Berechenbarkeit und Komplexit\"at

Diekert/W\"achter
Wintersemester 2016/17
Berechenbarkeit und Komplexit\"at
Aufgabenblatt 3
Abgabe: bis Freitag, den 02.12. um 13:10 bei den Abgabek\"asten im 1. Stock
Besprechung: am 07.12., 08.12., 09.12. und 15.12., 16.12.
Bonuspunkte: Auf diesem Blatt k\"onnen Sie 55 Punkte erreichen, 5 davon sind Bonuspunkte.
Bonusinhalt: Eine exklusive Vorschau auf einige Aufgaben der n\"achsten \"Ubungsbl\"atter
0.
Wussten Sie schon, dass. . . ? -Interessante Biber-Fakten mit Theo, dem flei\ss igen FMI-Biber
(0
Punkte )
(14
Punkte )
Wussten Sie schon, dass die Z\"ahne eines
Bibers stets weiterwachsen? Das F\"allen
von einer Tonne Holz im Jahr f\"uhrt dazu, dass die Z\"ahne nicht zu lang werden.
a
a Aus dieser Menge Holz k\"onnte man genug Papier f\"ur
BuK-\"Ubungsbl\"atter herstellen.
1.
einige
Reduktionen
\bullet Sei
H0
das Halteproblem auf leerem Band,
\bullet Uni
das Universalit\"atsproblem
\bullet Equ
das \"Aquivalenzproblem
\bullet Min42 = \{ \langle M \rangle | L(M )
Uni
Equ
= \{ \langle M \rangle | L(M ) = \Sigma \ast \} ,
= \{ \langle M1 , M2 \rangle | L(M1 ) = L(M2 )\} und
enth\"alt mindestens 42 W\"orter\} , ein v\"ollig nat\"urliches Pro-
blem, das seltsamerweise keinen richtigen Namen hat.
Zeigen Sie:
a)
H0 \leq Min42
Schlie\ss en Sie
2.
b)
H0 \leq Uni.
c)
Uni
Min42 \leq H0 .
daraus, dass Min42
und
unentscheidbar ist.
Schlie\ss en Sie daraus, dass
\leq Equ
und
Equ
Uni
unentscheidbar ist.
\leq Uni.
Verallgemeinerung der S\"atze von Rice
Eine
n-stellige Eigenschaft aufz\"ahlbarer Sprachen S
S : \{ L(M ) | M
S
(15
hei\ss t
trivial,
wenn
S
Punkte )
ist eine Funktion
ist Turingmaschine\} n
\rightarrow \BbbB .
konstant ist.
a) Zeigen Sie die folgende
n-stellige
Verallgemeinerung des Satzes von Rice \"uber Semi-
Entscheidbarkeit:
Die Sprache
1
\{ \langle M1 , . . . , Mn \rangle | M1 , . . . , Mn : Turingmaschinen
S(L(M1 ), . . . , L(Mn )) = 1\} ist genau dann semi-entscheidbar, wenn f\"ur die
chen
1 \langle M
S
1 , . . . , Mn \rangle mit
n-stellige Eigenschaft aufz\"ahlbarer Spra-
gilt:
bezeichnet eine geeignete Codierung des n-stelligen Turingmaschinen-Tupels (M1 , . . . , Mn ).
(1)
S(L1 , . . . , Ln ) = 1 =\Rightarrow \exists K1 \subseteq L1 . . . \exists Kn \subseteq Ln mit
| K1 | , . . . , | Kn | < \infty und S(K1 , . . . , Kn ) = 1,
(2)
\{ [H1 , . . . , Hn ] | H1 , . . . , Hn
sind endliche Typ-0-Sprache mit
S(H1 , . . . , Hn ) = 1\} (wobei [H1 , . . . , Hn ] eine Codierung \"uber festem Alphabet des n-stelligen
Tupels (H1 , . . . , Hn ) endlicher Sprachen H1 , . . . , Hn jeweils als Wortliste bezeichnet) und
ist semi-entscheidbar
(3)
L1 \subseteq L\prime 1 , . . . , Ln \subseteq L\prime n
Tipp :
S(L1 , . . . , Ln ) = 1 =\Rightarrow S(L\prime 1 , . . . , L\prime n ) = 1.
und
Gehen Sie analog zum Beweis aus der Vorlesung vor!
b) Folgern Sie die folgende
n-stellige
Verallgemeinerung des Satzes von Rice \"uber Ent-
scheidbarkeit:
Die Sprache
\{ \langle M1 , . . . , Mn \rangle | M1 , . . . , Mn : Turingmaschinen
S(L(M1 ), . . . , L(Mn )) = 1\} ist genau dann entscheidbar, wenn die
n-stellige
mit
Eigenschaft aufz\"ahlbarer Sprachen
S
trivial ist.
