Distinct regimes of elastic response and deformation modes of cross

Distinct regimes of elastic response and
deformation modes of cross-linked
cytoskeletal an semiflexible polymer
networks
D.A. Head, A.J. Levine, and F.C. MacKintosh
zusammengefasst von Peter Jungwirth
12. Dezember 2005
1
Einleitung
Der mir vorliegende Artikel beschäftigt sich mit den statisch-mechanischen Eigenschaften eines zufälligen, semiflexiblen, verknüpfeten Netzwerks bestehend
aus Polymeren (F-Actin), mit dem Ziel auch komplexere, ’nicht gleichmäßige’
Zytoskelette besser verständlich zu machen.
Semilexible Netzwerke spreichen im Gegensatz zu flexiblen Netzwerke ihre
Deformationsenergie nicht entropisch , sondern vorallem im Strecken/Stauchen
und Biegen einzelner Filamente. Im Fall eines flexiblen Netzwerks ist die einzige
mikroskopische Längenskala, der mittlere Abstand zwischen zwei Knoten, wohingegen im semiflexibeln Fall sowohl die Maschengröße(lc ) als auch die Länge
der Filamente Auswirkungen auf die Eigenschaften des Netzwerks haben werden.
Die Autoren bedienen sich in diesem Artikel eines sehr vereinfachten Modell. Es wird ein zwei- dimensionales, athermales System ohne ’Polydispersion
in Filament Eigenschaften’ vorausgestzt, womit sich der Parameteraum auf eine
’manageable’ Größe reduziert. Die zentrale Aussage dieser Arbeit ist die Existenz qualitativ unterscheidbarer Systeme in Bezug auf elastische Reaktion und
lokale Deformaton im Netzwerk.
An Hand von Abb. 1 (siehe Anhang) werden nun diese verschiedenen Systeme kurz beschrieben.
Da das zugrunde liegende Modell entropische Elastizität des Netzwerks außer Acht lässt, besitzt das Netzwerk unterhalb der ’durchgezogenen’ Linie kein
Schubmodul und kann deshalb als flüssig betrachtet werden. Erhöht man die die
Dichte der Verknüpfungen zwischen den Filamenten,so erreicht man ein System,
in dem die elastisch Deformation durch das Biegen von Filamenten bestimmt
1
wird. In diesem nicht-affine Bereich (NA) ist bemerkenswert, dass das Deformationsfeld unter einer gleichmäßig wirkenden Spannung räumlich über große
Längen verglichen mit der Netzwerkgröße sehr heterogen ist. Materialien mit
dieser Egenschaft können durch Standard-Kontinuum-Elastizitäts-Theorie nur
mäßig beschrieben werden.
Durch weiteres Erhöhen der Verknüpfungsdichte erreicht man einen Übergang zu einem Beriech mit affiner(A) Deformation, dies bedeutet, dass die Spannungskräft im gesamten Netzwerk einheitlich sind. Im affinen Bereich ist die
elastische Deformation durch Strecken/Stauchen von Filamenten bestimmt. Der
Übergang von NA→A kann durch einen dimensionslosen Parameter λ kontrolliert werden, wie später noch gezeigt wird. Die Veränderung der Länge der Filamente in diesem affinen Bereich lässt sich auf zwei verschiedene Mechanismen
zurückführen: einerseits thermale Fluktuationen in den Filamenten, andererseits durch Veränderung der Umrisslänge, welche zwar sehr klein sein kann,
aber trotzdem dominierend für kleine Abschnitte. Diese beiden Mechanismen
bestimmen, ob man sich im affin-entropischen (AE) oder im affin-mechanischen
(AM) Bereich befindet. In Sec. 5 wird darauf noch näher eingegangen.
Für physiologisches Actin wird erwartet, dass der relevante Übergang NA→A
sein wird.
In Sec. 2 wird das Modell an Hand mechanischer Eigenschaften der einzelnen Filamente definiert und ein Überblick über die Simulationsmethoden,
um das mechanische Gleichgewicht zu finden, gegeben. Sec. 3 beschreibt den
Flüßigkeits-Starrheits“-Übergang, an dem zum erstenmal mechanisch-elastische
”
Eigenschaften des Netzwerks auftreten. Der Übergang vom nicht-affinen zum affinen Bereich wird in Sec. 4 dargestellt, gemeinsam mit einigen numerischen Ergebnissen. In Sec. 5 beschäftigt sich der Artikel mit thermalen Effekt im affinen
Bereich. Abschließende wird in Sec. 6 vor allem die experimentellen Folgerungen
der Resultate dieses Artikels beschrieben.
