf
Selbsteinstufung als links:
25,7 % - 31,2 % = - 5,5 Prozentpunkte
D.h. Befragte mit niedrigem Schulabschluss
stufen sich unterproportional (- verglichen
mit allen Befragten -) als links ein.
2c) Falls mittlerer Schulabschluss, so:
29,4 % links; 44,4 % Mitte; 26,2 % rechts
29,4 % - 31,2 % = - 1,8 %
D.h. bei mittlerem Schulabschluss auch
unterproportional links.
3) Insgesamt besteht der stärkste Effekt
(P(Ai B j ) − P( Ai )) also darin, dass hohe Schulbildung die Selbsteinstufung als links
begünstigt.
201
Crosstabulation: NV221 Allgemeiner Schulabschluss
By NV109 Links-Rechts-Selbsteinstufung
Count
Exp Val
Row Pct
Col Pct
Tot Pct
NV109 ->
Links
Rechts
1.00
6.00
10.00
Row
Total
NV221
2.00
379
460.8
25.7 %
41.4 %
12.9 %
686
637.5
46.5 %
54.2 %
23.4 %
411
377.7
27.8 %
54.8 %
14.0 %
1476
50.4 %
3.00
209
221.6
29.4 %
22.8 %
7.1 %
315
306.7
44.4 %
24.9 %
10.7 %
186
181.7
26.2 %
24.8 %
6.3 %
710
24.2 %
5.00
327
232.6
43.9 %
35.7 %
11.2 %
265
321.8
35.6 %
20.9 %
9.0 %
153
190.6
20.5 %
20.4 %
5.2 %
745
25.4 %
915
1266
31.2 %
43.2 %
Significance
.0000
750
25.6 %
Min E. F.
181.679
2931
100. %
niedrig
mittel
hoch
Column
Total
Chi-Square
77.97656
D.F.
4
Statistic
Lambda
.03724
Uncertainlty Coefficient
.01200
Somers`D
.012071
Eta
0.14633
Statistic
Cramer`s V
Contingency Coefficient
Kendall`s Tau B
Kendall`s Tau C
Pearson`s R
Gamma
Number of Missing Observations =
Symmetric
.01987
With NV221
Dependent
.00000
.01222
.01244
-.11811
-.11563
.16170
Value
.11533
.16098
-.11814
-.11282
-.14516
-.18399
Significance
.0000
.0000
.0000
120
202
Cells with E. F. < 5
None
With NV109
Dependent
-
Absicherung des Zusammenhangs
Nullhypothese (H0): Es gibt keinen Zusammenhang
zwischen den Merkmalen.
Alternativhypothese (H1): Es gibt einen Zusammenhang
zwischen
den
Merkmalen.
Unter der Annahme von H0 gibt es Prüfgrößen, die
approximativ t-verteilt sind.
Der Anwender inspiziert, ob die Significance
(= Wahrscheinlichkeit, einen so großen bzw.
größeren Wert für die Prüfgröße zu erhalten wie
bzw. als in der vorliegenden Stichprobe) größer ist
als 0,05.
(Irrtumswahrscheinlichkeit α = 5% ; oder:
Sicherheit 1 – α = 95%.)
In dem Beispiel: Significance = 0,00
203
Gliederung
8.4. Abhängigkeit eines metrischen Merkmals von
einem nominalem Merkmal: Eta (Einfache
Varianzanalyse) ........................................................225
Abhängigkeit einer metrischen Variablen (y) von einer
nominalen unabhängigen Variablen (x).
Beispiel:
Einkommen erklären durch Stellung im
Beruf.
BFR.:NETTOEINKOMMEN<OFFENE+LISTENANGABE> (Allbus 2002)
BEFR.: JETZIGE
StandardabBERUFLICHE
Mittelwert
N
weichung
STELLUN
LANDWIRT
1586,00
5
879,157
AKADEM.FREIER BERUF
4530,18
17
2907,772
SONST.SELBSTAENDIGE
2469,74
109
2032,131
2425,13
85
1200,451
BEAMT,RICHTER,SOLDAT
1730,53
659
1300,663
ANGESTELLTE
476,849
1297,61
340
ARBEITER
IN AUSBILDUNG
Insgesamt
537,50
1723,82
204
40
1255
284,284
1340,490
Effekte in der Varianzanalyse:
Allgemeiner Durchschnitt als Bezugspunkt:
y = 1724
j = 1:
Landwirt
j = 2:
Akadem.
Freier Beruf
j = 3:
Sonstige
Selbstständige
j = 4:
Beamte
j = 5:
Angestellter
j = 6:
Arbeiter
j = 7:
In Ausbildung
Schätzung mit
Vorinformation
über die Stellung
im Beruf
y1 = 1586
Effekt der Stellung
im Beruf auf das
Einkommen
y = 4530
y − y = + 2806
y = 2470
y − y = + 746
y = 2425
y − y = + 701
y = 1731
y − y= + 7
y = 1298
y − y = - 426
y=
y − y = - 1186
2
3
4
5
6
7
538
y − y = - 138
1
2
3
4
5
6
7
yi = Mittelwert der i-ten Gruppe
Die Effekte besagen also, wie stark eine Gruppe über oder
unter dem Durchschnitt liegt.
205
Zur Notation
Die erklärende Gruppeneinteilung umfasst k = 7 Gruppen.
j = 1: Landwirte
y1,1, y2,1, ..., y5,1
n1 = 5 Landwirte
(Person i = 1,...,5)
j = 2: Akadem. Freier Beruf
y1,2, y2,2, ..., y17,2
n2 = 17 Akadem. Freier Beruf
j = 3: Selbstständig, sonstige
j = 4: Beamte
j = 5: Angestellte
j = 6: Arbeiter
j = 7: In Ausbildung
206
Konzept von Eta2
(Symbol: η )
2
1. Situation: Ohne Vorinformation
Geschätzt wird der Schwerpunkt der Verteilung:
y (Arithmetisches Mittel)
Fehler:
E = ∑∑ (y
k
1
j =1 i =1
)
2
nj
ij
−y
207
2. Situation: Mit Vorinformation
yj
Prognose:
für die j-te Stellung im Beruf
nj
E 2 = ∑∑ (yij − y j )
k
2
j =1 i =1
Streuungszerlegung:
k
nj
∑∑ ( y
j =1 i =1
ij
k
nj
k
nj
− y ) = ∑∑ ( yij − y j ) + ∑∑ ( y j − y ) 2
2
2
j =1 i =1
j =1 i =1
Gesamtstreuung
nicht erklärte
Komponente
der Streuung
erklärte Komponente
der Streuung
SStotal
SSerror
SSexplained
208
Eta
2
=
SSexp lained
SStotal
1
SSexp lained
= n
1
SStotal
n
Interpretation von Eta2 η  : Anteil erklärter Varianz
2
Im Beispiel:
Die Unterschiede im Einkommen lassen sich zu 15,7 % auf (durch)
Unterschiede in der Stellung im Beruf zurückführen (erklären).
−E
E
Eta =
E
2
1
2
1
(PRE-Maß: Proportional reduction of error)
Im Beispiel: Der Fehler in der Vorhersage des Einkommens lässt sich
durch Kenntnis der Stellung im Beruf um 15,7 % reduzieren.
Erweiterung des Beispiels:
Falls man in den beruflichen Stellungen die Ausdifferenzierungen
nach Hierarchiestufen (Anzahl der Mitarbeiter, Entscheidungs- und
Anweisungsbefugnis sowie Qualifikationsstufen) berücksichtigt, so
lässt das Einkommen zu 39,3 % durch die Stellung im Beruf erklären.
Mit einem geschlechtsspezifischen Berufsstrukturmodell lässt sich das
Einkommen sogar zu 47,6 % erklären.
209
Darstellung der erklärten Varianz als Summe von Kovarianzen
mal Effekten
