Algebraische Topologie 2

Algebraische Topologie 2
Oliver Röndigs
Sommersemester 2006
Inhaltsverzeichnis
1 Universelle Koeffizienten für Kohomologie
1
2 Singuläre Kohomologie topologischer Räume
8
3 Das Cup-Produkt
11
4 Die Künneth-Formel
22
5 Poincaré-Dualität
29
6 Faserbündel
38
7 Eilenberg-MacLane-Räume
43
1
Universelle Koeffizienten für Kohomologie
Referenzen zu meinem Skript “Algebraische Topologie” sind mit AT markiert.
Was wir unter anderem beweisen werden:
Satz 1. Ist Rn eine reelle Divisionsalgebra, so ist n = 2k für ein k ≥ 0.
Satz 2. Die Euler-Charakteristik einer geschlossenen Mannigfaltigkeit ungerader Dimension ist
Null.
Satz 3. Ist n gerade, so ist π2n−1 S n ∼
= Z ⊕ A für irgendeine abelsche Gruppe A.
Um diese Aussagen zu beweisen, werden wir die singuläre Homologie etwas bearbeiten und eine
zusätzliche algebraische Struktur gewinnen.
Zur Erinnerung: Ist X ein topologischer Raum, so erhalten wir einen Kettenkomplex, den singulären Kettenkomplex von X auf folgende Weise:
Cn (X) : = Z[HomTop (∆n , X)]
ist die freie abelsche Gruppe auf den singulären n-Simplizes. Der Randhomomorphismus
≻ Cn−1 (X)
dn : Cn (X)
ist über
dn (1 · s) : =
n
X
(−1)i 1 · (s ◦ δi )
i=0
1
definiert. Wir machen jetzt alles nochmal, drehen aber die Richtung um. Der Vorteil ist, dass
wir auf den dann entstehenden Kohomologiegruppen von X eine zusätzliche algebraische Struktur
bekommen, und zwar eine Multiplikation.
Definition 1.1. Ein Kokettenkomplex ist eine Folge
···
dn−1
≻ Cn
dn
≻ Cn+1
dn+1
≻ ···
von Homomorphismen abelscher Gruppen – indiziert über n ∈ Z – mit der Eigenschaft, dass
dn−1 ◦ dn = 0 für alle n ∈ Z gilt. Der Index n wird Grad genannt. Schreibe kurz (C, d). Ist (C, d)
ein Kokettenkomplex, so ist
H n (C, d) : = Ker dn /Im dn−1
die n-te Kohomologiegruppe von (C, d).
Ist G eine beliebige abelsche Gruppe, so erhält man aus jedem Kettenkomplex einen Kokettenkomplex, indem man den Funktor HomAb (−, G) anwendet. Schreibe kurz Hom für HomAb .
Beispiel 1.2. Sei der Kettenkomplex
(C, d) =
0
0
2
0
≻ C 3 = Z ≻ C2 = Z ≻ C1 = Z ≻ C0 = Z
≻0
gegeben. (Das ist der zelluläre Kettenkomplex von RP3 .) Die Homologiegruppen sind H0 (C, d) =
Z, H1 (C, d) = Z/2, H2 (C, d) = 0, H3 (C, d) = Z. Anwenden von Hom(−, Z) liefert den Kokettenkomplex (D, e)
Hom(0, Z)
Hom(2, Z)
Hom(0, Z)
Hom(Z, Z) ≺
Hom(Z, Z) ≺
Hom(Z, Z) ≺
Hom(Z, Z)
∼
=
g
D3 = Z ≺
0
∼
=
g
D2 = Z ≺
2
∼
=
g
D1 = Z ≺
∼
=
g
D0 = Z
0
Die Kohomologiegruppen sind H 0 (D, e) = Z, H 1 (D, e) = 0, H 2 (D, e) = Z/2, H 3 (D, e) = Z. Anwenden von Hom(−, Z/2) liefert den Kokettenkomplex (E, f )
Hom(0, Z/2)
Hom(2, Z/2)
Hom(0, Z/2)
Hom(Z, Z/2) ≺
Hom(Z, Z/2) ≺
Hom(Z, Z/2) ≺
Hom(Z, Z/2)
∼
=
g
E3 = Z/2 ≺
0
∼
=
g
E2 = Z/2 ≺
0
∼
=
g
E1 = Z/2 ≺
0
∼
=
g
E0 = Z/2
Die Kohomologiegruppen
sind H n (E, f) = Z/2 für alle 0 ≤ n ≤ 3. Es ist also nicht der Fall, dass
n
H Hom (C, d), G ∼
= Hom Hn (C, d), G gilt.
Erstes Ziel: Wie hängen die Kohomologiegruppen von Hom (C, d), G) ab von den Homologiegruppen von (C, d) und G? Zur Abkürzung:
Definition 1.3. Sei (C, d) ein Kettenkomplex und G eine abelsche Gruppe. Die Kohomologiegruppen von (C,
in G sind
des Kokettenkomplexes
d) mit Koeffizienten
die Kohomologiegruppen
n
n
Hom (C, d), G . Sie werden mit H (C, d); G oder kurz H (C; G) bezeichnet.
2
Kohomologiegruppen eines Kettenkomplexes mit Koeffizienten in G liefern Funktoren: Ist
≻ (D, e)
f : (C, d)
ein Homomorphismus von Kettenkomplexen, so ist
Hom(f, G) : Hom(D, G)
≻ Hom(C, G)
ein Homomorphismus von Kokettenkomplexen, der offensichtlich Homomorphismen
H n (f ; G) : H n (D; G)
≻ H n (C; G)
induziert. Es gilt H n (g ◦ f ; G) = H n (f ; G) ◦ H n (g; G) und H n (id; G) = id.
Lemma 1.4. Sei (C, d) ein Kettenkomplex und G eine abelsche Gruppe. Es gibt einen natürlichen
Homomorphismus
h : H n (C; G)
≻ Hom Hn (C), G .
Ist (C, d) ein Kettenkomplex von freien
abelschen Gruppen, so ist h surjektiv, und es gibt eine
Spaltung H n (C; G) ∼
= Hom Hn (C), G ⊕ Ker h.
Beweis. Sei Zn : = Ker dn ⊆ Cn und Bn : = Im dn+1 ⊆ Zn . Sei a ∈ H n (C; G) repräsentiert durch b ∈
Hom(Cn , G) im Kern von Hom(dn+1 , G). Also gilt b ◦ dn+1 = 0, oder (in anderen Worten) b(Bn ) =
≻ G induziert also einen Homomorphismus b′ : Zn /Bn =
{0}. Die Einschränkung b|Zn : Zn
′
≻ G. Setze h(a) : = b .
Hn (C)
Um zu zeigen, dass h wohldefiniert ist, sei b ∈ Hom(Cn , G) im Bild von Hom(dn , G), also
≻ G. Dann ist aber b|Zn = c ◦ dn |Zn = 0, weil ja
b = c ◦ dn für einen Homomorphismus c : Cn−1
Zn = Ker dn . Somit ist auch b′ = 0.
Sind a, x ∈ H n (C; G) repräsentiert durch b, y ∈ Hom(Cn , G) so ist a + x repräsentiert durch
≻ G. Also ist h(a + x) induziert durch (b + y)|Zn = b|Zn + y|Zn . Es folgt, dass h ein
b + y : Cn
Homomorphismus ist.
≻ (D, e) ein Homomorphismus von Kettenkomplexen. Zu zeigen ist, dass
Sei nun f : (C, d)
das Diagramm
H n (D; G)
hD
≻ Hom(Hn (D), G)
Hom(Hn (f ), G)
H n (f ; G)
g
g
hC
H n (C; G) ≻ Hom(Hn (C), G)
kommutiert. Ist a ∈ H n (D; G) repräsentiert durch b ∈ Hom(Dn , G), so ist H n (f ; G)(a) repräsentiert
≻ G. Es ist zu zeigen, dass b′ ◦ Hn (f ) = (b ◦ fn )′ gilt. Sei also x ∈ Hn (C)
durch b ◦ fn : Cn
repräsentiert durch y ∈ Ker dn . Dann ist
b′ ◦ Hn (f )(x) : = b′ (fn (y)) = b(fn (y)) = (b ◦ fn )(y) = (b ◦ fn )′ (x).
Sei nun C ein Kettenkomplex freier abelscher Gruppen. Dann sind auch Zn und Bn , als Untergruppen freier abelscher Gruppen, wieder frei. Die kurze exakte Folge
0
≻ Zn
jn
≻ Cn
3
≻ Bn−1
≻0
spaltet also. (Ein Schnitt von Cn
≻ Bn−1 kann leicht auf einer Basis angegeben werden.) Es
gibt also einen Homomorphismus pn : Cn
≻ Zn mit pn ◦ jn = idZn . Ist a : Hn (C)
≻ G ein
Homomorphismus, so erhalten wir einen Homomorphismus
g(a) : Cn
pn
≻ Zn
a
≻ Zn /Bn = Hn (C)
≻G
mit der Eigenschaft, dass g(a) ◦ dn+1 = 0. Also ist g(a) im Kern von Hom(dn+1 , G) und definiert so
eine Kohomologieklasse g(a) ∈ H n (C; G). Es gilt nun, dass h(g(a)) = a ist, was die Surjektivität
von h zeigt. Offensichtlich ist a
≻ g(a) ein Homomorphismus, was den Beweis beendet.
Nächstes Ziel: beschreibe Ker h. Zu diesem Zweck betrachte die kurze exakte Folge
..
.
0
0
g
≻ Zn+1
0
0
g
≻ Zn
..
.
..
.
jn+1
dn+2
g
≻ Cn+1
d′n+1
jn
dn+1
g
≻ Cn
d′n
0g
..
.
0
g
≻ Bn
≻0
0
g
(1)
≻0
≻ Bn−1
dng
..
.
g0
..
.
von Kettenkomplexen. Sie induziert eine lange exakte Folge von Homologiegruppen, nach Satz
AT 6.9. Anwenden von Hom(−, G) auf Diagramm (1) ergibt eine kurze Folge
..
.
f
0
∗
Zn+1
≺
f
0
0≺
Zn∗ ≺
f
0
..
.
0≺
..
.
f
∗
jn+1
jn∗
d∗n+2
∗
Cn+1
≺
f
d∗n+1
Cn∗ ≺
f
d∗n
..
.
..
.
f
0
d∗n+1
d∗n
Bn∗ ≺
f
0
0
∗
Bn−1
≺
f
0
..
.
0
(2)
von Kokettenkomplexen, die auch wieder exakt ist. Der Grund ist, dass
0
≻ Zn
jn
d′n
Bn−1
≻ Cn ≻
≻0
spaltet, es also einen Schnitt sn von d′n und einen Isomorphismus Cn
induziert einen Isomorphismus
Hom(Cn , G) = Cn∗
∗ ,s∗ )
(jn
n
∼ ≻
=
(jn ,sn )
≻
∼
=
Zn ⊕ Bn−1 gibt. Dies
∗
Hom(Zn ⊕ Bn−1 , G) ∼
= Hom(Zn , G) ⊕ Hom(Bn−1 , G) = Zn∗ ⊕ Bn−1
wobei s∗n Schnitt von d∗n ist. Insbesondere spaltet die Folge
0≺
j∗
d∗ ∗
≺
Zn∗ ≺ n Cn∗ ≺ n Bn−1
4
0
und ist demnach insbesondere exakt. Wie schon fuer Kettenkomplexe erhalten wir aus Diagramm (2)
eine lange exakte Folge
··· ≺
δn
Bn∗ ≺
Zn∗ ≺
∗
H n (C; G) ≺ Bn−1
≺
···
(3)
von Kohomologiegruppen. Der Homomorphismus δn ist wie in Satz AT 6.9 definiert: Sei a ∈ Zn∗ =
Hom(Zn , G), und wähle ein Urbild b ∈ Cn∗ = Hom(Cn , G) unter der Abbildung Hom(jn , G) – eine
≻ Zn von jn .
Erweiterung von a auf Cn . Zum Beispiel ist b = a ◦ pn für eine Retraktion pn : Cn
∗
∗ . Insofern
Anwenden von dn+1 = Hom(dn+1 , G) liefert ein Element c = b◦dn+1 = a◦pn ◦dn+1 ∈ Cn+1
′
ist c definiert auf Bn = Im dn+1 , und der Homomorphismus c : Bn
≻ G ist nach Definition δ(a).
Tatsächlich entsteht also δ(a) durch Einschränken von a auf Bn :
≻
in
⊂
Zn
a
≻
≻G
≻
b
≻ Cn
f
⊂
Bn ≺
dn+1
c
Cn+1
Es gilt also δn = i∗n = Hom(in , G). Aufteilen der langen exakten Folge (3) liefert kurze exakte
Folgen
0≺
∗
Ker i∗n ≺ H n (C; G) ≺ Bn−1
/Im i∗n−1 = Coker i∗n−1 ≺
0
Die Gruppe Ker i∗n besteht aus den Homomorphismen Zn
≻ G, die auf Bn trivial sind, und
ist somit auf natürliche Weise isomorph zu Hom(Hn (C), G). Der resultierende Homomorphismus
H n (C; G)
≻ Hom(Hn (C), G) ist gerade h aus Lemma 1.4. Somit gilt Ker h ∼
= Coker i∗n−1 auf
natürliche Weise. Da in−1 in der kurzen exakten Folge
in−1
≻ Zn−1
≻ Bn−1
0
≻ Hn−1 (C)
≻0
(4)
0
(5)
auftaucht, sitzt i∗n−1 in der kurzen Folge
i∗n−1 ∗
∗
Bn−1
≺
Zn−1 ≺ Hn−1 (C)∗ ≺
0≺
welche nicht notwendigerweise exakt ist.
Beispiel 1.5. Die Folge
0
≻Z
n
≻Z
≻ Z/n
≻0
ist kurz exakt. Anwenden von Hom(−, Z) liefert die Folge
0≺
Z≺
n
Z≺
die nicht exakt ist.
5
0≺
0
Definition 1.6. Sei H eine abelsche Gruppe. Eine freie Auflösung von H ist eine exakte Folge
···
≻ F2
≻ F1
≻ F0
≻H
≻0
wobei Fn eine freie abelsche Gruppe ist für jedes n ≥ 0. Kurzbezeichnung: F•
≻H
≻ 0. Die
Kohomologiegruppen des Kokettenkomplexes Hom(F• , G) werden mit H n (F ; G) bezeichnet.
Beispiel 1.7. Ist H eine abelsche Gruppe, so gibt es einen surjektiven Homomorphismus f : F0
≻ H,
wobei F0 eine freie abelsche Gruppe ist (wähle Erzeugende von H). Der Kern ist als Untergruppe
einer freien abelschen Gruppe wieder frei abelsch und liefert eine freie Auflösung
≻ F1 = Ker f
0
≻ F0
f
≻ 0.
≻H
Hier sind konkrete Beispiele:
≻ F0 = H
id
≻ 0 eine freie Auflösung. Es gilt
≻H
(
Hom(H, G) n = 0
H n (F ; G) =
0
n 6= 0
1. Ist H frei abelsch, so ist 0
≻Z
2. Die kurze exakte Folge 0
Es gilt
n
≻Z
≻ Z/nZ
≻ 0 ist eine freie Auflösung von Z/nZ.


Hom(H, G)
n
H (F ; G) = G/nG


0
n=0
n=1
sonst
3. Ist H ∼
= H ′ ⊕ H ′′ , so liefert die direkte Summe der freien Auflösungen von H ′ und H ′′ eine
freie Auflösung von H.
Freie Auflösungen sind eindeutig bis auf Homotopie.
Lemma 1.8. Seien G, H und H ′ abelsche Gruppen, und α : H
≻H
≻ 0 und F•′
≻ H′
1. Sind F•
von α zu einem Homomorphismus
···
···
f3
≻ F2
α2
g
≻ F2′
f3′
f2
≻ F1
α1
g
≻ F1′
f2′
≻ H ′ ein Homomorphismus.
≻ 0 freie Auflösungen, so gibt es eine Erweiterung
f1
≻ F0
f0
α0
g
≻ F0′
f0′
f1′
≻H
≻0
α
g
≻ H′
≻0
von Kettenkomplexen. Je zwei Erweiterungen von α sind homotop.
2. Sind F•
≻H
≻ 0 und F•′
≻H
≻ 0 freie Auflösungen, so gibt es kanonische
n
Isomorphismen H (F ; G) ∼
= H n (F ′ ; G) für alle n.
≻ Fn′ bereits konstruiert ist, woBeweis. Teil 1: Setze α−1 : = α. Sei n derart, dass αn : Fn
′
bei fn ◦ αn = αn−1 ◦ fn . Wähle ein Basiselement x ∈ Fn+1 . Da αn (fn+1 (x)) in Ker fn′ liegt
′
′
(F•
(y) = αn (fn+1 (x)) (Exaktheit
mit fn+1
≻H
≻ 0 ist Kettenkomplex), gibt es ein y ∈ Fn+1
′
′
′
von F•
◦αn+1 = αn ◦fn+1 gilt
≻H
≻ 0). Setze αn+1 (x) : = y, dann ist αn+1 definiert und fn+1
6
nach Konstruktion. Sei α′ : F•
≻ F•′ eine weitere Erweiterung, dann ist β : = α − α′ eine Erwei′
terung von 0 : H
≻ H . Es reicht zu zeigen, dass β homotop ist zur Nullabbildung. Konstruiere
′
≻ Fn+1
mit
induktiv eine Kettenhomotopie Hn : Fn
′
fn+1
◦ Hn + Hn−1 ◦ fn = βn .
(6)
′
existiert und Glei≻ F0′ die Nullabbildung und n derart, dass Hn : Fn
≻ Fn+1
Sei H−1 : H
chung (6) erfüllt. Wähle ein Basiselement x ∈ Fn+1 . Dann ist
′
′
fn+1
βn+1 (x) − Hn fn+1 (x) = βn (fn+1 (x)) − fn+1
Hn fn+1 (x) = Hn−1 fn fn+1 (x) = 0
′
′
(y) = βn+1 (x) −
mit fn+2
≻ H′
≻ 0 existert y ∈ Fn+2
und wegen der Exaktheit von F•′
Hn fn+1 (x). Setze Hn+1 (x) : = y, dann gilt Gleichung (6) nach Konstruktion.
Teil 2: Nach Teil 1 induziert α eindeutige Homomorphismen H n (α; G) : H n (F ′ ; G)
≻ H n (F ; G).
Denn je zwei Erweiterungen von α sind homotop, und damit sind auch die induzierten Homomor≻ Hom(F• , G) homotop (über eine Kokettenhomotopie). Wie schon in Satz
phismen Hom(F•′ , G)
≻
AT 6.5 sind die induzierten Homomorphismen auf der Kohomologie dann identisch.
α
β
≻ H′
≻ H ′′ eine Komposition von Homomorphismen, so gilt H n (β ◦ α; G) =
Ist H
H n (α; G)◦H n (β; G), da die Komposition der Erweiterungen die Komposition erweitert. Offensicht≻ H n (F ; G) = id, also liefert ein Isomorphismus α : H
≻ H′
lich ist H n (id; G) : H n (F ; G)
n
über irgendeine Erweiterung Isomorphismen H (α; G). Insbesondere induziert die Identität idH
≻ H n (F ; G).
Isomorphismen H n (id; G) : H n (F ′ ; G)
Definition 1.9. Seien G, H abelsche Gruppen. Definiere Extn (H, G) : = H n (F ; G) für irgendeine
freie Auflösung F•
≻H
≻ 0.
Dies ist nach Lemma 1.8 wohldefiniert, und nach Beispiel 1.7 ist
Ext0 (H, G) =
Hom(H, G)
n
0 für n 6= 0, 1
Ext (H, G) =
Ext (H ⊕ H ′ , G) ∼
=
n
n
Ext (H, G) ⊕ Extn (H ′ , G)
Ext1 (H, G) =
Ext1 (Z/nZ, G) ∼
=
0 für H frei
G/nG
Schreibe kurz Ext für Ext1 .
Satz 1.10 (Universelle Koeffizienten für Kohomologie). Sei (C, d) ein Kettenkomplex freier
abelscher Gruppen und G eine abelsche Gruppe. Dann gibt es eine natürliche kurze exakte Folge
0
≻ Ext(Hn−1 (C), G)
≻ H n (C; G)
≻ Hom(Hn (C); G)
≻0
für jedes n, die auf nicht natürliche Weise spaltet.
Beweis. Das folgt aus Lemma 1.4, der Identifikation Ker h ∼
= Ext(Hn−1 (C), G) und Lemma 1.8. 7
2
Singuläre Kohomologie topologischer Räume
Sei X ein topologischer Raum und G eine abelsche Gruppe. Der Kokettenkomplex C n (X; G) : =
Hom(CnSing (X), G) ist der singuläre Kokettenkomplex von X mit Koeffizienten in G. Elemente in
C n (X; G) sind Abbildungen
HomTop (∆n , X)
≻G
und der Korandoperator bildet φ auf die Abbildung
HomTop (∆n+1 , X)
≻G
≻
σ
n+1
X
(−1)i φ(σ ◦ δi )
i=0
ab. Die Kohomologiegruppen von C(X; G) sind die singulären Kohomologiegruppen von X mit
Koeffizienten in G.
