WELLEN in MATERIE

Kapitel 14
WELLEN in MATERIE
Elektromagnetische Wellen im Vakuum:
• bei hoher Intensität: Maxwellgleichungen,
• bei kleiner Intensität: statistisches Photonenbild.
in Materie muss zusätzlich berücksichtigt werden:
• Absorption und Reemission durch Atome des Mediums bedeutet
Vernichtung und Erzeugung von elektromagnetischen Wellen,
oder gleichbedeutend von Photonen.
14.1
Brechungsindex
Experimentelle Beobachtung: Die Phasengeschwindigkeit von EM-Wellen in Materie ist kleiner als im Vakuum. Mit der Definition des Brechungsindex, der von
der Wellenlänge abhängt, gilt
cvac
uph (λ) =
(14.1)
n(λ)
Die Wellenlänge im Medium λ! ist im Normalfall kürzer als im Vakuum:
!
!
λ! =
λvac
cvac
=
n(λ)
ν · n(λ)
Die Frequenz ist im Medium die gleiche
wie in Vakuum (Atome an der Oberfläche wüßten nicht nach welcher Frequenz sie sich richten sollten).
Ein Bild für eine Lichtwelle im Medium ist folgendes: Atomelektronen werden
durch das Lichtfeld zu Schwingungen angeregt. Diese Dipole strahlen ihrerseits
wieder ab. Die Phase der erzwungenen Schwingung ist verzögert gegen die Erregerschwingung (wie stark, hängt vom Verhältnis ω/ω0 ab, wobei ω0 eine charakteristische Eigenfrequenz des Atoms ist). Das klassische Bild eines gedämpften
getriebenen Oszillators bietet einen ersten Einblick für die Antwort der Atomelektronen auf das elektrische Feld der Lichtwelle.
121
Dazu betrachten wir zuerst eine ebene Welle im Vakuum entlang z
E(z, t) = ei(ωt−kz) = E0 ei ω(t−z/c)
(14.2)
Für eine Strecke ∆z braucht die Welle die Zeit t = ∆z/c,
im Medium braucht sie die zusätzliche Zeit: ∆t = (n − 1)∆z/c.
Damit gilt für die Welle im Medium nach Durchlaufen eines Materials mit Brechungsindex n und einer Dicke ∆z:
E(z, t)
= E0 ei ω[ t−z/c+(n−1)∆z/c]
= E0 ei ω(t−z/c) ei ω(n−1)∆z/c
(14.3)
= E0 ei ω(t−z/c) eiϕ
Der Einfuß des Mediums ist eine Phasenverschiebung um den Wert
ϕ = ω(n − 1)∆z/c
(14.4)
Für ein optisch dünnes Medium1 gilt ϕ " 1. Damit kann die Entwicklung
eiϕ = 1 + iϕ + . . . .
(14.5)
nach dem zweiten Glied abgebrochen werden. In diesem Bild ist die Welle im
Medium gleich der einlaufenden Welle begleitet von Sekundärwellen
E(z, t) = E0 ei(ωt−kz) + iω(n − 1)
14.2
∆z
E0 eiω(t−z/c) + . . .
c
(14.6)
Atomares Oszillator Modell
Ein Atomelektron wird durch die elektromagnetische Welle (14.2) zu einer gedämpften Schwingung angeregt. Die Welle sei in x-Richtung polarisiert und
induziert das Dipolmoment p% = &ˆx e x. Das induzierte Dipolmoment oszilliert
mit der Lichtfrequenz ω und der komplexen Amplitude x̃0
p%(z, t) = &ˆx e x̃0 e−i(ωt−kz)
(14.7)
Das induzierte Dipolmoment bestimmt man aus dem Lorentz Modell eines klassischen Oszillators der Masse m und Ladung e mit der Eigenfrequenz ω0 . Ein
Dämpfungsterm γ beschreibt die Abstrahlung von Energie auf Grund der Beschleunigung der Ladung (Strahlungsdämpfung). Die Bewegungsgleichung des
getriebenen Lorentz Oszillators ist
ẍ + γ ẋ + ω02 x +
e
E(t) = 0
m
(14.8)
Für die Auslenkung x macht man einen komplexen Ansatz mit
x = x̃0 eiωt
wobei
x̃0 = x0 eiϕ
(14.9)
Eine Lösung von (14.8) ergibt sich mit der Amplitude
x̃0 = −
1 Optisch
eE0 /m
(ω02 − ω 2 ) + iγω
(14.10)
dünn bedeutet, die Materie ist im betrachteten Frequenzbereich durchsichtig.
!
Die physikalische Amplitude entspricht dem Betrag x0 = |x̃0 | = x̃0 x̃∗0 .
