Bedarfsgesteuerte Datenakquisition für Computermodelle{}

Bedarfsgesteuerte Datenakquisition
für Computermodelle
Der Technischen Fakultät
der Friedrich-Alexander-Universität
Erlangen-Nürnberg
zur
Erlangung des Doktorgrades Dr.-Ing.
vorgelegt von
Philipp Georg Baumgärtel
aus Lichtenfels
Als Dissertation genehmigt von der Technischen Fakultät der
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Tag der mündlichen Prüfung:
Vorsitzender des Promotionsorgans:
Gutachter:
11.12.2015
Prof. Dr. Peter Greil
Prof. Dr.-Ing. Richard Lenz
Prof. Dr.-Ing. Elmar Nöth
Zusammenfassung
Die steigende Komplexität von Simulationsvorhaben und die Notwendigkeit, neue Simulationsmodelle effizient entwickeln zu können, erfordern flexible Lösungen für das
Verwalten von Simulationseingabedaten. Die strukturierte Verwaltung der Eingabedaten von Simulationen erzeugt jedoch einen hohen initialen Aufwand für Schemaentwurf
und semantische Datenintegration. Aufgrund dieses initialen Aufwands wird in vielen
Simulationsprojekten auf die Verwendung eines DBMS (Database Management Systems)
verzichtet und stattdessen eine manuelle Verwaltung der Daten vorgezogen. Da jedoch
die Komplexität von Simulationsprojekten über ihre Laufzeit ansteigt, rechtfertigen letztlich die Vorteile einer strukturierten Datenverwaltung mit einem DBMS den initialen
Aufwand. Um die Verwendung einer strukturierten Datenverwaltung zu unterstützen,
wird eine bedarfsgetriebene Methode für die Verwaltung von Simulationseingabedaten
benötigt, die den initialen Aufwand reduziert und somit die Hürde für die Anwendung
eines DBMS niedriger setzt. Dafür sollte der Einsatz eines DBMS ohne initialen Schemaentwurf und ohne semantische Datenintegration möglich sein. Allerdings sollten der
Entwurf eines domänenspezifischen Schemas und eine schrittweise semantische Datenintegration bei Bedarf möglich sein. Weiterhin sollte die Sammlung von Eingabedaten
gezielt gesteuert werden, da dieser Schritt ebenfalls einen hohen Aufwand erfordert. Da
die Datenakquisition einen Einfluss auf die Güte der Simulationsergebnisse hat, kann
die geforderte Ergebnisgüte als Steuerungsinstrument für eine bedarfsgetriebene kostenoptimale Datensammlung eingesetzt werden.
In dieser Arbeit wird ein generisches Schema vorgestellt, das die Speicherung von Simulationseingabedaten für agentenbasierte und System-Dynamics-Simulationen ermöglicht,
ohne initial ein domänenspezifisches Schema zu erfordern. Dieses generische Schema erlaubt bei Bedarf die Erstellung von zusätzlichen domänenspezifischen Schemata. Darüber
hinaus wird ein Datenintegrationskonzept entwickelt, das bedarfsgetriebene semantische
Integration im Rahmen des generischen Schemas ermöglicht. Basierend auf einer synthetischen Arbeitslast werden in dieser Arbeit verschiedene Implementierungsalternativen
für das generische Schema evaluiert.
Für die Messung der Ergebnisgüte von Simulationen wird in dieser Arbeit die statistische
Unschärfe verwendet, da dieses Datenqualitätskriterium die Anwendbarkeit von Simulationsergebnissen für die Entscheidungsfindung beschreiben kann. Für die Abschätzung
der Unschärfe der Simulationsausgabe wird eine aus der Literatur bekannte Methode
umgesetzt, welche die Propagierung der Unschärfe der Eingabedaten durch die Simulation erlaubt. Diese Methode basiert auf der Approximation von Simulationen durch
Gaußprozesse und dient als Grundlage für eine bedarfsgetriebene Datenakquisition.
In klassischen Simulationsprojekten muss der Datensammlungsprozess iterativ stattfinden. Falls sich herausstellt, dass die Daten zu Simulationsergebnissen führen, die für die
Entscheidungsfindung zu unscharf sind, müssen erneut Eingabedaten gesammelt werden.
Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit eine Methode vorgestellt, die basierend auf
einer domänenspezifischen Obergrenze für die Unschärfe der Simulationsausgabe die
kostenoptimale Datenakquisitionsstrategie findet. Diese optimale Strategie garantiert
dabei das Einhalten der Obergrenze für die Unschärfe. Die Suche nach einer kostenoptimalen Datenakquisitionsstrategie wird in dieser Arbeit durch eine Kostenfunktion
für die Datensammlung formalisiert. Anschließend wird für dieses Optimierungsproblem
eine analytische Lösung vorgestellt. Dieser Ansatz ermöglicht eine bedarfsgetriebene
Datenakquisition, wobei der Bedarf über die Obergrenze für die Unschärfe definiert wird.
Die Genauigkeit und Effizienz dieses Ansatzes wird anhand einiger Beispiele evaluiert.
Abstract
The increasing complexity of simulation models and the need for rapid development of
new models require adaptive strategies for the management of simulation input data.
Simulation data management methodologies need to cope with the high initial effort
of schema design and semantic data integration. This initial effort is hindering the
adoption of DBMS (Database Management Systems) for managing the input data of
small simulation projects. However, as the complexity of most simulation projects
increases over time, the benefit of employing a DBMS eventually outweighs the effort.
To this end, a demand driven data management methodology is required that enables the
use of a DBMS from the outset for simulation input data. This DBMS should be usable
without the need for an initial schema design or semantic data integration. However,
designing a domain specific schema and increasing the level of semantic integration
should be possible on demand. Furthermore, as the data collection step for simulations
is extensive, the required data quality of simulation output should be considered as a
steering instrument for a demand driven data acquisition.
This thesis presents a generic schema that enables the storage of arbitrary simulation
input data for agent-based and System Dynamics simulations without requiring the
design of a domain specific schema. This generic schema enables the storage of domain
specific schema information on demand. Additionally, a data integration concept allows
to increase the level of semantic integration in the generic schema on demand in a payas-you-go manner. The performance of several alternatives for implementing this generic
schema is evaluated based on a synthetic workload.
This thesis adopts the uncertainty of simulation output as the most important data
quality dimension for simulations, as the uncertainty is an important concern when
using simulation output for decision making. An existing method to propagate the
uncertainty of input through simulations to estimate the uncertainty of the output is
discussed in this thesis. This method is based on approximating simulations using
Gaussian processes and forms the basis for a demand driven data acquisition solution.
As simulation output may prove to be too uncertain for decision making, the data
collection step has to be iterated multiple times in the worst case. Therefore, a bound
on the output uncertainty, which can be defined by a domain expert, is used to find
the most cost efficient data collection strategy that satisfies said bound. By defining a
cost function for the data collection step, the problem of finding the most cost efficient
data collection strategy is formalized and an analytic solution to this problem is given in
this thesis. With this approach, data quality requirements for simulation output enable
a demand driven data acquisition. The accuracy and efficiency of this approach are
evaluated using several examples.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Projektbeschreibung und motivierendes Beispiel . .
1.2.2 Initiale Arbeitspakete . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Problembeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Wissensbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Datenqualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Erweiterbarer Schemaentwurf . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Bedarfsgetriebene semantische Integration . . . . .
1.4.3 Speicherung von konzeptuellen Simulationsmodellen
1.4.4 Datenqualitätsdimensionen . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Datenqualitätspropagierung . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Bedarfsgesteuerte Datenakquisition . . . . . . . . .
1.5 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Simulationsdatenmanagement
2 Grundlagen des Datenmanagements
2.1 Evolutionäre Datenhaltung . . . . . . . . .
2.1.1 EAV mit Klassen und Beziehungen
2.1.2 Resource Description Framework .
2.1.3 Dokumentenspeicher . . . . . . . .
2.2 Datenintegration . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Föderierte Datenbanken . . . . . .
2.2.2 Bedarfsgetriebene Datenintegration
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3 Klassifikation von Simulationseingabedaten
3.1 Formale Modelle für Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Kontinuierliche dynamische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.1.2 Stochastische diskrete dynamische
3.1.3 System Dynamics . . . . . . . . .
3.1.4 Agentenbasierte Modelle . . . . .
3.2 Simulationseingabedaten . . . . . . . . .
3.2.1 System Dynamics . . . . . . . . .
3.2.2 Agentenbasierte Modelle . . . . .
3.2.3 Klassifikation der Eingabewerte .
Systeme
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4 Verwandte Arbeiten für das Simulationsdatenmanagement
4.1 Verwaltung wissenschaftlicher Daten . . . . . . . . . . . . .
4.2 Scientific Workflow Management Systems . . . . . . . . . .
4.3 Eingabedaten ereignisorientierter Systeme . . . . . . . . . .
4.4 Wissenschaftliche Dataspaces . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 SQLShare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 jSpace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Domain Scientific Data Cloud . . . . . . . . . . . . .
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5 Ein konzeptuelles Schema für Eingabewerte von Simulationen
5.1 Ein EAV/CR-basiertes Schema für Eingabewerte . . . . . . . .
5.1.1 Speicherung von Anfragen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Speicherung von Simulationsläufen . . . . . . . . . . . .
5.2 Ein Schema für mehrdimensionale Eingabewerte . . . . . . . . .
5.3 Ein Schema zur Speicherung von Zustandsdiagrammen . . . . .
5.3.1 UML-Zustandsdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Ein Schema für Zustandsdiagramme . . . . . . . . . . .
5.4 Bedarfsgetriebene Datenintegration . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Architektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Ein Schema für bedarfsgetriebene Datenintegration . . .
5.4.3 Semantische Integration von Pivot-Tabellen . . . . . . .
6 Evaluation des generischen Schemas
6.1 Vereinfachtes Schema . . . . . . . . . . .
6.2 Implementierungsalternativen . . . . . .
6.2.1 Auswahl konkreter DBMS . . . .
6.2.2 Relationale Abbildung . . . . . .
6.2.3 Klassisches relationales Schema .
6.2.4 Dokumentenorientierte Abbildung
6.2.5 Hybride Abbildung . . . . . . . .
6.2.6 Abbildung auf RDF . . . . . . . .
6.3 Charakteristika der Daten . . . . . . . .
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6.4 Anfragedefinition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Hardware- und Softwarekonfiguration . . .
6.5.2 Evaluation möglicher Indizes . . . . . . . .
6.5.3 Evaluationsergebnisse . . . . . . . . . . . .
6.5.4 Evaluation in Abhängigkeit des Füllstands
6.5.5 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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II Unschärfepropagierung
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7 Datenqualitätsmanagement für Computermodelle
7.1 Datenqualitätsdimensionen . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Datenqualitätsdimensionen für Computermodelle .
7.3 Simulation-Input-Modeling . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Bedarfsgetriebene Datenakquisition . . . . . . . . .
7.5 Unschärfe in Simulationen . . . . . . . . . . . . . .
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8 Grundlagen der Unschärfepropagierung
8.1 Gaußprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Regression mit Gaußprozessen . . . . . .
8.1.2 Gaußprozesse für komplexe Simulationen
8.2 Unschärfepropagierung für Gaußprozesse . . . .
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9 Verwandte Arbeiten für die Unschärfepropagierung
9.1 Unschärfepropagierung . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Unschärfequantifizierung . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Optimales Design von Experimenten . . . . . . . . .
9.4 Optimale Wahl von Stichprobengrößen . . . . . . . .
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10 Inverse Unschärfepropagierung
10.1 Kostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Kostenoptimale Inverse Unschärfepropagierung . . . .
10.3 Feste Eingabeparameter . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Simulationen mit mehreren Ausgabewerten . . . . . . .
10.5 Gemeinsam geschätzte Parameter . . . . . . . . . . . .
10.6 Das unbekannte u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Optimale Datenakquisitionsstrategie mit unscharfem u
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11 Evaluation der inversen Unschärfepropagierung
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11.1 Kostenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.2 Unschärfepropagierung . . . . . . . . . . .
11.3 Inverse Unschärfepropagierung . . . . . . .
11.3.1 Evaluation der Geschwindigkeit . .
11.3.2 Evaluation an einem realen Beispiel
11.4 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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III Epilog
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12 Zusammenfassung, Diskussion und Ausblick
12.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Simulationsdatenmanagement . . . .
12.1.2 Unschärfepropagierung . . . . . . . .
12.2 Diskussion der getroffenen Annahmen . . . .
12.2.1 Simulationsdatenmanagement . . . .
12.2.2 Unschärfepropagierung . . . . . . . .
12.3 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 Simulationsdatenmanagement . . . .
12.3.2 Unschärfepropagierung . . . . . . . .
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171
171
173
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175
176
178
178
179
Anhang
A Notation
183
B Aggregationssemantik
B.1 Aggregation von Fakten für einfache Zustandsdiagramme . . . . . . . . .
B.2 Aggregation von Fakten für orthogonale Regionen . . . . . . . . . . . . .
B.3 Wahrscheinlichkeit von Pfaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
185
186
188
C Abbildung der Anfragen
C.1 Relationale Abbildung . . . . . . .
C.2 Klassisches relationales Schema . .
C.3 Hybride Abbildung . . . . . . . . .
C.4 Dokumentenorientierte Abbildung .
C.4.1 MapReduce . . . . . . . . .
C.4.2 MongoDB Query Language
C.5 Abbildung auf RDF . . . . . . . . .
191
191
192
193
194
194
197
199
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D Mathematische Grundlagen
201
D.1 Die mehrdimensionale Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
D.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . .
D.2.1 Woodbury-Matrix-Identität
D.2.2 Definitheit von Matrizen . .
D.3 Optimierung . . . . . . . . . . . . .
D.3.1 Lagrange-Multiplikator . . .
D.3.2 Konvexe Optimierung . . . .
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E Herleitungen
E.1 Invertierung der Kovarianzmatrix für SPGP . . . . .
E.2 Gradient und Hesse-Matrix für Kovarianzfunktionen
E.2.1 Gaußsche Kovarianzfunktion . . . . . . . . . .
E.2.2 SPGP-Kovarianzfunktion . . . . . . . . . . . .
E.2.3 SPGP-DR-Kovarianzfunktion . . . . . . . . .
E.3 Exakte Unschärfepropagierung für SPGP-DR . . . .
E.4 Auf der Spur von Blockmatrixprodukten . . . . . . .
E.5 Die Fisher-Information für verschiedene Verteilungen
E.5.1 Exponentialverteilung . . . . . . . . . . . . .
E.5.2 Trefferwahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . .
E.5.3 Mittelwert der Normalverteilung . . . . . . . .
E.5.4 Standardabweichung der Normalverteilung . .
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201
202
202
202
202
203
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205
205
207
207
208
208
209
211
211
212
212
213
213
Literaturverzeichnis
215
Eigene Publikationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Weitere Publikationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Studentische Abschlussarbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Abkürzungsverzeichnis
235
Abbildungsverzeichnis
237
Tabellenverzeichnis
239
Liste von Annahmen
241
Stichwortverzeichnis
247
13
1
Einleitung
“
On two occasions I have been asked, ’Pray, Mr.
Babbage, if you put into the machine wrong
figures, will the right answers come out?’ I am
not able rightly to apprehend the kind of
confusion of ideas that could provoke such a
question.
”
(Charles Babbage)
Bei Simulationsprojekten wird in der Regel sehr viel Wert auf die Validität der Modellierung der systeminhärenten Zusammenhänge gelegt. Das obige Zitat von Charles
Babbage verdeutlicht jedoch, dass die Korrektheit der Eingabedaten bei Berechnungen
mindestens genauso relevant ist wie ein korrektes Modell. Aus diesem Grund widmet sich
diese Arbeit der Verwaltung und Gütebewertung der Eingabedaten für Simulationen.
Für wissenschaftliche Anwendungen werden häufig keine Datenbanken für die Verwaltung der Daten eingesetzt, da der Aufwand den Nutzen zu übersteigen scheint. Bei der
Datenhaltung für Simulationen müssen viele heterogene Datenquellen integriert und
bereinigt werden. Ebenso lässt sich im Vorfeld eines Simulationsvorhabens kein festes
Schema definieren, da sich die Anforderungen im Laufe eines Projekts verändern. Der
Schemaentwurf und die Integration von Daten erfordern einen hohen initialen Aufwand,
der sich bei einzelnen Analysen und Simulationen nicht rentiert. Wird jedoch eine Datenbasis geschaffen, die für mehrere wissenschaftliche Projekte verwendet werden kann, so
überwiegt der Nutzen durch integrierte und bereinigte Daten, für die eine Qualitätssicherung durchgeführt wurde. Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit ein Ansatz vorgestellt,
der den initialen Aufwand des Schemaentwurfs und der Datenintegration verlagert, so
dass eine Datenbank bereits für einzelne Analysen eingesetzt werden kann. Wenn sich
im Laufe der Zeit herausstellt, dass die Daten eines Projekts weiterverwendet werden
sollen, so ist es dann möglich, die Datenintegration und den Schemaentwurf nachträglich
durchzuführen. Eine bereinigte Datenbasis ermöglicht durch ein domänenspezifisches
Schema beispielsweise die Wiederverwendung der gesammelten Eingabedaten für verschiedene Analysen. Zusätzlich vereinfacht ein domänenspezifisches Schema durch klar
definierte Begriffe eine Datensammlung, die parallel von verschiedenen Domänenexperten
durchgeführt wird.
14
Kapitel 1 Einleitung
Um die Qualität der Daten zu sichern, wird in dieser Arbeit diskutiert, wie die Qualität
von Simulationseingabedaten gemessen und auf welche Weise eine Qualitätssicherung
durchgeführt werden kann. Dabei soll besonderes Augenmerk darauf gelegt werden, die
Datenqualität als Steuerungsinstrument für die Sammlung von Daten zu verwenden.
Ausgehend von einer gewünschten Güte der Ausgabewerte einer Simulation soll eine
Strategie zur Datensammlung entworfen werden, welche die geforderte Güte mit möglichst geringem Aufwand erreicht.
In dieser Einleitung werden zunächst grundlegende Begriffe geklärt, um die Unmissverständlichkeit dieser Arbeit zu gewährleisten. Anschließend werden die Motivation und
die ursprüngliche Problemstellung, welche dieser Arbeit zugrunde liegen, vorgestellt.
Basierend auf der Problemstellung werden verschiedene Hypothesen entwickelt, die auf
gewissen Annahmen beruhen. Die Annahmen und Hypothesen werden in dieser Einleitung einzeln aufgestellt und beschrieben, um deutlich zu machen, welche Ziele diese
Arbeit verfolgt. Ebenso wird für jede Hypothese dargelegt, wie sie im Rahmen dieser
Arbeit evaluiert wird. Im Laufe der Arbeit wird immer wieder Bezug auf die jeweiligen
Hypothesen genommen und es werden weitere Annahmen aufgelistet, die für die Lösung
der Problemstellungen notwendig sind. Die Hypothesen und Annahmen werden am Ende
der Arbeit aufgegriffen und diskutiert. Zum Abschluss dieses Kapitels wird der Aufbau
dieser Arbeit vorgestellt.
1.1 Grundlegende Begriffe
Ein Computermodell ist ein mathematisches Modell, welches aufgrund seiner Komplexität mit einem Computer ausgewertet werden muss. In dieser Arbeit werden die
Begriffe „Computermodell“, „Simulationsmodell“ und im Falle eines eindeutiges Kontextes auch „Modell“ synonym verwendet.
Ein Simulationsmodell besitzt verschiedene Eingaben, welche sich in Eingabeparameter und Eingabevariablen aufteilen. In der Simulationsliteratur werden mit dem
Begriff „Eingabeparameter“ häufig Eingaben bezeichnet, die auf Daten beruhen, während der Begriff „Eingabevariablen“ häufig Eingaben bezeichnet, welche im Rahmen
von Experimenten verändert werden, um verschiedene Szenarien zu evaluieren. Diese
Unterscheidung geschieht in der Literatur teilweise willkürlich, da bei spekulativen Simulationen auch Eingaben variiert werden, für die eigentlich Daten vorliegen. Für diese
Arbeit sind nur Eingaben relevant, für die Daten vorliegen. Eine vom Benutzer frei
wählbare Eingabevariable, für die keine Daten vorliegen, wird im Rahmen dieser Arbeit
als Modellierungsentscheidung betrachtet und ist somit Teil des Simulationsmodells. Aus
1.1 Grundlegende Begriffe
15
diesem Grund werden die Begriffe „Eingabe“ und „Eingabeparameter“ synonym verwendet. Werden für Eingaben feste Werte gewählt, so werden diese als „Eingabewerte“
bezeichnet.
Ein Computerexperiment ist die Ausführung eines Modells mit bestimmten Eingabewerten und wird häufig auch als Simulation oder Simulationslauf bezeichnet. Neben
den Eingaben besitzt ein Simulationsmodell auch Ausgaben, die durch die Computerexperimente berechnet werden. Die Ergebnisse eines solchen Computerexperiments sind
demnach Ausgabewerte.
Bei aufwendigen Simulationsmodellen werden häufig Surrogatmodelle für die Analyse
der Simulationen verwendet. Ein Surrogatmodell ist eine analytisch berechenbare Funktion, welche abhängig von den Eingaben einer Simulation die entsprechenden Ausgaben
der Simulation effizient approximiert. Surrogatmodelle basieren auf einer Reihe von Beobachtungen von Simulationsläufen, die mit verschiedenen Eingabewerten durchgeführt
wurden.
Die Güte der Eingabewerte wirkt sich direkt auf die Güte der Ausgabewerte aus. Die
Berechnung der Güte der Ausgabewerte aufgrund der Güte der Eingabewerte wird als
Propagierung bezeichnet. Diese Berechnung ist nicht Teil des eigentlichen Simulationsmodells und ist somit mit zusätzlichem Aufwand behaftet.
Im Zusammenhang mit dem Datenmanagement werden folgende Begriffe unterschieden
[KE09]: Ein Datenmodell legt die Konstrukte, mit denen Datenobjekte beschrieben
werden können, und die Operatoren, die auf diesen Datenobjekten anwendbar sind,
fest. Ein Beispiel ist das relationale Datenmodell. Ein Datenmodell kann verwendet
werden, um die Struktur von Datenobjekten zu beschreiben. Eine solche Beschreibung
wird Schema genannt. Die Menge von gespeicherten Datenobjekten, die einem Schema
entsprechend aufgebaut sind, wird Ausprägung genannt.
Es muss zusätzlich noch zwischen Domänenmodell und Schema unterschieden werden.
Ein Domänenmodell formalisiert Konzepte einer Domäne und die Beziehungen zwischen
den Konzepten. Es dient der Konsensfindung bezüglich der Bedeutung von gemeinsam
verwendeten Daten innerhalb einer Domäne. Ein Domänenmodell wird häufig für den
Entwurf eines domänenspezifischen Schemas als semantische Referenz verwendet. Allerdings ist es auch möglich, domänenunabhängige Schemata zu entwerfen.
Für die Beschreibung von Schemata werden Begriffe der ER-Modellierung (Entity Relationship) verwendet. Es wird also von Entitätstypen, Entitäten und Attributen
gesprochen. Eine Entität ist ein Realweltobjekt, das durch Attribute beschrieben wird.
Ein Entitätstyp ist eine Menge von Entitäten mit gleichen Attributen.
16
Kapitel 1 Einleitung
1.2 Motivation
Da diese Arbeit auf einem konkreten Simulationsprojekt basiert, wird dieses zunächst
kurz beschrieben. Ebenso wird auf die initialen Arbeitspakete eingegangen, die im Rahmen dieses Projekts für die Datenverwaltung erfüllt werden sollten. Einige der grundlegenden Annahmen beziehen sich auf die spezifischen Charakteristika des Projekts.
Ausgehend davon werden in dieser Arbeit allerdings Ergebnisse vorgestellt, welche möglichst allgemeingültig sein sollen.
1.2.1 Projektbeschreibung und motivierendes Beispiel
Das interdisziplinäre Simulationsprojekt ProHTA (Prospective Health Technology Assessment) [DG11] diente als Motivation für diese Arbeit. Im Rahmen dieses Projekts
sollten die Effekte von neuartigen Medizinprodukten auf das Gesundheitssystem simuliert werden. Dabei stand die Simulation von Patienten und des Gesundheitssystems im
Vordergrund und nicht die Simulation der biologischen Effekte der neuartigen Technologien.
Beispiel 1. Als motivierendes Beispiel dient die Simulation der Schlaganfallbehandlung. Dieses Beispiel wird im Laufe der Arbeit immer wieder aufgegriffen und verfeinert, um die einzelnen Konzepte zu illustrieren.
Schlaganfälle sind vor allem für ältere Menschen eine häufige Todesursache und führen auch bei einem nicht-tödlichen Verlauf oft zu starken Behinderungen [DKRHG12].
Ein Schlaganfall lässt sich medikamentös behandeln (Thrombolyse), allerdings muss
die Thrombolyse innerhalb von 4.5 Stunden nach Auftreten des Schlaganfalls durchgeführt werden [DKRHG12]. Da während eines Schlaganfalls Gehirnzellen rapide
absterben, sollte die Behandlung so früh wie möglich beginnen [DKRHG12].
Eines der Ziele von ProHTA war die Modellierung von speziellen Einsatzfahrzeugen
(Mobile Stroke Units) zur Behandlung von Schlaganfällen in Berlin [DKRHG12]. Mobile Stroke Units sind Krankenwagen, die mit Computertomographen ausgestattet
wurden. Dies ermöglicht es, bei Patienten, welche die Symptome eines Schlaganfalls
aufweisen, schnell feststellen zu können, ob tatsächlich ein Schlaganfall vorliegt und
wie dieser behandelt werden kann. Das Simulationsmodell sollte die zeitliche Verbesserung bei der Behandlung von Schlaganfallpatienten abschätzen. Wichtig war dabei
einerseits die Modellierung der detaillierten Behandlungsabläufe und andererseits die
Modellierung der Bevölkerungsentwicklung, um zukünftige Fallzahlen abzuschätzen.
1.2 Motivation
17
Das Ergebnis der Simulation sollte dann der Abschätzung dienen, ob eine Investition
in Mobile Stroke Units wirtschaftlich sinnvoll ist.
Beispielszenarien wie das Schlaganfall-Szenario sollten der Entwicklung eines Baukastens
für Simulationsmodelle dienen. Dieser sollte die Entwicklung von zukünftigen gesundheitsökonomischen Simulationen beschleunigen. Zusätzlich sollte die Qualitätssicherung
für Simulationsmodelle durch eine standardisierte Vorgehensweise für die Modellierung
gewährleistet werden.
Um die Ziele von ProHTA zu erreichen, wurden verschiedene Arten von Simulationsmodellen kombiniert. Agentenbasierte Simulationsmodelle, bei denen Patienten als
autonome Softwareagenten mittels endlicher Automaten modelliert werden, dienen der
feingranularen Simulation von Behandlungs- und Diagnoseabläufen [DKRHG12]. Agenten können dabei sowohl miteinander als auch mit der Umgebung interagieren. Beispielsweise können sie Ressourcen belegen, verbrauchen oder produzieren. SD-Modelle
(System Dynamics) ermöglichen, mittels Differentialgleichungen die Flüsse zwischen einzelnen Teilen der Bevölkerung zu modellieren [Ste00]. Dies erlaubt eine grobgranulare
Simulation der Bevölkerung ganzer Länder. Um diese beiden Simulationsmethoden zu
kombinieren, können hybride Modelle verwendet werden [DKRHG12]. Dadurch ist eine effiziente Simulation der Gesamtbevölkerung unter gleichzeitiger Betrachtung der
detaillierten Behandlungs- und Diagnoseabläufe möglich.
Beispiel 2. Für die Simulation der Schlaganfallbehandlung wurde der Ablauf vom
Auftreten der Krankheit bis zur Diagnose und Behandlung modelliert. Dabei wurden die Patienten als Agenten dargestellt, deren Verhalten durch ein Zustandsdiagramm beschrieben wird. Die Bevölkerungsentwicklung in Deutschland und das
Auftreten von Schlaganfällen in der Bevölkerung wurden mit SD-Modellen abgebildet
[DKRHG12]. Für die Simulation der Mobile Stroke Units wurde keine detaillierte Verkehrssimulation verwendet. Stattdessen wurden die Fahrtzeiten der Einsatzfahrzeuge
basierend auf den Entfernungen zwischen Patienten und Krankenhäusern geschätzt.
1.2.2 Initiale Arbeitspakete
Im Rahmen von ProHTA sollte ein Simulations-Werkzeugkasten entworfen werden, der
es ermöglicht, effizient eine Vielzahl von Simulationen für unterschiedliche Fragestellungen zu entwickeln. Aufgrund der erwarteten Menge von unterschiedlichen Simulationen
wurden neben den Problemen der Simulation und Modellierung auch Probleme der
Datenverwaltung antizipiert. Die initiale Vorhabensbeschreibung von ProHTA enthielt
Arbeitspakete für das Datenmanagement, die auf den erwarteten Problemen basierten.
18
Kapitel 1 Einleitung
Da diese der Ausgangspunkt und die Motivation für diese Arbeit waren, werden sie im
Folgenden kurz vorgestellt:
Schema Nach einer Anforderungsanalyse des Informationsbedarfs von Simulationen
sollte ein relationales Schema zur Speicherung der nötigen Eingabewerte entworfen werden. Dabei sollte besonders auf die Erweiterbarkeit des Schemas geachtet werden, um
den veränderlichen Anforderungen im Laufe des Projekts gerecht zu werden.
Wissensbasis Es sollte eine erweiterbare Wissensbasis entworfen werden, welche die
Speicherung von domänenspezifischen Regeln ermöglicht. Zu diesem Zweck sollte ein
Modell erarbeitet werden, das die formale Abbildung von Regeln und Zusammenhängen
erlaubt.
Datenqualität Es sollten Kriterien gefunden werden, mit denen die Qualität der
Eingabewerte hinsichtlich der Verwendbarkeit für Simulationen beurteilt werden kann.
Diese Kriterien sollten zur Annotation der Daten verwendet werden, um die Aussagekraft
der Simulationsergebnisse abschätzen zu können.
1.3 Problembeschreibung
Basierend auf den initialen Arbeitspaketen wurden im Rahmen dieser Arbeit verschiedene
wissenschaftliche Fragestellungen im Zusammenhang mit der Verwaltung von Eingabewerten identifiziert. Diese werden nun im Folgenden vorgestellt. Dabei orientiert sich die
Gliederung an den ursprünglichen Arbeitspaketen.
1.3.1 Schema
Howe et al. [HCS+ 11, HHR+ 13] identifizierten den initialen Aufwand des Schemaentwurfs
als grundlegendes Hemmnis bei der Verwendung von Datenmanagementsystemen für
wissenschaftliche Anwendungen. Daten aus verschiedenen Quellen müssen bereinigt und
in ein konsolidiertes Schema zusammengeführt werden, um für Simulationen nützlich zu
sein. Dies gestaltet den initialen Schemaentwurf schwierig, da die Daten oft selbst innerhalb eines einzelnen Simulationsprojekts aufgrund der verschiedenen Quellen heterogen
sind. Zudem ändern sich die Anforderungen an die Datenhaltung häufig im Verlauf eines
Simulationsprojekts, was Veränderungen des Schemas zur Folge hat. Dieses Problem ist
allgemein als Softwarealterung [Par94] bekannt.
1.3 Problembeschreibung
19
Beispiel 3. Im Rahmen des Schlaganfallszenarios wurden während der Projektlaufzeit die Bevölkerungsstatistiken für Berlin, die für jeden Bezirk vorliegen, gegen
Daten für ein ländliches Szenario ausgetauscht, in denen keine Bezirke vorkommen.
Dies führt dazu, dass ein festes domänenspezifisches Schema für die Änderung des
Szenarios angepasst werden müsste, was Änderungen an den Programmen, die auf
diese Daten zugreifen, nach sich ziehen würde. Ein flexibles Schema würde die Speicherung der Daten für Berlin und für das ländliche Szenario ohne Schemaanpassung
erlauben. Programme für die Suche, Darstellung und Verarbeitung von diesen Daten könnten somit ohne Anpassung mit beiden Datensätzen arbeiten. Lediglich die
Berechnungen innerhalb des Simulationsmodells müssten an den neuen Datensatz
für das ländliche Szenario angepasst werden, da dieser nicht mehr nach Bezirken
gegliedert ist.
Auf Grund der veränderlichen Anforderungen sollte ein Schema von Grund auf so entworfen werden, dass es flexibel genug ist, um sich möglichen Veränderungen der Anforderungen anzupassen. Da der Entwurf eines konkreten domänenspezifischen Schemas
für ein einzelnes Simulationsprojekt einen zu großen Aufwand bedeutet, sollte ein generisches domänenunabhängiges Schema entworfen werden, welches für verschiedene
Simulationsprojekte im Rahmen einen Simulationsbaukastens Anwendung finden kann.
Daraus ergibt sich folgende Fragestellung, die im Rahmen dieser Arbeit gelöst wird:
Problem 1. Wie lässt sich ein generisches und erweiterbares Schema entwerfen, welches
der Speicherung von Eingabewerten für agentenbasierte und SD-Simulationen dient?
Neben dem Schemaentwurf ist die Integration der Daten ein zentrales Problem. Ein
generisches Schema ermöglicht zwar die Speicherung von heterogenen Daten, zusätzlich
muss jedoch auch dafür gesorgt werden, dass diese Daten interpretiert werden können.
Beispiel 4. Im Schlaganfallszenario wurden beispielsweise Daten verwendet, welche
die Häufigkeit des Auftretens der Krankheit beschreiben. Dabei musste zwischen
verschiedenen Arten des Schlaganfalls unterschieden werden [DKRHG12]. Die Verwendung einer kanonischen Klassifikation von Schlaganfällen ermöglicht dann eine
semantische Integration der Häufigkeiten. Dabei wird jedem Element der Datensätze
zugeordnet, auf welche Art des Schlaganfalls es sich bezieht.
Es wird zwischen technischer und semantischer Integration unterschieden [LBK07].
Technische Integration ermöglicht den Zugriff auf Daten. Dabei werden das Schema einer
Datenquelle und die zugehörigen Daten aus dem quellspezifischen Datenmodell in ein
20
Kapitel 1 Einleitung
kanonisches Datenmodell transformiert. Beispielsweise können Daten aus Pivot-Tabellen
in das relationale Datenmodell transformiert werden. Das Schema einer Pivot-Tabelle
besteht dabei aus Zeilen, Spalten und Zellen, welche sich leicht auf Tupel, Attribute
und Attributwerte im relationalen Modell abbilden lassen. Tabelle 1.1(a) zeigt eine
Pivot-Tabelle, die in einer Relation gespeichert wurde. Die Speicherung in einer Relation
ermöglicht den Zugriff auf die Daten mit Hilfe der relationalen Algebra.
Im Gegensatz zur technischen Integration dient die semantische Integration dem Verständnis der Daten und erfolgt, indem Konzepte und Begriffe zwischen den verschiedenen
Datenquellen vereinheitlicht werden. Es wird ein kanonisches Schema gebildet.
Die semantische Integration kann dabei sowohl auf Schemaebene als auch auf Ausprägungsebene durchgeführt werden. Bei der semantischen Integration auf Schemaebene werden die Elemente eines Schemas den Elementen eines kanonischen Schemas zugeordnet.
Beispielsweise wird in Tabelle 1.1(b) eine semantisch integrierte Version der Daten aus
Tabelle 1.1(a) dargestellt. Dabei wurde beispielsweise der Zeile 1 der Pivot-Tabelle 1.1(a)
das Attribut Gender zugeordnet. Ebenso wurde den Zahlen in der Pivot-Tabelle eine
Bedeutung gegeben, indem sie dem Attribut People zugeordnet wurden. Die Bedeutung
der Attribute muss für das kanonische Schema eindeutig definiert sein.
Eine semantische Integration auf Ausprägungsebene könnte in diesem Beispiel dem
Attributwert „M“ den kanonischen Attributwert „Male“ zuordnen.
Row
1
2
3
4
5
Col. 1
10
20
30
C. 2
M
2010
0
4
6
C. 3
F
2010
8
7
9
C. 4
M
2011
1
1
4
C. 5
F
2011
5
1
2
(a) Relational gespeicherte Pivot-Tabelle
Age
10
10
10
10
20
20
20
20
30
30
30
30
Year
2010
2010
2011
2011
2010
2010
2011
2011
2010
2010
2011
2011
Gender
M
F
M
F
M
F
M
F
M
F
M
F
People
0
8
1
5
4
7
1
1
6
9
4
2
(b) Semantisch integrierte PivotTabelle
Tabelle 1.1: Beispiel für die semantische Integration
1.3 Problembeschreibung
21
Es gibt bereits Ansätze zur automatischen semantischen Integration von Daten
[RB01, BMR11], allerdings benötigen auch diese eine manuelle Überprüfung. Zudem
ist eine semantische Integration nicht immer möglich, da sich oft die Konzepte eines
Schemas nicht auf die Konzepte eines anderen Schemas abbilden lassen. Dies führt bei
der semantischen Integration unter Umständen zu einem Verlust von Informationen.
Da die Datenverwaltung Teil eines Baukastens für den effizienten Entwurf von mehreren
Simulationsmodellen innerhalb derselben Domäne sein soll, lohnt sich die aufwändige
semantische Integration von Daten, da diese unter Umständen mehrfach benutzt werden
können. Allerdings läuft in vielen Simulationsprojekten die Datensammlung unabhängig
oder parallel zur Modellentwicklung ab. Aus diesem Grund werden viele Datensätze
gesammelt, die unter Umständen nicht benötigt werden. Die semantische Integration
aller Datensätze würde einen erheblichen Aufwand verursachen, allerdings könnten diese
Datensätze für zukünftige Simulationsmodelle nützlich sein. Aus diesem Grund sollten
alle Datensätze gespeichert werden und mittels einfacher Volltextsuche durchsuchbar
sein (technische Integration). Bei Bedarf sollte es dann möglich sein, die Datensätze
semantisch zu integrieren und in ein konsolidiertes kanonisches Schema zu überführen.
Dies führt zu der folgenden Fragestellung:
Problem 2. Wie lassen sich Simulationseingabedaten automatisiert technisch integrieren und mittels Volltextsuche durchsuchbar machen, mit der zusätzlichen Möglichkeit,
die Daten bei Bedarf semantisch zu integrieren?
1.3.2 Wissensbasis
Im Rahmen der Wissensbasis sollten Regeln und Zusammenhänge gespeichert werden, die
dann für die Erstellung der Simulationsmodelle herangezogen werden können. Bei vielen
Simulationsprojekten wird bereits vor der eigentlichen Implementierung der Simulation
ein konzeptuelles Modell entworfen. Hierfür gibt es bereits diverse Beschreibungsmöglichkeiten wie beispielsweise UML (Unified Modeling Language), um formal komplexe
Zusammenhänge modellieren zu können [RM00, BDV05].
Die UML-Modelle, die eine Simulation beschreiben, sollten auch die Eingabewerte berücksichtigen, da in den Modellen bereits klar sein muss, welche Parameter von den
einzelnen Komponenten benötigt werden. Diese Verknüpfung von konzeptuellen Simulationsmodellen und Eingabewerten innerhalb der Datenhaltung würde es ermöglichen,
lauffähige Simulationsmodelle oder zumindest Gerüste für Simulationsmodelle automatisch zu generieren.
22
Kapitel 1 Einleitung
Beispiel 5. Für das Schlaganfallszenario wurden beispielsweise die Diagnose- und
Behandlungsabläufe als Zustandsdiagramme modelliert. Die Daten, die für die Simulation gesammelt wurden, bezogen sich immer auf Zustände oder Übergänge
zwischen Zuständen. Beispielsweise wurden die durchschnittlichen Zeiten zwischen
der Ankunft im Krankenhaus und der Diagnose gespeichert.
Die Zustandsdiagramme können im Rahmen der semantischen Integration direkt als
Teil des kanonischen domänenspezifischen Modells für die Beschreibung der Daten
verwendet werden. Auf diese Weise müssen diese Modelle nicht getrennt gepflegt werden, was zu Inkonsistenzen führen könnte. Zusätzlich ermöglicht eine Verknüpfung
zwischen den Daten und den Zustandsdiagrammen eine bessere Durchsuchbarkeit
der Datensammlung, da direkt nach den Daten für einzelne Elemente des Simulationsmodells gesucht werden kann.
Aus diesen Überlegungen ergibt sich hier folgende Fragestellung:
Problem 3. Wie lassen sich konzeptuelle Simulationsmodelle in einer Datenbank speichern und für die Annotation der Daten verwenden?
1.3.3 Datenqualität
Neben dem Schemaentwurf und der Integration von Daten ist die Bewertung der Datenqualität eine zentrale Aufgabe des Datenmanagements. Die Qualität der Eingabeparameter einer Simulation muss bewertet werden, um damit die Güte der Simulationsausgabe
abschätzen zu können.
Beispiel 6. Im Schlaganfallszenario wurden beispielsweise Daten für die Kosten
einer Behandlung aus Registern mit einer geringen Anzahl an Patienten verwendet.
Zusätzlich wurden die Daten für die Überlebenschancen der Patienten aus einer
Studie mit einer geringen Teilnehmerzahl entnommen. Das Simulationsergebnis soll
allerdings für die Entscheidung verwendet werden, ob die Entwicklung von Mobile
Stroke Units wirtschaftlich und medizinisch sinnvoll ist. Aus diesem Grund muss
neben der Validierung und Verifikation des Simulationsmodells die Qualität aller
Eingabedaten quantifiziert und zusätzlich zu den Daten gespeichert werden.
Die Qualität der Eingabedaten muss dann dazu verwendet werden, um die Qualität
der Ausgabewerte der Simulation abschätzen zu können. Falls die Qualität der Simulationsausgabe nach dieser Abschätzung zu gering ist, um eine Entscheidung treffen
zu können, sollte es möglich sein, eine erneute Datensammlung gezielt zu steuern. In
diesem Beispiel müsste unter der Berücksichtigung der Kosten einer Datensammlung
1.3 Problembeschreibung
23
sowohl für die Kostendaten als auch für die Überlebenschancen die minimale Anzahl
an Patienten bestimmt werden, die für eine Studie nötig sind, um die gewünschte
Qualität der Simulationsausgabe zu erreichen.
Um die Qualität von Daten einordnen zu können, wird meist als Bewertungskriterium
„fitness for use“ [WS96] herangezogen. Hierbei werden die Daten daran bewertet, inwieweit diese den Anforderungen der jeweiligen Anwendung genügen. Um nun eine konkrete
Bewertung von Daten vornehmen zu können, müssen die relevanten domänenspezifischen
Aspekte der Datenqualität identifiziert und gewichtet werden. Diese Aspekte werden
auch als Datenqualitätsdimensionen bezeichnet. Aus diesem Grund muss im Rahmen
dieser Arbeit zunächst folgende Fragestellung beantwortet werden:
Problem 4. Welche Datenqualitätsdimensionen sind für Eingabewerte und Simulationsausgaben relevant und wie lassen sich diese Dimensionen messen?
Ausgehend von der Güte der Eingabewerte muss nun die daraus resultierende Güte
der Simulationsausgabe bestimmt werden, was in folgender Fragestellung festgehalten
wird:
Problem 5. Wie lässt sich die Güte der Simulationsausgabe anhand der Qualität der
Eingabewerte bestimmen?
Bei manchen Simulationen ist unter Umständen noch nicht klar, welche Güte die Eingabewerte haben, da diese erst noch gesammelt werden müssen. Unter Umständen wurden
auch bereits Daten mit unzureichender Qualität gesammelt, die nun durch eine weitere
Datensammlung verbessert werden müssen.
Aufgrund der Anforderungen der Domänenexperten, welche die Simulation in Auftrag
gegeben haben, kann davon ausgegangen werden, dass die geforderte Güte der Simulationsausgabe bekannt ist. Um Mehraufwand zu vermeiden, sollte also die Datensammlung
so gestaltet werden, dass die geforderte Güte der Simulationsausgabe mit möglichst
geringem Aufwand erreicht wird. Dies führt zu der Idee, die geforderte Güte der Simulationsausgabe als Steuerungsinstrument für die Datensammlung heranzuziehen. Dieses
Problem wurde auch von Song und Nelson [SN13] als offene Forschungsfrage identifiziert
und wird im Rahmen der folgenden Problemstellung bearbeitet:
Problem 6. Wie lässt sich die Datensammlung steuern, so dass mit minimalem Aufwand die geforderte Qualität der Simulationsausgabe erreicht wird?
Um dieses Problem zu lösen, muss das Konzept der Datensammlung formalisiert werden
und es muss eine Kostenfunktion definiert werden, welche den Aufwand einer Datenerhebung beziffert.
24
Kapitel 1 Einleitung
1.4 Hypothesen
Basierend auf den einzelnen wissenschaftlichen Fragestellungen werden in diesem Abschnitt Hypothesen und Annahmen formuliert, die den Kern dieser Arbeit bilden. Zu
jeder Hypothese wird die Methodik angegeben, mit der sie evaluiert wird. Im Laufe der
Arbeit werden die getroffenen Annahmen, unter denen die Hypothesen evaluiert werden,
weiter verfeinert. Auf diese Weise sind die Hypothesen, die in diesem Abschnitt postuliert
werden, fest. Ihre Bedeutung wird aber im Laufe der Arbeit weiter konkretisiert, indem
den abstrakten Begriffen der Hypothesen durch Definitionen und Annahmen konkrete
Bedeutung gegeben wird.
1.4.1 Erweiterbarer Schemaentwurf
Howe et al. argumentieren, dass selbst für einzelne konkrete wissenschaftliche Anwendungen [HCS+ 11, HHR+ 13] aufgrund von veränderlichen Anforderungen und dem hohen
initialen Aufwand ein Schemaentwurf problematisch ist. Deshalb wird in dieser Arbeit
von der folgenden Annahme ausgegangen:
Annahme 1. Der initiale Aufwand eines domänenspezifischen Schemaentwurfs lohnt
sich für Simulationsprojekte nicht.
Die Tatsache, dass sich die Anforderungen an die Datenhaltung zwischen Simulationsprojekten stark unterscheiden und nicht antizipierbar sind, führt zu der folgenden
Annahme:
Annahme 2. Für das Datenmanagement in einen Simulationsbaukasten kann kein festes domänenspezifisches Schema entworfen werden.
Aus diesen Gründen wird in dieser Arbeit ein generisches domänenunabhängiges Schema
entworfen, welches im Rahmen eines Simulationsbaukastens für mehrere Simulationsprojekte eingesetzt werden kann. Aufgrund seiner Flexibilität soll dieses Schema auch
den veränderlichen Anforderungen im Lebenszyklus eines Simulationsprojekts genügen
können.
Nadkarni et al.[NMC+ 99] entwarfen EAV/CR (EAV with classes and relationships) als
generisches domänenunabhängiges Schema für die Speicherung heterogener wissenschaftlicher Daten. Dabei lassen sich vom Benutzer beliebige Entitätstypen definieren, deren
Definitionen und Instanzen in der Datenbank gespeichert werden können. Somit lassen
sich beliebige Domänenmodelle speichern. Diese Art der Speicherung erlaubt es auch,
1.4 Hypothesen
25
dass Daten gespeichert werden, für die a priori kein Schema definiert wurde. Für diese
Datensätze lässt sich allerdings nachträglich bei Bedarf ein Entitätstyp definieren.
Trotz des generischen Schemas werden für die Abfrage von EAV/CR-Daten domänenspezifische Schemainformationen benötigt, da andernfalls die Semantik der Datensätze
undefiniert ist. Aus diesem Grund müssen für die generische Verwaltung von Eingabewerten grundlegende Entitätstypen definiert werden, die mächtig genug sind, die Eingabewerte darzustellen. Beispielsweise sind Entitätstypen, die hierarchische Datenstrukturen
darstellen, nicht mächtig genug, um beliebige Graphen zu speichern.
Ein möglicher Entitätstyp zur Speicherung von Eingabewerten sind Fakten, die jeweils
ein Attribut u ∈ R enthalten. Ein Tupel von solchen Fakten reicht für viele Anwendungszwecke aus. Die Semantik der Fakten ergibt sich dabei implizit aus der Position eines
Fakts innerhalb eines Tupels. Aufgrund dieser Überlegungen wird im Rahmen dieser
Arbeit die folgende Hypothese evaluiert:
Hypothese 1. Alle Eingabewerte von agentenbasierten und SD-Simulationen lassen sich
als Tupel von Fakten mit jeweils einem Attribut u ∈ R darstellen.
Evaluation. Mit Hilfe von formalen Modellen für agentenbasierte und SD-Simulationen,
wird in Kapitel 3 eine Klassifikation der möglichen Eingabewerte vorgenommen. Die
auf diese Weise identifizierten Klassen von Eingabewerten werden dann dahingehend
evaluiert, ob sie als Tupel von Fakten geeignet gespeichert werden können.
Die Erweiterbarkeit des EAV/CR-Modells erlaubt es dann, zu den Fakten zusätzliche
domänenspezifische Attributwerte zur Annotation zu speichern. Auf diese Weise kann die
implizite domänenspezifische Information über die Semantik explizit gemacht werden.
Üblicherweise wird das EAV/CR-Schema auf ein relationales Schema abgebildet. Bei der
relationalen Speicherung von EAV/CR-basierten Daten benötigen Anfragen allerdings
häufig eine wesentlich höhere Anzahl an Verbundoperationen als Anfragen auf herkömmlichen relationalen Schemata. Aus diesem Grund ist diese Art der Datenspeicherung
nur bedingt für große Datenmengen geeignet. Da für das EAV/CR-Schema mehrere Abbildungsmöglichkeiten auf verschiedene andere Datenmodelle existieren, muss evaluiert
werden, welche Variante für den im Rahmen dieser Arbeit behandelten Anwendungszweck
am effizientesten ist.
Für diese Evaluation wird ein Lastprofil bestehend aus Daten und Anfragen benötigt.
Das Lastprofil basiert auf den Erfahrungen, die mit den gesundheitsökonomischen Simulationen des Projekts ProHTA gesammelt wurden. Aus diesem Grund wird von folgender
Annahme ausgegangen:
Annahme 3. Die Datenhaltung verwaltet voraggregierte mehrdimensionale statistische
Daten, die aus öffentlichen Datenquellen stammen.
26
Kapitel 1 Einleitung
Basierend auf dieser Annahme wird das genaue Lastprofil in Kapitel 6 vorgestellt und
begründet. Mit diesem Lastprofil lässt sich dann folgende Hypothese evaluieren:
Hypothese 2. Es gibt nicht-relationale Datenmodelle, die inhärent schemafrei sind und
die Verarbeitung von EAV/CR-Daten gegenüber der relationalen EAV/CR-Abbildung beschleunigen.
Evaluation. Für diese Hypothese wird ein Benchmark entworfen, dessen Charakteristika sich an den Anforderungen von ProHTA orientieren. Dieser Benchmark dient dem
exemplarischen Vergleich einiger Vertreter von nichtrelationalen DBMS (Database Management Systems), der relationalen Abbildung von EAV/CR und der klassischen relationalen Speicherung hinsichtlich Geschwindigkeit.
1.4.2 Bedarfsgetriebene semantische Integration
Da diese Arbeit auf mehreren Problemstellungen basiert, welche sich nicht alle in gleicher Tiefe behandeln lassen, muss die bedarfsgetriebene semantische Integration durch
vereinfachende Annahmen eingeschränkt werden. Um im Vorfeld der semantischen Integration eine technische Integration der Daten möglich zu machen, müssen zunächst die
Datenmodelle (z. B. relational, XML, etc.) bekannt sein, in denen die Daten vorliegen.
Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit die bedarfsgetriebene semantische Integration
für ein Beispieldatenmodell durchgeführt. Da im Projekt ProHTA der größte Teil der
Daten als Pivot-Tabellen vorlag, wird folgende Annahme getroffen:
Annahme 4. In gesundheitsökonomischen Simulationsprojekten liegen alle Daten tabellarisch in Form von Pivot-Tabellen vor.
In dieser Arbeit erfolgt die technische Integration, indem die Pivot-Tabellen in Mengen
von EAV/CR-Objekten transformiert werden, die Zeilen, Spalten und Zellen darstellen. Dies ermöglicht es, die Daten mittels Volltextsuche durchsuchbar zu machen, löst
allerdings nicht das Problem der semantischen Integration.
Laut Hypothese 1 auf der vorherigen Seite werden die Eingabewerte als Tupel von Fakten
gespeichert, welche über die EAV/CR-Infrastruktur mit weiteren Attributen annotiert
werden können. Im Falle von Pivot-Tabellen entsprechen die Fakten dem Tabelleninhalt,
dem über beschreibende Kopfzeilen und Spalten am Rand Attributwerte zugeordnet
sind (siehe Beispiel in Tabelle 1.1(a) auf Seite 20). Die bisher angestellten Überlegungen
ermöglichen die folgende Annahme, die gleichzeitig die Definition der semantischen
Integration für diese Arbeit darstellt:
1.4 Hypothesen
27
Annahme 5. Die semantische Integration von Pivot-Tabellen besteht darin, die Zellen,
die Fakten enthalten, und die Zeilen und Spalten, die beschreibende Informationen enthalten, zu identifizieren. Zusätzlich müssen die Zeilen und Spalten, die beschreibende
Informationen enthalten, den Attributen eines kanonischen Schemas zugeordnet werden.
Dies ermöglicht im Beispiel in Tabelle 1.1(b) [S. 20] die Interpretation der Attribute
„Age“, „Year“ und „Gender“. Allerdings wird keine semantische Integration auf Ausprägungsebene durchgeführt. Das bedeutet, dass die Werte, welche die Attribute annehmen
können, nicht standardisiert werden. Beispielsweise werden die möglichen Ausprägungen
„M“, „männlich“ und „male“ des Attributs „Gender“ nicht zu einer standardisierten
Ausprägung vereinheitlicht.
Aufgrund dieser beiden vereinfachenden Annahmen wird die bedarfsgetriebene semantische Integration als Anwendungsbeispiel der EAV/CR-Infrastruktur umgesetzt. Problem 2 [S. 21] wird so auf eine pragmatische Weise für das ursprüngliche Projekt gelöst.
Da im Rahmen dieser Arbeit keine wissenschaftlich fundierte Behandlung der Problematik erfolgen kann, werden hierfür keine Hypothesen formuliert.
1.4.3 Speicherung von konzeptuellen Simulationsmodellen
Bei der Verwaltung von Simulationsmodellen in einem DBMS muss ein geeignetes Metamodell zur Beschreibung der unterschiedlichen Modelltypen und zur Speicherung der
konkreten Modelle gefunden werden. Da EAV/CR die flexible Beschreibung von beliebigen Entitätstypen und die Speicherung der entsprechenden Entitäten erlaubt, wird von
folgender Annahme ausgegangen:
Annahme 6. EAV/CR eignet sich zur Beschreibung und Speicherung von Simulationsmodellen.
Die Speicherung der Simulationsmodelle in einem DBMS bringt für sich genommen noch
keinen Mehrwert. Allerdings können die Informationen über die Simulationsmodelle für
die Annotation der Eingabewerte dieser Modelle verwendet werden, wenn diese im selben
DBMS verwaltet werden. Beispielsweise kann ein Modell gespeichert werden, das den
Ablauf der Behandlung eines Schlaganfallpatienten darstellt. Dann kann ein Fakt, der die
Dauer eines bestimmten Arbeitsschritts darstellt, mit der Information annotiert werden,
auf welchen Arbeitsschritt des Modells der Fakt sich bezieht.
Aufgrund der Breite dieser Problemstellung beschränkt sich diese Arbeit auf UMLZustandsdiagramme als Modelltyp. Zustandsdiagramme modellieren beispielsweise das
28
Kapitel 1 Einleitung
Verhalten von Agenten bei agentenbasierten Simulationsmodellen. Analog zu der bedarfsgetriebenen semantischen Integration wird diese Lösung als Anwendungsbeispiel
der EAV/CR-Infrastruktur umgesetzt. Problem 3 [S. 22] wird also exemplarisch für Zustandsdiagramme gelöst. Da auch hier keine wissenschaftlich fundierte Abhandlung über
die Problematik erfolgen kann, werden hierfür ebenfalls keine Hypothesen aufgestellt.
1.4.4 Datenqualitätsdimensionen
Stonebraker et al. [SBD+ 09] ermittelten im Rahmen von SciDB die Anforderungen an ein
DBMS für wissenschaftliche Anwendungen. Sie fanden bei einer Befragung heraus, dass
die wichtigste Datenqualitätsdimension die Uncertainty in Form von Normalverteilungen
ist. Im Rahmen dieser Arbeit wird dieser Begriff mit “Unschärfe” übersetzt. Eine genaue
Definition dieses Begriffs erfolgt in Kapitel 7.
Auch bei Simulationen spielt die normalverteilte Unschärfe eine große Rolle. Die Eingabewerte von Simulationen sind häufig Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
[Law07, Seite 279]. Mit statistischen Schätzern, wie z. B. den MLE (Maximum Likelihood
Estimators), lassen sich diese Parameter aus gegebenen Messdaten bestimmen. Die auf
diese Weise abgeschätzten Parameter sind Zufallsvariablen. Deren Zufall beruht auf der
Tatsache, dass die Messdaten zufällige Stichproben der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung sind. Die Verteilung der mittels MLE geschätzten Parameter nähert
sich für eine große Zahl an Messdaten asymptotisch einer Normalverteilung an [Cra46].
In dieser Arbeit wird deshalb von folgender Annahme ausgegangen:
Annahme 7. Die normalverteilte Unschärfe ist die wichtigste Datenqualitätsdimension
für Eingabewerte.
Diese Annahme wird in Kapitel 7 ausführlich diskutiert und begründet.
1.4.5 Datenqualitätspropagierung
Da die Unschärfe als wichtigste Datenqualitätsdimension der Eingabewerte bestimmt
wurde, stellt sich die Frage, wie sich der Einfluss der Eingabeunschärfe auf die Ausgabewerte der Simulation bestimmen lässt. Für die Propagierung der Unschärfe gibt
es mehrere Alternativen, deren Anwendbarkeit von den diversen Eigenschaften der
Simulation abhängig ist. Für stochastische Simulationen wird üblicherweise MonteCarlo-Propagierung verwendet [SHC12]. Dabei werden mehrfach Eingabewerte aus
Verteilungen gezogen, welche der jeweiligen Eingabeunschärfe entsprechen. Für jeden
1.4 Hypothesen
29
gezogenen Satz von Eingabewerten wird die Simulation durchgeführt. Die resultierende
Verteilung der Ausgabewerte entspricht dann der Ausgabeunschärfe.
Andere Verfahren benötigen mathematische Surrogatmodelle, welche die Simulation
approximieren. Eines der prominentesten Surrogatmodelle ist die Approximation durch
Gaußprozesse [SWN03]. Rasmussen [Ras96] evaluierte Gaußprozesse und verglich sie
mit ausgewählten anderen Regressionsmethoden. Dabei zeigte sich, dass Gaußprozesse
für glatte Funktionen den evaluierten Alternativen unter gewissen Voraussetzungen
überlegen sind [Ras96]. Ob diese Voraussetzungen gegeben sind und ein Gaußprozess
geeignet ist, muss für jede Problemstellung einzeln entschieden werden. Aus diesem
Grund wird für diese Arbeit die folgende Annahme aufgestellt:
Annahme 8. Gaußprozesse sind als Surrogatmodelle für die Analyse von Simulationen
geeignet.
Für die Propagierung normalverteilter Unschärfe durch Gaußprozesse existieren bereits
Ansätze [Gir04, GMS05]. Diese Ansätze werden im Rahmen dieser Arbeit vorgestellt und
für weitere Analysen erweitert. Es soll von folgender Annahme ausgegangen werden:
Annahme 9. Gaußprozesse ermöglichen eine effiziente approximative Propagierung der
Unschärfe durch Simulationen mit ausreichender Genauigkeit.
Die Korrektheit dieser Annahme ist immer für ein konkretes Problem zu evaluieren.
Beispielsweise kann eine Abweichung der Unschärfepropagierung mit einem relativen
Fehler von 10% für ökonomische Abschätzungen ausreichend sein. Für die Simulation
der Statik eines Gebäudes könnte im Gegensatz dazu beispielsweise ein relativer Fehler
von 1% bereits zu groß sein. In Kapitel 11 wird eine Methode aufgezeigt, mit der sich
für eine konkrete Problemstellung evaluieren lässt, ob diese Annahme zutrifft.
1.4.6 Bedarfsgesteuerte Datenakquisition
Da bei vielen Simulationen noch nicht klar ist, welche Güte die Eingabewerte haben
müssen, werden diese teilweise mit zu großer Unschärfe gesammelt oder es wird ein
unnötig großer Aufwand bei der Datensammlung betrieben. Nachdem die Unschärfe der
Eingabewerte bestimmt und diese Unschärfe durch die Simulation propagiert wurde,
kann bestimmt werden, ob die Ergebnisse für den Anwendungszweck der Simulation
genau genug sind. Falls dies nicht der Fall ist, so müssen die Eingabewerte erneut mit
geringerer Unschärfe bestimmt werden. Hier ist nun allerdings unklar, wie diese erneute
Bestimmung vorgenommen werden muss, damit die Simulationsausgabe die gewünschte
Genauigkeit erzielt. Vor allem ist unklar, welche Eingabewerte verbessert werden müssen
30
Kapitel 1 Einleitung
und wie stark diese Verbesserung ausfallen muss. Selbst, wenn die Simulationsausgabe schon nach der initialen Datenakquise die gewünschte Genauigkeit erreicht, wurde
unter Umständen ein zu großer Aufwand betrieben, da möglicherweise eine geringere
Genauigkeit ausgereicht hätte. Es ist also wünschenswert, sowohl die initiale als auch
die inkrementelle Datenakquise anhand der geforderten Genauigkeit der Simulationsausgabe zu steuern. Dieses Problem wurde auch von Song und Nelson [SN13] als offene
Fragestellung identifiziert und wird im Rahmen dieser Arbeit gelöst.
Um den Begriff der Datenakquise formal fassbar zu machen, wird von der Annahme
ausgegangen, dass die Eingabewerte einer Simulation Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind. Dies ist bei Simulationen üblich [Law07, Seite 279] und wird als
“input modeling” bezeichnet [SJ08, BG10].
Annahme 10. Die Datensammlung besteht aus der Beschaffung einer Stichprobe von
Messdaten, die mittels MLE zur Bestimmung von Parametern von Wahrscheinlichkeitsverteilungen herangezogen werden.
Für MLE ermöglicht die Cramér-Rao-Ungleichung [Cra46, S. 480][Rao45] eine Abschätzung der Kosten (Größe der Stichprobe), die nötig sind, damit die Parameterschätzung
eine bestimmte Unschärfe erreicht. Dies soll in der folgenden Annahme festgehalten
werden:
Annahme 11. Die Kosten, um eine bestimmte Unschärfe der Eingabewerte bei einer
Datensammlung zu erreichen, kann durch die Cramér-Rao-Ungleichung mit ausreichender Genauigkeit approximiert werden.
Auch für diese Annahme wird in Kapitel 11 ein Ansatz vorgestellt, der eine Überprüfung
dieser Annahme für eine konkrete Problemstellung ermöglicht.
Aufgrund der gewünschten Genauigkeit der Simulationsausgabe und der Cramér-RaoUngleichung als Kostenfunktion kann durch Optimierungsverfahren eine kostenoptimale
Strategie zur Datenakquise gefunden werden. Bei komplexen Simulationen mit einer
großen Zahl an Eingabeparametern ist allerdings davon auszugehen, dass numerische
Optimierungsverfahren nicht effizient genug sind. Dies führt zu folgender Hypothese:
Hypothese 3. Die kostenoptimale Strategie zur Datenakquise kann mit Hilfe von Surrogatmodellen und analytischen Optimierungsverfahren effizient näherungsweise mit einem maximalen relativen Fehler von r gefunden werden.
Ob die Genauigkeit einer Approximation ausreichend ist, hängt immer von dem jeweiligen Anwendungszweck ab. Aus diesem Grund wurde diese Hypothese variabel gestaltet.
r repräsentiert dabei die Anforderung an die Genauigkeit in Form eines maximalen
1.5 Aufbau der Arbeit
31
relativen Fehlers. Da eine Evaluation im Gegensatz zu einer Hypothese nicht variabel gestaltet werden kann, muss für die Evaluation exemplarisch ein Wert für r gewählt werden:
Evaluation. Diese Hypothese wird für r = 0.1 evaluiert, indem ein analytisches Optimierungsverfahren entwickelt wird, welches die kostenoptimale Datenakquisestrategie
approximiert. Dieses Verfahren wird anhand von realen und synthetischen Beispielen
hinsichtlich Genauigkeit und Geschwindigkeit mit numerischen Optimierungsverfahren
verglichen.
1.5 Aufbau der Arbeit
Aufgrund der Breite der Problemstellungen, welche im Rahmen dieser Arbeit bearbeitet werden, ist diese Arbeit in zwei Teile gegliedert. Der erste Teil behandelt das
Datenmanagement für Simulationen und diskutiert Lösungsansätze für die Probleme 1
(Schemaentwurf), 2 (Integration) und 3 (Speicherung von Simulationsmodellen). In Kapitel 2 werden die zum Verständnis nötigen Grundlagen erörtert. Im Anschluss daran
wird Hypothese 1, welche die Typen von Eingabedaten einschränkt, anhand von formalen Modellen für agentenbasierte und SD-Simulationen evaluiert (Kapitel 3). Kapitel 4
diskutiert die für das Datenmanagement relevanten verwandten Arbeiten. Das Schema, das die Probleme 1, 2 und 3 lösen soll, wird in Kapitel 5 vorgestellt. Anschließend
wird Hypothese 2 evaluiert, welche die nichtrelationale Abbildung von EAV/CR betrifft
(Kapitel 6).
Der zweite Teil dieser Arbeit erörtert die Unschärfepropagierung und beschreibt Lösungsansätze für die Probleme 4 (Datenqualitätsdimensionen), 5 (Datenqualitätspropagierung)
und 6 (Bedarfsgetriebene Datenakquisition). In Kapitel 7 werden Datenqualitätsdimensionen definiert und es wird diskutiert, welche Dimensionen für Simulationen relevant
sind; dies löst Problem 4. Die Grundlagen, die für das Verständnis der weiteren Kapitel
notwendig sind, einschließlich einer bereits existierenden Lösung für Problem 5 werden in
Kapitel 8 beschrieben. Anschließend werden verwandte Arbeiten diskutiert (Kapitel 9).
Die bedarfsgesteuerte kostenoptimale Datenakquisition, welche die Lösung für Problem 6
darstellt, wird in Kapitel 10 vorgestellt. Kapitel 11 evaluiert die zu Problem 6 gehörende
Hypothese 3 (Kostenoptimale Datenakquisestrategie).
Abschließend werden die Ergebnisse dieser Arbeit zusammengefasst und es wird ein
Ausblick auf offene Fragestellungen gegeben (Kapitel 12). Zusätzlich wird diskutiert,
inwieweit die getroffenen Annahmen die Ergebnisse dieser Arbeit einschränken und auf
welche Weise Annahmen relaxiert werden könnten, um die Ergebnisse zu verallgemeinern.
33
I
Simulationsdatenmanagement
35
2
Grundlagen des Datenmanagements
In diesem Kapitel werden die Grundlagen erläutert, die für das Verständnis der folgenden
Kapitel notwendig sind. Dazu werden im nächsten Abschnitt zunächst die Grundlagen
evolutionärer Datenhaltung rekapituliert. Im Anschluss daran wird auf die Datenintegration eingegangen. Dabei werden sowohl föderierte Datenbanken als auch bedarfsgetriebene Integration kurz erläutert.
2.1 Evolutionäre Datenhaltung
In relationalen Datenbanken muss für die Speicherung von Daten ein Schema festgelegt
werden. Nach dem initialen Schemaentwurf soll das Schema für ein Anwendungsszenario
unveränderlich bleiben, da alle Programme, die von einem Schema abhängig sind, bei
Schemaänderungen angepasst werden müssen. Oft müssen jedoch Objekte gespeichert
werden, deren Schema nicht a priori festgelegt werden kann.
Ein klassisches Beispielszenario ist die Speicherung von medizinischen Untersuchungen.
Bei diesen Untersuchungen werden verschiedene Attribute bestimmt, wie z. B. Blutdruck
und Herzfrequenz. Für jede Untersuchung können unterschiedliche Attribute relevant sein
und möglicherweise kommen durch neue Untersuchungsmethoden auch neue Attribute
dazu. Aus diesem Grund kann kein einheitliches Schema mit einer festen Anzahl an
Attributen für Untersuchungen festgelegt werden.
Es soll also von einer Menge von Objekten mit unterschiedlichen Attributen ausgegangen
werden. Die Menge der möglichen Attribute ist bekannt, kann aber im Laufe der Zeit
veränderlich sein. Dabei ist nicht antizipierbar, welche Attribute ein Objekt haben
wird.
Die herkömmliche relationale Lösung wäre die Speicherung der Objekte als Tupel einer
einzelnen Relation. Für jedes Objekt wird dazu ein Tupel in diese Relation eingefügt.
Dabei ist die Menge der Attribute dieser Relation gleich der Menge der möglichen
Attribute. In diesem Fall enthält diese Relation allerdings eine Vielzahl von Lücken
(NULL-Werte), da für die meisten Tupel dieser Relation nicht alle Attribute mit Werten
belegt sind. Ein weiteres Problem ist, dass die Menge der möglichen Attribute im Voraus
36
Kapitel 2 Grundlagen des Datenmanagements
bekannt sein muss. Falls sich diese Menge im Laufe der Zeit ändert, so muss das Schema
angepasst werden.
Für den Umgang mit heterogenen Daten, deren Schema nicht a priori festgelegt werden
kann, existieren bereits Ansätze, die auf einem generischen domänenunabhängigen Schema basieren. Einer der bekanntesten ist EAV (Entity Attribute Value). Hierbei können
Objekte mit einer beliebigen Menge von Attribut-Wert-Paaren gespeichert werden. EAV
eignet sich besonders bei relationalen Datenbanken für die Speicherung von mehreren
Objekten, die unterschiedliche Attribute besitzen.
Statt einer einzelnen Tabelle mit sehr vielen Attributen und einem Tupel pro Objekt, wird
bei EAV pro Attribut eines Objekts jeweils ein Tripel der Form (Entität, Attribut, Wert)
in eine Tabelle eingefügt. Diese Tabelle speichert die Attribut-Wert-Paare aller Objekte.
Auf diese Weise lassen sich mit einem sehr einfachen Schema Objekte mit beliebigen
Attributen speichern. Bei der konkreten Implementierung müssen dabei allerdings noch
Details, wie die möglicherweise unterschiedlichen Datentypen der Attribute, beachtet
werden.
EAV besitzt allerdings einige Nachteile:
1. Bei Anfragen werden viele Verbundoperationen benötigt, um die Objekte, deren
Attribute auf mehrere Tupel aufgeteilt sind, wieder zusammenzufügen. Dies führt
zu Geschwindigkeitseinbußen.
2. Es lassen sich nur Werte speichern für die ein Spaltentyp, wie z. B. Ganzzahl, in der
Datenbank existiert. Beziehungen zwischen Objekten lassen sich auf diese Weise
nicht speichern [Nad11, S. 197f].
3. Zudem geht die semantische Kontrolle auf Datenbankebene verloren, da bei einer
schemafreien Datenhaltung nicht überprüft werden kann, ob ein Datensatz korrekt
aufgebaut ist.
2.1.1 EAV mit Klassen und Beziehungen
Um die Probleme 2 und 3 zu lösen, haben Nadkarni et al. [NMC+ 99] EAV/CR entwickelt. Zu beachten ist, dass EAV/CR oft als relationales Schema vorgestellt wird. Dies
ist allerdings nur eine mögliche Implementierung. Letztlich definiert EAV/CR ein Datenmodell, welches häufig auf andere Datenmodelle abgebildet wird. In dieser Arbeit wird
das ER-Datenmodell (Entity Relationship) verwendet, um das EAV/CR-Datenmodell
zu definieren. Das ER-Datenmodell ist implementierungsunabhängig und wird meist als
2.1 Evolutionäre Datenhaltung
37
semantisches Datenmodell verwendet, um einen Ausschnitt der realen Welt zu modellieren. Auf der ER-Ebene ist EAV/CR also ein Schema, welches selbst wiederum ein
Datenmodell definiert.
Um für sprachliche Einheitlichkeit zu sorgen, werden für die Beschreibung des Schemas
von EAV/CR die Begriffe der ER-Modellierung verwendet. Es wird also von Entitätstypen und Entitäten gesprochen. Im Gegensatz dazu wird das EAV/CR-Datenmodell
verwendet, um Klassen und Objekte zu beschreiben. Die Begriffe „Klasse“ und „Objekt“ werden häufig verwendet, um Programmartefakte zu beschreiben. In dieser Arbeit
werden sie jedoch analog zu den Begriffen „Entitätstyp“ und „Entität“ verwendet und beschreiben Teile der realen Welt. Das EAV/CR-Datenmodell erlaubt die Modellierung von
Schemata mittels Klassendefinitionen. Um eine Verwechslung der Begriffe zu vermeiden,
wird hier statt von einem Schema von einer Klassenhierarchie gesprochen.
Das ER-Schema für EAV/CR ist ein domänenunabhängiges Schema. Es kann auf ein
DBMS-spezifisches Schema (z. B. ein relationales Schema) abgebildet werden, das bei
Änderungen der Anforderungen der Domäne nicht angepasst werden muss. Die Klassenhierarchien, die mit EAV/CR definiert werden, können hingegen domänenabhängig sein.
Auf diese Weise wird der Aufwand des domänenspezifischen Schemaentwurfs verlagert
und ein stabiles domänenunabhängiges Schema definiert.
Das ER-Schema für EAV/CR enthält einige feste Entitätstypen für Metadaten, mit
denen sich Klassen von Objekten beschreiben lassen. Die Definition von Klassen ist allerdings nicht zwingend notwendig für die Speicherung von Objekten. Es wird Vererbung
unterstützt und zu jeder Klasse können benötigte und optionale Attribute angegeben
werden. Ebenso lassen sich Beziehungen zwischen Objekten modellieren. Auf diese Weise
ermöglicht es EAV/CR, beliebig komplexe Datenstrukturen zu speichern. Die Definition von Klassen entspricht der Definition eines Schemas. Allerdings ist die Definition
einer Klassenhierarchie nun nicht mehr zwingend erforderlich und kann auch erst im
Nachhinein erfolgen. Dies ermöglicht es, Anwendungen zu entwerfen, deren Schema sich
im Laufe der Zeit verändert und vom Benutzer an die aktuellen Bedürfnisse angepasst
werden kann [Nad11].
In Abbildung 2.1 auf der nächsten Seite ist eine vereinfachte Variante des von Nadkarni
[Nad11] vorgeschlagenen ER-Schemas für EAV/CR abgebildet. Üblicherweise werden
bei EAV/CR für die Präsentation der Daten in einer grafischen Oberfläche zusätzliche
Metadaten gespeichert. Auf Entitätstypen und Attribute, die nur der Präsentation dienen,
soll hier allerdings nicht eingegangen werden.
38
Kapitel 2 Grundlagen des Datenmanagements
Abbildung 2.1: Vereinfachtes ER-Schema1 für EAV/CR
Die Entitätstypen Class und Attribute enthalten die Metadaten über das Schema der
Objekte. Klassen können dabei über die superclass-Beziehung voneinander erben, auch
Mehrfachvererbung ist möglich.
Ein Attribut kann zu einer Klasse gehören. Dies wird über die Beziehung class mit
dem Entitätstyp Class ausgedrückt. Die Definition von Klassen ist optional. Attribute
hingegen müssen definiert werden, damit Attributwerte gespeichert werden können, da
ein Datentyp, wie z. B. Ganzzahl oder Text, angegeben werden muss. Mit multi_instance
kann festgelegt werden, ob das Attribut bei einem Objekt mehrfach vorkommen darf.
Zusätzlich lässt sich mit required speichern, ob ein Attribut für Objekte verpflichtend
1
Für eine übersichtliche Darstellung orientiert sich die Notation an UML-Klassendiagrammen. Hierbei werden Teile eines Primärschlüssels, die in Klassendiagrammen eigentlich nicht vorgesehen sind,
mit „PK“ kenntlich gemacht.
2.1 Evolutionäre Datenhaltung
39
angegeben werden muss. Dies ist allerdings nur sinnvoll, falls das Attribut zu einer Klasse
gehört.
Um Beziehungen zwischen Objekten zu modellieren, lässt sich bei einem Attribut als
Datentyp Object angeben, damit dieses Attribut auf andere Objekte verweisen kann. In
diesem Fall kann über die Beziehung attr_class bestimmt werden, ob dieses Attribut
auf Objekte einer bestimmten Klasse beschränkt sein soll.
Im Entitätstyp Object werden die Identifikatoren und optional die Namen aller Objekte
gespeichert. Für die Attribut-Wert-Paare der Objekte wird pro Datentyp ein EAV Entitätstyp benötigt. In Abbildung 2.1 auf der vorherigen Seite ist hier beispielsweise
nur ein generischer EAV -Entitätstyp ohne Angabe von Datentyp und ein Entitätstyp
EAV_Object für den Datentyp Object dargestellt. Mittels serial_number ist es möglich
für Attribute, welche die Mehrfachverwendung erlauben (multi_instance), pro Objekt
eine Liste von Werten zu speichern.
Falls eine Klasse bereits bei der Erstellung des Systems bekannt ist und unveränderlich
bleibt, so sollte diese außerhalb des EAV/CR-Datenmodells als gesonderter domänenspezifischer Entitätstyp modelliert werden [Nad11]. Kombiniert eine Klasse unveränderliche
und benutzerdefinierte Attribute und Beziehungen, so kann diese Klasse als hybrider
Entitätstyp von Object abgeleitet werden. Ein solcher Hybrid kann sowohl feste Attribute definieren als auch die EAV/CR-Infrastruktur für benutzerdefinierte Attribute
verwenden.
EAV/CR wird zwar häufig mit einem relationalen Schema implementiert, dies ist allerdings nicht notwendig. In Kapitel 6 wird ein Benchmark vorgestellt, der es erlaubt,
verschiedene Implementierungen von EAV/CR zu vergleichen.
Im nächsten Abschnitt wird kurz RDF (Resource Description Framework) vorgestellt,
da RDF sehr ähnlich zu EAV/CR ist [Nad11] und DBMS existieren, die RDF als Datenmodell nativ unterstützen.
2.1.2 Resource Description Framework
Einen ähnlichen Ansatz wie EAV/CR verfolgt auch RDF, das analog zu EAV aufgebaut ist [Nad11]. Genau wie bei EAV werden Daten in Subjekt-Prädikat-Objekt-Tripeln
gespeichert [LSWC99]. Das Subjekt entspricht hier einem EAV-Objekt. Die Prädikate
entsprechen den Attributen bei EAV. Das RDF-Objekt kann entweder einen Attributwert
darstellen oder auf ein Subjekt verweisen. Auf diese Weise können analog zu EAV/CR
Beziehungen zwischen Subjekten gespeichert werden. Die Erweiterung RDFS (RDF Schema) [BGM14], die einige spezielle Prädikate und Subjekte definiert, erlaubt analog zu
40
Kapitel 2 Grundlagen des Datenmanagements
EAV/CR die Definition von Klassen von Subjekten [Nad11]. Diese Definition kann sowohl nachträglich als auch a priori erfolgen. Im Gegensatz zu EAV/CR erlaubt RDFS
allerdings mehrere Ebenen der Instanziierung.
Bei der relationalen Implementierung von EAV/CR macht die hohe Anzahl an Verbundoperationen Anfragen nicht nur ineffizient sondern auch komplex zu formulieren. Für
RDF wurde mit SPARQL (SPARQL Protocol and RDF Query Language) eine eigene
Anfragesprache entwickelt, die das Formulieren der Anfragen im Gegensatz zu EAV/CR
erleichtern soll [Gro13].
Eine zusätzliche Erweiterung von RDF ist OWL (Web Ontology Language), die weitere Prädikate und Subjekte mit speziellen Bedeutungen definiert. OWL ermöglicht es,
logische Schlussfolgerungen zu ziehen, die auf gespeicherten Fakten basieren.
2.1.3 Dokumentenspeicher
Sogenannte dokumentenorientierte DBMS bieten eine weitere Möglichkeit, um Objekte
mit beliebigen Attributen ohne vorherige Schemadefinition zu speichern. Diese verwalten
meist JSON-Dokumente (JavaScript Object Notation), die aus Listen von AttributWert-Paaren und einfachen Listen zusammengesetzt sind. Diese beiden Konzepte können
beliebig geschachtelt werden, um komplexe Objekte zu speichern.
Der auf diese Weise entstehende hierarchische Aufbau ähnelt XML (Extensible Markup
Language). Im Gegensatz zu XML existiert bei JSON allerdings keine Möglichkeit einer
Schemadefinition. Ebenso wurde für dokumentenorientierte DBMS auch noch keine
Anfragesprache standardisiert.
2.2 Datenintegration
In diesem Abschnitt werden die Grundlagen der Datenintegration vorgestellt, die in
dieser Arbeit benötigt werden.
2.2.1 Föderierte Datenbanken
Um die Datenintegration zu beschreiben, werden in dieser Arbeit Konzepte und Begriffe
aus dem Bereich der föderierten DBMS verwendet. Dazu werden hier kurz die relevanten
Teile der Fünf-Level-Schemaarchitektur von Sheth and Larson [SL90] vorgestellt.
2.2 Datenintegration
41
Die ursprüngliche ANSI-SPARC-Drei-Level-Schemaarchitektur besteht aus dem konzeptionellen, internen und externen Schema. Das konzeptionelle Schema beschreibt die
Datenobjekte und die Beziehungen zwischen ihnen auf der logischen Ebene [SL90, KE09].
Das interne Schema beschreibt, wie diese Datenobjekte gespeichert werden [SL90].
Externe Schemata ermöglichen es, verschiedene Sichten für unterschiedliche Benutzergruppen anzulegen, um beispielsweise sensitive Informationen zu verbergen.
Sheth and Larson [SL90] definieren eine erweiterte Architektur für föderierte DBMS.
Diese besteht aus der lokalen, Komponenten-, Export-, föderierten und externen Schemaebene. Das lokale Schema entspricht dem Schema einer Datenquelle in einem quellspezifischen Datenmodell. Das Komponentenschema ist die Übersetzung des lokalen
Schemas in ein kanonisches Datenmodell und wird durch die technische Integration zur
Verfügung gestellt. Die Exportschemata regulieren die Sichtbarkeit der Elemente des
Komponentenschemas. Anschließend können zusätzliche semantische Informationen hinzugefügt werden. In dem föderierten Schema werden dann die Exportschemata der
einzelnen Datenquellen semantisch integriert. Die externe Schemaebene entspricht
ihrem ANSI-SPARC-Pendant.
Zwischen den einzelnen Schemaebenen existieren Prozessoren, welche die Anfragen und
Daten übersetzen, so dass eine Anfrage für das föderierte Schema in die einzelnen
Anfragen für die einzelnen lokalen Schemata übersetzt werden kann.
2.2.2 Bedarfsgetriebene Datenintegration
Einer der wichtigsten Schritte bei der semantischen Datenintegration ist der SchemaAbgleich. Bei diesem Schritt werden die Elemente mehrerer Schemata einander zugeordnet. Es entsteht eine Schema-Abbildung, welche die Zusammenhänge zwischen den
Elementen mehrerer Schemata festhält. Auf diese Weise können Daten aus unterschiedlichen Quellen in ein zentrales konsolidiertes Schema überführt werden. Dies ist allerdings
nicht immer möglich, da Schemata fundamental unterschiedlich sein können.
Obwohl es eine Vielzahl von Lösungen zum automatischen Schema-Abgleich gibt [RB01,
BMR11], muss dennoch bei jedem Verfahren eine manuelle Überprüfung durchgeführt
werden. Die Messung der Unsicherheit, die durch den automatisierten Schema-Abgleich
entsteht [MM10], ermöglicht allerdings, die manuelle Überprüfung gezielt zu steuern. Auf
diese Weise können bei der manuellen Kontrolle gezielt die Teile der Schema-Abbildung
bereinigt werden, die mit der größten Unsicherheit behaftet sind.
Bezüglich der Speicherung der integrierten Daten gibt es zwei Ansätze: Wenn sich die
Daten in den Quellen nicht mehr ändern, erfolgt die Datenintegration meist mittels eines
ETL-Prozesses (Extract, Tranform, Load) [CD97]. Dabei werden die Daten aus ihren
42
Kapitel 2 Grundlagen des Datenmanagements
Quellen kopiert, für die weitere Verarbeitung bereinigt und in eine zentrale Datenbank
integriert. Im Gegensatz dazu können die Quellen auch direkt angebunden werden. Dies
ist mittels Techniken föderierter DBMS [SL90] möglich.
Beide Ansätze erfordern einen hohen initialen Aufwand für die semantische Integration. Ein Ansatz zur Lösung dieses Problems ist das Konzept der Dataspaces
[FHM05, HFM06]. Dabei werden die Daten in ihren Quellen belassen und nur technisch integriert. Dies erspart den initialen Schemaentwurf für die Speicherung der Daten.
Der lose Verbund von Daten aus verschiedenen Quellen wird Dataspace genannt. Initial
werden nur einfache Operationen auf den Daten ermöglicht, wie z. B. die Suche nach
Schlüsselwörtern. Bei Bedarf sollen die Daten allerdings nachträglich semantisch integrierbar sein, um komplexere Anfrage- und Verarbeitungsoperationen zu ermöglichen.
Einen Überblick über die existierenden Ansätze liefern Hedeler et al. [HBF+ 09] und
Singh und Jain [SJ11]. Für Beispiele bedarfsgetriebener Datenintegration wird an dieser
Stelle auf die Literatur verwiesen: [JFH08, DSDH08, VSDK+ 07].
43
3
Klassifikation von Simulationseingabedaten
“
In God we trust. All others must bring data.
”
(W. Edwards Deming)
Im Rahmen dieser Arbeit wird ein flexibles Schema für die Eingabewerte von SDModellen und agentenbasierten Simulationsmodellen entworfen. Dieses soll die Speicherung der Eingabewerte ermöglichen, ohne dass ein initialer domänenspezifischer Schemaentwurf nötig ist. Trotz des flexiblen Schemas muss ein grundlegender Entitätstyp für
die zu speichernden Daten bekannt sein, um initial Anfragen auf den Daten zu ermöglichen. In Hypothese 1 [S. 25] wurde angenommen, dass die Eingabewerte als einfache
Liste von Fakten der Form u ∈ R gespeichert werden können. Wenn diese Hypothese
korrekt ist, dann ermöglicht sie die Definition eines Entitätstyps Fact. Alle Eingabewerte können dann als Instanzen dieses Typs gespeichert werden und nachträglich mit
domänenspezifischen Informationen annotiert werden.
Die Anforderungen an die Datenhaltung variieren zwischen einzelnen Domänen und
auch zwischen Modellen innerhalb einer Domäne. Aus diesem Grund lassen sich keine
domänenspezifischen Informationen für den Schemaentwurf nutzen. Außerdem stellen die
unterschiedlichen Simulationsprogramme verschiedene Schnittstellen und Abstraktionen
für die Anbindung von Datenquellen bereit. Deswegen kann auch hier von keinem Standard für die Modellierung ausgegangen werden, der den Schemaentwurf für Eingabewerte
eingrenzen könnte. Deshalb werden in diesem Kapitel Formalismen für SD-Modelle und
agentenbasierte Simulationen vorgestellt, um Hypothese 1 zu evaluieren. Anhand dieser
Formalismen wird anschließend ermittelt, welche Klassen von Daten als Eingabewerte
möglich sind. Für die Speicherung dieser Eingabewerte wird in Kapitel 5 ein Schema
entwickelt.
3.1 Formale Modelle für Simulationen
In diesem Abschnitt werden dynamische Systeme als grundlegender Formalismus für
Simulationen vorgestellt. Kontinuierliche dynamische Systeme dienen als Beschreibung
44
Kapitel 3 Klassifikation von Simulationseingabedaten
für SD-Modelle und agentenbasierte Modelle können durch stochastische diskrete dynamische Systeme dargestellt werden.
3.1.1 Kontinuierliche dynamische Systeme
Ein dynamisches System ist eine Abbildung Φp mit p ∈ Rm , welche ausgehend von
einem Startzustand x0 ∈ Rn den Zustand eines Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt bestimmt. Wenn dabei diskrete Zeitpunkte betrachtet werden, handelt es sich um
ein diskretes dynamisches System, andernfalls handelt es sich um ein kontinuierliches
dynamisches System. Für die Betrachtung der nötigen Eingabedaten sind dabei der
Parametervektor p und der Startzustand x0 relevant.
Definition 1 (Dynamisches System). Ein dynamisches System ist ein Tripel (T,X,Φp )
mit einem Monoid (T, + ,0) (Zeit), einer Menge X (Zustandsraum) und einer Abbildung
Φp : T × X → X für die gilt [Tes12, S. 187]:
Φp (0,x) = x
(3.1)
Φp (t2 ,Φp (t1 ,x)) = Φp (t1 + t2 ,x), ∀t1 ,t2 ∈ T
(3.2)
p ∈ Rm ist dabei ein Vektor von Parametern der Abbildung Φp . Für T = R und
X = Rn und falls Φp kontinuierlich ist, ist (T,X,Φp ) ein kontinuierliches dynamisches
System.
Falls T = N0 gilt, ist (T,X,Φp ) ein diskretes dynamisches System.
Aufgrund der