In der einfachen Varianzanalyse von y durch das Merkmal A lässt sich
die Varianz anschaulich darstellen durch das Zusammenwirken der
Kovarianz von y und 1A mit dem direkten Effekt y A − y von 1A
i
i
i
auf y.
k
ni
2
−
(
y
y
)
Ai
Erklärte Komponente der Varianz: ∑
n
i =1
In der Varianzanalyse:
(
)
nnii y A − y
s y ,1Ai =
s y,1Ai = nn ( y Ai i − y )
Die Kovarianz gewichtet also den Effekt
mit dem Anteil der Kategorie.
k
Erklärte Komponente der Varianz
ni
= ∑ ( y Ai − y ) ⋅ ( y Ai − y )
n
i =1
s y ,1
Ai
Effekt von
1A
(Diese Zerlegung mit Kovarianzen und Effekten gilt analog für die
multiple Regression.)
210
i
Im Beispiel:
(- 0,55) ⋅ (- 138) =
75,87
(+ 38,01) ⋅ (+ 2806) = 106.654,83
(+ 64,79) ⋅ (+ 746) = 48.334,86
(+ 47,48) ⋅ (+ 701) = 33.282,14
(+ 3,68) ⋅ (+
7) =
25,73
(- 115,41) ⋅ (- 426) = 49.164,81
(- 37,80) ⋅ (- 1186) = 44.831,75
Erklärte Komponente
der Varianz:
282.369,99
Gesamtvarianz = 2.250.000 000 / 1254 = 1.794.258,37
Anteil erklärter Varianz =
282.369,99
1.794.258,37
= 0,157 bzw. 15,7 %
1) Ins Gewicht fällt also einerseits, dass insbesondere Freiberufler,
aber auch sonstige Selbstständige und Beamte deutlich über dem
Durchschnitt liegen, und andererseits, dass Arbeiter und
insbesondere Auszubildende beim Einkommen deutlich unter
dem Durchschnitt liegen.
2) Ins Gewicht fällt gleichzeitig, dass der Anteil der Arbeiter z.B.
deutlich höher ist als der Anteil der Personen in Ausbildung.
211
Varianzanalyse
Meine „pfadanalytische“ Veranschaulichung der erklärten Komponente
der Varianz:
y A1 − y
1A1
n1
(y A − y )
n
y Ai − y
1Ai
1
ŷ
y Ak − y
ni
( y Ai − y )
n
1Ak
nk
(y A − y )
n
k
y
Die erklärte Komponente der Varianz ist gleich der Kovarianz von
ŷ . Die Kovarianz von y
Prädiktoren
1 Ai
und
ŷ
y
und
ergibt sich auch daraus, dass y mit den
kovariiert und die Prädiktoren
y Ai − y haben.
212
1 Ai
einen Effekt
ANOVA-Tabelle
Quadratsumme
BFR.:NETTOEINKOMM. Zwischen den
3,55E+08
EN
OFFENE+LISTENANG. Gruppen (Kombiniert)
A
BEFR.: JETZIGE
BERUFLICHE
STELLUNG
Innerhalb der Gruppen 1,90E+09
Insgesamt
2,25E+09
Zusammenhangsmaße
Eta
BFR.:NETTOEINKOMMEN
OFFENE+LISTENANGABE
BEFR.: JETZIGE
BERUFLICHE
STELLUNG
Eta-Quadrat
,397
,157
213
df
6
Mittel der
Quadrate
59087049,4 38,835 ,000
1248 1521480,0
1254
F
Signifikanz
ANOVA (Analysis of variance) in allgemeiner Formulierung
Varianzanalyse-Tabelle
Quadratsumme
Zwischen den
Gruppen (=erklärt)
degree of freedom
(df)
Mean Square
(MS)
k-1
SSbetween/ (k-1)
n-k
SSwithin/ (n-k)
k
∑ ni ( yi − y )2
i =1
k ni
∑ ∑ (yij − yi )2
Innerhalb der
Gruppen (=nicht
erklärt)
i =1 j =1
k ni
∑ ∑ (yij − y )2
Insgesamt
F=
MS between
MS within
n-1
i =1 j =1
ist unter Annahme von H0 verteilt nach Fk - 1, n – k .
Nullhypothese (H0):
Die Mittelwerte der Gruppen sind alle gleich. (Es
gibt keine Effekte der Stellung im Beruf auf das
Einkommen.)
Alternativhypothese (H1): Es gibt Effekte.
Die Nullhypothese wird zurückgewiesen, falls:
Fempir. > Fkritisch
oder falls:
Significance ≤ .05 (Significance = Wahrscheinlichkeit bzgl. aller theoretisch
möglichen Stichproben, einen so großen oder größeren Testwert zu erhalten
wie bzw. als in der vorliegenden Stichprobe.)
In dem Beispiel: Significance = 0,000
214
7.6.2 Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest
Ist ein Zusammenhang (statistisch) signifikant, d.h. gesichert?
Kreuztabelle:
Parteipräferenz
* Konfession
(Allbus 2002)
Parteipräferenz
* Konfession
Kreuztabelle
Konfession
Parteipräferenz
CDU/CSU
SPD
F.D.P.
B´90/Gruene
PDS
Gesamt
Evang
260
292,6
334
283,2
33
30,8
40
45,1
11
26,3
678
678,0
Anzahl
Erwartete Anzahl
Anzahl
Erwartete Anzahl
Anzahl
Erwartete Anzahl
Anzahl
Erwartete Anzahl
Anzahl
Erwartete Anzahl
Anzahl
Erwartete Anzahl
Roem-Kath
352
260,7
203
252,3
19
27,4
28
40,2
2
23,4
604
604,0
Chi-Quadrat-Tests
Asymptotische
Signifikanz
Wert
Chi-Quadrat
Pearson
Anzahl der gültigen Fälle
a.
219,75
df
a
8
,000
1652
0 Zellen (,0%) haben eine erwartete Häufigkeit kleiner 5. Die
minimale erwartete Häufigkeit ist 14,33.
215
Keiner
Religionsgem
101
159,7
153
154,5
23
16,8
42
24,6
51
14,3
370
370,0
Gesamt
713
713,0
690
690,0
75
75,0
110
110,0
64
64,0
1652
1652,0
Bezeichnungen
nij = absolute Häufigkeit der Fälle mit Ausprägung Ai und Bj
Randsummen:
l
ni+ oder ni. =
∑n
j =1
ij
(Zeilensummen)
k
n+j oder n.j =
∑ nij
(Spaltensummen)
i =1
216
Indifferenztafel
Bei statistischer Unabhängigkeit zu erwartende absolute
Häufigkeiten
Katholisch
und SPD:
252,3
690
SPD
604
Katholisch
1652
604 690
⋅
⋅1652 =
1652 1652
604 ⋅ 690
= 252,3 ; dagegen treten „Katholisch“ und
1652
„SPD“ tatsächlich nur unterproportional
(nämlich nur 203 mal) gemeinsam auf.
Katholisch
und CDU:
604 ⋅ 713
= 260,7 ; dagegen kommen „Katholisch“
1652
und „CDU/CSU“ tatsächlich
überproportional (nämlich 352 mal)
gemeinsam vor.
217
Test auf statistische Unabhängigkeit
2
χ
(
- Unabhängigkeitstest; lies: Chi Quadrat)
H0: A und B sind statistisch unabhängig in der Grundgesamtheit
(Nullhypothese)
H1: Alternativhypothese (Verneinung, d.h. keine statistische
Unabhängigkeit)
Kreuztabelle
1
A
(Wahl)
B (Konfession)
...
...
j
l
1
.
.
.
i
nij
ni+
n+j
n
.
.
.
k
Vergleich von:
- Beobachtete absolute Häufigkeit nij
- Unter Annahme des Modells der statistischen Unabhängigkeit
(d.h. unter Annahme von H0)
zu erwartende absolute Häufigkeit nˆ ij
218
pij := P( Ai  B j )
=
P( Ai ) ⋅ P( B j )
H0
pi + := P( Ai );
p+ j := P( B j )
Diese Wahrscheinlichkeiten pi+ und p+j (bezogen auf die