Beispiel 2.1. Es gilt
H 0 (X; G) = Hom(H0 (X), G) ∼
= ⊕π0 (X) G
nach Satz 1.10, denn H−1 (X) = 0. Des weiteren ist auch
H 1 (X; G) = Hom(H1 (X), G)
nach Satz 1.10 und Teil 1 von Beispiel 1.7, denn H0 (X) ist frei abelsch. Ist X wegzusammenhängend,
so ist also H 1 (X; G) ∼
= HomGrp (π1 (X), G) nach dem Hurewicz-Satz.
Beispiel 2.2. Aus Satz 1.10 erhält man
(
G
0
H (S ; G) ∼
=
n
m
(
G
0
H (CP ; G) ∼
=
n
m
H n (RPm ; Z/2Z) ∼
=
n = 0, m(m > 0)
sonst
0 ≤ n ≤ 2m gerade
sonst
Z/2Z
0≤n≤m
mit Hilfe der Berechnungen Beispiel AT 8.1 und Beispiel AT 8.6.
Nächstes Ziel: formale Eigenschaften der singulären Kohomologiegruppen, analog zur singulären
Homologie. Das wird ganz einfach zu erreichen sein.
Lemma 2.3. Für jedes n und jede abelsche Gruppe G ist
H n (−; G) : Topop
≻ Ab
ein Funktor.
Beweis. Es ist zu zeigen: Jede stetige Abbildung f : X
H n (f ; G) : H n (Y ; G)
≻ H n (X; G) derart, dass
• H n (idX ; G) = idH n (X;G) und
• H n (g ◦ f ; G) = H n (f ; G) ◦ H n (g; G)
8
≻ Y induziert einen Homomorphismus
gilt. Dies sieht man, weil H n (−; G) Komposition der Funktoren
Topop
op
CSing
≻ Ketop
Hom(−,G)
≻ KoKet
H n (−)
≻ Ab
ist.
≻ Y eine Homotopie von f nach g, so gilt H n (f ; G) = H n (g; G).
Satz 2.4. Ist F : X × I
Beweis. So eine Homotopie induziert eine Kettenhomotopie (siehe Beweis von Satz AT 6.5), also
nach Anwenden von Hom(−, G) eine Kokettenhomotopie (siehe Aufgabe 3 von Übung Eins). Der
Satz folgt.
Insbesondere induziert jede Homotopieäquivalenz Isomorphismen der singulären Kohomologiegruppen. Dies lässt sich leicht verallgemeinern.
Satz 2.5. Ist f : X
für alle n und G.
≻ Y eine schwache Homotopieäquivalenz, so ist H n (f ; G) ein Isomorphismus
Beweis. Nach Satz AT 13.3 ist Hn (f ) : Hn (X)
≻ Hn (Y ) ein Isomorphismus für alle n. Satz 1.10
die Funktorialität von Ext und das Fünferlemma AT 8.2 liefern das Resultat.
Definition 2.6. Sei A ⊂ ≻ X die Inklusion eines Unterraumes, und G eine abelsche Gruppe. Die
relativen Kohomologiegruppen von A ⊂ ≻ X mit Koeffizienten in G sind die Kohomologiegruppen
des Kokettenkomplexes Hom(C(X)/C(A); G). Schreibe H n (X, A; G). Der Spezialfall eines Basispunktes liefert die reduzierten Kohomologiegruppen eines punktierten Raumes.
Satz 2.7. Sei i : A ⊂ ≻ X die Inklusion eines Unterraumes, und G eine abelsche Gruppe. Dann
gibt es eine lange exakte Folge
···
≻ H n (X, A; G)
≻ H n (X; G)
H n (i;G)
≻ H n (A; G)
δn
≻ H n+1 (X, A; G)
≻ ···
von Kohomologiegruppen.
Beweis. Die kurze exakte Folge
0
≻ Cn (A)
≻ Cn (X)
≻ Cn (X)/Cn (A)
≻0
spaltet für jedes n (wenn auch nicht natürlich). Also spaltet auch die Folge
0≺
Hom(Cn (A), G) ≺
Hom(Cn (X), G) ≺
Hom(Cn (X)/Cn (A), G) ≺
0
und ist insbesondere wieder exakt. Es folgt die Existenz der langen exakten Folge der Kohomologie≻G
gruppen. Man beachte: Elemente in Hom(Cn (X)/Cn (A), G) sind Funktionen φ ∈ HomTop (∆n , X)
mit φ|HomTop (∆n ,A) = 0. Nur der Vollständigkeit halber: das Diagramm
H n (A; G)
δn
≻ H n+1 (X, A; G)
h
h
g
g
Hom(δn+1 , G)
≻ Hom(Hn+1 (X, A), G)
Hom(Hn (A), G)
kommutiert.
(7)
9
Satz 2.8. Sei A ⊂ ≻ X ein Unterraum und Z ⊂ ≻ A derart, dass der Abschluss von Z im Inneren
von A liegt. Dann induziert die Inklusion X r Z ⊂ ≻ X Isomorphismen
H n (X, A; G)
∼
=
≻ H n (X r Z, A r Z; G)
für alle n und G.
Beweis. Dies folgt wieder aus dem Ausschneidungssatz AT 7.4 für singuläre Homologie, sowie
Satz 1.10 und dem Fünferlemma AT 8.2.
Sei nun X ein Zellenkomplex, und wähle eine Zellenstruktur auf X, also eine Folge von Unterräumen
∅ = X−1 ⊂ ≻ X0 ⊂ ≻ X1 ⊂ ≻ · · · ⊂ ≻ Xn ⊂ ≻ · · · ⊂ ≻ X
`
deren Topologie die von X bestimmt, und Anklebe-Abbildungen fn : j∈Jn ∂Dn
≻ Xn−1 derart,
dass Xn aus Xn−1 durch Ankleben von Zellen entlang fn entsteht. Betrachte nun die langen exakten
Folgen von relativen Kohomologiegruppen für die Paare (Xn+1 , Xn ), (Xn , Xn−1 ) und (Xn−1 , Xn−2 ).
Sie passen in ein kommutatives Diagramm
H n (Xn−1 )
≺
H n (Xn+1 )
n
δ
··· ≺
≺
H n (Xn )
≺
≺
dn
H n+1 (Xn+1 , Xn ) ≺ Zell
ιn
H n (Xn , Xn−1 ) ≺
≺
δn
−1
≺
H n−1 (Xn−2 )
H n (Xn−1 , Xn−2 ) ≺
n
≺ ι
n−1
H
(Xn−1 )
≺
···
(8)
−1
H n−1 (Xn )
in dem die Koeffizientengruppe der Übersichtlichkeit halber nicht mit notiert ist. Definiere nun
n
n (X) : = H n (X , X
CZell
n
n−1 ) und dZell wie im Diagramm (7). Offensichtlich liefert dies einen Kokettenkomplex, den sogenannten zellulären Kokettenkomplex von X, der natürlich von der Zeln (X; G) sind die zellulären
lenstruktur auf X abhängt. Die zugehörigen Kohomologiegruppen HZell
Kohomologiegruppen von X.
n (X; G). Der zelluläre KokettenkomSatz 2.9. Sei X ein Zellenkomplex. Es gilt H n (X; G) ∼
= HZell
plex ist isomorph zu Hom(C Zell (X), G).
Beweis. Nach Satz 1.10 ist H k (Xn , Xn−1 ; G) = 0 für k 6= n. Satz 2.7 impliziert dann, dass
∼
=
H k (Xn ; G)
≻ H k (Xn−1 ; G) für k 6= n, n − 1. Es folgt H k (Xn ; G) = 0 für k > n. Also sind
n−1
n−1
n
ι
, ι surjektiv, und Im dZell
= Im δn−1 = Ker ιn . Wieder nach Satz 1.10 ist H k (X, Xn+1 ; G) = 0
k
für k ≤ n + 1, also ist H (X; G)
≻ H k (Xn+1 ; G) ein Isomorphismus für k ≤ n nach Satz 2.7. Es
folgt
H n (X; G)
∼
=
≻ H n (Xn+1 ; G) = Ker δn ≺
∼
=
n
n−1
(X; G).
= HZell
Ker dnZell /Ker ιn = Ker dnZell /Im dZell
10
Die zweite Aussage folgt aus dem Diagramm
H n (Xn , Xn−1 ; G)
ιn
≻ H n (Xn ; G)
δn
≻ H n+1 (Xn+1 , Xn ; G)
h
h
h
g
g
g
Hom(δn+1 , G)
≻ Hom(Hn+1 (Xn+1 , Xn ), G).
Hom(Hn (Xn , Xn1 ), G) ≻ Hom(Hn (Xn ), G)
Denn die äusseren Homomorphismen sind Isomorphismen nach Satz 1.10, induzieren also den Isomorphismus der Kokettenkomplexe, sobald die Kommutativität des Diagramms gewährleistet ist.
Für die linke Hälfte folgt dies aus der Natürlichkeit von h, für die rechte Hälfte siehe Diagramm (7).
Ebenso kann man für einen ∆-Komplex die ∆-Kohomologie betrachten. Zur Erinnerung: Eine
∆-Komplex-Struktur auf einem topologischen Raum X besteht aus einer Menge von Abbildungen
≻ X}j∈J , die folgende Bedingungen erfüllt:
{cj : ∆nj
1. Die Einschränkung von cj auf ∆nj r ∂∆nj ist injektiv, und jeder Punkt aus X liegt im Bild
genau einer dieser Einschränkungen.
2. Ist cj Element der Menge, so auch jede Komposition cj ◦ δi .
3. Eine Teilmenge U ⊆ X ist offen genau dann, wenn jedes Urbild c−1
j (U ) offen ist.
≻ X in einer ∆-Komplex-Struktur, so gibt es also
Ist Jn die Indexmenge der Abbildungen c : ∆n
eine Inklusion Jn ⊂ ≻ HomTop (∆n , X). Die induzierte Inklusion Cn∆ (X) : = Z[Jn ] ⊂ ≻ CnSing (X)
der Kettenkomplexe induziert einen Isomorphismus der Homologiegruppen nach AT Übung Acht
Aufgabe . Damit erhalten wir nach Satz 1.10 einen Isomorphismus
n
H∆
(X; G) : = H n Hom(C ∆ (X), G) ∼
(9)
= H n (X; G).
3
Das Cup-Produkt
Anstelle einer einfachen abelschen Gruppe G nehmen wir nun einen Ring R (nicht unbedingt kommutativ, aber mit Eins) als Koeffizienten für singuläre Kohomologie. Zum Beispiel R = Z, Q, Z/nZ.
Ist {v0 , . . . , vn } eine Teilmenge im RN , so bezeichnet [v0 , . . . , vn ] die kleinste konvexe Teilmenge im
RN , die die Teilmenge {v0 , . . . , vn } enthält. Sind e0 , . . . , en die Einheitsvektoren im Rn+1 , so ist
also [e0 , . . . , en ] = ∆n . Die Inklusion der i-ten Seite in ∆n wird durch das Symbol
[e0 , . . . , êi , en ] ⊂ ≻ [e0 , . . . , en ]
dargestellt.
Definition 3.1. Sei X ein topologischer Raum. Das Cup-Produkt von singulären Koketten ist
definiert als die Abbildung
C k (X; R)×C ℓ (X; R) ≻ C k+ℓ (X; R) = Hom(HomTop (∆k+ℓ , X), R)
(φ, ψ)
≻ φ ∪ ψ:
HomTop (∆k+ℓ , X)
≻R
σ
≻ φ(σ|[e0 ,...,ek ] ) · ψ(σ|[ek ,...,ek+ℓ ] )
Hier bezeichnet · das Produkt in R.
11
Ganz analog kann man das Cup-Produkt von ∆-Koketten definieren. Dies ist hilfreich für ein
Beispiel.
Beispiel 3.2. Sei X = S 1 × S 1 mit der Standard-∆-Struktur
{x = (1, 1) : ∆0
J0 =
{a : ∆
J1 =
1
≻ X, b : ∆
1
{u : ∆2
J2 =
≻ X}
1
≻ X}
≻ X, v : ∆2
≻ X}
≻ X, c : ∆
Der ∆-Kettenkomplex ist also
0
0
≻ Z[u] ⊕ Z[v]
B
B
@
1
1
1
C
1
1C
A
−1 −1
≻ Z[a] ⊕ Z[b] ⊕ Z[c]
0
≻ Z[x]
≻0
Der ∆-Kokettenkomplex ist also
0
0≺
R[µ] ⊕ R[ν] ≺
1
1 1 −1A
1 1 −1
@
R[α] ⊕ R[β] ⊕ R[γ] ≺
0
R[χ] ≺
0
Hier ist α das zu a duale Basiselement, also die Funktion J1
≻ R mit α(a) = 1, α(b) = 0, α(c) = 0.
Analog für β, γ, . . . . Das Cup-Produkt von α + γ und β + γ berechnet sich folgendermassen:
J2
≻R
u
≻ (α + γ)(u|[e0 ,e1 ] ) · (β + γ)(u|[e1 ,e2 ] ) = 1
v
≻ (α + γ)(v|[e0 ,e1 ] ) · (β + γ)(v|[e1 ,e2 ] ) = (α + γ)(b) · (β + γ)(a) = 0
Es folgt (α + γ) ∪ (β + γ) = µ. Analog erhält man (β + γ) ∪ (α + γ) = ν. Das Cup-Produkt ist also
nicht kommutativ.
Zur formalen Struktur:
n
Lemma 3.3. Mit dem Cup-Produkt wird C ∗ (X; R) : = ⊕∞
n=o C (X; R) zu einer assoziativen RAlgebra mit Eins.
Beweis. Das Eins-Element ist die Funktion C 0 (X; R), die den Wert konstant Eins auf allen singulären Null-Simplizes hat. Nach Konstruktion ist das Cup-Produkt distributiv, also liefert es eine
R-Algebra-Struktur. Die Assoziativität folgt im Wesentlichen aus der Assoziativität der Multiplikation in R.
Tatsache ist, dass diese Algebra C ∗ (X; R) von sich aus mit einer Graduierung daher kommt.
Zur Erinnerung: Eine graduierte R-Algebra ist eine R-Algebra A, zusammen mit einer Zerlegung
A = ⊕∞
k=0 An derart, dass für a ∈ Am und b ∈ An (a · b) ∈ Am+n gilt. Die Elemente in An heissen
homogen vom Grad n. Beispiele sind Polynomringe R[T ], wobei R[T ]n die Polynome vom Grad n
bezeichnet, sowie Quotienten R[T ]/(T k ). Mann kann aber auch T als Variable im Grad d auffassen,
so dass R[T ]nd die Polynome vom Grad n bezeichnet, und R[T ]k = 0 ist für k ∈
/ dZ.
12
Lemma 3.4. Es gilt
d(φ ∪ ψ) = dφ ∪ ψ + (−1)k φ ∪ dψ
für φ ∈ C k (X; R) udn ψ ∈ C ℓ (X; R).
Proof. Ausrechnen.
Folgerung 3.5. Die Kozykel bilden einen graduierten Unterring, und die Koränder sind ein gran
duiertes zweiseitiges Ideal in diesem Unterring. Insbesondere ist H ∗ (X; R) : = ⊕∞
n=0 H (X; R) eine
graduierte assoziative R-Algebra mit Eins.
Beispiel 3.2 zeigt, dass der Kohomologiering nicht kommutativ ist. Er ist graduiert kommutativ ,
sofern er eine Chance dazu hat.
Satz 3.6. Sei R ein kommutativer Ring. Sind α ∈ H k (X; R) und β ∈ H ℓ (X; R), so gilt
α ∪ β = (−1)kℓ β ∪ α.
Proof. Unterschied zwischen α ∪ β und β ∪ α:
α ∪ β(σ) =
α(σ|[e0 ,...,ek ] ) · β(σ|[ek ,...,ek+ℓ ] )
β ∪ α(σ) =
β(σ|[e0 ,...,eℓ ] ) · α(σ|[eℓ ,...,ek+ℓ ] )
Unterschied besteht also in einer Permutation der Ecken von ∆k+ℓ . Permutiere systematisch: Sei
für jedes n θn : ∆n
≻ ∆n der lineare Homöomorphismus, der ei auf en−i abbildet. Es gilt
θn ◦ δi = δn−i ◦ θn−1
Sei ǫn : = (−1)
n(n+1)
2
(10)
. Wir brauchen Gleichung
ǫk+ℓ = (−1)kℓ ǫk ǫℓ
(11)
(insbesondere im Fall ℓ = 1 und k = n − 1). Definiere einen Homomorphismus ρ : C(X)
von Kettenkomplexen über
ρn : Cn (X) ≻ Cn (X)
≻ ǫn σ ◦ θ n
σ
Es gilt
dn (ǫn σ ◦ θn )
dn ρn (σ) =
=
ǫn
n
X
(−1)i σ ◦ θn ◦ δi
i=0
n
X
ǫn
(−1)i σ ◦ δn−i ◦ θn−1
=
i=0
=
n
X
n
(−1)i σ ◦ δn−i ◦ θn−1
(−1) ǫn−1
i=0
n
X
(−1)j σ ◦ δj ◦ θn−1
ǫn−1
=
j=0
=
ρn dn (σ)
13
≻ C(X)
unter Verwendung von Gleichung (10) und (11). Ziel: ρ ist ketten-homotop zur Identität. Hierzu sei
– wie im Beweis von AT Satz 6.5 – (v0 , . . . , vn ) Ecken von ∆n × {0} ⊂ ≻ ∆n × I und (w0 , . . . , wn )
≻ ∆n die Projektion. Definiere eine KettenEcken von ∆n × {1} ⊂ ≻ ∆n × I. Sei pr : ∆n × I
Homotopie Pn : Cn (X)
≻ Cn+1 (X) über
Pn (σ) : =
n
X
(−1)i ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vi ,wn ,...,wi ]
i=0
14
Dann gilt
n
n+1
XX
(−1)i+j ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vi ,wn ,...,wi ] ◦ δj
dn+1 Pn (σ) =
j=0 i=0
=
X
(−1)i+j ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vˆj ,...,vi ,wn ,...,wi ]
X
(−1)i+j ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vˆj ,...,vi ,wn ,...,wi ]
X
(−1)i+j ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vˆj ,...,vi ,wn ,...,wi ]
j≤i
X
+
(−1)i+j ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vi ,wn ,...,wn+i+1−j
ˆ
,...,wi ]
j>i
=
j≤i
X
+
(−1)i (−1)n+i+1−k ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vi ,wn ,...,wˆk ,...,wi ]
k≥i
=
j<i
X
+
(−1)i (−1)n+i+1−k ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vi ,wn ,...,wˆk ,...,wi ]
k>i
+
n
X
ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vi−1 ,wn,...,wi ] +
i=0
=
n
X
(−1)n+k+1 ǫn−k (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vk ,wn ,...,wk+1]
k=0
X
(−1)i+j ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vˆj ,...,vi ,wn ,...,wi ]
j<i
X
+
(−1)i (−1)n+i+1−k ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vi ,wn ,...,wˆk ,...,wi ]
k>i
+
n
X
ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vi−1 ,wn ,...,wi ] +
i=1
n−1
X
(−1)n+k+1 ǫn−k (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vk ,wn ,...,wk+1]
k=0
+ǫn (σ ◦ pr)|[wn ,...,w0] − (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vn ]
X
(−1)i+j ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vˆj ,...,vi ,wn ,...,wi ]
=
j<i
X
(−1)i (−1)n+i+1−k ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vi ,wn ,...,wˆk ,...,wi ]
+
k>i
+
n
X
ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vi−1 ,wn,...,wi ] +
n
X
(−1)n+i ǫn−i+1 (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vi−1 ,wn ,...,wi ]
i=1
i=1
X
=
+ρn (σ) − σ
(−1)i+j ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vˆj ,...,vi ,wn ,...,wi ]
j<i
X
+
(−1)i (−1)n+i+1−k ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vi ,wn ,...,wˆk ,...,wi ]
k>i
+
n
X
ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vi−1 ,wn ,...,wi ] +
n
X
(−1)ǫn−i (σ ◦ pr)|[v0 ,...,vi−1 ,wn ,...,wi ]
i=1
i=1
+ρn (σ) − σ
−Pn−1 dn (σ) + ρn (σ) − σ
=
15
Sind nun φ, ψ Repräsentanten von α, β, so ist
φ ◦ ρk ∪ ψ ◦ ρℓ (σ) =
φ(ǫk σ|[ek ,...,e0 ] ) · ψ(ǫℓ σ|[ek+ℓ ,...,ek ] )
ǫk ǫℓ ψ(σ|[ek+ℓ ,...,ek ] ) · φ(σ|[ek ,...,e0 ] )
=
kℓ
=
(−1) ǫk+ℓ ψ(σ|[ek+ℓ ,...,ek ] ) · φ(σ|[ek ,...,e0 ] )
=
(−1)kℓ (ψ ∪ φ) ◦ ρk+ℓ
Wegen der Kettenhomotopie P repräsentiert φ ◦ ρk ebenso α etc., und die Gleichung folgt.
≻ Y eine Abbildung topologischer Räume und R ein Ring. Dann ist
Lemma 3.7. Sei f : X
f ∗ : = H ∗ (f ; R) : H ∗ (Y ; R)
≻ H ∗ (X; R)
ein R-Algebren-Homomorphismus.