t
Eigenschaft (3.2) gilt dann Φp (t,x) = Φp (x) mit Φp (x) := Φp  (x) = Φp (1,x) und
t=1
t ∈ N0 . Φtp (x) ist dabei die t-te Iterierte von Φp (x).
3.1.2 Stochastische diskrete dynamische Systeme
Stochastische diskrete dynamische Systeme ermöglichen die Modellierung von agentenbasierten Simulationen. Bei diesen Simulationen werden in jedem Schritt aufgrund von
Pseudozufallszahlen Entscheidungen getroffen, welche den Zustand des Systems zum
nächsten Zeitpunkt beeinflussen. Auf Grund dieser zufälligen Entscheidungen können
agentenbasierte Simulationen nicht als diskrete dynamische Systeme modelliert werden,
da diese deterministisch sind. Für die Betrachtung der Eingabedaten ist hier neben x0
und p besonders die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallszahlen relevant.
Bei stochastischen diskreten dynamischen Systemen wird die Abbildung Φp,ω : T × X →
X für jeden Zeitschritt zufällig aus einer Menge von Abbildungen gewählt, abhängig von
3.1 Formale Modelle für Simulationen
45
dem zufälligen Parameter ω ∈ Ω. Ω ist dabei die Menge der möglichen Ausprägungen
des zufallsabhängigen Parametervektors ω. (z. B. Ω = Rm ). Die zufällige Auswahl der
Abbildung entspricht den zufälligen Entscheidungen bei agentenbasierten Simulationen.
Die Auswahl ist abhängig von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und kann von der
Auswahl in den vorherigen Zeitschritten abhängig sein [Arn95].
Für die Definition eines stochastischen dynamischen Systems wird der Begriff des maßerhaltenden Flusses benötigt, welcher einen Pseudozufallszahlengenerator modelliert.
Definition 2 (Maßerhaltender Fluss). Ein maßerhaltender Fluss ist ein dynamisches
System (T,Ω,θ) mit dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P ) und den folgenden Eigenschaften [Arn95]:
θ : T × Ω → Ω ist messbar,
(3.3)
d.h. θ−1 (E) := {(t,ω) ∈ T × Ω|θ(t,ω) ∈ E} ∈ B ⊗ F, ∀E ∈ F.
B ist eine σ-Algebra auf T
und B ⊗ F ist eine Produkt-σ-Algebra [HN01, S. 349].
Für ein festes t gilt: θt : Ω → Ω ist maßerhaltend,
(3.4)
d.h. P (θt−1 (A)) = P (A) ∀A ∈ F.
Auch für dieses dynamische System gelten die Eigenschaften (3.1) und (3.2) auf der
vorherigen Seite.
θ lässt sich als Pseudozufallszahlengenerator veranschaulichen [Ana10]. Es wird ein initial
zufälliges ω gewählt, aus dem mittels θ in jedem Zeitschritt t ∈ T deterministisch ein
Pseudozufallswert generiert wird.
Mittels maßerhaltenden Flüssen lassen sich nun stochastische dynamische Systeme definieren:
Definition 3 (Stochastisches dynamisches System). Sei (T,Ω,θ) zusammen mit dem
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P ) ein maßerhaltender Fluss. Ein stochastisches dynamisches System ist ein Quadrupel (T,X,Ω,Φp ). T und X werden analog zu normalen
dynamischen Systemen definiert. Φp ist eine Abbildung Φp : T × X × Ω → X mit den
folgenden Eigenschaften [Arn95]:
Φp (0,x,ω) = x
(3.5)
∀ω ∈ Ω
Φp (t1 + t2 ,x,ω) = Φp (t2 ,Φp (t1 ,x,ω),θ(t1 ,ω))
∀ω ∈ Ω, t1 ,t2 ∈ T
(3.6)
46
Kapitel 3 Klassifikation von Simulationseingabedaten
Im diskreten Fall (T = N0 ) gilt aufgrund von (3.6) auf der vorherigen Seite Folgendes
[Arn95]:

Φp (t,x,ω) =
Φp (1,Φp (t − 1,x,ω),θ(t − 1,ω)) t ≥ 1
x
t=0
(3.7)


Φp (t,x,ω) ist also die wiederholte Anwendung der Abbildung Φp  . Dabei wird zu jedem
t=1
Zeitpunkt t die jeweilige Pseudozufallszahl für den nächsten Abbildungsschritt durch
θ(t,ω) bestimmt.
3.1.3 System Dynamics
SD-Modelle sind Systeme gewöhnlicher nichtlinearer Differentialgleichungen erster Ordnung, die Flüsse zwischen verschiedenen Beständen modellieren [Ste00, S. 194].
Beispiel 7. Im Schlaganfallszenario wurde die Häufigkeit des Schlaganfalls in der
Bevölkerung, die eine bestimmte Altersverteilung aufweist, mit SD-Modellen simuliert [DKRHG12]. Es wurde eine Population von Personen modelliert, die entweder
einen Schlaganfall erlitten haben oder gesund sind. Die Personen werden durch
die zwei Bestände krank und gesund modelliert. In diesem Beispiel kann es einen
Fluss erkranken geben, welcher von gesund nach krank fließt. Analog dazu kann
es einen Fluss genesen geben, welcher in die umgekehrte Richtung fließt. Die Rate dieses Flusses ist allerdings im Schlaganfallszenario 0, da hier eine vollständige
Heilung nicht möglich ist. Für die Modellierung der Bevölkerungsentwicklung wurden auch Sterblichkeit, Geburtenraten, Immigration und Emigration berücksichtigt
[DKRHG12].
SD-Modelle sind zeitkontinuierlich. Für Systeme von nichtlinearen Differentialgleichungen lässt sich in den meisten Fällen keine analytische Lösung finden [HSD04, S. 139].
Aus diesem Grund werden numerische Lösungsverfahren angewendet, um ausgehend von
einem initialen Zustand den Zustand des Systems zum Zeitpunkt t zu bestimmen.
Für ein System von gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung
in der Form dtd x(t) = F(x(t)) mit der Initialbedingung x(0) = x0 lässt sich ein kontinuierliches dynamisches System mit der Abbildung Φp (t,x0 ) := x(t) als Lösung finden
[MR08, S. 59].
3.1 Formale Modelle für Simulationen
47
Aufgrund dieser Überlegungen werden im Folgenden kontinuierliche dynamische Systeme
als Formalismus für SD-Modelle verwendet.
3.1.4 Agentenbasierte Modelle
Ein agentenbasiertes Modell besteht aus einer Ansammlung von Agenten, die durch ihren
Zustand beschrieben werden, und einer Menge von Regeln, die das Verhalten der Agenten
und die Interaktion zwischen ihnen beschreiben. Diese Regeln können unter Umständen
stochastisch, also abhängig von Zufallsvariablen, sein. Der Zustand eines Agenten zu
einem bestimmten Zeitpunkt t ∈ N0 hängt von seinem Zustand zu dem vorhergehenden
Zeitpunkt, den Zuständen der interagierenden Agenten und dem globalen Zustand zu
dem vorhergehenden Zeitpunkt ab [LJMR12].
Beispiel 8. Patienten, die einen Schlaganfall erlitten haben, wurden in einem agentenbasierten Modell als autonome Agenten modelliert. Ebenso wurden Krankenwagen
und Mobile Stroke Units als Agenten modelliert. Das Verhalten der einzelnen Agenten
wurde durch Zustandsdiagramme beschrieben. Ein Patient durchläuft beispielsweise
die Zustände Diagnose und Behandlung. Abhängig von einer Zufallsvariable ergibt
die Diagnose, ob bei einem Patienten eine Thrombolyse durchgeführt werden kann.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Zufallsvariablen im Modell können dabei
von dem Zustand des Agenten abhängig sein. Beispielsweise könnte die Wahrscheinlichkeit einer möglichen Thrombolyse bei älteren Patienten niedriger sein.
Laubenbacher et al. [LJMR12] entwickelten einen Formalismus basierend auf stochastischen finiten dynamischen Systemen für agentenbasierte Simulationen. Ein finites dynamisches System ist ein diskretes dynamisches System wobei X eine endliche Menge
ist. Diese zusätzliche Einschränkung erlaubt die Ableitung verschiedener theoretischer
Eigenschaften für einzelne Modelle, da nun Φp als Polynom darstellbar ist [LJMR12].
Für diese Arbeit ist diese Einschränkung allerdings nicht relevant. Deswegen wird der
allgemeinere Fall der stochastischen diskreten dynamischen Systeme betrachtet.
Van der Schaft und Schumacher [SS00] definieren hybride dynamische Systeme, die
sowohl aus diskreten als auch aus kontinuierlichen Teilen bestehen. Dieser Formalismus
erlaubt es, hybride Simulationen zu modellieren, die SD-Modelle und agentenbasierte
Modelle kombinieren. Allerdings führt dies zu keinen weiteren Arten von Eingabewerten.
Aus diesem Grund wird auf hybride Systeme im Rahmen dieser Arbeit nicht weiter
eingegangen.
48
Kapitel 3 Klassifikation von Simulationseingabedaten
3.2 Simulationseingabedaten
In diesem Abschnitt werden ausgehend von den formalen Modellen die Arten von Daten
betrachtet, die von SD-Modellen und agentenbasierten Modellen verarbeitet werden.
Anschließend werden diese Daten klassifiziert, um daraus ein Schema für Simulationseingabedaten ableiten zu können.
3.2.1 System Dynamics
SD-Modelle benötigen verschiedene Formen von Eingabewerten. Es wird ein initialer
Zustand x0 ∈ Rn benötigt. Im Rahmen von SD-Modellen werden damit die Bestände
initialisiert. Zusätzlich hängt die Funktion Φp von dem Parametervektor p ∈ Rm ab.
Dieser beeinflusst die Raten zwischen den verschiedenen Beständen.
Beispiel 9. Im Schlaganfallszenario besteht der initiale Zustand des Bevölkerungsmodells aus der Anzahl an gesunden Personen und der Anzahl an Personen, die zu
einem bestimmten Zeitpunkt einen Schlaganfall erlitten haben. Der Parametervektor
p enthält die Raten, wie z. B. die Erkrankungs-, Geburten- und Sterberaten.
3.2.2 Agentenbasierte Modelle
Analog zu SD-Modellen, wird bei agentenbasierten Modellen ein initialer Zustand x0 ∈
Rn benötigt. Dieser besteht aus den initialen Zuständen aller Agenten und dem initialen
globalen Zustand.
Der Zustand x0 ist entweder explizit gegeben oder die Zustände der einzelnen Agenten
werden aus einer initialen, möglicherweise mehrdimensionalen, Verteilung gezogen. Aufgrund der Eigenschaft (3.5) [S. 45] ist dieser initiale Zustand noch nicht vom Zufall des
stochastischen dynamischen Systems abhängig. Vielmehr ist das Erzeugen der Agenten
ein zusätzliches Zufallsexperiment.
Auch bei agentenbasierten Modellen hängt die Abbildung Φp von einem Parametervektor
p ∈ Rm ab. Zusätzlich wird hier auch noch eine möglicherweise mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung benötigt, die das Maß P und somit die stochastischen Elemente
der Simulation beschreibt.
3.2 Simulationseingabedaten
49
Beispiel 10. Für die Schlaganfallpatienten ist kein expliziter Startzustand für jeden
einzelnen Agenten gegeben. Vielmehr sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die
einzelnen Charakteristika der Patienten gegeben, wie z. B. eine Altersverteilung. Mit
diesen Verteilungen können neue Agenten generiert werden, wenn diese benötigt werden. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn das Bevölkerungsmodell neue Schlaganfälle
generiert.
Parameter im Parametervektor p sind die Kosten der einzelnen Verfahren im Krankenhaus, wie z. B. der Computertomographie. Ein Beispiel für ein stochastisches
Element ist die Zeit, die für die Diagnose benötigt wird. Für die Zeiten der Zustände
liegen Wahrscheinlichkeitsverteilungen vor, aus denen die Zeiten für die einzelnen
Patienten gezogen werden. Ebenso liegen die Wahrscheinlichkeiten für die Verzweigungen des Zustandsdiagramms vor. Ein Beispiel für eine solche Verzweigung ist die
Entscheidung, ob ein Patient eine Thrombolyse erhält.
Die mehrdimensionalen Verteilungen können gemischt aus diskreten und kontinuierlichen
Teilen bestehen. Die diskreten Anteile können explizit als mehrdimensionaler Datenwürfel gespeichert werden. Falls die Bestimmung einer expliziten Verteilungsfunktion zur
Beschreibung der kontinuierlichen Verteilungen nicht möglich ist, existieren alternativ
weitere Möglichkeiten [Law07, S. 279] kontinuierliche Verteilungen anzunähern. Es können einerseits direkt die realen Messdaten anstatt einer Verteilung verwendet werden.
Andererseits kann auch eine diskrete empirische Verteilung anhand der Daten bestimmt
werden. Diese Methoden sind allerdings in ihrer Genauigkeit und Flexibilität eingeschränkt [Law07, S. 279f]. Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit davon ausgegangen,
dass Familien von expliziten Verteilungsfunktionen verwendet werden, deren Parameter
sich durch Messungen bestimmen lassen. Für die kontinuierlichen Verteilungen können
also die Parameter gespeichert werden, welche die Verteilungsfunktion beschreiben. Dies
wird in folgender Annahme festgehalten werden:
Annahme 12. Zur Beschreibung von kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen
werden ausschließlich die Parameter von exakten kontinuierlichen Verteilungen gespeichert.
3.2.3 Klassifikation der Eingabewerte
Mit Hilfe der Informationen aus den vorherigen Abschnitten lassen sich nun die Eingabewerte folgendermaßen klassifizieren:
1. Parameter von (mehrdimensionalen) kontinuierlichen Verteilungen
50
Kapitel 3 Klassifikation von Simulationseingabedaten
2. Diskrete (mehrdimensionale) Verteilungen
3. Initialzustand x0 ∈ Rn
4. Parametervektor p ∈ Rm
Beispiel 11. Neben dem Schlaganfallszenario, dessen Parameter in den letzten Abschnitten bereits exemplarisch vorgestellt wurden, wird in diesem Beispiel eine einfache Verkehrssimulation betrachtet. Diese lässt sich ebenfalls als agentenbasierte
Simulation umsetzen. Fahrzeuge werden als Agenten modelliert. Der Zustand eines Fahrzeugs zu einem bestimmten Zeitpunkt wird durch dessen aktuelle Position
und Ziel beschrieben. Das Straßennetz wird in diesem Beispiel als Teil des Modells
betrachtet und nicht als Eingabewert.
Für den Initialzustand werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen benötigt, die beschreiben, wie viele Autos auf bestimmten Straßenabschnitten starten sollen. Ebenso
werden die Ziele der Fahrzeuge aus Wahrscheinlichkeitsverteilungen gezogen. Für
jedes Fahrzeug wird in jedem Schritt eine Route von seiner aktuellen Position zu
seinem Ziel berechnet. Das Verhalten der Fahrzeuge hängt zusätzlich von Zufallsvariablen ab, die beispielsweise die Entscheidung modellieren, ob ein Fahrzeug einen
Stau meidet oder nicht. Diese Zufallsvariablen werden ebenfalls durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschrieben. Der Parametervektor p enthält in diesem Beispiel
weitere Parameter, welche die Simulation beeinflussen, wie z. B. die Geschwindigkeitsbegrenzungen auf den einzelnen Straßenabschnitten.
Auch für dieses Beispiel sind die oben genannten Klassen von Eingabewerten ausreichend.
Für diese Arten von Eingabewerten reicht eine einfache Liste von Fakten zur Speicherung
aus, da alle Eingabewerte entweder direkt aus Parametervektoren bestehen oder sich
linearisieren lassen, wie die mehrdimensionalen diskreten Verteilungen. Die Familien von
expliziten Verteilungsfunktionen, für die Parameter gespeichert werden, sind dabei Teil
des Simulationsmodells und nicht Teil der Eingabe. Die Klassifikation der Eingabewerte
in diesem Kapitel bestätigt also die eingangs formulierte Hypothese 1 [S. 25], dass
eine Liste von Fakten der Form u ∈ R für die Speicherung von Simulationseingabedaten
geeignet ist. Die Position eines Fakts in der Liste definiert dann implizit seine Semantik.
Um eine explizite Definition der Semantik von Fakten zu ermöglichen, sollten die Fakten
mit domänenspezifischen Beschreibungsinformationen annotierbar sein. Beispielsweise
könnte sich ein Teilvektor des Parametervektors eines agentenbasierten Modells auf
Schritte in einem medizinischen Arbeitsablauf beziehen. Solche domänenspezifischen
3.2 Simulationseingabedaten
51
Beschreibungsinformationen sind für die Ausführung der Simulation und für die Speicherung der Daten nicht relevant. Allerdings erleichtern diese Zusatzinformationen dem
Anwender das Durchsuchen und Abfragen der Daten.
Da diese Zusatzinformationen domänenspezifisch sind, lässt sich hierfür kein konkretes
Schema festlegen. Dies ist auch eine der Grundannahmen dieser Arbeit (Annahme 2 auf
Seite 24). Allerdings eignen sich die Methoden aus Abschnitt 2.1 für die Erstellung eines
generischen Schemas, das die Speicherung von Fakten mit beliebigen Zusatzinformationen
erlaubt. Auf dieses Schema wird in Kapitel 5 näher eingegangen. Zunächst werden im
nächsten Abschnitt die verwandten Arbeiten diskutiert.
53
4
Verwandte Arbeiten für das Simulationsdatenmanagement
In diesem Abschnitt werden die verwandten Arbeiten hinsichtlich des Simulationsdatenmanagements beschrieben. Die verwandten Arbeiten für die Unschärfepropagierung
werden in Kapitel 9 diskutiert. Aufgrund der Breite des Themas und der Fülle der verwandten Konzepte beschränkt sich die Betrachtung auf eine Auswahl relevanter Arbeiten.
Diese werden in verschiedene Klassen aufgeteilt. Für jede Klasse von verwandten Arbeiten werden dann die prominentesten Repräsentanten vorgestellt, da eine erschöpfende
Abhandlung über alle Publikationen nicht möglich ist.
Obwohl in den bisherigen Kapiteln die Schlaganfallbehandlung als Beispiel betrachtet
wurde und ein gesundheitsökonomisches Simulationsprojekt als Motivation dieser Arbeit
dient, sollen die Ergebnisse auf beliebige SD-Modelle und agentenbasierte Simulationen
anwendbar sein. In diesem Abschnitt werden deshalb verwandte Arbeiten betrachtet,
die über die Verwaltung von gesundheitsökonomischen Daten hinausgehen.
4.1 Verwaltung wissenschaftlicher Daten
Da für Simulationsprojekte häufig wissenschaftliche Daten Verwendung finden, wird in
diesem Abschnitt ein Überblick über die Verwaltung dieser Art von Daten gegeben. Da
der Begriff der „wissenschaftlichen Daten“ sehr breit gefasst ist, muss dieser zunächst
definiert werden. Ailamaki et al. [AKD10] geben einen Überblick über die Verwaltung
und Verarbeitung wissenschaftlicher Daten. Sie identifizierten die Multidimensionalität als Eigenschaft, die von wissenschaftlichen Daten meist erfüllt wird. Dabei können
wissenschaftliche Daten einerseits – analog zu OLAP (Online analytical processing) –
klassische Datenwürfel mit komplexen hierarchischen Dimensionen [Sho03] darstellen
oder andererseits die Form von mehrdimensionalen Arrays [AKD10] annehmen.
Da die Verwaltung von OLAP-Daten ein gut erforschtes Gebiet ist, wird an dieser Stelle
nur auf eine kleine Auswahl repräsentativer Literatur verwiesen. Ein Überblick über die
Verwaltung von OLAP-Daten wird von Bauer und Günzel [BG08] gegeben. Shoshani
[Sho97, Sho03] diskutiert den Zusammenhang zwischen statistischen, wissenschaftlichen
und OLAP-Daten. Pedersen et al. [PJ99, PJD01, Ped13] definieren verschiedene Kriterien
54
Kapitel 4 Verwandte Arbeiten für das Simulationsdatenmanagement
für mehrdimensionale Datenmodelle und evaluieren existierende Ansätze. Zusätzlich
definieren sie ein neues Datenmodell, das all ihre Kriterien erfüllt.
Für die Verwaltung von großen Arrays von wissenschaftlichen Daten wurden spezielle
DBMS entworfen, welche die effiziente Verarbeitung ermöglichen. Auch hier wird nur
exemplarisch auf einige Vertreter verwiesen.
Beispiele für DBMS mit einem Array-basierten Datenmodell sind RasDaMan [BFRW97],
SciDB [SBD+ 09, RSS+ 10] und ArrayStore [SBW11]. Darüber hinaus kann mit SciQL
[ZKIN11] die Verarbeitung von Arrays auch mit relationalen DBMS durchgeführt werden.
Alle in diesem Abschnitt vorgestellten DBMS erfordern weiterhin einen initialen Schemaentwurf. Laut den Annahmen 1 und 2 [S. 24] kann für das in dieser Arbeit vorgestellte
Szenario allerdings kein festes Schema entworfen werden, da sich die Anforderungen
an das Simulationsdatenmanagement kontinuierlich verändern und nicht antizipierbar
sind.
Zusätzlich zu der Möglichkeit, wissenschaftliche Daten innerhalb eines DBMS zu verwalten, gibt es spezielle SWMS (Scientific Workflow Management Systems), die den
kompletten Arbeitsablauf der Verarbeitung von wissenschaftlichen Daten unterstützen
[AKD10]. Diese Systeme werden im nächsten Abschnitt diskutiert.
4.2 Scientific Workflow Management Systems
Ein Überblick über SWMS wird von Curcin und Ghanem [CG08], von Barker und Hemert
[BH08] und Cohen-Boulakia und Leser [CBL11] gegeben. Aufgrund der Menge von
Publikationen zu SWMS kann an dieser Stelle keine erschöpfende Abhandlung über alle
Lösungen in diesem Bereich gegeben werden. Stattdessen werden einige repräsentative
Systeme ausgewählt, die auch in [CG08] vorgestellt wurden. Dabei werden mit YAWL und
BPEL auch zwei Sprachen für die Beschreibung von Workflows betrachtet, die für SWMS
verwendet werden können [CG08]. Für diese Systeme und Sprachen wird untersucht,
welches Datenmodell ihnen zugrunde liegt. Die Ergebnisse dieser Untersuchung sind in
Tabelle 4.1 auf der nächsten Seite dargestellt.
Anhand der exemplarischen Analyse der Systeme lässt sich erkennen, dass als Datenmodell XML vorherrscht. Da sich XML durch eine hohe Flexibilität auszeichnet, ist dies
besonders für die Modellierung von heterogenen wissenschaftlichen Daten geeignet. Im
Gegensatz dazu setzen einige der Systeme kein Datenmodell voraus, sondern überlassen
die Datenverarbeitung und Transformation der Daten benutzerdefinierten Klassen.
4.2 Scientific Workflow Management Systems
55
SIMPL [RRS+ 11, RS13] ist dabei ein Framework, das besonders hervorzuheben ist, da
es sich direkt mit dem Datenmanagement für Simulationen beschäftigt. Das zentrale
Datenmodell ist dabei XML. Die Beschreibungssprache XML-Schema wird für die Modellierung der Daten verwendet. Dabei können neben XML basierten Daten auch relationale
Daten und Daten mit anderen Datenmodellen beschrieben werden [RRS+ 11]. Für die Anbindung von Datenquellen übernehmen Transformatoren die Transformationen zwischen
unterschiedlichen Datenmodellen und Schemata.
System/Sprache
Discovery Net
Taverna
Triana
Kepler
YAWL
BPEL
SIMPL
Datenmodell
XML [CGG+ 02]
Keines [BWC+ 08]
Keines (beliebige Java Klassen) [CGH+ 06]
Keines [LAB+ 06] (XML als Erweiterung [LLB+ 06])
XML [CG08]
XML [CG08]
XML [RRS+ 11]
Tabelle 4.1: Übersicht über die einzelnen Datenmodelle der verschiedenen SWMS
Das Ziel dieser Systeme ist ein möglichst generischer Ansatz, der beliebige wissenschaftliche Anwendungen ermöglichen soll. Diese Breite an Einsatzmöglichkeiten erfordert
einen sehr generischen Ansatz für das Datenmanagement. Aus diesem Grund wird von
den meisten Systemen XML als Datenmodell eingesetzt. Alternativ überlassen einige
Systeme das Datenmanagement auch ganz der benutzerdefinierten Implementierung der
wissenschaftlichen Verarbeitungsschritte.
Bei all diesen Systemen ist es allerdings erforderlich, dass ein konkretes Schema definiert wird. Dies geschieht entweder über Beschreibungssprachen wie XML-Schema oder
implizit über die Implementierung benutzerdefinierter Klassen.
Howe et al. [HCS+ 11, HHR+ 13] ziehen die Schlussfolgerung, dass SWMS nur bedingt für
wissenschaftliche Anwendungen einsetzbar sind. Dies wird mit dem Aufwand des initialen
Schemaentwurfs und den veränderlichen Anforderungen während der Projektlaufzeit
begründet. Da laut den Annahmen 1 und 2 [S. 24] für Simulationen kein festes Schema
entworfen werden kann, lösen SWMS nicht das in dieser Arbeit definierte Problem 1
[S. 19], das die generische Speicherung von Simulationseingabedaten fordert.
56
Kapitel 4 Verwandte Arbeiten für das Simulationsdatenmanagement
4.3 Eingabedaten ereignisorientierter Systeme
Für die Verwaltung der Eingabedaten ereignisorientierter Systeme existiert bereits eine
Vielzahl von Ansätzen. Aus diesem Grund werden an dieser Stelle nur die prominentesten
Vertreter vorgestellt. Die Ansätze lassen sich weiter untergliedern in Vorschläge für
strukturiertes Vorgehen bei der Handhabung von Eingabedaten und in konkrete Systeme
zur Verwaltung der Daten.
Da die Methodiken für strukturiertes Vorgehen für diese Arbeit nur begrenzt relevant
sind, wird an dieser Stelle nur auf weiterführende Literatur verwiesen: [LS97, PL00,
PL01, RP02, SJ08]
Es wurden bereits viele konkrete Datenmanagementlösungen für Simulationen in bestimmten Domänen definiert. Einige davon werden hier kurz vorgestellt:
Perera und Liyanage [PL00, PL01] entwickelten ein Schema für die Eingabedaten von
Fertigungssimulationen.
Gowri [Gow01] schlug mit EnerXML ein XML-Schema für die Verwaltung der Eingabedaten von Energiesimulationen von Gebäuden vor.
Tavakoli et al. schlugen mit der Flexible Data Input Layer Architecture [TMK08b,
TMK08a] ein System vor, welches die Definition von Schemata für Eingabedaten von
Fertigungssimulationen erleichtern soll. Dabei werden vor allem Sensordaten betrachtet
[TMK08a].
Weitere Ansätze, welche das Datenmanagement für Fertigungssimulationen betreffen,
wurden von Bengtsson et al. [BSJ+ 09], Boulonne et al. [BJSA10] und Skoogh et al.
[SMB10] beschrieben. Dabei wird das CMSD-Format (Core Manufacturing Simulation
Data) für die Beschreibung der Schemata verwendet.
Pfeifer et al. [PWH+ 10] entwickelten ein Simulationsmodell für die Untersuchung der
Ausbreitung ansteckender Krankheiten. Hierfür entwarfen sie exemplarisch einen ETLProzess (Extract, Tranform, Load) und ein Data-Warehouse-Schema. Das konkrete Schema wird in der Publikation allerdings nicht erwähnt.
All diese Arbeiten haben gemeinsam, dass hier entweder für konkrete Simulationen
feste Schemata entworfen wurden oder für domänenspezifische Klassen von Simulationen
Methoden für den vereinfachten Schemaentwurf entwickelt wurden. Aus diesem Grund
widersprechen diese Lösungen der Annahme 1 [S. 24], dass ein Schemaentwurf für einzelne
Simulationen zu aufwändig ist. Je nach Anwendungsfall ist es also durchaus möglich,
ein konkretes Schema zu entwerfen. Im Rahmen dieser Arbeit wird allerdings weiter
von Annahme 1 ausgegangen, da für viele Simulationen der Aufwand eines initialen
Schemaentwurfs nicht lohnenswert ist [HCS+ 11, HHR+ 13].
4.4 Wissenschaftliche Dataspaces
57
4.4 Wissenschaftliche Dataspaces
Das Konzept, das den Lösungsansätzen dieser Arbeit am nächsten kommt, ist das der
wissenschaftlichen Dataspaces. Dieses Konzept wurde ursprünglich von Dessi und Pes
[DP09] vorgeschlagen und von Singh und Jain [SJ11] in ihrem Überblickspapier über
Dataspaces beschrieben. Diese Ansätze haben die gemeinsame Eigenschaft, dass wissenschaftliche Daten gespeichert werden ohne dass initial ein Schema konstruiert werden
muss.
Ohne Anspruch auf Vollständigkeit werden hier die Ansätze vorgestellt, die bis einschließlich 2013 publiziert wurden.
4.4.1 SQLShare
Howe et al. [HCS+ 11, HHR+ 13] entwickelten mit SQLShare ein System, das die Speicherung von relationalen Daten ohne initialen Schemaentwurf ermöglicht. Dabei wird das
Schema der Eingabedaten automatisch übernommen. Auf diese Weise findet automatisiert eine technische Integration statt, die SQL-Anfragen (Structured Query Language)
auf den Daten ermöglicht.
Da es schwierig ist ohne eine semantische Integration Anfragen zu formulieren, werden
dem Benutzer Möglichkeiten gegeben, die Daten zu visualisieren. Außerdem werden automatisch mögliche Anfragen auf den Daten vorgeschlagen, welche der Benutzer interaktiv
verfeinern kann. Bei diesem Ansatz erfolgt im Gegensatz zu anderen Dataspace-basierten
Ansätzen keine bedarfsgetriebene semantische Integration.
Der Ansatz erfüllt die in den Annahmen 1 und 2 [S. 24] formulierten Anforderungen und
würde sich für die Speicherung der in Abschnitt 3.2.3 definierten Simulationseingabedaten eignen. Allerdings wurde in der Problemdefinition 2 [S. 21] festgehalten, dass eine
nachträgliche semantische Integration möglich sein soll, um die Daten für nachfolgende
Simulationen auffindbar zu machen. Aus diesem Grund erfüllt SQLShare nicht die Anforderungen an ein SDMS (Simulationsdatenmanagementsystem), die in dieser Arbeit
formuliert wurden.
4.4.2 jSpace
Elsayed und Brezany [EB10] entwickelten jSpace, ein System, das RDF für die Beschreibung von Datenquellen verwendet, die eigentlichen Daten allerdings in den Quellen
belässt. Mit SPARQL lassen sich die in RDF gespeicherten Beschreibungsdaten anfragen.
Die Speicherung von Beschreibungsdaten ähnelt der in dieser Arbeit vorgeschlagenen
58
Kapitel 4 Verwandte Arbeiten für das Simulationsdatenmanagement
Speicherung von Beschreibungsdaten mittels EAV/CR. Für die Verarbeitung der eigentlichen Daten müssen bei jSpace allerdings die Datenquellen mittels der quellspezifischen
Anfragesprachen durchsucht werden.
Dieser Ansatz umgeht die Problematik der Verwaltung der Daten in einer zentralen
Datenhaltung, indem nur beschreibende Daten zentral verwaltet werden. Dadurch, dass
die Quellen in der quellspezifischen Sprache angefragt werden müssen, ist der Aufwand
der Integration auf das manuelle Formulieren von Anfragen verlagert worden. Eine
weitere semantische Integration ist nicht vorgesehen. Aus diesem Grund löst auch dieses
System nicht die in dieser Arbeit beschriebene Problemstellung.
4.4.3 Domain Scientific Data Cloud
Das Konzept der DSDC (Domain Scientific Data Cloud) wurde von Liu et al. [LHLH12]
entwickelt. Die Daten werden dabei, wie bei Dataspaces üblich, in den Quellen belassen.
DSDC verfolgen dabei einen Ansatz ähnlich der Architektur für föderierte DBMS von
Sheth und Larson [SL90]. Dabei werden die globalen Anfragen in quellspezifische Anfragen aufgeteilt und übersetzt. Im Unterschied dazu soll allerdings die Abbildung von
lokalen Konzepten auf das kanonische Datenmodell graduell verbessert werden. Dies soll
semiautomatisch bei der Anfrageverarbeitung geschehen [LHLH12].
Bei dem Ansatz von Liu et al. müssen alle relevanten Entitäten aus den Quellen extrahiert
und mittels Attribut-Wert-Paaren beschrieben werden [LHLH12]. Zusätzlich müssen die
Daten initial mittels Ontologien beschrieben werden. Dies entspricht einem initialen
Schemaentwurf. Somit erfüllt dieser Ansatz nicht die in den Annahmen 1 und 2 [S. 24]
beschriebenen Anforderungen.
Die Speicherung der Daten als Entitäten mit Attribut-Wert-Paaren und mit einer zusätzlichen Beschreibung mittels Ontologien ähnelt dem in dieser Arbeit verfolgten Konzept
der Fakten, welche über EAV/CR annotiert werden. Die Extraktion der Entitäten mit
den entsprechenden Attribut-Wert-Paaren muss bei dem Ansatz von Liu et al. allerdings
initial mit manuell implementierten Wrappern geschehen. Dies entspricht gerade der
semantischen Integration, wie sie für diese Arbeit in Annahme 5 [S. 27] definiert wurde.
Somit wird durch den Ansatz von Liu et al. der initiale Aufwand nicht reduziert.
59
5
Ein konzeptuelles Schema für Eingabewerte von Simulationen
In Kapitel 3 wurde anhand von formalen Modellen diskutiert, welche Eingabewerte agentenbasierte Simulationen und SD-Modelle verarbeiten können. Dabei wurde festgestellt,
dass für die Speicherung von Eingabewerten eine Liste von Fakten ausreichend ist. Ein
Fakt besteht dabei einfach aus einem Wert u ∈ R. Da laut Annahme 7 [S. 28] die normalverteilte Unschärfe das wichtigste Datenqualitätskriterium für Eingabewerte darstellt,
soll diese auch für jeden Fakt in Form der Standardabweichung gespeichert werden. In
Kapitel 7 wird Annahme 7 noch ausführlich diskutiert und begründet.
Zusätzlich zu der Listenstruktur können benutzerdefinierte Beschreibungsinformationen
für die Strukturierung der Fakten nützlich sein. Beispielsweise können Fakten annotiert
werden, damit sie später einfacher durchsuchbar sind.
In Abschnitt 2.1 wurde EAV/CR vorgestellt, was die Speicherung von beliebigen benutzerdefinierten Objekten ermöglicht. In diesem Kapitel wird nun EAV/CR für die Speicherung von Eingabewerten erweitert. Außerdem wird anhand einiger Beispiele gezeigt,
wie EAV/CR für die Speicherung von domänenspezifischen Beschreibungsinformationen für Eingabewerte verwendet werden kann. Auf diese Weise werden die Probleme 1
[S. 19] (flexibler Schemaentwurf), 2 [S. 21] (bedarfsgetriebene Integration) und 3 [S. 22]
(Speicherung von Simulationsmodellen) gelöst.
Für die Modellierung von domänenspezifischen Schemata ist es irrelevant, ob diese
letztlich auf ein festes (beispielsweise relationales) Schema oder auf EAV/CR-Klassen
abgebildet werden. Aus diesem Grund werden in diesem Kapitel konsequent die Begriffe
der ER-Modellierung verwendet. Für die Implementierung ist allerdings relevant, ob
die Entitätstypen auf ein festes DBMS-spezifisches Schema oder auf EAV/CR-Klassen
abgebildet werden. Aus diesem Grund wird in den Abbildungen durch die Farbgebung
deutlich gemacht, wie die jeweiligen Entitätstypen implementiert werden. Entitätstypen,
die auf ein festes Schema abgebildet werden, werden blau dargestellt. Entitätstypen, die
auf EAV/CR-Klassen abgebildet werden, werden orange dargestellt. Zusätzlich wird bei
diesen Entitätstypen der Primärschlüssel weggelassen, da diese Entitätstypen implizit
von Object abgeleitet sind und somit bereits einen Primärschlüssel besitzen.
60
Kapitel 5 Ein konzeptuelles Schema für Eingabewerte von Simulationen
5.1 Ein EAV/CR-basiertes Schema für Eingabewerte
Das Schema für EAV/CR wurde in Abbildung 2.1 [S. 38] dargestellt. Abbildung 5.1 zeigt
die Erweiterung des Schemas für die Speicherung von Fakten. Dabei wird ein Entitätstyp Fact erstellt, der den Wert des Fakts, eine zugehörige Standardabweichung und eine
Angabe zur Herkunft des Fakts speichert. Da der Entitätstyp Fact von Object abgeleitet
wird, ist es möglich die EAV/CR-Infrastruktur für die Annotation der Fakten zu verwenden. Dabei ist es nicht nur möglich einem Fakt beliebige benutzerdefinierte Attribute zu
geben, vielmehr ist es auch möglich, dass Fakten Beziehungen zu weiteren Instanzen von
Object besitzen. Dies dient später dazu, domänenspezifische Beschreibungen für Fakten
speichern zu können.
Abbildung 5.1: Erweiterung des Schemas von EAV/CR für Eingabewerte
Da laut Annahme 12 [S. 49] keine Rohdaten zur Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen gespeichert werden, ist die Speicherung von Fakten ausreichend für die
Verwaltung von Eingabewerten. Allerdings werden für die komfortable Suche nach Eingabewerten in der Praxis noch weitere benutzerdefinierte Informationen benötigt, für die
das Schema in den nächsten Abschnitten erweitert wird. Beispielsweise können Fakten
anhand einer multidimensionalen Klassifikation beschrieben werden. Allerdings sind die
beschreibenden Attribute eines Fakts nicht immer vergleichbar mit den Dimensionen der
multidimensionalen Modellierung. Es bleibt dem Benutzer überlassen, ob Attribute eine
multidimensionale Semantik haben oder andere beschreibende Informationen darstellen,
die keine Orthogonalität voraussetzen.
Falls für Fakten eine Aggregationssemantik benötigt wird, so lässt sich ein multidimensionales Modell mit der EAV/CR-Infrastruktur nachbauen. Dies wird in Abschnitt 5.2
als Beispiel für die Möglichkeiten von EAV/CR vorgestellt.
5.1 Ein EAV/CR-basiertes Schema für Eingabewerte
61
Ausgehend von den Annahmen 1 und 2 [S. 24] und der Hypothese 1 [S. 25], die in
Kapitel 3 evaluiert wurde, löst dieses Schema das Problem 1 [S. 19]. Dieses Problem
bestand darin, ein erweiterbares Schema für agentenbasierte und SD-Simulationen zu
entwerfen.
Da es unterschiedliche Möglichkeiten gibt, EAV/CR zu implementieren, wird in Kapitel 6
Hypothese 2 [S. 26] evaluiert. Diese Hypothese besagte, dass es nicht-relationale DBMS
gibt, die EAV/CR-Daten schneller verarbeiten können als relationale DBMS.
5.1.1 Speicherung von Anfragen
Bei der Speicherung von Daten in einem EAV/CR-basierten Schema ergeben sich mehrere
Probleme hinsichtlich der Formulierung von Anfragen. Einerseits ist es nicht zwingend
notwendig, dass EAV/CR relational implementiert wird. Es könnte sogar sein, dass
die EAV/CR-Datenbank während ihrer Lebenszeit von einer Implementierung auf eine
andere migriert wird. Andererseits ist die Formulierung von SQL-Anfragen selbst bei
einer fixen relationalen Implementierung nicht trivial [Nad11].
Nadkarni [Nad11, S. 326] schlägt vor, einfache Anfragen in der Datenbank zu speichern.
Dabei sollen die Anfragen nicht direkt als Text gespeichert werden, sondern DBMSunabhängig durch ein Schema modelliert werden. In diesem Abschnitt wird eine einfache
Anfragemöglichkeit für Würfel von Fakten vorgestellt, bei der Anfragen als Entitätstyp
modelliert werden.
Zunächst muss die Semantik der Mehrfachverwendung von Attributen bei Fakten definiert werden. Ein Fakt ist ein Tupel F = (u,σ,s,A) mit dem Wert u, der Standardabweichung σ, der Quelle s und einem Tupel von Mengen A = (A1 , . . . ,Am ). Für das Attribut
i besitzt A eine Menge von Attributwerten Ai = {vi1 , . . .}.
Definition 4 (Gültigkeit von Fakten). Ein Fakt F gilt für alle Kombination von Attributwerten in A1 × . . . × Am .
Als Beispiel für die Semantik soll für Fakten der Ort und das Jahr, für die die Fakten
gültig sind, gespeichert werden. Ein Fakt, der die Attributwert-Mengen A1 = Ort =
{Erlangen, Nürnberg} und A2 = Jahr = {2010, 2011} besitzt, ist für alle Kombinationen
in {Erlangen, Nürnberg} × {2010, 2011} gültig.
w
1
Definition 5 (Faktenwürfel). Es sei das Tupel von Mengen (Aw
1 , . . . ,An ) gegeben .
w
Die Menge Aw
i = {vi1 , . . .} besteht dabei aus Attributwerten für das Attribut i. Ein
1
Das hochgestellte w steht hier für „Würfel“
62
Kapitel 5 Ein konzeptuelles Schema für Eingabewerte von Simulationen
Faktenwürfel ist eine Menge von Fakten {Fk }N
k=1 mit Fk = (uk ,σk ,sk ,Ak ) und Ak =
(Ak1 , . . . ,Akn , . . . ,Akm ) mit Aki = {vki }, für die gilt:

