1 Grundlagen der Maßtheorie

1 Grundlagen der Maßtheorie
In diesem Kapitel führen wir die Mengensysteme ein, die eine systematische Betrachtung von Ereignissen und zufälligen Beobachtungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie erlauben. Ferner sollen Maße, insbesondere Wahrscheinlichkeitsmaße,
auf solchen Mengensystemen konstruiert werden. Schließlich werden wir Zufallsvariablen als messbare Abbildungen definieren.
1.1 Mengensysteme
Im Folgenden ist stets Ω = ∅ eine Menge und A ⊂ 2Ω (Potenzmenge von Ω)
eine Familie von Teilmengen. Später wird die Menge Ω als Raum von Elementarereignissen interpretiert werden und A als ein System von beobachtbaren Ereignissen. Wir wollen in diesem Abschnitt Mengensysteme, die abgeschlossen sind unter
einfachen mengentheoretischen Verknüpfungen, mit Namen versehen und einfache
Beziehungen zwischen solchen Systemen herstellen.
Definition 1.1. Das Mengensystem A heißt
– ∩-stabil (sprich: schnittstabil) oder ein π-System, falls für je zwei Mengen
A, B ∈ A gilt, dass auch A ∩ B ∈ A,
– σ-∩-stabil (sigma-schnittstabil), falls für je abzählbar unendlich viele Mengen
∞
An ∈ A,
A1 , A2 , . . . ∈ A gilt, dass auch
n=1
– ∪-stabil (vereinigungsstabil), falls für je zwei Mengen A, B ∈ A gilt, dass auch
A ∪ B ∈ A,
– σ-∪-stabil (sigma-vereinigungsstabil), falls für je abzählbar unendlich viele Men∞
An ∈ A,
gen A1 , A2 , . . . ∈ A gilt, dass auch
n=1
– \-stabil (differenzmengenstabil), falls für je zwei Mengen A, B ∈ A gilt, dass
auch A \ B ∈ A,
– komplementstabil, falls mit jeder Menge A ∈ A auch Ac := Ω \ A ∈ A gilt.
2
1 Grundlagen der Maßtheorie
Definition 1.2 (σ-Algebra). Ein Mengensystem A ⊂ 2Ω heißt σ-Algebra, falls
die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind.
(i) Ω ∈ A,
(ii) A ist komplementstabil,
(iii) A ist σ-∪-stabil.
σ-Algebren sind die natürlichen Mengensysteme für zufällige Ereignisse, denn wie
wir sehen werden, können wir diesen Ereignissen in konsistenter Weise Wahrscheinlichkeiten zuordnen.
Satz 1.3. Ist A komplementstabil, so gelten die beiden folgenden Äquivalenzen.
A ist ∩ -stabil
⇐⇒
A ist ∪ -stabil,
A ist σ- ∩ -stabil
⇐⇒
A ist σ- ∪ -stabil.
Beweis. Dies folgt direkt aus den de Morgan’schen Regeln (Erinnerung: ( Ai )c =
Aci ). Ist beispielsweise A σ-∩-stabil und sind A1 , A2 , . . . ∈ A, so ist auch
c
∞
∞
An =
Acn
∈ A.
n=1
n=1
Also ist A auch σ-∪-stabil. Die anderen Fälle folgen analog.
2
Satz 1.4. Ist A \-stabil, so gelten die folgenden Aussagen.
(i) A ist ∩-stabil.
(ii) Falls A σ-∪-stabil ist, dann ist A auch σ-∩-stabil.
(iii) Jede abzählbare (beziehungsweise endliche) Vereinigung von Mengen aus A
lässt sich als abzählbare (beziehungsweise endliche), disjunkte Vereinigung
von Mengen in A schreiben.
Beweis. (i) Seien A, B ∈ A. Dann ist auch A ∩ B = A \ (A \ B) ∈ A.
(ii) Seien A1 , A2 , . . . ∈ A. Dann ist
∞
n=1
An =
∞
(A1 ∩ An ) =
n=2
∞
A1 \ (A1 \ An ) = A1 \
n=2
(iii) Seien A1 , A2 , . . . ∈ A. Dann ist
gung in A darstellbar durch
∞
(A1 \ An ) ∈ A.
n=2
∞
n=1
An als abzählbare, disjunkte Vereini-
1.1 Mengensysteme
∞
3
An = A1 (A2 \ A1 ) ((A3 \ A1 ) \ A2 ) (((A4 \ A1 ) \ A2 ) \ A3 ) . . . 2
n=1
Bemerkung 1.5. Manchmal bezeichnen wir, wie imobigen Beweis, die Vereinigung paarweise disjunkter Mengen mit dem Symbol . Dies soll lediglich der optischen Verdeutlichung dienen und ist keine neue Verknüpfung.
3
Definition 1.6. Ein Mengensystem A ⊂ 2Ω heißt Algebra, falls gilt:
(i) Ω ∈ A,
(ii) A ist \-stabil,
(iii) A ist ∪-stabil.
Offenbar ist in einer Algebra stets ∅ = Ω \ Ω enthalten. Diese Eigenschaft ist im
Allgemeinen jedoch schwächer als (i) in Definition 1.6.
Satz 1.7. Ein Mengensystem A ⊂ 2Ω ist genau dann eine Algebra, wenn es folgende
drei Eigenschaften hat:
(i) Ω ∈ A,
(ii) A ist komplementstabil,
(iii) A ist ∩-stabil.
Beweis. Übung!
2
Definition 1.8. Ein Mengensystem A ⊂ 2Ω heißt Ring, falls gilt:
(i) ∅ ∈ A,
(ii) A ist \-stabil,
(iii) A ist ∪-stabil.
Ein Ring heißt σ-Ring, falls er σ-∪-stabil ist.
Definition 1.9. Ein Mengensystem A ⊂ 2Ω heißt Semiring (oder Halbring), falls
gilt:
(i) ∅ ∈ A,
(ii) für je zwei Mengen A, B ∈ A ist B \ A endliche Vereinigung von paarweise
disjunkten Mengen aus A,
(iii) A ist ∩-stabil.
4
1 Grundlagen der Maßtheorie
Definition 1.10. Ein Mengensystem A ⊂ 2Ω heißt Dynkin-System (oder λ-System), falls gilt:
(i) Ω ∈ A,
(ii) für je zwei Mengen A, B ∈ A mit A ⊂ B ist B \ A ∈ A,
(iii) für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen A1 , A2 , . . . ∈ A gilt
∞
n=1 An ∈ A.
Beispiele 1.11. (i) Ist Ω eine beliebige nichtleere Menge, so sind A = {∅, Ω} und
A = 2Ω die trivialen Beispiele für Algebren, σ-Algebren und Dynkin-Systeme.
Hingegen sind A = {∅} und A = 2Ω die trivialen Beispiele für Semiringe, Ringe
und σ-Ringe.
(ii) Sei Ω = R. Dann ist A = {A ⊂ R : A ist abzählbar} ein σ-Ring.
(iii) A = {(a, b] : a, b ∈ R, a ≤ b} ist ein Semiring über Ω = R (aber kein
Ring).
(iv) Die Menge endlicher Vereinigungen von beschränkten Intervallen ist ein Ring
über Ω = R (aber keine Algebra).
(v) Die Menge endlicher Vereinigungen beliebiger (auch unbeschränkter) Intervalle ist eine Algebra über Ω = R (aber keine σ-Algebra).
(vi) Sei E eine endliche, nichtleere Menge und Ω := E N die Menge aller Folgen
ω = (ωn )n∈N mit Werten in E. Für ω1 , . . . , ωn ∈ E sei
[ω1 , . . . , ωn ] := {ω ∈ Ω : ωi = ωi für jedes i = 1, . . . , n}
die Menge aller Folgen, die mit den Werten ω1 , . . . , ωn beginnen. Sei A0 = {∅}.
Für n ∈ N setze
Dann ist A :=
∞
An := {[ω1 , . . . , ωn ] : ω1 , . . . , ωn ∈ E}.
n=0
(1.1)
An ein Semiring, aber kein Ring (falls #E > 1).
(vii) Sei Ω eine beliebige nichtleere Menge. Dann ist
A := {A ⊂ Ω : A oder Ac ist endlich}
eine Algebra. Ist #Ω = ∞, so ist A jedoch keine σ-Algebra.
(viii) Sei Ω eine beliebige nichtleere Menge. Dann ist
A := {A ⊂ Ω : A oder Ac ist abzählbar}
eine σ-Algebra.
(ix) Jede σ-Algebra ist auch ein Dynkin-System.
(x) Sei Ω = {1, 2, 3, 4} und A = ∅, {1, 2}, {1, 4}, {2, 3}, {3, 4}, {1, 2, 3, 4} .
Dann ist A ein Dynkin-System, aber keine Algebra.
3
1.1 Mengensysteme
5
Satz 1.12 (Inklusionen zwischen Mengensystemen).
(i) Jede σ-Algebra ist ein Dynkin-System, eine Algebra und ein σ-Ring.
(ii) Jeder σ-Ring ist ein Ring, jeder Ring ein Semiring.
(iii) Jede Algebra ist auch ein Ring. Eine Algebra auf einer endlichen Menge Ω ist
auch eine σ-Algebra.
Beweis. (i) Das ist klar.
(ii) Sei A ein Ring. Nach Satz 1.4 ist A schnittstabil und damit ein Semiring.
(iii) Sei A eine Algebra. Dann ist ∅ = Ω \ Ω ∈ A, also ist A ein Ring. Ist zudem
Ω endlich, so ist A endlich und damit jede abzählbare Vereinigung in A schon eine
endliche Vereinigung.
2
Definition 1.13 (liminf und limsup). Es seien A1 , A2 , . . . Teilmengen von Ω. Dann
heißen
∞
∞
∞ ∞ Am und lim sup An :=
Am
lim inf An :=
n→∞
n→∞
n=1 m=n
n=1 m=n
Limes inferior beziehungsweise Limes superior der Folge (An )n∈N .
Bemerkung 1.14. (i) Es gilt
lim inf An = ω ∈ Ω : #{n ∈ N : ω ∈ An } < ∞ ,
n→∞
lim sup An = ω ∈ Ω : #{n ∈ N : ω ∈ An } = ∞ .
n→∞
Der Limes inferior ist also das Ereignis, dass schließlich alle der An eintreten, der
Limes superior hingegen das Ereignis, dass unendlich viele der An eintreten. Insbesondere ist A∗ := lim inf n→∞ An ⊂ A∗ := lim supn→∞ An .
(ii) Bezeichnen wir mit
½A (x) :=
1,
0,
falls x ∈ A,
falls x ∈
A,
(1.2)
die Indikatorfunktion auf der Menge A, so gilt
½A∗ = lim inf ½An ,
n→∞
½A∗ = lim sup ½An .
n→∞
(iii) Ist A ⊂ 2Ω eine σ-Algebra und An ∈ A für jedes n ∈ N, so ist A∗ ∈ A und
3
A∗ ∈ A.
Beweis. Übung!
2
6
1 Grundlagen der Maßtheorie
Satz 1.15 (Schnitt von Mengensystemen). Ist I eine beliebige Indexmenge und Ai
eine σ-Algebra für jedes i ∈ I, so ist
AI := A ⊂ Ω : A ∈ Ai für jedes i ∈ I =
Ai
i∈I
eine σ-Algebra. Dies gilt analog für: Ringe, σ-Ringe, Algebren und Dynkin-Systeme;
nicht aber für Semiringe.
Beweis. Wir führen den Beweis hier nur für σ-Algebren durch. Wir prüfen für A
die Punkte (i)–(iii) aus Definition 1.2.
(i) Für jedes i ∈ I ist Ω ∈ Ai . Also ist Ω ∈ A.
(ii) Sei A ∈ A. Dann ist A ∈ Ai für jedes i ∈ I. Also ist auch Ac ∈ Ai für jedes
i ∈ I. Mithin ist Ac ∈ A.
(iii) Seien A1 , A2 , . . . ∈A. Dann ist An ∈ Ai für jedes n ∈ N und jedes i ∈ I.
∞
Also ist auch A := n=1 An ∈ Ai für jedes i ∈ I und damit A ∈ A.
Gegenbeispiel für Semiringe: Seien Ω = {1, 2, 3, 4}, A1 = {∅, Ω, {1}, {2, 3}, {4}}
und A2 = {∅, Ω, {1}, {2}, {3, 4}}. Dann sind A1 und A2 Semiringe, aber A1 ∩
2
A2 = {∅, Ω, {1}} ist keiner.
Satz 1.16 (Erzeugte σ-Algebra). Sei E ⊂ 2Ω . Dann existiert eine kleinste σAlgebra σ(E) mit E ⊂ σ(E):
A.
σ(E) :=
A⊂2Ω ist σ-Algebra
A⊃E
σ(E) heißt die von E erzeugte σ-Algebra. E heißt Erzeuger von σ(E). Analog wird
das von E erzeugte Dynkin-System δ(E) definiert.
Beweis. A = 2Ω ist eine σ-Algebra mit E ⊂ A. Also ist der Schnitt nicht leer. Nach
Satz 1.15 ist σ(E) eine σ-Algebra, und dies ist offenbar die kleinste σ-Algebra, die
E enthält. Für Dynkin-Systeme geht der Beweis genauso.
2
Bemerkung 1.17. Es gelten die folgenden einfachen Aussagen.
(i) E ⊂ σ(E).
(ii) Gilt E1 ⊂ E2 , so ist σ(E1 ) ⊂ σ(E2 ).
(iii) A ist genau dann σ-Algebra, wenn σ(A) = A.
Die analogen Aussagen gelten für Dynkin-Systeme. Ferner ist stets δ(E) ⊂ σ(E).3
1.1 Mengensysteme
7
Satz 1.18 (Schnittstabiles Dynkin-System). Ist D ⊂ 2Ω ein Dynkin-System, so gilt
D ist ∩-stabil
Beweis.
”
=⇒ “
”
⇐= “
⇐⇒
D ist eine σ-Algebra.
Dies ist klar.
Wir prüfen die Eigenschaften (i)–(iii) aus Definition 1.2.
(i) Offensichtlich ist Ω ∈ D.
(ii) (Komplementstabilität) Sei A ∈ D. Da Ω ∈ D gilt, und nach Eigenschaft (ii)
des Dynkin-Systems, ist Ac = Ω \ A ∈ D.
(iii) (σ-∪-Stabilität) Seien A, B ∈ D. Nach Voraussetzung ist A ∩ B ∈ D, und es
gilt trivialerweise A ∩ B ⊂ A. Also ist A \ B = A \ (A ∩ B) ∈ D. Mithin ist
D \-stabil. Seien nun A1 , A2 , . . . ∈ D. Nach Satz 1.4(iii) existieren paarweise
∞
∞
disjunkte Mengen B1 , B2 , . . . ∈ D mit
An =
Bn ∈ D.
2
n=1
*
σ-Algebra
6
σ-Ring
Algebra
@
I
Ω ∈ A@
HH
Y
Ω∈A
σ-∪-stabil n=1
HH
∩-stabil
HH
HH
Dynkin-System
σ-∪-stabil
@
@
Ring
6
∪-stabil
Semiring
Abb. 1.1. Zusammenhang zwischen den Mengensystemen A ⊂ 2Ω .
Satz 1.19 (Dynkin’scher π–λ–Satz). Sei E ⊂ 2Ω ein ∩-stabiles Mengensystem.
Dann gilt
σ(E) = δ(E).
Beweis. ⊃“ Dies ist klar nach Bemerkung 1.17.
”
⊂“ Zu zeigen ist: δ(E) ist eine σ-Algebra. Nach Satz 1.18 reicht es zu zeigen,
”
dass δ(E) ∩-stabil ist. Für B ∈ δ(E) sei
8
1 Grundlagen der Maßtheorie
DB := {A ∈ δ(E) : A ∩ B ∈ δ(E)}.
Für die Schnittstabilität von δ(E) reicht es zu zeigen, dass
δ(E) ⊂ DB
für jedes B ∈ δ(E).