Proof. Es ist zu zeigen, dass H k+ℓ (f ; R)(α ∪ β) = H k (f ; R)(α) ∪ H ℓ (f ; R)(β) gilt. Es reicht, die
entsprechende Formel für C ∗ zu zeigen. Dann gilt
C k+ℓ (f ; R)(α ∪ β)(σ) =
(α ∪ β)(f ◦ σ)
α (f ◦ σ)|[e0 ,...,ek ] · β (f ◦ σ)|[ek ,...,ek+ℓ ]
α f ◦ (σ|[e0 ,...,ek ] ) · β f ◦ (σ|[ek ,...,ek+ℓ ] )
=
=
C k (f ; R)(α) ∪ C ℓ (f ; R)(β).
=
Des weiteren ist für r ∈ R und φ ∈ C n (X; R)
C n (f ; R)(r · φ)(σ) = (r · φ)(f ◦ σ) = r · (φ(f ◦ σ)) = r · C n (f ; R)(φ)(σ).
Also ist C ∗ (f ; R) ein R-Modul-Hom, und somit auch H ∗ (f ; R).
Es gibt noch weitere Produkte. Denn ist A ⊂ ≻ X, so ist
≻ R | φ(σ) = 0 ∀ σ : ∆n
C n (X, A : R) = {φ : HomTop (∆n , X)
≻ A}
Induzierte Cup-Produkte
C k (X; R) × C ℓ (X, A; R)
≻ C k+ℓ (X, A; R)
H k (X; R) × H ℓ (X, A; R)
≻ H k+ℓ (X, A; R)
C k (X, A; R) × C ℓ (X; R)
≻ C k+ℓ (X, A; R)
H k (X, A; R) × H ℓ (X; R)
≻ H k+ℓ (X, A; R)
C k (X, A; R) × C ℓ (X, A; R) ≻ C k+ℓ (X, A; R)
H k (X, A; R) × H ℓ (X, A; R) ≻ H k+ℓ (X, A; R)
Tatsächlich gilt sogar folgendes: Sind A, B offene Teilmengen in X, so gibt es
H k (X, A; R) × H ℓ (X, B; R) ≻ H k+ℓ (X, A ∪ B; R)
(12)
aus folgendem Grund. Sei
C n (X, A + B; R) : = φ : Cn (X)
≻ R|φ
X
i
σi = 0 ∀ σi : ∆ n
≻ A oder B
Also C n (X, A∪B; R) ⊂ ≻ C n (X, A+B), und nach Satz 2.8 induziert diese Inklusion Isomorphismen
der Kohomologiegruppen. Klar
C k (X, A; R) × C ℓ (X, B; R) ≻ C k+ℓ (X, A + B; R)
16
und dies induziert das Cup-Produkt in Gleichung (12). Ist X ein Zellenkomplex, mit A und B als
Unterkomplexen, so gibt es ein analoges Cup-Produkt
H k (X, A; R) × H ℓ (X, B; R) ≻ H k+ℓ (X, A ∪ B; R)
(13)
Grund ist, dass A und B Deformationsretrakte von in X offenen Teilmengen A′ und B ′ sind, mit
der Eigenschaft, dass A ∪ B Deformationsretrakt von A′ ∪ B ′ ist.
Definition 3.8. Seien A ⊂ ≻ X und B
externe Cup-Produkt ist definiert als
≻ Y topologische Räume. Das Kreuz-Produkt oder
⊂
H k (X; R) ⊕ H ℓ (Y ; R)
≻ H k+ℓ (X × Y ; R)
(α, β)
≻ α × β : = pr∗X (α) ∪ pr∗Y (β).
im absoluten und
H k (X, A; R) ⊕ H ℓ (Y ; R)
≻ H k+ℓ (X × Y, A × Y ; R)
(α, β)
≻ α × β : = pr∗X (α) ∪ pr∗Y (β).
H k (X; R) ⊕ H ℓ (Y, B; R)
≻ H k+ℓ (X × Y, X × B; R)
(α, β)
≻ α × β : = pr∗X (α) ∪ pr∗Y (β).
bzw.
im relativen Fall Sind A ⊂
Unterkomplexen, ist
≻ X, B
⊂
≻ Y Inklusionen von offenen Unterräumen bzw. von
H k (X, A; R) ⊕ H ℓ (Y, B; R) ≻ H k+ℓ (X × Y, A × Y ∪ X × B; R)
≻ α × β : = pr∗X (α) ∪ pr∗Y (β)
(α, β)
das Kreuz-Produkt im relativen Fall.
Das Kreuz-Produkt ist nützlich für Berechungen. Um lange exakte Sequenzen von relativen
Homologiegruppen verwenden zu können, brauchen wir Kompatibilität des Kreuz-Produktes mit δ.
Lemma 3.9. Sei i : A ⊂ ≻ X die Inklusion eines topologischen Raumes und Y ein weiterer
topologischer Raum. Das Diagramm
H k (A; R) ⊕ H ℓ (Y ; R)
×
g
H k+ℓ (A × Y ; R)
δk × id k+1
≻H
(X, A; R) ⊕ H ℓ (Y ; R)
δk+ℓ
×
g
≻ H k+ℓ+1 (X × Y, A × Y ; R)
kommutiert.
Beweis. Seien φ ∈ C k (A; R) und ψ ∈ C ℓ (Y ; R) Kozykel, die α und β repräsentieren, dann ist
(δk × id)(α, β) repräsentiert durch (φ ◦ dk+1 , ψ) wobei φ eine Erweiterung von φ auf C k (X; R) ist.
Das Kreuz-Produkt ist dann repräsentiert durch den relativen Kozykel dk (φ) × ψ. Um δk+ℓ (α × β)
17
zu bestimmen, betrachte die Erweiterung φ × ψ von φ × ψ. Dies ist eine Erweiterung, denn für
σ : ∆k+ℓ
≻ A × Y gilt
(φ × ψ) (i × Y ) ◦ σ =
φ (prX ◦ (i × Y ) ◦ σ)|[e0 ,...,ek ] · ψ (prY ◦ (i × Y ) ◦ σ)|[ek ,...,ek+ℓ ]
φ (i ◦ prA ◦ σ)|[e0 ,...,ek ] · ψ (prY ◦ σ)|[ek ,...,ek+ℓ ]
=
=
φ (prA ◦ σ)|[e0 ,...,ek ] · ψ (prY ◦ σ)|[ek ,...,ek+ℓ ]
(φ × ψ)(σ).
=
Somit ist δk+ℓ (α × β) repräsentiert durch
dk+ℓ pr∗X (φ) ∪ pr∗Y (ψ)
dk+ℓ (φ × ψ) =
dk pr∗X (φ) ∪ pr∗Y (ψ) + (−1)k pr∗X (φ) ∪ dℓ (ψ)
dk pr∗X (φ) ∪ pr∗Y (ψ)
=
=
Lemma 3.4
dℓ (ψ) = 0
dk (φ) × ψ
=
und die Aussage folgt.
Folgerung 3.10. Sei α ∈ H 1 (I, ∂I; R) ∼
= R ein Erzeuger, und Y ein topologischer Raum. Dann
ist
≻ H n+1 (I × Y, ∂I × Y ; R), β
≻α×β
H n (Y ; R)
ein Isomorphismus. Eine äquivalente Formulierung ist: Sei α ∈ H 1 (S 1 , 1; R) ∼
= R ein Erzeuger.
Dann ist
H n (Y ; R)
≻ H n+1 (S 1 × Y, {1} × Y ; R),
β
≻α×β
ein Isomorphismus.
Beweis. Die Äquivalenz der beiden Aussagen folgt aus der Tatsache, dass die Quotientenraumprojektion p : I
≻ S 1 Isomorphismen H n (S 1 × Y, {1} × Y ; R)
≻ H n (I × Y, ∂I × Y ; R) induziert,
und insbesondere (Y = ∗) die Erzeuger respektiert. Den Isomorphismus erhält man über Homotopieinvarianz 2.4 und Ausschneidung 2.8.
Die lange exakte Folge der Kohomologiegruppen
...
≻ H n (I × Y ; R)
H n (i;R)
≻ H n (∂I × Y ; R)
δn
≻ H n+1 (I × Y, ∂I × Y ; R)
≻ ...
zerfällt in spaltende kurze exakte Folgen, weil H n ({1} × Y ⊂ ≻ ∂I × Y ; R) ◦ H n (i; R) ein Isomorphismus ist. Es gilt H n (∂I × Y ; R) ∼
= H n ({0} × Y ; R) ⊕ H n ({1} × Y ; R), und δ|H n ({0}×Y ;R)
ist ein Isomorphismus. Jedes Element in H n ({0} × Y ; R) ⊂ ≻ H n (∂I × Y ; R) ist von der Form
ǫ0 × β, wobei β ∈ H n (Y ; R) und ǫ0 ∈ H 0 (∂I; R) durch den Kozykel φ repräsentiert ist, der die
Werte φ(0) = 1 und φ(1) = 0 hat. (Beachte: HomTop (∆0 , ∂I) = ∂I = {0, 1}.) Weil δ|H 0 ({0}×∗;R)
ein Isomorphismus ist, ist δ0 (ǫ0 ) ein Erzeuger, und somit ist nach Lemma 3.9
β
≻ α × β = r · δ0 (ǫ0 ) × β = r · δn (ǫ0 × β)
ein Isomorphismus, wobei r ∈ R eine Einheit ist.
Zur Erinnerung: Ist R ein kommutativer Ring, und M ein R-Modul so ist die Tensor-Algebra
TR (M ) von M über R die freie assoziative R-Algebra auf M . Sie ist graduiert, und es gilt
(TR (M ))n = M ⊗R n .
18
Zum Tensor-Produkt siehe [1, p. 218]. Ist zum Beispiel M ein freier R-Modul vom Rang 1 mit
Erzeuger X, so ist Tr (M ) ∼
= R[X] der Polynomring in einer Variablen. Die symmetrische Algebra
SR (M ) ist die freie assoziative und kommutative R-Algebra auf M . Sie ist Quotient von TR (M )
bezüglich des von a ⊗ b − b ⊗ a erzeugten beidseitigen Ideals, und insbesondere wieder graduiert.
Ist zum Beispiel M ein freier R-Modul vom Rang d mit Erzeugern X1 , . . . , Xd , so ist SR (M ) ∼
=
R[X1 , . . . , Xd ] der Polynomring in d Variablen. Die äussere Algebra ΛR (M ) ist der Quotient von
TR (M ) bezüglich des von a ⊗ a erzeugten beidseitigen Ideals, und insbesondere wieder graduiert.
Weil a⊗b+b⊗a in diesem Ideal enthalten ist, ist ΛR (M ) graduiert kommutativ. Ist zum Beispiel M
ein freier R-Modul vom Rang d mit Erzeugern X1 , . . . , Xd , so ist (ΛR (M ))n ein freier R-Modul vom
Rang nd . Eine Basis ist gegeben durch die Symbole Xi1 ∧ . . . ∧ Xin , wobei 1 ≤ i1 < · · · < in ≤ d.
Folgerung 3.11. Sei R ein kommutativer Ring, T d = S 1 × · · · × S 1 der d-dimensionale Torus,
und α ∈ H 1 (S 1 ; R) ∼
= R ein Erzeuger. Dann ist H ∗ (T d ; R) isomorph zur äusseren Algebra über R
auf den Erzeugern {pr∗1 (α), . . . , pr∗d (α)}. Insbesondere ist H n (T d ; R) freier R-Modul auf den CupProdukten pr∗i1 (α) ∪ . . . ∪ pr∗id (α), wobei 1 ≤ i1 < · · · < id ≤ n.
Beweis. Ist Y irgendein topologischer Raum, betrachte die lange exakte Folge
...
≻ H n (S 1 × Y ; R)
H n (i;R)
≻ H n ({1} × Y ; R)
δn
≻ H n+1 (S 1 × Y, {1} × Y ; R)
≻ ...
von relativen Kohomologiegruppen. Weil H n (i; R) ◦ H n (prY ; R) = id gilt, zerfällt sie in spaltende
kurze exakte Folgen
0
≻ H n+1 (S 1 × Y, {1} × Y ; R)
≻ H n+1 (S 1 × Y ; R)
≻ H n+1 ({1} × Y ; R)
≻0
Zusammen mit Folgerung 3.10 erhalten wir einen Isomorphismus
H n (Y ; R) ⊕ H n+1 (Y ; R) ≻ H n+1 (S 1 × Y ; R)
≻α×β +1×γ
(β, γ)
wobei α ∈ H 1 (S 1 ; R) ein Erzeuger ist. Aus dem Spezialfall Y = T d−1 folgt die Aussage nach
Induktion über die Dimension.
Bemerkung 3.12. Weil das Kreuz-Produkt offensichtlich assoziativ ist, ist nach Folgerung 3.11
das Kreuz-Produkt
×
≻ H i+j (T i+j ; R)
H i (T i ; R) ⊕ H j (T j ; R)
ein Isomorphismus, der die durch einen fixierten Erzeuger α ∈ H 1 (S 1 ; R) bestimmten Erzeuger
respektiert. Sei q : I n
≻ T n die Quotientenraumprojektion, und ∂T n = q(∂I n ). Das Diagramm
×
H i (T i ; R) ⊕ H j (T j ; R)
f
H i (T i , ∂T i ; R) ⊕ H j (T j , ∂T j ; R)
H i (q; R) ⊕ H j (q; R)
g
H i (I i , ∂I i ; R) ⊕ H j (I j , ∂I j ; R)
19
×
≻ H i+j (T i+j ; R)
f
≻ H i+j (T i+j , ∂T i+j ; R)
(14)
H i+j (q; R)
g
×
≻ H i+j (I i+j , ∂I i × I j ∪ I i × ∂I j = ∂I i+j ; R)
kommutiert, nach Definition des Kreuz-Produktes. Versehe S 1 mit der Standard-Zellenstruktur, so
dass T n eine induzierte Zellenstruktur nach AT Satz 4.15 erhält. Der Homomorphismus
n
H n (T n , ∂T n = Tn−1
; R)
≻ H n (T n ; R)
ist nach zellulärer Kohomologie 2.9 surjektiv, und der Kern ist das Bild des zellulären Korandn−1
n , T n ; R) frei auf den
Homomorphismus dZell
. Nun ist nach zellulärer Kohomologie H n−1 (Tn−1
n−2
∗
n
n−1-Zellen, von denen gerade n existieren. Die Berechnung von H (T ; R) zeigt, dass H n−1 (T n ; R)
n−1
auch Rang n hat, und somit Im dZell
= {0} gilt. Also sind die oberen vertikalen Homomorphismen
in Diagramm (14) Isomorphismen. Für die unteren vertikalen Homomorphismen in Diagramm (14)
folgt dies aus Homotopieinvarianz 2.4 und Ausschneidung 2.8. Somit respektiert das Kreuz-Produkt
auch die Erzeuger in H n (I n , ∂I n ; R). Die gleiche Aussage folgt für das Kreuz-Produkt
H i (D i , ∂Di ; R) ⊕ H j (D j , ∂Dj ; R)
×
≻ H i+j (D i+j , ∂Di × D j ∪ D i × ∂Dj = ∂Di+j ; R)
per Übergang zu einem homöomorphen Raumpaar, sowie für das Cup-Produkt
H i (Ri+j , Ri+j rRj ; R)⊕H j (Ri+j , Ri+j rRi ; R)
∪
≻ H i+j (Ri+j , Ri+j rRj ∪Ri+j rRi = Ri+j r{0}; R)
per Übergang zu einem homotopieäquivalenten Raumpaar und Produkt mit dem fehlenden Faktor.
Satz 3.13. Seien R, C, H die reellen Zahlen, komplexen Zahlen, Quaternionen. Es gilt
1. H ∗ (RPn ; Z/2) ∼
= Z/2[γ]/(γ n+1 ) und H ∗ (RP∞ ; Z/2) ∼
= Z/2[γ] mit deg(γ) = 1
2. H ∗ (CPn ; Z) ∼
= Z[γ]/(γ n+1 ) und H ∗ (CP∞ ; Z) ∼
= Z[γ] mit deg(γ) = 2
3. H ∗ (HPn ; Z) ∼
= Z[γ]/(γ n+1 ) und H ∗ (HP∞ ; Z) ∼
= Z[γ] mit deg(γ) = 4
Beweis. Zunächst Fall 1. Schreibe P an Stelle von RP. Sei n ≥ 2. Die Aussage lässt sich so umformulieren: H 1 (Pn ; Z/2) ist freier Z/2-Modul auf einem Erzeuger γ, und H i (Pn ; Z/2) ist frei auf dem
Erzeuger γ ∪i für 0 ≤ i ≤ n und ansonsten trivial. Sei γ ∈ H 1 (P1 ; Z/2) ∼
= H 1 (S 1 ; Z/2) ∼
= Z/2 der
Erzeuger. Nach zellulärer Kohomologie induziert die Inklusion
in : Pn−1
⊂
≻ Pn ,
(x0 : . . . : xn−1 )
≻ (x0 : . . . : xn−1 : 0)
einen Ringhomomorphismus H ∗ (Pn ; Z/2)
≻ H ∗ (Pn−1 ; Z/2), der ein Isomorphismus in allen Graden < n ist. Bezeichne das (eindeutig bestimmte) Urbild von γ in H 1 (Pn ; Z/2) unter Iterationen
dieses Isomorphismus ebenfalls mit γ. Es reicht also zu zeigen, dass das Cup-Produkt von γ ∪n−1
mit γ der Erzeuger von H n (Pn ; Z/2) ∼
= Z/2 ist. Sei j : P1 ⊂ ≻ Pn die Inklusion, die (y0 : y1 ) auf
(0 : . . . : 0 : y0 : y1 ) abbildet. Dann ist
{p} : = i(Pn−1 ) ∩ j(P1 ) = {(0 : . . . : 0 : 1 : 0)} ∈ Pn
und nach Konstruktion des Cup-Produktes kommutiert das Diagramm
H n−1 (Pn ; Z/2) ⊕ H 1 (Pn ; Z/2)
f
∪
≻ H n (Pn ; Z/2)
f
(15)
∪
H n−1 (Pn , Pn r j(P1 ); Z/2) ⊕ H 1 (Pn , Pn r i(Pn−1 ); Z/2) ≻ H n (Pn , Pn r {p}; Z/2)
20
Sei nun h : Pm ⊂ ≻ Pn irgendeine lineare Inklusion. Relevant sind hier nur die Fälle m = 0 (wo
wir {p} ⊂ ≻ Pn erhalten), m = 1 (wo wir j erhalten) und m = n − 1 (wo wir i erhalten).
Dann gibt es eine lineare Inklusion Pn−m−1 ⊂ ≻ Pn r h(Pm ), die eine Homotopieäquivalenz ist
– siehe Aufgabe 1 von Übung 2. Ein Homotopie-Inverses Pn r h(Pm )
≻ Pn−m−1 lässt sich
leicht angeben, indem man die Koordinaten weglässt, die im Bild von h liegen. Der kanonische
≻ H n−m (Pn ; Z/2) faktorisiert also als
Homomorphismus H n−m (Pn , Pn r h(Pm ); Z/2)
H n−m (Pn , Pn r h(Pm ); Z/2)
∼
=
≻ H n−m (Pn , Pn−m−1 ; Z/2)
θ
≻ H n−m (Pn ; Z/2)
Da nun Pn−m−1 gerade das n−m−1-Skelett von Pn ist, ist auch θ ein Isomorphismus nach zellulärer
Kohomologie 2.9. Somit sind alle vertikalen Abbildungen in Diagramm (15) Isomorphismen.
Sei nun Rn ⊂ ≻ Pn die Inklusion (x1 , . . . , xn )
≻ (x1 : . . . : xn−1 : 1 : xn ). (Das Komplement
n−1
dieser Inklusion ist also ein P
, eingebettet via (x0 : . . . : xn−2 : 0 : xn−1 ).) Sie induziert
Abbildungen von Paaren
(Rn , Rn r {0})
⊂
≻
(Pn , Pn r {p})
(Rn , Rn r Rn−1 × {0})
⊂
≻
(Pn , Pn r i(Pn−1 ))
(Rn , Rn r {0} × R1 ) ⊂ ≻
(Pn , Pn r j(P1 ))
und damit auch ein kommutatives Diagramm
H n−1 (Pn , Pn r j(P1 ); Z/2) ⊕ H 1 (Pn , Pn r i(Pn−1 ); Z/2)
∪
≻ H n (Pn , Pn r {p}; Z/2)
g
g
∪
H n−1 (Rn , Rn r {0}×R1 ); Z/2) ⊕ H 1 (Rn , Rn r Rn−1 ×{0}; Z/2) ≻ H n (Rn , Rn r {0}; Z/2)
(16)
Die rechte vertikale Abbildung in Diagramm (16) ist ein Isomorphismus nach dem Ausschneidungssatz 2.8 – ausgeschnitten wird ein Pn−1 . Für die linke vertikale Abbildung in Diagramm (16) folgt
dies aus dem kommutativen Diagramm
H n−m (Pn , Pn r h(Pm ); Z/2)
H
n−m
(P
n−m
≻ H n−m (Rn , Rn r Rm ; Z/2)
g
g
n−m
n−m
n−m
,P
r {p}; Z/2) ≻ H
(R
, Rn−m r {0}; Z/2)
in dem alle Abbildungen Isomorphismen sind: die untere Abbildung ein nach dem Ausschneidungssatz 2.8, die rechte nach Homotopieinvarianz 2.4 und die linke, durch die Inklusion des n−m-Skeletts
induzierte, nach zellulärer Kohomologie 2.9. Weil das untere Cup-Produkt in Diagramm (16) nach
Bemerkung 3.12 Erzeuger auf Erzeuger abbildet, ist dies auch für das obere Cup-Produkt in Diagramm (15) der Fall, was den endlich-dimensionalen Fall zeigt. Der Fall P∞ folgt, weil nach zellulärer
Kohomologie 2.9 die Inklusionen Pn ⊂ ≻ P∞ Isomorphismen in den Graden k ≤ n induzieren.