Grundgesamtheit) werden auf Grund der Stichprobe geschätzt.
ˆij die unter Annahme des Modells der
Für Zelle (i, j) bezeichnet n
statistischen Unabhängigkeit (d.h. unter H0) zu erwartende
(absolute) Häufigkeit:
n pij = n pi+ p+j
H0
nˆij =
ni + n+ j
n
n n
Wahrscheinlichkeiten pi+ und p+j geschätzt auf Grund der
Stichprobe.
219
Der Vergleich von nij und nˆ ij wird zusammenfassend (über alle i
und j hinweg) durchgeführt:
k
l
Testgröße = ∑∑
i =1 j =1
(n − nˆ )
2
ij
ij
nˆ
ij
Die Testgröße variiert mit n (z.B. mit der Verdopplung der Werte
in einer Tabelle würde sich auch die Testgröße verdoppeln), was
besagt, dass auf der Basis größerer Stichproben (d.h. mehr
Information) kleinere Unterschiede als signifikant ausgewiesen
werden können.
Die Testgröße misst die Abweichung von der Nullhypothese (=
statistische Unabhängigkeit).
Diese Testgröße bildet den Maßstab für die Prüfung der
Nullhypothese; ihre Verteilung ist aus der mathematischen
Statistik bekannt.
χ
2
( k −1)⋅(l −1) -Verteilung.
Diese rechnerisch bekannte Verteilung bildet den Maßstab für den
Hypothesentest.
Die Testgröße ist verteilt nach der
Der Parameter df = (k – 1) * ( l – 1) heißt Freiheitsgrad (degree of
freedom).
220
Freiheitsgrade
df (degree of freedom) = (k – 1) ( l – 1)
l- 1
Randverteilung
k-1
Randverteilung
Im Beispiel: k = 5, = 3, (k – 1) ( l – 1) = 8
Der Mittelwert von
χ
2
( k −1)(l −1) ist
(k − 1)(l − 1) .
Der Freiheitsgrad ist also ein
Indikator für die Größenordnung der Situation bzw. Tabelle.
Kritischer Wert nach Tabelle:
χ
2
0,95;8
= 15,5
Wert der Testgröße für das empirische Beispiel: 219,75
221
Die χ 2 - Verteilung als Maßstab für die Testgröße ist in Form
einer Tabelle verfügbar. Dabei sind die kritischen Werte für 5 %
(bzw. 1 %) Irrtumswahrscheinlichkeit angegeben.
(Konvention
in
den
Sozialwissenschaften:
5
%
Irrtumswahrscheinlichkeit; 95 % Sicherheit.)
Wahrscheinlichkeit
χ (2k
− 1)( l − 1)
5%
Kritischer Wert
(für Nullhypothese)
Für den Fall der statistischen Unabhängigkeit gilt: Die Testgröße
ist gleich Null.
222
Significance
5%
S
Kritischer Wert
(für Nullhypothese)
Testwert
(für die Stichprobe)
Significance (S) = Wahrscheinlichkeit bzgl. aller theoretisch
möglichen Stichproben, einen so großen oder größeren Wert zu
erhalten, wie bzw. als in der vorliegenden Stichprobe.
D.h.: Der Anwender muss inspizieren, ob:
Significance ≤ .05
223
Extremwerte des Maßstabs:
Statistische
Unabhängigkeit
Signifikanz
Wert der
Testgröße
Significance
χ
S = 1.0
2
=0
χ
χ
empirisch
χ
≥
„Sehr starke“
Abhängigkeit
S ≤ .05
2
2
kritisch
2
sehr groß
Im Beispiel:
χ
2
8 = 219,75
224
S gegen 0
Im Beispiel:
S = .0000 ...,
aber nicht
perfekt 0.
Signifikanter Zusammenhang
Falls die Nullhypothese („Kein Zusammenhang“) an den Daten
zurückgewiesen werden kann, spricht man von einem
signifikanten (significant (englisch): gesichert) Zusammenhang.
[S ≤ .05]
Dies ist die Konvention in den Sozialwissenschaften:
95 % Sicherheitswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau)
5 % Irrtumswahrscheinlichkeit
Warnung:
Falls man alle Variablen mit allen Variablen korreliert, sind 5 %
der Zusammenhänge rein zufällig „signifikant“.
Einfluss des Stichprobenumfangs
Bei einer großen Stichprobe lassen sich
Zusammenhänge noch als signifikant nachweisen.
225
auch
kleine
8.5.1 Chi-Quadrat-basierte Maße (Kontingenzmaße)
Zusammenhangsmaße auf Basis von χ werden durch Normierung
2
gewonnen,
wobei
insbesondere
der
Stichprobenumfangs neutralisiert wird.
(Voraussetzung: Nominales Messniveau)
Einfluss
des
┌
Contingency coefficient
χ
χ +n
2
C=
└
2
0 ≤ C <1
┌
Phi =
2
χ2
n
hat ein Maximum von min {k − 1, l − 1}.
Phi ist deshalb für 2 x 2-Tabellen (Vierfeldertafel) geeignet,
nicht aber für größere Tabellen mit k und l größer 2.
└
226
Cramérs V
V =
x
2
n ⋅ min{k − 1, l − 1}
0 ≤V ≤1
(V kann den Wert 1 annehmen, was bei C nicht möglich ist.)
In dem Beispiel erhält man für die Bundesrepublik:
V = 0,26
Zugehöriger Test:
χ
2
- Unabhängigkeitstest; der Test ergibt:
Significance = 0,0
Maßzahlen und zugehörige Tests
Die einzelnen Maßzahlen wie r oder auch τ b haben jeweils einen
eigenen Signifikanztest, d.h. nicht den
χ
2
- Test. Die allgemeine Struktur des Signifikanztests lautet
aber auch dann:
H0: Kein Zusammenhang
H1: Zusammenhang ungleich Null
227
Symmetrische Maße
Wert
Nominalbzgl. Nominalmaß
Cramer-V
Kontingenzkoeffizient
Anzahl der gültigen Fälle
Näherungs
weise
Signifikanz
,258
,343
1652
a. Die Null-Hyphothese wird nicht angenommen.
b. Unter Annahme der Null-Hyphothese wird der asymptotische
Standardfehler verwendet.
228
,000
,000
7.2 Grundbegriffe des Testens
H0: Nullhypothese
H1: Alternativhypothese
Klassischer Hypothesentest
(Beispiel: χ
- Unabhängigkeitstest; Test, ob Zusammenhang
vorliegt zwischen zwei (hier: nominalen) Merkmalen)
2
Nullhypothese: Kein Zusammenhang der Merkmale (bzw.
statistische Unabhängigkeit)
Alternativhypothese: Zusammenhang der Merkmale
229
Gedankenexperiment:
Tatsächlicher H0
Zustand richtig
H1
richtig
Entscheidung
Annahme von H0 richtig
entschieden
Fehler 2. Art
Wahrscheinlichkeit = 1 -
α
Annahme von H1 Fehler 1. Art
Wahrscheinlichkeit = α
Wahrscheinlichkeit = β
Richtig
entschieden
Wahrscheinlichkeit = 1 - β
Konvention in den Sozialwissenschaften:
α = 0,05
(5 % Irrtumswahrscheinlichkeit)
1 - α = 0,95
(95 % Sicherheitswahrscheinlichkeit)
Warnung: Der β -Fehler ist nicht einfach das Komplement des