Das externe Lichtfeld regt also im Medium schwingende Dipole an, die Elektronen oszillieren mit der Amplitude x0 um die ortsfesten Positionen der positiven Atomrümpfe. Die Überlagerung der Felder dieser schwingenden Dipole ist
Ursache für ein vom Medium erzeugtes Lichtfeld. Für das Fernfeld des Dipols
hatten wir (9.25)
1 p̈
sin θ
(14.11)
c2 r
Nach dieser Gleichung erwarten wir, dass die angeregten Dipole nach allen Richtungen abstrahlen, dass es also zur Lichtstreuung kommt.
Edipol = &ˆx fc
Warum geht Licht durch homogenes, isotropes Medium scheinbar geradeaus,
wenn doch die Dipole gemäß sin θ emittieren?
Ein homogenes, isotropes Medium besteht aus gleichartigen Streuzentren. Bei
Bestrahlung schwingen die Atomelektronen in Phase. Wir betrachten eine Schicht
∆z, in der diese Dipole im Abstand d liegen.2
Wir betrachten m solche Dipolquellen
!
und überlegen uns ihr Fernfeld in ei"
ne Richtung unter dem Winkel α zur
!
z-Achse. Damit ist der Wegunterschied
zwischen benachbarten Teilwellen:
#
∆ϕ =
2π
2π
∆s =
d sin α
λ
λ
$
Die Amplitude jeder Einzelquelle sei A.
Die Gesamtamplitude von m Quellen
ist
E=A
m
"
ei(ωt+ϕj ) = Aeiωt
j=1
m
"
%&' (
!
ei(j−1)∆ϕ
j=1
wobei wir die Phase der ersten Dipolquelle ϕ1 = 0 gesetzt haben. Als Summe
der geometrischen Reihe ergibt sich die Beziehung
m
"
j=1
ei(j−1)∆ϕ
=
ei m ∆ϕ − 1
ei ∆ϕ − 1
= ei (m−1)/2 ∆ϕ
sin [(m/2)∆ϕ]
sin [(1/2)∆ϕ]
Mit der Beziehung 14.2 ergibt sich die Winkelverteilung der Intensität der gestreuten Welle (I = c&0 E 2 ) als
#
$
sin2 m π λd sin α
#
$
I(α) ∝
(14.12)
sin2 π λd sin α
Die genaue Form dieser Verteilung hängt extrem stark vom Verhältnis d/λ und
der Anzahl der Quellen m ab. Bei d ≈ λ und großen Werten von m bleibt merkliche Streuintensität nur in einem engen Winkelbereich um die Vorwärtsrichtung.
2 Wir
nehmen der Einfachheit halber auch an, dass die Dipole regelmäßig angeordnet sind.
Ursache dafür ist die destruktive Interferenz in alle anderen Raumrichtungen.
Dieser Fall ist nur bei Medien mit gleichartigen Streuern (jeder hat die gleiche
Amplitude A und bei Dipolabständen d, die klein gegenüber der Wellenlänge
sind, gerechtfertigt. Das ist kohärente Streuung.
m#100
!0.1
!0.05
0
Α !rad"
0.05
0.1
m#10
!0.1
!0.05
0
Α !rad"
0.05
!0.05
0
Α !rad"
0.05
d#Λ#1
d#Λ#0.5
m#100
!0.1
0.1
!!Α"
!!Α"
!!Α"
d#Λ#1
!!Α"
d#Λ#0.1
!0.05
0
Α !rad"
0.05
m#50
0.1
!0.1
d#Λ#2
0.1
!!Α"
!!Α"
d#Λ#1
m#100
!0.1
!0.05
0
Α !rad"
0.05
m#100
0.1
!0.1
!0.05
0
Α !rad"
0.05
0.1
Der Abstand zwischen den zentralen Minima beträgt 2λ/(m d). Abweichungen von der geradlinigen Ausbreitung treten also nur bei sehr kleinen Streuobjekten, bzw. bei homogenen Objekten, die größer sind als der Lichtstrahl, im
Randbereich des Lichtstrahles auf. 3
Damit wird es verständlich, dass das Fernfeld phasengleicher getriebener Oszillatoren im wesentlichen in Vorwärtsrichtung beobachtbar ist, und für die Summe
aller Dipole aus der Schicht ∆z gilt: sin θ ≈ 1. Unter Verwendung der Amplitude der Auslenkung des getriebenen Elektrons (14.10) erhält man für das Feld
aus einer homogenen Schicht von Dipolen in der x−y-Ebene der Dicke ∆z, im
Abstand z von der Schicht
% ∞
eω 2 x̃0
1 iωr/c
∆z
Edipol
= fc 2 eiωt N ∆z
e
2π ρ dρ
c
r
0
e2 N
1
∆z
(14.13)
= iω
E0 eiω(t−z/c)
2
2&0 m (ω0 − ω 2 ) + i γ ω
c
Dabei gibt N die Dichte der Dipole N ∝ 1/(d ∆z) an und ρ2 = x2 +y 2 = r2 −z 2 .
