Proseminar: Gegenbeispiele aus der Analysis und Linearen Algebra

Proseminar:
Gegenbeispiele aus der Analysis und Linearen Algebra
Reiner Lauterbach und Ingo Runkel
Themenbereich Lineare Algebra
LA1: Nicht jeder Modul hat eine Basis
- Definition: kommutativer Ring mit Eins; Definition: Links-/Rechts-/Beidseitiges Ideal eines
Ringes, Beispiele; Definition: Körper, Beispiele. [JS, III.1], [Fi, 1.3]
- Definition: Modul über einem Ring, Vektorraum, Beispiele; ein Ring ist ein Modul über sich
selbst, ein Linksideal ist das gleiche wie ein Untermodul eines Rings. [JS, VII.1], [Fi, 1.4]
- Defintion: Erzeugendensysteme und Basen für Moduln über Ringen, stimmt für Körper mit
der Definition aus der Linearen Algebra überein; Beispiele. [JS, VII.4]
- Skizze des Beweises von Jeder Vektorraum hat eine Basis“ im endlich erzeugbaren Fall (also
”
ohne das Lemma von Zorn). [Fi, 1.5]
- Definition: freier Modul, Rang; jeder Vektorraum ist ein freier Modul. [JS, VII.4]
- Beispiel zu: Nicht jeder Modul ist frei; Beispiele vorführen, z.B. Z/mZ als Z-Modul, Q als
Z-Modul.
LA2: Freie Moduln mit unterschiedlich langen Basen
- Polynomringe in einer Variable; Grad eines Polynoms, Verhalten unter Addition und Multiplikation; zwei verschiedene Elemente eines Polynomrings können die gleiche Funktion beschreiben; Polynomringe in mehreren und unendlich vielen Variablen. [Fi, 1.3.5, 1.3.6], [JS,
IV.3.3]
- Skizze des Beweises der Wohldefiniertheit der Dimension eines Vektorraumes mit endlicher
Basis. [Fi, 1.5.4]
- Beispiel zu: Nicht je zwei Basen eines freien Moduls haben gleich viele Elemente; ohne Beweis:
Für kommutative Ringe gilt Je zwei Basen eines endlich erzeugten Moduls haben gleich viele
”
Elemente“. [JS, VII Bsp. 4.2], [JS, VII Satz 4.3]
- Beweis von: Sei V endlich dimensionaler Vektorraum und U ⊂ V ein Untervektorraum mit
”
dim(U ) = dim(V ). Dann U = V .“ Beispiel zu: Sei M ein freier Modul von Rang r und
N ⊂ M ein freier Untermodul von Rang r. Dann gilt nicht unbedingt M = N ; z.B. 2Z ⊂ Z,
andere Beispiele.
LA3: Untermoduln von freien Moduln
- Definition: endlich erzeugbarer Modul; Beweis: Jeder Untervektorraum eines endlich erzeugbaren Vektorraumes ist endlich erzeugbar. [JS, VII.6], [Fi, 1.5, Kor 3]
- Beispiel zu: Nicht jeder Untermodul eines endlich erzeugbaren Moduls ist endlich erzeugbar.
[JS, VII.6, Bsp. unter Lem. 6.1]
- Beispiel zu: Nicht jeder Untermodul eines freien Moduls ist frei; z.B. Z/4Z als Modul über
sich selbst, Z × Z als Modul über sich selbst mit Untermodul Z × {0}.
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- Definition: direkte Summe von zwei Untermoduln [Ar, 12.6]; Beispiel zu: Nicht jeder direkte
Summand eines freien Moduls ist frei; Erklären des Beispiels in [Lam, S.28, Kap 1.2B Beispiel
zu Thm 2.14], aber: Begriff invertible module“ und Satz 2.14 nicht erklären oder verwenden,
”
statt dessen P ist nicht frei“ wie folgt zeigen: 1. eine Basis von P enthält höchstens ein Element
”
(seien f, g in der Basis, betrachte (f g)f − (f f )g), 2. angenommen f sei eine Basis von P , nach
Zwischenwertsatz hat f eine Nullstelle, also kann man nicht jede Funktion in P erreichen.