α -Fehlers. Sondern es gilt nur die Aussage:
Je kleiner der α - Fehler, desto größer der β - Fehler.
230
Beispiel: Einführung eines neuen Medikaments
95 % Sicherheitsniveau:
Ein neues Medikament erst einsetzen, wenn es mit 95 % Sicherheit
nicht mehr schadet als hilft.
(Andererseits gibt es den β - Fehler, ein Medikament nicht
einzusetzen, obwohl es mehr hilft als es schadet.)
Wenn man diese Sicherheit für zu gering hält, kann man das
Sicherheitsniveau erhöhen:
99 % Sicherheitsniveau:
Ein neues Medikament erst einsetzen, wenn es mit 99 % Sicherheit
nicht mehr schadet als hilft.
(Andererseits steigt jetzt der β - Fehler, ein Medikament nicht
einzusetzen, obwohl es mehr hilft als es schadet.)
231
Tatsächlicher (H0 richtig)
Zustand Medikament
negativ
Entscheidung
(Annahme von H0) Richtig
Medikament nicht entschieden mit
einsetzen
Wahrscheinlichkeit = 1 - α
(H1 richtig)
Medikament
positiv
(Annahme von H1) Falsch
Medikament
entschieden mit
Wahrscheinlicheinsetzen
keit α
Richtig
entschieden mit
Wahrscheinlichkeit 1 - β
232
Falsch
entschieden mit
Wahrscheinlichkeit β
8.5.2. Maße der prädiktiven Assoziation: Lambda,
Unsicherheitskoeffizient, Goodmans und Kruskals
Tau, Qualitative Varianzanalyse ................................235
Zusammenhangsmaße für nominales Messniveau
Die Maßzahl Lambda (λ )
Beispiel:
Kreuztabelle: Parteipräferenz * Konfession
Anzahl
Parteipräferenz CDU/CSU
SPD
F.D.P.
B´90/Gruene
PDS
Gesamt
Konfession
Keiner
Evang. Roem-Kath. Religionsgem.
260
352
101
334
203
153
33
19
23
40
28
42
11
2
51
678
604
370
233
Gesamt
713
690
75
110
64
1652
Vorhersage der Wahlentscheidung
1. Situation: Ohne Vorinformation über die Konfession
Vorhersage: Modalwert (Mittelwert auf nominalem Messniveau)
Im Beispiel: CDU/CSU
Richtige Prognose für 713 Fälle
Fehler: E1 = 1652 – 713 = 939
234
2. Situation: Mit Vorinformation über die Konfession
Vorinformation
Prognose
Anzahl der
falschen
Prognosen
Evangelisch
SPD
678-334
Anzahl der
falschen
Prognosen bei
den Protestanten
Katholisch
CDU
604-352
Anzahl der
falschen
Prognosen bei
den Katholiken
Ohne Konfession
SPD
370-153
Anzahl der
falschen
Prognosen bei
den Konfessionslosen
E 2 = ∑ = 1652 − 839
= 813
− E 2 939 − 813 126
E
1
λ=
=
=
= 13,4% (lambda)
939
939
E1
Proportionale Reduktion des Fehlers der Vorhersage der
Wahlentscheidung durch Kenntnis der Konfession.
235
Im Beispiel: λ = 0,134
Der Prognosefehler bei der Vorhersage der Wahlentscheidung
wird durch die Kenntnis der Konfession um 13,4 % reduziert.
0 ≤ λ ≤1
(λ = 0) ⇔ (E1 = E 2 )
⇔ (Alle Spaltenmodalwerte fallen in die
Modalzeile.)
Wenn die bedingten Prognosen alle mit der Prognose ohne
Vorinformation übereinstimmen, dann verbessert man sich mit der
Vorinformation nicht in der Prognose.
Beispiel für λ = 1 :
(⇔ E
2
= 0)
Wahl
Konfession
x
x = besetzte Zelle
(sonst leer)
x
x
x
x
Genauer:
=1
W ,K
λ
λ
K ,W
D.h.:
<1
λ
ist asymmetrische Maßzahl.
236
„Prognose“ versus „Varianz erklären“
Lambda ist ein PRE-Konzept, d.h. arbeitet als Maß der prädiktiven
Assoziation mit der Grundidee der Prognose.
Andererseits handelt es sich nicht um eine statistische Erklärung
des Typus „Variation von y zurückführen auf Variation in x“.
Beim Korrelationseffizienten und bei Eta dagegen kann man mit
beiden Grundideen argumentieren.
237
Lambda ist ein relativ grobes Maß
Fiktives Beispiel
CDU
SPD
Protestantisch
51
49
Katholisch
100
0
Hier ist λ = 0, obwohl die bedingten Wahrscheinlichkeiten für die
Wahlentscheidung in den Teilgruppen der Protestanten und der
Katholiken recht verschieden sind.
λ ist einfach interpretierbar, aber rechnerisch grob, da alle
Änderungen jenseits der Modalhäufigkeiten nicht in die Maßzahl
eingehen.
238
Rechnerisch genauer, weil alle Zellenhäufigkeiten in die Maßzahl
eingehen:
Uncertainty Coefficient
Dieses Konzept ist aus der mathematischen Informationstheorie.
Es geht um die Unsicherheit bei der Prognose eines Ereignisses y
(z.B. Wahlentscheidung) ohne bzw. mit Vorinformation ( U
y
bzw.
U y/x
).
Uncertainty Coefficient
U y −U y x
Uy
Hierbei handelt es sich um ein PRU-Konzept.
(PRU = proportional reduction of uncertainty)
Die Unsicherheit bei der Vorhersage der Wahlentscheidung wird
durch Kenntnis der Konfession um 5,1 % reduziert.
┌
Erläuterung:
Falls das zu prognostizierende Phänomen stark streut, so ist
die Unsicherheit der Vorhersage hoch.
Sichere bzw. häufige Ereignisse oder Phänomene mit geringer
Streuung lassen sich einfacher vorhersagen.
└
In dem Beispiel:
Output für „Parteipräferenz (V98 neu) abhängig“
PRU = 0,051
239
Goodmans und Kruskals
τ
Streuung:
Qualitative Varianz von y
Var (y)
Qualitative Varianz von y unter Bedingung x
Var ( y x )
Maßzahl τ =
Var ( y ) − Var ( y x )
Var ( y )
Es handelt sich also um die proportionale Reduktion der Streuung
in der abhängigen Variablen y dadurch, dass die Ausprägungen der
unabhängigen Variablen x festliegen.
In dem Beispiel:
τ = 0,037
(Goodman und Kruskal (1954) begründeten diese Maßzahl mit
dem Vergleich von „random proportional prediction“ und
„conditional proportional prediction“. Light und Margolin (1971)
sowie Magidson (1981) kamen mit der qualitativen Varianzanalyse
ebenfalls zu dieser Maßzahl.)
240
Richtungsmaße
Nominal- bzgl.
Nominalmaß
Lambda
Goodman-und-KruskalTau
Unsicherheitskoeffizient
Symmetrisch
v98neu abhängig
Konfession Befr.:
abhängig
v98neu abhängig
Konfession Befr.:
abhängig
Symmetrisch