Dieses Sekundärfeld kann jetzt mit dem Beitrag in Gleichung (14.6) verglichen
werden. Daraus folgt eine mikroskopische Interpretation für den Brechungsindex
n−1=
N e2
1
2&0 m (ω02 − ω 2 ) + i γ ω
(14.14)
Die Brechzahl n ist eine komplexe Zahl. Sie ist proportional zur Dichte
(N ) der schwingenden Dipole. Sie hängt ab von der Verstimmung (ω0 − ω) der
Resonanzfrequenz von der treibenden Frequenz sowie von der Dämpfung (γ).
Die Bedeutung der komplexen Brechzahl liegt in der Absorption und Dispersion
elektromagnetischer Wellen.
3 Die makroskopische regelmäßige Anordnung gleichphasiger Dipolantennen ist unter dem
Namen phased array antennas bekannt. Sie zeigt ausgezeichnete Richtcharakteristik.
14.3
Absorption und Dispersion
Zur Interpretation von (14.14) erweitern wir mit (ω02 − ω 2 ) + iγω und schreiben
wir den Brechungsindex als
n = n! − i κ
(14.15)
Daraus folgen die Dispersionsrelationen:
n! − 1
=
κ
=
N e2
ω02 − ω 2
2
2&0 m (ω0 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
γω
N e2
2&0 m (ω02 − ω 2 )2 + γ 2 ω 2
(14.16)
(14.17)
Die Wellenlängenabhängigkeit von Imaginär- und Realteil des Brechungsindex
ist in der folgenden Bildern gezeigt :
!
!
" "
" "
Mit dem Brechungsindex aus Gl.(14.16) und Gl.(14.17) ergibt sich aus Gleichung
(14.3)
E(z, t)
= E0 ei ω(t−z/c) eiϕ
= E0 ei ω(t−z/c) ei ω(n−1)∆z/c
!
∆z
∆z
= E0 ei(ωt−kz) · e−ωκ c · eiω(n −1) c
= E0 ei(ωt−kz) · e−β
∆z
2
· ei∆ϕ
(14.18)
wobei der zweite Exponentialterm eine Abschwächung der Welle angibt (reelles
Argument!) und der dritte Exponentialterm die Phasenverzögerung der Welle
und k die Wellenzahl im Vakuum ist.
Die Phasenverzögerung entsteht durch den Exponentialterm iω(n!−1) ∆z
c = i∆ϕ.
∆z
Die Absorption entsteht durch die exponentielle Dämpfung ωκ c , wobei
2ω
c
der Absorptionskoeffizient im Beer’schen Gesetz ist :
β=κ
(14.19)
I = I0 e−β ∆z .
(14.20)
Für durchsichtige Medien ist β sehr klein, sodass n ≈ n! .
Bisher hatte das Atom nur eine Resonanz bei ω0 . Aber: Atome haben diskrete
Energiezustände und damit viele mögliche optische Übergänge h̄ωk = Ek − Eg .
Den Bruchteil der gesamten Absorption, der bei der Frequenz ωk liegt, nennt
man Oszillatorstärke, fk . Nach der Summenregel von Thomas, Reiche und
Kuhn ist die Gesamtzahl der Elektronen im Atom, Ne gleich
"
Ne =
fk
(14.21)
k
Mit normaler Dispersion (dn! /dω > 0) bezeichnet man den Wellenlängenbereich im Dispersionsspektrum, in dem n! mit der Wellenlänge ansteigt.
Bei anomaler Dispersion (dn! /dω < 0) fällt n! mit steigener Wellenlänge ab.
Dieser Bereich ist gleichzeitig Bereich größter Absorption.4
14.4
Lichtgeschwindigkeit
Für den Betrag des Wellenvektors hatten wir im Vakuum den Ausdruck
2π
ω
=
c
λ
In einem Medium mit dem Brechungsindex n ist
ω
k = n(ω)
c
Denkt man sich die Gleichung nach ω aufgelöst, so erhält man
k=
ω = ω(k) =
ck
n(ω)
(14.22)
(14.23)
(14.24)
Für das zeitabhängige Feld einer ebenen Welle entlang z sei
E(z, t) = E0 ei[ω(k)t−k z]
(14.25)
Ein Punkt konstanter Phase dieser Welle d [ω(k)t − k z] / dt = 0 bewegt sich
mit der Phasengeschwindigkeit uph = ż
uph =
ω(k)
c
=
k
n(ω)
(14.26)
Die Phasengeschwindigkeit ist also kleiner oder größer als c, je nachdem der Brechungsindex größer oder kleiner als Eins ist. Wellen mit einer festen Wellenzahl
k, also wohldefinierter Frequenz sind monochromatisch. Monochromatische
Wellen sind zeitlich und räumlich unbegrenzt. Über die Ausbreitung einer harmonischen Welle kann keine zeitaufgelöste Information übertragen werden.
Nur mit Frequenz-, Amplituden- oder Polarisations-Änderung kann dies erreicht werden. Das Aufprägen einer Modulation ergibt aus der harmonischen
Einzelwelle ein Wellenpaket. Ein Wellenpaket ist immer ein Frequenzgemisch.