(1.3)
Wir zeigen, dass DE für jedes E ∈ δ(E) ein Dynkin-System ist, indem wir (i)–(iii)
aus Definition 1.10) prüfen:
(i) Offenbar ist Ω ∩ E = E ∈ δ(E), also ist Ω ∈ DE .
(ii) Für A, B ∈ DE mit A ⊂ B ist (B \ A) ∩ E = (B ∩ E) \ (A ∩ E) ∈ δ(E).
(iii) Seien A1 , A2 , . . . ∈ DE paarweise disjunkt. Dann ist
∞
∞
An ∩ E =
(An ∩ E) ∈ δ(E).
n=1
n=1
Nach Voraussetzung ist für A ∈ E auch A ∩ E ∈ E, also ist E ⊂ DE , falls E ∈ E
gilt. Nach Bemerkung 1.17(ii) ist daher auch δ(E) ⊂ DE für E ∈ E. Für B ∈ δ(E)
und E ∈ E ist also B ∩ E ∈ δ(E). Mithin gilt E ∈ DB für jedes B ∈ δ(E), also
2
E ⊂ DB für jedes B ∈ δ(E), und damit gilt (1.3).
Von besonderer Bedeutung sind σ-Algebren, die von Topologien erzeugt werden.
Hier wiederum spielt natürlich der euklidische Raum Rn die prominenteste Rolle,
aber wir wollen auch den (unendlichdimensionalen) Raum C([0, 1]) der stetigen
Funktionen [0, 1] → R im Blick haben. Auf diesem Raum wird durch die Norm
f ∞ = supx∈[0,1] |f (x)| eine Topologie erzeugt. Zur Erinnerung bringen wir hier
das Axiomensystem der Topologie.
Definition 1.20 (Topologie). Sei Ω = ∅ eine beliebige Menge. Ein Mengensystem
τ ⊂ Ω heißt Topologie auf Ω, falls folgende drei Eigenschaften gelten.
(i) ∅, Ω ∈ τ .
(ii) Sind A, B ∈ τ , so ist auch A ∩ B ∈ τ .
(iii) Ist F ⊂ τ eine beliebige Familie, so ist auch
A∈F
A ∈ τ.
Das Paar (Ω, τ ) heißt dann topologischer Raum. Die Mengen A ∈ τ heißen offen,
die Mengen A ⊂ Ω mit Ac ∈ τ heißen abgeschlossen.
Anders als bei σ-Algebren sind bei Topologien nur endliche Schnitte, jedoch auch
überabzählbare Vereinigungen erlaubt. Ist d eine Metrik auf Ω, und bezeichnet
Br (x) = {y ∈ Ω : d(x, y) < r}
die offene Kugel um x ∈ Ω mit Radius r > 0, so wird eine Topologie erzeugt durch
1.1 Mengensysteme
τ=
(x,r)∈F
9
Br (x) : F ⊂ Ω × (0, ∞) .
Dies ist das gewöhnliche System offener Mengen, das man in den meisten Analysisbüchern findet.
Definition 1.21 (Borel’sche σ-Algebra). Sei (Ω, τ ) ein topologischer Raum. Die
von den offenen Mengen erzeugte σ-Algebra
B(Ω) := B(Ω, τ ) := σ(τ )
heißt Borel’sche σ-Algebra auf Ω. Die Elemente A ∈ B(Ω, τ ) heißen Borel’sche
Mengen oder Borel-messbare Mengen.
Bemerkung 1.22. Wir sind meistens an B(Rn ) interessiert, wobei wir auf Rn den
euklidischen Abstand annehmen:
n
d(x, y) = x − y2 = (xi − yi )2 .
i=1
(i) Es gibt Teilmengen von Rn , die keine Borel’schen Mengen sind. Diese sind
kompliziert herzustellen, wie beispielsweise die Vitali-Mengen, die man in Analysisbüchern findet (siehe etwa [7]). Wir wollen hier auf diesen Aspekt nicht näher
eingehen, sondern lediglich die - mathematisch unpräzise - Feststellung treffen, dass
jede Menge, die man sich konstruktiv herstellen kann, auch Borel’sch ist.
(ii) Jede abgeschlossene Menge C ⊂ Rn ist in B(Rn ), denn es ist C c ∈ τ , also ist
C = (C c )c ∈ σ(τ ). Speziell ist {x} ∈ B(Rn ) für jedes x ∈ Rn .
(iii) B(Rn ) ist keine Topologie. Sei nämlich V ⊂ Rn , V ∈ B(Rn ). Wäre B(Rn )
eine Topologie, so wären
beliebige Vereinigungen Borel’scher Mengen wieder Bo3
rel’sch, also auch V = x∈V {x} ∈ B(Rn ).
Das Mengensystem der offenen Mengen, das die Borel’sche σ-Algebra erzeugt, ist
in vielen Fällen unhandlich groß. Wir wollen daher andere Mengensysteme als Erzeuger von B(Rn ) identifizieren, mit denen wir in der Praxis besser arbeiten können.
Hierzu wollen wir einerseits Mengen von einfacher Struktur, Quader etwa, betrachten, andererseits aber auch die Größe des Systems einschränken, indem wir
abzählbare Mengensysteme betrachten. Wir führen folgende Notationen ein. Mit
Q bezeichnen wir die Menge der rationalen Zahlen, mit Q+ die Menge der strikt
positiven rationalen Zahlen. Für a, b ∈ Rn schreiben wir
a < b,
falls ai < bi
für jedes i = 1, . . . , n.
(1.4)
Wir definieren für a < b den offenen Quader als das kartesische Produkt
×(a , b ) := (a , b ) × (a , b ) × · · · × (a , b )
n
(a, b) :=
i
i=1
i
1
1
2
2
n
n
(1.5)
10
1 Grundlagen der Maßtheorie
und analog [a, b], (a, b] und [a, b). Ferner schreiben wir (−∞, b) := ×i=1 (−∞, bi )
und definieren analog (−∞, b] und so fort. Wir führen die folgenden Mengensysteme ein:
n
E1 := {A ⊂ Rn : A ist offen},
E2 := {A ⊂ Rn : A ist abgeschlossen},
E3 := {A ⊂ Rn : A ist kompakt},
E5 := {(a, b) : a, b ∈ Qn , a < b},
E4 := {Br (x) : x ∈ Qn , r ∈ Q+ },
E7 := {(a, b] : a, b ∈ Qn , a < b},
E9 := {(−∞, b) : b ∈ Qn },
E11 := {(a, ∞) : a ∈ Qn },
E6 := {[a, b) : a, b ∈ Qn , a < b},
E8 := {[a, b] : a, b ∈ Qn , a < b},
E10 := {(−∞, b] : b ∈ Qn },
E12 := {[a, ∞) : a ∈ Qn }.
Satz 1.23. Die Borel’sche σ-Algebra B(Rn ) wird von jedem der Mengensysteme
E1 , . . . , E12 erzeugt: B(Rn ) = σ(Ei ) für jedes i = 1, . . . , 12.
Beweis. Wir zeigen nur exemplarisch ein paar der Identitäten.
(1)
B(Rn ) = σ(E1 ) gilt per Definition.
(2) Sei A ∈ E1 . Dann ist Ac ∈ E2 , also A = (Ac )c ∈ σ(E2 ). Daher gilt E1 ⊂
σ(E2 ) und dann (wegen Bemerkung 1.17) auch σ(E1 ) ⊂ σ(E2 ). Analog folgt aber
σ(E2 ) ⊂ σ(E1 ) und damit die Gleichheit.
(3) Jede kompakte Menge ist abgeschlossen. Also gilt σ(E3 ) ⊂ σ(E2 ). Sei nun
A ∈ E2 . Dann sind die Mengen AK := A ∩ [−K, K]n , K ∈ N, kompakt, also ist
∞
die abzählbare Vereinigung A = K=1 AK in σ(E3 ). Es gilt also E2 ⊂ σ(E3 ) und
damit σ(E2 ) = σ(E3 ).
(4) Offenbar ist E4 ⊂ E1 , also σ(E4 ) ⊂ σ(E1 ). Sei nun A ⊂ Rn offen. Für x ∈ A
sei R(x) = min(1, sup{r > 0 : Br (x) ⊂ A}). Da A offen ist, folgt R(x) > 0. Sei
r(x) ∈ (R(x)/2, R(x)) ∩ Q. Für jedes y ∈ A und x ∈ (BR(y)/3 (y)) ∩ Qn ist nun
2
1
R(x) ≥ R(y)
− x − y2 > 3 R(y), also r(x) > 3 R(y), also y ∈ Br(x) (x). Also
ist A = x∈A∩Qn Br(x) (x) eine abzählbare Vereinigung von Mengen aus E4 und
damit in σ(E4 ). Es gilt also auch σ(E1 ) ⊂ σ(E4 ).
(5–12) Ähnliche Ausschöpfungsargumente wie in (4) funktionieren auch für die
Quader. In (4) können statt der offenen Kugeln Br (x) offene Quader genommen
werden. So folgt die Gleichheit mit σ(E5 ). Man bemerke beispielsweise, dass
×
n
[ai , bi ) =
i=1
∞
×
n
k=1 i=1
ai −
1 , bi ∈ σ(E5 ).
k
Die anderen Inklusionen Ei ⊂ σ(Ej ) zeigt man analog.
2
Bemerkung 1.24. Jedes der Mengensysteme E1 , E2 , E3 , E5 , . . . , E12 (nicht aber E4 )
ist schnittstabil, mithin ist die Borel’sche σ-Algebra jeweils gleich dem erzeugten
1.1 Mengensysteme
11
Dynkin-System: B(Rn ) = δ(Ei ) für i = 1, 2, 3, 5, . . . , 12. Die Mengensysteme
E4 , . . . , E12 sind zudem abzählbar. Dies ist eine Eigenschaft, die wir an späterer
Stelle wieder benötigen werden.
3
Definition 1.25 (Spur eines Mengensystems). Es sei A ⊂ 2Ω ein beliebiges System von Teilmengen von Ω und A ∈ 2Ω \ {∅}. Das Mengensystem
A := {A ∩ B : B ∈ A} ⊂ 2A
A
(1.6)
heißt Spur von A auf A, oder Einschränkung von A auf A.
Satz 1.26. Ist A eine σ-Algebra, oder eines der Mengensysteme aus den Definitio
nen 1.6 – 1.10 auf Ω, so ist A ein Mengensystem vom selben Typ, allerdings auf
A
A statt Ω.
Beweis. Übung!
2
Übung 1.1.1. Sei A ein Semiring. Man zeige: Jede abzählbare (beziehungsweise
endliche) Vereinigung von Mengen aus A lässt sich als abzählbare (beziehungsweise endliche), disjunkte Vereinigung von Mengen in A schreiben.
♣
Übung 1.1.2. Man zeige durch ein Gegenbeispiel, dass im Allgemeinen die Verei♣
nigung A ∪ A zweier σ-Algebren keine σ-Algebra ist.
Übung 1.1.3. Seien (Ω1 , d1 ) und(Ω2 , d2 ) metrische Räume, f :
Ω1 → Ω2 eine
beliebige Abbildung und Uf = x ∈ Ω1 : f ist unstetig in x die Menge der
Unstetigkeitsstellen. Man zeige: Uf ∈ B(Ω1 ).
Hinweis: Man zeige zunächst, dass für ε > 0 und δ > 0 die Menge
Ufδ,ε := x ∈ Ω1 : es gibt y, z ∈ Bε (x) mit d2 (f (y), f (z)) > δ
(wobei Bε (x) = {y ∈ Ω1 : d1 (x, y) < ε}) offen ist und konstruiere dann Uf aus
solchen Mengen.
♣
Übung 1.1.4. Sei Ω eine überabzählbare Menge und A = σ({ω} : ω ∈ Ω). Zeige:
♣
A = A ⊂ Ω : A ist abzählbar oder Ac ist abzählbar .
Übung 1.1.5. Sei A ein Ring auf der Menge Ω. Man zeige: A erfüllt die Axiome
eines kommutativen Rings (im Sinne der Algebra) mit ∩“ als Multiplikation und
”
“ als Addition.
♣
”
12
1 Grundlagen der Maßtheorie
1.2 Mengenfunktionen
Definition 1.27. Sei A ⊂ 2Ω und μ : A → [0, ∞] eine Mengenfunktion. μ heißt
(i) monoton, falls für je zwei Mengen A, B ∈ A mit A ⊂ B gilt, dass μ(A) ≤
μ(B),
(ii) additiv, falls für je endlich viele
disjunkte Mengen A1 , . . . , An ∈ A
n paarweise
n
n
mit
Ai ∈ A gilt, dass μ
Ai =
μ(Ai ),
i=1
i=1
i=1
(iii) σ-additiv, falls für je abzählbar viele
disjunkte Mengen A1 , A2 , . . .
∞paarweise
∞
∞
aus A mit
Ai ∈ A gilt, dass μ
Ai =
μ(Ai ),
i=1
i=1
i=1
(iv) subadditiv, falls für je endlich viele Mengen A, A1 , A2 , . . . , An ∈ A mit A ⊂
n
n
Ai gilt, dass μ(A) ≤
μ(Ai ),
i=1
i=1
(v) σ-subadditiv, falls für je abzählbar viele A, A1 , A2 , . . . ∈ A mit A ⊂
gilt, dass μ(A) ≤
∞
∞
Ai
i=1
μ(Ai ).
i=1
Definition 1.28. Sei A ein Semiring und μ : A → [0, ∞] eine Mengenfunktion mit
μ(∅) = 0. μ heißt
– Inhalt, falls μ additiv ist,
– Prämaß, falls μ σ-additiv ist,
– Maß, falls μ ein Prämaß ist und A eine σ-Algebra,
– Wahrscheinlichkeitsmaß (kurz W-Maß), falls μ ein Maß ist und μ(Ω) = 1.
Definition 1.29. Sei A ein Semiring. Ein Inhalt μ auf A heißt
(i) endlich, falls μ(A) < ∞ für jedes A ∈ A,
(ii) σ-endlich, falls es Mengen Ω1 , Ω2 , . . . ∈ A gibt mit Ω =
∞
Ωn und
n=1
μ(Ωn ) < ∞ für jedes n ∈ N.
Beispiel 1.30 (Inhalte, Maße). (i) Sei ω ∈ Ω und δω (A) = ½A (ω) (siehe (1.2)).
Dann ist δω ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf jeder σ-Algebra A ⊂ 2Ω und heißt
Dirac-Maß im Punkt ω, oder Einheitsmasse.
(ii) Sei Ω eine endliche, nichtleere Menge. Durch
μ(A) :=
#A
#Ω
für A ⊂ Ω,
1.2 Mengenfunktionen
13
wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A = 2Ω definiert. μ heißt Gleichverteilung
oder uniforme Verteilung auf Ω. Wir führen hierfür das Symbol UΩ := μ ein. Das
so definierte Tripel (Ω, A, UΩ ) wird auch Laplace-Raum genannt.
(iii) Sei Ω abzählbar unendlich und
A := {A ⊂ Ω : #A < ∞ oder #Ac < ∞}.
Dann ist A eine Algebra. Die durch
μ(A) =
0,
∞,
falls A endlich,
falls Ac endlich,
auf
Mengenfunktion ist
A definierte
ein Inhalt, aber kein Prämaß, denn es gilt
μ ω∈Ω {ω} = μ(Ω) = ∞, aber ω∈Ω μ ({ω}) = 0.
(iv) Sei (μn )n∈N eine Folge von Maßen (Prämaßen, Inhalten)
∞ und (αn )n∈N eine Folge von nichtnegativen Zahlen. Dann ist auch μ :=
n=1 αn μn ein Maß
(Prämaß, Inhalt).
Ω
(v) Sei Ω eine (höchstens) abzählbare, nichtleere Menge und A
= 2 . Ferner
seien (pω )ω∈Ω nichtnegative Zahlen. Dann wird durch μ(A) := ω∈A pω für jedes A ⊂ Ω, ein σ-endliches Maß auf 2Ω definiert. Wir nennen p = (pω )ω∈Ω die
Gewichtsfunktion von μ.