w
w
w
(Ak1 × . . . × Akn ) = (Aw
1 × . . . × An ) ∧ |(A1 × . . . × An )| = N
(5.1)
k
Das bedeutet, dass in einem Faktenwürfel für jede Kombination von Attributen in Aw
1 ×
w
. . . × An genau ein Fakt existiert.
Als Motivation dienen die gesundheitsökonomischen Simulationen von ProHTA, welche
häufig statistische Fakten benötigen [DKRHG12]. Diese statistischen Fakten besitzen
häufig eine multidimensionale Struktur [Sho97, Sho03], wobei in EAV/CR eine Dimension über ein Attribut eines Fakts repräsentiert werden kann.
Anfragen werden als Entitätstyp Query modelliert. Dieser Entitätstyp ist von Object
abgeleitet und kann direkt mit Hilfe der EAV/CR-Infrastruktur abgebildet werden und
bedarf keiner Schemaerweiterung. Eine Anfrage a ist dabei analog zu Fakten ein Tupel
a
von Mengen a = (Aa1 , . . . ,Aan ). Die Menge Aai = {vi1
, . . .} besteht dabei wieder aus
den Attributwerten für das Attribut i. Ein Fakt F = (u,σ,s,A) besitzt die Mengen
A = (A1 , . . . ,An , . . . ,Am ) mit Ai = {vi1 , . . .}. Falls ein Fakt das Attribut i nicht besitzt,
so ist Ai = ∅. Mit diesem Formalismus lässt sich die Semantik einer Anfrage einfach
beschreiben. Eine Anfrage a liefert alle Fakten F zurück, welche folgende Bedingung
erfüllen:
(A1 × . . . × An ) ∩ (Aa1 × . . . × Aan ) ̸= ∅
(5.2)
Diese Definition der Anfragesemantik berücksichtigt auch die Definition der Semantik bei der Mehrfachverwendung von Attributen. Ein Fakt mit A1 = Ort =
{Erlangen, Nürnberg} und A2 = Jahr = {2010} wird bei dieser Definition der Anfragesemantik auch zurückgegeben, wenn die Anfrage die Mengen Aa1 = {Erlangen} und
Aa2 = {2010, 2011} besitzt.
Da die vi bei EAV/CR nicht nur einfache Werte, sondern auch komplexe Objekte darstellen können, lassen sich mit dieser Anfragemöglichkeit auch Fakten abfragen, welche
mit Objekten annotiert wurden. Allerdings findet hier nur ein Objektvergleich über den
Primärschlüssel statt. Objekte werden nicht auf inhaltliche Gleichheit hin verglichen.
5.1.2 Speicherung von Simulationsläufen
Neben der Speicherung von Fakten und Anfragen müssen für die weitere Analyse auch
die Ergebnisse von Simulationsläufen gespeichert werden. Das Schema dafür wird in
Abbildung 5.2 auf der nächsten Seite dargestellt.
5.2 Ein Schema für mehrdimensionale Eingabewerte
63
Abbildung 5.2: Erweiterung des Schemas für Simulationsläufe
SimulationRun speichert dabei einen Simulationslauf und referenziert das Simulationsmodell (Model), welches über eine URI (Uniform Resource Identifier) auf ein externes
Modell verweisen kann. Ein Simulationsmodell kann mehrere Fakten als Eingabe haben.
Die Ausgabewerte eines Simulationslaufs werden in Output mit einer Referenz auf den
Simulationslauf, dem Namen des Ausgabewerts und dem Wert gespeichert. Ein Eingabewert wird mittels InputValue gespeichert. Dabei gehört ein Eingabewert zu genau einem
Fakt und einem Simulationslauf. Bei einem InputValue wird zusätzlich der numerische
Wert gespeichert. Dieser darf vom Wert des zugehörigen Fakts abweichen. Auf diese Weise können Simulationsläufe für Analysezwecke mit hypothetischen Werten durchgeführt
werden.
5.2 Ein Schema für mehrdimensionale Eingabewerte
In diesem Abschnitt wird als Beispiel für die Möglichkeiten der EAV/CR-Infrastruktur
ein Schema für mehrdimensionale Daten vorgestellt. Die Fakten mit ihren Attributen
ähneln bereits Datenwürfeln, wie sie aus dem Datawarehousing [BG08] bekannt sind.
Allerdings fehlen Möglichkeiten für die explizite Spezifikation von Datenwürfeln und für
Klassifikationshierarchien, die für die Aggregation von Fakten benötigt werden.
Für eine Einführung in mehrdimensionale Modellierung wird an dieser Stelle auf die
Literatur verwiesen: [Sho97, Sho03, BG08]. Pedersen [Ped13] entwickelte verschiedene
Kriterien, die von mehrdimensionalen Modellen erfüllt werden sollten, und verglich verschiedene existierende Formalismen anhand dieser Kriterien. Dabei war der von Pedersen
64
Kapitel 5 Ein konzeptuelles Schema für Eingabewerte von Simulationen
et al. [PJ99, PJD01] entwickelte Formalismus der einzige, der alle Kriterien erfüllte. Aus
diesem Grund wird an dieser Stelle zur Definition von einem Datenwürfel der Formalismus von Pedersen et al. vereinfacht wiedergegeben:
Definition 6 (Multidimensionaler Datenwürfel [PJD01]). Ein mehrdimensionales Schema enthält eine Menge von Dimensionstypen D = {Ti } mit i ∈ {1, . . . ,n} für n Dimensionen. Ein Dimensionstyp T ist ein 4-Tupel (C, ≤T ,⊤T ,⊥T ). C = {Cj } ist dabei
eine Menge von Kategorietypen, ≤T ist eine partielle Ordnung2 auf C mit dem kleinsten
Element ⊥T ∈ C und dem größten Element ⊤T ∈ C.
Eine Dimension D des Typs T ist ein Tupel (C, ≤), welches aus einer Menge von Kategoriemengen3 C = {Cj } und einer partiellen Ordnung ≤ besteht. Jede Kategoriemenge
Cj ist die Menge aller Kategorien4 {ek }, welche Instanzen des Kategorietyps Cj sind.
Zu dem Typ ⊤T existiert immer genau eine Instanz. ≤ ist eine partielle Ordnung aller