Diese Gruppe von Wellen breitet sich mit der Gruppengeschwindigkeit aus.
Wenn Dispersion vorliegt, ist die Gruppengeschwindigkeit
ungleich der Phasengeschwindigkeit.
4 Mit maßgeschneiderten Lichtfeldern (ein Thema aus der Quantenoptik) lassen sich diese
Bedingungen umgehen, z.B. anomale Dispersion bei verschwindender Absorption).
Wir definieren eine Gruppe von Wellen (Wellenpaket) über eine Verteilung von
%
Amplituden E(k)
%
% t) =
%
E(z,
dk E(k)
ei(ω(k)t−kz)
(14.27)
wobei die Verteilung der beitragenden k-Werte ein Maximum bei k0 habe. Die
Größe E(z, 0) ist die Fourier-Transformierte der Verteilung E(k). Mit einer begrenzten Verteilung über die Breite ∆k lässt sich so ein räumlich begrenztes
Wellenpaket im Bereich ∆x darstellen. Für das Produkt aus ∆k und ∆z gibt
es eine untere Schranke
1
∆k ∆z ≥ .
(14.28)
2
Das folgende Bild zeigt eine mögliche Verteilung E(k) und die ihr entsprechende
Ortsverteilung E(z, 0).
E(k)
E(z,0)
!z
!k
k - k0
z
Die Gruppengeschwindigkeit ist definiert als die ungefähre Geschwindigkeit mit
der sich der Schwerpunkt dieses Wellenpaketes ausbreitet5
ug =
dω
|k
dk 0
Aus (14.24) erhalten wir
(14.29)
n(ω) ω = c k
(14.30)
und indem wir nach ω ableiten
dn
dk
n(ω) + ω
=c
dω
dω
bzw. nach Einsetzen in (14.29)
c
ug =
|k
n(ω) + ωdn/dω 0
(14.31)
(14.32)
Bei normaler Dispersion ist dn/dω > 0 und n > 1, sodass ug < uph = c/n < c
ist.6 Im Bereich anomaler Dispersion ist im allgemeinen der Imaginärteil von n
nicht mehr zu vernachlässigen.
Es gibt Spektralbereiche mit n < 1. Dort ist die uph > c. Die Gruppengeschwindigkeit ist aber immer < c !
Im Fall, dass keine Dispersion vorliegt, ist ug = uph .
5 Siehe
z.B. A. Kratzer, Arbeitsbuch Optik und Quantenphänomene, Seiten 51.
Werte von dn/dω wurden jüngst mit maßgeschneiderten Lichtfeldern in atomaren
Gasen erzeugt und damit die Gruppengeschwindigkeit von Licht auf wenige Meter pro Sekunde
erniedrigt (“Langsames Licht”).
6 Extreme
14.5
Lichtstreuung
• Bei kohärenter Streuung in einem homogenen, durchsichtigen Medium mit
Atomabständen d < λ ist mit Ausnahme von Randeffekten (siehe die
Beiträge bei Winkeln ausserhalb des zentralen Maximums auf Seite 124)
nur die Phasenverzögerung ω∆t = ω(n − 1)∆z/c beobachtbar.
• Bei einer unregelmäßigen Anordnung von Atomen mit Abständen
d > λ haben die Nebenmaxima erhebliche Intensität. Die Winkelverteilung
zeigt nicht mehr die bevorzugte konstruktive Interferenz in Vorwärtsrichtung.
Es kommt zum Intensitätsverlust der Primärwelle in Vorwärtsrichtung,
mit einem Streuquerschnitt der proportional zu ω 4 (also 1/λ4 ) ist.
&P 'st = N ·
µ0
Q2 ω 4 z02
12πc
(14.33)
Dieser Fall gilt auch für ein einzelnes Atom im Lichtstrahl und trägt den
Namen Rayleigh Streuung.
• Dieser Streuverlust tritt auch auf, wenn Streuzentren unterschiedlichen Streuvermögens vorliegen (auf der Skala der Wellenlänge), bzw.
bei Phasensprüngen (Atome werden gestoßen, ehe sie emittieren). Dann
kommt es zu einer inkohärenten Überlagerung der Dipolemission aus
einzelnen Streuzentren. In diesem Fall berechnet sich die Streuintensität
aus der Summe der Intensitäten von Einzelwellen (siehe Gleichung 9.29),
die ohne feste Phasenbeziehung strahlen. Die Form der Winkelverteilung hängt stark von der Geometrie und Anordnung der Streuzentren ab.
Sie zeigt keine konstruktive Interferenz in Vorwärtsrichtung. Es kommt
zum Intensitätsverlust der Primärwelle gemäß Gleichung (14.33).