LA4: Divisionsringe statt Körper
- Definition: Divisionsring; Definition: Quaternionen über R; Beweisskizze: Quaternionen sind
ein Divisionsring; Definition: Algebra, Divisionsalgebra, Beispiele R, C; die Quaternionen sind
eine reelle Divisionsalgebra. Ohne Beweis: Frobenius’ Theorem über endlich dimensionale reelle
Divisionsalgebren. [JS, III.2], [JS, VIII.4], [Za, Teil B, Repititorium], [Za, Teil B, 6.1], [JS, IX
Satz 1.11].
- Beweisskizze: Jeder Modul über einem Divisionsring ist frei, je zwei Basen eines endlich erzeugten Moduls haben gleich viele Elemente (hierzu entweder nachprüfen, dass die Beweise aus [Fi]
hierzu auch für Divisionsringe funktionieren, oder [Gr, VIII.5], [Ga, Kap. 1] ansehen).
- Sei R ein Divisionsring. Betrachte R als Linksmodul über sich selbst. Zeigen Sie: Linksmultiplikation mit einem a ∈ R ist kein Modul-Homomorphismus, Rechtsmultiplikations aber schon.
EndR (R) = Rop , der opponierte Ring (diesen einführen). EndR (Rn ) ∼
= Mat(n × n, EndR (R)) ∼
=
op
Mat(n × n, R ) [Ga, Kap. 1,2]
- Beispiel zu: Es gibt invertierbare Matrizen über Divisionringen, deren transponierte Matrix
nicht invertierbar ist. Z.B. die Antwort von Andreas Thom in
http://mathoverflow.net/questions/47369/example-for-column-rank-neq-row-rank
Geben Sie eine explizite 2 × 2-Matrix A mit Einträgen in Quaternionen, so dass A invertierbar
ist, aber At nicht (und beweisen Sie dies).
LA5: Unendlich-dimensionale Vektorräume
- Sei `0 der Vektorraum von komplexen Folgen (xn )n∈N , so dass nur endlich viele xn ungleich
0 sind. Sei ek die Folge (0, · · · , 0, 1, 0, · · ·), wobei die 1 an k’ter Stelle steht. Zeigen Sie, dass
(ek )k∈N eine Basis von `0 ist.
- Für einen endlich dimensionalen Vektorraum gilt: Haben der Vektorraum und ein Unterraum
gleich viele Basiselemente, so ist der Unterraum schon gleich dem Vektorraum. Beispiel zu:
Für unendlich dimensionale Vektorräume V gibt es U ( V , so dass U und V gleichmächtige
Basen haben. Z.B. haben `0 und spanC (e2k |k ∈ N) ⊂ `0 Basen, die durch N indiziert sind. Dies
ist auch ein Beispiel zu: Für unendlich dimensionale Vektorräume V gibt es U ( V , so dass
weder U noch V /U endlich dimensional sind.
- Beweis: Für einen endlich dimensionalen K-Vektorraum V und f ∈ EndK (V ) gilt: f injektiv
⇔ f surjektiv ⇔ f bijektiv. Beispiel zu: Ein Endomorphismus eines unendlich dimensionalen
Vektorraumes kann injektiv und nicht surjektiv sein, und umgekehrt. Z.B.: betrachten Sie die
links- und rechtsverschiebe-Abbildungen auf `0 (auf der Basis oben: L(ek ) = ek−1 für k > 1
ud L(e1 ) = 0, sowie R(ek ) = ek+1 ). Schauen Sie Hilberts Hotel“ auf Wikipedia nach.