Fall 2 und 3 gehen analog, sofern man die entsprechenden Änderungen in den Dimensionen
vornimmt. So ist zum Beispiel HPn r i(HPn−1 ) ∼
= R4n .
= Hn ∼
Beispiel 3.14. Die Hopf-Abbildung η : S 3
≻ S 2 ist definiert als die Anklebe-Abbildung der
4-Zelle von CP2 (siehe AT Beispiel 4.1). Eine explizite Beschreibung ist gegeben über
η(z0 , z1 ) : = (z0 : z1 ) ∈ CP1 ∼
= S 2,
21
wobei hier S 3 ⊂ ≻ C2 . Wir können nun zeigen, dass η nicht null-homotop ist, und somit π3 (S 2 ) 6= 0
gilt. Angenommen, es existiere eine Null-Homotopie von η. Dann ist nach AT Folgerung 9.9 CP2
homotopieäquivalent zur Einpunkt-Vereinigung S 2 ∨ S 4 entlang x ∈ S 2 und y ∈ S 4 . Der Kohomologiering H ∗ (S 2 ∨ S 4 , x; Z) ist aber isomorph zum Produkt der Kohomologieringe H ∗ (S 2 , x; Z) ×
H ∗ (S 4 , y; Z) (im Wesentlichen nach Übung Zwei Aufgabe 3). Das Quadrat jedes Elementes von
H 2 (S 2 ∨ S 4 ; Z) ist somit Null, was nach Satz 3.13 nicht der Fall ist für CP2 . Wir werden dies noch
verallgemeinern.
4
Die Künneth-Formel
Zur Erinnerung: Ist R ein kommutativer Ring und sind M, N R-Moduln, so ist M ⊗R N definiert
als Quotient des freien R-Moduls auf den Symbolen
{a ⊗ b | a ∈ M, b ∈ N }
bezüglich der Relationen
(a + a′ ) ⊗ b =
a ⊗ b + a′ ⊗ b
a ⊗ (b + b′ ) =
a ⊗ b + a ⊗ b′
r · (a ⊗ b) =
(r · a) ⊗ b = a ⊗ (r · b)
P
Somit ist jedes Element in M ⊗R N eine Linearkombination
ai ⊗ bi . Das Tensor-Produkt ist
gebaut, um folgendes Lemma zu erfüllen.
Lemma 4.1. Es gibt eine Bijektion zwischen der Menge der R-bilinearen Abbildungen M ⊕N
≻ P.
von R-Moduln und der Menge der R-linearen Abbildungen M ⊗R N
≻P
Beweis. Sei φ : M ⊕ N
≻ P R-bilinear. Definiere f (φ) : M ⊗R N
≻ P über a ⊗ b
≻ φ(a, b).
Weil φ R-bilinear ist, ist f (φ) wohldefiniert. Ist ψ : M ⊗R N
≻ P R-linear, definiere g(ψ) : M ⊕
≻ P über (a, b)
≻ ψ(a ⊗ b). Dann ist g(ψ) R-bilinear, und es gilt g(f (φ)) = φ und
N
f (g(ψ)) = ψ.
Das Kreuz-Produkt induziert also nach Lemma 4.1 Homomorphismen
H ∗ (X; R) ⊗R H ∗ (Y ; R)
×
H ∗ (X, A; R) ⊗R H ∗ (Y, B; R)
×
≻
H ∗ (X × Y ; R)
≻
H ∗ (X × Y, A × Y ∪ X × B; R)
von R-Moduln, wobei im zweiten Fall A ⊂ ≻ X und B ⊂ ≻ Y Inklusionen von offenen Unterräumen bzw. von Unterkomplexen sind. Damit dieses Kreuz-Produkt ein Ringhomomorphismus wird,
muss das Produkt auf der linken Seite als
(a ⊗ b) · (c ⊗ d) : = (−1)deg b deg c (a ∪ c) ⊗ (b ∪ d)
(17)
definiert werden. Denn es gilt
pr∗X (a) ∪ pr∗Y (b) ∪ pr∗X (c) ∪ pr∗Y (d)
(a × b) ∪ (c × d) =
=
=
(−1)deg b deg c pr∗X (a) ∪ pr∗X (c) ∪ pr∗Y (b) ∪ pr∗Y (d)
deg b deg c
(−1)
=
pr∗X (a ∪
c)
∪ pr∗Y (b ∪ d)
deg b deg c
(−1)
Satz 3.6
Lemma 3.7
(a ∪ c) × (b ∪ d)
Es lässt sich leicht nachrechnen, dass das Produkt in (17) eine Ringstruktur induziert.
22
Satz 4.2 (Künneth, 1923). Seien X, Y topologische Räume derart, dass H k (Y ; R) ein endlich
erzeugter freier R-Modul ist für alle k. Dann ist das Kreuz-Produkt
H ∗ (X; R) ⊗R H ∗ (Y ; R)
×
≻ H ∗ (X × Y ; R)
ein Isomorphismus von Ringen.
Beweis. Ersetze zunächst X und Y durch schwach homotopieäquivalente Zellenkomplexe (möglich
nach AT Satz 13.7). Dies macht keinen Unterschied in der Kohomologie (mit Ringstruktur!) nach
Satz 2.5 und Lemma 3.7. Fixiere den Zellenkomplex Y und definiere zwei reduzierte Kohomologietheorien (siehe Aufgabe 3 vonÜbung 2). Setze
M
hn (X, x0 ) : =
H j (X, x0 ; R) ⊗R H ℓ (Y ; R)
j+ℓ=n
n
H n (X × Y, {x0 } × Y ; R)
k (X, x0 ) : =
≻ R mod . Um die
Sowohl hn als auch kn sind in offensichtlicher Weise Funktoren Zellop
∗
natürlichen Transformationen δ zu definieren, verwenden wir zwei Aussagen:
1. Ist B
Folge
⊂
≻W
⊂
0
≻ Z ein Tripel von topologischen Räumen, so gibt es eine kurze exakte
≻ C(Z, W ; R)
≻ C(Z, B; R)
≻ C(W, B; R)
von Kokettenkomplexen, also auch Homomorphismen H n (W, B; R)
≻0
≻ H n+1 (Z, W ; R).
2. Ist A ⊂ ≻ X ein punktierter Zellenkomplex, so gibt es einen Isomorphismus
H n (X × Y, A × Y ; R)
∼
=
≻ H n (X/A × Y, {x0 } × Y ; R)
für alle n.
Aussage 1 folgt sofort, weil ja relative Kozykel gerade die absoluten Kozykel sind, die auf singulären
Simplizes im Unterraum verschwinden. Aussage 2 stellt eine Verallgemeinerung von AT Satz 9.10
dar und wird folgendermassen bewiesen: Nach dem universellen Koeffizientensatz 1.10 reicht es zu
zeigen, dass die Abbildung q × Y : X × Y
≻ X/A × Y Isomorphismen
Hn (X × Y, A × Y )
≻ Hn (X/A × Y, {x0 } × Y )
induziert für alle n. (AT Satz 9.10 ist gerade der Fall, wo Y = ∗ gilt.) Sei zunächst Y ein endlicher
≻ X/A × Y wieder
Zellenkomplex, also insbesondere kompakt. Dann ist nach AT Satz 2.5 X × Y
eine Quotientenraumprojektion. Sei c(A) : = A × I/A × {0} der Kegel auf A, dann erhalten wir ein
kommutatives Diagramm
i×Y
X ×Y ≺ ⊃ A×Y
id
id
g
i × Y⊃ g
A×Y
X ×Y ≺
⊂
≻ c(A) × Y
≃
g
≻∗×Y
in dem die vertikalen Abbildungen Homotopieäquivalenzen sind. Weil A ⊂ ≻ X die Inklusion eines
Zellenkomplexes ist, hat i × Y die Homotopie-Erweiterungs-Eigenschaft nach AT Lemma 3.5 (gilt
für einen beliebigen topologischen Raum Y ). Das Klebelemma 9.8 impliziert, zusammen mit AT
23
Satz 2.5, dass X × Y ∪A×Y c(A) × Y
≻ X/A × Y eine Homotopieäquivalenz ist. Wie im Beweis
von AT Satz 9.10 folgt mit Ausschneidung und Homotopieinvarianz der Isomorphismus
Hn (X × Y, A × Y )
≻ Hn (X/A × Y, {x0 } × Y )
für jeden endlichen Zellenkomplex Y . Sei nun Y beliebig, und α ∈ Hn (X × Y, A × Y ) mit α
≻ 0.
Da α durch eine endliche Summe β von singulären Simplizes repräsentiert wird, deren Bild ja
kompakt ist, gibt es eine kompakte Teilmenge K ⊆ Y , so dass β ∈ Cn (X × K) liegt. Nach AT
Satz 4.13 ist somit β ein Zykel in Cn (X × Y ′ ), wobei Y ′ ⊂ ≻ Y ein endlicher Unterkomplex ist. Es
folgt die Injektivität. Surjektivität zeigt man ähnlich, was den Beweis von Aussage 2 beendet.
Aussage 1 liefert insbesondere
≻ H n+1 (X, A; R) ∼
= H n+1 (X/A, x0 ; R)
n
δH
: H n (A, x0 ; R)
für einen punktierten Unterkomplex A ⊂ ≻ X, und allgemeiner
H n (A × Y, {x0 } × Y ; R)
≻ H n+1 (X × Y, A × Y ; R).
Zusammen mit Aussage 2 erhalten wir natürliche Abbildungen
δhn : =
M
H j (A, x0 ; R) ⊗R H ℓ (Y ; R)
j
ℓ
j+ℓ=n δH ⊗R H (Y
L
;R)
≻
j+ℓ=n
∼
=
j+ℓ=n
δkn : =
H n (A × Y, {x0 } × Y ; R)
M
≻ H n+1 (X × Y, A × Y ; R)
H j+1 (X/A, x0 ; R) ⊗R H ℓ (Y ; R)
≻ H n+1 (X/A × Y, {x0 } × Y ; R)
Wir zeigen nun, dass (h, δh ) und (k, δk ) reduzierte Kohomologietheorien sind. Sind zwei punktierte
Abbildungen punktiert homotop, so sind ihre Bilder unter h und k offensichtlich identisch, weil dies
ja für reduzierte bzw. relative singuläre Kohomologie gilt. Des weiteren liefert δk eine lange exakte
Folge nach den Aussagen 1 und 2. Weil nach Aufgabe 4 von Übung 2
...
≻ H j (X, x0 ; R)
≻ H j (A, x0 ; R)
j
δH
≻ H j+1 (X/A, x0 ; R)
≻ ...
lang exakt ist, gilt dies auch für das Tensor-Produkt mit jedem freien R-Modul – wie zum Beispiel H ℓ (Y ; R). (Offensichtlich reicht hier, dass H ℓ (Y ; R) projektiv ist.) Dies zeigt die Exaktheit
der langen Folge für (h, δh ). Das Axiom über beliebige Einpunkt-Vereinigungen folgt sofort für
k, da es nach obigem Argument ausreicht, endliche Einpunkt-Vereinigungen zu betrachten. Für h
ist dies nicht so einfach. Ist n fixiert, so ist die Summe ⊕j+ℓ=n , die hn definiert, endlich – weil
ja singuläre Kohomologie in negativen Graden verschwindet. Weil H ℓ (Y ; R) nach Voraussetzung
endlich erzeugt frei ist, ist tatsächlich hn (X, x0 ) isomorph zu einer endlichen direkten Summe von
Kohomologiegruppen H j (X, x0 ; R). Somit erfüllt auch h das Axiom über Einpunkt-Vereinigungen.
≻ kn (X, x0 ) von
Das relative Kreuzprodukt ist eine natürliche Transformation hn (X, x0 )
Funktoren, aber auch von reduzierten Kohomologietheorien, da nach Lemma 3.9 das Diagramm
δn
hn (A, x0 ) h≻ hn+1 (X/A, x0 )
×
×
g
n
g
δ
kn (A, x0 ) k≻ kn+1 (X/A, x0 )
kommutiert. Ist (X, x0 ) = (S 0 , 1), so ist das Kreuz-Produkt der Isomorphismus
hn (S 0 , 1) ∼
= R ⊗R H n (Y ; R)
∼
=
≻ H n (S 0 × Y, {1} × Y ; R) = kn (S 0 , 1).
24
Somit ist nach Aufgabe 4 von Übung 2 hn`
(X, x0 )
≻ kn (X, x0 ) ein Isomorphismus für alle (X, x0 ).
0
0
Insbesondere für den Zellenkomplex (X D , D ), was den Beweis beendet.
Beispiel 4.3. Aus Satz 4.2 und Satz 3.13 folgt zum Beispiel
H ∗ (RPm × RPn ; Z/2) ∼
=
∗
∞
∞
H (CP × CP ; Z) ∼
=
Z/2[α, β]/(αm+1 , β n+1 )
Z[γ1 , γ2 ]
Bemerkung 4.4. Die Einschränkung an Y in Satz 4.2 ist zum Beispiel erfüllt, wenn Y homotopieäquivalent zu einem endlichen Zellenkomplex und R ein Körper ist. Die Bedingung ist jedoch
notwendig, wie man an [1, 3E.6] sehen kann.
Satz 4.5 (Hopf, 1940). Sei µ : Rn ×Rn
ist n = 2ℓ für ein ℓ ≥ 0.
≻ Rn die Struktur einer reellen Divisionsalgebra. Dann
Beweis. Weil µ bilinear ist, ist µ insbesondere stetig. Da keine Nullteiler existieren, schränkt µ ein
auf eine Abbildung µ : Rn r {0} × Rn r {0}
≻ Rn r {0}. Ist λ ∈ R r {0}, so gilt µ(λ · x, y) =
≻ RPn−1 , die
λ · µ(x, y) = µ(x, λ · y). Somit induziert µ eine Abbildung f : RPn−1 × RPn−1
wiederum einen Ringhomomorphismus
f ∗ : Z/2[γ]/γ n ∼
= H ∗ (RPn−1 ; Z/2)
≻ H ∗ (RPn−1 × RPn−1 ; Z/2) ∼
= Z/2[α, β]/(αn , β n )
induziert. Nun gilt f ∗ (γ) = α + β. Letzteres ist eine Aussage über H 1 , also reicht es nach dem
universellen Koeffizientensatz 1.10 und dem Hurewicz-Satz AT 10.7 zu zeigen, dass
π1 (f ) : π1 (RPn−1 ) × π1 (RPn−1 ) ∼
= π1 (RPn−1 × RPn−1 )
≻ π1 (RPn−1 )
die Abbildung ist, deren Kern die Diagonale ist. Da die Fundamentalgruppen nach AT Lemma 2.10
von den 1-Zellen erzeugt werden, reicht es, die Bilder der zwei 1-Zellen in RPn−1 × RPn−1 unter
≻ S n ein Weg, der den Nordpol mit dem Südpol entlang eines
f zu untersuchen. Sei w : I
Längenkreises verbindet, so liefern die Wege t
≻ (w(t), x) und t
≻ (x, w(t)) diese zwei 1-Zellen.
≻ f (w(t), x) ein Weg, der f (w(0), x) mit f (w(1), x) = f (−w(0), x) = −f (w(0), 1)
Dann ist aber t
verbindet. Somit liefert t
≻ f (w(t), x) den Erzeuger von π1 (RPn−1 ), und analog für die andere
Komponente.
Weil f ∗ (γ) = α + β gilt, ist
0 = f ∗ (γ n ) = f ∗ (γ)n = (α + β)n =
m X
n
j=0
j
αj β n−j
wobei die Binomialkoeffizienten in Z/2Z genommen werden. Es muss also nj gerade sein für alle
0 < j < n. Dies ist genau dann der Fall, wenn n eine Zweierpotenz ist. Denn (α + β)2 = α2 + β 2
ℓ
ℓ
ℓ
in Z/2[α, β], also auch (α + β)2 = α2 + β 2 . Ist nun n = 2ℓ + 2m , wobei ℓ < m, so ist
ℓ
m
ℓ
ℓ
m
m
ℓ
m
m
ℓ
(α + β)n = (α + β)2 (α + β)2 = (α2 + β 2 )(α2 + β 2 ) = αn + α2 β 2 + α2 β 2 + β n 6= αn + β n .
Ist n eine Summe von mehr als zwei verschiedenen Zweiterpotenzen, wird es noch schlimmer.
Um eine Sache im Beweis von Aufgabe 4 von Übung 2 zu klären, aber auch als Vorbereitung
zur Poincaré-Dualität:
25
Definition 4.6. Eine partiell geordnete Menge I heisst filtriert, wenn für je zwei Elemente i, j ∈ I
ein Element k ∈ I existiert mit i ≤ k und j ≤ k.
Beispiel 4.7. Die natürlichen Zahlen mit der gewöhlichen Ordnung sind filtriert. Sie sind für uns
das wichtigste Beispiel. Die Menge {b ≥ a ≤ c} ist partiell geordnet, aber nicht filtriert. Die Menge
der offenen Teilmengen eines topologischen Raumes, partiell geordnet über Inklusion, ist filtriert.
Sei I filtriert, und A : I
≻ Set ein Diagramm von Mengen, also:
• für jedes Element i ∈ I haben wir eine Menge Ai ,
≻ Aj , und es gilt
• ist i ≤ j, so gibt es eine Abbildung Ai≤j : Ai
• Ai=i = idAi , sowie
• Aj≤k ◦ Ai≤j = Ai≤k .
Definiere eine Äquivalenzrelation auf der disjunkten Vereinigung
`
i∈I
Ai über
(a, i) ∼ (b, j) ⇐⇒ ∃i ≤ k ≥ j mit Ai≤k (a) = Aj≤k (b)
Bezeichne mit colim A die Menge der Äquivalenzklassen. Sie wird Kolimes von A genannt. Es gibt
kanonische Abbildungen Ai
≻ colim A über a
≻ (a, i). Siehe Aufgabe 1 von Übung 4 für die
universelle Eigenschaft des Kolimes.
Ist A ein Diagramm topologischer Räume, so ist auch colim A ein topologischer Raum. Ist A nun
ein Diagramm von (abelschen) Gruppen, so ist colim A auf kanonische Weise wieder eine (abelsche)
Gruppe. Definiere einfach
(a, i) + (b, j) : = (Ai≤k (a) + Aj≤k (b), k)
wobei i ≤ k ≥ j.
Beispiel 4.8. Ist X ein Zellenkomplex, so ist X der filtrierte Kolimes seiner Skelette. Ebenso ist
X der filtrierte Kolimes seiner endlichen Unterkomplexe. Die Gruppe Zp∞ ist der filtrierte Kolimes
der Gruppen Z/pn . Die rationalen Zahlen sind der filtrierte Kolimes des Diagrammes
2
Z
≻Z
3
4
≻Z
≻Z
≻ ···
Im Falle eines filtrierten Diagramms
A0
α0
≻ A1
α1
≻ A2
≻ ···
ist der Kolimes alternativ beschreibbar über die kurze exakte Folge
0
≻
M
An
n∈N
m
X
i=0
ai
ω
≻
≻
m+1
X
M
An
≻ colim A
≻0
n∈N
ai − αi−1 (ai−1 )
i=0
Beachte: Der Kern von ω ist trivial. Nun drehen wir die Pfeile um, nehmen aber zur Vereinfachung nur die filtrierte Menge N, versehen mit der gewöhnlichen Ordung. Sei A : Nop
≻ Ab ein
Diagramm von abelschen Gruppen, also:
• für jede natürliche Zahl n ∈ N haben wir eine Menge An , sowie
26
• eine Abbildung αn+1 : An+1
≻ An .
Wir haben also ein Diagramm
···
≻ A2
α2
α1
≻ A1
≻ A0
Q
gegeben. Sei lim A die Teilmenge der Elemente (an )n∈N des Produktes n∈N An mit der Eigenschaft,
dass αn+1 (an+1 ) = an . In anderen Worten, lim A sitzt in der kurzen exakten Folge
0
≻ lim A
≻
Y
θ
An
n∈N
≻
Y
≻ lim1 A
An
≻0
≻ an − αn+1 (an+1 ) n∈N
n∈N
(an )n∈N
und ist somit wieder eine abelsche Gruppe. Beachte: Der Kokern von θ ist im Allgemeinen nicht
trivial. Bezeichne mit lim1 A den Kokern des Homomorphismus θ.
Beispiel 4.9. Sei p eine Primzahl. Die p-adischen Zahlen sind nach Definition der Limes des
Diagramms
···
≻ Z/pn+1 Z/pn
≻ Z/p2
≻ ···
≻ Z/p
Folgender Satz findet sich etwas allgemeiner in [1, Thm. 3F.8]. Die Allgemeinheit besteht darin, dass man die Skelettfiltrierung durch eine beliebige ausschöpfende Filtrierung von punktierten
Unterkomplexen ersetzen kann.
Satz 4.10. Sei (X, x0 ) ein punktierter Zellenkomplex, mit Skelettfiltrierung
{x0 } ⊂ ≻ X0
⊂
f0
≻ X1
⊂
f1
≻ ···
⊂
≻ Xm
⊂
≻ ···
⊂
≻ X.
