(a n ) 1.2.1. Summen- und Komplementärregel

1.2. Berechnen von
Wahrscheinlichkeiten
1.2.1. Summen- und
Komplementärregel
1.2.1. Summen- und Komplementärregel
In einer Urne befinden sich Kugeln mit den Zahlen von 1 bis 20.
Es sei
E1 … die gezogene Zahl ist durch 4 teilbar
E1  4;8;12;16;20
Da jede Kugel (jedes Ergebnis) die Wahrscheinlichkeit von
die Wahrscheinlichkeit von PE1  
5
.
20
1
hat, ist
20
1.2.1. Summen- und Komplementärregel
ELEMENTARE SUMMENREGEL
Betrachtet man bei einem Zufallsversuch mehrere
Ergebnisse und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass
eines dieser Ergebnisse eintritt, so fasst man diese
Ergebnisse zu einem Ereignis zusammen.
Hat ein Ereignis E die Ergebnisse a1 bis an, so gilt
P (E) = P (a1) + P (a2) + … + P (an)
1.2.1. Summen- und Komplementärregel
Weiterhin sei
E2 … die gezogene Zahl ist durch 7 teilbar
E2  7;14
P E 2  
2
20
E1 und E2 haben keine gemeinsamen Elemente. Berechnet man die
Wahrscheinlichkeit für E  E1  E 2 (E … die gezogene Zahl ist durch
4 oder 7 teilbar), so gilt
PE   P E1   PE 2 
5
2

20 20
7

20

1.2.1. Summen- und Komplementärregel
Es sei
E3 … die gezogene Zahl ist durch 6 teilbar
E3  6;12;18
P E 3  
3
20
E1 und E3 haben das Ergebnis „12“ gemeinsam. Berechnet man die
Wahrscheinlichkeit für E  E1  E3 (E … die gezogene Zahl ist durch
4 oder 6 teilbar), so gilt
PE   PE1   PE 3   PE1  E 3 
5
3
1


20 20 20
7

20

1.2.1. Summen- und Komplementärregel
ALLGEMEINE SUMMENREGEL
P  E   P  E1   P  E2   P  E1  E2  für E  E1  E2
1.2.1. Summen- und Komplementärregel
Betrachtet man
E4 … die gezogene Zahl ist gerade und
E5 … die gezogene Zahl ist ungerade,
so schließen sich die beiden Ereignisse gegenseitig aus und es gilt
E E  S .
4
5
E4 ist also das Gegenereignis von E5. Deswegen ist P (E4) + P (E5) = 1
1.2.1. Summen- und Komplementärregel
KOMPLEMENTÄRREGEL
Wenn E1  E2 
und E1  E2  S ,dann gilt
P (E1) + P (E2) = 1

1.2.2. Baumdiagramme
1.2.2. Baumdiagramme
In einem Behälter befinden sich 5 rote und 2 blaue Kugeln.
Nacheinander werden daraus drei Kugeln ohne Zurücklegen
gezogen.
r
r
r
r
b
b
b
r
b
r
b
b
r
Eine solche
Darstellung heißt
ein
BAUMDIAGRAMM.
1.2.3. Abhängige und
unabhängige Zufallsversuche
1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche
Zufallsversuche können mehrfach hintereinander durchgeführt
werden. Solche Zufallsversuche heißen MEHRSTUFIG. Dabei
unterscheidet man UNABHÄNGIGE und ABHÄNGIGE
Zufallsversuche.
1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche
UNABHÄNGIGKEIT
Bei manchen Zufallsexperimenten ist ein Versuchsergebnis
unabhängig vom Ergebnis des vorher durchgeführten
Experiments. Das Versuchsergebnis wird nicht beeinflusst
durch das Ergebnis des vorhergehenden Experimentes.
Beispiele: Werfen eines Würfels, Werfen einer Münze; Drehen
eines Glücksrades, Ziehen einer Kugel mit Zurücklegen
1.2.3. Abhängige und unabhängige Zufallsversuche
ABHÄNGIGKEIT
Bei manchen Zufallsexperimenten ist ein Versuchsergebnis
abhängig vom Ergebnis des vorher durchgeführten Experiments.
Das Versuchsergebnis wird beeinflusst durch das Ergebnis des
vorhergehenden Experimentes.
Beispiele: Ziehen eines Loses aus einer Lostrommel, Ziehen einer
Kugel ohne Zurücklegen
1.2.4. Wahrscheinlichkeiten bei
mehrstufigen Zufallsversuchen
1.2.4. Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen
Zufallsversuchen
Für das Beispiel aus 1.2.2. findet man folgende Wahrscheinlichkeiten:
5
7
2
7
r
b
4
6
r
2
6
b
5
6
1
6
r
b
3
5
2
5
4
5
1
5
4
5
1
5
1
r
E1 = {r; r; r}
b
E2 = {r; r; b}
r
E3 = {r; b; r}
b
E4 = {r; b; b}
r
E5 = {b; r; r}
b
E6 = {b; r; b}
r
E7 = {b;b; r}
1.2.5. Pfadregeln
1.2.5. Pfadregeln
Für das Beispiel aus 1.2.2. soll berechnet werden, mit welcher
Wahrscheinlichkeit drei rote Kugeln gezogen werden.
PFADREGEL 1: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist gleich
dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades im
Baumdiagramm.
Für das Ereignis E1 aus 1.2.2. bedeutet das:
5 4 3
P E1    
7 6 5
2
P E1  
7
1.2.5. Pfadregeln
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind bei den drei gezogenen Kugeln
mindestens zwei rote dabei?
Das trifft auf die Ereignisse E1; E2; E3; und E5 zu.
PFADREGEL 2: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist
gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die für
dieses Ereignis günstig sind.
PE   PE1   PE 2   PE3   PE5 
P E  
5 4 3 5 4 2 5 2 4 2 5 4
          