Kategorien j Cj dieser Dimension. Obwohl dies von Pedersen et al. nicht expliziert formuliert wird, hängen die partiellen Ordnungen ≤ und ≤T zusammen und es gilt folgende
Aussage:
∃ei ∈ Ci , ∃ej ∈ Cj mit ei ≤ ej ⇒ Ci ≤T Cj
(5.3)
Eine Fakt-Dimensions-Relation zwischen einer Menge von Fakten F und einer Dimensi
on D ist eine Menge R ⊆ F × j Cj . Ein multidimensionaler Datenwürfel ist ein 4-Tupel
(D,F,{Di }, {Ri }). D ist eine Menge von Dimensionstypen, F ist eine Menge von Fakten,
{Di |i = 1 . . . n} ist eine Menge von Dimensionen und {Ri |i = 1 . . . n} ist eine Menge
von Fakt-Dimensions-Relationen.
Pedersen et al. [PJ99, PJD01] erweitern dieses Modell noch um Unterstützung für zeitbezogene Informationen, Unsicherheit und Informationen über die Aggregierbarkeit von
Fakten in einzelnen Dimensionen. Auf diese Erweiterungen soll hier nicht weiter eingegangen werden.
Die Eingabewerte, die in Form von Fakten gespeichert werden, können dank EAV/CR bei
Bedarf zu mehrdimensionalen Datenwürfeln zusammengefasst werden. Das entsprechende
Schema wird in Abbildung 5.3 auf der nächsten Seite dargestellt.
Die orange Farbe soll deutlich machen, dass die Entitätstypen von Object abgeleitet sind
und in der Implementierung auf EAV/CR Klassen abgebildet werden. Der Primärschlüssel wird hier von Object geerbt. Die Bezeichnungen der Entitätstypen lehnen sich dabei
2
3
4
Eine partielle Ordnung ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation.
Pedersen et al. [PJD01] verwenden hierfür den Begriff „category“.
Pedersen et al. [PJD01] verwenden hierfür den Begriff „dimension value“.
5.2 Ein Schema für mehrdimensionale Eingabewerte
65
Abbildung 5.3: Schema für mehrdimensionale Daten
an die Terminologie von Pedersen et al. [PJ99, PJD01] an. Die einzige Ausnahme bildet
Category, was von Pedersen et al. als „dimension value“ bezeichnet wird.
Der Entitätstyp Fact ist bereits bekannt. Alle festen Attribute von Fact, die bereits in
Abbildung 5.1 [S. 60] definiert wurden, wurden hier weggelassen. Ein Fakt gehört zu
genau einem Datenwürfel. Dieser Datenwürfel hat Dimensionstypen (DimType), welche
wiederum eine Menge von Kategorietypen (Type) besitzen. Die partielle Ordnung der
Kategorietypen wird über die Beziehung less_or_equal ausgedrückt. Kategorien (Category) haben einen eindeutigen Kategorietyp und eine Beziehung less_or_equal, welche
wieder die partielle Ordnung darstellt. Die Fakt-Dimensions-Beziehung fact_dim verknüpft die Fakten mit den entsprechenden Kategorien. Eine explizite Speicherung von
Kategoriemengen und Dimensionen ist nicht nötig, da diese implizit über Kategorien
gespeichert werden.
Hierarchische Dimensionen können beispielsweise zur besseren Aggregation von Fakten
verwendet werden. Auf diese Weise lassen sich, wie bereits in Abschnitt 5.1 erwähnt
wurde, komplexe Aggregationssemantiken für Fakten definieren.
66
Kapitel 5 Ein konzeptuelles Schema für Eingabewerte von Simulationen
5.3 Ein Schema zur Speicherung von
Zustandsdiagrammen
In diesem Abschnitt wird ein weiteres Beispiel für die Annotation der Fakten mit der
EAV/CR-Infrastruktur vorgestellt. Motivation für dieses Beispiel ist die Tatsache, dass
für agentenbasierte Simulationen Zustandsdiagramme verwendet werden, um das Verhalten von Agenten zu modellieren [LJMR12]. Für dieses Beispiel wird Dologs OWLOntologie5 verwendet, welche die Speicherung von UML-Zustandsdiagrammen [UML11]
in RDF erlaubt [Dol04]. Diese Ontologie wurde gewählt, da RDFS starke Ähnlichkeit mit
EAV/CR aufweist [Nad11] und viele OWL- bzw. RDF-Ontologien direkt in EAV/CR
abgebildet werden können.
Im folgenden Abschnitt wird eine kurze Einführung in UML-Zustandsdiagramme gegeben.
Anschließend wird eine vereinfachte Version der Ontologie von Dolog als ER-Diagramm
vorgestellt. Dabei werden der Einfachheit halber nur die Entitätstypen für Zustände
und Transitionen berücksichtigt. Das Schema ermöglicht bei agentenbasierten Simulationen eine Speicherung der Zustandsdiagramme, welche das Verhalten der Agenten
spezifizieren. Die gespeicherten Zustandsdiagramme können dann dazu benutzt werden,
um Fakten zu annotieren. Beispielsweise kann für einen Fakt, der eine Zeitdauer darstellt, angegeben werden, zu welchem Schritt eines Zustandsdiagramms er gehört. Dies
dient der vereinfachten Suche von Fakten und kann in zukünftigen Arbeiten dazu benutzt werden, ausführbare Simulationsmodelle aus gespeicherten Zustandsdiagrammen
zu generieren.
In den Arbeiten von Tenschert [Ten12] und Baumgärtel et al. [BTL14] wurde eine
Anfragesprache entwickelt, mit der Fakten abgefragt und aggregiert werden können,
die mit den Elementen von Zustandsdiagrammen annotiert wurden. Als Beispiel wurde
hier ein Zustandsdiagramm für die Behandlung von Schlaganfällen verwendet [Ten12].
Dieses Szenario orientierte sich an den agentenbasierten Simulationen von Djanatliev et
al. [DKRHG12]. Für Simulationsmodelle dieser Art können nun die durchschnittlichen
Zeiten und Kosten für die einzelnen Zustände und Transitionen als Fakten gespeichert
und mittels der Anfragesprache von Tenschert und Baumgärtel et al. [Ten12, BTL14]
durchsucht und aggregiert werden. Da in diesen Arbeiten die Aggregationssemantik nur
implizit vorausgesetzt wurde, wird in Anhang B eine Aggregationssemantik für Fakten
definiert, die mit Elementen von Zustandsdiagrammen annotiert wurden.
5 http://people.cs.aau.dk/~dolog/fsm/fsm.owl (Heruntergeladen am 25.09.2014)
5.3 Ein Schema zur Speicherung von Zustandsdiagrammen
67
5.3.1 UML-Zustandsdiagramme
In Abbildung 5.4(a) werden die grundlegenden Elemente von Zustandsdiagrammen dargestellt. Es gibt einfache Zustände, wie z. B. A und C, und es gibt Transitionen, welche
als Pfeile dargestellt werden. Besondere Pseudozustände sind beispielsweise Start- und
Endzustand, welche als ausgefüllter Kreis bzw. ausgefüllter Kreis mit Rand dargestellt
werden. Der Pseudozustand B stellt eine Verzweigung dar.
i,B
A,i
i,f
A,f
A,B
f,B
f,i
(a) Zusammengesetzter Zustand mit orthogonalen Regionen6
(b) Kartesisches Produkt der Zustände in
den orthogonalen Regionen (“i”= regionaler
Startzustand, “f”= regionaler Endzustand)7
Abbildung 5.4: UML-Zustandsdiagramm
Zusätzlich können Zustände auch wieder Zustandsdiagramme enthalten. Auf diese Weise kann ein Diagramm hierarchisch aufgebaut sein. Ein solcher zusammengesetzter
Zustand kann mit orthogonalen Regionen parallele Abläufe modellieren. In Abbildung 5.4(a) können A und B beispielsweise parallel ablaufen.
In UML-Zustandsdiagrammen lässt sich Parallelität auch über Forks und Joins realisieren. Auf diese wird im Rahmen dieser Arbeit verzichtet, da es schwierig ist zu definieren,
wann ein Diagramm, welches Forks und Joins enthält, wohlgeformt ist [DH01], und sich
Parallelität bereits über orthogonale Regionen ausdrücken lässt.
Ein zusammengesetzter Zustand ist beendet, wenn in all seinen Regionen die Endzustände erreicht wurden. Falls zwischen einem Zustand innerhalb eines zusammengesetzten
Zustands (z. B. B) und einem Zustand außerhalb (z. B. C ) eine Transition stattfindet, so
wird die Ausführung aller orthogonalen Regionen des zusammengesetzten Zustands abgebrochen. Eine solche Transition soll „ausbrechende Transition“ genannt werden.
6
Grafik von Johannes Tenschert [BTL14][S. 81] (© Springer International Publishing Switzerland
2014 With permission of Springer)
7 Grafik nach einer Idee von Johannes Tenschert [Ten12][S.43]
68
Kapitel 5 Ein konzeptuelles Schema für Eingabewerte von Simulationen
Orthogonale Regionen können über das kartesische Produkt ihrer Zustände auch als
Zustandsdiagramme ohne Parallelität dargestellt werden. In Abbildung 5.4(b) wird
beispielsweise der zusammengesetzte Zustand aus Abbildung 5.4(a) ohne Parallelität
dargestellt.
5.3.2 Ein Schema für Zustandsdiagramme
In Abbildung 5.5 sind die Entitätstypen zur Speicherung von Zustandsdiagrammen
abgebildet. Diese Entitätstypen stellen eine vereinfachte Version der Ontologie von Dolog
[Dol04] dar.
Abbildung 5.5: Schema für Zustandsdiagramme (nach Dolog [Dol04])
Zentrale Elemente sind die Entitätstypen State und Transition, welche die Speicherung
von Zustandsdiagrammen (StateMachine) erlauben. Vom Entitätstyp State existieren
weitere Spezialisierungen, um die verschiedenen Typen von Zuständen zu realisieren. Der
Entitätstyp Composite realisiert zusammengesetzte Zustände mit Regionen (Region),
welche selbst wieder zusammengesetzte Zustände sind. Zusammengesetzte Zuständen
können beliebige Zustandsdiagramme oder einzelne Elemente davon enthalten.
Fakten können mit beliebigen Elementen von Zustandsdiagrammen (StateMachineElement) über die Beziehung element annotiert werden. Das zusätzliche Attribut type
gibt bei einem Fakt an, ob es sich beispielsweise um Kosten, eine Zeitdauer oder eine Wahrscheinlichkeit handelt. Dieses Attribut kann hinzugefügt werden, ohne dass
5.4 Bedarfsgetriebene Datenintegration
69
der Entitätstyp Fact geändert werden muss, da Fact von Object abgeleitet ist und somit per EAV/CR beliebige Attribute hinzugefügt werden können. Mit dem Attribut
type kann beispielsweise gespeichert werden, dass ein Fakt die Dauer einer Transition
darstellt. Ebenso können Fakten gespeichert werden, die bei Verzweigungen die Wahrscheinlichkeiten der ausgehenden Transitionen angeben. Bei Bedarf können für weitere
Annotationssemantiken auch zusätzliche Typen von Fakten definiert werden.
Dieses Schema löst Problem 3 [S. 22] (Speicherung von konzeptuellen Simulationsmodellen) exemplarisch für Zustandsdiagramme.
5.4 Bedarfsgetriebene Datenintegration
Die Ergebnisse in diesem Abschnitt wurden teilweise bereits in [BEL14] publiziert. In
Abschnitt 2.2.2 wurde erläutert, dass die semantische Integration von Daten aus verschiedenen Quellen einen hohen initialen Aufwand erfordert. Um dieses Problem zu lösen, soll
der initiale Aufwand durch eine bedarfsgetriebene Datenintegration verringert werden.
Dies wurde in Problem 2 [S. 21] festgehalten.
Laut Annahme 4 [S. 26] wird davon ausgegangen, dass alle Daten in Form von PivotTabellen vorliegen. Die technische Integration der Pivot-Tabellen besteht in der Transformation der Pivot-Tabellen in EAV/CR-Objekte, die Zeilen, Spalten und Zellen repräsentieren. Einige Zellen der Pivot-Tabellen enthalten dabei Fakten, während andere
Zellen beschreibende Informationen enthalten, die den Fakten eine Bedeutung verleihen.
Für die semantische Integration müssen die Zellen, die beschreibende Informationen
enthalten, identifiziert werden und die beschreibenden Informationen müssen einem kanonischen Schema zugeordnet werden, um eine eindeutige Interpretation der Fakten
zu ermöglichen (Annahme 5 auf Seite 27). Auf Basis dieser Annahmen wird in diesem
Abschnitt Problem 2 gelöst. Dies soll allerdings auf Basis eines erweiterbaren Ansatzes
geschehen, so dass in zukünftigen Arbeiten auch Daten integriert werden können, welche
nicht als Pivot-Tabellen vorliegen.
Der hohe initiale Aufwand des Schemaentwurfs und der Datenintegration hindert Wissenschaftler häufig daran, ein DBMS für die Datenverwaltung zu verwenden [HCS+ 11].
Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit ein „data first, structure later“-Ansatz für die
Integration von Simulationsdaten verfolgt. Dies wird in dieser Arbeit so interpretiert,
dass zunächst eine automatisierte technische Datenintegration stattfindet. Bei Bedarf
kann dieser dann eine manuelle semantische Datenintegration folgen. Dies ist besonders
in Simulationsprojekten sinnvoll, in denen Domänenexperten parallel zur Modellerstellung bereits eine Vielzahl von Daten sammeln, von denen später nur ein Teil tatsächlich
für die Simulation verwendet wird.
70
Kapitel 5 Ein konzeptuelles Schema für Eingabewerte von Simulationen
In dieser Arbeit werden Begriffe der Fünf-Level-Schemaarchitektur von Sheth and Larson [SL90] für die bedarfsgetriebene Datenintegration aufgegriffen. Im Gegensatz zur
Föderation sollen die Daten allerdings nicht in den Quellen belassen werden. Im Zuge der
technischen Integration sollen die Daten mit ihren lokalen Schemata in eine zentrale Datenbank übernommen werden, damit Simulationen unabhängig von der Verfügbarkeit der
einzelnen Datenquellen reproduzierbar bleiben. Später können dann dem lokalen Schema
Annotationen hinzugefügt werden, die eine semantische Integration in ein föderiertes
Schema erlauben. Dies bedeutet konkret, dass die Informationen, die im lokalen Schema
gespeichert sind, in Fakten und Attribute transformiert werden. Analog zu föderierten Datenbanken übernimmt ein Prozessor die Transformation zwischen den Schemata.
Allerdings soll dies hier nur initial einmal geschehen, da einmal gesammelte Daten unveränderlich sein müssen, um die Reproduzierbarkeit von Simulationen gewährleisten zu
können. Die transformierten Daten werden aus diesem Grund explizit gespeichert.
5.4.1 Architektur
In diesem Abschnitt wird die abstrakte Architektur für die bedarfsgetriebene semantische Datenintegration vorgestellt. Die einzelnen Komponenten dieses Ansatzes werden
in Abbildung 5.6 auf der nächsten Seite dargestellt. Für die technische Integration der
einzelnen Datenquellen müssen die entsprechenden Adapter bereitgestellt werden. Diese
importieren die Daten gemeinsam mit dem jeweiligen lokalen Schema im quellspezifischen Datenmodell in das EAV/CR-Datenmodell. Eine Komponente für Volltextsuche
ermöglicht es, technisch integrierte Daten zu durchsuchen.
Für jedes Datenmodell kann ein Visualisierungsmodul implementiert werden, welches
die Darstellung der Daten übernimmt. Dieses Visualisierungsmodul erlaubt es dann mit
Eingabefeldern für Annotationen (Annotation Form), den einzelnen Komponenten eines
lokalen Schemas semantische Annotationen hinzuzufügen. Wenn semantische Annotationen zur Verfügung stehen, können diese für die semantische Integration verwendet
werden. Hierbei ist zu beachten, dass für die einzelnen Datenmodelle definiert werden
muss, welche Komponenten eines Schemas annotiert werden können und welche Typen
von Annotationen möglich sind.
Wenn die semantische Integration abgeschlossen ist, kann die Simulation Faktenwürfel
anhand von domänenspezifischen Attributen abfragen (siehe Abschnitt 5.1.1).
5.4 Bedarfsgetriebene Datenintegration
DBMS
Input
Input Adapter
71
EAV/CR-DB
Local
Schema
Visualization
Semantic
Information
Full Text
Search
Facts
Annotation
Form
Semantic
Annotations
Integration
Attributes
Query
Processor
Simulation
Information Flow
Uses
References
Abbildung 5.6: Architektur für die bedarfsgetriebene Datenintegration (Grafik bereits
publiziert in [BEL14][S.173])
5.4.2 Ein Schema für bedarfsgetriebene Datenintegration
In [BEL14] wurde ein Schema für RDF vorgestellt, das es erlaubt, Typen von semantischen Annotationen für Datenmodelle zu definieren. Dieses Schema wird in Abbildung 5.7
auf der nächsten Seite als ER-Diagramm dargestellt. Dabei wurden mehrere Ebenen der
Instanziierung, die in RDFS möglich sind, zu einer einzigen Ebene vereinfacht.
Datenmodelle werden über den Entitätstyp Datamodel deklariert. Für ein Datenmodell lassen sich mehrere Schemata als Instanzen von Schema speichern. Diese wiederum
bestehen aus Elementen, für die pro konkretem Datenmodell eine Ableitung des Entitätstyps Element vorgenommen werden muss. Über diese Ableitung wird die Struktur
eines spezifischen Datenmodells definiert. Für Elemente eines Schemas können zusätzlich
zugehörige Fakten gespeichert werden. Dabei ist zu beachten, dass dadurch mit Element
nicht nur Schemata sondern auch Ausprägungen modelliert werden können. Dies ist
nötig, um Datenmodelle zu unterstützen, die keine explizite Definition von Schemata
erlauben oder Schema und Ausprägungen vermischen.
Beispielsweise lässt sich für das relationale Datenmodell der Entitätstyp Relation als
Unterklasse von Element definieren. Die Instanzen von Relation können dann Beziehungen zu mehreren Instanzen der Entitätstypen Attribute und Tuple haben, die wiederum
von Element abgeleitet sind.
72
Kapitel 5 Ein konzeptuelles Schema für Eingabewerte von Simulationen
Abbildung 5.7: Schema für semantische Annotationen
Für ein Datenmodell lässt sich ein Annotationstyp (AnnotationType) definieren, der die
Informationen speichert, um Daten semantisch integrieren zu können. Auf diese Weise
lässt sich definieren, wie Informationen in einem lokalen Schema in einem bestimmten
Datenmodell in Attribute von Fakten transformiert werden können. Dazu lassen sich
zu jedem Schema Annotationsmengen (AnnotationSet) anlegen, die zu einem Annotationstyp gehören und aus mehreren Annotationen bestehen (Annotation). Instanzen
des Entitätstyps Annotation gehören jeweils zu einem Element des Schemas. Annotation
muss analog zu Element für jeweils einen konkreten Annotationstyp abgeleitet werden.
Für jeden Annotationstyp muss ein Prozessor implementiert werden, der die Annotationen verarbeitet und die Integration vornimmt. Zu beachten ist, dass mit diesem Modell
nicht definiert werden kann, wann ausreichend Annotationen für eine Integration vorhanden sind. Die Vollständigkeit ist abhängig vom jeweiligen Annotationstyp und von
Domänenwissen. Aus diesem Grund übersteigt die formale Definition eines Modells für
die Vollständigkeit von Annotationen den Rahmen dieser Arbeit.
5.4.3 Semantische Integration von Pivot-Tabellen
Als Beispiel wird die semantische Integration von Pivot-Tabellen vorgestellt. Ein Beispiel
für eine Pivot-Tabelle wird in Tabelle 5.1 [S. 74] dargestellt. In einer Pivot-Tabelle werden
üblicherweise Fakten gespeichert, die über bestimmte Attribute annotiert werden, deren
5.4 Bedarfsgetriebene Datenintegration
73
Werte sich in Zeilen und Spalten am Rand der Tabelle befinden. In Tabelle 5.1 enthält
beispielsweise die erste Zeile Informationen über das Geschlecht und die zweite Zeile
enthält Informationen über das Jahr.
Das Schema einer Pivot-Tabelle besteht aus Zeilen, Spalten und Zellen. In Abbildung 5.8
wird dargestellt, wie sich das Datenmodell der Pivot-Tabellen über die Ableitung des
Entitätstyps Element realisieren lässt. Entitätstypen für Zellen, Zeilen und Spalten
modellieren die Pivot-Tabellen. Die technische Integration einer Pivot-Tabelle erfolgt
indem diese mit Hilfe der Entitätstypen aus Abbildung 5.8 gespeichert wird.
Der Entitätstyp RowOrCol fasst Zeilen und Spalten zusammen. Auf diese Weise lässt
sich eine konkrete Annotation (IsAttribute) definieren, die für Zeilen und Spalten angibt,
welchem Attribut diese entsprechen, falls dies der Fall ist. Um diese Annotation auf
Zeilen und Spalten zu beschränken wird die Beziehung element zwischen Annotationen
und Elementen bei IsAttribute überschrieben. Mit diesen Entitätstypen lassen sich nun
Annotationen für die lokalen Schemata von Pivot-Tabellen speichern.
Abbildung 5.8: Schema für die semantische Annotation von Pivot-Tabellen
Um die Zellen von Pivot-Tabellen in Fakten und Attribute von Fakten transformieren
zu können, werden Informationen darüber benötigt, welche Zeilen und welche Spalten
Informationen über die Attribute der Fakten enthalten. Ebenso müssen die in der PivotTabelle gespeicherten beschreibenden Informationen den Attributen eines kanonischen
Schemas zugeordnet werden.
Als Beispiel wird Tabelle 1.1(a) [S. 20] in Tabelle 5.1 auf der nächsten Seite wiederholt. Für Tabelle 5.1 wird annotiert, dass die ersten beiden Zeilen und die erste Spalte
74
Kapitel 5 Ein konzeptuelles Schema für Eingabewerte von Simulationen
Row
1
2
3
4
5
Col. 1
10
20
30
C. 2
M
2010
0
4
6
C. 3
F
2010
8
7
9
C. 4
M
2011
1
1
4
C. 5
F
2011
5
1
2
Tabelle 5.1: Beispiel für eine relational gespeicherte Pivot-Tabelle
bestimmten kanonischen Attributen entsprechen. Auf diese Weise lässt sich diese PivotTabelle in eine Menge von Fakten mit den entsprechenden Attributwerten umwandeln.
Zu beachten ist, dass dabei keine semantische Integration auf Ausprägungsebene stattfindet. Ausprägungen wie „M“ und „F“ werden nicht zu kanonischen Werten vereinheitlicht. Ein anderer Datensatz kann also für das gleiche kanonische Attribut (Geschlecht)
Attributwerte wie „Male“ und „Female“ verwenden. Eine semantische Integration auf
Ausprägungsebene kann allerdings in zukünftigen Arbeiten mit Hilfe des abstrakten
Schemas für die semantische Integration aus Abbildung 5.7 [S. 72] umgesetzt werden.
Dieser Ansatz löst unter den Annahmen 4 [S. 26] (Beschränkung auf Pivot-Tabellen)
und 5 [S. 27] (Definition semantischer Integration) das Problem der nachgelagerten
bedarfsgetriebenen semantischen Integration (Problem 2 auf Seite 21). Der abstrakte
Ansatz ermöglicht unter Umständen eine Relaxierung von Annahme 4 und somit eine
bedarfsgetriebene Integration für beliebige Datenmodelle. Diese Hypothese sollte in
weiteren Arbeiten umfassend evaluiert werden.
75
6
Evaluation des generischen Schemas
In Abschnitt 2.1 wurde das EAV/CR-Datenmodell vorgestellt und in Kapitel 5 wurde
erläutert, wie dieses Modell für die Speicherung von Eingabewerten angepasst werden
kann. Da das EAV/CR-Datenmodell auf unterschiedliche Arten implementiert werden
kann [Nad11, S. 224f], werden in diesem Abschnitt exemplarisch einige dieser möglichen
Implementierungen vorgestellt und evaluiert.
Dazu wird zunächst eine vereinfachte Variante des in Kapitel 5 vorgestellten Schemas
beschrieben, die als Grundlage der Evaluation dienen soll. Im Anschluss werden einige
mögliche Implementierungsalternativen für das EAV/CR-Datenmodell vorgestellt. Für
die eigentliche Evaluation müssen dann Daten und Anfragen definiert werden, welche die
Arbeitslast für die Beurteilung der Geschwindigkeit der einzelnen Implementierungen
darstellen. Da im Rahmen des Projekts ProHTA für einen Benchmark zu wenig Daten
und Anfragen anfielen, muss für diese Arbeit eine plausible synthetische Arbeitslast
definiert werden.
In [BEL13] wurde bereits eine Version der Evaluation aus diesem Kapitel veröffentlicht.
Für diese Arbeit wurde das Schema der Evaluation allerdings von einem multidimensionalen Schema auf ein EAV-basiertes Schema umgestellt und die Anfragen wurden an
das neue Schema angepasst. Zudem wurden im Vergleich zu [BEL13] neuere Versionen
der verwendeten DBMS evaluiert.
6.1 Vereinfachtes Schema
Das in Abbildung 6.1 auf der nächsten Seite dargestellte Schema ist eine vereinfachte
Variante des in Kapitel 5 beschriebenen Schemas und stellt den Kern von EAV dar. Dabei
wurde die Oberklasse Object von Fact weggelassen. Zusätzlich wurde zur Vereinfachung
bei Fact das von Object geerbte Attribut name und das Attribut std_dev entfernt. Es
wurde auch das Attribut multi_instance von EAV entfernt. Jeder Fakt kann also in diesem vereinfachten Fall jedes Attribut nur einmal besitzen. In den folgenden Abschnitten
wird für die jeweiligen Implementierungsalternativen kurz diskutiert, wie diese erweitert
werden müssten, um multi_instance abbilden zu können.
76
Kapitel 6 Evaluation des generischen Schemas
Abbildung 6.1: Vereinfachtes Schema für die Evaluation
Ebenso wurden alle Entitätstypen weggelassen, die bei EAV/CR der Speicherung von
Schemainformationen dienen. Es wird also ein reines EAV-Modell evaluiert. Dies ist darin
begründet, dass bei der Verarbeitung einer großen Menge von Fakten der Aufwand für das
Abfragen von Schemainformationen im Vergleich zum Aufwand für die Verarbeitung der
einzelnen Fakten gering ist. Inwieweit dies zutrifft, hängt vom jeweiligen Anwendungsfall
ab. Für die in dieser Arbeit evaluierte synthetische Arbeitslast soll folgende Annahme
gelten:
Annahme 13. Die pro Anfrage verarbeitete Menge an Fakten dominiert den Aufwand.
Der Aufwand für die Verarbeitung von Schemainformationen kann vernachlässigt werden.
6.2 Implementierungsalternativen
In diesem Abschnitt werden verschiedene Implementierungsalternativen für das in Abbildung 6.1 dargestellte Schema untersucht. Aufgrund der Vielzahl an DBMS mit unterschiedlichen Datenmodellen können im Rahmen dieser Arbeit nur einige Möglichkeiten
exemplarisch diskutiert werden. Im nächsten Abschnitt werden die DBMS vorgestellt,
die in diesem Kapitel evaluiert werden.
Da bei der relationalen Implementierung von EAV/CR die Attribute über einen numerischen Fremdschlüssel auf die Attributsrelation dargestellt werden, wurden der Einfachheit halber numerische Bezeichnungen (0, 1 etc.) für die Attribute gewählt. Da die
exemplarische Darstellung der Schemata in den folgenden Abschnitten teilweise konkrete
Attribute benötigt, werden, falls nicht anders angegeben, für die Darstellung der Schemata die Attribute 0 und 1 verwendet. Für die Implementierung muss der Datentyp der
Attribute bekannt sein. Dieser wird in Abschnitt 6.3 diskutiert.
6.2 Implementierungsalternativen
77
6.2.1 Auswahl konkreter DBMS
Um exemplarisch einige DBMS für die Evaluation der verschiedenen Implementierungsalternativen für EAV auszuwählen, muss zunächst festgelegt werden, welche Datenmodelle
evaluiert werden sollen. Es sollte das relationale Modell evaluiert werden, da dies üblicherweise für die Implementierung von EAV/CR verwendet wird. Ebenso bietet sich RDF
für die Implementierung an, da RDF quasi eine native Unterstützung für EAV/CR ermöglicht. Auch dokumentenorientierte DBMS sind für die Implementierung geeignet, da
diese Dokumente mit beliebigen Attribut-Wert-Paaren unterstützen. Auf die Evaluation
weiterer Datenmodelle soll im Rahmen dieser Arbeit verzichtet werden, da aufgrund der
Vielzahl an möglichen Datenmodellen keine erschöpfende Evaluation aller Alternativen
möglich ist.
Als Vertreter der relationalen Datenbanken wurde PostgreSQL1 gewählt, da dies eines
der bekanntesten freien relationalen DBMS ist. Zudem sind in PostgreSQL dokumentenorientierte Datentypen implementiert, welche eine Abbildung von EAV auf ein hybrides
Datenmodell ermöglichen.
Für RDF wurde das Jena-Framework von Apache2 gewählt, da dies ein freies RDFbasiertes DBMS ist. Jena unterstützt mit dem TDB-Backend eine native Speicherung der
RDF-Tripel, im Gegensatz zur Verwendung eines relationalen DBMS für die Speicherung
der Tripel. Zudem unterstützt Jena die Version 1.1 der Anfragesprache SPARQL, welche
Aggregation und Veränderung von existierenden RDF-Graphen erlaubt. Als SPARQLServer wird die Komponente Fuseki von Jena verwendet.
Als dokumentenorientiertes System wurde MongoDB3 gewählt, da dieses sowohl eine
eigene Anfragesprache definiert, welche im Folgenden „MongoDB-QL“ genannt wird, als
auch Anfragen per MapReduce ermöglicht. Die Anfrageverarbeitung mit MongoDB und
MapReduce wird im Folgenden „MongoDB-MR“ genannt.
Ein klassisches festes relationales Schema stellt eine Alternative zu EAV/CR dar. Dies
setzt jedoch einen initialen domänenspezifischen Schemaentwurf voraus. Dennoch wird
diese Möglichkeit als Vergleichsbasis evaluiert, um die Geschwindigkeit der anderen
Alternativen einordnen zu können.
1 http://www.postgresql.org/
2 http://jena.apache.org/
3 http://www.mongodb.org/
78
Kapitel 6 Evaluation des generischen Schemas
6.2.2 Relationale Abbildung
Das relationale Schema ergibt sich direkt durch die Abbildung des konzeptuellen EAVSchemas:
Fact ( id , value , source )
EAV ( id , entity [ Fact ] , attribute , avalue )
Die Bezeichnung „avalue“ für den Attributwert in der Relation EAV wurde gewählt,
damit dieser in Anfragen und textuellen Beschreibungen eindeutig von dem Attribut
value der Relation Fact unterschieden werden kann.
Bei der Relation EAV wurde ein zusätzlicher Surrogatschlüssel eingefügt, da dadurch multi_instance unterstützt wird. Der Surrogatschlüssel ist auch notwendig, da PostgreSQL
automatisch einen Index für Primärschlüssel anlegt [Gro14, S. 55] und im Folgenden
mehrere Alternativen für das Anlegen von Indizes evaluiert werden sollen. Die Ergebnisse
der Evaluation der verschiedenen Varianten werden in Abschnitt 6.5.2 vorgestellt.
6.2.3 Klassisches relationales Schema
Als Vergleich wird auch eine Variante evaluiert, die einem klassischen relationalen Schema entspricht. Da hierfür allerdings die Attribute vorher festgelegt werden müssen,
widerspricht diese Variante der eigentlichen Intention von EAV. Trotzdem wurde diese Variante als Vergleichsbasis evaluiert. Das folgende Schema stellt beispielsweise die
Relation für die Attribute 0 und 1 dar:
Fact ( id , value , source , avalue0 , avalue1 )
Da bei relationalen DBMS nur Indizes für konkrete Attribute angelegt werden können
und bei EAV Werte für beliebige Attribute gespeichert werden sollen, wurde für diese
Implementierungsalternative kein Index explizit erzeugt. Es bleibt allerdings den DBMS
überlassen, implizit Indizes anzulegen.
multi_instance ist in diesem Fall nur möglich, wenn jedes Attribut, das mehrfach vorkommen soll, durch mehrere einfach vorkommende Attribute dargestellt wird. Es muss
also vorher bekannt sein, welche Attribute vorkommen und in welcher Multiplizität
sie vorkommen. Im Folgenden soll diese Variante als „klassische Abbildung“ bezeichnet
werden.
6.2 Implementierungsalternativen
79
6.2.4 Dokumentenorientierte Abbildung
Dokumentenorientierte DBMS erlauben die Speicherung von JSON-Dokumenten. Da
diese Dokumente aus beliebigen Attribut-Wert-Paaren und Listen aufgebaut sind und
auch eine Schachtelung dieser beiden Konzepte erlauben, eignen sie sich direkt für eine
Umsetzung von EAV.
Da es keinen Standard gibt, um ein Schema für JSON-Dokumente zu definieren, wird
das Schema an einem Beispiel verdeutlicht:
{ id :
value :
source :
0:
1:
1,
0.5 ,
" Test " ,
47 ,
11}
Da die Indizierung bei dokumentenorientierten DBMS stark von dem jeweiligen System
abhängt, bezieht sich die folgende Aussage über Indizes konkret auf MongoDB: MongoDB
erlaubt zwar die Erzeugung von Indizes, allerdings nur auf konkreten Attributen. Da
diese bei EAV im Voraus nicht bekannt sind, wurde für MongoDB kein Index explizit
angelegt.
Die Abbildung von multi_instance ist direkt möglich, da bei JSON für jedes Attribut
statt einem einzelnen Wert auch eine Liste von Werten gespeichert werden kann.
6.2.5 Hybride Abbildung
PostgreSQL erlaubt die Speicherung von Attribut-Wert-Paaren und Dokumenten in speziellen Datentypen. Auf diese Weise lässt sich EAV auf ein hybrides Schema abbilden, das
sowohl aus relationalen als auch aus dokumentenorientierten Komponenten besteht.
PostgreSQL unterstützt dabei die Datentypen hstore [Gro14, S. 2685], json und jsonb
[Gro14, S. 141, S. 248]. Bei den Datentypen hstore und json werden die Daten als
Zeichenkette gespeichert, jsonb verwendet im Gegensatz dazu ein binäres Speicherformat.
jsonb unterscheidet sich dabei in Implementierungsdetails von BSON (Binary JSON). Der
Datentyp hstore kann beliebige Attribut-Wert-Paare enthalten, allerdings keine Listen.
Im Gegensatz dazu können json und jsonb beliebige JSON-Dokumente speichern.
Für das Schema ergibt sich bei der hybriden Abbildung:
Fact ( id , value , source , attributes ) .
80
Kapitel 6 Evaluation des generischen Schemas
Dabei hat attributes den Datentyp json, jsonb oder hstore. Folgendes Beispiel für
eine Liste von Attribut-Wert-Paaren, welche in attributes gespeichert werden können,
verdeutlicht die Speicherung von EAV-Daten:
{0:
1:
47 ,
11}
Eine Abbildung von multi_instance ist für json und jsonb analog zur reinen dokumentenorientierten Abbildung direkt möglich. Im Falle des hstore-Datentyps müssen analog
zur klassischen Abbildung mehrfach vorkommende Attribute durch mehrere einfach
vorkommende ersetzt werden.
Zusätzlich zu hstore, json und jsonb könnte auch der Datentyp xml, welcher die Speicherung von Daten als XML-Zeichenkette erlaubt [Gro14, S. 139], oder eine Kombination
von kompositen Typen [Gro14, S. 156] und Arrays [Gro14, S. 147] verwendet werden.
Der Datentyp xml wurde nicht evaluiert, da davon ausgegangen wurde, dass das Parsen
von XML langsamer ist als das Parsen von JSON oder des hstore-Datentyps. Die Kombination von kompositen Typen und Arrays wird im Rahmen dieser Arbeit nicht weiter
evaluiert, da hier eine Vielzahl von möglichen Implementierungsalternativen existiert.
Da PostgreSQL verschiedene Möglichkeiten der Indizierung von json, jsonb und hstore
ermöglicht, werden diese in Abschnitt 6.5.2 diskutiert und evaluiert.
6.2.6 Abbildung auf RDF
Die Abbildung auf RDF ähnelt stark der Abbildung auf JSON. Im Falle vom RDF ist
die Angabe eines beispielhaften Fakts anschaulicher als die Definition eines Schemas.
Aus diesem Grund wird ein Fakt in Turtle-Notation (Terse RDF Triple Language)4
angegeben:
: f1
a
: value
: source
:0
:1
: Fact
0.5
" Test "
47
11
;
;
;
;
.
Die Mehrfachverwendung von Attributen für die Abbildung von multi_instance ist bei
RDF problemlos möglich. DBMS, die RDF als Datenmodell verwenden, erlauben meist
keine Erstellung von expliziten Indizes. Aus diesem Grund wird für die Abbildung auf
RDF kein Index explizit angelegt.
4 http://www.w3.org/TR/turtle/
6.3 Charakteristika der Daten
81
6.3 Charakteristika der Daten
Da im Rahmen des Projekts ProHTA keine ausreichenden Datenmengen anfielen, um eine realistische Evaluation zu ermöglichen, wird in diesem Abschnitt eine Möglichkeit zur
Generierung plausibler synthetischer Daten vorgestellt. Als Motivation dienen analog zu
Abschnitt 5.1.1 gesundheitsökonomische Simulationen, die hauptsächlich mehrdimensionale statistische Fakten benötigen. Die Dimensionen werden im EAV/CR-Modell durch
Attribute repräsentiert. Das bedeutet, dass von Mengen von Fakten ausgegangen wird,
die gemeinsam einen Faktenwürfel bilden.
w
Analog zu Abschnitt 5.1.1 hat ein Faktenwürfel w das Tupel von Mengen (Aw
1 , . . . ,Ad ).
w
w
Die Menge Aw
i = {vi1 , . . . ,vijiw } besteht dabei wieder aus Attributwerten für das Attribut
i. jiw ist die Anzahl an unterschiedlichen Attributwerten für Attribut i im Faktenwürfel
w. Dann existiert in der zu w gehörigen Faktenmenge für jedes Element der Menge
w
Aw
1 × . . . × Ad genau ein Fakt.
Die Daten, die in ProHTA verwendet wurden, waren meist Faktenwürfel des statistischen Bundesamtes oder aus medizinischen Publikationen. Dabei wurden meist die
Dimensionen Geschlecht, Alter und Zeit benötigt. In ProHTA wurden keine Datensätze
mit mehr als 6 Dimensionen für Simulationen verwendet. Der größte Datensatz waren
die KM6-Daten, der die Zahlen der Versicherten der Krankenkassen enthielt. Dieser
Datensatz hatte 6 Dimensionen: Versichertengruppe, Angehörigenstatus, Region, Alter,
Geschlecht und Krankenkasse. Die Anzahl der enthaltenen Fakten betrug für diesen
Datensatz ungefähr 30000.
Das statistische Bundesamt bietet über die GENESIS-Online Datenbank5 die Möglichkeit, Würfel von statistischen Fakten abzufragen. Allerdings sind diese Abfragen kostenpflichtig und können deswegen im Rahmen dieser Arbeit nicht verwendet werden. Eine
Alternative stellt die durch CKAN (Comprehensive Knowledge Archive Network) vereinheitlichte Abfrageschnittstelle dar, über die verschiedene Organisationen statistische
Daten öffentlich anbieten. Ein Nachteil dieser Variante ist, dass die Daten nur in Form
von Dateien abgefragt werden können. Viele mehrdimensionale Daten werden dabei als
Pivot-Tabellen dargestellt. Ein Beispiel für eine Pivot-Tabelle wurde in Abschnitt 5.4 in
Tabelle 5.1 [S. 74] dargestellt. Da bei diesen Daten nur schwer automatisch feststellbar
ist, wie viele Dimensionen sie besitzen, kann hier nur die Anzahl der Fakten pro Würfel
abgeschätzt werden. Die Pivot-Tabellen sind bei CKAN in Form von CSV-Dateien (Comma Seperated Values) herunterladbar. Da diese CSV-Dateien auch eine gewisse Menge
an Beschreibungsinformationen enthalten, ist die Anzahl an Zellen (Anzahl an Zeilen
mal die Anzahl an Spalten) eine Obergrenze für die Anzahl an enthaltenen Fakten.
5 https://www-genesis.destatis.de
82
Kapitel 6 Evaluation des generischen Schemas
Es wurden exemplarisch die Daten der CKAN basierten Webseite http://publicdata.
eu am 22.5.2014 abgerufen. Dabei wurden nur Datensätze betrachtet, die als CSV-Datei
vorlagen, da bei diesen Daten davon auszugehen ist, dass es sich um statistische Daten
handelt. Andere Arten von Daten waren beispielsweise kartographische Daten, Bilder
und XML- und JSON-Dokumente. Dabei waren von 32253 Datensätzen 11855 im CSVFormat und von diesen waren 6747 fehlerfrei herunterladbar. Der größte Datensatz
enthielt ca. 37 Millionen Zellen und im Durchschnitt enthielten die Datensätze ca. 26800
Zellen. Ca. 99% der Datensätze enthielten weniger als 640000 Zellen und es gab nur 23
Datensätze, die mehr als eine Million Zellen enthielten.
Da ohne Daten aus einem realen Anwendungsszenario über die Anzahl an Dimensionen und darüber, welche Werte für die Fakten und Attributwerte realistisch sind, nur
spekuliert werden kann, wird für diese Arbeit die folgende Annahme getroffen:
Annahme 14. Fakten sind in Faktenwürfeln angeordnet mit d ≤ 6 Attributen und n =
10 unterschiedlichen Attributwerten für jedes Attribut. Attributwerte sind ganze Zahlen.
Die Faktenwürfel bestehen also aus nd Fakten. Die Werte der Fakten sind zufällig und
gleichverteilt aus dem Intervall [0, 1]. Die Standardabweichung der Fakten wird in der
Evaluation nicht berücksichtigt. Jeder Fakt eines Faktenwürfels hat die gleiche Quelle,
die für die Evaluation dem willkürlichen Namen des Faktenwürfels entspricht.
In zukünftigen Arbeiten sollten realistische Datensätze aus realen Anwendungsszenarien
für eine weitere Evaluation verwendet werden.
6.4 Anfragedefinition
Da im Rahmen des ProHTA-Projekts keine ausreichende Menge an Anfragen angefallen
ist, kann auch für die Anfragen keine realistische Arbeitslast evaluiert werden. Stattdessen werden in diesem Abschnitt einige synthetische Anfragen definiert, welche auf
klassischen mehrdimensionalen Operatoren basieren [BG08].
Es wird von einem Faktenwürfel mit d Attributen 0,1, . . . ,d − 1 und n Attributwerten
0,1, . . . ,n − 1 für jedes Attribut ausgegangen. Ein Fakt Fk mit Fk = (uk ,σk ,sk ,Ak ) besitzt
wieder die Mengen Ak = (Ak1 , . . . ,Akd ) mit dem Attributwert vki für Attribut i: Aki =
{vki }.
w
w
• Einfügen Es wird ein Faktenwürfel mit den Mengen (Aw
1 , . . . ,Ad ) mit Aℓ =
{0, . . . ,n − 1} eingefügt. Somit werden nd Fakten mit d Attributen eingefügt.
• Selektion Es sollen alle Fakten eines Faktenwürfels selektiert werden, für die gilt:
vki ≤ ⌊n/2⌋ ∀i = 0, . . . ,d − 1.
6.5 Ergebnisse
83
• Aggregation Die Fakten werden nach den Attributen i < max(⌊d/2⌋,1) gruppiert
und es wird die Summe der Werte der Fakten pro Gruppe berechnet.
• Join Diese Anfrage korreliert die Fakten zweier Faktenwürfel c1 und c2 mit denselben Attributen und Attributwerten. Zu jedem Fakt F1 aus c1 wird der korrespondierende Fakt F2 aus c2 mit den gleichen Attributwerten in jedem Attribut
gesucht: v1i = v2i ∀i = 0, . . . ,d − 1. Aufgrund der Definition dieser Anfrage existiert
für jeden Fakt aus c1 genau ein zugehöriger Fakt in c2 . Als Resultat sollen pro Fakt
aus c1 der Wert des Fakts und der Wert des zugehörigen Fakts aus c2 ausgegeben
werden.
Neben Attributen, die den Dimensionen von statistischen Faktenwürfeln entsprechen,
können Fakten auch weitere beschreibende Attribute besitzen. Diese müssen nicht zwingend orthogonal zu anderen Attributen sein und können funktional von anderen Attributen abhängig sein. Diese Attribute können für die Speicherung von domänenspezifischen
Annotationen verwendet werden und sind einer der Gründe für die Notwendigkeit eines generischen Schemas. Um die speziellen Eigenschaften des generischen Schemas zu
evaluieren, wird deshalb die folgende zusätzliche Operation definiert:
• Attribut hinzufügen Um die Flexibilität des EAV-Modells zu evaluieren, wird
bei dieser Anfrage jedem Fakt ein zusätzliches Attribut d mit dem Attributwert 0
hinzugefügt.
Dies entspricht der Annotation von Fakten mit weiteren domänenspezifischen Informationen durch einen Benutzer. Beispielsweise kann einer Menge von Fakten die Annotation
hinzugefügt werden, für welches Element eines Simulationsmodells sie verwendet werden
sollen.
Wie diese Anfragen auf die Anfragesprachen der einzelnen Systeme abgebildet werden,
wird in Anhang C erläutert.
6.5 Ergebnisse
In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der Evaluation präsentiert. Zu diesem Zweck
wurde ein Evaluationsframework in Python implementiert, das die automatische Generierung der Anfragen und Daten für beliebige d und n ermöglicht. Dieses Framework
wurde so entworfen, dass es leicht um weitere Implementierungsalternativen für EAV
erweitert werden kann.
84
Kapitel 6 Evaluation des generischen Schemas
6.5.1 Hardware- und Softwarekonfiguration
Für die Evaluation wurde ein Computer mit Vierkernprozessor6 , einer 2.5 Zoll Festplatte7
und zwei 4 GB DDR3 RAM Modulen mit einer Taktung von 1333 MHz verwendet. Als
Betriebssystem diente Ubuntu 14.04 (64-Bit) mit der Java Version 1.7.0 (OpenJDK
64-Bit Server Version)
Es wurden MongoDB in der Version 2.6.4, PostgreSQL in der Version 9.4 beta 2 und
Jena Fuseki in der Version 1.1.0 mit TDB als nativer Speicherlösung verwendet. Soweit
möglich, wurde die jeweilige 64-Bit Version verwendet. Die Standardkonfiguration wurde
dabei nicht modifiziert. Im Falle von MongoDB wurde sowohl die spezielle Anfragesprache
MongoDB-QL als auch MapReduce (MongoDB-MR) evaluiert. PostgreSQL diente der
Evaluation der relationalen, klassischen und hybriden Abbildung.
6.5.2 Evaluation möglicher Indizes
In diesem Abschnitt wird evaluiert, welche Indizes für die relationalen Lösungen am
effizientesten sind.
6.5.2.1 Relationale Abbildung
Zur Erinnerung wird hier noch kurz das Schema für die relationale Abbildung von EAV
wiederholt:
Fact (id, value, source)
EAV (id, entity[Fact], attribute, avalue)
Für die relationale Abbildung wurden die expliziten Indizes für die folgenden Spalten
bzw. Spaltenkombinationen evaluiert:
1. Kein Index
2. source, entity, attribute, avalue
3. source, entity, (attribute, avalue)
4. source, entity, (attribute, avalue, entity)
6
7
Intel(R) Core(TM) i5-2540M CPU @ 2.60GHz
Seagate Momentus / max.: 7.200 rpm / buffer: 16 MB / bus: S-ATA II (S-ATA 300)
6.5 Ergebnisse
85
Dabei wurden jeweils die von PostgreSQl standardmäßig vorgegeben B-Bäume als Indexstrukturen verwendet, da diese als einzige die Operatoren <, ≤, =, ≥ und > unterstützen
[Gro14, S. 318].
In Tabelle 6.1 sind die Ergebnisse der Evaluation für d = 4 und n = 10 dargestellt.
Dabei wurde jeder Test 25 mal durchgeführt. Vor jeder Anfrage wurde VACUUM ANALYZE
[Gro14, S. 1614] ausgeführt, damit PostgreSQL die nötigen statistischen Informationen
zur Optimierung erhält. Dies wird in Abschnitt 6.5.3 genauer erläutert.
Es sind jeweils pro Test die Mittelwerte und Standardabweichungen der Ergebnisse in
Sekunden angegeben. Anhand der Ergebnisse lässt sich erkennen, dass die 2. Variante
der Indizes bei der Selektion und Aggregation die effizienteste ist. Für den Join sind
die 1. und 2. Variante annähernd gleich schnell. Interessanterweise sind hier Variante 3
und 4 langsamer als Variante 1, bei der gar kein Index erstellt wurde. Aufgrund dieser
Ergebnisse wird im Folgenden die Variante 2 der Indizes für die relationale Abbildung
verwendet.
Index
Kein Index
Variante 2
Variante 3
Variante 4
Sel.
0.0348
0.0228
0.0355
0.0360
(0.0030)
(0.0018)
(0.0028)
(0.0026)
Agg.
0.0275
0.0205
0.0273
0.0272
(0.0039)
(0.0026)
(0.0034)
(0.0032)
Join
0.2864
0.2852
0.3343
0.3374
(0.0073)
(0.0065)
(0.0058)
(0.0050)
Tabelle 6.1: Zeit (s) und Standardabweichung für die unterschiedlichen Indizes
6.5.2.2 Hybride Abbildung
Zur Erinnerung wird auch hier kurz das Schema wiederholt:
Fact(id,value,source,attributes)
Für attributes kann einer der Datentypen hstore, json oder jsonb verwendet werden.
Bei hstore werden B-Baum-, Hash-, GIN- (Generalized Inverted Index) und GiST-Indizes
(Generalized Search Tree) unterstützt, dabei erlauben Hash- und B-Baum-Indizes nur
die Verwendung des Operators = [Gro14, S. 2689]. GIN- und GiST-Indizes erlauben
die Überprüfung, ob ein Teildokument oder Schlüssel in einem Dokument enthalten
ist [Gro14, S. 2689]. Dies kann in den einzelnen Anfragen nicht verwendet werden, da
die Gruppierung bei der Aggregation und der Join den Operator = erfordert und die
Selektion den Operator ≤ erfordert. Diese Indextypen werden der Vollständigkeit halber
dennoch evaluiert.
86
Kapitel 6 Evaluation des generischen Schemas
In Tabelle 6.2 werden die Ergebnisse der Evaluation der verschiedenen Varianten der
Indizierung für hstore präsentiert. In der ersten Variante wurden keine Indizes angelegt.
In den weiteren Varianten wurden ein B-Baum Index für source und ein B-Baum-,
Hash-, GIN- oder GiST-Index für attributes angelegt. Dabei war auch wieder d = 4
und n = 10 und alle Tests wurden mit VACUUM ANALYZE 25 mal durchgeführt.
Index
Kein Index
B-Baum
GIN
GiST
Hash
Sel.
0.0105
0.0104
0.0104
0.0104
0.0103
(0.0012)
(0.0008)
(0.0011)
(0.0009)
(0.0009)
Agg.
0.0086
0.0086
0.0083
0.0081
0.0084
(0.0009)
(0.0009)
(0.0008)
(0.0006)
(0.0006)
Join
0.0583
0.0824
0.0812
0.0807
0.0815
(0.0037)
(0.0035)
(0.0041)
(0.0040)
(0.0032)
Tabelle 6.2: Zeit (s) und Standardabweichung für die unterschiedlichen hstore-Indizes
Zwischen den einzelnen Resultaten lässt sich bis auf den Join, der ohne Index schneller
lief, kein signifikanter Unterschied erkennen. Für GIN- und GiST-Indizes lässt sich dies
damit begründen, dass die einzelnen Anfragen die Operatoren, die durch die Indizes
unterstützt werden, nicht verwenden können. Bei B-Baum- oder Hash-Indizes hätte
allerdings die Gruppierung bei der Aggregation durch die Verwendung der Indizes beschleunigt werden können [Gro14, S. 2689]. Ebenso hätte der Join durch B-Baum- oder
Hash-Indizes beschleunigt werden können. Die optimierten Operatorgraphen für diese
Anfragen zeigten, dass die Indizes keine Verwendung fanden. Nur für den Join wurde
ein Index-Scan über den B-Baum-Index für source anstatt einer sequentiellen Suche
verwendet. Dies scheint der Grund für die schnellere Ausführung des Joins ohne Index zu
sein. In weiteren Arbeiten sollte genauer evaluiert werden, ob bei größeren Datenmengen
B-Baum- oder Hash-Indizes eine Beschleunigung bringen.
Für den Datentyp json unterstützt PostgreSQL keine Indexerstellung [Gro14, S. 142].
Für jsonb werden GIN-, Hash- und B-Baum-Indizes unterstützt [Gro14, S. 145ff]. Da
hier B-Baum und Hash Indizes nur die Gleichheit ganzer JSON-Dokumente prüfen
können [Gro14, S. 147], wurden diese nicht evaluiert. Ebenso wurde der GIN-Index nicht
evaluiert, da die von diesem Indextyp unterstützten Operatoren bei den Anfragen nicht
verwendet werden können.
In Tabelle 6.3 auf der nächsten Seite werden noch hstore, json und jsonb jeweils ohne
Indizes verglichen. Dabei zeigt sich, dass hstore deutlich schneller als json ist. Der in
PostgreSQL Version 9.4 neu hinzugefügte Datentyp jsonb erreicht fast die Geschwindigkeit von hstore. Da jsonb im Gegensatz zu den einfachen Attribut-Wert-Paaren von
hstore geschachtelte Dokumente und Listen unterstützt, mag dies für einige Anwendungen eine interessante Option sein. Für die Abbildung von EAV sind Attribut-Wert-Paare
6.5 Ergebnisse
87
allerdings ausreichend. Im Folgenden wird aufgrund der Ergebnisse in diesem Abschnitt
für die hybride Abbildung der Datentyp hstore ohne Indizes verwendet.
Index
hstore
json
jsonb
Sel.
0.0105 (0.0012)
0.0265 (0.0018)
0.0121 (0.0009)
Agg.
0.0086 (0.0009)
0.0195 (0.0019)
0.0098 (0.0008)
Join
0.0583 (0.0037)
0.1008 (0.0038)
0.0617 (0.0033)
Tabelle 6.3: Zeit (s) und Standardabweichung für die unterschiedlichen Datentypen
6.5.3 Evaluationsergebnisse
Es wurden Faktenwürfel der Größe nd evaluiert für n = 10 und d = 3, . . . ,6. Diese
Größen wurden aufgrund der Überlegungen aus Abschnitt 6.3 gewählt. Es wurde die
Zeit für das Einfügen eines Faktenwürfels in eine leere Datenbank gemessen. Für alle
anderen Anfragen wurde ein Faktenwürfel der gewählten Größe eingefügt und die Zeit
für die Anfrageverarbeitung gemessen. Für den Join wurden zwei Faktenwürfel der
entsprechenden Größe eingefügt. Für das Hinzufügen von Attributen wurde für jede
Anfrage die Datenbank geleert und ein neuer Faktenwürfel erstellt. Für alle anderen
Anfragen wurde ein einmal erstellter Faktenwürfel für mehrere Messungen verwendet.
Jede Messung wurde, falls möglich, 25 mal wiederholt. In Tabelle 6.4 auf der nächsten
Seite werden für jeden Test der Mittelwert und die Standardabweichung in Sekunden
aufgelistet. Ebenso werden die Ergebnisse in den Abbildungen 6.2 [S. 89] und 6.3 [S. 90]
anschaulich dargestellt. Da die Anzahl der Fakten exponentiell mit d steigt, wurde hier
eine logarithmische Skala gewählt.
Die Messungen (bis auf das Einfügen) wurden abgebrochen, wenn sie nach 300 Sekunden
kein Ergebnis lieferten. Da das Einfügen in MongoDB unabhängig von der Anfragesprache ist, wurde dies nur einmal evaluiert und unter MongoDB-QL aufgeführt. Falls keine
Standardabweichung angegeben ist, wurde der Test wegen des hohen Aufwands nur zweimal durchgeführt. Die Ergebnisse der einzelnen Testläufe wurden verglichen, um Effekte
durch das Zwischenspeichern von Anfrageergebnissen ausschließen zu können. Falls ein
Test nur zweimal durchgeführt wurde, wird jeweils das zweite Ergebnis angegeben.
Bei PostgreSQL zeigte sich bei einer Reihe von hintereinander folgenden Messungen
eine starke Diskrepanz zwischen den einzelnen Ergebnissen. Nach einer gewissen Zahl
an Messungen beschleunigte sich die Anfrageausführung teilweise stark. Dies ließ sich
damit erklären, dass PostgreSQL nach einer gewissen Anzahl von Anfragen genügend
Kapitel 6 Evaluation des generischen Schemas
88
Anfrage
Einf.
Sel.
Agg.
Join
Attr. hinz.
3
4
5
6
3
4
5
6
3
4
5
6
3
4
5
6
3
4
5
6
Attribute
MongoDB-QL
0.0135 (0.0034)
0.1529 (0.0179)
1.7211 (0.0629)
20.406 (0.5031)
0.0027 (0.0007)
0.0137 (0.0019)
0.1195 (0.0083)
1.0065 (0.0102)
0.0019 (0.0002)
0.0166 (0.0021)
0.1553 (0.0105)
1.8129 (0.0216)
0.0167 (0.0021)
0.1853 (0.0128)
1.5744 (0.0335)
34.929 (0.5196)
0.0176 (0.0073)
0.1984 (0.0770)
1.5525 (0.4243)
10.896 (5.6761)
(0.0069)
(0.0165)
(0.0428)
(0.1100)
(0.0045)
(0.0823)
(0.0571)
(0.3707)
(0.0175)
(0.0924)
(0.5354)
(0.8372)
(0.1049)
(0.0568)
(3.3270)
(38.005)
MongoDB-MR
Siehe
MongoDB-QL
0.0241
0.1586
1.4263
12.870
0.0319
0.3162
2.7429
29.047
0.1300
1.6846
18.641
210.91
0.1226
0.9181
5.1777
49.961
Relational
0.5380 (0.0167)
6.7452 (0.1977)
81.437 (0.6367)
964.55
0.0030 (0.0004)
0.0224 (0.0018)
0.3631 (0.0102)
4.6818 (0.0759)
0.0017 (0.0002)
0.0212 (0.0022)
0.2568 (0.0101)
4.4585 (0.0853)
0.0241 (0.0020)
0.2860 (0.0058)
–
–
0.0409 (0.0058)
0.3283 (0.0776)
4.4606 (0.5334)
44.518
hstore
0.1316
1.1929
12.119
125.88
0.0016
0.0105
0.0854
0.8563
0.0011
0.0086
0.1388
2.0821
0.0055
0.0577
1.1116
15.596
0.0205
0.0947
1.3651
19.011
(0.0147)
(0.0123)
(0.0635)
(1.5976)
(0.0002)
(0.0012)
(0.0038)
(0.0107)
(0.0002)
(0.0011)
(0.0048)
(0.0160)
(0.0004)
(0.0045)
(0.0122)
(0.1314)
(0.0059)
(0.0085)
(0.2487)
(1.5103)
Jena
0.8999
4.7787
63.536
4084.2
0.0625
0.1740
1.5123
14.795
0.0262
0.1455
1.1615
14.772
1.9834
224.77
–
–
0.4048
0.7539
4.1812
60.904
(0.1504)
(0.0425)
(0.0307)
(0.0142)
(0.0170)
(0.0412)
(0.0077)
(0.0270)
(0.0189)
(0.0559)
(0.0163)
(2.1333)
(0.0823)
(0.0400)
Tabelle 6.4: Zeit (s) und Standardabweichung der Ausführungsdauer
Klassisch
0.1316 (0.0106)
1.1984 (0.0154)
11.969 (0.0632)
119.08 (0.5079)
0.0010 (8.8e-5)
0.0048 (0.0005)
0.0335 (0.0034)
0.2825 (0.0069)
0.0009 (0.0001)
0.0045 (0.0004)
0.0375 (0.0023)
0.4230 (0.0075)
0.0042 (0.0003)
0.0394 (0.0034)
0.5851 (0.0095)
6.8856 (0.0312)
0.1668 (0.0159)
0.2104 (0.0171)
0.8344 (0.0517)
3.3628 (0.6166)
6.5 Ergebnisse
89
10000
MongoDB-QL
MongoDB-MR
Relational
hstore
1000
Jena
Klassisch
Zeit (s)
100
10
1
0.1
0.01
3
4
5
Dimensionen
6
Abbildung 6.2: Evaluationsergebnisse für das Einfügen
statistische Informationen über die Relationen gesammelt hatte, um Anfrageoptimierungen durchzuführen. Dieses Problem wurde dadurch umgangen, dass ANALYZE vor jeder
Anfrage ausgeführt wurde. Auf diese Weise wurde jede Anfrage auf die gleiche Art optimiert. Die Zeit für ANALYZE wurde nicht mitgemessen. Dies lässt sich damit begründen,
dass in einem realistischen Szenario die Datenbank lange genug in Verwendung ist, um
ausreichend statistische Informationen für die Anfrageoptimierung zu sammeln.
Bei dem Hinzufügen eines Attributs schwankten die Ergebnisse von MongoDB sowohl
für MapReduce als auch für MongoDB-QL sehr stark. Für dieses Verhalten konnte ohne
Kenntnis der internen Vorgänge von MongoDB keine Erklärung gefunden werden. Jena
stürzte nach dem Hinzufügen eines Attributs für d = 6 ab, so dass diese Messung nur
nach einem Neustart von Jena ein zweites Mal wiederholt werden konnte. Bei dem
Hinzufügen von Daten waren bei Jena die beiden Messwerte stark unterschiedlich. Die
erste Messung ergab 1864.2s und die zweite Messung ergab 4084.2s trotz der Tatsache,
dass die Daten nach dem ersten Einfügen wieder gelöscht wurden.
6.5.4 Evaluation in Abhängigkeit des Füllstands
Da bisher alle Anfragen mit einer leeren Datenbank evaluiert wurden, wird in diesem Abschnitt überprüft, inwieweit die Geschwindigkeit der Anfrageausführung vom Füllstand
der Datenbank abhängig ist. Zu diesem Zweck wurden die Selektion, die Aggregation und
90
Kapitel 6 Evaluation des generischen Schemas
100
100
MongoDB-QL
MongoDB-MR
Relational
hstore
10
Jena
Klassisch
MongoDB-QL
MongoDB-MR
Relational
hstore
10
Jena
Klassisch
1
Zeit (s)
Zeit (s)
1
0.1
0.1
0.01
0.01
0.001
0.001
0.0001
3
4
5
Dimensionen
6
3
(a) Selektion
4
5
Dimensionen
6
(b) Aggregation
1000
100
MongoDB-QL
MongoDB-MR
Relational
hstore
100
Jena
Klassisch
MongoDB-QL
MongoDB-MR
Relational
hstore
Jena
Klassisch
10
Zeit (s)
Zeit (s)
10
1
1
0.1
0.1
0.01
0.001
0.01
3
4
5
Dimensionen
(c) Join
6
3
4
5
Dimensionen
(d) Attribut hinzufügen
Abbildung 6.3: Evaluationsergebnisse für die einzelnen Anfragen
6
6.5 Ergebnisse
91
der Join für d = 4 auf einer Datenbank evaluiert, welche vorher mit 100 Faktenwürfeln
der Größe 104 befüllt wurde. Dies entspricht einem Füllstand von 106 Fakten. Die Faktenwürfel, welche für die Anfragen benötigt werden, werden zusätzlich zu diesen 106 Fakten
eingefügt. Die Ergebnisse werden in Tabelle 6.5 auf der nächsten Seite dargestellt.
In Abschnitt 6.5.2 wurde evaluiert, welche Indizes die Anfragen am stärksten beschleunigen. Aufgrund der Ergebnisse wurden nur Indizes für die relationale Abbildung von EAV
gewählt. Dabei wurde auch ein Index für die Herkunft der Faktenwürfel (das Attribut
source) erzeugt. Dieser Index kann für die Auswahl des gewünschten Faktenwürfels aus
der Datenbank verwendet werden und sollte die Abhängigkeit der Anfrageverarbeitung
vom Füllstand der Datenbank verringern. Bei der Analyse der Anfrageverarbeitung zeigte
sich auch, dass der Index für das Attribut source von PostgreSQL verwendet wurde. In
Tabelle 6.5 lässt sich allerdings erkennen, dass die relationale EAV-Abbildung dennoch
stark vom Füllstand der Datenbank abhängig ist.
Für die klassische, die dokumentenorientierte und die hybride Abbildung wurden keine
Indizes angelegt. Dies hatte bei der klassischen und der dokumentenorientierten Abbildung den Grund, dass hier Indizes für konkrete Attribute angelegt werden müssen.
Da davon ausgegangen wurde, dass die Attribute bei EAV im Voraus nicht bekannt
sind, konnten also keine Indizes angelegt werden. Bei der hybriden Abbildung wurde
kein Index gewählt, da bei der Evaluation der Indizes keine Beschleunigung der Anfragen durch die Indizes festgestellt wurde. Allerdings wurde hier nicht der Füllstand der
Datenbank berücksichtigt. Für eine vorgefüllte Datenbank ist ein Index für das feste
Attribut source sinnvoll, da hiermit unter Umständen der Einfluss des Füllstands auf die
Anfrageverarbeitung verringert werden kann. Aus diesem Grund wurde die Evaluation
für die klassische, die dokumentenorientierte und die hybride Abbildung ein weiteres Mal
mit Indizes für das Attribut source und einem Füllstand von 106 Fakten durchgeführt.
Die Ergebnisse sind in Tabelle 6.5 dargestellt (106 +I.). Da die relationale Abbildung
bereits mit Indizes – auch für das Attribut source – durchgeführt wurde, werden hier
die Ergebnisse in der Zeile aufgeführt, welche die Ergebnisse der Evaluation mit Indizes
wiedergibt.
6.5.5 Diskussion
Die Evaluationsergebnisse in Tabelle 6.4 [S. 88] zeigen eindeutig, dass die nichtrelationalen Abbildungen von EAV eine schnellere Anfrageverarbeitung ermöglichen als die
relationale Abbildung. Besonders hervorzuheben sind dabei die dokumentenorientierte
Abbildung mit MongoDB-QL als Anfragesprache und die hybride Abbildung, welche
beide als klare Gewinner aus dieser Evaluation hervorgehen. Jena mit der Anfragesprache
Kapitel 6 Evaluation des generischen Schemas
92
Sel. Anfrage
Agg.
Join
0
106
106 +I.
0
106
106 +I.
0
106
106 +I.
Füllstand
MongoDB-QL
0.0137 (0.0019)
0.7120 (0.0119)
0.6206 (0.0097)
0.0166 (0.0021)
0.3630 (0.0149)
0.3114 (0.0027)
0.1853 (0.0128)
0.7545 (0.0165)
0.6529 (0.0138)
MongoDB-MR
0.1586 (0.0165)
6.7355 (0.1014)
0.3162 (0.0823)
6.9067 (0.0564)
1.6846 (0.0924)
8.9346 (0.2993)
Relational
0.0224 (0.0018)
0.1768 (0.1843)
0.0212 (0.0022)
0.1687 (0.1868)
0.2860 (0.0058)
0.5944 (0.2068)
hstore
0.0105
0.1211
0.0098
0.0086
0.1199
0.0075
0.0577
0.2787
0.0755
(0.0012)
(0.0027)
(7.3e-05)
(0.0011)
(0.0028)
(0.0001)
(0.0045)
(0.0025)
(0.0050)
Jena
0.1740 (0.0142)
0.1844 (0.0338)
0.1455 (0.0270)
0.1424 (0.0368)
224.77 (2.1333)
252.78 (4.7018)
Tabelle 6.5: Zeit (s) und Standardabweichung der Anfragen
Klassisch
0.0048 (0.0005)
0.1581 (0.0040)
0.0057 (0.0013)
0.0045 (0.0004)
0.1312 (0.0027)
0.0047 (0.0008)
0.0394 (0.0034)
0.2935 (0.0023)
0.0407 (0.0011)
6.5 Ergebnisse
93
SPARQL war in allen Fällen langsamer als die relationale Abbildung. Im Vergleich zu
der klassischen Abbildung konnte keine der EAV-basierten Abbildungen mithalten.
MongoDB-MR war wesentlich langsamer als MongoDB-QL. Allerdings liegt bei
MongoDB-MR der Fokus auf der Parallelisierbarkeit und nicht auf der schnellen Ausführung von Ad-hoc-Anfragen. Die Evaluation müsste also in zukünftigen Arbeiten noch
einmal hinsichtlich Parallelisierbarkeit durchgeführt werden.
Bei der Evaluation einer vorgefüllten Datenbank (Tabelle 6.5 auf der vorherigen Seite) wurde deutlich, dass besonders die Anfrageverarbeitung von MongoDB sowohl mit
MongoDB-MR als auch mit MongoDB-QL vom Füllstand der Datenbank abhängig ist.
Diese Abhängigkeit wurde auch durch einen zusätzlichen Index nicht deutlich verringert.
Während MongoDQ-QL bei einer leeren Datenbank konsequent schneller war als die
relationale Abbildung (Tabelle 6.4 auf Seite 88), zeigt sich in Tabelle 6.5, dass dies
bei einer vorgefüllten Datenbank nicht mehr der Fall ist. Bei Jena zeigte sich trotz der
Tatsache, dass hier keine benutzerdefinierten Indizes angelegt werden konnten, kaum
eine Abhängigkeit vom Füllstand.
Für die hybride und die klassische Abbildung zeigte sich, dass der zusätzliche Index
die Abhängigkeit vom Füllstand der Datenbank stark verringern konnte. Die hybride
Abbildung ist im Fall der vorgefüllten Datenbank für alle Anfragen am schnellsten
(abgesehen von der klassischen Abbildung). Erstaunlicherweise ist die hybride Abbildung
ohne Index sogar etwas schneller als die klassische Abbildung ohne Index. Hierfür konnte
außer möglichen Messungenauigkeiten allerdings keine Erklärung gefunden werden.
In Annahme 13 [S. 76] wurde festgehalten, dass der zusätzliche Aufwand bei EAV/CR
Schemainformationen abzufragen gering im Vergleich zu der Verarbeitung der EAVDaten ist. Aus diesem Grund bestätigt die Evaluation Hypothese 2 [S. 26]. Diese besagte,
dass es nichtrelationale Abbildungen von EAV/CR gibt, welche effizienter sind als die
relationale Abbildung von EAV/CR.
Abschließend lässt sich folgern, dass von den hier evaluierten Alternativen die hybride
Abbildung mit dem hstore Datentyp für Szenarien mit einer vergleichbaren Last zu
empfehlen ist. In weiteren Arbeiten muss evaluiert werden, ob sich diese Aussage auch
auf Szenarien mit anderen Daten und einer anderen Anfragelast übertragen lässt. Ebenso
müssen weitere Alternativen für die Abbildung von EAV/CR evaluiert werden.
95
II
Unschärfepropagierung
97
7
Datenqualitätsmanagement für
Computermodelle
“
The temptation to form premature theories upon
insufficient data is the bane of our profession.
”
(Sherlock Holmes)
Der erste Teil dieser Arbeit befasste sich mit dem Entwurf eines generischen Schemas
für Simulationseingabedaten. Dabei wurde auch die Problematik der semantischen Integration von Daten berücksichtigt. Im zweiten Teil dieser Arbeit soll die Qualität von
Daten hinsichtlich ihres Nutzens als Eingabedaten für Simulationen bewertet werden.
Beispiel 12. Im Schlaganfallszenario wurden beispielsweise Wahrscheinlichkeiten für
das Überleben eines Patienten verwendet, die auf einer geringen Stichprobengröße
basierten. Dies kann dazu führen, dass die Aussagekraft der Simulationsergebnisse
nicht ausreicht, um als Basis für wirtschaftliche Entscheidungen zu dienen.
In den folgenden Kapiteln müssen mehrere Probleme gelöst werden. Es muss eine Systematik gefunden werden, um die Qualität von Simulationseingaben quantifizieren zu
können (Problem 4 [S. 23]). Basierend auf der Qualität der Eingaben muss die Qualität
der Simulationsergebnisse abgeschätzt werden können (Problem 5 [S. 23]). Zusätzlich soll
die geforderte Qualität der Simulationsergebnisse verwendet werden, um die Sammlung
von Daten gezielt steuern zu können (Problem 6 [S. 23]).
Beispiel 13. Im Schlaganfallbeispiel könnte die von Domänenexperten geforderte
Qualität der Simulationsausgabe für die Abschätzung der Stichprobengröße einer
zukünftigen Studie für die Bestimmung der Überlebenschancen verwendet werden.
Da die Kosten für eine solche Studie nicht unerheblich sind, sollte die nötige Anzahl
an Teilnehmern in dieser Studie so gering wie möglich gehalten werden. In komplexeren Szenarien muss außerdem berücksichtigt werden, dass mehrere Eingabewerte
zu der Qualität der Simulationsausgabe beitragen und dass die Verbesserung der
Qualität der einzelnen Eingabewerte unterschiedliche Kosten verursacht. Es sollte
also eine kostenoptimale Strategie für die Sammlung der Eingabewerte gefunden
98
Kapitel 7 Datenqualitätsmanagement für Computermodelle
werden, die garantiert, dass die Qualität der Simulationsergebnisse den gewünschten
Anforderungen entspricht.
Die relevanten Qualitätskriterien für Daten sind abhängig vom jeweiligen Szenario. Dies
führt dazu, dass kein einheitliches Gütekriterium für Daten definiert werden kann. Das
allgemeine Konzept „fitness for use“ [WS96] aus der Datenqualitätsliteratur beschreibt
diese Abhängigkeit der Gütekriterien von den jeweiligen Anwendungsszenarien. Es kann
für einen Datensatz nicht festgestellt werden, ob er gut ist, sondern nur, ob er für einen
bestimmten Anwendungszweck von ausreichender Güte ist.
Um die Anforderungen an die Güte eines Datensatzes für ein bestimmtes Anwendungsszenario formalisieren zu können, wurde in der Literatur ein mehrdimensionales Konzept
für die Beschreibung der Datenqualität entwickelt [WZL02, BS06, Len13b]. Datenqualitätsdimensionen beschreiben dabei unterschiedliche Eigenschaften der Daten, die für die
Bewertung der Datenqualität in verschiedenen Anwendungsszenarien relevant sind.
Im Folgenden werden die wichtigsten Datenqualitätsdimensionen aus der Literatur vorgestellt und die für Computermodelle relevanten Dimensionen ermittelt. Anschließend
wird die besondere Stellung der Unschärfe als Datenqualitätsdimension bei Simulationen
begründet und der Zusammenhang zwischen der Unschärfe und den Simulationseingabedaten erläutert.
7.1 Datenqualitätsdimensionen
Die gebräuchlichsten Datenqualitätsdimensionen werden nachfolgend vorgestellt. Da die
einzelnen Dimensionen in der Literatur teils widersprüchlich definiert werden, werden
die für diese Arbeit relevanten Dimensionen in diesem Abschnitt explizit definiert, um
Missverständnisse zu vermeiden. Einzelne Dimensionen können je nach Gegenstand der
Betrachtung unterschiedliche Bedeutungen haben. Aus diesem Grund wird das Relationenmodell benutzt, um genau definieren zu können, auf was sich eine Datenqualitätsdimension bezieht.
Eine relationale Datenbank besteht aus einzelnen Relationen [KE09]. Jede Relation
hat ein Schema, welches aus einem Namen und Attributen besteht. Jedes Attribut hat
einen Namen und einen Wertebereich. Eine Relation enthält Tupel, welche aus den
entsprechenden Attributwerten bestehen und die Ausprägung der Relation darstellen.
Eine Besonderheit ist dabei noch der Wert NULL. Dieser kann als Attributwert bei
einem Tupel unterschiedliche Bedeutungen haben [Len13a], z. B.:
• Der Wert existiert für dieses Tupel, ist aber unbekannt.
7.1 Datenqualitätsdimensionen
99
• Der Wert existiert nicht für dieses Tupel.
• Es ist nicht bekannt, ob der Wert für dieses Tupel existiert.
Die Datenqualitätsdimensionen, die im Folgenden vorgestellt werden, beziehen sich ausschließlich auf die Ausprägungen von Relationen, da die Qualität des Schemas nicht
Fokus dieser Arbeit ist.
Korrektheit Die Korrektheit beschreibt die Übereinstimmung zwischen einem Wert
w und dem tatsächlichen Wert w′ [BS06, Ble12, Len13b]. Die Korrektheit wird noch
weiter unterteilt in syntaktische Korrektheit und semantische Korrektheit. Die
syntaktische Korrektheit gibt an, ob ein Wert innerhalb eines definierten Wertebereichs
liegt. Die semantische Korrektheit gibt an, ob die Werte von w und w′ übereinstimmen.
Genauigkeit Die Genauigkeit beschreibt ebenfalls die Übereinstimmung zwischen
w und w′ [BS06, Ble12]. Während die Korrektheit nur angibt, ob w und w′ übereinstimmen, gibt die Genauigkeit den Abstand zwischen w und w′ an. In einigen Arbeiten
wird die Genauigkeit als kontextabhängig beschrieben [Ble12]. Darauf wird in dieser
Arbeit verzichtet und es wird nur der kontextunabhängige Abstand zwischen w und w′
betrachtet. Dieser Abstand kann über eine beliebige Distanzfunktion definiert werden.
Die Kontextabhängigkeit ergibt sich aus der Interpretation des Abstands.
Falls die Werte aus Messungen stammen, wird die Genauigkeit weiter unterteilt in
Richtigkeit und Präzision [DIN97, VIM12]. Die Richtigkeit und die Präzision sind
dabei Eigenschaften des Messverfahrens. Da das Messverfahren die Güte der Messwerte
bestimmt, wird häufig auch von der Richtigkeit und Präzision eines Messwerts gesprochen.
Für die Definition von Richtigkeit und Präzision wird zu einem tatsächlichen Wert w′ eine
unendliche Folge von Messwerten (w1 , . . .) benötigt. Die Richtigkeit ist dabei der Abstand
zwischen dem Durchschnitt der Folge (w1 , . . .) und w′ [VIM12]. Die Richtigkeit kann bei
Messungen verbessert werden, indem systematische Messfehler beseitigt werden.
Die Präzision gibt in Form einer Varianz an, wie stark die (w1 , . . .) untereinander schwanken, und kann verbessert werden, indem zufällige Messfehler beseitigt werden. Meist
wird statt „Präzision“ der Begriff „Unschärfe“ verwendet [VIM12].
Unsicherheit Der Begriff „uncertainty“ kann auch andere Bedeutungen haben als die
Unschärfe, wie sie in dieser Arbeit definiert wurde. Um Verwechslungen zu vermeiden, soll
hier kurz auf die unterschiedlichen Bedeutungen eingegangen werden. Neben „Unschärfe“
ist auch „Unsicherheit“ eine mögliche Übersetzung für den Begriff „uncertainty“. In dieser
100
Kapitel 7 Datenqualitätsmanagement für Computermodelle
Arbeit werden diese zwei Begriffe definiert und verwendet, um die zwei unterschiedlichen
Bedeutungen von „uncertainty“ auszudrücken. Wie schon im letzten Abschnitt dargelegt,
wird der Begriff „Unschärfe“ synonym zur Varianz einer Normalverteilung verwendet,
welche die Präzision einer Parametermessung repräsentiert. Beispielsweise kann für ein
Attribut Gewicht der unscharfe Wert x ∼ N50, 5 gespeichert werden.
Mit dem Begriff „Unsicherheit“ wird in dieser Arbeit der im Datenmanagementumfeld
verwendete Begriff „uncertainty“ übersetzt. Gemeint sind dabei diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen, welche die Existenz von Tupeln und die Werte von Attributen
beschreiben [Mot95, SORK11]. Beispielsweise kann das Attribut Gewicht den unsicheren Wert P (Gewicht = 50) = 0.9 enthalten. Diese Unsicherheit wird für die Berechnung
der Wahrscheinlichkeit von Anfrageergebnissen herangezogen. Unsicherheit entsteht beispielsweise durch die automatische Integration von Daten [MM10]. Dabei geben die
Algorithmen beispielsweise die Wahrscheinlichkeit an, dass zwei Datensätze aus verschiedenen Datenbeständen dieselbe Entität beschreiben.
Obwohl Unsicherheit und Unschärfe aus mathematischer Sicht eng miteinander verwandt sind, lässt sich im Rahmen des Simulationsdatenmanagements nur schwerlich
ein vereinheitlichtes Konzept für beide „uncertainty“-Begriffe schaffen. Die ursprünglichen Eingabedaten können zwar mit einer Unsicherheit behaftet sein, im Rahmen der
Unschärfepropagierung lässt sich diese allerdings nicht trivial mit der Unschärfe der
Eingabedaten kombinieren. Da die gemeinsame Betrachtung von Unschärfe und Unsicherheit nicht Fokus dieser Arbeit ist, bleibt diese Fragestellung offen für zukünftige
Arbeiten.
Weitere Dimensionen
Die Vollständigkeit hängt von dem betrachteten Gegenstand ab und kann für alle Elemente des Relationenmodells definiert werden
[Ble12, Len13b]. Die Attribut-, Tupel- und Relationsvollständigkeit geben den Anteil der NULL-Werte in den Attributen, Tupeln und Relationen an [Len13b]. Populationsvollständigkeit „beschreibt den Anteil der Datenwerte bezogen auf die tatsächliche
Anzahl der zu beschreibenden Objekte“ [Ble12].
Konsistenz gibt die Einhaltung definierter semantischer Regeln wieder, welche für alle
Elemente des Relationenmodells definiert werden können [BS06]. Zusätzlich gibt es noch
zeitbezogene Dimensionen, wie Aktualität und Rechtzeitigkeit [Ble12], welche sich
auf Attributwerte beziehen. Aktualität gibt an, wie zeitnah zu einer Änderung des
tatsächlichen Wertes w′ der Attributwert w angepasst wird. Rechtzeitigkeit beschreibt,
inwieweit Daten für einen bestimmten Anwendungszweck rechtzeitig zur Verfügung
gestellt werden.
7.2 Datenqualitätsdimensionen für Computermodelle
101
Für eine Auflistung weiterer Datenqualitätsdimensionen und deren Definition wird an
dieser Stelle auf die Literatur verwiesen: [BS06, WZL02, Ble12, Len13b].
7.2 Datenqualitätsdimensionen für Computermodelle
Für die Betrachtung der Datenqualitätsdimensionen wird eine Simulation vereinfacht
als Funktion f : X → Y, x →→ y dargestellt. Bei stochastischen Simulationen ist Y
dabei eine Menge von Zufallsvariablen. Um die für die Simulationseingabe x relevanten
Datenqualitätsdimensionen zu ermitteln, muss betrachtet werden, welche Eigenschaften
der Simulationsausgabe y relevant sind und wie diese durch die Eingabe beeinflusst
werden:
• Für die Verwendung der Simulationsausgabe ist die Genauigkeit sowohl hinsichtlich
Richtigkeit als auch Unschärfe relevant für Entscheidungsträger. Die Richtigkeit der
Simulationsausgabe hängt von einer korrekten Modellierung und Implementierung
der Simulation und von der Richtigkeit der Eingabe ab. Ebenso hängt die Unschärfe
der Ausgabe von der Unschärfe der Eingabe ab [Bar12].
• Eine weitere Rolle spielt die Konsistenz, die von einer korrekten Modellierung und
Implementierung der Simulation und von konsistenten Eingabedaten abhängig ist.
Mit Hilfe von semantischen Regeln kann die Konsistenz der Simulationsausgabe
y überprüft werden. Beispielsweise kann eine Regel besagen, dass die Population
eines Landes nie negativ werden kann.
• Die Vollständigkeit der Simulationsausgabe ist äquivalent zur Durchführbarkeit
der Simulation und hängt direkt von der Vollständigkeit der Eingabedaten ab.
• Die Rechtzeitigkeit der Simulationsausgabe hängt von einer rechtzeitigen Implementierung der Simulation, einer rechtzeitigen Sammlung der Eingabedaten und
der Dauer der Simulationsläufe ab.
• Die Aktualität der Simulationsausgabe hängt von der Aktualität der Eingabedaten
und des Modells ab.
Um die Ursachen von Datenqualitätsproblemen zu ermitteln und einen Lösungsansatz zu
finden, muss der Prozess zur Generierung der Eingabewerte einer Simulation betrachtet
werden, da die datenerzeugenden Prozesse entscheidend für die Qualität der Daten sind
[WZL02]. Skoogh und Johansson [SJ08] entwickelten einen Prozess (siehe Abbildung 7.1
auf der nächsten Seite) für das Management der Eingabedaten ereignisorientierter Simulationen. Das Ziel war die Vereinfachung der Datensammlung durch ein strukturiertes
Vorgehen. Zudem sollte die Effizienz durch die Vermeidung von unnötiger Arbeit gesteigert werden. Dies sollte durch die genaue Definition der benötigten Daten und der
102
Kapitel 7 Datenqualitätsmanagement für Computermodelle
Abbildung 7.1: Prozess für das Management von Simulationseingabedaten (Grafik von
Skoogh und Johansson [SJ08][S. 1730])
7.3 Simulation-Input-Modeling
103
benötigten Genauigkeit erreicht werden. Explizite Validierungsschritte und Regelkreise
sollten der Steigerung der Genauigkeit der Eingabedaten dienen.
Der Prozess von Skoogh und Johansson ist generisch und somit auch bei agentenbasierten
und SD-Simulationen anwendbar. Bei diesem Prozess wird davon ausgegangen, dass bei
Simulationen alle gesammelten Eingabedaten in Form von Wahrscheinlichkeitsverteilungen dargestellt werden, deren Parameter wiederum als Eingabewerte für die Simulation
dienen.
Der Prozess von Skoogh und Johansson beginnt mit der Definition der benötigten Eingabeparameter und der benötigten Genauigkeit. Danach folgt eine generische Datensammlung, die einen Regelkreis enthält, der sicherstellen soll, dass die gesammelten Daten den
Anforderungen entsprechen. Im Anschluss an die Datensammlung ist der zentrale Schritt
des Prozesses die statistische Repräsentation der Eingabedaten. Skoogh und Johansson
[SJ08] gehen hier davon aus, dass eine stochastische Simulation ausschließlich Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Eingaben besitzt. Die gesammelten Eingabedaten werden
mittels Verteilungsfunktionen modelliert, die entweder diskret oder kontinuierlich sein
können und möglicherweise mehrdimensional sind. Dieser Schritt ist in der Simulationsliteratur unter dem Begriff „Simulation-Input-Modeling“ [BG10, Law07] bekannt und
wird im nächsten Abschnitt detailliert beschrieben.
Für die Datensammlung gelten die oben genannten Datenqualitätsdimensionen, die mit
klassischen Methoden [BS06, WZL02] beherrschbar sind. Rechtzeitigkeit und Aktualität
lassen sich über die zeitliche Planung des Datensammlungsprozesses kontrollieren. Ebenso lässt sich die Konsistenz der Eingabedaten mit regelbasierten Werkzeugen verbessern
[Ble12]. Für die Messung der Vollständigkeit der Eingabedaten kann die Spezifikation der Eingabeparameter der Simulation herangezogen werden. Die Behandlung der
Unsicherheit von Daten wird ebenfalls im Rahmen des herkömmlichen Datenqualitätsmanagements behandelt [Mot95, SORK11]. Da für diese Probleme in der Literatur
[BS06, WZL02, Ble12] bereits Lösungsansätze existieren, wird im Rahmen dieser Arbeit
nicht weiter auf die herkömmliche Datenqualitätsproblematik der Datensammlung eingegangen. Übrig bleibt die Datenqualitätsproblematik, die im Zusammenhang mit dem
Simulation-Input-Modeling steht. Auf diese wird im nächsten Abschnitt eingegangen.
7.3 Simulation-Input-Modeling
Simulation-Input-Modeling ist die Bestimmung einer Verteilungsfunktion p(d) anhand
einer Reihe von Beobachtungen (d1 , . . . ,dn ). Es muss von folgender Annahme ausgegangen
werden:
104
Kapitel 7 Datenqualitätsmanagement für Computermodelle
Annahme 15. Die gesammelten Daten (d1 , . . . ,dn ) sind entsprechend der exakten Wahrscheinlichkeitsverteilung p(d) verteilt.
Dabei werden häufig die Parameter u einer Familie von exakten Verteilungsfunktionen
pu (d) mit einem Schätzer û bestimmt. Wie schon in Abschnitt 3.2.2 dargelegt, gibt es
neben der Darstellung als exakte Verteilungsfunktion noch weitere Möglichkeiten, eine statistische Repräsentation der Eingabedaten zu erhalten [Law07, S. 279]. Falls die
Bestimmung einer exakten Verteilungsfunktion nicht möglich ist, können einerseits die
Beobachtungen selbst anstatt einer statistischen Repräsentation verwendet werden. Dies
schränkt allerdings die Flexibilität beim Ziehen von Stichproben während der Ausführung der Simulation ein. Andererseits kann auch eine empirische Verteilungsfunktion
bestimmt werden. Die Genauigkeit dieser Funktion ist allerdings gegenüber einer exakten Verteilungsfunktion eingeschränkt [Law07, S. 279f]. Aus diesen Gründen werden
diese Alternativen im Rahmen dieser Arbeit nicht weiter betrachtet, da das Schätzen
von Verteilungsparametern den anderen Verfahren vorzuziehen ist [Law07, S. 279]. Dies
wurde in Annahme 12 [S. 49] festgehalten.
Im Rahmen dieser Arbeit wird davon ausgegangen, dass eine stochastische Simulation
sowohl die Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilungen p1,u1 , . . . ,pk,uk als auch einen
weiteren Parametervektor u+ als Eingaben besitzen kann. Dieser weitere Parametervektor stellt für den Anwender eine Möglichkeit dar, Parameter für die Simulation anzugeben
ohne ein stochastisches Modell dafür zu entwickeln.
Die Bestimmung von Verteilungsparametern u anhand von Beobachtungen (Stichprobe)
wird dabei mittels einer Schätzfunktion û durchgeführt. Schätzfunktionen, die auf der
Maximum-Likelihood-Methode basieren, werden als MLE bezeichnet [Fis22]. Da diese auf
fast alle Probleme anwendbar sind und die verbreitetste Klasse von Schätzern ausmachen,
beschränkt sich diese Arbeit auf die Betrachtung von MLE.
Da die Stichprobe, auf der die Schätzung der Verteilungsparameter beruht, das Ergebnis
eines Zufallsexperiments ist, ist eine Schätzfunktion selber wieder eine Zufallsvariable. MLE sind asymptotisch normalverteilt [Cra46, S. 500], d.h. bei einer genügend
großen Stichprobe sind MLE annähernd normalverteilt. Ab welcher Stichprobengröße eine Schätzfunktion annähernd normalverteilt ist, hängt einerseits von der Schätzfunktion
und andererseits von der benötigten Annäherungsgenauigkeit an die Normalverteilung
ab.
Annahme 16. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass alle Stichproben genügend
groß sind und MLE annähernd normalverteilt sind.
7.3 Simulation-Input-Modeling
105
Für eine genaue Betrachtung der Konvergenzraten wird an dieser Stelle auf weiterführende Literatur verwiesen: [BM10]. Ob Annahme 16 auf der vorherigen Seite zutrifft,
wird in der Evaluation (Abschnitt 11.1) diskutiert.
Die entscheidenden Datenqualitätsdimensionen im Rahmen des Simulation-InputModeling sind die Unschärfe und Richtigkeit der Schätzung der Verteilungsparameter.
Im letzten Abschnitt wurde davon ausgegangen, dass die Datenqualität der gesammelten
Daten mittels herkömmlicher Methoden kontrolliert wurde. Es wird also die folgende
Annahme getroffen:
Annahme 17. Die Unschärfe und Richtigkeit der Parameterschätzung hängt nur vom
Schätzer û ab.
Da MLE unter dieser Annahme asymptotisch die wahren Verteilungsparameter abschätzen [Cra46, S. 500], ist die Richtigkeit der Abschätzung gewährleistet. Die Unschärfe der
Abschätzung hängt bei MLE von der Größe der Stichprobe ab, die für die Parameterschätzung verwendet wird. Dieser Zusammenhang wird im nächsten Abschnitt genauer
erläutert.
Die Datenqualitätsdimension, die im Rest dieser Arbeit betrachtet wird, ist also die
Unschärfe der Parameterschätzung. Aufgrund der asymptotischen Normalverteiltheit
von MLE kann diese Unschärfe durch die Varianz der annähernd normalverteilten Parameterschätzung beschrieben werden. Im Folgenden werden die Begriffe „Varianz“ und
„Unschärfe“ synonym verwendet. In Beispielen wird zur Veranschaulichung allerdings
meistens die Standardabweichung statt der Varianz verwendet. Dies wird an den entsprechenden Stellen kenntlich gemacht.
Die in diesem Abschnitt angestellten Überlegungen unterstützen Annahme 7 [S. 28], dass
die normalverteilte Unschärfe die wichtigste Datenqualitätsdimension für das Management von Simulationseingabedaten darstellt. Obwohl SD-Modelle keine stochastischen
Elemente besitzen, ist auch für sie die Unschärfe entscheidend, da auch die Parameter von
SD-Modellen durch fehlerbehaftete Mess- oder Schätzverfahren bestimmt werden. Ebenso wird auch der weitere Parametervektor u+ mit unscharfen Mess- oder Schätzverfahren
bestimmt. Im Folgenden wird demnach von folgender Annahme ausgegangen:
Annahme 18. Die Eingabeparameter einer Simulation sind entweder Parameter von
exakten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und werden mittels MLE aus Stichproben bestimmt oder sie sind weitere Parameter, die mit einer festen normalverteilten Unschärfe
behaftet sind.
Falls eine Simulation von den Wahrscheinlichkeitsverteilungen p1,u1 , . . . ,pk,uk und dem
Vektor von weiteren Parametern u+ abhängig ist, so ist der Vektor von Eingabeparametern: u = (u1 , . . . ,uk ,u+ ).
106
Kapitel 7 Datenqualitätsmanagement für Computermodelle
7.4 Bedarfsgetriebene Datenakquisition
In den letzten Abschnitten wurde festgelegt, dass ausschließlich die Unschärfe der Parameter als Datenqualitätsdimension betrachtet wird. In Abschnitt 7.1 wurde die Unschärfe als Eigenschaft einer unendlichen Reihe von Messwerten definiert. Somit liegt
zwar eine theoretische Definition vor, aber noch keine Möglichkeit für die Bestimmung
der Unschärfe eines Wertes. In diesem Abschnitt wird nun beschrieben, wie der Prozess der Parameterschätzung mit der Unschärfe der Parameter zusammenhängt. Dieser
Zusammenhang kann dann dazu benutzt werden, um die Unschärfe eines Parameters
konkret näherungsweise aus den Eigenschaften der Parameterschätzung zu bestimmen.
Außerdem kann der Zusammenhang verwendet werden, um die Eigenschaften der Parameterschätzung so zu verändern, dass eine gewünschte Obergrenze für die Unschärfe
nicht überschritten wird.
Es soll von einem MLE û ausgegangen werden, der den unbekannten Parameter u
einer Verteilungsfunktion pu (d) ausgehend von den Beobachtungen (d1 , . . . ,dn ) abschätzt.
Später in diesem Abschnitt wird dieser Ansatz für den Fall erweitert, dass p mehrere
Parameter besitzt und somit u und û Vektoren sind. Hier wird das Symbol û sowohl für
den Schätzer als auch für das Ergebnis der Schätzung verwendet, da sich die jeweilige
Bedeutung aus dem Kontext ergibt.
Wie im letzten Abschnitt schon beschrieben, ist û selbst wieder eine Zufallsvariable, da
die Beobachtungen (d1 , . . . ,dn ) eine zufällige Stichprobe einer Grundgesamtheit darstellen. Bei einer genügend großen Anzahl an Beobachtungen ist û annähernd normalverteilt
û ∼ Nu, Var(û) . Die Unschärfe der Parameterschätzung ist also die Varianz dieser Normalverteilung.
Für die Varianz eines erwartungstreuen Schätzers gilt die Cramér-Rao-Ungleichung
[Cra46, S. 480][Rao45]:
Var(û) ≥
1
nI(u)
(7.1)
Dabei ist die Fisher-Information I ein Maß für den Informationsgewinn durch eine
Beobachtung [Kü05]:

∂ log pu (d)
I(u) = Ed 
∂u
2 


= − Ed
 2
∂ 2 log pu (d)
∂ log pu (d)
=
−
pu (d) dd (7.2)
∂u2
∂u2

Ein Schätzer û wird „effizient“ genannt, wenn in (7.1) die Gleichheit erreicht wird und
somit Var(û) = (nI(u))−1 gilt. MLE sind asymptotisch effizient [Cra46, S. 500], d.h. bei
einer genügend großen Anzahl an Beobachtungen sind MLE annähernd effizient.
7.4 Bedarfsgetriebene Datenakquisition
107
Sind nun die Anzahl der Beobachtungen n und die Verteilung pu bekannt, so kann die
Varianz des Schätzers û abgeschätzt werden:
Var(û) ≈
1
nI(û)
(7.3)
Hierbei wurde u durch die Abschätzung û ersetzt, da der tatsächliche Wert von u nicht
bekannt ist.
Das Wissen über den Parameter u lässt sich nun ausdrücken über die Konfidenzverteilung
Nû, Var(û) [XS13]. Die Interpretation dieser Verteilung ist schwierig, da der Parameter u
fest aber unbekannt ist und für u somit keine Wahrscheinlichkeitsverteilung angegeben
werden kann. Für eine Diskussion möglicher Interpretationen wird an dieser Stelle auf
die Literatur verwiesen: [XS13]. Eine einfache Möglichkeit der Interpretation ist die
Verwendung der Quantile von Nû, Var(û) für die Bestimmung von Konfidenzintervallen für
den Schätzer û. Die Konfidenzverteilung Nû, Var(û) entspricht bis auf den Mittelwert u der
Verteilung Nu, Var(û) des Schätzers û. Da der Mittelwert u unbekannt ist, kann allerdings
immer nur die Konfidenzverteilung bestimmt werden.
Mit Hilfe der Cramér-Rao-Ungleichung lässt sich auch die Anzahl an Beobachtungen n
abschätzen, die nötig ist, um eine bestimmte maximale Varianz v zu erreichen:
1
n≈
vI(u)


(7.4)
Dabei ist zu beachten, dass in diesem Fall der tatsächliche Wert von u wieder unbekannt
ist und auch nicht durch û abgeschätzt werden kann, da bei der Bestimmung der nötigen
Anzahl an Beobachtungen noch keine Beobachtungen vorliegen. Da dies die Abschätzung von n unmöglich machen würde, muss also davon ausgegangen werden, dass die
Parameterschätzung in mehreren Phasen abläuft und somit zumindest eine grobe initiale
Abschätzung û∗ von u existiert.
Annahme 19. Für den Wert von u existiert eine Abschätzung û∗ . Diese ist normalverteilt mit einer Varianz Var(û∗ ) ≫ Var(û).
Wie damit umzugehen ist, dass diese initiale Abschätzung von u bereits mit Unschärfe
behaftet ist, wird in Abschnitt 10.6 diskutiert. Zunächst wird davon ausgegangen, dass
u bekannt ist.
An dieser Stelle kann nun die bedarfsgetriebene Datenakquisition definiert werden:
Definition 7 (Bedarfsgetriebene Datenakquisition). Der Bedarf einer Datensammlung
wird durch die maximale Unschärfe v festgelegt, welche ein Schätzer û für einen Para-
108
Kapitel 7 Datenqualitätsmanagement für Computermodelle
meter u einer Verteilung pu haben darf. Eine Datensammlung ist bedarfsgetrieben, wenn
die Unschärfe v mit einer minimalen Anzahl n an Beobachtungen erreicht wird.
Beispielsweise soll bei einer politischen Umfrage die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person
eine bestimmte Partei wählt, durch die Befragung einer Stichprobe der Bevölkerung
bestimmt werden. Wird nun eine maximale Unschärfe für die Schätzung dieser Wahrscheinlichkeit definiert, so kann die Größe der Stichprobe bestimmt werden, die für
die Befragung nötig ist. Allerdings ist dabei zu beachten, dass bereits eine grobe initiale Schätzung der Wahrscheinlichkeit (beispielsweise aus dem Vorjahr oder aus der
Befragung einer kleineren Stichprobe) vorliegen muss.
Für den Fall, dass eine Verteilung pu von einem Vektor von Parametern u = (u1 , . . . ,um )
abhängt, so kann die folgende Variante der Cramér-Rao-Ungleichung verwendet werden
[Kü05]:
Var(ûi ) ≥ [(nI(u))−1 ]ii
(7.5)
Dabei ist I(u) die Fisher-Informationsmatrix [Kü05]:

[I(u)]ij = Ed
∂ log pu (d) ∂ log pu (d)
∂ 2 log pu (d)
= − Ed
∂ui
∂uj
∂ui ∂uj



(7.6)
Allgemein gilt für die Kovarianzmatrix Σ u von û = (û1 , . . . ,ûm ) bei mehreren Parametern
[Kü05]:
Σ u ≥ nI(u)−1
(7.7)
Falls ∀i ̸= j [I(u)]ij = 0 gilt, wird der Parametervektor u als orthogonal bezeichnet
[Huz50]. I(u) ist in diesem Fall eine Diagonalmatrix und somit ist auch I(u)−1 eine
Diagonalmatrix. Wenn dies der Fall ist, so sind die Schätzer ûi asymptotisch unabhängig
voneinander [CR87], da für eine große Zahl an Beobachtungen Σ u ≈ nI(u)−1 gilt.
Falls eine Verteilung mehr als 2 Parameter hat, kann nicht garantiert werden, dass
eine orthogonale Parametrierung im allgemeinen Fall gefunden werden kann [Huz50,
Jef61]. Allerdings lässt sich im Allgemeinen eine lokal orthogonale Parametrierung u∗
mit u = T(u∗ ) mit einer Transformation T finden [Jef61], so dass u∗ für ein festes
u näherungsweise orthogonal ist. Da in Annahme 19 auf der vorherigen Seite davon
ausgegangen wurde, dass eine Abschätzung für u bekannt ist und somit das Verfahren
für die lokale Orthogonalisierung für diesen Wert angewendet werden kann, wird von
folgender Annahme ausgegangen:
Annahme 20. pu besitzt eine orthogonale Parametrierung u.
7.4 Bedarfsgetriebene Datenakquisition
109
Laut dieser Annahme sind bei Verteilungen mit mehreren Parametern die MLE für diese
Parameter asymptotisch unabhängig voneinander. Im Weiteren wird nun auch davon ausgegangen, dass die Parameter verschiedener Verteilungen p1,u1 , . . . ,pk,uk und der weitere
Parametervektor u+ unabhängig voneinander sind. Falls einzelne Verteilungen voneinander abhängig sind, so sollten diese als eine gemeinsame mehrdimensionale Verteilung
modelliert werden, für die wieder eine lokal orthogonale Parametrierung gefunden werden kann. Die Annahme, dass der weitere Parametervektor u+ unabhängig von anderen
Parametern ist, muss getroffen werden, da für diese Parameter per Definition kein stochastisches Modell existiert, welches Korrelationen beschreiben könnte. Aus dem gleichen
Grund muss angenommen werden, dass die Komponenten von u+ paarweise unabhängig
voneinander sind. Annahme 18 [S. 105] und Annahme 20 auf der vorherigen Seite werden
also erweitert um die folgende Annahme:
Annahme 21. Die Parameter verschiedener Verteilungen p1,u1 , . . . ,pk,uk und ein weiterer Parametervektor u+ sollen geschätzt werden. Der Vektor von Schätzern û =
(û1 , . . . ,ûk ,û+ ) ist normalverteilt mit û ∼ Nu,Σ u . û+ ist dabei ein Pseudoschätzer, der
die normalverteilte Schätzung für den weiteren Parametervektor u+ beschreibt. u ist hier
der Vektor der tatsächlichen Parameter (u1 , . . . ,uk ,u+ ). Die einzelnen Verteilungen pi,ui
sind paarweise unabhängig voneinander und die Komponenten der einzelnen Parametervektoren ui sind orthogonal zueinander. Σ u ist dann aufgrund der Unabhängigkeit
und Orthogonalität eine Diagonalmatrix, welche entlang der Diagonale die Varianzen
der einzelnen Schätzer enthält.
Im Folgenden wird zur besseren Lesbarkeit û als x bezeichnet, um deutlich zu machen,
dass dies die Eingabe der Simulation ist.
Beispiel 14. Bisher diente das Schlaganfallszenario als fortlaufendes Beispiel. Im
zweiten Teil dieser Arbeit soll ein vereinfachter Teil dieses Beispiels zur Veranschaulichung der verschiedenen Konzepte dienen. Dazu wird das Diagnostizieren
von Patienten mit einem Computertomographen, der beispielsweise für die Diagnose
von Schlaganfällen verwendet wird, als M/M/1-Warteschlangensystem modelliert
[BINM01]. Die Länge der Warteschlange in diesem System ist unbegrenzt. Neue
Patienten erscheinen zufällig, wobei die Zwischenankunftszeiten entsprechend einer
Exponentialfunktion expr (x) = re−rx mit Ankunftsrate ra verteilt sind. Es gibt eine
Station (Computertomograph), die jeweils einen Patienten diagnostiziert. Die Diagnosezeiten pro Patient sind ebenfalls entsprechend einer Exponentialfunktion mit
Bedienrate rb verteilt.
Um mittels der Cramér-Rao-Ungleichung die Anzahl an Beobachtungen abschätzen
zu können, welche die Bestimmung der Parameter ra und rb mit einer Unschärfe von
110
Kapitel 7 Datenqualitätsmanagement für Computermodelle
v ermöglicht, wird die Fisher-Information für die Rate von Exponentialverteilungen
benötigt (Eine detailliertere Herleitung findet sich in Anhang E.5):