(vi) Ist in (v) speziell ω∈Ω pω = 1, so ist μ ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Wir interpretieren dann pω als Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses ω und nennen
p = (pω )ω∈Ω auch einen Wahrscheinlichkeitsvektor.
(vii) Ist in (v) speziell pω = 1 für jedes ω ∈ Ω, so heißt μ das Zählmaß auf Ω.
Ist Ω endlich, so ist auch μ endlich.
(viii) Sei A der Ring endlicher Vereinigungen von Intervallen (a, b] ⊂ R. Für
n
(ai , bi ] setzen wir
a1 < b1 < a2 < b2 < . . . < bn und A =
i=1
μ(A) =
n
(bi − ai ).
i=1
μ ist ein σ-endlicher Inhalt auf A (sogar ein Prämaß), denn es ist
und μ((−n, n]) = 2n < ∞ für jedes n ∈ N.
∞
n=1 (−n, n]
=R
(ix) Sei f : R → [0, ∞) stetig. Analog zu (viii) setze
n bi
f (x) dx.
μf (A) =
i=1
ai
μf ist ein σ-endlicher Inhalt auf A (sogar ein Prämaß). Die Funktion f heißt Dichte
und spielt hier eine ähnliche Rolle wie die Gewichtsfunktion p in (v).
3
14
1 Grundlagen der Maßtheorie
Lemma 1.31 (Eigenschaften von Inhalten). Sei A ein Semiring und μ ein Inhalt
auf A. Dann gelten die folgenden Aussagen.
(i) Ist A ein Ring, so ist μ(A∪B)+μ(A∩B) = μ(A)+μ(B) für je zwei Mengen
A, B ∈ A.
(ii) μ ist monoton. Ist A ein Ring, so gilt genauer μ(B) = μ(A) + μ(B \ A) für
je zwei Mengen A, B ∈ A mit A ⊂ B.
(iii) μ ist subadditiv. Ist μ sogar σ-additiv, so ist μ auch σ-subadditiv.
(iv) Ist A ein Ring, so gilt für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen
∞
∞
∞
An ∈ A stets
μ(An ) ≤ μ
An .
A1 , A2 , . . . ∈ A mit
n=1
n=1
n=1
Beweis. (i) Es ist A ∪ B = A (B \ A) und B = (A ∩ B) (B \ A). Da μ additiv
ist, folgt
μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B \ A)
μ(B) = μ(A ∩ B) + μ(B \ A).
und
Hieraus folgt sofort (i).
(ii) Sei A ⊂ B. Wegen A ∩ B = A folgt μ(B) = μ(A (B \ A)) = μ(A) +
μ(B \ A), falls B \ A ∈ A ist,insbesondere also, falls A ein Ring ist. Ist nun A nur
n
ein Semiring, so ist B \ A = i=1 Ci für gewisses n ∈ N und
disjunkte
paarweise
n
Mengen C1 , . . . , Cn ∈ A. In diesem Fall ist μ(B) = μ(A) + i=1 μ(Ci ) ≥ μ(A),
also ist μ monoton.
n
(iii) Seien n ∈ N und A, A1 , . . . , An ∈ A mit A ⊂ i=1 Ai . Setze B1 = A1 und
Bk = Ak \
k−1
Ai =
i=1
k−1
(Ak \ (Ak ∩ Ai ))
für k = 2, . . . , n.
i=1
Per Definition des Semirings ist jedes Ak \ (Ak ∩ Ai ) disjunkte Vereinigung endlich
vieler Mengen in A, also existiert ein ck ∈ N und Mengen Ck,1 , . . . , Ck,ck ∈ A mit
ck
B ⊂ Ak . Analog existieren dk ∈ N und Dk,1 , . . . , Dk,dk ∈ A mit
i=1 Ck,i =
dkk
Ak \ Bk = i=1
Dk,i . Da μ additiv ist, gilt
μ(Ak ) =
ck
μ(Ck,i ) +
i=1
dk
μ(Dk,i ) ≥
i=1
ck
μ(Ck,i ).
i=1
Wiederum aufgrund von Additivität und Monotonie gilt
n c
ck
n k
(Ck,i ∩ A) =
μ(Ck,i ∩ A)
μ(A) = μ
k=1 i=1
≤
ck
n k=1 i=1
μ(Ck,i ) ≤
k=1 i=1
n
k=1
μ(Ak ).
1.2 Mengenfunktionen
15
Also ist μ subadditiv. Die σ-Subadditivität folgt aus der σ-Additivität in analoger
Weise.
(iv)
∞
Sei A ein Ring und A =
An ∈ A. Da μ additiv (und damit monoton) ist,
n=1
gilt nach (ii)
m
μ(An ) = μ
n=1
Also ist
∞
m
An
≤ μ(A)
für jedes m ∈ N.
n=1
μ(An ) ≤ μ(A).
2
n=1
Bemerkung 1.32. In (iv) kann strikte Ungleichheit herrschen (siehe etwa Beispiel 1.30(iii)). Mit anderen Worten: Es gibt Inhalte, die keine Prämaße sind.
3
Satz 1.33 (Einschluss- Ausschlussformel). Sei A ein Ring und μ ein Inhalt. Dann
gelten für n ∈ N und A1 , . . . , An ∈ A die Einschluss- Ausschlussformeln
μ(A1 ∪ . . . ∪ An ) =
μ(A1 ∩ . . . ∩ An ) =
n
(−1)k−1
k=1
{i1 ,...,ik }⊂{1,...,n}
n
(−1)k−1
k=1
μ(Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ),
μ(Ai1 ∪ . . . ∪ Aik ),
{i1 ,...,ik }⊂{1,...,n}
wobei sich die Summen über alle k-elementigen Teilmengen von {1, . . . , n} erstrecken.
Beweis. Übung! Hinweis: Man verwende vollständige Induktion über n.
2
Wir wollen die σ-Subadditivität durch eine Stetigkeitseigenschaft charakterisieren
(Satz 1.36). Hierzu verabreden wir die folgende Sprechweise und Notation.
Definition 1.34. Sind A, A1 , A2 , . . . Mengen, so schreiben wir
– An ↑ A, falls A1 ⊂ A2 ⊂ . . . und
∞
An = A,
∞
– An ↓ A, falls A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . und n=1 An = A.
n=1
Wir sagen dann, dass (An )n∈N gegen A aufsteigt beziehungsweise absteigt.
16
1 Grundlagen der Maßtheorie
Definition 1.35 (Stetigkeit von Inhalten). Sei μ ein Inhalt auf dem Ring A.
(i) μ heißt stetig von unten, falls für jedes A ∈ A und jede Folge (An )n∈N in A
n→∞
mit An ↑ A gilt: μ(An ) −→ μ(A).
(ii) μ heißt stetig von oben, falls für jedes A ∈ A und jede Folge (An )n∈N in A
n→∞
mit An ↓ A sowie μ(An ) < ∞ für jedes n ∈ N gilt: μ(An ) −→ μ(A).
(iii) μ heißt ∅-stetig, falls (ii) für A = ∅ gilt.
Bei der Stetigkeit von oben wurde die Endlichkeitsbedingung eingeführt, weil sogar
für das Zählmaß μ auf (N, 2N ) und An := {n, n+1, . . .} ↓ ∅ sonst keine Gleichheit
gelten kann.
Satz 1.36 (Stetigkeit und Prämaß). Sei μ ein Inhalt auf einem Ring A. Betrachte
die folgenden fünf Eigenschaften.
(i) μ ist σ-additiv (also ein Prämaß).
(ii) μ ist σ-subadditiv.
(iii) μ ist stetig von unten.
(iv) μ ist ∅-stetig.
(v) μ ist stetig von oben.
Dann gelten die Implikationen (i) ⇐⇒ (ii) ⇐⇒ (iii) =⇒ (iv) ⇐⇒ (v).
Ist μ endlich, so gilt auch (iv) =⇒ (iii).
∞
Beweis. (i) =⇒ (ii)“ Seien A, A1 , A2 , . . . ∈ A mit A ⊂ i=1 Ai . Setze B1 =
”
n−1
∞
A1 und Bn = An \ i=1 Ai ∈ A für n = 2, 3, . . . Dann ist A = n=1 (A ∩ Bn ),
also wegen der Monotonie von μ und der σ-Additivität von μ
μ(A) =
∞
μ(A ∩ Bn ) ≤
n=1
∞
μ(An ).
n=1
Damit ist μ als σ-subadditiv erkannt.
(ii) =⇒ (i)“ Dies folgt aus Lemma 1.31(iv).
”
(i) =⇒ (iii)“ Sei μ ein Prämaß und A ∈ A sowie (An )n∈N eine Folge in A mit
”
An ↑ A sowie A0 = ∅. Dann gilt
μ(A) =
∞
i=1
μ(Ai \ Ai−1 ) = lim
n→∞
n
i=1
μ(Ai \ Ai−1 ) = lim μ(An ).
n→∞
(iii) =⇒ (i)“ Gelte nun (iii). Seien B1 , B2 , . . . ∈ A paarweise disjunkt, und
”
∞
n
Bn ∈ A. Setze An =
Bi für jedes n ∈ N. Dann folgt aus (iii)
gelte B =
n=1
i=1
1.2 Mengenfunktionen
μ(B) = lim μ(An ) =
n→∞
∞
17
μ(Bi ).
i=1
Also ist μ σ-additiv und damit ein Prämaß.
(iv) =⇒ (v)“ Seien A, A1 , A2 , . . . ∈ A mit An ↓ A und μ(A1 ) < ∞. Setze
”
Bn = An \ A ∈ A für jedes n ∈ N. Dann gilt Bn ↓ ∅. Es gilt also μ(An ) − μ(A) =
n→∞
μ(Bn ) −→ 0.
(v) =⇒ (iv)“ Dies ist trivial.
”
(iii) =⇒ (iv)“ Seien A1 , A2 , . . . ∈ A mit An ↓ ∅ und μ(A1 ) < ∞. Dann gilt
”
A1 \ An ∈ A für jedes n ∈ N und A1 \ An ↑ A1 , also
μ(A1 ) = lim μ(A1 \ An ) = μ(A1 ) − lim μ(An ).
n→∞
n→∞
Wegen μ(A1 ) < ∞ ist lim μ(An ) = 0.
n→∞
(iv) =⇒ (iii)“ (für den Fall μ endlich) Es gelte nun μ(A) < ∞ für jedes A ∈ A,
”
und μ sei ∅-stetig. Seien A, A1 , A2 , . . . ∈ A mit An ↑ A. Dann gilt A \ An ↓ ∅ und
n→∞
μ(A) − μ(An ) = μ(A \ An ) −→ 0.
2
Also gilt (iii).
Beispiel 1.37. (Vergleiche Beispiel 1.30(iii).) Sei Ω abzählbar unendlich und
A = {A ⊂ Ω : #A < ∞ oder #Ac < ∞},
0, falls A endlich,
μ(A) =
∞, falls A unendlich.
Dann ist μ ein ∅-stetiger Inhalt, aber kein Prämaß.
3
Definition 1.38. (i) Ein Paar (Ω, A), bestehend aus einer nichtleeren Menge Ω
und einer σ-Algebra A ⊂ 2Ω , heißt Messraum. Die Mengen A ∈ A heißen
messbare Mengen. Ist Ω höchstens abzählbar und A = 2Ω , so heißt der Messraum (Ω, 2Ω ) diskret.
(ii) Ein Tripel (Ω, A, μ) heißt Maßraum, wenn (Ω, A) ein Messraum ist und μ ein
Maß auf A.
(iii) Ist zudem μ(Ω) = 1, so heißt (Ω, A, μ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. In diesem Fall heißen die Mengen A ∈ A auch Ereignisse.
(iv) Den Raum aller endlichen Maße auf (Ω, A) bezeichnen wir mit Mf (Ω) :=
Mf (Ω, A), den der W-Maße mit M1 (Ω) := M1 (Ω, A), schließlich den der
σ-endlichen Maße mit Mσ (Ω, A).
18
1 Grundlagen der Maßtheorie
Übung 1.2.1. Sei A
= {(a, b] ∩ Q : a, b ∈ R, a ≤ b}. Definiere μ : A → [0, ∞)
durch μ (a, b] ∩ Q = b − a. Man zeige, dass A ein Semiring ist und μ ein unterhalb
und oberhalb stetiger Inhalt auf A, der jedoch nicht σ-additiv ist.
♣
1.3 Fortsetzung von Maßen
In diesem Abschnitt wollen wir Maße konstruieren, indem wir zunächst auf einem
einfachen Mengensystem, nämlich einem Semiring, plausible Werte für einen Inhalt
angeben und dann, nach Möglichkeit, diesen Inhalt zu einem Maß auf der erzeugten σ-Algebra fortsetzen. Bevor wir zu den konkreten Bedingungen kommen, unter
denen das machbar ist, bringen wir zwei Beispiele.
Beispiel 1.39 (Lebesgue-Maß). Sei n ∈ N und
A = {(a, b] : a, b ∈ Rn , a < b}
der Semiring der halboffenen Quader (a, b] ⊂ Rn (vergleiche (1.5)). Das n-dimensionale Volumen des Quaders ist
μ((a, b]) =
n
(bi − ai ).
i=1
Können wir μ zu einem (eindeutig bestimmten) Maß auf der Borel’schen σ-Algebra
B(Rn ) = σ(A) fortsetzen? Wir werden sehen, dass dies möglich ist. Das resultierende Maß heißt Lebesgue-Maß (manchmal auch Lebesgue-Borel-Maß) λ auf
3
(Rn , B(Rn )).
Beispiel 1.40 (Produktmaß, Bernoulli-Maß). Wir wollen ein Wahrscheinlichkeitsmaß konstruieren für die unendliche, unabhängige Wiederholung eines Zufallsexperiments mit endlich vielen möglichen Ausgängen. Die Menge der Ausgänge
sei E.
Für e ∈ E sei pe die Wahrscheinlichkeit, dass e eintritt. Es gilt also e∈E pe = 1.
Die Ergebnisse dieser Experimente seien ω1 , ω2 , . . . ∈ E. Der Raum des gesamten
Experiments ist daher Ω = E N . Wie in Beispiel 1.11(vi) definieren wir
[ω1 , . . . , ωn ] := {ω ∈ Ω : ωi = ωi für jedes i = 1, . . . , n}
(1.7)
als die Menge aller Folgen, die mit den Werten ω1 , . . . , ωn beginnen.
Sei A0 = {∅}. Für n ∈ N definieren wir das Mengensystem der Zylindermengen,
die nur von den ersten n Koordinaten abhängen,
An := {[ω1 , . . . , ωn ] : ω1 , . . . , ωn ∈ E},
und setzen A :=
∞
n=0
An .
(1.8)
1.3 Fortsetzung von Maßen
19
Wir interpretieren [ω1 , . . . , ωn ] als das Ereignis, dass im ersten Experiment der Wert
ω1 herauskommt, im zweiten ω2 und schließlich im n-ten Experiment der Wert ωn .
Die Ergebnisse der weiteren Experimente spielen für das Eintreten des Ereignisses
keine Rolle. Für ω1 , . . . , ωn ∈ E soll die Wahrscheinlichkeit für [ω1 , . . . , ωn ] das
Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten sein (das verstehen wir intuitiv unter
Unabhängigkeit“)
”
n
μ([ω1 , . . . , ωn ]) =
p ωi .
i=1
Hierdurch wird ein Inhalt auf A definiert, und unser Ziel ist es, μ in eindeutiger
Weise zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß auf σ(A) fortzusetzen.
Bevor wir dies tun, treffen wir noch die folgenden Definition. Wir definieren eine
(Ultra-)Metrik auf Ω durch
2− inf{n∈N: ωn =ωn } , falls ω = ω ,
(1.9)
d(ω, ω ) =
0, falls ω = ω .
Dann ist (Ω, d) ein kompakter, metrischer Raum. Offenbar ist
[ω1 , . . . , ωn ] = B2−n (ω) = {ω ∈ Ω : d(ω, ω ) < 2−n }.