2
Das Modell
Die Netzwerke werden konstruiert, indem Filamente der Länge L gleichmäßig
bezüglich ihre Position und ihrer Orientierung in einem Quadrat der Größe
W × W verteilt. Dadurch erscheint das Netzwerk als isotrop und homogen,
wenn man es entlang einer genügend großen Längenskala betrachtet. Jede Überschneidung zweier Filamente wird als Verknüpfung betrachtet, mit einer mittleren Distanz lc zwischen zwei Verknüpfungen auf einem Filament. Nun werden
die Filamente umpositioniert bis die vorausgesetzte Verknüpfungsdichte L/lc
erreicht worden ist.(Bsp. siehe Abb.2)
Das Biegen eines semiflexiblen Polymeres kann durch ein wurm-ähnliches
Kettenmodell beschrieben werden. Daraus ergibt sich für kleine Krümmungen
die Hamlitonfunktion mit Krümmungsmaß κ
2
Hbend
1
= κ
2
Z
2
ds ∇2 u ,
(1)
wobei u(s) die transversale Verschiebung eines Filaments beschreibt und mit s
wird über die Kontourlänge des Filaments integriert. Die Deformation, die ein
Filament durch Streckung/Stauchung erfährt, wird durch die elastische Hamiltonfunktion mit Streckungsmaß µ
Hstrech
1
= µ
2
Z
ds
dl(s)
ds
2
,
(2)
beschrieben, wobei dl/ds die relative Veränderung eines Filaments angibt.
Um die Hamiltonfunktion für das System zu bestimmen, werden diskrete
Versionen der beiden Gleichungen (1) und (2) benötigt. Das oben beschriebene
Netzwerk kann intern durch die Menge {xi } , bestehend aus allen Verknüpfungen und Mittelpunkte zwischen Verknüpfungen auf einem Filament, repräsentiert werden.Eine Streckung/Stauchung des Abstandes zweier benachbarter, verbundener Punkte von l0 nach l0 + δl wird beschrieben durch
2
µ δl
δHstrech =
l0 .
(3)
2 l0
Weiters kann Biegung gegeben durch einen Winkel δθ 6= 0 zwischen den Vektoren xi − xi−1 und xi+1 − xi , wobei xi−1 , xi und xi+1 benachbarte Punkte auf
dem selben Filament sind, beschieben werden durch
δHbend =
κ
2
δθ
l0
2
l0 ,
(4)
mit l0 = 21 (| xi − xi−1 | + | xi+1 − xi |) Die Gleichungen (3) und (4) sind linearisiert bezüglich Änderungen in xi und werden summiert um die Hamiltonfunktion H({xi }) für das System zu erzeugen. Nun wirkt entweder eine einachsige
Kraft oder eine Scherkraft γ gegeben durch periodische Randbedingungen auf
Lee-Edwars-Art. H({xi }) wird dann bezüglich {xi } minimiert durch die Methode der konjugierten Gradienten (CG-Verfahren). Das Verfahren wird auf zwei
Arten optimiert:
• Vorkonditionierung der Hesse-Matrix Aij = δ 2 H/δxi δxj durch die Matrix
M −1 , wobei M die selbe Diagonale besitzt wie A und und sonst 0
• Verknüpfungen die näher als ≈ 10−3 L zusammen liegen werden zu einer
vereinigt.
Nachdem die Verformung der Filamente, durch eine auf das Netzwerk wirkende
Kraft γ, bestimmt worden ist, kann die Energie pro Fläche berechnet werden.
Dadurch erhält man die elastischen Module für ein bestimmtes Netzwerk. Nach
3
mehrmaligem Wiederholen der Prozedur für verschiedene Netzwerk kann eine
zuverlässig Abschätzung für das Modul gefunden werden.
Die freien Parameter in diese Modell sind Koeffizienten µ und κ, sowie die
Längen L und lc . Es wird jedoch κ durch die Einführung einer dritten Länge lb
ersetzt, mit
κ
lb 2 = .
