Topologie - userpages

Topologie
Prof. Dr. Peter Pottinger
FB 3 - Mathematik
1. Probeklausur mit Lösungen
01.Juni 2017
Dr. Norbert Heinrich
Aufgabe 1
a) Seien d1 , d2 Metriken auf einer Menge X. Untersuchen Sie, ob dann auch
d3 : X × X → IR, d3 (x, y) := max{d1 (x, y), d2 (x, y)} eine Metrik ist.
b) Sei IR versehen mit der euklidischen Metrik. Beweisen Sie, dass mit der ε − δDefinition, f : [−1, 1] → IR, f (x) := x2 + x in jedem x0 ∈ IR stetig ist.
c)
Beweisen Sie, dass f aus b) sogar gleichmäßig stetig ist.
Lösung:
a) (1) Wegen d1 (x, y) ≥ 0 und d2 (x, y) ≥ 0 ist auch d3 (x, y) = max{d1 (x, y), d2 (x, y)} ≥ 0 für alle x, y ∈ X.
(2) Wegen d1 (x, y) = d1 (y, x) und d2 (x, y) = d2 (y, x) ist auch für alle x, y ∈ X
d3 (x, y) = max{d1 (x, y), d2 (x, y)} = max{d1 (x, y), d2 (y, x)} = d3 (y, x)
(3) Wegen d1 (x, z) ≤ d1 (x, y) + d1 (y, z) und d2 (x, z) ≤ d2 (x, y) + d2 (y, z) ist auch für alle x, y, z ∈ X
d3 (x, z) := max{d1 (x, z), d2 (x, z)} ≤ max{d1 (x, y) + d1 (y, z), d2 (x, y) + d2 (y, z)}
≤ max{d1 (x, y), d2 (x, y)} + max{d1 (y, z), d2 (y, z)} = d3 (x, y) + d3 (y, z)
b) Sei x0 ∈ IR; zu zeigen:
Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ = δ(ε, x0 ) mit d(f (x), f (x0 )) < ε für alle x mit d(x, x0 ) < δ.
Sei daher ε > 0 gegeben; dann gilt
d(f (x), f (x0 )) == |x2 +x−(x20 +x0 )| = |x2 −x20 +x−x0 | = |(x−x0 )(x+x0 +1)| =≤ |x−x0 |(|x|+|x0 |+1)
Für alle x mit d(x, x0 ) = |x − x0 | < δ folgt weiter |x| < |x0 | + δ und damit
d(f (x), f (x0 )) < δ((2|x0 | + δ + 1)
Wählen wir auf jeden Fall δ ≤ 1, so folgt weiter
d(f (x), f (x0 )) < δ(2|x0 | + 2) ≤ ε ⇐⇒ δ ≤
Wählen wir also insgesamt zum gegebenen ε > 0
ε
2|x0 | + 2
δ = δ(ε, x0 ) := min{1,
ε
, so gilt
2|x0 | + 2
d(f (x), f (x0 )) < ε für alle x mit d(x, x0 ) < δ.
c)
b)
d(f (x), f (x0 )) ≤ |x − x0 |(|x| + |x0 | + 1)|x0 |) ≤ |x − x0 | · 3
Also gibt es zu jedem ε > 0 ein δ := 3ε > 0, so dass für alle x.x0 ∈ [−1, 1] gilt
Für alle x, x0 ∈ [−1, 1] gilt
d(x, x0 ) = |x − x0 | < δ
=⇒
d(f (x), f (x0 )) < δ · 3 = ε
Aufgabe 2
a) Es sei S := {{a, b}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} eine Subbasis einer Topologie O auf
X := {a, b, c, d, e}. Bestimmen Sie daraus eine Basis B und die zugehörige Topologie
O auf X.
b) Geben Sie für die cofinite Topologie auf IN eine Subbasis an, die keine Basis ist.
