11. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung: Felsner/ Kleist

11. Übungsblatt zur Vorlesung:
Graphentheorie (DS II)
Felsner/ Kleist
05. Januar 2016
Besprechung: 11.– 12. Januar 2016
http://www.math.tu-berlin.de/~felsner/Lehre/dsII15.html
(1)
Finde eine Punktemenge P mit 8 Punkten in allgemeiner Lage ohne konvexe 5Teilmenge. Daraus folgt N (5) ≥ 9.
(2)
Beweise ein Erdős-Szekeres-Theorem in d Dimensionen: Für jedes k existiert N (k),
so dass alle Punktmengen in Rd mit N (k) Punkten in allgemeiner Lage eine kelementige konvexe Punktmenge enthalten.
(3) Fertige eine schriftliche Ausarbeitung an:
Seien s, t ∈ N natürliche Zahlen und T ein Baum mit t Knoten. Sei R(T, Ks ) die
kleinste natürliche Zahl R, bei der jede rot/blau–Färbung der Kanten des KR entweder einen roten Subgraphen T oder einen blauen Subgraphen Ks enthält.
Zeige: R(T, Ks ) = (s − 1)(t − 1) + 1.
[Hinweis: Betrachte eine Induktion nach s.]
(4) P sei eine Menge von rot oder blau gefärbten Punkten in allgemeiner Lage in der
Ebene.
Zeige, dass P ein einfarbiges leeres Dreieck enthält, falls |P | groß genug ist.
Ein einfarbiges leeres Dreieck ist eine Menge von 3 Punkten einer Farbe, deren
konvexe Hülle leer ist. Wie groß ist groß genug?
(b) Zeige, dass es mindestens |P |−1
leere Dreiecke in P gibt.
2
(a)
(5)
(6)
Kreuzungszahlen
(a)
Beweise, dass cr(K6 ) = cr(K6 ) = 3.
(b)
Zeige, 7 ≤ cr(K7 ) ≤ 9.
(c)
Zeige, cr(K7 ) ≥ 8.
(d)
Finde möglichst gute Schranken an cr(K3,n ).
Zeige die folgenden Aussagen über Kreuzungszahlen:
n+m
(a) 4 n+m−4
·
cr(K
)
≥
· cr(Kn,m )
n+m
n−2
n
(b)
(m − 2) · cr(Kn,m ) ≥ m · cr(Kn,m−1 )