Das Komplement von [ω1 , . . . , ωn ] ist die Vereinigung von (#E)n − 1 offenen
Kugeln
[ω1 , . . . , ωn ],
[ω1 , . . . , ωn ]c =
)
=(ω ,...,ω )
(ω1 ,...,ωn
1
n
also offen. Damit ist [ω1 , . . . , ωn ] abgeschlossen und kompakt, weil Ω kompakt ist.
Ähnlich wie in Satz 1.23 kann man zeigen, dass σ(A) = B(Ω, d).
Übung: Man zeige die obigen Aussagen.
3
Das Hauptergebnis dieses Kapitels ist der Fortsetzungssatz für Maße, den wir hier
in der Form von Carathéodory formulieren.
Satz 1.41 (Carathéodory). Sei A ⊂ 2Ω ein Ring und μ ein σ-endliches Prämaß
auf A. Dann kann μ auf genau eine Weise zu einem Maß μ
auf σ(A) fortgesetzt
werden, und μ̃ ist σ-endlich.
Den Beweis dieses Satzes müssen wir mit einigen Lemmata vorbereiten. Wir zeigen
dann in Satz 1.53 eine etwas stärkere Aussage. Dort wird auch die griffige Formulierung kann fortgesetzt werden“ präzisiert.
”
Lemma 1.42 (Eindeutigkeit durch schnittstabilen Erzeuger). Sei (Ω, A, μ) ein
σ-endlicher Maßraum und E ⊂ A ein schnittstabiler Erzeuger von A. Es gebe
E1 , E2 , . . . ∈ E mit En ↑ Ω und μ(En ) < ∞ für jedes n ∈ N. Dann ist μ durch
die Werte μ(E), E ∈ E, eindeutig festgelegt.
Ist μ ein W-Maß, so gilt die Folgerung auch ohne die Existenz der Folge (En )n∈N .
20
1 Grundlagen der Maßtheorie
Beweis. Sei ν ein weiteres σ-endliches Maß auf (Ω, A) mit der Eigenschaft
μ(E) = ν(E)
für jedes E ∈ E.
Sei E ∈ E mit μ(E) < ∞. Betrachte das Mengensystem
DE = {A ∈ A : μ(A ∩ E) = ν(A ∩ E)}.
Um zu zeigen, dass DE ein Dynkin-System ist, prüfen wir die Eigenschaften aus
Definition 1.10:
(i) Offensichtlich ist Ω ∈ DE .
(ii) Seien A, B ∈ DE mit A ⊃ B. Dann ist
μ ((A \ B) ∩ E) = μ(A ∩ E) − μ(B ∩ E)
= ν(A ∩ E) − ν(B ∩ E) = ν ((A \ B) ∩ E) .
Also ist A \ B ∈ DE .
(iii) Seien A1 , A2 , . . . ∈ DE paarweise disjunkt sowie A =
∞
An . Dann ist
n=1
μ(A ∩ E) =
∞
n=1
μ(An ∩ E) =
∞
ν(An ∩ E) = ν(A ∩ E),
n=1
also A ∈ DE .
Offenbar ist E ⊂ DE , also δ(E) ⊂ DE . Da E schnittstabil ist, ist nach Satz 1.19
A ⊃ DE ⊃ δ(E) = σ(E) = A.
Also ist DE = A.
Für jedes A ∈ A und E ∈ E mit μ(E) < ∞ gilt also μ(A ∩ E) = ν(A ∩ E). Seien
nun E1 , E2 , . . . ∈ E mit En ↑ Ω und μ(En ) < ∞ für jedes n ∈ N. Da μ und ν von
unten stetig sind, gilt für A ∈ A
μ(A) = lim μ(A ∩ En ) = lim ν(A ∩ En ) = ν(A).
n→∞
n→∞
Der Zusatz ist trivial, denn Ẽ := E ∪ {Ω} ist ebenfalls ein schnittstabiler Erzeuger
von A, und der Wert μ(Ω) = 1 ist bekannt. Es kann also die konstante Folge En =
Ω, n ∈ N, gewählt werden. Man beachte jedoch, dass es nicht reicht zu fordern, dass
μ endlich ist, weil dann im Allgemeinen die Gesamtmasse μ(Ω) nicht eindeutig
festgelegt ist (siehe Beispiel 1.45(ii)).
2
1.3 Fortsetzung von Maßen
21
Beispiel 1.43. Sei Ω = Z und E = En : n ∈ Z , wobei En = (−∞, n] ∩ Z. E
ist schnittstabil und σ(E) = 2Ω . Also ist ein endliches Maß μ auf (Ω, 2Ω ) eindeutig
festgelegt durch die Werte μ(En ), n ∈ Z.
Ein σ-endliches Maß auf Z ist jedoch durch die Werte auf E noch nicht eindeutig
bestimmt: Sei μ das Zählmaß auf Z und ν = 2μ. Dann ist μ(E) = ∞ = ν(E) für
jedes E ∈ E. Um μ und ν zu unterscheiden, brauchen wir also einen Erzeuger, der
Mengen endlichen Maßes (für μ) enthält. Tun es die Mengen F̃n = [−n, n] ∩ Z,
n ∈ N? In der Tat ist für jedes σ-endliche Maß μ jetzt μ(F̃n ) < ∞ für jedes
n ∈ N. Allerdings erzeugen die F̃n nicht 2Ω (sondern welche σ-Algebra?). Wir
können aber die Definition so modifizieren: Fn = [−n/2, (n + 1)/2] ∩ Z. Dann ist
σ({Fn , n ∈ N}) = 2Ω , also E = {Fn , n ∈ N} ein schnittstabiler Erzeuger von 2Ω
und μ(Fn ) < ∞ für jedes n ∈ N. Wegen Fn ↑ Ω sind die Bedingungen des Satzes
erfüllt.
3
Beispiel 1.44 (Verteilungsfunktion). Ein W-Maß μ auf dem Raum (Rn , B(Rn )) ist
n
durch Angabe der Werte μ((−∞, b]) auf den Mengen (−∞, b] = ×i=1 (−∞, bi ],
b ∈ Rn , eindeutig festgelegt, da diese Mengen einen schnittstabilen Erzeuger bilden
(Satz 1.23). Speziell ist ein W-Maß μ auf R durch Angabe der Verteilungsfunktion
F : R → [0, 1], x → μ((−∞, x]) eindeutig bestimmt.
3
Beispiel 1.45. (i) Sei Ω = {1, 2, 3, 4} und E = { 1, 2}, {2, 3} . Offenbar gilt
σ(E) = 2Ω , jedoch ist E nicht schnittstabil. Tatsächlich ist hier ein W-Maß μ durch
Angabe der Werte μ({1, 2}) = μ({2, 3}) = 12 nicht eindeutig festgelegt. Es gibt
beispielsweise die Möglichkeiten μ = 12 δ1 + 12 δ3 oder μ = 12 δ2 + 12 δ4 .
(ii) Sei Ω = {1, 2} und E = {{1}}. Dann ist E ein schnittstabiler Erzeuger von
2Ω , und ein W-Maß μ ist durch Angabe von μ({1}) eindeutig festgelegt. Allerdings
gilt dies nicht für endliche Maße im Allgemeinen, denn μ = 0 und ν = δ2 sind zwei
endliche Maße, die auf E übereinstimmen.
3
Definition 1.46 (Äußeres Maß). Eine Mengenfunktion μ∗ : 2Ω → [0, ∞] heißt
äußeres Maß, falls gilt:
(i) μ∗ (∅) = 0,
(ii) μ∗ ist monoton,
(iii) μ∗ ist σ-subadditiv.
Lemma 1.47. Sei A ⊂ 2Ω ein beliebiges Mengensystem mit ∅ ∈ A und μ eine
monotone Mengenfunktion auf A mit μ(∅) = 0. Für A ⊂ Ω sei
F
U(A) = F ⊂ A : F ist höchstens abzählbar und A ⊂
F ∈F
die Menge der abzählbaren Überdeckungen F von A mit Mengen F aus A. Setze
22
1 Grundlagen der Maßtheorie
∗
μ (A) := inf
μ(F ) : F ∈ U(A) ,
F ∈F
wobei inf ∅ = ∞. Dann ist μ∗ ein äußeres Maß. Ist μ zudem σ-subadditiv, so gilt
μ∗ (A) = μ(A) für jedes A ∈ A.
Beweis. Wir weisen die Eigenschaften (i)–(iii) des äußeren Maßes nach.
(i) Wegen ∅ ∈ A ist {∅} ∈ U(∅), also ist μ∗ (∅) = 0.
(ii) Ist A ⊂ B, so ist U(A) ⊃ U(B), also ist μ∗ (A) ≤ μ∗ (B).
∞
(iii) Sei An ⊂ Ω
für jedes n ∈ N und A ⊂ n=1 An . Wir müssen zeigen, dass
∞
∗
∗
μ∗ (A) ≤
n=1 μ (An ). Ohne Einschränkung sei μ (An ) < ∞ und damit U(An ) = ∅ für jedes n ∈ N. Wähle ε > 0 und zu jedem n ∈ N eine
Überdeckung Fn ∈ U(An ) mit
μ(F ) ≤ μ∗ (An ) + ε 2−n .
F ∈Fn
Dann ist F :=
∞
μ∗ (A) ≤
n=1
Fn ∈ U(A) und
F ∈F
μ(F ) ≤
∞ μ(F ) ≤
n=1 F ∈Fn
∞
μ∗ (An ) + ε.
n=1
∗
so gilt für
Sei A ∈ A. Wegen {A}
∈ U(A) ist μ (A) ≤ μ(A). Ist μ σ-subadditiv,
2
jedes F ∈ U(A), dass F ∈F μ(F ) ≥ μ(A) ist, also auch μ∗ (A) ≥ μ(A).
Definition 1.48 (μ∗ -messbare Mengen). Sei μ∗ ein äußeres Maß. Eine Menge A ∈
2Ω heißt μ∗ -messbar, falls
μ∗ (A ∩ E) + μ∗ (Ac ∩ E) = μ∗ (E)
für jedes E ∈ 2Ω .
(1.10)
Wir schreiben M(μ∗ ) = {A ∈ 2Ω : A ist μ∗ -messbar}.
Lemma 1.49. Es ist A ∈ M(μ∗ ) genau dann, wenn
μ∗ (A ∩ E) + μ∗ (Ac ∩ E) ≤ μ∗ (E)
für jedes E ∈ 2Ω .
Beweis. Da μ∗ subadditiv ist, gilt stets die andere Ungleichung.
Lemma 1.50. M(μ∗ ) ist eine Algebra.
Beweis. Wir prüfen die Eigenschaften (i)–(iii) der Algebra aus Satz 1.7.
(i) Ω ∈ M(μ∗ ) ist klar.
2
1.3 Fortsetzung von Maßen
(ii) (Komplementstabilität)
23
Per Definition ist A ∈ M(μ∗ ) ⇐⇒ Ac ∈ M(μ∗ ).
(iii) (Schnittstabilität) Seien A, B ∈ M(μ∗ ) und E ∈ 2Ω . Dann ist
μ∗ ((A ∩ B) ∩ E) + μ∗ ((A ∩ B)c ∩ E)
= μ∗ (A ∩ B ∩ E) + μ∗ (Ac ∩ B ∩ E) ∪ (Ac ∩ B c ∩ E) ∪ (A ∩ B c ∩ E)
≤ μ∗ (A ∩ B ∩ E) + μ∗ (Ac ∩ B ∩ E)
+ μ∗ (Ac ∩ B c ∩ E) + μ∗ (A ∩ B c ∩ E)
= μ∗ (B ∩ E) + μ∗ (B c ∩ E)
= μ∗ (E).
Dabei haben wir in der vorletzten Gleichung A ∈ M(μ∗ ) benutzt und in der letzten
2
B ∈ M(μ∗ ).
Lemma 1.51. Ein äußeres Maß μ∗ ist σ-additiv auf M(μ∗ ).
Beweis. Seien A, B ∈ M(μ∗ ) mit A ∩ B = ∅. Dann ist
μ∗ (A ∪ B) = μ∗ (A ∩ (A ∪ B)) + μ∗ (Ac ∩ (A ∪ B)) = μ∗ (A) + μ∗ (B).
Induktiv folgt die (endliche) Additivität. Da μ∗ per Definition σ-subadditiv ist, folgt
2
nach Satz 1.36, dass μ∗ auch σ-additiv ist.
Lemma 1.52. Ist μ∗ ein äußeres Maß, so ist M(μ∗ ) eine σ-Algebra. Speziell ist μ∗
ein Maß auf M(μ∗ ).
Beweis. Nach Lemma 1.50 ist M(μ∗ ) eine Algebra, also insbesondere schnittstabil. Nach Satz 1.18 reicht es zu zeigen, dass M(μ∗ ) ein Dynkin-System ist.
∞
Seien also A1 , A2 , . . . ∈ M(μ∗ ) paarweise disjunkt und A :=
An . Zu zeigen
n=1
ist A ∈ M(μ∗ ), also
μ∗ (A ∩ E) + μ∗ (Ac ∩ E) ≤ μ∗ (E)
Setze Bn =
n
für jedes E ∈ 2Ω .
(1.11)
Ai für jedes n ∈ N. Es gilt für jedes n ∈ N
i=1
μ∗ (E ∩ Bn+1 ) = μ∗ (E ∩ Bn+1 ) ∩ Bn + μ∗ (E ∩ Bn+1 ) ∩ Bnc
= μ∗ (E ∩ Bn ) + μ∗ (E ∩ An+1 ),
n
und induktiv μ∗ (E ∩ Bn ) = i=1 μ∗ (E ∩ Ai ). Wegen der Monotonie von μ∗ folgt
μ∗ (E) = μ∗ (E ∩ Bn ) + μ∗ (E ∩ Bnc ) ≥ μ∗ (E ∩ Bn ) + μ∗ (E ∩ Ac )
=
n
i=1
μ∗ (E ∩ Ai ) + μ∗ (E ∩ Ac ).
24
1 Grundlagen der Maßtheorie
Indem wir n → ∞ gehen lassen, folgt mit der σ-Subadditivität von μ∗
μ∗ (E) ≥
∞
μ∗ (E ∩ Ai ) + μ∗ (E ∩ Ac ) ≥ μ∗ (E ∩ A) + μ∗ (E ∩ Ac ).
i=1
2
Also gilt (1.11), und der Beweis ist komplett.
Wir zeigen nun einen Satz, der mit schwächeren Voraussetzungen auskommt als der
Satz von Carathéodory (Satz 1.41) und diesen impliziert.
Satz 1.53 (Fortsetzungssatz für Maße). Sei A ein Semiring und μ : A → [0, ∞]
eine additive, σ-subadditive, σ-endliche Mengenfunktion mit μ(∅) = 0.
Dann existiert ein eindeutig bestimmtes, σ-endliches Maß μ
: σ(A) → [0, ∞] mit
μ
(A) = μ(A) für jedes A ∈ A.
Beweis. Da A schnittstabil ist, folgt die Eindeutigkeit aus Lemma 1.42.
Um die Existenz zu zeigen, definieren wir wie in Lemma 1.47
∗
μ (A) := inf
μ(F ) : F ∈ U(A)
für jedes A ∈ 2Ω .
F ∈F
Nach Lemma 1.31(ii) ist μ monoton, also ist μ∗ nach Lemma 1.47 ein äußeres Maß
und μ∗ (A) = μ(A) für jedes A ∈ A. Wir müssen zeigen, dass M(μ∗ ) ⊃ σ(A) gilt.
Da M(μ∗ ) eine σ-Algebra ist (Lemma 1.52), reicht es, A ⊂ M(μ∗ ) zu zeigen.
