9. Übungsblatt

9. Übungsblatt
Algebraische Topologie
im WS 2014/2015 bei Prof. Dr. S. Goette
Abgabe Donnerstag, den 8.1.15
vor der Vorlesung
Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die
Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt
Aufgabe 1
Es sei X kompakt erzeugt. Wir identifizieren eine Äquivalenzrelation „⇠“ auf X mit der
Teilmenge
R⇠ = (x, y) 2 X 2 x ⇠ y ⇢ k(X ⇥ X) ,
und nennen „⇠“ abgeschlossen, wenn R⇠ eine abgeschlossene Teilmenge ist. Zeigen Sie:
(a) Es sei Y 2 kwH und f : X ! Y stetig, dann ist (f ⇥ f ) 1 (
Äquivalenzrelation.
Y)
eine abgeschlossene
(b) Zeigen Sie, dass X/⇠ genau dann schwach Hausdorff ist, wenn R⇠ abgeschlossen ist.
(c) Zeigen Sie, dass der Durchschnitt über alle abgeschlossenen Äquivalenzrelationen
wieder eine abgeschlossene Äquivalenzrelation ist.
(d) Es sei q : X ! hX der Quotient von X nach der Relation aus (c), dann faktorisiert
jede stetige Abbildung f : X ! Y in einen Raum Y aus kwH über q.
Aufgabe 2
Es bezeichne R/Z ⇠
=
Kolimes der Folge
W
n2Z
S 1 den Quotienten topologischer Räume. Bestimmen Sie den
·1
·2
·3
R/Z ! R/Z ! R/Z ! R/Z ! · · ·
zum einen in der Kategorie Top, zum anderen in der Kategorie kwH.
Aufgabe 3
Es sei (Xn )n2N eine Folge schwacher Hausdorff-Räume mit Abbildungen fn : Xn ! Xn
für n > 0. Zeigen Sie, dass der Raum k lim Xn mit
lim Xn =
⇢
(xn )n 2
Y
Xn fn (xn ) = xn
1
n2N
die universelle Eigenschaft eines (inversen) Limes erfüllt.
für alle n > 0
1
Aufgabe 4
Wir betrachten den inversen Limes X der Folge
S1
·1
S1
·2
S1
·3
S1
···
topologischer Räume. Bestimmen Sie eine Abbildung der universellen Überlagerung R !
S 1 des ersten Raumes in den Limes X. Ist diese Einbettung surjektiv?
Aufgabe 5
Es sei (C, ⌦, E) eine abgeschlossene monoidale Kategorie. Zeigen Sie:
(a) Für jedes Objekt Y ist hom(Y, · ) : C ! C ein kovarianter Funktor mit
evY,W
hom(Y, f ) ⌦ idY = f
evY,Z
für alle f : Z ! W .
(b) Für jedes Objekt Z ist hom( · , Z) : C ! C ein kontravarianter Funktor mit
evX,Z
hom(f, Z) ⌦ idX = evY,Z
idhom(Y,Z) ⌦ f
für alle f : X ! Y .
(c) Wir erhalten einen Bifunktor hom( · , · ), das heißt, für alle f : Z ! W , g : X ! Y
gilt
hom(X, f ) hom(g, Z) = hom(g, W ) hom(Y, f ) : hom(Y, Z) ! hom(X, W ) .
Aufgabe 6
Es sei (C, ⌦, E) eine abgeschlossene monoidale Kategorie. Zeigen Sie, dass das Tensorprodukt „⌦“ die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:
(a) Für alle Objekte X, Y gibt es eine Abbildung
⌦X,Y : X ! hom(Y, X ⌦ Y ) .
(b) Zu jedem weiteren Objekt Z und jeder Abbildung f : X ! hom(Y, Z) gibt es genau
eine Abbildung F : X ⌦ Y ! Z, so dass
f = hom(Y, F ) ⌦X,Y .
Hinweis zu (a): Es gilt idX⌦Y = evY,X⌦Y
(⌦X,Y ⌦ idY ).