I(r) = − Ex

∂ 2 log(r) − rx
=
−
−r−2 dx = r−2
∂r2

(7.8)
Zum Beispiel lässt sich für die Rate ra = 0.5 abschätzen, wie viele Beobachtungen
nötig sind, um eine Schätzung von ra mit einer Unschärfe von v = 0.0001 zu erzielen:
n ≥ (vI(ra ))−1 = (0.5)2 /0.0001 = 2500
(7.9)
Ein Problem in diesem Beispiel ist die Tatsache, dass ra bekannt sein muss, um die
Anzahl an Beobachtungen für die Bestimmung von ra abzuschätzen. Eine Lösung für
dieses Problem wird in Abschnitt 10.6 diskutiert. Dabei muss zumindest von einer
groben initialen Abschätzung für Parameter, wie z. B. ra , ausgegangen werden.
7.5 Unschärfe in Simulationen
Für die weitere Betrachtung der Unschärfe in Simulationen wird ein mathematisches
Modell für stochastische Simulationen verwendet. Simulationen ohne stochastische Komponente, wie z. B. SD-Simulationen, werden als Spezialfall stochastischer Simulationen
angesehen. Im Gegensatz zu den Modellen in Kapitel 3, die dazu dienten einen Überblick
über die möglichen Eingabedaten zu erhalten, dient dieses Modell dazu, formal mit
Unschärfe umgehen zu können.
Eine stochastische Simulation wird durch ihre zugrundeliegende deterministische Funktion f : RD → R, x →→ y dargestellt, welche durch die Simulation berechnet werden
soll. Wenn h Ausgaben einer Simulation betrachtet werden, so wird dies über einen
Vektor von Funktionen (f1 , . . . ,fh ) realisiert. Die im Folgenden vorgestellten Methoden
lassen sich meist auf die einzelnen Funktionen fi anwenden. An Stellen an denen das
Zusammenspiel der einzelnen Ausgaben der Simulation relevant ist, wird im Folgenden
explizit eine Lösung für mehrere Ausgaben vorgestellt.
Der Eingabevektor x von f setzt sich aus allen Parametern der Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die im Rahmen des Simulation-Input-Modeling ermittelt wurden, und aus
weiteren Eingabeparametern û+ zusammen. Laut Annahme 21 auf der vorherigen Seite
ist x normalverteilt mit Mittelwert u (der tatsächliche Wert der Parameter) und der diagonalen Kovarianzmatrix Σ u . Die einzelnen Komponenten von x sind also stochastisch
unabhängig voneinander. Die Ausgabe y für ein x lässt sich nicht direkt beobachten, da
7.5 Unschärfe in Simulationen
111
die stochastische Simulation die Funktion f nur approximiert. Die zu einem x zugehörige
Beobachtung t ist behaftet mit einem Fehler ε, so dass gilt: t = f (x) + ε. Dieses ε ist
eine Zufallsvariable und repräsentiert die Summe der Zufälle, die bei der Berechnung des
Ergebnisses der Simulation eine Rolle gespielt haben. Da sich der Fehler ε meist summarisch aus mehreren simulationsinhärenten Zufallsvariablen zusammensetzt, kann laut
zentralem Grenzwertsatz davon ausgegangen werden, dass ε annähernd normalverteilt
ist mit einer Varianz vt (ε ∼ N (0,vt )) [BNX13]. Ob diese Varianz vt als abhängig von x
betrachtet werden soll oder nicht, wird in Kapitel 8.1 diskutiert. Die Unschärfe vt berücksichtigt hierbei noch nicht die Unschärfe, die bei der Bestimmung der Eingabeparameter
entsteht.
Zusätzlich zu der Unschärfe der Eingabeparameter beeinflusst also auch die stochastische Simulation selbst die Unschärfe der Simulationsausgabe. Um diese unterschiedlichen
Quellen von Unschärfe unterscheiden zu können, werden die folgenden Begriffe definiert
[O’H06]: Die aleatorische Unschärfe vt resultiert aus dem simulationsinhärenten Zufall,
der durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen repräsentiert wird. Die epistemische Unschärfe Σ u resultiert aus dem mangelnden Wissen über die Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die als Eingabewerte dienen. Dieser Mangel an Wissen stammt
daher, dass die Parameter aufgrund einer begrenzten Stichprobe bestimmt wurden.
Sowohl die aleatorische wie auch die epistemische Unschärfe bestimmen die Unschärfe der Simulationsausgabe. In Abschnitt 8.2 wird beschrieben, wie sich die Unschärfe
der Simulationsausgabe aus aleatorischer und epistemischer Unschärfe berechnen lässt.
Dieses Vorgehen wird Unschärfepropagierung genannt. Da die formalen Modelle für Simulationen sowohl in Kapitel 3 als auch der einfachere Formalismus in diesem Kapitel
zu allgemein sind, um eine analytische Unschärfepropagierung zu ermöglichen, werden
meist Surrogatmodelle verwendet, welche die eigentliche Simulation approximieren und
mathematisch einfach genug sind, um eine analytische Unschärfepropagierung zu ermöglichen. Diese Surrogatmodelle werden basierend auf einer Reihe von Beobachtungen
B = {xi ,ti }N
i=1 von Simulationsläufen erstellt. Aus diesem Grund sind diese Surrogatmodelle eine weitere Quelle von Unschärfe, die Surrogat-Unschärfe genannt wird. Im
nächsten Kapitel werden Surrogatmodelle genauer erläutert.
113
8
Grundlagen der Unschärfepropagierung
“
Once the mean and covariance functions are
defined, everything else about GPs follows from
the basic rules of probability applied to
multivariate Gaussians.
”
(Zoubin Ghahramani)
Im Rahmen dieser Arbeit werden nichtdeterministische Simulationen betrachtet (siehe
Abschnitt 3.1) und es soll möglich sein, die Unschärfe der Simulationsausgabe basierend
auf der Unschärfe der Eingabeparameter abzuschätzen. Aufgrund der Komplexität der
Simulationsmodelle und der Tatsache, dass diese mit unterschiedlichen Werkzeugen modelliert und implementiert werden, können die Modelle nicht direkt analysiert werden.
Eine übliche Vorgehensweise in einem solchen Fall ist die Erstellung von Surrogatmodellen, welche die Simulation approximieren. Diese Surrogatmodelle werden auf Basis der
Ergebnisse von mehreren Simulationsläufen mit unterschiedlichen Eingabewerten erstellt.
Dabei dienen Methoden der Regressionsanalyse dazu, den Zusammenhang zwischen den
Eingaben und der Simulationsausgabe zu modellieren.
Die Regression mit Gaußprozessen, die auch unter dem Namen „Kriging“ bekannt ist
[RW06], wird in der Literatur für die Analyse von Simulationen empfohlen [SWMW89,
SWN03, Kle08, ANS10]. Zudem zeigte eine Evaluation durch Rasmussen [Ras96], dass
Gaußprozesse oft herkömmlichen Techniken zur Regression überlegen sind. Deswegen
wurde in Annahme 8 [S. 29] davon ausgegangen, dass Gaußprozesse als Surrogatmodelle
für nichtdeterministische Black-Box-Simulationen geeignet sind.
In den folgenden Abschnitten werden die mathematischen Grundlagen von Gaußprozessen erläutert und es wird eine Methode zur Unschärfepropagierung durch Gaußprozesse
vorgestellt.
114
Kapitel 8 Grundlagen der Unschärfepropagierung
8.1 Gaußprozesse
Definition 8 (Gaußprozess). Ein Gaußprozess ist eine unendliche Menge von (reellen)
Zufallsvariablen, bei der jede endliche Teilmenge entsprechend einer mehrdimensionalen
Normalverteilung verteilt ist. (Rasmussen [Ras04])
Da die Anzahl von gemeinsam normalverteilten Zufallsvariablen die Dimensionalität einer
Normalverteilung bestimmt, wird bei einem Gaußprozess häufig von einer unendlichdimensionalen Normalverteilung gesprochen. Der unendlichen Menge der Zufallsvariablen
GX eines Gaußprozesses wird erst mittels einer Indexmenge X eine Bedeutung verliehen. Eine bijektive Funktion G : X → GX ordnet den Elementen der Indexmenge die
Zufallsvariablen aus GX zu. Mit X = R kann beispielsweise ein Gaußprozess über eine
Zeitachse und mit X = R2 über eine Fläche definiert werden.
Der Gaußprozess enthält im Beispiel X = [0, 1]2 für jeden Punkt der Fläche [0, 1]2 eine
Zufallsvariable. Werden n Zufallsvariablen aus dieser unendlichen Menge ausgewählt und
als Zufallsvektor dargestellt, so hat dieser Zufallsvektor eine n-dimensionale Normalverteilung, unabhängig von der Dimensionalität der Indexmenge.
Die Grundlagen der mehrdimensionalen Normalverteilung werden in Anhang D.1 rekapituliert. Eine n-dimensionale Normalverteilung wird durch den Mittelwert µ =
(m1 , . . . ,mn ) und die n × n-Kovarianzmatrix Σ definiert [Gra03]. Im Falle der unendlichdimensionalen Normalverteilung können µ und Σ nicht mehr explizit angegeben werden.
Diese werden stattdessen über eine Mittelwertfunktion m : X → R und eine Kovarianzfunktion C : X × X → R definiert. Die Verteilung der Menge von Zufallsvariablen GX
lässt sich also über m und C definieren. Wir schreiben: GX ∼ GP(m,C).
Werden nun n Zufallsvariablen mit den Indizes x1 , . . . ,xn aus einem Gaußprozess GX ausgewählt, so ist deren gemeinsame Normalverteilung Nµ,Σ definiert über den Mittelwert
µ = (m(x1 ), . . . ,m(xn )) und die Kovarianzmatrix Σ mit Σij = C(xi ,xj ).
Anstatt aus einem Gaußprozess eine endliche Menge von Zufallsvariablen auszuwählen
und deren Realisierungen zu betrachten, lässt sich auch eine Realisierung des kompletten
Gaußprozesses betrachten. Hierbei ist jedem Index x ∈ X genau ein Ergebnis zugeordnet,
nämlich die Realisierung der zu x gehörigen Zufallsvariable G(x). Eine Realisierung eines
Gaußprozesses ist also eine Funktion X → R.
Beispiel 15. In diesem Beispiel wird das M/M/1-Warteschlangensystem aus Beispiel 14 [S. 109] wieder aufgegriffen. Ausgabe der Simulation ist dabei die durchschnittliche Anzahl an Patienten im System zu einem bestimmten Zeitpunkt. Diese
Simulation hat die Ankunftsrate ra und die Bedienrate rb als Eingabeparameter. Für
8.1 Gaußprozesse
115
Durchsch. Anzahl Patienten im System
Durchsch. Anzahl Patienten im System
dieses Beispiel wird für die bessere Darstellbarkeit rb = 0.6 fest gewählt. Nun kann
ein Gaußprozess mit einer beliebigen Mittelwert- und Kovarianzfunktion, die im Folgenden noch genauer erläutert werden, für die Generierung von synthetischen Funktionen verwendet werden. In Abbildung 8.1(a) ist beispielsweise eine solche synthetische Funktion dargestellt, welche die Ausgabe des M/M/1-Warteschlangensystems
in Abhängigkeit von ra darstellt. Diese synthetische Funktion wurde durch den
Gaußprozess rein zufällig generiert und hat keinerlei Ähnlichkeit mit der tatsächlichen Ausgabe der M/M/1-Simulation. Abbildung 8.1(b) zeigt weitere mögliche
Realisierungen des gleichen Gaußprozesses. Die Möglichkeit, zufällige synthetische
Funktionen generieren zu können, wird in Kapitel 11 für die Evaluation der in dieser
Arbeit entwickelten Methoden verwendet.
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
-1.8
-2
-2.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0.5
0
ra
(a) Einzelne Realisierung eines Gaußprozesses
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
ra
(b) Mehrere Realisierungen eines Gaußprozesses
Abbildung 8.1: Realisierungen eines Gaußprozesses
Da ein Gaußprozess eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Funktionen definiert, ist es
möglich, einen Gaußprozess zur Approximation einer bekannten Funktion zu verwenden.
Dies wird im nächsten Abschnitt erläutert.
8.1.1 Regression mit Gaußprozessen
Die Erläuterungen dieses Abschnitts orientieren sich an der Arbeit von Girard [Gir04].
Im Folgenden wird eine Simulation wie in Abschnitt 7.5 als Black-Box-Funktion mit D
Eingabeparametern betrachtet: f : RD → R, x →→ f (x). Da f im Gegensatz zur Simulation deterministisch ist, wird die aleatorische Unschärfe vt der Simulation durch additive
116
Kapitel 8 Grundlagen der Unschärfepropagierung
Zufallsvariablen εi ∼ N0,vt modelliert. Das Ergebnis eines Simulationslaufs i ist also
ti = f (xi ) + εi . Die Annahme, dass die aleatorische Unschärfe normalverteilt ist, wurde
durch den zentralen Grenzwertsatz begründet (siehe Abschnitt 7.5). Zu beachten ist,
dass bei diesem einfachen Modell die aleatorische Unschärfe vt der Simulation unabhängig von x ist. Dies wird „Homoskedastizität“ genannt [Sne07]. Diese vereinfachende
Annahme wird in Abschnitt 8.1.2.3 zu einem allgemeineren Modell erweitert. Eine von
x abhängige aleatorische Unschärfe wird „Heteroskedastizität“ genannt [Sne07].
Gegeben sei eine Menge von Beobachtungen von Simulationsergebnissen B = {(xi ,ti )}N
i=1
mit xi ∈ RD und ti = f (xi ) + εi . Aus diesen Daten soll nun eine Approximation der
zugrundeliegenden Funktion f mittels Regression mit einem Gaußprozess GX bestimmt
werden. Die Indexmenge X ist hier die Definitionsmenge RD von f . Es gibt also für jede
mögliche Eingabe x eine Zufallsvariable G(x) in GX , deren Verteilung die Verteilung der
Beobachtung f (x) + ε approximieren soll. Es sollen also Mittelwert bzw. Varianz von
G(x) annähernd gleich f (x) bzw. vt sein.
Damit eine Regression mit Gaußprozessen möglich ist, muss folgende Annahme gelten:
Annahme 22. Es wird angenommen, dass f eine mögliche Realisierung von GX ist.
Falls dies nicht der Fall ist, wenn z. B. f Unstetigkeiten aufweist, so ist die Regression mit
Gaußprozessen zwar möglich, führt aber unter Umständen zu falschen Ergebnissen.
8.1.1.1 Mittelwert und Kovarianzfunktion
Um Gaußprozesse für Regression und somit als Surrogatmodelle für Simulationen verwenden zu können, müssen die Mittelwertfunktion m und die Kovarianzfunktion C definiert
werden. Dies hat Einfluss auf die möglichen Realisierungen und somit laut Annahme 22
auch auf die möglichen Funktionen, für die die Regression definiert ist.
Als Mittelwertfunktion wird in der Literatur häufig eine Konstante verwendet [Gir04,
ANS10]. Dies wird damit begründet, dass kein weiteres Vorwissen über die zu approximierende Funktion vorliegt. Darüber hinaus ist diese Mittelwertfunktion in den meisten
Fällen ausreichend [Gir04, ANS10]. Als Konstante bietet sich für die Regression der
Mittelwert der Beobachtungen ti an. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird im Folgenden davon ausgegangen, dass die Beobachtungen normiert sind, so dass ihr Mittelwert
0 ist [Gir04].
Annahme 23. Es wird von der Mittelwertfunktion m : x →→ 0 ausgegangen.
8.1 Gaußprozesse
117
Ein allgemeines Modell, das komplexe Mittelwertfunktionen berücksichtigt, wurde von
Santner et al. [SWN03] vorgestellt. Dieses Modell wird in dieser Arbeit allerdings nicht
berücksichtigt, da die Unschärfepropagierung von Girard [Gir04], auf der diese Arbeit
basiert, auf konstante Mittelwertfunktionen beschränkt ist. In zukünftigen Arbeiten
sollte untersucht werden, welche Erweiterungen notwendig sind, um das Modell von
Santner et al. [SWN03] berücksichtigen zu können.
Es gibt mehrere Alternativen für die Kovarianzfunktion C : X ×X → R. Sie repräsentiert
den Zusammenhang zwischen den einzelnen Zufallsvariablen des Gaußprozesses GX .
Dieser Zusammenhang hängt von der Indexmenge X und der zu modellierenden Funktion
ab.
Wenn beispielsweise X = R die Zeitachse repräsentiert und der Gaußprozess eine kontinuierliche zeitliche Entwicklung modelliert, so sind zwei Zufallsvariablen, die zeitlich
dicht aufeinander folgen, stärker korreliert als zwei Zufallsvariablen mit großem zeitlichen Abstand. Ebenso lässt sich die aleatorische Unschärfe vt über die Kovarianzfunktion
beschreiben.
Wenn
∀x1 ,x2 ,x3 ,x4 ∈ X, ||x1 − x2 ||2 = ||x3 − x4 ||2 =⇒ C(x1 ,x2 ) = C(x3 ,x4 )
(8.1)
gilt und die Mittelwertfunktion konstant ist, so wird der Gaußprozess als stationär
bezeichnet.
Ein Beispiel für eine mögliche Kovarianzfunktion ist die gaußsche Glockenkurve:

C(xi ,xj ) = v exp − 12 (xi − xj )T W−1 (xi − xj )

(8.2)
Diese Funktion ist von ihrer Form her eng mit der mehrdimensionalen Normalverteilung
verwandt und erfüllt die Eigenschaft (8.1). Rasmussen [Ras96] evaluierte Gaußprozesse
zur Lösung von Regressionsproblemen mit dieser Kovarianzfunktion und fand heraus,
dass diese Kovarianzfunktion für die Approximation von glatten Funktionen gut geeignet
ist. W−1 = diag(w1 , . . . ,wD )1 und v sind dabei Hyperparameter der Kovarianzfunktion
und hängen von den Eigenschaften der zu approximierenden Funktion ab. Bei dieser Kovarianzfunktion gibt v die Stärke der Schwankungen der zu approximierenden Funktion
um die Mittelwertfunktion an. Die wi variieren die Ausdehnung der Kovarianzfunktion
in der jeweiligen Dimension der Indexmenge und skalieren somit den Zusammenhang
zwischen Abstand und Korrelation zwischen einzelnen Zufallsvariablen. Wie Hyperpara-
1
Diese Notation orientiert sich an der Formel der Normalverteilung.
118
Kapitel 8 Grundlagen der Unschärfepropagierung
meter anhand der Beobachtungen B abgeschätzt werden können, wird in Abschnitt 8.1.1.4
erläutert. Zunächst wird davon ausgegangen, dass die Hyperparameter bekannt sind.
Um die konstante aleatorische Unschärfe vt zu berücksichtigen, wird eine beliebige Kovarianzfunktion erweitert [Gir04]:
Cvt (xi ,xj ) = C(xi ,xj ) + δij vt
(8.3)
Für das Kronecker-Delta gilt δij = 1 falls i = j, andernfalls ist δij = 0. vt ist ein weiterer
Hyperparameter. In der Literatur [Gir04, Sne06, SG06, Sne07] wird dieses additive δij vt
meist nicht als Teil der eigentlichen Kovarianzfunktion betrachtet und wird somit auch
nicht in der Kovarianzmatrix Σ berücksichtigt. Stattdessen wird eine explizit erweiterte
Kovarianzmatrix K = Σ + vt I verwendet, welche durch die erweiterte Kovarianzfunktion
Cvt entsteht. Im Folgenden wird sich dieser Notation angeschlossen.
Die in dieser Arbeit vorgestellten Methoden sind allerdings nicht auf eine spezielle Kovarianzfunktion beschränkt. Für verschiedene Klassen von zu approximierenden Funktionen
müssen entsprechende geeignete Kovarianzfunktionen verwendet werden.
Beispielsweise eignen sich periodische Kovarianzfunktionen, um periodische Zeitreihen
zu approximieren. In Abschnitt 8.1.2 werden zusätzlich Kovarianzfunktionen vorgestellt,
die eine von x abhängige aleatorische Unschärfe modellieren können.
Im Weiteren wird eine beliebige Kovarianzfunktion C mit einem Vektor von Hyperparametern Φ betrachtet. vt ist dabei Teil von Φ.
8.1.1.2 Die Verteilung der Zufallsvariablen
Die zu den Indizes (x1 , . . . ,xN )T gehörigen Zufallsvariablen (G(x1 ), . . . ,G(xN ))T sind laut
Definition 8 [S. 114] gemeinsam normalverteilt. Die Notation soll kenntlich machen, dass
diese Zufallsvariablen mit den Beobachtungen t = (t1 , . . . ,tN )T korrespondieren, welche
Realisierungen der Zufallsvariablen darstellen. Wieder ist K die N × N -Kovarianzmatrix
für diese Zufallsvariablen mit Kij = C(xi ,xj ) + δij vt . Dann ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, die Beobachtungen t aus dem entsprechenden Gaußprozess zu ziehen, die folgende
Normalverteilung [PP12]:
−N/2
pΦ (t|{xi }N
|K|−1/2 exp(− 12 tT K−1 t)
i=1 ) = N0,K (t) = (2π)
(8.4)
Die Notation der bedingten Wahrscheinlichkeit wird hier verwendet, um deutlich zu
machen, dass pΦ (t|{xi }N
i=1 ) über die Kovarianzmatrix von den xi abhängig ist und dass
diese gegeben sind.
8.1 Gaußprozesse
119
8.1.1.3 Bedingte Verteilung
Das Regressionsproblem ist nun die Abschätzung des Wertes der Funktion f für eine
weitere Eingabe x∗ aufgrund der bisherigen Beobachtungen B = {(xi ,ti )}N
i=1 . Sei t∗ =
G(x∗ ), dann ist die gemeinsame Verteilung von t und t∗ [Gir04]:
pΦ (t,t∗ |{xi }N
i=1 ,x∗ )
=(2π)


K


 k(x∗ )T
 T 
−(N +1)/2

exp − 12
t
t∗
k(x∗ )
k(x∗ )
−1/2



·

−1  
K
k(x∗ )
T
k(x∗ ) k(x∗ )
t 
t∗
(8.5)
Dabei ist k(x∗ ) = (C(x∗ ,x1 ), . . . ,C(x∗ ,xN ))T und k(x∗ ) = C(x∗ ,x∗ ) + vt . Das additive
vt wird hier analog zur erweiterten Kovarianzfunktion (8.3) auf der vorherigen Seite
verwendet.
Nun lässt sich mithilfe der Regeln für bedingte mehrdimensionale Normalverteilungen
(siehe Anhang D.1) die Wahrscheinlichkeitsdichte für t∗ bestimmen unter der Bedingung,
dass die Beobachtungen B vorliegen [Gir04, PP12]:
pΦ (t∗ |B,x∗ ) = Nµ(x∗ ),σ2 (x∗ ) (t∗ )
(8.6)
Dabei ist
µ(x∗ ) = k(x∗ )T K−1 t
(8.7)
der mittels Gaußprozess-Regression abgeschätzte Mittelwert für den Index x∗ und
σ 2 (x∗ ) = k(x∗ ) − k(x∗ )T K−1 k(x∗ )
(8.8)
ist die dazugehörige Varianz. σ 2 (x∗ ) setzt sich dabei aus der aleatorischen Unschärfe
vt , die in k(x∗ ) enthalten ist und der Surrogat-Unschärfe σ 2 (x∗ ) − vt zusammen. Diese
beiden Arten der Unschärfe lassen sich also im Fall der Homoskedastizität voneinander
trennen.
Statt einem einzelnen t∗ lässt sich auch gleich die Verteilung eines ganzen Vektors t∗
ermitteln. So kann für jede endliche Teilmenge des Gaußprozesses GX die Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Bedingung, dass B gegeben ist, bestimmt werden. Die
resultierende Verteilung ist wieder eine Normalverteilung. Also definiert die Bedingung,
dass die Beobachtungen B vorliegen, einen neuen Gaußprozess mit einer Mittelwertfunktion und einer Kovarianzfunktion, die analog zu µ(x∗ ) und σ 2 (x∗ ) mit den Regeln für
bedingte mehrdimensionale Normalverteilungen bestimmt werden können [PP12].
120
Kapitel 8 Grundlagen der Unschärfepropagierung
Im Folgenden wird zur Vereinfachung der Notation β = K−1 t verwendet. In Summenschreibweise ergibt sich [Gir04]:
µ(x∗ ) =
N

βi C(x∗ ,xi )
(8.9)
i=1
σ 2 (x∗ ) = C(x∗ ,x∗ ) + vt −
N

Kij−1 C(x∗ ,xi )C(x∗ ,xj )
(8.10)
i,j=1
Der Gaußprozess lässt sich nun als Surrogatmodell anstelle der Simulation für Analysen
verwenden. Der Vorteil gegenüber anderen Ansätzen zur Regression ist, dass hier explizit
die Güte der Abschätzungen in Form der Surrogat-Unschärfe gegeben ist.
Beispiel 16. Für dieses Beispiel wird wieder das M/M/1-Warteschlangensystem
verwendet. Ausgabe der Simulation ist die durchschnittliche Anzahl an Patienten
im System zu einem bestimmten Zeitpunkt. Ein Ausgabewert ist dabei der Durchschnitt aus 100 Simulationsläufen, um die aleatorische Unschärfe zu reduzieren. Diese
Methode wird auch Replizieren genannt [BINM01, S. 430].
Die Simulation hat die Eingabeparameter ra (Ankunftsrate) und rb (Bedienrate). Für
die bessere Darstellbarkeit wird wieder rb = 0.6 fest gewählt. Es wird die Kovarianzfunktion (8.2) [S. 117] verwendet. Für ra werden 100 gleichverteilte Beobachtungen
aus dem Intervall [0, 0.3] verwendet. Das Resultat wird in Abbildung 8.2 auf der
nächsten Seite dargestellt. Dabei wird neben dem abgeschätzten Mittelwert µ(x)
auch σ 2 (x) als Intervall [µ(x) − 1.96σ(x), µ(x) + 1.96σ(x)] abgebildet. Dieses Intervall
enthält 95% der möglichen Realisierungen des Gaußprozesses und veranschaulicht
die Kombination aus Surrogat- und aleatorischer Unschärfe. Ebenso wird die reine
aleatorische Unschärfe vt als Intervall dargestellt.
Es ist zu erkennen, dass die Surrogat-Unschärfe im Intervall [0.3, 0.5] ansteigt, je
weiter die Beobachtungen entfernt sind. Im Intervall [0, 0.3] ist σ 2 (x) fast äquivalent
zu vt . Das bedeutet, dass in diesem Intervall beinahe keine Surrogat-Unschärfe
auftritt. Dies liegt daran, dass für dieses Intervall viele Beobachtungen vorliegen, so
dass die Simulation gut approximiert werden kann.
8.1.1.4 Bestimmung der Hyperparameter
Die Bestimmung der Hyperparameter Φ erfolgt mittels MLE. Die Likelihood der Beobachtungen B = {(xi ,ti )}N
i=1 entspricht pΦ (t|xi ) mit t = (t1 , . . . ,tN ), also der Wahrscheinlichkeitsdichte, diese Beobachtungen von einem Gaußprozess zu erhalten, der eine
Durchschnittliche Anzahl Patienten im System
8.1 Gaußprozesse
3
121
µ(x) ± 1.96 σ(x)
µ(x) ± 1.96 √ vt
µ(x)
Beobachtungen
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
ra
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Abbildung 8.2: Regression mit Gaußprozessen
Kovarianzfunktion mit dem Parametervektor Φ besitzt. Um den Parametervektor Φ zu
finden, der diese Likelihood maximiert, wird häufig die negative Log-Likelihood-Funktion
minimiert [Gir04]:
L(Φ) = − log(pΦ (t|xi )) =
N
2
log(2π) + 12 log(|K|) + 12 tT K−1 t
(8.11)
Die Negation ist darin begründet, dass die meisten Optimierungsverfahren das Minimum
suchen. Der Logarithmus, der eine streng monotone Abbildung ist, wird angewendet,
um die Funktion leichter ableitbar zu machen. Für die Ableitung wird an dieser Stelle
auf die Arbeit von Rasmussen [Ras96] verwiesen. Das Minimum dieser Funktion lässt
sich nun mit Hilfe von bekannten numerischen Optimierungsverfahren finden.
8.1.2 Gaußprozesse für komplexe Simulationen
Eine Simulation mit großem D, also einer großen Anzahl an Eingabeparametern, soll
als komplexe Simulation bezeichnet werden. Die Anzahl N der nötigen Beobachtungen
(Simulationsläufe), um bei einer großen Anzahl an Parametern eine ausreichende Güte
der Approximation von f durch einen Gaußprozess zu erreichen, steigt mit D an.
122
Kapitel 8 Grundlagen der Unschärfepropagierung
Der Rechenaufwand bei der Anwendung von Gaußprozessen für Regressionsprobleme
lässt sich in zwei Schritte aufteilen: Die Bestimmung der Hyperparameter (Trainingsphase) und die Bestimmung der bedingten Verteilung für eine neue Eingabe x∗ (Vorhersagephase).
In der Trainingsphase muss das Optimierungsverfahren in jedem Schritt die LogLikelihood-Funktion (8.11) auf der vorherigen Seite und deren Ableitungen auswerten.
Der Aufwand wird dabei dominiert von der Matrixinvertierung K−1 , welche einen Aufwand von O(N 3 ) hat [Sne07]. Die inverse Matrix muss in jedem Schritt neu berechnet
werden, da ja gerade die Hyperparameter der Kovarianzfunktion optimiert werden sollen.
In der Vorhersagephase müssen die Funktionen µ(x∗ ) (8.9) [S. 120] und σ 2 (x∗ ) (8.10)
[S. 120] ausgewertet werden. Da hier K−1 konstant ist, dominiert die Summe über N 2
Terme in (8.10). Der Aufwand pro Vorhersage ist also O(N 2 ) [Sne07].
In der Literatur wurden mehrere Methoden vorgeschlagen, um diesen Aufwand zu reduzieren. Einen guten Überblick über die verschiedenen Verfahren bieten die Arbeiten
[CR05, CRW07, BDT13]. Chalupka et al.[CWM13] entwickelten ein Framework zur
Evaluation der verschiedenen Verfahren.
In den folgenden Abschnitten werden kurz die Ansätze von Snelson und Ghahramani
[Sne06, SG06, Sne07] vorgestellt. Diese haben den Vorteil, dass sie aus mathematischer
Sicht im Gegensatz zu anderen Verfahren selbst wieder Gaußprozesse sind [CRW07]. Die
Kovarianzfunktion wird allerdings so definiert, dass die Invertierung der Kovarianzmatrix
und die Auswertung von (8.10) effizienter umgesetzt werden kann. Zudem ergab die Evaluation von Chalupka et al. [CWM13], dass die Methode von Snelson und Ghahramani
[Sne06] den anderen Ansätzen überlegen ist.
8.1.2.1 Pseudo-Input-Gaußprozesse
Die SPGP (Sparse Pseudo-Input Gaussian Process) genannte Methode von Snelson und
Ghahramani [Sne06, Sne07] wird von Quiñonero-Candela et al. [CRW07] auch als FITC
(Fully Independent Training Conditional) bezeichnet. Dabei werden zusätzlich zu den
Beobachtungen B auch Pseudobeobachtungen B̄ = {(x̄i ,t̄i )}M
i=1 verwendet, mit M ≪ N .
Die Einführung von Pseudobeobachtungen ist dabei ein mathematischer Kniff, der es
ermöglicht die Invertierung der Kovarianzmatrix zu beschleunigen. Der Begriff ergibt
sich aus der Ähnlichkeit zu den tatsächlichen Beobachtungen B. Die Pseudobeobachtungen werden wie normale Hyperparameter behandelt und zusammen mit weiteren
Hyperparametern der Kovarianzfunktion während der Trainingsphase bestimmt. Da von
8.1 Gaußprozesse
123
den Pseudobeobachtungen nur die x̄i und nicht die t̄i benötigt werden und die x̄i Ddimensionale Vektoren sind, müssen also M D zusätzliche Hyperparameter bestimmt
werden.
Es wird eine neue Kovarianzfunktion definiert [Sne06, Sne07, CRW07]:
−1
T
CSPGP (xi ,xj ) = k̄(xi )T Σ −1
M M k̄(xj ) + δij [C(xi ,xj ) − k̄(xi ) Σ M M k̄(xj )]
(8.12)
Dabei ist k̄(xi ) = (C(xi ,x̄1 ), . . . ,C(xi ,x̄M ))T der Kovarianzvektor zwischen den Pseudobeobachtungen und den xi und [Σ M M ]ij = C(x̄i ,x̄j ). Also ist Σ M M die M × M Kovarianzmatrix der Pseudobeobachtungen. Diese Erweiterung ist unabhängig von der
zugrundeliegenden Kovarianzfunktion C.
Nun lässt sich die Inverse von K−1 in (8.7) [S. 119], (8.8) [S. 119] und (8.11) [S. 121]
mit Hilfe der Woodbury-Matrix-Identität [PP12, Sne07] in O(N 2 M ) bestimmen (siehe
Anhang E.1). Außerdem lassen sich (8.7), (8.8) und (8.11) weiter vereinfachen, so dass
der Aufwand pro Vorhersage auf O(M 2 ) und der Aufwand eines Optimierungsschrittes
in der Trainingsphase auf O(N M 2 ) sinkt [Sne06]. Da die Vereinfachungsschritte für die
Vorhersage von Snelson [Sne07] nur angedeutet werden, werden diese ebenfalls ausführlich
in Anhang E.1 dargestellt.
8.1.2.2 Dimensionalitätsreduzierung für Gaußprozesse
Die Bestimmung der zusätzlichen M D Hyperparameter kann vor allem bei großem
D, was ja gerade bei komplexen Simulationen der Fall ist, zu Problemen führen, wenn
nicht ausreichend Beobachtungen zur Hyperparameterbestimmung vorliegen. Aus diesem
Grund wurde SPGP von Snelson [SG06, Sne07] um eine Dimensionalitätsreduktion der
Pseudobeobachtungen erweitert. Dieser erweiterte Ansatz wird SPGP-DR (SPGP with
Dimensionality Reduction) genannt.
Im Gegensatz zu SPGP ist diese Erweiterung nicht unabhängig von der zugrundeliegenden Kovarianzfunktion C. Bei SPGP-DR wird von der gaußschen Kovarianzfunktion (8.2)
[S. 117] ausgegangen:

C(xi ,xj ) = v exp − 12 (xi − xj )T W−1 (xi − xj )

(8.13)
Dabei ist W−1 = diag(w1 , . . . ,wD ) eine Diagonalmatrix aus Hyperparametern zur Skalierung der Kovarianz in den einzelnen Dimensionen der xi . Diese Matrix wird nun ersetzt
124
Kapitel 8 Grundlagen der Unschärfepropagierung
durch W−1 = PT P. PT P ist also eine Zerlegung der Matrix W−1 . P ist dabei eine
G × D-Matrix mit G < D frei wählbar.
Nun lässt sich die gaußsche Kovarianzfunktion folgendermaßen umformen [Sne07]:

C(xi ,xj ) = v exp − 12 (Pxi − Pxj )T (Pxi − Pxj )

(8.14)
P ist also eine Projektion der D-dimensionalen xi in einen G-dimensionalen Raum. Da
in der Kovarianzfunktion nur noch G-dimensionale Projektionen der xi vorkommen,
müssen also für die Pseudobeobachtungen nicht mehr D-dimensionale Vektoren x̄i als
Hyperparameter während der Trainingsphase gelernt werden, sondern stattdessen Gdimensionale Projektionen der Pseudobeobachtungen x̃i = Px̄i . Zusätzlich muss die
Projektionsmatrix P gelernt werden, was für GD zusätzliche Hyperparameter sorgt. Diese
ersetzen allerdings die D Hyperparameter w1 , . . . ,wD . Zur Anwendung in Kombination
mit SPGP muss (8.14) in (8.12) auf der vorherigen Seite eingesetzt werden, um CSPGP-DR
zu erzeugen.
Bei SPGP mit der gaußschen Kovarianzfunktion müssen M D + D + 2 Hyperparameter in
der Trainingsphase gelernt werden. Bei SPGP-DR müssen (M +D)G+2 Hyperparameter
gelernt werden. Inwieweit dies eine Verbesserung darstellt, hängt von der Wahl von M
und G ab [Sne07]. Eine Evaluation der Verfahren ist in [Sne07] zu finden.
8.1.2.3 Heteroskedastizität
Eine weitere Eigenschaft von SPGP und SPGP-DR ist, dass durch die zusätzliche Flexibilität, die durch das Lernen der Pseudobeobachtungen erreicht wird, auch eine aleatorische
Unschärfe modelliert werden kann, die von x abhängig und somit nicht mehr konstant
ist (Heteroskedastizität). Die Pseudobeobachtungen werden dabei in der Trainingsphase
als Nebeneffekt so verschoben, dass die Surrogat-Unschärfe die aleatorische Unschärfe
nachbildet [Sne07]. Problematisch dabei ist, dass nun nicht mehr eindeutig zwischen
aleatorischer und Surrogat-Unschärfe unterschieden werden kann.
Snelson [SG06, Sne07] beschreibt auch eine Erweiterung für Gaußprozesse, welche die
Modellierung für Heteroskedastizität explizit unterstützt. Dabei wird eine beliebige
Kovarianzmatrix Σ folgendermaßen erweitert:
Σ HS = Σ + diag(h1 , . . . ,hN )
(8.15)
8.2 Unschärfepropagierung für Gaußprozesse
125
Damit ist die neue Kovarianzfunktion:
CHS (xi ,xj ) = C(xi ,xj ) + δij [δi1 h1 + . . . + δiN hN ]
(8.16)
Die zusätzlichen Hyperparameter hi repräsentieren hier die Unschärfe für die i-te Beobachtung. Die in den letzten Abschnitten vorgestellten Erweiterungen der Kovarianzfunktion lassen sich beliebig kombinieren, wobei SPGP-DR auf die gaußsche Kovarianzfunktion
als Grundlage beschränkt ist.
8.2 Unschärfepropagierung für Gaußprozesse
Bisher wurde der Eingabevektor x als fester Wert angesehen. Laut Annahme 21 [S. 109]
ist der Vektor von Eingabeparametern x allerdings mit normalverteilter Unschärfe behaftet, da dieser sich einerseits aus den mittels MLE geschätzten Parametern von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und andererseits aus festen Parametern mit normalverteilter
Unschärfe zusammensetzt. Also ist der Eingabevektor normalverteilt x ∼ Nu,Σ u mit
dem Vektor der tatsächlichen Werte u als Mittelwert und der Kovarianzmatrix Σ u . Die
Wahrscheinlichkeitsdichte von x wird als p(x|u,Σ u ) geschrieben. Σ u repräsentiert die
epistemische Unschärfe der einzelnen Komponenten von x und ist laut Annahme 21
eine Diagonalmatrix Σ u = diag(v), da die einzelnen Komponenten von x unabhängig
voneinander sind. v ist also der Vektor von Varianzen von x.
Die Beobachtungen B bleiben von der epistemischen Unschärfe unberührt, da hier die
Simulation mit frei gewählten Eingaben xi ausgeführt wurde, die nicht mit Unschärfe
behaftet sind. Falls bei der Regression keine Simulation betrachtet wird, sondern ein
reales System, muss auch die Unschärfe der Beobachtungen B berücksichtigt werden.
Dies wird im Rahmen dieser Arbeit allerdings nicht berücksichtigt, da diese Arbeit auf
Simulationen beschränkt ist.
In diesem Abschnitt wird nun die Wahrscheinlichkeitsdichte der Ausgabe t bei einer
normalverteilten Zufallsvariable x als Eingabe bestimmt. Es ergibt sich gemäß [Gir04]:
p(t|B,u,Σ u ) =

p(t|B,x)p(x|u,Σ u ) dx
(8.17)
RD
Dies wird als UP (Unschärfepropagierung) durch einen Gaußprozess bezeichnet. Die
Bedeutung dieser Gleichung wird in Abbildung 8.3 auf der nächsten Seite veranschaulicht.
Zunächst wird in einem ersten Zufallsexperiment x aus p(x|u,Σ u ) gezogen. p(x|u,Σ u )
repräsentiert die normalverteilte epistemische Unschärfe. Anschließend wird mit diesem
126
Kapitel 8 Grundlagen der Unschärfepropagierung
x aus der normalverteilten Dichte p(t|B,x) ein t gezogen. Die Dichte p(t|B,x) wurde
mit Hilfe der Gaussprozess-Regression bestimmt und approximiert die zugrundeliegende
Funktion. p(t|B,x) hat als Mittelwert µ(x) und repräsentiert die kombinierte aleatorische
und Surrogat-Unschärfe. Da dasselbe t aus mehreren x resultieren kann, muss über alle
möglichen x integriert werden.
p(t|B,x)
t
µ(x)
u
p(x|u,Σ u )
x
Abbildung 8.3: Unschärfepropagierung2
Analog zu Abschnitt 7.4 ist u nicht exakt bestimmbar, weswegen in der Praxis meist
die Konfidenzverteilung Nû,Σ u für die UP verwendet wird. Dies ergibt die Konfidenzverteilung für t. Im Folgenden wird zur Vereinfachung der Notation allerdings immer die
Verteilung des Zufallsvektors x ∼ Nu,Σ u statt der Konfidenzverteilung propagiert.
Die Dichte p(t|B,u,Σ u ) ist nicht mehr normalverteilt und das Integral in (8.17) auf der
vorherigen Seite lässt sich nur numerisch lösen [Gir04]. Da meist nur der Mittelwert
m(u,Σ u ) := E[t] und die Varianz v(u,Σ u ) := Var[t] der Ausgabe betrachtet werden,
entwickelte Girard [Gir04] zwei analytische Methoden zu deren Bestimmung. m(u,Σ u )
und v(u,Σ u ) können folgendermaßen bestimmt werden [Gir04]:
m(u,Σ u ) =
N

βi Ex [C(x,xi )]
i=1
v(u,Σ u ) = Ex [C(x,x)] −
N

(Kij−1 − βi βj ) Ex [C(x,xi )C(x,xj )] − m(u,Σ u )2
i,j=1
(8.18)
2
Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen wurden zu Illustrationszwecken jeweils ohne eigenes Koordinatensystem dargestellt.
8.2 Unschärfepropagierung für Gaußprozesse
127
Die nötigen Integrale [Gir04]

l := Ex [C(x,x)] =
C(x,x)p(x|u,Σ u ) dx
(8.19)
C(x,xi )p(x|u,Σ u ) dx
(8.20)
RD

li := Ex [C(x,xi )] =
RD
lij := Ex [C(x,xi )C(x,xj )] =

C(x,xi )C(x,xj )p(x|u,Σ u ) dx
(8.21)
RD
können nun für verschiedene Kovarianzfunktionen und mit unterschiedlichen Methoden
bestimmt werden.
Girards exakte UP bestimmt m(u,Σ u ) und v(u,Σ u ) für die gaußsche Kovarianzfunktion exakt [Gir04]. Die exakte UP resultiert dabei in Gleichungen, die nichtlinear von
Σ u abhängig sind. Für diese Methode gibt es eine Erweiterung, die auch für die SPGPKovarianzfunktion eine exakte Propagierung ermöglicht [GLB11]. Eine Erweiterung für
die SPGP-DR-Kovarianzfunktion ist leicht möglich und wird in Anhang E.3 vorgestellt.
Gutjahr et al. [GUA12] erweitern Girards UP für weitere spezielle Kovarianzfunktionen.
Girards approximative UP bestimmt m(u,Σ u ) und v(u,Σ u ), indem die Kovarianzfunktion durch eine Taylor-Approximation zweiter Ordnung angenähert wird. Dabei werden
zusätzlich die quadratischen Terme von Σ u weggelassen, da angenommen wird, dass diese klein sind [Gir04]. Dies wird in folgender Annahme festgehalten, die in Abschnitt 11.2
evaluiert wird:
Annahme 24. Es wird angenommen, dass die Unschärfe Σ u klein ist, so dass die
approximative UP anwendbar ist.
Da die approximative UP in Kapitel 10 für die inverse Unschärfepropagierung benötigt
wird, wird an dieser Stelle Girards Lösung vorgestellt. Für m(u,Σ u ) und v(u,Σ u ) ergeben
sich [Gir04]:
m(u,Σ u ) = µ(u) +
1
2
N

βi Tr[C′′ (u,xi )Σ u ]
i=1
v(u,Σ u ) = σ 2 (u) + 12 Tr[C′′ (u,u)Σ u ] −
N

(Kij−1 − βi βj ) Tr[C′ (u,xi )C′ (u,xj )T Σ u ]
i,j=1
−
1
2
N


Kij−1

C(u,xi ) Tr[C (u,xj )Σ u ] + C(u,xj ) Tr[C (u,xi )Σ u ]
′′
′′
i,j=1
(8.22)
128
Kapitel 8 Grundlagen der Unschärfepropagierung
C′ ist dabei der Gradient und C′′ ist die Hesse-Matrix der Kovarianzfunktion. Die
Ableitungen erfolgen dabei nach den einzelnen Komponenten von u. Diese Methode
lässt sich für beliebige Kovarianzfunktionen anwenden, da neben der zweimaligen Differenzierbarkeit keine weiteren Annahmen über die Kovarianzfunktion getroffen werden.
v(u,Σ u ) hängt dabei linear von Σ u ab. Diese Eigenschaft wird in Kapitel 10 für die
inverse Unschärfepropagierung ausgenutzt. Für die gaußsche Kovarianzfunktion, SPGP
und SPGP-DR werden die Ableitungen in Anhang E.2 vorgestellt.
Wenn die inverse Kovarianzmatrix K−1 vorberechnet wurde, so hat die Berechnung von
v(u,Σ u ) den Aufwand O(N 2 ), da die Größen der Matrizen C′ , C′′ und Σ u nur von der
Anzahl der Eingabeparameter D der Simulation abhängig sind. Dieser Aufwand ist unabhängig davon, welche Kovarianzmatrix benutzt wird. SPGP und SPGP-DR beschleunigen
an dieser Stelle also nicht die Berechnungen und sind nur in der Trainingsphase von
Nutzen.
In (8.22) auf der vorherigen Seite lassen sich die verschiedenen Arten der Unschärfe
direkt voneinander trennen. σ 2 (u) setzt sich laut (8.8) [S. 119] aus der aleatorischen
Unschärfe vt und der Surrogat-Unschärfe σ 2 (u) − vt zusammen. v(u,Σ u ) − σ 2 (u) stellt
also die propagierte epistemische Unschärfe dar.
Beispiel 17. In diesem Beispiel wird das M/M/1-Warteschlangensystem aus Beispiel 14 [S. 109] verwendet. Als Ausgabe der Simulation dient wieder die durchschnittliche Anzahl an Patienten im System zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei
wird pro Ausgabewert der Durchschnitt über 1000 Simulationsläufe gebildet, um die
aleatorische Unschärfe zu reduzieren.
Es wird davon ausgegangen, dass x = (ra , rb ) normalverteilt ist (x ∼ Nu,Σ u ), mit
Mittelwert u = (0.5,0.6) und Kovarianzmatrix Σ u = diag(0.0052 ,0.0052 ). Die Standardabweichung von x1 und x2 ist also jeweils 0.005. Es werden 1000 Beobachtungen (jede Beobachtung ist dabei der Durchschnitt aus 1000 Simulationsläufen) der
M/M/1-Simulation mit den Eingabeparametern xi gesammelt. Dabei werden die
xi für die Beobachtungen gemäß einem Latin Hypercube Design [SWN03, S. 127]
aus dem Intervall [0.475, 0.525] × [0.575, 0.625] gezogen. Aus diesen Beobachtungen
lässt sich mit Hilfe von Gaußprozess-Regression ein Surrogatmodell für die Simulation erstellen. Die Approximation der Simulation durch einen Gaußprozess wird in
Abbildung 8.4 auf der nächsten Seite dargestellt.
Die Monte-Carlo-Propagierung der Unschärfe von x durch die ursprüngliche Simulation mit weiteren 104 Beobachtungen (107 Simulationsläufe) liefert eine kombinierte
aleatorische und epistemische Unschärfe (Standardabweichung) der Ausgabe von
ungefähr 0.4145. Da die Monte-Carlo-Propagierung ein stochastisches Verfahren ist,
8.2 Unschärfepropagierung für Gaußprozesse
129
lässt sich dafür ein Konfidenzintervall angeben. Das 95%-Konfidenzintervall für die
Monte-Carlo-Propagierung der Unschärfe ist (0.4088, 0.4203). Die Propagierung der
Unschärfe mit Girards approximativer Methode [GMS05] durch das Surrogatmodell
liefert eine kombinierte aleatorische und epistemische Unschärfe (Standardabweichung) der Ausgabe von ungefähr 0.4189.
Die aleatorische Unschärfe lässt sich für das M/M/1-Warteschlangensystem exakt
bestimmen [BINM01, S. 167,S. 227f] und beträgt gerundet 0.1732 (Standardabweichung). Die aleatorische Unschärfe, welche mit Hilfe des Gaußprozesses geschätzt
wird, beträgt 0.1993 (Standardabweichung). Die Surrogat-Unschärfe des Gaußprozesses an der Stelle u beträgt 0.0148 (Standardabweichung).
Girards Methode der Unschärfepropagierung benötigt in diesem Beispiel ein Zehntel
der Beobachtungen im Vergleich zur Monte-Carlo-Propagierung. Zusätzlich lässt
sich ein einmal erzeugtes Surrogatmodell für beliebige Unschärfepropagierungen
nutzen, ohne dass weitere Simulationsläufe durchgeführt werden müssen. Bei einer Monte-Carlo-Propagierung müssen für jede einzelne Unschärfepropagierung alle
Simulationsläufe erneut durchgeführt werden.
Messung
Gaußprozess
11
10
9
8
Patienten 7
6
5
4
3
0.57
0.58
0.59
Rate rb
0.6
0.61
0.62
0.63 0.53
0.52
0.51
0.5
0.49
0.48
0.47
Rate ra
Abbildung 8.4: Approximation der Simulation durch einen Gaußprozess
131
9
Verwandte Arbeiten für die Unschärfepropagierung
Dieses Kapitel befasst sich mit verwandten Arbeiten hinsichtlich der Unschärfepropagierung. Zunächst werden Arbeiten aus dem Umfeld der klassischen Unschärfepropagierung
vorgestellt. Aufgrund der Breite dieses Themas und der Anzahl an Veröffentlichungen
werden hier nur exemplarisch einige relevante Methoden klassifiziert und vorgestellt. Betrachtet wird dabei jeweils die Unschärfepropagierung durch eine Funktion f : X → Y .
Die Eingabe x ∈ X ist entsprechend einer Wahrscheinlichkeitsverteilung px verteilt.
Dann soll im Rahmen der UP die Wahrscheinlichkeitsverteilung py der Ausgabe bestimmt werden. In den meisten Fällen reicht dabei die Bestimmung des Erwartungswerts und der Kovarianzmatrix von py . In den Abschnitten 9.2, 9.3 und 9.4 werden
dann verwandte Arbeiten für die inverse Unschärfepropagierung aus den Bereichen „Unschärfequantifizierung“, „optimales Design von Experimenten“ und „optimale Wahl von
Stichprobengrößen“ vorgestellt.
9.1 Unschärfepropagierung
Es gibt mehrere Kriterien anhand derer sich die Methoden der Unschärfepropagierung
unterscheiden lassen:
• Stochastische oder deterministische Funktionen
Für die UP kann entweder eine stochastische Funktion analysiert werden, deren Ergebnis eine Zufallsvariable ist, oder es kann eine deterministische Funktion
betrachtet werden. Die meisten UP-Methoden, die für stochastische Funktionen
geeignet sind, können auch bei deterministischen Funktionen angewendet werden.
• Anwendung eines Surrogatmodells
Die UP kann mit Hilfe eines Surrogatmodells durchgeführt werden, welches auf
Auswertungen der Funktion f beruht. Alternativ kann die Funktion f direkt verwendet werden. Der Vorteil von Surrogatmodellen ist, dass ein einmal erstelltes
Surrogatmodell ohne weitere Funktionsauswertungen für mehrere Analysen verwendet werden kann. Im Gegensatz dazu müssen für jede Analyse der Funktion f
132
Kapitel 9 Verwandte Arbeiten für die Unschärfepropagierung
erneut Funktionsauswertungen berechnet werden. Bei Simulationen ist eine Analyse des Surrogatmodells meist wesentlich effizienter möglich als die Auswertung der
Funktion f .
• Numerische oder analytische Bestimmung
Diese Unterscheidung bezieht sich darauf, ob die Lösung für die Unschärfepropagierung als analytischer Ausdruck vorliegt oder ob die UP mit numerischen Methoden
angenähert werden muss. Die Erstellung von Surrogatmodellen wird dabei nicht
berücksichtigt, da diese meist numerisch erfolgt.
• Eingabeverteilungen Ein weiteres Kriterium ist die Menge an Verteilungsfunktionen, die für die Repräsentation der Eingabeunschärfe px verwendet werden
kann. Häufig beschränken sich die Methoden beispielsweise auf normalverteilte
Eingabewerte. In anderen Fällen muss die Propagierungsmethode für unterschiedliche Verteilungsfunktionen angepasst werden und eine konkrete Umsetzung der
Propagierungsmethode unterstützt nur eine spezifische Verteilungsfunktion. Beispielsweise müssen in manchen Fällen Surrogatmodelle neu erstellt werden, wenn
eine andere Verteilung für die Repräsentation der Eingabeunschärfe verwendet
werden soll.
Einen Überblick über verschiedene Ansätze liefern die Arbeiten von Nigam und Turner
[NT95], Lee und Chen [LC07], da Silva Hack und ten Caten [SHC12], Schenkendorf
[Sch14] und Barton [Bar12].
Die bekanntesten UP-Methoden werden im Folgenden kurz vorgestellt. Anschließend
werden die Methoden in Tabelle 9.1 [S. 134] aufgelistet und anhand der oben genannten
Kriterien klassifiziert.
Monte-Carlo-Propagierung Die bekannteste Methode zur Unschärfepropagierung
ist die Monte-Carlo-Propagierung [SHC12]. Dabei wird die Funktion f mehrfach mit
Eingabewerten durchgeführt, die entsprechend der Eingabeunschärfe px verteilt sind. Die
Verteilung der Ausgabewerte py wird durch die empirische Verteilung der gemessenen
Ausgabewerte angenähert. Diese Methode kann für beliebige Funktionen und beliebige
Wahrscheinlichkeitsverteilungen angewendet werden. Allerdings ist der Rechenaufwand
bei Funktionen, die aufwändig zu bestimmen sind, teilweise zu groß, um diese Methode
anwenden zu können. Dies ist darin begründet, dass für eine genaue Annäherung an py
eine große Zahl an Funktionsauswertungen benötigt wird.
Taylor-Reihe Eine weitere bekannte Methode ist die Verwendung einer Taylor-Reihe
als Surrogatmodell [SHC12]. Diese ermöglicht eine analytische Bestimmung der Unschärfepropagierung für deterministische Funktionen. Allerdings wird die Taylor-Reihe immer
9.1 Unschärfepropagierung
133
um einen bestimmten Eingabewert herum entwickelt, in dessen Umgebung sich die Eingabeverteilung px befinden muss, um eine genaue Unschärfepropagierung zu ermöglichen.
Meist wird hier der Mittelwert der Eingabeverteilung verwendet.
Numerische Integration Eine Methode für die Unschärfepropagierung ohne Surrogatmodell für deterministische Funktionen ist die numerische Integration, da sich die
Ausgabeunschärfe als Erwartungswert darstellen lässt [LC07]. Diese Methode wird auch
als FFNI (Full Factorial Numerical Integration) bezeichnet [LC07]. Dabei geben bestimmte Integrationsregeln Eingabewerte xi vor, an denen die Funktion f ausgewertet
werden muss, um das Integral zu bestimmen. Die numerische Integration benötigt für
die Bestimmung der Integrationsregeln allerdings bestimmte Mengen von Polynomen,
welche nur für spezielle Verteilungsfunktionen als Eingabeunschärfe anwendbar sind. Beispielsweise sind die hermiteschen Polynome nur für normalverteilte Eingabeunschärfen
geeignet.
Bei naiven Integrationsregeln steigt die Anzahl der benötigten Eingabewerte exponentiell
mit der Anzahl an Eingabeparametern. Für die numerische Integration bieten sich aus
diesem Grund beispielsweise die Integrationsregeln von Genz und Keister [GK96] an,
da bei diesen die Anzahl der Funktionsauswertungen polynomiell von der Anzahl der
Eingabeparameter abhängig ist [NR99]. Diese Integrationsregeln sind allerdings auf
normalverteilte Eingabewerte beschränkt.
Die Unscented Transformation ähnelt den Genz-Keister-Integrationsregeln. Die Grundidee der Unscented Transformation [Sch14, JU96, JU97, JU04] ist, dass es leichter ist,
mit einer geringen Anzahl von Funktionsauswertungen eine Normalverteilung abzuschätzen, als ein Surrogat für eine nichtlineare Funktion zu erzeugen. Aus diesem Grund
werden ähnlich zu FFNI Integrationsregeln aufgestellt, welche Eingabewerte xi angeben,
an denen f ausgewertet werden muss. Diese Funktionsauswertungen werden dabei so geschickt gewählt, dass sich der Mittelwert und die Kovarianzmatrix der Ausgabeverteilung
abschätzen lassen.
Eine weitere Möglichkeit, die numerische Integration zu beschleunigen, ist die Approximation von f durch Funktionen, die jeweils nur von einer skalaren Eingabe abhängig sind.
Für diese sogenannte Univariate Dimension Reduction lässt sich die numerische Integration dann effizient mit bekannten Integrationsregeln für eindimensionale Funktionen
durchführen [LC07].
Polynomial Chaos Expansion Bei der PCE (Polynomial Chaos Expansion) wird
die Funktion f als Polynom dargestellt [LC07, Sch14, O’H13]. Diese Darstellung ist
ebenso wie die numerische Integration abhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung
134
Kapitel 9 Verwandte Arbeiten für die Unschärfepropagierung
der Eingabeverteilung px . Beispielsweise werden für eine normalverteilte Eingabe wieder
hermitesche Polynome verwendet. Die Parameter der Polynomdarstellung der Funktion
f sind allerdings direkt von px abhängig. Aus diesem Grund lässt sich die Polynomdarstellung nicht als Surrogatmodell verwenden, sondern nur für die Propagierung einer
spezifischen Verteilung px . Für die Bestimmung der Parameter der Polynomdarstellung
werden numerische Methoden benötigt.
Gaußprozess-basierte Propagierung Die Unschärfepropagierung nach Girard und
Murray-Smith [Gir04, GMS05] mit Gaußprozessen als Surrogatmodelle wurde bereits
in Abschnitt 8.2 vorgestellt. Diese Form der UP wurde auch von Oakley und O’Hagan
[OO04] vorgeschlagen. Allerdings wurde in der Arbeit von Oakley und O’Hagan keine
explizite analytische Lösung für die UP vorgestellt.
Barton, Nelson und Xie [BNX10, BNX13, XNB14] verwenden ebenfalls Gaußprozesse als
Surrogatmodelle. Diese werden allerdings zusammen mit einer Monte-Carlo-Propagierung
statt mit einer analytischen UP verwendet.
Methode
Monte-Carlo
Taylor
Num. Int.
PCE
Girards UP
GP+MC2
Stochastisch
√
–
–
–
√
√
Surrogat
–
√
Analytisch
–
√
–
–
√
–
–
√
√
–
Verteilungen
beliebig
beliebig
spezifisch/N 1
spezifisch
N
beliebig
Tabelle 9.1: Übersicht über die einzelnen UP-Methoden
Bewertung Die in dieser Arbeit betrachteten agentenbasierten Simulationen stellen stochastische Funktionen dar. Ebenso wird eine analytische Unschärfepropagierung
für die Entwicklung einer effizienten inversen Unschärfepropagierung benötigt. Da Girards Unschärfepropagierung als einziges von den vorgestellten Verfahren diese beiden
Kriterien erfüllt, wurde diese Lösung als Grundlage für die Entwicklung der inversen
Unschärfepropagierung in dieser Arbeit gewählt.
1
Die Genz-Keister-Integrationsregeln und die Unscented-Transformation sind auf Normalverteilungen
beschränkt.
2 Gaußprozess-Surrogate mit Monte-Carlo-Propagierung
9.2 Unschärfequantifizierung
135
9.2 Unschärfequantifizierung
Im Rahmen dieser Arbeit soll die Datenakquisition für eine Simulation anhand einer
gewünschten Ausgabeunschärfe gesteuert werden. Um dieses Ziel zu erreichen, muss das
zur Unschärfepropagierung inverse Problem gelöst werden. Für eine gegebene Ausgabeunschärfe muss die passende Eingabeunschärfe gefunden werden, welche die Kosten der
Datensammlung minimiert.
In der Literatur ist bereits ein ähnliches Problem bekannt, das „Unschärfequantifizierung“ genannt wird [FFML05] und in diesem Abschnitt anhand einiger exemplarischer
Publikationen vorgestellt werden soll. Häufig wird hierfür auch der Begriff „inverse
Unschärfepropagierung“ verwendet [FFML05]. Um Verwechslungen zu vermeiden, wird
dieser Begriff allerdings nicht verwendet, da er in dieser Arbeit eine andere Bedeutung
hat.
Das Ziel der Unschärfequantifizierung ist die Bestimmung von Eingabewerten u basierend auf beobachteten Ausgabewerten eines Systems. Dies ähnelt dem Simulation-InputModeling, bei dem die Parameter u von Verteilungen pu aufgrund von Beobachtungen
geschätzt werden. Im Falle der Unschärfequantifizierung liegen allerdings keine Beobachtungen über x ∼ pu vor, die für die Schätzung verwendet werden könnten. Vielmehr
liegen Beobachtungen von f (x) mit x ∼ pu vor.
Im Gegensatz zur Unschärfequantifizierung wird in dieser Arbeit statt beobachteten
Ausgabewerten eine Obergrenze für die Ausgabeunschärfe verwendet, um die passende
Eingabeunschärfe zu finden. Beide Probleme ähneln sich in der Hinsicht, dass es sich
dabei um Optimierungsprobleme handelt, welche eine UP-Methode voraussetzen.
Fonseca et al. [FFML05] verwenden beispielsweise einen MLE zusammen mit einer Taylorbzw. Monte-Carlo-Propagierung und Downhill-Simplex-Optimierung [NM65] für die Unschärfequantifizierung. Mares et al. [MMF06] verwenden eine Taylor-Reihe als Surrogatmodell und gradientenbasierte Optimierung für die Unschärfequantifizierung. Chantrasmi and Iaccarino [CI12] verwenden Surrogatmodelle, welche der Polynomial Chaos
Expansion ähneln, und einen bayesschen Ansatz für die Unschärfequantifizierung.
Arendt et al. [AAC12] verwenden Gaußprozesse als Surrogatmodelle für die Unschärfequantifizierung. Dabei wird neben der Unschärfe der Eingabeparameter auch die Diskrepanz zwischen Simulationsmodell und realem System bestimmt. Allerdings ist häufig
die Trennung zwischen Diskrepanz und dem Einfluss der Eingabeunschärfe schwierig
[AAC12]. Aus diesem Grund erweitern sie ihren Ansatz, um Beobachtungen von mehreren Ausgaben f1 (x), . . . ,fn (x) berücksichtigen zu können [ACA11]. Auf diese Weise kann
der Einfluss der Eingabeunschärfe besser von der Diskrepanz zwischen Simulation und
realem System unterschieden werden.
136
Kapitel 9 Verwandte Arbeiten für die Unschärfepropagierung
Alle betrachteten Arbeiten zur Unschärfequantifizierung verwenden numerische Optimierung für die Suche nach einer Lösung. Numerische Optimierung könnte ebenfalls zur
Lösung des in dieser Arbeit beschriebenen Problems der inversen Unschärfepropagierung
angewendet werden. Allerdings zeigt die Evaluation in Kapitel 11, dass nur analytische
Verfahren effizient genug sind für die Analyse von komplexen Simulationen. Aus diesem
Grund wird in Kapitel 10 eine analytische Methode für die inverse Unschärfepropagierung
entwickelt.
9.3 Optimales Design von Experimenten
Neben der Unschärfequantifizierung ähnelt die Methode des optimalen Designs von
Experimenten den Konzepten dieser Arbeit. Dabei sollen wieder Parameter u einer Verteilung pu geschätzt werden. Analog zur Unschärfequantifizierung kann nur die Ausgabe
einer Funktion f (x,z) mit x ∼ pu beobachtet werden. z ∈ Z ist allerdings frei wählbar
[Fed10].
Das Ziel ist, für ein gegebenes N eine Menge von N Werten für z zu wählen, die „Design“ genannt wird und eine optimale Abschätzung von u ermöglicht. Die Güte der
Abschätzung wird dabei als Funktion der Fisher-Informationsmatrix für u dargestellt.
Unterschiedliche Funktionen der Informationsmatrix dienen dabei der Darstellung verschiedener Gütekriterien und Optimierungsmethoden [Fed10]. Für die Lösung dieses
Optimierungsproblems können auch Surrogatmodelle, wie z. B. Gaußprozesse verwendet
werden [Sch14].
In dieser Arbeit wird ebenfalls die Fisher-Informationsmatrix als Gütekriterium verwendet und es sollen Optimierungsverfahren verwendet werden, um eine kostenoptimale
Datenakquisition zu ermöglichen. Dies ähnelt stark dem optimalen Design von Experimenten. Allerdings soll in dieser Arbeit von einer Obergrenze für die Ausgabeunschärfe
einer Simulation ausgegangen werden und es existieren keine frei wählbaren Parameter
z. Vielmehr soll die Anzahl an Beobachtungen minimiert werden, welche im Rahmen des
Simulation-Input-Modeling für die Abschätzung von u benötigt werden.
Für das optimale Design von Experimenten werden meist numerische Methoden verwendet [Fed10]. Aus diesem Grund lassen sich diese Ansätze nicht für eine analytische
inverse Unschärfepropagierung erweitern.
9.4 Optimale Wahl von Stichprobengrößen
137
9.4 Optimale Wahl von Stichprobengrößen
Das Problem der optimalen Wahl von Stichprobengrößen ähnelt dem in dieser Arbeit
vorgestellten Problem, die optimale Datenakquisestrategie zu finden. Dabei sollen für
mehrere Schätzer die Stichprobengrößen so gewählt werden, dass ein bestimmtes Kriterium optimiert wird. Beispielsweise definieren Huddleston et al. [HCH70] das Problem, die
Stichprobengrößen so zu wählen, dass mit minimalem Aufwand eine gewünschte maximale Unschärfe von Schätzern erreicht wird. Für die Lösung dieses Problems werden von
Huddleston et al. Methoden der konvexen Programmierung verwendet. Es wird dabei
numerisch nach einer optimalen Lösung gesucht. Allerdings wird noch nicht das Problem
betrachtet, dass die Schätzer als Eingabeparameter von Simulationen dienen können.
Für einen Überblick über Arbeiten hinsichtlich der optimalen Wahl von Stichprobengrößen für Simulationen wird auf die Arbeiten von Merrick [Mer09] und Song et al. [SNP14]
verwiesen. Die Publikationen, welche mit den in dieser Arbeit vorgestellten Methoden
verwandt sind, sollen im Folgenden vorgestellt werden.
Prinzipiell lassen sich zwei Probleme unterscheiden [CM12]:
1. Es sind die maximalen Kosten für die Datensammlung vorgegeben und das Optimierungsziel ist, die Unschärfe der Ausgabe der Simulation zu minimieren.
2. Es ist eine Grenze für die Unschärfe der Simulationsausgabe vorgegeben und das
Optimierungsziel ist, die Kosten der Datensammlung zu minimieren.
Ng und Chick [NC01, NC06] lösen Problem 1. Dabei gehen sie davon aus, dass die
Ableitungen der Simulation bekannt sind oder durch ein lineares Modell approximiert
werden können. Für diesen Fall finden sie mit der Methode des Lagrange-Multiplikators
eine analytische Lösung für das Optimum. Dieses Vorgehen ähnelt dem in dieser Arbeit
verfolgten Ansatz, der in Kapitel 10 vorgestellt wird. Allerdings wird im Rahmen dieser
Arbeit Problem 2 gelöst. Es sind also im Vergleich zu Ng und Chick Optimierungsziel
und Bedingung vertauscht. Im Gegensatz zu der linearen Approximation von Ng und
Chick werden im Rahmen dieser Arbeit Gaußprozesse als Surrogatmodelle verwendet,
die auch nichtlineare Funktionen approximieren können. Zudem werden in dieser Arbeit
weitere Probleme behandelt, die bei einer praktischen Anwendung einer optimalen Wahl
von Stichprobengrößen auftreten.
Freimer und Schruben [FS02] beschreiben eine Lösung für das Problem, eine Datenakquisestrategie zu finden, die eine bestimmte Grenze für die Unschärfe der Simulationsausgabe nicht überschreitet. Dabei wird allerdings nicht zwangsläufig die kostenoptimale
Strategie gefunden. Aus diesem Grund löst der Ansatz von Freimer und Schruben nicht
Problem 2. Die Methode von Freimer und Schruben arbeitet dabei numerisch und bestimmt sowohl die Unschärfe der Schätzer als auch die Unschärfe der Simulationsausgabe
138
Kapitel 9 Verwandte Arbeiten für die Unschärfepropagierung
mit Monte-Carlo-Methoden. Diese numerische Vorwärtspropagierung wird so lange mit
steigenden Stichprobengrößen iteriert, bis die gewünschte Unschärfe der Simulationsausgabe erreicht ist.
Cain und van Moorsel [CM12] definieren die verschiedenen Problemstellungen 1 und 2
und liefern zwei numerische Algorithmen für die Lösung von Problem 1. Diese Lösung
beschränkt sich hinsichtlich der betrachteten Schätzer allerdings auf die Abschätzung
des Mittelwerts der Stichproben und wird nicht auf beliebige MLE verallgemeinert.
Die hier beschriebenen verwandten Arbeiten verwenden mit Ausnahme der Arbeiten
von Ng und Chick [NC01, NC06] numerische Methoden, die für komplexe Simulationen
nicht anwendbar sind (siehe Kapitel 11). Aus diesem Grund lassen sich diese Ansätze
nicht für die inverse Unschärfepropagierung verwenden. Analog zum Ansatz von Ng und
Chick für die Lösung von Problem 1 wird in dieser Arbeit Problem 2 mit Methoden
der konvexen Optimierung gelöst. Allerdings werden in dieser Arbeit Gaußprozesse als
nichtlineare Surrogatmodelle verwendet, wohingegen die Lösung von Ng und Chick auf
lineare Surrogatmodelle beschränkt ist. Die Modellierung von Nichtlinearität ist notwendig, da die meisten Simulationen nichtlineares Verhalten aufweisen. Ebenso ist es mit
Gaußprozessen möglich, aleatorische Unschärfe mit Heteroskedastizität zu modellieren
(siehe Abschnitt 8.1.2.3 auf Seite 124). Dies ist mit dem Ansatz von Ng und Chick nicht
möglich.
139
10
Inverse Unschärfepropagierung
“
People who wish to analyze nature without using
mathematics must settle for a reduced
understanding.
”
(Richard P. Feynman)
Die Ergebnisse dieses Abschnitts wurden in verkürzter Fassung bereits in [BEWL14]
publiziert.
In Abschnitt 7.4 wurde die bedarfsgetriebene Datenakquisition für die Abschätzung eines
Parameters u definiert. Dabei sollte die gewünschte Varianz (epistemische Unschärfe)
eines Schätzers û mit einer minimalen Anzahl an Beobachtungen erreicht werden. Dies
berücksichtigte jedoch noch nicht, dass der Schätzer als Eingabe für eine Simulation
dienen soll. In diesem Kapitel wird nun eine bedarfsgetriebene Datenakquisition für Simulationseingabedaten entwickelt. Dabei wird nicht von der gewünschten Varianz eines
Schätzers ausgegangen, sondern von der gewünschten Varianz vout der Simulationsausgabe. Wie sich die Varianz der Simulationsausgabe ausgehend von der aleatorischen
Unschärfe der Simulation und der epistemischen Unschärfe der Eingabeparameter berechnen lässt, wurde in Abschnitt 8.2 beschrieben. Dabei wurde die Simulation durch
einen Gaußprozess approximiert, um die Unschärfepropagierung zu ermöglichen.
Da bei mehreren Eingabeparametern jeder einzelne Parameter mit epistemischer Unschärfe behaftet ist und es somit mehrere unterschiedliche Kombinationen von epistemischer
Unschärfe geben kann, die zur Ausgabevarianz vout führen, lässt sich zur Unschärfepropagierung keine inverse Funktion angeben. Die unterschiedlichen Kombinationen der
epistemischen Unschärfe führen allerdings zu unterschiedlichen Kosten für die Datenakquisition, also einer unterschiedlichen Anzahl von Messungen, die nötig sind, um die
Eingabeparameter zu bestimmen. Aus diesem Grund ist besonders die Kombination interessant, welche die Kosten der Datenakquisition minimiert. Die approximative Methode
zur Unschärfepropagierung von Girard [Gir04] dient in diesem Kapitel als Grundlage für
eine IUP (Inverse Unschärfepropagierung), die ausgehend von der gewünschten Varianz
der Simulationsausgabe eine kostenoptimale Datenakquisition für die Simulationseingabedaten ermöglicht. Dazu wird zunächst eine Kostenfunktion definiert, welche die
140
Kapitel 10 Inverse Unschärfepropagierung
Kosten der Datenakquisition abschätzt. Diese Kostenfunktion basiert auf der Anzahl an
Messungen, die für einen MLE nötig sind, um eine gewünschte Varianz zu erzielen. Diese
Kostenfunktion wird anschließend verwendet, um eine kostenoptimale Datenakquisitionsstrategie zu finden, so dass die Ausgabe der Simulation annähernd die Varianz vout
erreicht. Die hier beschriebene Problematik entspricht der offenen Forschungsfrage von
Song und Nelson [SN13] und wird an dieser Stelle kurz an einem motivierenden Beispiel
veranschaulicht.
Beispiel 18. Für dieses Beispiel wird wieder das M/M/1-Warteschlangensystem
aus Beispiel 17 [S. 128] verwendet. Für die Ankunfts- und Diagnosezeiten in diesem
Warteschlangensystem werden Exponentialverteilungen mit den Raten ra und rb
verwendet.
Im vorhergehenden Beispiel wurde davon ausgegangen, dass x = (ra , rb ) normalverteilt ist (x ∼ Nu,Σ u ). Dabei war der Mittelwert u = (0.5,0.6) und die Kovarianzmatrix
Σ u = diag(σr2a ,σr2b ) = diag(0.0052 ,0.0052 ). Die Standardabweichung der Schätzung
von ra und rb war also jeweils 0.005. Mit Hilfe Girards approximativer UP wurde die
Standardabweichung der Ausgabe (aleatorische und epistemische Unschärfe) auf ca.
0.42 geschätzt.
Es wird nun angenommen, dass diese Ausgabeunschärfe zu groß ist und auf eine
Standardabweichung von 0.25 reduziert werden soll. In diesem Kapitel wird in der
Fortführung dieses Beispiels geklärt, wie viele Beobachtungen für die Bestimmung
von ra und rb gesammelt werden müssen, um die gewünschte Ausgabeunschärfe
zu erreichen. Es muss also ein Σ u = diag(σr2a ,σr2b ) gefunden werden, das in einer
Ausgabeunschärfe von 0.25 resultiert. Dabei soll die Gesamtzahl an Beobachtungen
für die Schätzung von ra und rb minimal sein.
10.1 Kostenfunktion
In diesem Abschnitt wird eine Kostenfunktion für die Datenakquisition eines Simulationsprojekts aufgestellt. Es wird wie in Abschnitt 7.4 davon ausgegangen, dass Beobachtungen benutzt werden, um mittels MLE die Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
zu schätzen.
Im einfachen Fall wird von D Schätzern x = (x1 , . . . ,xD ) als Eingabe für die Simulation ausgegangen, von denen jeder Schätzer den Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit genau einem Parameter abschätzt. Es gilt x ∼ Nu,Σ u mit Σ u und
10.2 Kostenoptimale Inverse Unschärfepropagierung
141
Σ u := diag(v) := diag(v1 , . . . ,vD ) (siehe Annahme 21 [S. 109] über die Unabhängigkeit
der Schätzer).
Für einen Schätzer xi lässt sich die Anzahl an Beobachtungen ni , die nötig sind, um
eine Schätzung mit Varianz vi zu erreichen, anhand der Cramér-Rao-Ungleichung (7.1)
[S. 106] abschätzen:
1
ni ≈
vi I(ui )