Seien also A ∈ A und E ∈ 2Ω mit μ∗ (E) < ∞. Sei ε > 0. Dann gibt es
E1 , E2 , . . . ∈ A mit
E⊂
∞
En
und
n=1
∞
μ(En ) ≤ μ∗ (E) + ε.
n=1
Setze Bn := En ∩ A ∈ A . Da A ein Semiring ist, gibt es zu jedem n ∈ N ein
m
n k
mn ∈ N sowie Cn1 , . . . , Cnmn ∈ A mit En \ A = En \ Bn =
Cn . Also ist
k=1
E∩A⊂
∞
n=1
Bn ,
E ∩ Ac ⊂
∞ m
n
n=1 k=1
Cnk
und
En = Bn m
n
Cnk .
k=1
μ∗ ist σ-subadditiv, und nach Voraussetzung ist μ additiv. Wegen μ∗ ≤ μ (es gilt
A
sogar Gleichheit, wie wir gleich sehen) folgt
1.3 Fortsetzung von Maßen
∞
μ∗ (E ∩ A) + μ∗ (E ∩ Ac ) ≤
μ∗ (Bn ) +
n=1
∞
≤
=
μ(Bn ) +
∞
25
μ(Cnk )
k=1
mn
∞ μ(Cnk )
n=1 k=1
μ(Bn ) +
n=1
=
μ∗
n=1
n=1
∞
∞
m
n
mn
μ(Cnk )
k=1
μ(En ) ≤ μ∗ (E) + ε.
n=1
Daher ist μ∗ (E ∩ A) + μ∗ (E ∩ Ac ) ≤ μ∗ (E) und damit A ∈ M(μ∗ ), also ist
: σ(A) → [0, ∞], A → μ∗ (A). Nach Lemma 1.51 ist μ
A ⊂ M(μ∗ ). Setze nun μ
ein Maß und μ
ist σ-endlich, weil μ σ-endlich ist.
2
Beispiel 1.54 (Lebesgue-Maß, Fortsetzung von Beispiel 1.39). Wir wollen das auf
den Quadern A = {(a, b] : a, b ∈ Rn , a < b} eingeführte Volumen μ((a, b]) =
n
n
i=1 (bi − ai ) zu einem Maß auf der Borel’schen σ-Algebra B(R ) fortsetzen. Um
die Voraussetzungen von Satz 1.53 zu prüfen, müssen wir nur noch zeigen, dass μ
σ-subadditiv ist. Seien also (a, b], (a(1), b(1)], (a(2), b(2)], . . . ∈ A mit
∞
(a, b] ⊂
(a(k), b(k)].
k=1
Wir müssen zeigen, dass
μ((a, b]) ≤
∞
μ((a(k), b(k)]).
(1.12)
k=1
Hierzu benutzen wir ein Kompaktheitsargument, um (1.12) auf die endliche Additivität zurück zu führen. Sei also ε > 0, und sei für jedes k ∈ N ein bε (k) > b(k) so
gewählt, dass
μ((a(k), bε (k)]) ≤ μ((a(k), b(k)]) + ε 2−k−1 .
Ferner sei aε ∈ (a, b) so gewählt, dass μ((aε , b]) ≥ μ((a, b]) − 2ε . Nun ist [aε , b]
kompakt und
∞
(a(k), bε (k)) ⊃
k=1
∞
(a(k), b(k)] ⊃ (a, b] ⊃ [aε , b].
k=1
K 0
Also existiert ein K0 mit k=1
(a(k), bε (k)) ⊃ (aε , b]. Da μ (endlich) subadditiv
ist (Lemma 1.31(iii)), folgt
26
1 Grundlagen der Maßtheorie
0
ε
ε + μ((aε , b]) ≤ +
μ((a(k), bε (k)])
2
2
K
μ((a, b]) ≤
k=1
ε
≤ +
2
K0
−k−1
ε2
∞
+ μ((a(k), b(k)]) ≤ ε +
μ((a(k), b(k)]).
k=1
k=1
Da ε > 0 beliebig war, folgt (1.12) und damit die σ-Subadditivität von μ.
3
Zusammen mit Satz 1.53 haben wir den folgenden Satz gezeigt.
Satz 1.55 (Lebesgue-Maß). Es existiert ein eindeutig bestimmtes Maß λn auf
(Rn , B(Rn )) mit der Eigenschaft
λn ((a, b]) =
n
(bi − ai )
für alle a, b ∈ Rn mit a < b.
i=1
λn heißt Lebesgue-Maß auf (Rn , B(Rn )), oder Lebesgue-Borel-Maß.
Beispiel 1.56 (Lebesgue-Stieltjes-Maß). Sei Ω = R und A = {(a, b] : a, b ∈
R, a ≤ b}. A ist ein Semiring und σ(A) = B(R), wo B(R) die Borel’sche σAlgebra auf R ist. Ferner sei F : R → R monoton wachsend und rechtsseitig stetig.
Wir definieren eine Mengenfunktion
μ̃F : A → [0, ∞),
(a, b] → F (b) − F (a).
Offensichtlich ist μ̃F (∅) = 0, und μ̃F ist additiv.
∞
Seien (a, b], (a(1), b(1)], (a(2), b(2)], . . . ∈ A mit (a, b] ⊂ n=1 (a(n), b(n)]. Sei
ε > 0, und sei aε ∈ (a, b) so gewählt, dass F (aε ) − F (a) < ε/2. Dies geht, weil
F als rechtsstetig angenommen wurde. Ferner sei für jedes k ∈ N ein bε (k) > b(k)
so gewählt, dass F (bε (k)) − F (b(k))< ε 2−k−1 . Wie in Beispiel 1.54 kann man
∞
jetzt zeigen, dass μ̃F ((a, b]) ≤ ε + k=1 μ̃F ((a(k), b(k)]). Es folgt, dass μ̃F σsubadditiv ist. Nach Satz 1.53 können wir μ̃F auf eindeutige Weise zu einem σ3
endlichen Maß μF auf B(R) fortsetzen.
Definition 1.57 (Lebesgue-Stieltjes-Maß). Das Maß μF auf (R, B(R)) mit
μF ((a, b]) = F (b) − F (a)
für alle a, b ∈ R mit a < b
heißt Lebesgue-Stieltjes-Maß zur Funktion F .
Beispiel 1.58. Wichtige Spezialfälle für das Lebesgue-Stieltjes-Maß sind:
(i) Ist F (x) = x, so ist μF = λ1 das Lebesgue-Maß auf R.
x
f (t) dt für x ∈ R. Dann ist μF
(ii) Sei f : R → [0, ∞) stetig und F (x) =
0
die Fortsetzung des in Beispiel 1.30(ix) definierten Prämaßes mit Dichte f .
1.3 Fortsetzung von Maßen
27
∞
(iii) Sind x1 , x2 , . . . ∈ R und αn ≥ 0 für n ∈ N mit n=1 αn < ∞, so gehört zu
∞
∞
F = n=1 αn ½[xn ,∞) das endliche Maß μF = n=1 αn δxn .
∞
(iv) Sind x1 , x2 , . . . ∈ R, so ist μ = n=1 δxn ein σ-endliches Maß. μ ist genau
dann ein Lebesgue-Stieltjes-Maß, wenn die Folge (xn )n∈N keinen Häufungspunkt
hat. Hat nämlich (xn )n∈N keinen Häufungspunkt, so ist nach dem Satz von BolzanoWeierstraß #{n ∈ N : xn ∈ [−K, K]} < ∞ für jedes K > 0. Setzen wir F (x) =
#{n ∈ N : xn ∈ [0, x]} für x ≥ 0 und F (x) = −#{n ∈ N : xn ∈ [x, 0)}, so ist
μ = μF . Ist nun andererseits μ ein Lebesgue-Stieltjes-Maß, also μ = μF für ein F ,
dann ist #{n ∈ N : xn ∈ (−K, K]} = F (K) − F (−K) < ∞ für jedes K > 0,
also hat (xn )n∈N keinen Häufungspunkt.
(v) Gilt lim F (x) − F (−x) = 1, so ist μF ein W-Maß.
3
x→∞
Den Fall, wo μF ein W-Maß ist, wollen wir noch weiter untersuchen.
Definition 1.59 (Verteilungsfunktion). Eine rechtsseitig stetige, monoton wachsende Funktion F : R → [0, 1] mit F (−∞) := lim F (x) = 0 und F (∞) :=
x→−∞
lim F (x) = 1 heißt Verteilungsfunktion. Gilt statt F (∞) = 1 lediglich F (∞) ≤
x→∞
1, so heißt F uneigentliche Verteilungsfunktion.
Ist μ ein (Sub-)W-Maß auf (R, B(R)), so heißt Fμ : x → μ((−∞, x]) die Verteilungsfunktion von μ.
Offenbar ist Fμ rechtsseitig stetig und F (−∞) = 0, weil μ stetig von oben und
endlich ist (Satz 1.36). Auf Grund der Stetigkeit von unten ist F (∞) = μ(R), also
ist Fμ tatsächlich eine (uneigentliche) Verteilungsfunktion, wenn μ ein (Sub-)WMaß ist.
Die Argumentation aus Beispiel 1.56 liefert nun den folgenden Satz.
Satz 1.60. Die Abbildung μ → Fμ ist eine Bijektion von der Menge der W-Maße
auf (R, B(R)) auf die Menge der Verteilungsfunktionen, beziehungsweise von der
Menge der Sub-W-Maße auf die der uneigentlichen Verteilungsfunktionen.
Wir sehen also, dass jedes endliche Maß auf (R, B(R)) ein Lebesgue-Stieltjes-Maß
für eine gewisse Funktion F ist. Für σ-endliche Maße ist dies im Allgemeinen
falsch, wie wir in Beispiel 1.58(iv) gesehen haben.
Wir kommen nun zu einem Satz, der Satz 1.55 mit dem Lebesgue-Stieltjes-Maß
kombiniert. Später werden wir sehen, dass dieser Satz in größerer Allgemeinheit
gültig ist. Speziell kann man auf die Bedingung verzichten, dass die einzelnen Faktoren vom Lebesgue-Stieltjes-Typ sind.
28
1 Grundlagen der Maßtheorie
Satz 1.61 (Endliche Produkte von Maßen). Sei n ∈ N, und seien μ1 , . . . , μn
endliche Maße oder, allgemeiner, Lebesgue-Stieltjes-Maße auf (R, B(R)). Dann
existiert ein eindeutig bestimmtes, σ-endliches Maß μ auf (Rn , B(Rn )) mit
μ((a, b]) =
n
μi ((ai , bi ])
für alle a, b ∈ Rn mit a < b.
i=1
n
μi das Produktmaß zu den Maßen μ1 , . . . , μn .
Wir nennen μ =:
i=1
Beweis. Dies geht völlig analog zum Beweis von Satz 1.55. Man muss sich vergewissern, dass die Intervalle (a, bε ] und so weiter, so gewählt werden können, dass
μ((a, bε ]) < μ((a, b]) + ε. Hierzu wird die Rechtsstetigkeit der zu den μi gehörigen
2
wachsenden Funktion Fi verwendet. Wir überlassen die Details zur Übung.
Bemerkung 1.62. Wir werden später in Satz 14.14 sehen, dass die Aussage auch
für beliebige σ-endliche Maße μ1 , . . . , μn auf beliebigen (auch unterschiedlichen)
Messräumen gilt. Wir können auch unendliche (sogar überabzählbare) Produkte betrachten, wenn wir voraussetzen, dass alle Faktoren Wahrscheinlichkeitsräume sind
(Satz 14.36).
3
Beispiel 1.63 (Unendliches Produktmaß, Fortsetzung von Beispiel 1.40). Sei E
eine endliche Menge und Ω = E N der Raum der Folgen mit Werten in E. Ferner sei
(pe )e∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor. Der auf A = {[ω1 , . . . , ωn ] : ω1 , . . . , ωn ∈
E, n ∈ N} definierte Inhalt
μ([ω1 , . . . , ωn ]) =
n
p ωi
i=1
soll nun zu einem Maß auf σ(A) fortgesetzt werden. Um die Voraussetzungen von
Satz 1.53 zu prüfen, müssen wir zeigen, dass μ σ-subadditiv ist. Wie im vorangehenden Beispiel geht dies mit Hilfe eines Kompaktheitsarguments.
∞
Seien also A, A1 , A2 , . . . ∈ A und A ⊂ n=1 An . Es reicht zu zeigen, dass es ein
N ∈ N gibt mit der Eigenschaft
A⊂
N
An .
(1.13)
n=1
Dann ist nämlich aufgrund der endlichen Subadditivität von μ (Lemma 1.31(iii))
N
∞
μ(An ) ≤
μ(An ), also ist μ σ-subadditiv.
schon μ(A) ≤
n=1
n=1
Wir geben nun zwei Beweise für (1.13) an.
1.3 Fortsetzung von Maßen
29
1. Beweis. Wie in Beispiel 1.40 angemerkt, ist Ω mit der von der Metrik d in
(1.9) erzeugten Produkttopologie kompakt, und jedes A ∈ A ist abgeschlossen
und damit auch kompakt. Da jedes der An zugleich offen ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung von A, mithin gilt (1.13).
2. Beweis. Wir zeigen nun auf elementare Weise die Gültigkeit von (1.13).
Das Vorgehen imitiert den Beweis dafür, dass Ω kompakt ist. Wir setzen Bn :=
n
A \ i=1 Ai , nehmen an, dass Bn = ∅ für jedes n ∈ N und führen dies zum Widerspruch. Nach dem Dirichlet’schen Schubfachprinzip (E ist endlich) können wir
ein ω1 ∈ E auswählen, sodass [ω1 ] ∩ Bn = ∅ für unendlich viele n ∈ N. Wegen
B1 ⊃ B2 ⊃ . . . folgt
[ω1 ] ∩ Bn = ∅
für jedes n ∈ N.
Wähle nun sukzessive ω2 , ω3 , . . . ∈ E so aus, dass
[ω1 , . . . , ωk ] ∩ Bn = ∅
für alle k, n ∈ N.
Bn ist disjunkte Vereinigung von gewissen Mengen Cn,1 , . . . , Cn,mn ∈ A. Daher
existiert zu jedem n ∈ N ein in ∈ {1, . . . , mn } mit [ω1 , . . . , ωk ] ∩ Cn,in = ∅ für
unendlich viele k ∈ N. Wegen [ω1 ] ⊃ [ω1 , ω2 ] ⊃ . . . folgt
[ω1 , . . . , ωk ] ∩ Cn,in = ∅
für alle k, n ∈ N.
Für festes n ∈ N und großes k ist [ω1 , . . . , ωk ] ⊂ Cn,in , also
ist ω = (ω1 , ω2 , . . .) ∈
∞
3
Cn,in ⊂ Bn . Es folgt im Widerspruch zur Annahme, dass n=1 Bn = ∅.
Zusammen mit Satz 1.53 haben wir den folgenden Satz gezeigt.
Satz 1.64 (Produktmaß, Bernoulli-Maß). Sei E eine endliche, nichtleere Menge und Ω = E N sowie (pe )e∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor. Dann gibt es ein
eindeutig bestimmtes W-Maß μ auf σ(A) = B(Ω) mit
μ([ω1 , . . . , ωn ]) =
n
p ωi
für alle ω1 , . . . , ωn ∈ E und n ∈ N.
i=1
Wir nennen μ das Produktmaß oder Bernoulli-Maß auf Ω mit Gewichten (pe )e∈E .
⊗N
Wir schreiben auch
:= μ.
e∈E pe δe
E ⊗N
Ferner nennen wir (2 ) := σ(A) die Produkt-σ-Algebra auf Ω.
Auf Produktmaße gehen wir systematisch noch einmal in Kapitel 14 ein.
Der Fortsetzungssatz liefert uns einen abstrakten Existenz- und Eindeutigkeitssatz
für Maße, die wir zuvor nur auf einem Semiring A definiert hatten. Der folgende Satz zeigt, wie gut wir das Maß von σ(A)-messbaren Mengen durch endliche,
beziehungsweise abzählbare Operationen mit Mengen aus A annähern können.
30
1 Grundlagen der Maßtheorie
Wir schreiben
A B := (A \ B) ∪ (B \ A),
für A, B ⊂ Ω,
(1.14)
für die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B.
Satz 1.65 (Approximationssatz für Maße). Sei A ⊂ 2Ω ein Semiring und μ ein
Maß auf σ(A), das σ-endlich auf A ist.
