darstellungstheorie von algebren i 10. ¨ubungsblatt

Universität Bielefeld
WS 2014/15
DARSTELLUNGSTHEORIE VON ALGEBREN I
10. ÜBUNGSBLATT
HENNING KRAUSE, PHILIPP LAMPE
Auf diesem Aufgabenblatt bezeichne K den Kronecker-Köcher:
α
2
1
β
Für jedes r ≥ 0 definieren wir Darstellungen Pr und Ir und für jedes 0 6= λ ∈ k eine
Darstellung Rλ wie folgt. Hierbei bezeichnet id die r × r Einheitsmatrix.
0
id
Pr :
( id 0 )
kr
k r +1
k r +1
Ir :
id
(λ)
kr
Rλ :
k
(1)
( 0 id )
0
k
Aufgabe 1. Man verifiziere die folgenden Isomorphismen und folgere, dass die Darstellungen Pr präprojektiv und die Darstellungen Ir präinjektiv sind:
C −r P (1) ∼
= P2r+1 ,
C r I (1) ∼
= I2r ,
C −r P (2) ∼
= P2r ,
C r I (2) ∼
= I2r+1 .
Aufgabe 2 . Man finde Morphismen 0 6= f n : Pn → Rλ und 0 6= gn : Pn → Pn+1 , so
dass f n = f n+1 gn gilt. Man zeige, dass f n und gn Radikalmorphismus sein müssen. Man
beweise damit, dass
Hom( Pn , Rλ ) = Rad( Pn , Rλ ) = Rad2 ( Pn , Rλ ) = . . . = Rad∞ ( Pn , Rλ ).
Aufgabe 3. In dieser Aufgabe konstruieren wir einen Funktor F : Rep(K, k ) → Rep( Q, k ),
wobei Q der 4-Unterraumköcher ist. Für eine Darstellung X = ( X1 , X2 , Xα , X β ) von K
definieren wir F ( X ) als:
X1
X1
id
0
id
Xα
X1
X1 ⊕ X2
id
Xβ
X2
0
id
(a) Man zeige, dass End( F ( X )) ∼
= End( X ). Insbesondere ist X genau dann unzerlegbar, wenn F ( X ) es ist.
Abgabe bis Mittwoch, 7. Januar 2015.
1
(b) Man gebe eine möglichst natürliche Definition von F auf Morphismen an. Man
zeige, dass f genau dann ein Monomorphismus (bzw. Epimorphismus) ist, wenn
F ( f ) ein Monomorphismus (bzw. Epimorphismus) ist.
Aufgabe 4. Für zwei natürliche Zahlen r, s ≥ 0 bestimme man die Dimension des Morphismenraums Hom( Pr , Ps ).
2