(5)
µ
lb kann physikalische als Länge, über die ein Filament sich biegen kann, interpretiert werden. Durch Skalierung kann man das System auf µ und zwei dimensionslos Parameter lb /L (Filamentstarrheit) und L/lc (Verknüpfungsdichte)
reduzieren. Abb.3 und 4 zeigen Beispiele für die elastischen Verformungen.
3
Übergang von Fließend zu Starr
Da das Verhalten nahe diesem Übergang in einer andern Arbeit bereits beschrieben wurde, werde hier nur mehr Resultate zusammengefasst.
Das Schermodul G und das Young’s (Elastizitäts-) Modul Y steigen stetig als Potenz vonL/lc mit verschiedenen skalaren Faktoren, aber mit gleichem
Exponenten f ,
f
L L
− |trans .
(6)
G, Y ∼
lc
lc
Die Autoren haben f = 3.0 ± 0.2 gefunden, übereinstimmend mit einem Wert
3.15±0.2, der unabhängig von ihnen gefunden wurde. Weiters haben sie herausgefunden,dass die Hamiltonfunktion in diesem System ihres Modells vom Biegen
der Filamente dominiert wird. Da der Rest dieses Abschnitts rein spekulativer
Natur ist, werde ich hier nicht näher darauf eingehen und mich dem nächsten
Abschnitt widmen.
4
Elastische Systeme
In diesem Abschnitt werden zuerst die Schubmodule für den nicht-affinen bzw.
affinen Bereich bestimmt, und dann die Resultate aus den numerischen Simulationen beschrieben.
Wir bezeichnen ein Deformationsfeld als affin, wenn der Deformationstensor
räumlich konstant ist für eine gleichförmig angelegte Spannung an den Rändern
des Netzwerks. D.h., dass unter einer affinen Deformation jedes Filament die
selbe Verformung durchmacht.
4.1
Nonaffin, von Biegung dominiert
Die Autoren haben empirisch festgestellt, dass in diesem Bereich, der knapp
über dem in Sec. 3 beschriebenen liegt, die Module des Netzwerks durch das
Biegen der Filamente kontrolliert werden.
4
Die Filamentbiegung an den Verknüpfungen, beschrieben durch {δθ}, sind
2
2
verteilt mit Mittel 0 und Varianz σδθ
, wobei σδθ
nur von L/lc abhängt. Man
erhält daher aus Gl.(4)
2
σδθ
lc .
(7)
δHbend ∼ κ
lc
Die mittlere Anzahl der Verknüpfungen pro Flächeneinheit ist N L/2lc , wobei N
die Anzahl der Filamente pro Flächeneinheit ist. Diese kann bestimmt werden
durch L/lc ≈ (α − 1)/(1 − 2/α) mit α = 2L2 N/π. Durch Summieren der Gl.(7)
über das gesamte Netzwerk erhält man das Schubmodul
Gbend ∼ κ
2
σδθ
.
lc3
(8)
2
Llb2 /lc3 gegen lb /L auf log-log Achsen, so erhältman
Plottet man GL/µ = σδθ
eine Gerade mit Anstieg 2. Dieses Ergebnis wird durch Simulationen in Sec 4.3
bestätigt. (siehe auch Abb.5)
4.2
Affin, von Streckung dominiert
In diesem Bereich verformt sich das Netzwerk unter einer affinen Spannung nur
durch das Strecken/Stauchen der Filamente. Um Gaf f in zu berechenen, betrachten wir einen Stab der Länge L, der mit der x-Achse einen Winkel θ einschließt.
Lässt man nun eine Scherkraft γxy wirken, so wird die relative Länge des Stabes
verändert; d.h. δL/L = γxy sin2 θ cos2 θ und man erhält die Hamiltonfunktion
δHstrech =
1
2
µLγxy
sin2 θ cos2 θ.
2
(9)
Der Faktor sin2 θ cos2 θ reduziert sich auf 1/8, wenn man über alle θ ∈ (0, π),
weiters wird über das gesamte Netzwerk summiert, und man erhält
π µ L
lc
Gaf f in ≈
(10)
+2 −3 ,
16 L lc
L
wobei hier aufgrund der freien Enden die Länge der Filamente L → L − 2lc
korrigiert wurde. Obige Prozedur kann wiederholt werden, um für eine einachsige
Kraftγyy das Young’s Modul Y zu bestimmen. Man ersetzt lediglich sin2 θ cos2 θ
durch sin4 θ, was sich im Mittel auf 3/8 reduziert. Insgesamt erhält man
Yaf f in = 3Gaf f in .