Lösung:
a) Basis B = S ∪ {{a}, {b}, {c, d}, X}
Topologie O = B ∪ {{b, c, d}, {a, b, c, d}, ∅}
b) Subbasis der cofiniten Topologie, die keine Basis ist:
S = {IN \ {i} | i ∈ IN}
Aufgabe 3
a) Sei (X, O) ein topologischer Raum und A ⊆ X. Wie ist ein innerer Punkt von A, ein
Berührungspunkt von A und ein Randpunkt von A definiert ?
b) Sei (X, O) := ({1, 2, 3, 4}, {∅, X, {1}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}}). Geben Sie für die Menge
A := {1, 3} den offenen Kern, die abgeschlossene Hülle und den Rand von A an.
c)
Beweisen oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass für alle abgeschlossenen Mengen
A die abgeschlossene Hülle des offenen Kernes wieder gleich A ist.
Lösung:
a) x heißt innerer Punkt von A, wenn A eine Umgebung von x ist (d.h. es gibt eine offene
Menge O mit x ∈ O ⊆ A). x heißt Berührungspunkt von A, wenn jede Umgebung von x
einen nichtleeren Durchschnitt mit A hat (d.h. in jeder Umgebung von x liegt ein Punkt aus
A). x heißt Randpunkt von A, wenn x Berührungspunkt von A und X \ A ist (d.h. in jeder
Umgebung von x liegt ein Punkt aus A und aus X \ A). Oder: x heißt Randpunkt von A,
wenn x Berührungspunkt von A, aber kein innerer Punkt von A ist.
b) Offener Kern von A = Menge der inneren Punkte von A = {1}.
Abgeschlossene Hülle von A = Menge aller Berührungspunkte von A = X.
Rand von A = Menge aller Randpunkte von A = {2, 3, 4}
c)
Gegenbeispiel: Sei IR versehen mit der natürlichen Topologie. A := {1} ist eine abgeschlossene Menge ohne inneren Punkt, d.h. der offene Kern von A ist die leere Menge, deren
abgeschlossene Hülle wieder die leere Menge, also 6= A ist.
Aufgabe 4
a) Sei (X, O) ein topologischer Raum mit X := {a, b, c}, O := {X, ∅, {b}}, IR mit
der natürlichen Topologie versehen und f : IR → X definiert durch
f (0) := a, f (1) := c, f (x) := b für alle x ∈
/ {0, 1}.
Beweisen Sie, dass f stetig, aber weder offen noch abgeschlossen ist.
b) Es seien (X, O), (Y, O0 ) topologische Räume.
(i) Wann heißt eine Menge U ⊆ X in einem topologischen Raum (X, O)
Umgebung eines Punktes x ∈ X ?
(ii) Sei f : X → Y stetig und U eine Umgebung von x ∈ X. Beweisen oder
widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass f (U ) eine Umgebung von
f (x) ist.
Lösung:
a) Es sind
f −1 (X) = IR, f −1 (∅) = ∅, f −1 ({b}) =] − ∞, 0[∪]0, 1[∪]1, ∞[
alle offen in der natürlichen Topologie in IR. Also is f stetig.
f ist nicht offen, da z.B. f ] − 1, 21 [= {a, b} nicht offen in (X, O) ist. f ist nicht
abgeschlossen, da z.B. f [−1, 12 ] = {a, b} nicht abgeschlossen in (X, O) ist.
b) (i) Eine Menge U ⊆ X in einem topologischen Raum (X, O) heißt Umgebung eines
Punktes x ∈ X, wenn es eine offene Menge O ∈ O gibt mit x ∈ O ⊆ U .
(ii) Gegenbeispiel: Seien X := Y := IR mit der natürlichen Topologie versehen.
f : IR → IR mit f (x) := 1 ist stetig und U := IR ist eine Umgebung von
x = 0 ∈ X. Dann ist f (U ) = f (IR) = {1} nach b)(i) keine Umgebung von
f (x) = f (0) = 1.