Funktionentheorie 1 – ¨Ubungsblatt 12 Aufgabe 1 (6+2 Punkte

Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
08. 07. 2016
Funktionentheorie 1 – Übungsblatt 12
Aufgabe 1
(6+2 Punkte)
(a) Man bestimme für die folgenden Funktionen jeweils in allen ihren isolierten Singularitäten in C
ihre Residuen:
(i) f 1 (z) =
z2 + z + 5
,
z ( z2 + 1)2
(ii) f 2 (z) =
1
,
Log(z)
(iii) f 3 (z) = cot(πz).
(b) Sei f : D → C eine injektive, holomorphe Funktion und seien a ∈ D und R > 0, sodass UR ( a) ⊂
D. Man folgere, dass dann die Formel
f −1 ( w ) =
1
2πi
Z
z f 0 (z)
dz
f (z) − w
für alle w ∈ f (UR ( a))
∂UR ( a)
gilt.
Bemerkung: Insbesondere ist f |UR (a) : UR ( a) → C biholomorph mit f −1 : f (UR ( a)) → C.
Aufgabe 2
(je 2 Punkte)
Sei D ⊆ C ein Gebiet und a ∈ D. Seien f , g : D \ { a} → C holomorph. Man zeige:
(a) resz= a f 0 = 0.
(b) Sind f und g holomorph in a fortsetzbar, sowie g 6≡ 0, so gilt:

 f0(a) ,
falls 0-ord( g; a) = 1,
f
resz= a = 6g f(0a()a) g00 (a)−2 f (a) g000 (a)

g
, falls 0-ord( g; a) = 2.
3g00 ( a)2
Aufgabe 3
(je 3 Punkte)
Sei D ⊆ C ein Elementargebiet. Man zeige die folgenden Aussagen:
(a) Sei f : D \ { a1 , . . . , an } → C eine holomorphe Funktion mit einfachen Polen in ai ∈ D für alle
i = 1, . . . , n. Für jede geschlossene, stückweise glatte Kurve
γ : [0, 1] → D \ { a1 , . . . , an }
gelte
Z
f (w) dw ∈ 2πiZ. Dann gibt es eine in D meromorphe Funktion g mit f =
γ
g0
.
g
(b) Sei f : D → C eine meromorphe Abbildung mit endlich vielen Null- und Polstellen a1 , . . . , an ,
sowie g : D → C holomorph. Sei γ : [0, 1] → D \ { a1 , . . . , an } eine geschlossene stückweise glatte
Kurve. Dann gilt (für C := γ([0, 1]))
1
2πi
Sommersemester 2016
Z
C
g(z)
n
f 0 (z)
dz = ∑ χ(C; aν ) g( aν )(0-ord( f ; aν ) − ∞-ord( f ; aν )).
f (z)
ν =1
Dr. Hendrik Kasten
Felipe Müller
Aufgabe 4
(je 3 Punkte)
Es sei f , g ∈ C[z] \ {0} zwei Polynome mit deg( g) > deg( f ), sodass g( x ) 6= 0 für alle x ≥ 0. Sei
außerdem ζ n := e2πi/n und An ⊂ C für natürliche Zahlen n > 1 gegeben durch das Segment
2π
An := z ∈ C 0 < arg(z) <
.
n
Sei im folgenden n eine natürliche Zahl größer als 1.
(a) Man zeige mithilfe des Residuensatzes die Formel
Z∞
0
2πi
f (xn )
dx =
g( xn )
1 − ζn
∑
resw=z
z∈ An
f (wn )
.
g(wn )
Hinweis: Man betrachte das geschlossene Kurvenintegral
Z
f (zn )
dz :=
g(zn )
γR
ZR
0
f (zn )
dz +
g(zn )
Z
δR
f (zn )
dz +
g(zn )
Z0
ζn R
f (zn )
dz,
g(zn )
it
wobei δR : 0, 2π
n → C das Kreissegment δR ( t ) = Re bezeichnet.
(b) Man berechne die uneigentlichen Integrale mithilfe der in Teilaufgabe (a) hergeleiteten Formel:
(i)
Z∞
0
√
x
dx,
1 + x + x2
(ii)
Z∞
0
x
dx,
1 + x6
(iii)
Z∞
0
1
dx.
1 + xn
Abgabe: Bis Freitag, den 15. Juli 2016, bis spätestens 13 Uhr in die Tutorenbriefkästen im ersten Stock
im Mathematikon.
Sommersemester 2016
Dr. Hendrik Kasten
Felipe Müller