(11)
Somit ergibt sich für die Poissonzahl ν = Y /2G − 1, in den hier untersuchten
affinen Netzwerken, der Wert νaf f in = 12 .
4.3
Numerische Resultate für elastische Module
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der numerischen Simlulationen zusammengefasst. Man beginnt in dem Bereich, wo zuerst elastische Effekte auf
5
treten, so sellt man fest, dass des Schubmodul G monoton wächst bezüglich der
Verknüpfungsdichte L/lc . Der Anstieg hängt nur unwesentlich von der Filamentstarrheit lb /L ab (Abb.5). Dieses Ergebnis korreliert mit den Untersuchungen
in Sec. 4.1.
Abb.6 zeigt zusätzlich Das Young’s Modul Y und die Poissonzahl ν, welche
anscheinend vom vorhergesagten Wert νaf f in = 12 nur wenig abweicht, ausgenommen beim Übergang, wo ν = 0.35 ± 1.
Variiert man das Verhältnis lb /L bei fixem L/lc lässt sich ein Bereich erkennen in dem eher G ∝ κ als G ∼ Gaf f in ∝ µ, wie im affinen Bereich oben beschrieben wird (Abb.7). Dies weist darauf hin, dass in diesem Bereich das Bigen
dominant ist, was mit den Überlegungen in Sec. 4.1 übereinstimmt. Das Insert
in Abb.7 bestätigt, dass im Bereich mit G ≈ Gaf f in das Strecken dominant ist.
Der Übergang zwischen diesen beiden Bereichen kann durch Einführung einer
neuen Länge λ quantifiziert werden (Abb.8). λ ist eine Kombination aus lb und
lc mit einem charakteristischen Exponenten z,
z
lc
.
(12)
λ = lc
lb
Das Verhältnis L/λ kann dazu benutzt werden, um festzustellen in welchen
Bereich man sich befindet, in dem Sinn, dass λ L mit dem affinen und λ L
mit dem nicht-affinen Bereich korrespondiert. Das ist aber nur möglich, wenn
man weit genug entfernt ist vom Übergang zwischen flüssig-fest“.
”
Ziel dieses Artikels ist es zwar das Verhalten eines semiflexiblen PolymerNetzwerkes über den gesamten Parameterraum zu beschreiben, trotzdem sollen nun Parameter betrachtet werden, die physiolgische Actin-Netzwerke beschreiben. Der Abstand zwischen zwei Verknüpfungen wird mit lc ≈ 0.1µm
und die Länge eines Filaments mit L ≈ 2µm angegeben, woraus sich eine Verknüpfungsdichte L/lc ≈ 20 ergibt. Ein Filament wird als solider, elastischer
Zylinder mit Radius r angesehen. In diesem Fall ist lb ∼ r ≈ 10nm, so dass
lb /L ∼ r/L ∼ 10−3 woraus folgt L/λ ≈ 5. Betrachtet man nun Abb.8 liegt es
nahe zu behaupten, dass Zytoskelett-Netzwerke im Übergang zwischen affinen
und nicht-affinen Bereich liegen.
4.4
Räumliche Korrelation
Eine Möglichkeit den Grad der Affinität eines Netzwerks zu bestimmen wäre eine
räumliche Korrelationsfunktion zu bestimmen. Eine Zwei-Punkte“-Korrelationsfunktion
”
bezüglich zweier variierender Größen A(x) und B(x) kann im Allgemeinen angegeben werden als
CAB = hA(x)B(x + rn̂)i − hA(x)i hB(x)i ,
(13)
wobei h·i bedeutet über alle Knotenpunkte x und Richtungen n̂ (Einheitsvektoren) zu mitteln. Abb.9 zeigt ein Beispiel für Cρ , mit ρ als lokale Massendichte
der Filamente und als Energie pro Flächeneinheit. Es zeigt sich eine klare
Antikorrelation in nahem Umfeld, die mit größerer Entfernung verschwindet.