(i) Zu A ∈ σ(A) und ε > 0gibt es paarweise
disjunkte Mengen A1 , A2 , . . . ∈ A
∞
∞
An und μ
An \ A < ε.
mit A ⊂
n=1
n=1
(ii) Zu A ∈ σ(A) mit μ(A) < ∞ und ε > 0 gibt es n ∈ N und paarweise
n
disjunkte Mengen A1 , . . . , An ∈ A mit μ A Ak < ε.
k=1
∗
(iii) Zu jedem A ∈ M(μ ) gibt es A− , A+ ∈ σ(A) mit A− ⊂ A ⊂ A+ und
μ(A+ \ A− ) = 0.
Bemerkung 1.66. Nach (iii) gelten (i) und (ii) auch für A ∈ M(μ∗ ) (mit μ∗ statt
μ). Ist A eine Algebra, so gilt in (ii) für jedes A ∈ σ(A) sogar inf μ(A B) = 0.
B∈A
3
Beweis. (ii) Da μ auf σ(A) mit dem äußeren Maß μ∗ übereinstimmt und μ(A)
endlich ist, gibt es nach Definition von μ∗ (siehe Lemma 1.47) eine Überdeckung
B1 , B2 , . . . ∈ A von A mit
μ(A) ≥
∞
μ(Bi ) − ε/2.
i=1
Sei n ∈ N mit
∞
μ(Bi ) <
i=n+1
ε
2
(dies existiert, weil μ(A) < ∞). Für je drei
Mengen C, D, E gilt
C D = (D \ C) ∪ (C \ D) ⊂ (D \ C) ∪ (C \ (D ∪ E)) ∪ E ⊂ (C (D ∪ E)) ∪ E.
∞
n
Mit C = A, D = i=1 Bi und E = i=n+1 Bi erhalten wir
∞
n
∞
μ A
Bi ≤ μ A Bi + μ
Bi
i=1
i=1
≤μ
∞
i=1
i=n+1
Bi
− μ(A) +
ε
≤ ε.
2
1.3 Fortsetzung von Maßen
Schreibe nun
n
Bi = B1 i=1
n i−1
(Bi \ Bj ) =:
i=2 j=1
k
31
Ai
i=1
für ein gewisses k ∈ N und gewisse A1 , . . . , Ak ∈ A (Semiring-Eigenschaft).
(i) Sei A ∈ σ(A) und En ↑ Ω, En ∈ σ(A) mit μ(En ) < ∞ für jedes n ∈ N.
Wähle zu n ∈ N eine Überdeckung (Bn,m )m∈N von A ∩ En mit
∞
μ(A ∩ En ) ≥
μ(Bn,m ) − 2−n ε.
m=1
(Dies ist möglich nach Definition des äußeren Maßes μ∗ , das auf A mit μ über∞
∞
Bn,m =
An für gewisse An ∈ A, n ∈ N
einstimmt.) Schreibe
m,n=1
n=1
(Übung 1.1.1). Dann ist
∞
∞ ∞
μ
An \ A = μ
Bn,m \ A
n=1
n=1 m=1
≤μ
∞
∞ Bn,m \ (A ∩ En )
n=1 m=1
≤
∞
n=1
∞
μ(Bn,m )
− μ(A ∩ En )
≤ ε.
m=1
(iii) Sei A ∈ M(μ∗ ) und (En )n∈N wie oben. Wähle zu m, n ∈ N ein An,m ∈
−n
σ(A) mit An,m ⊃ A ∩ En und μ∗ (An,m ) ≤ μ∗ (A ∩ En ) + 2m .
∞
1
An,m ∈ σ(A). Dann ist Am ⊃ A und μ∗ (Am \ A) ≤ m
. Setze
Setze Am :=
A+ :=
∞
n=1
Am . Dann ist σ(A) A+ ⊃ A und μ∗ (A+ \ A) = 0. Wähle analog
m=1
(A− )c ∈ σ(A) mit (A− )c ⊃ Ac und μ∗ ((A− )c \ Ac ) = 0. Dann ist A+ ⊃ A ⊃ A−
und μ(A+ \ A− ) = μ∗ (A+ \ A− ) = μ∗ (A+ \ A) + μ∗ (A \ A− ) = 0.
2
Bemerkung 1.67 (Regularität von Maßen). (Vergleiche auch Satz 13.6 auf Seite
248.) Sei λn das Lebesgue-Maß auf (Rn , B(Rn )). Sei A der Semiring der Quader
der Form (a, b]) ⊂ Rn . Nach Satz 1.23 ist B(Rn ) = σ(A). Nach dem Approximationssatz gibt es zu A ∈ B(Rn ) und ε > 0 abzählbar viele A1 , A2 , . . . ∈ A
mit
∞
n
Ai \ A < ε/2.
λ
i=1
32
1 Grundlagen der Maßtheorie
Zu jedem Ai existiert ein offener Quader Bi ⊃ Ai mit λn (Bi \ Ai ) < ε 2−i−1
∞
n
(Stetigkeit von oben von λ ). Daher ist U = i=1 Bi eine offene Menge U ⊃ A
mit
λn (U \ A) < ε.
Diese Eigenschaft von λn heißt Regularität von außen.
Ist λn (A) endlich, so gibt es zu ε > 0 eine kompakte Menge K ⊂ A mit
λn (A \ K) < ε.
Diese Eigenschaft von λn heißt Regularität von innen. In der Tat: Sei N > 0 mit
λn (A)−λn (A∩[−N, N ]n ) < ε/2. Wähle eine offene Menge U ⊃ (A∩[−N, N ]n )c
mit λn (U \ (A ∩ [−N, N ]n )c ) < ε/2 und setze K := [−N, N ]n \ U ⊂ A.
3
Definition 1.68 (Nullmenge). Sei (Ω, A, μ) ein Maßraum.
(i) Eine Menge A ∈ A heißt μ-Nullmenge, oder kurz Nullmenge, falls μ(A) = 0.
Mit Nμ bezeichnen wir das System aller Teilmengen von μ-Nullmengen.
(ii) Sei E(ω) eine Eigenschaft, die dem Punkt ω ∈ Ω zukommen kann. Wir sagen,
dass E μ-fast überall (f.ü.) gilt oder für fast alle (f.a.) ω, falls es eine Nullmenge N
gibt, sodass E(ω) für jedes ω ∈ Ω \ N gilt. Ist A ∈ A, so sagen wir, dass E fast
überall auf A gilt, falls es eine Nullmenge N gibt, sodass E(ω) für jedes ω ∈ A \ N
gilt.
Ist μ = P ein W-Maß, so sagen wir dann auch, dass E P -fast sicher (f.s.) gilt,
beziehungsweise fast sicher auf A.
(iii) Sind A, B ∈ A, so schreiben wir A = B
N gibt mit A B ⊂ N .
(mod μ), falls es eine Nullmenge
Definition 1.69. Ein Maßraum (Ω, A, μ) heißt vollständig, falls Nμ ⊂ A.
Bemerkung 1.70 (Vervollständigung eines Maßraums). Sei (Ω, A, μ) ein Maßraum. Es gibt genau eine kleinste σ-Algebra A∗ ⊃ A und eine Fortsetzung
μ∗ von μ auf A∗ , sodass (Ω, A∗ , μ∗ ) vollständig ist. (Ω, A∗ , μ∗ ) heißt die Vervollständigung von (Ω, A, μ). In der Notation des Beweises von Satz 1.53 ist
∗
∗
Ω, M(μ ), μ M(μ∗ )
diese Vervollständigung.
Ferner ist M(μ∗ ) = σ(A ∪ Nμ ) = {A ∪ N : A ∈ A, N ∈ Nμ } und μ∗ (A ∪ N ) =
μ(A) für jedes A ∈ A und N ∈ Nμ .
Da wir diese Aussagen im Folgenden nicht benötigen werden, verzichten wir auf
den Beweis und verweisen auf die gängigen Maßtheoriebücher, etwa [46].
1.3 Fortsetzung von Maßen
33
Beispiel 1.71. Ist λ das Lebesgue-Maß (genauer: das Lebesgue-Borel-Maß) auf
(Rn , B(Rn )), so lässt sich λ eindeutig fortsetzen zu einem Maß λ∗ auf
B ∗ (Rn ) = σ(B(Rn ) ∪ N ),
wo N die Menge der Teilmengen der Lebesgue-Borel’schen Nullmengen bezeichnet. B∗ (Rn ) heißt σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen. Zur Unterscheidung wird manchmal λ das Lebesgue-Borel-Maß genannt und λ∗ das LebesgueMaß. Wir werden diese Unterscheidung im Folgenden aber nicht benötigen.
3
Beispiel 1.72. Sei μ = δω auf einem Messraum (Ω, A). Ist {ω} ∈ A, so ist die
Vervollständigung A∗ = 2Ω , μ∗ = δω . Im Extremfall der trivialen σ-Algebra
A = {∅, Ω} hingegen ist Nμ = {∅}, also die Vervollständigung A∗ = {∅, Ω},
μ∗ = δω . Man beachte, dass man auf dieser trivialen σ-Algebra die Dirac-Maße zu
verschiedenen Punkten aus Ω nicht unterscheiden kann.
3
Definition 1.73. Sei (Ω, A, μ) ein Maßraum und Ω ∈ A. Dann wird durch
μ (A) := μ(A)
für A ∈ A mit A ⊂ Ω Ω
ein Maß auf der Spur-σ-Algebra A
schränkung von μ auf Ω .
Ω
definiert. Dieses Maß nennen wir die Ein-
Beispiel 1.74. Die Einschränkung des Lebesgue-Borel-Maßes λ von (R, B(R)) auf
). Allgemeiner nennen wir für messbares
[0, 1] ist ein W-Maß auf ([0, 1], B(R)
[0,1]
A ∈ B(R) die Einschränkung λ das Lebesgue-Maß auf A. Oftmals wird als SymA
bol wieder λ verwendet, weil wir nicht zu viele kleinliche Unterscheidungen treffen
wollen.
Wir sehen später (Korollar 1.84), dass B(R) = B(A), wobei B(A) die Borel’sche
A
σ-Algebra auf A ist, die von den in A (relativ) offenen Mengen erzeugt wird.
3
Beispiel 1.75 (Gleichverteilung). Ist A ∈ B(Rn ) mit n-dimensionalem LebesgueMaß λn (A) ∈ (0, ∞), so wird durch
μ(B) :=
λn (B)
λn (A)
für B ∈ B(Rn ), B ⊂ A,
ein W-Maß auf B(Rn ) definiert. Wir nennen μ die uniforme Verteilung oder
A
3
Gleichverteilung auf A und schreiben UA := μ.
Übung
Man zeige die folgende Verallgemeinerung von Beispiel 1.58(iv): Ein
1.3.1.
∞
Maß n=1 αn δxn ist genau dann ein Lebesgue-Stieltjes Maß zu einer geeigneten
♣
Funktion F , wenn n: |xn |≤K αn < ∞ für jedes K > 0 gilt.
34
1 Grundlagen der Maßtheorie
Übung 1.3.2. Sei Ω eine überabzählbare Menge und ω0 ∈ Ω ein beliebiges Element. Sei A = σ({ω} : ω ∈ Ω \ {ω0 }).
(i) Charakterisiere A ähnlich wie in Übung 1.1.4 (Seite 11).
(ii) Zeige, dass (Ω, A, δω0 ) vollständig ist.
♣
Übung 1.3.3. Sei (μn )n∈N eine Folge von endlichen Maßen auf dem Messraum
(Ω, A). Für jedes A ∈ A existiere der Grenzwert μ(A) := lim μn (A).
n→∞
Man zeige: μ ist ein Maß auf (Ω, A).
Hinweis: Zu zeigen ist insbesondere die ∅-Stetigkeit von μ.
♣
1.4 Messbare Abbildungen
Eine Zwangshandlung in der Mathematik ist es, Homomorphismen zwischen Objekten anzugeben, also strukturerhaltende Abbildungen. Für topologische Räume
sind dies die stetigen Abbildungen, für Messräume die messbaren Abbildungen.
Seien im Folgenden stets (Ω, A) und (Ω , A ) Messräume.
Definition 1.76 (Messbare Abbildungen).
(i) Eine Abbildung X : Ω → Ω heißt A – A -messbar (oder kurz: messbar),
falls X −1 (A ) := {X −1 (A ) : A ∈ A } ⊂ A ist, falls also
X −1 (A ) ∈ A
für jedes A ∈ A .
Ist X messbar, so schreiben wir auch X : (Ω, A) → (Ω , A ).
(ii) Ist Ω = R und A = B(R) die Borel’sche σ-Algebra auf R, so heißt X :
(Ω, A) → (R, B(R)) kurz eine reelle A-messbare Abbildung.
Beispiel 1.77. (i) Die Identität id : Ω → Ω ist A – A-messbar.
(ii) Sei A = 2Ω oder A = {∅, Ω }. Jedes X : Ω → Ω ist dann A – A -messbar.
(iii) Sei A ⊂ Ω. Die Indikatorfunktion ½A : Ω → {0, 1} ist genau dann A –
3
2{0,1} -messbar, wenn A ∈ A.
Satz 1.78 (Erzeugte σ-Algebra). Sei (Ω , A ) ein Messraum und Ω eine nichtleere
Menge sowie X : Ω → Ω eine Abbildung. Das Urbild
X −1 (A ) := {X −1 (A ) : A ∈ A }
(1.15)
ist die kleinste σ-Algebra, bezüglich der X messbar ist. Wir nennen σ(X) :=
X −1 (A ) die von X erzeugte σ-Algebra auf Ω.
1.4 Messbare Abbildungen
35
2
Beweis. Übung!
Wir wollen nun σ-Algebren betrachten, die von mehreren Abbildungen erzeugt werden.
Definition 1.79 (Erzeugte σ-Algebra). Sei Ω eine nichtleere Menge. Sei I eine
beliebige Indexmenge, und für jedes i ∈ I sei (Ωi , Ai ) ein Messraum sowie Xi :
Ω → Ωi eine beliebige Abbildung. Dann heißt
−1
σ(Xi , i ∈ I) := σ
σ(Xi ) = σ
Xi (Ai )
i∈I
i∈I
die von (Xi , i ∈ I) erzeugte σ-Algebra auf Ω. Dies ist die kleinste σ-Algebra,
bezüglich der jedes Xi messbar ist.
Wie bei stetigen oder linearen Abbildungen gibt es eine Verknüpfungseigenschaft.
Satz 1.80 (Verknüpfung von Abbildungen). Sind (Ω, A), (Ω , A ) und (Ω , A )
Messräume sowie X : Ω → Ω messbar und X : Ω → Ω messbar, so ist die
Abbildung Y := X ◦ X : Ω → Ω , ω → X (X(ω)) messbar bezüglich A – A .
Beweis. Es ist Y −1 (A ) = X −1 ((X )−1 (A )) ⊂ X −1 (A ) ⊂ A.
2
Praktisch kann man die Messbarkeit einer Abbildung X kaum prüfen, indem man
sämtliche Urbilder X −1 (A ), A ∈ A auf Messbarkeit hin untersucht. Dafür sind
die meisten σ-Algebren A einfach zu groß. Glücklicherweise reicht hier die Betrachtung eines Erzeugers von A aus:
Satz 1.81 (Messbarkeit auf einem Erzeuger). Für jedes System E ⊂ A von
A -messbaren Mengen gilt σ(X −1 (E )) = X −1 (σ(E )) und damit
X ist A – σ(E )-messbar ⇐⇒ X −1 (E ) ∈ A
für jedes E ∈ E .
Ist speziell σ(E ) = A , dann gilt
X ist A – A -messbar ⇐⇒ X −1 (E ) ⊂ A.
Beweis. Offenbar ist X −1 (E ) ⊂ X −1 (σ(E )) = σ(X −1 (σ(E ))). Also ist auch
σ(X −1 (E )) ⊂ X −1 (σ(E )).
Für die andere Inklusion betrachten wir das Mengensystem
A0 := A ∈ σ(E ) : X −1 (A ) ∈ σ(X −1 (E ))
und zeigen zunächst, dass A0 eine σ-Algebra ist, indem wir die Punkte (i)–(iii) aus
Definition 1.2 prüfen:
36
1 Grundlagen der Maßtheorie
(i) Offensichtlich ist Ω ∈ A0 .