”
- Definition: Eigenwert und Eigenvektor eines linearen Endomorphismus; charakteristisches Polynom und Eigenwerte; Beweisskizze: Jeder Endomorphismus eines endlich dimensionalen komplexen Vektorraumes hat einen Eigenwert. Beispiel einer reellen 2 × 2-Matrix, die keinen Eigenvektor hat; Beispiel einer komplexen 2 × 2-Matrix, die einen Eigenvektor hat, aber nicht
zwei (also nicht diagonalisierbar ist). [Fi, 4.1, 4.2]
- Beispiel zu: Nicht jeder Endomorphismus eines unendlich dimensionalen komplexen Vektorraumes hat einen Eigenvektor. Z.B.: betrachten Sie die rechtsverschiebe-Abbildung wie oben.
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LA6: Orthonormalbasen
- Definition: komplexer Vektoraum mit innerem Produkt (=unitärer Raum); Hilbertraum (ohne erst normierte Räume einzuführen, das kommt später); Beispiel Cn , Beispiel `2 (quadratsummierbare Folgen, mit Beweisen). [Fi, 5.3], [Kö2, 1.6]
- Definition: orthogonale Vektoren, orthonormale Basis; Beweisskizze: Jeder endlich dimensionale
unitäre Raum hat eine orthonormale Basis (Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren). [Fi,
5.4.8]
- Definition: Orthonormalsystem, vollständiges Orthonormalsystem. Sei ek ∈ `2 die Folge (0, · · · , 0, 1, 0, · · ·),
wobei die 1 an k’ter Stelle steht. Beweis: (ek )k∈N ist ein vollständiges Orthonormalsystem. [Ka,
6.1], [MV, 12]
- Beispiel zu: ein unendlich dimensionaler Hilbertraum hat keine orthonormale Basis. (Hinweis:
deswegen wird in Büchern das Wort Orthonormalbasis“ synonym mit vollständiges Ortho”
”
normalsystem“ verwendet – dadurch nicht verwirren lassen.) Idee: Benutze (ohne Beweis): jede
Basis von `2 ist überabzählbar. Sei (va )a∈J eine orthonormale Basis. Alle ek kann man als endliche Linearkombinationen der va schreiben. Sei S ⊂ J die Teilmenge der a, die auf diese Weise
vorkommen. Dann ist S abzählbar, also S ( J. Sei b ∈ J \ S. Dann ist vb orthogonal zu allen
ek . Widerspruch.
LA7: Normen
- Definition: normierter reeller oder komplexer Vektorraum; Beispiel: unitäre Räume, Hilberträume. [Kö2, 1.2.I]
- Beweis: Eine lineare Abbildung zwischen normierten Vektorräumen ist genau dann stetig, wenn
sie Lipschitz-stetig ist; Folgerung: Lineare Abbildungen zwischen endlich dimensionalen normierten Räumen sind stetig. Beispiel zu: Nicht jeder Endomorphismus eines Hilbertraumes
ist stetig. Z.B.: Betrachte `2 . Erweitere (ek )k∈N zu einer Basis von `2 . Setze f (ek ) = kek und
f (vi ) = 0 für alle weiteren Basisvektoren. [Kö2, 1.3.V]
- Beweis: Alle Normen auf einem endlich dimensionalen reellen oder komplexen Vektorraum sind
äquivalent. [Kö2, 1.2.I, 1.2.III], [We, Satz I.2.5]
- Beispiel zu: Nicht alle Normen auf einem unendlich dimensionalen Vektorraum sind äquivalent. Z.B. `2 : Setze f ((xn )n∈N ) = ( n1 xn )n∈N und betrachte N (x) := kf (x)k`2 . Dann sind N
und k · k`2 nicht äquivalent.
Quellen
[Ar] Artin, Algebra.
[Fi] Fischer Lineare Algebra.
[Ga] Garrett, Algebras and Involutions, online http://www.math.umn.edu/ garrett/m/algebra/algebras.pdf
[Gr] Grillet, Abstract Algebra.
[JS] Jantzen, Schwermer, Algebra.
[Ka] Kaballo, Grundkurs Funktionalanalysis
[Kö2] Königsberger, Analysis 2
[Lam] Lam, Lectures on Modules and Rings.
[MV] Meise, Vogt, Einführung in die Funktionalanalysis
[We] Werner, Funktionalanalysis
[Za] Ebbinghaus et al., Zahlen.
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