Aufgaben zur Vorlesung Topologie II

Aufgaben zur Vorlesung
Topologie II
Blatt 1
Wintersemester 2015/2016
A. Bartels / P. Bubenzer
Abgabe: Montag, den 26.10.2015 in der Vorlesung
Aufgabe 1. Sei ϕ : A0 → A ein Monomorphismus von abelschen Gruppen. Zeigen Sie,
dass auch
id ⊗ϕ : Q ⊗Z A0 → Q ⊗Z A
ein Monomorphismus ist. Tipp: Überlegen Sie zunächst, dass jedes Element x ∈ Q ⊗Z A0
als x = q ⊗ a für q ∈ Q und a ∈ A0 geschrieben werden kann.
Aufgabe 2. Seien M eine abelsche Gruppe und
f
g
A0 −
→A−
→ A00 → 0
eine exakte Sequenz von abelschen Gruppen. Zeigen Sie, dass dann auch
g∗
f∗
0 → Hom(A00 , M ) −−→ Hom(A, M ) −−→ Hom(A0 , M )
exakt ist. Hierbei ist f ∗ für ϕ : A → M durch f ∗ ϕ := ϕ ◦ f definiert (g ∗ analog). Finden
f
Sie derartige abelsche Gruppen M , A und A0 und einen Monomorphismus A0 −
→ A, dass
f∗
Hom(A, M ) −−→ Hom(A0 , M ) kein Epimorphismus ist.
Aufgabe 3. Sei R ein Ring. Seien C und D Kettenkomplexe von R-Moduln mit Differentialen dC und dD . Wir definieren einen Kettenkomplex Hom(C, D) von abelschen
Gruppen wie folgt. Eine k-Kette ϕ ∈ Homk (C, D) ist eine homogene Abbildung vom Grad
k, d.h. eine Folge ϕ = (ϕi )i∈Z , wobei ϕi : Ci → Di+k ein Homomorphismus von R-Moduln
ist. Wir setzen |ϕ| := k. Das Differential d : Hom(C, D) → Hom(C, D) ist der graduierte
Kommutator
dϕ := dD ◦ ϕ − (−1)|ϕ| ϕ ◦ dC .
Zeigen Sie, dass tatsächlich d2 = 0 gilt. Überlegen Sie sich, dass Kettenabbildungen
f : C → D genau die homogenen Abbildungen vom Grad 0 sind, die im Kern von d
liegen und folgern Sie
H0 Hom(C, D) ∼
= {f : C → D Kettenabbildung}/ ∼,
wobei f ∼ g genau dann, wenn f kettenhomotop zu g ist.
0 (pt; V ) ∼ V und H i (pt; V ) = 0
Aufgabe 4. Sei pt der Einpunktraum. Zeigen Sie Hsing
=
sing
für i 6= 0.