v98neu abhängig
Konfession Befr.:
abhängig
AsymptotiNäherungsscher
weise
Standard- Näherungsa
b
Wert
fehler
weises T
Signifikanz
,136
,023
5,697
,000
,134
,000
,029
4,352
,138
,026
,037
,007
,000
,059
,008
,000
,053
,051
,007
,007
7,079
7,079
,000
d
,000
,056
,008
7,079
,000
a. Die Null-Hyphothese wird nicht angenommen.
b. Unter Annahme der Null-Hyphothese wird der asymptotische Standardfehler verwendet.
c. Basierend auf Chi-Quadrat-Näherung
d. Chi-Quadrat-Wahrscheinlichkeit für Likelihood-Quotienten.
241
4,909
,000
c
c
d
d
Kreuztabelle: Parteipräferenz (v98neu) * Konfession Befr.: Kreuztabelle (Allbus 2002)
Konfession Befr.:
v98neu
CDU/CSU
SPD
F.D.P.
B'90/Gruene
PDS
Gesamt
Anzahl
% von v98neu
% von Konfession Befr.:
% der Gesamtzahl
Anzahl
% von v98neu
% von Konfession Befr.:
% der Gesamtzahl
Anzahl
% von v98neu
% von Konfession Befr.:
% der Gesamtzahl
Anzahl
% von v98neu
% von Konfession Befr.:
% der Gesamtzahl
Anzahl
% von v98neu
% von Konfession Befr.:
% der Gesamtzahl
Anzahl
% von v98neu
% von Konfession Befr.:
% der Gesamtzahl
Evang
260
36,5%
38,3%
15,7%
334
48,4%
49,3%
20,2%
33
44,0%
4,9%
2,0%
40
36,4%
5,9%
2,4%
11
17,2%
1,6%
,7%
678
41,0%
100,0%
41,0%
242
Roem-Kath
352
49,4%
58,3%
21,3%
203
29,4%
33,6%
12,3%
19
25,3%
3,1%
1,2%
28
25,5%
4,6%
1,7%
2
3,1%
,3%
,1%
604
36,6%
100,0%
36,6%
Keiner
Religionsgem
101
14,2%
27,3%
6,1%
153
22,2%
41,4%
9,3%
23
30,7%
6,2%
1,4%
42
38,2%
11,4%
2,5%
51
79,7%
13,8%
3,1%
370
22,4%
100,0%
22,4%
Gesamt
713
100,0%
43,2%
43,2%
690
100,0%
41,8%
41,8%
75
100,0%
4,5%
4,5%
110
100,0%
6,7%
6,7%
64
100,0%
3,9%
3,9%
1652
100,0%
100,0%
100,0%
Effekte der Konfession auf die Parteipräferenz:
Evangelisch:
Katholisch:
Konfessionslos:
SPD – Wahl
CDU/CSU – Wahl
B90/Grünen – Wahl
PDS
FDP
CDU/CSU – Wahl
243
49,3 – 41,8 = + 7,5 %
58,3 – 43,2 = + 15,1 %
11,4 – 6,7 = + 4,7 %
13,8 – 3,9 = + 9,9 %
6,2 – 4,5 = + 1,7 %
27,3 – 43,2 = – 15,9 %
Qualitative Varianzanalyse: Erklärung der Wahlpräferenzen
CDU/CSU – Präferenz
Bei allen Befragten : 43,2 % CDU/CSU – Präferenz
Varianz:
P (Ai)(1 – P (Ai))
= 0,432 ⋅ 0,568 = 0,245
Nicht erklärt ist die Varianz innerhalb der Konfessionen:
Bei den Protestanten: 38,3%
Varianz: 0,383 ⋅ 0,617 = 0,236
(D.h. etwas weniger Streuung)
Bei den Katholiken: 58,3%
Varianz: 0,583 ⋅ 0,417 = 0,243
(D.h. etwas mehr Streuung als bei den Protestanten,
weil 0,617 größer als 0,583 ist. Die höchste Streuung
gibt es im Fall: 0,5 ⋅ 0,5 )
Bei den Konfessionslosen: 27,3% Varianz: 0,273 ⋅ 0,727 = 0,198
(Dies ist die homogenste Gruppe.)
Insgesamt nicht erklärte Varianz:
(
∑ P (B j ) ⋅ Var Ai B j
j
)
= 0,410 ⋅ 0,236 + 0,366 ⋅ 0,243 + 0,224 ⋅ 0,198
= 0,230
Erklärte Varianz bei der CDU/CSU – Präferenz
0,245 – 0,230 = 0,015
Anteil erklärter Varianz
0,015
= 6,1 %
0,245
244
Erklärte Varianz als gewogene Effektsumme
Die erklärte Varianz erhält man auch als gewichtete Summe der
∑ P ( Ai ∩ B j ) (P ( Ai / B j ) − P ( Ai ))
l
Effekte:
j =1
Effekt evangelisch:
Effekt katholisch:
Effekt konfessionslos:
38,3 – 43,2 = – 4,9 %
58,3 – 43,2 = + 15,1 %
27,3 – 43,2 = – 15,9 %
Die Katholiken haben also eine deutlich überproportionale
Parteipräferenz für die CDU/CSU, die Konfessionslosen deutlich
unterproportional.
Erklärte Varianz: = 0,157 ⋅ (-4,9 %) + 0,213 ⋅ (+15,1 %) + 0,061 ⋅ (-15,9 %)
= 0,015
SPD – Präferenz
Bei allen Befragten: 41,8 %
Varianz: 0,418 ⋅ 0,582 = 0,243
Effekt evangelisch:
Effekt katholisch:
Effekt konfessionslos:
49,3 – 41,8 = +7,5 %
33,6 – 41,8 = – 8,2 %
41,4 – 41,8 = – 0,4 %
Die Protestanten neigen überproportional, die Katholiken
unterproportional zur SPD.
Erklärte Varianz = 0,202 ⋅ (+0,075) + 0,123 ⋅ (-0,082) + 0,093 ⋅ (-0,004)
= 0,005
Anteil erklärter Varianz =
0,005
= 2,1 %
0,243
245
FDP – Präferenz
Bei allen Befragten: 4,5 %
Varianz: 0,045 ⋅ 0,955 = 0,043
Effekt evangelisch:
Effekt katholisch:
Effekt konfessionslos:
4,9 % – 4,5 % = + 0,4 %
3,1 % – 4,5 % = – 1,4 %
6,2 % – 4,5 % = + 1,7 %
Es gibt keine starken Effekte der Konfession.
Erklärte Varianz = 0,020 ⋅ (+0,004) + 0,012 ⋅ (-0,014) + 0,014 ⋅ (+0,017)
= 0,00015
Anteil erklärter Varianz =
0,00015
= 0,3 %
0,043
B’90/Grüne – Präferenz
Bei allen Befragten:
6,7 %
Varianz: 0,067 ⋅ 0,933 = 0,0625
Effekt evangelisch:
Effekt katholisch:
Effekt konfessionslos:
5,9 – 6,7 = – 0,8 %
4,6 – 6,7 = – 2,1 %
11,4 – 6,7 = + 4,7 %
Die Konfessionslosen neigen überproportional zu den Grünen.
Erklärte Varianz = 0,024 ⋅ (-0,008) + 0,017 ⋅ (-0,021) + 0,025 ⋅ (+0,047)
= 0,000626
Anteil erklärter Varianz =
0,000626
= 1,0 %
0,0625
246
PDS – Präferenz
Bei allen Befragten:
3,9 %
Varianz: 0,039 ⋅ 0,961 = 0,037479
Effekt evangelisch:
Effekt katholisch:
Effekt konfessionslos:
1,6 – 3,9 = – 2,3 %
0,3 – 3,9 = – 3,6 %
13,8 – 3,9 = + 9,9 %
Die Konfessionslosen neigen überproportional zur PDS.
Erklärte Varianz = 0,007 ⋅ (-0,023) + 0,001 ⋅ (-0,036) + 0,031 ⋅ (+0,099)
= 0,002872
Anteil erklärter Varianz =
0,002872
= 7,7 %
0,037479
Die PDS – Präferenz (zu 7,7 %) und die CDU/CSU – Präferenz (zu
6,1 %) lassen sich also am besten durch die Konfession bzw.
Konfessionslosigkeit erklären.
Insgesamt
Varianz der Parteipräferenz:
0,245 + 0,243 + 0,043 + 0,0625 + 0,037479
= 0,630979
Erklärte Varianz bei Parteipräferenz:
0,015 + 0,005 + 0,00015 + 0,000626 + 0,002872
= 0,023648
Anteil erklärter Varianz = 3,747 %
247
Allgemeine Formulierung der Zusammenhänge
Var (Ai) = P (Ai) (1 – P (Ai))
= ∑ (Pij (1 − P( Ai )))
l
j =1
 

