Höhere Algebra – Übungsblatt 5

Dr. Thomas Götzer
Sommersemester 2017
Anand Sawant, PhD
31. Mai 2017
Höhere Algebra – Übungsblatt 5
Aufgabe 1 (Modulhomomorphismen)
Seien M, M′ , N A-Moduln und u ∈ Hom A ( M, M′ ). Zeigen Sie:
i) u∗ : Hom A ( M′ , N ) → Hom A ( M, N ), f 7→ f ◦ u ist A-linear.
ii) u∗ : Hom A ( N, M) → Hom A ( N, M′ ), f 7→ u ◦ f ist A-linear.
iii) Hom A ( A, M) und M sind als A-Moduln isomorph.
Aufgabe 2 (Z-Modulhomomorphismen)
i) Sei A eine abelsche Gruppe und m eine positive ganze Zahl. Zeigen Sie:
HomZ (Z/mZ, A) ∼
= A[m] := {a ∈ A | ma = 0} .
ii) Seien m, n positive ganze Zahlen und d = ggT(m, n). Zeigen Sie:
HomZ (Z/mZ, Z/nZ ) ∼
= Z/dZ .
iii) Sei π : Z → Z/2Z die Quotientenabbildung. Zeigen Sie, dass die induzierte
Abbildung π∗ : HomZ (Z/2Z, Z ) → HomZ (Z/2Z, Z/2Z ) nicht surjektiv ist.
Aufgabe 3 (Tensorprodukt von Gruppen)
Sei A eine abelsche Gruppe. Zeigen Sie:
i) Für alle m ≥ 0 sind A ⊗Z Z/mZ und A/mA isomorph.
ii) Für m ≥ 1 gilt Z/mZ ⊗Z Q/Z = 0.
iii) Für m, n ≥ 1 mit ggT d sind Z/mZ ⊗Z Z/nZ und Z/dZ isomorph.
iv) Ist A eine Torsionsgruppe, so ist A ⊗Z Q = 0.
Aufgabe 4 (Eigenschaften von Tensorprodukten)
Geben Sie jeweils Beispiele von A-Moduln M und N an, die folgende Eigenschaften
erfüllen:
i) M ⊗ A N 6∼
= M ⊗Z N.
ii) Es gibt ein u ∈ M ⊗ A N das nicht von der Form u = x ⊗ y für x ∈ M und y ∈ N
ist.
iii) Es gibt x, y ∈ M mit x ⊗ y 6= y ⊗ x in M ⊗ A M.
Abgabe bis einschließlich 7. Juni 2017 im Übungskasten in der Nähe der Bibliothek.
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