(10.1)
Wird nun davon ausgegangen, dass für den Schätzer xi die Kosten für eine Beobachtung ci
sind, so lassen sich die Kosten, um die Varianz vi zu erreichen, folgendermaßen bestimmen:
cost(vi ) =
ci
vi I(ui )
(10.2)
Dabei wird ignoriert, dass die Anzahl an Beobachtungen nur ganzzahlig sein kann,
damit diese Kostenfunktion später für kontinuierliche Optimierung herangezogen werden
kann.
Um den Vektor von Eingabevarianzen v zu erreichen, ergibt sich für die Kostenfunktion:
D

κi
ci
=
cost(v) =
i=1 vi
i=1 vi Ii (ui )
D

(10.3)
Zur Vereinfachung der Notation wird κi = ci /Ii (ui ) eingeführt. Die κi sind also die
Gewichte, mit denen die vi in die Kostenfunktion einfließen. Auch hier wird für die
Bestimmung der Kosten der Wert u = (u1 , . . . ,uD ) benötigt, der unbekannt ist und
eigentlich durch x abgeschätzt werden soll. Wie mit diesem Problem umzugehen ist,
wird in Abschnitt 10.6 diskutiert.
Wie Wahrscheinlichkeitsverteilungen berücksichtigt werden können, die mehrere Parameter besitzen, die mit denselben Beobachtungen geschätzt werden, wird in Abschnitt 10.5
beschrieben.
10.2 Kostenoptimale Inverse Unschärfepropagierung
Es soll nun für eine Simulation die epistemische Unschärfe v̊ gefunden werden, welche zu
einer Ausgabeunschärfe vout führt und cost(v) minimiert. Von der Simulation sind analog
zu Abschnitt 8.1.1 die Beobachtungen B = {(xi ,ti )}N
i=1 bekannt. Die Simulation wird
142
Kapitel 10 Inverse Unschärfepropagierung
ausgehend von diesen Beobachtungen durch einen Gaußprozess approximiert, so dass die
vorgestellten Methoden zur Unschärfepropagierung angewendet werden können. Girards
exakte UP führt zu Gleichungen, die nichtlinear von Σ u abhängig sind [Gir04]. Aus
diesem Grund wird in diesem Abschnitt die approximative UP als Grundlage hergenommen, da diese zu Gleichungen führt, die linear von Σ u abhängig sind. Die approximative
UP wurde in (8.22) [S. 127] definiert. Da angenommen wird, dass u bekannt ist und
Σ u = diag(v) gilt, wird (8.22) nun als Funktion von v geschrieben:
vu (v) = σ 2 (u) + 12 Tr[C′′ (u,u)Σ u ] −
N

(Kij−1 − βi βj ) Tr[C′ (u,xi )C′ (u,xj )T Σ u ]
i,j=1
−
N

1
2

Kij−1

C(u,xi ) Tr[C (u,xj )Σ u ] + C(u,xj ) Tr[C (u,xi )Σ u ]
′′
′′
(10.4)
i,j=1
Dies ist eine lineare Funktion und somit konvex [Gra08a]. Hierbei ist zu beachten,
dass je nach Bedarf die aleatorische Unschärfe vt , welche in σ 2 (u) enthalten ist, und
die Surrogat-Unschärfe σ 2 (u) − vt aus (10.4) entfernt werden können. Auf diese Weise
können verschiedene Arten der Ausgabeunschärfe betrachtet werden. Im Folgenden soll
(10.4) unverändert verwendet werden. Die vorgestellten Methoden sind jedoch für alle
Varianten von (10.4) anwendbar.
Die Kostenfunktion (10.3) auf der vorherigen Seite hat die Hesse-Matrix:
[cost′′ (v)]ij = δij
2κi
vi3
(10.5)
cost′′ (v) ist also eine Diagonalmatrix und somit für vi > 0 ∀i positiv definit, da κi =
ci /Ii (ui ) positiv ist (siehe Anhang D.2.2). Somit ist cost(v) strikt konvex [Gra08a]. Damit
lässt sich das in diesem Abschnitt zu lösende Problem als konvexes Optimierungsproblem
schreiben:
min cost(v)
v ∈ (R+ )D
vu (v) − vout ≤ 0
10.2 Kostenoptimale Inverse Unschärfepropagierung
143
Somit kann die in Anhang D.3.2 beschriebene Methode zur konvexen Optimierung
verwendet werden. Die Lösung v̊ dieses Optimierungsproblems muss zusätzlich zur Nebenbedingung für ein λ > 0 die folgenden hinreichenden Bedingungen erfüllen:
∇ cost(v̊) = −λ∇vu (v̊)
(10.6)
λ(vu (v̊) − vout ) = 0
(10.7)
∃v vu (v) − vout < 0
(10.8)
Die Slater-Bedingung (10.8) ist offensichtlich erfüllt, wenn vout größer ist als vu (0) =
σ 2 (u). Andernfalls hätte das Optimierungsproblem keine Lösung.
Bedingung (10.7) dient der Bestimmung, ob die Nebenbedingung vu (v) − vout ≤ 0 scharf
ist, d.h. vu (v) = vout . Aufgrund der Struktur der Kostenfunktion und der Nebenbedingung lässt sich feststellen, dass dies hier der Fall ist. Läge das Optimum v̊ nicht auf
der durch die Nebenbedingung definierten Grenze, so ließe sich durch Vergrößern einer
Komponente von v̊ ein v̊∗ finden, welches weniger Kosten verursacht.
Die Gleichungen (10.6) und (10.7) lassen sich also auch folgendermaßen schreiben:
−
∂vu (v̊)
κh
= −λ
2
v̊h
∂vh
∀h = 1 . . . D
(10.9)
vu (v̊) = vout
(10.10)
(10.9) lässt sich nach vh auflösen:

v̊h =
λ ∂vu (v̊)
κh ∂vh
−1/2
∀h = 1 . . . D
(10.11)
Da vu (v) linear ist, ist ∂vu (v̊)/∂vh konstant:
N

∂vu (v̊)
= 12 [C ′′ (u,u)]hh −
(Kij−1 − βi βj )[C′ (u,xi )C′ (u,xj )T ]hh
∂vh
i,j=1
−
1
2
N


Kij−1

C(u,xi )[C (u,xj )]hh + C(u,xj )[C (u,xi )]hh
′′
′′
(10.12)
i,j=1
Nun lassen sich die v̊h aus (10.11) als Vektor v̊ in (10.10) einsetzen und nach λ auflösen.
Dazu wird τ = λ−1/2 definiert und die Matrix Σ ∗ wird folgendermaßen definiert:

1 ∂vu (v̊)
Σ ∗ = diag 
κ1 ∂v1
−1/2
1 ∂vu (v̊)
,...,
κD ∂vD

−1/2 

(10.13)
144
Kapitel 10 Inverse Unschärfepropagierung
Damit ist τ Σ ∗ = diag(v̊). Dann gilt:
vout = σ (u) + Tr[C (u,u)τ Σ ∗ ] −
2
′′
1
2
N

(Kij−1 − βi βj ) Tr[C′ (u,xi )C′ (u,xj )T τ Σ ∗ ]
i,j=1
− 12
N


Kij−1

C(u,xi ) Tr[C (u,xj )τ Σ ∗ ] + C(u,xj ) Tr[C (u,xi )τ Σ ∗ ]
′′
′′
(10.14)
i,j=1

=σ
2
(u) + τ  1
2
Tr[C (u,u)Σ ∗ ] −
′′
N

(Kij−1 − βi βj ) Tr[C′ (u,xi )C′ (u,xj )T Σ ∗ ]
i,j=1
− 12
N



Kij−1 C(u,xi ) Tr[C′′ (u,xj )Σ ∗ ] + C(u,xj ) Tr[C′′ (u,xi )Σ ∗ ]  (10.15)
i,j=1
Dies lässt sich nach τ auflösen:




τ = vout − σ 2 (u) / . . . 
(10.16)
Wird nun λ = τ −2 in (10.11) auf der vorherigen Seite eingesetzt, so ergibt dies die v̊h
und somit die optimale Lösung v̊, welche die Kostenfunktion minimiert. Diese Methode
wird im Folgenden approximative IUP genannt. Die Lösung v̊ lässt sich mit Hilfe
von (10.1) [S. 141] dazu benutzen, um für jeden Schätzer die Anzahl an Beobachtungen
abzuschätzen, die nötig sind, damit die Simulationsausgabe eine Unschärfe von vout hat.
Es ergibt sich also eine kostenoptimale Datenakquisitionsstrategie. Im Folgenden wird v̊
als kostenoptimale Datenakquisitionsstrategie bezeichnet.
Da Girards exakte UP [GMS05] zu nichtlinearen Gleichungen führt, lässt sich hierfür
keine analytische Lösung für das Optimum finden. Alternativ lässt sich die exakte UP
in Kombination mit numerischen Optimierungsverfahren verwenden, um eine exakte
IUP zu ermöglichen. Hierbei ist zu beachten, dass die exakte UP auf bestimmte Kovarianzfunktionen beschränkt ist, während die approximative UP nur die zweimalige
Differenzierbarkeit voraussetzt. Die exakte IUP ist allerdings nur hinsichtlich der Verwendung der exakten UP exakt. Numerische Optimierungsverfahren können bei der
exakten IUP Näherungsfehler verursachen. In der Evaluation 11.3 wird die exakte IUP
mit der approximativen IUP hinsichtlich Effizienz und Genauigkeit verglichen.
Im Folgenden wird die IUP an einem Beispiel verdeutlicht. In den Abschnitten 10.3 bis
10.7 wird die approximative IUP erweitert, um die noch offenen Probleme zu lösen.
Beispiel 19. Mit der approximativen IUP kann nun das Problem vom Anfang
des Kapitels gelöst werden. Dabei soll die Anzahl an Beobachtungen für die Pa-
10.3 Feste Eingabeparameter
145
rameter ra und rb des M/M/1-Warteschlangensystems so gewählt werden, dass
die Ausgabeunschärfe der Simulation auf eine Standardabweichung von 0.25 reduziert wird. Die Gesamtzahl an Beobachtungen für die Schätzung von ra und rb
soll dabei minimal sein. Für dieses Beispiel werden für die Kosten pro Beobachtung
ca = cb = 1 gewählt. Die Gesamtzahl an Beobachtungen stellt also die Kosten der
Datensammlung dar. Die passende Kostenfunktion wurde in Abschnitt 10.1 vorgestellt. Es gilt x = (ra , rb ) ∼ Nu,Σ u mit Mittelwert u = (0.5,0.6) und Kovarianzmatrix
Σ u = diag(va ,vb ) = diag(σr2a ,σr2b ).
Nun kann mit Hilfe der approximativen IUP die optimale Anzahl Nra bzw. Nrb an
Beobachtungen für die Abschätzung der Parameter ra und rb angenähert werden, so
dass die kombinierte aleatorische und epistemische Ausgabeunschärfe 0.25 beträgt.
Tabelle 10.1 stellt die gefundenen optimalen Lösungen mit der nötigen Gesamtzahl an
Beobachtungen dar. In dieser Tabelle werden die Resultate der approximativen IUP
mit der exakten IUP verglichen. Die exakte IUP nutzt Girards exakte UP in Kombination mit dem Cobyla-Optimierungsverfahren [Pow94]. Beide Verfahren nutzen den
Gaußprozess für die Unschärfepropagierung, da mit einer Monte-Carlo-Propagierung
aufgrund des Rechenaufwands die Anwendung eines Optimierungsverfahrens zu zeitaufwändig wäre.
Für beide Verfahren werden die gefundenen optimalen Lösungen mit Girards exakter UP durch den Gaußprozess propagiert, um zu überprüfen, ob die gewünschte
Ausgabeunschärfe erreicht wurde. Die approximative IUP ist wesentlich schneller als
die exakte IUP, da in diesem Fall die optimale Lösung analytisch gefunden wird. In
diesem Beispiel wird bei der approximativen IUP die nötige Gesamtzahl an Beobachtungen leicht unterschätzt. Dies resultiert in einer geringen Überschreitung der
gewünschten Ausgabeunschärfe.
Approx. IUP
Exakte IUP
Laufzeit
(s)
0.15
4.87
Nra
Nrb
70842
71540
69037
69973
Exakte
UP
0.2505
0.2500
Gesamtzahl
an Beob.
139879
141513
Tabelle 10.1: Inverse Unschärfepropagierung für das M/M/1-Warteschlangensystem.
10.3 Feste Eingabeparameter
Bisher wurde davon ausgegangen, dass die Unschärfe aller Eingabeparameter unbekannt
ist und für jeden Eingabeparameter eine kostenoptimale Datenakquisitionsstrategie ge-
146
Kapitel 10 Inverse Unschärfepropagierung
funden werden soll. Laut Annahme 18 [S. 105] müssen allerdings unter Umständen auch
weitere Eingabeparameter berücksichtigt werden, welche eine feste Unschärfe besitzen.
Zusätzlich zu den n Eingabeparametern, für die das kostenoptimale (v̊1 , . . . ,v̊n ) bestimmt
werden soll, wird also von o Eingabeparametern mit fester Varianz (ṽ1 , . . . ,ṽo ) ausgegangen. Dabei gilt n + o = D ist die Anzahl der Eingabeparameter der Simulation. Die
Matrix Σ ∗ in (10.14) [S. 144] wird in Blockmatrizen aufgeteilt:

Σ∗ =

τ Σ ∗1 0
0
Σ ∗2
τ Σ ∗1 = diag(v̊1 , . . . ,v̊n ),
,
Σ ∗2 = diag(ṽ1 , . . . ,ṽo )
Σ ∗1 wird dabei analog zu (10.13) [S. 143] bestimmt. Der Gradient und die Hesse-Matrix
werden auch in Blockmatrizen entsprechender Größe aufgeteilt:

C (u,xi ) =
′
C′i1
C′i2


, C (u,xi ) =
′′
C′′i11 C′′i12
C′′i21 C′′i22


,
C (u,u) =
′′
C′′11 C′′12
C′′21 C′′22

Die Gleichung (10.14) [S. 144] lässt sich nun mit den Regeln für die Multiplikation von
Blockmatrizen folgendermaßen schreiben (siehe Anhang E.4):

vout = σ 2 (u) + τ  12 Tr[C′′11 Σ ∗1 ] −
N

(Kij−1 − βi βj ) Tr[C′i1 C′T
j1 Σ ∗1 ]
i,j=1
−
1
2
N



Kij−1 C(u,xi ) Tr[C′′j11 Σ ∗1 ] + C(u,xj ) Tr[C′′i11 Σ ∗1 ] 
i,j=1
1
2
Tr[C′′22 Σ ∗2 ] −
N

(Kij−1 − βi βj ) Tr[C′i2 C′T
j2 Σ ∗2 ]
i,j=1
−
1
2
N



Kij−1 C(u,xi ) Tr[C′′j22 Σ ∗2 ] + C(u,xj ) Tr[C′′i22 Σ ∗2 ]
(10.17)
i,j=1
Damit lässt sich τ bestimmen und τ Σ ∗1 ergibt die kostenoptimalen v̊h .
10.4 Simulationen mit mehreren Ausgabewerten
In manchen Fällen sind mehrere Ausgabewerte einer Simulation relevant. Im Falle der
Regression und Unschärfepropagierung ließen sich die Methoden trivial auf Simulationen mit mehreren Ausgabewerten erweitern, da jede Ausgabe getrennt betrachtet
werden konnte. Für die IUP ist dies nicht der Fall. Es wird von einer Simulation mit q
Ausgabewerten ausgegangen. Für jeden Ausgabewert wird eine Gaußprozess-Regression
10.4 Simulationen mit mehreren Ausgabewerten
147
anhand von Beobachtungen durchgeführt. Ausgehend von der epistemischen Unschärfe
v lassen sich für die q Ausgabewerte die Ausgabeunschärfen v1 (v), . . . ,vq (v) bestimmen. Falls für die gewünschten Ausgabeunschärfen v1,out , . . . ,vq,out eine kostenoptimale
Datenakquisitionsstrategie gefunden werden soll, so ergibt sich das folgende konvexe
Optimierungsproblem:
min cost(v)
(10.18)
v ∈ (R )
(10.19)
+ D
vk (v) − vk,out ≤ 0
∀k = 1, . . . ,q
(10.20)
Es lässt sich nun wieder die in Anhang D.3.2 beschriebene Methode zur konvexen Optimierung anwenden.
Das Minimum v̊ muss wieder zusätzlich zu den Nebenbedingungen für ein λ ≥ 0 folgende
hinreichende Bedingungen erfüllen:
∇ cost(v̊) = −
q

λk ∇vk (v̊)
(10.21)
k=1
λk (vk (v̊) − vk,out ) = 0,
∃v∀k = 1, . . . ,q
∀k = 1, . . . ,q
vk (v) − vk,out < 0
(10.22)
(10.23)
Die Slater-Bedingung (10.23) muss wieder erfüllt sein, damit eine sinnvolle Lösung überhaupt möglich ist. Die weiteren Bedingungen (10.22) dienen wieder der Bestimmung,
welche Nebenbedingungen scharf sind. Da in diesem Fall mehrere Nebenbedingungen
vorliegen, müssen diese nun nicht mehr zwingend scharf sein. (10.21) lässt sich folgendermaßen umformen:
−
q

κh
∂vk (v̊)
=
−
λk
,
2
v̊h
∂vh
k=1
∀h = 1 . . . D
(10.24)
Aufgelöst nach v̊h ergibt sich:
λk ∂vk (v̊)
v̊h =
k=1 κh ∂vh
 q

−1/2
,
∀h = 1 . . . D
(10.25)
∂vk (v̊)/∂vh ist wieder konstant und lässt sich analog zu (10.12) [S. 143] bestimmen. Da
sich die λk in (10.25) allerdings nicht mehr aus der Summe herausziehen lassen, resultiert
das Einsetzen der v̊h in (10.22) in einem nichtlinearen Gleichungssystem. Dieses System
muss nach den λk aufgelöst werden. Dabei ist das System nicht mehr analytisch lösbar
und es muss eine numerische Lösung gefunden werden. Da eine Simulation meist mehr
148
Kapitel 10 Inverse Unschärfepropagierung
Eingabeparameter als relevante Ausgabewerte besitzt und somit oft q ≪ D gilt, ist dies
effizienter, als direkt eine numerische Lösung für das Optimierungsproblem zu suchen.
10.5 Gemeinsam geschätzte Parameter
In diesem Abschnitt wird beschrieben, wie eine Lösung gefunden werden kann, wenn
die Wahrscheinlichkeitsverteilungen, deren Parameter geschätzt werden sollen, mehrere
Eingabeparameter haben. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird davon ausgegangen, dass von den Schätzern x = (x1 , . . . ,xk , . . . ,xD ) die ersten k Schätzer die Parameter
einer einzelnen Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellen und gemeinsam geschätzt werden. Laut Annahme 21 [S. 109] wird davon ausgegangen, dass diese Schätzer unabhängig
voneinander sind. Die Varianz der Schätzer lässt sich mit (7.5) [S. 108] abschätzen. Allerdings wird für die Schätzer von mehreren Parametern einer einzelnen Verteilung die
gleiche Stichprobe verwendet. Durch die gleiche Stichprobengröße der Schätzer xi und
xj ∀i,j ≤ k folgt, dass vi Ii (ui ) = vj Ij (uj ) und somit vi = vj Ij (uj )/Ii (ui ) sein muss.
Soll nun für das Optimierungsproblem aus Abschnitt 10.2 eine kostenoptimale Lösung
v̊ gefunden werden, so muss dies berücksichtigt werden. In (10.4) [S. 142] werden für
i = 2, . . . ,k die vi , die entlang der Diagonale von Σ u liegen, durch v1 I1 (u1 )/Ii (ui ) ersetzt.
Die Anzahl der zu bestimmenden Variablen reduziert sich also um k −1. In (10.3) [S. 141]
müssen die Kosten der Schätzer x2 , . . . ,xk nicht mehr berücksichtigt werden.
Bei der Bestimmung der Ableitung in (10.12) [S. 143] ergibt sich eine weitere Änderung,
da v1 durch die Ersetzung der v2 , . . . ,vk mehrfach in vu (v̊) vorkommt. Zur Vereinfachung
der Notation wird dh analog zu (10.12) definiert:
dh = 12 [C ′′ (u,u)]hh −
N

(Kij−1 − βi βj )[C′ (u,xi )C′ (u,xj )T ]hh
i,j=1
−
1
2
N


Kij−1

C(u,xi )[C (u,xj )]hh + C(u,xj )[C (u,xi )]hh
′′
′′
(10.26)
i,j=1
Da die vi linear in vu (v̊) vorkommen, ergibt sich für die Ableitung:
k