1. Ist h∗ eine reduzierte Homologietheorie, so ist die kanonische Abbildung
colim hn (Xm )
≻ hn (X)
ein Isomorphismus.
2. Ist h∗ eine reduzierte Kohomologietheorie, so gibt es eine kurze exakte Folge
0
≻ lim1 hn−1 (Xm )
≻ hn (X)
≻ lim hn (Xm )
≻ 0.
Beweis. Versehe R+ = {x ∈ R | 0 ≤ x} mit der Zellenstruktur, deren Null-Zellen die natürlichen
Zahlen sind. Dann ist X×R+ wieder ein Zellenkomplex nach AT Satz 4.15 wieder ein Zellenkomplex,
der {x0 } × R+ als Unterkomplex enthält. Also ist Y : = X × R+ /{x0 } × R+ wieder ein punktierter
Zellenkomplex, der X als Deformationsretrakt enthält. Sei
[
T :=
Xm × {x ∈ R | m ≤ x}/{x0 } × {x ∈ R | m ≤ x}
m≥0
dann ist T als Vereinigung von punktierten Unterkomplexen von Y wieder ein punktierter Unterkomplex, der X enthält. Um zu zeigen, dass auch X Deformationsretrakt von T ist, reicht es nach
AT Korollar 9.3 zu zeigen, dass T ⊂ ≻ Y ein Deformationsretrakt ist. Setze
Y m : = T ∪ X × {x ∈ R | m ≤ x}/{x0 } × {x ∈ R | m ≤ x}
27
(ein weiterer punktierter Unterkomplex), dann ist Y 0 = Y und der Schnitt Y ∞ = ∩m Y m ist T . Die
Inklusion Y m+1 ⊂ ≻ Y m ist ein Deformationsretrakt, denn sie entsteht aus dem Verklebediagramm
Xm × [m, m + 1]/{x0 } × [m, m + 1] ∪ X × {m + 1} ⊂ ≻ Y m+1
∩
∩
g
X × [m, m + 1]/{x0 } × [m, m + 1] ⊂
(18)
g
≻ Ym
Die linke vertikale Abbildung in Diagramm (18) ist Inklusion eines Deformationsretraktes nach AT
Lemma 9.6, somit nach AT Lemma 9.5 auch Y m+1 ⊂ ≻ Y m . Das Durchlaufen der Deformation
1
] liefert eine Deformation von Y auf T . Somit ist
von Y m in Y m+1 im Intervall [1 − 21m , 1 − 2m+1
⊂
≻ T ein Deformationsretrakt.
auch X
Sei nun A : = ∪m gerade Xm × [m, m + 1]/{x0 } × [m, m + 1] und B : = ∪m ungerade Xm × [m, m +
1]/{x0 } × [m, m + 1]. Dies sind offensichtlich punktierte Unterkomplexe mit der Eigenschaft, dass
die Inklusionen ∨m gerade Xm ⊂ ≻ A und ∨m ungerade Xm ⊂ ≻ B Homotopieäquivalenzen sind. Es
gilt A ∪ B = T und A ∩ B = ∨m Xm , und wir bekommen ein Diagramm
∨m Xm = A ∩ B
⊂
i
≻A
∩
∩
j
g
B⊂
(19)
k
g
ℓ
≻T
von punktierten Unterkomplexen. Ist h∗ eine reduzierte Homologietheorie, so induziert Diagramm (19)
eine lange exakte (Mayer-Vietoris)-Folge
···
···
≻ hn (A ∩ B)
f
∼
=
M
≻
hn (Xm )
m
(hn i, hn j)
hn k − hn ℓ
δn
≻ hn (A) ⊕ hn (B)
≻ hn (T ) ≻ hn−1 (A ∩ B)
f
f
f
∼
∼
∼
=
=
=
M
M
φ
≻
hn (Xm )
≻ hn (X) ≻
hn−1 (Xm )
m
≻ ···
≻ ···
m
Die Abbildung φ sieht folgendermassen aus: Ist a ∈ hn (Xm ) mit m gerade, so ist hn i(a) = a und
hn j(a) = hn fm (a). Ist a ∈ hn (X
m ) mit m ungerade,
Lso ist hn i(a) = hn fm (a) und hn j(a) = a. Somit
L
≻
ist φ(a) = a + hn fm (a). Sei γ :
h
(X
)
m
m hn (Xm ) der Isomorphismus, der a ∈ hn (Xm )
m n
m
−1
auf (−1) a abbildet. Dann gilt ω = γ ◦ φ ◦ γ . Insbesondere ist φ injektiv, und es gibt einen
Isomorphismus
M
φ M
≻
hn (Xm ) ≻
≻ hn (X)
≻0
hn (Xm )
0
0
m
m
m
m
γ ∼
γ ∼
id
=
=
g
g
g
M
M
ω
kanonisch
≻
hn (Xm ) ≻
hn (Xm )
≻ hn (X)
≻0
von kurzen exakten Folgen. Dies zeigt Aussage 1. Ist nun h∗ eine reduzierte Kohomologietheorie,
so induziert Diagramm (19) eine lange exakte Mayer-Vietoris Folge
··· ≺
··· ≺
Y
hn i − hn j n
(hn k, hn ℓ)
hn (A ∩ B) ≺
h (A)
hn (B) ≺
f
f
∼
∼
=
=
Y
Y
ψn
hn (Xm ) ≺
hn (Xm ) ≺
m
m
28
δn−1 n−1
hn (T ) ≺
h
(A ∩ B) ≺
f
f
∼
∼
=
=
Y
hn−1 (Xm ) ≺
hn (X) ≺
m
···
···
m a − (−1)m+1 hn f (a
Wie schon oben für φ erhält man,
dass
ψ
(a
)
=
(−1)
)
. Der
m
m∈N
m
m
m+1
Q
Q
zu γ analoge Isomorphismus γ ′ : m hn (Xm )
≻ m hn (Xm ) liefert θ = γ ′ ◦ ψ ◦ γ ′ , und somit
induziert γ ′ einen Isomorphismus
0≺
0≺
Ker ψ n ≺
hn (X) ≺
Coker ψ n−1 ≺
∼
∼
id
=
=
g
g
g
lim hn (Xm ) ≺ hn (X) ≺ lim1 hn−1 (Xm ) ≺
0
0
von kurzen exakten Folgen.
5
Poincaré-Dualität
Ziel ist es, einen Isomorphismus Hk (M ; R) ∼
= H n−k (M ; R) für eine R-orientierbare geschlossene
Mannigfaltigkeit der Dimension n zu konstruieren. Zur Erinnerung: Eine topologische Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum M , der Hausdorff’sch ist, eine abzählbare Basis der Topologie
besitzt und lokal wie Rn aussieht. Letzteres bedeutet, dass jeder Punkt x ∈ M eine offene Umgebung besitzt, die homöomorph zum Rn ist. Eine kompakte Mannigfaltigkeit heisst geschlossen. Die
Räume Rn , S n , RPn , CPn sind Mannigfaltigkeiten. Der Raum R × {0} ∪ {0} × R ist keine Mannigfaltigkeit. Der Raum D n ist für n ≥ 1 zwar keine Mannigfaltigkeit, aber eine Mannigfaltigkeit mit
Rand. Eine abzählbare disjunkte Vereinigung von Mannigfaltigkeiten ist wieder eine. Ein endliches
Produkt von Mannigfaltigkeiten ist wieder eine. Da Mannigfaltigkeiten lokal zusammenhängend
sind, ist jede Mannigfaltigkeit die disjunkte Vereinigung ihrer Zusammenhangskomponenten.
Notation 5.1. Sei A ⊂ ≻ X die Inklusion eines Unterraums. Setze Hi (X|A) : = Hn (X, X r A),
und analog für (Ko)homologie mit Koeffizienten. Schreibe wie üblich Hi (X|x) : = Hn (X|{x}).
Die Dimension einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit M ist dadurch charakterisiert, dass
für jedes x ∈ M Hi (M, M r {x}) nur für i = dim M nichttrivial ist.
Definition 5.2. Sei M eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit der Dimension d, und R ein
kommutativer Ring. Eine lokale R-Orientierung von M bei x ∈ M ist die Wahl eines Erzeugers
(einer Einheit) µx ∈ Hd (M |x; R). Eine R-Orientierung von M ist eine Abbildung
M
Hd (M |x; R)×
µ: M ≻
x
x∈M
≻ µx ∈ Hn (M |x; R)
die lokal trivial ist in folgendem Sinne: Jedes x ∈ M besitzt eine offene Umgebung U , zusammen
∼
=
≻ Rd , der f (x) = 0 erfüllt, so dass für einen offenen Ball
mit einem Homöomorphismus f : U
0 ∈ B ⊂ ◦ ≻ Rd vom Radius r > 0 und einen Erzeuger µB ∈ Hd (M |f −1 (B); R) ∼
= Hd (Rd |B; R) der
−1
Erzeuger µy für jeden Punkt y ∈ f (B) gerade das Bild von µB unter der Einschränkungsabbildung
Hb (M |f −1 (B); R) = Hd (M, M r f −1 (B); R)
≻ Hd (M, M r {y}; R) = Hd (M |y; R)
ist.
Ist µ eine R-Orientierung von M , so heisst das Paar (M, µ) R-orientierte Mannigfaltigkeit.
Existiert eine R-Orientierung von M , so heisst M R-orientierbar. Ist R = Z, so lässt man R einfach
weg.
29
Beispiel 5.3. Sei M = S d . Wähle einen Erzeuger µ ∈ Hd (S d ). Das Bild von µ unter der Einschränkung Hd (S d )
≻ Hd (S d |x) für x ∈ S d liefert eine Orientierung. Ist M = RPd und R = Z/2,
so liefert der Erzeuger µ ∈ Hd (RPd ; Z/2) eine Z/2-Orientierung.
Um entscheiden zu können, ob eine gegebene Mannigfaltigkeit M R-orientierbar ist, brauchen
wir eine Konstruktion. Sei MR folgender topologischer Raum: die Elemente sind die Paare (x, ax )
wobei x ∈ M und ax ∈ Hd (M |x; R). Eine Basis der Topologie von MR ist gegeben durch folgende
Mengen: Ist U eine offene Teilmenge in M , homöomorph zu Rd via f , und ist B ⊂ Rd ein offener
Ball von endlichem Radius, sowie aB ∈ Hd (M |f −1 (B); R), so sei
≻ Hd (M |x; R) (aB )}
U (aB ) : = {(x, ax ) ∈ MR | ax = Hd (M |f −1 (B); R)
und diese Mengen bilden die Basis der Topologie.
Lemma 5.4. Die Abbildung p : MR
Faser R.
≻ M , die (x, ax ) auf x abbildet, ist eine Überlagerung mit
Beweis. Es reicht, die Stetigkeit, sowie die Überlagerungseigenschaft von p für eine Basis der Topologie von M zu überprüfen. Sei demnach V = f −1 (B) für ein B wie oben, so ist
a
p−1 (V ) =
U (aB ).
aB ∈Hd (M |f −1 (B);R)
Weil ja Hd (M |f −1 (B); R) ∼
= R gilt, folgt die Aussage.
Insbesondere ist (zumindest für abzählbare Ringe R) MR wieder eine Mannigfaltigkeit. Eine R≻ MR von p : MR
≻ M , dessen Bilder Einheiten
Orientierung von M ist also ein Schnitt M
als zweite Komponente haben. Weil Hd (M |x; R) ∼
= Hd (M |x) ⊗ R ∼
= Z ⊗ R gilt, liefert jedes r ∈ R
eine Unter-Überlagerung Mr ⊂ ≻ MR
≻ M der Paare (x, ±1 ⊗ r). Denn der Ausschneidungsisomorphismus
Hd (M |x) ∼
= Hd (M |f −1 (B)) ∼
= Hd (M |y) x, y ∈ f −1 (B)
bildet einen Erzeuger auf einen Erzeuger ab. Ist also 2r = 0, so ist Mr
≻ M ein Homöomorphismus. Zum Beispiel ist MZ/2 die disjunkte Vereinigung von zwei Kopien von M . Insbesondere ist jede
≻ M eine zweiblättrige Überlagerung,
Mannigfaltigkeit Z/2-orientierbar. Ist 2r 6= 0, so ist Mr
die Orientierungsüberlagerung.
Lemma 5.5. Ist M zusammenhängend, so ist die Orientierungsüberlagerung zusammenhängend
genau dann, wenn M nicht orientierbar ist.
f
f seien von der Form (x, ax ),
Beweis. Sei M
≻ M die Orientierungsüberlagerung. Die Punkte in M
f
wobei ax ∈ Hd (M |x) ein Erzeuger ist. Ist α : M
≻ M ein Schnitt (also eine Orientierung), so ist
auch −α ein Schnitt, und somit eine abgeschlossene Einbettung. Weil α(M ) ∩ −α(M ) = ∅ gilt, ist
f nicht zusammenhängend. Ist umgekehrt M
f nicht zusammenhängend, so definiert jede der zwei
M
f eine Orientierung von M .
Komponenten von M
Lemma 5.6. Sei M eine Mannigfaltigkeit der Dimension d, und A ⊆ M kompakt.
≻ MR ein Schnitt von p : MR
≻ M , so gibt es genau eine Homologieklasse
1. Ist α : M
αA ∈ Hd (M |A; R), deren Bild in Hd (M |x; R) gerade αx ist für alle x ∈ A.
30
2. Es gilt Hn (M |A; R) = 0 für alle n > d.
Beweis. Um Induktion über kompakte Teilmengen durchführen zu können, brauchen wir folgende
Tatsache: Gelten die Aussagen 1 und 2 für die kompakten Mengen A, B und A ∩ B, so auch für
A ∪ B. Dies folgt aus der langen exakten Mayer-Vietoris-Folge
≻ Hd (M |A∪ B)
Φ
Ψ
≻ ···
(20)
was zumindest für Aussage 2 offensichtlich ist. Sind αA , αB und αA∩B Schnitte wie in 1, so ist
Ψ(αA ) = αA∩B = −Ψ(αB ). Also existiert ein αA∪B ∈ Hd (M |A ∪ B) mit Ψ(αA∪B ) = (αA , αB ). Die
Eindeutigkeit folgt, weil Φ injektiv ist.
Ist A ⊆ M kompakt, so lässt sich A darstellen als Vereinigung von endlich vielen kompakten
Teilmengen A = ∪ni=1 Ai derart, dass Ai ⊂ Ui ∼
= Rd gilt. Induktion über n liefert nach obiger
Tatsache, dass A ⊆ U ∼
= Rd gilt. Nach dem Ausschneidungssatz für Homologie können wir also
d
R = M annehmen. Ist A ⊂ Rd konvex, so ist für jedes x ∈ A die Einschränkung
0
≻ Hd (M |A)⊕ Hd (M |B)
≻ Hd (M |A∩ B)
≻ Hd−1 (M |A∪ B)
≻ Hd (Rd |x)
Hd (Rd |A)
ein Isomorphismus, weil sowohl Rd r A als auch Rd r {x} eine Sphäre um x als Deformationsretrakt
enthalten. Somit gelten die Aussagen 1 und 2 für kompakte konvexe Teilmengen, und – nach obiger
Tatsache – auch für endliche Vereinigungen von diesen.
Sei nun A ⊆ Rd eine beliebige kompakte Teilmenge, und a ∈ Hn (Rd |A). Dann ist a repräsentiert
durch einen relativen Zykel z, dessen Rand dz in Rd rA liegt. Sei C das Bild von dz – eine kompakte
Teilmenge, die A nicht trifft – und δ > 0 der Abstand von A und C. Überdecke A durch K, die
Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Bälle mit Radius < δ um Punkte in A. Also sind C und
K disjunkt. Dann liefert z ein Element aK ∈ Hn (M |K), welches nach a abbildet. Ist n > d, so ist
aK = 0, also a = 0 und somit Hn (M |A) = 0. Ist n = d und ax = 0 ∈ Hd (M |x) für alle x ∈ A, so gilt
auch aK x = 0 für alle x ∈ K. Denn K ist ja eine Vereinigung von Bällen B, die alle A schneiden,
und Hd (Rd |B) ∼
= Hd (Rd |x) für alle x ∈ B. Dann ist aber auch aK = 0, somit auch a. Dies zeigt die
Eindeutigkeit von αA . Die Existenz von αA folgt als Bild von αB für einen Ball B ⊇ A.
Satz 5.7. Sei M eine geschlossene zusammenhängende Mannigfaltigkeit der Dimension d.
≻ Hd (M |x; R) ∼
= R ein Isomorphismus für alle
1. Ist M R-orientierbar, so ist Hd (M ; R)
x ∈ M.
2. Ist M nicht R-orientierbar, so ist Hd (M ; R)
{r ∈ R | 2r = 0}, für alle x ∈ M .
≻ Hd (M |x; R) ∼
= R injektiv, und das Bild ist
3. Es gilt Hn (M ; R) = 0 für alle n > d.
Beweis. Wende Lemma 5.6 auf die kompakte Teilmenge M ⊆ M an. Dann folgt Aussage 3 sofort aus
Aussage 2 von Lemma 5.6. Um den Rest einzusehen, sei Γ die Menge der Schnitte von MR
≻ M.
Sind α, β ∈ Γ und r ∈ R, so liefern α + β(x) : = (x, αx + βx ) und r · α(x) : = (x, r · αx ) weitere
Schnitte, so dass
ρ : Hd (M ; R)
≻Γ
a
≻ (x 7→ ax )
ein R-Modul-Homomorphismus ist. Nach Aussage 1 von Lemma 5.6 ist ρ ein Isomorphismus. Weil
M zusammenhängend ist, ist jeder Schnitt α ∈ Γ durch den Wert an einem Punkt bestimmt.
31
Existiert eine R-Orientierung, so ist also Γ ∼
= R der freie R-Modul auf dieser R-Orientierung,
und Aussage 1 folgt. Ist M nicht R-orientierbar, so existieren nur die Schnitte α ∈ Γ, die den
Unterüberlagerungen Mr
≻ M mit 2r = 0 entsprechen. Dies zeigt Aussage 2.
Definition 5.8. Sei M eine Mannigfaltigkeit der Dimension d. Ein Element in Hd (M |R), dessen Bild in Hd (M |x; R) eine Einheit ist für jedes x ∈ M , heisst R-Fundamentalklasse oder ROrientierungsklasse von M .
Folgerung 5.9. Eine R-Fundamentalklasse existiert für M genau dann, wenn M geschlossen und
R-orientierbar ist.
Beweis. Eine Richtung folgt aus Satz 5.7. Ist µ eine R-Fundamentalklasse, so liefert x
≻ µx eine
R-Orientierung. Weil µx nur dann von Null verschieden sein kann, wenn x im Bild eines Zykels
liegt, der µ repräsentiert, muss M kompakt sein.
Die R-Fundamentalklasse ist ein Bestandteil der Poincaré-Dualität. Hier kommt der andere.
Definition 5.10. Sei X ein topologischer Raum und R ein Ring. Das R-bilineare Cap-Produkt von
(Ko)Ketten ist für k ≥ ℓ definiert über
wobei σ : ∆k
Für σ : ∆k
dσ ∩ φ =
Ck (X; R) ⊕ C ℓ (X; R)
≻ Ck−ℓ (X; R)
(σ, φ)
≻ σ ∩ φ : = φ(σ|[e0 ,...,eℓ ] ) · σ|[eℓ ,...,ek ]
≻ X.
≻ X und φ ∈ C ℓ (X; R) gilt
k
ℓ
X
X
(−1)j φ(σ|[e0 ,...,êj ,...,eℓ+1 ] ) · σ|[eℓ+1 ,...,ek ] +
(−1)j φ(σ|[e0 ,...,eℓ ] ) · σ|[eℓ ,...,êj ,...,ek ]
j=0
j=ℓ+1
ℓ+1
X
σ ∩ dφ =
j=0
(−1)j φ σ|[e0 ,...,êj ,...,eℓ+1] · σ|[eℓ+1 ,...,ek ]
k−ℓ
X
d(σ ∩ φ) =
(−1)j φ(σ|[e0 ,...,eℓ ] ) · σ|[eℓ ,...,êj+ℓ ,...,ek ]
j=0
und somit gilt die Gleichung
d(σ ∩ φ) = (−1)ℓ (dσ ∩ φ − σ ∩ dφ).
Lemma 5.11. Sei A ⊂
Produkte
(21)
≻ X ein Unterraum. Das Cap-Produkt von (Ko)Ketten induziert CapHk (X; R) ⊕ H ℓ (X; R)
ℓ
Hk (X, A; R) ⊕ H (X; R)
Hk (X, A; R) ⊕ H ℓ (X, A; R)
32
≻ Hk−ℓ (X; R)
≻ Hk−ℓ (X, A; R)
≻ Hk−ℓ (X; R).
Beweis. Aus Gleichung (21) folgt, dass das Cap-Produkt eines Zykels mit einem Kozykel wieder
ein Zykel ist. Ist a = db ein Rand und φ ein Kozykel, so ist nach Gleichung (21)
a ∩ φ = db ∩ φ = ±d(b ∩ φ) + b ∩ dφ = ±d(b ∩ φ)
wieder ein Rand. Also induziert Cap-Produkt mit einem festen Kozykel eine R-lineare Abbildung
auf den Homologiegruppen. Ist φ = dψ und a ein Zykel, so ist
a ∩ φ = a ∩ dψ = ±d(a ∩ ψ) − da ∩ ψ = ±d(a ∩ ψ)
ein Rand. Dies zeigt, dass das erste Cap-Produkt wohldefiniert ist.