Tipp :
Dammbau mit Theo, dem flei\ss igen FMI-Biber
(20
Punkte )
Theo, der flei\ss ige FMI-Biber, m\"ochte seinen Biber-Freunden beim Dammbau helfen. Daf\"ur
sammeln die Biber bunte Wurzeln und \"Aste. Diese legen sie nebeneinander und schieben sie
anschlie\ss end zusammen:
Leider sind die Holzst\"ucke sehr schwer und die Biber k\"onnen sie nicht drehen. F\"ur ihre D\"amme ben\"otigen die Biber rechteckige Bauteile. Aus \"asthetischen Gr\"unden verwenden sie nur
solche Rechtecke, bei denen an jeder Position die Farbe oben mit der unten \"ubereinstimmt.
a) In der N\"ahe der Biberburg von Archibald Biber wachsen jeweils unendlich viele
Wurzeln der folgenden Arten:
1
{
3
2
A=
,
{
,
K\"onnen die Biber aus diesen Wurzeln durch Nebeneinanderlegen und Zusammenschieben ein Rechteck nach ihren Vorstellungen zusammensetzen? Wenn ja, geben Sie eine
Folge von Wurzeln an; wenn nein, begr\"unden Sie, warum dies nicht geht.
b) Bei Bertha Biber bilden B\"aume \"Aste der folgenden Arten:
{
1
B=
3
2
,
,
4
,
{
K\"onnen die Biber diese \"Aste zu einem gestreiften Rechteck zusammenf\"ugen? Geben Sie
wieder eine Folge an oder begr\"unden Sie, warum es keine gibt.
c) Castor Biber hat \"Aste und Wurzeln dieser Art:
{
C=
1
3
2
,
,
4
,
{
3.
Gehen Sie analog zu einem der beiden Beweise aus der Vorlesung vor!
Kann man daraus ein passendes Dammbauteil bilden? Geben Sie wieder eine Folge an
oder begr\"unden Sie, warum es keine gibt.
2
d) Delphine Biber m\"ochte nur Wurzeln der folgenden Arten verwenden:
{
D=
2
,
{
1
Ist es m\"oglich aus diesen Wurzeln ein Rechteck zusammenzusetzen? Geben Sie wieder
eine Folge an oder begr\"unden Sie, warum es keine gibt.
3
e) Nachdem Theo, der flei\ss ige FMI-Biber, Delphine bei ihrem Damm geholfen hat, \"uberlget er, ob Delphines monotoner Farbgeschmack den Bibern beim Bauen nicht helfen
kann. Er formalisiert das Problem als
Konstant:
Eingabe:
Frage:
1-PCP
folgenderma\ss en:
\Sigma = \{ a\} \{ (u1 , v1 ), . . . , (un , vn )\} mit u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn \in \Sigma +
Gibt es eine endliche Folge (i1 , i2 , . . . , ik ) mit k \geq 1
\{ 1, . . . , n\} derart, dass
ein un\"ares Alphabet
und
i1 , . . . , ik \in ui1 . . . uik = vi1 . . . vik
gilt?
Helfen Sie den Bibern: Ist
1-PCP
entscheidbar? Beweisen Sie Ihre Antwort!
f ) Stellen Sie sich nun vor, dass Theo,
der flei\ss ige FMI-Biber, seinen Freunden nicht, wie eben, in der wirklichen
Welt, sondern in einem imagin\"aren
Pi-
5
xelland`` hilft. Dort ist alles wie in der
Realit\"at, nur die Wurzeln und \"Aste sind
sehr hart. Daher k\"onnen die Biber sie
nicht
zusammenschieben
sondern
nur
Theo, der flei\ss ige FMI-Biber, im Pixelland.4
nebeneinanderlegen. Trotzdem m\"ochten sie Rechtecke
ohne L\"ucken
bauen. Dabei muss
nat\"urlich wieder die obere Farbe an jeder Position der unteren entsprechen!
K\"onnen Sie einen Algorithmus angeben, der auf Eingabe einer endlichen Menge von
Wurzelarten entscheidet, ob sich ein Rechteck zusammensetzen l\"asst? Beweisen Sie Ihre
Antwort.