7 6 5 7 6 5 7 6 5 7 6 5
6
P E  
7
1.2.6. Bedingte
Wahrscheinlichkeiten
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Mehr Abiturientinnen als Abiturienten
52,4 % der 244600 Jugendlichen, die am Ende des vergangenen
Schuljahres ihre Schule mit der allgemeinen Hochschulreife verließen,
waren Frauen. In den neuen Ländern und Berlin liegt der Frauenanteil
mit 59,1 % deutlich höher als im früheren Bundesgebiet (50,8 %).
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Bei diesem Zufallsexperiment werden zwei Merkmale mit jeweils zwei
Ausprägungen beobachtet.
A..."Ossi "
A..."Wessi "
B...Frau
B...Mann
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.
Frau
Mann
Gesamt
Ossi
Wessi
Gesamt
52,4 %
244600
100 %
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.
Frau
Mann
Gesamt
Ossi
Wessi
Gesamt
128170
52,4 %
244600
100 %
52,4 % der
insgesamt 244600
Abiturientinnen
und Abiturienten
sind Frauen.
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.
Frau
Mann
Gesamt
128170
52,4 %
116430
47,6 %
244600
100 %
Ossi
Wessi
Gesamt
Demzufolge sind es
116430 Männer.
Das entspricht
47,6 %.
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.
Frau
Ossi
Wessi
Gesamt
Mann
Gesamt
59,1 %
244600x
50,8 %
x
128170
52,4 %
116430
47,6 %
244600
100 %
Zu lösen ist die Gleichung
0,591 244600 x   0,508 x  128170
Man erhält mit x = 197458 die Anzahl der
Abiturienten aus Westdeutschland.
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.
Frau
Mann
Gesamt
Ossi
47142
19,3 %
Wessi
197458
80,7 %
Gesamt
128170
52,4 %
116430
47,6 %
244600
100 %
Also kommen 47142
Abiturienten aus
Ostdeutschland. Das
sind 19,3 %.
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.
Ossi
Frau
Mann
Gesamt
27861
11,4 %
19281
7,9 %
47142
19,3 %
197458
80,7 %
Wessi
Gesamt
128170
52,4 %
116430
47,6 %
244600
100 %
Von den 47142
Absolventen aus
Ostdeutschland sind
59,1 % Frauen. Es
sind also 27861
Frauen und 19281
Männer. Das sind
11,4 % bzw. 7,9 %
des Grundwertes.
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Häufigkeiten kann man in einer VIERFELDERTAFEL darstellen.
Frau
Mann
Gesamt
Ossi
27861
11,4 %
19281
7,9 %
47142
19,3 %
Wessi
100309
41,0 %
97149
39,7 %
197458
80,7 %
Gesamt
128170
52,4 %
116430
47,6 %
244600
100 %
Durch Subtraktion
lassen sich die
fehlenden absoluten
Häufigkeiten
ermitteln.
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
B
Frau
B
Mann