6
In Abb.10 wird die Autokorrelation CEE (r) dargestellt. Bei E handelt es sich
um die kombinierte Energie aus Biegen und Strecken pro Längeneinheit. Es
ist deutlich zu erkennen, dass CEE (r) langsamer für niedrigere Werte von L/lc
fällt bei fixem lb /L., das liefert einen Hinweis auf große Taschen“ von ungleicher
”
Deformation bei niedriger Netzwerkdichte.
5
Thermale Effekte
In den vorangegangenen Abschnitten ist man von einem mechanischen, athermalen Modell des Netzwerks ausgegangen. Nun werden auch thermale Effekte
betrachtet um den Übergang von AE → AM zu beschreiben.
Für ein homogenes Filament mit Young’s Modul Yf könnendie Parameter κ
und µ bestimmt werden durch: κ ∼ Yf a4 und µ ∼ Yf a2 mit a dem durchmesser
des Filaments. Der rein mechanische Parameter µ wird im Folgenden als µM
bezeichnet.
Bei endlichen Temperaturen kommt es zu transversalen Fluktuationen des
Filaments, was zu einer zusätzlichen Längenbeeinflussung führt. Der Parameter,
der dies für ein Segment der Länge l beschreibt ist gegeben durch
µT =
a2 lp
κlp
∼
µM ,
l3
l3
(14)
mit lp = κ/(kT ). Als gesamten Parameter erhält man
µ=
µM µT
.
µM + µT
(15)
p 2
Daraus lässt sich ablesen, dass der thermale Anteil für Längen größer
als
[3a lp
p 2
dominiert, während sich das Filament für Längen kleiner als [3a lp wie ein
starrer Stab mit Parameter µ verhält. Dadurch lassen sich nun die beiden
Zustände im affinen Bereich quantitativ unterscheiden:
p
• für hohe Konzentrationen, lc ≤ 3 a2 lp , sind vorallem mechanische Eigenschaften dominierend, und das Modul ist gegeben durch Gl.(10);dieser
Bereich wird als AM bezeichnet
p
• für niedrige Konzentrationen, lc ≥ 3 a2 lp , sind thermische Fluktuationen
dominierend mit
πκlp
G∼
;
(16)
16lc4
dieser Bereich mit AE.
p
Für Actin-Netzwerke wird geschätzt, dass die charakteristische Länge 3 a2 lp
kleiner ist als 100 nm. Das bedeutet, nur wenn der Abstand zwischen Verknüpfunen kleiner als 100 nm ist, wird die Verformung des Netzwerkes nur von
den mechanischen Ausdehnungen der Filamente abhängen.
7
6
Implikationen und Diskussion
Aus der starke Abhängigkeit des Schermoduls G von der Verknüpfungsdichte
( siehe Gl.(8), Gl.(16)) läßt sich ableiten, dass ein semiflexibles Netzwerk, wie
hier beschrieben, seine elastischen Eigenschaften verändern kann, indem es die
Konzentration der Verknüpfungen variiert bei gleichzeitiger Beibehaltung der
Filamentkonzentration. Dies ist ein großer Unterschied zu flexiblen Netzwerken,
und kann für Zellen wichtig werden, da diese durch verschiedene Proteine die
Verknüpfungen im Zytoskelett bestimmen können.
In disem Modell wurde angenommen, dass die Filament an den Verknüpfungen frei rotieren können. In Actin-Netzwerke sind jedoch Filament oft unter fixen
Winkeln miteinander verbunden. Laut anderen Arbeiten hat dies aber keine signifikanten Auswirkungen, da nur der Wert für den Übergang von fließend zu
starr ein wenig verändert, aber ansonsten das Verhalten gleich bleibt.
Zuletzt möchte ich noch die Aufmerksamkeit auf ein weitere Annahme lenkten. In dem obigen Modell wird ein isotropes (gleichmäßig-verteiltes) Netzwerk
vorraus gesetzt; d.h. für Netzwerke, in denen die Filamente gebündelt sind oder
in denen sie ausgezeichnete Richtungen haben (Keratozyten), ist das beschriebene Modell nicht anwendbar.
8
7
Anhang
Abb.1
Abb.2
9
Abb.3
Abb.4
10
Abb.5
Abb.6
11
Abb.7
Abb.8
12
Abb.9
Abb.10
13