(ii) (Komplementstabilität)
Ist A ∈ A0 , so ist
X −1 ((A )c ) = (X −1 (A ))c ∈ σ(X −1 (E )),
also (A )c ∈ A0 .
(iii) (σ-∪-Stabilität) Seien A1 , A2 , . . . ∈ A0 . Dann ist
∞
∞
−1
An =
X −1 (An ) ∈ σ(X −1 (E )),
X
n=1
also ist
∞
n=1 An
∈
n=1
A0 .
Wegen E ⊂ A0 ist A0 = σ(E ), also X −1 (A ) ∈ σ(X −1 (E )) für jedes A ∈ σ(E )
2
und damit X −1 (σ(E )) ⊂ σ(X −1 (E )).
Korollar 1.82 (Messbarkeit von verknüpften Abbildungen). Sei I eine nichtleere Indexmenge sowie (Ω, A), (Ω , A ) und (Ωi , Ai ) Messräume, i ∈ I. Sei ferner
(Xi : i ∈ I) eine Familie messbarer Abbildungen Xi : Ω → Ωi mit der Eigenschaft A = σ(Xi : i ∈ I). Dann gilt: Eine Abbildung Y : Ω → Ω ist genau dann
A-A messbar, wenn Xi ◦ Y messbar ist bezüglich A-Ai für jedes i ∈ I.
Beweis. Ist Y messbar, so ist nach Satz 1.80 jedes Xi ◦ Y messbar. Sei nun jede
der zusammengesetzten Abbildungen Xi ◦ Y messbar bezüglich A-Ai . Die Menge
E := {Xi−1 (A ) : A ∈ Ai , i ∈ I} ist nach Voraussetzung ein Erzeuger von A ,
und es gilt Y −1 (A ) ∈ A für jedes A ∈ E wegen der Messbarkeit aller Xi ◦ Y .
Nach Satz 1.81 ist also Y messbar.
2
Wir erinnern an den Begriff der Spur eines Mengensystems aus Definition 1.25.
Korollar 1.83 (Spur der erzeugten σ-Algebra). Ist E ⊂ 2Ω und A ⊂ Ω nichtleer,
so gilt σ E = σ(E) .
A
A
Beweis. Sei X : A → Ω, ω → ω die Inklusionsabbildung. Dann ist X −1 (B) =
A ∩ B für jedes B ⊂ Ω. Nach Satz 1.81 ist
σ E = σ({E ∩ A : E ∈ E})
A
= σ({X −1 (E) : E ∈ E}) = σ(X −1 (E))
= X −1 (σ(E)) = {A ∩ B : B ∈ σ(E)} = σ(E) .
A
2
Zur Erinnerung: Für eine Teilmenge A ⊂ Ω eines topologischen Raums (Ω, τ ) ist
τ die Topologie der in A relativ offenen Mengen. Mit B(Ω, τ ) = σ(τ ) bezeichnen
A
wir die Borel’sche σ-Algebra auf (Ω, τ ).
1.4 Messbare Abbildungen
37
Korollar 1.84 (Spur der Borel’schen σ-Algebra). Sei (Ω, τ ) ein topologischer
Raum und A ⊂ Ω eine beliebige Teilmenge von Ω. Dann gilt
B(Ω, τ ) = B A, τ .
A
A
Beispiel 1.85. (i) Ist Ω abzählbar, so ist X : Ω → Ω genau dann A – 2Ω messbar, wenn X −1 ({ω }) ∈ A für jedes ω ∈ Ω . Für überabzählbare Ω ist dies
im Allgemeinen falsch. (Man betrachte etwa Ω = Ω = R, A = B(R), X(ω) = ω
für jedes ω ∈ Ω. Offenbar ist X −1 ({ω}) = {ω} ∈ B(R). Ist andererseits A ⊂ R
nicht in B(R), so ist A ∈ 2R , jedoch X −1 (A) ∈ B(R).)
(ii) Für x ∈ R verabreden wir folgende Schreibweisen für das Ab- und Aufrunden
x := max{k ∈ Z : k ≤ x}
und
x := min{k ∈ Z : k ≥ x}.
(1.16)
Die Abbildungen R → Z, x → x und x → x sind messbar bezüglich B(R)
– 2Z , denn für jedes k ∈ Z sind die Urbilder {x ∈ R : x = k} = [k, k + 1)
und {x ∈ R : x = k} = (k − 1, k] in B(R). Nach dem Verknüpfungssatz
(Satz 1.80) sind dann für jede messbare Abbildung f : (Ω, A) → (R, B(R)) auch
die Abbildungen f und f messbar bezüglich A – 2Z .
(iii) Eine Abbildung X : Ω → Rd ist genau dann A – B(Rd )-messbar, wenn
X −1 ((−∞, a]) ∈ A
für jedes a ∈ Rd ,
denn σ((−∞, a], a ∈ Rd ) = B(Rd ) nach Satz 1.23. Analog gilt dies auch für die
3
anderen Mengensysteme E1 , . . . , E12 aus Satz 1.23.
Beispiel 1.86. Sei d(x, y) = x − y2 der gewöhnliche euklidische Abstand auf Rn
und B(Rn , d) = B(Rn ) die Borel’sche σ-Algebra zu der von d erzeugten Topologie.
3
Für jede Teilmenge A von Rn ist dann B(A, d) = B(Rn , d) .
A
Wir wollen die reellen Zahlen um die Punkte −∞ und +∞ erweitern und definieren
R := R ∪ {−∞, +∞}.
Topologisch wollen wir R als die so genannte Zweipunktkompaktifizierung ansehen, indem wir R als topologisch isomorph zu [−1, 1] betrachten, beispielsweise
vermöge der Abbildung
⎧
⎪
⎨ tan(πx/2), falls x ∈ (−1, 1),
−∞, falls x = −1,
x →
ϕ : [−1, 1] → R,
⎪
⎩
∞, falls x = +1.
−1
¯ y) = ϕ (x)−ϕ−1 (y) für x, y ∈ R eine Metrik auf R
In der Tat wird durch d(x,
definiert, sodass ϕ und ϕ−1 stetig sind (also ist ϕ ein topologischer Isomorphismus). Mit τ̄ bezeichnen wir die induzierte Topologie auf R, mit τ die gewöhnliche
Topologie auf R.
38
1 Grundlagen der Maßtheorie
Korollar 1.87. Es gilt τ̄ = τ , und daher gilt B(R) = B(R).
R
R
Ist speziell X : (Ω, A) → (R, B(R)) messbar, so ist X in kanonischer Weise auch
eine R-wertige messbare Abbildung.
Mit R haben wir also eine echte Erweiterung der reellen Zahlen geschaffen, und die
Inklusion R → R ist messbar.
Satz 1.88 (Messbarkeit stetiger Abbildungen). Sind (Ω, τ ) und (Ω , τ ) topologische Räume und f : Ω → Ω stetig, dann ist f auch B(Ω) – B(Ω )-messbar.
Beweis. Wegen B(Ω ) = σ(τ ) reicht es nach Satz 1.81 zu zeigen, dass f −1 (A ) ∈
σ(τ ) für jedes A ∈ τ . Da f stetig ist, gilt aber sogar f −1 (A ) ∈ τ für jedes
2
A ∈ τ .
Für x, y ∈ R verabreden wir folgende Notationen
x ∨ y = max(x, y)
x ∧ y = min(x, y)
x+ = max(x, 0)
x− = max(−x, 0)
|x| = max(x, −x) = x− + x+
sign(x) = ½{x>0} − ½{x<0}
(Maximum),
(Minimum),
(Positivteil),
(Negativteil),
(Absolutbetrag),
(Vorzeichenfunktion).
Analog bezeichnen wir für reelle messbare Abbildungen beispielsweise X + =
max(X, 0). Die Abbildungen x → x+ , x → x− und x → |x| sind stetig (und
damit nach dem vorangehenden Satz messbar), die Abbildung x → sign(x) ist offenbar auch messbar. Wir erhalten also (zusammen mit Korollar 1.82):
Korollar 1.89. Ist X eine reelle oder R-wertige messbare Abbildung, so sind auch
die Abbildungen X − , X + , |X| und sign(X) messbar.
Satz 1.90 (Koordinatenabbildungen sind messbar). Sei (Ω, A) ein Messraum
und f1 , . . . , fn : Ω → R Abbildungen sowie f := (f1 , . . . , fn ) : Ω → Rn . Dann
gilt
f ist A – B(Rn )-messbar
⇐⇒
jedes fi ist A – B(R)-messbar.
Die Aussage gilt analog für fi : Ω → R := R ∪ {±∞}.
Beweis. Für b ∈ Rn ist f −1 ((−∞, b)) =
n
i=1
fi−1 ((−∞, bi )). Ist jedes fi messbar,
so ist also f −1 ((−∞, b)) ∈ A. Die Quader (−∞, b), b ∈ Rn , erzeugen aber B(Rn ),
und daher ist dann f messbar. Sei nun f messbar. Für i = 1, . . . , n sei πi : Rn → R,
x → xi die i-te Projektion. Offenbar ist πi stetig also B(Rn ) – B(R)-messbar. Nach
2
Satz 1.80 ist auch fi = πi ◦ f messbar.
1.4 Messbare Abbildungen
Für den folgenden Satz vereinbaren wir die Konvention
x
0
39
:= 0 für jedes x ∈ R.
Satz 1.91. Sei (Ω, A) ein Messraum und f, g : (Ω, A) → (Rn , B(Rn )) sowie
h : (Ω, A) → (R, B(R)) messbar. Dann sind auch die Abbildungen f + g, f − g,
f · h und f /h messbar.
Beweis. Die Abbildung π : Rn × R → Rn , (x, α) → α · x ist stetig, also messbar.
Nach Satz 1.90 ist (f, h) : Ω → Rn × R messbar, also auch die zusammengesetzte
Abbildung f · h = π ◦ (f, h). Analog folgt die Messbarkeit von f + g und f − g.
Um die Messbarkeit von f /h zu zeigen, definieren wir H : R → R, x → 1/x.
Nach unserer Konvention ist H(0) = 0. Dann ist f /h = f · H ◦ h. Es reicht also
stetig. Für offenes U ⊂ R ist
zu zeigen, dass H messbar ist. Offenbar ist H R\{0}
auch U \ {0} offen und damit H −1 (U \ {0}) ∈ B(R). Ferner ist H −1 ({0}) = {0}.
2
Also ist schließlich H −1 (U ) = H −1 (U \ {0}) ∪ (U ∩ {0}) ∈ B(R).
Satz 1.92. Sind X1 , X2 , . . . messbare Abbildungen (Ω, A) → (R, B(R)), dann
sind auch die folgenden Abbildungen messbar:
inf Xn ,
n∈N
sup Xn ,
n∈N
lim inf Xn ,
n→∞
lim sup Xn .
n→∞
Beweis. Für jedes a ∈ R gilt
−1
∞
inf Xn
([−∞, a)) =
Xn−1 ([−∞, a)) ∈ A.
n∈N
n=1
Nach Satz 1.81 folgt hieraus die Messbarkeit von inf Xn . Analog geht der Beweis
n∈N
für sup Xn .
n∈N
Für n ∈ N setzen wir Yn := inf Xm . Dann ist Yn messbar, und damit auch
m≥n
lim inf Xn := sup Yn . Analog folgt der Beweis für den Limes superior.
n→∞
n∈N
2
Ein wichtiges Beispiel für messbare Abbildungen (Ω, A) → (R, B(R)) sind Elementarfunktionen.
Definition 1.93 (Elementarfunktion). Sei (Ω, A) ein Messraum. Eine Abbildung
f : Ω → R heißt Elementarfunktion, wenn es ein n ∈ N und paarweise disjunkte,
messbare Mengen A1 , . . . , An ∈ A sowie Zahlen α1 , . . . , αn ∈ R gibt mit
f=
n
i=1
αi ½Ai .
40
1 Grundlagen der Maßtheorie
Bemerkung 1.94. Eine messbare Abbildung, die nur endlich viele Werte annimmt,
ist eine Elementarfunktion. (Übung!)
3
Definition 1.95. Sind f, f1 , f2 , . . . Abbildungen Ω → R mit
f1 (ω) ≤ f2 (ω) ≤ . . . und
lim fn (ω) = f (ω)
n→∞
für jedes ω ∈ Ω,
so schreiben wir fn ↑ f und sagen, dass (fn )n∈N punktweise monoton aufsteigend
gegen f konvergiert. Analog schreiben wir fn ↓ f , falls (−fn ) ↑ (−f ).
Satz 1.96. Sei (Ω, A) ein Messraum und f : Ω → [0, ∞] messbar. Dann gelten
die folgenden Aussagen.
(i) Es gibt eine Folge nichtnegativer Elementarfunktionen (fn )n∈N mit fn ↑ f .
(ii) Es gibt A1 , A2 , . . . ∈ A und α1 , α2 , . . . ≥ 0 mit f =
∞
αn ½An .
n=1
Beweis. (i) Für n ∈ N0 definiere fn = (2−n 2n f ) ∧ n. Dann ist fn messbar
(nach Satz 1.92 und Beispiel 1.85(ii)) und nimmt höchstens n2n + 1 Werte an, ist
also eine Elementarfunktion. Offenbar gilt fn ↑ f .
(ii) Seien fn wie oben, Bn,i := {ω : fn (ω)−fn−1 (ω) = i 2−n } und βn,i = i 2−n
2n
für n ∈ N und i = 1, . . . , 2n . Man überlege sich, dass i=1 Bn,i = Ω. Dann ist
2n
βn,i ½Bn,i . Nach Umnummerierung (n, i) → m erhalten wir
fn − fn−1 =
i=1
(αm )m∈N und (Am )m∈N , sodass
f = f0 +
∞
n=1
(fn − fn−1 ) =
∞
αm ½Am .
2
m=1
Als Korollar zu dieser Strukturaussage für messbare [0, ∞]-wertige Abbildungen
zeigen wir das Faktorisierungslemma.
Korollar 1.97 (Faktorisierungslemma). Seien (Ω , A ) ein Messraum und Ω eine
nichtleere Menge. Sei f : Ω → Ω eine Abbildung. Eine Abbildung g : Ω → R
ist genau dann messbar bezüglich σ(f ) – B(R), wenn es eine messbare Abbildung
ϕ : (Ω , A ) → (R, B(R)) gibt mit g = ϕ ◦ f .
Beweis.
”
⇐= “
Ist ϕ messbar und g = ϕ ◦ f , so ist g messbar nach Satz 1.80.
=⇒ “ Sei nun g messbar bezüglich σ(f ) – B(R). Wir betrachten zunächst den
”
Fall, wo g nichtnegativ ist. Dann existieren messbare Mengen A1 , A2 . . . ∈ σ(f )
1.4 Messbare Abbildungen
41
∞
sowie Zahlen α1 , α2 , . . . , ∈ [0, ∞) mit g =
n=1 αn ½An . Nach der Definition
von σ(f ) gibt es für jedes n ∈ N eine Menge Bn ∈ A mit f −1 (Bn ) = An , also
mit ½An = ½Bn ◦ f . Wir definieren nun ϕ : Ω → R durch
ϕ=
∞
αn ½Bn .
n=1
Offenbar ist ϕ messbar bezüglich A – B(R), und es gilt g = ϕ ◦ f .
Sei nun der allgemeine Fall betrachtet, wo g auch negative Werte annehmen kann.
Dann existieren messbare Abbildungen ϕ− und ϕ+ mit g − = ϕ− ◦ f und g + =
2
ϕ+ ◦ f . Daher leistet ϕ := ϕ+ − ϕ− das Gewünschte.
Mit einer messbaren Abbildung wird auch ein Maß von einem Raum auf einen anderen transportiert.
Definition 1.98 (Bildmaß). Seien (Ω, A) und (Ω , A ) Messräume und μ ein Maß
auf (Ω, A). Ferner sei X : (Ω, A) → (Ω , A ) messbar. Das durch
μ ◦ X −1 : A → [0, ∞],
A → μ(X −1 (A ))
definierte Maß auf (Ω , A ) heißt Bildmaß von μ unter X.
Beispiel 1.99. Sei μ ein Maß auf Z2 und X : Z2 → Z, (x, y) → x + y. Dann ist
μ({(x − y, y)}).