∂vu (v̊)
= d1 +
dh ∗ I1 (u1 )/Ih (uh )
∂v1
h=2
(10.27)
Mit der Ersetzung v̊i = v̊1 I1 (u1 )/Ii (ui ) ∀i = 2, . . . ,k ergibt sich dann das Optimum
analog zu Abschnitt 10.2.
10.6 Das unbekannte u
149
10.6 Das unbekannte u
Bei der inversen Unschärfepropagierung wurde bisher immer davon ausgegangen, dass
der zu schätzende Parameterwert u bekannt ist. Dies wurde sowohl für die Kostenfunktion (Abschnitt 10.1) als auch für die Formeln der IUP (Abschnitt 10.2) benötigt.
Diese Annahme wurde bisher vorausgesetzt. Sie ist allerdings nicht realistisch, da u die
Parameter darstellt, welche mit MLE geschätzt werden sollen.
Die Tatsache, dass der Parameterwert, der geschätzt werden soll, für die Bestimmung
der Unschärfe der Abschätzung benötigt wird, ist ein klassisches Problem des optimalen
Designs von Experimenten [Fed10, Sch14]. In Annahme 19 [S. 107] wurde davon ausgegangen, dass für den Wert von u eine grobe initiale Abschätzung û∗ existiert, welche
mit einer Varianz v∗ ≫ v̊ normalverteilt ist.
Die IUP bestimmt für ein u und eine gewünschte Ausgabeunschärfe vout die optimale
Eingabeunschärfe v̊. Aus v̊ folgt dann direkt mit der Cramér-Rao-Ungleichung (7.1)
[S. 106] die optimale Datenakquisitionsstrategie, d.h. die Anzahl an Beobachtungen, die
für die Schätzung von u benötigt werden. Die IUP lässt sich also als deterministische
Funktion IUP : RD ×R → RD , (u, vout ) →→ v̊ betrachten. Analog zur Kostenfunktion (10.2)
[S. 141] muss die Anzahl an Beobachtungen dabei nicht ganzzahlig sein. Dies ermöglicht
die Anwendung von kontinuierlichen Optimierungsverfahren.
Es liegt also eine deterministische Funktion IUP(u,vout ) mit einem unscharfen Parameter
û∗ vor. In Abschnitt 9.1 wurden verschiedene Methoden für die Unschärfepropagierung
für deterministische Funktionen vorgestellt, die nun angewendet werden können. Das
Ergebnis dieser Unschärfepropagierung UP(v∗ ) ist ein unscharfes Optimum, das über
eine Wahrscheinlichkeitsdichte p(v̊) dargestellt wird. Aus p(v̊) folgt somit eine unscharfe
Datenakquisitionsstrategie. Für jeden Parameter kann damit für die Anzahl an Beobachtungen, die nötig sind, um eine gewünschte Ausgabeunschärfe zu erzielen, ein Konfidenzintervall angegeben werden. Dieses Konfidenzintervall kann für die Abschätzung
der Kosten einer Datensammlung verwendet werden.
Es liegen nun mehrere Ebenen der Unschärfepropagierung vor, die in Abbildung 10.1
auf der nächsten Seite und Tabelle 10.2 veranschaulicht werden. Die Unschärfe der
Eingabeparameter kann durch die Simulation propagiert werden (vu (v)). Die gewünschte
Ausgabeunschärfe kann invers durch die Simulation propagiert werden (IUP(u,vout )).
Zusätzlich kann die Unschärfe v∗ des initial geschätzten û∗ durch die IUP propagiert
werden (UP(v∗ )).
Da die approximative IUP das Optimum analytisch findet, ist diese Methode effizient genug, um numerische Unschärfepropagierungsmethoden für UP(v∗ ) anwenden zu können.
Dies soll im Folgenden an einem Beispiel veranschaulicht werden.
150
Kapitel 10 Inverse Unschärfepropagierung
f (x) + ε
x
ε
vu (v)
f (x) + ε
v
∗
v̊
x
t
vout p(v̊)
t
vu (v)
IUP(u,vout )
vout
v̊
IUP(u,vout )
UP(v∗ )
v∗
UP(v∗ )
Abbildung 10.1: Ebenen der Unschärfepropagierung
p(v̊)
Simulation
Eingabe
aleatorische
Unschärfe
Ausgabe
UP
inverse UP
gewünschte
Ausgabeunschärfe
optimale
Eingabeunschärfe
UP durch Funk.
IUP(u,vout )
grobe intiale
Unschärfe
Verteilung der
optimalen
Eingabeunschärfe
Tabelle 10.2: Legende
Beispiel 20. In diesem Beispiel wird wieder das M/M/1-Warteschlangensystem
verwendet. Wie im Beispiel in Beispiel 17 [S. 128] wird davon ausgegangen, dass
x = (ra , rb ) normalverteilt ist (x ∼ Nu,Σ u ), mit Mittelwert u = (0.5,0.6) und Kovarianzmatrix Σ u = diag(0.0052 ,0.0052 ). Mit Girards approximativer UP wurde in
Beispiel 17 die Standardabweichung der Ausgabe auf annähernd 0.42 geschätzt.
In der motivierenden beispielhaften Problemstellung am Anfang dieses Kapitels sollte
die Standardabweichung der Ausgabe auf 0.25 reduziert werden. In Beispiel 19 [S. 144]
wurde mit der IUP die optimale Datenakquisitionsstrategie gefunden, die zu einer
maximalen Standardabweichung der Ausgabe von 0.25 führt. Dazu musste davon
ausgegangen werden, dass u = (0.5,0.6) bekannt ist. In diesem Beispiel soll nun davon
ausgegangen werden, dass für u nur eine grobe initiale Schätzung û∗ = x ∼ Nu,Σ u
vorliegt.
Für dieses Beispiel werden die Genz-Keister Integrationsregeln verwendet [GK96],
die in Abschnitt 9.1 vorgestellt wurden. Diese ermöglichen eine Propagierung der
Unschärfe von û∗ durch die deterministische Funktion IUP(u,vout ), welche die optimale Datenakquisitionsstrategie bestimmt. Da IUP(u,vout ) keine lineare Funktion
ist, ist die Ausgabeverteilung keine Normalverteilung mehr. Die Genz-Keister Inte-
10.6 Das unbekannte u
151
grationsregeln ermöglichen dennoch eine Bestimmung von beliebigen Momenten der
Ausgabeverteilung. Dies erlaubt die Approximation der Ausgabeverteilung durch
das Pearson-System von Verteilungen [Pea95, Cra46]. Das Pearson-System approximiert eine beliebige Verteilung basierend auf den ersten vier Momenten (Mittelwert,
Varianz, Schiefe und Wölbung) der Verteilung. Das Pearson-System ermöglicht auch
eine Approximation der Konfidenzintervalle der Ausgabe.
Die Approximation der Ausgabeverteilung durch das Pearson-System wird in Abbildung 10.2 auf der nächsten Seite dargestellt. Dabei wird als Ausgabe von IUP(u,vout )
die Gesamtzahl an Beobachtungen betrachtet, die nötig sind, um eine Standardabweichung der Ausgabe der Simulation von 0.25 zu erreichen. In dieser Abbildung
wird das Pearson-System, das mit der approximativen IUP und den Genz-KeisterIntegrationsregeln erstellt wurde, mit einer Monte-Carlo-Propagierung der Unschärfe
von û∗ durch IUP(u,vout ) verglichen. Für die Monte-Carlo-Propagierung wurden 105
Werte durch IUP(u,vout ) propagiert. Zusätzlich wird in der Abbildung ein PearsonSystem dargestellt, das mit der exakten (numerischen) IUP erstellt wurde. Die Abbildung zeigt also, dass das Pearson-System gut geeignet ist, die Ausgabeverteilung zu
approximieren. Ebenso zeigt die Abbildung, dass die Ergebnisse der approximativen
IUP sehr nahe an den Ergebnissen der exakten IUP liegen.
In Tabelle 10.3 werden die 95%-Konfidenzintervalle für die Gesamtzahl an Beobachtungen aufgelistet. Dabei zeigt sich, dass das Pearson-System für die Abschätzung
der Konfidenzintervalle gut geeignet ist. Im Gegensatz dazu ist die Normalverteilung
für die Abschätzung der Konfidenzintervalle ungeeignet.
Normalverteilung
Pearson-System
Pearson-System (exakte IUP)
Monte-Carlo
(48959,
(83955,
(85277,
(83144,
254080)
282600)
283968)
283325)
Tabelle 10.3: 95%-Konfidenzintervall für die Gesamtzahl an Beobachtungen
152
Kapitel 10 Inverse Unschärfepropagierung
1e-05
Monte-Carlo
Pearson
Pearson (exakte IUP)
9e-06
8e-06
7e-06
Dichte
6e-06
5e-06
4e-06
3e-06
2e-06
1e-06
0
100000
200000
300000
400000
Gesamtzahl an Beobachtungen
500000
Abbildung 10.2: Verteilung der Gesamtzahl an Beobachtungen
10.7 Optimale Datenakquisitionsstrategie mit
unscharfem u
Im letzten Abschnitt wurde eine Methode vorgestellt, die es erlaubt, die initiale Unschärfe des Parametervektors u bei der inversen Unschärfepropagierung zu berücksichtigen.
Dies ist erforderlich, da für die IUP ein konkreter Wert für u bekannt sein muss, obwohl
u eigentlich die Parameter darstellt, die erst geschätzt werden sollen. Es wurde angenommen, dass für u eine grobe initiale Schätzung û∗ existiert, die mit einer Varianz v∗
normalverteilt ist (Annahme 19 [S. 107]).
Die im letzten Abschnitt vorgestellte Methode lässt sich anwenden, um die Konfidenzintervalle der Kosten einer Datensammlung unter Berücksichtigung der Unschärfe von
û∗ zu bestimmen. Dies ermöglicht es, die Kosten einer Datensammlung im Vorfeld abzuschätzen. Allerdings erlaubt dieser Ansatz keine konkrete Suche nach einer optimalen
Datenakquisitionsstrategie, die trotz der Unschärfe von û∗ die gewünschte Ausgabeunschärfe vout mit minimalen Kosten erreicht.
Trotz der Unschärfe von û∗ lässt sich iterativ eine optimale Datenakquisitionsstrategie
finden. Hierzu wird die optimale Strategie für die grobe initiale Abschätzung û∗ ermittelt.
Während der Datensammlung muss nun die Abschätzung û∗ iterativ verbessert werden
10.7 Optimale Datenakquisitionsstrategie mit unscharfem u
153
und die optimale Strategie angepasst werden. Dieses Verfahren sollte in weiteren Arbeiten
genauer evaluiert und verbessert werden.
Um trotz der Unschärfe von û∗ direkt eine Aussage über eine konkrete Datenakquisitionsstrategie treffen zu können, muss für ein konkretes ṽ bestimmt werden, mit welcher
Wahrscheinlichkeit die gewünschte Ausgabeunschärfe vout unterschritten wird. Dies lässt
sich mit der Wahrscheinlichkeitsdichte p(v̊) bestimmen.
Wenn ein v̊ in der gewünschten Ausgabeunschärfe vout resultiert, so erreicht oder unterschreitet eine Simulation mit Eingabeunschärfe ṽ ebenfalls vout , wenn ṽ komponentenweise kleiner oder gleich v̊ ist (ṽi ≤ v̊i , ∀i = 1, . . . ,D). Diese Bedingung ist hinreichend
aber nicht notwendig. Es gibt auch weitere Fälle, in denen ṽ die gewünschte Ausgabeunschärfe unterschreitet. Über diese lässt sich allerdings aufgrund der Unschärfe von u
keine konkrete Aussage treffen, da in diesen Fällen u beeinflusst, ob eine Simulation mit
Eingabeunschärfe ṽ die Grenze vout unterschreitet.
Eine Unterschranke für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Simulation mit Eingabeunschärfe ṽ die Grenze vout unterschreitet, lässt sich also folgendermaßen bestimmen:
P (vu (ṽ) ≤ vout ) ≥
∞
ṽD
...
∞
p(v̊) dv̊1 , . . . , dv̊D
(10.28)
ṽ1
Das Integral in (10.28) lässt sich nur numerisch bestimmen, da für p(v̊) keine geschlossene
Formel angegeben werden kann. In weiteren Arbeiten müssen also effiziente approximative Methoden für die Bestimmung dieses Integrals gefunden werden.
Mit der Abschätzung (10.28) lässt sich direkt ohne iteratives Vorgehen eine Datenakquisitionsstrategie finden, die mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit die gewünschte
Ausgabeunschärfe vout nicht überschreitet. Ein konkretes Verfahren dafür muss in weiteren Arbeiten entwickelt und evaluiert werden.
155
11
Evaluation der inversen Unschärfepropagierung
Die Ergebnisse dieser Evaluation wurden in verkürzter Fassung bereits in [BEWL14]
publiziert.
In diesem Kapitel wird Hypothese 3 [S. 30] evaluiert, welche die inverse Unschärfepropagierung betrifft. Diese Hypothese gehört zu Problem 6 [S. 23], das sich mit der
bedarfsgetriebenen Datenakquisition befasst, und besagt, dass eine optimale Datenakquisestrategie mit Gaußprozessen effizient näherungsweise gefunden werden kann. Dabei
sollte ein relativer Fehler von 0.1 nicht überschritten werden. Diese Grenze repräsentiert
eine domänenabhängige Anforderung an die Güte der Abschätzungen und wurde für
diese Evaluation exemplarisch gewählt. Für konkrete Problemstellungen sollte Hypothese 3 mit einem der Domäne entsprechenden relativen Fehler evaluiert werden. Die
Genauigkeit der approximativen IUP, die im letzten Kapitel als Methode für die bedarfsgetriebene Datenakquisition vorgestellt wurde, hängt von folgenden Näherungen
ab:
1. Kostenfunktion
Die Cramér-Rao-Ungleichung [Cra46, S. 480][Rao45], die als Grundlage für die
Kostenfunktion verwendet wird, approximiert die Stichprobengröße, die für das Erreichen einer bestimmten tolerierbaren Varianz mit einem MLE benötigt wird. Die
Qualität dieser Approximation hängt von der Stichprobengröße ab, die geschätzt
werden soll, da die Cramér-Rao-Ungleichung auf der Tatsache beruht, dass MLE
asymptotisch normal und effizient sind. In Annahme 11 [S. 30] wurde festgehalten,
dass die Methoden dieser Arbeit voraussetzen, dass die Approximation der Kosten
für den jeweiligen Anwendungsfall genau genug ist.
2. Regression
Gaußprozesse sind Annäherungen an die Simulationen, die untersucht werden sollen. Wie gut ein Gaußprozess eine Simulation approximieren kann, hängt von vielen
Faktoren ab. Eine Voraussetzung für die Anwendbarkeit von Gaußprozessen ist
beispielsweise, dass die Funktion, die durch die Simulation berechnet wird, eine
Realisierung eines Gaußprozesses sein muss (Annahme 22 auf Seite 116). Somit
156
Kapitel 11 Evaluation der inversen Unschärfepropagierung
muss für jeden Einzelfall entschieden werden, ob eine Regression mit einem Gaußprozess eine ausreichende Genauigkeit der Analysen ermöglicht. In Annahme 8
[S. 29] wird deswegen vorausgesetzt, dass Gaußprozesse für die Approximation einer Simulation geeignet sein müssen, damit die Methoden dieser Arbeit anwendbar
sind.
3. Approximative UP
Die approximative IUP basiert auf Girards [Gir04, GMS05] approximativer UP,
die eine Approximation der Unschärfepropagierung durch Gaußprozesse darstellt.
Girard stellt in ihrer Arbeit auch eine exakte Methode zur Unschärfepropagierung durch Gaußprozesse vor. Allerdings ermöglicht die approximative UP eine
analytische Optimierung für die IUP. Deswegen wird in Annahme 9 [S. 29] davon
ausgegangen, dass die approximative UP für den jeweiligen Anwendungsfall genau
genug sein muss, damit die approximative IUP anwendbar ist.
Ob diese drei Stufen der Approximation genau genug sind, muss für jeden Anwendungsfall
konkret entschieden werden. Die Optimierung, die für die approximative IUP verwendet
wird, ist exakt und ist somit keine weitere Quelle von Näherungsfehlern (siehe Kapitel 10). In dieser Evaluation wird für die Kostenfunktion und für die approximative UP
exemplarisch aufgezeigt, wie sich überprüfen lässt, ob die Annahmen 9 [S. 29] und 11
[S. 30] zutreffend sind. Die Regression mit Gaußprozessen wurde von Rasmussen [Ras96]
schon ausgiebig evaluiert. Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit nicht weiter darauf
eingegangen, wie für eine konkrete Simulation evaluiert werden kann, ob ein Gaußprozess
eine akzeptable Approximation ermöglicht.
Zunächst wird im nächsten Abschnitt gezeigt, wie die Genauigkeit der Kostenfunktion
überprüft werden kann. Anschließend wird in Abschnitt 11.2 die Güte der approximativen
UP anhand von synthetischen Simulationen evaluiert. Dieses Vorgehen lässt sich dann
anwenden, um die approximative UP für konkrete Probleme zu evaluieren. Für die
approximative IUP wird in Abschnitt 11.3 anhand von synthetischen Simulationen und
einem realen Beispiel evaluiert wie gut und wie schnell die Approximation im Vergleich
zur exakten IUP ist.
Zum Zweck der Evaluation wurden die Methoden, die in dieser Arbeit beschrieben
wurden, mit Python1 , SciPy2 und NumPy3 prototypisch implementiert.
Die Erweiterungen SPGP und SPGP-DR für Gaußprozesse wurden nicht evaluiert, da
diese nur bei der Erstellung der Gaußprozesse einen Geschwindigkeitsvorteil bringen und
1 http://www.python.org
2 http://www.scipy.org
3 http://www.numpy.org
11.1 Kostenfunktion
157
die Unschärfepropagierung nicht beschleunigen (siehe Abschnitt 8.2). Eine Evaluation
der Genauigkeit und Geschwindigkeit von SPGP und SPGP-DR ist in den Arbeiten von
Snelson und Ghahramani zu finden [Sne06, SG06, Sne07]. Die Evaluation der Genauigkeit der Unschärfepropagierung mit SPGP wurde bereits von Groot et al. [GLB11]
durchgeführt. Die Eigenschaften der exakten UP mit SPGP-DR, welche in Anhang E.3
hergeleitet wurden, sollten in zukünftigen Arbeiten detailliert untersucht werden. Auf
eine Evaluation der UP mit SPGP-DR wurde in dieser Arbeit verzichtet, da dies nicht
der Fokus dieser Arbeit ist.
11.1 Kostenfunktion
In Annahme 11 [S. 30] wird davon ausgegangen, dass die Kosten einer Datensammlung
mit der Cramér-Rao-Ungleichung geschätzt werden können. Diese Ungleichung schätzt
die Varianz von MLE asymptotisch korrekt ein [Cra46, S. 500] und kann für die Abschätzung der Anzahl an Beobachtungen verwendet werden, die nötig sind, um einen
Parameter einer Verteilung mit einer bestimmten Unschärfe zu messen. Für eine kleine Anzahl an Beobachtungen stellt die Cramér-Rao-Ungleichung allerdings nur eine
Näherung dar.
In dieser Evaluation wird die Genauigkeit der Cramér-Rao-Ungleichung exemplarisch
für folgende Parameter untersucht:
1. Der Mittelwert µ einer Normalverteilung
2. Die Standardabweichung σ einer Normalverteilung
3. Die Wahrscheinlichkeit p einer Bernoulli-Verteilung
4. Die Rate r einer Exponentialverteilung
Diese Parameter wurden gewählt, da sie für die Beispiele, die in dieser Arbeit verwendet
werden, von Bedeutung sind. Für diese Parameter findet sich die Herleitung der FisherInformation, welche für die Cramér-Rao-Ungleichung benötigt wird, in Anhang E.5. In
Abbildung 11.1 ist der relative Fehler der Cramér-Rao-Ungleichung für unterschiedliche
N (Anzahl an Beobachtungen) dargestellt. Dabei wird die Abschätzung der Varianz
durch die Cramér-Rao-Ungleichung mit einer Monte-Carlo-Abschätzung der Varianz der
MLE für die verschiedenen Parameter verglichen. Für die Monte-Carlo-Abschätzung der
Varianz werden 106 mal N Werte aus einer entsprechenden Verteilung gezogen und für
eine Parameterschätzung mittels MLE verwendet. Die Parameterwerte, die geschätzt
werden sollen, sind µ = 1, σ = 1, p = 0.75 und r = 1. Die Parameter und Parameterwerte
wurden willkürlich gewählt, um aufzuzeigen, wie eine Evaluation der Kostenfunktion
durchgeführt werden kann.
158
Kapitel 11 Evaluation der inversen Unschärfepropagierung
0.25
µ (Normalverteilung)
σ (Normalverteilung)
p (Binomialverteilung)
r (Exponentialverteilung)
Relativer Fehler
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
50
100
150
200
250
Anzahl an Beobachtungen N
Abbildung 11.1: Relativer Fehler der Cramér-Rao-Ungleichung
In Abbildung 11.1 zeigt sich, dass die Abschätzung der Varianz von MLE durch die
Cramér-Rao-Ungleichung für den Mittelwert µ der Normalverteilung und die Wahrscheinlichkeit p exakt ist. Die Schwankungen ergeben sich durch den Vergleich mit der
numerischen Monte-Carlo-Abschätzung. Für σ und r zeigt sich, dass die Varianz asymptotisch korrekt eingeschätzt wird, allerdings mit unterschiedlichen Konvergenzraten.
Da die Konvergenzraten von den jeweiligen Verteilungen, Parametern und Parameterwerten abhängig sind, sollte vor einer Anwendung der IUP untersucht werden, ob die
Kostenschätzung mit der Cramér-Rao-Ungleichung im jeweiligen Fall anwendbar ist.
Dies kann durch einen Vergleich mit einer Monte-Carlo-Abschätzung überprüft werden,
wie in diesem Abschnitt gezeigt wurde.
11.2 Unschärfepropagierung
Für die Evaluation der UP wird in Annahme 8 [S. 29] davon ausgegangen, dass Gaußprozesse für die Regression von Simulationen geeignet sind. Es soll also nicht evaluiert
werden, wie gut Gaußprozesse Simulationen approximieren können, sondern vielmehr
wie gut die approximative UP von Girard [Gir04] die exakte UP abschätzt.
Gaußprozesse stellen Verteilungen von Funktionen dar und es wird davon ausgegangen,
dass die zu approximierenden Funktionen, die durch Simulationsmodelle berechnet werden, Realisierungen von Gaußprozessen sind (Annahme 22 auf Seite 116). Aus diesem
Grund lassen sich zufällige Realisierungen von Gaußprozessen als synthetische Funktionen für die Evaluation der UP heranziehen. Diese synthetischen Funktionen repräsentie-
11.2 Unschärfepropagierung
159
ren somit synthetische Simulationen und lassen sich mit einem Gaußprozess generieren.
Dies wurde in Beispiel 15 [S. 114] bereits exemplarisch dargestellt.
Synthetische Funktionen lassen sich für eine beliebige Zahl D von Eingaben erstellen
und für jede Funktion lässt sich eine Menge von N Beobachtungen B = {(xi ,ti )}N
i=1
D
mit xi ∈ R generieren. Für die Erzeugung der synthetischen Funktionen muss eine
konkrete Kovarianzfunktion gewählt werden. In dieser Evaluation wird die gaußsche
Kovarianzfunktion (8.2) [S. 117] verwendet, da diese in der Literatur ausgiebig evaluiert
wurde und für die Approximation von glatten Funktionen gut geeignet ist [Ras96]. Für die
Hyperparameter dieser Kovarianzfunktion werden willkürlich W−1 = diag(0.04, . . . ,0.04)
bzw. W−1 = diag(0.01, . . . ,0.01), v = 2 und vt = 0.01 gewählt. Für die Beobachtungen
B werden die xi zufällig und gleichverteilt aus der Menge [0, 10]D gewählt. Die ti sind
dann die Werte einer synthetischen Funktion f für die Eingaben xi . Die Beobachtungen
B = {(xi ,ti )}N
i=1 der synthetischen Funktion f werden dann für die Regression mit
einem weiteren Gaußprozess verwendet. Auf diese Weise wird die Annahme, dass die zu
approximierende Funktion eine Realisierung eines Gaußprozesses ist, für die Generierung
von zufälligen Funktionen für die Evaluation genutzt.
Die Abbildungen 11.2 auf der nächsten Seite und 11.3 [S. 161] zeigen die Ergebnisse der Evaluation für verschiedene N und D. Abbildung 11.2 zeigt die Resultate
für W−1 = diag(0.04, . . . ,0.04) und Abbildung 11.3 zeigt die Ergebnisse für W−1 =
diag(0.01, . . . ,0.01). Dabei wird der relative Fehler der approximativen UP im Vergleich
zur exakten UP jeweils in Abhängigkeit von einer Eingabestandardabweichung σ dargestellt. Diese Standardabweichung gilt für alle Eingaben. Somit ist Σ u = diag(σ 2 , . . . σ 2 ).
Für jeden Wert wurden 100 Messungen mit zufälligen synthetischen Funktionen durchgeführt. Diese Anzahl an Messungen wurde gewählt, da sie eine gute Einschätzung des
mittleren relativen Fehlers ermöglicht. In den Abbildungen sind jeweils Mittelwert und
Standardabweichung des relativen Fehlers dargestellt.
Die Ergebnisse zeigen, dass die Güte der approximativen UP von vielen Faktoren abhängig ist. Für einen konkreten Anwendungsfall kann vor und nach einer Abschätzung
der kostenoptimalen Datenakquisestrategie mit der approximativen IUP ein Vergleich
zwischen approximativer UP und exakter UP durchgeführt werden, um die Genauigkeit der Ergebnisse einschätzen zu können. Dies ermöglicht eine Überprüfung ohne eine
aufwändige numerische exakte IUP durchführen zu müssen.
In Beispiel 19 [S. 144] wurde für das M/M/1-Warteschlangensystem eine kostenoptimale Datenakquisestrategie mit der approximativen IUP gefunden. Anschließend wurde
mit der exakten UP validiert, dass diese Strategie näherungsweise zu der gewünschten
Ausgabeunschärfe führt.
160
Kapitel 11 Evaluation der inversen Unschärfepropagierung
0.12
0.12
Approximative UP
Approximative UP
0.1
Relativer Fehler
Relativer Fehler
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
Standardabweichung der Eingaben
(a) D = 5, N = 100
0.09
Approximative UP
0.07
0.08
0.06
0.07
0.05
0.04
0.03
0.8
1
Approximative UP
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
Standardabweichung der Eingaben
0.025
0.4
0.6
0.8
1
Standardabweichung der Eingaben
(c) D = 10, N = 100
(d) D = 10, N = 200
0.035
Approximative UP
Approximative UP
0.03
Relativer Fehler
0.02
Relativer Fehler
0.6
(b) D = 5, N = 200
Relativer Fehler
Relativer Fehler
0.08
0.4
Standardabweichung der Eingaben
0.015
0.01
0.005
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Standardabweichung der Eingaben
(e) D = 20, N = 100
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Standardabweichung der Eingaben
(f) D = 20, N = 200
Abbildung 11.2: Genauigkeit der approximativen UP für W−1 = diag(0.04, . . . ,0.04)
11.2 Unschärfepropagierung
0.03
161
0.035
Approximative UP
Relativer Fehler
Relativer Fehler
Approximative UP
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
Standardabweichung der Eingaben
(a) D = 5, N = 100
0.035
0.04
Approximative UP
0.6
0.8
1
Approximative UP
0.035
0.03
0.025
Relativer Fehler
Relativer Fehler
0.4
(b) D = 5, N = 200
0.03
0.02
0.015
0.01
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0.005
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
Standardabweichung der Eingaben
0.05
0.4
0.6
0.8
1
(d) D = 10, N = 200
0.06
Approximative UP
0.045
0.2
Standardabweichung der Eingaben
(c) D = 10, N = 100
Approximative UP
0.05
0.04
0.035
Relativer Fehler
Relativer Fehler
0.2
Standardabweichung der Eingaben
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.04
0.03
0.02
0.01
0.005
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Standardabweichung der Eingaben
(e) D = 20, N = 100
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Standardabweichung der Eingaben
(f) D = 20, N = 200
Abbildung 11.3: Genauigkeit der approximativen UP für W−1 = diag(0.01, . . . ,0.01)
162
Kapitel 11 Evaluation der inversen Unschärfepropagierung
11.3 Inverse Unschärfepropagierung
Da die approximative IUP der approximativen UP keinen zusätzlichen Näherungsfehler
hinzufügt, wird im nächsten Abschnitt nur die Geschwindigkeit der approximativen IUP
mit einer numerischen exakten IUP verglichen und anhand von synthetischen Funktionen
evaluiert. Die Güte der approximativen IUP wurde in den Beispielen 19 [S. 144] und 20
[S. 150] bereits für das M/M/1-Warteschlangensystem evaluiert. In Abschnitt 11.3.2
wird die Güte der IUP abschließend für ein reales Beispiel evaluiert.
11.3.1 Evaluation der Geschwindigkeit
Für die Evaluation der Geschwindigkeit der approximativen IUP werden wieder synthetische Funktionen für verschiedene D (Anzahl an Eingaben) und verschiedene N (Anzahl
an Beobachtungen) verwendet. Die Kovarianzfunktion für die Generierung der synthetischen Funktionen entspricht der in Abschnitt 11.2 beschriebenen Kovarianzfunktion für
W−1 = diag(0.04, . . . ,0.04). Als Vergleich dient eine exakte numerische IUP, welche die
exakte UP von Girard [Gir04, GMS05] mit einer numerischen Optimierung kombiniert.
Für die numerische Optimierung wurde die Cobyla-Methode [Pow94] aus der SciPyBibliothek verwendet, da sich diese bei einer Evaluation aller Optimierungsmethoden
der SciPy-Bibliothek für dieses Problem als am effizientesten und zuverlässigsten herausgestellt hatte. Die Ausstattung des Testrechners entspricht der aus Abschnitt 6.5.1.
Um zu garantieren, dass für jede IUP durch eine synthetische Funktion eine Lösung existiert, wurde zunächst eine Eingabeunschärfe Σ u = diag(σ 2 , . . . σ 2 ) = (0.01, . . . , 0.01) mit
der UP durch die synthetische Funktion propagiert. Die resultierende Ausgabeunschärfe
wurde dann als gewünschte Ausgabeunschärfe für die IUP verwendet.
Für jeden Wert von D und N , der betrachtet wurde, wurden 25 Messungen mit unterschiedlichen synthetischen Funktionen durchgeführt. Abbildung 11.4 auf der nächsten
Seite zeigt jeweils den Mittelwert und die Standardabweichung der Messreihen. Es lässt
sich erkennen, dass die approximative IUP im Vergleich zur exakten IUP auch große
Probleme schnell lösen kann. Die Geschwindigkeit hängt bei der approximativen IUP
im Gegensatz zur exakten IUP nicht von der jeweiligen synthetischen Funktion ab, was
die geringe Standardabweichung zeigt. Die analytische Lösung der approximativen IUP
hängt dennoch quadratisch von N und D ab. N beeinflusst die verschachtelten Summen
in (10.4) [S. 142] und D bestimmt die Größe von Σ u , C′ und C′′ und die Anzahl an
Ableitungen (10.12) [S. 143], die für die approximative IUP benötigt werden.
11.3 Inverse Unschärfepropagierung
163
Als Vergleich wurde auch die Geschwindigkeit der approximativen UP in Abbildung 11.4
dargestellt. Der zusätzliche Aufwand für die approx. IUP gegenüber der UP besteht nur
aus der Bestimmung der Ableitungen (10.12).
120
80
Approx. IUP
Exakte IUP
Approx. UP
100
Approx. IUP
Exakte IUP
Approx. UP
70
60
Zeit (s)
Zeit (s)
80
60
50
40
30
40
20
20
10
0
0
0
20
40
60
Anzahl an Eingaben D
(a) N = 1000
80
100
0
1000
2000
3000
4000
5000
Anzahl an Beobachtungen N
(b) D = 5
Abbildung 11.4: Geschwindigkeit der IUP in Abhängigkeit von (a) D und (b) N
Methoden, die den Umgang mit einem unscharfen u ermöglichen, wie sie in Abschnitt 10.6
vorgestellt wurden, werden im Rahmen dieser Arbeit nicht ausführlich anhand von synthetischen Funktionen evaluiert. Hierfür eignen sich beliebige Methoden zur Unschärfepropagierung durch deterministische Funktionen, von denen einige bereits in Abschnitt 9.1
vorgestellt wurden. In Beispiel 20 [S. 150] wurde eine dieser Methoden exemplarisch für
die M/M/1- Warteschlange angewendet und im nächsten Abschnitt wird diese Methode
an einem weiteren Beispiel evaluiert. Für eine weiterführende ausführliche Evaluation
der Methoden zur Unschärfepropagierung durch deterministische Funktionen wird auf
die Arbeit von Lee und Chen [LC07] verwiesen.
Die Evaluation der Genauigkeit der approximativen IUP mit Hilfe von synthetischen
Funktionen erfolgte bereits indirekt durch die Evaluation der approximativen UP. Eine
direkte Evaluation der IUP mit synthetischen Funktionen ist nicht möglich, da die
Genauigkeit der IUP von der Unschärfe der Eingaben abhängig ist und somit nur indirekt
von der gewünschten Unschärfe der Ausgabe. Eine gewünschte Ausgabeunschärfe führt
für verschiedene synthetische Funktionen zu stark unterschiedlichen Eingabeunschärfen
und somit zu einer stark schwankenden Güte der Approximation. Es muss also immer im
Einzelfall nach einer IUP durch eine exakte UP verifiziert werden, ob die approximative
IUP anwendbar ist.
164
Kapitel 11 Evaluation der inversen Unschärfepropagierung
11.3.2 Evaluation an einem realen Beispiel
Für dieses Beispiel wird eine Simulation aus einem realen Szenario verwendet, das auf
M2 etis (Massive Multiuser EvenT InfraStructure) [Fis14, FWL14] basiert. M2 etis ist eine
konfigurierbare Middleware, die für die Ereignisverarbeitung bei Onlinespielen konzipiert
wurde. Für eine automatisierte Suche nach einer optimalen Konfiguration der Middleware
werden ereignisorientierte Simulationen verwendet, welche die verteilte Ereignisverarbeitung für verschiedene Eingabewerte simulieren. Da die Suche nach den optimalen
Eingabewerten aufgrund der Komplexität der Simulation aufwändig ist, werden für die
Optimierung Surrogatmodelle, wie z. B. Gaußprozesse verwendet [Fis14].
Für dieses Beispiel wird mit dem M2 etis-Simulator die durchschnittliche Übertragungslatenz in einem Netzwerk für ein Content-Delivery-Szenario simuliert. Ein Netzwerk
bestehend aus 100 Knoten erhält Nachrichten eines einzelnen Servers über ein IPv6Netzwerk mit einer symmetrischen Bandbreite von 1 Gbit/s. Dabei können die Knoten
direkt mit dem Server kommunizieren. Die Nachrichten werden mit einer Frequenz von
10Hz gesendet und enthalten eine Nutzlast von 1024 Byte. Die Ankunft der Nachrichten
wird durch eine Bestätigungsnachricht an den Server gemeldet.
M2 etis versucht über die Optimierung mit Surrogatmodellen die optimalen Werte für
konfigurierbare Parameter zu finden. Im Gegensatz dazu soll in diesem Beispiel mit
der IUP eine Datenakquisestrategie gefunden werden, welche die zugrundeliegenden
Netzwerkeigenschaften für die Simulation kostenoptimal bestimmt. Dabei wird eine
Normalverteilung mit Mittelwert µ und Standardabweichung σ für die Modellierung
der Verzögerung im Netzwerk verwendet. Zusätzlich modelliert die Wahrscheinlichkeit
p den Paketverlust. Für dieses Beispiel wird davon ausgegangen, dass von früheren
Messungen eine grobe Abschätzung û∗ = (µ, σ, p) = (15.05, 5, 0.025) mit der Unschärfe
Σ u = diag(22 , 12 , 0.0052 ) existiert. Für die Erstellung eines Gaußprozesses werden 1000
Werte aus der Menge [0.1, 30] × [0, 10] × [0, 0.05] gezogen. Diese werden gemäß einem
Latin Hypercube Design [SWN03, S. 127] ausgewählt.
Für die unscharfe Eingabe û∗ war die Ausgabe der Simulation (durchschnittliche Übertragungslatenz) ungefähr 0.3037. Die kombinierte epistemische und aleatorische Ausgabeunschärfe (Standardabweichung), die mit der approximativen UP und dem Gaußprozess bestimmt wurde, war ungefähr 0.0411. Zum Vergleich wurde eine Monte-CarloPropagierung der Unschärfe mit 104 Beobachtungen direkt durch die Simulation durchgeführt. Dies ergab eine Ausgabeunschärfe von ca. 0.0417 (95%-Konfidenzintervall:
[0.0411, 0.0422]). Aus diesem Grund wird davon ausgegangen, dass die Regression mit
einem Gaußprozess in diesem Fall anwendbar ist.
Mit Hilfe der IUP soll nun die Anzahl an Messungen bestimmt werden, um eine Ausgabeunschärfe von 0.005 (Standardabweichung) zu erzielen. Dabei ist zu beachten, dass µ
11.3 Inverse Unschärfepropagierung
165
und σ Parameter derselben Verteilung sind und mit einer einzelnen Messreihe bestimmt
werden können (siehe Abschnitt 10.5).
Zunächst bleibt die Unschärfe von û∗ unberücksichtigt. Die Ergebnisse der approximativen und exakten IUP sind in Tabelle 11.1 aufgelistet. Dabei wird die geschätzte optimale
Anzahl Nµ,σ an Beobachtungen für die Abschätzung von µ und σ und die geschätzte
optimale Anzahl Np an Beobachtungen für die Bestimmung von p dargestellt. Ebenso ist
die Gesamtzahl an Beobachtungen dargestellt. Für die Verifikation der Anwendbarkeit
der approximativen IUP werden die gefundenen optimalen Lösungen mit der exakten UP
durch den Gaußprozess propagiert, um zu testen, ob die geforderte Ausgabeunschärfe
erreicht wird. Die Tatsache, dass auch die exakte IUP den gewünschten Ausgabewert
nicht exakt erreicht, liegt an der numerischen Optimierung, die in diesem Fall verwendet
wird.
Falls die Tatsache, dass µ und σ Parameter derselben Verteilung sind, nicht berücksichtigt
wird, wäre die Gesamtzahl an Beobachtungen, die nötig sind, um eine Ausgabeunschärfe
von 0.005 zu erreichen, ungefähr 25308.
Approx. IUP
Exakte IUP
Laufzeit
(s)
0.23
7.06
Nµ,σ
Np
8610
8620
9946
10239
Exakte
UP
0.0050079
0.0050004
Gesamtzahl
an Beob.
18556
18859
Tabelle 11.1: Inverse Unschärfepropagierung für M2 etis
Nun wird noch die Unschärfe Σ u = diag(22 , 12 , 0.0052 ) von û∗ berücksichtigt. Wie in Beispiel 20 [S. 150] wird diese Unschärfe mit Genz-Keister-Integrationsregeln [GK96] durch
die deterministische Funktion IUP(u,vout ) propagiert. Als Ausgabe wird dabei wieder die
geschätzte optimale Gesamtzahl an Beobachtungen betrachtet. Für die Approximation
der Ausgabeverteilung wird wieder das Pearson-System [Pea95] herangezogen. Als Vergleich dient eine Monte-Carlo Propagierung der Unschärfe Σ u durch IUP(u,vout ) mit 105
Funktionsauswertungen. Zusätzlich wird ein Pearson-System für die Ausgabeverteilung
mit der exakten IUP erstellt.
Die 95%-Konfidenzintervalle für die geschätzte optimale Gesamtzahl an Beobachtungen,
um eine Ausgabeunschärfe von 0.005 zu erreichen, werden in Tabelle 11.2 auf der nächsten
Seite aufgelistet. Die Verteilungen werden in Abbildung 11.5 auf der nächsten Seite
dargestellt. Es lässt sich erkennen, dass das Pearson-System in diesem Fall nur bedingt
geeignet ist, um die Ausgabeverteilung anzunähern. Für die Abschätzung der 95%Konfidenzintervalle ist es dennoch gut geeignet. Zudem ist die Abschätzung durch die
approximative IUP nahe an der exakten IUP.
166
Kapitel 11 Evaluation der inversen Unschärfepropagierung
Normalverteilung
Pearson-System
Pearson-System (exakte IUP)
Monte-Carlo
(12374,
(16163,
(16384,
(15138,
30768)
33668)
33485)
34833)
Tabelle 11.2: 95%-Konfidenzintervall für die Gesamtzahl an Beobachtungen
0.00014
0.00012
Monte-Carlo
Pearson
Pearson (exakte IUP)
Dichte
0.0001
8e-05
6e-05
4e-05
2e-05
0
10000
20000
30000
Gesamtzahl an Beobachtungen
40000
Abbildung 11.5: Verteilung der Gesamtzahl an Beobachtungen
11.4 Diskussion
In diesem Kapitel wurde diskutiert, dass die Annahmen 8 (Regression) und 9 (approximative Unschärfepropagierung) auf Seite 29 und Annahme 11 (Cramér-Rao-Ungleichung)
auf Seite 30 erfüllt sein müssen, damit die in dieser Arbeit vorgestellten Methoden
anwendbar sind. Es wurde beispielhaft gezeigt, dass die Gültigkeit der Annahmen im
Einzelnen für konkrete Probleme validiert werden muss, um eine Anwendbarkeit der approximativen IUP zu gewährleisten. Für die Evaluation der Annahmen 9 und 11 wurden
in diesem Kapitel Methoden aufgezeigt.
Abschließend muss noch Hypothese 3 [S. 30] überprüft werden. Diese besagte, dass die
kostenoptimale Datenakquisestrategie mit Hilfe von Surrogatmodellen und analytischen
Optimierungsverfahren effizient approximiert werden kann. Dabei sollte ein relativer
Fehler von 0.1 nicht überschritten werden. Die Effizienz der approximativen IUP wurde
11.4 Diskussion
167
bereits in Abschnitt 11.3.1 evaluiert. Die Evaluation der Genauigkeit der Approximation
geschieht anhand der M/M/1- und der M2 etis-Simulation.
Für die M2 etis-Simulation war die geforderte Ausgabeunschärfe 0.005 (Standardabweichung). Die approximative IUP führte zu einer Ausgabeunschärfe (bestimmt mit der
exakten UP) von 0.0050079. Dies entspricht einem relativen Fehler von ca. 0.0016.
Bei der M/M/1-Simulation wurde in Beispiel 20 [S. 150] eine Ausgabeunschärfe von
0.25 gefordert. Die approximative IUP erreichte eine Ausgabeunschärfe von 0.2505, was
einem relativen Fehler von 0.002 entspricht.
Für diese beiden Beispielszenarien trifft Hypothese 3 also zu. Da die approximative
IUP ausgehend von der approximativen UP das exakte Optimum findet, lässt sich
für weitere Szenarien feststellen, dass Hypothese 3 zutrifft, falls die Annahmen 8, 9
[S. 29] und 11 [S. 30] erfüllt sind und die approximative UP eine entsprechend genaue
Unschärfepropagierung ermöglicht.
Für die Propagierung der Unschärfe der groben initialen Abschätzung û∗ durch die Funktion IUP(u,vout ) wurde eine Kombination aus Genz-Keister-Integrationsregeln und dem
Pearson-System für die Abschätzung der 95%-Konfidenzintervalle für die Gesamtzahl an
Beobachtungen verwendet. Das Pearson-System ist allerdings nicht in jedem Fall zur Approximation der Ausgabeverteilung geeignet, wie in Abbildung 11.5 zu erkennen ist. Aus
diesem Grund muss in zukünftigen Arbeiten eine genauere Methode zur Abschätzung
der 95%-Konfidenzintervalle gefunden werden.
169
III
Epilog
171
12
Zusammenfassung, Diskussion und
Ausblick
In diesem Kapitel werden die Ergebnisse dieser Arbeit zusammengefasst. Außerdem wird
für die getroffenen Annahmen diskutiert, inwieweit diese die Allgemeingültigkeit der in
dieser Arbeit vorgestellten Lösungsansätze einschränken. Abschließend wird ein Ausblick
auf offene Fragestellungen und zukünftige Arbeiten gegeben.
12.1 Zusammenfassung
Die ursprüngliche Motivation dieser Arbeit war es, ein Datenverwaltungskonzept für
Simulationsmodelle zu entwerfen. Dafür wurden verschiedene Probleme identifiziert, die
in einem solchen Szenario auftreten.
Dabei lag der Fokus dieser Arbeit auf einer bedarfsgetriebenen Datenverwaltung, da
andernfalls die Anwendung eines DBMS für kleine Simulationsprojekte zu aufwändig
wäre. Sowohl der Schemaentwurf als auch die semantische Datenintegration sollten keinen initialen Aufwand erfordern und bedarfsgetrieben im Laufe des Simulationsprojekts
verbessert werden. Die gewünschte Qualität der Simulationsausgabe sollte als Steuerungsinstrument verwendet werden, um auch die Datensammlung bedarfsgetrieben zu
gestalten.
Zur besseren Übersichtlichkeit werden die in Kapitel 1 definierten Probleme und Hypothesen in diesem Abschnitt wiederholt.
12.1.1 Simulationsdatenmanagement
Der initiale Schemaentwurf ist laut Howe et al. [HCS+ 11, HHR+ 13] für viele Simulationsprojekte zu aufwändig. Aus diesem Grund wird häufig auf die Verwendung eines
DBMS für Simulationsdaten verzichtet. Dies wurde in Problem 1 [S. 19] festgehalten.
Problem 1. Wie lässt sich ein generisches und erweiterbares Schema entwerfen, welches
der Speicherung von Eingabewerten für agentenbasierte und SD-Simulationen dient?
172
Kapitel 12 Zusammenfassung, Diskussion und Ausblick
Um dieses Problem zu lösen, wurde in dieser Arbeit ein generisches Schema basierend
auf EAV/CR entwickelt, das die Speicherung von Eingabedaten für agentenbasierte und
SD-Simulationen ermöglicht. Die Daten werden dabei als einzelne Fakten gespeichert und
können über beliebige Attribute annotiert werden. Um zu gewährleisten, dass das generische Schema mächtig genug ist, um die Eingabedaten von beliebigen agentenbasierten
und SD-Simulationen speichern zu können, wurde Hypothese 1 [S. 25] aufgestellt.
Hypothese 1. Alle Eingabewerte von agentenbasierten und SD-Simulationen lassen sich
als Tupel von Fakten mit jeweils einem Attribut u ∈ R darstellen.
Diese Hypothese wurde anhand von formalen Modellen für agentenbasierte und SDSimulationen bestätigt. Auf diese Weise können die Eingabedaten einer Simulation initial als einfache Fakten gespeichert werden. Es ist also kein Schemaentwurf notwendig.
Dabei ist zu beachten, dass bei der Verwendung eines domänenunabhängigen generischen
Schemas die semantische Kontrolle über die Daten verloren geht. Bei der Speicherung
der reinen Fakten fehlt die Information über deren Semantik. Bei Bedarf können den
Fakten allerdings weitere benutzerdefinierte Attribute hinzugefügt werden. Dadurch können dynamisch domänenspezifische Referenzmodelle erstellt werden. Die Verantwortung
für diese Modelle wird in dieser Arbeit allein dem Benutzer überlassen. Es wurde jedoch
exemplarisch ein Schema für die Speicherung von Klassifikationshierarchien vorgestellt.
Dieses Schema erlaubt die Erstellung von benutzerdefinierten Klassifikationshierarchien, welche als Referenzmodelle für die Beschreibung der Semantik der Fakten dienen
können.
Für die Implementierung des generischen Schemas in einem DBMS wurde Hypothese 2
[S. 26] aufgestellt.
Hypothese 2. Es gibt nicht-relationale Datenmodelle, die inhärent schemafrei sind und
die Verarbeitung von EAV/CR-Daten gegenüber der relationalen EAV/CR-Abbildung beschleunigen.
Anhand eines Benchmarks mit einer synthetischen Arbeitslast, die auf den Charakteristika des Projekts ProHTA basiert, wurde gezeigt, dass es nichtrelationale DBMS gibt,
mit denen EAV-basierte Schemata effizienter implementiert werden können als mit relationalen Datenbanken. Die Ergebnisse dieser Evaluation wurden in Abschnitt 6.5.5
diskutiert.
Ein weiteres Problem, das im Rahmen dieser Arbeit gelöst werden sollte, war die bedarfsgetriebene semantische Integration.
Problem 2. Wie lassen sich Simulationseingabedaten automatisiert technisch integrieren und mittels Volltextsuche durchsuchbar machen, mit der zusätzlichen Möglichkeit,
die Daten bei Bedarf semantisch zu integrieren?
12.1 Zusammenfassung
173
Dieses Problem wurde exemplarisch für Fakten gelöst, die in Pivot-Tabellen gespeichert
sind. Dabei werden für die Integration einer Pivot-Tabelle sowohl die enthaltenen Fakten in die Datenbank übertragen als auch die Informationen über ihr ursprüngliches
Schema. Für die semantische Integration wurden Entitätstypen entworfen, mit denen
das ursprüngliche Schema der Pivot-Tabellen mit semantischen Informationen annotiert
werden kann. Allerdings ist der vorgestellte Ansatz generisch und nicht nur auf PivotTabellen beschränkt. Somit lässt sich diese Lösung bei Bedarf um weitere Arten von
Datenquellen erweitern. Für diese Erweiterung müssen Spezialisierungen der generischen
Entitätstypen für die semantische Integration, Adapter für das Einlesen der Datenquellen
und Transformatoren für die Integration implementiert werden.
Zusätzlich zu einem generischen Schema und einer bedarfsgetriebenen semantischen Integration sollten die konzeptuellen Simulationsmodelle zusammen mit den Daten in einem
DBMS verwaltet werden. Auf diese Weise können Daten und Modelle verknüpft werden
und später für die automatische Generierung von Gerüsten für lauffähige Simulationen
verwendet werden. Diese Idee wurde in Problem 3 [S. 22] festgehalten.
Problem 3. Wie lassen sich konzeptuelle Simulationsmodelle in einer Datenbank speichern und für die Annotation der Daten verwenden?
Dieses Problem wurde exemplarisch für UML-Zustandsdiagramme gelöst, indem eine
existierende RDF-Ontologie zur Speicherung von Zustandsdiagrammen auf Entitätstypen
abgebildet wurde.
12.1.2 Unschärfepropagierung
Um die Qualität der Simulationsausgabe als Steuerungsinstrument für eine bedarfsgetriebene Datenakquisition verwenden zu können, mussten zunächst die relevanten
Datenqualitätsdimensionen identifiziert werden. Dies wurde in Problem 4 [S. 23] festgehalten.
Problem 4. Welche Datenqualitätsdimensionen sind für Eingabewerte und Simulationsausgaben relevant und wie lassen sich diese Dimensionen messen?
Für die aus der Literatur bekannten Datenqualitätsdimensionen wurde diskutiert, inwieweit diese für Simulationen relevant sind. Dabei wurde die Unschärfe als die wichtigste
Datenqualitätsdimension für Eingabewerte und Ausgabewerte von Simulationen identifiziert. Die Betrachtung der Unschärfe der Ein- und Ausgabe erfordert eine Propagierung
der Unschärfe durch die Simulation. Dies wurde in Problem 5 [S. 23] beschrieben.
174
Kapitel 12 Zusammenfassung, Diskussion und Ausblick
Problem 5. Wie lässt sich die Güte der Simulationsausgabe anhand der Qualität der
Eingabewerte bestimmen?
Um den Zusammenhang zwischen der Unschärfe der Eingabewerte und der Unschärfe der
Ausgabewerte bestimmen zu können, wurden existierende Methoden der Unschärfepropagierung vorgestellt. Als Grundlage für diese Arbeit wurde dabei eine Methode gewählt,
welche auf der Approximation der Simulationsausgabe durch Gaußprozesse basiert.
Die Frage nach einer bedarfsgetriebenen Datenakquisition wurde in Problem 6 [S. 23]
festgehalten.
Problem 6. Wie lässt sich die Datensammlung steuern, so dass mit minimalem Aufwand die geforderte Qualität der Simulationsausgabe erreicht wird?
Im Laufe der Arbeit wurde dieses Problem weiter konkretisiert, indem die bedarfsgetriebene Datenakquisition als Optimierungsproblem formalisiert wurde. Als Lösung für
dieses Problem wurde in Hypothese 3 [S. 30] vorgeschlagen, Surrogatmodelle für die
Approximation der Simulationsausgabe und die Unschärfepropagierung zu verwenden
und das Optimierungsproblem analytisch zu lösen.
Hypothese 3. Die kostenoptimale Strategie zur Datenakquise kann mit Hilfe von Surrogatmodellen und analytischen Optimierungsverfahren effizient näherungsweise mit einem maximalen relativen Fehler von r gefunden werden.
Im Laufe der Arbeit wurde diese Hypothese durch Annahmen weiter konkretisiert. Die
analytische Lösung für das Optimierungsproblem wurde im Rahmen dieser Arbeit entwickelt und vorgestellt. Abschließend wurde Hypothese 3 anhand von synthetischen
Funktionen und zwei Beispielen evaluiert. Die Ergebnisse dieser Evaluation wurden in
Abschnitt 11.4 diskutiert.
12.2 Diskussion der getroffenen Annahmen
In diesem Abschnitt wird für die getroffenen Annahmen diskutiert, inwieweit diese
zutreffend sind und wie die Allgemeingültigkeit der vorgestellten Methoden durch die
Annahmen eingeschränkt wird. Zudem wird beschrieben, wie die Methoden in dieser
Arbeit erweitert werden können, um einzelne Annahmen zu relaxieren. Eine Übersicht
über die getroffenen Annahmen befindet sich am Ende dieser Arbeit [S. 241].
12.2 Diskussion der getroffenen Annahmen
175
12.2.1 Simulationsdatenmanagement
Annahmen 1 und 2 [S. 24] befassen sich damit, dass ein domänenspezifischer Schemaentwurf für Simulationen zu aufwändig ist. Dies wird damit begründet, dass der Aufwand,
für jede Simulation ein eigenes Schema zu entwerfen, zu groß ist und dass kein festes domänenspezifisches Schema im Voraus für mehrere Simulationen entworfen werden kann.
Diese Annahmen wurden mit Verweisen auf die Literatur [HCS+ 11, HHR+ 13] begründet.
Falls diese Annahmen nicht zutreffen sollten, so kann das in dieser Arbeit vorgestellte
Schema dennoch angewendet werden. Die Annahmen schränken die Allgemeingültigkeit
der vorgestellten Methoden also nicht ein, sondern dienen nur als Motivation für die
Verwendung eines generischen Schemas.
Bei der Verwendung eines generischen domänenunabhängigen Schemas geht allerdings
die semantische Kontrolle verloren. Es werden keine Informationen über die Bedeutung
der Daten gespeichert. Die Beschreibung der Daten wird in dieser Arbeit dem Benutzer
überlassen, der die Fakten mit weiteren Attributen annotieren kann. Allerdings erlaubt
dies nicht, die Einhaltung von semantischen Regeln zu kontrollieren und die Konsistenz
des Datenbestandes zu garantieren. Die Verantwortung für die Konsistenz der Daten
wird also auch dem Benutzer überlassen.
Die Annahmen 3 [S. 25], 13 [S. 76] und 14 [S. 82] befassen sich mit den Eigenschaften der
Daten, die für die Evaluation der Implementierungsalternativen für das EAV-basierte
Schema relevant sind. Diese Annahmen beruhen auf den Eigenschaften der Daten im
Projekt ProHTA. Falls diese nicht zutreffend sein sollten, muss der Benchmark mit einem
entsprechend angepassten Lastprofil erneut durchgeführt werden und Hypothese 2 [S. 26]
muss erneut evaluiert werden.
Die Annahmen 4 und 5 [S. 27] betreffen die bedarfsgetriebene Integration von Daten,
schränken die Typen von betrachteten Daten auf Pivot-Tabellen ein und definieren die
semantische Integration von Pivot-Tabellen. Da die in dieser Arbeit vorgestellte Lösung
für die semantische Integration generisch ist und für andere Datenmodelle erweitert
werden kann, schränken diese Annahmen die Allgemeingültigkeit nicht ein, sondern
dienen nur dazu, die in dieser Arbeit zu bearbeitende Problemstellung einzugrenzen.
Annahme 6 [S. 27] beschreibt, dass EAV/CR mächtig genug ist, um Simulationsmodelle
speichern zu können. Falls diese Annahme nicht zutreffen sollte, so wären die in dieser
Arbeit beschriebenen Methoden nicht in der Lage, Problem 3 [S. 22] zu lösen. Allerdings
ist RDF und auch XML trivial auf EAV/CR abbildbar, was zeigt, dass die Annahme
in den meisten Fällen gerechtfertigt ist, da die meisten Simulationsmodelle in XML
gespeichert werden können.
176
Kapitel 12 Zusammenfassung, Diskussion und Ausblick
Für die Evaluation von Hypothese 1 [S. 25] wird in Annahme 12 [S. 49] vorausgesetzt, dass
für kontinuierliche Verteilungen nur die Parameter von exakten Verteilungsfunktionen
gespeichert werden. Falls dies nicht der Fall ist, zum Beispiel wenn die Beobachtungen
der Verteilung selbst gespeichert werden sollen, so reichen unter Umständen Fakten als
Entitätstyp für die Speicherung der Daten nicht mehr aus. Das generische Schema ist
allerdings mächtig genug, um Rohdaten speichern zu können, indem für jeden Datensatz
der entsprechende domänenspezifische Entitätstyp entworfen wird. Das bedeutet jedoch,
dass für die Speicherung von Rohdaten ein initialer domänenspezifischer Schemaentwurf
nötig ist.
12.2.2 Unschärfepropagierung
In Annahme 7 [S. 28] wird davon ausgegangen, dass die Unschärfe die wichtigste Datenqualitätsdimension für Simulationen ist. Dies wurde im Rahmen dieser Arbeit begründet
und schränkt die erzielten Ergebnisse auf diese Datenqualitätsdimension ein. Falls diese
Annahme nicht zutrifft und weitere Datenqualitätsdimensionen für die Ein- und Ausgabedaten von Simulationen betrachtet werden müssen, so müssen die Methoden, die
in dieser Arbeit vorgestellt wurden, erweitert werden. Dazu können die entwickelten
Methoden als Baustein in existierende Frameworks für das Datenqualitätsmanagement
eingebettet werden. Ein Beispiel für ein solches flexibles Framework ist TDQM (Total
Data Quality Management) [WZL02]. Dabei werden Datenqualitätsregeln kontinuierlich
ausgewertet, angepasst und für die Verbesserung der Datenqualität verwendet.
In den Annahmen 8 und 9 [S. 29] wird vorausgesetzt, dass Gaußprozesse eine Analyse der Ausgabeunschärfe von Simulationen mit ausreichender Genauigkeit erlauben.
Dies wird mit den weiteren Annahmen 22 [S. 116] und 24 [S. 127] konkretisiert. In der
Evaluation in Kapitel 11 wurde gezeigt, wie überprüft werden kann, ob Annahme 9
für einen bestimmten Anwendungsfall zutrifft. Ebenso kann Annahme 8 mit einer Evaluation der Genauigkeit der Regression mit Gaußprozessen für ein konkretes Szenario
überprüft werden. Falls diese Annahmen nicht zutreffen sollten, so müssten numerische
Methoden für die Unschärfepropagierung und für die Suche nach der kostenoptimalen
Datenakquisestrategie verwendet werden. Die Evaluation zeigte jedoch, dass numerische Optimierungsmethoden für komplexe Simulationen zu ineffizient sind. Die Suche
nach einer kostenoptimalen Datenakquisestrategie ist also ohne die Entwicklung weiterer
Methoden für komplexe Simulationen, welche die getroffenen Annahmen nicht erfüllen,
nicht möglich.
Für die Regression mit Gaußprozessen wird in Annahme 23 [S. 116] davon ausgegangen,
dass die Mittelwertfunktion des Gaußprozesses konstant 0 ist. Die in dieser Arbeit
vorgestellten Methoden können auf weitere Mittelwertfunktionen erweitert werden. Die
12.2 Diskussion der getroffenen Annahmen
177
Regression mit Gaußprozessen mit komplexeren Mittelwertfunktionen wird beispielsweise
von Santner et al. beschrieben [SWN03]. Allerdings muss für diese Gaußprozesse die
Unschärfepropagierung erneut hergeleitet werden, was eine erneute Bestimmung eines
analytischen Optimierungsverfahrens für die inverse Unschärfepropagierung erfordert.
Für die Datensammlung wird in den Annahmen 10 [S. 30] und 18 [S. 105] davon ausgegangen, dass sie aus dem Sammeln von Beobachtungen einer Verteilung und der Abschätzung
von Verteilungsparametern mittels MLE besteht. Falls diese Annahmen nicht zutreffen
sollten, so muss für die Suche nach einer kostenoptimalen Datenakquisestrategie eine
neue Kostenfunktion definiert werden und das Optimierungsproblem kann nicht mehr
mit den in dieser Arbeit beschriebenen analytischen Methoden gelöst werden.
In Annahme 15 [S. 104] wird davon ausgegangen, dass die Beobachtungen einer exakten
Verteilung entsprechen. Zusätzlich wird davon ausgegangen, dass die Daten von anderen
Datenqualitätsproblemen bereinigt sind und die Unschärfe und Richtigkeit der Parameterschätzung nur vom Schätzer abhängig sind (Annahme 17 auf Seite 105). Falls diese
beiden Annahmen nicht zutreffen sollten, so müssten weitere Quellen von Unschärfe
berücksichtigt werden und die in dieser Arbeit vorgestellten Methoden müssten in zukünftigen Arbeiten entsprechend erweitert werden. Falls der Einfluss dieser weiteren
Quellen von Unschärfe nur gering ist, so können die in dieser Arbeit beschriebenen
Methoden zumindest für grobe Abschätzungen verwendet werden.
Für die Kostenfunktion wird in Annahme 11 [S. 30] davon ausgegangen, dass die CramérRao-Ungleichung eine adäquate Abschätzung der Kosten der Datensammlung liefert. Dies
wird in Annahme 16 [S. 104] konkretisiert. Für diese Annahmen wurde in Kapitel 11
eine Methode vorgestellt, wie sich überprüfen lässt, ob sie zutreffend sind. Falls dies
nicht der Fall ist, wenn zum Beispiel die betrachteten Stichprobengrößen zu gering sind,
so müssen alternative Kostenfunktionen gefunden werden. Dies führt dazu, dass das
Optimierungsproblem nicht mehr mit dem in dieser Arbeit beschriebenen analytischen
Lösungsverfahren gelöst werden kann.
In Annahme 19 [S. 107] wird davon ausgegangen, dass bereits eine grobe Abschätzung
für die realen Parameterwerte existiert. Falls dies nicht der Fall sein sollte, so muss eine
initiale Sammlung von Beobachtungen durchgeführt werden, für die keine kostenoptimale
Strategie gefunden werden kann. Falls die initiale Abschätzung zu ungenau ist, so dass
die unscharfen Aussagen über die kostenoptimale Datenakquisestrategie keine genaue
Planung der Datensammlung ermöglichen, so kann das Verfahren der inversen Unschärfepropagierung iterativ für die Verbesserung der Datenqualität angewendet werden.
Die Annahmen 20 und 21 [S. 109] beschreiben, dass die Parameter der einzelnen Verteilungen orthogonal zueinander sein müssen. Falls dies nicht zutrifft, so kann eine lokale
Orthogonalisierung durchgeführt werden. Ob dies eine ausreichende Genauigkeit der
178
Kapitel 12 Zusammenfassung, Diskussion und Ausblick
Abschätzungen ermöglicht, muss im Einzelfall evaluiert werden. Um die Annahme der
Orthogonalität relaxieren zu können, müsste das in dieser Arbeit vorgestellte Verfahren
für den Fall erweitert werden, dass Σ u keine Diagonalmatrix ist.
12.3 Ausblick
Aufgrund der Breite der Fragestellungen konnte im Rahmen dieser Arbeit nicht jedes
betrachtete Problem umfassend gelöst werden. In diesem Abschnitt werden einige der
offenen Forschungsfragen vorgestellt.
12.3.1 Simulationsdatenmanagement
Die bedarfsgetriebene Datenintegration und die Speicherung von Simulationsmodellen
konnte im Rahmen dieser Arbeit nur beispielhaft gelöst werden. Dafür mussten die
ursprünglichen Probleme durch Annahmen eingeschränkt werden. In weiteren Arbeiten
müsste der Ansatz für die bedarfsgetriebene Datenintegration für Simulationsdaten
weitergeführt und für verschiedene Datenmodelle umgesetzt werden. Anschließend müsste
der Ansatz umfassend hinsichtlich Mächtigkeit und Benutzerfreundlichkeit evaluiert
werden. Alleine die Evaluation der Verringerung des Arbeitsaufwands bei der manuellen
Integration gegenüber herkömmlichen Methoden stellt eine große Herausforderung dar.
Für die Speicherung von Simulationsmodellen sollten neben Zustandsdiagrammen noch
weitere standardisierte Modelltypen umgesetzt werden und es sollte eine Übersetzung
der Modelle in Gerüste für lauffähige Simulationen implementiert werden.
In dieser Arbeit wurde es alleine dem Benutzer überlassen, die domänenspezifischen
semantischen Referenzmodelle zu erstellen, welche die Beschreibung der Bedeutung von
Fakten ermöglichen. Es wurde exemplarisch aufgezeigt, wie Klassifikationshierarchien
und Simulationsmodelle als semantische Modelle gespeichert werden können. Dennoch
sollte in weiteren Arbeiten eine Methode entworfen werden, die den Anwender bei der
Erstellung und Verwaltung von semantischen Referenzmodellen unterstützt. Dabei könnten Techniken des semantischen Internets benutzt werden, um existierende Ontologien
für bestimmte Domänen wiederzuverwenden. Zusätzlich muss eine Möglichkeit gefunden
werden, wie die Einhaltung semantischer Regeln garantiert werden kann, wenn sie nicht
mehr über ein domänenspezifisches Schema kontrolliert werden.
Ein weiteres Problem ist die Evolution der semantischen Referenzmodelle. Es ist durchaus
üblich, dass sich beispielsweise Klassifikationshierarchien im Laufe der Zeit verändern.
In weiteren Arbeiten sollten Möglichkeiten gefunden werden, wie die Modelle, die den
12.3 Ausblick
179
Daten eine Bedeutung verleihen, versioniert werden können. Dabei muss berücksichtigt
werden, dass bestehende Daten ihre Gültigkeit nicht verlieren dürfen und alle Simulationsergebnisse reproduzierbar bleiben.
Die Evaluation der verschiedenen Alternativen für die Implementierung des generischen
Schemas sollte in zukünftigen Arbeiten weitergeführt werden. Einerseits muss eine realistische Arbeitslast gefunden werden, die aus Daten und Anfragen besteht, welche die
Anforderungen der typischen Anwendungsszenarien wiederspiegeln. Andererseits müssen
auch weitere Implementierungsalternativen umgesetzt und evaluiert werden. Das Ziel
sollte ein Kriterienkatalog sein, anhand dessen ein Anwender aufgrund der Charakteristika des jeweiligen Szenarios die für ihn effizienteste Implementierungsalternative finden
kann.
12.3.2 Unschärfepropagierung
Wie bei der Diskussion über die getroffenen Annahmen schon angedeutet, sollten die Verfahren dieser Arbeit für Gaußprozesse mit komplexeren Mittelwertfunktionen erweitert
werden, um eine größere Bandbreite von Funktionen approximieren zu können. Hierfür
müssen die Gleichungen für die Unschärfepropagierung und die inverse Unschärfepropagierung erneut hergeleitet werden.
Ebenso kann versucht werden, weitere Annahmen zu relaxieren, indem beispielsweise bereits unscharfe Daten für die Parameterbestimmung mittels MLE berücksichtigt werden.
Ebenso sollten die Verfahren auf nicht-orthogonale Parameter erweitert werden.
Neben der Relaxierung der getroffenen Annahmen gibt es noch weitere Verbesserungen,
die umgesetzt werden könnten. Für die Optimierung könnte beispielsweise berücksichtigt werden, dass unter Umständen bereits Messungen vorliegen. Dies lässt sich mit
den Methoden dieser Arbeit dadurch realisieren, dass die inverse Unschärfepropagierung
zunächst normal angewendet wird. Falls für einen Eingabeparameter bei der resultierenden kostenoptimalen Datenakquisestrategie weniger Messungen nötig sind als bereits
vorliegen, so wird die Unschärfe von diesem Parameter als fix angenommen (basierend
auf den vorliegenden Messungen) und die inverse Unschärfepropagierung kann erneut
durchgeführt werden. So kann auch bei bereits vorliegenden Messungen iterativ die kostenoptimale Datenakquisestrategie gefunden werden. In weiteren Arbeiten sollten die
bereits vorliegenden Messungen direkt berücksichtigt werden, um direkt die optimale
Strategie zu finden.
Eine weitere mögliche Verbesserung der Kostenfunktion ist die Berücksichtigung der
initialen Kosten einer Messreihe. Die bisherige Kostenfunktion geht davon aus, dass jede
Messung einen bestimmten Kostenwert verursacht. In der Realität verursacht jedoch eine
180
Kapitel 12 Zusammenfassung, Diskussion und Ausblick
Messreihe oft auch initiale Kosten für die Vorbereitung. Dies erzeugt ein kombinatorisches
Problem, da für jeden Parameter entschieden werden muss, ob eine neue Messreihe
durchgeführt werden soll oder nicht. Für die Lösung dieses Problems sollten die Methoden
dieser Arbeit mit Verfahren für ganzzahlige Optimierung und mit Heuristiken kombiniert
werden.
Um die Unschärfe der groben initialen Parameterschätzung berücksichtigen zu können,
wurden in dieser Arbeit Methoden der numerischen Integration angewendet, mit denen
die initiale Unschärfe durch die inverse Unschärfepropagierung propagiert werden konnte.
In weiteren Arbeiten sollte untersucht werden, ob eine analytische Propagierung der
initialen Unschärfe möglich ist.
Das in dieser Arbeit vorgestellte Verfahren erlaubt es, unter Berücksichtigung der Unschärfe der groben initialen Parameterschätzung die Kosten einer Datensammlung abzuschätzen. In Abschnitt 10.7 wurden anschließend Ansätze für die Suche nach der
optimalen Datenakquisestrategie vorgestellt, die diese initiale Unschärfe berücksichtigen können. Die vorgeschlagenen Ansätze erlauben bereits die iterative Suche nach der
optimalen Strategie für die Datensammlung. Allerdings sollte in weiteren Arbeiten untersucht werden, wie diese optimale Strategie näherungsweise direkt gefunden werden
kann. Dafür muss für eine Datenakquisestrategie effizient bestimmt werden können, mit
welcher Wahrscheinlichkeit die gewünschte maximal tolerierbare Unschärfe der Simulationsausgabe erreicht oder unterschritten wird.
181
Anhang
183
A
Notation
Die Notation in dieser Arbeit orientiert sich an Petersen und Pedersen [PP12] und Girard
[Gir04]. Dabei wird für Zahlen der Dezimalpunkt als Dezimaltrennzeichen verwendet.
δij
Kronecker-Delta: δij = 1 für i = j und δij = 0 für i ̸= j
x, µ
Skalare
x, µ
(Spalten)-Vektoren
xT
(Zeilen)-Vektor
Die Unterscheidung zwischen Spalten und Zeilenvektoren wird weggelassen, falls die Vektoren nicht für Matrixprodukte benötigt werden.
xi
i-tes Element des Vektors x
xi
Mit einem Parameter indizierter Vektor
(x,y)
Implizite Vektorkonkatenation: (x,y) = (x1 , . . . ,xn ,y1 , . . . ,yn )
A, Σ
Matrizen
Aij
Element von A in Zeile i und Spalte j
[A]ij
Element von A in Zeile i und Spalte j (Notation für Matrix-Ausdrücke)
Ai
Mit einem Parameter indizierte Matrix
A−1
Inverse Matrix
AT
Transponierte Matrix
|A|
Determinante der Matrix A
I
Einheitsmatrix: Iij = δij 1
0
Nullmatrix oder -vektor: [0]ij = 0
Die Größe von I und 0 ergibt sich aus dem jeweiligen Kontext.
Tr(A)
Spur der Matrix: Tr(A) =

i
Aii
184
Anhang A Notation
diag(x)
Diagonalmatrix: [diag(x)]ij = δij xi
diag(A)
Diagonalmatrix: [diag(A)]ij = δij Aij
A≥B
A ≥ B : ⇐⇒ A − B ist positiv semidefinit
A>B
A > B : ⇐⇒ A − B ist positiv definit
∇C(x)
Gradient: ∇C(x) =
C′ (x)
Alternative Schreibweise für den Gradienten
C′′ (x)
Hesse-Matrix: [C′′ (x)]ij =
||x1 − x2 ||2
Euklidische Distanz zwischen zwei Vektoren
Nµ,Σ
Mehrdimensionale Normalverteilung mit Mittelwert µ und Kovarianzmatrix Σ
x∼p
Die Zufallsvariable x hat die Verteilung p
p(x)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Verteilung p an der Stelle x
Ex [f (x)]
Erwartungswert: Ex [f (x)] =
p(x|y)
Wahrscheinlichkeitsdichte der Verteilung p an der Stelle x unter der
Bedingung, dass y gegeben ist
⌈x⌉
Die kleinste Zahl ∈ Z, die größer oder gleich x ist
B⊗F
B und F sind σ-Algebren, B ⊗ F ist eine Produkt-σ-Algebra [HN01, S.
349]

∂C
∂C
, . . . , ∂x
∂x1
n
T
∂2C
∂xi ∂xj

Rn
f (x)p(x) dx falls x ∈ Rn und x ∼ p
Für eine Abbildung Φ : X × Y → Z, (x,y) →→ Φ(x,y) wird definiert:
Abbildung Φx : Y → Z, y →→ Φ(x,y)
Φx


Φ
x=1
(y)


Abbildung Φ
x=1
(y) : Y → Z, y →→ Φ(1,y)
185
B
Aggregationssemantik
In diesem Kapitel wird die Aggregation von durchschnittlichen Zeiten und Kosten in
Zustandsdiagrammen definiert. Zunächst werden nur Zustandsdiagramme betrachtet,
welche keine orthogonalen Regionen enthalten. Die Definition der Aggregationssemantik
wird dann in Abschnitt B.2 um parallele Regionen erweitert. Die für diese Definitionen
notwendige Wahrscheinlichkeit eines Pfades wird in Abschnitt B.3 definiert.
Der Einfachheit halber werden nur Zeiten und Kosten von Zuständen betrachtet. Die
Aggregation von Zeiten und Kosten von Transitionen oder von einer Kombination von
Transitionen und Zuständen kann dann darüber definiert werden, dass jede Transition
durch zwei synthetische Transitionen mit einem Zwischenzustand repräsentiert wird.
B.1 Aggregation von Fakten für einfache
Zustandsdiagramme
Es wird im Folgenden nicht zwischen Verzweigungen und einfachen Zuständen unterschieden. Jeder Zustand mit mehr als einer ausgehenden Transition ist eine Verzweigung.
Ein Zustandsdiagramm M ist ein Tupel M = (S,T ) mit einer Menge von Zuständen S
und einer Menge von Transitionen T ⊂ S × S. Es wird davon ausgegangen, dass M genau einen Start- und einen Endzustand besitzt. Der Startzustand hat keine eingehenden
Transitionen und der Endzustand hat keine ausgehenden Transitionen.
P ist die Menge aller möglichen Pfade durch M . Ein Pfad w ∈ P ist eine Liste von
Zuständen (s1 , . . . ,sn ), wobei zwischen zwei aufeinander folgenden Zuständen eine Transition (sk ,sk+1 ) ∈ T existiert. s1 ist dabei immer der Startzustand und sn ist immer der
Endzustand. Da in Zustandsdiagrammen Zyklen vorkommen dürfen, kann ein Zustand
in einem Pfad mehrfach vorkommen und P kann somit unendlich viele Pfade enthalten.
time(s) sei eine Funktion, welche zu einem Zustand die zugehörige durchschnittliche Dauer zurückliefert. Analog dazu liefert die Funktion cost(s) die durchschnittlichen Kosten
eines Zustands.
186
Anhang B Aggregationssemantik
Die durchschnittliche Zeit eines Pfades w ∈ P ist
time(w) =
time(s)

(B.1)
s∈w
Die durchschnittlichen Kosten eines Pfades w ∈ P sind
cost(w) =

cost(s)
(B.2)
s∈w
p(w) sei die Wahrscheinlichkeit des Pfades w mit w∈P p(w) = 1. Dann kann die aggregierte durchschnittliche Dauer von M nach dem Gesetz der iterierten Erwartungswerte
[Kü05] über die gewichtete Summe der durchschnittlichen Dauern der einzelnen Pfade
definiert werden:

time(M ) =

p(w) · time(w)
(B.3)
w∈P
Die aggregierten durchschnittlichen Kosten von M lassen sich analog definieren:
cost(M ) =

p(w) · cost(w)
(B.4)
w∈P
B.2 Aggregation von Fakten für orthogonale
Regionen
In diesem Abschnitt wird die Aggregation der durchschnittlichen Zeiten und Kosten für
einen zusammengesetzten Zustand C mit orthogonalen Regionen definiert. C besitzt r
orthogonale Regionen Ri mit i = 1 . . . r. Si sei die Menge der Zustände in der Region Ri .
S ∗ sei die Menge der Zustände außerhalb von C. Ti ⊂ Si × Si ist die Menge der Transitionen zwischen Zuständen in Ri . Ti∗ ⊂ Si × S ∗ ist die Menge der aus Ri ausbrechenden
Transitionen.
Es wird davon ausgegangen, dass jede Region genau einen Start- und einen Endzustand
besitzt.
Nun lässt sich ein einfaches Zustandsdiagramm Mpar ohne orthogonale Regionen definieren, welches dieselbe Semantik, wie C besitzt. Die Menge von Zuständen von Mpar ist
Spar = S1 × . . . × Sr .
Es wird die folgende Notation verwendet: s1i ∈ Si ist das i-te Element des Vektors
s1 ∈ Spar . Damit lässt sich nun die Menge der Transitionen Tpar definieren. Jede Transition
B.2 Aggregation von Fakten für orthogonale Regionen
187
in Tpar basiert auf genau einer Transition t ∈ i Ti in einer der orthogonalen Regionen

oder auf genau einer ausbrechenden Transition t∗ ∈ i Ti∗ :

Tpar = {(s1 ,s2 ) ∈ Spar × Spar |∃i ∈ {1, . . . ,r} : (s1i ,s2i ) ∈ Ti ∧ s1j = s2j ∀j ̸= i}
∪ {(s,f ) ∈ Spar × {f }|∃i ∈ {1, . . . ,r} : (si ,s∗ ) ∈ Ti∗ }
(B.5)
f = (f1 , . . . ,fr ) ist dabei der Endzustand in Spar , wobei fi der Endzustand von Si ist.
Der erste Teil von (B.5) bedeutet, dass für jede Transition (s1 ,s2 ) ∈ Tpar , die nicht auf
einer ausbrechenden Transition basiert, genau eine Transition (s1i ,s2i ) ∈ Ti in einer der
Regionen Ri existiert. s1 und s2 unterscheiden sich dabei nur an Position i (s1j = s2j ∀j ̸=
i). Der zweite Teil von (B.5) bedeutet, dass für jede Transition (s,f ) ∈ Tpar , die auf einer
ausbrechenden Transition basiert, genau eine Transition (si ,s∗ ) ∈ Ti∗ in einer Region Ri
existiert, wobei die i-te Position von s gleich si ist. Beispielsweise wird in Abbildung 5.4(b)
[S. 67] Mpar für den zusammengesetzten Zustand aus Abbildung 5.4(a) [S. 67] dargestellt.
“i” und “f” sind dabei die Start- und Endzustände in den jeweiligen Regionen. “i,i” und
“f,f” werden als Start- und Endzustand des gesamten Zustandsdiagramms dargestellt.
Ppar ist die Menge aller möglichen Pfade durch Mpar . Ein Pfad w ∈ Ppar ist wieder
eine Liste von Zuständen (s1 , . . . ,sn ), wobei aufeinander folgende Zustände durch eine
Transition verknüpft sind. s1 ist der Startzustand von Mpar und sn ist der Endzustand
von Mpar .
Jede Transition t ∈ Tpar im Pfad w basiert nach (B.5) auf genau einer Transition t ∈ i Ti
und nur die letzte Transition im Pfad w kann optional auch auf genau einer ausbrechen
den Transition t∗ ∈ i Ti∗ basieren. Die ursprünglichen Transitionen ti ∈ Ti und t∗i ∈ Ti∗
in den einzelnen Regionen ergeben nach (B.5) konkateniert selbst wieder Pfade. Ein
Pfad w ∈ Ppar basiert also auf Pfaden in den einzelnen Regionen w1 ∈ P1 , . . . , wr ∈ Pr .
Aus diesem Grund existiert eine Funktion Pi (w), welche zu dem Pfad w den zugehörigen
Pfad in Region Ri angibt. Beispielsweise bedeutet in Abbildung 5.4(b) [S. 67] der Pfad
((i,i),(A,i),(A,B),(A,f ),(f,f )), dass im ursprünglichen zusammengesetzten Zustand in
Abbildung 5.4(a) [S. 67] die Pfade (i,A,f ) und (i,B,f ) genommen wurden. Auf Grund der
ausbrechenden Transitionen müssen diese Pfade nicht zwangsweise den finalen Zustand
in Region Ri erreichen.

Nun lassen sich die aggregierte durchschnittliche Dauer und die aggregierten durchschnittlichen Kosten von Mpar = (Spar ,Tpar ) definieren.
Die aggregierte durchschnittliche Dauer eines Pfades w ∈ Ppar ist:
r
time(w) = max
i=1

s∈Pi (w)
time(s)
(B.6)
188
Anhang B Aggregationssemantik
Die durchschnittliche Dauer wird durch die langsamste Region in C bestimmt. Pfade, die
ausbrechende Transitionen enthalten, berücksichtigen dabei automatisch den Abbruch
der Ausführung von C. Dabei wird davon ausgegangen, dass auch bei ausbrechenden
Transitionen das Verweilen in einem einzelnen Zustand nicht unterbrochen werden kann
und somit die für die einzelnen Zustände bekannten durchschnittlichen Dauern nicht
teilbar sind.
Eine alternative Definition für den Fall, dass das Verweilen in einem Zustand durch eine
ausbrechende Transition unterbrochen werden kann, lautet folgendermaßen:
time(w) =


s∈Pi (w)
maxr
time(s)

s∈Pi (w)
i=1
Ausbrechende Transition in w in Ri
time(s) Keine ausbrechende Transition in w
(B.7)
Die aggregierten Kosten eines Pfades w ∈ Ppar sind:
cost(w) =
r

cost(s)

(B.8)
i=1 s∈Pi (w)
Dabei wird davon ausgegangen, dass die Kosten eines Zustandes auch dann voll anfallen,
wenn das Verweilen in diesem Zustand durch eine ausbrechende Transition unterbrochen
wird.
Die aggregierte Dauer von Mpar ist nun anlog zu (B.3) [S. 186] die gewichtete Summe
der Dauer der einzelnen Pfade:
time(Mpar ) =
p(w) · time(w)

(B.9)
w∈Ppar
Ebenso lassen sich die aggregierten Kosten von Mpar bestimmen:
cost(Mpar ) =

p(w) · cost(w)
(B.10)
w∈Ppar
p(w) ist wieder die Wahrscheinlichkeit des Pfads w mit

w∈Ppar
p(w) = 1.
B.3 Wahrscheinlichkeit von Pfaden
Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades wird durch die Wahrscheinlichkeiten der von Verzweigungen ausgehenden Transitionen bestimmt. Für jeden Zustand ist die Summe
der Wahrscheinlichkeiten der ausgehenden Transitionen gleich 1. Es soll wieder ein Zu-
B.3 Wahrscheinlichkeit von Pfaden
189
standsdiagramm M = (S,T ) betrachtet werden. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades
w = (s1 , . . . ,sn ) ist
p(w) =
n−1

p((sk ,sk+1 ))
(B.11)
k=1
Dabei ist (sk ,sk+1 ) eine Transition in T . Es soll davon ausgegangen werden, dass die
Wahrscheinlichkeiten der Transitionen für ein Zustandsdiagramm bekannt sind. Bei
Verzweigungen, die dadurch entstanden sind, dass ein zusammengesetzter Zustand mit
orthogonalen Regionen durch ein Zustandsdiagramm ohne Parallelität ersetzt wurde,
können die Wahrscheinlichkeiten der Verzweigungen folgendermaßen bestimmt werden:
p((sk ,sk+1 )) = pStep (sk ,i) · p(t)
(B.12)
Dabei wird davon ausgegangen, dass die Transition (sk ,sk+1 ) auf der Transition t ∈ i Ti ∪
 ∗
i Ti basiert, also auf einer Transition in Region Ri oder auf einer aus Ri ausbrechenden

Transition (siehe (B.5) [S. 187]). pStep (sk ,i) mit rj=1 pStep (sk ,j) = 1 repräsentiert dabei
die Wahrscheinlichkeit, dass im Zustand sk als nächstes eine Transition in Region Ri
stattfindet, und entspricht einer Scheduling-Strategie für die parallele Ausführung der
orthogonalen Regionen. Da davon ausgegangen wurde, dass p(t) bekannt ist, muss nur
die Scheduling-Wahrscheinlichkeit pStep (sk ,i) bestimmt werden. Diese ist abhängig von
der Ausführung der parallelen Regionen durch das jeweilige Simulationsprogramm und
kann beispielsweise auf Basis von Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Zeitdauern
der Zustände in den orthogonalen Regionen bestimmt werden. Beispielsweise können die
pStep (sk ,i) initial durch eine Monte-Carlo-Simulation des Zustandsdiagramms geschätzt
werden.