Ist a ∈ Ck (X, A; R) repräsentiert durch eine Kette a ∈ Ck (X; R) und φ ∈ C ℓ (X; R), so ist a ∩
φ : = a ∩ φ wohldefiniert. Denn wenn a eine Kette mit Bild in A ist, so gilt dies nach Definition 5.10
auch für a ∩ φ. Damit gilt auch die Gleichung
d(a∩φ) = da ∩ φ = d(a ∩ φ) = (−1)ℓ (da ∩ φ − a ∩ dφ) = (−1)ℓ (da∩φ−a∩dφ) = (−1)ℓ (da∩φ−a∩dφ),
was zeigt, dass das zweite Cap-Produkt wohldefiniert ist.
Ist a ∈ Ck (X, A; R) repräsentiert durch eine Kette a ∈ Ck (X; R) und φ ∈ C ℓ (X, A; R) eine
Kokette, die auf Ketten in A verschwindet, so ist a ∩ φ : = a ∩ φ wohldefiniert. Denn wenn a ∈
Ck (A; R) liegt, so ist a ∩ φ = 0 nach Definition 5.10. Ist da = 0 (also da ein Zykel mit Bild in A)
und dφ = 0, so ist
d(a ∩ φ) = d(a ∩ φ) = (−1)ℓ (da ∩ φ − a ∩ dφ) = 0.
Ist a = db = db, so folgt
a ∩ φ = db ∩ φ = db ∩ φ = ±d(b ∩ φ) = ±d(b ∩ φ).
Ist stattdessen φ = dψ, so folgt
a ∩ φ = a ∩ dψ = a ∩ dψ = ±d(a ∩ ψ) − da ∩ ψ = ±d(a ∩ ψ)
weil ja da ein Zykel mit Bild in A ist. Also ist auch das dritte Cap-Produkt wohldefiniert.
Der Dualitätsisomorphismus H n (M ; R)
≻ Hd−n (M ; R) wird definiert durch Cap-Produkt
mit einer R-Fundamentalklasse. Um zu zeigen, dass dies ein Isomorphismus ist, werden wir Induktion über nicht notwendigerweise kompakte Unterräume von M durchführen. Folgende Kompatibilität des Cap-Produktes ist dafür relevant:
Lemma 5.12. Sei f : X
≻ Y eine Abbildung, a ∈ Hk (X; R) und α ∈ H ℓ (Y ; R). Es gilt
f∗ (a) ∩ α = f∗ (a ∩ f ∗ (α)).
Analoge Formeln gelten im relativen Fall.
Beweis. Es gilt (f ◦ σ) ∩ φ = φ(f ◦ σ|[e0 ,...,eℓ ] ) · f ◦ σ|[eℓ ,...,ek ] = f ◦ (σ ∩ f ∗ φ).
Sei nun M eine R-orientierbare Mannigfaltigkeit der Dimension d. Wähle eine R-Orientierung
µ: M
≻ MR . Ist K ⊆ M kompakt, so gibt es nach Lemma 5.6 genau eine Homologieklasse
µK ∈ Hd (M |K; R), die auf die vorgegebene Orientierung an jedem Punkt einschränkt. Das relative
Cap-Produkt mit µK definiert einen R-linearen Homomorphismus
K
DM
: H n (M |K; R)
33
≻ Hd−n (M ; R)
Ist L ⊆ M kompakt mit K ⊆ L, so induziert (idM , i) : (M, M r L)
≻ (M, M r K) Abbildungen
i∗ : Hk (M |L; R)
≻ Hk (M |K; R) und i∗ : H n (M |K; R)
≻ H n (M |L; R). Die Eindeutigkeit der
Klasse µK zeigt, dass i∗ (µL ) = µK gilt. Die relative Version von Lemma 5.12 besagt, dass für alle
α ∈ H n (M |K; R)
µK ∩ α = i∗ (µL ) ∩ α = id∗ (µL ∩ i∗ (α)) = µL ∩ i∗ (α)
(22)
gilt. Sei K(M ) die über Inklusion partiell geordnete Menge der kompakten Teilmengen von M .
Sie ist filtriert, denn die Vereinigung zweier kompakter Teilmengen ist wieder kompakt. Aus Gleichung (22) und Aufgabe 1 von Übung 4 folgt die Existenz eines eindeutig bestimmten R-ModulHomomorphismus
DM : Hcn (M ; R) : = colim H n (M |K; R)
K∈K(M )
≻ Hd−n (M ; R)
(23)
K kompatibel ist. Beachte: Ist M geschlossen, so ist M selbst in
der mit den Homomorphismen DM
K(M ) enthalten, und natürlich das Maximum der partiell geordeten Menge. Somit ist die kanonische
Abbildung Hcn (M ; R)
≻ H n (M ; R) ein Isomorphismus.
Satz 5.13 (Poincaré-Dualität). Sei M eine R-orientierbare Mannigfaltigkeit der Dimension d.
Der R-Modul-Homomorphismus
DM : Hcn (M ; R)
≻ Hd−n (M ; R)
ist ein Isomorphismus für alle k. Ist insbesondere M geschlossen, so ist das Cap-Produkt mit einer
R-Fundamentalklasse
≻ Hd−n (M ; R)
DM : H n (M ; R)
ein Isomorphismus.
Um dies induktiv zu beweisen, benötigen wir ein (fast) kommutatives Diagramm. Im Folgenden
sei R aus der Notation entfernt. Ist die R-orientierbare Mannigfaltigkeit M Vereinigung zweier
offener Teilmengen U und V , so sind auch U und V R-orientierbar. Ist K ⊆ U kompakt und L ⊆ V
kompakt, so haben wir eine Mayer-Vietoris lange exakte Folge
···
≻ H n (M |K ∩ L)
∼
=
g
≻ H n (U ∩ V |K ∩ L)
≻ H n (M |K) ⊕ H n (M |L) ≻ H n (M |K ∪ L)
≻ H n+1 (M |K ∩ L)
∼
=
g
≻ H n (U |K) ⊕ H n (V |L)
∼
id
=
g
g
···
≻ H n (M |K ∪ L) ≻ H n+1 (U ∩ V |K ∩ L)
(24)
wobei die vertikalen Isomorphismen Ausschneidungsisomorphismen sind. Jede kompakte Menge
K ′ ⊆ M ist enthalten in der Vereinigung einer kompakten Menge in U und einer kompakten Menge
in V und somit ist die kanonische Abbildung
colim H n (M |K ∪ L) ∼
= colim H n (M |K ′ ) = Hcn (M )
K,L
K ′ ∈K(M )
ein Isomorphismus. Jede kompakte Menge L′ ⊆ U ∩ V ist enthalten im Schnitt einer kompakten
Menge in U und einer in V . Dies liefert einen kanonischen Isomorphismus
colim H n (U ∩ V |K ∩ L) ∼
=
K,L
colim
L′ ∈K(U ∩V )
H n (U ∩ V |L′ ) = Hcn (U ∩ V ).
Also ergibt Diagramm (24)im Kolimes eine Mayer-Vietoris lange Folge
···
≻ Hcn (U ∩ V ) ≻ Hcn (U ) ⊕ Hcn (V ) ≻ Hcn (M ) ≻ Hcn+1 (U ∩ V )
die wieder exakt ist, wie man leicht nachrechnen kann.
34
≻ ···
≻ ···
≻ ···
Lemma 5.14. Seien M, U, V wie oben, und wähle eine R-Orientierung µM von M (somit auch
von U und V ). Das Diagramm
···
≻ Hcn (U ∩ V )
DU ∩V
···
≻ Hcn (U ) ⊕ Hcn (V )
g
≻ Hd−n (U ∩ V )
≻ Hcn (M )
DU ⊕ DV
DM
g
g
≻ Hd−n (U ) ⊕ Hd−n (V ) ≻ Hd−n (M )
≻ Hcn+1 (U ∩ V )
≻ ···
DU ∩V
g
≻ Hd−(n+1) (U ∩ V )
≻ ···
kommutiert bis auf ein Vorzeichen.
Beweis. Nach der universellen Eigenschaft des Kolimes (Aufgabe 1 Übung 5) und der Konstruktion
des Dualitätshomomorphismus (23) reicht es, für kompakte Mengen K ⊆ U und L ⊆ V das
Diagramm
H n (M |K ∩L)
≻ H n (M |K) ⊕ H n (M |L) ≻ H n (M |K ∪L)
δn
≻ H n+1 (M |K ∩L)
∼
∼
∼
id
(1)
(2)
(3)
=
=
=
g
g
g
g
H n (U |K) ⊕ H n (V |L)
H n (M |K ∪L)
H n+1 (U ∩V |K ∩L)
H n (U ∩V |K ∩L)
µK∩L ∩ −
g
≻ Hd−(n+1) (U ∩V )
(25)
zu untersuchen. Wähle hierzu einen Zykel aK∪L ∈ Cd (M, M r(K ∪L)), der µK∩L repräsentiert. Die
Mannigfaltigkeit M ist offen überdeckt durch die Mengen U r L, U ∩ V, V r K. Über baryzentrische
Unterteilung (vergleiche mit dem Beweis von AT Satz 7.3) kann man erreichen, dass
µK∩L ∩ −
g
Hd−n (U ∩V )
µK ∩ − ⊕µL ∩ −
g
≻ Hd−n (U ) ⊕ Hd−n (V )
µK∪L
g
≻ Hd−n (M )
∂d−n
aK∪L = aU rL + aU ∩V + aV rK
Summe dreier Ketten ist, wobei aU rL eine Kette in U r L ist etc. Das Bild von aK∪L in Cd (M, M r
(K ∩ L)) repräsentiert µ′K∩L wegen der Eindeutigkeit in Lemma 5.6. Weil aU rL und aV rK im
Komplement von K ∩ L liegen, ist aU ∩V ein relativer Zykel in Cd (U ∩ V, U ∩ V r K ∩ L), dessen
Bild in Cd (M, M r (K ∩ L) mit dem Bild von aK∪L übereinstimmt und somit µU ∩V repräsentiert.
Analog erhält man, dass aU rL + aU ∩V die Klasse µK ∈ Hd (U, U r K) repräsentiert.
Zu Quadrat (1): Sei α ∈ H n (M |K ∩ L) repräsentiert durch den Kozykel φ : Cn (M, M r (K ∩
≻ R. Auf dem linken unteren Wege erhalten wir als Bild den Zykel
L))
(aU ∩V ∩ φ, aU ∩V ∩ φ)
und auf dem rechten oberen Wege den Zykel
(aU rL ∩ φ + aU ∩V ∩ φ, aU ∩V ∩ φ + aV rK ∩ φ).
Weil aber φ auf allen Klassen im Komplement von K ∩ L verschwindet, stimmen die Zykel überein.
Somit haben wir strikte Kommutativität von Quadrat (1).
Zu Quadrat (2): Sei (α, β) ∈ H n (M |K) ⊕ H n (M |L) repräsentiert durch das Paar (φ, ψ) von
Kozykeln. Auf dem linken unteren Wege erhalten wir als Bild den Zykel
aU rL ∩ φ + aU ∩V ∩ φ − aU ∩V ∩ ψ − aV rK ∩ ψ
und auf dem rechten oberen Wege den Zykel
aK∪L ∩ φ − aK∪L ∩ ψ = aU rL ∩ φ + aU ∩V ∩ φ + aV rK ∩ φ − aU rL ∩ ψ − aU ∩V ∩ ψ − aV rL ∩ ψ.
35
Weil aber φ auf allen Klassen im Komplement von K verschwindet, und ψ auf allen Klassen im
Komplement von L verschwindet, stimmen die Zykel überein. Somit haben wir strikte Kommutativität von Quadrat (2).
Zu Quadrat (3): Sei α ∈ H n (M |K ∪ L) repräsentiert durch den Kozykel φ : Cn (M, M r (K ∪
L))
≻ R. Der Verbindungshomomorphismus ∂d−n entsteht über die kurze exakte Folge
0
≻ C∗ (U ∩ V )
≻ C∗ (U ) ⊕ C∗ (V )
≻ C∗ (U + V )
≻0
von Kettenkomplexen, wobei C∗ (U +V ) der Unterkomplex von C∗ (M ) ist,dessen singuläre Simplizes
entweder Bild in U oder in V haben. Nun gilt aber aK∪L ∩ φ = aU rL ∩ φ + aU ∩V ∩ φ + aV rK ∩ φ .
Somit erhält man auf dem linken unteren Wege den Zykel
d(aU rL ∩ φ) = (−1)n (daU rL ∩ φ − aU rL ∩ dφ) = (−1)n daU rL ∩ φ ∈ Hd−n−1 (U ∩ V ).
Analog entsteht δn über die kurze exakte Folge
0
≻ C ∗ (M, M r K + L)
≻ C ∗ (M, M r K) ⊕ C ∗ (M, M r L)
≻ C ∗ (M, M r (K ∪ L))
≻0
≻ R enthält, die
von Kokettenkomplexen, wobei C k (M, M r K + L) die Koketten ψ : Ck (M )
auf allen Ketten verschwinden, deren singuläre Simplizes in M r K oder in M r L liegen. Schreibe
nun φ = φ1 − φ2 , wobei φ1 ∈ C n (M, M r K) und φ2 ∈ C n (M, M r L). Dann erhält man auf dem
rechten oberen Weg den Zykel
aU ∩V ∩ dφ1 = (−1)n daU ∩V ∩ φ1 − d(aU ∩V ∩ φ1 )
nach Gleichung (21). Weil aU ∩V ∩ φ1 eine Kette in U ∩ V ist, erhält man also bis auf Homologie
den Zykel
(−1)n daU ∩V ∩ φ1 .
Weil φ1 auf Ketten im Komplement von K verschwindet, ist d(aU rL + aU ∩V ) ∩ φ1 = 0, denn
aU rL + aU ∩V repräsentiert ja µK , ist also ein relativer Zykel. Somit erhalten wir auf rechtem
oberen Weg bis auf Homologie den Zykel
(−1)n daU ∩V ∩ φ1 = (−1)n+1 daU rL ∩ φ1 = (−1)n+1 daU rL ∩ (φ1 + φ2 ) = (−1)n+1 daU rL ∩ φ
da φ2 auf Ketten im Komplement von L verschwindet. Also kommutiert Quadrat (3) bis auf das
Vorzeichen (−1) (unabhängig von n).
Um ein kommutatives Diagramm von Dualitätshomomorphismen zu erhalten, muss man die in
den ungeraden Graden durch ihr Negatives ersetzen. Dies erlaubt es dann, dass Fünferlemma (AT
Lemma 8.2) anzuwenden. Wir erhalten folgende Aussage: Ist eine R-orientierte Mannigfaltigkeit
(M, µ) überdeckt durch zwei offene Teilmengen U, V derart, dass die Dualitätshomomorphismen
DU , DV und DU ∩V Isomorphismen sind, so ist es auch DM . Per Induktion bekommt man die
Aussage für jede Mannigfaltigkeit, die eine endliche offene Überdeckung Ui besitzt derart, dass DUi
und DUi ∩Uj Isomorphismen sind.
Beweis von Satz 5.13. Ist M = ∅, so gibt es nichts zu zeigen. Sei zunächst M = Rd . Dann ist
Rd homöomorph zum Innern von ∆d . Ist K ⊆ Rd kompakt, so induziert die Inklusion (Rd , Rd r
∼
=
≻ H n (Rd |K).
K) ⊂ ≻ (∆d , ∂∆d ) nach dem Ausschneidungssatz 2.8 Isomorphismen H n (∆d , ∂∆d )
Weil jede kompakte Teilmenge K in einem abgeschlossenen Ball enthalten ist, ist die induzierte Abbildung
H n (∆d , ∂∆d )
≻ Hcn (Rd )
36
ein Isomorphismus. Sei [id∆d ] der Erzeuger von Hd (∆d , ∂∆d ), und µ die induzierte R-Orientierung
auf Rd . Dann ist die Komposition
H n (∆d , ∂∆d )
∼
=
≻ Hcn (Rd )
D Rd
≻ Hd−n (Rd )
∼
=
≻ Hd−n (∆d )
nach Konstruktion gegeben über Cap-Produkt mit dem relativen Zykel [id∆d ]. Dies ist offensichtlich
ein Isomorphismus für n 6= d, da dann beide Gruppen trivial sind. Im Falle n = d sei ein Erzeuger
von H d (∆d , ∂∆d ) repräsentiert durch den Kozykel φ, der id∆d auf 1 und alle anderen singulären
d-Simplizes auf 0 abbildet. Dann ist id∆d ∩ φ = 1 · id∆d |[ed ] ein Repräsentant des Erzeugers von
H0 (∆d ). Also ist DRd ein Isomorphismus auch für n = d.
Sei nun M eine offene Teilmenge im Rd . Dann ist M eine abzählbare Vereinigung von offenen Bällen {Un }n∈N . Der Schnitt zweier solcher offener Bälle ist entweder leer oder aber wieder
homöomorph zum Rd . Somit ist für Vm : = U1 ∪ · · · ∪ Um die Abbildung DVm ein Isomorphismus,
nach dem ersten Fall und Lemma 5.14. Die Inklusion im : Vm ⊂ ≻ Vm+1 induziert eine Abbildung
Hcn (im ) : Hcn (Vm ) = colim H n (Vm |K) ∼
= colim H n (M |K)
K∈K(Vm )
K∈K(Vm )
≻ colim
K∈K(Vm+1 )
H n (M |K) ∼
= Hcn (Vm+1 )
weil jede kompakte Teilmenge in Vm auch eine kompakte Teilmenge von Vm+1 ist. Das Diagramm
Hcn (im )
≻ Hcn (Vm+1 )
Hcn (Vm )
DVm+1
g
≻ Hd−n (Vm+1 )
DVm
g
Hd−n (Vm )
kommutiert für alle m, induziert somit eine Abbildung
Φ : colim Hcn (Vm )
m∈N
≻ colim Hd−n (Vm+1 ).
m∈N
Und weil DVm ein Isomorphismus ist für alle m, ist es auch Φ. Nun stimmt Φ mit DM bis auf
kanonischen Isomorphismus überein, weil jede kompakte Teilmenge in M eine kompakte Teilmenge
in einem der Vm ’s ist. (Für das Ziel von Φ vergleiche mit Satz 4.10 Teil 1.) Also ist DM ein
Isomorphismus für jede offene Teilmenge von Rd .
Sei nun M eine geschlossene Mannigfaltigkeit. Dann ist M eine endliche Vereinigung von offenen
Mengen, die homöomorph zum Rd sind. Schneidet man zwei von diesen, so erhält man eine offene
Menge im Rd (bis auf Homöomorphie). Also ist nach Lemma 5.14 DM ein Isomorphismus. Ist M
eine beliebige Mannigfaltigkeit, so ist M nach dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom eine abzählbare
Vereinigung von offenen Mengen, die homöomorph zum Rd sind. Wie im zweiten Fall erhält man,
dass DM ein Isomorphismus ist. Tatsächlich geht der Beweis auch durch für Mannigfaltigkeiten, die
nicht das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, wenn man das Lemma von Zorn verwendet.
Zur Erinnerung: Die Euler-Charakteristik eines topologischen Raumes X mit der Eigenschaft,
dass H∗ (X; Z) endlich erzeugt ist, ist die ganze Zahl
eu(X) =
∞
X
(−1)n rankHn (X; Z).
n=0
Folgerung 5.15. Sei M eine geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension d, wobei d ungerade
sei. Dann ist eu(M ) = 0.
37
Beweis. In Satz 5.7 haben wir gesehen, dass Hn (M ) = 0 ist für alle n > d. Des weiteren kann
man zeigen, dass die Homologiegruppen einer geschlossenen Mannigfaltigkeit endlich erzeugt sind
(siehe [1, A.8, A.9]). Also macht es Sinn, eu(M ) zu betrachten. Ist M orientierbar, so ist nach
Satz 5.13 rankHn (M ) = rankH d−n (M ) und nach Satz 1.10 rankH d−n (M ) = rankHd−n (M ). Ist d
also ungerade, kürzen sich alle Terme. Ist M Z/2-orientierbar, so benutzt man, dass
eu(M ) =
∞
X
(−1)n rankHn (M ; Z/2)
(26)
n=0
gilt. Denn nach Satz 1.10 ist Hn (M ; Z/2) ∼
= H n (M ; Z/2). Ist nun Z/m ein Summand von Hn (M ; Z),
so liefert dies im Falle m ungerade keinen Beitrag zun H ∗ (M ; Z/2), und im Falle m gerade genau
die gleiche Anzahl Z/2-Summanden in H n (M ; Z/2) und H n−1 (M ; Z/2), die sich in der Summe (26)
gerade kürzen.
Beispiel 5.16. Sei M = F2 die Fläche vom Geschlecht 2. Sie ist orientierbar, mit Fundamentalklasse
[F2 ] = [f0 + f1 − f2 − f3 + f4 + f5 − f6 − f7 ]
in der Notation der Lösung von Aufgabe 2 Übung 2. Dann ist
[F2 ] ∩ ǫ1 = [F2 ] ∩ (α1 + γ1 + γ2 ) = γ1 (f1 ) · b1 = b1
[F2 ] ∩ ǫ2 = [F2 ] ∩ (β1 + γ2 + γ3 ) = −γ3 (f2 ) · a1 = −a1
[F2 ] ∩ ǫ3 = [F2 ] ∩ (α2 + γ5 + γ6 ) = γ5 (f5 ) · b2 = b2
[F2 ] ∩ ǫ4 = [F2 ] ∩ (β2 + γ6 + γ7 ) = −γ7 (f6 ) · a2 = −a2
was den Dualitätsisomorphismus H 1 (F2 ; Z)
≻ H1 (F2 ; Z) beschreibt. Unter Verwendung des Iso1
∼
∼
morphismus H (F2 ; Z) = Hom(H1 (F2 ; Z), Z) = H1 (F2 ; Z), der ǫ1 auf a1 abbildet etc., ist das Poincaré-Dual von a1 also b1 , und das Poincaré-Dual von b1 ist −a1 . Eine geometrische Interpretation
ist dadurch gegeben, dass die Schleife, die ǫ1 repräsentiert, homotop ist zu b1 etc.