A
P  A  B P A  B
A
P A B P A B
Ossi
Wessi
Gesamt
11,4 %
7,9 %
Gesamt

 
41,0 %  39,7
%
P  B
52,4 %
 
P B
47,6 %
P  A
19,3 %


80,7 %
P A
100 %
Aus der
Vierfeldertafel lassen
sich z.B. ablesen:
•Wahrscheinlichkeit,
dass eine Person aus
dem Osten kommt:
P  A  19,3%
•Wahrscheinlichkeit,
dass eine Person aus
dem Osten kommt
und weiblich ist:
P  A  B   11,4%
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Gesucht sind folgende Wahrscheinlichkeiten:
1. Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau?
2. Falls eine Person weiblich ist: mit welcher
Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus
Ostdeutschland?
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Hier werden die Wahrscheinlichkeiten an Bedingungen
geknüpft.
1. Falls eine Person aus dem Osten kommt: mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist es dann eine Frau?
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der
Bedingung, dass A eintritt: PA B 
2. Falls eine Person weiblich ist: mit welcher
Wahrscheinlichkeit kommt sie dann aus
Ostdeutschland?
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der
Bedingung, dass B eintritt: PB  A
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Für solche Berechnung kann man den Satz von Bayes
verwenden.
SATZ: Satz von Bayes
Sind A und B Ereignisse mit P(A) ≠ 0, dann gilt
P(A  B)
PA (B) =
P(A)
P(A  B)
PA (B) =
P(A)
P(A  B)
PA (B) =
P(A)
PA (B) =
P(A  B)
P(A)
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
B
Frau
B
Mann

A
P  A  B P A  B
A
P A B P A B
Ossi
Wessi
Gesamt
11,4 %
7,9 %
Gesamt

 
41,0 %  39,7
%
P  B
52,4 %
 
P B
47,6 %
P  A
19,3 %


80,7 %
P A
100 %
Falls eine Person aus
dem Osten kommt: mit
welcher
Wahrscheinlichkeit ist
es dann eine Frau?
(Wahrscheinlichkeit
des Ereignisses B
unter der Bedingung,
dass A eintritt: PA B )
P( A  B)
P( A)
0,114
PA ( B) 
0,193
PA ( B)  0,591
PA ( B) 
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
B
Frau
B
Mann

A
P  A  B P A  B
A
P A B P A B
Ossi
Wessi
Gesamt
11,4 %
7,9 %
Gesamt

 
41,0 %  39,7
%
P  B
52,4 %
 
P B
47,6 %
P  A
19,3 %


80,7 %
P A
100 %
Falls eine Person
weiblich ist: mit
welcher
Wahrscheinlichkeit
kommt sie dann aus
Ostdeutschland?
(Wahrscheinlichkeit
des Ereignisses A
unter der Bedingung,
dass B eintritt: PB  A)
P( A  B)
PB ( A) 
P( B)
0,114
PB ( A) 
0,524
PB ( A)  0, 218
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Aufgaben dieser Art lassen sich auch durch zwei Baumdiagramme lösen.
w
{O;w}
O
O {w;O}
w
m
{O;m}
w
{W;w}
W
W {w;W}
O {m;O}
m
m
{W;m}
W {m;W}
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
w
{O;w}
O {w;O}
0,591
O
w
0,508
m
{O;m}
w
{W;w}
W
0,524
W {w;W}
O {m;O}
m
m
{W;m}
W {m;W}
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Ereignis und Gegenereignis haben zusammen die Wahrscheinlichkeit 1.
w
{O;w}
O {w;O}
0,591
O
0,409
0,508
w
m
{O;m}
w
{W;w}
W
0,524
W {w;W}
O {m;O}
0,476
m
0,492
m
{W;m}
W {m;W}
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Analog zur Vierfeldertafel ist P(W) = 0,807.
w
{O;w}
O {w;O}
0,591
O
0,807
0,409
0,508
w
m
{O;m}
w
{W;w}
W
0,524
W {w;W}
O {m;O}
0,476
m
0,492
m
{W;m}
W {m;W}
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Der Rest wird nach den Pfadregeln berechnet.
w
{O;w}
O {w;O}
0,591
O
0,807
0,409
0,508
w
m
{O;m}
w
{W;w}
W
0,524
W {w;W}
O {m;O}
0,476
m
0,492
m
{W;m} 0,397
W {m;W} 0,397
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Der Rest wird nach den Pfadregeln berechnet.
w
{O;w} 0,114
O {w;O} 0,114
0,591
O
0,193
0,807
0,409
0,508
0,218
w
m
{O;m} 0,079
w
{W;w} 0,410
W
0,524
W {w;W} 0,410
0,476
m
0,492
0,782
0,166
O {m;O} 0,079
0,834
m
{W;m} 0,397
W {m;W} 0,397
1.2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten lassen sich direkt ablesen.
w
{O;w} 0,114
O {w;O} 0,114
0,591
O
0,193
0,807
0,409
0,508
0,218
w
m
{O;m} 0,079
w
{W;w} 0,410
W
0,524
W {w;W} 0,410
0,476
m
0,492
0,782
0,166
O {m;O} 0,079
0,834
m
{W;m} 0,397
W {m;W} 0,397