4.
Weitere Reduktionen
a) Sei
A \subseteq \Sigma \ast (6
eine beliebige semi-entscheidbare Sprache. Zeigen Sie:
Punkte )
A \leq H , wobei H
das
allgemeine Halteproblem bezeichnet.
A und B formale Sprachen \"uber
\emptyset =
\not B \not = \Sigma \ast gelte. Zeigen Sie: A \leq B
b) Seien
dem Alphabet
\Sigma ,
wobei
A
entscheidbar sei und
2 Delphine
befindet sich gerade in einer Emo-Phase. Die anderen Biber hoffen, dass diese bald vorbeigeht.
sitzt jetzt wieder in ihrer Burg und starrt die schwarzen -- Entschuldigung: die anthrazit-farbenen -- W\"ande
an.
3 Sie
4 Die
Urheberin dieses Bildes zieht es vor mit dieser Aufgabe und der Veranstaltung
Verbindung gebracht zu werden und m\"ochte anonym bleiben.
5 Zugegeben:
Berechenbarkeit und Komplexit\"at
Daher erscheint ihr Name hier nur sehr klein.
im Allgemeinen nicht in
Bild: Veronika
Klein
Das Pixelland ist nicht sonderlich wirklichkeitsnah, aber nicht jede Aufgabe kann so angewandt
wie die anderen Teilaufgaben sein!
Vorschau auf die n\"achsten \"Ubungsbl\"atter
1.
Formale Beweissysteme
a) Sie
A
eine Menge wahrer Aussagen und sei
bez\"uglich
A
(B, f )
ein formales Beweissystem, das
korrekt und vollst\"andig ist.
Zeigen Sie: Dann ist
A
entscheidbar.
b) Bezeichne Taut\BbbN die Menge der wahren arithmetischen S\"atze und Taut\BbbN ihr Komplement.
Zeigen Sie: Weder Taut\BbbN noch Taut\BbbN ist rekursiv aufz\"ahlbar.
2.
G\"odelsches \beta -Pr\"adikat und arithmetische Repr\"asentation
Das g\"odelsche
\beta -Pr\"adikat
erlaubt die Codierung endlicher Folgen in zwei Zahlen. Es ist
\beta (a, b, i, x) \Leftarrow \Rightarrow x = a mod (1 + b(i + 1)),
wobei
mod
als Operator zu verstehen ist, der jeweils den kleinsten nicht negativen Repr\"a-
sentanten der zugeh\"origen Restklasse liefert.
Wir sagen
\beta (a, b, i, xi )
a) Sei
a, b codieren eine n-stellige
i \in \{ 0, . . . , n - 1\} wahr ist.
Die Zahlen
f\"ur alle
a1 = 49661
b1 = 4.
und
Folge
(x0 , . . . , xn - 1 ) \in \BbbN n ``,
Welche 5-stellige Folge wird durch
Welches Wort ergibt sich aus der Folge, wenn man
0
mit A,
1
a1
und
b1
mit B, . . . ,
wenn
codiert?
26
mit Z
identifiziert?
b) Die Ziffern Ihre 7-stelligen Matrikelnummer seien
x1 , . . . , x 7 .
Wenn Sie diese Aufgabe
6
in einer Abgabemenge bearbeiten, w\"ahlen Sie ein beliebiges Mitglied dieser aus und
verwenden Sie dessen Matrikelnummer.
(i) Geben Sie
x1
bis
x7
a2
(ii) Geben Sie Zahlen
an.
und
c) Verwenden Sie das g\"odelsche
b2
an, die die Folge
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )
codieren.
\beta -Pr\"adikat um explizit eine arithmetische Repr\"asentation
der Funktion
f : \BbbN \rightarrow \BbbN n \mapsto \rightarrow 2n
anzugeben.
3.
Pr\"adikatenlogik erster Stufe
Erinnern Sie sich an der Pr\"adikatenlogik (erster Stufe) aus
FO-Taut
Eingabe:
eine Formel
Frage:
Ist
Ferner bezeichne
6 Es
Logik und Diskrete Strukturen.
bezeichne das G\"ultigkeitsproblem der Pr\"adikatenlogik:
F
F
FO-Sat
Eingabe:
eine Formel
Frage:
Ist
F
der Pr\"adikatenlogik
g\"ultig?
