Topologische Räume und stetige Abbildungen

TU Dortmund
Mathematik Fakultät
Proseminar Lineare Algebra
Ausarbeitung zum Thema
Topologische Räume und stetige Abbildungen
Julia Schmidt
Dozent: Prof. Dr. L. Schwachhöfer
Datum: 29.11.2013
Inhaltsverzeichnis
1 Topologie
1.1 Definition . . . . . . . . . . . .
1.2 Spezielle Topologien . . . . . .
1.3 Definition Basis einer Topologie
1.4 Eigenschaften von Basen . . . .
1.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . .
2 Umgebung
2.1 Definition Umgebung
2.2 Hilfssatz . . . . . . .
2.3 Beweis . . . . . . . .
2.4 Definition Umgebung
2.5 Beispiele . . . . . . .
von x
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von Y
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1
1
1
5
5
6
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8
8
8
8
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10
1 Topologie
1.1 Definition
(a) Ein System O von Teilmengen einer Menge X heißt Topologie auf X, wenn folgende
Bedingungen erfüllt sind:
1. Jede Vereinigung von Mengen aus O gehört zu O:
Oi ∈ O, i ∈ I =⇒
[
Oi ∈ O
(1.1)
i∈I
2. Jeder Durchschnitt von endlich vielen Mengen aus O gehört zu O:
O1 , ..., On ∈ O =⇒
n
\
Oi ∈ O
(1.2)
i=1
3. X, ∅ ∈ R
(b) Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, O), wobei X eine Menge und O eine Topologie
auf X ist. Die Teilmengen von X, die zu O gehören, werden als offene Mengen von (X, O)
bezeichnet, die Komplemente von offenen Mengen abgeschlossene Mengen von (X, O).
1.2 Spezielle Topologien
(a) Die indiskrete Topologie auf einer Menge X besteht lediglich aus zwei offenen Mengen,
nämlich Oind = {∅, X}
Beweis:
Die Topologie besteht nur aus zwei offenen Mengen, nämlich aus der ganzen Menge X
und aus der leeren Menge. Da X ∪ X = X ∪ ∅ = X und ∅ ∪ ∅ = ∅, ist die Vereinigung von
Mengen in Oind wieder in Oind enthalten. Damit ist die erste und die dritte Bedingung
erfüllt.
1
Da X ∩ X = X, X ∩ ∅ = ∅ ∩ ∅ = ∅, ist der Durchschnitt von offenen Mengen in Oind
wieder in Oind enthalten. Damit ist die zweite Bedingung erfüllt.
(b) Bei der diskreten Topologie auf einer Menge X ist Odis die Potenzmenge von X, d.h.
die Menge aller Teilmengen von X, und (X, O) heißt diskreter topologischer Raum.
Beweis:
Die Vereinigung offener Teilmengen ist wieder in der ganzen Menge enthalten und damit
ein Element der Topologie.
Oi ∈ O, i ∈ I =⇒
[
Oi ∈ O
(1.3)
i∈I
Außerdem gilt
O1 , ..., On ∈ O =⇒
n
\
Oi ∈ O
(1.4)
i=1
Der Durchschnitt offener Teilmengen ist wieder in der ganzen Menge enthalten und damit
ein Element der Topologie.
(c) In einem metrischer Raum M bezeichnet Bε (x) = {y ∈ M |d(x, y) < ε} die Kugel um
den Punkt x mit Radius ε. Eine Teilmenge O ⊆ M von M wird als offen definiert, wenn
O mit jedem Punkt x auch noch eine ε-Kugel um x enthält, in Formeln: für jeden Punkt
x ∈ O gibt es ein ε > 0 mit Bε (x) ⊆ O. Die so definierten offenen Mengen bilden die
von der Metrik induzierte Topologie auf M . Die Vereinigung von offenen Kugeln ist in
der Menge enthalten, da eben die Topologie aus Vereinigungsmengen von offenen Kugeln
besteht. Der Durchschnitt von offenen Kugeln ist auch in der Menge enthalten. Also ist
hier eine Topologie vorhanden.
2
Abbildung 1.1: Beispiel c
(d) Beispiel:
Der topologische Raum ist (M, d), M = R und die Metrik d ist definiert als d(x, y) =
|x − y|. Nun beschreiben wir die Kugeln Bε (x).
n
o
Bε (x) = y ∈ R|x − y| < ε
x > y: x − y < ε ⇒ x − ε < y
x < y: y − x < ε ⇒ ε + x > y
=⇒ x − ε < y < x + ε
Also ist die Kugel um x mit Radius ε gerade ein offenes Intervall der Länge 2 ε, welches
in x zentriert ist, d.h. Bε (x) = (x − ε, x + ε).
3
Abbildung 1.2: Beispiel d
Die offenen Mengen in R sind also die Vereinigungen von offenen Intervallen. Die so entstandene Topologie auf R wird auch natürliche Topologie genannt und mit On bezeichnet.
Auch Rn , Qn und Cn sind metrische Räume mit