6
Faserbündel
Fundamental wichtige Definition:
Definition 6.1. Ein Faserbündel ist .. Totalraum, Basis, Faser.
Beispiel 6.2. trivial, möbius, Pn , Hopf (siehe Beispiel 3.14), Überlagerung, homogene Räume
Definition 6.3. Faserung, Serre-Faserung.
Beispiel 6.4. Jedes triviale Faserbündel ist eine Faserung.
Lemma 6.5. Jedes Faserbündel ist eine Serre-Faserung.
≻ B Homotopie und f : I n × {0}
≻ E Lift
Beweis. Erst triviales Bündel. Dann: Sei H : I n × I
von H|I n ×{0} . Wähle offene Überdeckung {Uj ⊂ ◦≻ B}j∈J und Trivialisierungen Uj × F ∼
= p−1 (Uj ).
Unterteile I n in Würfel W und I in Intervalle A0 , . . . , Ak derart, dass für alle W, A H(W × A) ⊆ Uj
für ein j ∈ J. Betrachte Wahl der Würfel W als Zellenstruktur auf X = I n . Konstruktion des Lifts
38
von H induktiv über Skelette. Induktionsanfang X0 × I
≻ E: für jede Nullzelle x haben wir
f (x, 0) ∈ E. Weil H(x0 × A0 ) ⊆ Uj für ein j ∈ J, gibt es Abbildung
{x0 } × A0
(x0 , t)
≻ Uj × F
≻ H(x0 , t), prF ◦ f (x0 , 0)
Induktiv liefert dies Lift auf X0 × I
gegebene m-Zelle C ∼
= Im
C × A0
≻ E. Sei Xm−1 × I
∼
= −1
≻ p (Uj ) ⊂◦ ≻ E
≻ E gegeben. Konstruiere für eine
∼
∼
Retraktion m
schon da
= m
=
≻I ×I
≻ I × {0} ∪ ∂I m × I
≻ Uj × F ≻ p−1 (Uj ) ⊂◦ ≻ E
Induktiv liefert dies Lift auf W × I
≻ E, was den Beweis beendet.
Lemma 6.6. Eine Abbildung ist eine Serre-Faserung genau dann, wenn sie die HLE für relative
Zellenkomplexe hat.
Beweis. Einfach.
i
Satz 6.7. Sei p : E
≻ B Serre-Faserung. Wähle Basispunkt b0 ∈ B und x0 ∈ F = p−1 (B0 ) ⊂ ≻ E.
Dann gibt es eine lange exakte Folge
···
···
πn (i, x0 )
πn (p, x0 )
δ
≻ πn (F, x0 )
≻ πn (E, x0 )
≻ πn (B, x0 ) ≻ πn−1 (F, x0 )
δ
π0 (i, x0 )
π0 (p, x0 )
≻ π0 (F, x0 )
≻ π0 (E, x0 )
≻ π0 (B, x0 )
≻ ···
Beweis. Zur Erinnerung: πn (E, F, x0 ) ist die Menge der relativen Homotopieklassen von Abbildungen von Tripeln φ : (I n , ∂I n , J n−1 )
≻ (E, F, x0 ), wobei Jn−1 der Abschluss des Komplementes
von I n−1 × {0} ⊆ I n ist. Nach AT Satz 12.8 gibt es eine lange exakte Folge
···
···
πn (i, x0 )
γn
δ
≻ πn (F, x0 )
≻ πn (E, x0 ) ≻ πn (E, F, x0 ) ≻ πn−1 (F, x0 )
δ
π0 (i, x0 )
≻ π0 (F, x0 )
≻ π0 (E, x0 )
≻ ···
von relativen Homotopiegruppen, wobei γn eine Abbildung (I n , ∂I n )
≻ (E, x0 ) als Abbildung
≻ (E, F, x0 ) auffasst. Komposition mit p bildet φ : (I n , ∂I n , J n−1 )
≻ (E, F, x0 )
(I n , ∂I n , J n−1 )
n
n
−1
auf die Abbildung (I , ∂I )
≻ (B, b0 ) ab, da ja F = p (b0 ) ist. Dies ist verträglich mit rela≻ πn (B, b0 ) für alle n ≥ 1 mit
tiven Homotopien und liefert eine Abbildung βn : πn (E, F, x0 )
βn ◦ γn = πn (p, x0 ). Die Abbildung βn ist surjektiv. Denn sei α ∈ πn (B, b0 ) repräsentiert durch
f : (I n , ∂I n )
≻ (B, b0 ). Sei x0 : J n−1 =
≻ E die konstante Abbildung, dann haben wir ein
kommutatives Diagramm
J n−1 = I n−1 × {1} ∪∂I n−1 ×{1} ∂I n−1 × I
x0
≻E
∩
g
I n = I n−1 × I
f
p
g
≻B
Nach der relativen HLE für p (Lemma 6.6) gibt es eine Abbildung g : I n
≻ E mit p ◦ g = f und
g(J n−1 ) = {x0 } ⊆ F . Also ist βn surjektiv. Die Abbildung βn ist auch injektiv, denn wenn α0 , α1 ∈
39
πn (E, F, x0 ) Elemente mit βn (α0 ) = βn (α1 ) sind, so wähle Repräsentanten f0 : (I n , ∂I n , J n−1 )
≻ (E, F, x0 )
und f1 : (I n , ∂I n , J n−1 )
≻ (E, F, x0 ), sowie eine Homotopie G : I n × I
≻ B von p ◦ f0 nach
≻ E liefert dann ein kommutatives Diagramm
p ◦ f1 . Die konstante Abbildung x0 : J n−1 × I
I n × {0} ∪J n−1 ×{0} J n−1 × I ∪J n−1 ×{1} I n × {1}
≻E
∩
I n+1
g
= In × I
G
p
g
≻B
Nach der relativen HLE für p (Lemma 6.6) gibt es eine Abbildung F : I n × I
≻ E, die eine
relative Homotopie von f0 zu f1 ist. Also ist βn injektiv. Es bleibt die Exaktheit an der Stelle n = 0
zu zeigen. Dabei ist klar, dass π0 (p, x0 ) ◦ π0 (i, x0 )(α) = [b0 ] gilt für alle α ∈ π0 (F, x0 ). Sei also
≻ B ein Weg von b0 zu p(x). Nach der HLE
α ∈ π0 (E, x0 ) repräsentiert durch x ∈ E und F : I
von p für den Raum D 0 gibt es einen Weg von einem Punkt y zu x, wobei p(y) = b0 gilt. Somit
liegt x in der Wegzusammenhangskomponente eines Punktes in F .
Beispiel 6.8. Die Hopf-Faserung S 3
exakte Folge
···
≻ πn S 1
≻ πn S 3
≻ S 2 von Beispiel 3.14 liefert nach Satz 6.7 eine lange
≻ πn S 2
≻ πn−1 S 1
≻ ...
≻ π1 S 1
≻0
Weil πn S 1 ∼
= Z, mit der Hopf= πn S 2 für n ≥ 3. Insbesondere ist π3 S 2 ∼
= 0 für n 6= 1 ist πn S 3 ∼
Faserung als Erzeuger.
Beispiel 6.9. Zunächst eine Definition: Ein n-Rahmen in Rk ist ein n-Tupel von orthonormalen
Vektoren (paarweise senkrecht, der Länge 1) in Rk . Jeder n-Rahmen ist ein Punkt im n-fachen Produkt der Einheitssphähre im Rk . Die Stiefel-Mannigfaltigkeit Vn (Rk ) sei der durch die n-Rahmen
gegebene Unterraum von S k−1 × · · · × S k−1 . Als Spezialfälle erhält man die orthogonale Gruppe
O(n) = Vn (Rn ) bzw. die Sphäre S k−1 = V1 (Rk ). Manche Autoren nennen jedes n-Tupel linear unabhängiger Vektoren einen n-Rahmen, aber der Gram-Schmidt’sche Orthomormalisierungsprozess
liefert eine Quotientenraumprojektion dieses Raumes auf Vn (Rk ), der eine Homotopieäquivalenz
ist. Ist m < n ≤ k, so liefert Vergessen der ersten n − m Vektoren ein Faserbündel
Vn−m (Rk−m ) ⊂ ≻ Vn (Rk )
vergiss
≻ Vm (Rk )
(27)
Im Falle m = 1 und k = n erhalten wir also ein Faserbündel
O(n − 1) ⊂ ≻ O(n)
≻ S n−1
(28)
wobei O(n − 1) die Untergruppe der Matrizen in O(n) ist, die den letzten Vektor fixiert. Nach
Satz 6.7 und der Berechnung πi S n−1 = 0 für i ≤ n−2 induziert diese Inklusion einen Isomorphismus
∼
πi (O(n − 1), 1) ∼
= πi (O(n), 1) für i ≤ n − 3. Setzen wir O(∞) = ∪∞
n=1 O(n), so ist also πi (O(∞), 1) =
pii (O(n), 1) für i ≤ n − 2. Der Bott’sche Periodizitätssatz berechnet πi O(∞) für alle i als


Z/2 wenn i = 0, 1 mod 8
∼
πi O(∞) = 0
wenn i = 2, 4, 5, 6 mod 8


Z
wenn i = 3, 7 mod 8
Um mehr Serre-Faserungen zu konstruieren, brauchen wir eine Konstruktion.
40
Definition 6.10. Seien X, Y topologische Räume. Der topologische Raum Top(X, Y ) sei folgendermassen definiert: Die unterliegende Menge ist die Menge HomTop (X, Y ) aller stetigen Abbildungen
von X nach Y . Eine Subbasis der Topologie sei gegeben durch die Familie
n
o
M (K, U ) : = {f : X
≻ Y | f (K) ⊆ U }
K⊆X kompakt,U ⊆Y offen
Lemma 6.11. Seien X, Y topologische Räume.
1. Die kanonische Abbildung
ηY : Y
≻ Top(X, Y × X)
y
≻ (x 7→ (y, x))
ist wohldefiniert, natürlich in Y und stetig.
2. Sei nun X lokalkompakt. Die Evaluationsabbildung
evY : Top(X, Y ) × X
≻Y
(f, x)
≻ f (x)
ist natürlich in Y und stetig.
Beweis. Zu Teil 1: Die Abbildung x 7→ (y, x) ist stetig, weil jede Identität und jede konstante
Abbildung stetig sind. Somit ist ηY wohldefiniert. Natürlichkeit ist klar. Zur Stetigkeit: Es reicht
zu zeigen, dass ηY−1 (M (K, U )) offen ist für K ⊆ X kompakt und U = U1 × U2 ⊆ Y × X offen. Ist
K ⊆ U2 , so ist ηY−1 (M (K, U )) = U1 . Andernfalls ist ηY−1 (M (K, U )) = ∅.
Zu Teil 2: Natürlichkeit ist klar. Zur Stetigkeit: Sei U ⊆ Y offen und (f, x) mit f (x) ∈ U . Weil
X lokalkompakt ist, hat x eine kompakte Umgebung K ⊆ f −1 U . Also ist (f, x) ∈ M (K, U ) × V ,
wobei V offene Umgebung von x in K ist. Weil für jedes (g, y) ∈ M (K, U ) × V g(y) ∈ U liegt, ist
ev stetig.
Satz 6.12. Sei X lokalkompakt. Es gibt einen Isomorphismus
HomTop (Y × X, Z) ∼
= HomTop (Y, Top(X, Z))
der in Y und Z natürlich ist.
Beweis. Klar.
Bemerkung 6.13. Seien (X, x0 ) und (Y, y0 ) punktierte topologische Räume. Dann ist Top∗ (X, x0 ), (Y, y0 )
≻ Y mit f (x0 ) = y0
definiert als Unterraum von Top(X, Y ), der genau die Abbildungen f : X
enthält. Der Basispunkt in diesem Raum sei die konstante Abbildung mit Wert y0 . Man kann leicht
nachrechnen, dass es für X lokalkompakt einen Isomorphismus
HomTop∗ (Y, y0 ) ∧ (X, x0 ), (Z, z0 ) ∼
= HomTop∗ (Y, y0 ), Top∗ ((X, x0 ), (Z, z0 ))
`
gibt, der in (Y, y0 ) und (Z, z0 ) natürlich ist. Ist X ein topologischer Raum, so sei X+ : = (X +, +)
der punktierte topologische Raum, der durch Hinzufügen eines disjunkten Basispunktes entsteht.
Es gilt dann
Top∗ X+ , (Y, y0 ) ∼
= Top(X, Y )
natürlich in X und (Y, y0 ).
41
Konstruktion 6.14. Sei Z ein topologischer Raum. Dann ist Top(I, Z) der Raum der Wege in
Z. Die Inklusion ∂I ⊂ ≻ I induziert eine Abbildung
≻ Top(∂I, Z)
Top(I, Z)
∼
=
≻Z ×Z
die eine Serre-Faserung ist. Denn ein Liftungsproblem
D n × {0}
≻ Top(I, Z)
∩
g
≻ Top(∂I, Z)
g
Dn × I
ist nach Satz 6.12 äquivalent zum Liftungsproblem
D n × {0} × I ∪Dn ×{0}×∂I D n × I × ∂I
≻Z
∩
(29)
g
Dn × I × I
g
≻∗
Weil aber D n × {0} × I ∪Dn ×{0}×∂I D n × I × ∂I Retrakt von D n × I × I ist,gibt es einen Lift in
Diagramm (29). Ist z0 ∈ Z ein Basispunkt, so ist E(Z) : = Top∗ (I, 0), (Z, z0 ) der Unterraum der
Wege in Z, die bei z0 anfangen. Die Inklusion (∂I, 0) ⊂ ≻ (I, 0) induziert eine Abbildung
≻ Top∗ (∂I, 0), (Z, z0 )
p(Z) : E(Z)
f 7→f (1)
≻
∼
=
(Z, z0 )
von punktierten Räumen, die Wege-Faserung. Man kann sie auch auffassen als Basiswechsel der
≻ Top(∂I, Z):
Serre-Faserung Top(I, Z)
≻ Top(I, Z)
E(Z) ⊂
p(Z)
g
Z
·
y
∼
=
≻ {z0 } × Z
⊂
g
≻Z ×Z
Insbesondere ist die Wege-Faserung auch wieder eine Serre-Faserung.
Lemma 6.15. Sei (Z, z0 ) ein punktierter topologischer Raum und Ω(Z, z0 ) : = Top∗ I/∂I, (Z, z0 )
der Raum der Schleifen in Z an z0 . Dann gibt es einen natürlichen Isomorphismus
πn Ω(Z, z0 ) ∼
= πn+1 (Z, z0 )
für alle n ≥ 0.
Beweis. Wir können Ω(Z, z0 ) identifizieren mit der Faser p(Z)−1 (z0 ) ⊂ ≻ E(Y ) der Wege-Faserung.
Nach Satz 6.7 gibt es eine lange exakte Folge
···
≻ πn Ω(Z, z0 )
≻ πn E(Z)
≻ πn (Z, z0 )
≻ πn−1 Ω(Z, z0 )
≻ ···
≻ π0 (Z, z0 )
von Homotopiegruppen. Es bleibt zu zeigen, dass E(Z) zusammenziehbar ist. Sei
H : E(Z) × I=Top∗ (I, 0), (Z, z0 ) × I ≻ Top∗ (I, 0), (Z, z0 ) = E(Z)
(f, t)
≻ s 7→ f (s · t) )
42
dann ist H eine Homotopie von der konstanten Abbildung zur Identität.
Zur Erinnerung: Ist (X, x0 ) ein punktierter topologischer Raum, so ist Σ(X, x0 ) definiert als
(X, x0 ) ∧ I/∂I. Nach Bemerkung 6.13 gibt es einen natürlichen Isomorphismus
HomTop∗ (Σ(X, x0 ), (Y, y0 )) ∼
= HomTop∗ ((X, x0 ), Ω(Y, y0 ))
(30)
Bezeichne mit HomHo∗ ((X, x0 ), (Y, y0 )) die Menge der Homotopieklassen punktierter Abbildungen (X, x0 )
≻ (Y, y0 ), wobei die Homotopie relativ zum Basispunkt sein soll. Zum Beispiel ist
n
πn (Y, y0 ) ∼
Hom
=
Ho∗ ((S , 1), (Y, y0 )).
Lemma 6.16. Es gibt einen natürlichen Isomorphismus
HomHo∗ (Σ(X, x0 ), (Y, y0 )) ∼
= HomHo∗ ((X, x0 ), Ω(Y, y0 )).
Beweis. Es reicht zu zeigen, dass der Isomorphismus aus Gleichung (30) verträglich ist mit Homotopien relativ zum Basispunkt. Homotopien relativ zum Basispunkt lassen sich beschreiben als
Abbildungen
≻ (Y, y0 )
F : (X, x0 ) ∧ I+
und somit folgt die Aussage unter Verwendung des Homöomorphismus
Σ(X, x0 ) ∧ I+ ∼
= (X, x0 ) ∧ I+ ∧ (I/∂I)
= (X, x0 ) ∧ (I/∂I) ∧I+ ∼
= (X, x0 ) ∧ (I/∂I) ∧ I+ ∼
der natürlich ist in (X, x0 ). Dies benutzt die Kompaktheit von I+ !
7
Eilenberg-MacLane-Räume
Bemühen wir uns um eine andere Darstellung von singulärer Kohomologie.
Definition 7.1. Sei G eine abelsche Gruppe und n ∈ N. Ein Eilenberg-MacLane-Raum K(G, n) ist
ein topologischer Raum mit der Eigenschaft, dass πi (K(G, n)) ∼
= G für i = n und πi (K(G, n)) ∼
=0
sonst.
Natürlich kann man K(G, 1)’s für beliebige Gruppen betrachten.
Beispiel 7.2. Die S 1 ist ein K(Z, 1), RP∞ ist ein K(Z/2, 1), und CP∞ ist ein K(Z, 2). Dies folgt
alles leicht aus Satz 6.7.
Beispiel 7.3. Ist X ein K(G, n) (mit n ≥ 1), so ist nach Lemma 6.16 Ω(X, x0 ) ein K(G, n − 1).
Wir wissen bereits aus AT Satz 2.11, dass zu jeder Gruppe G ein wegzusammenhängender Raum
(sogar Zellenkomplex) X existiert derart, dass π1 X ∼
= G. Anhand des Beweises von AT Satz 13.7
kann man dies für höhere Homotopiegruppen verallgemeinern, sofern G abelsch ist. Hierzu brauchen
wir eine Berechnung.
Lemma 7.4. Sei n ≥ 2 und X = ∨j∈J Sjn eine Einpunkt-Vereinigung von Sphären. Dann ist πn X
isomorph zur freien abelschen Gruppe Z[J].
43
Beweis. Sei zunächst J endlich. Beweis per Induktion. Sei also m derart, dass
πn (Y : =
m
_
Sn) ∼
= Z⊕m
j=1
gilt. Betrachte die kanonische Inklusion Y ⊂ ≻ X : = Y ∨ S n , sowie die Inklusion X = Y ∨
S n ⊂ ≻ Y × S n . Versehe S n mit der Standard-Zellenstruktur, dann ist Y × S n ein Zellenkomplex
mit Zellen in den Dimensionen 0, n und 2n, und X ⊂ ≻ Y × S n ist die Inklusion des 2n − 1Skelettes. Nach AT Übung 12 Aufgabe (eine direkte Folgerung des zellulären Approximationssatzes
AT Satz 11.7) ist die induzierte Abbildung πn X
≻ πn (Y × S n ) ∼
= πn Y × πn S n ein Isomorphismus
für n ≥ 2.
W
≻ X : = j∈J S n Repräsentant eines Elementes in πn X, so liegt
Sei nun J beliebig. Ist f : S n
f (S n ) nach AT Satz 4.13 in einem endlichen Unterkomplex. Es folgt mit dem obigen Fall, dass die
kanonische Abbildung
φ : ⊕j∈J πn S n
≻ πn X
≻ X nullhomotop, so landet auch die Nullhomotopie in einem endlichen
surjektiv ist. Ist f : S n
Unterkomplex. Also ist φ injektiv.
Satz 7.5. Sei G eine abelsche Gruppe und n ≥ 1.
