darstellungstheorie von algebren i 6. ¨ubungsblatt

Universität Bielefeld
WS 2014/15
DARSTELLUNGSTHEORIE VON ALGEBREN I
6. ÜBUNGSBLATT
HENNING KRAUSE, PHILIPP LAMPE
Aufgabe 1. Der n-Kronecker Köcher ist durch die Eulersche Form h x, yi = x1 y1 + x2 y2 −
nx2 y1 gegeben. Sei (u2m+1 , u2m ) := dim C −m P(1) und (v2(m+1) , v2m+1 ) = dim C −m P(2).
Man beschreibe die Beziehung zwischen den Zahlen ur und vs und finden damit eine
rekursive Formel für die um . Für n = 3 sind die Zahlen gut bekannt. Wieso?
en mit p Pfeilen im UhrAufgabe 2. Sei Q eine Orientierung eines Diagramms vom Typ A
zeigersinn und q Pfeilen gegen den Uhrzeigersinn. Man beschreibe alle Wurzeln 0 <
x < δ mit hδ, x i = 0, wobei h−, −i die Eulersche Form bezeichnet und δ der minimale
Radikalvektor ist. Ferner beschreibe man die Bahnen dieser Wurzeln unter der Coxetertransformation c.
Aufgabe 3. Sei i eine Senke eines Köchers Q. Angenommen, X ist eine unzerlegbare
Darstellung von Q, die nicht isomorph zu S(i ) ist.
(a) Man zeige, dass dann Hom( X, S(i )) = 0 ist.
(b) Für einen Morphismus f : X → Y beschreibe man Si+ ( f ) : Si+ ( X ) → Si+ (Y ). Ferner
zeige man, dass Si+ ( f ) genau dann gleich 0 ist, wenn f = 0 ist. Man folgere, dass
Hom( X, Y ) ∼
= Hom(Si+ ( X ), Si+ (Y )) für alle Y gilt.
(c) Angenommen, X ist nicht projektiv. Man beweise, dass für alle Y ein Isomorphismus Hom( X, Y ) ∼
= Hom(C + ( X ), C + (Y )) existiert.
Aufgabe 4. Seien X und Y unzerlegbare Darstellungen eines Köchers und f : X → Y ein
von 0 verschiedener Morphismus. Man beweise:
(a) Wenn Y präprojektiv ist, dann ist X präprojektiv.
(b) Wenn X präinjektiv ist, dann ist Y präinjektiv.
(c) Wenn X und Y regulär sind, dann ist Im( f ) regulär. Falls Q ein euklidischer Köcher
ist, so benutze man den Defekt um zu zeigen, dass auch Ker( f ) und Coker( f )
regulär sind. (Diese Aussage gilt nicht für beliebige Köcher.)
Abgabe bis Mittwoch, 26. November 2014.
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