WS 10/11 Marinescu / Erat 1. Blatt zur Algebra Abgabe: 18.–19.10

WS 10/11
Marinescu / Erat
1. Blatt zur Algebra
Abgabe: 18.–19.10.10 in den Übungen
1. Aufgabe
( + 2 Punkte)
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Seien G und G Gruppen und H ⊂ G, H ⊂ G Untergruppen. Sei ϕ : G → G0
ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist ϕ(H) Untergruppe von G0 und ϕ−1 (H 0 )
Untergruppe von G. Ist ϕ ein Isomorphismus, so ist auch ϕ−1 ein Isomorphismus.
2. Aufgabe
( + 3 Punkte)
Seien G und A Gruppen und Hom(G, A) die Menge der Homomorphismen G → A.
Sei zudem A abelsch.
(i) Für ϕ, ψ ∈ Hom(G, A) definiere ϕ + ψ ∈ Hom(G, A) durch (ϕ + ψ)(g) =
ϕ(g) + ψ(g). Zeige, dass damit Hom(G, A) eine (abelsche) Gruppe wird.
(ii) Sei R die Gruppe der reellen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung und
seien Z und Q die Untergruppen der ganzen Zahlen und der rationalen Zahlen.
Zeige Hom(Q, Z) = 0 und Hom(R, Z) = 0.
(iii) Ein Homomorphismus ϕ : Z → A ist eindeutig bestimmt durch ϕ(1) ∈ A.
Zudem gibt es zu jedem a ∈ A einen Homomorphismus Z → A mit 1 7→ a.
Daher ist Hom(Z, A) ∼
= A.
Bemerkung:
Ist H eine Gruppe und X eine Menge, so ist die Menge der Abbildungen Abb(X, H)
von X nach H eine Gruppe, wenn man mit der Verknüpfung in H für f, g ∈
Abb(X, H) definiert: (f · g)(x) := f (x) · g(x).
Nun ist Hom(G, H) ⊂ Abb(G, H) eine Teilmenge, wobei die Verknüpfung zweier
Homomorphismen wieder ein Homomorphismus ist, wenn H abelsch ist.
3. Aufgabe
( + 3 Punkte)
(a) Sei G eine Gruppe. Dann ist H ⊂ G Untergruppe von G, wenn gilt:
(i) H 6= ∅ und (ii) a, b ∈ H ⇒ ab−1 ∈ H.
(b) Sei G eine Gruppe und a ∈ G. Zeige, dass ϕa : G → G, g 7→ aga−1 , einen
Automorphismus definiert mit ϕ−1
a = ϕa−1 .
Die Automorphismen Aut(G) bilden mit der Komposition als Verknüpfung
eine Gruppe. Zeige, dass die Abbildung G → Aut(G), a 7→ ϕa , ein Gruppenhomomorphismus ist.