1. Es existiert ein Zellenkomplex K(G, n).
2. Sind X und Y Zellenkomplexe und K(G, n)’s, so sind X und Y homotopieäquivalent.
Beweis. Zu Teil 1: Konstruieren wir zunächst einen zusammenhängenden Zellenkomplex X mit
πn X ∼
= G. Für n = 1 (und G beliebig) folgt dies aus AT Satz 2.11. Ist G abelsch, so sei
0
≻H
≻F
≻G
≻0
(31)
eine freie Auflösung von G. Betrachte die Einpunkt-Vereinigung Xn : = ∨α∈F S n . Nach Lemma 7.4 ist
πn Xn ∼
≻ Xn
= F . Für jedes Element h ∈ H ⊂ ≻ F ∼
= πn Xn wähle einen Repräsentanten gh : S n
und klebe eine n + 1-Zelle an:
a
Sn
+h∈H gh
≻ Xn
∩
h∈H
∩
ag
D n+1
g
≻ Xn+1
h∈H
Die lange exakte Folge von relativen Homotopiegruppen für Xn
···
≻ πn+1 (Xn+1 , Xn )
≻ πn Xn
⊂
≻ Xn+1 endet bei
≻ πn Xn+1
≻0
(32)
∼ ∨h∈H S n+1 ist nach AT Satz 14.6
≻ πi Xn+1 /Xn =
Die kanonische Abbildung πi (Xn+1 , Xn )
bijektiv für i ≤ n + n − 1, weil Xn n − 1-zusammenhängend und die Inklusion Xn ⊂ ≻ Xn+1 nzusammenhängend ist. Weil n ≥ 2 folgt aus Lemma 7.4, dass die Folge (32) isomorph ist zur freien
Auflösung (31). Somit ist Xn+1 ein Zellenkomplex mit πi Xn+1 ∼
= 0 für i < n und πn Xn+1 ∼
= G.
44
Wähle nun Repräsentanten {fj : S n+1
und bilde die Verklebung
a
≻ Xn+1 }j∈J eines Erzeugendensystems von πn+1 Xn+1
S n+1
+j∈J fj
≻ Xn+1
∩
j∈J
∩
ag
D n+2
g
≻ Xn+2
j∈J
Die Inklusion Xn+1 ⊂ ≻ Xn+2 induziert Isomorphismen πi Xn+1
≻ πi Xn+2 für i ≤ n. Ist
n+1
f: S
≻ Xn+2 Repräsentant eines Elementes in πn+1 Xn+2 , so ist nach dem zellulären Approxi≻ Xn+1 ⊂ ≻ Xn+2 .
mationssatz (AT Satz 11.7) f homotop relativ Basispunkt zu einer Abbildung S n+1
Diese ist aber nach Konstruktion nullhomotop in Xn+2 , und somit ist πn+1 Xn+2 ∼
= 0. Verfahre induktiv, was den Zellenkomplex X liefert, der ein K(G, n) ist.
Zu Teil 2: Wir zeigen zunächst: Ist Y ein beliebiger K(G, n), so gibt es eine schwache Homoto≻ Y , wobei X ein im Beweis von Teil 1 konstruierter Zellenkomplex K(G, n)
pieäquivalenz f : X
ist. Die Abbildung f wird induktiv konstruiert, wobei f (x0 ) : = y0 der Basispunkt sei. Um
_
≻Y
fn : Xn =
Sn
f ∈F
∼
=
zu konstruieren, betrachte den Homomorphismus φ : F
≻G
≻ πn (Y, y0 ) und wähle Repräsentanten {fφ(α) S n
≻ Y }φ(α)∈φ(F ) . Zusammensetzen dieser Abbildungen liefert fn . Da für
gh
fn
≻ Xn
≻ Y nullhomotop ist, gibt es eine Erweiterung
jedes h ∈ H die Komposition S n
Dn+1
≻ Y . Zusammensetzen dieser Erweiterungen liefert fn+1 : Xn+1
≻ Y . Nach Konstruktion ist πn (fn+1 , x0 ) ein Isomorphismus. Verfahre nun induktiv: Ensteht Xn+k+1 aus Xn+k durch
das Verklebediagramm
a
≻ Xn+k
S n+k
∩
j∈J
∩
g
a g
D n+k+1 ≻ Xn+k+1
j∈J
fn+k
≻ Y wegen πn+k (Y, y0 ) ∼
so ist jede Komposition S n+k
≻ Xn+k
= 0 nullhomotop. Dies liefert
≻ Y . Die resultierende Abbildung f : X
≻ Y ist dann
eine Erweiterung fn+k+1 : Xn+k+1
eine schwache Homotopieäquivalenz. Ist insbesondere Y ein Zellenkomplex K(G, n), so ist f nach
dem Whitehead-Satz (AT Satz 13.1) eine Homotopieäquivalenz. Weil Homotopieäquivalenz eine
Äquivalenzrelation ist, folgt das Resultat.
Bemerkung 7.6. Aus dem Beweis von Satz 7.5 kann man folgende Aussage herleiten: Ist X ein
n − 1-zusammenhängender Zellenkomplex mit Basispunkt x0 und Y ein wegzusammenhängender
topologischer Raum mit pii (Y, y0 ) ∼
= 0 für alle i > n, so ist die Abbildung
HomHo∗ (X, x0 ), (Y, y0 ) ≻ HomGrp πn (X, x0 ), πn (Y, y0 )
≻ πn (f, x0 )
[f ]
45
surjektiv. Sie ist auch injektiv. Denn sei f : (X, x0 )
≻ (Y, y0 ) eine Abbildung mit πn (f ) = 0, also
πi (f ) = 0∀i. Setze fi : = f |Xi . Nimm an, dass eine Homotopie relativ Basispunkt Xi × I
≻Y
≻ Y zu konstruieren, betrachte die
von fi zur trivialen Abbildung y0 existiert. Um Xi+1 × I
zelluläre Inklusion
Xi+1 × {0} ∪ Xi × I ∪ Xi+1 × {1} ⊂ ≻ Xi+1 × I
die aus Ankleben der Zellen D i+1 × I entsteht. Weil die Komposition
∂(D i+1 × I)
≻ Xi+1 × {0} ∪ Xi × I ∪ Xi+1 × {1} ⊂ ≻ Xi+1 × I
≻Y
nullhomotop ist, gibt es die Erweiterung Xi+1 ×I
≻ Y . Somit haben wir eine Nullhomotopie relativ Basispunkt von f . Insbesondere enthält die punktierte Homotopiekategorie eine Unterkategorie,
die äquivalent ist zu der Kategorie der Gruppen!
Eilenberg-MacLane-Räume sind ausschliesslich durch Homotopiegruppen charakterisiert. Lustigerweise haben sie viel mit Kohomologiegruppen zu tun. Wir werden beweisen, dass es einen
natürlichen Isomorphismus
von Funktoren Zell∗
HomHo∗ (X, x0 ), K(G, n)
∼
=
≻ H n (X, x0 ; G)
≻ Ab gibt. Dazu zwei vorbereitende Lemmata.
Lemma 7.7. Sei (X, x0 ) ein punktierter topologischer Raum und f : (Y, y0 )
Abbildung punktierter topologischer Räume.
≻ (Z, z0 ) eine
1. Ist f eine Homotopieäquivalenz relativ Basispunkt, so sind die induzierten Abbildungen
HomHo∗ (X, x0 ), (Y, y0 )
≻ HomHo∗ (Z, x0 ), (Y, z0 )
und
bijektiv.
HomHo∗ (Z, z0 ), (X, x0 )
≻ HomHo∗ (Y, y0 ), (X, x0 )
2. Ist f eine schwache Homotopieäquivalenz und (X, x0 ) ein punktierter Zellenkomplex, so ist
die induzierte Abbildung
≻ HomHo∗ (X, x0 ), (Z, z0 )
HomHo∗ (X, x0 ), (Y, y0 )
bijektiv.
Beweis. Teil 1 folgt direkt aus der Tatsache, dass zwei über eine basispunkterhaltende Homotopie
verbundene Abbildung die identische Abbildung auf punktierten Homotopieklassen induzieren. Zu
Teil 2: Ersetze f durch den reduzierten Abbildungszylinder
i
(Y, y0 ) ⊂ ≻ (Y, y0 ) ∧ I+ ∪(Y,y0 )∧0+ (Z, z0 )
p
≻ (Z, z0 )
wobei die Abbildung p eine Homotopieäquivalenz relativ Basispunkt ist. Nach Teil 1 reicht es, zu
zeigen, dass i eine Bijektion induziert. Nach Teil 3 von AT Lemma 12.11 ist auch i eine schwache Homotopieäquivalenz. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit ist also f eine Inklusion mit
≻Z
πn (Z, Y, y) ∼
= {0} für alle n ≥ 0 und alle y ∈ Y . In anderen Worten: Jede Abbildung φ : D n
n
mit φ(∂D ) ⊆ Y ist homotop relativ ∂D n zu einer Abbildung mit D n . Induktion über Skeleta liefert, dass jede Abbildung X
≻ Z mit x0
≻ y0 homotop relativ Basispunkt zu einer Abbildung
mit Bild in Y ist, was die Surjektivität zeigt.
46
Zur Injektivität: Sei H : (X, x0 )∧I+
≻ (Z, z0 ) eine Homotopie von h0 : (X, x0 )
≻ (Y, y0 ) ⊂ ≻ (Z, z0 )
⊂
⊂
zu h1 : (X, x0 )
≻ (Y, y0 )
≻ (Z, z0 ). Weil (X, x0 ) ∧ ∂I+
≻ (X, x0 ) ∧ I+ ein relativer Zellenkomplex ist, ist H homotop relativ (X, x0 ) ∧ ∂I+ zu einer Abbildung mit Bild in (Y, y0 ). Diese
Abbildung ist dann die gewünschte Homotopie in Y .
≻ (Y, y0 ), so sei die Abbildung f g : Σ(X, x0 )
Sind f und g zwei Abbildungen Σ(X, x0 )
definiert über
(
f ((x, 2t))
wenn 0 ≤ t ≤ 21
f g((x, t)) : =
g((x, 2t − 1)) wenn 12 ≤ t ≤ 1
≻ (Y, y0 )
In anderen Worten: f g ist die Komposition
Σ(X, x0 )
e
≻ Σ(X, x0 ) ∨ Σ(X, x0 )
f ∨g
≻ (Y, y0 )
wobei e die Abbildung ist, die die mittlere Kopie von X zu einem Punkt kollabiert. Wie im Falle
der Fundamentalgruppe oder der höheren Homotopiegruppen (AT Lemma 11.2) rechnet man nach,
dass
HomHo∗ Σ(X, x0 ), (Y, y0 ) × HomHo∗ Σ(X, x0 ), (Y, y0 ) ≻ HomHo∗ Σ(X, x0 ), (Y, y0 )
[f ], [g]
≻ [f g]
eine wohldefinierte Gruppenstruktur liefert. Ist (X, x0 ) = Σ(X ′ , x′0 ), so ist diese Gruppenstruktur
abelsch. Der Isomorphismus
HomHo∗ (Σ(X, x0 ), (Y, y0 )) ∼
= HomHo∗ ((X, x0 ), Ω(Y, y0 )).
aus Lemma 6.16 induziert eine Gruppenstruktur auf den basispunkterhaltenden Homotopieklassen
von Abbildungen in einen Schleifenraum. Es ist Bestandteil einer Übung, diese Gruppenstruktur
explizit zu beschreiben.
Lemma 7.8. Sei G eine abelsche Gruppe, n ≥ 0 und (X, x0 ) ein punktierter Zellenkomplex. Es
gibt eine kommutative Gruppenstruktur auf
HomHo∗ ((X, x0 ), K(G, n))
die natürlich ist in (X, x0 ).
Beweis. Wegen Teil 2 von Lemma 7.7 und dem Beweis von Teil 2 von Satz 7.5 ist es irrelevant,
welches Modell von K(G, n) wir wählen. Der Einfachheit halber sei K(G, n) konstruiert wie im
Beweis von Teil 1 von Satz 7.5 mit Hilfe der freien Auflösung
0
≻ Ker aug
≻ Z[G]
aug
≻G
≻0
wobei aug(1 · g) = g. Insbesondere hat K(G, n) für alle n ≥ 0 einen kanonischen Basispunkt: entweder die einzige Nullzelle, oder die Nullzelle, die der Null in G entspricht! Nach Beispiel 7.3 und dem
≻ ΩK(G, n+
Beweis von Teil 2 von Satz 7.5 gibt es eine schwache Homotopieäquivalenz wn : K(G, n)
1) für alle n ≥ 0, die nach Bemerkung 7.6 eindeutig ist bis auf punktierte Homotopie. Teil 2 von
Lemma 7.7 impliziert, dass
Ω(wn+1 ) : ΩK(G, n + 1)
47
≻ Ω(ΩK(G, n + 1))
eine schwache Homotopieäquivalenz ist. Der durch Ω(wn+1 ) ◦ wn induzierte Isomorphismus
∼
=
≻ HomHo∗ ((X, x0 ), Ω2 K(G, n+2)) ∼
= HomHo∗ (Σ2 (X, x0 ), K(G, n+2))
HomHo∗ ((X, x0 ), K(G, n))
liefert die kommutative Gruppenstruktur.
Folgendes Lemma zeigt, dass diese Gruppenstruktur mit der Gruppenstruktur in den Werten
von (Ko)Homologietheorien übereinstimmt.
≻ Ab oder Zellop
∗
Lemma 7.9. Sei h ein Funktor Zell∗
1. für jede basispunkterhaltende Homotopie F : (X, x0 )∧I+
h(F |(X,x0 )∧1+ gilt, und
≻ Ab derart, dass
≻ (Y, y0 ) die Gleichung h(F |(X,x0 )∧0+ =
2. die kanonische Abbildung ein Isomorphismus
h((X, x0 ) ∨ (Y, y0 )) ∼
= h(X, x0 ) ⊕ h(Y, y0 )
ist.
Dann gilt für je zwei Abbildungen f, g : Σ(X, x0 )
≻ (Y, y0 )
h(f g) = h(f ) + h(g).
Beweis. Wende h an auf das Diagramm
e
f ∨g
≻ (Y, y0 )
Σ(X, x0 ) ≻ Σ(X, x0 ) ∨ Σ(X, x0 )
q1
≻ g
Σ(X, x0 )
wobei q1 die Identität auf dem ersten Summanden und die Kollaps-Abbildung auf dem zweiten
Summanden ist. Die Komposition q1 ◦ e ist homotop zur Identität, und ebenso q2 ◦ e. Somit erhälten
wir im kovarianten Fall das Diagramm
h(Σ(X, x0 ))
h(e)
h(f ∨ g)
≻ h(Σ(X, x0 ) ∨ Σ(X, x0 ))
≻ h(Y, y0 )
id
h(q1 )
≻ g
h(Σ(X, x0 ))
nach Eigenschaft 1, wobei nach Eigenschaft 2 die Komposition
h(Σ(X, x0 )) ⊕ h(Σ(X, x0 ))
∼
=
≻ h(Σ(X, x0 ) ∨ Σ(X, x0 ))
≻ h(Σ(X, x0 ))
mit der Projektion auf die erste Komponente übereinstimmt. Somit ist für alle a ∈ h(Σ(X, x0 ))
h(e)(a) = (a, a) modulo dem kanonischen Isomorphismus. Es folgt, dass
h(f g)(a) = h(f ∨ g) ◦ h(e)(a) = h(f ∨ g)(a, a) = h(f )(a) + h(g)(a) = h(f ) + h(g) (a)
gilt. Der kontravariante Fall geht analog.
Benötigen lange exakte Folge in < −, K(G, n) > für punktierten Unterkomplex A ⊂
Konstruiere Kofaser-Folge
A⊂ ≻X
⊂
≻ X ∪A A ∧ I
⊂
≻ (X ∪A A ∧ I) ∪X X ∧ I
48
⊂
≻ ···
≻ X.
Lemma 7.10. Sei Y ein pt. top. Raum. Die Sequenz
< X/A, Y >
≻ < X, Y >
≻ < A, Y >
ist exakt.
Beweis. Ist [f ] ∈< X/A, Y > repräsentiert durch f : X/A
≻ Y , so ist das Bild (i ◦ q)∗ ([f ])
repräsentiert durch die Komposition f ◦ q ◦ i, welche die triviale Abbildung ist. Ist umgekehrt
≻ Y und i∗ [g] = ∗, also g ◦ i nullhomotop, so gibt es
[g] ∈< X, Y > repräsentiert durch g : X
≻ Y , und somit Abbildung X ∪A A ∧ I
≻ Y . Ist X/A
≻ X ∪A A ∧ I
Erweiterung h : A ∧ I
Homotopie-Inverses zu der kanonischen Abbildung X ∪A A ∧ I
≻ X/A, so ist die Komposition
≻ X ∪A A∧I
≻ Y eine Abbildung derart, dass die Komposition X
≻ X/A
≻ X ∪A
X/A
A∧I
≻ Y in der Homotopieklasse von g ist.
Folgerung 7.11. {< −, K(G, n) >}n∈N ist Kohomologietheorie.
Beweis. Nach Lemma 7.8 ist < −, K(G, n) > ein Funktor Zellop
≻ Ab für alle n. Homotopi∗
n
⊂
≻ X punktierter Unterkomplex, so ist δ : < A, K(G, n) >
≻ <
einvarianz ist klar. Ist A
X/A, K(G, n + 1) > im Wesentlichen definiert über die Kofasersequenz
A⊂ ≻X
⊂
≻ X ∪A A ∧ I
⊂
≻ (X ∪A A ∧ I) ∪X X ∧ I
⊂
≻ ···
die eine lange Folge
< A, K(G, n) > ≺
< X, K(G, n) > ≺
< X ∪A A ∧ I, K(G, n) > ≺
···
(33)
≻ X/A induziert einen Isomorphismus der ersten
induziert. Die Homotopieäquivalenz X ∪A A∧I
drei Folgenglieder mit der exakten Folge von Lemma 7.10. Insbesondere ist die ganze Folge (33)
exakt. Die kanonische Homotopieäquivalenz
(X ∪A A ∧ I) ∪X X ∧ I = X ∧ I ∪A A ∧ I
≻ A ∧ I/A = ΣA
induziert einen Isomorphismus
< (X ∪A A ∧ I) ∪X X ∧ I, K(G, n) > ≺
< ΣA, K(G, n) >∼
=< A, ΩK(G, n) >
und Komposition mit der bis auf punktierte Homotopie eindeutigen schwachen Homotopieäquivalenz K(G, n + 1)
≻ ΩK(G, n) liefert δn .
Koeffizienten sind G. Nun natürliche Transformation: Sei τn ∈ H n (K(G, n); G) repräsentiert
durch
aug
≻G
CnZell (K(G, n)) ∼
= Z[G]
Definiere Abbildung
Φ(X)n : < X, K(G, n) >
≻ H n (X; G)
[f ]
≻ f ∗ (τn )
Lemma 7.12. Dies ist eine natürliche Transformation von Kohomologietheorien.
49
Beweis. Kürze ab: Ignoriere G und schreibe Kn : = K(G, n). Sei g : X
Das Diagramm
< Y, K(G, n) >
≻ Y Abbildung in Zell∗ .
≻ H n (Y ; G)
g
g
< X, K(G, n) > ≻ H n (X; G)
kommmutiert, denn [f ] geht auf g∗ (f ∗ (τn )) = (f ◦ g)∗ (τn ). Es bleibt zu zeigen, dass das Diagramm
≻ H n (A; G)
< A, K(G, n) >
δn
δn
g
g
< X/A, K(G, n + 1) > ≻ H n+1 (X/A; G)
(34)
kommutiert. Aber Diagramm (34) kommutiert genau dann, wenn das Diagramm
≻ H n (A; G)
< A, K(G, n) >
δn
δn
g
g
< A ∧ I/A = ΣA, K(G, n + 1) > ≻ H n+1 (ΣA; G)
(35)
kommutiert. Dies zeigt man über die Natürlichkeit für Abbildungen
A
id
≻A≺
∩
∩
id
A
∩
g
g
≃ g
X ⊂ ≻ X ∧I ≺⊃ A ∧I
von Paaren. Weil aber [f ] ∈< A, Kn > das Bild von idKn unter f ∗ : < Kn , Kn >
ist, reicht es wegen der bereits gezeigten Natürlichkeit das Diagramm
≻ < A, Kn >
≻ H n (Kn )
< Kn , Kn >
δn
δn
g
g
< ΣKn , Kn+1 > ≻ H n+1 (ΣKn )
(36)
zu betrachten. Es reicht zu zeigen, dass das Diagramm zumindest an der Stelle idKn kommutiert.
Ziel ist also die Gleichheit
∗
ev ◦ Σ(w) (τn+1 ) = δn (τn )
≻ ΩKn+1 “die” schwache Homotopieäquivalenz ist. Die explizite Konstruktion von
wobei w : Kn
w aus dem Beweis von Satz 7.5 liefert, dass die Abbildung ev ◦Σ(w) die Identität auf dem zellulären
Kettenkomplex in Grad n + 1 induziert:
Zell
Cn+1
(ΣKn ) ∼
= Z[G]
id
Zell
≻ Z[G] ∼
(Kn+1 ).
= Cn+1
Andererseits zeigt das Diagramm
Cn+1 Kn ∧ I ∼
= Z[G]⊕?
dZell
n+1
CnZell Kn = Z[G]
au
g
id
g
≻
= id⊕?
≻ Cn Kn ∧ I = Z[G]
G
pr1
g
Cn+1 ΣKn ∼
= Z[G]
50
dass δn (τn ) = τn+1 gilt, was den Beweis beendet.
Satz 7.13. < X, K(G, n) >
≻ H n (X; G) ist ein Isomorphismus für alle X.
Beweis. Folgt aus Lemma 7.12 und Übung 2 Aufgabe 4.
Literatur
[1] Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
51

Zugehörige Unterlagen

— Lösungen zu Blatt 1 —

Höhere Algebra – Übungsblatt 5

Algebraische Topologie 2

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