• Die Streuung an Mikropartikeln trägt den Namen Mie-Streuung. Bei
Teilchendurchmessern die klein gegenüber der Wellenlänge sind, kommt
es zu einer kohärenten Überlagerung der Teilwellen der einzelnen Atome im Partikel. Die Streubeiträge einzelner Teilchen überlagern sich inkohärent. Die Streuintensität geht mit der sechsten Potenz des Teilchendurchmessers. Die Winkelverteilung hängt stark von Form und Größe der
Teilchen ab.
• Dynamische Lichtstreuung: Streuung an gelöster Probe führt auf Grund
der Brownschen Molekularbewegung zu Schwankungen des Streulichtsignals im Millisekunden Bereich. Analysiert man diese Schwankungen kann
man auf die Diffusionsgeschwindigkeit, Viskosität des Lösungsmittels bzw
den hydrodynamischen Radius der gelösten Moleküle (Polymere, Biopolymere, Proteine) schliessen.
• Inelastische Streuung Bei gewissen Streuvorgängen erscheint langwelligere Strahlung. Bei der Raman-Streuung wird die Energiedifferenz
zur Anregung von Molekülschwingungen verwendet. Bei der BrillouinStreuung sind es Phononen. Bei der Compton-Streuung handelt es
sich um elastische Streuung von Photonen an quasi-freien Elektronen. 7
7 Diese Prozesse können auch kurzwelligere Streustrahlung verusachen. In diesem Fall wird
Schwingungsenergie bzw. kinetische Energie der Elektronen in Strahlungsenergie umgesetzt.
• Zur stimulierten Streuung kommt es in unterschiedlichsten Situationen. Gemeint ist damit ein Intensitätsgewinn der Welle dadurch, dass
Atome oder Moleküle sich bereits in einem elektronisch, schwingungs- oder
rotationsangeregten Zustand befinden und Photonenemission resonant erzwungen werden kann. (stimulierte Emission, Prinzip der Erzeugung von
Laserstrahlung).
" !,
!
" !
!
Himmelblau: Das Intensitätsmaximum der Sonne liegt bei 480 nm. Diese
Wellenlänge entspricht nach dem Wien’schen Gesetz etwa 6000 K. Da der Streuquerschnitt proportional zu λ−4 ist (Gl. 14.33) wird blaues Sonnenlicht bevorzugt auf die Erde gestreut. Damit erscheint der Himmel blau. Die Augenempfindlichkeit (ην ) hat ihr Maximum bei etwa 550 nm. Das Gehirnsignal ergibt
sich aus
Sg ∝ w(λ, 6000 K)
1
ην
λ4
(14.34)
Auch aus diesen Grund sind Sonnenuntergänge meistens rot, da aus dem direkt
eingestrahlten Sonnenlicht blaue Anteile stärker herausgestreut werden als rote
und weil der Weg durch die Atmosphäre bei Sonnenuntergang besonders lang ist.
Himmelslicht ist teilweise polarisiert. Das Sonnenlicht ist in erster Näherung
unpolarisiert. Die schwingenden Dipole in der oberen Atmosphäre zerlegen wir
in solche, die in der Ebene Sonne-Streupartikel-Beobachter (SMB) schwingen
(von diesen sieht man den Anteil proportional zu sin2 θ) und solche, die senkrecht zur Ebene SMB schwingen (für diese ist sin2 θ = 1). Aus diesem Grund ist
Himmelslicht teilweise polarisiert.
14.6
Wellen an ebenen Grenzflächen
Wir betrachten eine ebene Welle an einer Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika
(nicht ferromagnetisch, µ ≈ 1) mit den Brechungsindices n1 und n2 . Die einfallende, gebrochene und reflektierte Welle schreiben wir als
%e
E
%g
E
% e ei(ωe t−'ke ·'r)
= A
% g ei(ωg t−'kg ·'r)
= A
%r
E
% r ei(ωr t−'kr ·'r)
= A
& *
)
' (
! "
#
!
!
Die Randbedingung ist, dass an der Grenz% stefläche die Tangentialkomponente von E
tig sein muß. Da im Medium die elektrische
Feldstärke auf 1/& des Vakuumwertes sinkt,
geht das auf Kosten der Normalkomponente
!
1
2
2
+ ( " & , #-. / 0 "
$ %&
&
&
2
1
g
e
r
&1 (E⊥
+ E⊥
) = &2 E⊥
√
bzw. mit n = &
(14.35)
g
e
r
n21 (E⊥
+ E⊥
) = n22 E⊥
(14.36)
Wegen der Stetigkeit der Tangentialkomponente muss gelten
E||e + E||r = E||g
(14.37)
Daraus läßt sich ableiten, dass die Frequenz der drei Wellen gleich muss
ωe
= ωr = ωg
ke
n1
=
kr
kg
=
n1
n2
(14.38)
wobei k den Betrag des Wellenvektors angibt. Auch folgt daraus die Regel, dass
Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel ist, sowie das Snellius’sche Gesetz:
n1 sin ϕ1 = n2 sin ϕ2
(14.39)
interne Brechung:
externe Brechung:
#
!
#
!
!