Pij
Pij


+
− P( Ai ) 
= ∑ Pij 1 −


j =1

  P (B j ) P (B j )
l

Pij 
Pij  l  P ( Aj ∩ B j )

 + ∑ Pij 

(
)
−
= ∑ P(B j )
−
1
P
A
i 



j
P (B j )  P (B j ) j =1  P (B j )

Var (Ai/Bj)
Effekt von Bj auf Ai
Erklärte Komponente der
Varianz
Nicht erklärte Komponente
der Varianz (=Streuung
innerhalb der Bj)
Var (A) = ∑ Var ( Ai ) = ∑ Pi (1 − Pi ) = 1 − ∑ Pi 2
k
k
k
i =1
i =1
i =1
k l
 P

Erklärte Varianz: ∑ ∑ Pij  ij − P( Ai )
i =1 j =1
 P (B j )

(Gewogene Effektsumme)
248
k l 
k
P 
Erklärte Varianz = 1 − ∑ Pi 2  −  ∑ ∑ Pij 1 − ij  
 i =1 j =1

 i =1 
 P (B j ) 

k
Pij2
= ∑∑
− ∑ Pi 2
i =1 j =1 P (B )
i =1
j
k
l
Goodman und Kruskal (1954) gaben die erklärte Varianz auch in
folgender Form an:
(P
∑∑
− Pi Pj )
Pj
2
ij
(Abkürzende Notation: Pi = P( Ai ) , Pj = P (B j ) )

Beweis:
Pij2
∑∑ P
− 2∑∑ Pij Pi + ∑∑ Pi 2 Pj
Pij2
− 2∑ Pi ∑ Pij + ∑ Pi 2 ∑ Pj
i
j
= ∑∑ P
i
i
j
j
i
j
i
j
Pij2
=
j
∑∑ P − ∑ P
i
Pi
2
i
i
j
j
i

249
j
j
1
Darstellung der erklärten Varianz als Summe von Kovarianzen mal
Effekten
Die erklärte Varianz der Parteipräferenz lässt sich auch darstellen als
Summe von Kovarianzen von Parteipräferenz und Konfession und
entsprechenden Effekten der Konfession auf die Parteipräferenz.
P