3
μ ◦ X −1 ({x}) =
y∈Z
Beispiel 1.100. Ist L : Rn → Rn eine bijektive lineare Abbildung und λ das
Lebesgue-Maß auf (Rn , B(Rn )), so ist λ ◦ L−1 = | det(L)|−1 λ. Dies ist klar, weil
n
mit a < b das Spat (oder Parallelepiped) L−1 ((a, b]) das Volumen
für a, b ∈ R
n
−1
3
| det(L )| i=1 (bi − ai ) hat.
Als Verallgemeinerung des letzten Beispiels geben wir hier ohne Beweis den Transformationssatz für Maße mit stetigen Dichten unter differenzierbaren Abbildungen
an. Den Beweis findet man in Lehrbüchern zur Analysis II unter dem Stichwort
Transformationssatz“ oder Substitutionsregel“ (siehe etwa [7] oder [46]).
”
”
Satz 1.101 (Dichtetransformationsformel im Rn ). Es sei μ ein Maß auf Rn mit
stetiger (oder stückweise stetiger) Dichte f : Rn → [0, ∞), das heißt
xn
x1
dt1 · · ·
dtn f (t1 , . . . , tn ) für jedes x ∈ Rn .
μ((−∞, x]) =
−∞
−∞
Sei A ⊂ R eine offene (oder abgeschlossene) Menge mit μ(Rn \ A) = 0. Ferner sei B ⊂ Rn offen oder abgeschlossen sowie ϕ : A → B bijektiv und stetig
differenzierbar mit Ableitung ϕ . Dann hat das Bildmaß μ ◦ ϕ−1 die Dichte
n
42
1 Grundlagen der Maßtheorie
⎧
⎪
⎨
fϕ (x) =
⎪
⎩
f (ϕ−1 (x))
,
| det(ϕ (ϕ−1 (x)))|
0,
falls x ∈ B,
falls x ∈ Rn \ B.
Übung 1.4.1. Sei f : R → R, x → |x|. Zeige: Eine Borel-messbare Abbildung
g : R → R ist genau dann messbar bezüglich σ(f ) = f −1 (B(R)), wenn g gerade
ist.
♣
Übung 1.4.2. Man zeige: Ist (Ω, A, μ) ein Maßraum, f : Ω → R messbar und
g = f μ-fast überall, so braucht g nicht messbar zu sein.
♣
Übung 1.4.3. Sei f : R → R differenzierbar mit Ableitung f . Zeige: f ist B(R)–
B(R) messbar.
♣
Übung 1.4.4. (Vergleiche Beispiele 1.40 und 1.63.) Sei Ω= {0, 1}N und A =
(2{0,1} )⊗N die σ-Algebra,
die von den Zylindermengen [ω1 , . . . , ωn ] : n ∈
N, ω1 , . . . , ωn ∈ {0, 1} erzeugt wird. Ferner sei μ = ( 12 δ0 + 12 δ1 )⊗N das
Bernoulli-Maß auf Ω mit gleichen Gewichten auf 0 und 1. Für n ∈ N sei Xn :
Ω → {0, 1}, ω → ωn die n-te Koordinatenabbildung, und sei
U (ω) =
∞
Xn (ω) 2−n
für ω ∈ Ω.
n=1
(i) Zeige: A = σ(Xn : n ∈ N).
(ii) Zeige: U ist A–B([0, 1]) messbar.
(iii) Bestimme das Bildmaß μ ◦ U −1 auf ([0, 1], B([0, 1])).
(iv) Man gebe ein Ω0 ∈ A an, sodass Ũ := U bijektiv ist.
Ω0
(v) Man zeige, dass Ũ
−1
messbar ist bezüglich B([0, 1])–A
(vi) Welche Interpretation hat die Abbildung Xn ◦ Ũ −1 ?
Ω0
.
♣
Übung 1.4.5 (Satz von Lusin). Sei f : R → R Borel-messbar. Man zeige: Für
jedes ε > 0 existiert eine abgeschlossene Menge C ⊂ R mit λ(R \ C) < ε, sodass
die Einschränkung f von f auf C stetig ist. (Merke: Dies heißt natürlich nicht,
C
dass f in jedem Punkte x ∈ C stetig wäre.)
Anleitung: Man zeige die Aussage zunächst mit Hilfe der inneren Regularität des
Lebesgue-Maßes λ (Bemerkung 1.67) für Indikatorfunktionen messbarer Mengen
und approximiere mit solchen die Abbildung f auf einer geeigneten Menge C
gleichmäßig.
♣
1.5 Zufallsvariablen
43
1.5 Zufallsvariablen
In diesem Abschnitt werden wir messbare Abbildungen als Zufallsvariablen auffassen, die zufällige Beobachtungen beschreiben. Wir definieren den Begriff der
Verteilung von Zufallsvariablen.
Im Folgenden sei stets (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Die Mengen A ∈ A
heißen Ereignisse. P[A] wird als die Wahrscheinlichkeit interpretiert, dass A eintritt. Oft ist allerdings nicht der Wahrscheinlichkeitsraum selbst betrachtbar, sondern
nur gewisse Beobachtungsgrößen. Wir wollen also Wahrscheinlichkeiten dafür definieren, dass Zufallsgrößen bestimmte Werte annehmen und einen Kalkül für, zum
Beispiel, Summen von Zufallsgrößen entwickeln.
Definition 1.102 (Zufallsvariablen). Sei (Ω , A ) ein Messraum und X : Ω →
Ω messbar.
(i) X heißt Zufallsvariable mit Werten in (Ω , A ). Ist (Ω , A ) = (R, B(R)), so
nennen wir X eine reelle Zufallsvariable oder schlicht Zufallsvariable.
(ii) Ist A ∈ A , so schreiben wir {X ∈ A } := X −1 (A ) und P[X ∈ A ] :=
P[X −1 (A )]. Speziell schreiben wir {X ≥ 0} := X −1 ([0, ∞)) und analog
{X ≤ b} und so weiter.
Definition 1.103 (Verteilungen). Sei X eine Zufallsvariable.
(i) Das W-Maß PX := P ◦ X −1 heißt Verteilung von X.
(ii) Ist X eine reelle Zufallsvariable, so heißt die Abbildung FX : x → P[X ≤ x]
die Verteilungsfunktion von X (eigentlich von PX ). Ist μ = PX , so schreiben wir auch X ∼ μ und sagen, dass X nach μ verteilt ist.
(iii) Eine Familie (Xi )i∈I heißt identisch verteilt, falls PXi = PXj
für alle
D
i, j ∈ I. Wir schreiben X = Y , falls PX = PY (D für distribution).
Satz 1.104. Zu jeder Verteilungsfunktion F existiert eine reelle Zufallsvariable X
mit FX = F .
Beweis. Wir müssen explizit einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und eine
Zufallsvariable X : Ω → R angeben mit FX = F .
Die einfachste Möglichkeit ist, (Ω, A) = (R, B(R)) zu wählen, X : R → R die
identische Abbildung und P das Lebesgue-Stieltjes Maß mit Verteilungsfunktion F
(siehe Beispiel 1.56).
Eine andere Möglichkeit, die zudem etwas lehrreicher ist, beruht darauf, zunächst
unabhängig vom konkreten F eine Art Standard-Wahrscheinlichkeitsraum zu definieren, auf dem eine uniform auf (0, 1) verteilte Zufallsvariable definiert ist, die
44
1 Grundlagen der Maßtheorie
dann vermöge der Umkehrabbildung F −1 zu einer Zufallsvariablen X mit Vertei
lungsfunktion F transformiert wird: Wir wählen Ω := (0, 1), A := B(R) und
Ω
P das Lebesgue-Maß auf (Ω, A) (siehe Beispiel 1.74). Definiere die (linksstetige)
Inverse von F
F −1 (t) := inf{x ∈ R : F (x) ≥ t}
Dann ist
für t ∈ (0, 1).
F −1 (t) ≤ x ⇐⇒ t ≤ F (x).
Speziell ist {t : F −1 (t) ≤ x} = (0, F (x)] ∩ (0, 1), also ist F −1 : (Ω, A) →
(R, B(R)) messbar und
P[{t : F −1 (t) ≤ x}] = F (x).
Mithin ist X := F −1 die gewünschte Zufallsvariable.
2
Beispiel 1.105. Wir geben zu verschiedenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf R
reelle Zufallsvariablen X mit ebendieser Verteilung an. (Der konkrete Ort in diesem Buch dient lediglich als Vorwand, um ein paar der wichtigsten Verteilungen
einzuführen, auf die wir bei späteren Gelegenheiten immer wieder zurückkommen.)
(i) Ist p ∈ [0, 1] und P[X = 1] = p, P[X = 0] = 1 − p, so heißt PX =: Berp die
Bernoulli-Verteilung mit Parameter p. Formal ist
Berp = (1 − p) δ0 + p δ1 ,
und die Verteilungsfunktion ist
⎧
⎨
FX (x) =
0,
1 − p,
⎩
1,
falls x < 0,
falls x ∈ [0, 1),
falls x ≥ 1.
(ii) Ist p ∈ [0, 1] und n ∈ N sowie X : Ω → {0, . . . , n} mit
n k
p (1 − p)n−k ,
P[X = k] =
k
so heißt PX =: bn,p die Binomialverteilung mit Parametern n und p. Formal ist
bn,p =
n n
k=0
k
pk (1 − p)n−k δk .
(iii) Ist p ∈ (0, 1] und X : Ω → N0 mit
P[X = n] = p (1 − p)n
für jedes n ∈ N0 ,
1.5 Zufallsvariablen
45
1
so heißt γp := b−
1,p := PX die geometrische Verteilung mit Parameter p. Formal
können wir schreiben:
∞
p (1 − p)n δn .
γp =
n=0
Die Verteilungsfunktion ist F (x) = 1 − (1 − p)x+1∨0
für x ∈ R.
Wir können X + 1 als die Wartezeit auf den ersten Erfolg bei unabhängigen“
”
Zufallsexperimenten auffassen, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit p zum Erfolg
⊗N
führen. In der Tat: Sei Ω = {0, 1}N und P das Produktmaß (1 − p)δ0 + p δ1
(Satz 1.64) sowie A = σ([ω1 , . . . , ωn ] : ω1 , . . . , ωn ∈ {0, 1}, n ∈ N). Wir setzen
X(ω) := inf{n ∈ N : ωn = 1} − 1,
mit der Konvention inf ∅ = ∞. Offenbar ist jede der Abbildungen
n − 1, falls ωn = 1,
Xn : Ω → R, ω →
∞, falls ωn = 0,
A – B(R)-messbar und X = inf n∈N Xn . Also ist X auch A – B(R)-messbar,
also eine Zufallsvariable. Sei ω 0 := (0, 0, . . .) ∈ Ω. Dann ist P[X ≥ n] =
P[[ω10 , . . . , ωn0 ]] = (1 − p)n . Also ist
P[X = n] = P[X ≥ n] − P[X ≥ n + 1] = (1 − p)n − (1 − p)n+1 = p (1 − p)n .
(iv) Seien r > 0 (nicht notwendigerweise ganzzahlig) und p ∈ (0, 1]. Mit
b−
r,p
:=
∞ −r
k=0
k
(−1)k pr (1 − p)k δk
(1.17)
bezeichnen wir die negative Binomialverteilung oder Pascal-Verteilung mit Pa rametern r und p. (Hierbei ist xk = x(x−1)···(x−k+1)
für x ∈ R und k ∈ N der
k!
verallgemeinerte Binomialkoeffizient.) Für r ∈ N ist b−
r,p , ähnlich wie im vorangehenden Beispiel, die Verteilung der Wartezeit auf den r-ten Erfolg bei unabhängigen
Versuchen. Wir werden hierauf in Beispiel 3.4(iv) zurückkommen.
(v)
Ist λ ∈ [0, ∞) und X : Ω → N0 mit
P[X = n] = e−λ
λn
n!
für jedes n ∈ N0 ,
so heißt PX =: Poiλ die Poisson-Verteilung mit Parameter λ.
(vi) Die hypergeometrische Verteilung mit Parametern S, W, n ∈ N
1
Obacht: Manche Autoren nennen die um Eins verschobene Verteilung auf N die geometrische Verteilung.
46
1 Grundlagen der Maßtheorie
B HypB,W ;n ({b}) =
W
n−b
bB+W
n
,
b ∈ {0, . . . , n},
(1.18)
gibt die Wahrscheinlichkeit an, aus einer Urne mit S schwarzen und W weißen Kugeln bei n-maligen Ziehen ohne Zurücklegen genau s schwarze Kugeln zu ziehen.
Mit ein bisschen Kombinatorik lässt sich dies leicht auf die Situation mit k Farben
und Bi Kugeln der Farbe i = 1, . . . , k verallgemeinern. Die Wahrscheinlichkeit,
dass unter n gezogenen Kugeln exakt bi von jeder Farbe i = 1, . . . , k sind, ist gegeben durch die verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung
Bk B1 b1 · · · bk
(1.19)
HypB1 ,...,Bk ;n ({(b1 , . . . , bk )}) = B1 +...+Bk .
n
(vii) Seien μ ∈ R, σ 2 > 0 und X reell mit
x
(t−μ)2
1
P[X ≤ x] = √
e− 2σ2 dt
2πσ 2 −∞
für x ∈ R.
Dann heißt PX =: Nμ,σ2 Gauß’sche Normalverteilung mit Parametern μ und σ 2 .
(viii) Ist X ≥ 0 reell und θ > 0 sowie
P[X ≤ x] = P[X ∈ [0, x]] =
x
θ e−θt dt
für x ≥ 0,
0
so heißt PX Exponentialverteilung mit Parameter θ (kurz: expθ ).
(ix) Ist X Rd -wertig, μ ∈ Rd , Σ eine positiv definite d × d Matrix und
1%
&
P[X ≤ x] = det(2π Σ)−1/2
t − μ, Σ −1 (t − μ) λd (dt)
exp −
2
(−∞,x]
für x ∈ Rd (wobei · , · ! das Skalarprodukt im Rd bezeichnet), so heißt PX =:
3
Nμ,Σ die d-dimensionale Normalverteilung mit Parametern μ und Σ.
Definition 1.106. Hat die Verteilungsfunktion F : Rn → [0, 1] die Gestalt
x1
xn
F (x) =
dt1 · · ·
dtn f (t1 , . . . , tn ) für x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,
−∞
−∞
für eine integrierbare Funktion f : Rn → [0, ∞), so heißt f die Dichte der Verteilung.
Beispiel 1.107.
(i) Für θ, r > 0 heißt die Verteilung Γθ,r auf [0, ∞) mit Dichte
x →
θr
xr−1 e−θx
Γ (r)
(wo Γ die Gamma-Funktion bezeichnet) Gamma-Verteilung mit Größenparameter θ und Formparameter r.
1.5 Zufallsvariablen
47
(ii) Für r, s > 0 heißt die Verteilung βr,s auf [0, 1] mit Dichte
x →
Γ (r + s) r−1
x (1 − x)s−1
Γ (r)Γ (s)
Beta-Verteilung mit Parametern r und s.
(iii) Für a > 0 heißt die Verteilung Caua auf R mit Dichte
x →
1
1
aπ 1 + (x/a)2
Cauchy-Verteilung mit Parameter a.
3
Übung 1.5.1. Man leite (1.17) nach
als Wartezeit kombinatorisch
Interpretation
n+k−1
der
k
(−1)
.
♣
=
her unter Benutzung der Identität −n
k
k
Übung 1.5.2. Man gebe ein Beispiel an für zwei normalverteilte X und Y , sodass
(X, Y ) nicht (zweidimensional) normalverteilt ist.
♣
Übung 1.5.3. Man zeige mit Hilfe von Satz 1.101 (Transformationsformel für Dichten):
(i) Ist X ∼ Nμ,σ2 und sind a ∈ R\{0} und b ∈ R, so ist (aX +b) ∼ Naμ+b,a2 σ2 .
(ii) Ist X ∼ expθ und a > 0, so ist aX ∼ expθ/a .
♣