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Universität des Saarlandes
Fakultät NT - FR Physik
Prof. Dr. R. Birringer
http://www.nano.uni-saarland.de
8. Übungsblatt
zur Vorlesung „Technische Physik“ im WS 2016/17
35. Schwingung einer Waage
Auf eine Waagschale der Masse M , die an einer Schraubenfeder mit der Federkonstante D
befestigt ist (s. Zeichnung bei Aufgabe 34), fällt aus der Höhe h ein Körper der Masse m und
bleibt nach dem Aufschlag darauf liegen. Die Waagschale beginnt nunmehr eine Schwingung
auszuführen. Berechnen Sie die Amplitude der Schwingung.
36. Fallschirmspringer
Ein Fallschirmspringer sinke an einem geöffneten Fallschirm mit der Geschwindigkeit v. Entgegen
der Bewegungsrichtung wirke die Luftreibungskraft FR = βv.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Fallschirmspringers auf und bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung, die der Summe der homogenen und der speziellen
Lösung entspricht. Hinweis: Verwenden Sie als Ansatz zur Ermittlung der speziellen Lösung vs (t) = c, wobei c eine Konstante bezeichnet.
b) Wie groß ist die konstante Endgeschwindigkeit des Fallschirmspringers?
c) Gehen Sie davon aus, dass der Fallschirmspringer seinen Schirm zum Zeitpunkt t = 0 bei
der Geschwindigkeit v0 schlagartig geöffnet hat. Bestimmen Sie seine Geschwindigkeit als
Funktion der Zeit, d.h. bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems.
37. Gekoppelte Federn
Ein Block der Masse m ist mit zwei Federn der Federkonstanten k1 und k2 verbunden (siehe
Abbildung a) und b)). Der Block wird um die Strecke x aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt
und anschließend losgelassen. Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Blockes auf und zeigen Sie
durch Lösen der Gleichung, dass der Block eine harmonische Schwingung mit den unter a) und
b) gegebenen Schwingungsdauern T ausführt.
k1
k2
m
k1
a)
s
T = 2π
m(k1 + k2 )
k1 k2
b)
r
T = 2π
-1-
m
k1 + k2
m
k2
38. Gedämpfte Schwingung
Bei der Beobachtung einer gedämpften Schwingung wurde festgestellt, dass sich die Schwingungsamplitude nach zwei aufeinanderfolgenden Auslenkungen auf die gleiche Seite um 60% verringert
und dass die Periodendauer T = 0, 5 s betrug. Ermitteln Sie die Dämpfungskonstante β sowie die
Frequenz der ungedämpften Schwingung, die unter sonst gleichen Bedingungen vorliegen würde.
39. Erzwungene Schwingung
Ein Motor, der sich mit der Kreisfrequenz ω dreht, treibt einen Exzenter an, der über eine
bewegliche Aufhängung eine periodische Kraft FAntrieb = F0 · cos (ωt) = m A0 · cos (ωt) auf ein
Ende einer Feder ausübt. An dem anderen Ende der Feder, mit Federkonstante k = m ω02 , ist eine
Masse m befestigt. Die Reibungskraft zwischen der Masse und der Unterlage ist proportional
zur Geschwindigkeit: FReibung = γ · ẋ = 2 β m · ẋ.
w
k
m
x
a) Stellen Sie die Differentialgleichung für das Gesamtsystem auf.
b) Lösen Sie den getriebenen aber ungedämpften Fall (β = 0) durch Komplexifizierung des
Ansatzes (analog zur Vorlesung). Skizzieren Sie qualitativ die Amplitude der schwingenden
Masse als Funktion der Antriebsfrequenz ω.
c) Lösen Sie den homogenen Fall, d.h. den gedämpften
Oszillator (FAntrieb = 0), mit den
2
2
Randbedingungen x(t = 0) = 0 und β − ω0 < 0 (Schwingfall). Verwenden Sie als Lösungsansatz eine Linearkombiation der Lösungen des charakteristischen Polynoms sowie die
komplexe Amplitude ẑ = x̂ · eiϕ und zeigen Sie, dass die Lösung folgende Form hat:
−βt
x(t) = 2 · x̂ · e
· sin
q
ω02
−
β2
·t
Hinweis: Eulersche Formel eiφ = cos (φ) + i sin (φ)
Hinweis zur Klausur: In den Prüfungen (08. März bzw. 05. April von 09:00 bis 12:00
Uhr) ist als Hilfsmittel nur ein nicht-programmierbarer Taschenrechner zugelassen!
Übungstermin: Mittwoch 11.01.2017 bzw. Freitag 13.01.2017
Bei Fragen und Anregungen zum Übungsbetrieb wenden Sie sich bitte an Dr. Christian Braun:
[email protected], Tel.: 0681-302-5190, Gebäude D2 2, Raum B1.14
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