ErklärteVarianz : ∑ ∑ (Pij − Pi Pj )  ij − Pi 
i j
 Pj

Kovarianz
Kovarianz
S y , 1B = Pj ( y j − y )
j

 Pij

S1A , 1B = Pj  − Pi 
i
j

 Pj
Effekt
Effekt
(Varianzanalyse)
(Qualitative Varianzanalyse)
= Pij − Pi Pj
Die Kovarianz ist bei nominalen Merkmalen gleich der Abweichung von
der statistischen Unabhängigkeit.
250
Im Beispiel:
CDU/CSU-Präferenz:
Evangelisch
Katholisch
Konfessionslos
(-0,020) · (-0,049) = 0,001
(+0,055) · (+0,151) = 0,008
(-0,036) · (-0,159) = 0,006
Σ = 0,015
Am stärksten ins Gewicht für die Erklärung fallen die Katholiken (0,008), gefolgt
von den Konfessionslosen.
SPD-Präferenz:
Evangelisch
Katholisch
Konfessionslos
(+0,031) · (+0,075) = 0,0023
(-0,030) · (-0,082) = 0,0025
(-0,001) · (-0,004) = 0,0000
Σ = 0,005
FDP-Präferenz:
Evangelisch
Katholisch
Konfessionslos
(+0,002) · (+0,004) = 0,000010
(-0,005) · (-0,014) = 0,000072
(+0,004) · (+0,017) = 0,000065
Σ = 0,00015
B’90/Grüne-Präferenz:
Evangelisch
Katholisch
Konfessionslos
(-0,003) · (-0,008) = 0,00003
(-0,008) · (-0,021) = 0,00016
(+0,011) · (+0,047) = 0,00049
Σ = 0,0006
PDS-Präferenz:
Evangelisch
Katholisch
Konfessionslos
(-0,009) · (-0,023) = 0,0002
(-0,013) · (-0,036) = 0,0005
(+0,022) · (+0,099) = 0,0022
Σ = 0,0029
Am stärksten ins Gewicht für die Erklärung fallen die Konfessionslosen.
Insgesamt: Erklärte Varianz bei Parteipräferenz = 0,015 + 0,005 + 0,00015 +0,0006
+ 0,0029 = 0,02365
Anteil erklärter Varianz =
0,02365
= 0,037 bzw. 3,7 %
0,63098
251
Qualitative Varianzanalyse
Meine „pfadanalytische“ Veranschaulichung der erklärten Varianz:
Pi1
− Pi
Pi
1B1
Pij
− Pi
Pj
Pi1 − Pi P1
1B j
Pij − Pi Pj
1̂A
i
Pil
− Pi
Pl
1B
l
Pil − Pi Pl
1A
i
Die erklärte Varianz ist gleich der Kovarianz von 1A und 1̂A . Die
i
i
Kovarianz von 1A und 1̂A ergibt sich auch daraus, dass 1A mit den
Pij
Prädiktoren 1B kovariiert und die Prädiktoren 1B einen Effekt
− Pi
Pj
haben.
i
i
i
j
j
252
8.6. Der Spezielfall der Vier-Felder-Tafel
(für alle Messniveaus).............................................................249
Anschauliche Maßzahl: Prozentsatzdifferenz
(Richtung der Prozentuierung:
unabhängigen Variablen)
Teilgruppen
bilden
nach
der
Beispiel:
Gewerkschaftsmitgliedschaft (x)
SPDAffinität (y)
ja
ja
60,1
nein
31,0
nein
39,9
69,0
100 %
100 %
Prozentdifferenz:
60,1 % - 31,0 % = 29,1 %
Gewerkschaftsmitglieder und Nicht-Mitglieder unterscheiden sich in
der SPD-Affinität um 29,1 %.
Output:
SOMERS´ D = 0,29
WITH SPD DEPENDENT
(„Ordinal“ nur im Hinblick auf die Anordnung der Codierungen.)
Asymmetrische Fragestellung, deshalb:
SOMERS´D
253
Allgemein lautet eine Vierfeldertafel für die absoluten
Häufigkeiten:
x
y a
c
Im Beispiel:
161 238 399
107 529 636
268 767
b
d
Prozentsatzdifferenz:
a
a+c
b
b+d
161 238
−
= 0,601 − 0,310
268 767
(Zwei Teilgruppen bezüglich x, verglichen bezüglich erster
Ausprägung von y.)
ad − bc
=
(a + c) (b + d )
Nc = ad
Nd = bc
Tx = ac + bd
Ty = ab + cd
254
Das asymmetrische Zusammenhangsmaß Somers`d lautete:
d yx
=
[ y = f ( x)]
Nc − Nd
n(n − 1)
− Tx − Txy
2
Nc − Nd
=
N c + N d + Ty
┌
In Vierfeldertafel:
ad − bc
(a + c) (b + d )
└
D.h.: Somers`d führt im Fall der Vierfeldertafel zur
anschaulichen Maßzahl Prozentsatzdifferenz.
255
Berechnungen für das Beispiel:
Gewerkschaftsmitgliedschaft (x)
SPD-Identifia = 161
b = 238
kation (y)
c = 107
d = 529
Somers`dyx =
ad − bc
(a + c) (b + d )
161 ∗ 529 − 238 ∗ 107
=
(161 + 107) (238 + 529)
85169 − 25466
=
268 ∗ 767
59703
=
20556
= 0,29
256
Effekte
ja
SPD
nein
Gewerkschaftsmitgliedschaft
ja
nein
60,1
31,0
39,9
69,0
100 %
100 %
38,6
(399)
61,4
(636)
100 %
(1035)
Effekt der Gewerkschaftsmitgliedschaft auf die SPD-Affinität:
60,1 – 38,6 = 21,5 %
D.h.: Gewerkschaftsmitglieder liegen mit ihrer SPDAffinität 21,5 % über dem Durchschnitt.
Effekt der Nicht-Gewerkschaftsmitgliedschaft auf die SPD-Affinität:
31,0 – 38,6 = -7,6 %
D.h.: Nicht-Gewerkschaftsmitglieder liegen mit ihrer
SPD-Affinität -7,6 % unter dem Durchschnitt.
Die Effekte liegen also 21,5 % über bzw. 7,6 % unter dem
Durchschnitt. Diese „Spannweite“ von 21,5 + 7,6 % ergibt die
Prozentsatzdifferenz von 29,1 %.
(Anteilswerte sind Spezialfälle des arithmetischen Mittels für y = 1A
bzw. x = 1B. Deshalb sind die Effekte analog formuliert wie in der
Varianzanalyse.)
257
Symmetrische Zusammenhangsmaße in Vier-Felder-Tafel:
Phi versus Q
a
b a+b
c
d c+d
a+c b+d
γ
heißt in diesem Fall: Q
ad − bc
Yules Q =
ad + bc
τ
b

