Übung zu Mechanik 4 Seite 28 Aufgabe 47

Übung zu Mechanik 4
Seite 28
Aufgabe 47
Auf ein Fundament (Masse m), dessen elastische Bettung durch zwei Ersatzfedern dargestellt wird, wirkt die periodische Kraft F(t) = F0 cos (Ω t). Die seitliche Führung ist reibungsfrei.
a) Wie groß ist die Amplitude der ungedämpften Schwingung?
b) Welche maximale Kraft R wird auf den Untergrund ausgeübt?
c) Wie groß muß das Dämpfungsmaß D gewählt werden, wenn die Amplitude des ungedämpften Schwingers durch geschwindigkeitsproportionale Dämpfung auf die Hälfte
verringert werden soll?
d) Wie groß ist die maximale Kraft R beim gedämpften Schwinger?
Ungedämpftes System
Gegeben:
Ω = 0,75 ω0
Gedämpftes System
Übung zu Mechanik 4
Seite 29
Aufgabe 48
Das dargestellte Grenzamplituden-Kontrollgerät besteht aus einem pendelnd aufgehängten schlanken Stab der Masse m und der Länge l, dessen Ende frei auf einem Stößel aufliegt. Der Stößel schwingt harmonisch mit der Frequenz f in horizontaler Richtung. Wie
groß muß der Abstand a0 zwischen dem Aufhängepunkt des Pendels und der Mittellage
des Stößels sein, damit das Pendel bei einer Amplitude a1 gerade nicht abhebt?
Gegeben:
l = 180 mm
a1 = 1 mm
f = 5 Hz
m
Aufgabe 49
Gegeben ist der skizzierte homogene, starre Stab (Masse m), der im Punkt A frei drehbar
gelagert ist. Der Fußpunkt B der Schraubenfeder wird nach der Funktion u(t) = u0 sin (Ω t)
periodisch bewegt. Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systems auf und ermitteln
Sie die Amplitude für die Dämpfungskonstante d = 0 und die Erregerfrequenz Ω = 6 s-1!
Bei welcher Frequenz Ω* tritt der größte Ausschlag auf, wenn die Dämpfungskonstante
d* = 200 Ns/m ist? Wie groß ist der Ausschlag?
Gegeben:
m = 30 kg
cF = 1 kN/m
u0 = 10 cm
Übung zu Mechanik 4
Seite 30
Aufgabe 50
Gegeben ist ein homogener Kreiszylinder (Masse m, Radius r), der sich um seine Achse
reibungsfrei drehen und dabei Rollbewegungen in einer horizontalen Ebene ausführen
kann. Die Achse des Zylinders ist durch eine Feder (Federkonstante cF) befestigt. Weiterhin ist an der Achse wie skizziert ein Dämpfer (Dämpfungskonstante d) angebracht. Das
gegebene System wird durch eine harmonische Verschiebung u(t) = u0 sin (Ω t) des freien
Dämpferendpunktes erregt.
a) Wie groß ist die Amplitude der Zylinderachsenbewegung?
b) Wie groß ist die Amplitude der Federkraft?
Gegeben:
m = 2 kg
r = 20 cm
cF = 27 N/m
d = 6 Ns/m
u0 = 10 cm
Ω = 2 s-1
Übung zu Mechanik 4
Seite 31
Aufgabe 51
Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen des skizzierten schwingenden Systems!
Gegeben:
cM = 96 cF
Aufgabe 52
Bestimmen Sie für das dargestellte, aus starren Stäben zusammengesetzte System die
Eigenkreisfrequenzen für kleine Auslenkungen!
Gegeben:
m1 = m2 = 120 kg
cF = 2400 N/m
l = 1,0 m
Übung zu Mechanik 4
Seite 32
Aufgabe 53
Eine vertikal schwingende Masse m ist gestützt auf zwei masselose Stäbe, deren Fußpunkte durch Federn gehalten werden (oberes Bild).
a) Bestimmen Sie die Amplitude X0 der stationären Schwingung unter der periodisch einwirkenden Kraft F(t) = F0 cos (Ω t). Wie groß ist die maximale Federkraft?
b) Zur Herabsetzung der Amplitude werden zwei Dämpfungselemente eingebaut (unteres
Bild). Wie groß muß die Dämpfungskonstante d gewählt werden, damit die Amplitude
gegenüber dem ungedämpften System auf die Hälfte verringert wird?
Gegeben:
l =4m
m = 1000 kg
cF = 2 · 105 N/m
F0 = 8 kN
Ω2 = 600 s-2
g = 10 m/s2
alle Stäbe EA = ∞
und masselos
Übung zu Mechanik 4
Seite 33
Aufgabe 54
Ein Maschinenfundament vom Gewicht GA steht auf einem elastischen Boden. Die Grundfläche A und die Bettungsziffer λ sind gegeben. Zur Begrenzung von Resonanzschwingungen, die beim Betrieb der Maschine entstehen, ist die Maschine auf einem schweren
Rahmen gelagert. Die Federkonstante cF der elastischen Lagerung des Rahmens auf dem
Fundament und das Gesamtgewicht GB des Rahmens mit der Maschine sind bekannt.
Man bestimme die Eigenfrequenz des Systems bei vertikaler Translationsschwingung.
Gegeben:
GA = 1000 kN
GB = 4,9 kN
A
= 1,7 m2
cF = 5 · 104 kN/m
λ
λ:
= 6 · 104 kN/m3
auf die Flächenein-
heit bezogene Federsteifigkeit (cF = λ · A)
Übung zu Mechanik 4
Seite 34
Aufgabe 55
Gegeben ist das dargestellte System. Die Stäbe sind starr und homogen und haben konstante Querschnittswerte. Gesucht sind die Eigenfrequenzen des Systems.
