Kapitel11 Faltung, schwache Konvergenz

Kapitel11
Faltung, schwache Konvergenz
Wir haben oft yon relativen Haufigkeiten gesprochen, d.h. sind ~1, ~2,'" Kopien der Zufallsvariablen ~, so ist die relative Haufigkeit des Auftretens yon
~(w) gerade
Sie konvergiert in Wahrscheinlichkeit und fast sicher gegen E(~). Man kann
aber feinere Konvergenzaussagen machen; ein Beispiel ist der zentrale Grenzwertsatz, den wir im nachsten Kapitel diskutieren werden. Er besagt, daB die
Verteilungen der Summen, geeignet normiert (also nicht mit 1/n) gegen die
Standardnormalverteilung konvergieren.
Deshalb interessieren wir uns einerseits fUr die Verteilung yon Summen
yon Zufallsvariablen und miissen andererseits einen geeigneten Konvergenzbegriff entwickeln. Genau das tun wir in den nachsten zwei Abschnitten.
Verteilung von Summen, die Faltung
Wir interessieren uns zunachst fUr die Verteilung yon Summen yon Zufallsvariablen.
Definition 11.1 Sind ~ und '" unabhiingige Zufallsvariable mit Verteilung Jl
und 1/, so heipt die Verteilung p = Jl * 1/ von ~ + '" die Falt'Ung von Jl und 1/.
Fur diskrete Zufallsvariablen rechnet man die Faltung leicht aus. Sind
unabhangige diskret verteilte Zufallsvariablen mit
e und
'f/
J.L* v(z) =
L
lP(e = x)JPl('f/ = y), z E X
+ Y = {x + y
: x E X, Y E Y}.
",ex, yeY
x+y=z
Satz 11.1 Seien
Dann gilt
e und'f/ unabhangige, nach (11.1)
J.L* v(z) =
L J.L(x)v(z
- x),
verteilte Zufallsvariablen.
wobei z E X
+ Y.
xEX
Wichtige Familien von Verteilungen sind unter der Faltung geschlossen. Diskrete Beispiele sind die Familien der Binomial- und der Poissonverteilungen.
Beispiel 11.1 Seien J.L und v Binomialverteilungen zu derselben Erfolgswahrscheinlichkeit p und zu n und m. Dann ist J.L * v eine Binomialverteilung
zur Erfolgswahrscheinlichkeit p und zu n + m.
Beweis Wir benutzen die allgemeine Identitat fUrBinomialkoeffizienten (z.B.
Ubung):
L
k+l=z
O$k$n
O$l$m
=
(n~m
)pz(1-pt+m-z,