=


N −N
N +N
c
c



d
d
(und r) führen in diesem Spezialfall (Vier-Felder-Tafel) zu
Phi:
ad − bc
Φ=
(a + b) (c + d ) (a + c) (b + d )
(Lies: Phi)
258
Beispiel:
Gewerkschaftsmitgliedschaft
SPD-Identifikation
Ja
Nein
Q (bzw. GAMMA)
Φ (PHI)
Ja
161
107
268
= 0,54
= 0,26
[KENDALL´S TAU B = 0,26]
[PEARSON´S
R = 0,26]
259
Nein
238
529
767
399
636
1035
Q (bzw. GAMMA) ist gröbere Maßzahl als
(bzw. TAU B).
Φ
Beispiel:
150 0 


0
150


100 0 


100
100


b=c=0
b=0
Q=
ad
=1
ad
Q=
ad
=1
ad
(Situationen recht verschieden, aber gleiches Rechenergebnis.)
1
Φ=
2
ad
Φ=
=1
ad
(Mit Φ kann man die Situationen gut unterscheiden.)
(Q = 1)
⇔ (b = 0 oder c = 0)
( Φ = 1)
⇔ (b = 0 und c = 0)
Also Empfehlung:
Asymmetrische Maßzahl:
%-Differenz (Spezialfall von Somers’D)
Symmetrische Maßzahl:
Phi (Spezialfall von
260
τ b und r)
Berechnung für das Beispiel
100 0 


100 100 
100 ∗ 100
Φ=
100 ∗ 200 ∗ 200 ∗ 100
100 ∗100
=
100 ∗ 200
=
1
2
261
Die Kovarianz als Quasi-Maßzahl der Abweichung von der
statistischen Unabhängigkeit
Β
A
B
a
b
Ā
a + b = nA
c
d
a + c = nB
b + d = nB
c + d = nA
n
Die Abweichung von der statistischen Unabhängigkeit lässt
sich zum Beispiel messen als:
P (A ∩ B) - P(A) ⋅ P(B) =
a a+b a+c
−
⋅
n
n
n
a(a + b + c + d) − (a + b)(a + c)
n2
ad - bc
=
n2
=
Es wird nun gezeigt, dass dies genau die Kovarianz ist.
262
Wenn man Anteilswerte als Spezialfall von metrischen Konzepten erhalten will,
vercodet man jeweils mit 1 und 0.
B
A
1
a
c
a+c
1
0
Kovarianz
s AB =
0
b
d
b+d
a+b
c+d
n
1
∑ (x i − x)(y i − y)
n
=
1
1
 1

x i y i −  ∑ x i  ∑ y i 
∑
n
n
 n

=
a a + b a + c n A∩ B n A n B
−
⋅
=
−
⋅
n
n
n
n
n
n
= P(A ∩ B) − P(A) ⋅ P(B)
Die Berechnungsweise der Kovarianz wird nun dazu verwendet, die Varianzen sA2 =
sAA bzw. sB2 = sBB zu bestimmen.
s AB =
ad - bc
= P (A ∩ B) - P(A) ⋅ P(B)
n2
s 2A = s AA =
B
A
(a + b)(c + d) n A n A
=
= P (A) ⋅ P(A)
n2
n2
= P (A)(1 − P(A))
a
c
b
d
A
A a+b
0
0
c+d
= P (A) − P(A) 2
s 2B = s BB
(a + c)(b + d) n B n B
=
= 2 = P (B) ⋅ P( B)
n2
n
= P (B)(1 − P(B))
= P (B) − P(B) 2
263
B
B a+c
0
0
b+d
In dem Beispiel:
P( A ∩ B ) − P( A) ⋅ P(B ) = 0,511 − 0,614 ⋅ 0,741 = 0,614 − 0,455 = 0,159
Die Kombination SPD-Präferenz und Gewerkschaftsmitgliedschaft ist um
15,9 % häufiger, als bei Unabhängigkeit zu erwarten. Die Kovarianz beträgt
deshalb: 0,159
264
Phi als Spezialfall von r:
r=
r=
s xy
sxs y
ad - bc
n2
=
n A n A nB nB
n2
n2
s AB
=
s A sB
=
ad − bc
n2
(a + b)(c + d) (a + c)(b + d)
n2
n2
ad − bc
=Φ
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
Die Prozentsatzdifferenz mit SPD-Präferenz als abhängiger Variable beträgt:
D A = 0,601 − 0,310 = 0,291
Die Prozentsatzdifferenz mit Gewerkschaftsmitgliedschaft als abhängiger
161 107
Variable lautet: DB =
−
= 0,404 − 0,168 = 0,236
399 636
Das Produkt der beiden asymmetrischen Maße ergibt genau Phi2.
D A ⋅ DB = 0,291 ⋅ 0,236 = 0,068 = 0,26 2 = Phi 2
265
Phi
als
(geometrisches)
Mittel
der
beiden
Anteilsdifferenzen
(Prozentsatzdifferenzen)
Betrachtet man A als zu erklärende Variable, so lauten die Differenzen der
bedingten Wahrscheinlichkeiten bzw. der Anteile:
DA =
P(A ∩ B) P(A ∩ B)
−
P(B)
P( B)
=
a
b
−
a+c b+d
=
s
ad − bc
= AB
(a + c)(b + d) s 2B
Dieser asymmetrische Koeffizient entspricht dem Beta-Koeffizienten der
Regression.
DB =
P(B ∩ A) P(B ∩ A)
−
P(A)
P(A)
=
a
c
−
a+b c+d
=
s
ad − bc
= BA
(a + b)(c + d) s 2A
2
So wie im metrischen Fall rxy = β xy ⋅ β yx gilt hier analog:
Φ2 = DA ⋅ DB
D.h. Phi ist das geometrische Mittel aus den beiden asymmetrischen Maßen DA
und DB .
266
Übersicht: Maßzahlen für verschiedene Messniveaus
Messniveau
Maß der zentralen
Tendenz
NominalSkala
(a) Streuungsmaß
Nominale (qualitative)
Varianz
Mittlerer Informationsgehalt (Entropie)
Modalwert (Modus)
nichtmetrisch
OrdinalSkala
metrisch
Cramérs V
Kontingenzkoeffizient C
Lambda-Koeffizient ( λ )
Unsicherheitskoeffizient U
Goodmans und Kruskals τ
Prozentsatzdifferenz D (4-Felder Tafel)
Yules Q (4-Felder-Tafel)
Phi-Koeffizient ( Φ ) (4-Felder-Tafel)
Gamma ( γ )
Kendalls tau-b ( τ b )
Somers’d
Median
IntervallSkala
Arithmetisches Mittel
Verhältnis- bzw.
Ratioskala
Zusammenhangsmaß
Spannweite
Quartilsabstand
Standardabweichung
Varianz
Variationskoeffizient
(nur für Ratioskala)
267
Korrelationskoeffizient (r)