 



d 




x1
.
.
.
xn






 




 , 








y1
.
.
.
yn


 


 





=
q
|x1 − y1 |2 + ... + |xn − yn |2
(1.5)
Die dadurch definierte Topologie wird ebenfalls natürliche Topologie genannt.
(e) Die Menge aller offenen Intervalle ] − ∞, a[ zusammen mit ∅, R ist eine Topologie auf
R. Diese wird mit O< bezeichnet.
Wegen
S
i∈I ] − ∞, ai [ = ] − ∞, s[ ,
s = sup {ai |i ∈ I}
ist die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen wieder offen.
Wegen
4
] − ∞, a1 [ ∩ ... ∩ ] − ∞, an [ = ] − ∞, m[ ,
m = min {a1 , ..., an }
ist der Durchschnitt endlich vieler Mengen wieder offen. Also ist O< eine Topologie.
Im Folgenden tragen R, Rn , C und Q die natürliche Topologie, wenn es nicht anders
festgelegt wird
1.3 Definition Basis einer Topologie
(a) Ein System B von offenen Mengen eines topologischen Raumes (X, O) heißt Basis der
Topologie, wenn jede offene Menge von (X, O) Vereinigung von Mengen aus B ist, d.h. zu
jedem x ∈ O ∈ O gibt es ein B ∈ B mit x ∈ B ⊂ O.
1.4 Eigenschaften von Basen
1. Alle Topologien auf X, die B als Basis haben, stimmen überein.
2. Ist B eine Basis einer Topologie auf X, so gilt:
(a) Die Vereinigung aller Mengen aus B ist X.
(b) Der Durchschnitt zweier Mengen aus B ist Vereinigung von Mengen aus B.
3. Hat eine Menge B von Teilmengen einer Menge X, die unter (b) formulierten Eigenschaften, so ist B Basis einer eindeutig bestimmten Topologie auf X.
Beweis von 2. :
(a) gilt, da X offen ist und daher die Vereinigung von Mengen aus B sein muss.
(b) gilt, da Mengen aus B offen sind. Also ist der Durchschnitt zweier solcher Mengen
wieder offen. Daher ist ein solcher Durchschnitt aus B.
5
1.5 Beispiele
(a) Für die indiskrete Topologie in Beispiel 1.2 (a) ist {X} eine Basis.
Erklärung:
Die einzige offene Menge, die nicht leer ist in Oind ist X, also: x ∈ X ⇒ x ∈ X ∈ B ⊂ X.
(b) Für die diskrete Topologie in Beispiel 1.2 (b) ist {{x} |x ∈ X} eine Basis.
Erklärung:
Ist O offen und x ∈ O, dann folgt für die Menge B = {x}: x ∈ B ⊂ O. Dies zeigt, dass
die Eigenschaft der Basis erfüllt ist.
(c) Für die metrischen Räume in Beispiel 1.2 (c) bildet nach Definition die Menge der
offenen Kugeln eine Basis.
(d) Für die natürliche Topologie auf R in Beispiel 1.2 (d) bilden die offenen Intervalle mit
rationalen Endpunkten eine Basis.
Abbildung 1.3: Beispiel d
Erklärung zu d):
6
Ist O ⊂ R offen und x ∈ O,dann folgt nach Definition, dass es ein ε > 0 gibt mit
(x − ε, x + ε) ⊂ O. In jedem Intervall muss mindestens eine rationale Zahl vorhanden sein.
Also gibt es ein q1 ∈ Q, q1 ∈ (x − ε, x) und ein q2 ∈ Q, q2 ∈ (x, x + ε).
Daher ist x ∈ (q1 , q2 ) ⊂ (x − ε, x + ε) ⊂ O.
(e) In Beispiel 1.2 (e) bilden die Intervalle ] − ∞, a[ mit rationalem a eine Basis.
Die Begrüdung ist analog zu der von d).
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2 Umgebung
Der in der Analysis häufig benutzte Begriff der ε-Umgebung wird wie folgt verallgemeinert.
2.1 Definition Umgebung von x
