Einführung in die Quantenphysik

Einführung in die Quantenphysik
SS 2011
10 . Übung
Abgabe am 21. Juni 2011
Vorlesung:
Prof. Igor Sokolov
Übung:
Dr. Sten Rüdiger, Federico Camboni
Aufgabe 1: Drehimpulsquantisierung
Die Quantisierung eines physikalischen Systems läßt sich durch die Betrachtung des Betragsquadrates des Drehimpulses L2 und der z−Komponente des Drehimpulses Lz beschreiben.
Wir definieren zu den jeweiligen Komponenten des Drehimpulses die Operatoren L̂x,y,z
2
und den entsprechenden Operator L̂ .
(a) hWir definieren
zusätzlich
i
h
idie Operatoren L̂± = L̂x ± iL̂y . Zeigen Sie, dass gilt
2
L̂ , L̂± = 0 und L̂z , L̂± = ±~L̂± .
2
(b) Da L̂ und L̂z kommutieren, sind sie gleichzeitig scharf meßbar und teilen sich somit
eine gemeinsame Eigenbasis, i.e.
2
L̂ |ui = a~2 |ui
L̂z |ui = M ~ |ui
√
√
mit a, M ∈ R. Zeigen Sie, dass a ≥ M 2 ≥ 0. Hieraus folgt also − a ≤ M ≤ a.
(c) Berechnen Sie nun die Eigenwerte von L̂z bzgl. dessen Eigenvektoren L̂± |ui. Welche
Wirkungen haben somit L̂+ und L̂− ? Machen Sie sich klar, dass L̂+ |umax i = 0 und
L̂− |umin i = 0, wenn |umax i und |umin i jeweils der Eigenvektor zum größten byw.
kleinsten Eigenwert ist.
Leiten hieraus die jeweiligen Relationen a = Mmax (Mmax +1) und a = Mmin (Mmin −1)
2
her unter Verwendung von hL̂± L̂∓ =
L̂
− L̂2z ± ~L̂z . Zeigen Sie desweiteren, dass aus
i
der Vertauschungsrelation L̂z , L̂2± = ±n~L̂n± , n ∈ N
L̂+ L̂n− |umax i = (Mmax − n)~L̂n− |umax i
folgt. Es gibt also ein n, so dass Mmax − n = Mmin . Zeigen, dass dann folgt Mmax =
n/2.
(d) Benennt man Mmax in J um, so gilt also
2
L̂ uJM = J(J + 1)~2 uJM
L̂z uJM = M ~ uJM
p
L̂± uJM =
J(J + 1) − M (M + 1)~ uJM +1
Geben Sie verschiedene Werte von J und M an.
1
Einführung in die Quantenphysik,
10 . Übung
p
(e) Bei Messungen des Drehimpulses |L| sind ja nun nur die Werte J(J + 1)~ möglich.
Begründen Sie, wieso dieser gemessene Zustand (2J + 1)-fach entartet ist. Welche
Messwerte können sich ergeben, wenn man nun noch Lz misst?
Aufgabe 2: Spinmatrizen
Eine wichtige Eigenschaft von Teilchen ist ihr Eigendrehimpuls oder Spin ŝ. Analog zur
vorherigen Aufgabe führt man Quantenzahlen s = J = 1/2 und m = M = ±1/2 ein. Der
Hilbertraum für die Beschreibung des Spins ist hier wegen der zwei möglichen Zustände
2-dimensional.
(a) Geben Sie, aufgrund der Ergebnisse aus der vorigen Aufgabe, die Eigenwertgleichungen von ŝ2 und ŝz mit den Eigenfunktionen |u± i an. Formulieren Sie einen allgemeinen
Spinzustand des Teilchens. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung
der z-Komponente des Spins den Wert ±~/2 zu erhalten ?
(b) Analog zur vorherigen Aufgabe definieren wir ŝ± = ŝx ± iŝy . Wie wirken ŝ+ und ŝ−
auf |u± i ? Nun lassen sich Matrixelemente für die verschiedenen Operatoren angeben.
Geben Sie folgende Matrizen an:
{hum |ŝ+ |un i}
{hum |ŝx |un i}
{hum |ŝz |un i}
,
,
,
{hum |ŝ− |un i}
{hum |ŝy |un i}
m 2 n u |ŝ |u
.
D
E
Hierbei bezeichnet {Anm } eine Matrix A mit den Matrixelementen Anm = um |Â|un
für einen linearen Operator Â.
Man nennt die Matrixelemente von σ̂i = ~2 sˆi auch Paulimatrizen.
(c) Zeigen Sie nun mittels der obigen Matrixdarstellungen der Operatoren folgende Relationen:
~2
~3
ŝ2+ = ŝ2− = 0 , ŝ2x = ŝ2y = ŝ2z = Iˆ , ŝx ŝy ŝz = − Iˆ
4
8i
mit dem Einheitsoperator Iˆ (Matrixdarstellung {Inm } = δnm ).
Leiten Sie auch die Vertauschungsrelation [ŝx , ŝy ] = i~ŝz ab.
–2–