!
n1
ϕ1
"
"
< n2
> ϕ2
!
"
!
#
n1
ϕ1
> n2
< ϕ2
Fresnel Gleichungen : Aus den Randbedingungen für die
% und E
% und die
Stetigkeit der Tangentialkomponenten von H
% und D
%
Stetigkeit der Normalkomponenten von B
lassen sich die Fresnel Gleichungen für das Verhalten der Amplituden an der
Grenzschicht ableiten. Wir definieren die Einfallsebene über die Flächennormale
auf die Grenzschicht und die Richtung des einfallenden Strahles entlang der z−y % e in eine Komponente parallel
Ebene. Dann zerlegen wir den Amplitudenvektor A
% p und in eine Komponente senkrecht zur Einfallsebene A
% s . Diese Vektoren
A
haben die Komponenten




 0 
 Ax 
%p =
%s =
Ay
0
A
(14.40)
und
A
 A 
 0 
z
Ap
As
n1
M1 M1
X
Y
M2
n2
Über diese Amplituden definieren sich
die Reflexionskoeffizienten. Aus den
Fresnel’schen Formeln erhält man nach
Betrachtung der Grenzbedingungen die
Amplitudenkoeffizienten. Das Ergebnis
für den Reflexionskoeffizienten ist
Z
Rs
Rp
,
-2
,
n1 cos ϕ1 − n2
=
=
n1 cos ϕ1 + n2
, r -2 ,
Ap
n2 cos ϕ1 − n1
=
=
e
Ap
n2 cos ϕ1 + n1
Ars
Aes
cos ϕ2
cos ϕ2
cos ϕ2
cos ϕ2
-2
(14.41)
-2
(14.42)
Darüberhinaus gilt für ein verlustfreies Medium Tp + Rp = 1 und Ts + Rs = 1.
Im folgenden Bild ist Rs und Rp für den Übergang von einem Medium mit n1
in ein Medium n2 < n1 gezeigt:
• Bei senkrechtem Einfall (ϕ1 = ϕ2 = 0o ) ist
Rp = Rs =
.
n1 − n2
n1 + n2
/2
(14.43)
Beim Übergang von Luft (n1 = 1) in Glas
(n2 = 1.5) ist R = 4%.
• Für streifenden Einfall geht R → 1.
!
• Beim Brewster Winkel ist Rp = 0.
Der Brewster Winkel beschreibt den Fall ϕ1 + ϕ2 = 90o . In diesem Fall wird
Rp = 0 für den Winkel
tan ϕB =
n2
n1
(14.44)
Anschaulich: Dipole in der Grenzfläche, die mit linearer Polarisation parallel zur
Einfallsebene angeregt werden, strahlen nicht in Richtung ihrer Dipolachse ab
(entlang dieser liegt der reflektierte Strahl bei ϕ1 + ϕ2 = 90o ).
Für Luft-Glas (n1 = 1, n2 = 1.5) ist der Brewster Winkel ϕB = 56o .
Brewster Fenster verwendet man, um linear polarisiertes Laserlicht zu erzeugen.
Dies geschieht dadurch, dass bei oftmaligen Durchgang durch ein Laserfenster,
das unter dem Brewster Winkel steht, die parallel zur Einfallsebene polarisierte Komponente den geringsten Reflexionsverlust erleidet. Diese Komponente
erfährt die beste Verstärkung durch stimulierte Emission.
Totalreflektion: Bei Übergang
vom optisch dichteren in ein
optisch dünneres Medium (siehe
interne Brechung auf Seite 130)
kann kein Licht mehr aus dem
dichteren Medium austreten,
wenn sin ϕ1 > n2 /n1 wird.
!
"
$
%
"
&
#
Diesen kritischen Winkel nennt
man Grenzwinkel. Anwendung
der Totalreflexion beim Katzenauge und bei Glasfasern.
" % - "
" # - % " . - "
!
'()(*
!
+
,
Die Eindringtiefe der elektromagnetischen Welle ins optisch dünnere Medium
liegt in der Größenordnung von etwa einer Wellenlänge (die evaneszente Welle). Durch Annäherung eines Objektes kann man einen variablen Bruchteil der
Welle auskoppeln (frustrierte Totalreflexion).
Polarisationsänderung bei Reflexion: Da die Komponenten Ap und As mit
Ausnahme bei ϕ = 0 und ϕ = 90o unterschiedlich gut reflektiert werden, kommt
es bei Reflexion einer Welle, die nicht exakt linear in der Ebene parallel p− bzw.
senkrecht zur Einfallsebene s−polarisiert ist, zu einer Polarisationsänderung. Im
allgemeinen wird die Polarisationsebene des einfallenden Lichtes bei Reflexion
von der Einfallsebene weggedreht (bei Brechung zur Einfallsebene hingedreht).