F
das Erf\"ullbarkeitsproblem der Pr\"adikatenlogik
der Pr\"adikatenlogik
erf\"ullbar?
kann sich ja nicht um eine Abgabegruppe handeln: Dazu w\"are zun\"achst eine bin\"are Verkn\"upfung n\"otig,
au\ss erdem noch ein neutrales Element und zudem inverse Elemente.
und
FO-Sat
sein Komplement
Eingabe:
eine Formel
Frage:
Ist
F
F
der Pr\"adikatenlogik
unerf\"ullbar?
a) Wir wollen zeigen, dass
FO-Taut
unentscheidbar ist, indem wir
PCP
darauf redu-
zieren.
Zur Erinnerung: PCP
Konstant:
Eingabe:
bezeichnet das postsche Korrespondenz Problem:
\Sigma eine Menge P = \{ 1, . . . , k\} ,
\ast zwei Funktionen f : P \rightarrow \Sigma ein Alphabet
und
g : P \rightarrow \Sigma \ast (gegeben als Menge von
Paaren)
Gibt es
Frage:
w \in P +
Hierbei werden
f (w) = g(w)?
f und g eindeutig zu
mit
Homomorphismen
P \ast \rightarrow \Sigma \ast fort-
gesetzt.
In der Vorlesungen haben Sie gesehen, dass
PCP bereits \"uber dem Alphabet \Sigma = \{ 0, 1\} unentscheidbar ist.
PCP-Instanz
(P, f, g) eine Pr\"adikatenlogische Formel F
F verwendet eine Konstante
a, ein zweistelliges Pr\"adikat P und die beiden einstelligen Funktionssymbole h0 und
h1 . F\"ur ein Wort w = b1 . . . bn mit b1 , . . . , bn \in \{ 0, 1\} f\"uhren wir hw (a) = hb1 ...bn (a)
als abk\"urzende Schreibweise f\"ur den Term hb1 (. . . hbn (a) . . . ) ein. Jedem i \in P wird
F\"ur die Reduktion muss einer
zugeordnet werden. Dies soll folgenderma\ss en geschehen:
zun\"achst die Formel
\bigl[ \bigl( \bigr) \bigr] Fi = P (hf (i) (a), hg(i) (a)) \wedge \forall u\forall v P (u, v) \rightarrow P hf (i) (u), hg(i) (v)
zugeordnet. Die Gesamtformel
F
ergibt sich dann als
\Biggl( F =
k
\bigwedge \Biggr) Fi
\rightarrow (\exists z P (z, z)) .
i=1
Zeigen Sie, dass die Abbildung
(P, f, g) \mapsto \rightarrow F
eine Reduktion von
PCP
auf
FO-Taut
darstellt.
Hinweis:
Alternativ k\"onnen Sie auch eine eigene Funktion angeben und zeigen, dass es
sich dabei um eine Reduktionsfunktion handelt.
b) Zeigen Sie
FO-Taut
\leq FO-Sat.
c) Zeigen Sie allgemein: Gilt
A \leq B
f\"ur zwei Entscheidungsprobleme
unentscheidbar, so gilt dies auch f\"ur
A, B
und ist
A
B.
Folgern Sie die Unentscheidbarkeit des Erf\"ullbarkeitsproblems der Pr\"adikatenlogik erster Stufe.
4.
\"Aquivalenzproblem und Halte-Orakel
Erinnern Sie sich an die Definitionen aus der Aufgabe \"uber Turingmaschinen mit HalteOrakel. Sei
Equ
das \"Aquivalenzproblem von Turing-Maschinen (ohne Halte-Orakle). Ge-
nauer ist
Equ
= \{ \langle M1 , M2 \rangle | M1
mit
M2 sind Turingmaschinen
L(M1 ) = L(M2 )\} und
(ohne Halte-Orakel)
Zeigen Sie:
Tipp :
Equ
ist super-unentscheidbar.
Reduzieren Sie das Halteproblem auf leerem Band von Turingmaschinen mit Halte-
Orakel auf
Equ.
Hinweis: Die ersten drei Studenten, die dem \"Ubungsleiter eine richtige und vollst\"andige
L\"osung dieser Aufgabe pr\"asentieren, erhalten wahlweise einen Button oder Magneten mit
7
Theo, dem flei\ss igen FMI-Biber, oder eine Theo-der-flei\ss ige-FMI-Biber-Autogrammkarte .
7 Auswahl
nur solange der Vorrat reicht!