191
C
Abbildung der Anfragen
In diesem Kapitel werden die Anfragen aus Abschnitt 6.4 auf die Anfragesprachen der
jeweiligen Datenmodelle abgebildet. Dabei wird diskutiert, inwieweit die Anfragekomplexität von der Anzahl der Attribute d abhängig ist. Bei SQL wird für die Anfragekomplexität die Anzahl an Joins und Selektionsbedingungen betrachtet. Bei SPARQL wird
die Anzahl an Tripeln und Filtern betrachtet, die mit Joins bzw. Selektionsbedingungen vergleichbar sind. Bei MapReduce und MongoDB-QL werden die Sprachkonstrukte
betrachtet, die jeweils von d abhängig sind. Da die einzelnen Anfragen von d und n abhängig sind, werden in diesem Kapitel Beispielanfragen für d = 2 und n = 10 vorgestellt.
Als einzige Ausnahme davon wird für die Aggregation d = 4 angenommen. Das Einfügen
von Fakten wird hier nicht im Detail vorgestellt.
C.1 Relationale Abbildung
Für die relationale Abbildung ergeben sich folgende SQL-Anfragen:
Selektion
1
2
3
4
5
6
SELECT f . id AS fact , f . value ,
e0 . avalue AS avalue0 , e1 . avalue AS avalue1
FROM fact f , eav e0 , eav e1
WHERE f . source = ’ Test ’
AND e0 . entity = f . id AND e0 . attribute = 0 AND e0 . avalue <= 5
AND e1 . entity = f . id AND e1 . attribute = 1 AND e1 . avalue <= 5;
Für die Selektion sind d Joins und 3d + 1 Selektionsbedingungen nötig.
Aggregation
1
2
3
4
5
6
7
SELECT SUM ( f . value ) AS sumvalue ,
e0 . avalue AS avalue0 , e1 . avalue AS avalue1
FROM fact f , eav e0 , eav e1
WHERE f . source = ’ Test ’
AND e0 . entity = f . id AND e0 . attribute = 0
AND e1 . entity = f . id AND e1 . attribute = 1
GROUP BY e0 . avalue , e1 . avalue ;
192
Anhang C Abbildung der Anfragen
Für die Aggregation sind max(⌊d/2⌋,1) Joins und 2 max(⌊d/2⌋,1) + 1 Selektionsbedingungen nötig.
Join
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
SELECT lf . value AS leftvalue , rf . value AS rightvalue ,
le0 . avalue AS avalue0 , le1 . avalue AS avalue1
FROM fact lf , fact rf , eav le0 , eav re0 ,
eav le1 , eav re1
WHERE lf . source = ’ Test ’ AND rf . source = ’ Test2 ’
AND le0 . entity = lf . id AND re0 . entity = rf . id
AND le0 . attribute = 0 AND re0 . attribute = 0
AND le0 . avalue = re0 . avalue
AND le1 . entity = lf . id AND re1 . entity = rf . id
AND le1 . attribute = 1 AND re1 . attribute = 1
AND le1 . avalue = re1 . avalue ;
Hier werden die Fakten lf und rf aus zwei Faktenwürfeln mittels Join verknüpft. Da
in diesem Beispiel d = 2 ist, müssen für lf die Attribute 0 und 1 mit den entsprechenden Attributen des Fakts rf verglichen werden. Es sind also 2d + 1 Joins und 5d + 2
Selektionsbedingungen nötig.
Attribut hinzufügen
1
2
3
4
INSERT INTO eav ( entity , attribute , avalue )
SELECT id as entity , 2 , 0
FROM fact
WHERE source = ’ Test ’;
Die Komplexität beim Hinzufügen eine Attributs ist unabhängig von d.
C.2 Klassisches relationales Schema
Für das klassische relationale Schema ergeben sich folgende SQL-Anfragen:
Selektion
1
2
3
4
5
SELECT f . id AS
FROM fact f
WHERE f . source
AND avalue0 <=
AND avalue1 <=
fact , f . value , avalue0 , avalue1
= ’ Test ’
5
5;
C.3 Hybride Abbildung
193
Aggregation
1
2
3
4
SELECT SUM ( f . value ) AS sumvalue , avalue0 , avalue1
FROM fact f
WHERE f . source = ’ Test ’
GROUP BY avalue0 , avalue1 ;
Join
1
2
3
4
5
6
SELECT lf . value AS leftvalue , rf . value AS rightvalue ,
lf . avalue0 , lf . avalue1
FROM fact lf , fact rf
WHERE lf . source = ’ Test ’ AND rf . source = ’ Test2 ’
AND lf . avalue0 = rf . avalue0
AND lf . avalue1 = rf . avalue1 ;
Attribute hinzufügen
1
2
ALTER TABLE fact ADD COLUMN avalue2 integer
NOT NULL DEFAULT 0;
Hier steigt nur die Anzahl der Selektions- bzw. Joinbedingungen bei der Selektion bzw.
bei dem Join in Abhängigkeit von d.
C.3 Hybride Abbildung
Für die hybride Abbildung mit dem hstore-Datentyp ergaben sich folgende SQLAnfragen:
Selektion
1
2
3
4
5
6
7
SELECT f . id AS fact , f . value ,
( attributes - > ’0 ’) :: integer
( attributes - > ’1 ’) :: integer
FROM fact f
WHERE f . source = ’ Test ’
AND ( attributes - > ’0 ’) :: integer
AND ( attributes - > ’1 ’) :: integer
AS a0 ,
AS a1
<= 5
<= 5;
194
Anhang C Abbildung der Anfragen
Aggregation
1
2
3
4
5
6
SELECT SUM ( f . value ) AS svalue ,
( attributes - > ’0 ’) :: integer AS a0 ,
( attributes - > ’1 ’) :: integer AS a1
FROM fact f
WHERE f . source = ’ Test ’
GROUP BY ( attributes - > ’0 ’) :: integer , ( attributes - > ’1 ’) :: integer ;
Join
1
2
3
4
5
6
7
SELECT lf . value as leftvalue , rf . value as rightvalue ,
( lf . attributes - > ’0 ’) :: integer AS a0 ,
( lf . attributes - > ’1 ’) :: integer AS a1
FROM fact lf , fact rf
WHERE lf . source = ’ Test ’ AND rf . source = ’ Test2 ’
AND ( lf . attributes - > ’0 ’) :: integer = ( rf . attributes - > ’0 ’) :: integer
AND ( lf . attributes - > ’1 ’) :: integer = ( rf . attributes - > ’1 ’) :: integer ;
Attribute hinzufügen
1
2
UPDATE fact set attributes = attributes || hstore ( ’2 ’ , ’0 ’)
WHERE source = ’ Test ’;
Bei den SQL-Anfragen für die hybride Abbildung zeigte sich, dass die Umwandlung
aller Werte in Integer die Anfragen beschleunigte. Die Anfragekomplexität ist äquivalent
zu der Komplexität für die relationale Abbildung mit einer Relation, da die im hstoreAttribut gespeicherten Attribut-Wert-Paare mit leicht veränderter Syntax wie normale
relationale Attribute abgefragt werden können. Beim Hinzufügen von Attributen wird
der Konkatenationsoperator || verwendet, um ein Attribut-Wert-Paar hinzuzufügen.
C.4 Dokumentenorientierte Abbildung
Für die dokumentenorientierte Abbildung lassen sich die Anfragen einerseits auf MapReduce und andererseits auf die speziell für MongoDB definierte Anfragesprache abbilden.
Diese beiden Varianten werden in den folgenden Abschnitten vorgestellt.
C.4.1 MapReduce
Für die dokumentenorientierte Abbildung wurden die folgenden Map- und ReduceFunktionen in JavaScript verwendet:
C.4 Dokumentenorientierte Abbildung
195
Selektion
Map:
1
2
3
4
5
6
7
function () {
if ( this . source == ’ Test ’
&& this [ ’0 ’] <= 5
&& this [ ’1 ’] <= 5) {
emit ( this . _id , this ) ;
}
}
Reduce:
1
2
3
4
function ( key , values ) {
var result = values [0];
return result ;
}
Bei der Selektion wird zunächst in der Map-Funktion überprüft, ob ein Fakt den gewünschten Bedingungen entspricht. Die Anzahl an Attributen, die in der Map-Funktion
überprüft werden müssen, entspricht dabei d. Als Schlüssel wird der Identifikator eines
Dokuments verwendet, da jedes einzelne Dokument, welches den Bedingungen entspricht,
in der Reduce-Funktion zurückgegeben werden soll.
Aggregation
Map:
1
2
3
4
5
6
7
function () {
if ( this . source == ’ Test ’) {
var key = {};
key [ ’0 ’] = this [ ’0 ’ ]; key [ ’1 ’] = this [ ’1 ’ ];
emit ({ key : key , source : this . source } , this ) ;
}
}
Reduce:
1
2
3
4
5
6
7
8
function ( key , values ) {
var result = { source : key . source , value : 0};
result [ ’0 ’] = key [ ’0 ’ ]; result [ ’1 ’] = key [ ’1 ’ ];
values . forEach ( function ( value ) {
result . value += value . value ;
}) ;
return result ;
}
196
Anhang C Abbildung der Anfragen
Bei der Aggregation wird der Schlüssel dazu benutzt die jeweiligen Fakten zu gruppieren.
Hierbei wird der Schlüssel in der Map-Funktion aus den ersten max(⌊d/2⌋,1) Attributen,
nach denen gruppiert werden soll, zusammengesetzt. In der Reduce-Funktion werden
dann die Werte aufsummiert.
Join
Map:
1
2
3
4
5
6
7
8
function () {
if ( this . source == ’ Test ’ || this . source == ’ Test2 ’) {
key = {};
key [ ’0 ’] = this [ ’0 ’ ];
key [ ’1 ’] = this [ ’1 ’ ];
emit ( key , this ) ;
}
}
Reduce:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
function ( key , values ) {
var result = { source : " Joined " };
result [ ’0 ’] = key [ ’0 ’ ];
result [ ’1 ’] = key [ ’1 ’ ];
values . forEach ( function ( value ) {
if ( value . source == ’ Test ’) {
result . leftvalue = value . value ;
} else if ( value . source == ’ Test2 ’) {
result . rightvalue = value . value ;
}
if ( ’ leftvalue ’ in value ) {
result . leftvalue = value . leftvalue ;
}
if ( ’ rightvalue ’ in value ) {
result . rightvalue = value . rightvalue ;
}
}) ;
return result ;
}
Für den Join wird die Liste der Join-Attribute als Schlüssel in der Map-Funktion verwendet. Die Reduce-Funktion erhält somit pro Schlüssel jeweils ein Dokument aus den
beiden Faktenwürfeln und generiert daraus das Ergebnisdokument. Die Komplexität
dieser Anfrage ist bis auf die Schlüsselkonstruktion unabhängig von d. Dies entspricht
einem Standard-Repartition-Join [BPE+ 10] mit exakt einem Joinpartner.
C.4 Dokumentenorientierte Abbildung
197
Attribut hinzufügen
Map:
1
2
3
4
5
6
function () {
if ( this . source == ’ Test ’) {
this [ ’2 ’] = 0;
emit ( this . _id , this ) ;
}
}
Reduce:
1
2
3
4
function ( key , values ) {
var result = values [0];
return result ;
}
Hier wird den Dokumenten in der Map-Funktion ein zusätzliches Attribut hinzugefügt.
Es wird wieder der Identifikator der Dokumente als Schlüssel verwendet, so dass jedes
einzelne Dokument in der Reduce-Funktion zurückgegeben wird. Die Komplexität ist
unabhängig von der Anzahl der Dimensionen.
C.4.2 MongoDB Query Language
MongoDB unterstützt neben MapReduce auch eine systemeigene Anfragesprache [Pro14].
Allerdings werden von MongoDB keine Joins unterstützt. Seit Version 2.2. wird das
Aggregation-Framework [Pro14, S. 391] angeboten, das erweiterte Aggregationsfunktionalität bietet. Dieses Aggregation-Framework kann auch verwendet werden, um die in
dieser Arbeit definierte Join-Anfrage umzusetzen, da jeder Fakt exakt einen Joinpartner
besitzt. Die Anfragen können folgendermaßen abgebildet werden:
Selektion
1
2
3
4
collection . find (
{ ’ $and ’: [{ ’ source ’: ’ Test ’} ,
{ ’0 ’: { ’ $lte ’: 5}} ,
{ ’1 ’: { ’ $lte ’: 5}}]})
Die Anfrage wird über die find-Funktion der Anfragesprache umgesetzt [Pro14, S. 55].
Die Anzahl der Bedingungen in dieser Anfrage beträgt d + 1.
198
Anhang C Abbildung der Anfragen
Aggregation
1
2
3
4
5
collection . aggregate (
[{ ’ $match ’ : { ’ source ’: ’ Test ’}} ,
{ ’ $group ’ : { ’ _id ’: { ’0 ’: ’ $0 ’ , ’1 ’: ’ $1 ’} ,
’ value ’: { ’ $sum ’: ’ $value ’ }}} ,
{ ’ $project ’: { ’0 ’: ’ $_id .0 ’ , ’1 ’: ’ $_id .1 ’ , ’ value ’: 1}}])
Für die Aggregation wurde das Aggregation-Framework verwendet. Dieses ermöglicht
die Aneinanderreihung von mehreren Operatoren zu einer Pipeline. Alternativ könnte
auch die einfachere group-Funktion der Anfragesprache verwendet werden [Pro14, S.
397]. Diese war bei Tests allerdings langsamer in der Ausführung und wurde aus diesem
Grund nicht verwendet.
Bei der Aggregation werden zunächst mittels $match die Fakten des gesuchten Faktenwürfels herausgefiltert. Im $group-Operator wird mittels _id angegeben nach welchem
Kriterium gruppiert werden soll. In diesem Fall besteht das _id-Subdokument aus den
ersten max(⌊d/2⌋,1) Attributen. Der sum-Operator summiert pro Gruppe die Werte der
Fakten auf. Anschließend werden die Ergebnisdokumente mittels Projektion noch in das
richtige Format gebracht, indem das aus $group resultierende Feld _id wieder in die
einzelnen Attribute aufgeteilt wird.
Join
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
collection . aggregate (
[{ ’ $match ’:
{ ’ $or ’: [{ ’ source ’: ’ Test ’} ,
{ ’ source ’: ’ Test2 ’ }]}} ,
{ ’ $project ’: { ’1 ’: 1 , ’0 ’: 1 ,
’ leftvalue ’: { ’ $cond ’: [{ ’ $eq ’: [ ’ $source ’ , ’ Test ’]} ,
’ $value ’ , 0]} ,
’ rightvalue ’: { ’ $cond ’: [{ ’ $eq ’: [ ’ $source ’ , ’ Test2 ’]} ,
’ $value ’ , 0]}}} ,
{ ’ $group ’:
{ ’ _id ’: { ’0 ’: ’ $0 ’ , ’1 ’: ’ $1 ’} ,
’ rightvalue ’: { ’ $sum ’: ’ $rightvalue ’} ,
’ leftvalue ’: { ’ $sum ’: ’ $leftvalue ’ }}} ,
{ ’ $project ’: { ’0 ’: ’ $_id .0 ’ ,
’1 ’: ’ $_id .1 ’ ,
’ leftvalue ’: 1 ,
’ rightvalue ’: 1}}])
Da die Join-Anfrage in dieser Arbeit einen Gleichverbund darstellt, bei dem pro Fakt
aus dem einen Faktenwürfel genau ein Fakt aus einem zweiten Faktenwürfel gefunden
wird, lässt sich dies auch über das Aggregation-Framework abbilden.
C.5 Abbildung auf RDF
199
Mittels bedingten Werten werden in einem $project-Operator die value Attribute in
leftvalue und rightvalue aufgeteilt. Es wird nach den Join-Attributen gruppiert,
welche in diesem Fall die d Attribute sind. Da pro Gruppe genau zwei Dokumente
aggregiert werden, die für leftvalue und rightvalue den richtigen Wert oder 0 besitzen,
können leftvalue und rightvalue für das Ergebnisdokument einfach aufsummiert
werden. Anschließend bringt ein zweites project die Ergebnisdokumente wieder in das
richtige Format.
Attribut hinzufügen
1
2
3
collection . update (
{ ’ source ’ : ’ Test ’} ,
{ " $set " : { ’2 ’ : 0}})
Das Hinzufügen eines Attributs lässt sich mit Hilfe der update- Funktion der Anfragesprache umsetzen. Hier wird zunächst die Bedingung angegeben, dass sich die Funktion
auf den gewünschten Faktenwürfel beschränkt. Anschließend wird mit Hilfe des $set
Befehls jedem Fakt ein Attribut hinzugefügt. Die Komplexität ist dabei unabhängig von
d.
C.5 Abbildung auf RDF
SPARQL [Gro13] – die Anfragesprache für RDF – unterstützt seit der Version 1.1 Aggregation und Updates. Aus diesem Grund konnten alle Anfragen in SPARQL formuliert
werden. Für die Abbildung auf RDF ergeben sich folgende SPARQL-Anfragen:
Selektion
1
2
3
4
5
6
7
8
9
SELECT ? fact ? value
WHERE {
? fact
: value
: source
:0
:1
FILTER ( ? avalue0 <=
FILTER ( ? avalue1 <=
}
? avalue0 ? avalue1
? value
" Test "
? avalue0
? avalue1
5 )
5 )
;
;
;
.
Für die Selektion beträgt die Anzahl der Tripel in der Abfrage d + 2. Zusätzlich werden
d Selektionsbedingungen benötigt.
200
Anhang C Abbildung der Anfragen
Aggregation
1
2
3
4
5
6
7
SELECT ( SUM (? value )
WHERE {
? fact
: value
: source
:0
:1
} GROUP BY ? avalue0
AS ? svalue ) ? avalue0 ? avalue1
? value
" Test "
? avalue0
? avalue1
? avalue1
;
;
;
.
Für die Aggregation werden d + 2 Tripel in der Abfrage benötigt.
Join
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
SELECT ? leftvalue ? rightvalue ? avalue0 ? avalue1
WHERE {
? leftfact : value
? leftvalue ;
: source " Test " ;
:0
? avalue0 ;
:1
? avalue1 .
? rightfact : value
? rightvalue ;
: source " Test2 " ;
:0
? avalue0 ;
:1
? avalue1 .
}
Für den Join werden 2d + 4 Tripel in der Anfrage benötigt.
Attribut hinzufügen
1
2
3
4
INSERT {
? fact
} WHERE {
? fact
5
6
:2
0 .
a
: source
: Fact ;
" Test " .
}
Für das Hinzufügen eines Attributs können mit Hilfe eines INSERT-Befehls zusätzliche
Tripel generiert und eingefügt werden. Die Komplexität ist dabei unabhängig von der
Anzahl der Dimensionen.
201
Mathematische Grundlagen
D
“
There’s a lot more to mathematics than
two-times-two.
”
(Donald Duck)
D.1 Die mehrdimensionale Normalverteilung
Die Beschreibung der mehrdimensionalen Normalverteilung orientiert sich an Petersen
und Pedersen [PP12]. Für die Wahrscheinlichkeitsdichte gilt:
Nµ,Σ (x) = (2π)−N/2 |Σ|−1/2 exp(− 12 (x − µ)T Σ −1 (x − µ))
(D.1)
Sind x = (x1 ,x2 ), µ = (µ1 ,µ2 ) und die Blockmatrix

Σ 11 Σ 12
Σ=
Σ 21 Σ 22

(D.2)
mit den entsprechenden Blockgrößen gegeben, so folgt aus p(x) = Nµ,Σ :
p(x1 ) = Nµ1 ,Σ 11 (x1 )
(D.3)
p(x1 |x2 ) = Nµ∗ ,Σ ∗ (x1 )
(D.4)
∗
−1
Dabei ist µ∗ = µ1 + Σ 12 Σ −1
22 (x2 − µ2 ) und Σ = Σ 11 − Σ 12 Σ 22 Σ 21 .
D.2 Matrizen
Für die Grundlagen von Matrizen wird dem Leser ein Blick in „The Matrix Cookbook“
von Petersen und Pedersen [PP12] empfohlen. An dieser Stelle sollen nur die wichtigsten
Regeln aus [PP12] wiederholt werden.
202
Anhang D Mathematische Grundlagen
D.2.1 Woodbury-Matrix-Identität
Die folgende Gleichung wird die Woodbury-Matrix-Identität genannt:
(A + CBCT )−1 = A−1 − A−1 C(B−1 + CT A−1 C)−1 CT A−1
(D.5)
Diese Gleichung hilft in gewissen Fällen die Invertierung eines Matrix-Ausdrucks effizienter zu gestalten. Ein Beispiel dafür ist, wenn A eine Diagonalmatrix und somit einfach
invertierbar ist, B eine m × m-Matrix ist und B durch die Multiplikation CBCT zu einer
n × n-Matrix mit n ≫ m vergrößert wird.
D.2.2 Definitheit von Matrizen
Eine Matrix A heißt positiv definit, wenn für alle x ̸= 0 xT Ax > 0 gilt. Falls für alle x
xT Ax ≥ 0 gilt, so wird A positiv semidefinit genannt.
Ist A eine Diagonalmatrix mit ausschließlich Einträgen > 0 (≥ 0), so ist A positiv

(semi-) definit, da für eine Diagonalmatrix xT Ax = i xi2 Aii gilt.
D.3 Optimierung
Für die Grundlagen der Konvexen Optimierung werden dem Leser die Vorlesungsskripten
[Gra08b] und [Gra08a] von Graef empfohlen. An dieser Stelle sollen die Grundlagen aus
diesen Skripten kurz zusammengefasst werden.
D.3.1 Lagrange-Multiplikator
Sind die Funktionen f : Rn → R und g : Rn → R mit der Nebenbedingung g(x) = 0
gegeben, so gilt für ein Extremum x̊, falls f und g stetig partiell differenzierbar sind und
falls ∇g(x̊) ̸= 0:
∇f (x̊) + λ∇g(x̊) = 0
(D.6)
Dabei ist λ ∈ R. Diese Bedingung sagt aus, dass der Gradient von f , welcher die
Richtung des steilsten Anstiegs angibt, in einem Extremum parallel zum Gradienten
D.3 Optimierung
203
der Nebenbedingung sein muss. Dabei müssen die Gradienten nicht gleich lang sein und
auch nicht in die gleiche Richtung zeigen.
D.3.2 Konvexe Optimierung
Es ist ein konvexes Optimierungsproblem
min f (x)
x ∈ Rn
g(x) ≤ 0
gegeben mit den konvexen Funktionen f : Rn → R und gi : Rn → R ∀i = 1, . . . ,m. Dann
ist x̊ genau dann ein Minimum, wenn für ein λ ≥ 0 folgende Bedingungen erfüllt sind:
∇f (x̊) +
m

λi ∇gi (x̊) = 0
(D.7)
i=1
λi gi (x̊) = 0
∀i = 1, . . . ,m
∃x ∀i = 1, . . . ,m
gi (x) < 0
(D.8)
(D.9)
(D.7) ist ähnlich zu (D.6) auf der vorherigen Seite nur für mehrere Nebenbedingungen. (D.8) bedeutet, dass entweder λi oder gi (x̊) gleich 0 sein müssen. Ist gi (x̊) = 0, so
liegt das Optimum genau an der Grenze der Nebenbedingung gi (x̊) ≤ 0. In diesem Fall
muss λi nicht gleich 0 sein und somit wird ∇gi (x̊) in (D.7) berücksichtigt. Eine solche
Bedingung wird scharf genannt. Ist gi (x̊) < 0, muss λi = 0 gelten und somit wird ∇gi (x̊)
in (D.7) nicht berücksichtigt. (D.9) ist die sogenannte Slater-Bedingung.
Falls statt dem Rn der (R+ )n verwendet wird und das Minimum komponentenweise
größer 0 ist (∀j x̊j > 0), so gelten die gleichen Bedingungen. Dies lässt sich leicht zeigen,
indem bei obigem Optimierungsproblem zusätzliche Nebenbedingungen eingeführt werden, welche das Minimum auf (R+ )n beschränken. Da das Minimum komponentenweise
größer 0 ist, ist keine der neu eingeführten Nebenbedingungen scharf und somit entfallen
diese wieder aus (D.7).
205
E
Herleitungen
In diesem Kapitel sollen verschiedene Herleitungen beschrieben werden, welche in den
einzelnen Kapiteln nicht im Detail vorgestellt wurden.
E.1 Invertierung der Kovarianzmatrix für SPGP
Für SPGP wurde in (8.12) [S. 123] folgende Kovarianzfunktion definiert [Sne06, Sne07,
CRW07]:
−1
T
CSPGP (xi ,xj ) = k̄(xi )T Σ −1
M M k̄(xj ) + δij [C(xi ,xj ) − k̄(xi ) Σ M M k̄(xj )]
(E.1)
Dabei ist k̄(xi ) = (C(xi ,x̄1 ), . . . ,C(xi ,x̄M ))T der Kovarianzvektor zwischen den Pseudobeobachtungen und den xi . Σ M M ist die M ×M -Kovarianzmatrix der Pseudobeobachtungen
([Σ M M ]ij = C(x̄i ,x̄j )).
Mit dieser Kovarianzfunktion ergibt sich folgende Kovarianzmatrix [Sne06, Sne07,
CRW07]:
−1
K = Σ N M Σ −1
M M Σ M N + diag(Σ − Σ N M Σ M M Σ M N ) + vt I
(E.2)
Dabei ist Σ N M die N × M -Kovarianzmatrix zwischen den Pseudobeobachtungen und
den xi : [Σ N M ]ij = C(xi ,x̄j ). Es gilt: Σ M N = Σ TN M . Weiterhin ist Σ die N × N Kovarianzmatrix mit [Σ]ij = C(xi ,xj ). Zur Vereinfachung der Schreibweise wird folgende
Diagonalmatrix definiert [Sne07]:
∆ = diag(Σ − Σ N M Σ −1
M M Σ M N ) + vt I
(E.3)
Zur weiteren Vereinfachung wird B = Σ M M + Σ M N ∆−1 Σ N M definiert [Sne07]. Mit
Hilfe der Woodbury-Matrix-Identität (D.5) [S. 202] ergibt sich für die Inverse der Kovarianzmatrix:
−1
K−1 = [Σ N M Σ −1
= ∆−1 − ∆−1 Σ N M B−1 Σ M N ∆−1
M M Σ M N + ∆]
(E.4)
206
Anhang E Herleitungen
Während die direkte Invertierung von K den Aufwand O(N 3 ) hat, lässt sich dies mit der
Woodbury-Matrix-Identität auf O(N 2 M ) reduzieren. Die Invertierung von ∆ hat den
Aufwand O(N ). Die Subtraktion hat den Aufwand O(N 2 ). Die Multiplikation mit der
Diagonalmatrix ∆ hat den Aufwand O(N 2 ). Die Berechnung von B hat den Aufwand
O(M 2 N ) und die Invertierung von B hat den Aufwand O(M 3 ). Der Aufwand für die
Invertierung von K wird also durch die Multiplikation Σ N M B−1 Σ M N dominiert und ist
somit O(N 2 M ).
Die Ausdrücke für die Bestimmung von µ(x∗ ) und σ 2 (x∗ ) lassen sich noch weiter vereinfachen. Da die Vereinfachungsschritte in [Sne07] nur angedeutet wurden, sollen diese
hier explizit angegeben werden. Dabei wird, wie in [Sne07] beschrieben, die Ersetzung
Σ M N ∆−1 Σ N M = B − Σ M M verwendet, welche auf der Definition von B basiert. Der
Vektor Σ ∗M wird dabei folgendermaßen definiert: Σ ∗M = (C(x∗ ,x̄1 ), . . . ,C(x∗ ,x̄M ))T .
Dann ergibt sich für µ(x∗ ):
−1
−1
µ(x∗ ) = Σ ∗M Σ −1
M M Σ M N [Σ N M Σ M M Σ M N + ∆] t
=
=
=
=
=
(E.5)
−1
Σ ∗M Σ −1
M M Σ M N [∆
−1
[Σ ∗M Σ −1
M M ΣM N ∆
−1
[Σ ∗M Σ −1
M M ΣM N ∆
− ∆ Σ N M B Σ M N ∆ ]t
(E.6)
−1
−1
−1
− Σ ∗M Σ −1
M M Σ M N ∆ Σ N M B Σ M N ∆ ]t
(E.7)
−1
[Σ ∗M Σ −1
M M ΣM N ∆
−1
[Σ ∗M Σ −1
M M ΣM N ∆
−
−1
−
−
−1
−1
−1
−1
Σ ∗M Σ −1
M M (B − Σ M M )B Σ M N ∆ ]t
−1
−1
Σ ∗M (Σ −1
M M − B )Σ M N ∆ ]t
−1
Σ ∗M Σ −1
+ Σ ∗M B−1 Σ M N ∆−1 ]t
MM ΣM N ∆
(E.8)
(E.9)
(E.10)
= Σ ∗M B−1 Σ M N ∆−1 t
(E.11)
Für σ 2 (x∗ ) ergibt sich:
−1
−1
−1
2
σ 2 (x∗ ) = Σ∗ − Σ ∗M Σ −1
M M Σ M N [Σ N M Σ M M Σ M N + ∆] Σ N M Σ M M Σ M ∗ + σ
(E.12)
2
= Σ∗ − Σ ∗M B−1 Σ M N ∆−1 Σ N M Σ −1
MM ΣM ∗ + σ
(E.13)
Σ ∗M B (B − Σ M M )Σ −1
MM ΣM ∗
−1
2
Σ ∗M (Σ −1
M M − B )Σ M ∗ + σ
(E.14)
= Σ∗ −
= Σ∗ −
−1
+σ
2
(E.15)
(E.16)
Dabei ist Σ∗ := C(x∗ ,x∗ ). Der erste Schritt dieser Vereinfachung verwendet dabei die
gleichen Vereinfachungsschritte wie sie auch für µ(x∗ ) verwendet werden.
E.2 Gradient und Hesse-Matrix für Kovarianzfunktionen
207
E.2 Gradient und Hesse-Matrix für
Kovarianzfunktionen
In diesem Abschnitt werden Gradient und Hesse-Matrix für verschiedene Kovarianzfunktionen vorgestellt, da diese für die approximative UP von Girard in (8.22) [S. 127]
benötigt werden. Konkret werden die Vektoren bzw. Matrizen C′ (u,x), C′′ (u,x) und
C′′ (u,u) benötigt. Dabei wird jeweils nach u abgeleitet, da x eine feste Beobachtung ist.
Zu beachten ist, dass in dieser Arbeit, in Anlehnung an Girard [Gir04], der Gradient als
Spaltenvektor betrachtet wird.
E.2.1 Gaußsche Kovarianzfunktion
Die gaußsche Kovarianzfunktion wurde folgendermaßen definiert:

C(u,x) = v exp − 12 (u − x)T W−1 (u − x)

(E.17)
W−1 wurde in Abschnitt 8.1.1.1 folgendermaßen definiert: W−1 = diag(w1 , . . . ,wD ).
Damit lassen sich nun die geforderten Ableitungen bestimmen. Für C′ (u,x) werden die
partiellen Ableitungen nach den Komponenten von u benötigt:


∂
C(u,x) = −(uk − xk )wk v exp − 12 (u − x)T W−1 (u − x)
∂uk
(E.18)
Dies ergibt sich aus der Kettenregel und der Tatsache, dass (u − x)T W−1 (u − x) eine

2
Summe aus Termen ist: (u − x)T W−1 (u − x) = D
ℓ=1 (uℓ − xℓ ) wℓ .
Für C′′ (u,x) werden die zweifachen partiellen Ableitungen nach den Komponenten von
u benötigt:


∂2
C(u,x) = [(uk −xk )wk (ul −xl )wl +δkl wk ]v exp − 12 (u − x)T W−1 (u − x) (E.19)
∂uk ∂ul
Dabei wurde wieder die Kettenregel angewendet. Im Falle von k = l wurde zusätzlich
die Produktregel benötigt. Diese resultierte in diesem Fall im zusätzlichen Term δkl wk .
C′′ (u,u) lässt sich einfach bestimmen, da in diesem Fall u in der Gleichung (E.17) nicht
mehr vorkommt:
∂2
C(u,u) = 0
∂uk ∂ul
(E.20)
208
Anhang E Herleitungen
E.2.2 SPGP-Kovarianzfunktion
Snelson [Sne07] stellte in seiner Arbeit die Ableitungen der Kovarianzfunktion nach
den Hyperparametern vor. Da für den Gradienten und die Hesse-Matrix allerdings die
Ableitungen nach den u benötigt werden, werden diese hier kurz vorgestellt. Die Kovarianzfunktion ist (hier in einer Darstellung ohne Deltafunktion):

k̄(u)T Σ −1
CSPGP (u,x) = 
C(u,x)
M M k̄(x)
für u ̸= x
für u = x
(E.21)
Dabei gilt: k̄(u) = (C(u,x̄1 ), . . . ,C(u,x̄M ))T . Die Ableitung dieser Kovarianzfunktion ist
möglich, wenn davon ausgegangen wird, dass u ̸= x gilt. In diesem Fall lassen sich die
Ableitungen der SPGP-Kovarianzfunktion auf die Ableitungen der zugrundeliegenden
Kovarianzfunktion zurückführen:
M

∂
∂
CSPGP (u,x) =
C(u,x̄i )[Σ −1
M M k̄(x)]i
∂uk
∂u
k
i=1
(E.22)
M

∂2
∂2
CSPGP (u,x) =
C(u,x̄i )[Σ −1
M M k̄(x)]i
∂uk ∂ul
i=1 ∂uk ∂ul
(E.23)
Für die Ableitung von CSPGP (u,u) gilt u = x:
∂2
∂2
CSPGP (u,u) =
C(u,u)
∂uk ∂ul
∂uk ∂ul
(E.24)
E.2.3 SPGP-DR-Kovarianzfunktion
Für SPGP-DR werden die Ableitungen der Kovarianzfunktion zwischen u und einer
dimensionsreduzierten Pseudobeobachtung x̃ = Px̄ benötigt:

C(u,x̃) = v exp − 12 (Pu − x̃)T (Pu − x̃)

(E.25)
P ist die G × D-Projektionsmatrix. Für die Vereinfachung der Ableitung lässt sich der
Term (Pu − x̃)T (Pu − x̃) in Summenschreibweise folgendermaßen darstellen:
(Pu − x̃)T (Pu − x̃) =
G

i=1

(
D

j=1
2
Pij uj ) − x̃i 
(E.26)
E.3 Exakte Unschärfepropagierung für SPGP-DR
209
Damit ergeben sich mit Hilfe der Ketten- und Produktregel folgende Ableitungen:



G
D




∂
C(u,x̃) = −  Pik ( Pij uj ) − x̃i  v exp − 12 (Pu − x̃)T (Pu − x̃) (E.27)
∂uk
i=1
j=1


 


G
D
G
D
 



∂2
C(u,x̃) =  Pik ( Pij uj ) − x̃i  ·  Pil ( Pij uj ) − x̃i 
∂uk ∂ul
i=1
j=1
i=1
j=1
−
G




Pik Pil v exp − 12 (Pu − x̃)T (Pu − x̃)
i=1

(E.28)
Die Ableitung der Kovarianzfunktion C(u,u) erfolgt analog zur gaußschen Kovarianzfunktion (Abschnitt E.2.1):
∂2
C(u,u) = 0
∂uk ∂ul
(E.29)
E.3 Exakte Unschärfepropagierung für SPGP-DR
Für die exakte Unschärfepropagierung müssen die Integrale (8.19) [S. 127], (8.20) [S. 127]
und (8.21) [S. 127] aus Abschnitt 8.2 für die jeweilige Kovarianzfunktion gelöst werden.
Zur besseren Übersichtlichkeit werden diese Intergrale hier wiederholt:

l := Ex [C(x,x)] =
C(x,x)p(x|u,Σ u ) dx
(E.30)
C(x,xi )p(x|u,Σ u ) dx
(E.31)
RD
li := Ex [C(x,xi )] =

RD
lij := Ex [C(x,xi )C(x,xj )] =

C(x,xi )C(x,xj )p(x|u,Σ u ) dx
(E.32)
RD
Girard entwickelte Lösungen für diese Integrale für die gaußsche Kovarianzfunktion. Groot et al. [GLB11] diskutierten eine Erweiterung dieser Lösung für die SPGPKovarianzfunktion. Dabei ließ sich die Lösung als Kombination von l, li und lij für die
210
Anhang E Herleitungen
gaußsche Kovarianzfunktion darstellen. Für die SPGP-Kovarianzfunktion sind l, li und
lij allerdings abhängig von den Pseudobeobachtungen x̄i [GLB11]:
l := Ex [C(x,x)]
(E.33)
li := Ex [C(x,x̄i )]
(E.34)
lij := Ex [C(x,x̄i )C(x,x̄j )]
(E.35)
Die Lösung dieser Integrale lautet [Gir04, GLB11]:
l =v
(E.36)

li =v|W−1 Σ x + I|−1/2 exp − 21 (u − x̄i )T (W + Σ x )−1 (u − x̄i )

(E.37)
lij =v 2 |2W−1 Σ x + I|−1/2

exp − 12 (u − (x̄i + x̄j )/2)T (W/2 + Σ x )−1 (u − (x̄i + x̄j )/2)
− 12 (x̄i − x̄j )T (2W)−1 (x̄i − x̄j )

(E.38)
In der SPGP-DR-Kovarianzfunktion werden statt den Pseudobeobachtungen x̄i dimensionsreduzierte Pseudobeobachtungen x̃i = Px̄i verwendet. Die Gleichungen (E.37)
und (E.38) müssen also so umgeformt werden, dass die x̄i nicht mehr vorkommen. Es
gilt: W−1 = PT P. Mit Hilfe der Woodbury-Matrix-Identität (D.5) [S. 202] lassen sich
die x̄i aus li eliminieren:
(u − x̄i )T (W + Σ x )−1 (u − x̄i )
−1
−1
= (u − x̄i )T (W−1 − W−1 (W−1 + Σ −1
x ) W )(u − x̄i )
(E.39)
−1 T
= (u − x̄i )T PT P(u − x̄i ) − (u − x̄i )T PT P(W−1 + Σ −1
x ) P P(u − x̄i )
(E.40)
= (Pu − x̃i ) (Pu − x̃i ) − (Pu − x̃i ) P(W
T
T
−1
+
−1 T
Σ −1
x ) P (Pu
− x̃i )
(E.41)
Für lij lassen sich die x̄i aus dem Term (x̄i − x̄j )T (2W)−1 (x̄i − x̄j ) trivial eliminieren.
Die Eliminierung von x̄i aus dem Term (u − (x̄i + x̄j )/2)T (W/2 + Σ x )−1 (u − (x̄i + x̄j )/2)
erfolgt analog zu li .
Auf diese Weise lassen sich l, li und lij für die SPGP-DR-Kovarianzfunktion auswerten.
Somit lässt sich die exakte UP für SPGP-DR bestimmen.
E.4 Auf der Spur von Blockmatrixprodukten
211
E.4 Auf der Spur von Blockmatrixprodukten
Es sind folgende Blockmatrizen gegeben:

Σ∗ =
τ Σ ∗1 0
0
Σ ∗2
C′i1
C′i2

C (u,xi ) =
′

τ Σ ∗1 = diag(v̊1 , . . . ,v̊n ),
,


, C (u,xi ) =
′′
C′′i11 C′′i12
C′′i21 C′′i22
Σ ∗2 = diag(ṽ1 , . . . ,ṽo )


C (u,u) =
′′
,
C′′11 C′′12
C′′21 C′′22

C′i1 ist ein Vektor der Länge n und C′i2 ist ein Vektor der Länge o. C′′11 und C′′i11 sind
n×n-Matrizen und C′′22 und C′′i22 sind o×o-Matrizen. Die Größen der restlichen Matrizen
ergeben sich damit automatisch. Es folgt:

Tr[C (u,xi )Σ ∗ ] = Tr
′′

= Tr
C′′i11 C′′i12
C′′i21 C′′i22

τ Σ ∗1 0
0
Σ ∗2
τ C′′i11 Σ ∗1 C′′i12 Σ ∗2
τ C′′i21 Σ ∗1 C′′i22 Σ ∗2

(E.42)

(E.43)
= τ Tr[C′′i11 Σ ∗1 ] + Tr[C′′i22 Σ ∗2 ]
(E.44)
Dies gilt analog für Tr[C′′ (u,u)Σ ∗ ]. Außerdem ergibt sich:

Tr[C (u,xi )C (u,xj ) Σ ∗ ] = Tr
′
′
T

= Tr
C′i1
C′i2


′T
(C′T
j1 ,Cj2 )
τ Σ ∗1 0
0
Σ ∗2
′
′T
τ C′i1 C′T
j1 Σ ∗1 Ci1 Cj2 Σ ∗2
′
′
′T
τ C′T
j1 Ci2 Σ ∗1 Ci2 Cj2 Σ ∗2

(E.45)

′
′T
= τ Tr[C′i1 C′T
j1 Σ ∗1 ] + Tr[Ci2 Cj2 Σ ∗2 ]
(E.46)
(E.47)
E.5 Die Fisher-Information für verschiedene
Verteilungen
Für die Kostenfunktion der IUP wird die Fisher-Information für die Parameter unterschiedlicher Verteilungen benötigt. In diesem Abschnitt wird die Herleitung für drei
Verteilungen vorgestellt, welche im Rahmen dieser Arbeit in Beispielen verwendet werden. Dafür wird die folgende Definition der Fisher-Information verwendet:

I(u) = − Ed
 2
∂ 2 log pu (d)
∂ log pu (d)
=−
pu (d) dd
2
∂u
∂u2

(E.48)
212
Anhang E Herleitungen
E.5.1 Exponentialverteilung
Für die Rate der Exponentialverteilung expr (x) = re−rx ergibt sich:
∂ 2 log(r) − rx
Iexp (r) = − Ex
∂r2


∂1/r − x
= − Ex
∂r


1
1
= − Ex − 2 = 2
r
r


(E.49)
E.5.2 Trefferwahrscheinlichkeit
Für die Abschätzung der Trefferwahrscheinlichkeit p bei einem Ereignis gilt die BernoulliVerteilung Bp (k) = pk (1 − p)1−k mit k ∈ {0,1}. Für die Trefferwahrscheinlichkeit lässt
sich also ebenfalls die Fisher-Information bestimmen:
∂ 2 log(pk (1 − p)1−k )
IB (p) = − Ek
∂p2


∂ 2 k log(p) + (1 − k) log(1 − p)
= − Ek
∂p2


∂k/p − (1 − k)/(1 − p)
= − Ek
∂p


k
(1 − k)
= − Ek − 2 −
p
(1 − p)2
p
1−p
1
= 2+
=
2
p
(1 − p)
p(1 − p)


Dabei wurde die Tatsache verwendet, dass Ek [k] = p gilt.
(E.50)
E.5 Die Fisher-Information für verschiedene Verteilungen
213
E.5.3 Mittelwert der Normalverteilung
Für den Mittelwert der Normalverteilung Nµ,σ (x) =
1
2
2
√1 e− 2 (x−µ) /σ
σ 2π
− log(σ) − 12 log(2π) − 12 (x − µ)2 /σ 2
IN (µ) = − Ex
∂µ2


∂(x − µ)/σ 2
= − Ex
∂µ


1
1
= − Ex − 2 = 2
σ
σ
 2
∂
ergibt sich:

(E.51)
E.5.4 Standardabweichung der Normalverteilung
Die Fisher-Information für die Standardabweichung der Normalverteilung lässt sich
analog bestimmen:
− log(σ) − 12 log(2π) − 12 (x − µ)2 /σ 2
IN (σ) = − Ex
∂σ 2


∂ − 1/σ + (x − µ)2 /σ 3
= − Ex
∂σ


1
(x − µ)2
= − Ex 2 − 3
σ
σ4
σ2
1
2
=3 4− 2 = 2
σ
σ
σ
 2
∂

(E.52)
Für diese Herleitung wird die Tatsache verwendet, dass Ex [(x − µ)2 ] = σ 2 gilt. Hierbei ist
zu beachten, dass in dieser Arbeit die Fisher-Information für die Standardabweichung
verwendet wird. Diese unterscheidet sich von der Fisher-Information für die Varianz.
Analog zu den Herleitungen für den Mittelwert und die Standardabweichung lässt sich
zeigen, dass der Mittelwert und die Standardabweichung der Normalverteilung orthogonal
zueinander sind.
215
Literaturverzeichnis
[AAC12]
Arendt, Paul D. ; Apley, Daniel W. ; Chen, Wei: Quantification of
Model Uncertainty: Calibration, Model Discrepancy, and Identifiability. In:
Journal of Mechanical Design 134 (2012), Nr. 10
[ACA11]
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of the IDEAS11, 2011, S. 124–133
Eigene Publikationen
231
Eigene Publikationen
Vorläufige Versionen von Teilen dieser Arbeit wurden in den folgenden Publikationen
veröffentlicht:
[BEHL12] Baumgärtel, Philipp ; Endler, Gregor ; Held, Johannes ; Lenz, Richard:
Pay-As-You-Go Data Integration for Large Scale Healthcare Simulations. In:
57. Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Medizinische Informatik,
Biometrie und Epidemiologie e.V. (GMDS), 2012
[BEL13]
Baumgärtel, Philipp ; Endler, Gregor ; Lenz, Richard: A Benchmark for
Multidimensional Statistical Data. In: Catania, Barbara (Hrsg.) ; Guerrini, Giovanna (Hrsg.) ; Pokorný, Jaroslav (Hrsg.): Advances in Databases
and Information Systems Bd. 8133. Springer Berlin Heidelberg, 2013, S.
358–371
[BEL14]
Baumgärtel, Philipp ; Endler, Gregor ; Lenz, Richard: Toward PayAs-You-Go Data Integration for Healthcare Simulations. In: Bienkiewicz,
Marta (Hrsg.) ; Verdier, Christine (Hrsg.) ; Plantier, Guy (Hrsg.) ;
Schultz, Tanja (Hrsg.) ; Fred, Ana (Hrsg.) ; Gamboa, Hugo (Hrsg.):
Proceedings of the International Conference on Health Informatics, SciTePress - Science and Technology Publications, 2014, S. 172–177
[BEWL14] Baumgärtel, Philipp ; Endler, Gregor ; Wahl, Andreas M. ; Lenz, Richard: Inverse Uncertainty Propagation for Demand Driven Data Acquisition.
In: Tolk, A. (Hrsg.) ; Diallo, S. Y. (Hrsg.) ; Ryzhov, I. O. (Hrsg.) ; Yilmaz, L. (Hrsg.) ; Buckley, S. (Hrsg.) ; Miller, J. A. (Hrsg.): Proceedings
of the 2014 Winter Simulation Conference. Piscataway, NJ, USA : IEEE
Press, 2014 (WSC ’14), S. 710–721
[BL12]
Baumgärtel, Philipp ; Lenz, Richard: Towards Data and Data Quality
Management for Large Scale Healthcare Simulations. In: Proceedings of the
International Conference on Health Informatics, SciTePress - Science and
Technology Publications, 2012, S. 275–280
[BTL14]
Baumgärtel, Philipp ; Tenschert, Johannes ; Lenz, Richard: A Query
Language for Workflow Instance Data. In: Catania, Barbara (Hrsg.) ; Cerquitelli, Tania (Hrsg.) ; Chiusano, Silvia (Hrsg.) ; Guerrini, Giovanna
(Hrsg.) ; Kämpf, Mirko (Hrsg.) ; Kemper, Alfons (Hrsg.) ; Novikov, Boris
(Hrsg.) ; Palpanas, Themis (Hrsg.) ; Pokorný, Jaroslav (Hrsg.) ; Vakali,
Athena (Hrsg.): New Trends in Databases and Information Systems Bd. 241.
Springer International Publishing, 2014, S. 79–86
232
Literaturverzeichnis
Weitere Publikationen
Die folgenden Publikationen wurden in Kooperation mit anderen Lehrstuhlmitarbeitern
veröffentlicht. Diese Publikationen stehen in keinem Zusammenhang zu dieser Dissertation und enthalten keine Teile dieser Arbeit.
[DLB+ 11a]
Daum, Michael ; Lauterwald, Frank ; Baumgärtel, Philipp ; Pollner, Niko ; Meyer-Wegener, Klaus: Black-Box Determination of Cost
Models’ Parameters for Federated Stream-Processing Systems. In: Bernardino, Jorge (Hrsg.) ; Cruz, Isabel (Hrsg.) ; Desai, Bipin C. (Hrsg.):
Proceedings of IDEAS’11, 2011, S. 226–232
[DLB+ 11b]
Daum, Michael ; Lauterwald, Frank ; Baumgärtel, Philipp ; Pollner, Niko ; Meyer-Wegener, Klaus: Efficient and Cost-Aware Operator Placement in Heterogeneous Stream-Processing Environments. In:
ACM (Hrsg.): Proceedings of the 5th ACM International Conference on
Distributed Event-Based Systems, 2011, S. 393–394
[DLBMW10] Daum, Michael ; Lauterwald, Frank ; Baumgärtel, Philipp ; MeyerWegener, Klaus: Propagation of Densities of Streaming Data Within
Query Graphs. In: Gertz, Michael (Hrsg.) ; Ludäscher, Bertram
(Hrsg.): Scientific and Statistical Database Management: 22nd International Conference, 2010, S. 584–601
[DLBMW11] Daum, Michael ; Lauterwald, Frank ; Baumgärtel, Philipp ; MeyerWegener, Klaus: Kalibrierung von Kostenmodellen für föderierte DSMS.
In: Fischer, Peter M. ; H. (Hrsg.): Proceedings BTW 2011 - Workshops
und Studierendenprogramm, 2011 (Schriftenreihe des Fachbereichs Informatik), S. 13–23
[EBHL12]
Endler, Gregor ; Baumgärtel, Philipp ; Held, Johannes ; Lenz, Richard: Data Quality for Managers of Medical Supply Centers. In: 57. Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Medizinische Informatik, Biometrie und Epidemiologie e.V. (GMDS), 2012
[EBL13]
Endler, Gregor ; Baumgärtel, Philipp ; Lenz, Richard: Pay-As-YouGo Data Quality Improvement for Medical Centers. In: Ammenwerth, E.
(Hrsg.) ; Hörbst, A. (Hrsg.) ; Hayn, D. (Hrsg.) ; Schreier, G. (Hrsg.):
Proceedings of the eHealth2013, 2013, S. 13–18
Studentische Abschlussarbeiten
[HEBL12]
233
Held, Johannes ; Endler, Gregor ; Baumgärtel, Philipp ; Lenz, Richard: Verbesserte Integration von Medizintechnik durch Testdatenqualität. In: 57. Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Medizinische
Informatik, Biometrie und Epidemiologie e.V. (GMDS), 2012
Studentische Abschlussarbeiten
Die folgende Bachelorarbeit wurde am Lehrstuhl betreut:
[Ten12] Tenschert, Johannes C.: Anfragesprache für Workflowmodelle, Lehrstuhl für
Informatik 6 (Datenmanagement), Friedrich-Alexander-Universität ErlangenNürnberg, Bachelorarbeit, 2012
235
Abkürzungsverzeichnis
BSON
CKAN
CMSD
CSV
DBMS
DSDC
EAV/CR
EAV
ER
ETL
FFNI
FITC
GIN
GiST
IUP
JSON
MLE
M2 etis
OLAP
OWL
PCE
ProHTA
RDFS
RDF
SDMS
SD
SPARQL
SPGP-DR
SPGP
SQL
SWMS
TDQM
Binary JSON
Comprehensive Knowledge Archive Network
Core Manufacturing Simulation Data
Comma Seperated Values
Database Management System
Domain Scientific Data Cloud
EAV with classes and relationships
Entity Attribute Value
Entity Relationship
Extract, Tranform, Load
Full Factorial Numerical Integration
Fully Independent Training Conditional
Generalized Inverted Index
Generalized Search Tree
Inverse Unschärfepropagierung
JavaScript Object Notation
Maximum Likelihood Estimator
Massive Multiuser EvenT InfraStructure
Online analytical processing
Web Ontology Language
Polynomial Chaos Expansion
Prospective Health Technology Assessment
RDF Schema
Resource Description Framework
Simulationsdatenmanagementsystem
System Dynamics
SPARQL Protocol and RDF Query Language
SPGP with Dimensionality Reduction
Sparse Pseudo-Input Gaussian Process
Structured Query Language
Scientific Workflow Management System
Total Data Quality Management
236
Abkürzungsverzeichnis
Turtle
UML
UP
URI
XML
Terse RDF Triple Language
Unified Modeling Language
Unschärfepropagierung
Uniform Resource Identifier
Extensible Markup Language
237
Abbildungsverzeichnis
2.1 Vereinfachtes ER-Schema für EAV/CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
.
.
.
.
.
60
63
65
67
68
.
.
.
71
72
73
6.1 Vereinfachtes Schema für die Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Evaluationsergebnisse für das Einfügen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Evaluationsergebnisse für die einzelnen Anfragen . . . . . . . . . . . . .
76
89
90
Erweiterung des Schemas von EAV/CR für Eingabewerte . . . . . . . .
Erweiterung des Schemas für Simulationsläufe . . . . . . . . . . . . . .
Schema für mehrdimensionale Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
UML-Zustandsdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schema für Zustandsdiagramme (nach Dolog [Dol04]) . . . . . . . . . .
Architektur für die bedarfsgetriebene Datenintegration (Grafik bereits
publiziert in [BEL14][S.173]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Schema für semantische Annotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Schema für die semantische Annotation von Pivot-Tabellen . . . . . . .
7.1 Prozess für das Management von Simulationseingabedaten (Grafik von
Skoogh und Johansson [SJ08][S. 1730]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.1
8.2
8.3
8.4
Realisierungen eines Gaußprozesses . . . .
Regression mit Gaußprozessen . . . . . . .
Unschärfepropagierung . . . . . . . . . . .
Approximation der Simulation durch einen
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
Gaußprozess
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
115
121
126
129
10.1 Ebenen der Unschärfepropagierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.2 Verteilung der Gesamtzahl an Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . 152
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
Relativer Fehler der Cramér-Rao-Ungleichung . . . . . . . . . . . .
Genauigkeit der approximativen UP für W−1 = diag(0.04, . . . ,0.04)
Genauigkeit der approximativen UP für W−1 = diag(0.01, . . . ,0.01)
Geschwindigkeit der IUP in Abhängigkeit von (a) D und (b) N . .
Verteilung der Gesamtzahl an Beobachtungen . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
158
160
161
163
166
239
Tabellenverzeichnis
1.1 Beispiel für die semantische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.1 Übersicht über die einzelnen Datenmodelle der verschiedenen SWMS . .
55
5.1 Beispiel für eine relational gespeicherte Pivot-Tabelle . . . . . . . . . . .
74
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
85
86
87
88
92
Zeit
Zeit
Zeit
Zeit
Zeit
(s)
(s)
(s)
(s)
(s)
und
und
und
und
und
Standardabweichung
Standardabweichung
Standardabweichung
Standardabweichung
Standardabweichung
für die unterschiedlichen Indizes . . . .
für die unterschiedlichen hstore-Indizes
für die unterschiedlichen Datentypen .
der Ausführungsdauer . . . . . . . . .
der Anfragen . . . . . . . . . . . . . .
9.1 Übersicht über die einzelnen UP-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
10.1 Inverse Unschärfepropagierung für das M/M/1-Warteschlangensystem. . 145
10.2 Legende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.3 95%-Konfidenzintervall für die Gesamtzahl an Beobachtungen . . . . . . 151
11.1 Inverse Unschärfepropagierung für M2 etis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.2 95%-Konfidenzintervall für die Gesamtzahl an Beobachtungen . . . . . . 166
241
Liste von Annahmen
Annahme 1. Der initiale Aufwand eines domänenspezifischen Schemaentwurfs lohnt
sich für Simulationsprojekte nicht.
Seite 24
Annahme 2. Für das Datenmanagement in einen Simulationsbaukasten kann kein festes domänenspezifisches Schema entworfen werden.
Seite 24
Annahme 3. Die Datenhaltung verwaltet voraggregierte mehrdimensionale statistische
Daten, die aus öffentlichen Datenquellen stammen.
Seite 25
Annahme 4. In gesundheitsökonomischen Simulationsprojekten liegen alle Daten tabellarisch in Form von Pivot-Tabellen vor.
Seite 26
Annahme 5. Die semantische Integration von Pivot-Tabellen besteht darin, die Zellen, die Fakten enthalten, und die Zeilen und Spalten, die beschreibende Informationen
enthalten, zu identifizieren. Zusätzlich müssen die Zeilen und Spalten, die beschreibende
Informationen enthalten, den Attributen eines kanonischen Schemas zugeordnet werden.
Seite 27
Annahme 6. EAV/CR eignet sich zur Beschreibung und Speicherung von Simulationsmodellen.
Seite 27
242
Liste von Annahmen
Annahme 7. Die normalverteilte Unschärfe ist die wichtigste Datenqualitätsdimension
für Eingabewerte.
Seite 28
Annahme 8. Gaußprozesse sind als Surrogatmodelle für die Analyse von Simulationen
geeignet.
Seite 29
Annahme 9. Gaußprozesse ermöglichen eine effiziente approximative Propagierung der
Unschärfe durch Simulationen mit ausreichender Genauigkeit.
Seite 29
Annahme 10. Die Datensammlung besteht aus der Beschaffung einer Stichprobe von
Messdaten, die mittels MLE zur Bestimmung von Parametern von Wahrscheinlichkeitsverteilungen herangezogen werden.
Seite 30
Annahme 11. Die Kosten, um eine bestimmte Unschärfe der Eingabewerte bei einer
Datensammlung zu erreichen, kann durch die Cramér-Rao-Ungleichung mit ausreichender Genauigkeit approximiert werden.
Seite 30
Annahme 12. Zur Beschreibung von kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen
werden ausschließlich die Parameter von exakten kontinuierlichen Verteilungen gespeichert.
Seite 49
Annahme 13. Die pro Anfrage verarbeitete Menge an Fakten dominiert den Aufwand.
Der Aufwand für die Verarbeitung von Schemainformationen kann vernachlässigt werden.
Kontext: Für die Evaluation von EAV/CR wird das Schema durch diese Annahme auf
ein reines EAV basiertes Schema reduziert.
Seite 76
Liste von Annahmen
243
Annahme 14. Fakten sind in Faktenwürfeln angeordnet mit d ≤ 6 Attributen und n =
10 unterschiedlichen Attributwerten für jedes Attribut. Attributwerte sind ganze Zahlen.
Die Faktenwürfel bestehen also aus nd Fakten. Die Werte der Fakten sind zufällig und
gleichverteilt aus dem Intervall [0, 1]. Die Standardabweichung der Fakten wird in der
Evaluation nicht berücksichtigt. Jeder Fakt eines Faktenwürfels hat die gleiche Quelle,
die für die Evaluation dem willkürlichen Namen des Faktenwürfels entspricht.
Kontext: Diese Annahme definiert die Fakten für die Evaluation.
Seite 82
Annahme 15. Die gesammelten Daten (d1 , . . . ,dn ) sind entsprechend der exakten Wahrscheinlichkeitsverteilung p(d) verteilt.
Kontext: Diese Annahme wird für das Simulation-Input-Modeling getroffen. Es gilt:
di ∈ Rn .
Seite 104
Annahme 16. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass alle Stichproben genügend
groß sind und MLE annähernd normalverteilt sind.
Kontext: Bei genügend großen Stichproben sind MLE asymptotisch normalverteilt.
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Annahme 17. Die Unschärfe und Richtigkeit der Parameterschätzung hängt nur vom
Schätzer û ab.
Kontext: û ist dabei ein MLE, der den Parametervektor u einer Verteilung anhand
einer zufälligen Stichprobe abschätzt.
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Annahme 18. Die Eingabeparameter einer Simulation sind entweder Parameter von
exakten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und werden mittels MLE aus Stichproben bestimmt oder sie sind weitere Parameter, die mit einer festen normalverteilten Unschärfe
behaftet sind.
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244
Liste von Annahmen
Annahme 19. Für den Wert von u existiert eine Abschätzung û∗ . Diese ist normalverteilt mit einer Varianz Var(û∗ ) ≫ Var(û).
Kontext: u ist der Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, der mit dem MLE û
geschätzt werden soll. û∗ ist dabei eine gegebene grobe initiale Abschätzung von u.
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Annahme 20. pu besitzt eine orthogonale Parametrierung u.
Kontext: Ein Verteilung pu mit dem Parametervektor u besitzt eine orthogonale Parametrierung, wenn die Fisher-Informationsmatrix I(u) eine Diagonalmatrix ist. Die
Komponenten des Schätzers û sind damit unabhängig voneinander.
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Annahme 21. Die Parameter verschiedener Verteilungen p1,u1 , . . . ,pk,uk und ein weiterer Parametervektor u+ sollen geschätzt werden. Der Vektor von Schätzern û =
(û1 , . . . ,ûk ,û+ ) ist normalverteilt mit û ∼ Nu,Σ u . û+ ist dabei ein Pseudoschätzer, der
die normalverteilte Schätzung für den weiteren Parametervektor u+ beschreibt. u ist hier
der Vektor der tatsächlichen Parameter (u1 , . . . ,uk ,u+ ). Die einzelnen Verteilungen pi,ui
sind paarweise unabhängig voneinander und die Komponenten der einzelnen Parametervektoren ui sind orthogonal zueinander. Σ u ist dann aufgrund der Unabhängigkeit
und Orthogonalität eine Diagonalmatrix, welche entlang der Diagonale die Varianzen
der einzelnen Schätzer enthält.
Kontext: In Annahme 20 wurde davon ausgegangen, dass die einzelnen Schätzer für
die Parameter einer einzelnen Verteilung unabhängig voneinander sind. In dieser Annahme wird nun davon ausgegangen, dass auch die Schätzer für die Parameter mehrerer
Verteilungen unabhängig voneinander sind.
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Annahme 22. Es wird angenommen, dass f eine mögliche Realisierung von GX ist.
Kontext: f ist eine Funktion f : RD → R und GX ist ein Gaußprozess, also eine Menge
von Zufallsvariablen mit Indexmenge X = RD . Mit der Abbildung G : RD → GX lässt
sich für jedes x ∈ RD die zugehörige Zufallsvariable in GX finden.
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Liste von Annahmen
245
Annahme 23. Es wird von der Mittelwertfunktion m : x →→ 0 ausgegangen.
Kontext: Die Mittelwertfunktion m : RD → R liefert für jedes x ∈ RD den Mittelwert
der Zufallsvariable G(x).
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Annahme 24. Es wird angenommen, dass die Unschärfe Σ u klein ist, so dass die
approximative UP anwendbar ist.
Kontext: Σ u ist die Kovarianzmatrix, welche die Unschärfe des um den Mittelwert u
normalverteilten Parametervektors x ∼ Nu,Σ u beschreibt.
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247
Stichwortverzeichnis
Aktualität, 100
Attribut, 15
Ausgaben, 15
Ausgabewerte, 15
Ausprägung, 15, 98
Bedarfsgetriebene Datenakquisition, 107
Computerexperiment, 15
Computermodell, 14
Dataspaces, 42
Datenmodell, 15
Datensammlung, 30, 242
Datenwürfel, 64
Domänenmodell, 15
Donald Duck, 201
Dynamisches System, 44
Diskretes dynamisches System, 44
Kontinuierliches dynamisches System, 44
Stochastisches dynamisches System,
45
Eingaben, 14
Eingabeparameter, 14
Eingabevariablen, 14
Eingabewerte, 15
Entität, 15, 37
Entitätstyp, 15, 37
Faktenwürfel, 61
Föderiertes Schema, 41
Gaußprozess, 114
Genauigkeit, 99
Gültigkeit von Fakten, 61
Heteroskedastizität, 116
Homoskedastizität, 116
Integration
Semantische Integration, 19
Technische Integration, 19
Inverse Unschärfepropagierung
Approximativ, 144
Exakt, 144
Klasse, 37
Klassenhierarchie, 37
Konsistenz, 100
Korrektheit, 99
Semantische Korrektheit, 99
Syntaktische Korrektheit, 99
Maßerhaltender Fluss, 45
Modell, 14
Monte-Carlo-Propagierung, 28
Objekt, 37
Orthogonale Region, 67
Präzision, 99
Propagierung, 15
Rechtzeitigkeit, 100
Relation, 98
Richtigkeit, 99
Schema, 15, 98
Exportschemata, 41
Externe Schemaebene, 41
248
Externes Schema, 41
Internes Schema, 41
Komponentenschema, 41
Konzeptionelles Schema, 41
Lokales Schema, 41
Schema-Abbildung, 41
Schema-Abgleich, 41
Simulation, 15
Simulationslauf, 15
Simulationsmodell, 14
Agentenbasiertes Simulationsmodell,
17
System Dynamics, 17
Surrogatmodelle, 15
Transition, 67
Ausbrechende Transition, 67
Tupel, 98
Unschärfe, 99
Aleatorische Unschärfe, 111
Epistemische Unschärfe, 111
Surrogat-Unschärfe, 111
Unschärfepropagierung
Approximativ, 127
Exakt, 127
Unsicherheit, 100
Verzweigung, 67
Vollständigkeit, 100
Attributvollständigkeit, 100
Populationsvollständigkeit, 100
Relationsvollständigkeit, 100
Tupelvollständigkeit, 100
Zustand, 67
Zusammengesetzter Zustand, 67
Stichwortverzeichnis