14.7
Anisotrope Medien
Von anisotropen Medien spricht man, wenn die Rückstellkraft und die Eigenfrequenz des schwingenden Elektrons (genauer der Polarisierbarkeit) von der Kristallrichtung abhängt. Dann sind Brechungsindex und Absorptionskoeffizient für
zwei zueinander senkrechte Polarisationsebenen unterschiedlich.
Ein mechanisches Analogon dafür ist ein Massepunkt, der an zwei zueinander senkrechten Federn unterschiedlicher Rückstellkraft aufgehängt ist. Im
allgemeinen sind dann Auslenkung und Zugrichtung nicht mehr parallel.
% und E
% nicht mehr parallel,
Im Falle elektromagnetischer Wellen sind dann D
weil die induzierte Polarisation (diese entspricht der tatsächlichen Auslenkung
% zeigt.
des Massepunktes) nicht in die Richtung von E
% = &0 E
% + P%
D
(14.45)
% und E
%
Der Winkel zwischen D

 &xx
% = &˜&0 E
% = &0
&yx
D

&zx
Also
ist durch den Dielektrizitätstensor &˜ gegeben


&xy &xz   Ex 
&yy &yz
Ey
(14.46)


&zy &zz
Ez
1
Dx = &xx Ex + &xy Ey + &xz Ez
&0
% Im allgemeinen ist also D
% nicht
und analog für die anderen Komponenten von D.
% Gemäß der Hauptachsentransformation läßt sich immer ein
mehr parallel zu E.
Achsensystem finden in dem & diagonal ist. Damit erhält man das Brechungsindexellipsoid.
 2

0
0 
 n1
0 n22
0
&=
(14.47)


0
0 n23
wobei die Indizes i = 1, 2, 3 die Hauptachsen X, Y, Z angeben. Der Endpunkt
des Vektors
%r = n1 êX + n2 êY + n3 êZ
(14.48)
beschreibt das Ellipsoid
X2
Y2
Z2
+ 2 + 2 =1
2
n1
n2
n3
(14.49)
Ein positiv einachsiger Kristall hat ein rotationssymmetrisches Indexellipsoid
wobei n1 = n2 < n3 . Ein solcher ist in den folgenden Bildern gezeigt.
Z
Z
Z
T
k
o
X
Y
X
Y
X
Y
a
Eine Fläche durch den Nullpunkt, senkrecht auf den %k-Vektor schneidet das Ellipsoid in einer Ellipse, wobei die Länge vom Nullpunkt zur Ellipse den jeweiligen
Brechungsindex angibt. Für eine allgemeine Richtung von %k (Bild rechts) ist die
Schnittfläche eine Ellipse, mit den Halbachsen o und a. Der Brechungsindex
entlang o (ordentliche Achse) ist n1 , der entlang der Achse a (ausserordentliche
Achse) liegt zwischen n1 und n3 .
In einem einachsigen Kristall gibt es nur eine Richtung von %k für welche die
Schnittfläche ein Kreis ist. Diese Richtung bezeichnet die optischen Achse (
Z). Bei Ausbreitung entlang der optischen Achse ist die Phasengeschwindigkeit
% und E
% und D
% zeigen in dieselbe
unabhängig von der Polarisationsrichtung von E
Richtung.
Doppelbrechung
Unpolarisiertes Licht trifft auf einen Kalkspatkristall: Eine Aufspaltung des
Strahles in zwei Teilbündel kann erfolgen, da Kalkspat für die zwei möglichen Polarisationsrichtungen unterschiedlichen Brechungswinkel zeigt. Die beiden Strahlen nennt man ordentlicher und ausserordentlicher Strahl.
Opt. Achse
! "# $ % &' ( ) "* ( % + # ,' -.
#
no
T
n3
na
/ 0
,
/ 0
,1( "
' 2
1#
#
!
!
!
"
#
"
n1 n2
! "# $ % &' ( ) "* ' 1% .
!
$
# " "# 13 !
$
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1 ) 2 3
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#
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!
!
!" #
4 "0 + &) 5
6 !"
!
"
14.8
Polarisiertes Licht in Materie
Für eine Welle, die sich in in z-Richtung ausbreitet, schreiben wir
0
1
% = Ax êx + Ay êy eiϕ ei(ωt−kz)
E
Die Welle ist
• für ϕ =0 linear polarisiert
• für ϕ = π/2 mit gleichen Amplituden zirkular polarisiert
• für ϕ = π/2 mit ungleichen Amplituden elliptisch polarisiert
• für ϕ *= 0, π/2, π elliptisch polarisiert
• wenn ϕ statistisch schwankt, ist das Licht unpolarisiert.
(14.50)
Ein Hertz’scher Dipol erzeugt ein Strahlungsfeld, das linear polarisiert ist
entlang Dipolachse. Bei statistischer Emission von vielen Atomen entsteht (in
Abwesenheit eines makroskopischen Magnetfeldes) unpolarisiertes Licht.