Gegeben:
mA : mB = 9 : 6
cF, a
Aufgabe 56
Ein masseloser Träger mit konstanter Biegesteifigkeit EJ trägt in seinem rechten Drittelpunkt eine als starr anzusehende dünne Kreisscheibe (Durchmesser d, Masse m).
a) Man bestimme die Eigenkreisfrequenzen und Eigenformen der freien Schwingung.
b) Für die durch eine Kraft F(t) = F0 sin (Ω t) erzwungene Schwingung bestimme man die
Auslenkungen und die größte Biegebeanspruchung im Träger.
Gegeben:
m = 785 kg
EJ = 400 kNm2
F0 = 0,9 kN
Ω = 30 s-1
Übung zu Mechanik 4
Seite 35
Aufgabe 57
Mit dem dargestellten homogenen, starren Stab (Länge l, Masse mA), der an seinem linken Ende frei drehbar gelagert und an seinem rechten Ende elastisch gestützt ist, ist über
eine Feder eine Masse mB verbunden. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen ω1 und
ω2 des Systems mit zwei Freiheitsgraden bei kleinen Auslenkungen!
Gegeben:
mA = mB = m
cF, l
Aufgabe 58
Dargestellt ist die statische Gleichgewichtslage eines schwingfähigen Systems aus homogenen, starren Stäben und linearen Federn. Für kleine Auslenkungen gebe man die Differentialgleichungen der Bewegung und die Eigenkreisfrequenzen an.
Gegeben:
mA : mB = 6 : 1
cF, h, l
Übung zu Mechanik 4
Seite 36
Aufgabe 59
Gegeben ist das dargestellte System. Die Stäbe sind starr und homogen. Gesucht sind die
Eigenkreisfrequenzen des Systems!
Gegeben:
mA : mB = 1 : 2
cF = m A
g
l
Übung zu Mechanik 4
Seite 37
Aufgabe 60
Der skizzierte masselose Stab (Biegesteifigkeit EJ) ist im Auflager A gelenkig gelagert. An
seinem rechten Ende trägt der Stab eine Einzelmasse m. Am linken Ende des Stabes ist
eine Normalkraftfeder (Federkonstante cF) befestigt, deren freies Ende periodisch nach
der Funktion u(t) = u0 cos (Ω t) bewegt wird. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz ω0 des
ungedämpften Systems! Wie groß muß die Dämpfungskonstante d gewählt werden, wenn
im stationären Zustand der Schwingung die Amplitude der Einzelmasse bei beliebigen Erregerfrequenzen Ω das 1,35-fache der statischen Auslenkung nicht überschreiten soll?
Gegeben:
cF = 3
EJ
l3
Übung zu Mechanik 4
Seite 38
Aufgabe 61
Ein homogenes Rad (Masse mA, Radius rA) rotiert um die Achse eines Meßgerätes. Diese
Achse ist wie skizziert vertikal unverschieblich und wird in der Horizontalen von einer
Normalkraftfeder (Federkonstante cF) und einem geschwindigkeitsproportionalen Dämpfungselement (Dämpfungskonstante d) gehalten. An dem Rad ist auf dem Umfang eine
Unwuchtmasse mB angebracht. Bei der Winkelgeschwindigkeit Ω wird im stationären Zustand der horizontalen Schwingung die maximale Amplitude von 7,5 mm gemessen. Bestimmen Sie die Dämpfungskonstante d und das Lehrsche Dämpfungsmaß D des Meßgerätes. Wie groß wird die Amplitude der stationären Schwingung, wenn die Masse mB halbiert wird?
Gegeben:
mA = 10 kg
mB = 0,1 kg
rA = 30,3 cm
Ω = 100 s-1
cF = 101 kN/m
Übung zu Mechanik 4
Seite 39
Aufgabe 62
Die unten abgebildeten Stäbe und Rahmen konstanter Biegesteifigkeit tragen jeweils zwei
Punktmassen. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenzen und die zugehörigen Eigenformen für Biegeschwingungen, wobei die Balkenmasse vernachlässigt werden soll.
a)
EJ = konst.
b)
EJ = konst.
c)
EJ feldweise konst.
d)
EJ feldweise konst.
EA = ∞
Übung zu Mechanik 4
Seite 40
Aufgabe 63
Gegeben sind Stäbe der Länge l mit konstanter Biegesteifigkeit EJ sowie konstanter Massenbelegung µ.
1) Bestimmen Sie durch Lösung der Schwingungsdifferentialgleichung die ersten und
zweiten Eigenkreisfrequenzen sowie die zugehörigen Eigenformen für freie Biegeschwingungen.
2) Geben Sie Näherungslösungen für die ersten Eigenkreisfrequenzen an unter Verwendung der Rayleigh-Quotienten mit Hilfe geeigneter Ansätze für die Eigenformen.
a)
b)
c)
d)
Übung zu Mechanik 4
Seite 41
Aufgabe 64
Die unten stehenden Stabsysteme mit konstanter Biegesteifigkeit EJ sowie konstanter
Massenbelegung µ sind für Biegeschwingungen zu untersuchen. Bestimmen Sie Näherungslösungen für die ersten Eigenkreisfrequenzen unter Verwendung des RayleighQuotienten mit Hilfe geeigneter Ansätze für die Eigenformen.
a)
b)
c)
d)
e)