Es sei (X, O) ein topologischer Raum und x ein Punkt von X. Eine Teilmenge U ⊂ X
heißt Umgebung von x, wenn es eine offene Menge O ∈ O mit x ∈ O ⊂ U gibt.
Anmerkung: Umgebungen selbst müssen nicht offen sein. Eine offene Menge ist allerdings
Umgebung aller ihrer Punkte, siehe 2.2. unten.
Durch Umgebungen lassen sich die offenen Mengen einer Topologie charakterisieren:
2.2 Hilfssatz
Folgende Aussagen sind äquivalent:
(a) O ist offen.
(b) O ist Umgebung jedes seiner Punkte.
(c) Zu jedem x ∈ O gibt es eine Umgebung U mit U ⊂ O.
2.3 Beweis
(a)⇒ (b)
Sei O offen, x ∈ O
zu zeigen: O ist Umgebung von x
Wähle in der Definition U = O ⇒ x ∈ O ⊂ O
=⇒ O ist Umgebung von x.
8
(b)⇒ (c)
Annahme: O ist Umgebung von jedem x ∈ O
Wähle U = O. Daraus folgt, dass U Umgebung von x ist, U ⊂ O
(c)⇒ (a)
Annahme:Für x ∈ O gibt es eine Umgebung U von x, U ⊂ O
⇒Def. Es gibt Ox offen mit x ∈ Ox ⊂ U ⊂ O
S
x∈O Ox ist offen , da laut Regeln die Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist.
S
Behauptung: O = x∈O Ox
S
” ⊆ ”: x ∈ O ⇒ x ∈ Ox ⊆ Ox
S
” ⊇ ” : Ox ⊆ O ⇒ Ox ⊆ O
=⇒ O ist offen.
2.4 Definition Umgebung von Y
Ist (X, O) ein topologischer Raum und Y ⊂ X, so heißt eine Menge U ⊂ X Umgebung
von Y, wenn es eine offene Menge O ∈ O gibt mit Y ⊂ O ⊂ U .
Abbildung 2.1: Umgebung von Y
9
2.5 Beispiele
(a) Für eine Teilmenge Y eines metrischen Raumes (X, d) sind die
ε-Umgebungen O := {x ∈ X|d(Y, x) < ε} Umgebungen von Y .
Kleine Wiederholung: d(X, Y ) := inf {d(x, y)|x ∈ X, y ∈ Y }
Begründung:
y ∈ Y ⇒ d(Y, y) = 0 < ε ⇒ Y ⊂ O
Behauptung: O ist offen.
Für x ∈ O wähle δ < ε − d(Y, x), δ > 0
z.z. : Bδ (x) ⊂ O
Sei z ∈ Bδ (x). Für jedes y ∈ Y gilt: d(z, y) ≤ d(z, x) + d(x, y) , wobei d(z, x) < δ
d(z, Y ) = infy∈Y d(z, y) ≤ infy∈Y (δ + d(x, y)) = δ + d(x, Y ) < ε
⇒z∈O
Da dies für jedes beliebige z ∈ Bδ (x) gilt, folgt Bδ (x) ⊂ O.
Abbildung 2.2: Beispiel a
(b)Aber es braucht nicht jede Umgebung U von Y eine solche ε-Umgebung zu enthalten.
10
n
o
Sei z.B. Y = 1, 21 , 13 , ... ⊂ R. Dann ist
U=
∞
[
#
n=1
1
1
1
1
−
, +
n 2n(n + 1) n 2n(n + 1)
"
(2.1)
eine Umgebung von Y , die keine ε-Umgebung von Y enthält.
U enthält keine ε-Umgebung
Zeige:
Für jedes ε > 0 gibt es Elemente in V := {x ∈ R|d(Y, x) < ε}, die nicht in U enthalten
sind.
Begründung, dass U keine ε-Umgebung enthält:
Ist ε > 0 gegeben, wähle n so, dass n1 < ε
Es gilt ( n1 − ε, n1 + ε) = Bε ( n1 ) ⊂ V , aber ( n1 − ε, n1 + ε) $ U , da das Intervall negative
Zahlen anthält, aber U ⊂ (0, ∞) nicht.
Abbildung 2.3: Beispiel b
n
o
(c)Auch besitzt jede Hyperbel H := (x, y)|y = x1 , x > 0 eine Umgebung, die keinen
Punkt der Asymptote A enthält, obgleich d(H, A) = 0 ist.
Begründung:
Hier ist genauso vorzugehen, wie in Beispiel (b).
n
o
Sei ε > 0 gegeben und V := (x, y)|d (x, y), H < ε .
Für gegebenes ε > 0 enthält Bε (x, x1 ) Punkte mit negativer x-Koordinate für 0 < x < ε.
11
Diese Punkte sind nicht in U enthalten, aber in V .
(
U=
1
(x, y)
1
1
1
−
<y< +
x 2x(x + 1)
x 2x(x + 1
Abbildung 2.4: Beispiel c
12
)
(2.2)