Polarisation durch Reflexion: Ein unter dem Brewsterwinkel reflektierter
Strahl ist linear polarisiert, senkrecht zur Einfallsebene. Der transmittierte Strahl
ist nur teilweise polarisiert. Man definiert man den Polarisationsgrad P G des
durchgehenden bzw. reflektierten Strahles als
PG =
Is − Ip
Is + Ip
(14.51)
wobei Is und Ip die jeweils gemessenen Intensitäten darstellen. Nach einmaligem Durchgang von unpolarisiertem Licht durch unbeschichtetes Glas unter
dem Brewster Winkel ist P G ≈ 0.08.
Dichroitische Kristalle oder Folien zeigen bevorzugte Absorption einer Polarisationskomponente (z.B. Zellulosehydrat-Folie).
Doppelbrechende Polarisatoren
Im Nicol Prisma verwendet man einen einachsigen Kristall derart, dass eine
Polarisationskomponente soweit abgelenkt wird, dass sie unter Totalreflexion
austritt und so von der anderen Komponente räumlich getrennt werden kann.
Im Glan-Thompson-Polarisator sind die Brechungsindices in den beiden Ebenen zur optischen Achse so gewählt, dass eine Komponente an der Trennfläche
totalreflektiert wird. Eine Trennung unter rechtem Winkel erreicht man in einem Strahlteilerwürfel, in dem ein Dünnschichtpolarisator eingekittet ist.
λ/4 Plättchen
verwandelt linear polarisiertes Licht in elliptisch oder zirkular polarisiertes. Der
Gangunterschied der beiden Komponenten nach Durchlaufen der Strecke d ist
∆ϕ = 2π
λ d(n3 − n1 ). Wenn die Differenz der optischen Dicke
d (n3 − n1 ) =
λ
4
ist und die Polarisationsebene des einfallenden Lichtes unter 45o zu den beiden
Hauptachsen liegt, erhält man zirkular polarisiertes Licht.
λ/2 Plättchen
dreht linear polarisiertes Licht um beliebige Winkel. Das erreicht man für eine
Differenz der optischen Dicke
d (n3 − n1 ) = m
λ
2
m = 1, 2, . . .
Liegt die Polarisationsebene des einfallenden Lichtes unter 45o zu den beiden
Hauptachsen, erfolgt eine Drehung um 90o .
optisch aktive Stoffe:
Stoffe wie kristalliner Quartz, Zuckerlösung oder Milchsäure drehen den Polarisationswinkel von linear polarisiertem Licht. Es gibt rechts- und linksdrehende
Substanzen. Natürlicher Quarz kommt links und rechtdrehend vor, während geschmolzener Quarz und Quarzglas nicht optisch aktiv sind.
Die Ursache der optischen Aktivität liegt in den Symmetrieeigenschaften
der molekularen Bausteine des Materials. Beim kristallinen Quartz ist es eine
schraubenförmige Anordnung der Sauerstoff und Silizium Atome, bei Stoffen
wie der Milchsäure sind es chirale (händige) Moleküle.
In einem optisch aktiven Stoff ist die Phasengeschwindigkeit für rechts- und
links- zirkular polarisierte Wellen unterschiedlich (Bild: Elektronen müssen sich
entlang gewundenen Bahnen (schraubenförmig) bewegen). Da linear polarisiertes Licht
% = &ˆx E0 ei(ωt−k0 z)
E
(14.52)
als Überlagerung einer rechts- und links- zirkular polarisierten Welle aufgefasst
werden kann
% =E
%+ + E
%−
E
(14.53)
und in optisch aktiver Materie der Brechungsindex für rechts- und links- zirkular
polarisiertes Licht n+ und n− ist
%+
E
=
%−
E
=
+
1
(ˆ
&x + iˆ
&y ) E0 ei(ωt−k0 n z)
2
−
1
(ˆ
&x − iˆ
&y ) E0 ei(ωt−k0 n z)
2
(14.54)
ergibt sich nach Durchlaufen einer Strecke d eine Polarisationsdrehung um den
Winkel
0
1
1
π 0 −
1
n − n+
α = k0 n− − n+ =
(14.55)
2
λ0
Da der Brechungsindex von der Dichte der Atome (Moleküle) abhängig ist,
kann man aus der Polarisationsdrehung (14.55) auf die Differenz der Dichte der
rechts- bzw. linksdrehenden Moleküle schließen. Chriale Moleküle kommen in
zwei zueinander spiegelbildlichen Strukturen vor (Spiegelisomere). Die eine
ist rechtsdrehend, die andere linksdrehend. Die Natur bevorzugt häufig eine der
beiden Isomere. So ist z.B. Blutzucker linksdrehend und seine optische Aktivität
kann verwendet werden, um die Konzentration zu bestimmen.
Spannungsdoppelbrechung:
Homogene, isotrope Stoffe werden unter äußerem Druck optisch doppelbrechend.
Damit kann man über die Polarisatonsänderung die Belastung, bzw. innere
Spannung eines transparenten Objektes sichtbar machen. (Polarimetrie)